山东省2015届高三冲刺模拟(一)数学(文)试题(无答案)

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山东省2015届高考模拟试题数学(文)试题 Word版含答案

山东省2015届高考模拟试题数学（文）试题20140410第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知集合{}{}R x y y N x x x M x ∈==≥=,2,2,则MN = （）A ．）（1,0 B ．]1,0[ C ．)1,0[D ．]1,0(2．已知复数(1i)(12i)z =-+，其中i 为虚数单位，则z 的实部为A ．3-B ．1C ．1-D ．3 3．下列命题中的真命题是（）A ．对于实数a 、b 、c ，若a b >，则22ac bc >B ．x 2＞1是x ＞1的充分而不必要条件C ．,R αβ∃∈ ，使得sin()sin sin αβαβ+=+成立D ．,R αβ∀∈，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅成立4．已知圆22:68210C x y x y ++++=，抛物线28y x =的准线为，设抛物线上任意一点P 到直线的距离为m ，则||PC m +的最小值为A ．5B ．41C ．41-2D ．45．在A ，B 两个袋中都有6张分别写有数字0，1，2，3，4， 5的卡片，现从每个袋中任取一张卡片，则两张卡片上数字之和为7的概率为A ．19B ．118C ．16 D ．136．下图是计算10181614121++++值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A ．5≥kB ．5<kC ．5>kD ．6≤k7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201312014a a a -<<-，则必定有A ．201320140,0S S ><且B ．201320140,0S S <>且C ．201320140,0a a ><且D ．201320140,0a a <>且8．已知O,A,M,B 为平面上四点，且(1)OM OB OA λλ=+-，实数(1,2)λ∈，则A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．O,A,M,B 一定共线9．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中120,1A b ==，且ABC ∆,则sin sin a bA B+=+ABC ．D ．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则椭圆C 的离心率e =A ．57B ．54C ．74D ．65第Ⅱ卷非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置） 11．复数4+3i 1+2i的虚部是__ ___．12．函数1()1f x x x =+-(1)x >的最小值为__ ___． 13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__ ___．14．在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在凸四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在凸五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，…，依此类推，在凸n 边形n A A A 21中，不等式12111nA A A +++≥__ ___成立．15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A ．（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为,1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （为参数），圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）, 则圆心C 到直线的距离为_________．B ．（几何证明选讲）如图，直线PC 与圆O 相切于点C ，割线经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =,则CE =_________．C ．（不等式选讲）若存在实数x 使12x m x -++≤成立，则实数m 的取值范围是_________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=672sin cos 22πx x x f ．（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值时x 的取值集合；（Ⅱ）已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3(),2f A = 2.b c +=求实数a 的最小值．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，211,(1),1,2,.2n n a S n a n n n ==--=（Ⅰ）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n S nn 1是等差数列，并求n S ；（Ⅱ）设233nn S b nn +=，求证：125.12n b b b +++<18．（本小题满分12分）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA 1=4，点D 在棱AB 上．（Ⅰ）求证：AC ⊥B 1C ；（Ⅱ）若D 是AB 中点，求证：AC 1∥平面B 1CD ．19．（本小题满分12分）已知关于x 的一元二次函数.14)(2+-=bx ax x f（Ⅰ）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数)(x f y =在区间[),1+∞上是增函数的概率；（Ⅱ）设点（a ，b ）是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+008y x y x 内的随机点，求函数),1[)(+∞=在区间x f y 上是增函数的概率． 20．（本小题满分13分）已知函数x a x x f ln )1()(--=(0)x >．（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间和极值；（Ⅱ）若0)(≥x f 对),1[+∞∈x 上恒成立，求实数a 的取值范围． 21．（本小题满分14分）如下图所示，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(5，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 的取值范围．山东省2015届高考模拟试题数学（文）参考答案20140410一、选择题：二、填空题:11．-1； 12．3； 13．23； 14．; 15．A ； B ．512； C ．[3,1]-．三、解答题∴函数)(x f 的最大值为2．要使)(x f 取最大值，则sin(2)1,6x π+=22()62x k k Z πππ∴+=+∈ ，解得,6x k k Z ππ=+∈．故x 的取值集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． ………6分（Ⅱ）由题意，3()sin(2)162f A A π=++=，化简得 1sin(2).62A π+=()π,0∈A ，132(,)666A πππ∴+∈，∴5266A ππ+=， ∴.3π=A在ABC ∆中，根据余弦定理，得bc c b bc c b a 3)(3cos 22222-+=-+=π．由2=+c b ，知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a ． ∴当1==c b 时，实数a 取最小值.1 ………12分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：由)1(2--=n n a n S n n 知，当2≥n 时：)1()(12---=-n n S S n S n n n ，即)1()1(122-=---n n S n S n n n ，∴1111=--+-n n S n nS n n ，对2≥n 成立．又⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∴=+n S n n S 1,11111是首项为1，公差为1的等差数列． 1)1(11⋅-+=+n S n n n ，∴12+=n n S n ． ………6分（Ⅱ）)3111(21)3)(1(1323+-+=++=+=n n n n n n S b n n ，………8分∴)311121151314121(2121+-+++-+⋯+-+-=+⋯⋯++n n n n b b b n =125)312165(21<+-+-n n ．………12分 18．（本小题满分12分）解: （Ⅰ）证明：在△ABC 中，因为 AB=5，AC=4，BC=3，所以 AC 2+ BC 2= AB 2，所以 AC ⊥BC ．因为直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，所以 C C 1⊥AC ，因为 BC ∩AC =C ，所以 AC ⊥平面B B 1C 1C ．所以 AC ⊥B 1C ． ……… 6分（Ⅱ）连结BC 1，交B 1C 于E ，连接DE ．因为直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，D 是AB 中点，所以侧面B B 1C 1C 为矩形， DE 为△ABC 1的中位线，所以DE// AC 1．因为 DE ⊂平面B 1CD ，AC 1⊄平面B 1CD ，所以 AC 1∥平面B 1CD ．……… 12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵函数14)(2+-=bx ax x f 的图象的对称轴为,2abx =要使14)(2+-=bx ax x f 在区间),1[+∞上为增函数，当且仅当a >0且a b ab ≤≤2,12即，若a =1则b =－1；若a =2则b =－1，1；若a =3则b =－1，1； ∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5， ∴所求事件的概率为51153=． ………6分（Ⅱ）由（1）知当且仅当a b ≤2且a >0时，函数),1[14)(2+∞+-=在区是间bx ax x f 上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008|),(b a b a b a ，构成所求事件的区域为三角形部分．由),38,316(208得交点坐标为⎪⎩⎪⎨⎧==-+ab b a ∴所求事件的概率为31882138821=⨯⨯⨯⨯=P ．………12分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）xa x xa x f -=-=1)(')0(>x ,当0≤a 时，0)('>x f ，在),0(+∞上增,无极值；当0>a 时，a x xax x f ==-=得由,0)('， )(x f 在),0(a 上减，在),(+∞a 上增, )(x f 有极小值a a a a f ln )1()(--=，无极大值; ……… 6分（Ⅱ）xax x a x f -=-=1)('，当1≤a 时，0)('≥x f 在),1[+∞上恒成立，则)(x f 是单调递增的，则只需0)1()(=≥f x f 恒成立，所以1≤a ,当1>a 时，)(x f 在上),1(a 减，在),(+∞a 上单调递增，所以当),1(a x ∈时，0)1()(=≤f x f 这与0)(≥x f 恒成立矛盾，故不成立,综上：1≤a ．……… 13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，M 是线段AP 的中点，因为A （-1，0），P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛534,59，所以点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛532,52 由点M 在椭圆C 上，所以,12512254=+m ，解得74=m （II ）解：设M ()11-,1,020200<<-+x myx y x 且，则① 因为M 是线段AP 的中点，所以P ()002,12y x + 因为OP ⊥OM ，所以()02122000=++y x x ②由①②，消去0y ，整理得22220020-+=x x x m所以()4321826221100-≤-++++=x x m。

2015届高三一诊模拟数学(文)试题及答案

2015 届高三一诊模拟数学（文）试题
一 .选择题 (共 10 小题 ,每小题 5 分 ,满分 50 分 )
1.已知集合 A { x || x 1| 2} , B { x | log 2 x 2} ,则 A B (
A. ( 1,4)
B. ( 1,3)
C. (0,3)
a 3i
2.若复数
(a
1 2i
A. 6
,对其加工的零件进行检测 ,若两人
加工的合格零件个数之和大于 17 ,则称该车间“质量合格” ,求该车间“质量合格”的概率 .[来源:]
(注 :方差
s2=
1 [(
x1
x)2
( x2
x) 2
n
(xn x)2] ，其中 x 为数据 x1, x2 , , xn 的平均数 ).
19.(本小题满分 12 分 )
6
x02 ,
∴方程①为 x2 2 x0 x x02 0 ,即
0 ,∴直线 l 与椭圆 C 有唯一的公共点 .
(ⅱ )∵ F ( 2,0) ,∴过点 F 且与 l 垂直的直线方程为 3 y0 y x0x 6 0 .
∵联立方程组
x
3y0 y x0x 6 0
,∴
x0 x 3y0 y 6 0
y
6x0 18 y02 x0 2 9 y02
③ x2 f ( x1) x1 f ( x2 ) ；
④当 ln x1 1时 , x1 f ( x1) x2 f ( x2 ) 2x2 f (x1) .
其中所有正确命题的序号为
.
三 .解答题 (本大题共 6 小题 ,共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )
16.(本小题满分 12 分 )
l ,垂足为 A , | PF | 4,则直线 AF 的倾斜角等于 ( )

