2012年浙江大学高等代数原版真题

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2012年高考文科数学浙江卷(含详细答案)

数学试卷第1页（共36页）数学试卷第2页（共36页）数学试卷第3页（共36页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至3页,非选择题部分4至6页.满分150分,考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共50分）注意事项：1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上.2. 每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式：球的表面积公式柱体的体积公式 24πS R =V Sh =球的体积公式其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 34π3V R =台体的体积公式其中R 表示球的半径121()3V h S S =锥体的体积公式其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积, 13V Sh =h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高如果事件A ,B 互斥,那么 ()()()P A B P A P B +=+一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{1,2,3,4}P =,{3,4,5,6}Q =,则()U P Q =ð（）A . {1,2,3,4,6}B . {1,2,3,4,5}C . {1,2,5}D . {1,2} 2. 已知i 是虚数单位,则3i1i+=-（）A . 12i -B . 2i -C . 2i +D . 12i +3. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示,则该三棱锥的体积是（）A . 1 3cmB . 2 3cmC . 3 3cmD . 6 3cm4. 设a ∈R ,则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：240x y ++=平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件 5. 设l 是直线,α,β是两个不同的平面（）A . 若l α∥,l β∥,则a β∥B . 若l α∥,l β⊥,则αβ⊥C . 若αβ⊥,l α⊥,则l β⊥D . 若αβ⊥,l α∥,则l β⊥6. 把函数cos 21y x =+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是（）A .B .C .D . 7. 设a ,b 是两个非零向量（）A . 若+=-|a b ||a ||b |,则⊥a bB . 若⊥a b ,则+=-|a b ||a ||b |C . 若+=-|a b ||a ||b |,则存在实数λ,使得λ=b aD . 若存在实数λ,使得λ=b a ,则+=-|a b ||a ||b |8. 如图,中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M ,N 是双曲线的两顶点.若M ,O ,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A . 3B . 2C .D .9. 若正数x ,y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是（）A .245B .285C . 5D . 6 10. 设0a >,0b >,e 是自然对数的底数,（）A . 若e 2e 3a b a b =++,则a b >B . 若e 2e 3a b a b =++,则a b <C . 若e 2e 3a b a b =--,则a b >D . 若e 2e 3a b a b =--,则a b <姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------数学试卷第4页（共36页）数学试卷第5页（共36页）数学试卷第6页（共36页）非选择题部分（共100分）注意事项：1. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上.2. 在答题纸上作图,可先使用2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.11. 某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生人数为_________.12. 从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机（等可能）取两点,则该两点间的距_________.13. 若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是_________.14. 设2z x y =+,其中实数x ,y 满足10,20,0,0,x y x y x y -+⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩≥≤≥≥则z 的取值范围是_________.15. 在ABC △中,M 是BC 的中点,3AM =,10BC =,则AB AC =uu u r uuu rg _________.16. 设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数,当[0,1]x ∈时,()f x =1x +,则3()2f =_________.17. 定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线1C ：2y x a =+到直线l ：y x =的距离等于曲线2C ：22(4)2x y ++=到直线l ：y x =的距离,则实数a =_________.三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程,或演算步骤. 18.