高二数学教案：9复习讲义(3)

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高二数学教案：棱柱和棱锥(三)

C'B'A'D'DAC C'B'A'D'DA C9.9棱柱和棱锥(三)教学目的：1.了解棱锥、正棱锥的概念，掌握正棱锥的性质.；2.能初步利用棱锥的概念及其性质解决一些简单角与距离的问题.3.灵活运用棱锥的概念及其性质解决有关角与距离问题；4.了解棱锥的侧面积、全面积的概念，能求出有关面积. 教学重点：棱锥、正棱锥的概念及其性质. 教学难点：棱锥、正棱锥的概念及其性质. 授课类型：新授课. 课时安排：4课时.教具：多媒体、实物投影仪. 教学过程：一、复习引入：1.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等.4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……设集合{}A =棱柱，{}B =斜棱柱，{}C =直棱柱，{}D =正棱柱，则,B C A D C =⊂U ．6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.7.平行六面体、长方体、正方体底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．8．平行六面体、长方体的性质(1)平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线,,,AC BD CA DB ''''相交于一点，且在点O 处互相平分．(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和.二、讲解新课：1.棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥.其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示.如图棱锥可表示为S ABCDE -，或S AC -． 3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……（如图） 4．棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．已知：在棱锥S AC -中，SH 是高，截面A B C D E '''''平行于底面，并与SH 交于H '，求证：截面A B C D E '''''～底面ABCDE ，且22A B C D E ABCDE S SH S SH''''''=．解：因为截面平行于底面，∴//A B AB ''，//B C BC ''，//C D CD ''，… ∴,A B C ABC B C D BCD ''''''∠=∠∠=∠，…又∵平面SAH 分别与截面和底面相交于A H ''和AH ， ∴//A H AH ''，得A B SA SH AB SA SH ''''==，同理B C SH BC SH '''=，… ∴A B B C SH ABBC SH'''''===L ，因此，截面A B C D E '''''～底面ABCDE ，且2222A B C D E ABCDE S A B SH S AB SH''''''''==．中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面.5．正棱锥定义：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．性质：（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）．（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形． 6．正棱锥的直观图的画法在过底面中心的垂线——'z 轴上取与底面中心距离等于棱锥高的点就得到了棱锥的顶点．给出了画图的比例尺，要特别注意平行于'y 轴的线段的长度的确定．正棱锥的直观图的画法，在具体画图的关键是：①用斜二测画水平放置的底面的直观图； ②正棱锥的顶点的确定；③画直观图的四个步骤：画轴（建立空间直角坐标系）⇒画底面⇒画侧棱（正棱锥画高线）⇒成图．三、讲解范例：例1.已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点O '平行于底面的截面A B C '''∆的面积.解：连结,OM OA ，在Rt SOM ∆中，22OM l h =-． ∵棱锥S ABC -是正三棱锥，∴O 是ABC ∆中心， ∴2222tan6023AB AM OM l h ==⋅=-o，222333()ABC S AB l h ∆==-，由棱锥截面性质得：2214A B C ABC S h S h '''∆∆'==，∴2233()4A B C S l h '''∆=-．例2．已知A B C '''∆是三棱锥S ABC -的中截面，三棱锥S A B C '''-的侧面积为25cm ，求三棱锥S ABC -的侧面积．解：∵截面//A B C '''底面SBC ，∴//A B AB ''，//B C BC ''，//C D CD ''，∴2214S A B SAB S A B S AB '''∆∆''==，同理：14S B C SBC S S '''∆∆=，14S A C SACS S '''∆∆=， ∴14S A B S B C S A C SAB SBC SAC S S S S S S '''''''''∆∆∆∆∆∆++=++，即三棱锥S ABC -的侧面积是三棱锥S A B C '''-的侧面积的4倍，所以，三棱锥S ABC -的侧面积为220cm ．点评：一般地，平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的侧面积之比也等于截得棱锥的高与原棱锥高的平方比.例3．四棱锥的高为h ，底面为菱形，侧面PAD 和侧面PDC 所成的二面角为120o，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都为60o，求此棱锥的全面积.EDCBAPGEP D CBA 解：∵侧面PAD ⊥底面AC ，侧面PDC ⊥底面AC ， ∴PD ⊥底面AC ，ADC ∠为二面角A PD C --的平面角，即120ADC ∠=o ，∵四边形为菱形，DBC ∆，取BC 中点E ，连结,PE DE ，则DE BC ⊥，由三垂线定理知PE BC ⊥，∴PED ∠是侧面PBC 与底面AC 所成的二面角的平面角，60PED ∠=o ，在Rt PDE ∆中，,,PD h DE PE h ===， ∴23sin3DE CD h π==， ∵,PDA PDC PBC PAB ∆≅∆∆≅∆，22PDA PBC ABCD S S S S ∆∆=++Y 全222sin1)33PD CD BC PE AD h π=⋅+⋅+=．说明：棱锥的侧面积等于各侧面三角形的面积之和，正棱锥的侧面积等于底面周长与斜高之积的一半．四、课堂练习：1.判断下列结论是否正确，为什么？（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥，（2）正四面体是四棱锥，（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥，（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥．答：（1）错，（2）错，（3）错，（4）对．2．在三棱锥P ABC -中，ABC ∆为正三角形，90PCA ∠=o ，D 为PA 中点，二面角P AC B --为120o，2,PC AB ==（1）求证：AC BD ⊥；（2）求BD 与底面ABC 所成的角，（3）求三棱锥P ABC-的体积．解：（1）取AC 的E ，连结,BE DE ，则//DE PC ，由PC AC ⊥，知DE AC ⊥，由ABC ∆为正三角形，得BE AC ⊥，又DE BE E =I ，∵AC ⊥平面DEB ，BD ⊂平面DEB ， ∴AC BD ⊥．（2）作DG BE ⊥，垂足为G ，∵AC ⊥平面DEB ，DG ⊂平面DEB ，DG AC ⊥，DG ⊥平面ABC ，BD 与底面ABC 所成的角DBG ∠，由DE AC ⊥，BE AC ⊥知DEB ∠是二面角P AC B --的平面角，120DEB ∠=o ，∵112DE PC ==，∴DG =，又∵3BE AB ==， ∴22213213cos12013BD =+-⨯⨯⨯=o∴sin DG DBE DB ∠==，∴BD 与底面ABC 所成的角为arcsin．（3）∵D 为PA 中点，∴P 到平面ABC 的距离2h DG ==，211333P ABC ABC V S h -∆===．五、小结：棱锥、正棱锥的概念，性质；棱锥平行于底面的截面性质结论可适当推广：平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的对应面积（底面，侧面）之比，等于对应线段（高、侧棱等）的平方比.计算面积时，必须计算对应边上的高，因此要寻找斜高，底面三角形的高，截面三角形的高的相互关系，这种关系应通过棱锥的性质来体现．六、课后作业：七、板书设计（略）. 八、课后记：。

