第15讲拟合

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第15讲 MATLAB 多元线性回归分析

假设，说明至少有一个回归系数 i 0 ，从而说明
变量 Y 线性依赖于某个变量 X i ；若检验的结果是接受 H 0 ，则说明所有变量 X 1 , X 2 ,..., X p 对变量的线性关系是不重要的。
本章目录
16
回归分析
2 线性回归
—多元线性回归
2.3 回归方程的假设检验—模型的检验
x i (1, xi1 ,...,xip )
例
本章目录
22
i 1,2,...,n
回归分析
2 线性回归
—多元线性回归
2.4 自变量的选择
自变量的选择
本章目录
23
回归分析
2 线性回归
—多元线性回归
2.4 自变量的选择
提
选择自变量的准则选择自变量进入回归模型的方法
纲
（SAS实例）
本章目录
24
回归分析
2 线性回归
—多元线性回归
2.4 自变量的选择
选择自变量的准则
选择自变量进入回归模型的方法
1. 引言
因变量
y 自变量为 x , x ,, x
1 2
p
满足线性关系
p
y x x e
0 1 1 p
（I）
对 x1 , x2 ,, x p y 进行 n 次观测，所得的 n 组数据为
xi1 , xi 2 ,, xip, (i 1,2,, n)
它们均满足（I）式
25
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回归分析
2 线性回归
—多元线性回归
2.4 自变量的选择
选择自变量的准则
选择自变量进入回归模型的方法

拟合曲线的协方差

拟合曲线的协方差一、引言在数据分析和机器学习中，拟合曲线是一种常见的方法，它可以用来预测未来的趋势和解释数据之间的关系。

然而，在拟合曲线时，我们还需要考虑误差的影响，因为数据中存在许多随机误差。

因此，协方差是一个重要的概念，它可以帮助我们衡量两个随机变量之间的关系。

二、协方差定义协方差是统计学中用于衡量两个变量之间关系的一种指标。

它表示两个随机变量之间的相关性或联合变化程度。

具体地说，假设有两个随机变量X和Y，其期望值分别为μx和μy，则它们之间的协方差定义为：cov(X,Y) = E[(X-μx)(Y-μy)]其中E表示期望值。

如果X和Y具有正相关性，则它们之间的协方差为正数；如果它们具有负相关性，则协方差为负数；如果它们不相关，则协方差为0。

三、协方差矩阵在多元统计分析中，我们通常需要考虑多个随机变量之间的关系。

此时，我们可以使用协方差矩阵来描述它们之间的关系。

假设有n个随机变量X1,X2,...,Xn，它们的期望值分别为μ1,μ2,...,μn，则它们之间的协方差矩阵定义为：Σ = [ cov(Xi,Xj) ]其中i,j=1,2,...,n。

协方差矩阵是一个对称矩阵，对角线上的元素是每个随机变量的方差，非对角线上的元素是两个随机变量之间的协方差。

四、拟合曲线中的协方差在拟合曲线时，我们通常会使用最小二乘法来求解模型参数。

此时，我们需要考虑数据中存在的随机误差对拟合结果的影响。

因此，我们可以使用带权最小二乘法来进行拟合。

带权最小二乘法将每个数据点赋予一个权重，表示该数据点在拟合过程中所占据的重要性。

通常情况下，权重越大表示该数据点越可靠。

假设有m个数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym)，它们之间存在一定程度的随机误差，则带权最小二乘法可以表示为：min ∑[wi(yi-f(xi))^2]其中f(xi)表示模型在xi处的预测值，wi表示第i个数据点的权重。

我们可以使用协方差矩阵来计算权重，具体地说，如果每个数据点的误差服从正态分布，则权重可以表示为：wi = 1/σi^2其中σi表示第i个数据点的误差标准差。

多项式的拟合(共18张PPT)

第十五页，共十八页。
四、模型(móxíng) 求解
设VA VB 1000立方厘米，S=10 平方厘米，求容器的
B 部分溶液浓度的测试结果如下表（其中C j 的单位为
毫克/立方厘米）
t j (秒) 100
200
300
400
500
ccjj(105) 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 t j (秒) 600 700 800 900 1000
哪些地方船要避免进入。
第四页，共十八页。
水道水深测量数据(shùjù)（单位：英尺）
x 129.0 140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5 Y 7.5 141.5 23.0 147.0 22.5 137.5 85.5 Z4868688 X 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5 Y -6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -33.5 Z9988949
种分子穿透的能力。测定方法如下：
用面积 S 的薄膜将容器分成体积分别为VA,VB 的两部分，在两
部分中分别注满该物质的两种不同浓度的溶液。此时该物质分子就会从高浓度溶液穿过薄膜向低浓度溶液中扩散。通过单位面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比，比例系数 K 表证了薄膜被该物质分子穿透的能力，称为渗透率。定时测量容器中薄膜某一侧的溶液浓度值，以此确定 K 的值。
c j (105) 6.10
6.26 6.39
第十六页，共十八页。
6.50
6.59
此时极小(jí xiǎo)化的函数为： 10
E(K , a, b) [a be20Kt j C j ]2 j 1 用Matlab软件(ruǎn jiàn)进行计算

