6-连续型随机变量及其分布

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连续型随机变量及其分布

第三节连续型随机变量及其分布上一节我们研究了离散型随机变量，这类随机变量的特点是它的可能取值及其相对应的概率能被逐个地列出.这一节我们将要研究的连续型随机变量就不具有这样的性质了.连续型随机变量的特点是它的可能取值连续地充满某个区间甚至整个数轴.例如，测量一个工件长度，因为在理论上说这个长度的值X 可以取区间（0，+∞）上的任何一个值.此外，连续型随机变量取某特定值的概率总是零（关于这点将在以后说明）.例如，抽检一个工件其长度X 丝毫不差刚好是其固定值（如 1.824cm ）的事件{X =1.824}几乎是不可能的，应认为P{X =1.824}=0.因此讨论连续型随机变量在某点的概率是毫无意义的.于是，对于连续型随机变量就不能用对离散型随机变量那样的方法进行研究了.为了说明方便我们先来看一个例子.例2.8 一个半径为2米的圆盘靶，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X 表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X 的分布函数.解 1°若x ＜0，因为事件{X ≤x }是不可能事件，所以F （x ）=P {X ≤x }=0.2°若0≤x ≤2，由题意P {0≤X ≤x }=kx 2，k 是常数，为了确定k 的值，取x =2，有P {0≤X ≤2}=22k ，但事件{0≤X ≤2}是必然事件，故P {0≤X ≤2}=1，即22k =1，所以k =1/4，即P {0≤X ≤x }=x 2/4.于是F （x ）=P {X ≤x }=P {X ＜0}+P {0≤X ≤x }= x 2/4.3°若x ≥2，由于{X ≤2}是必然事件，于是F （x ）=P {X ≤x }=1.综上所述F （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<,2,1,20,41,0,02x x x x 它的图形是一条连续曲线如图2-2所示.图2-2另外，容易看到本例中X 的分布函数F （x ）还可写成如下形式：F (x )=t t f xd )(⎰∞-，其中 f （t ）=⎪⎩⎪⎨⎧<<.,0,20,21其他t t这就是说F （x ）恰好是非负函数f （t ）在区间（-∞，x ]上的积分，这种随机变量X 我们称为连续型随机变量.一般地有如下定义.定义2.3 若对随机变量X 的分布函数F （x ），存在非负函数f （x ），使对于任意实数x 有F （x ）=⎰∞-xx t f d )(，（2.8）则称X 为连续型随机变量，其中f （x ）称为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数(Density function).由（2.8）式知道连续型随机变量X 的分布函数F （x ）是连续函数.由分布函数的性质F （-∞）=0，F （+∞）=1及F （x ）单调不减，知F （x ）是一条位于直线y =0与y =1之间的单调不减的连续（但不一定光滑）曲线. 由定义2.3知道，f （x ）具有以下性质：1°f (x )≥0；2°⎰+∞∞-x x f d )(=1；3°P {x 1＜X ≤x 2}=F (x 2)-F (x 1)=⎰21d )(x x x x f (x 1≤x 2)；4°若f (x )在x 点处连续，则有F ′(x )=f (x ).由2°知道，介于曲线y =f （x ）与y =0之间的面积为1.由3°知道，X 落在区间（x 1，x 2］的概率P {x 1＜X ≤x 2}等于区间（x 1，x 2］上曲线y =f （x ）之下的曲边梯形面积.由4°知道，f （x ）的连续点x 处有f （x ）=.}{)()(lim lim 00x x x X x P x x F x x F x x ∆∆+≤<=∆-∆+++→∆→∆ 这种形式恰与物理学中线密度定义相类似，这也正是为什么称f （x ）为概率密度的原因.同样我们也指出，反过来，任一满足以上1°、2°两个性质的函数f (x )，一定可以作为某个连续型随机变量的密度函数.前面我们曾指出对连续型随机变量X 而言它取任一特定值a 的概率为零，即P {X =a }=0，事实上，令Δx ＞0，设X 的分布函数为F （x ），则由{X =a }⊂{a -Δx ＜X ≤a },得 0≤P {X =a }≤P {a -Δx ＜X ≤a }=F （a ）-F （a -Δx ）. 由于F （x ）连续，所以)(lim 0x a F x ∆-→∆=F （a ）.当Δx →0时，由夹逼定理得P {X =a }=0,由此很容易推导出P {a ≤X ＜b }=P {a ＜X ≤b }=P {a ≤X ≤b }=P {a ＜X ＜b }.即在计算连续型随机变量落在某区间上的概率时，可不必区分该区间端点的情况.此外还要说明的是，事件{X =a }“几乎不可能发生”，但并不保证绝不会发生，它是“零概率事件”而不是不可能事件.例2.9 设连续型随机变量X 的分布函数为F （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<.1,1,10,,0,02x x Ax x 试求：（1）系数A ；（2）X 落在区间（0.3，0.7）内的概率；（3）X 的密度函数.解（1）由于X 为连续型随机变量，故F （x ）是连续函数，因此有1=F （1）=2101lim lim )(Ax x F x x -→-→= =A , 即A =1，于是有F （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<.1,1,10,,0,02x x x x (2) P {0.3<X <0.7}=F (0.7)-F (0.3)=(0.7)2-(0.3)2=0.4; (3) X 的密度函数为f (x )=F ′(x )=⎩⎨⎧<≤.,0;10,2其他x x由定义2.3知，改变密度函数f (x )在个别点的函数值，不影响分布函数F （x ）的取值，因此，并不在乎改变密度函数在个别点上的值（比如在x =0或x =1上f （x ）的值）.