2018年天津市高考文科数学第一次模拟试题及答案
2018天津高考文科数学解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）-文科数学2018年天津高考文科数学试卷真题答案&解析天津新东方优能一对一部高中数学组第一部分：试卷整体点评2018年文科数学的出题顺序相比较2017年发生了一些变化。
但是整体难度与去年持平。
首先是选择题部分，8道题目前7题中2017年的概率变为线性规划，其他知识点考察基本一致。
选择压轴题从去年的函数与方程变为向量的数量积问题。
再来看填空部分，与2017年相同的考查知识点有4题，分别是是复数、导数的几何意义、圆的方程、均值不等式。
发生变化的题目是立体几何17年在14~16连续三年三视图的基础上考察外接球体积，有13年题目的非常相似。
18年则是给出立体图形求体积难度有所下降。
填空压轴题方面，17，18两年发生了互换，近年函数与方程作为填空题的最后一题。
值得一提的是回顾14年-18年天津在考察函数与方程的题目方面偏爱一个分段函数结合不等式恒成立问题，此类问题仍然是我们2019年备考的侧重点。
大题方面的顺序发生了变化，不同于16和17两年把三角函数放在15题的位置，18年重新把概率计算放在首位。
三角函数考查内容与去年相一致。
第三题仍然是立体几何，考察线线垂直，异面直线成角，线面角。
第18题数列题考察等差等比数列的基础公式，没有涉及到人们求和方法错位相减、裂项方法，考察难度有弱化趋势。
19，20题的考察内容相比2017年发生互换，尤其注意一点近年的椭圆题目越来越重视运算求解能力，结合一定的平面几何证明。
最后一题的导数前两问考察侧重基础，对于大部分同学是完全有能力拿下的，最后一问的模型也是平时练习中有所涉及，对于学生计算的要求依然很大。
总体来看数列、立体几何小题考察今年有弱化趋势，计算量大仍然是天津卷的特点，请同学们在2019年的备考过程中注意计算的准确性，祝2018年的考生金榜题名。
第二部分：试卷题目解析一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1) 设集合{}{}{}1,2,3,4,1,02,3=|12)，,C 则(==-∈-≤<=A B x R x A B C（A ）{}1,1- （B ）{}0,1 （C ）{}1,0,1- （D ）{}2,3,4 答案：C解析：依题意可知：{}=1,0,1,2,3,4-A B ，)={-1,0,1}(A B C .(2) 设变量,x y 满足约束条件5,24,1,0.+≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩x y x y x y y 则目标函数35=+z x y 的最大值为（A ）6 （B ）19 （C ）21 （D ）45 答案：C解析： 设5+≤x y 与1-+≤x y 的交点为A=5=1+⎧⎨-+⎩x y x y ，解得=2=3⎧⎨⎩x y ，∴（2,3）A 又35=+z x y 是一族斜率为35-的平行线，∴=max 当直线过（2,3）时，z 取得最大值为z 21A . (3) 设∈x R ，则“38>x ”是||2>x 的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 答案：A 解析：38>x 的解集为2>x ，||2>x 的解集为22或><x x ，38||2是∴>>x x的充分不必要条件.(4) 阅读右边的程序框图，运行相应的程序， 若输入N 的值为20，则输出的T 的值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案：B是 输出TT=T +1 是整数？i=2,T=0输入N开始 i=i +1 是 否否解析：=20N ，2,0,10===Ni T i； 203,1,3===N i T i ；4,=i 20=54=N i ； 5,2，输出==i T T .=2∴T(5) 已知13313711log ,(),log 245===a b c ，则,,a b c 的大小关系为（A ）>>a b c （B ）>>b a c （C ）>>c b a （D ）>>c a b 答案：D 解析：37log 2=a ， 1331log =log 55=c ， 又3log x 在+（0，）∞单调递增，3371log log 522∴<<<，即12∴<<<a c ，131()4=b ，函数1()4=x y 的底数小于1，1()4是定义域内单调递减的函数∴=x y ，10311b ()()144∴=<=b 12∴<<<<ac ，即b <<a c(6) 将函数sin(2)5π=+y x 的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（A ）在区间[,]44ππ-上单调递增 （B ）在区间[,0]4π-上单调递减（C ）在区间[,]42ππ上单调递增 （D ）在区间[,]2ππ上单调递减答案：A解析：sin(2)5π=+y x 向右移动10π个单位长度得到sin[2-]105（）ππ=+y x ，即sin 2=y x ，单增区间为：+222()22ππππ-≤≤+∈k x k k Z+()44ππππ-≤≤+∈k x k k Z当0=k 时，函数sin(2)5π=+y x 在区间[,]44ππ-上单调递增.(7) 已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为12和d d 且12+=6d d ，则双曲线方程为（A ）22139-=x y （B ）22193-=x y （C ）221412-=x y （D ）221124-=x y答案：A解析：2==ce a，2=c a ， 在梯形ABCD 中，+2=AC BD FE ,FE 为渐焦距=b ，1226∴+==d d b 3∴=b222+=a b c 2229,12=3,∴==a b c∴22139-=x y (8) 在如图的平面图形中，已知1,2,120,OM ON MON ==∠=，2,BM MA =2CN NA =，则的值为BC OM（A ）-15 （B ）-9 （C ）-6 （D ）0 答案：C解析：如图所示建系，(0,0),(1,0)1,3)-O M N 设(,),(,),(,)A A B B C C A x y B x y C x y2=B M M A(1,)2(1,∴--=-B B A A x y x y1=22=2--⎧∴⎨-⎩B A B Ax x y y ，即=32=2-⎧⎨-⎩B A B A x x y y2=CNNA(1)2(1,∴--=+C CA A x yx y1222--=+⎧⎪∴=-CA C A x x y y 322=--⎧⎪∴⎨=⎪⎩C A C Ax x y y 633=10（-,），（，）∴=BC OM =6∴∙-BC OM二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.(9)i 是虚数单位，复数6712ii+=+ .答案：4i - 解析：67(67)(12)412(12)(12)i i i i i i i ++-==-++- (10)()ln ,()()(1)x f x e x f x f x f ''=已知函数为的导函数，则的值为 . 答案：e解析：'1()(ln )x f x e x x=+ ()'1f e =(11)如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点,,,,E F G H M （如图），则四棱锥M EFGH -的体积为 .答案：13解析：连11AC交11B D于点O ，111111111(1333A BB D D B BDD V AO S -=鬃=? (12) 在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 答案：2220x x y -+=解析：因为圆过（0,0）（2,0）所以圆心在x=1上，设其坐标为（1，b ） 又因为（1,1）在圆上所以10,1r b br =-==22(1)1,x y -+=即2220x x y -+=(13) 1,,360,28a b a b R a b ∈-+=+已知且则的最小值为答案：14解析：31122284a ab b-+=+? (14) [)2122,0,,()3,,22,0,x x a x a R f x x x x a x ⎧++-≤∈=∈-+∞⎨-+->⎩已知函数若对任意()a f x x ≤恒成立，则的取值范围是答案：1[,2]8解析：当2[3,0],22x x x a x ?++-?恒成立2m i n (32)2a x x ?-+= 当2(0,),22x x x a x ??+-?恒成立2max1()28x xa -+?综上，1[,2]8a Î二、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(I)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(II)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率.答案：(I)解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比分别为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的志愿者中分别抽取3人，2人，2人.(II) (i)解：从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},A G ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},B G ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},C G ，{},D E ，{},D F ，{},D G ，{},E F ，{},E G ，{},F G ，共21种.(ii)解：由(I)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},B C ，{},D E ，{},F G ，共5种.所以，事件M 发生的概率5()21P M =. (16)（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，已知bsin cos 6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A a B .(I)求角B 的大小；(II)设2, 3.sin(2)求和的值==-a c b A B . 答案：(I)解：在ABC ∆中，由正弦定理,sin sin sin sin 可得==a bb A a B A B，又由bsin cos 6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A a B ，得a sin cos 6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B a B ，即sin cos 6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B B ，可得tan =B ()0，π∈B ，可得=3πB .(II)解：在ABC ∆中，由余弦定理及2,3=3，π==a c B ，有222+2cos 7，故=-==b a c ac B b由bsin cos6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A a B ，可得sin cos ，故=<=A a c A .因此21sin 22sin cos cos 22cos 177===-=AA A A A ，所以， ()11sin 2-sin 2cos cos 2sin 727214=-=-⨯=A B A B A B . (17)(本小题满分13分)如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M 为棱AB 的中点，=2=90，∠AB AD BAD .(I)求证：AD ⊥BC(II)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (III)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值.答案：(I)证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC 平面=ABD AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC .(II)解：取棱AC 的中点N ，连接,MN ND .又 因为M 为棱的中点AB ，故MN ∥BC .所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角.在t ∆R DAM 中，1=AM ，故22=13+DM AD AM 因为AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC .在t ∆RDAN 中，1=AN ，故=DN .在等腰三角形DMN 中，=1MN ，可得12cos 26∠==MNDMN DM. 所以，异面直线BC 与MD (III)解：连接CM .因为ABC ∆为等边三角形，M为边AB 的中点，故CM ⊥AB ， CM 又因为平面ABC ⊥平面ABD ，而⊂CM 平面ABC ，故CM ⊥平面ABD .所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角.在t ∆R CAD 中，4=.在t ∆R CMD中，sin CDM=∠=CM CD所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为4.(18)(本小题满分13分)设{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S (n N *∈)；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为Tn (n N *∈).已知132435546122.b a a b a a ==+=+=+，b ，b ，b (I) 求n S 和n T ；(II)若12(...)4n n n n S T T T a b ++++=+,求正整数n 的值。
2018年天津高考文科数学(含参考答案)
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8参考公式：·如果事件．h 表示棱柱的高．h 表示棱锥的高.一．.（1|12}x x ∈-≤<R ，则()A B C = （A ）{1,1}-（C ）{1,0,1}-（D ）{2,3,4}（2）设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为（A ）6 （B ）19 （C ）21（D ）45（3）设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（5）已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（A ）a>（6（A （C （7）,A B 两点（A ）23x -（C ）24x -（8）·OM 的值为 （A ）15-（C ）6-（D ）0第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）i 是虚数单位，复数67i12i++=__________．（10）已知函数f (x )=e x ln x ，f?′(x )为f (x )的导函数，则f?′（1）的值为__________． （11）如图，已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱柱A 1–BB 1D 1D 的体积为__________． （12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． （13）已知a ，b ∈R ，且a –3b +6=0，则2a +18b的最小值为__________． （14）已知a ∈R ，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤⎪=⎨-+->⎪⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．三．解答题：本大题共6小题，共80（15）（本小题满分13分）中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，的卫生工作．（i（ii ）设M （16在△ABC ．已知b sin A =a cos(B –π6)． （Ⅰ）求教（Ⅱ）设a （17如图，ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =（Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值． （18）（本小题满分13分）设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6．（Ⅰ）求S n 和T n ；（Ⅱ）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值． （19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为3，||AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM △（20）设函数(f x （I ）若2t =（II ）若d （III . 参考答案（1）C （5）D（9）4–i （12）2x y +三、解答题（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i ）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．（ii ）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种．学@科网 所以，事件M 发生的概率为P （M ）=521． （16）（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理sin sin a b A B =π)6-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tanB（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3 由sin b A a =2cos22cosA =所以，sin(217- （17考13分．=AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ． M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或在Rt △DAM 中，AM =1，故DM AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt △DAN 中，AN =1，故DN ．在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得12cos MNDMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD（Ⅲ）解：连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM 面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面AB D ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，CD ．在Rt △CMD 中，sin CM CDM CD ∠==．所以，直线CD 与平面ABD ． （18（I 因为0q >设等差数列16,d =从而11,a d ==（II 131(222)2n n n T n +++=+++-=由1(n n S T b ++可得1(1)222n n n n n n +++--=+整理得240,n --=解得（19（I||AB =,从而3,2a b ==.所以，椭圆的方程为22194x y +=. （II ）解：设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,).x y --由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =.由215x x =5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-.当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意.（20，又y =0. f (x故(f '当x （III ）解：曲线y =f (x )与直线y =?(x ?t 2有三个互异的公共点等价于关于x 的方程(x ?t 2+d )(x ?t 2)(x ?t 2?d )+(x ?t 2有三个互异的实数解，令u =x ?t 2，可得u 3+(1?d 2)u =0. 设函数g (x )=x 3+(1?d 2)x ，则曲线y =f (x )与直线y =?(x ?t 2有三个互异的公共点等价于函数y =g (x )有三个零点.()g'x =3x 3+(1?d 2).当d 2≤1时，()g'x ≥0，这时()g'x 在R 上单调递增，不合题意.当d 2>1时，()g'x =0，解得x 1=，x 2.易得，g (x )在(?∞，x 1)上单调递增，在[x 1，x 2]上单调递减，在(x 2，+∞)上单调递增，g (x )的极大值g (x 1)=g (+g (x )若g (x 2若2()0,g x <12||,(d x g -<()y g x =所以d 10)(10,+∞。
天津市第一中学2018届高三摸底测试数学(文)试题Word版含答案