2015济南一模山东省济南市2015届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案

2015年高考模拟考试(山东卷)数学(文科)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2230,1,1,3,M x x x N M N =+-==-⋃=则A.{}1,3-B.{}1,1,3-C.{}1,1,3,3--D.{}1,1,3--2.已知复数z 满足()1i z i -=（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数y = A.[)1,+∞B.()1,+∞C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭4.“1cos 2α=”是“3πα=”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知,,a b c R ∈，那么下列命题中正确的是A.若a b <，则22ac bc < B.若0,0a b c >><，则c c a b< C.若a b >，则()()22a cbc +>+ D.若0ab >，则2a bb a+≥ 6.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.9 B.16 C.25 D.367.已知,x y 满足约束条件13223x x y z x y x y ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪-≤⎩，若的最大值和最小值分别为,a b ，则a b +=A.7B.6C.5D.48.已知函数()y f x =是R上的偶函数，当()12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦.设()21ln ,ln ,a b c ππ===A.()()()f a f b f c >>B. ()()()f b f a f c >>C. ()()()f c f a f b >>D. ()()()f c f b f a >>9. 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是C.2D.510.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数()0f x x ωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的有A.1个B.2个C.3个D.4个第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[)50,70中的学生人数是_________.12.已知ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，若sin :sin :sin 1:A B C =C=__________.13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为3π的扇形，则该几何体的体积为__________. 14.设,,a b c r r r是单位向量，且()()0a b a c b c ⋅=-⋅-r r r r r r ，则的最大值为________.15.已知P 是直线34100x y +-=上的动点，PA ，PB 是圆222440x y x y +-++=的两条切线，A,B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）设函数()22sin f x x x ωω=+（其中0ω>），且()f x 的最小正周期为2π. （I ）求ω的值；（II ）将函数()y f x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调增区间.17. （本小题满分12分）某在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏.已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n 个.若参赛者从箱子中随机摸取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为14. （I ）求n 的值；（II ）从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为a ，第二次摸取的小灯笼的标号为b.记“4a b +≥”为事件A ，求事件A 的概率.18. （本小题满分12分）如图，平面PBA ⊥平面ABCD ，90,,DAB PB AB BF PA ∠==⊥o ，点E 在线段AD 上移动. （I ）当点E 为AD 的中点时，求证：EF//平面PBD ；（II ）求证：无论点E 在线段AD 的何处，总有PE BF ⊥.19. （本小题满分12分）数列{}n a 满足()111,2n n a a a n N *+==∈，n S 为其前n 项和.数列{}n b 为等差数列，且满足1143,b a b S ==.（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（II ）设2221log n n n c b a +=⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.20. （本小题满分13分）已知函数()()0xf x e ax a a R a =+-∈≠且.（I ）若函数()0f x x =在处取得极值，求实数a 的值；并求此时()[]21f x -在，上的最大值；（II ）若函数()f x 不存在零点，求实数a 的取值范围.21. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）椭圆C 的右焦点为F ，过F 点的两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线2l 与直线4x =交于T 点. （i ）求证：线段PQ 的中点在直线OT 上；（ii ）求TFPQ的取值范围.2015年3月济南市高三模拟考试文科数学参考答案一、选择题CBABD BACDC二、填空题11.25 12.3π13. 2π 14. 1 三、解答题16. 解：（Ⅰ）()sin 2f x x x ωω+=2sin(2)3x πω+……………………4分∴2=22ππω，即12ω= ……………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x =2sin()3x π+,将函数)(x f y =的图象各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，即()g x =2sin(2)3x π+ ……………………8分由22+2232k x k πππππ-≤+≤，k Z ∈得：51212k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈，……………………10分 ∴()g x 的单调递增区间是：5[,]1212k k ππππ-++,k Z ∈ …………12分17. 解：（Ⅰ）由题意，1124n n =++，1n ∴=……………………4分（2）记标号为2的小灯笼为1a ,2a ；连续．．摸取2个小灯笼的所有基本事件为:（1, 1a ）,（1, 2a ）,(1,3),（1a ,1）,（2a ,1）,(3,1),（1a ,2a ）, (1a ,3）,（2a ,1a ）, （3, 1a ）,（2a ,3）,（3, 2a ）共12个基本事件. ……………………8分A 包含的基本事件为: (1,3), (3,1),（1a ,2a ），（2a ,1a ），(1a ,3），（3, 1a ）, （2a ,3）,（3, 2a ）……………………10分8()12P A ∴=23= ……………………12分 18. （Ⅰ）证明：在三角形PBA 中，,PB AB BF PA =⊥，所以F 是PA 的中点，连接EF ， ………………………………2分在PDA ∆中，点,E F 分别是边,AD PA 的中点，所以//EF PD …………………………………4分又EF PBD ⊄平面，PD PBD ⊂平面所以EF //平面PBD .……………………………6分（Ⅱ）因为平面PBA ⊥平面ABCD ，平面PBA平面ABCD AB =, 90DAB ∠=，DA AB ⊥ ,DA ABCD ⊂平面所以DA ⊥平面PBA …………………… 8分又BF PBA ⊂平面 ,所以DA BF ⊥,又BF PA ⊥，PADA A =,,PA DA PDA ⊂平面,所以BF PDA ⊥面 ……………………………………10分又PE PDA ⊂平面所以BF PE ⊥所以无论点E 在线段AD 的何处，总有PE ⊥BF . …………………………12分19. 解：（Ⅰ）由题意，{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11121--⋅=⋅=∴n n n q a a . ∴12n n a -=，21n n S =-， …………………3分设等差数列{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d = ∴1(1)221n b n n =+-⨯=-. …………………6分（II ）∵212222log =log 221n n a n ++=+， ∴22211111()log (21)(21)22121n n n c b a n n n n +===-⋅-+-+,…………………7分∴11111111(1...)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++ . …………………9分∵*N n ∈,∴11112212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ …………………10分当2n ≥时，()()111021212121n n n n T T n n n n ---=-=>+-+- ∴数列{}n T 是一个递增数列， ∴113n T T ≥=. 综上所述，1132n T ≤<. …………………12分20. 解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为R ，a e x f x +=)('，…………………1分0)0(0'=+=a e f ，1-=∴a .…………………2分∴'()1x f x e =-∵在)0,(-∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在),0(+∞上)(,0)('x f x f >单调递增， ∴0=x 时)(x f 取极小值.1-=∴a . …………………3分易知)(x f 在)0,2[-上单调递减，在]1,0(上)(x f 单调递增；且;31)2(2+=-e f ;)1(e f =)1()2(f f >-.…………………4分当2-=x 时，)(x f 在]1,2[-的最大值为.312+e…………………5分（Ⅱ）a e x f x +=)('，由于0>xe .①当0>a 时，)(,0)('x f x f >是增函数，…………………7分且当1>x 时，0)1()(>-+=x a e x f x .…………………8分当0<x 时，取a x 1-=，则0)11(1)1(<-=--+<-a aa a f ，所以函数)(x f 存在零点，不满足题意.…………9分②当0<a 时，)ln(,0)('a x a e x f x-==+=.在))ln(,(a --∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在)),(ln(+∞-a 上)(,0)('x f x f >单调递增，所以)ln(a x -=时)(x f 取最小值.………………11分函数)(x f 不存在零点，等价于0)ln(2)ln())(ln()ln(>-+-=--+=--a a a a a a e a f a ，解得02<<-a e .综上所述：所求的实数a 的取值范围是02<<-a e .………………13分21. 解：（Ⅰ）由题意1222c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………1分解得3,1,2===b c a ,………………3分所求椭圆C 的标准方程为13422=+y x ；………………4分（Ⅱ）解法一：（i ）设:1PQ l x my =+，221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，化简得096)43(22=-++my y m . 09)43(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则436221+-=+m m y y ，439221+-=m y y ，……………6分 43322210+-=+=m m y y y ，4341200+=+=m my x ，即2243(,)3434mG m m -++，……………7分 4344343322m m m m k OG-=+⋅+-=，设)1(:--=x m y l FT ，得T 点坐标（m 3,4-），43mk OT -=，所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0=m 时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分当0m ≠时，13)3()14(||222+=-+-=m m TF ，||11||122y y k PQ PQ-+==-+⋅+=2122124)(1y y y y m 4394)436(12222+-⋅-+-⋅+m m m m 4311222++⋅=m m .……………11分)1113(411243113||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF令12+=m t .则)1)(13(41||||>+⋅=t tt PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t t t t g则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分所以1)1()(=>g t g .所以||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分解法二：（i ）设T 点的坐标为),4(m ，当0=m 时，PQ 的中点为F ，符合题意. ……………5分当0m ≠时，m k m k PQ FT 3,3-==. 3:(1)PQ l y x m -=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+)1(313422x m y y x ，消去x 化简得22(12)6270m y my +--=. 027)12(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则126221+=+m m y y .1227221+-=m y y ，……………6分 12322210+=+=m m y y y ，121231200+=-=m my x ，即)123,1212(22++m mm G ，……………7分 4121212322mm m m k OG=+⋅+=，又4m k OT = .所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分(ii) 当0m = 时，632PQ == , 413TF =-=,1TF PQ= ……………10分当0m ≠时，9)14(||222+=+-=m m TF ，||11||12y y k PQ PQ-+=.=-+⋅+=2122124)(91y y y y m 12274)126(912222+-⋅-+⋅+m m m m 129422++⋅=m m .……………11分)939(4141299||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF令92+=m t .则)3)(3(41||||>+⋅=t tt PQ TF .令)3)(3(41)(>+⋅=t t t t g则函数()g t 在()3,+∞上为增函数，……………13分所以1)3()(=>g t g .所以当||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分解法三：（i ）当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T ，符合题意. ……………5分当直线PQ l 斜率存在时，若斜率为0，则2l 垂直于 x 轴，与 x=4不能相交，故斜率不为0 设)1(:-=x k y l PQ ，（0k ≠）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ，消去y ，化简得. 2222(34)84120k x k x k +-+-= 4222644(34)(412)144(1)0k k k k ∆=-+-=+>设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则2221438k k x x +=+，222143124k k x x +-=，……………6分222104342k k x x x +=+=，200433)1(k k x k y +-=-=，即)433,434(222kk k k G +-+，……………7分 kk k k k k OG 43443433222-=+⋅+-=，设)1(1:--=x k y l FT ，得T 点坐标（k 3,4-），k k OT 43-=，所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分当直线PQ l 斜率存在时，222213)3()14(||k k k TF +=-+-=，||1||122x x k PQ -+=. =-+⋅+=2122124)(1x x x x k 222222431244)438(1k k k k k +-⋅-+⋅+ 2243112k k ++⋅=.……………11分2222||34)||12(1)114TF k k PQ k k +==+++=⋅ 令211kt +=.则)1)(13(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t t t t g 则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分所以1)1()(=>g t g . 所以||||PQ TF 的取值范围是),1[+∞.……………14分。

