2014年全国高中数学联赛模拟卷(1)(一试+二试_附详细解答)

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全国高中数学联赛模拟卷二试

ABC P Q ID O 1I 1I 2A B CPQ ID O 1 I 1 I 22014年全国高中数学联赛模拟卷(1)加试(考试时间：150分钟满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，记12,,I I I 分别是△ADC , △BCD ,△ABC 的内心，I 在AB 边上的射影为1O ，,CAB ABC ∠∠的角平分线分别交,BC AC 于,P Q ，且PQ 的连线与CD 相交于2O ，求证：四边形1122I O I O 为正方形．二、（本题满分40分）给定正数a , b , c , d, 证明：b a d b a d a dc ad c d c b d c b c b a c b a +++++++++++++++++++333333333333.2222d c b a +++≥三、（本题满分50分）设+∈N k ，定义11=A ，2)1(221+++=+n n nA A kn n ， ,2,1=n证明：当1≥n 时，n A 为整数，且n A 为奇数的充要条件是)4(m od 21或≡n 四、（本题满分50分）试求最小的正整数,n 使得对于任何n 个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.一．证明：不妨设BC ≥AC ，由~ADC CDB ∆∆且12,I I 分别是其内心，得12I DAC BC I D= 且0121902I DI ADB ACB ∠=∠==∠，所以 12~DI I CAB ∆∆ 则21I I D CAB ∠=∠ ① 设,ADC BCD ∆∆的内切圆半径分别为12,r r ，Rt ABC ∆的三边长为,,a b c ，12,I I 在AB 边上的射影为,E F ，并且,,AD x BD y CD z === ，则121,,222x z b y z a b c ar r AO +-+-+-===，所以 1121222b c a y z a x z bDO AO AD x r r +-+-+-=-=-=-=-，1122111()I E r r r r DF DO O F ==--=-=， 112122()EO r r r r I F =+-==，因此1112I EO FO I ∆=∆．1112O I O I ⇒=且112112112212I O I I O E I O F O I F I O F πππ∠=-∠-∠=-∠-∠=，②则121,,,D O I I 四点共圆 2121I O F I I D CAB ⇒∠=∠=∠（由①知）所以12//O I AC ，同理 11//O I BC ，∴11111()21()2b c a AI AO b c aI P BO c a b c a b +-+-===+-+-，又由角平分线性质得CQ BC CQ BC ab CQ QA BA QA CQ BA BC a c =⇒=⇒=+++ 同理ab CQ b c =+，另一方面2222221sin 21sin 2CQO CPO CQ CO ACDS QO b c bO P S a c aCP CO BCD ∆∆⋅∠+===+⋅∠，又122112()//()AI QO b c a b b c O I CA I P O P c a b a a c +-+⇔=⇔=+-+，而()()()()a a c b c a b b c c a b ++--++- 2222()()a ab ac a cb c ac b bc ba b c ac bc =+-++--+-++- 22()()0a ab b b ba a =+-+=，所以21//O I CA ，同理22//O I BC ，所以四边形1122I O I O 为平行四边形，由②知四边形1122I O I O 为正方形．二．解：由于问题的对称性, 只要证明对于任何正数下式成立因为如果上式成立, 则原式的左边不小于不失一般性, 可以在的假设下证明上述不等式. 如果, 只要将不等式两边同除, 令于是问题转化成下列被修改的问题：给定满足条件的正数证明此不等式证明如下：三．证明：注意到k n n n nA A n 21)1(2)2(+=-++ kn n n A n A n 212)1()1(=--+-得1212112)1(2)1()1)(2(++-+++=--++k k n n n n nA n A n n 反复运用上式，得)1()(2+=n n n S A n ，其中tt t n n S +++= 21)(，12+=k t得∑∑==+-+++-=n i t t ni tti i n i i n n S 1])1[(])[()(2，从而可知)(2|)1(n S n n +，因此)1(≥n A n 是整数.（1）当)4(m od 21或≡n 时，由)(n S 有奇数个奇数项知)(n S 为奇数，所以n A 为奇数. （2）当)4(mod 0≡n 时，)4(mod 0)2(≡tn ，故)4(mod 0)2(])[()(2≡-+-=∑=t n i tt n i i n n S ，所以n A 为偶数（3）当)4(mod 3≡n 时，)4(mod 0)21(≡+tn ，故)4(mod 0)21(])1[()(211≡+-+-+=∑+=tn i t tn i i n n S ，所以n A 为偶数综上所述，命题成立，证毕.四．解：首先，我们可以指出12个连续正整数，例如994，995，…，999，1000，1001，…，1005，其中任一数的各位数字之和都不是7的倍数，因此，13n ≥.再证，任何连续13个正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.对每个非负整数a ，称如下10个数所构成的集合:{10,101,109}a A a a a =++为一个“基本段”，13个连续正整数，要么属于两个基本段，要么属于三个基本段。

