两直线的位置关系--垂直_(课堂PPT)
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《两直线的位置关系》课件
CHAPTER 04
两直线的关系应用
解析几何中的应用
解析几何的基本概念
01
解析几何是研究图形与坐标之间的关系，通过代数方法解决几
何问题。两直线的位置关系是解析几何中的基本问题。
直线的方程
02
在二维坐标系中，直线可以用一个或两个方程来表示。例如，
通过两点式、点斜式、截距式等可以求出直线的方程。
两直线的交点
两直线的斜率与截距
斜率的定义与计算
总结词
斜率是直线在平面上的一个重要属性，它表示直线相对于x轴 的倾斜程度。
详细描述
斜率是直线方程y=kx+b中k的值，它表示直线在y轴上的单 位长度内，x轴的变化量。如果k为正数，则直线向右上方倾 斜；如果k为负数，则直线向右下方倾斜。
截距的定义与计算
总结词
截距是直线与y轴和x轴相交的点，表示直线在坐标轴上的位置。
判断方法
斜率法
若两直线斜率相等且截距不等，则两 直线平行；若斜率不存在且截距相等 ，则两直线平行。
交点法
若两直线无公共点，则两直线平行或 重合；若两直线有且仅有一个公共点 ，则两直线相交；若两直线有无数个 公共点，则两直线重合。
平行与垂直的性质
平行性质
平行直线间的距离是固定的，且与两直线的方向向量或斜率有关。
03
两直线相交于一点，这个点是两直线的交点。求两直线的交点
可以通过联立两直线的方程来求解。
三角函数图象中的应用
01
三角函数的图象与性质
三角函数（如正弦、余弦、正切等）的图象是周期性的，这些图象在某
些部分表现出直线性。
02
三角函数与直线的交点
在三角函数的图象中，求直线与三角函数的交点可以通过将直线的方程
高中数学第2章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.3两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新
解
(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点， 则||PB|－|PA||≤|AB|， 当且仅当 A，B，P 三点共线时， ||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|， 点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点， 又直线 AB 的方程为 y＝x－2， 解yx＝ －x2－y＋28，＝0， 得xy＝ ＝1120， ， 故所求的点 P 的坐标为(12,10).
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
解
题型四 平行与垂直的综合应用
例 4 已知 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接 A，B，
C，D 四点，试判定图形 ABCD 的形状．
[解] 由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由
斜率公式可得
kAB＝2－5－－34＝13，
kCD＝－0－ 3－36＝13，
mn－－02＝－2， 则
m＋2 n＋0 2 －2· 2 ＋8＝0，
解得mn＝＝8－，2，
故 A′(－2,8)．
解
因为 P 为直线 l 上的一点， 则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当 B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交点， 解xx＝ －－ 2y＋2，8＝0， 得xy＝ ＝－ 3，2， 故所求的点 P 的坐标为(－2,3)．
(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点， 则||PB|－|PA||≤|AB|， 当且仅当 A，B，P 三点共线时， ||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|， 点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点， 又直线 AB 的方程为 y＝x－2， 解yx＝ －x2－y＋28，＝0， 得xy＝ ＝1120， ， 故所求的点 P 的坐标为(12,10).
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
解
题型四 平行与垂直的综合应用
例 4 已知 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接 A，B，
C，D 四点，试判定图形 ABCD 的形状．
[解] 由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由
斜率公式可得
kAB＝2－5－－34＝13，
kCD＝－0－ 3－36＝13，
mn－－02＝－2， 则
m＋2 n＋0 2 －2· 2 ＋8＝0，
解得mn＝＝8－，2，
故 A′(－2,8)．
解
因为 P 为直线 l 上的一点， 则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当 B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交点， 解xx＝ －－ 2y＋2，8＝0， 得xy＝ ＝－ 3，2， 故所求的点 P 的坐标为(－2,3)．
直线与直线的位置关系(平行与垂直)
§7.3.1两条直线的位置关系 （平行与垂直）
13.10.2020
1
1 斜率存在时两直线平行． y
l1 l2
1
2
O
x
13.10.2020
2
结论1: 如果直线L1,L2的斜截式方程为L1:y=k1x+b1,L2:y=k2x+b2,
那么L1∥L2 k1=k2且b1≠b2 注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的，
4
5 的条件是
。
13.10.2020
6
2 斜率存在时两直线垂直．
y
l1
l2
2
1
O
甲
y
y
l2 l1
l1
l2
1
2
O
x
x
乙
1 2
O
x
丙
13.10.2020
7
结论2： 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直
的充要条件是k1·k2= -1
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不存立．
13.10.2020
9
例5: 求过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线的方程
注意： ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ②解法二是常常采用的解题技巧：
一般地，由于与直线Ax+By+C=0垂直的直线的斜率互为负 倒数，故可得其方程为Bx-Ay+=0 ，其中待定（直线系）
13.10.2020
特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： 当另一条直线的斜率为0时， 则一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 两直线互相垂直
13.10.2020
1
1 斜率存在时两直线平行． y
l1 l2
1
2
O
x
13.10.2020
2
结论1: 如果直线L1,L2的斜截式方程为L1:y=k1x+b1,L2:y=k2x+b2,
那么L1∥L2 k1=k2且b1≠b2 注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的，
4
5 的条件是
。
13.10.2020
6
2 斜率存在时两直线垂直．
y
l1
l2
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1
O
甲
y
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l2 l1
l1
l2
1
2
O
x
x
乙
1 2
O
x
丙
13.10.2020
7
结论2： 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直
的充要条件是k1·k2= -1
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不存立．
13.10.2020
9
例5: 求过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线的方程
注意： ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ②解法二是常常采用的解题技巧：
一般地，由于与直线Ax+By+C=0垂直的直线的斜率互为负 倒数，故可得其方程为Bx-Ay+=0 ，其中待定（直线系）
13.10.2020
特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： 当另一条直线的斜率为0时， 则一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 两直线互相垂直
【课件】2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(PPT)-(新教材人教A版选择性必修第一册)
(1)若 l1∥l2，求 a 的值； (2)若 l1⊥l2，求 a 的值.