山东省2015年高考冲刺卷文科数学试题及参考答案

山东省2015年高考模拟冲刺卷文科数学本试卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|02},{|11}A y y B x x =≤<=-<<，则R ()A B =ð （）A ．{|01}x x ≤≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|10}x x -<≤D ．{|01}x x ≤<2．已知复数(1i)(12i)z =-+，其中i 为虚数单位，则z 的实部为（）A ．3-B ．1C ．1-D ．33．数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，11a =，则10a = （）400ϕπ<<，）的图象如图（） 5:10l x ky -+=与OA OB =+．若点（）A ．2-B ．1-C ．0D ．16．如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是（）A ．0B ．1-C ．2-D ．3-7．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生（） A ．1030人 B ．97人 C ．950人D ．970人8．已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y +-=的两侧，且0, 0a b >>，则2w a b =-的取值范围是（） A ．21[,]32-B ．2(,0)3-C ．1(0,)29．已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，BD ，则关于该三棱锥的下列叙述正确的为） A ．表面积13)2S =B C ．体积为1V =D ．体积为3V =10．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，[1,2]-上根的个数是（） C ．6D ．825分． 111260bx =+，其中b 的值没有写上．当5-时，预测y 的值为；13．已知||2, ||4a b ==，a 和b 的夹角为3π，以,a b 为邻边作平行四边形，则该四边形的面积为；14．如图，()y f x =是可导函数，直线l 是曲线)(x f y =在4=x 处的切线，令()()f x g x x=，则(4)g '= ；15．对于下列命题：①函数()12f x ax a =+-在区间(0,1)内有零点的充分不必要条件是1223a <<；②已知,,,E F G H 是空间四点，命题甲：,,,E F G H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；③“2a <”是“对任意的实数x ，|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件； ④“01m <<”是“方程22(1)1mxm y +-=表示双曲线”的充分必要条件．其中所有真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题,共75分, 16．（本小题满分12分）已知函数()cos88f x x x ππ=+（Ⅰ）求函数)(x f （Ⅱ）若函数)(x f 图象上的两点,P Q 圆的面积．17．A ={函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有1, 2, 3, 4, 5, 6）得到的点数分2在(0,)x ∈+∞恒成立}，求事件B 发生的概率．如图，在四棱锥ABC D E -中，底面ABCD 为正方形，⊥AE 平面C DE ，已知2AE DE ==，F 为线段DE 的中点．（Ⅰ）求证：//BE 平面ACF ；（Ⅱ）求四棱锥ABCD E -的体积．19．（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足：1211,,2a a == 且2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--=．（Ⅰ）令21n n b a -=，判断{}n b 是否为等差数列，并求出n b ；（Ⅱ）记{}n a 的前2n 项的和为2n T ，求2n T ．A已知函数()x f x e ax =+，()ln g x ax x =-，其中0a <，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）若()g x 在(1,(1))g 处的切线l 与直线350x y --=垂直，求a 的值；（Ⅱ）求)(x f 在[0,2]x ∈上的最小值；（Ⅲ）试探究能否存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性？若能存在，说明区间M 的特点，并指出)(x f 和()g x 在区间M 上的单调性；若不能存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）试探究||MN 和2||OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（Ⅲ）记QMN ∆的面积为S ，求S 的最大值．参考答案1---5B D D A C 6--10 C D D A B 11．(0,1) 12．70 13．．316-15．①②④ 16．解：（Ⅰ）2()cos1)888f x x x x πππ=+-2sin()4444x x x ππππ=+=+，…2分所以，函数)(x f 的最小正周期为284T ππ==． ………………3分由222442k x k ππππππ-≤+≤+（Z ∈k ）得8381k x k -≤≤+（Z ∈k ），∴函数)(x f 的单调递增区间是[]83,81k k -+（Z ∈k ）………………………………5分（Ⅱ）(2)2sin()24f ππ=+=(4)2sin()2sin 44f πππ=+=-=(4,……………7分||||23, |OP PQ ∴==2||||OP OQ OP OQ ⋅⨯=⋅10分的外接圆的半径为R ，12分17（Ⅰ）函数12x1212020404160a x x ax x aa ≠⎧⎪⎪+=>⎪∴⎨⎪=>⎪⎪∆=->⎩104a ⇒<<…4分 114()416P A ∴== …………………6分（Ⅱ）由已知：0,0a x >>，所以()f x ≥()f x ≥min ()f x ∴=，()2b x f >在()0,x ∈+∞恒成立2b ∴>……()* ……………………………8分当1a =时，1b =适合()*；当2,3,4,5a =时，1,2b =均适合()*；当6a =时，1,2,3b =均适合()*；满足()*的基本事件个数为18312++=．…10分而基本事件总数为6636⨯=，…………11分 121()P B ∴18．证明：（Ⅰ）连结BD 和AC 交于O ，连结OF ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点，F 为BE OF //∴， ………4分BE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF//BE ∴平面ACF ．……………………………5分（Ⅱ）作EG AD ⊥于G⊥AE 平面CDE ，⊂CD 平面CDE ，CD AE ⊥∴ABCD 为正方形，CD AD ∴⊥,,AE AD A AD AE =⊂平面DAE ，⊥∴CD 平面D A E ，……………7分 CD EG ∴⊥，AD CD D =，，AE DE ∴⊥，2AE DE ==， 2133EG ⨯=⨯=………12分 191)1]0,n --=11]0,-=21n n b a -=，121212n n n n b b a a ++-∴-=-=以2为公差的等差数列 ……5分1)1]0,n -=当n 为偶数时，可得2(31)22(11)0,n n a a ++-+-=即212n n a a +=， 246 , , ,a a a ∴是以212a =为首项，以12为公比的等比数列；………………………8分当n 为奇数时，可得2(31)22(11)0,n n a a +--+--=即22n n a a +-=，135 , , , a a a ∴是以11a =为首项，以2为公差的等差数列…………………………10分 21321242()()n n n T a a a a a a -∴=+++++++A11[(1()]122[1(1)2]1212n n n n -=⨯+-⨯+-2112n n =+- …12分 20．解：（Ⅰ）()ln g x ax x =-，(1)g a ∴=，1()g x a x'=-()g x 在(1,(1))g 处的切线l 与直线350x y --=垂直，1(1)13g '∴⨯=- 1(1)123a a ⇒-⋅=-⇒=-………3分（Ⅱ）()f x 的定义域为R ，且 ()e xf x a '=+．令()0f x '=，得ln()x a =-． …4分若ln()0a -≤，即10a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在[0,2]x ∈上为增函数，∴min ()(0)1f x f ==；…………5分若ln()2a -≥，即2a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[0,2]x ∈上为减函数，∴2min ()(2)2f x f e a ==+；……6分若0ln()2a <-<，即21e a -<<-时，由于[0,l n ()x a ∈-时，()0f x '<；(ln(),2]x a ∈-时，()0f x '>，所以min ()(ln())ln()f x f a a a a =-=--综上可知22min1, 10()2, 1a f x ea a e a -≤<⎧⎪=+≤-⎨<<-………8分（Ⅲ）()g x 的定义域为0a <时，()0g x '∴<，()g x ∴在(0,)+∞),)a-+∞上()0f x '>，()f x ∴单调递增，由于M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有))a -上()0f x '<，()f x 单调递减；()g x 在(0,)+∞上单调递减，∴存()x 在区间M 上均为减函数．，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性；当1a <-时，存在区间(0,ln()]M a ⊆-，使得)(x f 和()g x 在区间M 上均为减函数．………………13分21解：（I ）设圆心P 的坐标为(,)x y ，半径为R 由于动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，所以动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=只能内切12||9||1PF R PF R =-⎧∴⎨=-⎩1212||||8||6PF PF F F ⇒+=>=……2分 ∴圆心P 的轨迹为以12, F F 为焦点的椭圆，其中28, 26a c ==，2224, 3, 7a c b a c ∴===-=故圆心P 的轨迹C ：221167x y +=……………………4分（II ）设112233(,), (,), (,)M x y N x y Q x y ，直线:OQ x my =，则直线:3MN x my =+由221167x my x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22222112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 2232232112716112716mx m y m ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩226分==）//MN OQO 到直线:MN x 231m +S ∴=…11分 284849797t t t t=++ 97t t +≥=97t t =，即t =m =∴当m =时，S 取最大值14分。

山东省临沂市2015届高三5月高考模拟考试数学(文)试题_Word版含答案

2015年高考模拟试题(一)文科数学2015.5第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.i 是虚数单位，若21i i -+在复平面上的对应点在 A.第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合{}{1,3,,,,A x B A B B x ==⋂==则A. 0或3B. 3或9C. 0或9D. 1或93.函数()3log 2y x =+的定义域为A. ()(),13,-∞-⋃+∞B. ()[),13,-∞-⋃+∞C. (]2,1--D. (][)2,13,--⋃+∞4.设向量()()cos ,1,2,sin ,a b a b αα=-=⊥若，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ A. 13- B. 13 C. 3- D. 35.执行右面的程序框图，若输入7,6x y ==，则输出的有序数对为A.（11，12）B.（12，13）C.（13，14）D.（13，12）6.下列结论中正确的个数是①命题“,cos 0x R x ∀∈>”的否定是“00,cos 0x R x ∃∈≤”；②射击比赛中，比赛成绩的方差越小的运动员成绩越不稳定；③在ABC ∆中，“A B <”是“22cos cos A B >”的充要条件；④若p q ⌝∨是假命题，则p q ∧是假命题A.1B.2C.3D.47.一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为A. 48B. 48+C. 32+D.80 8.函数()()ln 2cos f x x x =++的图象大致为9.函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0,2A πϕ><）的图象如图，为了得到()sin g x A xω=的图象，则只需将()f x 的图象 A.向右平移6π B. 向右平移12π C. 向左平移6π D. 向左平移12π 10.已知双曲线向右平移()222210,0x y a b a b-=>>的实轴长为虚轴的一个端点与抛物线()220x py p =>的焦点重合，直线1y kx =-与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，则p=A.4B.3C.2D.1第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11.某校有学生2000人，其中高三学生500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数_________.12.已知直线10x y -+=与圆心为C 的圆22240x y x y a ++-+=相交于A,B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为_________.13.已知函数()22f x x ax b =+-，若a,b 都是区间[]0,4内的数，则使()10f <成立的概率是_______.14.设210,1x y x y x y>>0,2+=2,++则的最小值为___________.15.对于函数()(),f x g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使得()()001f x g x -≤，则称0x 是函数()()f x g x 和在区间D 上的“互相接近点”.现给出两个函数：①()()22,2f x x g x x =+=； ②()()ln ,2x f x g x x == ③()()11,x f x e g x x-=+=- ④()()ln ,f x x g x x == 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）某校从参加考试的学生中抽出50名，将其成绩（均为整数）分成六组[)[)40,50,50,60，…，[]90,100，其样本频率分布表如下：（I ）试把给出的样本频率分布表中的空格都填上；（II ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（III ）从成绩是80分以上（含80分）的学生中选两名，求他们在同一分数段的概率.已知ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ABC ∆，设的面积为S ，且2A B A C c -⋅==，u uu r u u u r . （I ）求角A 的大小；（II ）若22265a b c ab +-=，求b 的值.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，EB BC =，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ；（I ）求证：AE ⊥平面BCE ；（II ）求证：AE//平面BFD.已知{}n a 的首项112a =，前n 项和为,n n n S S p a =-且. （I ）求p 及{}n a 的通项公式；（II ）对n N *∈，在1n n a a +与之间插入3n 个数，使得这32n +项成等差数列，记插入的3n 个数之和为43n n n b c nb =，令，求{}n c 的前n 项和n T .20. （本小题满分13分）已知函数()32,.f x x ax x a R =++∈. （I ）若()[]11f x -在，上是增函数，求a 的取值范围；（II ）若a =0，对任意的0x >，总有()()x f x x e k <+成立，求实数k 的取值范围.如图，椭圆C 的左、右交点分别为122,,F F F 过的直线l 交C 于A,B 两点，1ABF ∆的周长为8，且2F 与抛物线24y x =的焦点重合.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线l 交y 轴于点M ，且22,MA AF MB BF λμ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，求λμ+的值；（III ）是否存在实数t ，使得2222AF BF t AF BF +=⋅恒成立？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由.。