全国高中数学联赛模拟试题及参考答案

全国高中数学联赛训练题(1)第一试一、填空题1.函数3()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.2.在数列{}n a 中,11a =且21n n n a a a ++=-.若20002000a =,则2010a =_____.3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____.4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<<x 0上有两个不等实根,则正整数n 的最小值为_____.5.若c b a >>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2221x x -的取值范围为_____.6.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2k k e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.7.在四面体-O ABC 中,若点O 处的三条棱两两垂直,则在四面体表面上与点A 距离为2的点所形成的曲线长度之和为_____.8.由ABC ∆内的2007个点122007,,,P P P 及顶点,,A B C 共2010个点所构成的所有三角形,将ABC ∆分割成互不重叠的三角形个数最多为_____.二、解答题9.设抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上F 的右侧,以FA 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:FM FN FA +=.10.是否存在(0,)2πθ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.11.已知实数123123,,,,,a a a b b b 满足:123123a a a b b b ++=++,122331122331a a a a a a bb b b b b ++=++,且123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤,求证:123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.第二试一、设圆的内接四边形ABCD 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且ABC ∠与ADC ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在AC 上的充要条件是PR QR =.二、已知周长为1的i i i ABC ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c ,并记2224i i i i i i i p a b c a bc =+++(1,2)i =,求证:121||54p p -<.三、是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平方数？若存在,求,,,p q r s 的值；若不存在,说明理由.四、对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.全国高中数学联赛训练题(1)参考答案:令3xt =,[0,3]x ∈则3()()271f x g t t t ==-+,[1,27]t ∈,而'()3(3)(3)g t t t =-+.故当[1,3]t ∈时,'()0g t <,()g t 单调递减,当[3,27]t ∈时,'()0g t >,()g t 单调递增.所以当3t =,()g t 取得最小值min ()(3)53g t g ==-,即当1x =时,()f x 取得最小值53-.:设2a t =,则由21n n n a a a ++=-依次写出数列{}n a 的前8项为:1,,1,1,,1,1,t t t t t - - - - .于是易知:该数列是以周期6T =的一个周期数列,故由20002000a =可得20006333222000a a a t ⨯+====,从而2010335661120001999a aa t ⨯===-=-=-,即20101999a =-. :由题意若x A ∈,则5(mod 6)x ≡ ,若x B ∈,则3(mod 8)x ≡ ,故若x AB ∈ ,则11(mod 24)x ≡ ,即若x A B ∈ ,则2411x k =+,于是可得满足题意的元素共有84个.:由已知得11sin 12cos x n x --=---,而1sin 2cos xx---表示上半个单位圆(不包括端点)上的动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,1)Q -的斜率k ,要满足题意就要直线PQ 与上半个单位圆(不包括端点)有两个不同的交点,此时4(,1)3k ∈--,从而可得11(0,)3n ∈,故3n >,即正整数n 的最小值为4.:由0=++c b a 知方程02=++c bx ax 有一个实数根为1,不妨设11x =,则由韦达定理可知2c x a=.而c b a >>,0=++c b a ,故0,0a c ><,且a a c c >-->,则122c a -<<-,故2221()44c x a<=<,从而可得2212||[0,3)x x -∈.:设第k 个椭圆的长半轴为k a ,焦半径为k c ,则由题意有21k ka c =,2k k k k ce a -==,故可得2k k a -=,于是可得121222212n n n a a a ----+++=+++=- ,故这n 个椭圆的长轴之和为12(12)22n n---=-.:如图,点,M N 分别在棱,AB AC 上,且2AM AN ==,点,E F 分别在棱,OB OC 上,且1OE OF ==,则2AE AF ==,因此,符合题意的点形成的曲线有:①在面OBC 内,以O 为圆心,1为半径的弧EF ,其长度为2π；②在面AOB 内,以A 为圆心,2为半径的弧EM ,其长度为6π；③在面AOC 内,以A 为圆心,2为半径的弧FN ,其长度为6π；④在面ABC 内,以A 为圆心,2为半径的弧MN ,其长度为23π.所以,所求的曲线长度之和为2326632πππππ+++=.:设三角形最多有n 个,则根据角度相等可得20072n πππ⨯+=⨯,故2200714015n =⨯+=.: 令1122(,),(,)M x y N x y ,设点(,0)A a ,则由(,0)2p F 得12FA a p =-,故以FA 为直径的圆为22222()()44a p a p x y +--+=,则可知12,x x 是方程2222()2()44a p a p x px +--+=的两个实根,即是说12,x x 是方程22(23)0x a p x ap --+=,由韦达定理得1223322a p x x a p -+==-. 故121131()()()2222FM FN x p x p a p p a p FA +=+++=-+=-=,即FM FN FA +=.:当(0,)2πθ∈时,函数s i n y x =与cos y x =的图像关于直线4x π=对称,函数t a n y x =与cot y x =的图像也关于直线4x π=对称,且当4πθ=时,sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的任一排列均不可能成等差数列.故只需考虑是否存在(0,)4πθ∈使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列即可.假设存在(0,)4πθ∈符合题意,则由sin cos tan cot θθθθ<<<可知cot tan cos sin θθθθ-=-,从而有s i n c o s s i n c o s θθθθ+=⋅,故2(sin cos )12sin cos 1sin 2θθθθθ⋅=+⋅=+.而2(sin cos )1θθ⋅<,且1sin 21θ+>,故假设不成立.即,不存在这样的θ,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列.:设123123a a a b b b p ++=++=,122331122331a a a a a a bb b b b b q ++=++=,且123a a a r =,123'b b b r =, 则123,,a a a 是函数32()f x x px qx r =-+-的零点,123,,b b b 是函数32()'g x x px qx r =-+-的零点.不妨设123123,a a a b b b ≤≤ ≤≤,则由123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤知11a b ≤. 而1()0f a =,1111213()()()()0g a a b a b a b =---≤,故11()()g a f a ≤,即3232111111'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-,故3232333333'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-, 即33()()g a f a ≤,也即是33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=.若33a b >,则313233()()()0a b a b a b --->,这与33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=矛盾! 所以有123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.:由西姆松定理知,,P Q R 共线.由题意易知,,,C Q D R 四点共圆,则有DCA DQR DQP ∠=∠=∠,同样有,,,A P R D 四点共圆,则有DAC DPR DPQ ∠=∠=∠.故DAC ∆∽DPQ ∆,同理可得:DAB ∆∽DRQ ∆,DBC ∆∽DPR ∆,因此有:PRDB DA DP PR BA BC DC DQ QR BCDB BA⋅===⋅⋅.从而PR QR =的充要条件是DA BABC =.又由角平分线的性质得,ABC ADC ∠∠的平分线分AC 的比分别为,BA DABC DC.故命题成立. :由题意知1i i i a b c ++=,且不妨设i i i a b c ≤≤,则由于三角形的三边关系可得102i i i a b c <≤≤<,即可得312121210(12)(12)(12)()327i i i i i i a b c a b c -+-+-<---≤=.2222222(12)(12)(12)12()4()814()812[()()]812(4)12i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ia b c a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c p ---=-+++++-=-+++-=-+++-++-=-+++=- 从而可得131272i p ≤<,所以121||54p p -<. :由640p q r s +++=,及,,,p q r s 是不同的素数知,,,p q r s 都是奇数.设2222p qs m p qr n ⎧+=⎪⎨+= ⎪⎩ ①②, 并不妨设s r <,则m n <.由①,②可得()()()()m p m p qsn p n p qr-+=⎧⎨-+=⎩.若1m p ->,则由m p n p n p -<-<+可得m p q n p +==-,故2q m n =+,,s m p r n p =-=+,从而2s r m n q +=+=,故23640p q r s p q q p q +++=++=+=.又由23s m p q p =-=-≥,故可得90p ≤,逐一令p 为不大于90的素数加以验证便知此时无解.若1m p -=,则21qs m p p =+=+,故12qs p -=.而q m p n p <+<+,故,2q n p r n p p q =-=+=+. 故332(1)26402p q r s p q s qs q s +++=++=-++=,即有(32)(34)3857719q s ++==⨯⨯于是得3419,3272s q +=+=⨯,故5,67s q ==,从而167,401p r ==.综上可得167,67,401,5p q r s ====或167,67,5,401p q r s ====. :所求的最小正整数26n =.我们分两步来证明,第一步说明25n ≤不行,我们构造如下的25个正整数:543215432154321543215432122222;33333;55555;7,7777;1111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,①②③④⑤.如上,我们把这25个正整数分成5组,则任意选取六个数都一定会有两个数在同一组,显然在同一组中的这两个数中的一个能整除另一个；另一方面,由于每一组数只有5个,因此所选的六个数必然至少选自两组数,即是说在所选的六个数中不存在其中一个能被另五个整除的数.所以,当25n =时是不行的.对于25n <,也可类似地证明.第二步说明26n =是可以的.我们首先定义“好数组”.如果一数组中的数都在所给定的26个正整数中,其中最大的一个记为a ,除a 外的25个数中没有a 的倍数,且这25个数中所有a 的约数都在这组数中,那么我们称这个数组为“好数组”.(一个“好数组”中的数可以只有一个).现证这样的“好数组”至多有五个.否则,必存在六个“好数组”,我们考虑这六个“好数组”中的最大数,分别记为,,,,,a b c d e f ,由题知六个数,,,,,a b c d e f 中必然存在一个能整除另一个,不妨记为|b a ,即是说a 的约数b 不在a 所在的“好数组”中,这与“好数组”的定义不符,故“好数组”至多有五个.由于“好数组”至多有五个,而所给的正整数有26个,因此至少存在一个“好数组”中有六个数,考虑这个“好数组”中的最大数,由“好数组”的定义知这个数组中至少另有五个数都能整除该数.综上可得,所求的最小正整数26n =.陕西师范大学附中王全 710061 wangquan1978@。

2014全国高中数学联赛高仿真模拟试题 (2)

数学联赛模拟题初试
1、已知x，y 且，则x+y-xy的最大值是_______值是________
3、已知实数x、y满足17
的最大值是________
4、将11个完全一样的小球放入6个各不相同的盒子中，使得至多有3个空盒子的放法有________种
5、数列｛｝中， =6，，则此数列的通项公式 =________
2、1，w，，提示：设，则 1，w，
3、7,提示：17 即
=
= 当 =-5时取得最大值7
4、4212，提示：没有空盒子，有种放法；有1个空盒子，有种放法；有2个空盒子，有；有3个空盒子，有。至多有3个空盒子共有4212种放法。
5、提示：由已知条件可得，，
6、，提示：ab=
7、27，提示：由xy+1=4x+y知，y= 。所以（x+1）（y+2）=（x+1）（）= ，设x-1=t，t ，则（x+1）（y+2）= =6（）+15 27
6、椭圆（a ）的四个顶点为A、B、C、D，若菱形ABCD的内切圆半径等于椭圆焦距的倍，则椭圆离心率为________
7、已知实数x、y满足xy+1=4x+y，且x 1，则（x+1）（y+2）的最小值是________
8、若a、b、c ，则a+2b+3c的最小值为________
9、已知正数数列｛｝的前n项和为，且满足，，
加试
1、已知正实数a、b、c满足abc=1.证明：
2、已知锐角三角形ABC的三边BC、CA、AB上的高线长分别是。若P在三角形内一点，证明： + 1.
3、设、、、、、为互不相同的正整数，满足