探究题 2 将上题中 A，B 两点的坐标分别改为 A(2，a)，B(a －1，3)，则结论将是如何？
探究题 3 直线 l 的倾斜角为 30°，点 P(2，1)在直线 l 上，直 线 l 绕点 P(2，1)按逆时针方向旋转 30°后到达直线 l1 的位置，此时 直线 l1 与 l2 平行，且 l2 是线段 AB 的垂直平分线，其中 A(1，m－1)， B(m，2)，试求 m 的值.
类题通法 1．判定两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若 都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相 等，则平行(不重合的情况下). 2．若已知两直线平行，求某参数值时，也应分斜率存在与不存 在两种情况求解．
定向训练 已知 A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若直线 AB∥ 直线 MN，则 m 的值为________．
第二阶段 课堂探究评价
关键能力 素养提升
一两直线平行 典例示范
【例 1】判断下列各题中的直线 l1 与 l2 是否平行： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2，1)，l2 经过点 M(3，4)，N(－1， －1);
(2)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1，1)，B(2，2); (3)l1 经过点 A(0，1)，B(1，0)，l2 经过点 M(－1，3)，N(2，0); (4)l1 经过点 A(－3，2)，B(－3，10)，l2 经过点 M(5，－2)，N(5， 5). 解：(1)k1＝12－ －（ （－ －21） ）＝1，k2＝－ －11－ －43＝54， k1≠k2，l1 与 l2 不平行.
预习验收 衔接课堂
1．已知过 A(－2，m)和 B(m，4)两点的直线与斜率为－2 的直
探究题 2 将上题中 A，B 两点的坐标分别改为 A(2，a)，B(a －1，3)，则结论将是如何？
探究题 3 直线 l 的倾斜角为 30°，点 P(2，1)在直线 l 上，直 线 l 绕点 P(2，1)按逆时针方向旋转 30°后到达直线 l1 的位置，此时 直线 l1 与 l2 平行，且 l2 是线段 AB 的垂直平分线，其中 A(1，m－1)， B(m，2)，试求 m 的值.
类题通法 1．判定两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若 都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相 等，则平行(不重合的情况下). 2．若已知两直线平行，求某参数值时，也应分斜率存在与不存 在两种情况求解．
定向训练 已知 A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若直线 AB∥ 直线 MN，则 m 的值为________．
第二阶段 课堂探究评价
关键能力 素养提升
一两直线平行 典例示范
【例 1】判断下列各题中的直线 l1 与 l2 是否平行： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2，1)，l2 经过点 M(3，4)，N(－1， －1);
(2)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1，1)，B(2，2); (3)l1 经过点 A(0，1)，B(1，0)，l2 经过点 M(－1，3)，N(2，0); (4)l1 经过点 A(－3，2)，B(－3，10)，l2 经过点 M(5，－2)，N(5， 5). 解：(1)k1＝12－ －（ （－ －21） ）＝1，k2＝－ －11－ －43＝54， k1≠k2，l1 与 l2 不平行.
预习验收 衔接课堂
1．已知过 A(－2，m)和 B(m，4)两点的直线与斜率为－2 的直
2.1.2两条直线平行与垂直的判定 课件(共15张PPT)
在同一条直线上,确定常数a的值.
2
复习回顾
复习2：平面上两条直线位置关系
y
o
x
有平行,相交两种
我们设想如何通过直线的斜率
来判定这两种位置关系.
3
学习新知 两条直线平行的判定
思考1:若两条不同直线的倾斜角相等,这两条直线
的位置关系如何？反之成立吗？
y
l1
α1
O
l2
α2
x
4
学习新知
思考2:若两条不同直线的斜率相等,这两
在两种情况求解.
两直线垂直的判定方法
3.两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件
是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存
在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.
9
例题讲解
例2：已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若
AB∥MN,则m的值为
.
解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
3．若经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相
垂直，则m的值是________．
14
5 [由题意知，直线 MN 的斜率存在，因为 MN⊥l，
m－3 1
14
所以 kMN＝
＝4，解得 m＝ 5 .]
2－m
14
学完一节课或一个内容,
应当及时小结,梳理知识
1
即 1－3k＝0，∴k＝3.]
7
例题讲解
例1 已知A、B、C、D四点的坐标,试判断直线AB与CD
的位置关系.
(1)A(2,3), B(－4,0), C(－3,l), D(－l,2)； 平行
2
复习回顾
复习2：平面上两条直线位置关系
y
o
x
有平行,相交两种
我们设想如何通过直线的斜率
来判定这两种位置关系.
3
学习新知 两条直线平行的判定
思考1:若两条不同直线的倾斜角相等,这两条直线
的位置关系如何？反之成立吗？
y
l1
α1
O
l2
α2
x
4
学习新知
思考2:若两条不同直线的斜率相等,这两
在两种情况求解.
两直线垂直的判定方法
3.两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件
是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存
在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.
9
例题讲解
例2：已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若
AB∥MN,则m的值为
.
解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
3．若经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相
垂直，则m的值是________．
14
5 [由题意知，直线 MN 的斜率存在，因为 MN⊥l，
m－3 1
14
所以 kMN＝
＝4，解得 m＝ 5 .]
2－m
14
学完一节课或一个内容,
应当及时小结,梳理知识
1
即 1－3k＝0，∴k＝3.]
7
例题讲解
例1 已知A、B、C、D四点的坐标,试判断直线AB与CD
的位置关系.