高二下学期数学第九章复习(3)

高二下学期数学第九章复习（3）高二下学期数学第九章复习〔3〕空间向量的〔坐标〕运算〔1〕一、知识要点：1．向量定义：；相等向量：；共线〔平行〕向量：；共面向量：； 2．向量加法与数乘向量的差不多性质：〔1〕a b b a +=+ 〔2〕()()a b c a b c ++=++ 〔3〕()a b a b λλλ+=+． 3．空间向量数量积：〔1〕要紧性质：①||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>〔能够用来求角〕； ②0a b a b ⊥⇔⋅=〔能够用来证明线线垂直〕； ③2||a a a =⋅〔能够用来求线段长〕．〔2〕运算律：①()()a b a b λλ⋅=⋅； ②a b b a ⋅=⋅； ③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅．4．共线向量定理：；空间直线的向量参数方程：OP OA ta =+或(1)OP OA t AB t OA tOB =+⋅=-+〔其中l 过点A ，P 在直线l 上，O 为空间任意一点，a 是l 的方向向量AB a =〕由此判定,,P A B 三点共线⇔ ．5．共面向量定理：；据此判定,,,P A B C 四点共面⇔ ． 6．空间向量差不多定理：；专门地，假设基底为单位正交基底〔常用,,i j k 表示〕，那么能够建立空间直角坐标系。

7．空间直角坐标系〔右手直角坐标系〕：假设123a a i a j a k =++，那么123(,,)a a a a = 8．空间向量的坐标运算：123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，那么a b += ；a b -= ；a λ= ；a b ⋅= ；//a b ⇔ ；a b ⊥⇔ ；假设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，那么212121(,,)AB x x y y z z =---． 9．夹角和距离公式：〔1〕夹角公式：123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，那么||a = ；HG ODCBA||b = ；a b ⋅= ；cos ,a b <>= ；〔2〕两点间距离公式：111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，那么AB d = ；〔3〕向量与平面垂直的意义：假设表示a 的有向线段AB 所在直线垂直于平面α，那么称那个向量垂直于平面α，记为：a α⊥，现在a 叫做平面α的法向量．二、例题分析：例1．12,e e 不平行，122AB e e =+，12332BC e e =+，1224BD e e =+，试判定：,,,A B C D 四点共面吗？并证明你的结论．提示：⑴能够求得23AB BC =，⑵,,,A B C D 四点共线，从而共面．例2．空间四边形OABC 中，,G H 分不是ABC ∆，OBC ∆的重心，设OA a =，OB b =，OC c =，⑴试用向量,,a b c 表示向量OG 和GH ；⑵证明：//GH 平面OAB ．答案：⑴()13OG a b c =++，13GH a =-；例3．如图在正方体1AC 中，,,M N F 分不是棱11,,AA BB BC 的中点，⑴求证：11D N B F ⊥；⑵求直线CM 与1D N 所成角的余弦值； ⑶求直线1B M 与1D N 所成角的正弦值．答案：⑵1cos 9θ=；⑶sin 5θ=．AB C DA1B1C1D1MNFABC三、课后练习：班级学号姓名1．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，假设11A B a =，11A D b =，1A A c =，那么1B M =()12c b a +-． 2．设(3,3,1),(1,0,5),(0,1,0)A B C ，那么AB 的中点M 到C 点的距离||CM = 〔 C 〕()A ()B 532()C ()D 3．假设(4,1,5),(4,1,5)M AB -=-，那么〔 D 〕()A M 与A 重合 ()B M 与B 重合 ()C M 在AB 上 ()D OM AB =4．假设0a b c ++=且||3,||1,||4a b c ===，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=13-． 5．(1,2,1),(4,2,3),(6,1,4)A B C --，那么ABC ∆的形状是锐角三角形，ABC S ∆=6．||22p =||3q =，,4p q π<>=，求52a p q =+，3b p q =-为边的平行四边形的对角线的长．答案：15,7．：(,4,1)a x =，(2,,1)b y =--，(3,2,)c z =-，//a b ，b c ⊥，求：⑴,,a b c ；⑵()a c +与()b c +所成角的余弦值．答案：⑴()()()2,4,1,2,4,1,3,2,2a b c ==---=-，⑵ 219-8．在Rt ABC ∆中90,30,1ACB BAC BC ∠=∠==，现将ABC ∆沿着平面ABC 的法向量1AA 平移到111A B C ∆的位置，1AA =M 是1CC 的中点，⑴求异面直线1AB 与1A M 所成角；⑵假设P 是1A M 中点，Q 是1AB 中点，求线段PQ 的长．答案：⑴90；⑵4。

高二的数学复习教案汇总5篇

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20世纪是科学技术空前辉煌的世纪，如何展现那些辉煌的科技成就呢？下面小编给大家带来关于高二的数学复习教案，希望会对大家的工作与学习有所帮助。

高二的数学复习教案（精选篇1）教学目标1、知识与技能(1)理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、(小)值、单调性、奇偶性;(2)能熟练运用正弦函数的性质解题。

2、过程与方法通过正弦函数在R上的图像，让学生探索出正弦函数的性质;讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力;让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