（本小题满分14分）在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且sin cos b A B . （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3b =,sin 2sin C A =,求a ,c 的值.19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,*n ∈N ,数列{}n b 满足24log 3n n a b =+,*n ∈N .（Ⅰ）求n a ,n b ；（Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .20.（本小题满分15分）如图,在侧棱垂直底面的四棱柱1111ABCD A B C D -中,AD BC ∥,AD AB ⊥,AB 2AD =,4BC =,12AA =,E 是1DD 的中点,F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点.（Ⅰ）证明：（ⅰ）1EF D A ∥；（ⅱ）1BA ⊥平面11B C EF ；（Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值.21.（本小题满分15分）已知a ∈R ,函数3()42f x x ax a =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当01x ≤≤时,|2|)0(f x a -+＞.22.（本小题满分14分）在直角坐标系xOy 中,点1(1,)2P 到抛物线C ：22(0)y px p =>的准线的距离为54.点, 1M t （）是C 上的定点,A ,B 是C 上的两动点,且线段AB 被直线OM 平分.（Ⅰ）求p ,t 的值；（Ⅱ）求ABP △面积的最大值.3 / 122012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）答案解析选择题部分【解析】{1,2,3,4,5,6=U {()=U P Q ð()U P Q ð即可得到正确选项。

2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(浙江卷)

浙江文科1.(2012浙江,文1)设全集U ={1,2,3,4,5,6},集合P ={1,2,3,4},Q ={3,4,5},则P ∩(∁U Q )=( ). A .{1,2,3,4,6} B .{1,2,3,4,5} C .{1,2,5}D .{1,2}D 由已知得,∁U Q ={1,2,6},所以P ∩(∁U Q )={1,2}. 2.(2012浙江,文2)已知i 是虚数单位,则3i 1i+-=( ). A .1-2iB .2-iC .2+iD .1+2iD ∵3i 1i +-=(3i)(1i)(1i)(1i)++-+=233i i i 2+++=1+2i ,∴选D .3.(2012浙江,文3)已知某三棱锥的三视图(单位:cm )如图所示,则该三棱锥的体积是( ).A .1 cm 3B .2 cm 3C .3 cm 3D .6 cm 3A 由三视图得,该三棱锥底面面积S =12×2×1=1(cm 2),高为3 cm ,由体积公式,得V =13Sh =13×1×3=1(cm 3).4.(2012浙江,文4)设a ∈R ,则“a =1”是“直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +2y +4=0平行”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件C l 1与l 2平行的充要条件为a ×2=2×1且a ×4≠-1×1,得a =1,故选C . 5.(2012浙江,文5)设l 是直线,α,β是两个不同的平面,( ). A .若l ∥α,l ∥β,则α∥β B .若l ∥α,l ⊥β,则α⊥β C .若α⊥β,l ⊥α,则l ⊥βD .若α⊥β,l ∥α,则l ⊥βB A 选项中由l ∥α,l ∥β不能确定α与β的位置关系,C 选项中由α⊥β,l ⊥α可推出l ∥β或l ⊂β,D 选项由α⊥β,l ∥α不能确定l 与β的位置关系.6.(2012浙江,文6)把函数y =cos 2x +1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( ).A y =cos 2x +1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y 1=cos x +1,再向左平移1个单位长度得y 2=cos (x +1)+1,再向下平移1个单位长度得y 3=cos (x +1),故相应图象为A . 7.(2012浙江,文7)设a ,b 是两个非零向量.( ). A .若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB .若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C .若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得b =λaD .若存在实数λ,使得b =λa ,则|a +b |=|a |-|b |C 由|a +b |=|a |-|b |两边平方可得,|a |2+2a ·b +|b |2=|a |2-2|a ||b |+|b |2,即a ·b =-|a ||b |,∴cos <a ,b >=-1,即a 与b 反向,根据向量共线定理,则存在实数λ,使得b =λa.8.(2012浙江,文8)如图,中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M ,N 是双曲线的两顶点.若M ,O ,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( ). A .3B .2CDB 由题意可知椭圆的长轴长2a 1是双曲线实轴长2a 2的2倍,即a 1=2a 2,而椭圆与双曲线有相同的焦点.故离心率之比为21ca c a =12a a =2.9.(2012浙江,文9)若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是( ). A .245B .285C .5D .6C ∵x +3y =5xy ,∴15y +35x=1.∴3x +4y =(3x +4y )×1=(3x +4y )135y 5x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=3x 5y +95+45+12y 135x5≥+5, 当且仅当3x 5y =12y 5x ,即x =1,y =12时等号成立.10.(2012浙江,文10)设a >0,b >0,e 是自然对数的底数,( ). A .