例2.10 设随机变量X 具有密度函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,43,22,30,其他x x x kx （1）确定常数k ；（2）求X 的分布函数F （x ）；（3）求P {1<X ≤72}. 解（1）由⎰∞∞-x x f d )(=1,得x xx kx d )22(d 4330⎰⎰-+=1, 解得k =1/6,故X 的密度函数为f (x )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,43,22,30,6其他x x x x(2) 当x <0时，F （x ）=P {X ≤x }=⎰∞-xt t f d )( =0; 当0≤x <3时，F （x ）=P {X ≤x }=⎰∞-xt t f d )(=⎰⎰∞-+0d )(d )(xt t f t t f =12d 620x t t x =⎰;当3≤x <4时，F （x ）=P {X ≤x }=⎰∞-xt t f d )(=033()()()x f t dt f t dt f t dt -∞++⎰⎰⎰=233(2)23;624x t t x dt dt x +-=-+-⎰⎰当x ≥4时，F （x ）=P {X ≤x }=⎰∞-xt t f d )(=⎰⎰⎰⎰∞-+++030434d )(d )(d )(d )(xt t f t t f t t f t t f=t t t t d )22(d 64330⎰⎰-+ =1.即F （x ）=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<.4,1,43,324,30,12,0,022x x x x x x x(3) P {1<X ≤7/2}=F （7/2）-F (1)=41/48.下面介绍三种常见的连续型随机变量. （1）均匀分布若连续型随机变量X 具有概率密度f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<<-.,0,,1其他b x a ab （2.9）则称X 在区间（a ，b ）上服从均匀分布（Uniform distribution ），记为X ~U (a ,b ).易知f (x )≥0且⎰⎰∞∞--=ba x ab x x f d 1d )(=1.由（2.9）可得 1°P {X ≥b }=⎰∞bx d 0 =0,P {X ≤a }=⎰∞-ax d 0=0，即 P {a <X <b }=1-P {X ≥b }-P {X ≤a }=1；2°若a ≤c <d ≤b ，则P {c <X <d }=ab cd x a b dc--=-⎰d 1. 因此，在区间（a ,b ）上服从均匀分布的随机变量X 的物理意义是：X 以概率1在区间（a ,b ）内取值，而以概率0在区间（a ,b ）以外取值，并且X 值落入（a ,b ）中任一子区间（c ,d ）中的概率与子区间的长度成正比，而与子区间的位置无关. 由（2.8）易得X 的分布函数为F （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<.,1,,,,0b x b x a a b ax a x (2.10) 密度函数f （x ）和分布函数F （x ）的图形分别如图2-3和图2-4所示.图2-3 图2-4在数值计算中，由于四舍五入，小数点后第一位小数所引起的误差X ，一般可以看作是一个服从在[-0.5,0.5]上的均匀分布的随机变量；又如在（a ,b ）中随机掷质点，则该质点的坐标X 一般也可看作是一个服从在（a ,b ）上的均匀分布的随机变量.例2.11 某公共汽车站从上午7时开始，每15分钟来一辆车，如某乘客到达此站的时间是7时到7时30分之间的均匀分布的随机变量，试求他等车少于5分钟的概率.解设乘客于7时过X 分钟到达车站，由于X 在［0，30］上服从均匀分布，即有f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,0,300,301其他x显然，只有乘客在7∶10到7∶15之间或7∶25到7∶30之间到达车站时，他（或她）等车的时间才少于5分钟，因此所求概率为P {10＜X ≤15}+P {25＜X ≤30}=⎰⎰+15103025d 301d 301x x =1/3.（2）指数分布若随机变量X 的密度函数为f (x )=⎩⎨⎧≤>-.00,,0,e x x x λλ （2.11）其中λ>0为常数，则称X 服从参数为λ的指数分布（Exponentially distribution ），记作X ~E (λ).显然f (x )≥0，且x x x f x d e d )(0⎰⎰∞∞-∞-=λλ=1.容易得到X 的分布函数为F （x ）=⎩⎨⎧≤>--.00,,0,e 1x x x λ指数分布最常见的一个场合是寿命分布.指数分布具有“无记忆性”，即对于任意s ,t >0,有P {X >s +t |X >s }=P {X >t }. (2.12)如果用X 表示某一元件的寿命，那么上式表明，在已知元件已使用了s 小时的条件下，它还能再使用至少t 小时的概率，与从开始使用时算起它至少能使用t 小时的概率相等.这就是说元件对它已使用过s 小时没有记忆.当然，指数分布描述的是无老化时的寿命分布，但“无老化”是不可能的，因而只是一种近似.对一些寿命长的元件，在初期阶段老化现象很小，在这一阶段，指数分布比较确切地描述了其寿命分布情况.（2.12）式是容易证明的.事实上，(){,}{}{}{}{}1()ee {}.1()es t t λsP X s X s t P X s t P X s t X s P X s P X s F s t P X t F s λλ-+->>+>+>+>==>>-+====>--（3）正态分布若连续型随机变量X 的概率密度为f (x )=222)(e π21σμσ--x， -∞＜x ＜+∞， (2.13)其中μ，σ（σ＞0）为常数，则称X 服从参数为μ，σ的正态分布（Normal distribution ），记为X ~N （μ，σ2）.显然f (x )≥0，下面来证明⎰∞∞-x x f d )(=1.令σux -=t ，得到.d eπ21d e π2122)(222t x t x ⎰⎰∞∞--∞∞---=σμσ记I =t t d e22⎰∞∞--，则有I 2=⎰⎰∞∞-∞∞-+-ds d e222t s t .