2014年,高考模拟试卷及答案,数学

第6题图俯视图2014年高考数学模拟考试试卷第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}ln A x y x =|=，集合{}2,1,1,2B =--，则A B =A.(1,2)B.{}1,2C.{}1,2--D.(0,)+∞2.若(4i)i i a b +=+其中,a b ∈R ，i 是虚数单位，则a b - = A.3B.5C.3-D.5-3.设0.32a =，20.3b =，2log (0.3)(1)x c x x =+>，则,,a b c 的大小关系是 A.a b c << B.b a c << C.c b a << D.b c a <<4.不等式2311x x +≥-的解集是 A.[4,)-+∞ B.(4,)-+∞ C.[4,1)- D.(,4](1,)-∞-+∞5.“1a =”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件6.一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于B.C.D.7.袋中有4个形状大小一样的球，编号分别为1,2,3,4，从中任取2个球，则这2个球的编号之和为偶数的概率为 A.16 B.23 C.12D.13 8.已知等比数列}{n a 满足：354321=++++a a a a a ，122524232221=++++a a a a a ，则54321a a a a a +-+-的值是A.2B.9C.4D.149.设函数3()f x x =+sin x ，若02θπ≤≤时, (cos )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数 m 的取值范围是A.(0,1)B.(,0)-∞C.1(,)2-∞ D.(,1)-∞D CBA10.当n *∈N 且2n ≥时，24112225n p q -++++=+(其中p 、q 为非负整数，且05q ≤≤，则q 的值为A.0B.1C.3D.与n 有关第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上.11.若下框图所给的程序运行结果为20S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是 .12.函数()37ln f x x x =-+的零点位于区间(,1)()n n n +∈N ，则n = . 13.已知锐角三角形的边长分别为2、4、x ，试求x 的取值范围 . 14.对于函数321()(2)3f x x ax a x b=-+-+，若()f x 有六个不同的单调区间，则a 的取值范围为 .15.（文科做②；理科从①②两小题中任意选作一题） ①（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线π()6θρ=∈R 截圆π2cos()6ρθ=- 的弦长是 .②(不等式选做题)关于x 的不等式|||1|1x a x ---≤在R 上恒成立（a 为常数），则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16.(本大题满分12分)在ABC ∆中，已知45ABC ∠=，AB =，D 是BC 边上的一点，5,3AD DC ==，求AC 的长.17. (本大题满分12分)A 、B 两个口袋，A 袋中有6张卡片，其中1张写0，2张写1，3张写有2；B 袋中7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2，从A 袋中取1张卡片，B 袋中取2张卡片，共3张卡片，求：（1）取出的3张卡片都写0的概率；（2）取出的3张卡片数字之积是4的概率；（3）取出的3张卡片数字之积的数字期望.18.(本大题满分12分)如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点．（1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（3）求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．19.(本大题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)n n S a λλ=+-，其中λ是不等于1-和0的常数. （1）证明：数列{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f λ=，数列{}n b 满足111,()3n n b b f b -==（n *∈N ，且2n ≥），求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .20.(本大题满分13分)已知函数()sin f x ax b x =+，当3x π=时，()f x取得极小值3π-. （1）求,a b 的值；（2）设直线:()l y g x =，曲线:()S y f x =.若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件： ①直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；②对任意x ∈R 都有()()g x f x ≥.则称直线l 为曲线S 的“上夹线”.试证明：直线:2l y x =+为曲线:sin S y ax b x =+“上夹线”.A BCDEF21.(本大题满分14分)一直线过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且交抛物线于,A B 两点，C 为抛物线准线的一点（1）求证：ACB ∠不可能是钝角；（2）是否存在这样的点C ，使得ABC ∆为正三角形？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：1～5. BBBDA ； 6～10. ADCDA. 二、填空题：11.8k >； 12.2; 13.1t ≤<； 14.(1,2)； 15. ①2；②[]0,2. 三、解答题：16.解：在ABD ∆中，由正弦定理得sin 22sin 5AB B ADB AD ∠∠===∴3ADB π∠=或23π，①若3ADB π∠=，则23ADC π∠=，ADC ∆中，由余弦定理得222cos 49AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=2 ∴7AC =，②若23ADB π∠=，则3ADC π∠=，ADC ∆中，由余弦定理得222cos 19,AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=2∴AC =17.（文科）（1）每颗骰子出现的点数都有6种情况，∴基本事件总数为3666=⨯个.记“点),(y x P 在直线1-=x y 上”为事件A ，A 有5个基本事件：)}5,6(),4,5(),3,4(),2,3(),1,2{(=A ， .365)(=∴A P（2）记“点),(y x P 满足x y 42<”为事件B ，则事件B 有17个基本事件: 当1=x 时，;1=y 当2=x 时，2,1=y ；当3=x 时，3,2,1=y ；当4=x 时，;3,2,1=y 当5=x 时，4,3,2,1=y ；当6=x 时，4,3,2,1=y ．.3617)(=∴B P （理科）解：（1）设事件A 表示：“取出的3张卡片都写0”F HG EMDCBA2427C 11()6C 21P A =⋅=（2）设事件B 表示：“取出的3张卡片数字之积是4”2112122277C C C 234()6C 6C 63P B =⋅+⋅=（3）设取出的3张卡片数字之积为随机变量ξ，则ξ可取0，2，4，82327C 1537(0)(1)66C 42P ξ==+⋅-=； 111227C C 22(2)6C 63P ξ==⋅= 11121222C C C 234(4)6C 6C 63P ξ==⋅+⋅=； 222C 31(8)6C 42P ξ==⋅= 24863634263E ξ=⋅+⋅+⋅=18.解（1）证法一：取CE 的中点G ，连FG BG 、．∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =． ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB ．又12AB DE =，∴GF AB =． ∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ． ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ．证法二：取DE 的中点M ，连AM FM 、． ∵F 为CD 的中点，∴//FM CE ．∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴//DE AB ．又12AB DE ME ==， ∴四边形ABEM 为平行四边形，则//AM BE ． ∵FM AM ⊄、平面BCE ，CE BE ⊂、平面BCE ， ∴//FM 平面BCE ，//AM 平面BCE ．又FMAM M =，∴平面//AFM 平面BCE ．∵AF ⊂平面AFM ， ∴//AF 平面BCE ．（2）证：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥．∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE AF ⊥．又CDDE D =，故AF ⊥平面CDE ．∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE ． ∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ．（3）平面CDE 内，过F 作FH CE ⊥于H ，连BH ∵平面BCE ⊥平面CDE ，∴FH ⊥平面BCE ∴FBH ∠为BF 和平面BCE 所成的角设22AD DE AB a ===，则2sin 45FH CF==2BF a ==，Rt FHB ∆中，sin FH FBH BF ∠==∴直线BF 和平面BCF 19.（1）证明：∵(1)n n S a λλ=+-∴11(1)(2)n n S a n λλ--=+-≥∴1n n n a a a λλ-=-+，即1(1)n n a a λλ-+= 又1λ≠-且0λ≠，∴11n n a a λλ-=+ 又11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，1λλ+为公比的等比数列.（2）解：由（1）知：()1q f λλλ==+∴111()(2)1n n n n b b f b n b ---==≥+故有1111111n n n n b b b b ---+==+，∴1111(2)n n n b b --=≥ ∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，1为公差的等差数列，∴2(1)53()22n n n n nT n n *-+=+=∈N20.解：（1）∵()sin f x ax b x =+，∴()cos f x a b x '=+而由已知得：10233a b a ⎧+=⎪⎪⎨ππ⎪⋅+=⎪⎩∴1,2a b ==-此时()2sin f x x x =-，∴()12cos f x x '=-，当(0,)3x π∈时，()0f x '<，当(,)32x ππ∈时，()0f x '>∴当3x π=时，()f x取得极小值3π即1,2a b ==-符合题意（2）由()12cos 1f x x '=-=，得cos 0x =当2x π=-时，cos 0x =，此时1222y x π=+=-+，22sin 22y x x π=-=-+12y y =，∴(,2)22ππ--+是直线l 与曲线S 的切点当2x 3π=时，cos 0x =，此时1222y x 3π=+=+，22sin 22y x x 3π=-=+ 12y y =，∴(,2)223π3π+也是直线l 与曲线S 的切点∴直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点对任意x ∈R ，()()(2)(2sin )22sin 0g x f x x x x x -=+--=+≥即()()g x f x ≥，因此直线:2l y x =+为曲线:2sin S y x x =-“上夹线”21.解：设1122(,),(,),(,)2pA x yB x yC m -，直线AB 方程为2p x ty =+由222p x ty y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2220y pty p --=，则212122,y y pt y y p +==-∴2212122,4p x x pt p x x +=+=（1）11(,)2p CA x y m =+-，22(,)2pCB x y m =+- ∴2()0CA CB pt m ⋅=-≥∴,CA CB <>不可能为钝角，故ACB ∠不可能是钝角（2）假设存在点C ，使得ABC ∆为正三角形由（1）得：线段AB 的中点为2(,)2pM pt pt +①若直线AB 的斜率不存在，这时0t =，(,),(,)22p p A p B p -，点C 的坐标只可能是(,)2pp -，由CM AB =，得：2p p =，矛盾，于是直线AB 的斜率必存在 ②由CM AB ⊥，得：1CM AB k k ⋅=-，即21122pt m p p t pt -⋅=-++∴32m pt pt =+，∴3(,2)2pC pt pt -+2(CM p t =+22(1)AB p t =+由CM =，得：t =，∴(,)2p C -±故存在点(,)2pC -±，使得ABC ∆为正三角形。