若e a +2a =e b +3b ,则a >b B .若e a +2a =e b +3b ,则a <b C .若e a -2a =e b -3b ,则a >bD .若e a -2a =e b -3b ,则a <bA 考查函数y =e x +2x 为单调增函数,若e a +2a =e b +2b ,则a =b ;若e a +2a =e b +3b ,∴a >b .故选A .11.(2012浙江,文11)某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生人数为 .160 根据分层抽样的特点,此样本中男生人数为560560420+×280=160. 12.(2012浙江,文12)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为的概率是 . 25 五点中任取两点的不同取法共有25C =10种,的情况有4种,故概率为410=25.13.(2012浙江,文13)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是.1120 当i =1时,T =11=1,当i =2时,T =12,当i =3时,T =123=16,当i =4时,T =164=124,当i =5时,T =1245=1120,当i =6时,结束循环,输出T =1120.14.(2012浙江,文14)设z =x +2y ,其中实数x ,y 满足x y 10,x y 20,x 0,y 0,-+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z 的取值范围是.70,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦不等式组表示的可行域如图阴影部分,结合图象知,O 点,C 点分别使目标函数取得最小值、最大值,代入得最小值为0,最大值为72.15.(2012浙江,文15)在△ABC 中,M 是线段BC 的中点,AM =3,BC =10,则AB ·AC= . -16AB ·AC =(AM+MB )·(AM +MC )=2AM +AM ·MC +AM ·MB +MB ·MC =|AM |2+(MB +MC )·AM +|MB ||MC|cos π=9-25=-16.16.(2012浙江,文16)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,f (x )=x +1,则f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭= . 32 f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 322⎛⎫- ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫- ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=12+1=32.17.(2012浙江,文17)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=.94x2+(y+4)2=2到直线y=x所以y=x2+a到y=x而与y=x,分别是y=x+2与y=x-2,而抛物线y=x2+a开口向上,所以y=x2+a与y=x+2相切,可求得a=94.18.(2012浙江,文18)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b sin A cos B.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.解:(1)由b sin A cos B及正弦定理aAsin =bB sin,得sin B B,所以tan B所以B=3.(2)由sin C=2sin A及aAsin =cCsin,得c=2a.由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,得9=a2+c2-ac.所以a c=19.(2012浙江,文19)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2n2+n,n∈N*,数列{b n}满足a n=4log2b n+3,n∈N*.(1)求a n,b n;(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.解:(1)由S n=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,a n=S n-S n-1=4n-1.所以a n=4n-1,n∈N*.由4n-1=a n=4log2b n+3,得b n=2n-1,n∈N*.(2)由(1)知a n b n=(4n-1)·2n-1,n∈N*.所以T n=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,2T n=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,所以2T n-T n=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5.故T n=(4n-5)2n+5,n∈N*.20.(2012浙江,文20)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.(1)证明:①EF∥A1D1;②BA1⊥平面B1C1EF;(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.(1)证明:①因为C1B1∥A1D1,C1B1⊄平面ADD1A1,所以C1B1∥平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA=EF,所以C1B1∥EF,所以A1D1∥EF.②因为BB1⊥平面A1B1C1D1,所以BB1⊥B1C1.又因为B1C1⊥B1A1,所以B1C1⊥平面ABB1A1,所以B1C1⊥BA1.在矩形ABB 1A 1中,F 是AA 1的中点,tan ∠A 1B 1F =tan ∠AA 1B即∠A 1B 1F =∠AA 1B ,故BA 1⊥B 1F . 所以BA 1⊥平面B 1C 1EF .(2)解:设BA 1与B 1F 交点为H ,连结C 1H.由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF ,所以∠BC 1H 是BC 1与面B 1C 1EF 所成的角. 