世纪金榜高中数学课题：平面与平面垂直的判定教案新人教A版

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高中数学人教A版必修2《2.3.2平面与平面垂直的判定》教案4

必修二2.3.2平面与平面垂直的判定●三维目标1．知识与技能(1)使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念．(2)使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单应用．(3)使学生体会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用．2．过程与方法(1)通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程．(2)类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理．3．情感、态度与价值观通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生体会数学存在于现实生活周围，从而激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力．●重点难点重点：平面和平面垂直的判定．难点：二面角的理解及度量．重难点突破：用FLASH课件播放人造卫星轨道和大坝面的例子，引出课题，然后通过实例说明“二面角的概念”，并通过学生的观察、思考、合作交流得出“二面角的度量方式”，难点之一得以化解，紧接着，从直二面角入手，结合实例(如教室墙面与墙面的位置关系)及多媒体教学，让学生在直观感知中得出面面垂直的判定定理，重难点顺利突破．【课前自主导学】【问题导思】观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．1．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所形成的角？【提示】二面角．2．平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？【提示】二面角的平面角．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(2)相关概念：①这条直线叫二面角的棱，②两个半平面叫二面角的面．(3)画法：直立式平卧式图2－3－12(4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q.(5)二面角的平面角：图2－3－13若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.【问题导思】建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？【提示】垂直．1．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：图2－3－14记作：α⊥β.2．判定定理文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎬⎫l⊥βl⊂α⇒α⊥β【课堂互动探究】面面垂直判定定理及应用如图，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面P AC⊥平面PBC.【思路探究】由C是圆周上异于直径AB的点―→AC⊥BC―→由P A垂直于⊙O所在的平面―→P A⊥BC―→BC⊥平面P AC―→平面P AC⊥平面PBC.【自主解答】连接AC，BC，则BC⊥AC，又P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，又BC⊂平面PBC，∴平面P AC⊥面PBC.应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤如果直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ【解析】因为m⊂α，m⊥γ，所以α⊥γ.因为l⊂γ，m⊥γ，所以l⊥m，所以A正确．记α∩γ＝n，因为l∥α，l⊂γ，所以l∥n.根据以上分析可画出草图，其中平面β可绕直线l转动，所以m∥β，α∥β都是不成立的．所以B，C，D都是错误的．【答案】 A面面垂直定义的应用如图，在四面体ABCD中，△ABD，△ACD，△BCD，△ABC都全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，求证：平面BCD⊥平面BCA.【思路探究】作出二面角D—BC—A的平面角，证明此平面角为直角即可．【自主解答】取BC的中点E，连接AE、DE，∵AB＝AC，∴AE⊥BC.又∵△ABD≌△ACD，AB＝AC，∴DB＝DC，∴DE⊥BC，∴∠AED为二面角A—BC—D的平面角．又∵△ABC≌△DBC，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，△DBC也是以BC为底的等腰三角形．∴AB＝AC＝DB＝DC＝3，又△ABD≌△BDC，∴AD＝BC＝2，在Rt△DEB中，DB＝3，BE＝1，∴DE＝DB2－BE2＝2，同理AE＝2，在△AED中，∵AE＝DE＝2，AD＝2，∴AD2＝AE2＋DE2，∴∠AED＝90°，∴以△BCD和△BCA为面的二面角的大小为90°.∴平面BCD⊥平面BCA.1．利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两平面垂直，其判定的方法是：(1)找出两相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个相交平面互相垂直．2．面面垂直定义的两个作用(1)证明面面垂直．首先作出两个平面相交所形成的二面角的平面角，然后证明此平面角是直角．(2)证明线线垂直．首先作出两个平面相交所形成的二面角的平面角，然后根据面面垂直推出该直二面角的平面角是直角．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD 折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.【解析】因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B－AD－C的平面角．因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°，BD＝CD＝22，所以BC＝⎝⎛⎭⎪⎫222＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝1.【答案】 1求二面角如图，已知四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD.(1)求二面角B－P A－D平面角的度数；(2)求二面角B－P A－C平面角的度数．【思路探究】先依据二面角的定义找相应二面角的平面角，然后借助三角形的边角关系求二面角的平面角的某一三角函数值，最后指出二面角的平面角的大小．【自主解答】(1)∵P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AD⊥P A.∴∠BAD为二面角B－P A－D的平面角．又由题意∠BAD＝90°，∴二面角B－P A－D平面角的度数为90°.(2)∵P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AC⊥P A.∴∠BAC为二面角B－P A－C的平面角．又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B－P A－C平面角的度数为45°.1．求二面角同求异面直线所成的角及斜线与平面所成的角一样，步骤如下：2．作二面角平面角的常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角．如图③，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．在题设条件不变的情况下，若P A＝AD，求平面P AB与平面PCD所成的二面角的大小．【解】∵CD∥平面P AB，过P作CD的平行线l，如图所示，由P A⊥CD，CD⊥AD，P A∩AD＝A知CD⊥平面P AD，从而CD⊥PD.又CD∥l，∴l⊥PD.∴∠DP A为平面P AB和平面PCD所成二面角的平面角，为45°.【思想方法技巧】转化思想在线面、面面垂直中的应用(12分)(2013·杭州高二检测)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，P A＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面P AC⊥平面PBD；(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．【思路点拨】解答本题第(1)(2)问可先根据需证问题寻找相关元素，再由判定定理进行判定．第(3)问可先找出二面角的平面角，再证明平面角等于45°.【规范解答】(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2. 则PD⊥DC. 2分同理可证PD⊥AD.又∵AD∩DC＝D，且AD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD. 4分(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD. 6分又∵BD∩PD＝D，且PD，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD.又∵AC⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面PBD. 8分(3)由(1)知PD⊥BC，又∵BC⊥DC，且PD，DC为平面PDC内两条相交直线，∴BC⊥平面PDC.∵PC⊂平面PDC，∴BC⊥PC.则∠PCD为二面角P－BC－D的平面角. 10分在Rt△PDC中，∵PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°，即二面角P－BC－D是45°的二面角. 12分【思维启迪】1．本题(1)(2)问涉及线面垂直和面面垂直，求解的关键是转化思想的应用，即“线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直”．2．突出二面角求解过程中的“作—证—解—答”的思想．【课堂小结】1．面面垂直的判定方法(1)定义法．(2)判定一个平面是否经过另一个平面的一条垂线．(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．2．求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个条件，即这个角的顶点是否在棱上；角的两边是否分别在两个平面内；这两边是否都与棱垂直．在具体作图时，还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧，如：线面的垂直、图形的对称性、与棱垂直的面等．3．线面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直，这体现了立体几何求解的转化思想.【当堂达标检测】1．自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有条件() A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β【解析】由二面角的平面角的定义可知D选项正确．【答案】 D2．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面()A．有1个B．有2个C．有无数个D．不存在【解析】由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．【答案】 C3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1－AB－C的大小为________．【解析】∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1－AB－C的平面角，其大小为45°.【答案】45°4．如图，四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，求证：平面PDC⊥平面P AD.【证明】∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD，又CD⊥AD，P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD.又CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面P AD.【课后知能检测】一、选择题1．(2014·杭州高一检测)以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角，可能为钝角的有()A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°；直线和平面所成角θ范围是0°≤θ≤90°；二面角的平面角θ的范围是0°～180°.故可能为钝角的只有二面角的平面角．【答案】 B2．如图所示，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－P A－C的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°【解析】∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，∴∠BAC即为二面角B－P A－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A.【答案】 A3．下列说法中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的有()A．①③B．②④C．③④D．①②【解析】对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的．故选B.【答案】 B4．已知P A⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示)．图中互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对【解析】∵DA⊥AB，DA⊥P A，AB∩P A＝A，∴DA⊥平面P AB，同样BC⊥平面P AB，又易知AB⊥平面P AD，∴DC⊥平面P AD.∴平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD⊥平面P AB，平面PBC⊥平面P AB，平面P AB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面P AD，共5对．【答案】 D5．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个B．1个C．无数个D．1个或无数个【解析】如果平面内一点与平面外一点的连线与平面垂直，则可以作无数个平面与已知平面垂直，如果两点连线与已知平面不垂直，则只能作一个平面与已知平面垂直．【答案】 D二、填空题6．下列四个命题中，正确的序号有________．①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；②α∥β，β∥γ，则α∥γ；③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.【解析】③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．【答案】①②7．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AD＝23，CC1＝2，二面角C1—BD—C的大小为________．【解析】如图，连接AC交BD于点O，连接C 1O，∵C1D＝C1B，O为BD中点，∴C1O⊥BD，∵AC⊥BD，∴∠C1OC是二面角C1—BD—C的平面角，在Rt△C1CO中，C1C＝2，可以计算C1O＝22，∴sin∠C1OC＝C1CC1O＝12，∴∠C1OC＝30°.【答案】30°8．(2014·荆州高一检测)在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，二面角A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED的度数为________．【解析】取BD中点O，连AO，CO，由AB＝BC＝CD＝AD，∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴∠AOC为二面角A－BD－C的平面角．∴∠AOC＝90°，又∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴△BAD与△BCD均为直角三角形．∴OC＝OD，∴△AOD≌△AOC，∴AD＝AC，∴△ACD为等边三角形．又∵E为CD中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°.【答案】90°三、解答题9．如图所示，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直角边AO所在直线为轴旋转得到，且二面角B－AO－C是直二面角，D是AB的中点．求证：平面COD ⊥平面AOB .【证明】由题意CO ⊥AO ，BO ⊥AO ，∴∠BOC 是二面角B －AO －C 的平面角．∵二面角B －AO －C 是直二面角，∴CO ⊥BO ，又∵AO ∩BO ＝O ，∴CO ⊥平面AOB ，∵CO ⊂平面COD ，∴平面COD ⊥平面AOB .10．如图，在四面体A －BCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝CB ＝CD ＝AC ＝a ，求证：平面ABD ⊥平面BCD .【证明】 ∵△ABD 与△BCD 是全等的等腰三角形，∴取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则AE ⊥BD ，CE ⊥BD .在Rt △ABE 中，∵AB ＝a ，BE ＝12BD ＝22a ，∴AE ＝AB 2－BE 2＝22a .同理CE ＝22a .在△AEC 中，∵AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ，∴AC 2＝AE 2＋CE 2，即AE ⊥CE ，∠AEC ＝90°，即二面角A －BD －C 的平面角为90°.故平面ABD ⊥平面BCD .11．如图所示，四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，求二面角V －AB －C 的大小．【解】如图，作VO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，则VO ⊥AB ，取AB 中点H ，连接VH ，OH ，则VH ⊥AB .∵VH ∩VO ＝V ，∴AB ⊥平面VHO ，∴AB ⊥OH ，∴∠VHO 为二面角V －AB －C 的平面角．易求VH 2＝VA 2－AH 2＝(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝4，∴VH ＝2，而OH ＝12AB ＝1，∴∠VHO ＝60°. 故二面角V －AB －C 的大小是60°.。