(1)A(2,3), B(－4,0), C(－3,l), D(－l,2)； 平行
两条直线的位置关系-平行和垂直
直线的方程及其性质
直线的方程：一般形式为 Ax+By+C=0，其中A、B不同时为0。
直线的性质
直线上的任意两点确定的直线方程是 唯一的。
两条不重合的直线，如果斜率相等，则它们平 行；如果斜率之积为-1，则它们垂直。
两条平行线之间的距离是常数，可以 通过公式计算。
两条垂直线的斜率互为相反数的倒数， 即k1*k2=-1。
01
两条垂直相交直线的交角为90度 。
02
在同一平面内，两条直线的交角 的平分线与这两条直线所形成的 四个角中，有一个角是直角。
垂直直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在坐标系中的表示
在平面直角坐标系中，两条垂直相交直线的斜 率互为相反数的倒数。即，如果一条直线的斜 率为k，那么与它垂直的直线的斜率为-1/k。
一条直线与y轴垂直，那么它的斜率为 0，可以表示为y=b(b为常数)的形式。
利用方程联立求解交点坐标
01
02
03
04
将两条直线的方程联立，解出 交点坐标；
若方程组无解，则两直线平行 ；
若方程组有唯一解，则两直线 相交于该点；
若方程组有无穷多解，则两直 线重合。
结合图形分析实际问题
在平面直角坐标系中， 画出两条直线的图形；
结合实际问题的背景 和意义，分析两直线 位置关系对问题的影 响。
在三角形 ABC 中，已知 A(0,0)， B(4,0)，C(0,3)。若直线 DE 与 AB 边平行且过点 C，求 DE 所在 直线的方程。
解答
由题意知 AB 边所在直线的方程为 x/4 + y/3 = 1。因为 DE 与 AB 边平行，所以 DE 所在直线的斜率 也为 -3/4。设 DE 所在直线的方 程为 y = -3/4x + b，将点 C(0,3) 代入得 b = 3。所以，DE 所在直 线的方程为 y = -3/4x + 3。
两条直线的位置关系ppt
两条直线的位置关系
目录 CONTENT
• 两条直线平行 • 两条直线相交 • 两条直线重合 • 两条直线的斜率关系
01
两条直线平行
定义
01
两条直线平行是指它们在同一平 面内，且不相交。
02
平行线是直线间的一种位置关系 ，而不是指两条直线的方向或斜 率相同。
判定方法
同位角相等
同旁内角互补
如果两条直线被第三条直线所截，且 同位角相等，则这两条直线平行。
在平面几何中，两条重合的直线可以视为一条直线的两种不 同表达方式，它们具有相同的长度和方向。
04
两条直线的斜率关系
斜率相等
总结词
当两条直线的斜率相等时，它们是平 行的。
详细描述
在平面坐标系中，如果两条直线的斜率 相等，那么这两条直线将平行不相交。 例如，直线$y = x$和直线$y = x + 1$ 的斜率都为1，因此它们是平行的。
详细描述
在平面坐标系中，如果一条直线垂直于x轴 ，那么它的斜率不存在。这是因为垂直于x 轴的直线的y坐标是常数，而x坐标可以取任 意值，所以斜率无法定义。例如，直线$x = 1$就是一条垂直于x轴的直线，其斜率不存 在。
感谢您的观看
THANKS
图像法
在平面直角坐标系中，我们可以直接观察两条直线的图像， 找到它们的交点。这种方法需要一定的几何直觉和观察力。
性质
唯一性
两条相交的直线在平面内 只有一个交点。
不平行性
两条相交的直线不会平行， 因为平行线在平面内没有 交点。
对称性
如果两条直线关于某一直 线对称，那么这两条直线 一定相交于该对称轴上的 一点。
两条直线相交
定义
01
目录 CONTENT
• 两条直线平行 • 两条直线相交 • 两条直线重合 • 两条直线的斜率关系
01
两条直线平行
定义
01
两条直线平行是指它们在同一平 面内，且不相交。
02
平行线是直线间的一种位置关系 ，而不是指两条直线的方向或斜 率相同。
判定方法
同位角相等
同旁内角互补
如果两条直线被第三条直线所截，且 同位角相等，则这两条直线平行。
在平面几何中，两条重合的直线可以视为一条直线的两种不 同表达方式，它们具有相同的长度和方向。
04
两条直线的斜率关系
斜率相等
总结词
当两条直线的斜率相等时，它们是平 行的。
详细描述
在平面坐标系中，如果两条直线的斜率 相等，那么这两条直线将平行不相交。 例如，直线$y = x$和直线$y = x + 1$ 的斜率都为1，因此它们是平行的。
详细描述
在平面坐标系中，如果一条直线垂直于x轴 ，那么它的斜率不存在。这是因为垂直于x 轴的直线的y坐标是常数，而x坐标可以取任 意值，所以斜率无法定义。例如，直线$x = 1$就是一条垂直于x轴的直线，其斜率不存 在。
感谢您的观看
THANKS
图像法
在平面直角坐标系中，我们可以直接观察两条直线的图像， 找到它们的交点。这种方法需要一定的几何直觉和观察力。
性质
唯一性
两条相交的直线在平面内 只有一个交点。
不平行性
两条相交的直线不会平行， 因为平行线在平面内没有 交点。
对称性
如果两条直线关于某一直 线对称，那么这两条直线 一定相交于该对称轴上的 一点。
两条直线相交
定义
01
中职数学两条直线相交(垂直)(课堂PPT)
(1),设与已知直线垂直的直线方程为：
y1 kxb1或 B xA yC 10
(2),将已知点的坐标 x0, y0 代入直线方程
求出 b1或C1的值
16
课堂练习
3. 直线l经过点M(-2,2)且与直线x-y-2=0垂直，则l的方程为 .
4.直线l1,l2满足l1⊥l2,若直线l1的倾斜角为30°,则直线l2的斜
例1 根据所给的直线方程，判断下列各对直线是否
垂直.
⑴ l 1 ：x2y10,
⑵
l1：
y
2 3
x,
l 2 ： x y 1; l 2 ：6x4y10.
(3) l 1 ： y 3 ,
l 2 ：x 1.
12
探究
13
例2 求过点P（2，1）且与直线2x-y+10=0 垂直的直线方程。
探究
如果直线 l1 : A1x + B1y + C1 = 0 与 l2 : A2x + B2 y + C2 = 0 垂直，则
2 l1:y3 x1 , l2:y3 1x3
观察：
两条直线在平面内是什么位置关系？ l1 l2 两条直线的斜率满足什么关系式？ k1 k2 18.
