05微积分(经济类)考研真题五

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05年商院经济学原理参考答案-9页文档资料

05年商院经济学原理参考答案一．名词解释1.内隐成本答题思路：（1）定义（自有生产要素价格）（2）土地，资金，管理才能（自有）（3）内容（折旧＋正常利润）内隐成本是厂商本身拥有的且被用于该企业生产过程中的那些生产要素的总价格。

它是相对于外露成本（会计成本）而言的概念。

内隐成本与厂商所使用的自有生产要素相联系，反映这些要素在别处同样可以被使用的事实。

比如：某厂商生产过程中，不仅会从银行取得一定数量的贷款或租用一定数量的土地，而且有时候会动用自有的土地/资金，并亲自管理企业。

大姑娘厂商使用自有生产要素时，也要向自己支付利息，地租和薪金。

所以这笔价值也应计算在成本之中。

由于这笔成本支出不如外露成本那么明显，故称为内隐成本。

内隐成本一般包括：（1）作为成本项目计入帐上的厂房，机器设备等固定设备的折旧费；（2）厂商自己投入的资金的利息，企业主为该厂提供劳务应得的报酬。

（正常利润）2.边际土地土地产品的价格必须大于等于使用最劣土地进行生产所耗费的平均成本，否则就无人用最劣等的土地从事生产。

由于最劣等土地的平均成本等于产品的市场价格，生产者获得的收入仅够支付成本，没有多余，不能支付地租，这种土地成为边际土地。

上图中，AC1代表的土地为边际土地，P2-P1称为级差地租。

3.纳什均衡在这一策略集中，每一个博弈者都确信：在给定竞争对手策略决定的情况下，他选择了最好的策略。

纳什均衡是由所有参与人的最优策略所组成的一个战略组合，也就是说，给定其他人的战略，任何人都没有积极性去选择其他战略，从而这个均衡没有人有积极性去打破。

4. IS 曲线IS 曲线是使得投资与储蓄相等的利息率和总需求（总产出）组合的曲线，IS 曲线表示与了各个可能的利息率相对应的均衡产出水平。

（i->Ye ）IS 曲线的数学公式：Y ＝a （A －bi ）（b ＞0）其中，a 乘数；A 为自发性支出；b 为投资对利息率的反映程度；IS 曲线的推导图形：5.投资的二重效应投资的二重效应分别是需求效应和供给效应。

考研数学真题大串讲-微积分

例2（0 2012数一）grad

xy
z y
2,1,1
例2（1 1991数一）设n是曲面2x2 3y2 z2 6在点P 1,1,1处指向外侧的法向量,
求u= 6x2 8y2 在P处沿n的方向的方向导数 z
6）几何应用（曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线）
例2（ 2 2014数一）曲面z x2 1sin y y2 1sin x在点1,0,1处的切平面方程为
x, y 0,0
A连续,偏导存在 B连续,偏导不存在 C 不连续,偏导存在
D不连续,偏导不存在
注 : 对二重极限的三类情形
xy
1) lim
x, y0,0
x2
y2
不存在
取不同的路径如y kx会有不同的极限值
2） lim x, y0,0
x2
x
y2
不存在
3） lim x, y0,0
2
3) 1
2
例（4 2012数一）如果f x, y在点0, 0处连续,则下列命题正确的是
A若极限lim f x, y 存在,则f x, y在点0, 0处可微
x0 x y
y0
B若极限lim x0
f x
2
x,
y
y2
存在,
则f
x,
y在点0, 0处可微
y0
C 若f x, y在点0, 0处可微,则极限lim f x, y 存在
例1（5 2015数二）已知f x, y满足fxy x, y 2 y 1ex , fx x, 0 x 1ex, f 0, y y2 2y 求f x, y的极值
（2009数二）设z f (x, y)的全微分dz xdx ydy,则点（0, 0）