拟合总结

直线拟合：回归统计Multiple R 0.367224 R Square 0.134854Adjusted R Square 0.108637 标准误差 14.15244观测值 35方差分析df SS MS F SignificanceF回归分析 1 1030.267 1030.267 5.143837 0.03 残差 33 6609.619 200.2915 总计 34 7639.886Coefficients 标准误差 t Stat P-valueLower 95% Upper95% Intercept9.821113 5.855612 1.677214 0.10295-2.09222 21.73445 1.1 4.188148 1.846624 2.268003 0.030.431164 7.945132多项式拟合：+++=2210x b x b b y …+nn xb一、 E xcel 进行拟合1、多项式最高方次不超过6可采用添加趋势线的方法．首先将待拟合数据输入Excel 表格，插入散点图或折线图然后将鼠标指针移到散点图中数据点，右击键，选择添加趋势线（在菜单栏的图表菜单中选择添加趋势线）．在出现的对话框类型卡中选定多项式曲线拟合，具体用几阶可在拟合的过程中看那一种拟合的效果最佳。

在选项卡中选定显示公式和R 平方值选项，根据实际情况确定是否设置截距值．按“确定”按钮立即得到拟合多项式及决定系数值。

检验：越大，曲线拟合的越好。

如何单变量求解？2、多项式超过6时 +++=2210x b x b b y …+n n x b 设x 1=x,x 2=x2,x 3=x 3…x 9=x 9化为多元线性拟合二、多元线性回归：y=b 3322110x b x b x b b y +++=点击“工具”—“数据分析”—“回归”—“确定”--，在“Y 值输入区域”填入y 值，在X 输入区域“填入多个x 变量。

涂层阻抗拟合后溶液电阻范围

涂层阻抗拟合后溶液电阻范围你知道涂层阻抗拟合后溶液电阻的事儿吗？听起来可能有点复杂，但别担心，我会把它讲得通俗易懂。

想象一下你在做实验，手里有一块金属表面，涂了一层保护涂层。

这层涂层就像给金属穿上了一件衣服，保护它不被腐蚀或者氧化。

涂层阻抗到底是什么呢？简单来说，阻抗就是电流通过某种材料时，它受到的“阻碍”或“抵抗”的程度。

涂层的好坏直接影响到阻抗值，而溶液电阻就是水或者溶液对电流的抵抗。

这个话题其实挺有趣的，虽然它的名字听起来一脸严肃，但其实它的原理就像你在喝水时，用吸管吸水的那种感觉。

你用力吸得越用力，水的流动就越不顺畅——这个“吸阻”就是溶液电阻。

你想，溶液电阻越大，电流流得越慢，越难通过。

反过来说，涂层的阻抗越大，电流通过涂层的难度就越大。

所以，当你对涂层的阻抗进行拟合时，你实际上是在找出一种方法，看看涂层如何影响电流的流动。

你可能会问，为什么要做这个拟合呢？很简单嘛，生活中很多东西都得通过这种“对比”和“调整”才能优化，不是吗？不知道你有没有想过，涂层电阻到底是个什么样的范围呢？哈哈，别着急！首先呢，这个电阻的范围其实受很多因素的影响。

比如涂层的材料、厚度、质量，还有环境的温湿度这些。

如果你的涂层非常薄，那么它的电阻通常较低，因为电流可以比较容易地通过。

反之，涂层厚了，电流就得“绕路”走，电阻自然就高了。

这就像你站在一条很窄的小路上，走得很顺畅，而如果变成了一条满是坑洼的大路，那你不累才怪。

而且呢，溶液电阻其实也有一个“小秘密”，那就是溶液的浓度对电阻有着非常大的影响。

浓度越高，溶液中离子的数量也就越多，电流就能顺利通过，电阻变小。

反过来，溶液浓度低的时候，离子稀少，电流就显得很“憋屈”，电阻自然就变大。

这就像你参加一个比赛，选手越多，比赛越激烈，你越有动力；如果选手少了，气氛就有点冷清了。

说实话，涂层阻抗的拟合有点像摸着石头过河，难度大不大，因人而异。

可是一旦掌握了窍门，做出来的结果就能让你眼前一亮。

残差拟合的问题-概述说明以及解释

残差拟合的问题-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容编写如下：1.1 概述在现代统计学和机器学习领域中，拟合残差是一项重要的任务。

残差指的是通过拟合函数预测的结果与实际观测值之间的差异。

残差拟合则是通过对这些差异进行建模和分析，以达到对应变量之间关系的更好理解和预测的目的。

残差拟合的目标是通过找到一个拟合函数，使得其预测值与实际观测值的差异最小化。

通过最小化残差，我们可以寻找到最佳的拟合函数，以逼近现实世界的数据生成过程。

这对于解决各种实际问题，例如经济预测、医学诊断以及工业生产优化等，都具有重要意义。

然而，在进行残差拟合时，我们可能会面临一些问题。

这些问题可能会导致拟合结果的偏离现实情况，从而降低拟合函数的准确性和可解释性。

在本文中，我们将重点讨论残差拟合的问题以及影响因素，并提出一些解决这些问题的方法。

通过深入分析和理解残差拟合的问题，我们可以更好地应用统计学和机器学习的方法，提高拟合模型的准确性和稳定性。

这对于各个领域的学术研究和实践应用都有着重要意义。

在接下来的章节中，我们将详细介绍残差拟合的定义和原理，以及可能影响拟合质量的因素。

我们还将提出一些解决残差拟合问题的方法，并展望未来可能的研究方向。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：在这一节中，我们将详细介绍本文的结构和各个章节的内容，以帮助读者更好地理解整篇文章的布局和逻辑。