第Ⅰ卷（本卷共 10 道题，每题 4 分，共 40 分）一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1．设 i 为虚数单位，则 5 i等于（ ） 1 iA ． 2 3iB ． 2 3iC ． 2 3iD ． 2 3i2．分别写有数字 1，2，3，4，5 的 5 张卡片，从这 5 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2张卡片上的数字之和为奇数的概率是（ ）A． B． C ． D ．3．阅读右面的程序框图，则输出的 S （ ）A. 14B.20C.30D.554．设 a l og 3 ， b l og 2 3 ， c l og 3 2 ，则（ ）A ． a b cB ． a c bC ． b a cD ． b c a5．已知集合 Mx l og 2 x 1 ， Nx x2x 0，则“ a M ”是“ a N ”的 （）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在平行四边形 ABCD 中， AB a =（）， AD b ， AN 3NC ， M 为 BC 的中点，则A ． 1 a 1bB ． 1 a 1bC ． a 1bD ． 3 a 3b4 4 2 2 2 4 41 1 1 1 0,2 B ． 2 , C ． 0, 3D ． 0, 2A ．向右平移 6个单位B ．向左平移6个单位C ．向右平移 4个单位D ．向左平移3个单位8．已知点在直线上运动，则的最小值为（）A． B． C ． D．9．已知定义域为 R的函数满足：，且对任意总有，则不等式的解集为（）A ．（）B ．（）C ．（）D ．（）110．若函数 f x 满足 f x 1f x 1 ，当 x 0,1 时， f x x ，若在区间 1,1 上，g xA ． f x m x m 有两个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） 第Ⅱ卷（本卷共 10 道题，共 80 分）二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
2018届天津市蓟县高三第一次模拟检测文科数学试题及答案 精品
天津市蓟县2018届高三模拟第一次检测试题数 学(文)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．i 为虚数单位,复数ii++13= A.i +2 B. i -2 C.2-i D. 2--i2．已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3004x y x y x ，则y x z +=2的最小值是A ．-4B ．－2C ．0D ．2 3．函数()2-+=x e x f x 的零点所在区间是 A ．()1,0 B ．()2,1 C ．()3,2 D ．()4,34．如果执行右面的程序框图，那么输出的S = A ．119 B ．719 C ．4949 D ．6005．在正项等比数列{}n a 中，442=a a ,143=S ,数列{}n b 满足n n a b 2log =,则数列{}n b 的前6项和是A ．0B ．2C ．3 D. 5所以ABC∆的面积为：11sin22ac B=. ………13分16.解：（I）甲班两男生分别用A、B表示，女生用C表示；乙班男生用D表示，两女生分别用E、F表示．从甲班和乙班报名的学生中各任选1名的所有可能的结果为：（A，D）（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F）共9种．PADAF平面⊂, AF CD∴⊥．ADPA=，点F是PD的中点,PD AF ⊥∴． [高[考又D PD CD = , PDC AF 平面⊥∴．PDC ，PE 平面⊂ AF PE ⊥∴．…………8分(Ⅲ)过点B 作PC BH ⊥于H ，连接DHPBC ∆ ≌PDC ∆，PC DH ⊥∴BHD∠∴是二面角D PC B --的平面角。
2018年高考文科数学天津卷及答案解析
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前天津市2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第I 卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟. 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·棱柱的体积公式V Sh =.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高．·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-<R ≤，则()A B C =（ ）A .{1,1}-B .{0,1}C .{1,0,1}-D .{2,3,4}2.设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩≤≤≤≥则目标函数35z x y =+的最大值为 （ ）A .6B .19C .21D .45 3.设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”的（ ）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（ ）A .1B .2C .3D .4 5.已知37log 2a =，131()4b =，131log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A .a b c >>B .b a c >>C .c b a >>D .c a b >>6.将函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A .在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增B .在区间,04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C .在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D .在区间,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递减毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为（ ）A .22139x y -=B .22193x y -= C .221412x y -=D .221124x y -= 8.在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =，120MON ∠=︒，2BM MA =，2CN NA =则BC OM 的值为（ ）A .-15B .-9C .-6D .0第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i 是虚数单位，复数67i12i+=+ ． 10.已知函数()e x f x lnx =，()f x '为()f x 的导函数，则(1)f '的值为 ． 11.如图，已知正方体1111–ABCD A B C D 的棱长为1，则四棱柱111–A BB D D 的体积为 ．12.在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为 ．13.已知a ，b ∈R ，且–360a b +=，则218a b+的最小值为 ． 14.已知a ∈R ，函数2222,0,()22,0x x a x f x x x a x ⎧++-⎪=⎨-+->⎪⎩≤．若对任意)[3,x ∈-+∞，()||f x x ≤恒成立，则a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作。
(完整版)2018高考天津文科数学带答案
精心整理绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时12012···棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高. 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-≤<R ，则()A B C =U I （A ）{1,1}-（B ）{0,1}（C ）{1,0,1}-（D ）{2,3,4}（2）设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为（A ）6 （B ）19 （C ）21（D ）45（3（A （C （4T 的值为 （A （5（A （6 （A （C （7221(0,0)a b a b-=>>x 双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为（A ）22139x y -=（B ）22193x y -=（C ）221412x y -=（D ）221124x y -=（8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r则·BC OM u u u r u u u u r 的值为（A ）15- （B ）9- （C ）6-（D ）0第Ⅱ12（9（10． （11（12为（13（14）已知a ∈R ，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤⎪=⎨-+->⎪⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分13分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i（ii（16在△（Ⅰ（Ⅱ（17为棱AB（Ⅰ（Ⅱ（Ⅲ（18设{a n}是等差数列，其前n项和为S n（n∈N*）；{b n}是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求S n和T n；（Ⅱ）若S n+（T1+T2+…+T n）=a n+4b n，求正整数n的值．（19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为3，||AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值.（20（I （II （III 围. （1（5（9（12）2220x y x +-= （13）14（14）［18，2］三、解答题（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，E ，G }，{F ，（ii @（16满分（Ⅰπ6B -，得a π3．（Ⅱ7，故b由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A ．因为a <c ，故cos A =sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-（17）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分． （Ⅰ）由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）解：取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠在AC ．在（AB ，CM ∠在在（.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.（I ）解：设等比数列{}n b 的公比为q ，由b 1=1，b 3=b 2+2，可得220q q --=. 因为0q >，可得2q =，故12n n b -=.所以122112nn n T -==--. 设等差数列{}n a 的公差为d .由435b a a =+，可得134a d +=.由5462b a a =+，可得131316,a d +=从而11,1a d ==，故n a n =，所以(1)2n n n S +=. （II ）解：由（I ），知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=+++-=--L L 由12()4n n n n S T T T a b ++++=+L 可得11(1)2222n n n n n n ++++--=+， 整理得2340,n n --=解得1n =-（舍），或4n =.所以n 的值为4.学&科网（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代.满分（I |（ 点 组整理得2182580k k ++=，解得9k =-，或2k =-.当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意. 所以，k 的值为12-.（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能量，满分14分.（Ⅰ）解：由已知，可得f(x)=x(x?1)(x+1)=x3?x，故f‵(x)=3x?1，因此f(0)=0，(0)f'=?1，又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y?f(0)=(0)f'(x?0)，故所求切线方程为x+y（f(x故f当xf(t2（(x?tu3设函数g(x)=x3+(1?d2)x y=f(x)与直线y=?(x?t2等价于函数y=g(x)有三个零点.g'x=3x3+(1?d2).()当d2≤1时，()g'x在R上单调递增，不合题意.g'x≥0，这时()当d 2>1时，()g'x =0，解得x 1=，x 2.易得，g (x )在(?∞，x 1)上单调递增，在[x 1，x 2]上单调递减，在(x 2，+∞)上单调递增，g (x )的极大值g (x 1)=g (+g (x )的极小值g (x 2)=g )=?3221)9d -+若g (若(g 2||d -y g =所以。
2018年天津市河东区高考数学一模文科试卷含答案解析 精品
2018年天津市河东区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．设集合I={x||x|＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∪（C I B）=（）A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}2．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（）A．B．C．D．不确定3．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．9 B．10 C．11 D．4．在△ABC中，b=5，∠B=，tanA=2，则a的值是（）A．10B．2C． D．5．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S=（）A．190 B．94 C．46 D．226．已知函数f（x）=a x+x﹣b的零点x0∈（n，n+1）（n∈Z），其中常数a，b满足0＜b＜1＜a，则n的值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣l7．图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变8．已知，且函数y=f（x）﹣2x恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣4，0]B．[﹣8，+∞）C．[﹣4，+∞）D．（0，+∞）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=．10．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为．11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x 的焦点相同．则双曲线的方程为．12．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为．13．若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是．14．在平面四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，EF=，CD=，若•=15，则•的值为．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如表所示．每生产一只圆桌可获利6元，生产一个衣柜可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜各生产多少，才使获得利润最多，利润最多为多少？16．已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=，求sin（π﹣4α）的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，，．（1）求证：PE⊥平面ABCD；（2）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；（3）求直线BM与CD所成角的余弦值．18．已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；②已知点，求证：为定值．19．已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1，a n+1=f（），n∈N*，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1，求T n；（3）令b n=（n≥2），b1=3，S n=b1+b2+…+b n，若S n＜对一切n∈N*成立，求最小正整数m．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．（I）当a=﹣1时，若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，且AB的中点为C（x0，0），求证：f′（x0）＜0．2018年天津市河东区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．设集合I={x||x|＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∪（C I B）=（）A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】把集合A用列举法表示，然后求出C I B，最后进行并集运算．【解答】解：因为I={x||x|＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，所以，C I B={0，1}，又因为A={1，2}，所以A∪（C I B）={1，2}∪{0，1}={0，1，2}．故选D．【点评】本题考查了并集和补集的混合运算，考查了学生对集合运算的理解，是基础题．2．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（）A．B．C．D．不确定【考点】几何概型；任意角的三角函数的定义．【专题】计算题．【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件A发生的概率．故选B【点评】本题主要考查概率中的几何概型长度类型，关键是找出两段的长都不小于1m的界点来．3．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．9 B．10 C．11 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案．【解答】解：．由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，==1，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，V三棱锥所以V=4×3﹣1=11．故选：C【点评】本题考查了空间几何体的性质，求解体积，属于计算题，关键是求解底面积，高，运用体积公式．4．在△ABC中，b=5，∠B=，tanA=2，则a的值是（）A．10B．2C． D．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA=，再由正弦定理求得a的值．【解答】解：∵在△ABC中，b=5，∠B=，tanA==2，sin2A+cos2A=1，∴sinA=．再由余弦定理可得=，解得a=2，故选B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理的应用，属于中档题．5．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S=（）A．190 B．94 C．46 D．22【考点】循环结构；程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算运行的结果，直到满足条件i＞5，退出循环体，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：第一次运行i=2，S=2×（1+1）=4；第二次运行i=2+1=3，S=2×（4+1）=10；第三次运行i=3+1=4，S=2×（10+1）=22；第四次运行i=4+1=5，S=2×（22+1）=46；第五次运行i=5+1=6，S=2×（46+1）=94．满足条件i＞5，退出循环体，输出S=94．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．6．已知函数f（x）=a x+x﹣b的零点x0∈（n，n+1）（n∈Z），其中常数a，b满足0＜b＜1＜a，则n的值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣l【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，一次函数的单调性，及增+增=增，可得函数f（x）=a x+x﹣b为增函数，结合常数a，b满足0＜b＜1＜a，可得f（﹣1）＜0，f（0）＞0，进而可得n值．【解答】解：∵函数f（x）=a x+x﹣b为增函数，常数a，b满足0＜b＜1＜a，∴f（﹣1）=﹣1﹣b＜0，f（0）=1﹣b＞0，∴函数f（x）=a x+x﹣b在（﹣1，0）内有一个零点，故n=﹣1，故选：D【点评】本题主要考查了函数零点的判定定理以及指数与对数的互化，函数f（x）=a x+x﹣b是增函数，单调函数最多只有一个零点，是解题的关键，属中档题．7．图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】综合题．【分析】先根据函数的周期和振幅确定w和A的值，再代入特殊点可确定φ的一个值，进而得到函数的解析式，再进行平移变换即可．【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．代入（﹣，0）可得φ的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．