世纪金榜高中数学课题：直线与平面垂直的判定教案新人教A版

课题：直线与平面垂直的判定课型：新讲课一、教学目标一、知识与技术（1）使学生把握直线和平面垂直的概念及判定定理；（2）使学生把握判定直线和平面垂直的方式；（3）培育学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、归纳结论。

二、进程与方式（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的概念的形成进程；（2）探讨判定直线与平面垂直的方式。

3、情态与价值培育学生学会从“感性熟悉”到“理性熟悉”进程中获取新知。

二、教学重点、难点直线与平面垂直的概念和判定定理的探讨。

三、教学设计（一）创设情景，揭露课题一、教师第一提出问题：在现实生活中，咱们常常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、试探、讨论、教师对学生的活动给予评判。

二、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过度析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。

（二）研探新知一、为使学生学会从“感性熟悉”到“理性熟悉”进程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。

然后教师引导学生用“平面化”的思想来试探问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的概念进程取得启发，可否用一条直线垂直于一个平面内的直线来概念这条直线与那个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，归纳其概念。

若是直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，咱们就说直线L与平面α相互垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

并对画示表示进行说明。

L pα图2-3-1二、教师提出问题，让学生试探：（1）问题：尽管能够依照概念判定直线与平面垂直，但这种方式事实上难以实施。

有无比较方即可行的方式来判定直线和平面垂直呢？（2）师生活动：请同窗们预备一块三角形的纸片，咱们一路来做如图实验：过△ABC 的极点A 翻折纸片，取得折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD 与桌面所在平面垂直？AB D C图（3）归纳结论：引导学生依照直观感知及已有体会（两条相交直线确信一个平面），进行合情推理，取得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