教学重难点重点:正弦函数的性质。

难点:正弦函数的性质应用。

教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗?在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y=sinx在R上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质?【探究新知】让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题：(1)正弦函数的定义域是什么?(2)正弦函数的值域是什么?(3)它的最值情况如何?(4)它的正负值区间如何分?(5)?(x)=0的解集是多少?师生一起归纳得出：1.定义域：y=sinx的定义域为R2.值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1(有界性)再看正弦函数线(图象)验证上述结论，所以y=sinx的值域为[-1，1]课后小结归纳整理，整体认识(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方法有哪些?(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?课后习题作业：习题1—4第3、4、5、6、7题.高二的数学复习教案（精选篇2）教学目标(1)了解算法的含义，体会算法思想.(2)会用自然语言和数学语言描述简单具体问题的算法;(3)学习有条理地、清晰地表达解决问题的步骤，培养逻辑思维能力与表达能力教学重难点重点：算法的含义、解二元一次方程组的算法设计.难点：把自然语言转化为算法语言.情境导入电影《神枪手》中描述的凌靖是一个天生的狙击手，他百发百中，最难打的位置对他来说也是轻而易举，是香港警察狙击手队伍的第一神枪手.作为一名狙击手，要想成功地完成一次狙击任务，一般要按步骤完成以下几步：第一步：观察、等待目标出现(用望远镜或瞄准镜);第二步：瞄准目标;第三步：计算(或估测)风速、距离、空气湿度、空气密度;第四步：根据第三步的结果修正弹着点;第五步：开枪;第六步：迅速转移(或隐蔽).以上这种完成狙击任务的方法、步骤在数学上我们叫算法.●课堂探究预习提升1.定义：算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题.2.描述方式自然语言、数学语言、形式语言(算法语言)、框图.3.算法的要求(1)写出的算法，必须能解决一类问题，且能重复使用;(2)算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清，而且经过有限步后能得出结果.4.算法的特征(1)有限性：一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后结束.(2)确定性：算法的计算规则及相应的计算步骤必须是确定的.(3)可行性：算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作，并能得到确定的结果.(4)顺序性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，后一步是前一步的后续，且除了最后一步外，每一个步骤只有一个确定的后续.(5)不性：解决同一问题的算法可以是不的.高二的数学复习教案（精选篇3）一、教学目标1、在初中学过原命题、逆命题知识的基础上，初步理解四种命题。

高二数学教案整理和复习_0804文档

2020高二数学教案整理和复习_0804文档EDUCATION WORD高二数学教案整理和复习_0804文档前言语料：温馨提醒，教育，就是实现上述社会功能的最重要的一个独立出来的过程。

其目的，就是把之前无数个人有价值的观察、体验、思考中的精华，以浓缩、系统化、易于理解记忆掌握的方式，传递给当下的无数个人，让个人从中获益，丰富自己的人生体验，也支撑整个社会的运作和发展。