在矩形AA 1B 1B 中,ABAA 1=2,得BH.在直角△BHC 1中,BC 1=BH得sin ∠BC 1H =1BH BC所以BC 1与平面B 1C 1EF21.(2012浙江,文21)已知a ∈R ,函数f (x )=4x 3-2ax +a . (1)求f (x )的单调区间;(2)证明:当0≤x ≤1时,f (x )+|2-a |>0. (1)解:由题意得f '(x )=12x 2-2a .当a ≤0时,f '(x )≥0恒成立,此时f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞).当a >0时,f '(x )=12x x ⎛+ ⎝,此时函数f (x )的单调递增区间为⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭.单调递减区间为⎡⎢⎣.(2)证明:由于0≤x ≤1,故当a ≤2时,f (x )+|a -2|=4x 3-2ax +2≥4x 3-4x +2.当a >2时,f (x )+|a -2|=4x 3+2a (1-x )-2≥4x 3+4(1-x )-2=4x 3-4x +2.设g (x )=2x 3-2x +1,0≤x ≤1,则g '(x )=6x 2-2=6x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭,于是所以,g (x )min =g ⎝⎭=10.所以当0≤x ≤1时,2x 3-2x +1>0. 故f (x )+|a -2|≥4x 3-4x +2>0.22.(2012浙江,文22)如图,在直角坐标系xOy 中,点P 11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭到抛物线C :y 2=2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t ,1)是C 上的定点,A ,B 是C 上的两动点,且线段AB 被直线OM 平分. (1)求p ,t 的值;(2)求△ABP 面积的最大值.解:(1)由题意知2pt 1,p 51,24=⎧⎪⎨+=⎪⎩得1p ,2t 1.⎧=⎪⎨⎪=⎩(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),线段AB 的中点为Q (m ,m ). 由题意知,设直线AB 的斜率为k (k ≠0).由211222y x ,y x ,⎧=⎨=⎩得(y 1-y 2)(y 1+y 2)=x 1-x 2, 故k ·2m =1.所以直线AB 方程为y -m =12m(x -m ),即x -2my +2m 2-m =0.由22x 2my 2m m 0,y x,⎧-+-=⎨=⎩ 消去x ,整理得y 2-2my +2m 2-m =0,所以Δ=4m -4m 2>0,y 1+y 2=2m ,y 1·y 2=2m 2-m . 从而|AB 211k +|y 1-y 2214m +24m 4m -设点P 到直线AB 的距离为d ,则d 2214m +设△ABP 的面积为S ,则S =12|AB |·d =|1-2(m -m 2)|2m m -.由Δ=4m -4m 2>0,得0<m <1.令u 2m m -0<u ≤12,则S =u (1-2u 2).设S (u )=u (1-2u 2),0<u ≤12,则S '(u )=1-6u 2.由S '(u )=0,得u 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以S (u )max =S ⎝⎭.故△ABP .。

2012年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷(数学理)解析版

绝密★考试结束前2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式 24πS R = ()1213V h S S = 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积， 34π3V R =h 表示台体的高其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2) 【解析】A ＝(1，4)，B ＝(－3，1)，则A ∩(C R B )＝(1，4)．【答案】A2．已知i 是虚数单位，则3+i1i-＝ A ．1－2i B ．2－i C ．2＋i D ．1＋2i 【解析】3+i 1i -＝()()3+i 1+i 2＝2+4i 2＝1＋2i ．【答案】D3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0显然平行；若直线l 1与直线l 2平行，则有：211a a =+，解之得：a ＝1 or a ＝﹣2．所以为充分不必要条件．【答案】A4．把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【解析】把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向左平移1个单位长度得：y 2＝cos(x —1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x —1)．令x ＝0，得：y 3＞0；x ＝12π+，得：y 3＝0；观察即得答案．【答案】B5．设a ，b 是两个非零向量．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λbD．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．【答案】C6．若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A．60种B．63种C．65种D．66种【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：225460C C=种；4个都是奇数：455C=种．∴不同的取法共有66种．【答案】D7．设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误．．的是A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意的n∈N*，均有S n＞0D．若对任意的n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不成立．【答案】C8．