首先，在引言部分，我们将概述残差拟合的问题并介绍本文的目的。

同时，我们还会简要介绍整篇文章的结构，以便读者能够清楚地了解各章节的内容和顺序。

接着，我们进入正文部分，第一节将详细阐述残差拟合的定义和原理。

我们将介绍什么是残差拟合，以及其在统计学和数据分析中的重要性。

同时，我们将解释残差拟合的基本原理和相关的数学概念，以便读者能够更好地理解后面章节中的问题和解决方法。

在第二节中，我们将重点探讨残差拟合的问题以及影响因素。

我们将介绍在实际应用中可能遇到的各种问题，比如过拟合、欠拟合、局部最小值等，并分析造成这些问题的原因和影响因素。

第15讲一元线性回归分析

n
i 1
2
2 2 ˆ ˆ 2b yi y xi x b xi x i 1 i 1
i 1
n
i 1
n
ˆS /S ˆ b ˆ2 S S bS ˆ . b S yy 2bS xy xx xy xx yy xy
例2 求例1中误差方差的无偏估计。
采用最小二乘法估计参数a和b，并不需要事先知道Y与x之间一定具有相关关系，即使是平面图上一堆完全杂乱无章的散点，也可以用公式求出回归方程。因此μ(x)是否为x的线性函数，一要根据专业知识和实践来判断，二要根据实际观察得到的数据用假设检验方法来判断。
即要检验假设 H0 : b 0, H1 : b 0, 若原假设被拒绝，说明回归效果是显著的，否则，若接受原假设，说明Y与x不是线性关系，回归方程无意义。回归效果不显著的原因可能有以下几种：
将每对观察值( xi , yi )在直角坐标系中描出它相应的点（称为散点图），可以粗略看出 ( x)的形式。
基本思想
(x, Y)
回归分析回归方程
采集样本信息 ( xi, yi )
散点图
回归方程参数估计、显著性检验
对现实进行预测与控制
一元回归分析:只有一个自变量的回归分析多元回归分析:多于一个自变量的回归分析

x1 x2 x3
xi
xn
整理得 na ( xi )b yi ,
( xi )a ( xi )b xi yi .——正规方程组
2 i 1 i 1 i 1
n
i 1
n
i 1
n
na ( xi )b yi ,
i 1 i 1
n
n

拟合与回归

由（*）式解得
a y bx

b
m
i1
m m 1 x i yi x i yi m i1 i1

m
xi
2
i1
1 xi m i1
m
2
(x
b
i1 m
m
i
x )( y i y ) ( xi x )
线性拟合
（拟合点坐标为 x i , y i），设有直线 p ( x ) a bx ， i 1, 2 , , m ;
均方误差为
Q (a, b)
( p(x) y
i 1
m
i
)
2
( a bx
i 1
m
i
yi )
2
计算当 Q ( a , b ) 取得极小值时 a , b 的值，从而找到拟合直线。
温度 20.5 t（℃）电阻 765 R（）
求60 ℃时的电阻R
32.7 826
51.0 873
73.0 942
95.7 1.32
热敏电阻数据 1200 1000 800
电阻
600 400 200 0 0 20 40 60 温度 80 100 120
系列1
解：设拟合直线 R 均方误差为：
a bt
y 对 x 的回归直线方程.
一元线性回归分析的主要任务是：
1、用试验值（样本值）对 0 、 1 和作点估计； 2、对回归系数 0 、 1 作假设检验； 3、在 x= x 0 处对 y 作预测，对 y 作区间估计.
二、模型参数估计
1、回归系数的最小二乘估计

曲线拟合问题讲解

曲线拟合问题摘要本文首先对给定数据根据不同要求进行多次直线拟合，分别求得使所拟直线预期值的偏差平方和、绝对偏差总和和最大偏差最小的三类拟合直线，然后再求得二次曲线条件下满足三类要求的二次拟合曲线，最后运用其他曲线对给定数据进行拟合，得到吻合度最高的曲线。

针对问题一，构建线性回归方程，运用最小二乘法及lingo软件使得目标函数预期值的即拟合偏差平方和达到最小，从而得到拟合曲线^0.80310480.0123077iy x-=。

针对问题二，构建给定数据的线性回归方程，使得目标函数即预期值的绝对偏差综合最小，但由于绝对偏差较难处理，采用转化的思想将对绝对偏差的求解转化为对偏差平方和开方的求解，从而得到拟合曲线^0.650.575iy x=+。

针对问题三，构建给定数据的线性回归方程，运用lingo软件使得目标函数即预期值的最大偏差最小，从而得到拟合曲线^1.13 1.879iy x=-。

针对问题四，构建给定数据的二次方程，运用lingo软件分别求得三类不同条件下的最优拟合曲线，偏差平方和达到最小：^210.097030110.138534 1.425301i iy x x-=+，绝对偏差总和达到最小：^210.041481480.27111111i iy x x+=+，观测值与预测值最大偏差为最小：^210.025568180.76590910.6923295i iy x x-=+。

