2017-2018学年度浙教版八年级数学下册《一元二次方程根与系数的关系》单元考点练习及答案解析四精品试卷

合集下载

浙教版数学八年级下册2.4 一元二次方程根与系数的关系

2.4 一元二次方程根与系数的关系综合练习一、填空题：1、如果关于的方程的两根之差为2，那么。

2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则。

3、已知关于的方程的两根为，且，则。

4、已知是方程的两个根，那么：；；。

5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则；。

6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是，的值为。

7、已知是的一根，则另一根为，的值为。

8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：。

二、求值题：1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。

6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。

三、能力提升题：1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？2、已知关于的一元二次方程（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。

（2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值。

3、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。

4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。

5、已知关于的一元二次方程（）的两实数根为，若，求的值。

6、实数、分别满足方程和，求代数式的值。

答案与提示一、填空题：1、提示：，，，∴，∴，解得：2、提示：，由韦达定理得：，，∴，解得：，代入检验，有意义，∴。

3、提示：由于韦达定理得：，，∵，∴，∴，解得：。

4、提示：由韦达定理得：，，；；由，可判定方程的两根异号。

有两种情况：①设＞0，＜0，则；②设＜0，＞0，则。

5、提示：由韦达定理得：，，∵，∴，，∴，∴。

6、提示：设，由韦达定理得：，，∴，解得：，，即。

7、提示：设，由韦达定理得：，，∴，∴，∴8、提示：设所求的一元二次方程为，那么，，∴，即；；∴设所求的一元二次方程为：二、求值题：1、提示：由韦达定理得：，，∴2、提示：由韦达定理得：，，∴3、提示：由韦达定理得：，，∴4、提示：设这两个数为，于是有，，因此可看作方程的两根，即，，所以可得方程：，解得：，，所以所求的两个数分别是，。

新浙教版数学八年级下册《一元二次方程根与系数的关系》教案

则，．
Байду номын сангаас例题精讲
例求下列方程两根的和与两根的积：
（1）x2＋2x－5＝0；（2）2x2＋x＝1．
需要解方程吗？
尝试与交流
小明在一本课外读物中读到如下一段文字：
“一元二次方程x2－x＝0的两根是和 ”，
你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？
例题展示
例1设x1,x2是一元二次方程的两个根，求和的值.
2.4一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
1.了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用；
2.能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．
教学重难点
了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用．
能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．
教、学具
多媒体课件
学法指导
学生通过比较发现、讨论学习本课的内容
教师活动内容、方式
学生活动方式、内容
旁注
探索发现
观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？
x1
x2
1
2
－1
－2
2
3
－2
－3
0
3
解释规律
你能解释刚才的发现吗？
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），如果b2－4ac≥0，它的两个根分别是x1、x2．
总结发现
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），如果b2－4ac≥0，它的两个根分别是x1、x2．
解：
达标练习
课内练习1、2．
总结
1．一元二次方程根与系数的关系是什么？
2．应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把方程化成一般形式；

(新)浙教版八年级数学下册2.4 一元二次方程根与系数的关系习题(含答案)