故选A．【点评】本题主要考查三角函数的图象与图象变换的基础知识，属于基础题题．根据图象求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求φ．三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的8．已知，且函数y=f（x）﹣2x恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣4，0]B．[﹣8，+∞）C．[﹣4，+∞）D．（0，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用．【分析】当x≥0时，f（x）=f（x﹣2），可得当x≥0时，f（x）在[﹣2，0）重复的周期函数，根据x∈[﹣2，0）时，y=a﹣x2﹣4x=4+a﹣（x+2）2，对称轴x=﹣2，顶点（﹣2，4+a），进而可进行分类求实数a的取值范围．【解答】解：因为当x≥0的时候，f（x）=f（x﹣2），当x∈[0，2）时，x﹣2∈[﹣2，0），此时f（x）=f（x﹣2）=a﹣（x﹣2）2﹣4（x﹣2）当x∈[2，4）时，x﹣4∈[﹣2，0），此时f（x）=f（x﹣2）=f（x﹣4）=a﹣（x﹣4）2﹣4（x﹣4）依此类推，f（x）在x＜0时为二次函数a﹣x2﹣4x=﹣（x+2）2+a+4，在x≥0上为周期为2的函数，重复部分为a﹣x2﹣4x=﹣（x+2）2+a+4在区间[﹣2，0）上的部分．二次函数a﹣x2﹣4x=﹣（x+2）2+a+4顶点为（﹣2，a+4），y=f（x）﹣2x恰有3个不同的零点，即f（x）与y=2x恰有3个不同的交点，需满足f（x）与y=2x在x＜0时有两个交点且0≤a+4≤4或f（x）与y=2x在x＜0时有两个交点且a+4＞4∴﹣4≤a≤0或a＞0综上可得a≥﹣4故选C【点评】本题重点考查函数的零点与方程根的关系，考查函数的周期性，有一定的难度．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=．【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由（1+2ai）i=1﹣bi化简求出a、b的值，然后由复数模的公式即可求出|a+bi|的值．【解答】解：由（1+2ai）i=1﹣bi，得﹣1﹣2a+（1+b）i=0．∴．解得：．设z=a+bi（a、b∈R），则z=﹣﹣i，∴|a+bi|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，是基础的计算题．10．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为16．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丙专业要抽取的人数．【解答】解：∵高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生∴本校共有学生150+150+400+300=1000，∵用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查∴每个个体被抽到的概率是=，∵丙专业有400人，∴要抽取400×=16故答案为：16【点评】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中．11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同．则双曲线的方程为=1．【考点】双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先由双曲线的渐近线方程为y=±x，易得，再由抛物线y2=16x的焦点为（4，0）可得双曲线中c=4，最后根据双曲线的性质c2=a2+b2列方程组，解得a2、b2即可．【解答】解：由双曲线渐近线方程可知①因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4②又c2=a2+b2③联立①②③，解得a2=4，b2=12，所以双曲线的方程为．故答案为．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程及几何性质．12．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】综合题；压轴题；综合法．【分析】解法一：如图根据题设条件可求得角DOP的大小，由于OD=1，OP=2，由余弦定理求长度即可．解法二：由图形知，若能求得点D到线段OC的距离DE与线段OE的长度，在直角三角形PED中用勾股定理求PD即可．【解答】解：法一：∵PA切⊙O于点A，B为PO中点，∴AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠POD=120°，在△POD中由余弦定理，得：PD2=PO2+DO2﹣2PO•DOcos∠POD=．∴．法二：过点D作DE⊥PC垂足为E，∵∠POD=120°，∴∠DOC=60°，可得，，在Rt△PED中，有．【点评】本题考点是与圆有关的比例线段，本题考查求线段的长度，平面几何中求线段长度一般在三角形中用正弦定理与余弦定理求解，本题中法一的特征用的是余弦定理求长度，法二在直角三角形中用勾股定理求长度，在三角形中求长度时应该根据题意选取适当的方法求解，做题后要注意总结方法选取的规律．13．若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是2﹣log23．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】由基本不等式得2a+2b≥，可求出2a+b的范围，再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可．【解答】解：由基本不等式得2a+2b≥，即2a+b≥，所以2a+b≥4，令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=因为t≥4，所以，即，所以故答案为：2﹣log23【点评】本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强．14．在平面四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，EF=，CD=，若•=15，则•的值为13．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】画出图形，结合图形，先求出•的值，再利用•=15，求出•的值．【解答】解：如图所示，设AB∩DC=O，∵=++=+，=++=+，两式相加得=；∵AB=1，EF=，CD=，平方得2=；∴•=2；又∵•=15，即（﹣）•（﹣）=15；∴•﹣•﹣•+•=15，∴•+•=15+•+•，∴•=（﹣）•（﹣）=•﹣•﹣•+•=（15+•+•）﹣•﹣•=15+•（﹣）+•（﹣）=15+•+•=15+•（﹣）=15+•=15﹣•=15﹣2=13．故答案为：13．【点评】本题考查了两个向量的加减运算的应用问题，也考查了平面向量的几何意义以及平面向量的数量积的应用问题，是中档题．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如表所示．每生产一只圆桌可获利6元，生产一个衣柜可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜各生产多少，才使获得利润最多，利润最多为多少？【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；应用题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意，设生产圆桌x只，衣柜y个，获得利润为z元；从而可得，z=6x+10y；利用线性规划求解．【解答】解：由题意，设生产圆桌x只，衣柜y个，获得利润为z元；则，z=6x+10y；做其平面区域如下，则由y=800﹣2x，x=700﹣3.5y得，x=350，y=100；答：应生产圆桌350只，生产衣柜100个，能使利润总额达到最大，利润最多3100元．【点评】本题考查了线性规划在实际问题中的应用，属于中档题．16．已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=，求sin（π﹣4α）的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；（III）由f（a）=，可得sin（2a+）=，根据sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1，即可求得结论．【解答】解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，∴函数的最小正周期为π∴=π∴ω=1；（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+）∴﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（III）∵f（a）=，∴sin（2a+）=∴sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1=﹣．【点评】本题考查函数的周期性，考查函数解析式的确定，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，周期确定函数解析式是关键．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，，．（1）求证：PE⊥平面ABCD；（2）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；（3）求直线BM与CD所成角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间角．【分析】（1）推导出PE⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，由此能证明PE⊥平面ABCD．（2）连结EC，取EC中点H，连结MH、HB，则MH∥PE，从而∠MBH即为BM与平面ABCD 所成角，由此能求出直线BM与平面ABCD所成角的正切值．（3）由CD∥BE，得直线BM与CD所成角即为直线BM与BE所成角，由此能求出直线BM与CD 所成角的余弦值．【解答】证明：（1）∵PA=PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PE⊥平面ABCD．解：（2）连结EC，取EC中点H，连结MH、HB，∵M是PC的中点，H是EC的中点，∴MH∥PE，由（1）知PE⊥平面ABCD，∴MH⊥平面ABCD，∴HB是BM在平面ABCD内的射影，∴∠MBH即为BM与平面ABCD所成角，∵AD∥BC，BC=AD，E为AD的中点，∠ADC=90°，∴四边形BCDE为矩形，∴EC=2，HB=，又∵MH=PE=，∴△MHB中，tan=，∴直线BM与平面ABCD所成角的正切值为．（3）由（2）知CD∥BE，∴直线BM与CD所成角即为直线BM与BE所成角连接ME，Rt△MHE中，，Rt△MHB中，，又，∴△MEB中，，∴直线BM与CD所成角的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值和线线角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；②已知点，求证：为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积及椭圆几何量之间的关系，建立等式，即可求得椭圆的标准方程；（2）①直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB中点的横坐标为，即可求斜率k的值；②利用韦达定理，及向量的数量积公式，计算即可证得结论．【解答】（1）解：因为满足a2=b2+c2，，…根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，可得．从而可解得，所以椭圆方程为…（2）证明：①将y=k（x+1）代入中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0…△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，…因为AB中点的横坐标为，所以，解得…②由①知，所以…==…===…【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积，考查学生的运算能力，综合性强．19．已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1，a n+1=f（），n∈N*，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1，求T n；（3）令b n=（n≥2），b1=3，S n=b1+b2+…+b n，若S n＜对一切n∈N*成立，求最小正整数m．【考点】数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）通过代入函数解析式化简可知a n+1=a n+，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1），进而计算可得结论；（3）当n≥2时裂项可知b n=（﹣），进而并项相加可知S n=，从而可知＜，进而问题转化为解不等式≥，计算即得结论．【解答】解：（1）依题意，a n+1==a n+，∴数列{a n}是以为公差的等差数列，又∵a1=1，∴a n=n+；（2）由（1）可知T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣a2n+1）﹣1=﹣（a2+a4+…+a2n）=﹣•=﹣（2n2+3n）；（3）当n≥2时，b n===（﹣），又∵b1=3=×（1﹣）满足上式，∴S n=b1+b2+…+b n=×（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，∵S n＜对一切n∈N*成立，即＜，又∵=（1﹣）递增，且＜，∴≥，即m≥2018，∴最小正整数m=2018．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．（I）当a=﹣1时，若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，且AB的中点为C（x0，0），求证：f′（x0）＜0．【考点】函数的单调性与导数的关系；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；综合题；转化思想．【分析】（I）将f（x）在（0，+∞）上递增，转化成f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即b≤+2x对x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤即可，根据基本不等式可求出；（II）根据f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，得到，两式相减，可得，利用中点坐标公式和导数，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意：f（x）=lnx+x2﹣bx∵f（x）在（0，+∞）上递增，∴f′（x）=+2x﹣b≥0对x∈（0，+∞）恒成立即b≤+2x对x∈（0，+∞）恒成立，∴只需b≤∵x＞0，∴+2x≥2当且仅当x=时取“=”，∴b≤2，∴b的取值范围为（﹣∞，2]；（II）证明：由已知得，即，两式相减，得：⇒，由f′（x）=﹣2ax﹣b及2x0=x1+x2，得f′（x0）=﹣2ax0﹣b===，令t=∈（0，1），且φ（t）=，∵φ′（t）=，∴φ（t）是（0，1）上的减函数，∴φ（t）＞φ（1）=0，又x1＜x2，∴f'（x0）＜0．【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了转化与划归的思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题．。
2018高考天津文科数学带答案
2018高考天津文科数学带答案绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高．·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高.一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-≤<R ，则()A B C =（A ）{1,1}- （B ）{0,1}（C ）{1,0,1}- （D ）{2,3,4}（2）设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为（A ）6 （B ）19（C ）21 （D ）45（3）设x ∈R ，则“38x>”是“||2x >” 的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（5）已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）c b a >>（D ）c a b >>（6）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（A ）在区间[,]44ππ- 上单调递增 （B ）在区间[,0]4π 上单调递减（C ）在区间[,]42ππ 上单调递增 （D ）在区间[,]2ππ 上单调递减（7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（A ）22139x y -= （B ）22193x y -= （C ）221412x y -= （D ）221124x y -=（8）在如图的平面图形中，已知1.2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为（A ）15- （B ）9-（C ）6- （D ）0第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2018年天津市河东区高考一模文科数学试卷及答案
河东区 2018 年高考一模考试数学试卷（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求. 1．复数2()2iz ii-=+为虚数单位在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知变量x y,满足约束条件21110x yx yy,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y=-的最大值为（）A．－3 B． 0C．1 D．33．某程序框图如图1所示，则输出的结果S=（）A．26 B．57C．120 D．2474．函数()|2|lnf x x x=--在定义域内的零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．下列说法正确的是个数为( )①1=a是直线0=-ayx与直线0=+ayx互相垂直的充要条件②直线12π=x是函数)62sin(2π-=xy的图象的一条对称轴③ 已知直线l ：20x y ++=与圆C ：22(1)(1)2x y -++=，则圆心C 到直线l的距离是④若命题P ：“存在∈0x R ，0102>--x x”，则命题P的否定：“任意R x ∈，012≤--x x”A ．1B ．2C ．3D ．46．已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（ ） A ．12B．2CD ．17．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a xa -⊗≤+都成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．17,⎡⎤-⎣⎦B ．(3,⎤-∞⎦C ．(7,⎤-∞⎦D ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣8．若直角坐标系内A 、B 两点满足：（1）点A 、B 都在f （x ）的图像上；（2）点A 、B 关于原点对称，则称点对（A ，B ）是函数f （x ）的一个“姊妹点对”（点对（A ，B ）与（B ，A ）可看作一个“姊妹点对”。