山东省青岛市2015届高三上学期第一次模拟数学(文)试卷

2015年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i为虚数单位，复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C． 1﹣i D． 1+i2．设全集I=R，集合A={y|y=log 2x，x＞2}，B={x|y=}，则（）A． A⊆B B． A∪B=A C． A∩B=∅ D． A∩（∁I B）≠∅3．如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A． 5和1.6 B． 85和1.6 C． 85和0.4 D． 5和0.44．“∀n∈N*，2a n+1=a n+a n+2”是“数列{a n}为等差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A． 2 B． C． D． 36．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β D．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β8．函数y=4cosx﹣e|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（）A． B． C． D．9．已知△ABC的三边分别为4，5，6，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．已知点G是△ABC的外心，，，是三个单位向量，且2++=，如图所示，△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，则G点的轨迹为（）A．一条线段 B．一段圆弧C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知函数f（x）=tanx+sinx+2015，若f（m）=2，则f（﹣m）= ．12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是；13．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，使邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为．14．设z=x+y其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为．15．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．某市甲、乙两社区联合举行迎“五一”文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人，表演笛子演奏的有2人，表演唱歌的有3人．（Ⅰ）若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率；（Ⅱ）若从甲社区表演队中选2人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率．17．已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）+a（ω＞0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求a和ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD ∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AB=，AD=AA1=3，E1为A1B1中点．（Ⅰ）证明：B1D∥平面AD1E1；（Ⅱ）证明：平面ACD1⊥平面BDD1B1．19．已知数列{a n}是等差数列，S n为{a n}的前n项和，且a10=28，S8=92；数列{b n}对任意n ∈N*，总有b1•b2•b3…b n﹣1•b n=3n+1成立．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上顶点为A，右顶点为B，离心率e=，O为坐标原点，圆O：x2+y2=与直线AB相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C相交于E、F两不同点，若椭圆C上一点P满足OP∥l．求△EPF面积的最大值及此时的k2．21．已知函数f（x）=（ax2+2x﹣a）e x，g（x）=f（lnx），其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线过坐标原点，求实数a的值；（Ⅱ）若f（x）在[﹣1，1]上为单调递增函数，求实数a的取值范围．（Ⅲ）当a=0时，对于满足0＜x1＜x2的两个实数x1，x2，若存在x0＞0，使得g′（x0）=成立，试比较x0与x1的大小．2015年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i为虚数单位，复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C． 1﹣i D． 1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答：解：=．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．设全集I=R，集合A={y|y=log 2x，x＞2}，B={x|y=}，则（）A． A⊆B B． A∪B=A C． A∩B=∅ D． A∩（∁I B）≠∅考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：化简集合A，B，即可得出结论．解答：解：由题意，A={y|y=log 2x，x＞2}=（1，+∞），B={x|y=}=[1，+∞），∴A⊆B，故选：A．点评：本题考查集合的包含关系判断及应用，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．3．如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A． 5和1.6 B． 85和1.6 C． 85和0.4 D． 5和0.4考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：图表型．分析：根据均值与方差的计算公式，分布计算出所剩数据的平均数和方差分即可．解答：解：根据题意可得：评委为某选手打出的分数还剩84，84，84，86，87，所以所剩数据的平均数为=85，所剩数据的方差为[（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]=1.6．故选B．点评：本题考查茎叶图、平均数和方差，对于一组数据通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差，它们分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．4．“∀n∈N*，2a n+1=a n+a n+2”是“数列{a n}为等差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由2a n+1=a n+a n+2，可得a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，可得数列{a n}为等差数列；若数列{a n}为等差数列，易得2a n+1=a n+a n+2，由充要条件的定义可得答案．解答：解：由2a n+1=a n+a n+2，可得a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，由n的任意性可知，数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数，即数列{a n}为等差数列，反之，若数列{a n}为等差数列，易得2a n+1=a n+a n+2，故“∀n∈N*，2a n+1=a n+a n+2”是“数列{a n}为等差数列”的充要条件，故选C点评：本题考查充要条件的判断，涉及等差数列的判断，属基础题．5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A． 2 B． C． D． 3考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．解答：解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知得，由此能求出双曲线方程．解答：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，∴，解得a=2，b=，∴双曲线方程为﹣=1．点评：本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．7．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β D．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β考点：平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案．解答：解：选择支C正确，下面给出证明．证明：如图所示：∵m∥n，∴m、n确定一个平面γ，交平面α于直线l．∵m∥α，∴m∥l，∴l∥n．∵n⊥β，∴l⊥β，∵l⊂α，∴α⊥β．故C正确．故选C．点评：正确理解和掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理是解题的关键．8．函数y=4cosx﹣e|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（）A． B． C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先验证函数y=4cosx﹣e|x|是否具备奇偶性，排除一些选项，在取特殊值x=0时代入函数验证即可得到答案．解答：解：∵函数y=4cosx﹣e|x|，∴f（﹣x）=4cos（﹣x）﹣e|﹣x|=4cosx﹣e|x|=f（x），函数y=4cosx﹣e|x|为偶函数，图象关于y轴对称，排除BD，又f（0）=y=4cos0﹣e|0|=4﹣1=3，只有A适合，故选：A．点评：本题主要考查函数的图象，关于函数图象的选择题，通常先验证奇偶性，排除一些选项，再代特殊值验证，属于中档题．9．已知△ABC的三边分别为4，5，6，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．考点：余弦定理的应用；三角形中的几何计算．专题：解三角形．分析：根据余弦定理先求出其中一个角的余弦值，然后求出对应的正弦值，利用三角形的面积公式即可得到结论．解答：解：∵△ABC的三边长a=4，b=5，c=6，∴由余弦定理得cosC==，∴sinC===∴三角形的面积为S=absinC=×4×5×=．故选：B．点评：本题主要考查了三角形的面积的计算，利用余弦定理和正弦定理求出其中一个角的正弦值是解决本题的关键．10．已知点G是△ABC的外心，，，是三个单位向量，且2++=，如图所示，△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，则G点的轨迹为（）A．一条线段 B．一段圆弧C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分考点：轨迹方程．专题：计算题；直线与圆．分析：确定点G是BC的中点，△ABC是直角三角形，∠A是直角，BC=2，根据△ABC的顶点B、C分别在x轴和y轴的非负半轴上移动，即可得出结论．解答：解：∵点G是△ABC的外心，且2++=，|∴点G是BC的中点，△ABC是直角三角形，∠A是直角∵，，是三个单位向量，∴BC=2∵△ABC的顶点B、C分别在x轴和y轴的非负半轴上移动∴G的轨迹是以原点为圆心1为半径的圆弧，故选：B．点评：本题考查向量在几何中的应用，解题的关键是判断三角形的形状，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知函数f（x）=tanx+sinx+2015，若f（m）=2，则f（﹣m）= 4028 ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据解析式得出f（﹣x）+f（x）=4030，f（m）+f（﹣m）=4030，即可求解．解答：解：∵函数f（x）=tanx+sinx+2015，∴f（﹣x）=﹣tanx﹣sinx+2015，∵f（﹣x）+f（x）=4030，∴f（m）+f（﹣m）=4030，∵f（m）=2，∴f（﹣m）=4028．故答案为：4028．点评：本题考查了函数的性质，整体运用的思想，属于容易题，难度不大．12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是132 ；考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=10时，不满足条件i≥11，退出循环，输出s的值为132．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=12，s=1满足条件i≥11，s=12，i=11满足条件i≥11，s=132，i=10不满足条件i≥11，退出循环，输出s的值为132．故答案为：132．点评：本题主要考查了程序框图和算法，依次正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．13．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，使邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：设AC=x，则BC=12﹣x，由矩形的面积S=x（12﹣x）＞20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求．解答：解：设AC=x，则BC=12﹣x矩形的面积S=x（12﹣x）＞20∴x2﹣12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P==．故答案为：．点评：本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，属于基础试题14．设z=x+y其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为﹣3 ．考点：简单线性规划．分析：先根据条件画出可行域，观察可行域，当直线z=x+y过A点时取最大值，从而求出k值，再当直线z=x+y过B点时取最小值，求出z最小值即可．解答：解：作出可行域如图：直线x+y=6过点A（k，k）时，z=x+y取最大，∴k=3，z=x+y过点B处取得最小值，B点在直线x+2y=0上，∴B（﹣6，3），∴z的最小值为=﹣6+3=﹣3．故填：﹣3．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是②④．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：压轴题；新定义．分析：根据集合X上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可：①{a}∪{c}={a，c}∉τ，③{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，因此①③都不是；②④满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此②④是，从而得到答案．解答：解：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；而{a}∪{c}={a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此②是集合X上的拓扑的集合τ；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此④是集合X上的拓扑的集合τ；故答案为②④．点评：此题是基础题．这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意．本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．某市甲、乙两社区联合举行迎“五一”文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人，表演笛子演奏的有2人，表演唱歌的有3人．（Ⅰ）若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率；（Ⅱ）若从甲社区表演队中选2人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）若从甲、乙社区各选一个表演项目，选出的两个表演项目所有基本事件的个数，求出相同的事件的个数，即可求解概率；（Ⅱ）从甲社区表演队中选2人表演节目，列出所有基本事件的个数，找出至少有一位表演笛子演奏的事件个数，然后求解概率．解答：解：（Ⅰ）记甲、乙两社区的表演项目：跳舞、笛子演奏、唱歌分别为A1，B1，C1；A2，B2，C2则从甲、乙社区各选一个表演项目的基本事件有（A1，A2），（A1，B2），（A1，C2），（B1，A2），（B1，B2），（B1，C2），（C1，A2），（C1，B2），（C1，C2）共9种，其中选出的两个表演项目相同的事件3种，所以（Ⅱ）记甲社区表演队中表演跳舞的、表演笛子演奏、表演唱歌的分别为a1，b1，b2，c1，c2，c3则从甲社区表演队中选2人的基本事件有（a1，b1），（a1，b2），（a1，c1），（a1，c2），（a1，c3），（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共15种其中至少有一位表演笛子演奏的事件有9种，所以点评：本题考查古典概型的概率的求法，列出所有基本事件，做到不重复不漏是解题的关键．17．已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）+a（ω＞0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求a和ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．考点：正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）根据条件确定函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简即可求a和ω的值；（Ⅱ）根据三角函数的单调性即可求出函数的单调递减区间．解答：解：（Ⅰ）==．当时，f（x）取得最大值2+1+a=3+a又f（x）最高点的纵坐标为2，∴3+a=2，即a=﹣1．又f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f（x）的最小正周期为T=π故，ω=1（Ⅱ）由（Ⅰ）得由．得．令k=0，得：．故函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的图象以及三角函数的辅助角公式求出函数的解析式是解决本题的关键．18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD ∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AB=，AD=AA1=3，E1为A1B1中点．（Ⅰ）证明：B1D∥平面AD1E1；（Ⅱ）证明：平面ACD1⊥平面BDD1B1．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连结A1D交AD1于G，证明B1D∥E1G，利用直线与平面平行的判定定理证明B1D ∥平面AD1E1．（Ⅱ）设AC∩BD=H，通过△BHC～△DHA，结合BC=1，AD=3，求出，，证明AC⊥BD，然后证明BB1⊥AC，得到AC⊥平面BDD1B1，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ACD1⊥平面BDD1B1．解答：证明：（Ⅰ）连结A1D交AD1于G，因为ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，所以四边形ADD1A1为平行四边形，所以G为A1D的中点，又E1为A1B1中点，所以E1G为△A1B1D的中位线，所以B1D∥E1G，又因为B1D⊄平面AD1E1，E1G⊂平面AD1E1，所以B1D∥平面AD1E1．（Ⅱ）设AC∩BD=H，因为AD∥BC，所以△BHC～△DHA又BC=1，AD=3，所以，∵AD∥BC，∠BAD=90°，所以∠ABC=90°∴，从而，，所以CH2+BH2=BC2，CH⊥BH，即AC⊥BD因为ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，AA1⊥底面ABCD所以侧棱BB1⊥底面ABCD，又AC⊂底面ABCD，所以BB1⊥AC因为BB1∩BD=B，所以AC⊥平面BDD1B1，因为AC⊂平面ACD1，所以平面ACD1⊥平面BDD1B1．点评：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．19．已知数列{a n}是等差数列，S n为{a n}的前n项和，且a10=28，S8=92；数列{b n}对任意n ∈N*，总有b1•b2•b3…b n﹣1•b n=3n+1成立．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出{a n}的首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，代入等差数列的通项公式求通项；再由b1•b2•b3…b n﹣1•b n=3n+1，得b1•b2•b3…b n﹣1=3n﹣2（n≥2），两式相除可得数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）把{a n}、{b n}的通项公式代入c n=，化简后利用错位相减法求得数列{c n}的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公差为d，由a10=28，S8=92，得a10=a1+9d=28，，解得a1=1，d=3，a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2；又∵b1•b2•b3…b n﹣1•b n=3n+1，∴b1•b2•b3…b n﹣1=3n﹣2（n≥2），两式相除得，当n=1时b1=4适合上式，∴；（Ⅱ）把{a n}、{b n}的通项公式代入c n=，得，则，，两式作差得：，∴，即．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上顶点为A，右顶点为B，离心率e=，O为坐标原点，圆O：x2+y2=与直线AB相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C相交于E、F两不同点，若椭圆C上一点P满足OP∥l．求△EPF面积的最大值及此时的k2．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出直线AB的方程为：，利用圆O与直线AB相切，列出关系式，设椭圆的半焦距为c，通过b2+c2=a2，利用离心率，求出a，b，得到椭圆C的标准方程．（Ⅱ）了直线与椭圆方程，设E（x1，y1），F（x2，y2），利用韦达定理，以及弦长公式，点到直线的距离，求出=分离常数，利用二次函数的最值，求解△EPF的面积的最大值，以及k的中．解答：解：（Ⅰ）由题意，直线AB的方程为：，即为bx+ay﹣ab=0因为圆O与直线AB相切，所以，…①…（2分）设椭圆的半焦距为c，因为b2+c2=a2，，所以…②…（3分）由①②得：a2=2，b2=1所以椭圆C的标准方程为：…（5分）（Ⅱ）由可得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0设E（x1，y1），F（x2，y2）则，…（7分）所以又点O到直线EF的距离，∵OP∥l，∴=…（10分）又因为，又k≠0，∴令t=1+2k2∈（1，2），则，所以当时，最大值为所以当时，△EPF的面积的最大值为…（13分）点评：本题考查椭圆的方程的求法，直线与圆的我最关心，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想的应用．21．已知函数f（x）=（ax2+2x﹣a）e x，g（x）=f（lnx），其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线过坐标原点，求实数a的值；（Ⅱ）若f（x）在[﹣1，1]上为单调递增函数，求实数a的取值范围．（Ⅲ）当a=0时，对于满足0＜x1＜x2的两个实数x1，x2，若存在x0＞0，使得g′（x0）=成立，试比较x0与x1的大小．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导函数f'（x）=[ax2+2（a+1）x+2﹣a]e x，通过f'（2），求出函数y=f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线方程，通过切线过坐标原点，求出a即可．（Ⅱ）通过f（x）在[﹣1，1]上为单调递增函数，只要f'（x）≥0，构造Γ（x）=ax2+2（a+1）x+2﹣a通过①当a=0时，推出函数f（x）在[﹣1，1]上为单调递增函数．②当a＞0时，Γ（x）=ax2+2（a+1）x+2﹣a，利用二次函数的性质，Γ（x）min=Γ（﹣1）=﹣2a≥0⇒a≤0推出矛盾．③当a＜0时，Γ（x）=ax2+2（a+1）x+2﹣a类比②，得到结果．（Ⅲ）利用，g'（x）=lnx+1．通过导数的几何意义，说明存在x0＞0，使得，然后构造函数，利用新函数的导数，判断函数的单调性，然后推出x0＞x1即可．解答：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵f（x）=（ax2+2x﹣a）e x，∴f'（x）=[ax2+2（a+1）x+2﹣a]e x则f'（2）=（7a+6）e2，f（2）=（3a+4）e2∴函数y=f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线为：y﹣f（2）=（7a+6）e2（x﹣2）∵切线过坐标原点，0﹣f（2）=（7a+6）e2（0﹣2），即（3a+4）e2=2（7a+6）e2，∴…（3分）（Ⅱ）f'（x）=[ax2+2（a+1）x+2﹣a]e x要使f（x）在[﹣1，1]上为单调递增函数，只要ax2+2（a+1）x+2﹣a≥0令Γ（x）=ax2+2（a+1）x+2﹣a①当a=0时，Γ（x）=2x+2，在[﹣1，1]内Γ（x）≥Γ（﹣1）=0，∴f'（x）≥0函数f（x）在[﹣1，1]上为单调递增函数…（4分）②当a＞0时，Γ（x）=ax2+2（a+1）x+2﹣a是开口向上的二次函数，其对称轴为，∴Γ（x）在[﹣1，1]上递增，为使f（x）在[﹣1，1]上单调递增，必须Γ（x）min=Γ（﹣1）=﹣2a≥0⇒a≤0而此时a＞0，产生矛盾∴此种情况不符合题意…（6分）③当a＜0时，Γ（x）=ax2+2（a+1）x+2﹣a是开口向下的二次函数，为使f（x）在[﹣1，1]上单调递增，必须f'（x）≥0，即Γ（x）≥0在[﹣1，1]上恒成立，∴⇒又a＜0，∴﹣2≤a＜0综合①②③得实数a的取值范围为[﹣2，0]…（8分）（Ⅲ），g'（x）=lnx+1．因为对满足0＜x1＜x2的实数x1，x2，存在x0＞0，使得成立，所以，即，从而==．…（11分）设φ（t）=lnt+1﹣t，其中0＜t＜1，则，因而φ（t）在区间（0，1）上单调递增，φ（t）＜φ（1）=0，∵0＜x1＜x2，∴，从而，又所以lnx0﹣lnx1＞0，即x0＞x1…（14分）点评：本题考查函数的导数的综合应用，切线方程的求法，构造法的应用，导数的几何意义，考查函数的单调性的应用，转化思想的应用．。