针对问题五，本文做出给定数据散点图，构建不同曲线类型进行拟合，得到2R即吻合度最高的曲线类型，运用Matlab软件求得该曲线类型的方程。

本文的特色在于利用图标直观表达拟合曲线，增强文章可靠性及真实性，并构建不同的曲线类型，得到吻合度最高的拟合曲线。

关键词：曲线拟合、线性回归、lingo1．问题的重述已知一个量y 依赖于另一个量x ，现收集有数据如下：（1）求拟合以上数据的直线a bx y +=。

目标为使y 的各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小。

武大《摄影测量》课件-第15讲空间前方交会

点的三维坐标。
空间前方交会技术在卫星遥感测量中同样发挥着重要作用，能够提高遥感数据的精度和可靠性。
卫星遥感测量的应用范围包括全球气候变化监测、环境监测、资
源调查、灾害预警等方面。
地面激光雷达测量
地面激光雷达测量是一种主动式测量技术，通过向地面发射激光束并接收反射回来的信号，能够快速准确地获取地面
武大《摄影测量》课件第15讲空间前方交会
CATALOGUE
目录
• 空间前方交会概述 • 空间前方交会的基本步骤 • 空间前方交会在摄影测量中的应用 • 空间前方交会中的问题与解决方案 • 空间前方交会的前沿技术与发展趋
势
01
CATALOGUE
空间前方交会概述
定义与原理
定义
空间前方交会是一种通过处理立体像对的同名光线，确定地面点空间位置的方法。
点的三维坐标信息。
空间前方交会技术在地面激光雷达测量中能够提高对复杂地形的测量精度，尤其在山区、森林等复杂环境下具有显著
优势。
地面激光雷达测量的应用范围包括地形测绘、林业调查、考古探测等方面。
04
CATALOGUE
空间前方交会中的问题与解决方案
误差来源与控制
误差来源
由于测量设备、环境因素和数据处理方法的限制，空间前方交会中存在多种误差来源，如观测误差、模型误差和匹配误差等。
精度评估的方法包括比较已知的真值、重复观测、交叉验证等，评估指标包括中误差、均方根误差等。
精度评估的目的是发现和纠正空间前方交会中可能存在的误差和问题，提高交会结果的可靠性和精度。
03
CATALOGUE
空间前方交会在摄影测量中的应用
航空摄影测量
航空摄影测量是利用航空摄影所获取的影像信息，通过摄影测量技术确定地面点的三维坐标，为各种地理信息数据采集、地图制作和更新提供重要依据。