高中数学2.3.2平面与平面垂直的判定教案新人教A版必修2

2.3.2 平面与平面垂直的判定一、教材分析在空间平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种超级重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的概念是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点.使学生掌握两个平面彼此垂直的判定，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多角度分析、思考问题，培育学生的创新精神.二、教学目标1．知识与技术（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面彼此垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.2．进程与方式（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的气宇方式及两个平面垂直的判定定理.3．情态、态度与价值观通过揭露概念的形成、发展和应有和进程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生踊跃思维，培育学生的观察、分析、解决问题能力.三、教学重点与难点教学重点:平面与平面垂直判定.教学难点:平面与平面垂直判定和求二面角.四、课时安排1课时五、教学设计（一）温习两平面的位置关系：（1）若是两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β.（2）若是两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交.两平面平行与相交的图形表示如图1.图1（二）导入新课思路1.(情境导入)为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角.修筑水坝时，为了使水坝牢固耐用必需使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成必然的角度.为此，咱们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角.思路2.(直接导入)前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，如何描述这种转变呢？今天咱们一路来探讨两个平面所成角问题.（三）推动新课、新知探讨、提出问题①二面角的有关概念、画法及表示方式.②二面角的平面角的概念.③两个平面垂直的概念.④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明.⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里？讨论结果：①二面角的有关概念.二面角的概念：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.二面角常常利用直立式和平卧式两种画法：如图2（教师和学生一路动手）.直立式：平卧式：(1) (2)图2二面角的表示方式：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β.有时为了方便也可在α、β内（棱之外的半平脸部份）别离取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.图3若是棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.②二面角的平面角的概念.如图4,在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内别离作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.图4再取棱上另一点O′，在α和β内别离作l 的垂线O ′A′和O′B′，则它们组成角∠A′O′B′.因为OA∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB 及∠A′O′B′的两边别离平行且方向相同, 即∠AOB=∠A′O′B′.从上述结论说明了：依照上述方式作出的角的大小，与角的极点在棱上的位置无关. 由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内别离作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 图中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角.③直二面角的概念.二面角的大小可以用它的平面角来气宇，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是彼此垂直的.两个平面彼此垂直的概念和平面几何里两条直线彼此垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来概念，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角. 两个平面彼此垂直的概念可表述为：若是两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面彼此垂直. 直二面角的画法：如图5.图5④两个平面垂直的判定定理.若是一个平面通过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面彼此垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为：⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB ⇒α⊥β.两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图6.图6证明如下：已知AB⊥β，AB∩β=B，AB ⊂α. 求证：α⊥β.分析：要证α⊥β,需证α和β组成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.证明：设α∩β=CD，则由AB ⊂α,知AB 、CD 共面. ∵AB⊥β，CD ⊂β,∴AB⊥CD，垂足为点B. 在平面β内过点B 作直线BE⊥CD, 则∠ABE 是二面角αCDβ的平面角.又AB⊥BE，即二面角αCDβ是直二面角, ∴α⊥β.⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直.（四）应用示例思路1例1 如图7,⊙O 在平面α内，AB 是⊙O 的直径，PA⊥α，C 为圆周上不同于A 、B 的任意一点.图7求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：设⊙O 所在平面为α,由已知条件，PA⊥α,BC ⊂α,∴PA⊥BC. ∵C 为圆周上不同于A 、B 的任意一点,AB 是⊙O 的直径, ∴BC⊥AC.又∵PA 与AC 是△PAC 所在平面内的两条相交直线， ∴BC⊥平面PAC.∵BC ⊂平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC. 变式训练如图8，把等腰Rt△ABC 沿斜边AB 旋转至△ABD 的位置，使CD=AC ，图8（1）求证：平面ABD⊥平面ABC ；（2）求二面角CBDA 的余弦值. （1）证明：由题设,知AD=CD=BD,作DO⊥平面ABC ，O 为垂足，则OA=OB=OC. ∴O 是△ABC 的外心，即AB 的中点. ∴O∈AB ，即O ∈平面ABD. ∴OD ⊂平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC.（2）解:取BD 的中点E ，连接CE 、OE 、OC, ∵△BCD 为正三角形，∴CE⊥BD.又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE⊥BD. ∴∠OEC 为二面角CBDA 的平面角. 同（1）可证OC⊥平面ABD.∴OC⊥OE.∴△COE 为直角三角形. 设BC=a ，则CE=a 23，OE=a 21，∴cos∠OEC=33=CE OE .点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.例2 如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD ，它与堤角的水平线AB 的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m 时人升高了多少？（精准到0.1 m ）图9解：取CD 上一点E ，设C E=10 m ，过点E 作直线AB 所在的水平面的垂线EG ，垂足为G ，则线段EG 的长就是所求的高度.在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F ，并连接FG,则FG⊥AB,即∠EFG 就是河堤斜面与水平面ABG 所成二面角的平面角, ∠EFG=60°,由此,得EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×2352321=⨯≈（m ）. 答：沿直道行走到10 m 时人升高约4.3 m.变式训练已知二面角αABβ等于45°，CD ⊂α，D ∈AB ，∠CDB=45°.求CD 与平面β所成的角.解：如图10，作CO⊥β交β于点O ，连接DO ，则∠CDO 为DC 与β所成的角.图10过点O 作OE⊥AB 于E ，连接CE ，则CE⊥AB. ∴∠CEO 为二面角αABβ的平面角，即∠CEO=45°. 设CD=a,则CE=a 22,∵CO⊥OE，OC=OE ， ∴CO=a 21.∵CO⊥DO,∴sin∠CDO=21=CD CO . ∴∠CDO=30°,即DC 与β成30°角.点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常常利用的方式是：在一个半平面α内找一点C ，作另一个半平面β的垂线，垂足为O,然后通过垂足O 作棱AB 的垂线，垂足为E,连接AE,则∠CEO 为二面角α-AB-β的平面角.这一进程要求学生熟记.思路2例1 如图11，ABCD 是菱形，PA⊥平面ABCD ，PA=AD=2，∠BAD=60°.图11（1）求证：平面PBD⊥平面PAC ；（2）求点A 到平面PBD 的距离；（3）求二面角APBD 的余弦值.（1）证明：设AC 与BD 交于点O ，连接PO, ∵底面ABCD 是菱形,∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD,BD ⊂平面ABCD,∴的PA⊥BD. 又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.又∵BD ⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC.(2)解：作AE⊥PO 于点E,∵平面PBD⊥平面PAC,∴AE⊥平面PBD. ∴AE 为点A 到平面PBD 的距离.在△PAO 中,PA=2,AO=2·cos30°=3,∠PAO=90°, ∵PO=722=+AO PA ,∴AE=7212732==•PO AO PA .∴点A 到平面PBD 的距离为7212. 3）解：作AF⊥PB 于点F,连接EF, ∵AE⊥平面PBD,∴AE⊥PB. ∴PB⊥平面AEF,PB⊥EF.∴∠AFE 为二面角APBD 的平面角. 在Rt△AEF 中,AE=7212,AF=2, ∴sin∠AFE=742=AF AE ,cos∠AFE=77)742(12=-. ∴二面角APBD 的余弦值为77. 变式训练如图12，PA⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 别离是AB 、PC 的中点.（1）求证：MN∥平面PAD ；（2）求证：MN⊥CD；（3）若二面角PDCA=45°，求证：MN⊥平面PDC.图12 图13证明：如图13所示,（1）取PD 的中点Q ，连接AQ 、NQ,则QN21DC,AM 21DC, ∴QN AM.∴四边形AMNQ 是平行四边形.∴MN∥AQ.又∵MN ⊄平面PAD,AQ ⊂平面PAD,∴MN∥平面PAD. （2）∵PA⊥平面ABCD ，∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD. 又∵AQ ⊂平面PAD,∴CD⊥AQ. 又∵AQ∥MN,∴MN⊥CD.（3）由（2）知，CD⊥平面PAD, ∴CD⊥AD,CD⊥PD.∴∠PDA 是二面角PDCA 的平面角.∴∠PDA=45°. 又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.∴AQ⊥PD. 又∵MN∥AQ,∴MN⊥CD.又∵MN⊥PD,∴MN⊥平面PDC.例2 如图14,已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA 1，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点.图14（1）求证：直线MF∥平面ABCD ；（2）求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1；（3）求平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小. （1）证明：延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连接AN. ∵F 是BB 1的中点，∴F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点. 又M 是线段AC 1的中点，故MF∥AN. 又∵MF ⊄平面ABCD,AN ⊂平面ABCD, ∴MF∥平面ABCD.（2）证明：连接BD ，由直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1,可知AA 1⊥平面ABCD, 又∵BD ⊂平面ABCD ，∴A 1A⊥BD. ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC⊥BD. 又∵AC∩A 1A=A,AC 、A 1A ⊂平面ACC 1A 1,∴BD⊥平面ACC 1A 1.在四边形DANB 中，DA∥BN 且DA=BN ， ∴四边形DANB 为平行四边形. 故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC 1A 1. 又∵NA ⊂平面AFC 1,∴平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.（3）解：由（2）,知BD⊥平面ACC 1A 1，又AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴BD⊥AC 1. ∵BD∥NA，∴AC 1⊥NA.又由BD⊥AC,可知NA⊥AC，∴∠C 1AC 就是平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的平面角或补角. 在Rt△C 1AC 中，tan∠C 1AC=311=CA C C ，故∠C 1AC =30°. ∴平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°.变式训练如图15所示，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD ，且AB=2，SC=SD=2.图15（1）求证：平面SAD⊥平面SBC ；（2）设BC=x ，BD 与平面SBC 所成的角为α，求sinα的取值范围. （1）证明：在△SDC 中，∵SC=SD=2，CD=AB=2,∴∠DSC=90°,即DS⊥SC.∵底面ABCD 是矩形,∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD,∴BC⊥面SDC. ∴DS⊥BC.∴DS⊥平面SBC.∵DS ⊂平面SAD,∴平面SAD⊥平面SBC.（2）解：由（1）,知DS⊥平面SBC,∴SB 是DB 在平面SBC 上的射影. ∴∠DBS 就是BD 与平面SBC 所成的角，即∠DBS=α. 那么sinα=DBDS. ∵BC=x,CD=2⇒DB=24x +,∴sinα=242x+.由0＜x ＜+∞,得0＜sinα＜22.（五）知能训练讲义本节练习.（六）拓展提升如图16，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N 是PB 中点，过A 、D 、N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点.图16（1）求证：EN∥平面PCD ；（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN ；（3）求平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的正切值. (1)证明：∵AD∥BC,B C ⊂面PBC,AD ⊄面PBC, ∴AD∥面PBC.又面ADN∩面PBC=MN, ∴AD∥MN.∴MN∥BC. ∴点M 为PC 的中点.∴MN21BC. 又E 为AD 的中点，∴四边形DENM 为平行四边形. ∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.（2）证明：连接PE 、BE,∵四边形ABCD 为边长为2的菱形，且∠BAD=60°, ∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD,∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB. 又∵PA=AB 且N 为PB 的中点, ∴AN⊥PB.∴PB⊥面ADMN. ∴平面PBC⊥平面ADMN.（3）解：作EF⊥AB，连接PF ，∵PE⊥平面ABCD,∴AB⊥PF. ∴∠PFE 就是平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的平面角. 又在Rt△AEB 中，BE=3，AE=1，AB=2,∴EF=23. 又∵PE=3,∴tan∠PFE=233=EFPE=2,即平面PAB 与平面ABCD 所成的二面角的正切值为2.（七）课堂小结知识总结：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方式总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.（八）作业讲义习题2.3 A组一、二、3.。