2018年天津高考数学文科真题答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．（1）C （2）C （3）A （4）B （5）D （6）A （7）A （8）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．（9）4–i （10）e （11）13（12）2220+-=（13）14（14）［18，2］x y x三、解答题（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种． （ii ）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种．所以，事件M 发生的概率为P （M ）=521．（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分． （Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3．（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a <c ，故cos A =sin 22sin cos A A A =21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-（17）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．（Ⅰ）由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）解：取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM =1，故DMAD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ．在Rt △DAN 中，AN =1，故DN在等腰三角形DMN 中，MN=1，可得12cos MNDMN DM ∠==．所以，异面直线BC 与MD（Ⅲ）解：连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CMABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面AB D ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，CD．在Rt △CMD 中，sin CMCDM CD ∠==．所以，直线CD 与平面ABD ．（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分. （I ）解：设等比数列{}n b 的公比为q ，由b 1=1，b 3=b 2+2，可得220q q --=.因为0q >，可得2q =，故12n n b -=.所以122112nn n T -==--. 设等差数列{}n a 的公差为d .由435b a a =+，可得134a d +=.由5462b a a =+，可得131316,a d += 从而11,1a d ==，故n a n =，所以(1)2n n n S +=.（II ）解：由（I ），知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=+++-=--由12()4n n n n S T T T a b ++++=+可得11(1)2222n n n n n n ++++--=+， 整理得2340,n n --= 解得1n =-（舍），或4n =.所以n 的值为4.（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分14分. （I ）解：设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23.a b = 由||AB =,从而3,2a b ==.所以，椭圆的方程为22194x y +=.（II ）解：设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,).x y -- 由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩ 消去y ，可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =由215x x =，可得5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-. 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意. 所以，k 的值为12-.（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能量，满分14分.（Ⅰ）解：由已知，可得f (x )=x (x −1)(x +1)=x 3−x ，故f ‵(x )=3x −1，因此f (0)=0，(0)f '=−1，又因为曲线y =f (x )在点(0， f (0))处的切线方程为y −f (0)=(0)f ' (x −0)，故所求切线方程为x +y =0.（Ⅱ）解：由已知可得f (x )=(x −t 2+3)( x −t 2) (x −t 2−3)=( x −t 2)3−9 ( x −t 2)=x 3−3t 2x 2+(3t 22−9)x − t 22+9t 2.故()f x '= 3x 3−6t 2x +3t 22−9.令()f x '=0，解得x = t 2x = t 2.当x 变化时，f ‵(x )，f (x )的变化如下表：所以函数f (x )的极大值为f (t 2)3−9×(；函数小值为f (t 2)=(3−9×()=−（III ）解：曲线y =f (x )与直线y =−(x −t 2)−价于关于x 的方程(x −t 2+d ) (x −t 2) (x −t 2−d )+ (x −t 2=0有三个互异的实数解，令u = x −t 2，可得u 3+(1−d 2)u 设函数g (x )= x 3+(1−d 2)x +6，则曲线y =f (x )与直线y =−(x −t 2)−6y =g (x )有三个零点.()g'x =3 x 3+(1−d 2).当d 2≤1时，()g'x ≥0，这时()g'x 在R 上单调递增，不合题意.当d 2>1时，()g'x =0，解得x 1=，x 2.易得，g (x )在(−∞，x 1)上单调递增，在[x 1， x 2]上单调递减，在(x 2， +∞)上单调递增，g (x )的极大值g (x1)= g (+g (x )的极小值g (x2)= g)=−+若g (x 2) ≥0，由g (x )的单调性可知函数y =f (x )至多有两个零点，不合题意. 若2()0,g x <即322(1)27d->，也就是||d >2||d x >，(||)||0,g d d =+>且312||,(2||)6||2||0d x g d d d -<-=--+<-<，从而由()g x 的单调性，可知函数()y g x = 在区间1122(2||,),(,),(,||)d x x x x d -内各有一个零点，符合题意.所以d 的取值范围是(,(10,).-∞+∞。
2018年高考文科数学天津卷-答案
天津市2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】由于1,0,1,2,},4{3A B =-U ，所以{()1,0,1}A B C -=U I . 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】做出不等式组5,24,1,0x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩≤≤≤≥，所表示的可行域，其是由(00)O ，，(2,0)A ，(3,2)B ，(2,3)C ，(0,1)D 围成的五边形区域（包括边界），对于目标函数35x x y =+；结合图象可知过点C 时取得最大值，最大值为325321⨯+⨯=. 【考点】简单的线性规划 3.【答案】A【解析】由38>解得2x >；由||2x >解得2x <-或2x >，所以“8x >”是“||2x >”的充分而不必要条件。
【考点】不等式的求解、充分必要条件的判定 4.【答案】B【解析】输人2020N i T ===，，，此时10Ni=是整数，则有011213T i =+==+=，，此时不满足条件5i ≥；接下来有203N i =不是整数，则有314i =+=，此时.不满足条件5i ≥；接下来有5N i =是整数，则有112415T i =+==+=，，此时满足条件5i ≥，结束循环，输出2T =. 【考点】算法的程序框图.模拟程序框图的运行 5.【答案】D【解析】根据函数的图象与性质可知13133331711log log 5log log 315244⎛⎫⎛⎫=>>==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则c a b >>. 【考点】代数值的大小比较、函数的图象与性质 6.【答案】A【解析】将函数πsin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度得到ππsin 2sin 2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由ππ2π22π+,22k x k k -+∈Z ≤≤，解得ππππ+,44k x k k -+∈Z ≤≤，当0k =时，则知函数在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增.【考点】三角函数图象的平移变换、三角函数的图象与性质 7.【答案】A【解析】由双曲线的离心率2c e a==，可得2c a =，则知b ，将2x a =代人双曲线222213x y a a -=，可得3y a =±，设点(2,3)(2,3)A d a B a a -，0y +=，可得12d d ====，，所以126d d +=+==，解得a =，故双曲线的方程为22139x y -=. 【考点】双曲线的方程与几何性质、点到直线的距离公式 8.【答案】C【解析】根据题目可得:22((33)3()33()33321cos120=31=6BC OM AC AB OM AN AM OM AN AM OMMN OM ON OM OM ON OM OM =-=-=-==-=-=⨯⨯⨯︒⨯-u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u rg g g g u u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u rg g g ） 【考点】平面向量的线性运算与数量积 二、填空题 9.【答案】4i -【解析】由题可得67i (67i)(12i)205i 4i 12i(12i)(12i)5++--===-++-.【考点】复数的四则运算 10.【答案】e【解析】由于()e ln x f x x =则有1()e ln e x x f x x x '=+g ，所以111(1)e ln1e e 1f '=+=g g .【考点】导数及其应用、函数值的求解11.13【答案】 【解析】由题可知四棱锥111A BB D D -，1，则四棱锥111A BB D D -的体为11133V =⨯=. 【考点】空间几何体的性质、空间几何体的体积 12.【答案】2220x y x +-=【解析】由于圆经过三点(0,0)(1,1)(2,0)O A B ，，，可知OAAB ⊥，则知OB 为圆的直径，则圆心(1,0)C ，半径1r =，可得圆的方程为22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=. 【考点】圆的方程13.【答案】14【解析】由于360a b -+=；可得366a -=-，结合基本不等式可得33112222284a a b b --+=+==g ≥，当且仅当322a b -=，即33a b =-=-.【考点】基本不等式14.【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当[]3,0-时，由()||f x x ≤恒成立可得22x x a x ++-≤-即232x x a ++-≤0，结合图象可知99200020a a -+-⎧⎨++-⎩≤≤，解得2a ≤；当·(0,)x ∈+∞时，由()||f x x ≤恒成立可得222x x a x -+-≤，即²20x x a -+≥，结合图象可知2412(1)041a ⨯⨯--⨯≥，解得a 18a ≥；综上分析可得128a ≤≤.【考点】分段函数、函数的图象与性质、不等式恒成立 三、解答题15.【答案】（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（ⅰ）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．（ⅱ）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种． 所以，事件M 发生的概率为5(2)1P M =．【考点】随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识16.【答案】（Ⅰ）解：在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得πsin cos 6a B a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即πsin cos 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tan B(0π)B ∈，，可得π3B =． （Ⅱ）解：在ABC △中，由余弦定理及23π3a c B ===，，，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =．由πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得sin A =．因为a c <，故cos A =sin 22sin cos A A A =，21cos22cos 17A A =-=．所以，11sin(2)sin 2cos cos 2sin 27A B A B A B -=-=-= 【考点】考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识17.【答案】（Ⅰ）由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）解：取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，1AM =，故DM =AD ⊥平面ABC ，故AD AC ⊥． 在Rt △DAN 中，1AN =，故DN =在等腰三角形DMN 中，1MN =，可得12cos MNDMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD（Ⅲ）解：连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB，CM =面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面AB D ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，4CD =．在Rt △CMD中，sin CM CDM CD ∠=． 所以，直线CD 与平面ABD． 【考点】异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识 18.【答案】（I ）解：设等比数列{}n b 的公比为q ，由13212b b b ==+，，可得220q q --=.因为0q >，可得2q =，故12n nb -=.所以122112nn n T -==--.设等差数列{}n a 的公差为d .由435b a a =+，可得134a d +=.由5462b a a =+，可得131316,a d += 从而11,1a d ==，故n a n =，所以(1)2n n n S +=. （II ）解：由（I ），知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=+++-=--L L由12()4n n n n S T T T a b ++++=+L 可得11(1)2222n n n n n n ++++--=+， 整理得2340,n n --= 解得1n =-（舍），或4n =.所以n 的值为4. 【考点】等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识19.【答案】（I ）解：设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a=，又由222a b c =+，可得23.a b =由||AB ,从而3,2a b ==.所以，椭圆的方程为22194x y +=. （II ）解：设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,).x y -- 由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =. 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =.由215x x =5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-. 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意. 所以，k 的值为12-.【考点】标准方程和几何性质、直线方程等基础知识，用代数方法研究圆锥曲线的性质，运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力20.【答案】（Ⅰ）解：由已知，可得3()(11))(x f x x x x x +=-=-，故()31f x x '=-，因此(0)0f =，(0)1f '=-，又因为曲线()y f x =在点(0， f (0))处的切线方程为()(0)0(0)f y f x -'-=，故所求切线方程为0x y +=.（Ⅱ）解：由已知可得33222222222222()3 39 3399()()()()().)(f x x t x t x t x t x t x t x t x t t =-+---=---=-+--+故3222363()9x t x t f x =+'--.令()0f x '=，解得2x t =2x t =当x所以函数f (x )的极大值为23((9(f t =-⨯=23(9f t =-⨯=（III ）解：曲线()y f x =与直线2()y x t =---有三个互异的公共点等价于关于x 的方程2222 ()()()()0x t d xt x t d x t -+---+-+有三个互异的实数解，令2u x t =-，可得32()01u d u ++=-.设函数()321()g x x d x =+-+()y f x =与直线2()y x t =---函数()y g x =有三个零点.32()()31g d 'x x =+-.当21d ≤时，()0g'x ≥，这时()g'x 在R 上单调递增，不合题意.当21d >时，()0g'x =，解得1x =，2x =. 易得，g (x )在(−∞，x 1)上单调递增，在[x 1， x 2]上单调递减，在(x 2， +∞)上单调递增，g (x )的极大值1)0(g x g ⎛=> ⎝=.g (x )的极小值32221)9()g g d x -=+=若2()0g x ≥，由g (x )的单调性可知函数()y f x =至多有两个零点，不合题意.若2()0,g x <即322(1)27d->，也就是||d >2||d x >，(||)||0,g d d =+ 且312||,(2||)6||2||0d x g d d d -<-=--+-<，从而由()g x 的单调性，可知函数()y g x =在区间1122(2||,),(,),(,||)d x x x x d -内各有一个零点，符合题意所以d 的取值范围是(,).-∞+∞U【考点】导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，函数思想和分类讨论思想，综合分析问题和解决问题的能力。
2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(天津卷)(附解析)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高.一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，，则A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由并集的定义可得：，结合交集的定义可知：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2. 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的解析式整理计算即可求得最终结果.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3. 设，则“”是“” 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：，，结果为整数，执行，，此时不满足；，结果不为整数，执行，此时不满足；，结果为整数，执行，，此时满足；跳出循环，输出.本题选择B选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．5. 已知，则的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误；本题选择A选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a 的值即可确定双曲线方程. 详解：设双曲线的右焦点坐标为（c >0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A 选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.8. 在如图的平面图形中，已知,则的值为A. B.C.D. 0【答案】C【解析】分析：连结MN ，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2018天津高考文科数学真题答案解析(可编辑)
CN 2 NA ，则 BC OM的值为
（A）-15 答案：C 解析：如图所示建系，
O( 0 , 0 M ), ( 1 ,N 0 ) , ( 1, 3)
（B）-9
（C）-6
（D）0
设 A( xA , yA ), B( xB , yB ), C ( xC , yC )
B M 2 M A
( 1 xB , yB ) 2x( yA , A 1
1 8
1 综上， a Î [ , 2] 8 二、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤. (15)(本小题满分 13 分) 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160,160.现采用分 层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动. (I)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (II)设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽 取 2 名同学承担敬老院的卫生工作. (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； (ii)设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级” ，求事件 M 发生的概
(ii)解：由(I)，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年 级的是 D，E，来自丙年级的是 F，G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名 同学来自同一年级的所有可能结果为 A,B ，A,C ，B ,C ，D ,E ，F ,G ， 共 5 种. 所以，事件 M 发生的概率 P(M ) (16)（本小题满分 13 分）
.