作极坐标变换：s =r cos θ,t =r sin θ,得到I 2=22π22r redrd πθ∞--∞=⎰⎰,而I >0,故有I =2π，即有.π2d e 22=⎰∞∞--t t于是.1π2π21d e 21222)(=⋅=--∞∞-⎰x x σμσπ 正态分布是概率论和数理统计中最重要的分布之一.在实际问题中大量的随机变量服从或近似服从正态分布.只要某一个随机变量受到许多相互独立随机因素的影响，而每个个别因素的影响都不能起决定性作用，那么就可以断定随机变量服从或近似服从正态分布.例如，因人的身高、体重受到种族、饮食习惯、地域、运动等等因素影响，但这些因素又不能对身高、体重起决定性作用，所以我们可以认为身高、体重服从或近似服从正态分布.参数μ，σ的意义将在第四章中说明.f （x ）的图形如图2-5所示，它具有如下性质：图2-5 图2-61°曲线关于x =μ对称；2°曲线在x =μ处取到最大值，x 离μ越远，f (x )值越小.这表明对于同样长度的区间，当区间离μ越远，X 落在这个区间上的概率越小；3°曲线在μ±σ处有拐点； 4°曲线以x 轴为渐近线；5°若固定μ，当σ越小时图形越尖陡（图2-6），因而X 落在μ附近的概率越大；若固定σ,μ值改变，则图形沿x 轴平移，而不改变其形状.故称σ为精度参数，μ为位置参数. 由（2.13）式得X 的分布函数F （x ）=t xt d eπ21-2)(22⎰∞--σμσ. （2.14）特别地，当μ=0，σ=1时，称X 服从标准正态分布N （0，1），其概率密度和分布函数分别用)(x ϕ，Φ(x )表示，即有22e π21)(x x -=ϕ，（2.15）Φ(x )=t xt d eπ2122⎰∞--. （2.16）易知，Φ（-x ）=1-Φ（x ）.人们已事先编制了Φ（x ）的函数值表（见本书附录）.一般地，若X ~N （μ，σ2），则有σμ-X ~N (0,1).事实上，Z =σμ-X 的分布函数为 P {Z ≤x }=}{x X P ≤-σμ=P {X ≤μ+σx }=t t xd e π21222)(σμσμσ--+∞-⎰，令σμ-t =s ，得P {Z ≤x }=s xs d eπ2122⎰∞--=Φ(x )，由此知Z =σμ-X ~N (0,1).因此，若X ~N （μ,σ2），则可利用标准正态分布函数Φ（x ），通过查表求得X 落在任一区间（x 1,x 2]内的概率，即P {x 1<X ≤x 2}=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-<-σμσμσμ21x X x P=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-σμσμσμσμ12x X P x X P =⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫⎝⎛-Φσμσμ12x x .例如，设X ~N （1.5，4），可得P {-1≤X ≤2}=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--25.1225.125.11X P=Φ(0.25)-Φ(-1.25)=Φ(0.25)-[1-Φ(1.25)]=0.5987-1+0.8944=0.4931.设X ~N （μ，σ2）,由Φ（x ）函数表可得P {μ-σ<X <μ+σ}=Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1=0.6826,P {μ-2σ<X <μ+2σ}=Φ(2)-Φ(-2)=0.9544, P {μ-3σ<X <μ+3σ}=Φ(3)-Φ(-3)=0.9974.我们看到，尽管正态变量的取值范围是（-∞,∞),但它的值落在（μ-3σ,μ+3σ）内几乎是肯定的事，因此在实际问题中，基本上可以认为有|X -μ|<3σ.这就是人们所说的“3σ原则”.例2.12 公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会在1%以下来设计的.设男子身高X 服从μ=170(cm),σ=6(cm)的正态分布，即X ~N （170，62），问车门高度应如何确定？解设车门高度为h (cm)，按设计要求P {X ≥h }≤0.01或P {X ＜h }≥0.99，因为X ~N （170，62），故P {X ＜h }=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-617061706170h h X P ≥0.99，查表得 Φ（2.33）=0.9901＞0.99.故取6170-h =2.33，即h =184.设计车门高度为184（cm ）时，可使成年男子与车门碰头的机会不超过1%.例2.13 测量到某一目标的距离时发生的随机误差X （单位：米）具有密度函数f (x )=3200)20(2eπ2401--x .试求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30米的概率.解 X 的密度函数为f (x )=222402)20(3200)20(eπ2401eπ2401⨯----⨯=x x ,即X ~N （20，402），故一次测量中随机误差的绝对值不超过30米的概率为P {|X |≤30}=P {-30≤X ≤30}=⎪⎭⎫⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫⎝⎛-Φ402030402030=Φ(0.25)-Φ(-1.25)=0.5981-(1-0.8944)=0.4931.设Y 为三次测量中误差的绝对值不超过30米的次数，则Y 服从二项分布b (3,0.4931)，故P {Y ≥1}=1-P {Y =0}=1-(0.5069)3=0.8698.为了便于今后应用，对于标准正态变量，我们引入了α分位点的定义. 设X ~N （0，1），若z α满足条件P {X ＞z α}=α，0＜α＜1，（2.17）则称点zα为标准正态分布的上α分位点，例如，由查表可得z0.05=1.645,z0.001=3.16.故1.645与3.16分别是标准正态分布的上0.05分位点与上0.001分位点.分享源源不断。