2023届高考数学一轮复习讲义：第15讲函数模型及其应用

第15讲函数模型及其应用➢考点1 利用函数图象刻画实际问题[名师点睛]判断函数图像与实际问题变化过程是否吻合的方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．[典例]1.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()2.(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝ma x＋n(m>0,0<a<1)C．y＝ma x＋n(m>0，a>1)D．y＝m log a x＋n(m>0，a>0，a≠1)[举一反三]1.(2022·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是()2.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：①0时到3时只进水不出水； ②3时到4时不进水只出水； ③4时到5时不进水也不出水. 则一定正确的论断是________(填序号).3.(2022·武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t (年)与树高y (米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y ＝2t －a ；②y ＝a ＋log 2t ；③y ＝12t ＋a ；④y＝t ＋a 中(其中a 为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米.➢考点2 已知函数模型解决实际问题[名师点睛]求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 1.（2022·江苏·高三阶段练习）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()t n （单位：小时）大致服从的关系为00()n N t n n N <=≥（0t ，0N 为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为__________小时. 2.（2022·浙江·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()253,025050-,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费）20x 元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）. (1)求()f x 的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？[举一反三]1．（2022·广东茂名·二模）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：A·h ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式n C I t =⋅，其中32log 2n =为Peukert 常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流10A I =时，放电时间57h t =，则当放电电流15A I =，放电时间为（）A ．28hB ．28.5hC ．29hD ．29.5h2．（2022·全国·高三专题练习）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y （毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102ta t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，函数的图象如图所示．如果商场规定9:30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（）A ．9:00B ．8:40C ．8:30D ．8:003．（2022·福建福州·三模）某地在20年间经济高质量增长，GDP 的值P （单位，亿元）与时间t （单位：年）之间的关系为()()0110%tP t P =+，其中0P 为0=t 时的P 值.假定02P =，那么在10t =时，GDP 增长的速度大约是___________.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：101.1 2.59≈，当x 取很小的正数时，()ln 1x x +≈4．（2022·上海交大附中高三开学考试）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为()R x 万元，且25002,020()21406250370,20x x R x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩. (1)写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本） (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.➢考点3 构建函数模型解决实际问题1.（2022·全国·高三专题练习）A，B两城相距100km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度.（1）求x的取值范围；（2）把月供电总费用y表示成x的函数；（3）核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？2.（2022·全国·高三专题练习）杭州地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时列车为满载状态，载客量为500人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为()p t ．（Ⅰ）求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；（Ⅱ）若该线路每分钟的净收益为8()2656()60p t Q t t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．[举一反三]1．（2022·福建龙岩·模拟预测）进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A 地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A 地距离上海500km ，设车队从A 地匀速行驶到上海，高速公路限速为60km/h 110~km/h .已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v km/h 的立方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.若1200b =，410a =，为了使全程运输成本最低，车队速度v 应为（） A ．80km/hB ．90km/hC ．100km/hD ．110km/h2．（2022·福建·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00G GL L D =，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下（不含0.05）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈） A ．11B ．22C ．227D ．4813．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为（）m ．A ．400B ．12C ．20D ．304．（2022·全国·高三专题练习）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3vN v v d =++，其中0d 为安全距离，v 为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（）A．135 B．149C．165 D．1955．（2022·北京西城·一模）调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg，则额外奖励x分（x为正整数）.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.①当10x=时，若某家庭某月产生120kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元；②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为___________.6．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml，已知一驾驶员某次饮酒后体内每100ml血液中的酒精含量y（单位：mg）与时间x（单位：h）的关系是：当113x<<时，227010801111y x x=-+；当113x≥时，110yx=，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过__________h才可驾车.7．（2022·全国·高三专题练习）某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为___________元第15讲函数模型及其应用➢考点1 利用函数图象刻画实际问题[名师点睛]判断函数图像与实际问题变化过程是否吻合的方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．[典例]1.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()答案 B解析水匀速流出，所以鱼缸水深h先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快．2.(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝ma x＋n(m>0,0<a<1)C．y＝ma x＋n(m>0，a>1)D．y＝m log a x＋n(m>0，a>0，a≠1)答案 B解析由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0,0<a<1.[举一反三]1.(2022·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是()答案 A解析根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x上方．结合选项只有A选项能够较好的达到目的．2.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：①0时到3时只进水不出水； ②3时到4时不进水只出水； ③4时到5时不进水也不出水. 则一定正确的论断是________(填序号). 答案 ①解析由甲、乙、丙图可得进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率可知，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2，故①正确；不进只出水时，蓄水量减少的速度为2，故②不正确；两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0，故③不正确.3.(2022·武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t (年)与树高y (米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y ＝2t －a ；②y ＝a ＋log 2t ；③y ＝12t ＋a ；④y＝t ＋a 中(其中a 为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米.答案 ②103解析由散点图的走势，知模型①不合适.曲线过点⎝⎛⎭⎫4，73，则后三个模型的解析式分别为②y ＝13＋log 2t ；③y ＝12t ＋13；④y ＝t ＋13，当t ＝1时，代入④中，得y ＝43，与图不符，易知拟合最好的是②.将t ＝8代入②式，得y ＝13＋log 28＝103(米).➢考点2 已知函数模型解决实际问题[名师点睛]求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．1.（2022·江苏·高三阶段练习）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()tn （单位：小时）大致服从的关系为00()n N t n n N <=≥（0t ，0N 为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为__________小时. 【答案】647【解析】由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，016N >， 16=，解得064t =.8，解得064N =，所以64()8,64n t n n <=≥⎩，所以当49n =时，64(49)7t =. 故答案为：6472.（2022·浙江·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()253,025050-,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费）20x 元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）. (1)求()f x 的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【解】(1)由已知()()()1520101530f x W x x x W x x =--=-()22155330,02,7530225,02,75050750-30,2 5.1550-)30,2511x x x x x x x x x x x x ⎧⨯+-≤≤⎧-+≤≤⎪⎪==⎨⎨-<≤⨯-<≤⎪⎪+⎩+⎩（ (2)解：由（1）得()()22175222,02,7530225,02,5=750750-30,2 5.25780301,2 5.11x x x x x f x x x x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎧-+≤≤⎪⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎨-<≤⎡⎤⎪⎪-++<≤+⎩⎢⎥⎪+⎣⎦⎩当02x ≤≤时，()()max 2465f x f ==；当25x <≤时，()()25780301780304801f x x x ⎡⎤=-++≤-⨯=⎢⎥+⎣⎦ 当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立. 因为465480<，所以当4x =时，()max 480f x =.∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元.[举一反三]1．（2022·广东茂名·二模）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：A·h ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式n C I t =⋅，其中32log 2n =为Peukert 常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流10A I =时，放电时间57h t =，则当放电电流15A I =，放电时间为（）A ．28hB ．28.5hC ．29hD ．29.5h【答案】B【解析】解：根据题意可得5710n C =⋅，则当15A I =时，571015n n t ⋅=⋅，所以32231log 2log 222257575728.5h 333nt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即当放电电流15A I =，放电时间为28.5h. 故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y （毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102t at t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，函数的图象如图所示．如果商场规定9:30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（）A ．9:00B ．8:40C ．8:30D ．8:00【答案】A【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)，代入函数的解析式，可得1121a-⎛⎫⎪⎝⎭=，解得1a =，所以1100.1,0101,102tt t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，令0.25y ≤，可得0.10.25t ≤或11020.251t -⎛⎝≤⎫ ⎪⎭，解得0 2.5t <≤或30t ≥，所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9:00. 故选：A.3．（2022·福建福州·三模）某地在20年间经济高质量增长，GDP 的值P （单位，亿元）与时间t （单位：年）之间的关系为()()0110%tP t P =+，其中0P 为0=t 时的P 值.假定02P =，那么在10t =时，GDP 增长的速度大约是___________.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：101.1 2.59≈，当x 取很小的正数时，()ln 1x x +≈ 【答案】0.52【解析】由题可知()()2110%2 1.1tt P t =+=⨯，所以()2 1.1ln1.1tP t '=⨯，所以()10102 1.1ln1.12 2.590.10.5180.52P '=⨯≈⨯⨯=≈,即GDP 增长的速度大约是0.52. 故答案为：0.52.4．（2022·上海交大附中高三开学考试）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为()R x 万元，且25002,020()21406250370,20x x R x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩. (1)写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本） (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【解】(1)当020x <≤时，()(380150)S xR x x =-+ 25002380150x x x =--- 22120150x x =-+-，当20x >时，()(380150)S xR x x =-+ 62503702140380150x x x=+--- 6250101990x x=--+，所以年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式为22120150,0206250101990,20x x x S x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩(2)当020x <≤时，2221201502(30)1650S x x x =-+-=--+，所以函数S 在(0,20]上单调递增，所以当20x 时， S 取得最大值1450，当20x >时，62506250101990(10)1990S x x x x=--+=-++199050019901490≤-=-+=，当且仅当625010x x=，即25x =时取等号，此时S 取得最大值1490，因为14901450>，所以当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元➢考点3 构建函数模型解决实际问题1.（2022·全国·高三专题练习）A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度. （1）求x 的取值范围；（2）把月供电总费用y 表示成x 的函数；（3）核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？【解】（1）由题意知x 的取值范围为[10，90].（2）222250.25200.2510(100)5(100)2y x x x x =⨯⨯+⨯⨯-=+-，∴2255(100)2y x x =+-（1090x ≤≤）；（3）2255(100)2y x x =+-215500250002x x =-+21510050000()233x =-+，∴1003x =时，min 500003y =． ∴核电站建在距A 城1003km 处，供电总费最少． 2.（2022·全国·高三专题练习）杭州地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时列车为满载状态，载客量为500人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为()p t ．（Ⅰ）求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；（Ⅱ）若该线路每分钟的净收益为8()2656()60p t Q t t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．【解】（Ⅰ）由题设，当210t ≤<时，令2()=500(10)p t k t --，而发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，∴2(2)=500(102)=372p k --，解得2k =.∴2300402,210()=500,1020t t t p t t ⎧+-≤<⎨≤≤⎩，故5t =时有2(5)=5002(105)=450p -⨯-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：25626016,210()134460,1020t t tQ t t t⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，∵210t ≤<时，()260132Q t ≤-=当且仅当4t =等号成立， ∴210t ≤<上max ()(4)132Q t Q ==，而1020t ≤≤上，()Q t 单调递减，则max ()(10)74.4Q t Q ==，综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元. [举一反三]1．（2022·福建龙岩·模拟预测）进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A 地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A 地距离上海500km ，设车队从A 地匀速行驶到上海，高速公路限速为60km/h 110~km/h .已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v km/h 的立方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.若1200b =，410a =，为了使全程运输成本最低，车队速度v 应为（） A ．80km/h B ．90km/h C ．100km/h D ．110km/h【答案】C 【解析】解：设运输成本为y 元，依题意可得432150055000000102002y v v v v ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭，则()()()3622243222251051010105000000550000005v v v v v y v v v v v--++-=-===' 所以当210v =时0y '=，当60100v ≤<时0y '<，当100110v <≤时0y '>，即函数在()60,100上单调递减，在()100,110上单调递增，所以当100v =时取得极小值即最小值，所以100v =km/h 时全程运输成本最低；故选：C2．（2022·福建·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00G G L L D =，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下（不含0.05）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈） A ．11 B ．22 C ．227 D ．481【答案】D【解析】由于00G GL L D =，所以220.5GL D =⨯，依题意222290.5100.45D D⇒==⨯，则229100.5GL ⎫ ⎪⎝⎭⨯⎛=，由220.50.05190G L ⨯<⎛⎫=⎪⎝⎭得2291101G ⎛⎫⎪<⎝⎭，221lg ,1l 1099g lg 101022G G ⎛⎫ ⎭<⎝<-⎪， ()2lg9lg 021G ⋅-<-，()92222,lg10lg 9lg10lg G G ⋅>->-， 222222480.35120.4812lg 37710.045G ==≈->-⨯，所以所需的训练迭代轮数至少为481轮.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为（）m ．A ．400B ．12C ．20D ．30【答案】C 【解析】设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得404040x y -=，0<x <40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400．故选：C.4．（2022·全国·高三专题练习）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3v N v v d =++，其中0d 为安全距离，v 为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（）A ．135B ．149C ．165D ．195【答案】B【解析】由题意得，2010001000149300.70.30.720.3300.70.3v N v v d v v ==≤≈+++⨯++，当且仅当300.3v v=，即10v =时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选：B5．（2022·北京西城·一模）调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg 积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg ，则额外奖励x 分（x 为正整数）.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.①当10x =时，若某家庭某月产生120kg 生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元； ②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x 的最大值为___________.【答案】 13 36【解析】①若某家庭某月产生120kg 生活垃圾，则该家庭月底的积分为12010130+=分，故该家庭该月积分卡能兑换1300.113⨯=元；②设每个家庭每月产生的垃圾为kg t ，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为()f t 元. 若0100t ≤<时，()0.10.340.40.136f t t t t =<⨯=恒成立；若100t ≥时，()0.10.10.340.4f t t x t =+≤⨯，可得()min 0.3636x t ≤=.故x 的最大值为36.故答案为：①13；②36.6．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml ，已知一驾驶员某次饮酒后体内每100ml 血液中的酒精含量y （单位：mg ）与时间x （单位：h ）的关系是：当1103x <<时，227010801111y x x =-+；当113x ≥时，110y x =，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过__________h 才可驾车.【答案】5.5 【解析】当1103x <<时，2227010802701080(2)11111111y x x x =-+=--+，当2x =时，函数有最大值10802011>，所以当1103x <<时，饮酒后体内每100ml 血液中的酒精含量小于20mg/100ml ，当当113x ≥时，函数110y x =单调递减，令11020 5.5y x x==⇒=，因此饮酒后5.5小时体内每100ml 血液中的酒精含量等于20mg/100ml ，故答案为：5.5。