探求：
两直线垂直
如果两条直线的斜率不为零且存在，怎样 判断直线垂直？
如图，l1与l2的斜率分别为k1，k2.若 l1 ⊥l2，我们讨论k1与k2满足的关系.
平行
重合
相交
两个方程的系 数关系
方程组的解的
解
k1 k2
b1 b2
无解
b1 b2
无数解
k1 k2 一个解
6
例2 求经过两条直线x+2y-1=0和2x-y-7=0的 交点，且平行于直线x+3y-5=0的直线方程。
y1 kxb1或 B xA yC 10
(2),将已知点的坐标 x0, y0 代入直线方程
求出 b1或C1的值
16
课堂练习
3. 直线l经过点M(-2,2)且与直线x-y-2=0垂直，则l的方程为 .
4.直线l1,l2满足l1⊥l2,若直线l1的倾斜角为30°,则直线l2的斜
例1 根据所给的直线方程，判断下列各对直线是否
垂直.
⑴ l 1 ：x2y10,
⑵
l1：
y
2 3
x,
l 2 ： x y 1; l 2 ：6x4y10.
(3) l 1 ： y 3 ,
l 2 ：x 1.
12
探究
13
例2 求过点P（2，1）且与直线2x-y+10=0 垂直的直线方程。
探究
如果直线 l1 : A1x + B1y + C1 = 0 与 l2 : A2x + B2 y + C2 = 0 垂直，则
2 l1:y3 x1 , l2:y3 1x3
观察：
两条直线在平面内是什么位置关系？ l1 l2 两条直线的斜率满足什么关系式？ k1 k2 18.
探求：
两直线垂直
如果两条直线的斜率不为零且存在，怎样 判断直线垂直？
如图，l1与l2的斜率分别为k1，k2.若 l1 ⊥l2，我们讨论k1与k2满足的关系.
平行
重合
相交
两个方程的系 数关系
方程组的解的
解
k1 k2
b1 b2
无解
b1 b2
无数解
k1 k2 一个解
6
例2 求经过两条直线x+2y-1=0和2x-y-7=0的 交点，且平行于直线x+3y-5=0的直线方程。
高考数学---两条直线的位置关系PPT复习课件
的 距离 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C ＝0的距离 平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By ＋C2＝0间的距离
|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12
d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|
d＝
|C1－C2| A2＋B2
33
本例题也可通过对称直线和原直线平行，设出所求直 线，然后利用点M到两直线的距离相等求解．
34
轴对称问题(关于直线对称)
轴对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，
A×x1＋2 x2＋B×y1＋2 y2＋C＝0， 由方程组 yx22－ －yx11×－AB＝－1，
41
1.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝
0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程
为
．
42
6x－y－6＝0 [设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点 为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以
a－b－－43＝－1， －32＋a－b＋2 4＋3＝0，
16
已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试 确定m，n的值，使
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)； (2)l1∥l2； (3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
17
[解] (1)由题意得m2m2－－8m＋－n1＝＝00，， 解得mn＝＝71.， 即m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(m，－1)． (2)∵l1∥l2，∴m2 ＝m8 ≠－n1 解得mn≠＝－4，2， 或mn≠＝2－. 4， 即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.
|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12
d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|
d＝
|C1－C2| A2＋B2
33
本例题也可通过对称直线和原直线平行，设出所求直 线，然后利用点M到两直线的距离相等求解．
34
轴对称问题(关于直线对称)
轴对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，
A×x1＋2 x2＋B×y1＋2 y2＋C＝0， 由方程组 yx22－ －yx11×－AB＝－1，
41
1.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝
0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程
为
．
42
6x－y－6＝0 [设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点 为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以
a－b－－43＝－1， －32＋a－b＋2 4＋3＝0，
16
已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试 确定m，n的值，使
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)； (2)l1∥l2； (3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
17
[解] (1)由题意得m2m2－－8m＋－n1＝＝00，， 解得mn＝＝71.， 即m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(m，－1)． (2)∵l1∥l2，∴m2 ＝m8 ≠－n1 解得mn≠＝－4，2， 或mn≠＝2－. 4， 即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.
两直线平行与垂直ppt课件全
正解：(1)当点 C 在 x 轴上时，设 C(x,0)， 则 kAC＝ x－＋31，kBC＝x－－24， ∵AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，即 x＋16x－4＝－1， ∴x＝1 或 x＝2，故所求点为 C(1,0)或 C(2,0)．
20
(2)当点 C 在 y 轴上时，设 C(0，y)，由 AC⊥BC，
1 (2)l1⊥l2⇔1×(m－2)＋m×3＝0⇔m＝2， ∴ 当 m＝12时，l1⊥l2.
24
(3)∵m＝0 时，l1 不平行 l2， ∴ l1∥ l2⇔m－1 2＝m3 ≠26m，解得 m＝－1. (4)∵m＝0 时，l1 与 l2 不重合， ∴ l1与 l2重合时，有m－1 2＝m3 ＝26m，解得 m＝3.
x
（2）l1，l2重合
bk11
k2 b2
（3）l1 l2 k1 k2 1
5
2、一般式方程中
l1 : a1x b1 y c1 0， 系数都不为0
l2 : a2 x b2 y c2 0
（1）l1 // l2
a1 a2
b1 b2
c1 c2
（2）l1与l2重合
a1 a2
b1 b2
c1 c2
26
例9.直线l:4x+y=4，p:mx+y=0，q:2x-3my=4 不能组成三角形，求m。
27
5 －－1
又∵直线 AB 和直线 CD 不重合，∴AB∥CD.
18
∵ 直线 AD 的斜率 kAD＝－－31－－10＝4，直线 BC 的斜率
kBC＝ 即直线
21A5534D－ －与52＝直－线12，BC∴不kA平D≠行k．BC∴，四边形
ABCD
是梯形．
又∵kAB·kBC＝－12×2＝－1，
20
(2)当点 C 在 y 轴上时，设 C(0，y)，由 AC⊥BC，
1 (2)l1⊥l2⇔1×(m－2)＋m×3＝0⇔m＝2， ∴ 当 m＝12时，l1⊥l2.