2014年高考数学模拟试题及答案一

2014年高考数学模拟试题及答案一高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B 铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑．3．答题卡上第Ⅰ卷必须用2B 铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）1．已知全集U =R ，集合{}|12A x x =->，{}2|680B x x x =-+<，则集合()U A B = ð（） A ．{}|14x x -≤≤ B ．{}|14x x -<< C ．{}|23x x <≤ D ． {}|23x x <≤ 【解析】 D ；容易解得{3A x x x =>或者}0x <，{}26B x x =<<．于是()U A B = ð{}23x x <≤．（2）2．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为25的样本，应抽取不超过45岁的职工人数为 ( )A ． 5B ． 10C ．15D ．50 【解析】 C ；容易知道样本中不超过45岁的人与超过45岁的人数之比为1203802=．于是抽取不超过45岁的职工人数为325155⋅=人．（3）3．已知PA 是O 的切线，切点为A ，2PA =，AC 是O 的直径，PC 交O 于点B ，30PAB ∠= ，则O 的半径为（）PAA ．1B ．2CD ．【解析】 C；30,tan30PAPCA PAB CA ∠=∠===（4）4．已知等比数列{}n a 为递增数列，且373a a +=，282a a ⋅=，则117a a = （） A ．2 B ． 43 C ． 32 D ．12【解析】 A ；不妨设等比数列的公比为q ．由2375213a a a q q ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭知50a >．于是228552a a a a ⋅==⇒=代入上式知22q =2q =而数列单调增，于是2q =42q =．（5）5．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( ) A ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥ B ．若,,m n αα⊥⊥则m n ∥ C ．若,m n αα∥∥，则m n ∥ D ．若,,m m αβ∥∥则αβ∥【解析】 B ；A 中,αβ可以是任意关系；B 正确；C 中,m n 平行于同一平面，其位置关系可以为任意．D 中平行于同一直线的平面可以相交或者平行．（6）6．设33,,2x yx y M N P ++===（其中0x y <<），则,,M N P 大小关系为 ( ) A ．M N P << B ．N P M << C ．P M N << D ．P N M << 【解析】 D ；由0x y <<，有2x y+．由指数函数的单调性，有23x y x y P N ++=<==；23332x yx y M N ++=>==．（7）7．2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为（）A ．36B ．42C ． 48D ．60【解析】 C ；不妨将5个位置从左到右编号为1，2，3，4，5．于是甲只能位于2，3，4号位． ①当甲位于2号位时，3位女生必须分别位于1，3，4位或者1，4，5位．于是相应的排法总数为33212A =；②当甲位于3号位时，3位女生必须分别位于1，2，4位或者1，2，5位或者1，4，5或者2，4，5位．于是相应的排法总数为33424A =．③当甲位于4号位时，情形与①相同．排法总数为33212A =．综上，知本题所有的排法数为12+24+12=48．（8）8．设定义在R 上的函数1,(1),1()1,(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩．若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则123x x x ++等于（） A ． 3 B ．2 C ．1b -- D ．c【解析】 A ；易知()f x 的图像关于直线1x =对称．2()()0f x bf x c ++=的解必有一根使()1f x =．不妨设为1x ．23,x x 关于直线1x =对称．于是1233x x x ++=．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）9．如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________．【解析】 1-；()()()()223i 1i 1mm m m i m ++=-++．于是有3101m m +=⇒=-．（10）10．若12a x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【解析】 1-；由二项式定理4124311212CC rrr rr r r a T a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭．令44033r r -=⇒=．于是有3312C 2201a a =-⇒=-．（11）11．将参数方程12cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）化成普通方程为．【解析】 ()2214x y -+=；由12cos ,2sin x y θθ-==知()2214x y -+=．（12）12．某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别为．【解析】 13，21；依据程序框图画出运行n 次后,,M N i 的值．．（13）13．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则11,(1),,(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩．≥若数列{}n b 的前n 项积为n T ，类比上述结果，则n b =_________；此时，若2()n T n n *=∈N ，则n b =___________．【解析】 11,2;, 1.nT n T T n ⎧⎪⎨⎪=⎩≥，()221,1;, 2.1n n n n =⎧⎪⎨⎪-⎩≥；由12....n n T b b b =，知()1211...n n n n n T b b b b T b --==．（14）14．定义在R 上的函数满足1(0)0,()(1)1,()()52x f f x f x f f x =+-==，且当1201x x <≤≤时，12()()f x f x ≤，则12010f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________________．【解析】 132；容易知道()11,f =于是()1111522f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．而1111112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．又由()f x 单调增，知()1,2f x =当1152x ≤≤时．而441111155201052⋅⋅≤≤，4411111522232f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．于是11201032f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，满足sin2A ，且ABC ∆的面积为2．⑴求bc 的值；⑵若6b c +=，求a 的值．【解析】 ⑴∵sin2A =0πA <<．∴cos 2A =． ∴4sin 2sin cos 225A A A ==．∵1sin 22ABC S bc A ∆==，∴5bc =． --------------------6分⑵∵sin 2A ∴23cos 12sin 25A A =-=．∵5bc =，6b c +=，∴2222cos a b c bc A =+-2()2(1cos )b c bc A =+-+20=∴a = -----------12分（16）16．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)10,15，错误！未找到引用源。

全国高中数学联赛模拟卷（1）（一试+二试_附详细解答）

全国⾼中数学联赛模拟卷（1）（⼀试+⼆试_附详细解答）全国⾼中数学联赛模拟卷(1)⼀试⼀、填空题（本⼤题共8⼩题，每⼩题8分，共64分）1229x <+的解集为． 2．过正⽅体外接球球⼼的截⾯截正⽅体所得图形可能为______________. ①三⾓形②正⽅形③梯形④五边形⑤六边形3．直线2kx y -=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______.4．复数z ，使322z z z+=，则z 的所有可能值为 _____ ____．5．所有的满⾜条件11aba b a b ab a b ---=?++的正整数对(,)a b 的个数为．6．设,,a b c 为⽅程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则111111a b ca b c+++++=--- __. 7．将号码分别为1、2、…、9的九个⼩球放⼊⼀个袋中，这些⼩球仅号码不同，其余完全相同. 甲从袋中摸出⼀个球，其号码为a ，放回后，⼄从此袋中再摸出⼀个球，其号码为b . 则使不等式 0102>+-b a 成⽴的事件发⽣的概率等于．8．已知A , B , C 为△ABC 三内⾓, 向量)2sin 3,2(cosBA B A +-=α,2||=α.如果当C 最⼤时,存在动点M , 使得|||,||,|成等差数列, 最⼤值是__ ___.⼆、解答题（本⼤题共3⼩题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==-∑，求数列{a n }中的最⼤值．10．给定正实数k ，圆⼼为(b a ，)的圆⾄少与抛物线2kx y =有三个公共点，⼀个是原点(0, 0)，另两个点在直线b kx y +=上，求b a ，的值（⽤k 表⽰）． 11．已知函数,72sin 3|)cos ||sin (|)(--+=x x x a x f 其中a 为实数，求所有的数对(a , n )(n ∈N *),使得函数)(x f y =在区间),0(πn 内恰好有2011个零点．ABCPQ ID O 1 I 1I 2⼆试⼀、（本题满分40分）在Rt ABC ?中，CD 是斜边AB 上的⾼，记12,,I I I 分别是△ADC , △BCD ,△ABC 的内⼼，I 在AB 边上的射影为1O ，,CAB ABC ∠∠的⾓平分线分别交,BC AC 于,P Q ，且PQ 的连线与CD 相交于2O ，求证：四边形1122I O I O 为正⽅形．⼆、（本题满分40分）给定正数a , b , c , d, 证明：ba db a d a dc ad c d c b d c b c b a c b a +++++++++++++++++++333333333333.2222d c b a +++≥三、（本题满分50分）设+∈N k ，定义11=A ，2)1(221+++=+n n nA A kn n ， ,2,1=n 证明：当1≥n 时，n A 为整数，且n A 为奇数的充要条件是)4(mod 21或≡n四、（本题满分50分）试求最⼩的正整数,n 使得对于任何n 个连续正整数中，必有⼀数，其各位数字之和是7的倍数.全国⾼中数学联赛模拟卷(1)答案⼀试1．由0211≠+-x 得0,21≠-≥x x ，原不等式可变为()922112+<++x x解得845x 故原不等式的解集为145,00,28-? ?U2．答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中⼼对称图形，且②⑤可以截得3．提⽰：44[2,)(,2]33--?, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，?2），数形结合可得.4．答案：0，1，12,12i i -+-- 解：322z z z +==2z z ?，∴2(12)0z z z +-=当 0z =时，满⾜条件，当 0z ≠时，2120z z +-= 设 22(,),212()z a bi a b R a b abi a bi =+∈-++--则∴ 22120(1)220(2)a b a ab b ?-+-=?+=? ，由(2) 2(1)0b a +=1）0b = 代⼊(1) 整理得：2(1)01a a -=?=2）0b ≠，则 1a =- 代⼊(1) 得：242b b =?=±，经检验复数1,12z i =-±均满⾜条件. ∴ z 的所有可能值为0，1，12,12i i -+--. 5．解：显然1a b >≥．由条件得11a a b a a b -->?1b a b -?>11b a b -?≥+，从⽽有bab b b ≥+即b b ab b ≤-，再结合条件及以上结果，可得11a b a b a b a b a b --?++=-aa ab b ≥-+，整理得 11a a b a ab a a b --+≥-?()11a b a a b --=?-1a a -≥，从⽽()211a a a a a a ab a -=+-≥+≥即31a a-≤，所以23a ≤≤．当2a =时，1b =，不符合；当3a =时，2b =（1b =不符合）．综上，满⾜本题的正整数对(),a b 只有()32，，故只有1解．6．答案：1212331k k k k ++--，由题意，312()()()x k x k x a x b x c --=--- 由此可得0a b c ++=，1ab bc ca k ++=-，2abc k =以及121(1)(1)(1)k k a b c --=---1113()()3111(1)(1)(1)a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c +++-++-+++++=------1212331k k k k ++=-- 7．提⽰：甲、⼄⼆⼈每⼈摸出⼀个⼩球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a ?2b +10>0得2b6181135745=++++8．解: 2)cos(2)cos(2122sin 32cos 2||22=+--+=++-?=B A B A B A B A α ,21tan tan cos cos sin sin 2)cos(3)cos(=?=?+=-?B A B A B A B A B A22tan tan 4)tan (tan 2tan tan )tan(tan -=-≤+-=+=+-=B A B A BA B A C ,等号成⽴仅当22tan tan ==B A .令|AB |=2c ,因c 4||||=+, 所以 M 是椭圆1342222=+cy c x 上的动点.故点C (0,c 22), 设M (x ,y ), 则|MC |2＝x 2+(c y 22-)2＝c y c cy y c cy y y c 3||,2923122344222222≤+--=+-+-. 当y ＝c 3-时, |MC |2max =22627c +, |MC |max ＝c 216+. ||AB＝4. 9．解：经计算知22a =，33a =，45103a a ==，下⾯⽤数学归纳法证明：当5n ≥时，有103n a ≤ 假设()1053n a n ≤≥，则1211111111122122n n n n n n a n n n +-++++=+?+?++?-- 21111212212n n n n n n n n n n -++??=++?++? ?--?? 112n n n a n n ++=+ 1110186810233533n n n n n n +++≤+?=?≤?<所以数列{a n }中的最⼤值是45103a a ==10．解：设⊙O :,)()(2222b a b y a x +=-+- 即02222=-+-by y ax x抛物线与直线b kx y +=的两个交点坐标为),(),,,(2211y x y x ，则211222kx kx b kx kx b =+??=+?，即12121x x b x x k +==-??①, 这两点亦在圆上，即),(2)(222111*********b kx b b kx ax x by y ax x o +-++-=-+-=?02)1(21212=--+b ax x k同理 02)1(22222=--+b ax x k , 即 12221222,1.1a x x k b x x k ?+=??+?-?=?+?②⽐较①，②知：kk k k b k a 11),1(2122+=+=+= 11．解：⾸先，函数)(x f 以为π周期，且以)(42Z k k x ∈+=ππ为对称轴，即 ))(()2(),()(Z k x f x k f x f x f ∈=-+=+πππ，其次，42)43(,102)4(,7)2(-=+-=+-=a k f a k f a k f πππππ，∵)(x f 关于)(42Z k k x ∈+=ππ对称，∴)(x f 在)42,2(πππ+k k 及)22,42(ππππ++k k 上的零点个数为偶数，要使)(x f 在区间)0πn ，（恰有2011个零点，则上述区间端点必有零点（1）若7=a ，则0)42(,0)2(≠+=πππk f k f ，考虑区间)2,0(π及),2(ππ上的零点个数．ABCP Q ID O 1I 1 I 2令].2,1((cos sin ∈+=t x x t 则0473)(2=-+-==t t t g y ，解得11=t （舍），)4sin(2342π+==x t ，故在2 ,0(π内有两解．当),2(ππ∈x 时，72sin 3)cos (sin 7)(---=x x x x f ，令]2,1((cos sin ∈-=t x x t ，则01073)(2=-+==t t t g y ，解得11=t （舍），3102-=t （舍），故在),2(ππ内⽆解．因此，)(x f 在区间),0(π内有三个零点．.503201114)1(3),0(==-=-+n n n n n 个零点。