微积分(经济类)考研真题

1..使得试补充定义设)1()1,21[,)1(1sin 11)(f x x x x x f ∈--+=πππ6.._____)1ln 1[lim 20=++→x x x 极限](/03数四考研题5.3.设常数a ≠12,则∞n lim →ln[]n na n a 2112()-+-n=( ).02数三、四考研题1.设对任意的总有且则(A)(B)(C)(D)存在且等于零.存在但不一定等于零.一定不存在.不一定存在.)()(x x ϕ≤≤x ,g x f )(,x lim ∞→x g )(=-)(x ϕ[]0,x lim ∞→x f )(( ).00数三考研题.______2lim,0,02.30=+>>→xxx x b a b a 则均为常数若00数四考研题(D)(C)(B)(A)xx f x g f x f ( ).)()()0()('有可去间断点在有跳跃间断点在存在且为不恒等于零的奇函数设=则函数,,;;;.4.03数三考研题处左极限不存在处右极限不存在x =0x =0x =0x =0)(考研真题一上连续在]1,21[)(x f .03数三考研题上连续在使试补充定义设]0,21[)()0(0,21,)1(1)(x f f x x x f ∈---=π.7.03数四考研题1x πsin 1x π](.__________,,5)(cos sin lim8.0===--→b a b x ae xx x 则若04数三、四考研题得( ).)2)(1()2sin(||)(9.2x x x x x x f ---=在下列哪个区间内有界函数);1,0((B));0,1((A)-);2,1((C)).3,2((D)04数三、四考研题2..,),()(10.且内有定义在设x f +∞-∞04数三、四考研题.0)((D);)(0(C);)(0(B);)(0(A)( ).,0,0,0,1)(,)(lim 的取值有关处的连续性与在点的连续点必是的第二类间断点必是的第一类间断点必是则a x x g x g x x g x x g x x x x f x g a x f x ====⎪⎩⎪⎨⎧=≠==∞→)(11.极限.________12sinlim 2=+∞→x xx x 05数三、四考研题12.________.1lim )1(=⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→nn n n 06数三、四考研题13.当+→0x 时,与x 等价的无穷小量是( ).(A)xe -1; )1ln x +;11-+x ; x cos 1-.(B)(C)(D)(07数三、四考研题=-+-11lim x e e _____________.32cos 0xx 17.18.当0→x 时,ax x x f sin )(-=与)1ln()(2bx x x g -=为等价无穷小,14.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=cx c x x x f ,2,1)(2在),(+∞-∞则._____=c x内连续,设,0b a <<则n n nn b a 1)(lim --∞→+(A) ;a (B);1-a (C) ;b (D) .1-b 15.( ).等于16.设某企业生产线上产品合格率为0.96, 不合格产品中只有43进行再加工且再加工的合格率为0.8,其余均为废品80元20元2万元, 每件合格品获利, 每件废品亏损, , 问企业每天至少生产多少产品,?为保证该企业每天平均利润不低于产品可08四考研题08数三、四考研题08四考研题09数三考研题3..则( ).(A)61,1-==b a (B)61,1==b a (C)61,1-=-=b a (D)61,1=-=b a ;;;.19.函数xx x x f πsin )(3-=的可去间断点的个数,则( ).(A)3无穷多个(B)(C)21(D) ;;;.09数一、三考研题09数二、三考研题若111lim=--xx e a x x , 则a 等于( ).(A)0(B)1(C) 2(D)3→⎭⎫ ⎝⎛⎪][20.;;;.10数三考研题4..考研真题二设函数在点处可导则函数在点的充分条件是)(x f a =x ,)(x f a =x (A)(B)(C)(D))(a f =且0)(a f =0';)(a f >且0)(a f >0';)(a f <且0)(a f <0'.)(a f =且0)(a f 0';≠处不可导).(1.00数三、四考研题,00,00,1cos )(则处连续其导数在若若设λλ=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x x x x f ,2.的取1)(0)1(1)()(|1|)(3既非充分也非必要条件充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件处可导的在是处连续在其中设函数(D)(C)(B)(A)x x f x x x x x f ===-=ϕϕϕ则,).(,;;;.4.03数四考研题.0)(),,((D);0)(),,((C));()(),,((B));()(),,((A)( ).,0)(,0)(,],[)(5.00000000=∈='∈>∈>∈<'>''x f b a x x f b a x b f x f b a x a f x f b a x b f a f b a x f 使得至少存在一点使得至少存在一点使得至少存在一点使得至少存在一点误的是则下列结论中错且上连续在设04数三、四考研题._______|,1lnarctan 6.122=+-==x x x x d x d ye e e y 则设04数四考研题.____322=+-=b a b x b a x y 表示为可以通过轴相切与已知曲线则,x 3.03数三考研题.____值范围是03数三考研题327.设函数321+=x y ,则=)0()(n y ____________.07数三、四考研题8.设函数)(x f 在0=x 处连续,下列命题错误的是( ).(A)若xx f x )(lim→存在,则0)0(=f ;07数三、四考研题5..若x x f x f x )()(lim 0-+→存在,则0)0(=f ;若x x f x )(lim→存在,则)0(f '存在;若xx f x f x )()(lim 0--→存在,则)0(f '存在.(B)(D)(C)9.设某产品的需求函数为)(P Q Q =其对应的价格P 的弹性2.0=P ξ,则当10 000件时,价格增加1_________元.元会使产品收益增加需求为09数三考研题6..考研真题三-=+arctan 2.,)1(πe x y x渐近线的单调区间和极值求函数并求该函数图形的00数三、四考研题1.设)(x f 的导数在a x =处连续则(A)a x =是)(x f 的极小值点(B)a x =是)(x f 的极大值点(C)))(,(a f a 是曲线)(x f y =的拐点(D)a x =不是)(x f 的极值点))(,(a f a 也不是曲线;;;又,,1)(lim-=-→ax x f ax ',).(01数三、四考研题的拐点.)(x f y =2.已知)(x f 在),(+∞-∞内可导且e xf x =∞→)(lim )]1()([lim )(lim--=-+∞→∞→x f x f cx c x x xx 求c 的值.',,,01数三、四考研题3.某商品进价为a (元/件)根据以往经验b (元/件)时当销售价为,,,销4.售量为c 件(c b a ,,均为正常数且a b 34≥)市场调查表明销售价每下降,,10%销售量可增加40%现决定一次性降价试问当销售价定为多少时并求出最大利润.?,,,,获得最大利润可01数四考研题存在),(b a ∈ξ使))(()()(a b f a f b f -=-ξ(D),.'.0)('),3,0(.1)3(,3)2()1()0(,)3,0(,]3,0[)(=∈==++ξξf f f f f x f 使试证必存在且内可导在上连续在设函数.)(,).(),()(,1最小？并求出最小值为何值时问内的驻点为在设a t a a t at a t f a t +∞-∞-=>6.03数三考研题7.03数四考研题设函数)(x f 在],[b a 上有定义),(b a 内可导则当0)()(<b f a f 时),(b a ∈ξ使0)(=ξf 对任何),(b a ∈ξ有0)]()([lim =-→ξξf x f x (A)(B)在存在,,,,;;,( ).02数三、四考研题5.当)()(b f a f =时),(b a ∈ξ使0)(=ξf (C)存在,;',7..;)()0,0(,)(0(A)( ).|,)1(|)(8.的拐点不是曲线但的极值点是则设x f y x f x x x x f ==-=04数三、四考研题.)()0,0(,)(0(D);)()0,0(,)(0(C);)()0,0(,)(0(B)的拐点也不是曲线的极值点不是的拐点是曲线且的极值点是的拐点是曲线但的极值点不是x f y x f x x f y x f x x f y x f x ======.cos sin 1lim9.2220-→x xx x 求)(04数三、四考研题.,),)(1()();0()(.),20,0(,510010.降低价格反而使收益增加围内变化时说明价格在何范并用弹性为收益其中推导求需求量对价格的弹性为需求量其中价格设某商品的需求函数d d d d E R E Q d P d RE E Q P P Q -=II >I ∈-=04数三、四考研题11.当a 取下列哪个值时, 函数a x x x x f -+-=1292)(23(A) 2; (B) 4; (C) 6; (D) 8.恰有两个不同的零点.( )05数三、四考研题12.设,cos sin )(x x x x f +=下列命题中正确的是( ).(A))0(f 是极大值,)2(πf 是极小值;)0(f 是极小值,)2(πf 是极大值;(B)(C))0(f 是极大值,)2(πf 也是极大值;)0(f 是极小值,)2(πf 也是极小值.05数三、四考研题(D)13.以下四个命题中, 正确的是( ).(A)若)(x f '在(0,1)内连续, 则)(x f 在(0,1)内有界;(B)若)(x f 在(0,1)内连续, 则)(x f 在(0,1)内有界;(C)若)(x f '在(0,1)内有界, 则)(x f 在(0,1)内有界;(D)若)(x f 在(0,1)内有界, 则)(x f '在(0,1)内有界.05数三、四考研题14.求.111lim 0⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-→x e x x x 05数三、四考研题8..15.设函数)(x f 在2=x 的某邻域内可导, 且1)2(,)()(=='f e x f x f , 则_______)2(='''f .16.设函数)(x f 在0=x 处连续1)(lim220=→x x f x 则(A)0)0(=f 且)0(f '存在(B)1)0(=f 且)0(f '存在(C)0)0(=f 且)0(+'f 存在(D)1)0(=f 且)0(+'f 存在(且).17.设0,0,arctan sin 11),(>>--+=y x x y xy xy yy x f π,求(1)),(lim )(y x f x g y +∞→=;(2))(lim 0x g x +→,,.;;;.06数三、四考研题06数三、四考研题06数三、四考研题18.=+++++∞→)cos (sin 21lim323x x x x x x x ____________.07数三、四考研题19.曲线)1ln 1x e x y ++=渐近线的条数为( ).(A)0;1;2;3.(B)(C)(D)(07数三、四考研题20.设函数)(x y y =由方程0ln =+-y x y y 确定,试判断曲线)(x y y =在)1,1(附近的凹凸性.,点07数三、四考研题21.设函数)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内二阶可导且存在相等,又).()(),()(b g b f a g a f ==证明:(Ⅰ)存在),,(b a ∈η使得)()(ηηg f =; (Ⅱ)存在),,(b a ∈ξ使得)()(ξξg f ''=''.的最大值07数三、四考研题22. 设函数)(x f 在区间[-1是连续0=x 是函数的(A)跳跃间断点;(B)可去间断点(C)无穷间断点;(D)振荡间断点则,1],x g =)(( ).;.08数三、四考研题23.求极限.sin ln 1lim 2x x x x →08数三、四考研题9..25.设,)()(10d t x t t x f -=,10<<x 求)(x f 的极值、单调区间和凹凸.||区间24.已知函数)(x f 连续且,2)(lim 0=→xx f x 则曲线)(x f y =0=x 处切线方程为_______.上对应08数四考研题08数四考研题26.(1)证明拉格朗日中值定理:若函数)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,导,则存在()b a ,∈ξ使得()()a b f a f b f -'=-ξ)()(.证明:若函数)(x f 在0=x 处连续,在()()0,0>δδ内可导,且()A x f x ='+→0lim 则()0+'f 存在,且()A f ='+0.(2),可09数一、三考研题若曲线123+++=bx ax x y 有拐点)0,1(-,则=b ________.27.28.设函数)(x f ,)(x g 具有二阶导数,且,0)(<x g a x g =)(0是)(x g 的极值,则))((x g f 在0x 的极大值的一个充分条件是( ).(A)0)(<a f (B)0)(>a f (C)0)(<a f (D)0)(>a f ''''''''29.设x x f 10ln )(=,x x g =)(,10)(x e x h =,则当x 充分大时有( ).(A))()()(x f x h x g <<(B))()()(x f x g x h <<(C))()()(x h x g x f <<(D))()()(x h x f x g <<求极限x xx xln 11)1(lim -.→+∞30.10数三考研题;;;.10数三考研题/;;.;10数三考研题10数三考研题10..设xxx f )(sin =,求d x .2sin 7.02数三、四考研题考研真题四.______)(,1)(ln =+='x f x x f 则设95数三考研题.________,arcsin )(=+=x C x d x x xf 则设96数三考研题._____=x 98数三考研题1.3.4..)(arcsin 2d x x 求不定积分95数四考研题2.).(,0)(,1)0(x f x F F 试求已知>=6.填空d x x x arcsin =00数四考研题._____0,)()(x x f x F 时且当的原函数为设≥5.,)1(2)()(2x xe x F x f x+=99数四考研题)(x f 8.计算不定积分).0(11ln >⎪⎪⎭⎫⎝⎛++x d x x x09数二、三考研题11..考研真题五00数三考研题.__________12=++∞-xxe e d x1..131+∞-++=xx e e d xI 计算00数四考研题2.).()1()((0,1),1ξξξξf f --='∈使得试证明至少存在一点已知抛物线qx px y +=2 (其中0<p ,0>q )在第一象限内与直线5=+y x 相切,且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S .(1)问p 和q 为何值时,S 达到最大值?(2)求出此最大值5..01数三考研题).()()()(),,0(,,25)1(,),0()(111x f d uu f x d u u f td u u f t x f x f t x xt 求足条件且对所有内连续在设函数+=+∞∈=+∞01数四考研题6.满).(2)(),1,0()(3)1(,)1,0(,]1,0[)(31012ξξξξf f d xx f e f x f x ='∈=-使得证明存在且满足内可导在上连续在区间设01数四考研题7.._____)|(11||=+--d x e x x x 03数四考研题8.|)(,21),1(3110),1(21)(.)()(3.2则若若其中设x g x x x x x f d u u f x g x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤+==,)1,0(,]1,0[)(x f 且满足内可导在上连续在设01数三考研题4..;;;)2,0(连续不连续递减无界内在区间(D)(C)(B)(A)01数三考研题)(.)1()()1(101k d x x f xe kf k x ->=12..,)0,1(),1,0()(的一段连续曲线是第一象限内连接点设B A x f y =9..)(,316,,,3的表达求的面积之和为的面积与曲边三角形梯形为坐标原点轴上的投影在为点为该曲线上任意一点x f x CBM OCMA O x M C +),(y x M 若03数四考研题.0],,0[,)(0的销售量为到时刻设某商品从时刻k T t kt t x t >∈=10.式.______)1(,21,1,2121,)(12.2=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤-=d x x f x x xe x f x 设04数三、四考研题).()(,)((D));()(,)((C);0,),()((B);0)((A)( ).,)()(,0,1,0,0,0,1)(13.0x f x F x F x f x F x F x x F x x F d t t f x F x x x x f x ='='=+∞-∞==⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=但不一定满足内可导在且满足内可导在点不可导在内连续在点不连续在则设),(+∞-∞),(+∞-∞04数四考研题.)((2);)()((1).)(0,)(,0.)(,0,,0,)(14.1122的最小值的表达式求的面积表示矩形对任何之间的面轴与曲线表示夹在设t S t S S t S t F y t x t t S t x F y x S x e x e x F x x -=≤≤≤≤->=⎩⎨⎧>≤=-04数四考研题(1)的值并确定时的商品剩余量k t ,.的该商品销售完时将数量为A T 试求,03数四考研题.],0[(2)上的平均剩余量在时间段T ,],[)(),(11.b a x g x f 且满足上连续在设04数三考研题,)()(),,[,)()(=∈≥b ab ax a x ad t t g d t t f b a x d t t g d t t f .)()(≤b ab ad x x xg d x x xf 证明欲在积13..15.设)(),(x g x f 在[0,1]上的导数连续, 且.0)(,0)(,0)0(≥'≥'=x g x f f (1).)()()()()(1g a f d x x g x f d x x f x g a≥'+'⎰⎰证明: 对任何],1,0[∈a 有05数三、四考研题16.下列结论中正确的是( ).(A)⎰+∞+1)1(x x d x与⎰+1)1(x x d x都收敛;⎰+∞+1)1(x x d x与⎰+1)1(x x d x都发散;(C)⎰+∞+1)1(x x d x发散,⎰+1)1(x x d x收敛;⎰+∞+1)1(x x d x收敛,⎰+1)1(x x d x发散.(B)(D)05数四考研题06数四考研题17.设函数)(x f 与)(x g 在]1,0[上连续)()(x g x f ≤则对任何)1,0(∈C (A)⎰⎰≥ccd t t g d t t f 2121)()((B)⎰⎰≤ccd t t g d t t f 2121)()((C)⎰⎰≥11)()(c cd t t g d t t f (D)⎰⎰≤11)()(c cd t t g d t t f 且,,).(;;;.18.如图,连续函数)(x f y =在区间]2,3[--,]3,2[上的图形分别是半1的上、,在区间]2,0[],0,2[-上的图形分别是直径为2的下、.设=xdt t f x F 0)()(,则下列结论正确的是( ).(A))2(43)3(--=F F ;)2(45)3(F F =;(C))2(43)3(F F =-;(D))2(45)3(--=-F F .