24
(3)∵m＝0 时，l1 不平行 l2， ∴ l1∥ l2⇔m－1 2＝m3 ≠26m，解得 m＝－1. (4)∵m＝0 时，l1 与 l2 不重合， ∴ l1与 l2重合时，有m－1 2＝m3 ＝26m，解得 m＝3.
x
（2）l1，l2重合
bk11
k2 b2
（3）l1 l2 k1 k2 1
5
2、一般式方程中
l1 : a1x b1 y c1 0， 系数都不为0
l2 : a2 x b2 y c2 0
（1）l1 // l2
a1 a2
b1 b2
c1 c2
（2）l1与l2重合
a1 a2
b1 b2
c1 c2
26
例9.直线l:4x+y=4，p:mx+y=0，q:2x-3my=4 不能组成三角形，求m。
27
5 －－1
又∵直线 AB 和直线 CD 不重合，∴AB∥CD.
18
∵ 直线 AD 的斜率 kAD＝－－31－－10＝4，直线 BC 的斜率
kBC＝ 即直线
21A5534D－ －与52＝直－线12，BC∴不kA平D≠行k．BC∴，四边形
ABCD
是梯形．
又∵kAB·kBC＝－12×2＝－1，
北师大版七年级数学下册2.1两条直线的位置关系(第二课时)课件
直线外一点与直线上各 点连接的所有线段中， 垂线段最短．
ZYT
探究新知
如图 ，过点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，线段AB的长度 叫做点 A 到直线 l的距离．
ZYT
探究新知
你知道体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？你能说说 其中的道理吗？
线段PO的长度即为所求
O P
ZYT
典例精析
例2 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘 能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
探究新知
垂线的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直. 提示： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
ZYT
探究新知
知识点 3 点到直线的距离
如图 ，点 P 是直线 l 外一点，PO⊥l，点 O 是垂足．点 A，B，C 在直线 l 上，比较线段 PO，PA，PB，PC 的长 短，你发现了什么？
A
M
B ∴直线MF为所求垂线.
D CNF
ZYT
典例精析
例2 如图,量出 （1）村庄A与货场B的距离, （2）货场B到铁道的距离.
C
8m B
0m 10m 20m 30m
A 25m
ZYT
巩固练习
马路两旁两名同学A、B，若A同学到马路对边怎样走最近？若
A同学到B同学处怎样走最近？
解：过点A作AC⊥BC，垂足为C，A
ZYT
探究新知
知识点 1 垂线的定义
观察下面图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么 特殊的位置关系？
a
b
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么 称这两条直线互相垂直 ，其中的一条直线叫做另一条直线 的垂线，它们的交点叫做垂足.
ZYT
探究新知
如图 ，过点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，线段AB的长度 叫做点 A 到直线 l的距离．
ZYT
探究新知
你知道体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？你能说说 其中的道理吗？
线段PO的长度即为所求
O P
ZYT
典例精析
例2 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘 能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
探究新知
垂线的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直. 提示： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
ZYT
探究新知
知识点 3 点到直线的距离
如图 ，点 P 是直线 l 外一点，PO⊥l，点 O 是垂足．点 A，B，C 在直线 l 上，比较线段 PO，PA，PB，PC 的长 短，你发现了什么？
A
M
B ∴直线MF为所求垂线.
D CNF
ZYT
典例精析
例2 如图,量出 （1）村庄A与货场B的距离, （2）货场B到铁道的距离.
C
8m B
0m 10m 20m 30m
A 25m
ZYT
巩固练习
马路两旁两名同学A、B，若A同学到马路对边怎样走最近？若
A同学到B同学处怎样走最近？
解：过点A作AC⊥BC，垂足为C，A
ZYT
探究新知
知识点 1 垂线的定义
观察下面图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么 特殊的位置关系？
a
b
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么 称这两条直线互相垂直 ，其中的一条直线叫做另一条直线 的垂线，它们的交点叫做垂足.
高中数学《解析几何》两直线的位置关系 两直线垂直教学课件 苏教版必修2
Hale Waihona Puke l2时直线 l1 // l 2 的等价条件是 k1 k2 且 b1 b2。 当直线的斜率不存在时， 直线 l1∥l 2的等价条件是 l1⊥ x 轴， 与 不重合。 l 2 ⊥ x 轴且 l l2 1
0
2
x
b2
l1
0
y l2
x
当直线方程为一般式时:
l1：A1x + B1y +C1 = 0，l2：A2x + B2y +C2 = 0 （A1与B1不全为零、A2与B2也不全为零） l1∥l2 A1 B2 – A2 B1= 0且A1 C2 – A2 C1 0 或A1 B2 – A2 B1= 0且B1 C2 – B2 C1 0
斜率互为负倒数
其中一条直线的斜率知道 另一条直线的斜率 所求直线的方程
由点斜式求出 法2:待定系数法
与直线Ax By C 0垂直的直线可设为 : Bx Ay m 0
例2(1）已知四点A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11) 求证：AB CD；
两直线斜率存在吗? 斜率存在时,怎样确定两直线垂直?
例1：求过点A（2，1）,且与直线 2 x y 10 0 垂直的直线 l 的方程。
分析：
解此题的关键在于抓住垂直这个概 念，两直线垂直，说明这两条直线的斜率 互为负倒数。其中一条直线方程知道，从 而就可轻易的得出这条已知直线的斜率， 那么，所求直线的斜率也就可以得出来了。
法1:两直线垂直 求出
k1k2 1 若k1k2 1，则必有L1 L2
归纳:
一、特殊情况下的垂直
k1不存在,且k2 0
l1 l2
二、斜率都存在情况下的垂直
北师大版数学七年级下册第二章1两条直线的位置关系(共76张PPT)
图2-1-5 注意 (1)垂线是直线,垂线段特指一条线段,点到直线的距离是指垂线段 的长度. (2)求点到直线的距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后 计算或度量垂线段的长度,在实际问题中要应用其“最近性”解决问题.
1 两条直线的位置关系
例4 在图2-1-6所示的各图中,分别过点P作AB的垂线.