全国高中数学联赛模拟试题1及答案

全国高中数学联赛模拟试题1及答案全国高中数学联赛模拟试题（一）第一试一、选择题：（每题6分，共36分）1、方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是（A）1 （B）3 （C）4 （D）5x22、函数y （x∈R，x≠1）的递增区间是x 1（A）x≥2 （C）x≤0（B）x≤0或x≥2 （D）x≤1 2或x≥23、过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O为原点）的面积最小，那么l的方程为（A）x＋y－3＝0 （B）x＋3y－5＝0 （C）2x＋y－5＝0 （D）x＋2y－4＝04、假设方程cos2x＋3sin2x＝a＋1在 0, 上有两个不同的实数解x，那么参2数a的取值范围是（A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1 （C）a＜1 （D）0＜a＜1 5、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是（A）42 （B）45 （C）48 （D）516、在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列的个数是（A）8 （B）10 （C）14 （D）16二、填空题：（每题9分，共54分）1、[x]表示不大于x的最大整数，那么方程1×[x2＋x]＝19x＋99的实数解x2是．2、设a1＝1，an+1＝2an＋n2，那么通项公式an＝．3、数799被2550除所得的余数是．54、在△ABC中，∠A＝，sinB＝，那么cosC＝．3135、设k、是实数，使得关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的两个根为sin 和cos ，那么的取值范围是． 6、数5 242n（n∈N）的个位数字是三、（20分）x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1．求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件．四、（20分）（1）求出所有的实数a，使得关于x的方程x2＋(a＋xx)x＋a ＝0的两根皆为整数．（2）试求出所有的实数a，使得关于x的方程x3＋(－a2＋2a ＋2)x－2a2－2a＝0有三个整数根．五、（20分）试求正数r的最大值，使得点集T＝{(x,y)|x、y∈R，且x2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另一个点集S＝{(x,y)|x、y∈R，且对任何∈R，都有cos2 ＋xcos ＋y≥0}之中．第二试一、（50分）设a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是复数，且z2－(a－c)z－b＝0．a2 b a c z求证： 1的充分必要条件是(a－c)2＋4b≤0．ac b二、（50分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证：（1）AK⊥BC；（2） AK AP AQ2S△ABC，其中S△ABC表BC示△ABC的面积．三、（50分）给定一个正整数n，设n个实数a1,a2,…,an满足以下n个方程：ai4(j 1,2,3, ,n)． i j2j 1i 1n确定和式Si 1nai的值（写成关于n的最简式子）． 2i 1参考答案第一试二、填空题：18115871、或；38383、343；2、7×2n-1－n2－2n－3； 4、53 12； 265、{ | ＝2n ＋或2n －，n∈Z} ；6、1（n为偶数）；7（n为奇数）． 21 1 1x z y z 1 x y三、证略，等号成立的条件是x y z 或 2或 2或 2．3 z 0 y 0 z 0四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a的可能取值有－3，11，－1，9．五、rmax＝42．第二试a c a c 4b i一、证略（提示：直接解出z ，通过变形即得充分性成22立，然后利用反证法证明必要性）．二、证略（提示：用同一法，作出BC边上的高AR，利用塞瓦定理证明AR、BQ、CP三线共点，从而AK⊥BC；记AR与交于点T，那么AQ＝AP，对于AK＜AP，可证∠APK＜∠AKP）．三、S12S△ABC＝AR＞AT＞BC2n 121．。

2014年全国高中数学联赛模拟卷一试+二试

2014年全国高中数学联赛模拟卷第一试(考试时间：80分钟满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1、某天下午的课程表要排入物理、化学、生物和两节自习共5节课，如果第1节不排生物，最后1节不排物理，那么不同的排课表的方法有__________种.2、函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数，②存在[a , b ]⊆D ，使f (x )在[a , b ]上的值域为[a , b ]，那么y =f (x )叫做闭函数，现有()f x k =是闭函数，那么k 的取值范围是_________3、如图，在△ABC 中，cos2C =,0,AH BC ⋅=0)(=+⋅，则过点C ，以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为 _________4、一个单位正方形的中心和一个圆的圆心重合，并且正方形在圆的内部，在圆上随机选一点，则由该点可以看到正方形的两条完整的边的概率为12，则该圆的半径为________5、有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现用一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸，但可以折叠)，那么包装纸的最小边长应为____________．6、若实数a , b , x , y 满足3,ax by +=227ax by +=，3316ax by +=，4442ax by +=，则55ax by +=________7、设对于任意满足m n m ，n 有不等式2227m n nλ-≥恒成立，则λ的最大值为__________8、圆周上有10个等分点，则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的比为_______二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．已知正实数,x y ，设a x y =+，b . （1）当1y =时，求b a的取值范围；（2）若以,a b 为三角形的两边，第三条边长为c 构成三角形，求2c xy的取值范围.10. 已知数列{a n }：30,2021==a a ，.311-+-=n n n a a a ⑴ 证明：500112-=-+-n n n a a a )2(≥n ⑵ 求出所有的正整数n ，使得151++n n a a 为完全平方数.11. 设d c b a ,,,为正实数，且4=+++d c b a ．证明：22222)(4b a ad d c c b b a -+≥+++．(考试时间：150分钟满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）等腰直角△ABC 中，∠A ＝90°，点D 和E 为边BC 上的点，且∠DAE ＝45°，△ADE 的外接圆分别交边AB 和AC 于点P 和Q ，求证：BP ＋CQ ＝PQ二、（本题满分40分）已知n 为正整数，且)2(,,,,321≥k a a a a k 是集合},,2,1{n 中不同的正整数，其满足n 整除1,,2,1),1(1-=-+k i a a i i ，证明：n 不整除)1(1-a a k .三、（本题满分50分）已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且满足abc ＝).1)(1)(1(2---c b a（1）是否存在边长均为整数的△ABC ？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由。

2014年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)解答 (1)

tan am tan a1 tan a2 （利用①） tan a2 tan a3 tan am1

由
tan a1 1 ． tan am1 3m 1
…………………20 分
1 1 ，得 m = 3333 ． 3m 1 100
4
11. （本题满分 20 分）确定所有的复数，使得对任意复数 z1 , z2 ( z1 , z2 1, z1 ≠ z2 ) ，均有
( z1 ) 2 z1 ≠ ( z2 ) 2 z2 ．
1 1 a b 6k k 2 k 3 22 33 108 ． a b ab 2 3 3 则 M m 的值 2. 设集合 b 1 a b 2 中的最大元素与最小元素分别为 M , m ， a 为．答案： 5 2 3 ． 3 3 解：由 1 a b 2 知， b 2 5 ，当 a 1, b 2 时，得最大元素 M 5 ．又 a 1 3 3 3 b a 2 a 2 3 ，当 a b 3 时，得最小元素 m 2 3 ． a a a 因此， M m 5 2 3 ．． 3. 若函数 f ( x) x 2 a x 1 在 [0, ) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是
答案： 6. 设椭圆Г的两个焦点是 F1 , F2 ，过点 F1 的直线与Г交于点 P, Q ．若 PF2 F1 F2 ，且 3 PF1 4 QF1 ，则椭圆Г的短轴与长轴的比值为答案：．
2 6 ． 7
解：不妨设 PF1 4, QF1 3 ．记椭圆Г的长轴，短轴的长度分别为 2a ， 2b ，焦距为 2c ，则 PF2 F1 F2 2c ，且由椭圆的定义知，