2.4一元二次方程根与系数的关系一、选择题1.一元二次方程x2+4x−3=0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是()A.4B.−4C.3D.−32.已知一元二次方程x2+3x−4=0的两个根为x1，x2，则x1·x2的值是()A.4B.−4C.3D.−33.已知x1，x2是方程x2−x−3=0的两根，那么x21+x22的值是()A.1B.5C.7D.49 44.一元二次方程x2−3x−1=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值是()A.3B.−3C.−1D.15.设α，β是方程x2−2x−1=0的两根，则代数式α+β+αβ的值是()A.1B.−1C.3D.−36.已知α，β是一元二次方程x2−5x−2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为()A.−1B.9C.23D.277.已知一元二次方程x2−6x+c=0有一个根为2，则另一个根为()A.2B.3C.4D.88.已知m，n是关于x的一元二次方程x2−3x+a的两个根，若(m−1)(n−1)=−6．则a的值为()A.−10B.−4C.4D.109.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2−(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足x1+x2=m2，则m的值是()A.−1B.3C.3或−1D.−3或110.关于x的方程x2+|x|−a2=0的所有实数根之和等于()A.−1B.1C.0D.−a2二、填空题11.已知一元二次方程x2+2x−5=0的两根为x1，x2，则x1+x2=.12.已知x1，x2是方程2x2−3x=3的两个根，则x1x2+x2x1的值为．13.已知关于x的方程x2−6x+k=0的两个根分别是m，n，且3m+2n=20，则k的值为．14.如果一个矩形的长和宽是一元二次方程x2−10x+20=0的两个根，那么这个矩形的周长是．15.若方程2x2−3x−4=0的两根为x1，x2，则x1·x2=．16.若关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰好是它本身，则p的值是．17.已知x1，x2是方程x2−x−2013=0的两个实数根，则x31+2014x2−2013=．18.若两个不相等的实数m，n满足m2−2m−1=0，n2−2n−1=0，则m2+n2的值是．19.已知x1，x2是一元二次方程4x2−(3m−5)x−6m2=0的两个实数根，且x1x2=32，则m=．20.关于x 的二次方程mx 2−2(m −1)x −4=0(m =0)的两根一个比1大，另一个比1小，则m 的取值范围是．三、解答题21.已知关于x 的一元二次方程x 2−(k +1)x −6=0的一个根是2，求方程的另一根和k 的值．22.已知关于x 的一元二次方程x 2−(m −3)x −m 2=0．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根．(2)设这个方程的两个实数根分别为x 1，x 2，且|x 1|=|x 2|−2，求m 的值及方程的根．23.设x 1，x 2是方程2x 2−4mx +2m 2+3m −2=0的两个实数根，当m 为何值时，x 21+x 22有最小值?并求出这个最小值．24.已知一元二次方程ax 2−√2bx +c =0的两个根满足|x 1−x 2|=√2，且a ，b ，c 分别是△ABC 的∠A ，∠B ，∠C 的对边．若a =c ，求∠B 的度数．小敏解得此题的正确答案”∠B =120◦”后，思考以下问题，请你帮助解答．(1)若在原题中，将方程改为ax 2−√3bx +c =0，要得到∠B =120◦，而条件”a =c ”不变，那么应对条件中的|x 1−x 2|的值作怎样的改变?并说明理由．(2)若在原题中，将方程改为ax 2−√nbx +c =0(n 为正整数，n ⩾2)，要得到∠B =120◦，而条件”a =c”不变，那么条件中的|x 1−x 2|的值应改为多少（不必说明理由)?25.已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0．(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．(2)已知x 1，x 2是原方程的两个根，且|x 1−x 2|=2√2，求m 的值，并求出此时方程的根．2.4一元二次方程根与系数的关系—答案一、选择题12345678910D B C A A D C B B C9.由题意，得x 1+x 2=m 2=2m +3，∴m 2−2m −3=0，解得m 1=3，m 2=−1．∵∆=[−(2m +3)]2−4m 2=12m +9>0，∴m >−34．∴m 2=−1不合题意，舍去．∴m =3．二、填空题11.−212.−7213.−1614.2015.−216.±2解析：由题意，得x 1·x 2=1，且有一个实数根的倒数恰好是它本身，∴x 1=1，x 2=1或x 1=−1，x 2=−1.∴p =−(x 1+x 2)=±2．17.2014解析：因为x 1+x 2=1，x 1·x 2=−2013.所以x 2=1−x 1.所以x 1(1−x 1)=−2013.所以x 21=x 1+2013.所以x 31+2014x 2−2013=x 1(x 1+2013)+2014x 2−2013=x 21+2013x 1+2014x 2−2013=x 1+2013+2013x 1+2014x 2−20132014(x 1+x 2)=2014×1=2014.18.6．解析：由题意，知m ，n 是一元二次方程x 2−2x −1=0的两个根，∴m +n =2，mn =−1，∴m 2+n 2=(m +n )2−2mn=22−2×(−1)=4+2=6.19.1或5解析：由韦达定理知x 1+x 2=3m −54，x 1x 2=−32m 2．∵ x 1x 2=32，而由x 1x 2=−32m 2<0，知x 1，x 2异号．故x 1x 2=−32．令x 1=3k ，x 2=−2k ，则得3k +(−2k )=3m −54，(3k )(−2k )=−32m 2．从上面两式消去k 得，−6Ä3−5m 4ä2=−32m 2．即m 2−6m +5=0．解得m 1=1，m 2=5．20.m >0或m <−2解析：设方程有两个根为x 1，x 2，由韦达定理得x 1+x 2=2(m −1)m ，x 1·x 2=−4m．又由已知，有(x 1−1)(x 2−1)<0，即x 1x 2−(x 1+x 2)+1<0．故有−4m −2(m −1)m+1<0．∴2+m m>0，∴m >0或m <−2．三、解答题21.设方程的另一根为x 1，由韦达定理2x 1=−6，∴x 1=−3．由韦达定理−3+2=k +1，∴k =−2．22.(1)∵a =1，b =−(m −3)=3−m ，c =−m 2，∴∆=b 2−4ac =(3−m )2−4×(−m 2)=5Äm −35ä2=365>0，∴方程总有两个不相等的实数根．(2)∵x 1·x 2=ca=−m 2⩽0，∴x 1⩾0，x 2⩽0或x 1⩽0，x 2⩾0．∵|x 1|=|x 2|−2，∴|x 1|−|x 2|=−2．若x 1⩾0，x 2⩽0，则x 1+x 2=−2，∴x 1+x 2=m −3=−2，即m =1．方程可化为x 2+2x −1=0，解得x 1=−1+√2，x 2=−1−√2，∴x 1+x 2=m −3=2，即m =5．方程可化为x 2−2x −25=0，解得x 1=1−√26，x 2=1+√26．23.∵x 1，x 2是方程2x 2−4mx +2m 2+3m −2=0的两个实数根，∴x 1+x 2=2m ，x 1·x 2=2m 2+3m +22，∆=(−4m )2−4×2×(2m 2+3m −2)=16m 2−16m 2−24m +16⩾0，∴m ⩽23，x 21+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1·x 2=4m 2−(2m 2+3m −2)=2m 2−3m +2=2 Äm −34ä2 +78.当m ⩽23时，易知2 Äm −34ä2 随m 的增大而减少，∴当m =23时，x 21+x 22有最小值，最小值为89．24.(1)∵∠B =120◦，a =c ，∴b =√3a ，△=5a 2>0.又∵|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√3b 2a −4c a ∴|x 1−x 2|=√5．(2)|x 1−x 2|=√3n −4.25.(1)∵∆=(m +3)2−4(m +1)=m 2+6m +9−4m −4=m 2+2m +5=(m +1)2+4⩾4>0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．(2)∵x 1，x 2是原方程的两个根，∴x 1+x 2=−(m +3)，x 1x 2=m +1．∵|x 1−x 2|=2√2，∴(x 1−x 2)2=8，∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2=8，∴[−(m +3)]2−4(m +1)=8，整理，得m 2+2m −3=0，解得m 1=−3，m 2=1．当m =−3时，x 2−2=0，解得x 1=√2，x 2=−√2；当m =1时，x 2+4x +2=0，解得x 1=−2+√2，x 2=−2−√2．。