点拨 除了互补的两个角和为180°外,由平角的定义也可以得到和为180°.
1 两条直线的位置关系
栏目索引
题型二 垂线性质在生活中的应用
例2 如图2-1-9所示,平原上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政 府准备投资修建一个蓄水池.
图2-1-9 (1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H的位置,使它到四个村庄距离之 和最小; (2)计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠使水渠最短?并说明理由.
1 两条直线的位置关系
栏目索引
知识点三 余角和补角 1.如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角. 2.如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角. 3.余角、补角的性质:同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等. 注意 (1)互余、互补都是指两个角之间的关系.当∠1+∠2+∠3=90°时,不 能说∠1、∠2、∠3互余;当∠1+∠2+∠3=180°时,也不能说∠1、∠2、 ∠3互补.(2)互余的两个角都是锐角,而互补的两个角可能是一个锐角一个 钝角,也可能都是直角.(3)互余和互补都是反映两个角的数量关系,而不是 位置关系.
栏目索引
②必须强调“平面内”,否则,在空间里,经过一点与已知直线垂直的直线 有无数条. (2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,简称:垂线段 最短.
中职数学基础模块下册《两条直线的位置关系》PPT
（2）与直线 x –3y + 2 = 0 垂直，求直线 l 的方程．
第十九页，共二十一页。
【解析】由
y y
x 2x
1 得交点(-1,2)，
4
∵ kl = 3,
∴ 所求直线 l 的方程为: 3x + y + 1 = 0.
第二十页，共二十一页。
１．两直线平(Ping)行的判定方法 ２．两直线垂直的判定方法
(2)当另一条直线的斜(Xie)率为0°时, 一条直线的倾斜角为90° 另一条直线的倾斜角为 0° 此时，两直线位置关系为： 互相垂直
l1 y o
l1 x
第六页，共二十一页。
二、斜率存(Cun)在时两直线的平行与垂直
平行：两条不重合直线
l1 : y k和1x b1 l2 : y k2 x b，2 (b1 b2 )
第十八页，共二十一页。
２．若过点 A(2, 2), B(5, 0) 的直线与过点 P(2m,1),Q(1, m) 的
直线平行，则 m 的值为（ B ）
（Ａ）－１
（Ｂ）3
（Ｃ）２
３．已知直线 l 满足下列两个条件：
（Ｄ）． 1 2
（1）过直线 y = – x + 1 和 y = 2x + 4 的交点;
第二十一页，共二十一页。
k1 k2
l1与l2
， ，则
(3) 由方程可知, 轴l1 x轴两l2 直 x线在 轴上截距x
不相等，所以 l.1 l2
第九页，共二十一页。
例(Li)2 求过点A1, 2，且平行于直线 2x 3y 5 0的直线方程.
解 所求直线平行于直线 2x 3y ，5 所 0以它们的斜率
相等，都为 k 2， 3
两条直线平行和垂直的判定ppt课件
(3)由题意知，l1 的斜率不存在，且不是 y 轴，l2 的斜率也不存在，恰好是 y 轴，
所以 l1∥l2.
－1－1
3－4
(4)由题意知，k1＝
＝1，k2＝
＝1，所以 l1 与 l2 重合或平行，
－2－0
2－3
4－（－1）
因为 kFG ＝
＝1，所以 E，F，G，H 四点共线．
3－（－2）
所以 l1 与 l2 重合．
√
3
0，－
1
2
C．l1 的倾斜角为 30°，l2 过点 P(3， 3)，Q(4，2 3)
D．l1 过点 M(1，0)，N(4，－5)，l2 过点 P(－6，0)，Q(－1，3)
√
两条直线垂直
3.已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判
断△ABC的形状.
分析
结合图形可猜想AB⊥BC，△ABC为直角三角形.
l1//l2 ⇔ k1=k2.
注：若没有特别说明，
说“两条直线l1，l2”时，
显然，当α1=α2=90o时，直线l1与直线l2的斜率不存在，此时l1∥l2． 指两条不重合的直线.
两条直线平行
两条直线平行的判定
类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在
图示
用斜率证Байду номын сангаас三点共线时，常常用到这个结论。
两条直线平行
例 1 根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直线 l2 是否平行．
(1)l1 经过点 A(2，1)，B(－3，5)，l2 经过 C(3，－3)，D(8，－7)；
所以 l1∥l2.
－1－1
3－4
(4)由题意知，k1＝
＝1，k2＝
＝1，所以 l1 与 l2 重合或平行，
－2－0
2－3
4－（－1）
因为 kFG ＝
＝1，所以 E，F，G，H 四点共线．
3－（－2）
所以 l1 与 l2 重合．
√
3
0，－
1
2
C．l1 的倾斜角为 30°，l2 过点 P(3， 3)，Q(4，2 3)
D．l1 过点 M(1，0)，N(4，－5)，l2 过点 P(－6，0)，Q(－1，3)
√
两条直线垂直
3.已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判
断△ABC的形状.
分析
结合图形可猜想AB⊥BC，△ABC为直角三角形.
l1//l2 ⇔ k1=k2.
注：若没有特别说明，
说“两条直线l1，l2”时，
显然，当α1=α2=90o时，直线l1与直线l2的斜率不存在，此时l1∥l2． 指两条不重合的直线.
两条直线平行
两条直线平行的判定
类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在
图示
用斜率证Байду номын сангаас三点共线时，常常用到这个结论。
两条直线平行
例 1 根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直线 l2 是否平行．
(1)l1 经过点 A(2，1)，B(－3，5)，l2 经过 C(3，－3)，D(8，－7)；
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10
例1：求过点A（2，1），且与直线 2x y 10 0
垂直的直线 l 的方程。
分析：
两直线垂直
斜率互为负倒数
其中一条直线的 斜率知道
求出 另一条直线的斜率 由点斜式求出 所求直线的方程
11
另解：设所求直线方程为x+2y+C=0.
因为直线过点（1,2），代入方程，得C=3， 所以所求直线方程为
上的截距为1,则m
n
斜率存在时,怎样确定两直线垂直?