连续型随机变量的分布与例题讲解

(3) f(x) = F ¢ x) = (
1 (- ? p (1 + x 2 )
x< +
ì
- 3x
)
, x > 0, x £ 0,
例2
ï ke 设随机变量 X 的概率密度为 f (x) = ï í ï 0, ï î
试确定常数
k，并求其分布函数 F(x)和 P{X>0.1}. 解：由
+?
ò
+
f (x)dx = 1 得
X ~ W (m, , ).
Weibull 分布的分布函数为
F ( x)
x
m

(t )
m 1

( t )m
e

dt 1 e

( x )m

(x )
——位置参数
——尺度参数
m ——形状参数
Weibull 分布概括了许多典型的分布。
本次课小结：
即是说该大学的实录线约为 512 分。（三）对数正态分布定义：若随机变量 X 的概率密度函数为
1 (ln x )2 2 f ( x) 2 x e 2 0
4
基
本内
容
备注
其中，， 0 为常数，则称 X 服从参数为和的对数正态分布，记作
（四）Weibull 分布定义：若随机变量 X 的概率密度函数为
( x ) m ( x )m1 e x f ( x) x 0
m
其中， m, , 0 为常数，则称 X 服从参数为 m, , 的 Weibull 分布，记作
故知，X~N( 450 ,1002 ) 又设该大学实录线为 a，由题设知：

连续型随机变量及其分布

2
2
a
大家应复习有关积分的方法与公式。
请看P.40-41:例9；例10.
概率论与数理统计
数学与计算科学学院徐鑫
三、几种重要的连续型随机变量 1、均匀分布
定义2 设连续型随机变量X具有概率密度
f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0, 其它,
则称随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布,记为
X ~ U (a,b).
到x的一块面积；
概率论与数理统计
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概率密度的几何意义
b
P{a X b} f (x)dx
xx
a
f (x)dx f (x)x.
概率论与数理统计 x
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注意对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a
的概率等于零.即 P{X a} 0.
证明
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均匀分布的概率密度的图形
均匀分布的特点是:随机变量X落入(a,b)中任意等长度的小区间内的概率都相等；此概率与子区间的长度成正比，而与子区间的起点无关。
x0 x0
(3).P{X>0.1}=1-P{X≤0.1}=1-F(0.1)
=1-(1-e-0.1λ)= e-0.1λ;
或P{X>0.1}=
f (x)dx
ex dx
e x
|
0.1
e 0.1
0.1
0.1
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练习设随机变量X的概率密度为
f
(x)
2
0,
求X的分布函数。
P{ X
a}

连续型随机变量及其分布函数

k 1. 6
x 6
,
p( x)
2
x 2
,
0 x 3, 3 x 4,
0,
其它.
第12页，共40页。
由
F
(
x)
x
p(
x)d
x
得
0, x 0,
x x d x,
0 x 3,
F ( x)
0 3
6 xd
x
x
(2
x)d
x,
0 6
3
2
1, x 4.
3 x 4,
第13页，共40页。
(3)当 x 时, p( x) 0;
(4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
第25页，共40页。
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, p( x) 图形的形状不变,只是沿着 x 轴作平移变换;
第26页，共40页。
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, p(x) 图形的对称轴不变,而形状在改变, σ 越小,图形越高越瘦, σ越大, 图形越矮越胖.
教材P40.
第4页，共40页。
注意对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即
P{ X a} 0.
证明 P{ X a} lim ax p( x)d x 0. x0 a
由此可得
P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b}.
因而有
P{Y
2}
3 2 21 2 3
2 3
3 2 31 3 3
2 0 3
20 . 27
第18页，共40页。
2. 指数分布
定义设连续型随机变量 X 的概率密度为

连续型随机变量的分布)

定义
指数分布是一种连续型概率分布，常用于描述两个连续事件之间的时间间隔。若一个随机变量X服从参数为λ的指数分布，则其概率密度函数为f(x)=λe^(λx)，x>0。
性质
指数分布具有无记忆性，即无论已经等待了多久，下一个事件发生的概率与刚开始等待时相同。此外，指数分布的期望和方差分别为1/λ和1/λ^2。
制定提供依据。
03
可靠性试验设计
在可靠性试验设计中，指数分布可作为先验分布或假设检验的基础。例
如，在定时截尾试验中，可利用指数分布的性质对试验数据进行统计分
析，从而得出产品可靠性的相关结论。
04
正态分布
定义及性质
定义
正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，具有对称性和单峰性。
均匀分布在实际问题中应用
01
在实际问题中，均匀分布常被用来描述一些随机现象，如某段时间内到达的顾客数、某段路程内行驶的车辆数等。
02
在统计学中，均匀分布可以作为其他更复杂分布的基础，如正
态分布、指数分布等。
在计算机模拟中，均匀分布的随机数生成器是其他更复杂随机
03
数生成器的基础。
03
指数分布
定义及性质
性质
连续型随机变量的取值是连续的，即任意两个相邻的实数之间都有无限多个实数。因此，对于连续型随机变量，我们讨论其在某个区间内的概率，而不是具体某个点的概率（某点的概率为0）。
常见连续型随机变量类型
均匀分布
正态分布（高斯分布）
在某个区间[a, b]内，每个值出现的概率都相等。其概率密度函数（PDF）是一个常数，分布函数（CDF）是线性的。
指数分布概率计算
计算概率密度函数值