本文内容如下：【下载该文档后使用Word打开】教学内容教科书125页，练习三十．一、素质教育目标(一)知识教学点1．通过，进一步掌握方程的有关知识。

2．通过，进一步掌握用方程解应用题。

(二)能力训练点1．通过，加强知识间的联系，形成知识网络。

2．通过，培养学生计算的敏捷性和灵活性。

(三)德育渗透点通过知识化间的联系，使学生受到辩证唯物主义的启蒙教育。

(四)美育渗透点通过，使学生感受到数学知识内在联系的逻辑之美，从而感悟到数学知识的魅力。

二学法指导1．引导学生回忆所学过知识，使知识系统化。

2．指导学生利用已有经验，进行体验，巩固所学知识。

三教学重点通过知识间的联系，掌握方程的概念和解方程的能力。

四教学难点知识间的内在联系。

五教具学具准备投影仪、投影片等。

六教学步骤(一)导入(略)(二)复习1．这单元学习了什么内容?2．回忆并概括，板书(1)用字母表示数(2)解简易方程(3)列方程解应用题。

(先启发学生回忆学过的知识，为做准备)。

(三)整理1．用字母表示数(1)出示1(1)用字母表示数――每天跑步的米数用X表示。

用字母表示数量关系――一星期跑的米数7X。

用含有字母的式子表示数量――现在每天跑步的米数x+2凹 (2)出示1(2)，引导学生解答。

(把用字母表示数，按的类型进行梳理，形成知识结构。

)2．解简易方程(1)方程的意义，引导学生回忆。

解方程的意义出示练习三十二1题，进行反馈练习。

(2)3题①口述解题步骤②使学生明确：根据加、减、乘、除运算关系进解答，这在以前解含有未知数尤的等式中已经掌握。

高考数学考点单元复习教案9

数列1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题．3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点．从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用．第1课时数列的概念数N*或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，a n…，简记为{a n}，其中a n是数列{a n}的第项．2．数列的通项公式一个数列{a n}的与之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．3．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：=n a ⎪⎩⎪⎨⎧≥==21n n a n 4．求数列的通项公式的其它方法⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.n 项的值，写出数列的一个通项公式．⑴ －312⨯，534⨯，－758⨯，9716⨯…；⑵ 1，2，6，13，23，36，…；⑶ 1，1，2，2，3，3，解： ⑴ a n ＝(－1)n)12)(12(12+--n n n ⑵ a n ＝)673(212+-n n （提示：a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝7，a 5－a 4＝10，…，a n －a n －1＝1＋3(n －2)=3n －5．各式相加得)673(21)43)(1(211)]53(10741[12+-=--+=-++++++=n n n n n a n ⑶ 将1，1，2，2，3，3，…变形为,213,202,211+++,,206,215,204 +++∴4)1(1222)1(111++-++=-++=n n n n n a 变式训练1.某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，则以下各式：① a n ＝22[1＋(－1)n] ② a n ＝n )(11-+③ a n ＝ ⎩⎨⎧)(0)(2为奇数为偶数n n 其中可作为{a n }的通项公式的是（）A ．① B ．①②C．②③ D ．①②③解：D 例2. 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项．⑴ S n ＝3n －2⑵ S n ＝n 2＋3n ＋1解 ⑴ a n ＝S n －S n －1 (n≥2) a 1＝S 1 解得：a n ＝⎩⎨⎧=≥⋅-)1(1)2(321n n n⑵ a n ＝⎩⎨⎧≥+=)2(22)1(5n n n 变式训练2：已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为．解：,110101)1lg(+=⇒=-⇒=-n n n n n S S n S 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝10n－10n －1＝9·10n －1．故a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅=-)2(109)1(111n n n 例3. 根据下面数列{a n }的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴ a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n≥2)⑵ a 1＝1，a n ＝113--+n n a (n≥2)⑶ a 1＝1，a n ＝11--n a nn (n≥2)解：⑴ a n ＝2a n －1＋1⇒(a n ＋1)＝2(a n －1＋1)(n≥2)，a 1＋1＝2．故：a 1＋1＝2n，∴a n ＝2n－1．⑵a n ＝（a n －a n －1）＋（a n －1－a n －2）＋…＋（a 3－a 2）＋（a 2－a 1）＋a 1＝3n －1＋3n －2＋…＋33＋3＋1＝)13(21-n ．(3)∵nn a a n n 11-=-∴a n ＝⋅--⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅-----12111232211n n n n a a a a a a a a a n n n n n n nn n 112123=⋅⋅⋅-- 变式训练3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝22+n n a a (n ∈N *)，求该数列的通项公式．解：方法一：由a n ＋1＝22+n na a 得21111=-+n n a a ，∴{n a 1}是以111=a 为首项，21为公差的等差数列．∴n a 1＝1＋(n －1)·21,即a n ＝12+n 方法二：求出前5项，归纳猜想出a n ＝12+n ，然后用数学归纳证明．例4. 已知函数)(x f ＝2x－2－x，数列{a n }满足)(log 2n a f ＝－2n ，求数列{a n }通项公式．解：n a f n a n a n 222)(log 2log 2log 2-=-=-n a a nn 21-=-得n n a n -+=12变式训练4.知数列{a n }的首项a 1＝5．前n 项和为S n 且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5（n∈N *）．(1) 证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2) 令f (x)＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求函数f (x)在点x ＝1处导数f 1(1)．解：(1) 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，∴ n≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，两式相减，得：S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，∴ a 1＋a 2＝2a 1＋6,又a 1＝5，∴ a 2＝11∴111+++n n a a ＝2，即{a n ＋1}是以a 1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列.(2) 由(1)知a n ＝3×2n－1 ∵ )(x f ＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ∴ )('x f ＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1从而)1('f ＝a 1＋2a 2＋…＋na n ＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n－1)＝3(2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋…＋n)＝3[n×2n ＋1－(2＋ (2))]－2)1(+n n ＝3(n －1)·2n ＋1－2)1(+n n ＋6 归纳小1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.2．由S n 求a n 时，用公式a n ＝S n －S n －1要注意n≥2这个条件，a 1应由a 1＝S 1来确定，最后看二者能否统一．3．由递推公式求通项公式的常见形式有：a n ＋1－a n ＝f(n)，nn a a 1+＝f(n)，a n ＋1＝pa n ＋q ，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．第2课时等差数列1．等差数列的定义：－＝d （d 为常数）．2．等差数列的通项公式：⑴ a n ＝a 1＋ ×d⑵ a n ＝a m ＋ ×d 3．等差数列的前n 项和公式：S n ＝＝．4．等差中项：如果a 、b 、c 成等差数列，则b 叫做a 与c 的等差中项，即b ＝．5．数列{a n }是等差数列的两个充要条件是：⑴ 数列{a n }的通项公式可写成a n ＝pn ＋q(p, q∈R)⑵ 数列{a n }的前n 项和公式可写成S n ＝an 2＋bn (a, b ∈R)6．等差数列{a n }的两个重要性质：⑴ m, n, p, q∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则．⑵ 数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成数列．例1. 在等差数列{a n }中，(1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60； (2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28； (3)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．解：(1)方法一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+==+=38382904410141145115d a d a a d a a ∴a 60＝a 1＋59d ＝130．方法二：3815451545=--=--=a a m n a a d m n ，由a n ＝a m ＋(n －m)d ⇒a 60＝a 45＋(60－45)d ＝90＋15×38＝130．(2)不妨设S n ＝An 2＋Bn ，∴⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+172460202084121222B A B A B A∴S n ＝2n 2－17n∴S 28＝2×282－17×28＝1092 (3)∵S 6＝S 5＋a 6＝5＋10＝15，又S 6＝2)10(62)(6161+=+a a a ∴15＝2)10(61+a 即a 1＝－5 而d ＝31616=--a a 典型例基础过∴a 8＝a 6＋2 d ＝16 S 8＝442)(881=+a a 变式训练1.在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝．解：∵d＝a 6－a 5＝－5， ∴a 4＋a 5＋…＋a 10＝49)2(72)(75104-=+=+d a a a 例2. 已知数列{a n }满足a 1＝2a ，a n ＝2a －12-n a a （n≥2）．其中a 是不为0的常数，令b n ＝a a n -1．⑴ 求证：数列{b n }是等差数列．⑵ 求数列{a n }的通项公式．解：∵ ⑴ a n ＝2a －12-n a a (n≥2) ∴ b n ＝)(111112a a a a a a a aa n n n n -=-=---- (n≥2)∴ b n －b n －1＝aa a a a a a n n n 11)(111=------ (n≥2)∴ 数列{b n }是公差为a1的等差数列． ⑵ ∵ b 1＝a a -11＝a1故由⑴得：b n ＝a 1＋(n －1)×a 1＝an即：a a n -1＝a n 得：a n ＝a(1＋n1) 变式训练2.已知公比为3的等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*,3N n b n an ∈=，且11=a ，（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明；（2）若11+=n n n a a C ，求数列{}n C 的前n 项和解：1）1111333,13n n n na a a n n n a nb a a b ++-++===∴-=，即 {}n a 为等差数列。

高中数学第9章教案人教版

高中数学第9章教案人教版1. 理解直线的特征和方程2. 掌握直线的斜率和截距的概念及计算方法3. 能够根据两点坐标求直线的方程4. 能够利用直线的性质解决实际问题教学重点：1. 直线的斜率和截距的概念及计算方法2. 根据两点坐标求直线的方程教学难点：1. 直线方程的应用解决实际问题教学准备：1. 教师准备：教案、黑板、彩色粉笔2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、橡皮教学过程：一、导入新知识（5分钟）教师引导学生回顾前几节课的内容，了解直线的基本概念和性质。