如图，F1，F2分别是双曲线C：22221x ya b-=(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是 ABCD【解析】如图：|OB |＝b ，|O F 1|＝c ．∴k PQ ＝b c ，k MN ＝﹣bc．直线PQ 为：y ＝b c (x ＋c )，两条渐近线为：y ＝b a x ．由()b y x c c b y x a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝，得：Q (ac c a -，bc c a -)；由()b y x c cb y x a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝-，得：P (ac c a -+，bc c a +)．∴直线MN 为：y －bc c a +＝﹣bc(x －ac c a -+)，令y ＝0得：x M ＝322c c a -．又∵|MF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴3c ＝x M＝322c c a -，解之得：2232a c e a ==，即e．【答案】B9．设a ＞0，b ＞0．A ．若2223a b a b +=+，则a ＞bB ．若2223a b a b +=+，则a ＜bC ．若2223a b a b -=-，则a ＞bD ．若2223a b a b -=-，则a ＜b【解析】若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则()2l n 220x f x '=⋅+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．【答案】A10．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中，A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的．【答案】C绝密★考试结束前2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数学（理科）非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于___________cm 3．【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于11312123⨯⨯⨯⨯=．【答案】112．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是______________．【解析】T ，i 关系如下图：【答案】112013．设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为{S n }．若2232S a =+，4432S a =+，则q ＝______________．【解析】将2232S a =+，4432S a =+两个式子全部转化成用1a ，q 表示的式子．即111233111113232a a q a q a a q a q a q a q +=+⎧⎨+++=+⎩，两式作差得：2321113(1)a q a q a q q +=-，即：2230q q --=，解之得：312q or q ==-(舍去)．【答案】3214．若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝______________．【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：545543315544310100a C a a a C a C a a =⎧⎪+=⇒=⎨⎪++=⎩．法二：对等式：()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++两边连续对x 求导三次得：2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++，再运用赋值法，令1x =-得：3606a =，即310a =．【答案】1015．在∆ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC ⋅＝______________．【解析】此题最适合的方法是特例法．假设∆ABC 是以AB ＝AC 的等腰三角形，如图， AM ＝3，BC ＝10，AB ＝ACcos ∠BAC ＝3434102923434+-=⨯．AB AC ⋅＝cos 29AB AC BAC ⋅∠= 【答案】2916．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________．【解析】C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l ：y ＝x的距离为：d ==故曲线C 2到直线l ：y ＝x的距离为d d r d '=-=-= 另一方面：曲线C 1：y ＝x 2＋a ，令20y x '==，得：12x =，曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离的点为(12，14a +)，74d a '==⇒=．【答案】7417．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝______________．【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况： (A )2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩－－－－，无解； (B )2(1)1010a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－－－，无解．因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x ＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图) 我们知道：函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，1)．考查函数y 1＝(a －1)x －1：令y ＝0，得M (11a -，0)，还可分析得：a ＞1；考查函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，代入得：211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭，解之得：a =，舍去a =，得答案：a =【答案】a =三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本小题满分14分)在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23，sin BC ． (Ⅰ)求tan C 的值；(Ⅱ)若a∆ABC 的面积．【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。