2014年全国高中联赛一试训练题(附每题详解)

则u＝x(x＋y)＝cos(cos＋sin)＝sinsin(＋)＝[cos－cos(2＋)]．
当a＝π时，cos(2＋)取得最小值－1，x(x＋y)有最大值＋．
3．1个解：4xyz≥x4＋y4＋z4＋1≥2x2y2＋2z2≥4xyz(x，y，z＞0)有且只有一解x＝y＝z＝1．
4．C．
5．991．解：因为(S1＋S2＋…＋S99)＝1000，
⑵若bn＝(n∈N*)，求证：(b1＋b2＋…＋bn－n)＝1．
20．设a＞1，a，θ均为实数，试求当θ变化时，函数f(θ)＝的最小值．
21．已知f(u)＝u2＋au＋(b－2)，其中u＝x＋(x∈R且x≠0)，若a，b是可使方程f(u)＝0至少有一个实数根的实数，求a2＋b2的最小值．
22．如果an＝1＋＋＋…＋（n∈N*），证明：对一切n≥2，都有a＞2(＋＋…＋)．
4．设集合A＝{1，2，3，…，k}，B＝{1，2，3，…，m}(k≤m)建立从A到B的映射f，使f是递增的，则这样的f共有__________个．
5．对于一个有限数列P＝(P1,P2,…,Pn)，P的蔡查罗和(蔡查罗是一名数学家)定义为(S1＋S2＋…＋Sn)，
其中Sk＝P1＋P2＋…＋Pk(1≤k≤n)，若一个99项的数列（P1，P2，…，P99）的蔡查罗和为1000，
a2＋b2＝－1．∴原式＝－2．
11．11．解：记所求和为∑＝a1a2＋a1a3＋…＋a1a99＋a2a3＋a2a4＋…＋a98a99，S＝a1＋a2＋…＋a99．
则2∑＋a12＋a22＋…＋a992＝2∑＋99＝S2．∴∑＝(S2－99)，取大于99且为奇完全平方数121，即得∑≥11．
而令a1＝a2＝…＝a55＝1，a56＝a57＝…＝a99＝－1，则S＝11．即可使和取得最小值．

2014年全国高中数学联赛模拟试题(一)

2014年全国高中数学联合竞赛模拟试题（一）一试试题纸说明：①本次考试时间：8：00-9:20，满分：120分②本次考试禁止使用计算器③请答在答题纸上，答在试题纸及草稿纸上无效一、填空题（本大题共8题，每题8分，共64分）1、已知,,x y z R +Î且11x x x y z++ ，那么x y z ++的最小值为____________。

2、如果复数z 满足：1,Im 0z z =>，那么23z z -+的辐角主值的最小值为_______________。

3、三角形ABC 面积为1，用,,a b c 表示三边长度，那么22a bc +的最小值为___________。

4、不等式2arctan tan 12tan (cos sin )4x y x x x x p p +-++?的解集为__________。

5、区间(,),(,],[,),[,]a b a b a b a b 的区间长度均为b a -，若干不想交区间的并集的区间长度定义为这些区间的长度的和，那么不等式201412015k k x k=³-å的解集长度为____________。

6、实数,x y 满足222224229x xy y x y +++=，则2()33z x y xy =++的取值范围是___________。

7、函数22(1)(3)(28)()(21)(1)(4)k x k x k f x k x k x k ++++-=-+++-的定义域记为D ，则使()0f x >对任意x D Î 成立的k 的取值范围为____________。

8、离心率为e ，焦准距为p 的椭圆C 的右焦点为圆心做圆G ，现已知平面存在上一点使得该点到圆G 上任意一点对椭圆C 两切线切点所确定直线距离为定值，那么该定值为___________。

2014年全国高中数学联合竞赛模拟试题（一）一试试题纸第一页共二页二、（本题满分16分）已知1212,,,A A F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点、焦点，点A 是椭圆上一点，过原点做12,AF AF 的平行线于椭圆在A 处的切线l 于点,M N ，试求：三角形OMN 外心的轨迹。

2014高三数学一模试卷含有答案

2014高三数学质量调研卷一.填空题1. 若集合}02|{2>-=x x x A ，}2|1||{<+=x x B ，则=B A .2. 设1e 、2e 是平面内两个不平行的向量，若21e e +=与21e e m -=平行，则实数=m .3. 在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ，则=b .4. 在nx )3(-的展开式中，若第3项的系数为27，则=n .5. 若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d l im . 6. 函数)1(log )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数=-)(1x f.7. 已知椭圆13422=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△2ABF 的周长等于 .8. 数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a . 9. 若函数x x x f 1)(+=，则不等式25)(2<≤x f 的解集为 .10．如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若异面直线A A 1与C B 1 所成的角的大小为21arctan，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为 . 11. 在数列}{n a 中，21=a ，341+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前n 项和=n S . 12. 已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，若43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有种. 13. 若函数2cos 1)(xx x f ⋅+=π，则=+++)100()2()1(f f f .第10题14.已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是 . 二．选择题15.若)(x f 和)(x g 都是定义在R 上的函数，则“)(x f 与)(x g 同是奇函数或偶函数”是“)()(x g x f ⋅是偶函数”的…………………………（）)(A 充分非必要条件. )(B 必要非充分条件. )(C 充要条件. )(D 既非充分又非必要条件16. 若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是……………………………（）)(A ||2||ab b a ≥+. )(B 2≥+baa b . )(C 4)11)((≥++b a b a . )(D 222)2(2b a b a +≥+. 17.将函数)(x f y =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以是………………………………………（）)(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos .18. 若i A (n i ,,3,2,1 =)是AOB ∆所在的平面内的点，且OB OA OB OA i ⋅=⋅. 给出下列说法：①||||||||21OA OA n ==== ； ②||i 的最小值一定是||OB ； ③点A 、i A 在一条直线上；④向量及i OA 在向量的方向上的投影必相等.其中正确的个数是…………………………………………………………………………（）)(A 1个. )(B 2个. )(C 3个. )(D 4个.第18题第13题三．解答题19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知点)0,2(P ，点Q 在曲线C :x y 22=上.（1）若点Q 在第一象限内，且2||=PQ ，求点Q 的坐标；（2）求||PQ 的最小值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数x x x x f cos sin 322cos )(+=（1）求函数)(x f 的值域，并写出函数)(x f 的单调递增区间；求函数)(x f 的最大值，并指出取到最大值时对应的x 的值；（2）若60πθ<<，且34)(=θf ，计算θ2cos 的值.21.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径310=r 毫米,滴管内液体忽略不计.（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？（2）在条件(1)下,设输液开始后x （单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h （单位：厘米），已知当0=x 时，13=h .试将h 表示为x 的函数.（注:3310001mm cm =）22. （本题满分16分）已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2nn a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；高三数学质量调研卷评分标准一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. )0,3(-； 2.1-； 3. 4；4.3； 5.1； 6. =-)(1x f )0(21≤+x x （不标明定义域不给分）； 7. 8； 8.32； 9.)2,21( 10．32； 11. 14--n n （*N n ∈）； 13.150；14.2<a ；二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.【解】设),(y x Q （0,0>>y x ）,x y 22=（1）由已知条件得2)2(||22=+-=y x PQ …………………………2分将x y 22=代入上式，并变形得，022=-x x ，解得0=x （舍去）或2=x ……………4分当2=x 时，2±=y只有2,2==y x 满足条件，所以点Q 的坐标为)2,2(………………6分（2）||PQ 22)2(y x +-=其中x y 22=…………………………7分422)2(||222+-=+-=x x x x PQ 3)1(2+-=x （0≥x ）…………10分当1=x 时，3||min =PQ ……………………………………12分（不指出0≥x ，扣1分）20. 【解】（1）)62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f ………………2分由于2)62sin(22≤+≤-πx ，所以函数)(x f 的值域为]2,2[-………4分由πππππk x k 22)6222+≤+≤+-得ππππk x k +≤≤+-63所以函数)(x f 的单调的增区间为]6,3[ππππ+-k k ，Z k ∈………6分（文科不写Z k ∈，不扣分；不写区间，扣1分）由20π≤≤x 得，67626πππ≤+≤x ………4分所以当262ππ=+x 时，2)(max =x f ，此时6π=x ………6分（2）由（1）得，34)62sin(2)(=+=πθθf ，即32)62sin(=+πθ……………8分其中2626ππθπ<+<得0)62cos(>+πθ………………10分所以35)62cos(=+πθ……………11分 ]6)62cos[(2cos ππθθ-+=………………13分621521322335+=⨯+⨯=………………14分 21. 解】（1）设每分钟滴下k （*N k ∈）滴，………………1分则瓶内液体的体积πππ1563294221=⋅⋅+⋅⋅=V 3cm ………………3分k 滴球状液体的体积75340103432ππk mm k k V ==⋅⋅⋅=3cm ………………5分所以15675156⨯=ππk ，解得75=k ，故每分钟应滴下75滴。