二、展示问题（10分钟）教师出示一个问题：“已知直线上两点的坐标分别为A（2，3）和B（5，6），求直线的方程。

”让学生思考并尝试解答。

三、小组讨论（15分钟）学生分组讨论解决问题的方法，并尝试算出直线的斜率和截距，最后求出直线的方程。

四、学习总结（10分钟）教师引导学生总结直线的斜率和截距的计算方法，帮助学生理解直线方程的求解过程。

五、课堂练习（15分钟）教师出示几道练习题，让学生独立完成，并在课堂上互相讨论、解答。

六、拓展延伸（5分钟）教师指导学生拓展了解直线的应用领域，并引导学生思考如何利用直线方程解决实际问题。

七、作业布置（5分钟）教师布置作业：完成课后习题，巩固直线方程的求解能力。

教学反思：通过本节课的教学，学生能够了解直线的特征和方程，理解直线的斜率和截距的概念，并能够根据两点坐标求直线的方程。

同时，学生也对直线的应用有了更深的理解。

在以后的教学中，需要继续加强学生的实际问题解决能力和应用能力。

重点高中教案高二数学

重点高中教案高二数学
教学目标：
1. 掌握高二数学课程的重点知识点和解题技巧
2. 培养学生的数学思维和解决问题的能力
3. 提高学生的数学学习兴趣和成绩
教学内容：
1. 二次函数及其性质
2. 不等式与绝对值
3. 数列与数列的运算
4. 几何向量及其运算
5. 三角函数及其应用
教学步骤：
第一步：复习回顾
- 复习前几节课程的知识点，包括二次函数的定义、性质和应用等第二步：新知识点讲解
1. 介绍不等式及其基本性质
2. 讲解数列的定义和常见数列的性质
3. 探讨几何向量的概念和运算法则
4. 解释三角函数的定义和常见三角函数的性质
第三步：练习训练
- 带领学生进行相关的习题训练，巩固新知识点
第四步：课堂讨论
- 引导学生讨论解题思路和方法，鼓励学生展示自己的解题过程第五步：课堂讲评
- 分析学生的答题情况，并指出错题的原因和修改方法
第六步：作业布置
- 布置相关的课后作业，巩固新知识点并提高学生的解题能力
教学反思：
- 总结本节课的教学效果，针对学生的学习情况进行调整和改进，为下一节课的教学做好准备
注：以上只是一份范本，具体的教案内容和教学步骤可根据实际情况进行调整和修改。

高二数学教案：9.5空间向量及其运算(三)

第1页共4页课题：9．5空间向量及其运算(三)教学目的：⒈了解空间向量基本定理及其推论；⒉理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出⒊学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、变化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）教学难点：空间作图．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a AB OA OB +=+=;b a OB OA BA -=-=;)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .要注意其中对向量a的非零要求．5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同第2页共4页一直线，也可能是平行直线．6．共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量.空间直线的向量参数表示式：t +=a或)(t -+=t t +-=)1(，中点公式．)(21OB OA OP+=7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ ①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ ②或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++= ③ 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式二、讲解新课：1 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++证明：（存在性）设,,a b c 不共面，过点O 作,,,OA a OB b OC c OP p ====；过点P 作直线PP '平行于OC ，交平面OAB 于点P '；在平面OAB 内，过点P '作直线//,//P A OB P B OA ''''，第3页共4页分别与直线,OA OB 相交于点,A B ''，于是，存在三个实数,,x y z ，使OA xOA xa '==，OB yOB yb '==，OC zOC zc '==，∴OP OA OB OC xOA yOB zOC '''=++=++ 所以p xa yb zc =++（唯一性）假设还存在,,x y z '''使p x a y b z c '''=++ ∴xayb zc ++x a y b z c '''=++ ∴()()()0x x a y y b z z c '''-+-+-= 不妨设x x '≠即0x x '-≠ ∴y y z z a b c x x x x''--=⋅+⋅''-- ∴,,a b c 共面此与已知矛盾 ∴该表达式唯一综上两方面，原命题成立由此定理，若三向量,,a b c 不共面，则所有空间向量所组成的集合是{|,,,}p p xa yb zc x R y R z R =++∈∈∈，这个集合可以看作由向量,,a b c 生成的，所以我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，可以知道，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB =++三、讲解范例：例1 已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC 表示向量解：OG OM MG =+23OM MN =+12()23OA ON OM =+-1211[()]2322OA OB OC OA =++-111()233OA OB OC OA =++-111633OA OB OC =++ ∴OB OA OG 313161++= 例2如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，,,E F G 分别是,,A D D D D C '''''的中点，请选择恰当的基底向量证明：（1）//EG ACA BCOM NG第4页共4页（2）平面//EFG AB C '平面证明：取基底：',,AA AB AD , （1）∵11''22EG ED D G AD AB =+=+， 2AC AB AD EG =+= ， ∴//EG AC（2）∵11'''22FG FD D G AA AB =+=+，''2AB AB AA FG =+= ∴//'FG AB ，由（1） //EG AC ，∴平面//EFG AB C '平面四、课堂练习：课本32P 练习1－5五、小结：空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了以“项”.证明的思路、步骤也基本相同．空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

高二数学教案：9复习讲义(2)

高二下学期数学第九章复习（2）直线与平面的位置关系（2）一、复习目标：1．掌握直线与平面平行、平面与平面平行、直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并会熟练应用；2．掌握三垂线定理及其逆定理，并会利用三垂线定理及其逆定理解决有关线线垂直问题．二、知识要点：1．直线和平面平行与平面和平面平行（1）直线与平面的位置关系有（2）线面平行的判定定理：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒（线线平行⇒线面平行）（3）线面平行的性质定理：//,,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒（线面平行⇒线线平行）（4）面面平行的判定定理：,//,,//,//a a b b a b P αβαβαβ⊂⊂=⇒（线面平行⇒面面平行）（5）面面平行的性质定理：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒（面面平行⇒线线平行）2．直线与平面垂直（1）判定定理：,,,,a b a b p l a l b l ααα⊂⊂=⊥⊥⇒⊥（2）性质定理：,//a b a b αα⊥⊥⇒3．三垂线定理及其逆定理的内容为．三、基础训练：1．已知a ,b ,c ,d 是四条不重合的直线，其中c 为a 在平面α上的射影，d 为b 在平面α上的射影，则（ C ）A ．a ∥d ⇒a ∥bB ．a ⊥b ⇒c ⊥dC ．a ∥b ⇒c ∥dD ．c ⊥d ⇒a ⊥b2．设,αβ是不重合的两个平面，l 和m 是不重合的两条直线，那么//αβ的一个充分条件是（ C ）A ．l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥βB ．l ⊂α，m ⊂β，且l ∥mC ．l ⊥α，m ⊥β，且l ∥mD ．l ∥α，m ∥β，且l ∥m3．下列命题中错误的命题的序号为 ⑴、⑵、⑷⑴,a b 是异面直线，一定存在过a 且垂直于b 的平面；⑵互相平行的两条直线在一个平面内的射影是两条平行直线或一条直线或一个点；⑶若不与平面相交的直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直； ⑷若一条直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线平行于这个平面．4．四边形ABCD 为矩形，PD ABCD ⊥平面，4,3,1AB cm BC cm PD cm ===，则点P 到直线AC 的距离为135． 5．已知异面直线,a b 所成的角为050，P 为空间的一个定点，则过点P 且与,a b 所成的角都是030的直线有 2条。