答案：
1 3
解析：连 A1C1 交 B1 D1 于点 O， VA1- BB1D1D =
1 1 2 鬃 A1O S B1BDD1 = 创 (1? 2) 3 3 2
2018年天津市和平区高考数学一模试卷(文科)及参考答案
2018年天津市和平区高考一模数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{ 1，2，3，4，5}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩（∁R B）等于（）A．{2，3，4}B．{1，2，4，5}C．{3}D．{1，3，5}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最大值是（）A．8B．7C．4D．13．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．B．C．D．4．（5分）函数f（x）＝cos x（sin x﹣cos x）+1 的最小正周期和最大值分别为（）A．2π和1B．π和2C．π和D．2π和5．（5分）设x∈R，则“|x+1|≤2”是“﹣2≤x≤3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M．若△FOM的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝，则λ+μ的值为（）A．B．C．2D．8．（5分）若曲线与直线y＝kx﹣1 有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A．（5﹣2，5+2 ）B．（0，5﹣2 ）C．（﹣∞，5﹣2 ）D．（﹣∞，0）∪（0，5﹣2 ）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上. 9．（5分）设i是虚数单位，a为实数，若复数a+是纯虚数，则a＝．10．（5分）直线x﹣y＝1被圆x2+y2﹣2x+4y﹣3＝0截得的弦长为．11．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．12．（5分）已知定义域为（﹣1，1）的奇函数y＝f（x）又是减函数，且f（a﹣1）+f（3﹣a2）＜0，则a的取值范围是．13．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，则y＝的最小值为．14．（5分）已知函数f（x）在R上满足f（﹣x）＝f（x），且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x3+x2，函数g（x）＝|sin（）|，则函数h（x）＝f（x）﹣g （x）在R上的零点个数为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）在△ABC中，角A，B，C为三个内角，已知A＝45°，cos B＝．（Ⅰ）求sin C的值；（Ⅱ）若BC＝10，D为AB的中点，求CD的长及△ABC的面积．16．（13分）某校从参加区高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成6段[80，90），[90，100），…，[130，140）后得到相应的频率分布直方图（如图），观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在[100，110）内的人数；（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[80，100）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[90，100）内的概率．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥平面ABC，AC⊥BC，PB＝2，AB＝2，D为PB的中点，E为AD的中点，点F在线段PC上，且PF＝3FC．（Ⅰ）求证：AC⊥CD；（Ⅱ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅲ）若BC＝，求二面角C﹣AD﹣B的度数．18．（13分）已知数列{a n} 的各项均为正数，其前n项和S n满足S n＝（n∈N*），数列{b n} 是公差为正数的等差数列，且b2＝5，b1，b3，b11成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n} 的通项公式；（Ⅱ）令c n＝，求数列{c n} 的前n项和T n．19．（14分）已知函数f（x）＝ln x﹣ax，x∈（0，e]，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）若x＝1为f（x）的极值点，求f（x）的单调区间和最大值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）的最大值是﹣3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）设g（x）＝，x∈（0，e]，在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）+g（x）+＜0．20．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y＝x+相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若A、B为椭圆C上关于x轴对称的任意两点，P点坐标为（4，0），连接PB交椭圆C于另一点D，求证：直线AD恒过x轴上的定点；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设x轴上的定点为M，若AB过椭圆C的左焦点，求△ABM的面积．2018年天津市和平区高考一模数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A＝{ 1，2，3，4，5}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩（∁R B）等于（）A．{2，3，4}B．{1，2，4，5}C．{3}D．{1，3，5}【解答】解：集合A＝{ 1，2，3，4，5}，B＝{x|2＜x＜4}，∴∁R B＝{x|x≤2或x≥4}，∴A∩（∁R B）＝{1，2，4，5}．故选：B．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最大值是（）A．8B．7C．4D．1【解答】解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图，由z＝x+2y知，y＝﹣x+z，所以动直线y＝﹣x+z的纵截距z取得最大值时目标函数取得最大值．由得A（2，3）．结合可行域可知当动直线经过点A（2，3）时，目标函数取得最大值z＝2+2×3＝8．故选：A．3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i＝1，S＝0，k＝1满足条件i＜5，M＝，k＝3，S＝，i＝2满足条件i＜5，M＝，k＝5，S＝+，i＝3满足条件i＜5，M＝，k＝7，S＝++，i＝4满足条件i＜5，M＝，k＝9，S＝+++，i＝5不满足条件i＜5，退出循环，输出S＝+++＝（1﹣﹣…﹣）＝＝．故选：B．4．（5分）函数f（x）＝cos x（sin x﹣cos x）+1 的最小正周期和最大值分别为（）A．2π和1B．π和2C．π和D．2π和【解答】解：f（x）＝cos x（sin x﹣cos x）+1，＝，＝，所以函数的最小正周期为：T＝π，当sin（2x﹣）＝1时，函数的最大值为：，故选：C．5．（5分）设x∈R，则“|x+1|≤2”是“﹣2≤x≤3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“|x+1|≤2”，解得﹣2≤x+1≤2，化为：﹣3≤x≤1．∴“|x+1|≤2”是“﹣2≤x≤3”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M．若△FOM的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得e＝＝，可得：，设F（c，0），渐近线为y＝x，可得F到渐近线的距离为d＝＝b，由勾股定理可得|OA|＝＝＝a，由题意可得ab＝，又a2+b2＝c2，解得b＝，a＝2，c＝3，可得双曲线的方程为：．故选：C．7．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝，则λ+μ的值为（）A．B．C．2D．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设AB＝1，则D（0，0），C（2，0），A（0，2），B（1，2），E（0，1）．＝（﹣2，2），＝（﹣2，1），＝（1，2），∵＝，∴（﹣2，2）＝λ（﹣2，1）+μ（1，2），∴，解得λ＝，μ＝．则λ+μ＝．故选：B．8．（5分）若曲线与直线y＝kx﹣1 有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A．（5﹣2，5+2 ）B．（0，5﹣2 ）C．（﹣∞，5﹣2 ）D．（﹣∞，0）∪（0，5﹣2 ）【解答】解：作出曲线的图象如图：直线y＝kx﹣1过定点（0，﹣1），当k＝0时，两个函数只有一个交点，不满足条件，当k＜0时，两个函数有2个交点，满足条件，当k＞0时，直线y＝kx﹣1与y＝在x＞1相切时，两个函数只有一个交点，此时＝kx﹣1，即kx2﹣（1+k）x+3＝0，判别式△＝（1+k）2﹣12k＝0，解得k2﹣10k+1＝0，k＝5﹣2或k＝5+2（舍去）综上满足条件的k的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，5﹣2），故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上. 9．（5分）设i是虚数单位，a为实数，若复数a+是纯虚数，则a＝﹣3．【解答】解：a为实数，若复数a+＝a+＝a+3﹣i是纯虚数，则a+3＝0，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．10．（5分）直线x﹣y＝1被圆x2+y2﹣2x+4y﹣3＝0截得的弦长为2．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y﹣3＝0的圆心为（1，﹣2），半径r为2，可得圆心到直线x﹣y﹣1＝0的距离为d＝＝，可得弦长为2＝2＝2，故答案为：2．11．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．【解答】解：根据三视图可知几何体下部是一个高为1，底面半径为1的圆锥．上部是一个高为3的圆柱被一个斜平面所截后的一部分，底面半径是1，∴几何体的体积是×12×π×1+π×12×（1+×2）＝．故答案为：．12．（5分）已知定义域为（﹣1，1）的奇函数y＝f（x）又是减函数，且f（a﹣1）+f（3﹣a2）＜0，则a的取值范围是（，2）．【解答】解：定义域为（﹣1，1）的奇函数y＝f（x）又是减函数，且f（a﹣1）+f（3﹣a2）＜0，可得f（a﹣1）＜﹣f（3﹣a2）＝f（a2﹣3），即有，即为，解得＜a＜2，故答案为：（，2）．13．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，则y＝的最小值为．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b＝m，可知m＞0．∴＝1，∴y＝＝（a+b）（）＝+（）≥＝，当且仅当a＝，b＝时等号成立．则y＝的最小值为故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）在R上满足f（﹣x）＝f（x），且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x3+x2，函数g（x）＝|sin（）|，则函数h（x）＝f（x）﹣g （x）在R上的零点个数为7．【解答】解：函数f（x）在R上满足f（﹣x）＝f（x），且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x3+x2，可得f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，且x＞0时，f（x）递增，g（x）＝|sin（）|的最小正周期为，分别作出函数y＝f（x）和y＝g（x）＝|sin（）|的图象，由图象可得它们有7个交点，则数h（x）＝f（x）﹣g（x）在R上的零点个数为7．故答案为：7．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）在△ABC中，角A，B，C为三个内角，已知A＝45°，cos B＝．（Ⅰ）求sin C的值；（Ⅱ）若BC＝10，D为AB的中点，求CD的长及△ABC的面积．【解答】解：（I）∵cos B＝，B∈（0°，180°），∴sin B＝＝．∴sin C＝sin（B+45°）＝sin B cos45°+cos B sin45°＝．（II）由正弦定理可得，可得b＝6．由（I）可得：cos B＝，∴B＜45°，∴B+A＜90°，∴C＞90°，∴cos C＝﹣＝﹣．由由余弦定理可得：AB2＝（6）2+102﹣2×6×10cos C＝196，解得AB＝14．在△ACD中，CD2＝（6）2+72﹣2××7cos45°＝37，∴CD＝．△ABC的面积S＝16．（13分）某校从参加区高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成6段[80，90），[90，100），…，[130，140）后得到相应的频率分布直方图（如图），观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在[100，110）内的人数；（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[80，100）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[90，100）内的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图知，分数在[100，110）内的频率为0.025×10＝0.25，所求的人数为60×0.25＝15；（Ⅱ）用同一组数据区间的中点值作为代表，计算本次考试的平均分为＝85×0.15+95×0.30+105×0.25+115×0.15+125×0.10+135×0.05＝104；（Ⅲ）用分层抽样方法在分数段为[80，100）的学生中抽取一个容量为6的样本，则[80，90）应抽取6×＝2人，记为A、B，[90，100）应抽取4人，记为c、d、e、f，从这6人中任取2个，基本事件为AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种；至多有1人在分数段[90，100）内的基本事件是AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共9种，故所求的概率是P＝＝．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥平面ABC，AC⊥BC，PB＝2，AB＝2，D为PB的中点，E为AD的中点，点F在线段PC上，且PF＝3FC．（Ⅰ）求证：AC⊥CD；（Ⅱ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅲ）若BC＝，求二面角C﹣AD﹣B的度数．【解答】证明：（Ⅰ）∵PB⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PB⊥AC，∵AC⊥BC，AC∩BC＝C，∴AC⊥平面PBC，∵D为PB的中点，∴CD⊂平面PBC，∴AC⊥CD．（Ⅱ）以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设AC＝a，BC＝b，则A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，0），P（0，b，2），D（0，b，1），E（，，），F（0，，），＝（﹣，﹣，0），平面ABC的法向量＝（0，0，1），∵＝0，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC．解：（Ⅲ）∵BC＝，AC⊥BC，PB＝2，AB＝2，∴AC＝，A（，0，0），B（0，，0），D（0，，1），＝（，0，0），＝（0，，1），＝（0，0，1），＝（，﹣，0），设平面ADC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝，得＝（0，，﹣2），设平面ADB的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，，0），设二面角C﹣AD﹣B的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝60°，∴二面角C﹣AD﹣B的度数为60°．18．（13分）已知数列{a n} 的各项均为正数，其前n项和S n满足S n＝（n∈N*），数列{b n} 是公差为正数的等差数列，且b2＝5，b1，b3，b11成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n} 的通项公式；（Ⅱ）令c n＝，求数列{c n} 的前n项和T n．【解答】解：（I）∵S n＝（n∈N*），∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，∵数列{a n} 的各项均为正数，＝2，∴a n﹣a n﹣1n＝1时，a1＝，解得a1＝3．∴数列{a n} 是等差数列，公差为2，首项为3．∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1．数列{b n} 是公差d为正数的等差数列，且b2＝5，b1，b3，b11成等比数列．∴＝b1b11，即（5+d）2＝（5﹣d）（5+9d），解得d＝3．∴b n＝5+3（n﹣2）＝3n﹣1．（II）c n＝＝＝，∴数列{c n} 的前n项和T n＝+……+＝＝．19．（14分）已知函数f（x）＝ln x﹣ax，x∈（0，e]，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）若x＝1为f（x）的极值点，求f（x）的单调区间和最大值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）的最大值是﹣3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）设g（x）＝，x∈（0，e]，在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）+g（x）+＜0．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）＝ln x﹣ax，x∈（0，e]，∴f′（x）＝，由f′（1）＝0，得a＝1．∴∴x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0，∴f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，e）；f（x）的最大值为f（1）＝﹣1；（Ⅱ）解：∵g（x）＝lnx﹣ax，∴g′（x）＝﹣a＝，由f′（1）＝0，得a＝1．①当a≤0时，f（x）在（0，e]单调递增，得f（x）的最大值是f（3）＝1﹣ae＝﹣3，解得a＝＞0，舍去；②a＞0时，x∈（0，），f′（x）＞0，x∈（，e），f′（x）＜0，∴f（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（，e），∵f（x）在（0，e]上的最大值为﹣3，∴f（x）max＝g（）＝﹣1﹣lna＝﹣3，∴a＝e2．综上：a＝e2．（Ⅲ）证明：∵g（x）＝，x∈（0，e]，g（x）＝，∴x∈（0，e），g′（x）＞0，g（x）在（0，e]，∴g（x）max＝g（e）＝，又f（x）的最大值为f（1）＝﹣1．∴对于区间（0，e]上的任意x，总有f（x）+g（x）+＜﹣1++＜0．20．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y＝x+相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若A、B为椭圆C上关于x轴对称的任意两点，P点坐标为（4，0），连接PB交椭圆C于另一点D，求证：直线AD恒过x轴上的定点；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设x轴上的定点为M，若AB过椭圆C的左焦点，求△ABM的面积．【解答】（Ⅰ）解：由，得，∴，由点到直线的距离公式得b＝，∴a2＝4，b2＝3，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）证明：由题意可知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y＝k（x﹣4），联立，可得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则A（x1，﹣y1），直线AD的方程为，设直线AD与x轴的交点为M，令y＝0，得x＝，将y1＝k（x1﹣4），y2＝k（x2﹣4）代入上式并整理，得，将，代入上式，得x＝1．∴直线AD恒过x轴上的定点M（1，0）；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，M（1，0），依题意，椭圆C的左焦点为（﹣1，0），则A（﹣1，），B（﹣1，﹣），∴△ABM的面积S＝．本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除第21页（共21页）。