连续型随机变量及其分布

2π −∞
− ∞ < x < +∞
其值有专门的表供查.
0.4 0.3 0.2 0.1
-3 -2 -1
123
Φ (0) = 0.5 Φ (−x) = 1−Φ (x)
P(| X |< a) = 2Φ (a) −1
0.4 0.3 0.2 0.1
-3 -2 -x -1
1x 2 3
Φ (−x) =1−Φ (x)
f (x) ≥ 0
+∞
∫−∞ f (x)dx = F (+∞) = 1
判定函数 f (x)是否为r.vX的概率密度函数的充要条件.
f (x)
面积为1
o
x
在 f ( x ) 的连续点处， f (x) = F ′(x)
需要指出的是: 连续型r.v取任一指定值的概率为0
即： P( X = a) = 0, a为任一指定值
k = 0,1,,100
λ = np = 5 泊松近似查附表2泊松分布表
P(Y ≥ 3) ≈ 0.87
3.3 指数分布若 X 的d.f. 为
λe−λx , x > 0
f (x) = 0, 其他
λ > 0 为常数
则称 X 服从参数为 λ 的指数分布
记作 X ~ E(λ)
X
的分布函数为
F ( x)
= 0.6179 −[1− 0.6915]
= 0.3094
例 3σ 原理
设 X ~ N ( µ , σ 2), 求 P(| X − µ |< 3σ )
解 P(| X − µ |< 3σ ) = P(µ − 3σ < X < µ + 3σ )

连续型随机变量分布函数

连续型随机变量分布函数连续型随机变量的分布函数（cumulative distribution function，简称CDF）在概率论和统计学中起着重要的作用。

它描述了随机变量小于等于一些特定值的概率，并且通过求导可以得到连续型随机变量的概率密度函数（probability density function，简称PDF）。

设X是一个连续型随机变量，其具有一个实数范围和一个局部累积概率的函数F(x)。

F(x)定义为：F(x)=P(X≤x)其中，P(X≤x)表示X小于或等于x的概率。

任何连续型随机变量的分布函数都满足以下三个基本性质：1.非负性：对于任意的实数x，F(x)≥0。

2.单调性：对于任意的实数x1，x2且x1<x2，有F(x1)≤F(x2)。

3. 有界性：极限limx→∞F(x)=1，limx→-∞F(x)=0。

除了这些基本性质外，CDF还具有以下重要特性：1. 右连续性：F(x)在其定义域上是右连续的，即对于任意实数x，有limh→0F(x+h)=F(x)。

2.概率性：对于任意实数a和b（a<b），有P(a≤X≤b)=F(b)-F(a)。

3. 导数：如果分布函数F(x)在一些点x上可导，则其导数即为对应的概率密度函数f(x)，即f(x)=dF(x)/dx。

根据这些性质，我们可以使用CDF来计算连续型随机变量在特定取值范围内的概率。

例如，对于正态分布，我们可以使用标准正态分布的CDF 来计算落在一些区间内的概率。

从数学角度来看，连续型随机变量的分布函数F(x)是一个增加的、连续的、非降的函数。

在实际应用中，我们经常使用F(x)来计算概率或者根据已知的分布函数反推随机变量的取值范围。

总之，连续型随机变量的分布函数是一种重要的概率工具，它提供了描述和计算随机事件概率的基础。

通过分布函数，我们可以了解随机变量的特性以及它们在不同取值范围内的概率分布。

在实际应用中，我们可以根据分布函数来进行各种统计分析，进一步推断和解释观测数据的特征和规律。

连续型随机变量的分布【概率论及数理统计PPT】

1
dx =1
3
1 1 x 2
? 思考: P(-1/2<X<2)=
课堂练习
1.
证明
f
(x)

x a
e x2 2a
0
x0 x0
(a>0)
是某一个随机变量X的密度函数。
x 0 x 1
2.设随机变量X~ f ( x ) ax b 1 x 2
0
对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数
f(x) , x (,) ,使得对任意 a b , 有
b
P(a X b) a f ( x)dx
则称 X为连续型随机变量，称 f(x)为 X 的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数.
(III) 概率密度函数的性质
1 o f (x) 0

小
(由 ex2 dx 可得） 0
0μ
x
σ大
(2)概率密度图形是以x=μ为对称轴的R上的连续函数,
在x=μ点f(x)取得最大值; (3)若σ固定,μ改变,密度曲线随对称轴左右移动,形状保持不变;
若μ 固定, σ改变,σ越大,曲线越平坦,σ越小,曲线越陡峭.
例8. 设随机变量 X~U(2 ,5). 现在对 X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。
若
e x
X ~ f (x)
x0
0 x0
正态分布
一般正态分布
X ~N(μ,σ2)
定义:称随机变量 X服从参数为 μ,σ2的正态分布, σ>0，
μ是任意实数，若
(x)2
f(x)
X ~ f (x)
e , 1
2 2