浙教版数学八年级下册2.4《一元二次方程根与系数的关系》教案

浙教版数学八年级下册2.4《一元二次方程根与系数的关系》教案一. 教材分析《一元二次方程根与系数的关系》是浙教版数学八年级下册第2.4节的内容。

本节主要让学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，并能运用这一关系解决一些实际问题。

教材通过引入二次方程的求根公式，引导学生探究根与系数之间的关系，进而得出结论。

本节内容是学生学习二次方程的重要基础，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了二次方程的求解方法，对二次方程有一定的了解。

但学生对于根与系数之间的关系可能存在一定的困惑，需要通过实例和引导来帮助他们理解和掌握。

同时，学生对于数学概念的理解和证明能力还有待提高，需要教师在教学中给予充分的引导和帮助。

三. 教学目标1.了解一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.能运用根与系数的关系解决一些实际问题。

3.培养学生的数学思维和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.教学难点：理解和证明根与系数之间的关系。

五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生自主探究根与系数之间的关系。

2.实例法：通过具体的例子，让学生理解和掌握根与系数之间的关系。

3.讨论法：让学生分组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次方程的求根公式和根与系数之间的关系。

2.实例：准备一些具体的例子，用于引导学生探究和证明根与系数之间的关系。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示二次方程的求根公式，引导学生回顾二次方程的解法。

然后提出问题：二次方程的根与系数之间有什么关系呢？2.呈现（10分钟）展示一些具体的例子，让学生观察和分析根与系数之间的关系。

引导学生发现，无论二次方程的系数如何变化，其根与系数之间都存在一种固定关系。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试证明根与系数之间的关系。

浙教版八年级数学下册-一元二次方程根与系数的关系同步达标测试题(word版含答案)