高二数学第九章直线、平面、简单几何体复习教案

高二数学第九章直线、平面、简单几何体复习教案平面1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性2．平面的画法及其表示方法：①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC等3．空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：=b Aaαα=∅α=Al αβ= 平面α、β相交于直线lα⊄a （平面α外的直线a ）表示a α=∅或a A α=4平面的基本性质公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⎬∈⎭．如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l 唯一如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．BA α推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，lα推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推理模式：P b a = ⇒存在唯一的平面α，使得,a bα推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α5平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形二、空间直线1空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点； 2公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ⇒．3等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等5空间两条异面直线的画法b aa b a b D 1C 1B 1A 1D C B A6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒AB 与l 是异面直线7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的X 围：]2,0(π8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥．9．求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求向量法：用向量的夹角公式 10两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条计算方法：①几何法；②向量法三、直线与平面平行和平面与平面平行1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:a α，（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: aA α=，（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．符号表示为: //a α．2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⇒．3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//l l m l m αβαβ=⇒．4．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．5．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．6．平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．推理模式：：a β⊂，b β⊂，a b P =，//a α，//b α//βα⇒． 7平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．推理模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''==⇒．8．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．推理模式：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒． 9面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．推理模式：//,//a a αβαβ⊂⇒．四、直线与平面垂直和平面与平面垂直 1线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α 2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 3直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：,,PO O PA A a a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭5．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭．注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用 6两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面7．两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直推理模式：a α，a β⊥⇒αβ⊥．8．两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面推理模式：,,,l a a l αβαβα⊥=⊥a β⇒⊥ 9向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行； ②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直五、空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算空间向量的加法、减法与数乘向量运算：OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)( 3 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 4共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．5．共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t =+a ．其中向量a 叫做直线l 的方向向量 6空间直线的向量参数表示式：OP OA t =+a 或()OP OA t OB OA =+-(1)t OA tOB =-+，中点公式．1()2OP OA OB =+7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的 8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++②或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++=③上面①式叫做平面MAB 的向量表达式 9空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++ 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥ 11．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅．14．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）六、空间向量的坐标运算 1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 4模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则222123||a a a a a a =⋅=++222123||b b b b b b =⋅=++5．夹角公式：112233222222123123cos ||||a b a b a b a a a b b b ⋅⋅==⋅++++． 6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-，或222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-七、空间角1．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的X 围：]2,0(π2．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法 3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角b ′O b a直线和平面所成角X 围：[0，2π]（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角4．公式：平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=5二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--；6．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：①二面角的平面角X 围是[0,180]；②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直7．二面角的求法：⑴几何法；⑵向量法8求二面角的射影公式：SS '=θcos ，其中各个符号的含义是：S 是二面角的一个面内图形F 的面积，S '是图形F 在二面角的另一个面内的射影，θ是二面角的大小9．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线,a b 所成的角θ：cos cos ,a b θ=<>；⑵直线a 与平面α(法向量n )所成的角θ：sin cos ,a n θ=<>； ⑶锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<>，其中,m n 为两个面的法向量八、空间距离⊥，垂足为A，则PA 1点到平面的距离：已知点P是平面α外的任意一点，过点P作PAα唯一，则PA是点P到平面α的距离即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离结论：连结平面α外一点P与α内一点所得的线段中，垂线段PA最短2异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线．3．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；6．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度说明：两条异面直线的距离AB即为直线a到平面α的距离其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离7直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)8．两个平行平面的公垂线、公垂线段：（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段（3）两个平行平面的公垂线段都相等（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长9．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离10．七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求10用向量法求距离的公式：⑴异面直线,a b之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,,,n a n b A a B b ⊥⊥∈∈⑵直线a 与平面α之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A a B ∈∈是平面α的法向量⑶两平行平面,αβ之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A B αβ∈∈n 是平面α的法向量⑷点A 到平面α的距离：||AB n d n ⋅=，其中B α∈，n 是平面α的法向量另法：点000(,,),A x y z 平面0Ax By CzD +++=则 d =⑸点A 到直线a 的距离：22|||AB a d AB a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，其中B a ∈，a 是直线a 的方向向量⑹两平行直线,a b 之间的距离：22|||AB a d AB a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，其中,A a B b ∈∈，a 是a 的方向向量九、棱柱1多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形；（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形7平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．8．平行六面体、长方体的性质(1)平行六面体的对角线交于一点且互相平分．(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和特别地，正方体的一条对角线长等于棱长的3倍。

高二数学下第九章复习讲义

高二数学下第九章复习讲义第1讲平面的基本性质一、典型例题例1、用符号语言写出下列图形应满足的条件图（1）图（2）分析；根据图形；准确地想象点、线、面这些基本元素的关系；然后用集合的符号语言表示出来。

书写的规律一般是：先平面再直线；最后为点。

在（1）中：平面α∩平面β= ；a∩α=A；b∩α=B在（2）中：α∩β= ；a⊂α；b⊂β；a∩ =P； b∩ =P；c∥ 。

例2、作出满足下列条件的图形：图（1）图（2）（1）α∩β=AB；a⊂α；b⊂β；a∥AB；b∩AB=M；（2）正方体ABCD—A1B1C1D1中；O为正方形ABCD中心；A1C∩平面C1BD=M；求作点M。

分析：（1）作图的顺序与读图的顺序相同；先平面再直线再到点。

如图（1）（2）设法把点M放到某两个平面的交线上；∵M∈A1C；A1C⊂平面AA1C1C（由AA1∥C1C；A1A；CC1是可以确定一个平面的）；∴M∈平面AA1C1C。

又M∈平面C1BD；∴M为平面AA1C1C与平面C1BD的公共点。

观察图象可知；C1、O也为上述两个平面的公共点；即平面AA1C1C∩平面C1BD=C1O。

∵M∈C1O；又M∈A1C；∴C1O∩A1C=M；即平面AA1C1C1内；两直线C1O与A1C的公共点就是所求作的点M。

评注：题（2）首先体现了转化的思想；将在空间难以把握的线面交点转化为同一平面内的线线交点；确定了交点的位置。

其次；将直线A1C放在平面AA1C1C内思考；这是处理直线典型的一种思考方法。

借助于平面AA1C1C；点M的位置就越来越具体了。

这种类似于平面几何辅助直线的平面；称之为辅助平面。

在研究空间图形时；经常要作这样的辅助平面。

进一步研究M点性质；还可发现M为A1C的三等分点；M是△C1BD的重心（中心）。

例3、求证：两两相交且不过同一点的四条直线共面。

分析：以文字语言出现的几何证明题；首先要“翻译”为符号语言写成已知、求证的形式；并辅之以正确的图形；然后再进行证明。

高二数学教案：9复习讲义(4)