2012年高考文科数学浙江卷-答案

120
【解析】循环前，T 1， i 2 ，不满足判断框的条件，
第 1 次循环，T 1 ， i 3，不满足判断框的条件， 2
第 2 次循环，T 1 ， i 4 ，不满足判断框的条件， 6
第 3 次循环，T 1 ， i 5 ，不满足判断框的条件， 24
第 4 次循环，T 1 ， i 6 ，满足判断框的条件，退出循环，输出结果 1 。
上的周期为
2
的函数，
f
3 2
f
1 2
2
f
1 2
，又
函数 f (x) 是
定义在
R
上的偶函数，
f
1 2
f
1 2
，又
当
x [0,1]
时，
f ( x)
x
1，
f
1 2
1 2
1
3 2
，则案为
3 2
。
5 / 10
【提示】利用函数的周期性先把
f
3 2
转化成
f
120
120
故答案为 1 。 120
【提示】通过循环框图，计算循环变量的值，当 i 6 时结束循环，输出结果即可。
【考点】循环结构
14.【答案】
0,
2 7
x y 1 0
【解析】约束条件
x x
y 0
2
0
对应的平面区域如图示：
y 0
由图易得目标函数
z
x
2
y
在
O(0,
0)
处取得最小值，此时
| a b || a | | b |，所以 D 不正确。
故选 C。【提示】通过向量和向量的模相关性质进行判断即可。【考点】平面向量的综合题 8.【答案】B 【解析】因为 M，N 是双曲线的两顶点，M，O，N 将椭圆长轴四等分，所以椭圆的长轴长是双曲线实轴长

[专升本类试卷]2012年浙江专升本(高等数学)真题试卷.doc

15平面2x+y一z一1=0到平面2x+y一z＋3=0的距离为___________．
三、解答题
解答时应写出推理、演算步骤。
16设f(x)= 在x=0处的连续，求a的值．
17设f(x)= ，求f′(x)
18设曲线，求其拐点及凹凸区间；
19求方程x2=xsinx+cosx根的个数；
20求不定积分∫x2lnxdx
（A）e－x(acosx+bsinx)
（B）ae－xcosx+bxe－xsinx
（C）xe－x(acosx+bsinx)
（D）axe－xcosx＋be－xsinx
二、填空题
6 －(x+1)]=___________．
7函数y=sin 的连续区间为___________．
8已知f′(3)=2，则 =___________．
9若函数y=y(x)由方程y=1+xey所确定．则y′=___________．
10 dx=___________．
11极限表示的定积分为___________．
12级数的收敛区间为___________．
13一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解为___________．
14在xOy平面上与向量a=(4，一3，7)垂直的单位向量是___________．
（C）高阶无穷小
（D）低阶无穷小
3设函数f(x)满足f(0)=1，f(2)=3，f′(2)=5，f″(x)连续，则 xf″(x)dx ( )
（A）10
（B）9
（C）8
（D）7
4由y= ，y=1，x=4围成的图形的面积为( )
（A）
（B）

完整版2012年浙江省高考数学试卷文科答案与解析

2012年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2012?浙江）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（?Q）=（）U A．{ 1，2，3，4，6} B．{1，2，3，4，5} C．{1，2，5} D．{1，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意，可先由已知条件求出CQ，然后由交集的定义求出P∩（CQ）即可得到正UU确选项．解答：解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}，∴?Q={1，2，6}，又P={1，2，3，4}，U∴P∩（CQ）={1，2} U故选D．点评：本题考查交、并、补的运算，解题的关键是熟练掌握交、并、补的运算规则，准确计算．是虚数单位，则=（?浙江）已知i）20122．（5分）（A．1 ﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案．解答：解：故选D点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握．3．（5分）（2012?浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（）13333．．．DB．C A cm1cmcm 2cm6 3三视图求面积、体积．考点：由体几何．专题：立2的直角三角形，三棱锥由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1和分析：，这是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式得到的一条侧棱与底面垂直，且长度是3 结果．2cm的直角三角：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1cm和解答：解2，1×2=1cm形，面积是×3cm，这是三棱锥的高，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是33=1cm×1×∴三棱锥的体积是，．故选A本题解题的关键是根据三视图看出几何体的形状和长点评：本题考查由三视图还原几何体，度，注意三个视图之间的数据关系，本题是一个基础题．平x+2y+4=0l：：ax+2y﹣1=0与直线Ra∈，则“a=1”是“直线l54．（分）（2012?浙江）设21）行的（必要不充分条件分不必要条件B．A．充不充分也不必要条件D．既C．充分必要条件要条件、充分条件与充要条件的判断．考点：必易逻辑．专题：简分析：：ly+C=0与直线利用充分、必要条件进行推导，结合两直线直线l：Ax+B21111 C可得答案．