高中数学必修二《平面与平面垂直的判定》优秀教学设计

课题：平面与平面垂直的判定【学情分析】平面与平面垂直的判定是立体几何中点、线、面的位置关系最后一节内容，在此之前，学生已经研究过线面、面面平行的判定和性质以及线面垂直的判定，能够较熟练地运用相关定理对线线、线面、面面的平行的判定和性质、线面垂直的判定进行研究与论证。

【教学目标】知识技能目标1．结合实际问题使学生了解二面角及二面角的平面角的定义； 2．学生通过具体情境分析、探索平面与平面垂直的判定定理；3．利用判定定理判定或证明简单的平面与平面垂直问题，初步掌握平面与平面垂直的判定方法。

能力目标1．结合情境，通过自主探究逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，着重培养学生的认知能力；2．引导学生从日常生活中发现判定定理，培养学生的发现意识和能力。

【教学重点、难点】判定定理的证明及应用．【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、投影仪．【教学过程】一、复习旧知，温故知新师:初中我们学过角的概念是什么？生：由一点引两条射线所组成的几何图形叫做角。

记作：AOB ∠师:什么是斜线与平面所成的角？生：斜线与斜线在平面内的射影所成的角。

师: 也就是说将线面角转化为线线角。

BAO〖设计意图〗复习旧知识，为新知识学习埋下伏笔。

二、创设情境，引入新课师:取一张纸，任意一折，这样一个平面就变成两个…… 生：相交平面师:此时这两个平面就成一定的…… 生：角度师:为此，我们需要引进二面角的概念，研究两个平面所成的角。

〖设计意图〗从现实生活中，学生所熟悉的简单直观的实际问题引入，使学生易于接受。

三、类比知新，了解概念师:如何定义两个平面所成的角呢？（引导学生类比初中学的角的定义）二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的几何图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。

记作：二面角βα--l 、二面角βα--AB 或者二面角D BC A -- 师:生活中有许多的二面角，你能举出一些实例吗？生：折纸，书打开，门打开等。

高中数学234平面与平面垂直的性质教案新人教A版必修2教案

高中数学234平面与平面垂直的性质教案新人教A版必修2教案教学内容：高中数学《平面与平面垂直的性质》教学设计教学目标：1.理解平面与平面垂直的定义；2.掌握平面与平面垂直的判定方法；3.运用平面与平面垂直的性质解决实际问题。

教学重点：1.平面与平面垂直的定义；2.平面与平面垂直的判定方法。

教学难点：1.运用平面与平面垂直的性质解决实际问题。

教学准备：1.多媒体设备；2.教学课件；3.板书工具。

教学过程：Step 1：导入新知以两面相交直线的垂直为例，复习垂直线段的定义与判定方法，并引入本节课的主要内容：平面与平面垂直。

Step 2：引入新知1.解释平面与平面垂直的定义：当两个平面的交线与其中一个平面的一条直线垂直时，称这两个平面垂直。

2.图示两个平面垂直的情况，强调交线与直线垂直的关系。

Step 3：判定平面与平面垂直的方法1.利用平面与直线垂直的性质，结合两个平面所包含的直线，判定两个平面垂直。

2.指导学生通过观察图形，判定哪些平面是垂直的。

Step 4：例题讲解结合具体示例，讲解平面与平面垂直的判定方法。

例题：已知平面P与平面Q的交线与直线l垂直，l与平面Q的交线与平面R的交线垂直。

问平面P与平面R是否垂直？解题思路：由已知条件可知，平面P与平面Q的交线与直线l垂直，说明平面P与平面Q垂直；同时l与平面Q的交线与平面R的交线垂直，说明平面R与平面Q垂直。