拟和

列表如下：
k tk ik Ini k
0 0.2 3.16
1 0.3 2.38
2 0.4 1.75
3 0.5 1.34
4 0.6 1
5 0.7 0.74
6 0.8 0.56
1.1506 0.8671 0.5596 0.2927
0 -0.301 -0.58
由其正规方程组： 7a0 3.5a1 1.98903 3.5a0 2.03a1 0.185796
m m n i
(5)
三、线性最小二乘拟合
设 i ( x )(0 i n)为n+1个线性无关的函数,
Span 0 ( x ),1 ( x ), n ( x ) 对其中任一则得
p(x),有
p( x ) a k k ( x )
k对给定的一组数据(xi,yi)(i=0,1,…,m),在上述集合中求p(x),使其满足
a0 m x x i yi i 0 i 0 i 0 m m m a 2 n 1 1 xy x x i i i i i 0 i 0 i 0 m m m n n 1 2n x xi xi i yi i 0 i 0 i 0 an 称之为法方程组或正规方程组. m 1 m x i i 0 m xin i 0
于是我们得到一元线性回归模型为
(1.2) 称为回归
其中未知，固定的未知参数系数，自变量x称为回归变量。 (1.1)式两边同时取期望得：称为y 对x 的回归直线方程。在该模型下，第i个观测值可以看作样本（这些样本相互独立但不同分布, i = 1,2,…,n）的实际抽样值，即样本值。