2018年天津市和平区耀华中学高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年天津市和平区耀华中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＜0}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）2．（5分）若实数x，y满足，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．2B．4C．10D．123．（5分）数列{a n}中“a n2＝a n﹣1a n+1对任意n≥2且n∈N*都成立”是“{a n}是等比数列”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S＝2.5（单位：升），则输入k的值为（）A．4.5B．6C．7.5D．105．（5分）设双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y＝x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2C．D．6．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时不等式f（x）+xf'（x）＜0成立，若a＝30.3•f（30.3），b＝logπ3•f（logπ3），c＝log3•f（log3），则a，b，c大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 7．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx cos2（）﹣sin2ωx（ω＞0）在区间[]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（）A．（0，]B．[]C．（]D．（）8．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（x）﹣ax恰有三个不同的零点，则a的取值范围是（）A．（，3﹣2）B．（，）C．（﹣∞，3﹣2）D．（3﹣2，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上. 9．（5分）已知实数m，n满足（m+ni）（4﹣2i）＝3i+5，则m+n＝．10．（5分）若曲线y＝kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k＝．11．（5分）过点（2，2）作圆x2﹣2x+y2＝0的切线，则切线方程为．12．（5分）正三棱柱的顶点都在同一个球面上，若球的半径为4，则该三棱柱的体积的最大值为．13．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝AB＝1，F是BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动，E为圆弧DE与AB的交点，若＝，其中λ，μ∈R，则2λ+μ的取值范围是．14．（5分）设a，b为正实数，，（a﹣b）2＝4（ab）3，则log a b＝．三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 15．（13分）已知函数f（x）＝2sin2x﹣2sin2（x﹣），x∈R（Ⅰ）求函数y＝f（x）的对称中心；（Ⅱ）已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b＝3，c＝4，f（）＝，求边a的值16．（13分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c．（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b＝c”的概率；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AC＝BC，AB＝2A1A＝4．以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A1D和DC1．（Ⅰ）求证：A1D∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若二面角A1﹣DC﹣A为45°，①证明：平面A1C1D⊥平面A1AD；②求直线A1A与平面A1C1D所成角的正切值．18．（13分）已知数列{a n}，{b n}，S n是数列{a n}的前n项和，已知对于任意n∈N*，都有3a n＝2S n+3，数列{b n}首项为1的正项等差数列，满足，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝，求数列{c n}的前n项和R n．19．（14分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x（a∈R），函数g（x）＝﹣2x+3．（Ⅰ）判断函数F（x）＝f（x）+ag（x）的单调性；（Ⅱ）若﹣2≤a≤﹣1时，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤t|g （x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．20．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为（，0），且经过点（﹣1，），点M是y轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B 两点（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若＝2，且直线l与圆O：x2+y2＝相切于点N，求|MN|的长．2018年天津市和平区耀华中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＜0}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：由x2﹣x＜0，解得0＜x＜1，可得A＝（0，1）．∵A∩B＝A，∴A⊆B．∴1≤a．∴实数a的取值范围是[1，+∞）．故选：C．2．（5分）若实数x，y满足，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．2B．4C．10D．12【解答】解：画出不等式组表示的可行域，如图所示；由图形知目标函数z＝2x+y在A处取得最大值，由，解得点A（3，4），代入目标函数z＝2x+y得z的最大值为2×3+4＝10．故选：C．3．（5分）数列{a n}中“a n2＝a n﹣1a n+1对任意n≥2且n∈N*都成立”是“{a n}是等比数列”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若{a n}是等比数列，则＝，a n+1对任意n≥2且n∈N*都成立，故a n2＝a n﹣1是必要条件，反之不成立，比如a n＝0时，不是充分条件，故选：A．4．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S＝2.5（单位：升），则输入k的值为（）A．4.5B．6C．7.5D．10【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝1，S＝k，满足条件n＜4，执行循环体，n＝2，S＝k﹣＝，满足条件n＜4，执行循环体，n＝3，S＝﹣＝，满足条件n＜4，执行循环体，n＝4，S＝﹣＝，此时，不满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为，由题意可得：＝2.5，解得：k＝10．故选：D．5．（5分）设双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y＝x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2C．D．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，代入抛物线方程y＝x2+1，得x2x+1＝0，由相切的条件可得，判别式﹣4＝0，即有b＝2a，则c＝＝＝a，则有e＝＝．故选：C．6．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时不等式f（x）+xf'（x）＜0成立，若a＝30.3•f（30.3），b＝logπ3•f（logπ3），c＝log3•f（log3），则a，b，c大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：令h（x）＝xf（x），∵函数y ＝f （x ）以及函数y ＝x 是R 上的奇函数 ∴h （x ）＝xf （x ）是R 上的偶函数，又∵当x ＞0时，h ′（x ）＝f （x ）+xf ′（x ）＜0，∴函数h （x ）在x ∈（0，+∞）时的单调性为单调递减函数； ∴h （x ）在x ∈（﹣∞，0）时的单调性为单调递增函数．若a ＝30.3•f （30.3），，又∵函数y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴f （0）＝0，从而h （0）＝0因为log 3＝﹣2，所以f （log 3）＝f （﹣2）＝﹣f （2）， 由0＜log π3＜1＜30.3＜30.5＜2所以h （log π3）＞h （30.3）＞h （2）＝f （log3）， 即：b ＞a ＞c 故选：A ．7．（5分）已知函数f （x ）＝2sin ωx cos 2（）﹣sin 2ωx （ω＞0）在区间[]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．（0，]B ．[]C ．（]D ．（）【解答】解：∵2cos 2（）＝1+cos （ωx ﹣）＝1+sin ωx ，f （x ）＝sin ωx （1+sin ωx ）﹣sin 2ωx ＝sin ωx ．令ωx ＝+2k π可得x ＝+，∵f （x ）在区间[0，π]上恰好取得一次最大值， ∴0≤≤π，解得ω≥．令﹣+2k π≤ωx ≤+2k π，解得：﹣+≤x ≤+，∵f （x ）在区间[]上是增函数，∴，解得ω≤．综上，．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（x）﹣ax恰有三个不同的零点，则a的取值范围是（）A．（，3﹣2）B．（，）C．（﹣∞，3﹣2）D．（3﹣2，+∞）【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣ax，恰有三个不同的零点，就是函数f（x）与y＝ax有3个交点，也就是函数y＝ax与f（x）＝x2+3x+2，x≤a的图象有2个交点，y＝ax与f（x）＝，x＞a的图象有1个交点，画出函数f（x）与y＝ax的图象如图，函数y＝ax，看做直线斜率为a，由图象可知a，a小于直线与抛物线相切时的斜率，可得，可得x2+（3﹣a）x+2＝0，△＝（3﹣a）2﹣8＝0，解得a＝3﹣2．综上a∈（，3﹣2）．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上.9．（5分）已知实数m，n满足（m+ni）（4﹣2i）＝3i+5，则m+n＝．【解答】解：由（m+ni）（4﹣2i）＝（4m+2n）+（4n﹣2m）i＝3i+5，得，解得m＝，n＝．∴m+n＝+＝．故答案为：10．（5分）若曲线y＝kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k＝﹣1．【解答】解：由题意得，y′＝k+，∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，∴k+1＝0，得k＝﹣1，故答案为：﹣1．11．（5分）过点（2，2）作圆x2﹣2x+y2＝0的切线，则切线方程为3x﹣4y+2＝0或x＝2．【解答】解：由圆的一般方程x2﹣2x+y2＝0可得圆的圆心与半径分别为：（1，0）；1．当切线的斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为：kx﹣y﹣2k+2＝0，由点到直线的距离公式可得：，解得：k＝，所以切线方程为：3x﹣4y+2＝0，当切线与x轴垂直时，可得：x＝2，故答案为：3x﹣4y+2＝0或x＝2．12．（5分）正三棱柱的顶点都在同一个球面上，若球的半径为4，则该三棱柱的体积的最大值为64．【解答】解：设正三棱柱的底面边长为a，则：底面顶点A到底面中心的距离AH＝．则：OH＝，所以：三棱柱的高为：2OH＝，则：V＝，＝，＝由于：a2•a2•（96﹣2a2）＝323，故：，故三棱柱的体积的最大值为64．故答案为：6413．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝AB＝1，F是BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动，E为圆弧DE与AB的交点，若＝，其中λ，μ∈R，则2λ+μ的取值范围是[0，2]．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，0），E（1，0），D（，），B（2，0），C（，），F（，）；设P（cosα，sinα）（0°≤α≤60°），由＝，∴（cosα，sinα）＝λ（﹣，）+μ（，），∴cosα＝﹣λ+…①，sinα＝λ+μ…②，由①②解得λ＝﹣cosα+sinα，μ＝cosα+sinα，∴2λ+μ＝2（﹣cosα+sinα）+（cosα+sinα）＝sinα，α∈[0°，60°]时，sinα∈[0，]，∴sinα∈[0，2]．故答案为：[0，2]．14．（5分）设a，b为正实数，，（a﹣b）2＝4（ab）3，则log a b＝﹣1．【解答】解：由，得．又，即．①于是．②再由不等式①中等号成立的条件，得ab＝1．与②联立解得或故log a b＝﹣1．故答案为：﹣1三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 15．（13分）已知函数f（x）＝2sin2x﹣2sin2（x﹣），x∈R（Ⅰ）求函数y＝f（x）的对称中心；（Ⅱ）已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b＝3，c＝4，f（）＝，求边a的值【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin2x﹣2sin2（x﹣）＝1﹣cos2x﹣[1﹣cos2（x﹣）]＝cos（2x﹣）﹣cos2x＝cos2x+sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），∴令2x﹣＝kπ．k∈Z，解得：x＝kπ+，k∈Z，∴函数y＝f（x）的对称中心是（kπ+，0），k∈Z．（Ⅱ）∵f（+）＝，∴sin（B+）＝，可得sin B+cos B＝，可得a sin B+a cos B＝b+c，∴由正弦定理可得：sin A sin B+sin A cos B＝sin B+sin C，可得sin A sin B＝sin B+cos A sin B，∵sin B＞0，∴sin A﹣cos A＝1，可得sin（A﹣）＝，∵0＜A＜π，可得﹣＜A﹣＜，可得：A﹣＝，可得：A＝，∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝9+16﹣2×3×4×＝13，可得：a＝．16．（13分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c．（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b＝c”的概率；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率．【解答】解：（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3＝27种，而满足a+b＝c的（a，b，c）有（1，1，2）、（1，2，3）、（2，1，3），共计3个，故“抽取的卡片上的数字满足a+b＝c”的概率为＝．（Ⅱ）满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）有：（1，1，1）、（2，2，2）、（3，3，3），共计三个，故“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率为＝，∴“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为1﹣＝．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AC＝BC，AB＝2A1A＝4．以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A1D和DC1．（Ⅰ）求证：A1D∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若二面角A1﹣DC﹣A为45°，①证明：平面A1C1D⊥平面A1AD；②求直线A1A与平面A1C1D所成角的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：连结B1C，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中A1B1∥AB且A1B1＝AB，由平行四边形ABCD得CD∥AB且CD＝AB，∴A1B1∥CD且A1B1＝CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，A1D∥B1C，∵B1C⊂平面BCC1B1，A1D⊄平面BCC1B1，∴A1D∥平面BCC1B1；（Ⅱ）①取CD的中点O，连接AO，A1O，在平行四边形ABCD中BC＝AD，又AC＝BC，所以AD＝AC，O是CD中点，所以AO⊥CD，（1）∵AA1⊥平面ABC，AC、AD⊂平面ABC，∴AA1⊥AD，AA1⊥AC，又AD＝AC，所以A1D＝A1C，O是CD中点，所以A1O⊥CD，（2）由（1）、（2）可知∠A1OA是二面角A﹣DC﹣A1的平面角，即∠A1OA＝45°，所以在Rt△A1AO中AO＝A1A＝2，平行四边形ABCD中AB＝CD＝4，所以在等腰三角形ADC中，所以DA⊥AC．∵AA1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，又A1A⊥AC，A1A∩DA＝A，所以AC⊥平面A1AD，三棱柱ABC﹣A1B1C1中AC∥A1C1，∴A1C1⊥平面A1AD，∵A1C1⊂平面A1C1D，∴平面A1C1D⊥平面AA1D；②过A作AM⊥A1D于M，由于平面A1C1D⊥平面AA1D，及平面A1C1D∩平面A1AD＝A1D，∴AM⊥平面A1C1D，∴A1M是AA1在平面A1C1D上的射影，∠AA1M是AA1与平面A1C1D所成角，在Rt△A 1AD中，，∴．18．（13分）已知数列{a n}，{b n}，S n是数列{a n}的前n项和，已知对于任意n∈N*，都有3a n＝2S n+3，数列{b n}首项为1的正项等差数列，满足，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝，求数列{c n}的前n项和R n．【解答】解：（Ⅰ）由3a n＝2S n+3，得a1＝3，当≥2时，3a n﹣1＝2S n﹣1+3，则3a n﹣3a n﹣1＝2a n，即a n＝3a n﹣1（n≥2）．∴数列{a n}是以3为公比的等比数列，∴．设数列{b n}的公差为d（d＞0），由，，成等比数列，得成等比数列，即，解得d＝2．