连续型随机变量及其概率分布

aБайду номын сангаас
b
利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率
f (x) （4）在 f (x) 的连续点 x 处， F(x)=
注:
（1）连续型随机变量 X 的分布函数F(x)处处连续. (2)连续型随机变量取任一指定实数值a 的概
P X = a=. 0 (3) 率均为0. 即
P X a F ( a ) l i m F ( a x ) = F ( a ) F ( a ) = 0
例. 设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数 ( 1 X 2 ) 及 P( X 1) 和 P
3 e 3 x x 0 解： X 的概率密度 f ( x ) x 0 0
P ( x X x ) xd )x 1 2 f(
x 1
3 P ( X 1 ) fx ( ) d x 3 e d x e 1 1 3 x
, 正态分布，记为
2
X ~N ( ,2)
具有下述性质 fx :
正态分布曲线
1

曲线 f x 关于轴对称；
P μ X μ h P μ hX μ h 0

1 时 , 取最大值 f( ) 2 x 2
常见的连续型随机变量
1. 均匀分布
定义：若随机变量 X的概率密度为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
f ( x)
1 b a
a
b
则称X在区间[ a, b]上服从均匀分布，记作 X ～ U(a, b)
X的分布函数为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0

连续型随机变量及其概率分布

0,
t 0, t 0.
7
二、连续型随机变量的密度函数随机变量X 在区间( x, x x)上的平均概率分布密度:
P( x X x x) x
随机变量X 在点 x 处的概率分布密度(或概率密度)为:
P( x X x x)
f ( x) lim
x0
x
连续型随机变量的分布函数F x 与概率密度f x 有如下关系：
复习
§2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的概念
基本事件
二、随机变量的分布函数
F(x) PX x
X ()
(1) 0 F(x) 1 (2) F(x) 是单调不减的函数；
(3) F() 1 F() 0
(4) F(x) 是右连续的函数.
(5) Px1 X x2 F(x2 ) F(x1 )
P(10 X 30) P(40 X 60) 30 1 dx 60 1 dx 2 .
10 60
40 60 3
19
均匀分布在实际中经常用到，比如一个半径为r的汽车轮胎，当司机刹车时，轮胎接触地面的点与地面摩擦会有一定的磨损. 轮胎的圆周长为2r，则刹车时与地面接触的点的位置X应服从[0, 2r]上的均匀分布，即 X～Ｕ[0, 2r] ，即在 [0, 2r] 上任一等长的小区间上发生磨损的可能性是相同的，这只要看一看报废轮胎的整个圆周上磨损的程度几乎是相同的就可以明白均匀分布的含义了.
对任意实数 x ，有
x
F(x) f (t)dt
则 X 称为连续型随机变量，称 f (x)为 X 的概率密度函数
或分布密度函数，简称为概率密度或密度函数.
利用上述定义，我们可以很容易地推出概率密度的性质
11

随机变量的分布函数、连续型

02
偏度是描述数据分布不对称性的量，即三阶中心矩与三阶原点矩的比值。偏度大于0表示分布右偏，偏度小于0表示分布左偏。
03
峰度是描述数据分布形态陡峭或扁平程度的量，即四阶中心矩与四阶原点矩的比值。峰度大于3表示分布比正态分布更陡峭，峰度小于3表示分布比正态分布更扁平。
PART 04
连续型随机变量的应用
用。
PART 03
连续型随机变量的性质
REPORTING
WENKU DESIGN
概率密度函数（PDF）
概率密度函数（PDF）描述了随机变量取值在某个区间的概率，即密度函数值与该区间长度之积等于该区间内事件发生的概率。
PDF具有非负性，即对于所有实数x， PDF(x)≥0。
整个实数轴上的概率总和为1，即 ∫∞−∞f(x)dx=1，其中f(x)是随机变量的概率密度函数。
在模拟连续型随机变量时，蒙特卡洛方法通过产生大量随机样本，并计算其统计量，来估计随机变量的分
布函数和概率密度函数。
蒙特卡洛方法的优点是简单易行，适用于各种类型的分布函数，但缺点是精度取决于样本数量，样本数量
越多，精度越高。
逆变换采样法
逆变换采样法是一种基于概率分布的反向抽样方法，即先从均匀分布的随机数中抽取样本，再通过概率分布的反函数变换得到所需的随机变量。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
正态分布的实际应用案例
金融领域
正态分布被广泛用于描述金融数据的分布，如股票价格、收益率等。
自然现象
许多自然现象的分布呈现正态分布特征，如人类的身高、智商等。
统计学
在统计学中，正态分布是最常用的分布之一，用于描述数据的集中趋势和离散程度。

连续型随机变量及其分布

下一讲我们将学习两种连续型随机变量正态分布与指数分布
第二章随机变量及其分布第四讲连续型随机变量及其分布
主讲教师胡发胜教授
一连续型随机变量及密度函数
定义设F( x)是随机变量X的分布函数，若存在非负可积函数f ( x)，使得对任意实数x，有
x
F ( x) f (t )dt , x R.
称X为连续型随机变量，称f ( x)为X的概率密度函数，或密度函数，也称概率密度，.
1,
0 x 2, x 2.
分段讨论
P X 1
f ( x)dx
2
3
8 (4x
2 x 2 )dx
1
2
1
1
或P X 1 1 P X 1 1 F (1) 1 1 2 1 2 .
二均匀分布
如果连续型随机变量X 具有密度函数
f
(
x
)=
b
1
a
,
a x b，
0, x a或x b.
C 3 8.
(2) X的分布函数
x
F ( x) f (t )dt
x
0dx,
0
0dx
x 3 (4 x 2 x 2 )dx,
08
0 0dx
23 (4 x 2 x 2 )dx
08
x
0dx ,
2
x 0, 0 x 2,
x 2.
0,
x 0,
3
4
x2
1 4
x3,
y
F(x)
f (x)
x
概率密度满足：
f ( x) 0,且
f ( x)dx 1.
若f ( x)在点x处连续，则F ( x) f (x).