全国高中数学联赛试卷试题包括答案.docx

精品文档2014 年全国高中数学联赛(B 卷 )一试一、填空题（每小题8 分，共 64 分，）1.函数 f (x)x5243x 的值域是.2.已知函数 y(a cos2x3) sin x 的最小值为 3 ，则实数a的取值范围是.3.双曲线x2y 2 1 的右半支与直线x100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是.4.已知 { a n } 是公差不为0的等差数列， { b n } 是等比数列，其中 a13,b11, a2b2 ,3a5b3，且存在常数 ,使得对每一个正整数 n 都有 a n log b n，则.5.函数 f (x)a 2x3a x2(a0, a1) 在区间 x [1,1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是.6.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜，否则轮由另一人投掷 . 先投掷人的获胜概率是.7.正三棱柱ABC A1B1C1的9 条棱长都相等，P是CC1的中点，二面角B A1 P B1, 则sin.8.方程 x y z2010 满足x y z 的正整数解（x,y,z）的个数是.二、解答题（本题满分 56 分）9. （16 分）已知函数f ( x)ax3bx 2cx d ( a0) ，当0x1时， f(x)1，试求a的最大值.10.（20 分）已知抛物线y26x 上的两个动点A( x1 , y1)和 B(x2 , y2 ) ，其中 x1x2且 x1x2 4 .线段AB的垂直平分线与 x 轴交于点C，求ABC 面积的最大值.11. （ 20分）证明：方程2x35x 2 0 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列{ a n}，使得2r a1r a2r a 3.5解答1.[ 3, 3] 提示：易知f (x) 的定义域是5,8 ，且 f ( x) 在 5,8上是增函数，从而可知 f ( x) 的值域为[ 3,3] .2.3a12提示：令 sin x t ，则原函数化为g(t)(at 2a3)t ，即2g(t)at 3(a3)t .由at3(a3)t 3 ，at (t 21)3(t1)0 ， (t1)( at (t 1)3)0 及t10 知at (t1)30即a(t 2t) 3 .（1）当 t0,1时（1）总成立；对0t1,0t2t 2 ；对1t0,1t 2t0 .从而可知3a12 .423.9800提示：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设y k (k1,2,,99) 与双曲线右半支于 A k, 交直线x 100 于B k，则线段A k B k内部的整点的个数为 99k ，从而在x轴上方区域内部整点的个数为99k 1(99k )99494851 .又 x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为24851989800.4. 33 3 提示：设 { a n } 的公差为 d,{b n } 的公比为q，则3d q,（1 ）3(34d)q 2，（2）（ 1）代入（ 2）得912d d 26d9 ，求得 d6, q9 .从而有 36( n1)log 9n1对一切正整数 n 都成立，即 6n3(n1) log9对一切正整数n 都成立.从而log96,3log9，求得3 3, 3 ，333.5.1提示：令a x y, 则原函数化为 g( y)y23y 2 , g( y) 在(3,+ )上是递增的 .42当 0 a1时，y[a,a 1 ] ,g( y) max a 2 3a 128 a 12a1，2所以g( y) min(1 )2312 1 ；224当a 1 时，y[ a 1 , a] ，g ( y) max a 23a28 a 2，所以g( y) min 2 232 121.14综上 f (x) 在 x[.1,1] 上的最小值为1242176. 6 的概率为，从而先投掷人的获胜概率为提示：同时投掷两颗骰子点数和大于3612177112 .7( 5 )2 7( 5 )47121212121212125171447.10提示：解法一：如图，以 AB 所在直线为x轴，线段 AB 中点 O 为原点， OC 所在直线为 y 轴，建立空间4直角坐标系 . 设正三棱柱的棱长为2，则B(1,0,0), B1(1,0,2), A1(1,0,2), P(0,3,1) ，从而，BA1( 2,0,2), BP(1,3,1), B1 A1(2,0,0), B1 P( 1,3,1) .设分别与平面 BA1 P 、平面 B1 A1 P 垂直的向量是m (x1 , y1 , z1 ) 、 n( x2 , y2 , z2 ) ，则z A1 m BA12x12z10,C 1B 1m BP x13y1z10,P n B1 A12x20,An B1 P x23y2z20,Om(1,0,1), n(0,1,3)B C y由此可设，所以ur r ur r xm n m n cos，即A132 2 cos cos6C 1.4E10B 1所以 sin.4O PAB精品文档解法二：如图， PCPC 1 , PA 1 PB .设 A 1 B 与 AB 1交于点O , 则OA 1OB,OA OB 1, A 1 B AB 1 .因为 PAPB 1, 所以 POAB 1,从而AB 1平面PA 1 B .过 O 在平面 PA 1 B 上作 OE A 1 P , 垂足为 E .连结 B 1 E , 则B 1 EO 为二面角B A 1 P B 1的平面角 .设AA 12 , 则易求得PB PA 15, A 1O B 1O 2, PO3 .PA 1O中，A 1 O PO A 1 P OE ,即2 35 OE, OE6 在直角 .5又 B 1O2, B 1 EB 1O 2 OE 22 6 4 5 .5 5sin sin B 1 EOB 1O 2 10.B 1 E4 5 458. 336675 提示：首先易知 x y z2010 的正整数解的个数为 C 20092 2009 1004.把 xy z2010 满足 x yz 的正整数解分为三类：（ 1） x, y, z 均相等的正整数解的个数显然为 1；（ 2） x, y, z 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数，易知为 1003； (3) 设 x, y, z 两两均不相等的正整数解为 k .易知1 3 1003 6k2009 1004 ，所以6k2009 1004 3 1003 12006 1005 2009 3 2 1 2006 10052004，即k 1003 335 334335671.从而满足 xy z 的正整数解的个数为1 1003 335671 336675.f (0)c,9. 解法一： f ( x) 3ax22bx c, 由f (1) 3 a b c,得2 4f (1) 3a 2b c3a 2 f (0) 2 f (1) 4 f 1( ) .2所以3 a2 f ( 0) 2 f (1) 4 f ( 1)22 f(0) 2 f (1)4 f ( 1)8 ，2所以 a 8 .又易知当 f (x) 8 x 3 4x 2 xm （ m 为常数）满足题设条件，所以 a 最大值为8.333解法二： f( x) 3ax 22bx c . 设 g( x) f ( x) 1 ，则当 0 x 1 时， 0g( x) 2.设 z 2x 1 ，则 xz 1, 1 z 1. 2g( z1) 3a z 2 3a 2b z 3ah( z) b c 1.2 4 2 4容易知道当1 z 1时，h(z)2,0 h( z)2 .从而当 1z1 时，h( z) h( z)2 ，即23a z 2 3a0 b c 1 2 ，从而3a3a z 24 4 8 .b c1 0 ,2 ，由 0 z 2 1知 a4 8 x 3 43 8又易知当 f (x)4 x 2 x m （ m 为常数）满足题设条件，所以 a 最大值为 .3310. 解法一：设线段 AB 的中点为 M ( x 0 , y 0 ) ，则 x 0 x 1x 22, y 0y 1 y 2，22k ABy 2 y 1y 2 y 163x 2x 1y 22 y 12 y 2y 1.y 06 6线段 AB 的垂直平分线的方程是y y 0y 0( x 2) .（1）3易知 x5, y0 是（ 1）的一个解，所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点，且点 C 坐标为 (5,0) .由（ 1）知直线AB的方程为y y03( x2) ，即y0xy0 ( y y0 ) 2 .（2）3（ 2）代入y26x 得 y 2 2 y0 ( y y0 )12，即y2 2 y0 y 2 y0212 0 .（3）依题意，y1 , y2是方程（ 3）的两个实根，且y1y2，所以22248 0 ,4 y04(2 y012)4 y023y02 3 .AB( x1x2 ) 2( y1y2 ) 2(1 ( y0 ) 2 )( y1 y2 ) 23(1y02)[( y1y2 )2 4 y1 y2 ]9(1y02)(4 y024(2y0212))92(9y02 )(12y02 ).3定点 C (5,0)到线段 AB 的距离h CM(5 2) 2(0 y0 ) 29 y02.S ABC1AB h1(9y02 )(12y02 ) 9y02231 1 (9y02 )(24 2 y02 )(9y02 )321 1 (9 y02242 y029 y02)3323147 .3yABO C(5,0)x当且仅当 9 y 0224 2 y 02 ，即 y 05 , A(635 , 5 7), B(6 35, 57) 或33A(635 , ( 5 7)), B(635 , 57) 时等号成立 .33所以， ABC 面积的最大值为147 .311.令f (x)2x 35x 2，则f ( x)6x 25 0 ，所以f ( x)是严格递增的 . 又f (0)2 0, f ( 13 0 ，故 f ( x) 有唯一实数根 r1) .)4(0,2 2所以 2r35r 2，2 r r3 r r 4r 7r 10L .51故数列 a n 3n 2(n 1,2, ) 是满足题设要求的数列 .若存在两个不同的正整数数列 a 1a 2a n和b 1b 2 b n满足ra1ra2ra3rb1rb2rb32 ， 5去掉上面等式两边相同的项，有r s 1r s 2r s 3r t 1r t 2r t 3，这里s 1s 2 s 3 ,t 1t 2t 3，所有的 s i 与 tj 都是不同的 .不妨设s 1t 1，则rs1rs1rs2rt1rt2，1r t 1s 1r t2 s1r r 21 1 11 1 1 ，r1 12矛盾 . 故满足题设的数列是唯一的 .加试1. （40 分）如图，锐角三角形 ABC 的外心为 O ，K 是边 BC 上一点（不是边 BC 的中点），D 是线段 AK 延长线上一点，直线 BD 与 AC 交于点 N ，直线 CD 与 AB 交于点 M ．求证：若 OK ⊥MN ，则 A ，B ，D ，C 四点共圆．AOBCE KD2.（40 分）设 k 是给定的正整数，rk1．记 f(1) (r ) f ( r ) r r ，f(l )(r ) f ( f (l 1) (r )), l 2 ．证2明：存在正整数 m，使得f(m )( r )为一个整数．这里，x表示不小于实数 x 的最小整数，例如：11，1 1 ．23.（50 分）给定整数n 2 ，设正实数a1, a2,L, a n满足 a k1, k1,2, L , n ，记A k a1 a2L a k, k1,2,L , n ．kn n n 1a k A k求证：．k1k 124.（50 分）一种密码锁的密码设置是在正 n 边形A1A2L A n的每个顶点处赋值 0 和 1 两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解答1. 用反证法．若A，B，D，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆A与AD 交于点 E，连接 BE 并延长交直线 AN 于点 Q，连接 CE 并延长交直线AM 于点 P，连接 PQ．因为 PK 2P 的幂（关于⊙ O）K 的幂（关于⊙ O）O2r2KO2r2BPO，CEK同理DQ QK 2QO2r 2KO 2r 2，P2222N所以PO PK QO QK，M 故 OK ⊥PQ．由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是AQ AP ．①QN PM由梅内劳斯（ Menelaus）定理，得NB DE AQBD EA1，②QNMC DE AP CD EA 1．③PMNB MC ND MD由①，②，③可得BD，所以BD，故△ DMN ∽ △ DCB，于是DMN CD DC故 OK⊥BC ，即 K 为 BC 的中点，矛盾！从而A, B, D ,C 四点共圆.注 1：“PK2P 的幂（关于⊙ O）K 的幂（关于⊙ O）”的证明：延长 PK 至点 F，使得PK KF AK KE ，④则 P，E，F ，A 四点共圆，故PFE PAEBCE ，从而 E，C，F，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ，⑤⑤-④，得PK 2PE PC AK KE P的幂（关于⊙O）K 的幂（关于⊙ O）．注 2：若点 E 在线段 AD 的延长线上，完全类似．BPM2. 记v2( n)表示正整数 n 所含的 2 的幂次．则当m v2 ( k)1 时，f( m)( r )为整数．下面我们对v2 ( k)v 用数学归纳法．当 v0 时，k为奇数， k 1 为偶数，此时11k 1f (r )k k k 1222为整数．假设命题对 v 1(v1) 成立．对于 v 1 ，设k的二进制表示具有形式k 2v v 1 2v 1v 22v 2 L ，这里，i0或者1， i v 1, v 2, L ．于是精品文档DCB ，所以BC∥MN，AOFCEKDQNf (r )1 1 k1 kkk 12221 k k2 k 2 21 2v 1(v 11) 2v(v 1v 2 ) 2v 1L 22 v L2 1k， ①2这里k2v 1( v 1 1) 2v( v 1v2) 2v 1 L 22vL .显然 k 中所含的 2 的幂次为 v 1．故由归纳假设知， rk1 经过 f 的 v 次迭代得到整数，由①知， f (v 1) (r ) 是2一个整数，这就完成了归纳证明．kn3. 由 0a k 1 知，对 1 k n 1，有a ik,a in k．i 1i k 1注意到当 x, y0 时，有 x ymax x, y ，于是对 1k n 1 ，有A n A k1 1 ka i 1n a i nkn ii 1k 11 n a i 1 1 ka in i k n ik 1 1max 1 n a , 1 1kan iiknik 1 i 1max1( n k), 1 1 kn k n1 k，nnnn故a kA knA nA kk 1k 1k 1n 1n 1k 1 A n A kk 1 A n A kn 1k n 11n2 ．k 14. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标.上 b，如果数字和颜色都相同，则标上c．于是对于给定的点A1上的设置（共有 4 种），按照边上的字母可以依次确定点A2 , A3 ,L, A n上的设置．为了使得最终回到A1时的设置与初始时相同，标有 a 和 b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a，b，c，使得标有 a 和 b 的边都是偶数条的方法数的 4 倍．设标有 a 的边有2 i条，0 i n，标有 b 的边有2j 条， 0j n 2i．选取 2i 条边标记a的有 C n2i种方22法，在余下的边中取出2 j 条边标记b的有C n2j2i 种方法，其余的边标记c．由乘法原理，此时共有C n2i C n2 j2i 种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为n n2i224C n2i C n2 j2i．①i0j0这里我们约定C00 1 ．当 n 为奇数时，n2i0 ，此时n2i2C n2 j2 i2n 2i 1 ．②j0代入①式中，得n n 2 i n n2C n2i 2C n2 j2 i2C n2i 2n 2i 12C n2i 2n 2 i442 i0j0i 0i 0nC n k 2n k nC n k 2n k ( 1)k(2 1)n(2 1)nk0k03n1．n n当 n 为偶数时，若i，则②式仍然成立；若i，则正n边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方法．于是，22当 n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为n n 2 i n12224C n2 i C n2 j2i 4 1C n2i 2n 2 i 1i 0j0i0n22 4C n2i2n 2i 13n3 ．i 0综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有3n1种；当 n 为偶数时有3n3种．.。