例2(2）已知直线L1的斜率k1
3 4
,
直线L2经过点A(3a,-2),
B(0,a2+1),且L1 L2，求实数a的值.
由两直线垂直,能得到什么结论?
它与a有关系吗?
17
二.基础练习：
１、当m为_0或__4_/_3时，直线mx-(3m2)y=7与2x+my=1互相垂直。
x12+y12+x22+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2
化简，得
x1x2+y1y2=0.
由假定可知B1≠0，B2 y1=-
≠0,B2
x2.
6
代入上式，得 x1x2(1+
A1 A2 B1 B2
)=0.
因为A，B都不在y轴上，所以x1x2≠0，因此
1+ A1 A2 =0，（*）
两直线的位置关系
--两直线垂直
1
一、复习提问:
直线 l1 : y k1x b1 直线 l2 : y k2x b2
l1 // l2
k1 k2 且 b1 b2
当两直线的斜率都不存在时， 两直线平行
y l1
b1
l2
01 2
x
b2
l1
yl2
0
x
2
当直线方程为一般式时:
l1：A1x + B1y +C1 = 0，l2：A2x + B2y +C2 = 0 （A1与B1不全为零、A2与B2也不全为零）
l1
l2 : y 2 y
l2
l1
0
x
l2
1)
0
x
2)
9
归纳:
一、特殊情况下的垂直
k1不存在,且k2 0 l1 l2
二、斜率都存在情况下的垂直
L1 L2 k1k2 1(k1, k2均存在)
三、直线方程为一般式时
L1 : A1x B1 y C1 0 L2 : A2 x B2 y C2 0 若L1 L2，则
２、已知直线l :ax+by+2a=0与直 已知直线l1 :(a 2)x (1-a)y-1 0和直线l2 :(a -1)x (2a 3)y 2 0
1 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆(圆内接四边形的对角互补)
求实数线a的值. l2:(a-1)x+y+b=0互相垂直，且 直线l1过点（-1，1），则a= 2 , b= -2 .
15
四、课堂小结：
1、若两条直线斜率都存在，直线L1与L2的斜率分别为 k1,k2则：
L1⊥L2 k1k2=-1 2、两直线若一条直线无斜率另一条直线斜率为0，则 这二直线互相垂直。 3、直线方程为一般式时
L1 : A1x B1 y C1 0 L2 : A2 x B2 y C2 0
若L1 L2，则 A1 A2 B1B2 0
16
例2(1）已知四点A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11)
求证：AB CD；
一条光线通过点 A(1,-2), 遇直线l : x y - 2 0反射后,经过点B(-2,-1), 求反射光线所在的直线 方程.
两直线斜率存在吗?
已知两直线l1 : mx 8y n 0和l2 : 2x my-1 0,若l1 l2,,且l1在y轴
x-2y+3=0.
求解方法：待定系数法
结论：
与直线Ax By C 0垂直的直线可设为: Bx Ay m 0
12
课堂练习：
1. 求过点A(3,2)且垂直于直线 4x+5y-8=0的直线方程. 2 . 和直线x+3y+1=0垂直，且在x轴上 的截距为2的直线方程。
13
例2：判断下列两直线是否垂直,并说明理由.
条直线L1和L2，有
L1⊥L2 A1A2+B1B2=0
③如果B1B2≠0，则L1的斜率k1=又可以得出：
A1 B1
，L2的斜率k2=-
A2，
B2
L1⊥Lfk1k2=-1
8
二、探究引入:
在同一坐标系内画出下列方程的直线，并观察它们的位置关系。
1)l1 : y 2x 1
l2
:
y
1 2
x
1
2)l1 : x 3 y
l1∥l2 A1 B2 – A2 B1= 0且A1 C2 – A2 C1 0 或A1 B2 – A2 B1= 0且B1 C2 – B2 C1 0
3
三、讲授新知: 特殊情况下的垂直
k1不存在,且k2 0
y
l1
y2
0
x1
l2
x l1 l2
4
已知两条直线： L1:A1x+B1y+C1=0， L2: A2x+B2y+C2=0。
B1 B2
即
A1A2+B1B2=0（**）
由于上面推导的每一步都是可逆的，因此，由(**)式
可以证明两条直线L1’与L2’垂直。从而也就证明了 L1与L2垂直。
7
②假定L1，L2中有一条直线与坐标轴平行或重合。
当L1⊥L2时，可以推出L1，L2中的另外一条也与坐标 轴平行或重合，因此同样有
A1A2+B1B2=0. 反过来，由条件A1 A2 +B1 B2 =0也可以推出L1⊥L2。 总结以上结论，我们得到，对坐标平面内的任意两
18
例3、已知三角形的顶点A(2,4),B(1,-2),C(-2,3), 求BC边上的高AD所在的直线方程.
10
8
L1
6
L2
4
2
L1
-15
-10
-5
5
10
15
L2
-2
-4
可转化为研究直线L1’： A1x+B1y=0 L2’： A2x+B2y=0
垂直的条件。
5
① 假定L1，L2都不与坐标轴平行或重合。
当L1⊥L2时，通过坐标原点作直线L1’∥ L1和 L2’∥ L2，则L和L2’互相垂直。
在直线L1’，L2’上分别取两点A（x1,y1）、B （x2,y2）(不含原点)。由勾股定理 ，得
(1) l1 : y 13x 1 l2 : y 3 x 8
(2) l1 : 3x 4 y 6 l2 : 4x 3y 7
(3) l1 : x 8
l2 : y 3
14
例3、已知直线L与直线2x+3y-1=0垂直，且在 两坐标轴上的截距之和为2，求直线L的方程.
例4、已知直线L1:(m+2)x+3my+1=0与直线 L2:(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直，求实数m 的值. 例5、求点P（3，5）关于直线L:x-3y+2=0的 对称点P0的坐标.
例1：求过点A（2，1），且与直线 2x y 10 0
垂直的直线 l 的方程。
分析：
两直线垂直
斜率互为负倒数
其中一条直线的 斜率知道
求出 另一条直线的斜率 由点斜式求出 所求直线的方程
11
另解：设所求直线方程为x+2y+C=0.