高二下学期数学第九章复习（4）空间向量的（坐标）运算（2）一、基础训练：1．已知空间三点的坐标为)2,5,1(-A 、)1,4,2(B 、)2,3,(+q p C ，若A 、B 、C 三点共线，则=p 3 ，=q 2 ． 2．在平行六面体1111D C B A ABCD -中， 4=AB ，3=AD ，51=AA ，o BAD 90=∠，o DAA BAA 6011=∠=∠，则1AC．3．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||AB AC OP OA AB AC λ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，[0,)λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ）()A 外心 ()B 内心 ()C 重心 ()D 垂心4．若(1,1,3)A m n +-，(2,,2)B m n m n -，(3,3,9)C m n +-三点共线，则m n +=0．5．已知(0,2,3)A ，(2,1,6)B -，(1,1,5)C -，若||a =r 且,a AB a AC ⊥⊥r u u u r r u u u r，则a r 的坐标为()()1,1,1,1,1,1---．6．已知,是空间二向量，若||3,||2,||a b a b ==-=r r r ra r 与b r 的夹角为60o ．7．已知向量)3,2,1(-=a ，)1,1,1(=b ，则向量a 在向量b方向上的射影向量的模为3．二、例题分析：例1．在平行四边形ABCD 中，1==AC AB ，090=∠ACD ，将它沿对角线AC 折起，使AB与CD 成060角，求B 、D间的距离．（答案：2,）例2．在矩形ABCD 中，已知1=AB ，a BC =，⊥PA 平面ABCD ，2=PA ，若BC 边上存在唯一一点Q ，使得DQ PQ ⊥，M 是AD 上一点，M 在平面PQD 上的射影恰好是PQD ∆的重心，求线段AM 的长度及M 到平面PQD 的距离．（答案：23） PABCDM例3．在ABC ∆中2AB BC AC ===，现将ABC ∆沿着平面ABC 的法向量1AA uuu r平移到111A B C ∆的位置，31=BB ，D 是AB 的中点，F 是11C A 的中点，E 在1BB 上，⑴当131BB BE =时，求直线EC 与DF 所成角的大小； ⑵当E 点在1BB 上变化时，BE 为多长时DF CE ⊥．答案：⑴2arccos 10；⑵23．三、课后练习：班级学号姓名1．四面体SABC 中，SC ＝AB ＝１，SA 与BC 中点分别为,P Q ，且22PQ =，则异面直线AB 与SC 所成的角为90o ．2．已知CD AB 2=，且点A 、B 、C 、D 不共线，则下列结论正确的是（ D ）()A 四边形ABCD 是平行四边形 ()B 四边形ABDC 是平行四边形()C 四边形ABCD 是梯形()D 四边形ABDC 是梯形3．已知32134e e e a -+=，321245e e e b +-=，其中},,{321e e e 是一组正交基底，b r及a 之间的夹角的余弦值为13065． 4．从O 点出发的三条射线两两垂直，空间一点P 到这三条射线的距离分别为,,a b c ，则P 到O 的距离为2222a b c ++． 5．已知平面α内的60BOC ∠=o ，OA a =，OA 是平面α的斜线段，且45AOB AOC ∠=∠=o ，则点A 到平面α的距离为3a．6．如图，,,,,,M N E F G H 分别是四面体ABCD 中各棱的中点，若此四面体的对棱相等，则EF u u u r 与GH u u u u r 所成的角等于90o； ()EF NH MG ⋅+=u u u r u u u u r u u u u r_0．EDA B C AB C11F7．已知空间三个点(2,0,2)P -,(1,1,2)Q -和(3,0,4)R -，设a PQ =r u u u r ,b PR =r u u ur ，⑴求a r 与b r的夹角θ（用反三角函数表示）；⑵试确定实数k ，使ka b +r r 与2ka b -r r互相垂直；⑶试确定实数k ，使ka b +r r 与a kb +r r互相平行．答案：⑴10arccos 10⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；⑵52,2-；⑶1k =±． 8．如图，点P 是矩形ABCD 外一点，⊥PA 平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，⑴求证：AB MN ⊥；⑵若PDA θ∠=，能否确定θ使得MN 是异面直线AB 与PC 的公垂线？若可以确定θ，试求θ的值？若不能，说明理由．答案：⑵ 45o．9．已知ABC ∆，将ABC ∆沿着平面ABC 的法向量1AA uuu r平移到111A B C ∆的位置，11BC AB ⊥，11BC AC ⊥，求证：11AB AC =．PA B C D M N。

高二数学：9.3《二阶行列式》教案(3)(沪教版上)