2015年全国各地高考模拟试题_山东省高三上学期检测数学(文)卷

高三数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．1.若向量a (2,3),=b (,6)x =-,且∥ab ,则实数x =（） A ．－4B ． 4C ．－6D ．62.设{}1123a ∈-，，，，则使函数a y x =的值域为R 且为奇函数的所有a 值为（）A ．1，3B ．1-，1C ．1-，3D ．1-，1，33.下列说法中，正确的是（）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题C ．命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02≤-x x ”D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件4.设全集U 是实数集R ， 2{4}M x x =>，N ＝{x|31≤<x }，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x|－2≤x ＜1}B ．{x|－2≤x ≤2}C ．{x|1＜x ≤2}D ．{x|x ＜2}5.在ABC ∆中，已知B C B C cos )sin(2sin +=，那么ABC ∆一定是A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 6.已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为（） A.51-B.57C.57-D. 43 7.给出下列三个等式：()()()f x y f x f y +=+，()()()f xy f x f y =+，2()()()f x y f x f y +=，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A ．()f x x =B ． 2()log f x x =C ．()3x f x =D ．()sin f x x =8.已知正实数数列{}n a 中，22212111,2,2(2)n n n a a a a a n +-===+≥，则6a 等于（）A ．16B ．8C ．22D ．49.设)()(,)()(x f y x f y x f x f '=='和将的导函数是函数的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）10.各项都是正数的等比数列}{n a 的公比1≠q ，且132,21,a a a 成等差数列，则234345a a a a a a ++++的值为（）A ．251- B ．215+ C ．215- D ．215+或215- 11.函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为A. 1B. 2C. 3D. 412.已知函数)(x f 是定义在R 上的函数，其最小正周期为3，且)3,0(∈x 时，)13(l o g )(2+=x x f ，则f(2014)=（）A ．4B ．2C ．－2D ．7log 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：1．用0.5mm 的中性笔答在答题纸相应的位置内。

山东师范大学附属中学2015届高三第一次模拟考试数学(文)试题

山东师范大学附属中学2015届高三第一次模拟考试数学（文）试题本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共5页，第I 卷1至2页，第II 卷3至5页.满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、科类填写在答题卡规定的位置上.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}20,1,2,3,30=M N x x x M N ==-<⋂，则A.{}0B.{}0x x <C.{}3x x 0<<D. {}1,22.已知i 是虚数单位，若复数()()12ai i ++是纯虚数，则实数a 等于 A.2B.12C.12-D.2-3.“1m =”是“函数()266f x x mx =-+在区间(],3-∞上为减函数”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.已知函数()()()1,0,11,0.xx x f x f f a x -≤⎧==-⎨>⎩若，则实数a 的值等于A.1B.2C.3D.45.已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若//,m n m n αα⊥⊥，则；②若,,//m m αβαβ⊥⊥则；③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则. 其中正确命题的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.36.若实数,x y满足条件42x yx yxy+≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2x y+的最大值是A.8B.7C.4D.27.一个三棱锥的侧棱长都相等，底面是正三角形，其正（主）视图如右图所示.该三棱锥侧面积和体积分别是383)1,3D.88,38.若函数()()logaf x x b=+的大致图像如右图，其中,a b为常数，则函数()xg x a b=+的大致图像是9.已知双曲线221124x y-=的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是A.33⎡-⎢⎣⎦B.⎢⎣C.33⎛-⎝⎭D.(10.设向量()()1212,,,a a ab b b==r r，定义一种运算“⊕”。

2015高考数学(文)山东省日照市三轮冲刺模拟试题

数列 xn 满足： x1 1 ，且对于任意 n N ，点 xn , xn 1 都在函数 y f x 的图象上，则 x1 x2 x2015 A.7539 B. 7546 C.7549 D.7554

第 II 卷（共 100 分）
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11.已知函数 f x
log 2 x, x 0,
x
则f 3 1, x 0,
1 f 的值是_________. 4
12. 已知双曲线
x2 y2 1 a 0, b 0 的左焦点 F1 2 5, 0 ，右焦点 a2 b2

F2 2 5, 0 ，离心率 e
抽到的人中，做问卷 C 的人数为 A.12 B.13 C.14 D.15 4.函数 f x e
1 x 2
（e=2.71828…为自然对数的底数）的部分图象大致是
5.下列说法不正确的是 A.若“p 且 q”为假，则 p，q 至少有一个是假命题 B.命题“ x R, x 2 x 1 0 ”的否定是“ x R, x 2 x 1 0 ” C.“
来的 2 倍，所得图象的一条对称轴方程可以是 A. x C. x

12
B. x

3
12 2 D. x 3
3 x y 2 0, 8. 变量 x, y 满足线性约束条件 y x 2, 目标函数 z kx y 仅在点 y x 1,
0, 2 取得最小值，则 k 的取值范围是
A. k 3 B. k 1 C. 3 k 1 D. 1 k 1 9.函数 y 2sin x A. 2 B. 4