∴b n＝2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，c n＝＝＝．∴数列{c n}的前n项和R n＝＝．19．（14分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x（a∈R），函数g（x）＝﹣2x+3．（Ⅰ）判断函数F（x）＝f（x）+ag（x）的单调性；（Ⅱ）若﹣2≤a≤﹣1时，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤t|g （x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．【解答】解：（I），其定义域为为（0，+∞），＝．（1）当a≤0时，F'（x）≥0，函数y＝F（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＞0时，令F'（x）＞0，解得；令F'（x）＜0，解得．故函数y＝F（x）在上单调递增，在上单调递减．（II）由题意知t≥0.，当﹣2≤a≤﹣1时，函数y＝f（x）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，又函数y＝g（x）单调递减，所以原问题等价于：当﹣2≤a≤﹣1时，对任意1≤x1≤x2≤2，不等式f（x2）﹣f（x1）≤t[g（x1）﹣g（x2）]恒成立，即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意﹣2≤a≤﹣1，1≤x1≤x2≤2恒成立．记h（x）＝f（x）+tg（x）＝lnx﹣+（1﹣2t）x+3t，则h（x）在[1，2]上单调递减．得对任意a∈[﹣2，﹣1]，x∈[1，2]恒成立．令，a∈[﹣2，﹣1]，则2t≤0在x∈（0，+∞）上恒成立．则2t﹣1≥（2x+）max，而y＝2x+在[1，2]上单调递增，所以函数y＝2x+在[1，2]上的最大值为．由2t﹣1，解得t．故实数t的最小值为．20．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为（，0），且经过点（﹣1，），点M是y轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B 两点（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若＝2，且直线l与圆O：x2+y2＝相切于点N，求|MN|的长．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：，即（a2﹣4）（4a2﹣3）＝0，a2＝3+b2＞3，解得：a2＝4，b2＝1，故椭圆C的方程为+y2＝1；（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设M（0，m），直线l：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），直线l与圆O：x2+y2＝相切，∴＝，即m2＝（k2+1），①，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，由韦达定理得：x1+x2＝﹣，x1x2＝，由＝2，有x1＝﹣2x2，解得x1＝﹣，x2＝，∴﹣＝，化简得﹣＝m2﹣1，②，把②代入①可得：48k4+16k2﹣7＝0，解得k2＝，m2＝，在Rt△OMN中，可得|MN|＝＝，故|MN|的长为。
2018年天津市部分区高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年天津市部分区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，4，5，6}，集合B＝{1，3，4，6}，则集合A∩∁U B＝（）A．{0}B．{2，5}C．{0，1，2，4，6}D．{0，2，3，5}2．（5分）一只蚂蚁在如图所示的长方形ABCD的内部随机爬行，其中AB＝4，BC＝2，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁爬行在以AB为直径的半圆区域内的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．B．C．D．4．（5分）设x∈R，则“|x|＜2”是“x2+3x﹣10＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点在直线x+y﹣2＝0上，则该双曲线的方程为（）A．B．C．x2D．6．（5分）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝6，AC＝9，若E，F为边BC的三等分点，则等于（）A．18B．20C．26D．417．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上对于任意两个不相等的实数x1，x2恒有成立，若实数a满足f （log6a）≥f（﹣1），则a的取值范围是（）A．[]B．[）C．（0，6]D．（﹣∞，6]8．（5分）将函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象．若y＝g（x）的图象关于原点对称，且在[﹣]上不是单调函数，则ω的最小整数值为（）A．9B．11C．17D．25二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若复数是实数，则a的值为．10．（5分）设函数f（x）＝（x+a）lnx，若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y＝0平行，则实数a的值为．11．（5分）已知圆x2+y2+mx﹣3＝0（m＞0）与抛物线x2＝8y的准线相切，则圆的方程是．12．（5分）如图，四棱锥E﹣ABCD的五个顶点都在同一个球的球面上，且EA ⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，EA＝5，则这个球的表面积为．13．（5分）已知正实数a，b满足ab＝a+2，那么2a+b的最小值为．14．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝2x+m （m∈R）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，sin B ＝2sin A，cos C＝．（Ⅰ）求c和sin A的值；（Ⅱ）求cos（2A）的值．16．（13分）某大型企业计划在A、B两市举行新产品推介会，受产品时效性和成本影响，新产品推介会总时间不能超过30天，且在A市时间不少于B市，推介会总费用不超过5万元．在A、B两市举行新产品推介会的费用分别为每天0.2万元和0.1万元，销售纯收益分别为每天3万元和2万元．分别用x，y 表示该企业计划在A、B两市举行新产品推介会的天数．（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）该企业如何分配在A、B两市做新产品推介会的天数，才能使企业获得的销售纯收益最大？最大销售纯收益是多少？17．（13分）如图，四棱锥A﹣DCBE中，DE∥CB，∠DCB＝∠ADE＝90°，CB＝2DE＝2，AD＝CD，二面角C﹣DE﹣A为60°，且AC＝．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求异面直线AB与DE所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CE与平面ADE所成角的正弦值．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2a n＝S n﹣n+1（n∈N*），a1＝．（Ⅰ）证明数列{a n﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（n∈N*），数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜4．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），点M（，）在椭圆C 上，且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（km≠0）与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点N在直线3x+4y＝0上，求△OAB面积的最大值（其中O为坐标原点）．20．（14分）已知函数f（x）＝ax2﹣（2+a）x+1+lnx（a＞0），g（x）＝．（Ⅰ）求g（x）的极值；（Ⅱ）证明：对任意x1∈（0，]均存在x2∈（0，1]，使得f（x1）＜g（x2）成立；（Ⅲ）证明：ln（2×3×4×…×2018）＜2019．2018年天津市部分区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，4，5，6}，集合B＝{1，3，4，6}，则集合A∩∁U B＝（）A．{0}B．{2，5}C．{0，1，2，4，6}D．{0，2，3，5}【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，4，5，6}，集合B＝{1，3，4，6}，∴∁U B＝{0，2，5}，集合A∩∁U B＝{2，5}．故选：B．2．（5分）一只蚂蚁在如图所示的长方形ABCD的内部随机爬行，其中AB＝4，BC＝2，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁爬行在以AB为直径的半圆区域内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵AB＝4，BC＝2，∴S ABCD＝4×2＝8，阴影部分半圆的面积为，∴某时刻该蚂蚁爬行在以AB为直径的半圆区域内的概率是．故选：A．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S＝sin+sin的值，可得S＝sin+sin＝++0＝．故选：B．4．（5分）设x∈R，则“|x|＜2”是“x2+3x﹣10＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x|＜2得﹣2＜x＜2，由x2+3x﹣10＜0得（x﹣2）（x+5）＜0，得﹣5＜x＜2，则“|x|＜2”是“x2+3x﹣10＜0”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点在直线x+y﹣2＝0上，则该双曲线的方程为（）A．B．C．x2D．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点在直线x+y﹣2＝0上，可得c＝2，则a＝1，b＝，则该双曲线的方程为：x2．故选：C．6．（5分）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝6，AC＝9，若E，F为边BC的三等分点，则等于（）A．18B．20C．26D．41【解答】解：如图所示，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝6，AC＝9，且E，F为边BC的三等分点，则＝（+）•（+）＝（+）•（﹣）＝（+﹣）•（﹣+）＝（+）•（+）＝++＝×62+×92+×6×9×cos60°＝41．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上对于任意两个不相等的实数x1，x2恒有成立，若实数a满足f（log6a）≥f（﹣1），则a的取值范围是（）A．[]B．[）C．（0，6]D．（﹣∞，6]【解答】解：根据题意，函数f（x）在区间[0，+∞）上有成立，则函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，又由函数为偶函数，则f（log6a）≥f（﹣1）⇒|log6a|≤1⇒﹣1≤log6a≤1，解可得：≤a≤6；故选：A．8．（5分）将函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象．若y＝g（x）的图象关于原点对称，且在[﹣]上不是单调函数，则ω的最小整数值为（）A．9B．11C．17D．25【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，∴y＝2sin[ω（x﹣）+]＝2sin（ωx+），∴y＝g（x）＝2sin（ωx+），若y＝g（x）的图象关于原点对称，则＝kπ，k∈Z；解得ω＝1﹣8k，k∈Z①；又g（x）在[﹣]上不是单调函数，∴＜×2，得T＜，即＜，∴ω＞9②；由①②知，ω的最小整数值为17．故选：C．二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若复数是实数，则a的值为．【解答】解：∵＝是实数，∴，则a＝﹣．故答案为：．10．（5分）设函数f（x）＝（x+a）lnx，若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y＝0平行，则实数a的值为1．【解答】解：函数f（x）＝（x+a）lnx的导数为f′（x）＝lnx+，可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k＝1+a，由切线与直线2x﹣y＝0平行，可得1+a＝2，解得a＝1，故答案为：1．11．（5分）已知圆x2+y2+mx﹣3＝0（m＞0）与抛物线x2＝8y的准线相切，则圆的方程是x2+y2±2x﹣3＝0．【解答】解：圆x2+y2+mx﹣3＝0（m＞0）转化为（x+）2+y2＝，∵圆x2+y2+mx﹣3＝0（m＞0）与抛物线x2＝8y的准线相切，抛物线x2＝8y的准线为y＝﹣2，∴＝2，解得m＝±2．∴圆x2+y2±2x﹣3＝0．故答案为：x2+y2±2x﹣3＝0．12．（5分）如图，四棱锥E﹣ABCD的五个顶点都在同一个球的球面上，且EA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，EA＝5，则这个球的表面积为50π．【解答】解：由题意可知，ABCD的外接圆的圆心在AC的中点，EA⊥平面ABCD，所以EC的中点是外接球的球心，所以球的半径为：＝．则这个球的表面积为：4＝50π．故答案为：50π．13．（5分）已知正实数a，b满足ab＝a+2，那么2a+b的最小值为5．【解答】解：根据题意，正实数a，b满足ab＝a+2，则b＝1+，则2a+b＝2a+1+＝2a++1≥2（a+）+1≥2×2+1＝5，即2a+b的最小值为5；故答案为：5．14．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝2x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（﹣1，0）．【解答】解：方程f（x）＝2x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解⇔方程f（x）﹣2x＝m（m∈R）恰有三个不相等的实数解令g（x）＝f（x）﹣2x＝．当x≤0时，函数h（x）＝ln（x+1）﹣x，h′（x）＝﹣1＝，可知函数h（x）在（0，+∞）递减，函数g（x）的图象如下，由图可知g（﹣1）＜m＜0，∴﹣1＜m＜0，故答案为：（﹣1，0）．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，sin B ＝2sin A，cos C＝．（Ⅰ）求c和sin A的值；（Ⅱ）求cos（2A）的值．【解答】解：（Ⅰ）由a＝3，sin B＝2sin A，得b＝2a＝6，又cos C＝，∴＝36．∴c＝6．由cos C＝，得sin C＝，由正弦定理可得：，即，得sin A＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，sin A＝，∵a＜c，∴cos A＝．则sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝．∴cos（2A）＝cos2A cos﹣sin2A sin＝．16．（13分）某大型企业计划在A、B两市举行新产品推介会，受产品时效性和成本影响，新产品推介会总时间不能超过30天，且在A市时间不少于B市，推介会总费用不超过5万元．在A、B两市举行新产品推介会的费用分别为每天0.2万元和0.1万元，销售纯收益分别为每天3万元和2万元．分别用x，y表示该企业计划在A、B两市举行新产品推介会的天数．（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）该企业如何分配在A、B两市做新产品推介会的天数，才能使企业获得的销售纯收益最大？最大销售纯收益是多少？【解答】解：（Ⅰ）根据题意知，x，y满足的条件为，目标函数是z＝3x+2y，画出不等式组表示的平面区域，如图所示；（Ⅱ）根据图形知，当目标函数过点M时，z取得最大值；由，解得M（20，10），即企业在A市推销20天，B市推销10天，才能使企业获得的销售纯收益最大，且最大销售纯收益是z＝3×20+2×10＝80（万元）．17．（13分）如图，四棱锥A﹣DCBE中，DE∥CB，∠DCB＝∠ADE＝90°，CB＝2DE＝2，AD＝CD，二面角C﹣DE﹣A为60°，且AC＝．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求异面直线AB与DE所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CE与平面ADE所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥A﹣DCBE中，DE∥CB，∠DCB＝∠ADE＝90°，∴BC⊥DC，AD⊥DE，∴BC⊥AD，∵DC∩AD＝D，∴BC⊥平面ACD．解：（Ⅱ）∵BC⊥平面ACD，DE∥CB，∴DE⊥平面ACD，∠ABC是异面直线AB与DE所成角（或所成角的补角），∵BC⊥平面ACD，∴∠ACB＝90°，∵AC＝，BC＝2，∴AB＝＝，∴cos∠ABC＝＝＝，∴异面直线AB与DE所成角的余弦值为．（Ⅲ）∵DE⊥平面ADC，二面角C﹣DE﹣A为60°，∴∠ADC＝60°，∵CB＝2DE＝2，AD＝CD，二面角C﹣DE﹣A为60°，且AC＝．∴△ADC是边长为的等边三角形，取CD中点O，以O为原点，OC为x轴，过O作DE平行线为y轴，OA为z 轴，建立空间直角坐标系，C（，0，0），E（﹣，1，0），D（﹣，0，0），A（0，0，），＝（0，1，0），＝（，0，），＝（，﹣1，0），设平面ADE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，0，﹣1），设直线CE与平面ADE所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线CE与平面ADE所成角的正弦值为．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2a n＝S n﹣n+1（n∈N*），a1＝．（Ⅰ）证明数列{a n﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（n∈N*），数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜4．【解答】证明：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n，且2a n＝S n﹣n+1①（n∈N*），则：2a n﹣1＝S n﹣1﹣n+1+1②，①﹣②得：a n＝2a n﹣1﹣1，整理得：a n﹣1＝2（a n﹣1﹣1），所以：＝2（常数），所以：数列{a n﹣1}是等比数列，则：a n﹣1＝，由于：a1＝．则：，证明：（Ⅱ）由于：，由于：＝＝则：T n＝①，＝②①﹣②得：，解得：T n＝4（1﹣）﹣＜4．故不等式成立．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），点M（，）在椭圆C 上，且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（km≠0）与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点N在直线3x+4y＝0上，求△OAB面积的最大值（其中O为坐标原点）．【解答】解：（I）由题意可得：+＝1，＝，a2＝b2+c2，联立解得：a＝2，b2＝3，c＝1．∴椭圆C的方程为：+＝1．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点N（x0，y0）．联立，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，△＝64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0．（*）∴x1+x2＝﹣，x1x2＝．∴x0＝，y0＝kx0+m＝．∵线段AB的中点N在直线3x+4y＝0上，∴+＝0，km≠0，化为：k＝1．∴7﹣m2＞0．∴|AB|＝＝＝．点O到AB的距离d＝．＝d|AB|＝×＝∴S△AOB≤＝．当且仅当m2＝时取等号．∴△OAB面积的最大值为．20．（14分）已知函数f（x）＝ax2﹣（2+a）x+1+lnx（a＞0），g（x）＝．（Ⅰ）求g（x）的极值；（Ⅱ）证明：对任意x1∈（0，]均存在x2∈（0，1]，使得f（x1）＜g（x2）成立；（Ⅲ）证明：ln（2×3×4×…×2018）＜2019．【解答】解：（Ⅰ）g（x）＝的导数为g′（x）＝，当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增，当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）递减，可得g（x）在x＝e处取得极大值，且为，无极小值；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得g（x）在（0，1]递增，即有g（x）的最大值为g（1）＝0；即证ax2﹣（2+a）x+1+lnx（a＞0）＜0，即为a（x2﹣x）＜2x﹣1﹣lnx，由a＞0，0＜x≤，可得a（x2﹣x）＜0，由y＝2x﹣1﹣lnx的导数为y′＝2﹣＜0在（0，]恒成立，即有函数y递减，可得最小值为﹣ln＝ln2＞0，则a（x2﹣x）＜2x﹣1﹣lnx恒成立，可得对任意x1∈（0，]均存在x2∈（0，1]，使得f（x1）＜g（x2）成立；（Ⅲ）证明：由函数y＝lnx﹣x+1的导数为y′＝﹣1，可得x＞1时，函数y递减；0＜x＜1时，函数y递增，可得x＝1处函数y取得极大值，且为最大值0，即有lnx≤x﹣1，可得ln2≤1，ln3≤2，ln4≤3，…，ln2018≤2017，即有ln2+ln3+…+ln2018≤1+2+…+2017＝×2017×2018＝2017×1009＜2019×1009，可得ln（2×3×4×…×2018）＜2019×1009，即为ln（2×3×4×…×2018）＜2019．。