(B)下半圆周径为上半圆周⎰1231-2-3-O xy设函数),(y x f 连续,则二次积分等于( ).19.1sin 2),(xdy y x f dx ππ⎰⎰07数三、四考研题07数三、四考研题14..(A)+ππyd x y x f dy arcsin 1),(; -ππyd x y x f dy arcsin 10),(;(C)+yd x y x f dy arcsin 21),(ππ;-yd x y x f dy arcsin 210),(ππ.(B)(D)⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20.设某商品的需求函数为,2160p Q -=其中p Q ,分别表示需求量和价,如果该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是( ).(A)(B)(C) (D)10; 20; 30;40.格07数三、四考研题08数三考研题21.函数,1143x x x x x f ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求积分⎰=222._____)(d x x f 22.曲线方程为)(x f y =函数在区间],0[a 上有连续导数'ad x x f x 0)(( ).(A)曲边梯形ABOD 面积(B)梯形ABOD 面积(C)曲边三角形ACD 面积(D)三角形ACD 面积.则定积分表示;;;,⎰08数三、四考研题23. )(x f 是周期为2的的连续函数,(1)证明对任意实数+=22)()(t t d x x f d x x f ;(2)证明d t d s s f t f x g x t t-=+02)()(2)(是周期为2的周期函数.⎥⎦⎤⎢⎣⎡都有t ⎰⎰⎰⎰08数三、四考研题24.使不等式x d t ttxln sin 1>成立的x 的范围是(0,1)1,2π)ππ,2)+∞,π)(D)(C)(B)(A);(((;;.( ).25.设函数)(x f y =在区间[]31-图形如右图所示则函数⎰=x d t t f x F 0)()(为( ).,)(x f O 1-2-123x,)(x F O1-2-123x1-(A))(x F O1-2-123x1-(B)上的09数三考研题⎰09数三考研题15..设曲线)(x f y =,其中)(x f 是可导函数,且0)(>x f ,)(x f y =与直线y 及)1(>=t t x 所围成的曲边梯形,绕x 体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍,求该曲线方程.26.=0,x =1已知曲线)(x F O1-2-123x1-1(C))(x F O1-2-123x1-1(D)09数三考研题轴旋转一周所得的立27.设可导函数)(x y y =由方程=+-xy x x t d x x d x e 020sin 2确定,则.__________0==x d x d y⎰⎰28.设位于曲线)()ln 1(12<+=x e x x y 下方,x 轴上方的无界区域为G ,则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积是 __________.≤+∞29.比较+10)]1[ln(|ln |d t t t n与1|ln |d t t t n ),2,1(=n 的大小,说明理.设+=1)]1[ln(|ln |d t t t u nn ),2,1(=n ,求极限n n M lim .⎰⎰ΛΛ⎰→∞(1)(2)设函数)(x f 在]3,0[上连续,在)3,0(内存在二阶导数,且),3()2()()0(220f f d x x f f +==(1)证明:存在),2,0(η使)0()(f f =η;(2))3,0(ξ,使0)(=ξf .⎰∈∈''30.10数三考研题10数三考研题由证明:存在10数三考研题10数三考研题16..考研真题六.)0(22围成的区域和直线x y a x a a y -=>-+-=,是由曲线其中D σ2.00数三考研题.__________,,,,=∂∂⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x z g f x y g y x xy f z 则均可微其中设1.00数三考研题,两个市场的需求假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品3.00数三/四考研题函数分别是;12,2182211Q P Q P -=-=),:,(),/:(2121Q Q P P 并且该企业生产吨单位即需求量分别表示该产品在两个市场的销售量和吨万元单位分别表示该产品在两个市场的价格和其中.,.5221Q Q Q Q Q C +=+=即表示该产品在两个市场的销售总其中这种产品的总成本函数是,(1)试确定两个市场上该产品的销售量和价如果企业实行价格差别策略量2=-xy e xy 和求d xd u ,.=-z x x d t tt e 0sin .,arctan,ln ,22d z xyv y x u u z v 求已知=+==5.00数四考研题设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数又函数)(x y y =及)(x z z =别由下列两式确定：6.,01数三考研题.;,,(2).,并比较两种价格策略下的总利润大使该企业的总利润最大化其统一的价格试确定两个市场上该产品的销售量及如果企业实行价格无差别策略使该企业获得最大利润}.2|),{(,),(,0,0,21),(222x y x y x D d x d y y x f x y x y x y x f ≥+=⎩⎨⎧≤≤≤≤=其中求其它设4.00数四考研题D格小分17..求二重积分的值,其中D 是由直线x y =,1-=y 及1=x 围成的平面区域.7.+d x d y xe y ]1[+y x )(22201数三考研题D设函数),,(z y x f u =有连续偏导数),(y x z z =由方程所确定d u 9.且求,,.zy x ze ye xe =-02数三考研题10.设闭区域0,:22≥≤+x y y x D .),(y x f 为D 上的连续函数,且-=d u d v v u f y x f ),(8),(π求).,(y x f --y x 122,02数四考研题D设)2(y x f e z x --=-,且当0=y 时,2x z =,则=8.01数四考研题________.∂∂xz 11.}.|),{,)sin 2222)(22ππ≤+=+=-+-y x y x D d y x e I y x其中积分区域计算二重积分(x d y (D03数三、数四考研题12.求又且满足具有二阶连续偏导数设2222222222)(21,[),(,1),(y gx g y x x f v u g v f u f v u f ∂∂+∂∂-==∂∂+∂∂,y ,].03数三、数四考研题13.=-=⎩⎨⎧≤≤==>d x y g x f D x a x g x f a ._______)()(,010,)()(,0表示全平面而其它设则d ,x y ,I D03数三、数四考研题14.y y y x f D y y y x f C y y y x f B y y y x f A y x y x f ),()(;),()(;),()(;),()(),(),(0000000000处的导数不存在在处的导数小于零在处的导数大于零在处的导数等于零在取得极小值在点设可微函数====.,则下列结论正确的( ).是03数三考研题18..22.设函数)(u f 可微且21)0(='f , 则)4(22y x f z -=在点(1, 2)处的全微分_______)2,1(=d z, .06数三、四考研题19.设)(u f 具有二阶连续导数, 且,),(⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x yf x y f y x g 求.222222y g y x g x ∂∂-∂∂05数三、四考研题20.计算二重积分,|1|22-+d y x σ其中}.10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D D05数三、四考研题21.求2),(22+-=y x y x f 在椭圆域}14|),{22≤+=y x y x D 和最小值.(上的最大值05数四考研题处的.__________,0)(,)(,)(]),([),(15.2=∂∂∂≠+=vu fy g y g y g x y y xg f v u f 则且其中函数确定由关系式函数可微04数三考研题).(1)1(4,)(16.222222如右图所围成的平面区域和是由圆其中求=++=+++y x y x D d y y x σDOxyD 04数三、四考研题其中18.设,)cos(,)cos(,cos 2223222221+=+=+=d y x I d y x I d y x I σσσ(A)123I I I >>;321I I I >>;312I I I >>;213I I I >>.(C)(D)(B)DDD},1|),{(22≤+=y x y x D 则( ).05数三、四考研题17.设二元函数),1ln()1(y x xe z y x +++=+则._________|)0,1(=d z 05数三、四考研题19..24.x d y ,其中D 是由直线0,1,===x y x y ,所围成的平面区域.(D)若0),(00≠'y x f x 则0),(00≠'y x f y .,(C)若0),(00≠'y x f x 则0),(00='y x f y ;,(B)若0),(00='y x f x 则0),(00≠'y x f y ;,(A)若0),(00='y x f x 则0),(00='y x f x ;,下列选项正确的是( ).,),(00y x 是),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ下的一个极值点23.设),(y x f 与),(y x ϕ均为可微函数0),(≠'y x yϕ. 已知且,06数三、四考研题06数三、四考研题25.设),(v u f 是二元可微函数,,,⎭⎫⎝⎛=y x x y f z 则=∂∂-∂∂y zy x z x _______.07数三、四考研题26.设二元函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+<+≤+=2||||1,11||||,),(222y x y x y x x y x f 计算二重积分,),(Dd y x f σ其中}.2|||),({≤=y x y x D ,|+07数三、四考研题27.设,),(42y x e y x f +=则函数在原点偏导数目字存在的情况是)0,0(x f (A)'存在,)0,0(y f '存在;(B))0,0(x f (C)'存在,(D)都不存在.( ).)0,0(y f '不存在;)0,0(x f '不存在,)0,0(y f '存在;)0,0(x f ')0,0(y f ',08数三考研题28.设函数连续其中区域则为图中阴影部分f ,),(x d y v u F ==∂∂uF( ).,(x )D uv ,20..);(2u vf );((B)u vf );((C)2u f uv ).((D)u f uv (A)29.⎰⎰=-Dd x d y y x ._____)(2其中1:22≤+y x D .⎰⎰08数三考研题求二重积分Dd x d y xy ,)1,max(其中}.20,20|),{(≤≤≤≤=y x y x D 30.08数三考研题31.设),(y x z z =是由方程)(22z y x z y x ++=-+ϕ其ϕ具有2阶导数且1-≠'ϕ时(1)d z ;(2)记,1),(⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=y z x zy x y x u 求.xu ∂∂所确定的函数,求,中08数三、数四考研题.32.求函数222z y x u ++=在约束条件22y x z +=和4=++z y x 大和最小值下的最08数三、数四考研题33.设)(x f 是连续奇函数)(x g 是连续偶函数{},x y x x y x D ≤≤-≤≤=,10|),(则正确的=Dd x d y x g y f ;0)()((A)=+D d x d y y g x f ;0)]()([(C),区域,( ).=Dd x d y y g x f ;0)()((B)=+Dd x d y x g y f ;0)]()([(D)08数四考研题34..________ln 2110=x d y x d xy 08数四考研题35.设e x Z )(+=,则=∂∂xz _____________.x y )0,1(36.求二元函数()y y y x y x f ln 2),(22++=的极值.09数一、三考研题37.求二重积分-Dd x d y y x )(,其中{}.x y y x y x D ≥≤-+-=,2)1()1(),(2209数二、三考研题09数三考研题计算二重积分d x d y y x D+3)(,其中D 由曲线21y x +=与直线02=+y x 及02=-y x 围成.⎰⎰求函数yz xy M 2+=在约束条件10222=++z y x 下的最大值和最小值.38.39.10数三考研题10数三考研题21...,,2,1,0,cos sin 40==n n n I n x d x x I 求设Λπ00数三考研题1.q p a (A)n a a q a a p n n n n n n n n n ,,2,1,2||,2||2.的敛散性都不定都收敛与条件收敛若则下列命题正确的是设=-=+=Λ;().则,q p a (B)n n n 都收敛与绝对收敛若;则,q p a (C)n n n 与条件收敛若;则,03数三考研题∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n .)()1|(2)1(12及其极值的和函数求幂级数x f x n x nn <-+|3.03数三考研题的敛散性都不定q p a (D)n n n 与绝对收敛若;则,1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 4.设有以下命题:①;,)(212收敛则收敛若-+n n n u u u ②;,1000收敛则收敛若+n n u u 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 04数三考研题考研真题七④.,,)(都收敛则收敛若+nn n n v u v u 则以上命题中正确的是( ).(A)①②;②③;③④;①④.1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n (B)(C)(D)③;,1lim1发散则若+∞→>nnn n u u u 1∑∞=n 5.设,,2,1,0Λ=>n a n 若n a 发散,--1)1(n n a 收敛, (A)-12n a 收敛,2n a 发散;收敛,-12n a 发散;(B)∑∞=1n ∑∞=1n 则下列结论正确的是( ).∑∞=1n ∑∞=1n 2n a ∑∞=1n ∑∞=1n 22.. 6.求幂级数⎪⎭⎫⎝⎛-+21121n x n 在区间)1,1(-内的和函数).(x S ∑∞=1n 05数三考研题8. 求幂级数∑∞-+---1121)12()1(n n n n n x 的收敛域及和函数)(x S .7.若级数n a 收敛( ).则级数,∞=1n ∑(A)收敛;(B)收敛;n ∞=1n ∑n a ∞=1n ∑-)1(n a (C)收敛;(D)++12n n a a 收敛.n a ∞=1n ∑1+n a ∞=1n ∑(C)-+212)(n n a a 收敛;(D)--212)(n n a a 收敛.∑∞=1n ∑∞=1n 05数三考研题06数三考研题06数三、数四考研题9.将函数431)(2--=x x x f 展开成1-x 的幂级数,并指出其收敛区间.07数三考研题10.设银行存款的年利率0.05,并依年复利计算A 万元实现第一年取出19万元28元n 年取出10+9n 万元A 至少为多少万元第二年取出…第问并能按此规律一直提取下去,,,,?r =.某基金会希望通过存()款万,08数三考研题11.幂级数nn nn x n e ∑∞=--12)1(的收敛半径为_____________.09数三考研题23..考研真题八x y y e y y 2.1)0(,1)0(02='==-'-''的解满足条件求微分方程00数三考研题1.2.已知满足+= (n 为正整数),且n ef n =)1(,求函数项级数之和)(x f n )(x f n e x ∑∞=1n )(x f n n x )(f 'n x 1-.01数三考研题3. (1)验证函数)()3(!9!6!31)(3963+∞<<-∞++++++=x n x x x x x y n满足微分方程y =++(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数!......y 'y ''e x .∑∞=0n ;)3(3n x n!02数三考研题),()(),(),()()(内满足以下条件在其中函数设x g x f x g x f x F +∞-∞=4..2)()(,0)0()()('),()('且e x g x f f x f x g x g x f x =+===:.)((2))((1)的表达式求出;所满足的一阶微分方程求x F x F 03数三考研题,1),(2222v fu f v u f =∂∂+∂∂又且满足具有二阶连续偏导数设,6..)(21,[),(222222y gx g y x xy f v u g ∂∂+∂∂-=求],03数三、四考研题.)()(;)()().()(8642642425.864的表达式所满足的一阶微分方程求的和函数为设级数x S x S x S x x x x II I +∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅Λ04数三考研题7.微分方程0=+'y y x 满足初始条件2(1)=y 的特解为_______.05数三、四考研题24..9.在xOy 坐标平面上, 连续曲线L 过点)0,1(M 其上任意点)0),(≠x y x P 处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数0>a )(1)求L 的方程;(2)当L 与直线ax y =所围成平面图形的面积为38时, 确定a 的值.8. 设非齐次线性微分方程)()(x Q y x P y =+'有两个的解C x y x y ),(),(21为任意常数, 则该方程通解是(A)[];)()(21x y x y C - (B)[];)()()(211x y x y C x y -+(C)[];)()(21x y x y C +(D)[].)()()(211x y x y C x y ++:06数三、四考研题06数三、四考研题(10.微分方程321⎭⎫⎝⎛-=x y x y d x d y 满足1|1==x y 的特解为=y ___________.07数三、四考研题11.设函数)(x f 具有连续的一阶导数,且满足,)()()(0222+'-=xx dt t f t x x f 求)(x f 的表达式.⎰07数四考研题微分方程0=+'y y x 满足条件1)1(=y 的解是=y ______.08数三考研题13.微分方程0)(2=-+-x d y d x e x y x 的通解是._______=y 08数四考研题14.设某商品的收益函数为),(P R 收益弹性为,13P +其中P 为价格,且,1)1(=R 则.__________(=P R 设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+的两个特解, 常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解,21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解,则( ).(A)21=λ,21=μ(B)21-=λ,21-=μ(C)32=λ,31=μ(D)32=λ,32=μ'12.10数三考研题)15.若;;;.10数三考研题。