浙教版八年级数学下册《2-4一元二次方程根与系数的关系》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题,满分40分）1．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0,则该方程根的情况为（）A．没有实数根B．两根之和是3C．两根之积是﹣2D．有两个不相等的实数根2．关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1,则另一个根为（）A．﹣2B．2C．﹣5D．53．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣3a）x+a＝0的两个实数根互为倒数,则a的值为（）A．﹣3B．0C．1D．﹣3 或04．已知x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根,则2x1+2x2﹣x1x2的值为（）A．﹣1B．1C．﹣7D．75．设a,b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根,则a2+2a+b的值为（）A．2019B．2020C．2021D．20226．若x1,x2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根,x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7且,则b的值为（）A．﹣3B．3C．﹣5D．57．已知α,β是方程x2+2022x+1＝0的两个根,则代数式（1+2023α+α2）（1+2026β+β2）的值是（）A．4B．3C．2D．18．已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1,x2,则x12﹣的值为（）A．1B．﹣1C．2021D．﹣2021二．填空题（共8小题,满分40分）9．已知一元二次方程x2+mx﹣＝0的一个根为2,则另一个根为．10．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根,则的值是．11．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1,x2,若x1,x2满足x1x2+x1+x2＝3,求k的值为．12．设a,b分别是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根,则a2+2a+b的值是．13．设x1,x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根,且x1＝2x2,则k＝．14．若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0,b2﹣8b+5＝0,则的值为．15．若实数a≠b,且a,b满足a2﹣6a+8＝0,b2﹣6b+8＝0．（1）两根为a,b且关于x的一元二次方程为．（2）代数式的值为．16．一元二次方程x2+6x﹣1＝0与x2﹣x+7＝0的所有实数根的和等于．三．解答题（共4小题,满分40分）17．已知x1,x2是方程x2+5x+2＝0的两个实数根,求下列代数式的值：①x12+x22；②|x1﹣x2|；③（2x1+1）（2x2+1）；④+；⑤+；⑥+．18．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两根x1,x2,满足（x1+1）（x2+1）＝4,求k的值．19．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两根分为x1、x2,且x1+x2+x1x2＝2,求k的值．20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1,x2满足（x1﹣x2）2+m2＝13,求m的值．参考答案一．选择题（共8小题,满分40分）1．解：∵a＝2,b＝﹣3,c＝4,∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0,∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0没有实数根．故选：A．2．解：∵关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1,另一根为a,∴﹣1+a＝4,解得：a＝5,则另一根为5．故选：D．3．解：∵关于x的一元二次方程x2+（a2﹣3a）x+a＝0的两个实数根互为倒数,∴x1•x2＝a＝1．故选：C．4．解：根据题意得x1+x2＝2,x1x2＝﹣3,所以2x1+2x2﹣x1x2＝2（x1+x2）﹣x1x2＝2×2﹣（﹣3）＝7．故选：D．5．解：∵a,b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根,∴a2+a＝2022,a+b＝﹣1,∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2022﹣1＝2021．故选：C．6．解：由题意得,x1+x2＝﹣b,x1x2＝﹣4,∴x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣4+b＝﹣7,∴b＝﹣3,故选：A．7．解：∵α,β是方程x2+2022x+1＝0的两个根,∴αβ＝1,α2+2022α+1＝0,β2+2022β+1＝0,∴（1+2023α+α2）（1+2026β+β2）＝a•4β＝4αβ＝4×1＝4．故选：A．8．解：方法一：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1,x2,∴x1+x2＝2021,x12﹣2021x1+1＝0,x22﹣2021x2+1＝0,∵x2≠0,∴x2﹣2021+＝0,∴﹣＝x2﹣2021,∴﹣,∴x12﹣＝2021x1﹣1+2021x2﹣20212＝2021（x1+x2）﹣1﹣20212＝20212﹣1﹣20212＝﹣1．方法二：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1,x2,∴x1•x2＝1,x12﹣2021x1+1＝0,∴x12﹣2021x1＝﹣1,∴x12﹣＝x12﹣＝x12﹣2021x1＝﹣1．故选：B．二．填空题（共8小题,满分40分）9．解：设另一个根为m,由根与系数之间的关系得：m×2＝﹣,∴m＝﹣,故答案为：﹣．10．解：根据题意得x1+x2＝4,x1x2＝﹣7,＝＝＝﹣,故答案为﹣．11．解：∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1,x2．∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣4k+5≥0,解得k≤．∵x1+x2＝1﹣2k,x1x2＝k2﹣1,x1x2+x1+x2＝3,∴k2﹣1+1﹣2k＝3,即k2﹣2k﹣3＝0,∴k1＝﹣1,k2＝3,∵k≤,∴k＝﹣1,故答案为﹣1．12．解：a,b分别是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根,∴a+b＝﹣1,a2+a﹣2022＝0,∴a2+a＝2022,故a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2022﹣1＝2021,故答案为2021．13．解：根据题意,知x1+x2＝3x2＝3,则x2＝1,将其代入关于x的方程x2﹣3x+k＝0,得12﹣3×1+k＝0．解得k＝2．故答案是：2．14．解：当a≠b时,由实数a、b满足a2﹣8a+5＝0,b2﹣8b+5＝0,可把a,b看成是方程x2﹣8x+5＝0的两个根,∴a+b＝8,ab＝5,∴＝＝＝＝＝＝﹣20,当a＝b≠1时,∴＝+＝1+1＝2,故答案为：﹣20或2．15．解：（1）∵实数a≠b,且a,b满足a2﹣6a+8＝0,b2﹣6b+8＝0,∴a,b是方程x2﹣6x+8＝0的两根,故答案为：x2﹣6x+8＝0；（2）∵x2﹣6x+8＝0,∴x1＝2,x2＝4,∴a＝2或a＝4,当a＝2时,＝＝2,当a＝4时,＝＝4,故答案为：2或4．16．解：∵方程x2+6x﹣1＝0的根的判别式Δ＝62﹣4×1×（﹣1）＝40＞0,∴方程x2+6x﹣1＝0有两个不相等的实数根；∵方程x2﹣x+7＝0的根的判别式Δ＝（﹣1）2﹣4×1×7＝﹣27＜0,∴方程x2﹣x+7＝0没有实数根．∴一元二次方程x2+6x﹣1＝0与x2﹣x+7＝0的所有实数根的和等于﹣6．故答案为：﹣6．三．解答题（共4小题,满分40分）17．解：∵x1,x2是方程x2+5x+2＝0的两个实数根,∴x1+x2＝﹣5,x1•x2＝2．①x12+x22＝﹣2x1•x2＝（﹣5）2﹣2×2＝21；②|x1﹣x2|＝＝＝；③（2x1+1）（2x2+1）＝4x1•x2+2（x1+x2）+1＝4×2+2×（﹣5）+1＝﹣1；④+＝＝＝＝；⑤+＝＝＝﹣；⑥+＝＝＝＝．18．解：（1）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．∴k﹣1≠0,Δ＝b2﹣4ac≥0,即（﹣4）2﹣4×（k﹣1）×（﹣1）≥0,∴k≥﹣3且k≠1．（2）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1,x2,∴x1+x2＝,x1x2＝﹣．∵（x1+1）（x2+1）＝4,∴（x1+x2）+x1x2+1＝4,即﹣+1＝4,整理,得：k﹣1＝1,解得：k＝2,经检验,k＝2是方程的解,∴k＝2．19．解：（1）∵b2﹣4ac＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣2k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0,∴方程总有两个实数根；（2）由根与系数关系得x1+x2＝k﹣3,x1x2＝﹣2k+2,∵x1+x2+x1x2＝2,∴k﹣3+（﹣2k+2）＝2,解得k＝﹣3．20．解：（1）由题意得：Δ＝（2m+1）2﹣4m2≥0,解得m≥﹣,即m的取值范围为m≥﹣；（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2m+1）,x1x2＝m2,∵（x1﹣x2）2+m2＝13,∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝13,∴（2m+1）2﹣4m2+m2＝13,整理得m2+4m﹣12＝0,解得m1＝﹣6,m2＝2,∵m≥﹣,∴m的值为2．。