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2018年天津市高考文科数学 第一次模拟试题及答案（ 满分150分，时长120分钟）说明：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。
第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，将答案写在答题纸上，在本试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分。
在每小题所给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的1．若p ：|x|＝x ，q ：x 2＋x≥0.则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知复数a ＋3i1－2i是纯虚数，则实数a ＝( )A ．6B ．4C ．－2D ．－6 3．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8π＋8B ．8π＋16C ．16π－8D ．8π－165．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出k 的值是6，则满足条件的整数S 0的个数有 ( )A ．28B ．32C ．42D ．726．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ·EM的取值范围是( )A ． []0，1B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，27．(2015·成都外国语学校月考)已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A. 35 B ．－35 C. 45 D ．－458．在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面点集中随机取一点M(x 0，y 0)，设事件A 为“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是( )A. 14B. 13C. 23D. 349．设S n 为等差数列的前n 项和，公差d ＝－2，若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24 10．10．下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行11．(2015·温州十校联考)已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝12 B ．x 2＋(y －1)2＝16C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝3D ． x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝412. 设函数f(x)＝x 2－23x ＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝( )A ．0B ．38C ．56D ． 112第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分。
请将正确答案填写在横线上 13．已知集合A ＝{x|3≤x<7}，B ＝{x|2<x<10}，则(A ∪B)＝________________.14．函数y ＝lg(sin 2x)＋9－x 2的定义域为________．15．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2 014积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为________．16．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．三、解答题：本大题共8小题，共70分。
17-21为必做题，22-24为选做题。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知(b －2a)cos C ＋ccos B ＝0. (1)求C ；(2)若c ＝7，b ＝3a ，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）如图，ABCD 与ADEF 均为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．(1)求证：BE ∥平面DMF ； (2)求证：平面BDE ∥平面MNG.19．（本小题满分12分）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如下：(1)试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系(只需写出结果)；(2)试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率； (3)分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22，右焦点为F 2.设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求2F P ·2F Q的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x ＋1e (e 为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)＜φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．选修4-1：几何证明选讲 22. （本小题满分10分）如图，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC.过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E.若AB ＝AD ＝5，BE ＝4，求弦BD 的长．选修4-4：坐标系与参数方程 23．（本小题满分10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2acos θ(a ＞0)，过点P(－2，－4)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a 的值．选修4-5：不等式选讲 24．（本小题满分10分）已知f(x)＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f(x)<4的解集为M. (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b|<|4＋ab|.参考答案：一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分。
在每小题所给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的1、A2、A3、C4、D5、B6、C7、D8、D9、B 10、 C 11、D 12、D二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分。
请将正确答案填写在横线上 13、{x|x≤2或x ≥10} 14、⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 15、1 006或1 007 16、12三、解答题：本大题共8小题，共70分。
17-21为必做题，22-24为选做题。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、解：(1)由已知及正弦定理得：(sin B －2sin A)cos C ＋sin Ccos B ＝0，sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Acos C ，sin(B ＋C)＝2sin Acos C ，∴sin A ＝2sin Acos C. 又sin A≠0，得cos C ＝12.又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝7，b ＝3a ，解得a ＝1，b ＝3.故△ABC 的面积S ＝12absin C ＝12×1×3×32＝334.18、证明：(1)连接AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO ， 又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF.(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ，又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG. 又M 为AB 的中点，所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN ， 又MN ⊂平面MNG ，BD ⊄平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG ，又DE ，BD ⊂平面BDE ，DE∩BD＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG.19、解：(1)甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差．(2)根据题中的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35，则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为35.(3)设事件A“从题中甲城市和乙城市的统计数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同”，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：(29,43)，(29,41)，(29,55)，(29,58)，(29,78)，(53,43)，(53,41)，(53,55)，(53,58)，(53,78)，(57,43)，(57,41)，(57,55)，(57,58)，(57,78)，(75,43)，(75,41)，(75,55)，(75,58)，(75,78)，(106,43)，(106,41)，(106,55)，(106,58)，(106,78)．其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78.则空气质量等级相同的为：(29,41)，(29,43)，(53,55)，(53,58)，(53,78)，(57,55)，(57,58)，(57,78)，(75,55)，(75,58)，(75,78)，共11个结果．由古典概型可得P(A)＝1125.所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125.20、解：(1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1.因为椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，所以1a 2＋12b 2＝1. 故a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－12，此时P(－ 2 ，0)，Q(2，0)，又F 2(1,0)，得2F P ·2F Q＝－1.当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k(k≠0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m (m≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝2m.由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，则－1＋4mk ＝0，故k ＝14m .此时，直线PQ 斜率为k 1＝－4m ，PQ 的直线方程为y －m ＝－4m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12. 即y ＝－4mx －m.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x 22＋y 2＝1整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0. 设P(x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)，所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是2F P ·2F Q＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m)(4mx 4＋m) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1＝ 4m 2－1 －16m 232m 2＋1＋ 1＋16m 22m 2－2 32m 2＋1＋m 2＋1 ＝19m 2－132m 2＋1. 由于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m 在椭圆的内部，故0<m 2<78.令t ＝32m 2＋1,1<t<29，则2F P ·2F Q ＝1932－5132t.又1<t<29，所以－1<2F P ·2F Q <125232.综上，2F P ·2F Q 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，125232.21、解：(1)∵函数的定义域为R ，f′(x)＝－xex ，∴当x ＜0时，f′(x)＞0，当x ＞0时，f′(x)＜0， ∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减． (2)假设存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)＜φ(x 2)成立， 则2[φ(x)]min ＜[φ(x)]max .∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e －x＝x 2＋ 1－t x＋1ex， ∴φ′(x)＝－x 2＋ 1＋t x－t e x ＝－ x－t x－1e x. ①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减， ∴2φ(1)＜φ(0)，即t ＞3－e2＞1.②当t≤0时，φ′(x)＞0，φ(x)在[0,1]上单调递增， ∴2φ(0)＜φ(1)，即t ＜3－2e ＜0.③当0＜t ＜1时，若x ∈[0，t)，φ′(x)＜0，φ(x)在[0，t)上单调递减； 若x ∈(t,1]，φ′(x)＞0，φ(x)在(t,1]上单调递增， 所以2φ(t)＜max{φ(0)，φ(1)}，即2·t ＋1e t ＜max⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3－t e ，(*) 由(1)知，g(t)＝2·t ＋1et 在[0,1]上单调递减，故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e，所以不等式(*)无解． 综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3－e 2，＋∞，使得命题成立．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22、解：因为在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC ，所以AD ＝BC ，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠ABE ＝∠BCD.所以∠BAD ＋∠ABE ＝180°. 又因为AE 为圆的切线，所以AE 2＝BE·EC＝4×9＝36，故AE ＝6. 在△ABE 中，由余弦定理得 cos ∠ABE ＝AB 2＋BE 2－AE 22AB·BE ＝18，cos ∠BAD ＝cos(180°－∠ABE)＝－cos ∠ABE ＝－18，在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB·AD·cos∠BAD ＝ 2254，所以BD ＝152.23、解：(1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2acos θ，得y 2＝2ax(a ＞0)， ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y 2＝2ax(a ＞0)，x －y －2＝0. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)代入y 2＝2ax ，整理得t 2－22(4＋a)t ＋8(4＋a)＝0. 设t 1，t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a)，t 1·t 2＝8(4＋a)， ∵|MN|2＝|PM|·|PN|，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2， ∴8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)，∴a ＝1.11 24、解：(1)f(x)＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x<－1，2，－1≤x≤1，2x ，x>1，当x<－1时，由－2x<4，得－2<x<－1；当－1≤x≤1时，f(x)＝2<4，∴－1≤x≤1；当x>1时，由2x<4，得1<x<2，∴M ＝(－2,2)．(2)证明：a ，b ∈M 即－2<a<2，－2<b<2. ∵4(a ＋b)2－(4＋ab)2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)·(4－b 2)<0， ∴4(a ＋b)2<(4＋ab)2，∴2|a ＋b|<|4＋ab|.。