考研数学2022年真题答案解析

考研数学2022年真题答案解析2022年真题解析一、高数部分2022年真题中的高等数学部分主要涵盖了微积分、线性代数和概率统计。

以下将对其中几道比较典型的题目进行解析。

1. 微积分【题目】设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，且$f(a)=f(b)$，证明：存在 $\xi\in(a,b)$，使得 $f(\xi+1)-f(\xi)=0$。

【解析】利用连续函数在闭区间上的性质，我们可以采用介值定理来证明这道题目。

由于 $f(a)=f(b)$，根据介值定理，我们可以得知函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上取到了最大值和最小值。

由于$[a,b]$ 是一个闭区间，因此 $f(x)$ 在该区间上也是有界的。

设$M$ 为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值，$m$ 为 $f(x)$ 在$[a,b]$ 上的最小值。

我们考虑函数 $g(x)=f(x+1)-f(x)$，首先可以得知 $g(x)$ 在$[a-1,b-1]$ 上也是连续的。

接下来，我们需要观察 $g(a-1)$ 和$g(b-1)$ 的符号。

如果 $g(a-1)=0$ 或 $g(b-1)=0$，那么结论显然成立。

如果 $g(a-1)$ 和 $g(b-1)$ 同号，不妨设为正数，那么根据单调性原理，我们可以得知 $g(x)>0$ 在 $[a-1,b-1]$ 上成立。

根据连续函数与介值定理，一定存在 $\xi\in(a-1,b-1)$，使得$g(\xi)=0$。

同理，如果 $g(a-1)$ 和 $g(b-1)$ 同号且为负数，那么可以得出结论。

剩下的情况就是 $g(a-1)$ 和 $g(b-1)$ 异号，按照介值定理，我们一定可以找到一点 $\xi\in(a-1,b-1)$，使得$g(\xi)=0$。

综上所述，无论在哪种情况下，都可以找到一点 $\xi\in(a,b)$，满足 $f(\xi+1)-f(\xi)=0$。

2005年东北大学857经济学考研真题及详解

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2005年东北大学857经济学考研真题及详解一、名词解释（15分）1．机会成本答：限于篇幅原因，想要查看完整版真题及解析请加入经济学考研备战群2．需求原理答：在其他条件不变的情况下，一种商品的需求与价格呈反方向变化，即商品的价格越低，对该商品的需求量越大，反之，价格越高，需求量越小。

其中，需求是指有效需求，即消费者既有购买欲望，又有购买能力的需求。

3．恩格尔定律答：德国统计学家恩格尔根据统计资料，对消费结构的变化得出一个规律：在一个家庭或在一个国家中，食物支出在收入中所占的比例随着收入的增加而减少。

反映这一定律的系数被称为恩格尔系数，公式表示为：=消费者用于购买食物的支出恩格尔系数消费者的可支配收入用弹性概念来表述恩格尔定律可以是：对于一个家庭或一个国家来说，富裕程度越高，则食物支出的收入弹性就越小；反之，则越大。

4．基尼系数答：基尼系数是20世纪初意大利经济学家基尼根据洛伦兹曲线来判断收入分配公平程度的指标，是国际上用来综合考察居民内部收入分配差异状况的一个重要分析指标。

图1-1 洛伦兹曲线在图1-1中，不平等面积（洛伦兹曲线ODL 与45°线之间的面积A ）与完全不平等面积（OHL 与45°线之间的面积A B +）之比，称为基尼系数，是衡量一个国家贫富差距的标准。

若设G 为基尼系数，则：A G A B=+ 显然，基尼系数不会大于1，也不会小于零，即有01G ≤≤。

可见，基尼系数是洛伦兹曲线与三角形斜边之间的面积与整个三角形之间的面积的比例。

若0A =，基尼系数等于0，收入绝对平均；若0B =，基尼系数等于1，收入绝对不平均，即全社会收入为一人所有。

考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(06年)设非齐次线性微分方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)有两个不同的解y1(χ)，y2(χ)，C为任意常数，则该方程的通解是【】A．C[y1(χ)－y2(χ)]．B．y1(χ)＋C[y1(χ)－y2(χ)]．C．C[y1(χ)＋y2(χ)]．D．y1(χ)＋C[y1(χ)＋y2(χ)]．正确答案：B解析：由于y1(χ)与y2(χ)是非齐次线性方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的两个不同的解，则y1(χ)－y2(χ)是齐次方程y′＋P(χ)y＝0的非零解，从而C[y1(χ)－y2(χ)]为齐次通解，故非齐次方程通解为y1(χ)＋C[y1(χ)－y2(χ)] 故应选B．知识模块：微积分2．(10年)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y′＋p(χ)y＝q(χ)的两个特解，若常数λ，μ使λy1＋μy2是该方程的解，λy1－μy2是该方程对应的齐次方程的解，则【】A．B．C．D．正确答案：A解析：由于λy1＋μy2为方程y′＋p(χ)y＝q(χ)的解，则(λy1＋μy2)′＋p(χ)(λy1＋μy2)＝q(χ) 即2(y′1＋p(χ)y1)＋μ(y′2＋p(χ)y2)＝q(χ) λq(χ)＋μq(χ)＝q(χ) λ＋μ＝1 (1) 由于λy1－μy2为方程y′＋p(χ)y＝0的解，则(λy1－μy2)＋p(χ)(λy1－μy2)＝0 λ(y′1＋p(χ)y1)－μ(y′2＋p(χ)y2)＝0 λq(χ)－μq(χ)＝0 λ－μ＝0 (2) 由(1)式和(2)式解得λ＝μ＝知识模块：微积分填空题3．(97年)差分方程yt+1－yt＝t2t的通解为_______．正确答案：y＝C＋(t－2)2t解析：齐次差分方程yt+1－yt＝0的通解为C，C为任意常数．设(at＋b)2t是差分方程yt+1－yt＝t2t的一个特解，则a＝1，b＝－2，因此，yt＝C＋(t－2)2t为所求通解．知识模块：微积分4．(98年)差分方程2yt+1＋10yt－5t＝0的通解为_______．正确答案：yt＝C(－5)t＋解析：将原差分方程改写成标准形式：yt+1＋ayt＝b1t＋b0 即yt+1＋5yt ＝t 则通解为知识模块：微积分5．(01年)某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元．若以Wt表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则Wt满足的差分方程是_______．正确答案：Wt＝1．2Wt-1＋2解析：Wt表示第t年的工资总额，(单位：百万元)，Wt-1表示第t年上一年的工资总额，由题设知Wt＝1．2Wt-1＋2 知识模块：微积分6．(05年)微分方程χy′＋y＝0满足初始条件y(1)＝2的特解为_______．正确答案：χy＝2解析：本方程是一可分离变量方程，由χy′＋y＝0知，ln｜y｜＝－ln｜χ｜＋lnC1 从而χy＝C，又y(1)＝2，则C＝2．知识模块：微积分7．(07年)微分方程满足y｜χ＝1＝1的特解为y＝_______．正确答案：解析：方程是一个齐次方程，因此令＝u，则y＝χu，，代入原方程得由y｜χ＝1＝1知，1＝C 知识模块：微积分8．(08年)微分方程χy′＋y＝0满足条件y(1)＝1的解是y＝_______．正确答案：解析：方程χy′＋y＝0是一个变量可分离方程，原方程可改写为由y(1)＝1知C＝1，则y＝知识模块：微积分9．(13年)微分方程y〞－y′＋＝0的通解为y＝_______．正确答案：(C1＋C2χ)解析：方程y〞－y′＋＝0的特征方程为γ2－γ＋＝0 特征根为γ1＝γ2＝，则其通解为y＝(C1＋C2χ) 知识模块：微积分10．(15年)设函数y＝y(χ)是微分方程y〞＋y′－2y＝0的解，且在χ＝0处y(χ)取得极值3，则y(χ)＝_______．正确答案：2eχ＋e－2χ解析：原方程的特征方程为λ2＋λ－2＝0 特征根为λ1＝1，λ2＝－2 原方程的通解为y＝C1eχ＋C2e－2χ由y(0)＝3，y′(0)＝0得则C1＝2，C2＝1，y＝2eχ＋e－2χ．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2005年浙江大学数学分析试题及解答

浙江大学2005年数学分析解答一（10分）计算定积分20sin x e xdx π⎰解：2sin xe xdx π⎰=()011cos 22xe x dx π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰ ()01x e d x e ππ=-⎰由分部积分法cos 2xe xdx π=⎰()1e π-+20sin 2xe xdx π=⎰()1e π-04cos 2x e xdx π-⎰所以cos 2x e xdx π=⎰()115e π-，所以20sin x e xdx π⎰=()215e π- 解毕二（10分）设()f x 在[0,1]上Riemann可积，且1()f x dx =⎰，计算 11lim 4ln[1()]nn i i f n n →∞=+∑ 解：因为()f x 在[0,1]上Riemann 可积，所以0,()M f x M ∃>≤，所以1()0if n n→ 因为0ln(1)lim1x x x →+=，所以114ln[1()]n i if n n =+∑与114()ni i f n n =∑等价且极限值相等由Riemann 积分的定义：11lim 4ln[1()]nn i if n n →∞=+∑=410()f x dx =⎰ 解毕三（15分）设,,a b c 为实数，且1,0b c >-≠试确定,,a b c 的值，使得30sin limln(1)x x b ax xc t dtt →-=+⎰解：若0b ≠，显然30sin lim0ln(1)x x b ax xt dtt →-=+⎰，这与0c ≠矛盾，所以0b =计算30sin limln(1)x x ax xt dtt →-+⎰，利用洛必达法则： 33000sin cos lim lim ln(1)ln(1)x x x ax x a x t x dt t x→→--=++⎰，易有30ln(1)lim0x x x→+=，若1a ≠， 33000sin cos limlim ln(1)ln(1)x x x ax x a x t x dt t x →→--==∞++⎰，矛盾，所以1a =.计算301cos lim ln(1)x xx x→-+，继续利用洛必达法则：33001cos cos limlim ln(1)ln(1)x x x x x x x x x →→--=++24003321cos sin 2sin cos lim lim 3631(1)x x x x x x x xx x x x x →→-++==-++3322430343cos sin 1lim(612)(1)6(63)(1)2(1)x x x x c x x x x x x x →-===-+--++ 解毕四（15分）设()f x 在[,]a b 上连续，且对每一个[],x a b ∈，存在[],y a b ∈，使得1()()2f y f x ≤，证明：在存在[,],a b ξ∈使得()0f ξ=证明:反证法,由于()f x 在[,]a b 上连续,由闭区间上连续函数的性质,不妨假设0()m f x M <<<对于任选的一点1x ,存在2,x 使得211()()2f x f x ≤, 存在3,x 使得321211()()()22f x f x f x ≤≤ 所以1111[,],()()0,()22n n n n Mx a b f x f x n --∈≤≤→→∞即lim ()0n n f x →∞=,但对所有的x, 0()m f x M <<<,矛盾.所以[,]a b 存在零点证毕五（20分）（1）设()f x 在[,)a +∞上连续，且()af x dx +∞⎰收敛。

05年浙江高数赛题

第一讲赛题分析2005年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（数学类）一．计算题1．计算()()23400sin ln(1)38sin 1lim xx x x x t t dt x x e →+−+−−∫解：原式=340302sin ln(1)38.6lim xx x x t t dt x x→+−+∫=3240sin ln(1)256lim x x x x x x →+−+ =()()3523534003!5!23256lim x 32x x x x x x x x x x →⎡⎤⎡⎤−++−++−+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x =()4440656lim x x x x →+=15 2．计sin 3cos 4sin xdx x x+∫解：原式=tan 34tan x dx x +∫，令tan x u =，则arctan x u =，211dx u =+，于是原式=22(34)(1)341udu A Bu Cdu du u u u u+=+++++∫∫∫ 其中3241212u uA u =−==+5−， ()()()222123425134341251Bu C u u u u u u u ++=+=+++++ ∴原式=()()2334ln 34tan ln 1tan arctan tan 255025x x x −+++++C 3．计算2200501tan dxxπ+∫解：原式=2220052005001tan 1cot dx dx xx ππ=++∫∫ 于是原式=222005200500111121tan 1cot 2dx dx x x ππ4π⎛⎞+==⎜⎟++⎝⎠∫∫ 4．设()f x 在点二阶可导，且0x =()11cos limx f x x→=−，求，和的值。