浙教版数学八年级下册2.4《一元二次方程根与系数的关系》说课稿

浙教版数学八年级下册2.4《一元二次方程根与系数的关系》说课稿一. 教材分析浙教版数学八年级下册2.4《一元二次方程根与系数的关系》这一节的内容，是在学生已经掌握了求解一元二次方程的多种方法，以及能够熟练运用因式分解法解一元二次方程的基础上进行教学的。

通过这一节的内容，让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，进一步加深学生对一元二次方程的理解，为后续学习一元二次方程的应用打下基础。

二. 学情分析学生在学习这一节的内容时，已经有了一定的数学基础，能够理解和运用一元二次方程的基本概念和求解方法。

但是，对于一元二次方程根与系数之间的关系，可能还比较陌生，需要通过实例分析和练习来逐步理解和掌握。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握一元二次方程根与系数之间的关系，能够运用这一关系来求解一元二次方程。

2.过程与方法目标：通过实例分析和练习，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程根与系数之间的关系。

2.教学难点：如何运用根与系数之间的关系来求解一元二次方程。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过实例分析和练习来探索和发现一元二次方程根与系数之间的关系。

2.教学手段：利用多媒体课件，进行图示和动画演示，帮助学生直观地理解一元二次方程根与系数之间的关系。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个具体的一元二次方程实例，引导学生思考如何求解这个方程。

2.探索规律：让学生分组讨论，尝试找出一元二次方程根与系数之间的关系。

3.讲解演示：根据学生的探索结果，进行讲解和演示，明确一元二次方程根与系数之间的关系。

4.练习巩固：让学生进行一些相关的练习题，巩固对一元二次方程根与系数之间关系的理解和掌握。

5.总结提升：对本节的内容进行总结，引导学生思考如何运用一元二次方程根与系数之间的关系来解决实际问题。

浙教版初中数学初二数学下册《一元二次方程根与系数的关系》教案及教学反思

浙教版初中数学初二数学下册《一元二次方程根与系数的关系》教案及教学反思一. 教学目标1.理解一元二次方程的定义和基本形式；2.知道一元二次方程的系数与方程根的关系；3.掌握求解一元二次方程的方法；4.能够应用所学知识解决实际问题。

二. 教学重点和难点教学重点：掌握一元二次方程的系数与方程根的关系。

教学难点：理解一元二次方程根的概念，掌握求解一元二次方程的方法。

三. 教学内容3.1 一元二次方程的概念和基本形式3.1.1 一元二次方程的定义一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常以ax2+bx+c=0的形式表示，其中a,b,c是已知数，a eq0。