因此，根据垂直的传递性推论，可以得出平面P与平面R垂直。

Step 5：解决实际问题给学生提供一些有关平面与平面垂直的实际问题，引导学生用所学知识解决问题。

Step 6：归纳总结总结平面与平面垂直的定义与判定方法。

Step 7：课堂练习布置一些练习题，让学生进行巩固练习。

Step 8：作业布置布置课后作业，要求学生进一步巩固所学知识。

教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解平面与平面垂直的定义，并能够熟练运用判定方法解决问题。

同时，通过解决实际问题的训练，提高了学生的应用能力。

高中数学人教A版必修2第二章2.3.2 平面与平面垂直的判定教案(第一课时)

平面和平面垂直的判定教案第一课时教学目标1、熟悉二面角的相关概念，能理解二面角的画法2、掌握平面与平面垂直的判定定理，培养学生空间想象能力教学重点掌握二面角的定义，两个平面垂直的判定定理教学难点掌握两个平面垂直的判定定理及其应用【教学设计】从角的概念入手，让同学们讨论生活中我们感受到了那些“角”？然后逐步诱导引出二面角的感念，进而走进二面角，认识二面角的平面角，引出“直二面角”，导出“平面和平面垂直的定义”，分析得出“平面与平面垂直的判定定理”，实例讲解，自主探究，活学活用！【教学过程】同学们，结合生活实际，你能举出身边有关“垂直”的实例吗？（同学们回答），线、面中有线线垂直、线面垂直，还有面面垂直的图形吗?观察分析场景一：学生甲演示推门的过程形成的图形，场景二：学生乙演示打开书本的过程形成的图形，场景三：幻灯图片展示水库大坝面与水平面形成的图形，场景四：人造卫星运行轨道平面与地球赤道平面形成的图形…….请你们告诉我，这些图形有什么相同点和不同点？探究一：在平面几何中“角”是怎样定义的？构成角的基本要素有几个？根据角的定义，在空间立体几何中，我们可以如何定义二面角？预习教材第68页第一段（走进二面角）认识二面角，了解二面角的概念、画法和表示法。

探究二：通过欣赏我们看到，各二面角的开口程度不同，我们常说“把门开大些”，是指哪个角大一些?如何刻画二面角的大小呢？通过三视图，自然过渡，二面角的大小可以用他的平面角来表示，走进二面角的平面角。

【请您阅读】教材第68页二、三自然段，理解并记忆相关的知识。

探究三：二面角的平面角的定义是什么？取值范围是什么？其中有特殊的角吗？类比两条直线互相垂直，如何定义两个平面互相垂直呢？如何画直二面角？探究四：现在我们可以用二面角的大小判断两个平面是否垂直，如何判定两个平面互相垂直呢？【观察分析】类比空间中线、面垂直的研究思路，结合对下面实例的分析，提出你的猜想。

1.教室的相邻两个墙面都和教室地面垂直吗？两相邻墙面有什么共同特征？2.打开的书本立在桌面上时，每页书所在平面和桌面垂直吗？书页有何共同特征？3.教室的门面不论转动到什么位置都有门面垂直于地面，门面转动过程中保持了哪一个特征呢？【猜想】若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直印证猜想如图长方体中，侧面A1D过底面ABCD的一条垂线A1A，根据上面猜想，应有侧面A1D与底面ABCD垂直，你能找到相应二面角的平面角再加以确认吗？【得出结论】“一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直！”这就是平面和平面垂直的判定定理【典型例题讲解】如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC。

高中数学平面与平面垂直的判定教案新人教A版必修2

1.6.2平面与平面垂直的判定一、教学目标1、知识与技能：（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

2、过程与方法：（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

3、情态与价值：通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。

二、教学重点、难点重点：平面与平面垂直的判定。

难点：如何度量二面角的大小。

三、学法与教法1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。

2、教法：探究讨论法。

四、教学设计（一）创设情景，揭示课题：问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。

（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）角二面角图形 A 顶点O边 BA梭 l βBα定义从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形构成射线—点（顶点）一射线半平面一线（棱）一半平面表示∠AOB 二面角α-l-β或α-AB-β2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。