()0f ()'0f ()''0f 解：因()()'0111cos sin limlimx x f x f x xx→→==−=故，，而()00f =()00f ′=()000()(0)()sin ()sin 0limlim lim 0x x x 1f x f f x x o x xf x x x→→→′′′−+′′===−= 5．设()(),z f x y x y g x ky =−+++，f ，g 具有二阶连续偏导数，且，如果''0g ≠222''22222z z z4f x x y y∂∂∂++≡∂∂∂∂，求常数的值。

微积分试卷及答案

微积分试卷及答案【篇一：微积分试题和答案】s=txt>数学教研是：一、选择题(每题2分)1、设??x?定义域为（1,2），则??lgx?的定义域为（） a、（0,lg2）b、（0，lg2?c、（10,100）d、（1,2）x2?x2、x=-1是函数??x?=的（） 2xx?1a、跳跃间断点 b、可去间断点 c、无穷间断点 d、不是间断点 3、试求a、?4、若x?01b、0c、1d、? 4yx??1，求y?等于（） xya、x?2y2x?yy?2x2y?xb、c、d、2x?y2y?x2y?x2x?y2x的渐近线条数为（） 1?x2a、0b、1 c、2 6、下列函数中，那个不是映射（）5、曲线y?d、3a、y2?x (x?r?,y?r?)b、y2??x2?1c、y?x2d、y?lnx (x?0) 二、填空题（每题2分） 1、__________(n?)1x，则() fx的间断点为__________x??nx2?1fx)m?il2、、设（x2?bx?a?5，则此函数的最大值为__________ 3、已知常数 a、b,limx?11?x4、已知直线 y?6x?k是 y?3x2的切线，则 k?__________5、求曲线 xlny?y?2x?1，在点（，11）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）x2是有界函数( ) 1、函数y?21?x2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件( )3、若lim???，就说?是比?低阶的无穷小 ( ) ?4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( )5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点( ) 四、计算题（每题6分） 1、求函数 y?xsin1x的导数12、已知f(x)?xarctanx?ln(1?x2），求dy23、已知x2?2xy?y3?6，确定y是x的函数，求y?4、求limtanx?sinx2x?0xsinx5、计算 1(cosx)x 6、计算lim?x?0五、应用题1、设某企业在生产一种商品x件时的总收益为r（x)?100x?x2，总成本函数为c(x)?200?50x?x2，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分）12、描绘函数y?x2?的图形（12分）x六、证明题（每题6分）1f()?a 1、用极限的定义证明：设limf(x)?a,则limx???x?0?x2、证明方程xex?1在区间（0,1）内有且仅有一个实数一、选择题1、c2、c3、a4、b5、d6、b 二、填空题1、x?02、a?6,b??73、184、35、x?y?2?0 三、判断题 y??（x?（esin1x)?)?1sinlnxx1111???ecos(?2)lnx?sin??xxxx??1sin1111x?x(?2coslnx?sin)xxxx1sinlnxx2、dy?f?(x)dx112x?(arctanx?x?)dx221?x21?x?arctanxdx3、解：2x?2y?2xy??3y2y??02x?3y?y??22x?3y?y???4、解：2)2(2?3y?)(2x?3y2)?(2x?2y)(2?6yy?)(2x?3yx2?当x?0时，x?tanx?sinx,1?cosx?212xxtanx(1?cosx)1?原式=lim?lim3?2x?0x?0xsinxx25、解：令x?t6dx?6t5原式??（1?t2)t3t2?6?1?t2t2?1?1?6?1?t21?6?(1?)21?t?6t?6arctant?c??6arctan6、解：1?c原式?lime?x?0xlncosx?ex?0?lim1xlncosx其中：1lncosxx?0x2lncosx?lim x?0?x21(?sinx)?lim?x?02x?tanx1?lim??x?0?2x2lim??原式?e?12五、应用题1、解：设每件商品征收的货物税为a，利润为l(x) l(x)?r(x)?c(x)?ax?100x?x2?(200?50x?x2)?ax??2x2?(50?a)x?200l?(x)??4x?50?a50?a令l?(x)?0,得x?,此时l(x)取得最大值4a(50?a)税收t=ax?41t??(50?2a)41令t??0得a?25t?????02?当a?25时，t取得最大值2、解：d????，0???0,???间断点为x?0y??2x?1x2令y??0则x?y???2?2x3令y???0则x??1渐进线：【篇二：微积分试卷及答案6套】>一. 填空题 (每空2分,共20分)x?1?an2?bn?5?2，则a =，b =。

2005年南开大学经济学综合考研真题及答案解析

，不能只满足于看上去会做，而是应该去整体分析，分析其中的出题规律和出题范围。万事万物，必有规律可循，试题也不例外。因此要尽量去弄到更多的试题，最好能够搜集全最近五年的实考题。经过严密地分析和研究，以下规律浮出水面：1.五年之内，论述题一般不会重复，这是出题人出题的主体思路；2.简答题三年之内不会重复，三年之外很有可能重复，毕竟专业考试的出题范围有限，考生可以结合前面讨论的复习方法来比较和分析；3.名词解释题三年之外必有重复，有些更是经常考到，成为常考点，多多留意；4.密切关注常考点和不考点（五年之内没有考过的点），这两个点都极可能是下次考试的重点，这也是前面所提及的。 3 热点问题和热点论文试题一般由专业课的导师出，至少有部分由导师出（其他可能
官方网址北大、人大、中财、北外教授创办集训营、一对一保分、视频、小班、少干、强军
论是文科还是理科，其核心期刊总会反映年度热点问题）和近期理论界的研究争论焦点进行分析。事实证明，考生对专业真题的钻研确实可以让考生猜到那么几十分的题目。专业课的真题，要训练对分析题的解答，把自己的答案切切实实写在纸上，不要打腹稿（这样有时候感觉自己给分点都答到了，实际上却相差很远），再反复对照自己和参考答案（如果有的话）的差别，分析答题角度，揣摩命题人意图，并用同一道题在相隔一定时间后反复训练，慢慢完善自己此类题型的解答方法。历年题是专业课的关键，而融会贯通则是关键中的关键。考研的专业课考题大体有两种类型，一种是认知性质的考题，另一种是理解与应用型的，而且以后一种居多。因此，同学们在复习时绝不能死记硬背条条框框，而应该看清条条框框背后所包含的东西，并且加以灵活运用。在复习时，首先要把基本概念、基本理论弄懂，然后要把它们串起来，多角度、多层次地进行思维和理解。由于专业的各门功课之间有着内在的相关性，如果能够做到融会贯通，无论对于理解还是记忆，都有事半功倍的效果。考生完全可以根据历年的考题，在专业课本中划出历年涉及的重点，有针对性、有侧重点地进行复习。针对笔记、真题以及热点问题，下面的提纲可能会比较快速地让考生朋友掌握以上的内容：1 专业课笔记一般来说，大部分高校的专业课都是不开设专业课辅导班的，这一点在 05年的招生简章中再次明确。因此对于外校考生，尤其是外地区考生，也就是那些几乎不可能来某高校听课的考生，专业课笔记尤为重要。可以说，笔记是对指定参考书最好的补充。如果条件允许，这个法宝一定要志在必得。在具体操作上，应先复习书本，后复习笔记，再结合笔记来充实参考书。笔记的搜集方法，一般来说，有的专业比较热门，可以在市面上买到它的出版物；有的专业笔记在网上也可能搜集到，这需要考生多花一些时间；还有的专业由于相对冷门，那么考生就需要和该专业的同学建立联系，想办法把笔记弄到手。 2 专业课历年真题真题是以前的考试题，是专业课的第一手资料，它更是法宝中的法

浙江大学金融联考2005年考研试题答案

参考答案2005年金融学硕士研究生招生联考“金融学基础”试题一、名词解释（5分×6题，共30分）1.无差异曲线：是用来表示消费者偏好相同的两种商品的不同数量的各种组合的一簇曲线，或者说，它是表示能给消费者带来同等效用水平或满足程度的两种商品的不同数量的各种组合。

无差异曲线可以表示为图1。

图1 无差异曲线无差异曲线具有这样的特点：第一，由于通常假定效用函数的连续性，于是，在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，存在着无数条无差异曲线。

第二，离原点越近的无差异曲线所代表的效用水平越低，离原点越远的无差异曲线所代表的效用水平越高。

第三，在同一坐标平面上的任意两条无差异曲线不会相交。

第四，无差异曲线总是凸向原点的，这一特点是由商品的边际替代率递减规律所决定的。

2.三元悖论：也称三难选择，是由美国经济学家保罗·克鲁格曼在蒙代尔－弗莱明模型的基础上提出的关于开放经济下政策选择问题的理论。

三元悖论其含义是：本国货币政策的独立性、汇率的稳定性、资本的完全流动性不能同时实现，最多只能同时满足两个目标，而放弃另外一个目标。

它主要包括以下三种情况：①保持本国货币政策的独立性和资本的完全流动性，必须牺牲汇率的稳定性，实行浮动汇率制；②保持本国货币政策的独立性和汇率稳定，必须牺牲资本完全流动性，实行资本管制；③维持资本的完全流动性和汇率的稳定性，必须放弃本国货币政策的独立性。

3.买断式回购：指证券持有人在将一笔证券卖出的同时,与买方约定在未来某一日期,以约定价格购回该笔证券的交易行为。

通过卖出一笔证券以获得对应资金,并在约定期满后以事先商定的价格从对方购回同笔证券的为融资方；以一定数量的资金购得对应的证券,并在约定期满后以事先商定的价格向对方卖出对应证券的为融券方。

买断式回购实质上是一种融资行为。

4.卢卡斯批判：是卢卡斯深化理性预期假说，并以其为工具分析宏观经济政策的有效性问题时提出的理论。

“卢卡斯批判”核心观点是：在个人和企业进行理性预期条件下，政府宏观经济政策无效。

微积分考研分类题

微积分考研分类题第二章极限与连续1． =++→∞x x x x 2sin 3553lim 2 。

2． =-+++-+++∞→])1(2121[lim n n n 。

3．设函数f (x ) = a x (a > 0, a ≠ 1)，则=∞→)]()2()1(ln[1lim 2n f f f n n 。

4． n 为正整数，a 为某实数，a ≠ 0，且a x x x n n x 1)1(lim 1999=--+∞→，则n = ，并且a= 。

5．设常数21≠a ，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-∞→n n a n na n )21(12ln lim 。

6．设对任意的x ，总有ϕ (x ) ≤ f (x ) ≤ g (x )，且0)]()([lim =-∞→x x g x ϕ，则)(lim x f x ∞→（）。

（A ）存在且等于零（B ）存在但不一定等于零（C ）一定不存在（D ）不一定存在7．设数列{a n }为无穷小量，{b n }是有界数列（对一切n , b n ≠ 0），则{a n b n }（）。

（A ）必是无穷小量（B ）有可能是无穷小量（C ）不可能是无穷小量（D ）必是无界数列8．设函数n n x xx f 211lim )(++=∞→，讨论函数f (x )的间断点，其结论为（）。

（A ）不存在间断点（B ）存在间断点x = 1（C ）存在间断点x = 0 （D ）存在间断点x = -19．函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界。

（）（A ）(-1, 0) （B ）(0, 1) （C ）(1, 2) （D ）(2, 3)10．设f (x ) 在 (-∞, +∞) 内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00),1()(x x x f x g ，则（）。

（A ）x = 0必是g (x ) 的第一类间断点（B ）x = 0必是g (x ) 的第二类间断点（C ）x = 0必是g (x ) 的连续点（D ）g (x ) 在点x = 0的连续性与a 的取值有关12. 曲线1x xe y =( )。

南开大学南开 2005年专业基础(微观经济学、宏观经济学部分) 考研真题及答案解析

南开大学2005年硕士研究生入学考试试题考试科目：微观、宏观经济学专业：经济学院所有专业一、简答题（每题5分，共40分）1．什么是福利经济学第一定理？2．说明纳什均衡与纳什定理的基本概念。