3.1.2 一元二次方程的基本形式一元二次方程的基本形式是x2+px+q=0，其中p,q都是已知数。

它与一般式ax2+bx+c=0是等价的。

3.2 一元二次方程的系数与方程根的关系3.2.1 系数与方程根的关系在ax2+bx+c=0中，若x1和x2是方程的两个根，则有以下关系成立：$$ x_1+x_2=-\\frac{b}{a} $$$$ x_1x_2=\\frac{c}{a} $$3.2.2 求解一元二次方程对于一元二次方程ax2+bx+c=0，求解它的过程可以分为以下几个步骤：1.判断a,b,c的值，如果a=0则不是一元二次方程，需要特殊处理；2.计算方程的判别式 $\\Delta=b^2-4ac$ ，判断方程的根的情况；3.根据 $\\Delta$ 的值分类讨论，求出方程的根。

3.3 应用所学知识解决实际问题将所学知识运用到实际问题的解决过程中，需要进行以下步骤：1.理解问题并列出方程；2.根据方程的系数和根的关系，解出未知数的值；3.检验解是否合理。

四. 教学方法和过程4.1 教学方法本节课采用讲授、练习和讨论相结合的教学方法。

4.2 教学过程4.2.1 引入新知识通过教师导入，介绍本节课将要学习的内容：一元二次方程及系数与方程根的关系。

浙教版数学八年级下册《2.4 一元二次方程的根与系数的关系(选学)》教案

浙教版数学八年级下册《2.4 一元二次方程的根与系数的关系(选学)》教案一. 教材分析《2.4 一元二次方程的根与系数的关系(选学)》是浙教版数学八年级下册的一部分，本节课的主要内容是让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，并能够运用这种关系解决一些实际问题。

本节课的内容是学生学习了二次方程的解法之后进行的进一步研究，对于学生理解二次方程的性质，提高解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次方程的解法，对于二次方程的基本概念有一定的了解。

但是，对于一元二次方程的根与系数之间的关系，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，发现并理解根与系数之间的关系。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，并能够运用这种关系解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、探究，培养学生发现规律、总结规律的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.教学难点：发现并理解根与系数之间的关系。

五. 教学方法1.引导发现法：通过引导学生观察、思考、探究，发现并理解根与系数之间的关系。

2.案例分析法：通过分析具体的例子，让学生理解并掌握根与系数之间的关系。

六. 教学准备1.教具准备：黑板、粉笔、多媒体课件。

2.学具准备：笔记本、尺子、圆规。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次方程的解法，引导学生思考：二次方程的解与系数之间有什么关系？从而引出一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.呈现（10分钟）用多媒体课件呈现几个一元二次方程的例子，让学生观察并思考：这些方程的根与系数之间有什么关系？引导学生发现并总结出一元二次方程的根与系数之间的关系。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个例子，运用刚才总结出的规律，求出方程的根与系数。

2.4 一元二次方程根与系数的关系浙教版八年级数学下册教案

课题2.4一元二次方程根与系数的关系备课人学习目标知识与技能掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题过程与方法经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想情感与态度通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神重点难点根与系数关系及运用一、情景导入设计意图我们知道，一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的值是由a 、b 、c 来决定的.除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？由问题引入新课，提高学生学习兴趣二、合作探究、获取新知设计意图做一做：1.探究规律：先填空，再找规律：2.若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两个根，你能猜想x 1+x 2=______，x 1·x 2=______.3.你能证明你的猜想吗？当Δ≥0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个根，分别为：2142b b ac x a +=－－,2242b b acx a=－－－通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法三、运用新知，深化理解设计意图1.教材P47例1、例2.2.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2＋3x-1＝0的两个根的. （1）平方和（2）倒数和3.已知方程5x 2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值.4.已知方程x 2-4x-1=0有两个实数根x 1，x 2，要求不解方程，求值： (1)(x 1+1)(x 2+1)目的是考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性四、师生互动、课堂小结设计意图当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有以下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.即：这种关系称为韦达定理.先组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 五、学以致用1、已知方程2290x kx --=的两根互为相反数，求k 的值2、已知方程2 x 2-3x-1=0的两个根是 x1，x2不解方程，求下列各式的值（1）平方和（2）倒数和教学反思。

数学(浙教版)八年级下册第2章 2.4 一元二次方程根与系数的关系(原卷版)

0 的两实数根，则 x11＋x12的值为(
)
A．2
B.－2
C．6
D．－6
10.(2018•泰州)已知 x1、x2 是关于 x 的方程 x2﹣ax﹣2=0 的两根，下列结论一定正确的是( )
A．x1≠x2
B．x1+x2＞0
C．x1•x2＞0
D．x1＜0，x2＜0
11.(2018•宜宾)一元二次方程 x2﹣2x=0 的两根分别为 x1 和 x2，则 x1•x2 为( )
三．解答题
1.根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根的和与积：
(1)x2－3x＋5＝0；
(2)3x2＋2x－4＝0；
(3)2x－1＝－6x2.
2.已知 x1，x2 是方程 2x2－5x＋1＝0 的两实数根，求下列各式的值：
(1)x1x22＋x21x2；
(2)xx21＋xx12；
(3)(x1－x2)2.
3.[2018·杭州期末]已知 x1，x2 是方程 x2－6x＋k＋4＝0(k 为实数)的两个实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)若 x1，x2 满足 3x1－2＝|x2|，求 k 的值．
一元二次方程根与系数的关系
一、韦达定理：一般地，一元二次方程的根与系数有如下关系(能用这个结论的前提条件为 △≥0)
b
如果 x1 ， x2 是一元二次方程 ax2
+ bx + c
= 0 的两个根，那么 x1 +
x2
x
=_ 1
+
x 2
=
− a
c
x
________； x1 ⋅ x2 = 1
•
x 2
=
a _________。

新浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程根与系数的关系》精品课件

例1 则：
x1 x2
1. 2.
4
x1 x2
2 2
1
x
2 1
x
2பைடு நூலகம்
( x1 x2 )
另外几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x 2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
2 2
c ＝． a
【总结发现】
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0），的两个根分别x1、x2，那么：
c b x1 x2 ， x1 x2 a a
．
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
【例题精讲】
例求下列方程两根的和与两根的积：（1）x2＋2x－5＝0；（2）2x2＋x＝1. 需要解方程吗？
2.4一元二次方程的根与系数的关系
探究：观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关
系吗？
ax²+bx+c=0
x1
1 -1 2 -2 0
x2 x x x x 1 2 1 2
2 -2 3 -3 2 3 -3 5 -5 2 2 2 6 6 0
x²-3x+2=0 x²+3x+2=0
x²-5x+6=0
2
2
B、 D、
y －3y-5=0 y2－3y＋5=0
2
分析:设原方程两根为
新方程的两根之和为 ( x1 ) ( x2 )
3 新方程的两根之积为( x1 ) ( x2 ) 5
x1 , x 2 则: x1 x2 3, x1 x2 5

浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程根与系数的关系》课件

是一元二次方程 7x22x10 的两个根，求下列代数式的值。
(1) x12 x22
11 (2) x 1 x 2
2．已知一个一元二次方程的二次项系数是7，它的两个根是 1, 1 ，写出这个方程。
7
，
展示交流：
1．已知长方形相邻两边长是一元二次方程
x1 x2
b
a
x1x2 c
a
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月5日星期二2022/4/52022/4/52022/4/5 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/52022/4/52022/4/54/5/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/52022/4/5April 5, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
2a
2b b
2a
a
x1 x 2
bb24ac•bb24ac
2a
2a
(b)2 ( b2 4ac)2 4a2
b2 (b2 4ac) 4a2
4ac 4a2
c a
自主导学：
b b2 4ac
b b2 4ac
1、 x1
2a
, x2
2a
x1 x2 b a
c x1x2 a
2、 3,2 5 , 1 p, q 22
x21x290的两个根，求这个长方形的周长
和面积。
2．若关于 x的一元二次方程(m 2 2 )x2 (m 2 )x 1 0

浙教版八年级数学下册一元二次方程根与系数的关系

《一元二次方程根与系数的关系》习题1.若关于x 的一元二次方程的两根为x 1=1，x 2 =2则这个方程是( )A ．x 2+3x –2=0B ．x 2–3x +2=0C ．x 2–2x +3=0D ．x 2+3x +2=02.一元二次方程x 2＋px －2＝0的一个根为2，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－23.关于x 的方程的022=+-a ax x 两个根的平方和5是，则a 的值是( ) A ．－1或5 B ．1 C ．5 D ．－14.x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2 –mx + m - 2 = 0的两个实数根，是否存在实数m 使12110x x +=成立？则正确的结论是( ) A ．m = 0 时成立 B ．m = 2 时成立 C ．m = 0 或2时成立 D ．不存在 5.一元二次方程2230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________________.6.方程x 2＋2kx ＋k 2－2k ＋1＝0的两个实数根x 1，x 2满足42221=+x x ，则k 的值为_______________.7.若关于x 的方程22(2)0x k x k +-+=的两根互为相反数.则k ＝________________ 8.若α，β是方程x 2－2x －3＝0的两个实数根，则α2＋β2______．9.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k +1)x +k 2-2=0的两根x 1和x 2，且(x 1-2)(x 1-x 2)=0，则k 的值是________________10.已知关于x 的方程x 2+ax +a －2=0.(1)当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.11.已知关于x 的一元二次方程()2310x m x m ++++=． (1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若12x x ，是原方程的两根，且12x x -=m 的值．并求出此时方程的两根．。

浙教版数学八年级下册2.4《一元二次方程根与系数的关系》教学设计

浙教版数学八年级下册2.4《一元二次方程根与系数的关系》教学设计一. 教材分析《一元二次方程根与系数的关系》是浙教版数学八年级下册第2.4节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了二次方程的解法的基础上进行教学的，通过本节课的学习，使学生能理解一元二次方程根与系数之间的关系，并能运用其解决一些实际问题。