高中数学必修二 8 6 3 平面与平面垂直(第1课时)平面与平面垂直的判定教学设计新

【新教材】8.6.3 平面与平面垂直教学设计（人教A版）第1课时平面与平面垂直的判定在平面与平面的位置关系中，垂直是一种非常重要的关系，本节内容是直线与平面垂直关系延续和提高.通过本节使学生对整个空间中的垂直关系有一个整体的认知，线线垂直、线面垂直、面面垂直是可以相互转化的.课程目标1．理解二面角的概念，并会求简单的二面角；2．理解直二面角与面面垂直的关系，理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.3.通过面面垂直定理的理解及运用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的判定定理，找垂直关系；2. 数学运算：求二面角；3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.重点：平面与平面垂直的判定定理及其应用.难点：平面与平面垂直的判定定理，找垂直关系.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入我们知道如果两个平面的二面角是直角，那么这两个平面一定垂直.那么有没有更简单的方法证明两个平面垂直？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本155-158页，思考并完成以下问题1、什么是二面角？什么是直二面角？2、平面与平面平行的判定定理是什么？3、怎样用符号语言表示平面与平面平行的判定定理？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1.二面角(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫二面角的面.图中的二面角可记作:二面角α-AB-β或α-l-β或P-AB-Q.(2)二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直与直线l的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.2.平面与平面垂直(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作α⊥β.(2)判定定理四、典例分析、举一反三题型一对面面垂直判定定理的应用例1 如图，是的直径，点是上的动点，垂直于所在的平面．证明：平面平面.【答案】证明见解析．【解析】证明：∵是的直径，点是上的动点，AB O⊙C O⊙PA O⊙ABCPAC PBCAB O⊙C O⊙∴，即．又∵垂直于所在平面，平面∴．∴∴平面．又平面，∴平面平面．解题技巧（判定两个平面垂直的常用方法）(1)定义法:即说明两个平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.跟踪训练一1、如图所示,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,AA 1=2,M 是棱CC 1的中点.证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M.【答案】证明见解析.【解析】证明由长方体的性质可知,A 1B 1⊥平面BCC 1B 1,又BM ⊂平面BCC 1B 1,所以A 1B 1⊥BM.又CC 1=2,M 为CC 1的中点,所以C 1M=CM=1.90ACB ∠=︒BC AC ⊥PA O ⊙BC ⊂O ⊙PA BC ⊥PA AC A =BC ⊥PAC BC ⊂PCB PAC ⊥PBC在Rt△B1C1M中,B1同理又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,从而BM ⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1,所以BM⊥平面A1B1M.因为BM⊂平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.题型二求二面角例2如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中:(1)求二面角D′-AB-D的大小;(2)若M是C′D′的中点,求二面角M-AB-D的大小.【答案】(1)45°. (2)45°.【解析】(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥AD′,AB⊥AD,因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角,在Rt△D′DA中,∠D′AD=45°.所以二面角D′-AB-D的大小为45°.(2)因为M是C′D′的中点,所以MA=MB,取AB的中点N,连接MN,则MN⊥AB.取CD的中点H,连接HN,则HN⊥AB.从而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45°.所以二面角M-AB-D的大小为45°.解题技巧：(作二面角的三种常用方法)(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(2)垂直法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 跟踪训练二1、如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面PBC,PA=PB=2,PC=4,BC=2√3.(1)求证:平面PAB⊥平面ABC;(2)E为BA的延长线上一点,若二面角P-EC-B的大小为30°,求BE的长.【答案】证明见解析【解析】（1）证明:因为PA⊥平面PBC,所以PA⊥PC,PA⊥PB.经计算,得所以AB2+BC2=AC2,故BC⊥AB.又PA⊥平面PBC,所以PA⊥BC.因为PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.又BC⊂平面ABC,故平面PAB⊥平面ABC.(2)如图,取AB的中点F,连接PF.因为PA=PB,所以PF⊥AB.由(1)知平面PAB⊥平面ABC, 又平面PAB∩平面ABC=AB,PF⊂平面PAB,所以PF⊥平面ABC,PF⊥EC.过F作FG⊥EC于G,连接PG.因为PF⊥EC,PF∩FG=F,所以EC⊥平面FPG.因为PG⊂平面FPG,所以EC⊥PG.于是∠PGF是二面角P-EC-B的平面角,因此,∠PGF=30°.又所以设由(1)知BC⊥AB,所以△EFG ∽△ECB,得FG BC =EF EC .因此, 即x 2解得舍去).所以五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本158页练习，162页习题8.6的3、6、7、8题.学生了解两个平面垂直的判定，但在问题中应用的时候就不够灵活或找不到需要的条件.为此，本节的课堂中心是判定定理的引入与理解，判定定理的应用及立体空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养.。

8.6.3 平面与平面垂直的判定 (教案)-高中数学人教A版(2019)必修第二册

提问回答例题练习1..二面角的概念（1）半平面：平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。

（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．（3）二面角的画法和记法：面1－棱－面2 点1－棱－点2二面角βα--l二面角QlP--问题1：我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？问题2：探究：用课本作模型，相邻两页书也构成二面角，活动：尝试“打开课本”为30°、90°、120°，观察是指哪个角的变化？（4）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.思考：∠AOB 的大小与点O在棱l上的位置有关吗？为什么？二面角的平面角必须满足：①角的顶点在棱上②角的两边分别在两个面内③角的边都要垂直于二面角的棱观察：教室相邻两个墙面与地面可构成几个二面角？分别指出构这些二面角的面、棱、平面角及其度数。

【答案】三个2. 平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作：βα⊥图形表示：深刻二面角概念。

学生做好笔记，并理解记忆学生做好笔记，并力。

通过思考，引入二面角的平面角，提高学生分析问题、概括能力。

通过观察，由实例引入两平观察：如图，建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？【答案】用铅锤来检测，如系有铅锤的细线紧贴墙面，认为墙面垂直与地面。

3.平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。

图形：符号语言：βαβα⊥⇒⊂⊥a a , 简记：线面垂直，则面面垂直。

三、巩固知识、典型讲练练习：概念辨析．判断下列说法的对错：(1)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（）(2)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.（）(3)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β.（）(4)若m ⊥α , m ⊂β,则α⊥β.（）例 1.在正方体D C B A ABCD ''''-中，求证：平面A C AC BD A ''⊥'平面例2.如图,AB 是圆O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.练习：练．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③四、课堂小结1. 平面与平面垂直的判定：(1)定义(2)判定定理2.数学思想：转化思想五、布置作业习题8.6 6,7题让学生进行小结结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

2019-2020年高中数学平面与平面垂直的判定教案新课标人教版必修2(A)

2019-2020年高中数学平面与平面垂直的判定教案新课标人教版必修2(A)一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。

二、教学重点、难点。

重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。

三、学法与教学用具。

1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。

2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。

（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。

高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定教案新人教A必修2

云南省德宏州潞西市芒市中学2014年高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定教案新人教A必修2一、内容及其解析1．内容：本节内容是在学习了上节“直线与平面平行的判定”的基础上用同样的思想方法来研究“直线与平面垂直的判定”；包括：直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定、直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质。

2．解析：本节内容的处理继续遵循“直观感知—操作确认---思辨论证---度量计算”的认识过程展开。

直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理通过具体实例，按照直观感知、操作确认的方式得出，并用精确语言表达；直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理则在观察、操作的基础上作出猜想，然后通过推理论证，得出猜想的正确性。

二、目标及其解析1．目标：（1）探究直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，培养学生的空间想象能力；（2）掌握直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力；（3）让学生明确直线与平面垂直、平面与平面垂直在立体几何中的地位；2．解析：空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面的垂直问题是连接线线垂直和面面垂直的桥梁和纽带，可以说线面垂直是立体几何的核心.三、教学问题诊断本节教学中，教师要注意引导学生类比上节内容的研究方法，遵循“直观感知—操作确认---思辨论证---度量计算”的认识过程展开，这个认识过程要让学生充分感受到。

本节的重点是：直观感知、操作确认，概括出判断定理和性质定理；难点是：性质定理的证明。

四、教学支持条件应用基本教学设施教学五、教学过程设计（一）教学基本流程（二）教学情境1.创设情景，导入新课前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？今天我们一起来探究两个平面所成角问题.2．新知探究问题1什么叫二面角？怎样画及表示一个二面角？师生活动：教师引导学生结合事例观察探究，最后师生共同总结：二面角的有关概念.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图2（教师和学生共同动手）.直立式：平卧式：(1) (2)图2二面角的表示方法：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β.有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.图3如果棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.问题2二面角的平面角的概念。