3．什么是逆向选择、道德风险？4．用序数效用理论说明消费者均衡？5．说明财政政策实施过程中的挤出效应。

6．什么是货币政策的“灵活偏好陷阱”？7．什么是“理性预期”？8．什么是充分就业的失业率？二、论述题（每题10分，共40分）1．资本的边际生产力递减规律与技术进步导致的生产率提高之间有和关系？边际生产力递减是如何体现在现实中的，请举例说明。

2．从资源利用效率角度对完全竞争和完全垄断进行比较。

3．用IS —LM —BP （EB ）模型说明浮动汇率制度下，国际收支失衡的自动调节机制。

4．最近国际石油涨价对世界经济产生了重大的影响，请用经济学原理解释其影响机制，并说明影响产生的实际过程。

三、计算题（每题15分，共30分），请在下列3题中任选两题回答。

1．假设某人从25岁开始工作，年收入为50,000元，60岁退休，预期寿命为85岁，现在他已经45岁，试求：（1）此人的财富边际消费倾向和劳动收入的边际倾向。

（2）假定此人现有财富100,000元，则他的年消费为多少？2．假设某商品的反需求曲线为Q P 15.011-=；其反供给曲线为10.05P Q =+；试求：（1）市场达到均衡时，消费者剩余是多少？（2）如果政府对这种商品每单位征收1.00元销售税，政府的税收收入是多少？（3）在这1.00元的税收中，消费者和生产者各负担多少？3．给定规模收益不变的生产函数βαK AL Q =，根据边际生产力分配理论证明：α为生产要素L 的收入在总产值中所占的份额，β为生产要素K 的收入在总产值中所占的份额。

四、分析题（每题20分，共40分）1．中国人民银行决定，从2004年10月29日起上调金融机构存贷款基准利率，将一年期存款基准利率和贷款基准利率均上调0.27个百分点，分别由现行的1.98%和5.31%提高到2.25%和5.58%，以便抑制某些部门投资过热的现象，并进一步发挥经济手段在资源配置和宏观调控中的作用。

2005年考研数学三真题及解析

2005年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2+∞→x xx x =.（2）微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______.（3）设二元函数)1ln()1(y x xez yx +++=+，则=)0,1(dz________.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=_____.（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y,则}2{=Y P =______.（6）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为X Y 0100.4a 1b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a=，b=.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点.(A) 2.(B) 4.(C) 6.(D)8.[]（8）设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y x I D⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则(A)123I I I >>.（B ）321I I I >>.(C)312I I I >>.(D)213I I I >>.[]（9）设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞=1n na发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是(A)∑∞=-112n n a收敛，∑∞=12n na发散.（B ）∑∞=12n na收敛，∑∞=-112n n a发散.(C))(1212∑∞=-+n n n a a收敛.(D))(1212∑∞=--n n n a a收敛.[]（10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是(A)f(0)是极大值，)2(πf 是极小值.（B ）f(0)是极小值，2(πf 是极大值.（C ）f(0)是极大值，)2(πf 也是极大值.(D)f(0)是极小值，)2(πf 也是极小值.[]（11）以下四个命题中，正确的是(A)若)(x f '在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（B ）若)(x f 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（C ）若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D)若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界.[]（12）设矩阵A=33)(⨯ij a 满足TA A =*，其中*A 是A 的伴随矩阵，TA 为A 的转置矩阵.若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为(A)33.(B) 3.(C)31.(D)3.[]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01=λ.(B)02=λ.(C)01≠λ.(D)02≠λ.[]（14）设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知.现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为0.90的置信区间是(A))).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-(B))).16(4120),16(4120(1.01.0t t +-(C))).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D))).15(4120),15(4120(1.01.0t t +-[]三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分）求111(lim 0x ex xx --+-→（16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222y g y x g x ∂∂-∂∂（17）（本题满分9分）计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（18）（本题满分9分）求幂级数∑∞=-+12)1121(n n x n 在区间(-1,1)内的和函数S(x).（19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,0)(≥'x f ,0)(≥'x g .证明：对任何a ]1,0[∈,有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组（i ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x 和（ii ）⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a,b,c 的值.（21）（本题满分13分）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B C C AD T 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵.(I)计算DP P T，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n m E oC A E P 1；（II ）利用(I)的结果判断矩阵C A C B T1--是否为正定矩阵，并证明你的结论.（22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ）(X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（II ）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z (III )}.2121{≤≤X Y P （23）（本题满分13分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ）i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =；（II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov （III ）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c.2005年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2+∞→x xx x =2.【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】12sinlim 2+∞→x x x x =.212lim 2=+∞→x xx x （2）微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为2=xy .【分析】直接积分即可.【详解】原方程可化为0)(='xy ，积分得C xy =，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2.（3）设二元函数)1ln()1(y x xez yx +++=+，则=)0,1(dzdy e edx )2(2++.【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可.【详解】)1ln(y xe e xzy x y x +++=∂∂++,yx xe y z y x +++=∂∂+11,于是=)0,1(dzdy e edx )2(2++.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=21.【分析】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.【详解】由题设，有=1234123121112a a a 0)12)(1(=--a a ,得21,1==a a ，但题设1≠a ，故.21=a （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y,则}2{=Y P =4813.【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】}2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P+}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =.4813)4131210(41=+++⨯（6）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为X Y 0100.4a 1b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a=0.4,b=0.1.【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】由题设，知a+b=0.5又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ，即a=))(4.0(b a a ++,由此可解得a=0.4,b=0.1二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点.(A) 2.(B) 4.(C) 6.(D)8.[B ]【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】12186)(2+-='x x x f =)2)(1(6--x x ，知可能极值点为x=1,x=2，且a f a f -=-=4)2(,5)1(，可见当a=4时，函数f(x)恰好有两个零点，故应选(B).（8）设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y x I D⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则(A)123I I I >>.（B ）321I I I >>.(C)312I I I >>.(D)213I I I >>.[A ]【分析】关键在于比较22y x +、22y x +与222)(y x +在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上的大小.【详解】在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上，有1022≤+≤y x ，从而有2212y x +≥>π≥22y x +≥0)(222≥+y x由于cosx 在)2,0(π上为单调减函数，于是22cos 0y x +≤)cos(22y x +≤≤222)cos(y x +因此<+⎰⎰σd y x D22cos <+⎰⎰σd y x D)cos(22σd y x D⎰⎰+222)cos(，故应选(A).（9）设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞=1n n a 发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是(A)∑∞=-112n n a收敛，∑∞=12n na发散.（B ）∑∞=12n na收敛，∑∞=-112n n a发散.(C))(1212∑∞=-+n n n a a收敛.(D))(1212∑∞=--n n n a a收敛.[D ]【分析】可通过反例用排除法找到正确答案.【详解】取n a n 1=，则∑∞=1n n a 发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，但∑∞=-112n n a与∑∞=12n na均发散，排除(A),(B)选项，且)(1212∑∞=-+n n n a a发散，进一步排除(C),故应选(D).事实上，级数)(1212∑∞=--n n n a a的部分和数列极限存在.（10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是(B)f(0)是极大值，)2(πf 是极小值.（B ）f(0)是极小值，2(πf 是极大值.（C ）f(0)是极大值，)2(πf 也是极大值.(D)f(0)是极小值，)2(πf 也是极小值.[B]【分析】先求出)(),(x f x f '''，再用取极值的充分条件判断即可.【详解】x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，显然0)2(,0)0(='='πf f ，又x x x x f sin cos )(-=''，且022(,01)0(<-=''>=''ππf f ，故f(0)是极小值，2(πf 是极大值，应选(B).（11）以下四个命题中，正确的是(A)若)(x f '在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（B ）若)(x f 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（C ）若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D)若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界.[C]【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可.【详解】设f(x)=x 1,则f(x)及21)(xx f -='均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B);又x x f =)(在（0，1）内有界，但xx f 21)(='在（0，1）内无界，排除(D).故应选(C).（12）设矩阵A=33)(⨯ij a 满足TA A =*，其中*A 是A 的伴随矩阵，TA 为A 的转置矩阵.若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为(A)33.(B) 3.(C)31.(D)3.[A ]【分析】题设与A 的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：.**E A A A AA ==.【详解】由TA A =*及E A A A AA ==**，有3,2,1,,==j i A a ij ij ，其中ij A 为ij a 的代数余子式，且032=⇒=⇒=A A AE A AA T或1=A 而03211131312121111≠=++=a A a A a A a A ，于是1=A ，且.3311=a 故正确选项为(A).（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01=λ.(B)02=λ.(C)01≠λ.(D)02≠λ.[D ]【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ，0)(2221121=++αλαλk k k .由于21,αα线性无关，于是有⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k 当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二：由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(D).（14）设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知.现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为0.90的置信区间是(A))).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-(B))).16(4120),16(4120(1.01.0t t +-(C))).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D))).15(4120),15(4120(1.01.0t t +-[C]【分析】总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：).1(~--n t ns x μ【详解】由正态总体抽样分布的性质知，)1(~--n t ns x μ，故μ的置信度为0.90的置信区间是))1(1),1(1(22-+--n t n x n t nx αα，即)).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-故应选(C).三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分）求111(lim 0xe x x x --+-→【分析】""∞-∞型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】)1(1lim 111(lim 200x xx x x e x e x x x e x --→-→-+-+=--+=2201lim x e x x xx -→+-+=x e x x x 221lim 0-→-+=.2322lim 0=+-→x x e （16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222yg y x g x ∂∂-∂∂【分析】先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.【详解】由已知条件可得()(2y x f x y f xy x g '+'-=∂∂，)(1)((242322y xf y y x f x y x y f x y xg ''+''+'=∂∂，)()((1yxf y x y x f x y f x yg '-+'=∂∂，)((((13222222y xf yx y x f y x y x f y x x y f x y g ''+'+'-''=∂∂，所以222222y g y x g x ∂∂-∂∂=()()(2222y x f y x y x f x y x y f x y ''+''+')()(222y x f y x x y f xy ''-''-=).(2xy f x y '（17）（本题满分9分）计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .【分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】记}),(,1),{(221D y x y x y x D ∈≤+=，}),(,1),{(222D y x y x y x D ∈>+=，于是σd y xD⎰⎰-+122=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ⎰⎰-++2)1(22D dxdyy x =⎰⎰--2021)1(πθrdr r d ⎰⎰-++Ddxdy y x )1(22⎰⎰-+-1)1(22D dxdyy x =8π+⎰⎰⎰⎰---+20102210210)1()1(πθrdr r d dy y x dx =.314-π（18）（本题满分9分）求幂级数∑∞=-+12)1121(n n x n 在区间(-1,1)内的和函数S(x).【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的.【详解】设∑∞=-+=12)1121()(n n x n x S ，∑∞=+=121121)(n n x n x S ，∑∞==122)(n n x x S ，则)()()(21x S x S x S -=，).1,1(-∈x 由于∑∞==122)(n n x x S =221x x -，)1,1(,1))((22121-∈-=='∑∞=x x x xx xS n n ,因此⎰-++-=-=x xx x dt t t x xS 022111ln 211)(，又由于0)0(1=S ，故.0,1,0,11ln 211)(1=<⎪⎩⎪⎨⎧-++-=x x x x x x S 所以)()()(21x S x S x S -=.0,1,0,1111ln 212=<⎪⎩⎪⎨⎧---+=x x x x x x （19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,0)(≥'x f ,0)(≥'x g .证明：对任何a ]1,0[∈,有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 010).1()()()()()(【分析】可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.【详解】方法一：设=)(x F ⎰⎰-'+'xg x f dt t g t f dt t f t g 010)1()()()()()(，则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且=')(x F )]1()()[()1()()()(g x g x f g x f x f x g -'='-'，由于]1,0[∈x 时，0)(,0)(≥'≥'x g x f ，因此0)(≤'x F ，即F(x)在[0，1]上单调递减.注意到=)1(F ⎰⎰-'+'1010)1()1()()()()(g f dt t g t f dt t f t g ，而⎰⎰⎰'-=='10101010)()()()()()()()(dtt g t f t f t g t df t g dt t f t g =⎰'-10)()()1()1(dt t g t f g f ，故F(1)=0.因此]1,0[∈x 时，0)(≥x F ，由此可得对任何]1,0[∈a ，有⎰⎰≥'+'a g a f dx x g x f dx x f x g 010).1()()()()()(方法二：⎰⎰'-='a aa dxx g x f x f x g dx x f x g 000)()()()()()(=⎰'-adx x g x f a g a f 0)()()()(，⎰⎰'+'adxx g x f dx x f x g 010)()()()(=⎰⎰'+'-100)()()()()()(dxx g x f dx x g x f a g a f a ⎰'+1.)()()()(a dx x g x f a g a f 由于]1,0[∈x 时，0)(≥'x g ，因此)()()()(x g a f x g x f '≥'，]1,[a x ∈，⎰⎰-='≥'1010)]()1()[()()()()(a g g a f dx x g a f dx x g x f ，从而⎰⎰'+'adxx g x f dx x f x g 010)()()()().1()()]()1()[()()(g a f a g g a f a g a f =-+≥（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组（i ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x 和（ii ）⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a,b,c 的值.【分析】方程组（ii ）显然有无穷多解，于是方程组（i ）也有无穷多解，从而可确定a ，这样先求出（i ）的通解，再代入方程组（ii ）确定b,c 即可.【详解】方程组（ii ）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii ）有无穷多解.因为方程组（i ）与（ii ）同解，所以方程组（i ）的系数矩阵的秩小于3.对方程组（i ）的系数矩阵施以初等行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡20011010111532321a a ，从而a=2.此时，方程组（i ）的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000110101211532321，故T)1,1,1(--是方程组（i ）的一个基础解系.将1,1,1321=-=-=x x x 代入方程组（ii ）可得2,1==c b 或.1,0==c b 当2,1==c b 时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡110101312211，显然此时方程组（i ）与（ii ）同解.当1,0==c b 时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡000101202101，显然此时方程组（i ）与（ii ）的解不相同.综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i ）与（ii ）同解.（21）（本题满分13分）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B CC AD T 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵.(I)计算DP P T ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n m E o C A E P 1；（II ）利用(I)的结果判断矩阵C A C B T 1--是否为正定矩阵，并证明你的结论.【分析】第一部分直接利用分块矩阵的乘法即可；第二部分是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义.【详解】(I)因⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n T mT E A C o E P 1，有DP P T =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n T m E A C o E 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C C A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n m E oC A E 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C A C B o C A T 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n m E oC A E 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C A C B o o A T 1.（II ）矩阵C A C B T 1--是正定矩阵.由(I)的结果可知，矩阵D 合同于矩阵.1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-C A C B o o A M T 又D 为正定矩阵，可知矩阵M 为正定矩阵.因矩阵M 为对称矩阵，故C A C B T 1--为对称矩阵.对T X )0,,0,0( =及任意的0),,,(21≠=T n y y y Y ，有.0)(),(11>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---Y C A C B Y Y X C A C B o o A Y X T T T T T 故C A C B T 1--为正定矩阵.（22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ）(X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（II ）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z (III )}.2121{≤≤X Y P 【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度;直接用条件概率公式计算即可.【详解】（I ）关于X 的边缘概率密度)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(=.,10,0,20其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰x dy x=.,10,0,2其他<<⎩⎨⎧x x 关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =⎰+∞∞-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰y dx y =.,20,0,21其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-y y （II ）令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=，1）当0<z 时，0}2{)(=≤-=z Y X P z F Z ；2）当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z ≤-==241z z -;3)当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z 即分布函数为：.2,20,0,1,41,0)(2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z z z z F Z 故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z f Z （III ）.4341163}21{}21,21{}2121{==≤≤≤=≤≤X P Y X P X Y P （23）（本题满分13分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ）i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =；（II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov （III ）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c.【分析】先将i Y 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；估计21)(n Y Y c +，利用其数学期望等于2σ确定c 即可.【详解】由题设，知)2(,,,21>n X X X n 相互独立，且),,2,1(,02n i DX EX i i ===σ，.0=X E （I ）∑≠--=-=nij j i i i Xn X n D X X D DY ]1)11[()(=∑≠+-n i j ji DXn DX n 221)11(=.1)1(1)1(222222σσσn n n n n n -=-⋅+-（II ）)])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --==)][()(11X X X X E Y Y E n n --==)(211X X X X X X X E n n +--=211(2)(X E X X E X X E n +-=22121)(][20X E X D X X X E n n j j +++-∑==.112222σσσn n n -=+-（III ）)(])([121n n Y Y cD Y Y c E +=+=)],(2[121n Y Y Cov DY DY c ++=222)2(2]211[σσσ=-=--+-c n n n n n n n c ，故.)2(2-=n nc。