教材中通过引入二次方程的根与系数的关系，让学生通过探究、发现、归纳的方法，总结出一元二次方程的根与系数之间的关系，从而提高学生的自主学习能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了二次方程的解法，对一些基本的数学概念和数学符号有一定的了解。

但学生的数学基础参差不齐，部分学生对一些概念和公式的理解还不够深入，对一些数学符号的运用还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，引导学生通过自主学习、合作学习等方式，深入理解一元二次方程根与系数之间的关系。

三. 教学目标1.理解一元二次方程根与系数之间的关系。

2.能够运用一元二次方程根与系数的关系解决一些实际问题。

3.培养学生的自主学习能力，提高学生的数学思维能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程根与系数之间的关系。

2.教学难点：一元二次方程根与系数关系的推导和运用。

五. 教学方法1.探究法：引导学生通过自主探究、合作学习，发现一元二次方程根与系数之间的关系。

2.讲授法：对一元二次方程根与系数的关系进行讲解，让学生理解和掌握。

3.案例教学法：通过一些实际问题，让学生运用一元二次方程根与系数的关系进行解决。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示一元二次方程根与系数的关系。

2.教学案例：准备一些实际问题，让学生进行解答。

3.学习资料：提供一些相关的学习资料，帮助学生深入理解一元二次方程根与系数的关系。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示一元二次方程根与系数的关系，让学生初步了解本节课的内容。

浙教版八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系(1课时)教案设计

《一元二次方程根与系数的关系》教学设计【内容出处】浙江教育出版社八年级数学下册第2章第4课。

【素养指向】“数学运算”之“公式的运用”。

【教学目标】1.在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。

2.能运用根与系数的关系检验两数是否为原方程的根。

3.已知一根求另一根及系数。

【时间预设】课内1课时。

【教学过程】一、交互学习段落一共性探究〖师生共学〗在上一节“一元二次方程的根的判别式”中，我们讲了一个小秘诀，就是不解方程，就能知道一元二次方程的根的情况。

同学们还记得这个小秘诀是什么吗？生：通过“Δ”的值来判断一元二次方程的根的情况。

当“Δ＞0”时，方程有两个不相等的实数根；当“Δ=0”时，方程有两个相等的实数根；当“Δ＜0”时，方程没有实数根。

〖小组合学〗小组内同学交流先学单任务中的问题1，完成表格并讨论。

1.你发现了什么规律？请用语言叙述你发现的规律。

2.若方程x 2+px+q=0的两根是x 1、x 2，你能用式子表示出你发现的规律吗？〖展示评析〗小组推荐代表展示交流，其他小组质疑与纠错。

韦达定理：如果一元二次方程ax 2+bx+c= 0 (a ≠0，Δ≥0)的两个根为x 1、x 2，那么，x 1 +x 2a b -=，x 1x 2ac =。

〖检测评价〗独立完成下面2题，然后在小组内交流，进行互动评析。

1.已知关于x 的一元二次方程x 2–6=(k+1)x 的一个根是2，求方程的另一个根和k 的值。

2.已知x 1 +x 2是方程x 2– x =3的两个根，求x 1 +x 2，x 1x 2，x 12+x 22及x 1–x 2的值。

三、后续学习1.完成课本中作业题第3、4、5题。

2.完成《导学新作业》B 本我挑战第1、3题。

【教学反思】。

一元二次方程根与系数关系复习[下学期]--浙教版

5、已知α、β是方程x2-x-1=0的两实根，则 α2+2β2+α= ； 6、已知：m、n是方程x2+2x-1=0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）= ； 7、已知a、b满足6a=a2+4，6b=b2+4，
求 ab ba
8、在一元二次方程x2+bx+c=0中，若实数b和c 在1，2，3，4，5中取值，则其中有不等实数解的方程有个。
一元二次方程根的判式及根与系数的关系(复习)
2006.3
一、知识要点
1、一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根的判
别式Δ=
；
2、一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）
（1）有两个相等的实根的条件
；
（2）有两个不相等的实根的条件
；
（3）有两个实根的条件
；
（4）有两个正根的条件；有两个负根的条件；有两异号根的条件；
三、例题分析
1、已知方程x2-2（m+2）x+2m2-1=0，且x12-x22=0，求m
2、已知关于X的方程x2+（2m+1）x+m2-2=0的两实根的平方和为11，求证：关于x的方程（k-3）x2+kmx-m2+6m-4=0一定有实根
；
第三部分（12～20），写胡良不听父亲的劝告在外另开分店，但终究被人品出了味道的不同，生意以失败告终，又回到老胡的身边；第四部分（21～23），写老胡在临终前对胡良在生意上的满意和嘱托。本阅读第（2）题是阅读的典型题，句子（段落）在文中的作用答题方法：分析某一句话（一段话）在文章中的作用，一般从结构和内容两方面进行分析。 1