学习讲课资源店您身旁教与学资源专家！9.3 （1）二阶队列式一、讲课内容分析队列式是引入新的记号后的一种特定算式，是学习矩阵后的一个连续．二阶队列式的展开是本节讲课内容的基础，用二阶队列式求解二元一次方程组或讨论它的解的状况是本节教学内容的核心．二、讲课目的设计1.认识队列式产生的背景；2.经历引入二阶队列式的过程；3.掌握二阶队列式张开法例及用二阶队列式解（系数队列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶队列式这一特定算式的特点．三、讲课要点及难点二阶队列式的张开、用二阶队列式解二元一次方程组．四、讲课流程设计二阶队列式的张开用二阶队列式求解方式（引入）二元一次方程组（应用）对求解二元一次对二阶队列式张开的再认识（反省）方程组过程的再思虑（启迪）五、讲课过程设计一、介绍背景队列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，此刻已经是数学中一种特别合用的工具．队列式见解第一次在西方出现，是1693 年在莱布尼茨给洛必达的一系列信中出现的，据此，莱布尼茨获得了发明队列式的荣誉．但是，1683 年在日本数学家关孝和（被誉为“算圣” 、“日本的牛顿” ）的著作《解伏题元法》中就有了队列式的见解．德国数学家莱布尼茨是与牛顿齐名的微积分的创始人，同时他又是数学史上最伟大的符号学者之一，可谓符号大师，他曾说：“要发明，就要精选适合的符号，要做到这一点，就要用含义简洁的少许符号来表达和比较忠实地描述事物内在实质，进而最大限度地减少人的思想劳动”．他创办的数学符号有商“a”、比“ a :b”、相像“∽”、全等“≌”、并“”、b交“”等，最出名的要算积分和微分符号了．[ 说明 ] 教师、学生课前采集有关资料，在授新课前（由学生或老师）作简单介绍，这是数学文化的一种浸透．二、学习新课1．二阶队列式的引入设二元一次方程组（a 1 xb 1 yc 1* ）a 2 xb 2 yc 2（此中 x, y 是未知数， a 1 , a 2 ,b 1 , b 2 是未知数的系数且不全为零，c 1 ,c 2 是常数项．）用加减消元法解方程组（ * ）．当a 1b 2 a 2 b 10时，方程组（*）有独一解：c 1b 2 c 2 b 1xa 1b 2 a 2 b 1 ，引入记号a1b 1表示算式 a 1b 2 a 2 b 1 ，即 a 1b 1a 1b 2 a 2 b 1 ．a 1c 2 a 2c 1 a 2b 2a 2b 2ya 2b 1a 1b 2进而引出队列式的有关见解，包含队列式、二阶队列式、队列式的张开式、队列式的值、队列式的元素、对角线法例等．记 Da 1b 1，Dxc 1 b 1，Dya 1 c 1，则当 Da 1 a 2b 2c 2b 2a 2c 2a 2D xb 1= a 1 b 2xa 2b 1 0 时，方程组（ * ）有独一解，可用二阶队列式表示为D ．b 2D yyD2．例题分析分析解说教材例题1、例 2；例 1．张开并化简以下队列式：5 1 （ 1）（ 2） 82 cos sin （ 3）（ 4）sincos1 58 2a 1 1 1a 2 a 1讨论：①正确运用对角线法例张开；②由（1）（ 2）可知，队列式中元素的地点是不可以任意改变的．例 2．用队列式解以下二元一次方程组：5x 11y 8 3x y 5 0（ 1）15y6（ 2）2 y1 04 x x[ 说明 ] ①当所给方程组的形式不是方程组（ * ）的形式时，应先化为方程组（ * ）的形式，才能获得正确的D x 和 D y ；②注意到这两个方程组的系数队列式的值均不为零．3．问题拓展①二阶队列式张开的逆向使用的问题；如：算式 b 24ac 可用如何的二阶队列式来表示等．②二阶队列式的值为零时，队列式中的元素有何特点？③举例说明，当二元一次方程组的系数队列式的值为零时，方程组的解会有如何的可能？[ 说明 ] 问题拓展环绕讲课内容（知识点）的基础进步行；同时为下一讲课课时作准备．三、坚固练习数学课本第 91 页，练习 9.3 （ 1）．四、讲堂小结①二阶队列式的张开法例；②用二阶队列式解二元一次方程组的方法及过程表达（书写）．五、作业部署数学练习部分第51 页，习题 9.3 A 组，第 1、2、 3 题．。

高二数学教案(人教版)

高二数学教案(人教版)数学教案怎么写?教学过程设计因材施教，体现学生的主体作用，让学生爱学、会学，教学生掌握学习方法。

今天小编在这给大家整理了高二数学教案大全，接下来随着小编一起来看看吧!学习目标：1、了解本章的学习的内容以及学习思想方法2、能叙述随机变量的定义3、能说出随机变量与函数的关系，4、能够把一个随机试验结果用随机变量表示重点：能够把一个随机试验结果用随机变量表示难点：随机事件概念的透彻理解及对随机变量引入目的的认识：环节一：随机变量的定义1.通过生活中的一些随机现象，能够概括出随机变量的定义2 能叙述随机变量的定义3 能说出随机变量与函数的区别与联系一、阅读课本 33 页问题提出和分析理解，回答下列问题?1、了解一个随机现象的规律具体指的是什么?2、分析理解中的两个随机现象的随机试验结果有什么不同?建立了什么样的对应关系?总结：3、随机变量(1)定义：这种对应称为一个随机变量。

即随机变量是从随机试验每一个可能的结果所组成的到的映射。

(2)表示：随机变量常用大写字母.等表示.(3)随机变量与函数的区别与联系函数随机变量自变量因变量因变量的范围相同点都是映射都是映射环节二随机变量的应用1、能正确写出随机现象所有可能出现的结果2、能用随机变量的描述随机事件例 1：已知在 10 件产品中有 2 件不合格品。

现从这 10 件产品中任取 3 件，其中含有的次品数为随机变量的学案.这是一个随机现象。

(1)写成该随机现象所有可能出现的结果; (2)试用随机变量来描述上述结果。

变式：已知在 10 件产品中有 2 件不合格品。

从这 10 件产品中任取 3 件，这是一个随机现象。

若 Y 表示取出的 3 件产品中的合格品数，试用随机变量描述上述结果例 2 连续投掷一枚均匀的硬币两次，用 X 表示这两次正面朝上的次数，则 X 是一个随机变量，分别说明下列集合所代表的随机事件：(1) {X=0} (2) {X=1}(3) {X<2} (4) {X>0}变式：连续投掷一枚均匀的硬币三次，用 X 表示这三次正面朝上的次数，则 X 是一个随机变量，X 的可能取值是?并说明这些值所表示的随机试验的结果.练习：写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机变量的结果。

高中数学第九单元教案

高中数学第九单元教案
教学目标：学生能够掌握三角函数的概念，了解正弦、余弦和正切函数的性质，能够运用三角函数求解实际问题。

教学重点：三角函数的概念、正弦、余弦和正切函数的性质、三角函数的运用。

教学难点：三角函数的性质运用；实际问题的三角函数求解。

教学准备：教材、课件、黑板、粉笔、试题。

教学过程：
一、导入
1. 引入三角函数的概念：让学生回顾余弦定理和正弦定理，引导他们思考三角函数与三角形之间的关系。

2. 提出问题：通过一个实际问题引出三角函数的定义和性质，激发学生的学习兴趣。

二、讲解
1. 介绍正弦、余弦和正切函数的定义及性质。

2. 讲解三角函数的图像特征，让学生理解三角函数在不同象限的取值。

三、练习
1. 指导学生通过计算练习加深对三角函数性质的理解。

2. 给出一些实际问题，让学生运用三角函数求解，培养他们的实际问题解决能力。

四、总结
1. 总结三角函数的定义和性质。

2. 引导学生思考三角函数在几何学和物理学中的应用。

五、作业
1. 布置相应的练习题，巩固学生对三角函数的理解。

2. 要求学生思考三角函数在实际问题中的应用。

六、课后反思
1. 思考本节课教学中的不足之处，以便在下节课改进。

2. 总结本节课教学重点，为进一步学习打下基础。

教学反思：通过本节课的教学，学生能够初步掌握三角函数的概念和性质，但在实际问题的应用上还存在较大困难。

下节课应该更多注重实际问题的应用，让学生能够更好地将理论知识运用到实践中。