AP微积分AB 2005 真题解答

AP® Calculus AB2005 Scoring GuidelinesThe College Board: Connecting Students to College SuccessThe College Board is a not-for-profit membership association whose mission is to connect students to college success and opportunity. Founded in 1900, the association is composed of more than 4,700 schools, colleges, universities, and other educational organizations. Each year, the College Board serves over three and a half million students and their parents, 23,000 high schools, and 3,500 colleges through major programs and services in college admissions, guidance, assessment, financial aid, enrollment, and teaching and learning. Among its best-known programs are the SAT®, the PSAT/NMSQT®, and the Advanced Placement Program® (AP®). The College Board is committed to the principles of excellence and equity, and that commitment is embodied in all of its programs, services, activities, and concerns.Copyright © 2005 by College Board. All rights reserved. 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Permission to use copyrighted College Board materials may be requested online at: /inquiry/cbpermit.html.Visit the College Board on the Web: .AP Central is the official online home for the AP Program and Pre-AP: .Question 1Let f and g be the functions given by ()()1sin 4f x x π=+ and ()4.x g x −= Let R be the shaded region in the first quadrant enclosed by the y -axis and the graphs of f and g , and let S be the shaded region in the first quadrant enclosed by the graphs of f and g , as shown in the figure above.(a) Find the area of R . (b) Find the area of S .(c) Find the volume of the solid generated when S is revolved about the horizontalline 1.y =−The tide removes sand from Sandy Point Beach at a rate modeled by the function R, given by()(425sin.25t R t π=+A pumping station adds sand to the beach at a rate modeled by the function S, given by()15.13t S t t=+ Both ()R t and ()S t have units of cubic yards per hour and t is measured in hours for 0 6.t ≤≤ At time 0,t = the beach contains 2500 cubic yards of sand.(a) How much sand will the tide remove from the beach during this 6-hour period? Indicate units of measure. (b) Write an expression for (),Y t the total number of cubic yards of sand on the beach at time t .(c) Find the rate at which the total amount of sand on the beach is changing at time 4.t =(d) For 06,t ≤≤ at what time t is the amount of sand on the beach a minimum? What is the minimum value?Justify your answers.Distance x (cm) 0 1 5 6 8 Temperature ()T x ()C °100 93 706255A metal wire of length 8 centimeters (cm) is heated at one end. The table above gives selected values of the temperature (),T x in degrees Celsius ()C ,° of the wire x cm from the heated end. The function T is decreasing and twice differentiable. (a) Estimate ()7.T ′ Show the work that leads to your answer. Indicate units of measure. (b) Write an integral expression in terms of ()T x for the average temperature of the wire. Estimate the average temperatureof the wire using a trapezoidal sum with the four subintervals indicated by the data in the table. Indicate units of measure. (c) Find ()8,T x dx ′∫ and indicate units of measure. Explain the meaning of ()8T x dx ′∫ in terms of the temperature of thewire.(d) Are the data in the table consistent with the assertion that ()0T x ′′> for every x in the interval 08?x << Explainyour answer.Question 4x 0 01x << 1 12x << 2 23x << 3 34x << ()f x –1 Negative 0 Positive 2 Positive 0 Negative ()f x ′ 4 Positive 0 Positive DNE Negative –3 Negative ()f x ′′–2 Negative 0 Positive DNE Negative 0 PositiveLet f be a function that is continuous on the interval [)0,4. The function f is twice differentiable except at 2.x = Thefunction f and its derivatives have the properties indicated in the table above, where DNE indicates that the derivatives of f do not exist at 2.x = (a) For 04,x << find all values of x at which f has a relative extremum. Determine whether f has a relative maximumor a relative minimum at each of these values. Justify your answer.(b) On the axes provided, sketch the graph of a function that has all the characteristics of f .(Note: Use the axes provided in the pink test booklet.)(c) Let g be the function defined by ()()1xg x f t dt =∫ on the open interval ()0,4. For04,x << find all values of x at which g has a relative extremum. Determine whether g has arelative maximum or a relative minimum at each of these values. Justify your answer.(d) For the function g defined in part (c), find all values of x , for 04,x << at which the graph of g has a point ofinflection. Justify your answer.(a) fhas a relative maximum at 2x = because f ′ changes frompositive to negative at 2.x = 2 :{1 : relative extremum at 21 : relative maximum with justificationx =(b)2 : () 1 : points at 0,1,2,3 and behavior at 2,21 : appropriate increasing/decreasing and concavity behavior x =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(c) ()()0g x f x ==′ at 1,3.x =g ′ changes from negative to positive at 1x = so g has a relativeminimum at 1.x = g ′ changes from positive to negative at 3x = so g has a relative maximum at 3.x = 3 : ()() 1 : 1 : critical points 1 : answer with justificationg x f x ′=⎧⎪⎨⎪⎩ (d) The graph of g has a point of inflection at 2x = because g f ′′′=changes sign at 2.x =2 :{1 : 21 : answer with justificationx =Question 5A car is traveling on a straight road. For 024t ≤≤ seconds, the car’s velocity (),v t in meters per second, is modeled by the piecewise-linear function defined by the graph above.(a) Find ()240.v t dt ∫Using correct units, explain the meaning of ()240.v t dt ∫(b) For each of ()4v ′ and ()20,v ′ find the value or explain why it does notexist. Indicate units of measure.(c) Let ()a t be the car’s acceleration at time t , in meters per second per second. For 024,t << write apiecewise-defined function for ().a t (d) Find the average rate of change of v over the interval 820.t ≤≤ Does the Mean Value Theorem guaranteea value of c , for 820,c << such that ()v c ′ is equal to this average rate of change? Why or why not?Question 6Consider the differential equation2.dy x dx y=− (a) On the axes provided, sketch a slope field for the given differential equation at thetwelve points indicated.(Note: Use the axes provided in the pink test booklet.) (b) Let ()y f x = be the particular solution to the differential equation with the initialcondition ()1 1.f =− Write an equation for the line tangent to the graph of f at ()1,1− and use it to approximate ()1.1.f (c) Find the particular solution ()y f x = to the given differential equation with the initialcondition ()1 1.f =−The line tangent to f at ()1,1− is 1y +=()1.1 is approximately 0.8.− 2x −。