2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

成图形的面积是
.
二、解答题（本大题共 3 小题，共 56 分）
9、（16 分）设数列 an 的前 n 项和Sn 组成的数列满足 Sn Sn1 Sn2 6n2 9n 7(n 1) .
已知 a1 1, a2 5 ，求数列 an 的通项公式.
10、(20 分)设 x1, x2 , x3 是多项式方程 x3 10x 11 0 的三个根.
1, x U 3、对于实数 R 的任意子集 U，我们在 R 上定义函数 fU (x) 0, x U ，如果 A，B 是实数 R
的两个子集，则 f A (x) fB (x) 1，的充分必要条件是
.
4、若果 ABC 的三个内角 A, B,C 的余切 cot A,cot B,cot C 依次成等差数列，则角 B 的最
arccos
1 3
.
√
2 arctan
2 2
.
U
R
1 x∈U
fU (x) =
.
0 x∈U
A, B
R
fA(x) + fB(x) ≡ 1
x ∈ R, fA(x) + fB(x) = 1
fA(x), fB(x)
x ∈ A ∪ B.
A ∪ B = R.
fA(x), fB(x)
1
A, B
.
A ∪ B = R, A ∩ B = ∅.
∆ = 12y2 − 4 0.
x2 − 2xy + (1 − 2y2) = 0.
√
cot B = y
3 3
B
π 3
.
x
A
=
B
=
C
=
π 3

2014全国高中数学联合竞赛一试参考答案及评分标准

2014年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8小题，没小题8分，共64分。

1.若正数a 、b 满足)(log log 2log 2632b a b a +=+=+，则ba 11+的值为. 2.设集合}213{≤≤≤+b a b a中最大元素与最小元素分别为m M ,，则m M -的值. 3.若函数1)(2-+=x a x x f 在),0[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是. 4.数列{}n a 满足n n a n n a a 1)2(2,211++==+（+∈N n ），则2013212014a a a a +⋅⋅⋅++=. 5.正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，M,N 分别是边AB,BC 的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是.6.设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ,过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,,若212F F PF =且1143QF PF =,则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为.7.设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I 。

若点P 满足PI=1，则A P B ∆与APC ∆的面积之比最大值为.8.设A,B,C,D 是空间四个不共面的点，以21的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折现连接的概率为.二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.（本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件呢：过P 可作抛物线x y 42=的两条切线，两切点连线p l 与PO 垂直.设直线p l 与直线PO ，x 轴的交点分别为Q,R 。

（1）证明R 是一个定点；（2）求QRPQ 的最小值。

10.（本体满分20分）数列{}n a 满足61π=a ，))(arctan(sec 1++∈=N n a a n n 。

2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题01

4
A4
24 个排列，
所以满足条件的数表共有 24 9 216 张．
5
6．函数 f ( x) sin 2x e|sin x cos x | 的最大值与最小值之差等于 __________
解： f ( x)
sin 2x e|sin x cos x|
2|sin( x )|
sin 2x e
4 ，从而当 x
4
2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题一
先做后对答案
2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题一答案
一、填空题
1．在 ABC 中， a,b, c 分别是角 A, B, C 所对边的边长，若 cos A sin A
2
0，
cosB sin B
则 a b 的值是 __________
c
解：由 cosA sin A
②
2
2
将①代入②，得
d4
68d 2
900
0 ，即
2
(d
2
18)( d
50)
0 ；故 d
3 2或d
5 2．
12．设实数 a、b 满足条件 a x1 x2 x3 x1x2 x3 ， ab x1 x2 x2 x3 x3 x1 ，其中 x1、 x2、x3 0 ，
求P
a2 6b 1 的最大值． a2 a
解： a x1x2 x3 x1 x2 x3 3 3 x1x2 x3 3 3 a ，∴ a 3 3 ；
10 分制评分，即成绩是 0 到 10 的整数；
考试结果是：①没有 0 分；②没有两个同学的语文、数学成绩相同．
我们说“同学 A 比 B 的成绩好” ，是指“同学 A 的语文、数学成绩都不低于 B ”．