拟合优度案例教学

拟合优度案例教学同学们，今天咱们来好好唠唠拟合优度这个事儿，我给你们讲几个特别好玩的案例，保证你们一下子就搞懂了。

先来说说这个卖冰淇淋和气温的关系。

想象一下，有个小老板在海边开了个冰淇淋小店。

我们想看看气温对他卖冰淇淋的数量有没有影响呢？这时候拟合优度就可以闪亮登场啦。

我们收集了好多天的数据，比如说气温15度的时候，卖出去了20个冰淇淋；20度的时候，卖了30个；25度的时候，卖了40个等等。

然后我们就可以用一条线来试着拟合这些数据点。

要是这条线能特别完美地穿过所有这些表示气温和冰淇淋销量的点，那拟合优度就非常高。

就好像给这个小老板找到了一个特别精准的小魔法，只要知道气温，就能准确算出能卖多少冰淇淋。

比如说，我们画出来的这条线呢，大部分的数据点都离它很近，只有一两个稍微远一点。

这就好比一群小伙伴排队，大部分都整整齐齐地站在一条线上，只有一两个稍微歪了一点。

这个时候拟合优度可能就还不错，比如说达到了0.8或者0.9（这里的数值是打个比方哈）。

这意味着我们这个关于气温影响冰淇淋销量的模型是比较靠谱的。

再讲一个例子，是关于学生考试成绩和学习时间的。

有个班的学生，有的每天学习1个小时，考试成绩60分；有的学2个小时，考70分；还有的学3个小时，考80分等等。

我们又想用一条线来表示学习时间和考试成绩之间的关系。

如果我们发现，画出来的线周围，那些表示不同学生的数据点就像满天星一样，到处都是，离这条线老远了。

这就像是你想要把一群调皮的小动物排成整齐的一队，可它们根本不听你的，到处乱跑。

这时候拟合优度就很低啦，可能只有0.3或者0.4。

那就说明我们这个用学习时间来预测考试成绩的模型不咋地，可能还得找其他的因素，像学习效率啊，有没有预习复习之类的。

还有一个特有趣的例子是预测身高和鞋码的关系。

我们找了一堆人，量了他们的身高和鞋码。

一般来说呢，高个子的人鞋码可能会大一些。

但是这里面也有很多特殊情况。

比如说有个打篮球的小伙子，他特别高，但是脚不大；还有个小姑娘，虽然不高，但是脚特别大。

多项式拟合

多项式拟合一最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m)小，常用的方法有以下三种：一是误差(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差(i=0，1，…，m)的整体大小。

数据拟合的具体作法是：对给定数据(i=0,1,…，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即=从几何意义上讲，就是寻求与给定点(i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。

函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

类可有不同的选取方法.6—1二多项式拟合假设给定数据点(i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得(1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。

特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。

显然为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。

由多元函数求极值的必要条件，得(2)即(3)（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为(4)式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。

可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。

从式（4）中解出(k=0,1,…，n)，从而可得多项式(5)可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。

我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作由式(2)可得(6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：(1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；(2) 列表计算和；(3) 写出正规方程组，求出；(4) 写出拟合多项式。