高中数学人教A版必修二教案：2.3.2平面与平面垂直的判定

中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.
（二）教学重点、难点
重点：平面与平面垂直的判定；
难点：如何度量二面角的大小.
（三）教学方法
实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合.
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
问题 1：平面几何中“角”
学生自由发言，教师小
是怎样定义的？
结，并投影两个平面所成角
----------------------------------------------------------------------------
1．平面与平面垂直的定义，下注意事项.
生自学能力,
记法与画法.
师：以教室的门为例，通过实验，
一般地，两个平面相交，由于门框木柱与地面垂直，培养学生观
是 EF 的中
点，现在沿
SE，SF 及
EF 把这个正
方形折成一个四面体，使
G1，G2，G3 三点重合，重合后的点记为 G，则在四面体 S –
EFG 中必有（ A ）
A．SG⊥EFG 所在平面
随堂练习
B．SD⊥EFG 所在平面
C．GF⊥SEF 所在平面
D．GD⊥SEF 所在平面
2．如图，已知 AB⊥平面
OA 和 OB，则射线 OA 和 OB
构成的∠AOB 叫做二面角的平
面角.
（2）二面角的平面角的大
小与 O 点位置无关.
（3）二面角的平面角的范
围是[0，180°]
（4）平面角为直角的二面

角叫做直二面角.
探索新知
二、平面与平面垂直
学生自学，教师点拔一
培养学
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高中数学《平面与平面垂直的判定》精品公开课教案教学设计

平面与平面垂直的判定教学设计一、教学内容解析：1.教材的地位与作用：本节课是人教A版必修2第2章第3节的第2课时，它是在直线与平面垂直的基础上，介绍二面角、二面角的平面角、面面垂直的定义及判定定理，本节课既是前面知识的巩固升华，又是后面研究线面、面面垂直性质的基础，在面面垂直的判定定理探究中有利于培养学生的空间想象能力、直观感知能力和逻辑推理能力，培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学核心素养，同时本节课体现了转化化归、类比归纳等数学思想，是高中立体几何课程中的重点课题之一。

2.教学重点、难点：重点：平面与平面垂直的判定定理及应用难点：二面角大小的度量二、教学目标设置：1.通过直观感受生活中的二面角实物图，抽象出二面角的概念，提高学生观察、分析、类比、化归能力，培养学生数学抽象核心素养。

2.通过分组合作探究作二面角的平面角的过程，达到利用平面角刻画二面角的目标，深化刻画空间角的唯一性思想方法，体验数学的严谨性，培养学生严谨的数学思维习惯和自我反思纠错习惯。

3.通过动手操作实验探究过程，归纳猜想出面面垂直的关键，再通过推理论证得出判定定理，提升学生归纳分析，猜想论证能力，培养学生逻辑推理、抽象概括数学核心素养。

4. 通过运用定理的过程，达到巩固理解所学知识的目标，提高学生类比化归能力，培养学生降低空间维数的化归与转化的数学思想。

三、学生学情分析：1.学生前面已经学习了面面平行以及线面垂直，有了知识储备，课前也已经预习了课本内容.2.大部分同学已经具备了一定的空间想象能力、基本的逻辑推理思维、书写的规范性等.但是，本节课的教学难点在于探究二面角的平面角，学生不容易理解，通过小组合作探究，给出不同的解决方案，分析利弊，最终解决问题、加深理解，让学生体会数学的严谨性.3.经过高一一年的学习，绝大多数同学能够积极主动地参与到课堂探究、讨论活动中.在知识建构的过程中，各小组能够很快形成自己的看法并主动推选出代表发言.小组间既有竞争又有合作，能够实现“生本愉悦课堂”，保证课堂的高效.四、教学策略分析：我采用启发引导、分组合作、讲练结合的教学方法，使学生形成“直观感知—操作确认—数学抽象—归纳猜想—严谨证明—灵活应用”的探究式学习方法，从而达到以学生为主体，教师为主导，师生共同发展的课堂教学效果.为此我采用如下形式：1.实物投影——现场投影学生作品，及时发现问题、解决问题，充分体现问题来自于学生、解决于学生，最终提高学生的能力.2.教具——自制教具、现场演示门、打开着的书，尊重学生由直观感知到数学抽象的认知规律，充分体现数学源于生活又高于生活的基本理念.3.各种制图软件的综合利用——巧妙地将几何画板及录屏软件结合使用，实现二面角的动态转动效果，既满足了学生直观感知的需要，又为培养学生数学抽象思维提供了帮助.五、教学基本流程(总体设计)从人类生产实践的需要引入二面角的有关概念↓构建二面角的的平面角↓直二面角↓平面与平面垂直↓平面与平面垂直的判定↓平面与平面垂直的应用↓课堂梳理↓布置作业六、教学过程设计（一）直观感知，形成概念前面讨论了两个平面平行的问题，下面将要研究两个相交平面的位置关系．在生产实践中，有许多问题涉及到两个平面相交成一定角的情形，例如修筑水坝时，为了使水坝坚固，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球赤道平面成一定的角度．（教师用多媒体显示模型）师：生活中，你还能举出哪些问题涉及到两个平面相交呢？生：打开的门，门面与墙面成一定角度；翻开着的书，两个书页面成一定角度；打开着的笔记本电脑两个面也成一定角度．课件展示实物图，将其命名为二面角，我们应该怎么理解二面角呢？（设计意图：从学生所熟悉的实际问题引入，使学生了解数学来源于实际生活；同时引导学生体会知识的形成过程，使学生从直观感知到理论抽象生成概念做铺垫，培养学生数学抽象核心素养．）引导学生思考：一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线．那么一个平面被平面中的一条直线分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．师：初中已经学过平面中的“角”是怎样定义的？(教师用多媒体演示角的形成) 生：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角．类比得出概念：射线-点-射线半平面-棱-半平面师：你能根据平面中"角"的定义类比归纳得出平面与平面所成角的概念吗？生：从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(教师用自制教具演示二面角的形成)（设计意图：创设问题情境，引导学生充分思考，在结合教具演示，启发学生通过角的定义类比得出二面角的定义）（二）动手操作，归纳确认1．二面角的概念：从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．（课件展示）（1）二面角的画法课件展示二面角实物图（打开着的笔记本电脑），让学生按照实物图作出直观图。

高中数学人教A版必修2第二章2.3.2 平面与平面垂直的判定教案 (1)

2.3.2平面与平面垂直的判定【教学目标】知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

（3）利用转化的方法掌握和应用两个平面垂直的判定定理情感态度与价值观：通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。

【教学重点】掌握两个平面垂直的判定．【教学难点】度量二面角的大小．【教学资源】1、人教A版教材《必修2》2、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。