2005年考研数学一试题及完全解析（Word版）

2005年考研数学一试题及完全解析（Word版）2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________.(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(nu=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n n n x x f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ?表示"M 的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ?是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ?是偶函数(C)()F x 是周期函数()f x ?是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ?是单调函数(9)设函数?+-+-++=yx y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψ??, 其中函数?具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有(A)2222y ux u ??-=??(B)2222yu x u ??=??(C)222yu y x u ??=(D)222xuy x u ??= (10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y = (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ (B)02≠λ (C)01=λ (D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B(C)交换*A 的第1列与第2列得*-B (D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b == (D)0.1,0.4ab ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n (B)22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SXn (D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分)设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分??++Ddxdy y x xy .]1[22(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明:(1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f (19)(本题满分12分)设函数)(y ?具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx y φ++?的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx y φ+=+?.(2)求函数)(y ?的表达式. (20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ??=??B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解. (22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =101,02x y x <<<<其它求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X . (2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z (23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2005年考研数学一真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 .4121-=x y【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=212lim )(lim22=+=∞→∞→x x x x x f x x ， []41)12(2lim)(lim -=+-=-=∞→∞→x x ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.4121-=x y （2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：+??=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为x y xy ln 2=+'，于是通解为 ??+?=+=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx =2191ln 31x C x x x +-，由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=（3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{31=n ，则)3,2,1(nu=33. 【分析】函数u(x,y,z)沿单位向量γβαcos ,cos ,{cos =n}的方向导数为：γβαcos cos cos zu y u x u n u ??+??+??=?? 因此，本题直接用上述公式即可.【详解】因为3x x u =??，6y y u =??，9zz u =??，于是所求方向导数为)3,2,1(nu ??=.33313131313131=?+?+? （4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则??∑=++zdxdy ydzdx xdydz 3)221(2R -π. 【分析】本题∑是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】∑=++zdxdy ydzdx xdydz Ωdxdydz 3=.)221(2sin 3320402R d d d R-=πππθ??ρρ （5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B 2 .【分析】将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=941321111),,(321ααα，于是有 .221941321111=?=?=A B（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =4813. 【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 }2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P +}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =.4813)4131210(41=+++? 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】当1→n nn xx f ；当1=x 时，111lim )(=+=∞→n n x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x xx x f nnn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<??-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ A ] 【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为?+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-?-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则?xdt t f 0)(为偶函数，从而?+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A).（9）设函数?+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψ??, 其中函数?具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ??-=??. （B ） 2222yu x u ??=??.(C) 222yuy x u ??=. (D)222x u y x u ??=. [ B ] 【分析】先分别求出22x u ??、22y u、y x u 2，再比较答案即可.【详解】因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=??ψψ??，)()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=??ψψ??，于是 )()()()(22y x y x y x y x x u-'-+'+-''++''=??ψψ??，)()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=ψψ??， )()()()(22y x y x y x y x yu-'-+'+-''++''=??ψψ??，可见有2222yu x u ??=??，应选(B). （10）设有三元方程1ln =+-xzey z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ D ]【分析】本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=1ln -+-xz ey z xy , 分别求出三个偏导数y x z F F F ,,，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.【详解】令F(x,y,z)=1ln -+-xzey z xy , 则z e y F xzx +='， yz x F y -='，x e y F xzz +-='ln ，且 2)1,1,0(='x F ，1)1,1,0(-='y F ，0)1,1,0(='z F . 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).（11）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ B ] 【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】方法一：令0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ，0)(2221121=++αλαλk k k . 由于21,αα线性无关，于是有 ??==+.0,022121λλk k k当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二：由于 ?=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).（12）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [C ]【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 B A E =12，于是 12*11212*12***12*)(E A E E A E A A E B -=?===-，即*12*B E A -=,可见应选(C).（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ B ] 【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】由题设，知 a+b=0.5又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ，即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).（14）设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则(A) )1,0(~N X n (B) ).(~22n nS χ(C) )1(~)1(--n t S Xn (D) ).1,1(~)1(2221--∑=n F X X n n i i[ D ] 【分析】利用正态总体抽样分布的性质和2χ分布、t 分布及F 分布的定义进行讨论即可.【详解】由正态总体抽样分布的性质知，)1,0(~10N X n nX =-，可排除(A); 又)1(~0-=-n t SX n nS X ，可排除(C); 而)1(~)1(1)1(2222--=-n S n S n χ，不能断定(B)是正确选项.因为∑=-n i in X X222221)1(~),1(~χχ，且∑=-ni i n X X 222221)1(~)1(~χχ与相互独立，于是).1,1(~)1(1122212221--=-∑∑==n F XX n n XX ni ini i故应选(D).三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设}0,0,2),{(2 2≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分++Ddxdy y x xy .]1[22 【分析】首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】令}0,0,10),{(221≥≥<+≤=y x y x y x D ，}0,0,21),{(222≥≥≤+≤=y x y x y x D .则++Ddxdy y xxy ]1[22=+122D D xydxdy xydxdydr r d dr r d+=202131320cos sin 2cos sin ππθθθθθθ=.834381=+ （16）（本题满分12分）求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数f(x).【分析】先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到.【详解】因为11)12()12()12)(1(1)12)(1(lim=+--?+++++∞→n n n n n n n n n ，所以当21x <时，原级数绝对收敛，当21x >时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）记 121(1)(),(1,1)2(21)n nn S x x x n n-∞=-=∈--∑，则 1211(1)(),(1,1)21n n n S x x x n -∞-=-'=∈--∑， 122211()(1),(1,1)1n n n S x x x x ∞--=''=-=∈-+∑. 由于 (0)0,(0)S S '==所以 201()()arctan ,1xxS x S t dt dt x t '''===+?2001()()arctan arctan ln(1).2xx S x S t dt tdt x x x '===-+?又21221(1),(1,1),1n nn x xx x∞-=-=∈-+∑ 从而 22()2()1x f x S x x=++2222arctan ln(1),(1,1).1x x x x x x =-++∈-+（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分'''+32.)()(dx x f x x【分析】题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】由题设图形知，f(0)=0, 2)0(='f ; f(3)=2, .0)3(,2)3(=''-='f f 由分部积分，知+''-''+=''+='''+330302232)12)(()()()()()()(dx x x f x f x x x f d x x dx x f x x=dx x f x f x x f d x ??'+'+-='+-33030)(2)()12()()12(=.20)]0()3([216=-+f f（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】（I ）令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,应用零点定理，存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .（II ）在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-?-=--?=''ξξξξξξξξζηf f f f （19）（本题满分12分）设函数)(y ?具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分++Lyx xydydx y 4222)(?的值恒为同一常数.（I ）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++?Cy x x y d ydx y ?；（II ）求函数)(y ?的表达式.【分析】证明（I ）的关键是如何将封闭曲线C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C 进行分解讨论；而（II ）中求)(y ?的表达式，显然应用积分与路径无关即可.【详解】（I ）如图，将C 分解为：21l l C +=，另作一条曲线l=++?Cyx x y d ydx y 4222)(?-++?+314222)(l l yx x y d ydx y ?022)(3242=++?+l l yx x y d ydx y ?.（II ）设2424()2,22y xyP Q x yx y ?==++，,P Q 在单连通区域0x >内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分24()22Ly dx xydyx y++?在该区域内与路径无关，故当0x >时，总有Q Px y=??. 24252422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ?+--+==?++ ①243243242242()(2)4()2()()4().(2)(2)P y x y y y x y y y y y y x y x y '''?+-+-==?++ ② 比较①、②两式的右端，得435()2,()4()2.y y y y y y y '=-??'-=? 由③得2()y y c ?=-+，将()y ?代入④得 535242,y cy y -= 所以0c =，从而2().y y ?=-（20）（本题满分9分）已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ）求a 的值；（II ）求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形；（III ）求方程),,(321x x x f =0的解.【分析】（I ）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a 的值；（II ）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换；（III ）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.【详解】（I ）二次型对应矩阵为-++-=200011011a a a a A ，由二次型的秩为2，知 020011011=-++-=aa a a A ，得a=0. （II ）这里=200011011A ，可求出其特征值为0,2321===λλλ. 解 0)2(=-x A E ，得特征向量为：=????? ??=100,01121αα，解 0)0(=-x A E ，得特征向量为：.0113-=α由于21,αα已经正交，直接将21,αα，3α单位化，得：③ ④-=????? ??=????? ??=01121,100,01121321ηηη令[]321ααα=Q ，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy ，可化原二次型为标准形：),,(321x x x f =.222221y y +（III ）由),,(321x x x f ==+222122y y 0，得k y y y ===321,0,0（k 为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=[]-==0003321c c k k ηηηη，其中c 为任意常数. （21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解】由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(≤+B r A r（1）若k 9≠, 则r(B)=2, 于是r(A)1≤, 显然r(A)1≥, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：2121,,63321k k k k k x+????? ??=为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而.2)(1≤≤A r1）若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：11,321k k x=为任意常数.2）若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：0321=++cx bx ax ,不妨设0≠a ,则其通解为2121,,1001k k a c k a b k x-+??????? ??-=为任意常数.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<?=求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（II ）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】（I ）关于X 的边缘概率密度)(x f X =?+∞∞-dy y x f ),(=.,10,0,20其他<=.,10,0,2其他<<?x x关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =?+∞∞-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<=.,20,0,21其他<2）当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z ≤-= =241z z -; 3) 当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z即分布函数为： .2,20,0,1,41,0)(2≥<≤故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他<设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，记。

考研数学二(多元函数微积分学)模拟试卷5(题后含答案及解析)

考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续．②f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数连续．③f(x，y)在点(x0，y0)处可微．④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“”表示可由性质P推出性质Q，则有( )A．B．C．D．正确答案：A解析：根据二元函数的连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系，由于“偏导数连续必可微”，而“可微必连续”，故应选(A)．知识模块：多元函数微积分学2．二元函数f(x，y)=在(0，0)处( )A．连续，偏导数存在．B．连续，偏导数不存在．C．不连续，偏导数存在．D．不连续，偏导数不存在．正确答案：C解析：由偏导数的定义知fx’(0，0)=同理fy’(0，0)=0，故f(x，y)在(0，0)处偏导数存在．又当(x，y)沿y=kx趋向(0，0)点时，k取不同值，该极限值也不同，所以极限不存在，即f(x，y)在(0，0)处不连续．知识模块：多元函数微积分学3．设函数f(x，y)=|x-y|g(x，y)，其中g(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且g(0，0)=0，则在点(0，0)处( )A．fx’(0，0)与fy’(0，0)都不存在．B．fx’(0，0)与fy’(0，0)都存在，但都不为0．C．fx’(0，0)=0，fy’(0，0)=0，但f(x，y)不可微．D．f(x，y)可微，且df(x，y)|(0,0)=0．正确答案：D解析：即fx’(0，0)=0．同理fy’(0，0)=0，排除(A)，(B)．△f=f(0+△x，0+△y)-f(0，0)=|△x一△y|g(△x，△y)，△f-[fx(0，0)△x+fy’(0，0)△y]=|△x 一△y|g(△x，△y)，可知f(x，y)在(0，0)点可微，故应选(D)．知识模块：多元函数微积分学4．设u=u(x，y)为二元可微函数，且满足，则当x≠0时，=( )A．一1．B．C．1．D．正确答案：B 涉及知识点：多元函数微积分学5．已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且，则( )A．点(0，0)不是函数f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是函数f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是函数f(x，y)的极小值点．D．根据条件无法判别点(0，0)是否为函数f(x，y)的极值点．正确答案：A解析：又因为f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，由极限与无穷小的关系知f(x，y)=xy+(x2+y2)2+α(x2+y2)，其中当xy≠0时，显然f(x，y)=xy+o(xy)，当xy＞0时，f(x，y)-f(0，0)=xy+o(xy)＞0，当xy＜0时，f(x，y)-f(0，0)=xy+o(xy)＜0，故由极值的定义知点(0，0)不是函数f(x，y)的极值点，应选(A)．知识模块：多元函数微积分学6．设函数f(x)具有二阶连续的导数，且f(x)＞0，f’(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极大值的一个充分条件是( )A．f(0)＞1，f”(0)＞0．B．f(0)＞1，f”(0)＜0．C．f(0)＜1，f”(0)＞0．D．f(0)＜1，f”(0)＜0．正确答案：B解析：因为函数f(x)具有二阶连续的导数，且在点(0，0)处取得极大值，所以(0，0)是z=f(x)lnf(y)的驻点．又因此在(0，0)处，A=f”(0)lnf(0)，B=0，C=f”(0)．由于函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极大值，故应有A＜0，C ＜0，即f(0)＞1，f”(0)＜0，应选(B)．知识模块：多元函数微积分学7．设u(x，y)在平面有界闭区域D上是C(2)类函数，且满足则u(x，y)的( ) A．最大值点和最小值点必定都在D的内部．B．最大值点和最小值点必定都在D的边界上．C．最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上．D．最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上．正确答案：B解析：先考虑平面有界闭区域D的内部：由条件A+C=知A，C异号，又所以AC—B2＜0，因此由函数取极值的充分条件知u(x，y)在D的内部没有极值点．因为u(x，y)在有界闭区域D上连续，必有最大值和最小值，而在D的内部没有极值点，所以u(x，y)的最大值点和最小值点一定都在D的边界上，故应选(B)．知识模块：多元函数微积分学填空题8．设函数f，g均可微，z=f(xy，ln x+g(xy))，则正确答案：f2’．解析：由复合函数的求导法则，知识模块：多元函数微积分学9．设z=z(x，y)由方程z=e2x-3z+2y确定，则正确答案：2解析：在给定方程的两边分别对x求偏导数，并注意到z是x，y的二元函数，知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。