连续型随机变量的分布

图10-4
图10-5
连续型随机变量的分布
例4
解
（1）p
x
1， 0 ，
0x 其他
1；
（2）P0.25 X 0.75
0.75
dx
0.5
；
0.25
（3）P X 0.3
0.3 p xdx
0.3
dx 0.3.
0
连续型随机变量的分布
2. 指数分布
定义4
如果随机变量 X 的概率密度为
p
x
2 1
1 1 8 64
7. 64
4
连续型随机变量的分布
2.连续型随机变量的分布函数
定义2
设 X 为连续型随机变量，则函数F x P{ X
)称为连续型随机变量 X 的分布函数 .
x } x p t dt( x
由微积分知识可知，当函数 p x在 x 处连续，则有F x p x.
连续型随机变量的分布
e
x
x 0 0，
0
x0
则称X 服从参数为 l 的指数分布，记为X ~ E (l)，其相应的分布函数为
F
x
1 e 0 ，
x
，
x x
0 0
.
连续型随机变量的分布
p x与F x的图像分别如图10-6和图10-7所示 .
图10-6
图10-7
指数分布常用来作为各种“寿命”分布的计算.例如电子计算机的寿命、无线电元件的寿命、随机服务系统中的服务时间等，都常被假定服从指数分布.因此指数分布在可靠性分析和排队论等领域中有着广泛的应用.
连续型随机变量的分布
例5
解
因为P X 1 000 P X 1 000 1，所以P X 1 000 1 P X

连续型随机变量的函数的分布思政

一、概述连续型随机变量的函数的分布是概率论与数理统计领域一个重要的研究课题。

在实际应用中，我们经常需要分析具有一定概率分布的随机变量经过某种函数变换后的分布情况。

这不仅对于了解随机变量的性质和规律具有重要意义，还在实际问题的求解中起到了关键作用。

在本文中，我们将首先对连续型随机变量和随机变量的函数进行简要介绍，然后深入探讨连续型随机变量的函数的分布，并总结相关的分布思政。

二、连续型随机变量的基本概念1. 连续型随机变量的定义连续型随机变量是指一个随机变量在其取值范围内任意取值的概率分布是连续分布的随机变量。

具体来说，如果一个随机变量取值范围为无限区间，那么我们称其为连续型随机变量。

2. 连续型随机变量的密度函数对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)定义为在任意实数x 上有f(x)≥0，并且在整个实数轴上的积分等于1，即∫f(x)dx=1。

三、随机变量的函数随机变量的函数是指对于一个已知的随机变量X，我们可以利用某个函数Y=g(X)来构造一个新的随机变量Y。

其中，g(X)即为随机变量X 的函数。

四、连续型随机变量的函数的分布1. 变量变换法则对于连续型随机变量X，其函数Y=g(X)的密度函数fY(y)的计算可以利用变量变换法则进行。

变量变换法则的基本思想是对Y的一个小区间与X的一个小区间之间的关系建立对应关系，然后通过变量代换计算概率密度函数fY(y)。

2. 实例分析通过一个实例来分析连续型随机变量的函数的分布。

假设X～U(0,1)表示在[0,1]上均匀分布的连续型随机变量，求Y=X^2的概率密度函数。

我们可以利用变量变换法则来计算Y的概率密度函数。

五、连续型随机变量的函数的分布思政在实际应用中，连续型随机变量的函数的分布思政具有重要的意义。

我们可以通过对分布思政的深入理解，更好地应用在现实问题的分析与求解过程中。

六、总结本文主要对连续型随机变量的函数的分布进行了介绍和分析，并总结了相关的分布思政。

连续型随机变量及其分布

P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b}
b
F (b) F (a) a f (x)dx
例 2.13 设随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
A , x 1, 1 x2
0,
x 1.
(1)确定常数 A ; (2)求 X 的分布函数; (3)求 P{0 X 1} .
解 (1)由概率密度性质(2)得
1
f (x)dx
1 1
A 1 x2
dx
2 A arcsin
x
1 0
2A
π 2
πA,
因此
A＝1 π
,于是
f
(
x)
π
1 , x 1, 1 x2
0,
x 1.
(2)当 x 1时, 当 1 x 1时,
x
x
F(x)
f (t)dt
0dt 0 ;
F(x)
此站,如果乘客到达此站的时间 X 是 7: 00 到 7:30 之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于 5 分钟的概率.
解以 7: 00 为起点 0 ,以分为单位.依题意, X ~ U(0,30) ,于是
f
(x)
1 30
,
0
x
30,
0, 其他.
为使候车时间少于 5 分钟,乘客必须在 7 :10 到 7 :15 之
arcsin
x
1 2
,
1
x
1,
1，x 1.
(3)
P{0
X
1} F(1) F(0)
1 (1 arcsin 0 π
1) 2
1 2
1.2连续型随机变量的常用分布
1.均匀分布