因为直线过点（1,2），代入方程，得C=3， 所以所求直线方程为
上的截距为1,则m
n
斜率存在时,怎样确定两直线垂直?
例2(2）已知直线L1的斜率k1
3 4
,
直线L2经过点A(3a,-2),
B(0,a2+1),且L1 L2，求实数a的值.
由两直线垂直,能得到什么结论?
它与a有关系吗?
17
二.基础练习：
１、当m为_0或__4_/_3时，直线mx-(3m2)y=7与2x+my=1互相垂直。
x12+y12+x22+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2
化简，得
x1x2+y1y2=0.
由假定可知B1≠0，B2 y1=-
≠0,B2
x2.
6
代入上式，得 x1x2(1+
A1 A2 B1 B2
)=0.
因为A，B都不在y轴上，所以x1x2≠0，因此
1+ A1 A2 =0，（*）
两直线的位置关系
--两直线垂直
1
一、复习提问:
直线 l1 : y k1x b1 直线 l2 : y k2x b2
l1 // l2
k1 k2 且 b1 b2
当两直线的斜率都不存在时， 两直线平行
y l1
b1
l2
01 2
x
b2
l1
yl2
0
x
2
当直线方程为一般式时:
l1：A1x + B1y +C1 = 0，l2：A2x + B2y +C2 = 0 （A1与B1不全为零、A2与B2也不全为零）
l1
l2 : y 2 y
l2
l1
0
x
l2
1)
0
x
2)
9
归纳:
一、特殊情况下的垂直
k1不存在,且k2 0 l1 l2
二、斜率都存在情况下的垂直
L1 L2 k1k2 1(k1, k2均存在)
三、直线方程为一般式时
L1 : A1x B1 y C1 0 L2 : A2 x B2 y C2 0 若L1 L2，则
２、已知直线l :ax+by+2a=0与直 已知直线l1 :(a 2)x (1-a)y-1 0和直线l2 :(a -1)x (2a 3)y 2 0
1 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆(圆内接四边形的对角互补)
求实数线a的值. l2:(a-1)x+y+b=0互相垂直，且 直线l1过点（-1，1），则a= 2 , b= -2 .
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四、课堂小结：
1、若两条直线斜率都存在，直线L1与L2的斜率分别为 k1,k2则：
L1⊥L2 k1k2=-1 2、两直线若一条直线无斜率另一条直线斜率为0，则 这二直线互相垂直。 3、直线方程为一般式时
L1 : A1x B1 y C1 0 L2 : A2 x B2 y C2 0
若L1 L2，则 A1 A2 B1B2 0
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例2(1）已知四点A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11)
求证：AB CD；
一条光线通过点 A(1,-2), 遇直线l : x y - 2 0反射后,经过点B(-2,-1), 求反射光线所在的直线 方程.
两直线斜率存在吗?
已知两直线l1 : mx 8y n 0和l2 : 2x my-1 0,若l1 l2,,且l1在y轴
x-2y+3=0.
求解方法：待定系数法
结论：
与直线Ax By C 0垂直的直线可设为: Bx Ay m 0
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课堂练习：
1. 求过点A(3,2)且垂直于直线 4x+5y-8=0的直线方程. 2 . 和直线x+3y+1=0垂直，且在x轴上 的截距为2的直线方程。
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例2：判断下列两直线是否垂直,并说明理由.
条直线L1和L2，有
L1⊥L2 A1A2+B1B2=0
③如果B1B2≠0，则L1的斜率k1=又可以得出：
A1 B1
，L2的斜率k2=-
A2，
B2
L1⊥Lfk1k2=-1
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二、探究引入:
在同一坐标系内画出下列方程的直线，并观察它们的位置关系。
1)l1 : y 2x 1
l2
:
y
1 2
x
1
2)l1 : x 3 y
l1∥l2 A1 B2 – A2 B1= 0且A1 C2 – A2 C1 0 或A1 B2 – A2 B1= 0且B1 C2 – B2 C1 0
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三、讲授新知: 特殊情况下的垂直
k1不存在,且k2 0
y
l1
y2
0
x1
l2
x l1 l2
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已知两条直线： L1:A1x+B1y+C1=0， L2: A2x+B2y+C2=0。
B1 B2
即
A1A2+B1B2=0（**）
由于上面推导的每一步都是可逆的，因此，由(**)式
可以证明两条直线L1’与L2’垂直。从而也就证明了 L1与L2垂直。
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②假定L1，L2中有一条直线与坐标轴平行或重合。
当L1⊥L2时，可以推出L1，L2中的另外一条也与坐标 轴平行或重合，因此同样有
A1A2+B1B2=0. 反过来，由条件A1 A2 +B1 B2 =0也可以推出L1⊥L2。 总结以上结论，我们得到，对坐标平面内的任意两
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例3、已知三角形的顶点A(2,4),B(1,-2),C(-2,3), 求BC边上的高AD所在的直线方程.
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L1
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L2
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L1
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-5
5
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L2
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可转化为研究直线L1’： A1x+B1y=0 L2’： A2x+B2y=0
垂直的条件。
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① 假定L1，L2都不与坐标轴平行或重合。
当L1⊥L2时，通过坐标原点作直线L1’∥ L1和 L2’∥ L2，则L和L2’互相垂直。
在直线L1’，L2’上分别取两点A（x1,y1）、B （x2,y2）(不含原点)。由勾股定理 ，得
(1) l1 : y 13x 1 l2 : y 3 x 8
(2) l1 : 3x 4 y 6 l2 : 4x 3y 7
(3) l1 : x 8
l2 : y 3
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例3、已知直线L与直线2x+3y-1=0垂直，且在 两坐标轴上的截距之和为2，求直线L的方程.
例4、已知直线L1:(m+2)x+3my+1=0与直线 L2:(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直，求实数m 的值. 例5、求点P（3，5）关于直线L:x-3y+2=0的 对称点P0的坐标.