2015年山东省潍坊市高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2015年山东省潍坊市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合M＝{x|（）x≥1}，N＝{x|y＝lg（x+2）}，则M∩N等于（）A．[0，+∞）B．（﹣2，0]C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞）2．（5分）设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1＝1﹣2i，则的虚部为（）A．B．﹣C．D．﹣3．（5分）如果双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣y+＝0平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．34．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为{x|x≠0}，满足f（x）+f（﹣x）＝0，当x＞0时，f（x）＝1gx﹣x+1，则函数）y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．5．（5分）某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）附：参考公式和临界值表：Χ2＝A．90%B．95%C．99%D．99.9%6．（5分）下列结论中正确的是（）①命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是∃x∈（0，2），3x≤x3；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ＜2）＝0.8，则P（0＜ξ＜1）＝0.2；④等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＝3，则S7＝21．A．①②B．②③C．③④D．①④7．（5分）如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝3，BD＝5，sin∠ABC＝，则CD的长为（）A．B．4C．2D．58．（5分）某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（）A．πB．C．πD．π9．（5分）圆C：（x﹣1）2+y2＝25，过点P（2，﹣1）作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是（）A．10B．9C．10D．910．（5分）对于实数m，n定义运算“⊕”：m⊕n＝，设f（x）＝（2x﹣1）⊕（x﹣1），且关于x的方程f（x）＝a恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．.11．（5分）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝1，则+的最小值是．12．（5分）运行右面的程序框图，如果输入的x的值在区间[﹣2，3]内，那么输出的f（x）的取值范围是13．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z＝x+3y的最小值为4，则k＝．14．（5分）对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：[]+[]+[]＝3[]+[]+[]+[]+[]＝10[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]＝21…按照此规律第n个等式的等号右边的结果为．15．（5分）设双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过点F作与x 轴垂直的直线l交两条渐近线于M，N两点，且与双曲线在第二象限的交点为P，设O为坐标原点，若（m，n∈R），且mn＝，则双曲线的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知函数f（x）＝sin（2wx﹣）﹣4sin2wx+2（w＞0），其图象与x轴相邻两个交点的距离为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位得到函数g（x）的图象恰好经过点（﹣，0），求当m取得最小值时，g（x）在[﹣，]上的单调增区间．17．（12分）如图，已知平行四边形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，且AB＝BE＝AF＝1，BE∥AF，AB⊥AF，∠CBA＝，BC＝，P为DF的中点．（1）求证：PE∥平面ABCD；（2）求三棱锥A﹣BCE的体积．18．（12分）某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]（1）求实数a的值并求这36名学生成绩的样本平均数（同一组中的数据用该组的中点值作代表）；（2）已知数学成绩为120分有4位同学，从这4位同学中任选两位同学，再从数学成绩在[80，90）中任选以为同学组成“二帮一”小组，已知甲同学的成绩为81分，乙同学的成绩为120分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一个“二帮一”小组的概率．19．（12分）已知各项为正数的等比数列数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式b n＝（n∈N*），若S3＝b5+1，b4是a2和a4的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和为T n．20．（13分）椭圆＝1的左右焦点分别为F1，F2，直线l：x+my＝恒过椭圆的右焦点F2，且与椭圆交于P，Q两点，已知△F1PQ的周长为8，点O 为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y＝kx+t与椭圆C交于M，N两点，以线段OM，ON为邻边作平行四边形OMGN其中G在椭圆C上，当≤|t|≤1时，求|OG|的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣x（a∈R）（1）当a＝1时，求函数f（x）在（1，﹣2）处的切线方程；（2）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；（3）问当a＞0时，函数y＝f（x）的图象上是否存在点P（x0，f（x0）），使得以P点为切点的切线l将y＝f（x）的图象分割成C1，C2两部分，且C1，C2分别位于l的两侧（仅点P除外）？若存在，求出x0的值；若不存在，说明理由．2015年山东省潍坊市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合M＝{x|（）x≥1}，N＝{x|y＝lg（x+2）}，则M∩N等于（）A．[0，+∞）B．（﹣2，0]C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞）【解答】解：因为集合M＝{x|≥1}＝{x|≥}，所以M＝{x|x≤0}，N＝{x|y＝lg（x+2）}＝{x|x＞﹣2}，所以A∩B＝{x|x≤0}∩{x|x＞﹣2}＝{x|﹣2＜x≤0}，故选：B．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1＝1﹣2i，则的虚部为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1＝1﹣2i，z2＝﹣1﹣2i，则＝＝＝＝．复数的虚部为：．故选：D．3．（5分）如果双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣y+＝0平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【解答】解：∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣y+＝0平行∴双曲线的渐近线方程为y＝±x∴＝，得b2＝3a2，c2﹣a2＝3a2，此时，离心率e＝＝2．故选：C．4．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为{x|x≠0}，满足f（x）+f（﹣x）＝0，当x＞0时，f（x）＝1gx﹣x+1，则函数）y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：因为函数y＝f（x）的定义域为{x|x≠0}，满足f（x）+f（﹣x）＝0，所以函数是奇函数，排除C、D．又函数当x＞0时，f（x）＝lgx﹣x+1，当x＝10时，y＝1﹣10+1＝﹣8，就是的图象在第四象限，A正确，故选：A．5．（5分）某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）附：参考公式和临界值表：Χ2＝A．90%B．95%C．99%D．99.9%【解答】解：设H0：饮食习惯与年龄无关．因为Χ2＝＝10＞6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．故选：C．6．（5分）下列结论中正确的是（）①命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是∃x∈（0，2），3x≤x3；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ＜2）＝0.8，则P（0＜ξ＜1）＝0.2；④等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＝3，则S7＝21．A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是∃x∈（0，2），3x≤x3，正确；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故不正确；③若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ＜2）＝0.8，则P（ξ＞2）＝0.2，P（0＜ξ＜1）＝0.5﹣0.2＝0.3，不正确；④等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＝3，则S7＝＝7a4＝21，正确．故选：D．7．（5分）如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝3，BD＝5，sin∠ABC＝，则CD的长为（）A．B．4C．2D．5【解答】解：由题意可得sin∠ABC＝＝sin（+∠CBD）＝cos∠CBD，再根据余弦定理可得CD2＝BC2+BD2﹣2BC•BD•cos∠CBD＝27+25﹣2×3×5×＝16，可得CD＝4，故选：B．8．（5分）某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（）A．πB．C．πD．π【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是平放的半圆锥，且圆锥的底面半径为1，母线长为3，∴圆锥的高为＝2；∴该几何体的体积为V半圆锥＝×π×12×2＝π．故选：A．9．（5分）圆C：（x﹣1）2+y2＝25，过点P（2，﹣1）作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是（）A．10B．9C．10D．9【解答】解：∵圆的方程为：（x﹣1）2+y2＝25，∴圆心坐标为M（1，0），半径r＝5．∵P（2，﹣1）是该圆内一点，∴经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．结合题意，得AC是经过P点的直径，BD是与AC垂直的弦．∵|PM|＝，∴由垂径定理，得|BD|＝2＝2．因此，四边形ABCD的面积是S＝|AC|•|BD|＝×10×2＝10．故选：C．10．（5分）对于实数m，n定义运算“⊕”：m⊕n＝，设f（x）＝（2x﹣1）⊕（x﹣1），且关于x的方程f（x）＝a恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，）【解答】解：由2x﹣1≤x﹣1，得x≤0，此时f（x）＝（2x﹣1）*（x﹣1）＝﹣（2x﹣1）2+2（2x﹣1）（x﹣1）﹣1＝﹣2x，由2x﹣1＞x﹣1，得x＞0，此时f（x）＝（2x﹣1）*（x﹣1）＝（x﹣1）2﹣（2x ﹣1）（x﹣1）＝﹣x2+x，∴f（x）＝（2x﹣1）⊕（x﹣1）＝，作出函数的图象可得，要使方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3，则0＜x2＜＜x3＜1，且x2和x3，关于x＝对称，∴x 2+x3＝2×＝1．则x2+x3≥2，0＜x2x3＜，等号取不到．当﹣2x＝时，解得x＝﹣，∴﹣＜x1＜0，∵0＜x2x3＜，∴﹣＜x1•x2•x3＜0，即x1•x2•x3的取值范围是（﹣，0），故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．.11．（5分）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝1，则+的最小值是8．【解答】解：∵2x+y＝1，∴+＝（+）×（2x+y）＝2+2+≥4+2＝8当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，∴+的最小值是8故答案为：812．（5分）运行右面的程序框图，如果输入的x的值在区间[﹣2，3]内，那么输出的f（x）的取值范围是[，9]．【解答】解：模拟执行程序，可得其功能是求分段函数f（x）＝的值，所以，当x∈[﹣2，2]时，f（x）＝2x∈[，4]，当x∈（2，3]时，f（x）＝x2∈（4，9]．故如果输入的x的值在区间[﹣2，3]内，那么输出的f（x）的取值范围是[，9]．故答案为：[，9]．13．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z＝x+3y的最小值为4，则k＝1．【解答】解：由z＝x+3y，得，作出不等式对应的可行域，平移直线，由平移可知当直线，经过点B时，直线，的截距最小，此时z取得最小值为4，即x+3y＝4，由，解得，即B（1，1），B同时也在直线y＝k上，则k＝1，故答案为：114．（5分）对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：[]+[]+[]＝3[]+[]+[]+[]+[]＝10[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]＝21…按照此规律第n个等式的等号右边的结果为2n2+n．【解答】解：因为[x]表示不超过x的最大整数，所以＝1，＝2，…，因为等式：，，，…，所以第1个式子的左边有3项、右边1+1+1＝1×3＝3，第2个式子的左边有5项、右边2+2+2+2+2＝2×5＝10，第3个式子的左边有7项、右边3×7＝21，则第n个式子的左边有（2n+1）项、右边＝n（2n+1）＝2n2+n，故答案为：2n2+n．15．（5分）设双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过点F作与x 轴垂直的直线l交两条渐近线于M，N两点，且与双曲线在第二象限的交点为P，设O为坐标原点，若（m，n∈R），且mn＝，则双曲线的离心率为．【解答】解：双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为：y＝±x，设左焦点F（﹣c，0），则M（﹣c，），N（﹣c，﹣），P（﹣c，），因为（m，n∈R），所以（﹣c，）＝（﹣（m+n）c，（m﹣n）），所以m+n＝1，m﹣n＝，解得：m＝，n＝，又由mn＝，得：＝，解得：＝，所以，e＝＝．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知函数f（x）＝sin（2wx﹣）﹣4sin2wx+2（w＞0），其图象与x轴相邻两个交点的距离为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位得到函数g（x）的图象恰好经过点（﹣，0），求当m取得最小值时，g（x）在[﹣，]上的单调增区间．【解答】解：（1）函数f（x）＝sin（2wx﹣）﹣4sin2wx+2（w＞0）＝sin2wx﹣cos2wx﹣4•+2＝sin2wx+cos2wx＝sin（2wx+），根据图象与x轴相邻两个交点的距离为，可得函数的最小正周期为2×＝，求得w＝1，故函数f（x）＝sin（2x+）．（2）将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位得到函数g（x）＝sin[2（x+m）+]＝sin（2x+2m+）的图象，再根据g（x）的图象恰好经过点（﹣，0），可得sin（2m﹣）＝0，故m ＝，g（x）＝sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣，故函数g（x）的增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，k∈z．再结合x∈[﹣，]，可得增区间为[﹣，﹣]、[，]．17．（12分）如图，已知平行四边形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，且AB＝BE＝AF＝1，BE∥AF，AB⊥AF，∠CBA＝，BC＝，P为DF的中点．（1）求证：PE∥平面ABCD；（2）求三棱锥A﹣BCE的体积．【解答】（1）证明：取AD的中点M，连接MP，MB，∵P为DF的中点，∴，又∵，∴，∴四边形BEPM是平行四边形，∴PE∥BM，又PE⊄平面ABCD，BM⊂平面ABCD．∴PE∥平面ABCD．（2）解：在△ABC中，由余弦定理可得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos∠ABC＝＝1，∴AC＝1，∴AC2+AB2＝BC2，∴AC⊥AB．∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴AC⊥平面ABEF，∵＝＝．∴V A﹣BCE ＝V C﹣ABE＝＝＝．18．（12分）某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]（1）求实数a的值并求这36名学生成绩的样本平均数（同一组中的数据用该组的中点值作代表）；（2）已知数学成绩为120分有4位同学，从这4位同学中任选两位同学，再从数学成绩在[80，90）中任选以为同学组成“二帮一”小组，已知甲同学的成绩为81分，乙同学的成绩为120分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一个“二帮一”小组的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，10a＝1﹣（）×10＝，故a＝＝×10×85+×10×95+×10×115＝，（Ⅱ）成绩在[80，90）分的学生有＝3人，分别记为甲，A，B，数学成绩为120分有4位同学记为乙，1，2，3，则“二帮一”小组共有18种，分别去下：甲乙1，甲乙2，甲乙3，甲12，甲13，甲23，A乙1，A乙2，A乙3，A12，A13，A23，B乙1，B乙2，B乙3，B12，B13，B23，其中甲、乙两同学恰好被安排在同一个“二帮一”小组有3种情况，甲乙1，甲乙2，甲乙3故甲、乙两同学恰好被安排在同一个“二帮一”小组的概率为＝19．（12分）已知各项为正数的等比数列数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式b n＝（n∈N*），若S3＝b5+1，b4是a2和a4的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）∵数列{b n}的通项公式b n＝（n∈N*），∴b5＝6，b4＝4，设各项为正数的等比数列数列{a n}的公比为q，q＞0，∵S3＝b5+1＝7，∴，①∵b4是a2和a4的等比中项，∴，解得，②由①②得3q2﹣4q﹣4＝0，解得q＝2，或q＝﹣（舍），∴a1＝1，．（2）当n为偶数时，T n＝（1+1）•20+2•2+（3+1）•22+4•23+（5+1）•24+…+[（n﹣1）+1]•2n﹣2+n•2n﹣1＝（20+2•2+3•22+4•23+…+n•2n﹣1）+（20+22+…+2n﹣2），设H n＝20+2•2+3•22+4•23+…+n•2n﹣1，①2H n＝2+2•22+3•23+4•24+…+n•2n，②①﹣②，得﹣H n＝20+2+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n＝﹣n•2n＝（1﹣n）•2n﹣1，∴H n＝（n﹣1）•2n+1，∴+＝（n﹣）•2n+．当n为奇数，且n≥3时，T n＝T n﹣1+（n+1）•2n﹣1＝＝+，经检验，T1＝2符合上式，∴T n＝．20．（13分）椭圆＝1的左右焦点分别为F1，F2，直线l：x+my＝恒过椭圆的右焦点F2，且与椭圆交于P，Q两点，已知△F1PQ的周长为8，点O 为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y＝kx+t与椭圆C交于M，N两点，以线段OM，ON为邻边作平行四边形OMGN其中G在椭圆C上，当≤|t|≤1时，求|OG|的取值范围．【解答】解：（1）∵直线l：x+my＝恒过定点，∴椭圆的右焦点F2．∴．∴△F1PQ的周长为8，∴4a＝8，解得a＝2，∴b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆C的方程为＝1；（2）联立，化为（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，由△＝64k2t2﹣4（1+4k2）（4t2﹣4）＞0，可得4k2+1＞t2．设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x0，y0），则，∵四边形OMGN是平行四边形，∴，y0＝y1+y2＝k（x1+x2）+2t＝kx0+2t＝，可得G，∵G在椭圆C上，∴+＝1，化为4t2（4k2+1）＝（4k2+1）2，∴4t2＝4k2+1，∴|OG|2＝＝＝＝＝4﹣，∵≤|t|≤1，∴，∴，∴|OG|的取值范围是．21．（14分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣x（a∈R）（1）当a＝1时，求函数f（x）在（1，﹣2）处的切线方程；（2）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；（3）问当a＞0时，函数y＝f（x）的图象上是否存在点P（x0，f（x0）），使得以P点为切点的切线l将y＝f（x）的图象分割成C1，C2两部分，且C1，C2分别位于l的两侧（仅点P除外）？若存在，求出x0的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x2﹣x，f′（x）＝﹣2x﹣1，函数f（x）在（1，﹣2）处的切线斜率为k＝1﹣2﹣1＝﹣2，则函数f（x）在（1，﹣2）处的切线方程为y+2＝﹣2（x﹣1），即为y＝﹣2x；（2）f′（x）＝﹣2ax﹣1＝（x＞0），①当a＝0时，f′（x ）＝，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减．②当a＜0时，f′（x）＝0，即﹣2ax2﹣x+1＝0，当△＝1+8a≤0时，即a ≤﹣，﹣2ax2﹣x+1≥0在（0，+∞）恒成立，即f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）递增；当△＝1+8a＞0，即﹣＜a＜0时，﹣2ax2﹣x+1＝0的两根为x1＝x2＝，f′（x ）＝（x＞0）且x1＞0，x2＞0，x1＜x2，则0＜x＜x1，f′（x）＞0，f（x）递增，x1＜x＜x2，f′（x）＜0，f（x）递减．综上可得，a＝0，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；a ≤﹣时，f（x）的增区间为（0，+∞）；﹣＜a＜0时，f（x）的增区间为（0，），（，+∞），f（x ）的减区间为（，）．（3）f′（x ）＝﹣2ax﹣1，P（x0，f（x0）），在P点的切线方程为y＝f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），令g（x）＝f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），且g（x0）＝0，g′（x）＝f′（x）﹣f′（x0）＝﹣2ax﹣1﹣+2ax0+1＝﹣（x﹣x0）•（x＞0），由a＞0，当0＜x＜x0，g′（x）＞0，g（x）递增，当x＞x0，g′（x）＜0，g（x）递减，故g（x）≤g（x0）＝0，即f（x）≤f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），也就是y＝f（x）的图象永远在切线的下方．故不存在这样的点P．第21页（共21页）。