在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。

拟合公式步骤

拟合公式步骤拟合公式是指通过给定的数据点来寻找一个数学函数，以尽可能地描述这些数据点之间的关系。

拟合公式在科学研究、统计分析和工程技术等领域中都有着广泛的应用。

本文将介绍拟合公式的步骤，并重点强调其生动、全面和具有指导意义的特点。

第一步：收集数据。

拟合公式的第一步是收集实验数据或观察数据。

这些数据可以来自实验、调查、采样或其他数据收集方法。

在收集数据时，需要确保数据的准确性和完整性，以避免后续拟合过程中的误差。

第二步：选择拟合函数类型。

根据数据的特点和拟合目标，选择适当的拟合函数类型。

常见的拟合函数包括线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数、幂函数等。

选择合适的函数类型可以更好地逼近数据，并提高拟合的准确性。

第三步：确定拟合参数。

对于每种拟合函数，都有一组参数需要确定。

通过数值计算或优化算法，确定拟合函数中的参数值，以使拟合函数与实际数据点的差距最小化。

参数的确定可以借助计算机软件进行自动化处理，提高拟合的效率和准确性。

在确定参数时，还需注意参数的物理意义和约束条件，以确保拟合结果的合理性和可解释性。

第四步：评估拟合结果。

拟合结果的评估是判断拟合函数的有效性和拟合质量的重要步骤。

常见的评估方法包括计算残差、拟合优度指标、误差分析等。

通过评估拟合结果，可以了解拟合函数对数据的拟合程度，并进一步优化拟合参数和函数类型，以得到更好的拟合效果。

第五步：预测和推断。

拟合公式的最终目标是通过所得的函数，对未知数据进行预测和推断。

通过拟合函数，可以根据已知的自变量值，预测对应的因变量值。

同时，还可以根据拟合函数的物理意义，对数据背后的规律和关系进行推断和解释。

这对于科学研究、工程设计和决策制定有着重要的指导意义。

综上所述，拟合公式是一种描述数据关系的有效方法，其步骤包括数据收集、函数选择、参数确定、结果评估和预测推断。

在进行拟合过程中，需要兼顾数据的准确性和完整性，选择适当的拟合函数类型，并合理确定参数值。

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第100讲：NX8.5建模曲面之四点曲面命令的应用！！第101讲：NX8.5建模曲面之整体突变&曲线成片体命令！第102讲：NX8.5建模曲面之条带构建器命令！(此命令不常用) 第103讲：NX8.5建模曲面之过渡曲面(桥接曲面)命令的用法！第104讲：NX8.5建模曲面之通过点&通过极点方式创建曲面命令！第105讲：NX8.5建模曲面之修补开口命令的用法！第106讲：NX8.5建模网络曲面之直纹面命令&实例！第107讲：NX8.5建模之直纹面命令在设计中的应用！(两个实例) 第108讲：NX8.5建模网格曲面之通过曲线组命令的用法！第109讲：NX8.5建模网络曲面之N边曲面命令的应用！第110讲：NX8.5建模网络曲面之艺术曲面命令的用法！第111讲：NX8.5建模之来自体的曲线相关命令的用法！第112讲：NX8.5建模分析工具之距离测量各命令的用法！第113讲：NX8.5建模分析工具之测量角量&测量面&测量体命令！第114讲：NX8.5建模表达式命令详解一[表达式界面初识]！第115讲：NX8.5建模表达式命令详解二[表达式的创建]！第116讲：NX8.5建模表达式命令详解三[数学函数]！第117讲：NX8.5建模之表达式+Excel在建模中的灵活运用！[精华版] 第118讲：NX8.5建模之Floor函数在设计中的妙用！第119讲：NX8.5建模表模表达式命令详解五[列表类函数]！第121讲：NX8.5建模表达式命令详解六[Excel类函数]！第122讲：NX8.5建模表达式命令详解七[力学类函数]！第123讲：NX8.5建模建模之第117讲题目终极完美方法震撼出炉！第124讲：NX8.5建模表达式命令详解八[几何学类函数]！第125讲：NX8.5建模表达式命令详解九[Pts_func类别函数]！第126讲：NX8.5建模表达式命令详解十[其它类别函数]！第127讲：NX8.5建模表达式命令详解十一[条件&逻辑表达式]！第128讲：NX8.5建模之参数方程在表达式中的实现方式！第129讲：NX8.5建模之规律曲线命令&7种规律子类型！！第130讲：NX8.5建模之螺旋线命令详解(NX8.5版新增很多功能)！第131讲：NX8.5建模之两面试题目建模方法！(全参数化,请供参考) 第132讲：NX8.5建模之艺术样条曲线命令的用法！

第15讲薪酬政策线的绘制

1.结合实际谈谈,不同类型企业在物价上涨时的薪酬策略 .

2.结合以下两个新闻片段,国家这两个政策的出台,会对企业薪酬的制定形成影响吗?如果有,可能表现在哪些方面?视频\中国版高管“限薪令”出台规范国企高管天价酬薪.flv 视频\人保部央企负责人薪酬管理意见征个税项目.flv
薪酬政策线的绘制
一薪酬政策线的内涵

1.是企业薪酬结构形态的集中体现

2.由每个薪酬等级的中值构成的曲线
3.公司认可的市场薪酬水平线 4.基准职位定价法是常用的薪酬结构设计法

薪酬设计
$
Pay Policy Line
最高值
中位数
最低值
100
200
300
400
500
600
700
800
岗位的分值
思考:在对急需岗位的招聘中，容易产生起薪标准难以确定的问题。举个简单例子，由于需要实施一个项目公司急需招聘两名工程人员。按照正常的起薪标准，公司已经找到了一名工程人员，而另一名工程人员迟迟不能招到。如果这时有一位应聘者与前面那名工程人员的能力相当，但起薪却要求高出１倍。公司能否答应应聘者的起薪要求？

如果公司答应了起薪要求，势必会让其他员工产生不满。虽然很多公司实行了薪酬保密制度，但纸里不能永远包住火。如果这种怨气形成一股势力，最终妥协的办法只有提高所有员工的薪酬标准。如果公司不答应起薪要求，则会失去这位工程人员，给公司造成的损失会比这位员工的薪酬数额多得多。处理这类问题，不妨采用工资加奖金的办法。公司可以承诺如果按要求完成了项目，可以给这两名工程人员发放相应的奖金。所不同的是，第二位工程人员的奖金可以提前支取，每月支取的奖金额度是他的起薪要求数额与第一位工程人员的起薪数额之差。这样，既可以满足第二位工程人员的薪酬要求，也不会因为起薪问题而引起其他员工的波动。

数学建模-插值拟合的案例讲解

水塔是一个高12.2米，直径17.4米的正圆柱．按照设计，水塔水位降至约8.2米时，水泵自动启动，水位升到约10.8米时水泵停止工作．表1 是某一天的水位测量记录，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量．
估计水塔的流量
内容
问题
解题思路
算法设计与编程
表 1 水位测量记录（符号//表示水泵启动）
y=0:400:4800;
z=[370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250;
510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320;
650 760 880 970 1020 1050 1020 830 900 700 300 500 550 480 350;
1600
1250 1450 1500 1200 1200 1550 1500
2000
1280 1420 1500 1100 1100 1600 1550
2400
1230 1400 1400 1350 1550 1550 1510
2800
1040 1300 900 1450 1600 1600 1430
162 117.5]; y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -
33.5]; z=[-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4 -9];
cx=75:0.5:200; cy=-70:0.5:150; cz=griddata(x,y,z,cx,cy','cubic');