=ABB≠Ay+CAx+B=0平行的充要条件是A122212122）充分性：1：（解答：解x+2y+4=0：平行；x+2y﹣1=0与直线l：a=1当时，直线l21 2）必要性：（x+2y+4=0平行时有：：﹣l当直线：ax+2y1=0与直线l21．，即：??a2=21a=12∴“a=1”是“直线l：ax+2y﹣1=0与直线l：x+2y+4=0平行”充分必要条件．21故选C．点评：本题考查充分条件、必要条件、充分必要条件以及两直线平行的充要条件，属于基础题型，要做到熟练掌握．5．（5分）（2012?浙江）设l是直线，α，β是两个不同的平面（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β考点：平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用面面垂直的判定定理可证明B是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题解答：解：A，若l∥α，l∥β，则满足题意的两平面可能相交，排除A；B，若l∥α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故B正确；C，若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除C；D，若α⊥β，l∥α，则l可能与β平行，相交，排除D故选 B点评：本题主要考查了空间线面、面面位置关系，空间线面、面面垂直于平行的判定和性质，简单的逻辑推理能力，空间想象能力，属基础题6．（5分）（2012?浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（）DC A B．．．．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案．解答：解：将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，，且在区间），），0和（0经过点x+1y=cos∴曲线（）（，（）0上函数值小于由此可得，A选项符合题意．A故选3点评：本题给出一个函数图象的变换，要我们找出符合的选项，着重考查了函数图象变换规律和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换公式等知识点，属于基础题．，是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（）分）（2012?浙江）设7．（5A．⊥| +|=||﹣若，则||B．||，则|=|||+若﹣⊥C．λ，使得=|若||，则存在实数+λ|=||﹣D．||||λ若存在实数+，使得=﹣λ，则|=|考点：平面向量的综合题．专题：平面向量及应用．分析：通过向量和向量的模相关性质进行判断即可．解答：2222|||≠|，+20?得=||，?+||A解：对于，若=|﹣+|=||﹣﹣||，则||2|||+|||与不垂直，所以A不正确；||，所以B不正确；|≠||对于B，由A解析可知，﹣|+2222||||?+||+﹣|=||﹣||，则=||2|+||﹣||+2?|=||，则，若对于C，得|λ，所以C=，使得=﹣1正确．，则与反向，因此存在实数λcosθ22?0≠，因此||，则λ?=，由于||λ，﹣不能等于||||=λD对于，若存在实数λ||，所以D|||﹣|||，则|不正确．+|≠﹣故选C．点评：本题考查向量的关系的综合应用，特例法的具体应用，考查计算能力．8．（5分）（2012?浙江）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）．DC2．B 3．A ．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分，可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，利用双曲线与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值．解答：解：∵M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍∵双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故选B．点评：本题考查椭圆、双曲线的几何性质，解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍．9．（5分）（2012?浙江）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）C．5 D B．．6A．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（）（3x+4y）将x+3y=5xy，展开后利用基转化成=1，然后根据3x+4y=本不等式可求出3x+4y的最小值．解答：解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=1（3x+4y=+2+=5）（3x+4y）=≥+∴+当且仅当=时取等号∴3x+4y≥5即3x+4y的最小值是5故选：C点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题．10．（5分）（2012?浙江）设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数（）abab B．A．+3b，则a＜若若eeb +2a=ea+3b，则＞b +2a=e abab．D．C﹣3b，则a＞b ，则3ba＜b 若e2a=e若e2a=e﹣﹣﹣考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．abab分析：﹣3b，若a≥b成立，2a=e；对于成立，经分析可排除≤，若于对e+2a=e+3babBe﹣经分析可排除C，D，从而可得答案．5解答：baab b≥ba这与aa≤b成立，则必有e≤≤e，故必有2a≥3be解：对于，+2a=e即有+3b，若B不对；a≤b成立不可能成立，故矛盾，故baab，故排除b，即有a≥b成立，则必有ea≥e≥，故必有2a≥对于e3b﹣2a=e，若﹣3b ．C，D ．故选A baba点评：根据选项中的条件逆+2a=e﹣+3b与ee3b﹣2a=e，题考查指数函数综合题，本对于向分析而排除不适合的选项是关键，也是难点，属于难题．28分．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共人，用分层抽样的方法从该年4204．