2015年山东省菏泽市高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2015年山东省菏泽市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知复数z1＝1﹣i，z2＝1+i，则等于（）A．2i B．﹣2i C．2+i D．﹣2+i2．（5分）设集合M＝{0，1}，N＝{x∈Z|y＝），则（）A．M∩N＝∅B．M∩N＝{0}C．M∩N{1}D．M∩N＝M3．（5分）给定函数①y＝x，②y＝log x，③y＝|x﹣1|，④y＝2x，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④4．（5分）在△ABC中，若sin A﹣sin A cos C＝cos A sin C，则△ABC的形状是（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形5．（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m o，平均值为，则（）A．m e＝m o＝B．m e＝m o＜C．m e＜m o＜D．m o＜m e＜6．（5分）已知α，β，直线l，m，且有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l∥m，则α⊥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l⊥m，则α∥β；其中，正确命题个数有（）A．1B．2C．3D．47．（5分）若函数f（x）＝的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，2）8．（5分）设双曲线+＝1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x2＝8y的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A．﹣y2＝1B．﹣＝1C．y2﹣＝1D．﹣＝19．（5分）已知函数f（x）＝（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，0）C．（﹣1，0）D．[﹣1，0）10．（5分）若b＞a＞3，f（x）＝，则下列各结论中正确的是（）A．B．C．f（）＜f（）＜f（a）D．f（b）＜f（）＜f（）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为．12．（5分）已知x，y满足不等式组，则z＝2x+y的最大值与最小值比为．13．（5分）定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）＝0，且f（4﹣x）＝f（x）．现有以下三种叙述：①8是函数f（x）的一个周期；②f（x）的图象关于直线x＝2对称；③f（x）是偶函数其中正确的序号是．14．（5分）执行如图中的程序框，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的S属于区间．15．（5分）在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”类似的，我们在平面向量集D＝{|＝（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义在一个称“序”的关系，记为“＞＞”，定义如下：对于任意两个向量＝（x1，y1）2＝（x2，y2），“1＞＞2”当且仅当“x1＞x2”或“x1＝x2”且“y1＞y2”，按上述定义的关系“＞＞”给出如下四个命题：①若1＝（1，0），2＝（0，1），＝（0，0），则1＞＞2＞＞②若1＞＞2，2＞＞3，则1＞＞3③若1＞＞2，则对于任意∈D，1+＞＞2+④对于任意向量＞＞，＝（0，0），若1＞＞2，则•1＝•2其中真命题的序号为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知函数f（x）＝2cos2x+2sin x cos x+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y＝f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求方程g（x）＝4在区间[0，]上所有根之和．17．（12分）如图，将边长为2的正六边形ABDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC＝．（1）证明：平面ABEF⊥平面BCDE；（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．18．（12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）设函数f（x）＝lnx﹣﹣bx（Ⅰ）当a＝b＝时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1时，方程f（x）＝mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．21．（14分）椭圆C：+＝1过点A（1，），离心率为，左右焦点分别为F1、F2．过点F1的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆C的方程．（2）当△F2AB的面积为时，求l的方程．2015年山东省菏泽市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知复数z1＝1﹣i，z2＝1+i，则等于（）A．2i B．﹣2i C．2+i D．﹣2+i【解答】解：∵复数z1＝1﹣i，z2＝1+i，则＝＝＝＝﹣2i．故选：B．2．（5分）设集合M＝{0，1}，N＝{x∈Z|y＝），则（）A．M∩N＝∅B．M∩N＝{0}C．M∩N{1}D．M∩N＝M【解答】解：由1﹣x≥0，得x≤1，∴N＝{x∈Z|y＝}＝{x∈Z|x≤1}，又M＝{0，1}，∴M∩N＝{0，1}＝M．故选：D．3．（5分）给定函数①y＝x，②y＝log x，③y＝|x﹣1|，④y＝2x，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：选项①y＝x在（0，+∞）上单调递增，不存在减区间，故错误；选项②y＝log x，在（0，+∞）上单调递减，故正确；选项选项③y＝|x﹣1|在（﹣∞，1）单调递减，故正确；选项④y＝2x在R上单调递增，无递减区间，故错误．故选：B．4．（5分）在△ABC中，若sin A﹣sin A cos C＝cos A sin C，则△ABC的形状是（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵sin A﹣sin A cos C＝cos A sin C，∴sin A＝sin A cos C+cos A sin C＝sin（A+C）＝sin B∴A＝B（A+B＝π舍去），是等腰三角形故选：B．5．（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m o，平均值为，则（）A．m e＝m o＝B．m e＝m o＜C．m e＜m o＜D．m o＜m e＜【解答】解：由图知m0＝5，有中位数的定义应该是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6，所以＞5.9故选：D．6．（5分）已知α，β，直线l，m，且有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l∥m，则α⊥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l⊥m，则α∥β；其中，正确命题个数有（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：①若α∥β，∴l⊥β，又m⊂β，则l⊥m，正确；②若l∥m，m⊂β，则α⊥β，正确；③若α⊥β，则l∥m或异面直线，不正确；④若l⊥m，则α∥β或相交，因此不正确．其中，正确命题个数为2．故选：B．7．（5分）若函数f（x）＝的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，2）【解答】解：f′（x）＝＝由图知m﹣2＜0，且m＞0，故0＜m＜2，又＞1，∴m＞1，因此1＜m＜2，故选：C．8．（5分）设双曲线+＝1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x2＝8y的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A．﹣y2＝1B．﹣＝1C．y2﹣＝1D．﹣＝1【解答】解：抛物线x2＝8y的焦点为（0，2），则双曲线的焦点在y轴上，方程为﹣＝1，则c＝2＝，双曲线+＝1的离心率为2，则＝2，解得m＝﹣3，n＝1．即有双曲线的方程为y2﹣＝1．9．（5分）已知函数f（x）＝（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，0）C．（﹣1，0）D．[﹣1，0）【解答】解：由解析式可得函数的左半部分为指数函数的一部分，且随着a的变化而上下平移，右半部分为直线的一部分，且是固定的，作图如下：结合图象分析可得，当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意，而红线与y轴的焦点坐标为a+1，且只需0≤a+1＜1，即﹣1≤a＜0即可故选：D．10．（5分）若b＞a＞3，f（x）＝，则下列各结论中正确的是（）A．B．C．f（）＜f（）＜f（a）D．f（b）＜f（）＜f（）【解答】解：∵f（x）＝，∴f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得x＝e，当x≥e时，f′（x）＜0，为减函数，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，为增函数，∵b＞a＞3＞e，∴ab＞b＞＞＞a＞e，∴f（a）＞f（）＞f（）＞f（b）＞f（ab），二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为（x﹣2）2+（y+3）2＝5．【解答】解：根据垂径定理可得AB的垂直平分线y＝﹣3过圆心，而圆心过x＝2，则圆心坐标为（2，﹣3），圆的半径r＝|AC|＝＝，则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y+3）2＝5．故答案为：（x﹣2）2+（y+3）2＝512．（5分）已知x，y满足不等式组，则z＝2x+y的最大值与最小值比为2：1．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（2，2），代入目标函数z＝2x+y得z＝2×2+2＝6．即目标函数z＝2x+y的最大值为6．当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（1，1），代入目标函数z＝2x+y得z＝2+1＝3．即目标函数z＝2x+y的最小值为3．则z＝2x+y的最大值与最小值比为6：3＝2：1故答案为：2：113．（5分）定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）＝0，且f（4﹣x）＝f（x）．现有以下三种叙述：①8是函数f（x）的一个周期；②f（x）的图象关于直线x＝2对称；③f（x）是偶函数其中正确的序号是①②③．【解答】解：对于①，由于定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），即有f（x+4）＝﹣f（x+2），则f（x+4）＝f（x），即4是函数的最小正周期，故①对；对于②，由于f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），即有f（2+x）＝f（2﹣x），即f（x）的图象关于直线x＝2对称，故②对；对于③，由于f（4﹣x）＝f（x），即有f（﹣x）＝f（x+4），又f（x+4）＝f（x），则f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，故③对．故答案为：①②③．14．（5分）执行如图中的程序框，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的S属于区间[﹣3，4]．【解答】解：执行程序框图，有输入的t∈[﹣1，3]，S＝输出S的值，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故答案为：[﹣3，4]15．（5分）在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”类似的，我们在平面向量集D＝{|＝（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义在一个称“序”的关系，记为“＞＞”，定义如下：对于任意两个向量＝（x1，y1）2＝（x2，y2），“1＞＞2”当且仅当“x1＞x2”或“x1＝x2”且“y1＞y2”，按上述定义的关系“＞＞”给出如下四个命题：①若1＝（1，0），2＝（0，1），＝（0，0），则1＞＞2＞＞②若1＞＞2，2＞＞3，则1＞＞3③若1＞＞2，则对于任意∈D，1+＞＞2+④对于任意向量＞＞，＝（0，0），若1＞＞2，则•1＝•2其中真命题的序号为①②③．【解答】解：①∵＝（1，0），＝（0，1），横坐标1＞0，∴，而＝（0，0），横坐标0＝0，纵坐标1＞0，则＞＞；②若＞＞，则“x＞x2”或“x1＝x2”且“y1＞y2”，若，则“x21＞x3”或“x2＝x3”且“y2＞y3”，可得“x1＞x3”或“x1＝x3，y1＞y3”，则．因此正确．③若＞＞，则“x 1＞x2”或“x1＝x2”且“y1＞y2”，对于任意＝（x，y）∈D，则x1+x＞x2+x，或x1+x＝x2+x且y1+y＞y2+y，因此＞＞．因此正确；④对于任意向量＞＞，＝（0，0），若＞＞，取＝（4，3），＝（2，1），＝（1，1），则＝7，＝3，因此，不正确．其中真命题的序号为①②③．故答案为：①②③．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知函数f（x）＝2cos2x+2sin x cos x+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y＝f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求方程g（x）＝4在区间[0，]上所有根之和．【解答】解：（1）化简可得f（x）＝2cos2x+2sin x cos x+a＝cos2x+1+sin2x+a＝2sin（2x+）+a+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）的最小值为﹣1+a+1＝2，解得a＝2，∴f（x）＝2sin（2x+）+3，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；（2）由函数图象变换可得g（x）＝2sin（4x﹣）+3，由g（x）＝4可得sin（4x﹣）＝，∴4x﹣＝2kπ+或4x﹣＝2kπ+，解得x＝+或x＝+，（k∈Z），∵x∈[0，]，∴x＝或x＝，∴所有根之和为+＝．17．（12分）如图，将边长为2的正六边形ABDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC＝．（1）证明：平面ABEF⊥平面BCDE；（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：正六边形ABCDEF中，连结AC、BE，交点为G，由边长为2的正六边形ABCDEF的性质得AC⊥BE，且AG＝CG＝，在多面体中，由AC＝，得AG2+CG2＝AC2，∴AG⊥GC，又GC∩BE＝G，GC，BE⊂平面BCDE，∴AG⊥平面BCDE，又AG⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面BCDE．（2）解：连结AE，CE，则AG为三棱锥A﹣BCE的高，GC为△BCE的高，在正六边形ABCDEF中，BE＝2AF＝4，∴，∴V E﹣ABC ＝V A﹣BCE＝＝2．18．（12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．【解答】解：（1）∵甲班学生的平均分是85，∴，∴x＝5，∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y＝3；（2）甲班7位学生成绩的方差为s2＝＝40；（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则．答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，a1＝S1＝2，＝n（n+1）﹣（n﹣1）n＝2n，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1知a1＝2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，b n+1＝2（3n+1+1），故b n＝2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）＝n（3n+1）＝n•3n+n，∴T n＝c1+c2+c3+…+c n＝（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令H n＝1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n＝1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n＝3+32+33+…+3n﹣n×3n+1＝∴，…（10分）∴数列{c n}的前n项和…（12分）20．（13分）设函数f（x）＝lnx﹣﹣bx（Ⅰ）当a＝b＝时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1时，方程f（x）＝mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．（1分）当a＝b＝时，f（x）＝lnx﹣x2﹣x，f′（x）＝﹣x﹣＝．（2分）令f′（x）＝0，解得x＝1．当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．（3分）所以函数f（x）的单调增区间（0，1），函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（4分）（Ⅱ）F（x）＝lnx+，x∈（0，3]，所以k＝F′（x0）＝≤，在x0∈（0，3]上恒成立，（6分）所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈（0，3]（7分）当x0＝1时，﹣x02+x0取得最大值．所以a≥．（9分）（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1时，f（x）＝lnx+x，因为方程f（x）＝mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，所以lnx+x＝mx有唯一实数解．∴，设g（x）＝，则g′（x）＝．令g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0，得x＞e，∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，g（1）＝1，g（e2）＝1+＝1+，g（e）＝1+，所以m＝1+，或1≤m＜1+．21．（14分）椭圆C：+＝1过点A（1，），离心率为，左右焦点分别为F1、F2．过点F1的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆C的方程．（2）当△F2AB的面积为时，求l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆过点，∴…（1分）∵离心率为，∴，…（2分）又∵a2＝b2+c2…（3分）解①②③得a2＝4，b2＝3…（4分）∴椭圆…（6分）（2）由（1）得F1（﹣1，0）①当l的倾斜角是时，l的方程为x＝﹣1，焦点此时，不合题意．…（7分）②当l的倾斜角不是时，设l的斜率为k，则其直线方程为y＝k（x+1）由，消去y得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则…（9分）∴＝＝＝…（10分）又已知，∴，∴（k2﹣1）（17k2+18）＝0，∴k2﹣1＝0，解得k＝±1，故直线l的方程为y＝±1（x+1），即x﹣y+1＝0或x+y+1＝0．…（13分）。