3、教学用具：二面角模型（两块硬纸板），多媒体投影【教学过程】一、预习指导1、温故知新（1）直线与平面垂直的判断，两平面的位置关系，平面内角的定义，线面线面角的定义（2）在现实生活中，我们经常看到一些平面与平面相交形成的空间图形，例如：“教室的墙面、两书页之间所在的平面形成的图形”.（3）思考：教室两面墙形成的角大小是多少?这个角是平面角吗?二、自主展示：（一）小组合作知识点一：二面角的概念1：从实际背景中感知二面角的形象（1）随手打开一本书，观察两书页之间所在的平面形成的图形；打开教室的门观察门所在平面与墙面形成的图形；（2）上面的图形给你怎么的感知？用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（观看多媒体展示二面角并回答问题）2.二面角的度量（1）二面角反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？（2）阅读教材并观察二面角模型，分组共同做一个小实验：在其棱上任取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角.（二）个人展示（1）画出任意一个二面角和一个直二面角（2）作二面角的平面角（3）写出二面角的大小的取值范围（4）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面角是知识点二.（阅读教材）两个平面互相垂直的判定定理（1）门在绕着门轴所在直线放置时，门所在平面与地面的关系是什么？（2）观察，类比、自主探究，获得两个平面互相垂直的判定定理：三、探究质疑①二面角的大小与点O在L上位置是否有关？②射线OB、OA与二面角的棱有什么关系时可以保证∠AOB的大小与点O的位置无关？③测量下教室两面墙形成的角大小是多少?④当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？四、教师设疑与精讲点拔例1课本P.72例4图1αOβBA例2 已知Rt △ABC ，斜边BC ⊂α，点A ∉α，AO ⊥α，O 为垂足，∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°，求二面角A －BC －O 的大小．[分析] 如图所示，在平面α内，过O 作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .*例3 如图２，在四面体ABCD 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E ，F ，G 分别是CD ，DA ，AC 的中点（1）求证：平面BEF ⊥平面BGD.（2）若四面体ABCD 是正四面体，求二面角B-AC-D 的余弦值[思路点拨] 线面垂直线面面垂直；求二面角的步骤：“找—证—求”五、巩固提高（一）课堂作业1. 如图3，设P 是正方形ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，则平面P AB 与平面PBC 、平面P AD 的位置关系是 ( )A ．平面P AB 与平面PBC 、平面P AD 都垂直 B ．它们两两都垂直C ．平面P AB 与平面PBC 垂直、与平面P AD 不垂直D ．平面P AB 与平面PBC 、平面P AD 都不垂直2、四边形ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB .（１）二面角A －PD －C大小为；图２图３（２）二面角B－P A－D大小为；（３）二面角B－P A－C大小为．3、如图，P是边长为22的正方形ABCD外一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且PC＝5，则二面角P-BD-A的余弦值为________．（二）课外作业层次1：教材习题2.3A组6、7层次2：教材习题2.3B组1课后反思（1）公布课堂作业答案作出自我评价（2）小结所学内容和数学思想方法【励志良言】世界上最残忍的不是野兽，不是刽子手，而是时间.【答案】.课堂作业1. A 2 . 90o，90o，45o3.图４13132。

高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定学案新人教A版必修2(2)

青海师范大学附属第二中学高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定学案新人教A版必修2[学习要求]1．理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；2．掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角；3．掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直．[学法指导]通过实例直观感知“两个平面互相垂直”、“二面角”概念的形成过程；类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理，提高分析、解决问题的能力.1．二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做 . 叫做二面角的面．2. 二面角的平面角如图：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的叫做二面角的平面角．3．平面与平面的垂直(1)定义：如果两个平面相交且它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直．即a⊥β，a⊂α⇒ .[问题情境]在学习了异面直线所成的角、直线和平面所成的角后我们自然而然就提出：两个平面所成的角该怎么定义？如何衡量它的大小？为此，我们需要引入二面角的概念，研究两个平面所成的角．探究点一二面角的概念问题1 平面几何中“角”是怎样定义的？问题2 在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？问题3 在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？问题4如何用字母来记作二面角？问题5 二面角的大小反映了两个平面相交的位置关系，二面角的平面角是如何定义的？那我们应如何度量二面角的大小呢？探究点二两个平面垂直的概念问题1 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出是哪些二面角？这些二面角各是多少度？问题2 如何定义两个平面互相垂直？问题3 如何画两个相互垂直的平面？平面α与平面β垂直，记作什么？探究点三两个平面垂直的判定问题1 判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有其它的判定定理吗？问题2 如何用符号语言表达面面垂直的判定定理？例1 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.例2 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．(1)求点C到平面A1ABB1的距离；(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值．[达标检测]1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是( )A．平行 B．可能重合 C．相交且垂直D．相交不垂直2．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是 ( ) A．①③ B．②④ C．③④ D．①②3．下列命题中正确的是( ) A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β4．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？[小结]1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．2.3.2 平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A．有且只有一个B．有无数个 C．一个或无数个D．可能不存在2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是( ) A．两个平面相交，所成二面角是直二面角 B．一个平面经过另一个平面的一条垂线C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 D．平面α内的直线a与平面β内的直线b垂直3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是( )①若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.A．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是( ) A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．6．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．第6题图第7题图7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．二、能力提升9．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝32，则二面角B－AC－D的余弦值为( )A.13B.12C.223D.3210．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的( ) A．BC∥面PDF B．DF⊥面PAE C．面PDF⊥面ABC D．面PAE⊥面ABC11．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E 分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．三、探究与拓展13．如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，PA＝PB＝PC＝5，AC＝22，AB＝2，BC＝ 6.(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)求二面角P—AB—C的正切值．跟踪训练1如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥面ACD；(2)面EFC⊥面BCD.跟踪训练2如图，平面角为锐角的二面角α—EF—β，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG 与β所成角为30°，求二面角α—EF—β的平面角．。

平面与平面垂直的判定教案

平面与平面垂直的判定教案
一、教学目标：
1.理解平面与平面垂直的概念；
2.掌握判断平面与平面垂直的基本方法；
3.能够应用所学知识解决相关问题。

二、教学重难点：
1.掌握平面与平面垂直的判定方法；
2.理解垂直平面间的特点；
3.掌握将垂直平面相关知识运用于实际问题的能力。

三、教学过程：
步骤一：导入与激发学生兴趣（5分钟）
1.引入平面与平面垂直的概念：请学生说出自己了解的平面与平面垂直的特点和判断条件。

2.引导学生思考问题：为什么需要判断平面与平面是否垂直？在哪些实际问题中会用到这个概念？
3.引入本课的主要内容：本课将学习平面与平面垂直的判断方法及其应用。

步骤二：教学内容展示（25分钟）
1.定义：平面与平面垂直是指两个平面的法向量相互垂直，即两个平面法向量的内积为0。

2.公式表示：假设平面1的法向量为n1，平面2的法向量为n2
3.实例演示：通过数学演算，展示平面与平面垂直的判定过程。

4.注意事项：在判断平面与平面垂直时，需要注意法向量的方向是否正确，正负号是否考虑周全。

步骤三：小组讨论与练习（20分钟）
1.分为小组进行讨论：每个小组选择一个实际问题，并结合判断平面与平面垂直的方法进行分析与解决。

2.小组展示与交流：每个小组选派一位代表进行展示，并与全班进行交流与讨论，分享解决问题的思路和方法。

步骤四：拓展与扩展（10分钟）。