两直线的位置关系--垂直_(课堂PPT)

两直线的位置关系
--两直线垂直
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一、复习提问:
直线 l1 : y k1x b1 直线 l2 : y k2x b2
l1 // l2
k1 k2 且 b1 b2
当两直线的斜率都不存在时， 两直线平行
y l1
b1
l2
01 2
x
b2
l1
yl2
0
x
2
当直线方程为一般式时:
l1：A1x + B1y +C1 = 0，l2：A2x + B2y +C2 = 0 （A1与B1不全为零、A2与B2也不全为零）
x-2y+3=0.
求解方法：待定系数法
结论：
与直线Ax By C 0垂直的直线可设为: Bx Ay m 0
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课堂练习：
1. 求过点A(3,2)且垂直于直线 4x+5y-8=0的直线方程. 2 . 和直线x+3y+1=0垂直，且在x轴上 的截距为2的直线方程。
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例2：判断下列两直线是否垂直,并说明理由.
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8
L1
6
L2
4
2
L1
-15
-10
-5
5
10
15
L2
-2
-4
可转化为研究直线L1’： A1x+B1y=0 L2’： A2x+B2y=0
垂直的条件。
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① 假定L1，L2都不与坐标轴平行或重合。
当L1⊥L2时，通过坐标原点作直线L1’∥ L1和 L2’∥ L2，则L和L2’互相垂直。
在直线L1’，L2’上分别取两点A（x1,y1）、B （x2,y2）(不含原点)。由勾股定理 ，得
l1
l2 : y 2 y
l2
l1
0
x
l2
1)
0
x
2)
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归纳:
一、特殊情况下的垂直
k1不存在,且k2 0 l1 l2
二、斜率都存在情况下的垂直
L1 L2 k1k2 1(k1, k2均存在)
三、直线方wenku.baidu.com为一般式时
L1 : A1x B1 y C1 0 L2 : A2 x B2 y C2 0 若L1 L2，则
条直线L1和L2，有
L1⊥L2 A1A2+B1B2=0
③如果B1B2≠0，则L1的斜率k1=又可以得出：
A1 B1
，L2的斜率k2=-
A2，
B2
L1⊥Lfk1k2=-1
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二、探究引入:
在同一坐标系内画出下列方程的直线，并观察它们的位置关系。
1)l1 : y 2x 1
l2
:
y
1 2
x
1
2)l1 : x 3 y
(1) l1 : y 13x 1 l2 : y 3 x 8
(2) l1 : 3x 4 y 6 l2 : 4x 3y 7
(3) l1 : x 8
l2 : y 3
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例3、已知直线L与直线2x+3y-1=0垂直，且在 两坐标轴上的截距之和为2，求直线L的方程.
例4、已知直线L1:(m+2)x+3my+1=0与直线 L2:(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直，求实数m 的值. 例5、求点P（3，5）关于直线L:x-3y+2=0的 对称点P0的坐标.
x12+y12+x22+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2
化简，得
x1x2+y1y2=0.
由假定可知B1≠0，B2 y1=-
≠0,因此
A1 B1
x1,y2=-
A2 B2
x2.
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代入上式，得 x1x2(1+
A1 A2 B1 B2
)=0.
因为A，B都不在y轴上，所以x1x2≠0，因此
1+ A1 A2 =0，（*）
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例2(1）已知四点A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11)
求证：AB CD；
一条光线通过点 A(1,-2), 遇直线l : x y - 2 0反射后,经过点B(-2,-1), 求反射光线所在的直线 方程.
两直线斜率存在吗?
已知两直线l1 : mx 8y n 0和l2 : 2x my-1 0,若l1 l2,,且l1在y轴
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四、课堂小结：
1、若两条直线斜率都存在，直线L1与L2的斜率分别为 k1,k2则：
L1⊥L2 k1k2=-1 2、两直线若一条直线无斜率另一条直线斜率为0，则 这二直线互相垂直。 3、直线方程为一般式时
L1 : A1x B1 y C1 0 L2 : A2 x B2 y C2 0
若L1 L2，则 A1 A2 B1B2 0
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例3、已知三角形的顶点A(2,4),B(1,-2),C(-2,3), 求BC边上的高AD所在的直线方程.
l1∥l2 A1 B2 – A2 B1= 0且A1 C2 – A2 C1 0 或A1 B2 – A2 B1= 0且B1 C2 – B2 C1 0
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三、讲授新知: 特殊情况下的垂直
k1不存在,且k2 0
y
l1
y2
0
x1
l2
x l1 l2
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已知两条直线： L1:A1x+B1y+C1=0， L2: A2x+B2y+C2=0。
上的截距为1,则m
n
斜率存在时,怎样确定两直线垂直?
例2(2）已知直线L1的斜率k1
3 4
,
直线L2经过点A(3a,-2),
B(0,a2+1),且L1 L2，求实数a的值.
由两直线垂直,能得到什么结论?
它与a有关系吗?
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二.基础练习：
１、当m为_0或__4_/_3时，直线mx-(3m2)y=7与2x+my=1互相垂直。
B1 B2
即
A1A2+B1B2=0（**）
由于上面推导的每一步都是可逆的，因此，由(**)式
可以证明两条直线L1’与L2’垂直。从而也就证明了 L1与L2垂直。
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②假定L1，L2中有一条直线与坐标轴平行或重合。
当L1⊥L2时，可以推出L1，L2中的另外一条也与坐标 轴平行或重合，因此同样有
A1A2+B1B2=0. 反过来，由条件A1 A2 +B1 B2 =0也可以推出L1⊥L2。 总结以上结论，我们得到，对坐标平面内的任意两
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例1：求过点A（2，1），且与直线 2x y 10 0
垂直的直线 l 的方程。
分析：
两直线垂直
斜率互为负倒数
其中一条直线的 斜率知道
求出 另一条直线的斜率 由点斜式求出 所求直线的方程
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另解：设所求直线方程为x+2y+C=0.
因为直线过点（1,2），代入方程，得C=3， 所以所求直线方程为
２、已知直线l :ax+by+2a=0与直 已知直线l1 :(a 2)x (1-a)y-1 0和直线l2 :(a -1)x (2a 3)y 2 0
1 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆(圆内接四边形的对角互补)
求实数线a的值. l2:(a-1)x+y+b=0互相垂直，且 直线l1过点（-1，1），则a= 2 , b= -2 .