连续型随机变量的分布函数

连续型随机变量的分布函数引言连续随机变量是概率论中的重要概念之一，其取值范围是一段连续的实数区间。

与离散型随机变量不同，连续型随机变量的分布函数是一个实函数，描述了随机变量取值小于等于某一实数的概率。

本文将介绍连续型随机变量的分布函数的定义、性质以及常见的连续分布函数。

一、连续型随机变量的分布函数定义在概率论中，对于一维连续型随机变量X，其分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X ≤ x)其中P为概率函数，表示X取值小于等于x的概率。

分布函数F(x)具有以下性质：1.F(x)是自变量x的单调不减函数；2.F(x)的取值范围是[0,1]，即0≤F(x)≤1；3.当x→负无穷时，F(x)→0；当x→正无穷时，F(x)→1。

二、连续型随机变量的概率密度函数对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)是分布函数F(x)的导数，即：f(x) = dF(x)/dx概率密度函数描述了连续型随机变量在不同取值下的概率密度。

概率密度函数具有以下性质：1.f(x)是非负函数，即对于所有x，有f(x)≥0；2.连续型随机变量所有可能取值的概率密度函数在取值范围上的积分等于1，即∫f(x)dx = 1。

通过概率密度函数可以计算出在某个区间内连续型随机变量的取值概率，即概率密度函数在该区间上的积分。

三、常见的连续分布函数1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是一种简单的连续型随机变量分布，其概率密度函数在一个区间内全等于常数，即：f(x) = 1/(b-a)，a≤x≤b，否则 f(x) = 0其中a和b是区间的上下界。

均匀分布的分布函数是线性的，在区间[a,b]内为0，在区间左侧小于a时为0，在区间右侧大于b时为1。

均匀分布的期望值为(a+b)/2，方差为(b-a)²/12。

2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最具代表性的连续型随机变量分布之一，也称为高斯分布。

第6讲(连续型随机变量与随机变量的分布函数)解析

P{X 1} P{X 1} 1 1 5；
326
当x 2 时，
F (x) P{X x} P{X 1} P{X 1} P{X 2} 1 1 1 1. 326
2 k(4x 2x2 ) d x 1，
0
所以
k(2x2 2 x3 ) 2
1
30
即 8k 1 3
所以 k 3 .
8
⑵ P {1 X 3}
3
f (x)d x
1
2 3 (4x 2x2 ) d x 30 d x
18
2
1 2
1
P {X 1} f (x) d x
0
0dx
1 3 (4x 2x2 ) d x 1
e , 2 2 x
2
其中μ和σ都是常数，σ>0，
则称X服从参数为、 2的正态分布，
记作 X ~ N(, 2) (Normal)
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.
f (x)
Ⅱ.性质
1
( x )2
e 2 2
2
1 f(x) 以 x =μ为对称轴；
2 f(x)在x=μ处取最大值 1 ；
f(x)与 x 轴所围面积等于1.
0
(3) 连续型随机变量取任意指定值的概率为 0.
即：P{X a} 0, a为任意给定值. 由于P{X a} P{a x X a}
a
f (x) d x ax
则0 P{X a} lim a f (x) d x 0. x0 ax 故P{X a} 0.
例5 公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的. 设某地区成年男性身高 (单位: cm) X～N(170, 7.692), 问车门高度应如何确定?

讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布

第七讲连续型随机变量（续）及随机变量的函数的分布3. 三种重要的连续型随机变量（1）均匀分布设连续型随机变量X 具有概率密度)5.4(,,0,,1)(⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它b x a ab x f则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).X 的分布函数为)6.4(.,1,,,,0)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F（2）指数分布设连续型随机变量X 的概率密度为)7.4(,,0,0,e1)(/⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它x x f x θθ其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布.容易得到X 的分布函数为第二章随机变量及其分布§4 连续型随机变量及其概率密度1=2)8.4(.,0,0,1)(/⎩⎨⎧>-=-其它x e x F x θ如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有 P{X>s+t | X > s}=P{X > t}事实上}.{e ee )(1)(1}{}{}{)}(){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===-+-=>+>=>>⋂+>=>+>--+-θθθ性质称为无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.（3）正态分布设连续型随机变量X 的概率密度为)10.4(,,e21)(222)(∞<<-∞=--x x f x σμσπ其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数为μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(μ,2σ).显然f(x)≥0, 下面来证明1d )(=⎰+∞∞-x x f令t x =-σμ/)(, 得到dx edx et x 22)(2222121-∞+∞---∞+∞-⎰⎰=πσπσμf (x )的图形:1.50.5.1d 21d 21)11.4(π2d d e,,d d ,d e22)(20222/)(22/2222222======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞--∞∞---∞-+∞∞-+∞∞-+-∞∞--x ex e r r I u t e I t I t x r u tt πσπθσμπ于是得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质:（1）.曲线关于x=μ对称. 这表明对于任意h>0有P{μ-h<X ≤μ}=P{μ<X ≤μ+h}. （2）.当x=μ时取到最大值.π21)(σμ=f x 离μ越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离μ越远, X 落在这个区间上的概率越小。