山东省菏泽市2015届高三数学第一次模拟考试试题文

高三数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知复数121,1z i z i=-=+，则12z z i 等于（）A ．2iB ．2i -C ．2i +D ．2i -+ 2、设集合{0,1},{|1}M N x Z y x ==∈=-，则（） A ．MN φ= B ．{}0MN = C ．{}1MN = D ．M N M =3、给定函数①12y x = ②12log (1)y x =+ ③1y x =- ④12x y +=，其中在区间()0,1上单调递减的函数序号是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4、在ABC ∆中，若sin sin cos cos sin A A C A C -=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5、为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为em ，众数0m ，平均数为x ，则（）A ．0e m m x ==B ．0e m m x =<C ．0e m m x<< D ．0e m m x<<6、已知平面,αβ，直线,l m ，且有,l m αβ⊥⊂，给出下列命题：①若//αβ，则l m ⊥；②若//l m ，则αβ⊥；③若αβ⊥，则//l m ；④若l m ⊥，则//αβ，其中正确命题个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．47、若函数()2(2)m xf x x m -=+的图象如图所示，则m 的范围为（）A ．(),1-∞- B ．()1,2- C ．()0,2 D ．()1,28、设双曲线221x y m n +=的离心率为2，且一个焦点与抛物线28x y =的交点相同，则此双曲线的方程为（）A ．2213x y -=B ．221412x y -=C ．2213x y -= D ．221124x y -=9、已知函数()0()210x e a x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（） A ．(),1-∞- B ．(),0-∞ C ．()1,0- D ．[)1,0-10、若函数()sin x f x x =，并且233a b ππ<<<，则下列各结论正确的是（）A ．()()()2a b f a f ab f +<< B ．()()()2a bf ab f f b +<<C ．()()()2a b f ab f f a +<< D ．()()()2a b f b f ab f +<<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。