（分）（2012?浙江）某个年级有男生560人，女生11160级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先根据男生和女生的人数做出年纪大总人数，用要抽取得人数除以总人数得到每个个体被抽到的概率，用男生人数乘以概率，得到结果．解答：解：∵有男生560人，女生420人，∴年级共有560+420=980∵用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，∴每个个体被抽到的概率是=，∴要从男生中抽取560×=160，故答案为：160点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据，本题是一个基础题．12．（4分）（2012?浙江）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：空间位置关系与距离；概率与统计．分析：先求出随机（等可能）取两点的总数，然后求出满足该两点间的距离为的种数，最后根据古典概型的概率公式求之即可．解答：解：从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点共有=10 种种可能的必选中心，共有其中两点间的距离为46的概率是=故该两点间的距离为故答案为：点评：本题主要考查了古典概型的概率，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．．浙江）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是分）13．（4（2012?循环结构．考点：法和程序框图．：专题算时结束循环，输出结果即可．分析：通过循环框图，计算循环变量的值，当i=6解答：，T=，i=3T=1解：循环前，，i=2，不满足判断框的条件，第1次循环，i=4，，不满足判断框的条件，第2次循环，T=，T=次循环，i=5，不满足判断框的条件，第3i=6，，T=次循环，不满足判断框的条件，第4．满足判断框的条件，退出循环，输出结果．故答案为：7点评：本题考查循环结构的应用，注意循环的变量的计算，考查计算能力．z的取值范围是z=x+2y4分）（2012?浙江）设，其中实数x，y则满足．14（．][0，简单线性规划．考点：等式的解法及应用．专题：不z在目标函数中的几何意义，分析：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，结合的范围．求出目标函数的最大值、及最小值，进一步线出目标函数z 解答：对应的平面区域如图示：解：约束条件z=0 0）处取得最小值，此时O（0，在由图易得目标函数z=2y+xz=），此时B在B处取最大值，由可得（]的取值范围为：Z=x+2y[0，故][0故答案为：，8用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件，利用目标函数点评：z 的几何意义是关键．中﹣=??浙江）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则分）15．（4（2012 16．考点：平面向量数量积的运算．：平面向量及应用．专题分析：）以及两﹣）?（= π设∠AMB=θ，则∠AMC=﹣θ，再由（﹣个向量的数量积的定义求出结果．解答：﹣，=πAMC=﹣θ．又﹣，=∠解：设AMB=θ，则∠（??﹣﹣，﹣）=?+）=∴（﹣? +9=﹣16，5cos﹣3×（π﹣θ）θ﹣=﹣255×3cos 故答案为﹣16．题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．点评：本时，1，]xR）是定义在上的周期为2的偶函数，当∈[0xf?（416．（分）2012浙江）设函数（．，则）（fx=x+1=9考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：上的）是定义在，再利用函数f（x利用函数的周期性先把转化成fR（）（f），代入已知求解即可．偶函数转化成R上的周期为2的函数，解答：解：∵函数f（x）是定义在（），∴=f=f（+2）x）是定义在R上的偶函数，又∵函数f（（）∴f，（）=f ，）=x+1[0∈，1]时，f（x又∵当x∴f，（）+1==．=则．故答案为：题主要考查函数的性质中的周期性和奇偶性，属于基础题，应熟练掌握．点评：本到直线的距离的最小值称为曲线C（2012?浙江）定义：曲线C上的点到直线l17．（4分）222到直线+（y+4）=2C：y=xl+a到直线：y=x的距离等于曲线C：x的距离，已知曲线l21的距离，则实数a=．l：y=x考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．专题：导数的概念及应用．22分析：=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C根据定义求出曲线C：x：+（y+4）先122+a 的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．y=x22解答：=2的圆心为（0，﹣4）（y+4），半径为，解：圆x+圆心到直线y=x的距离为=2，22C∴曲线=2到直线l：y=x 的距离为2：xy+4+（）．﹣=22+a到直线l：y=x的距离等于则曲线C：y=x，1令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a），切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为，10a=．即解得或﹣2 y=x相交，故不符合题意，舍去．+a时直线y=x与曲线C当a=：﹣1．故答案为：题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同点评：本时考查了分析求解的能力，属于中档题．分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．小题，共72三、解答题：本大题共5．bsinA=c，且acosB，B，C的对边分别为a，b，内角18．（14分）（2012?浙江）在△ABC 中，A 的大小；）求角B（1 c的值．a，sinC=2sinA，求，（2）若b=3三角形．考点：解三角形．专题：解sinA，sinA不为0，等式两边同时除以分析：（1）将已知的等式利用正弦定理化简，根据为三角形的内角，利用特殊的值，由B再利用同角三角函数间的基本关系求出tanB B的度数；角的三角函数值即可求出cosBb及的方程，记作①，再由2）由正弦定理化简sinC=2sinA，得到关于a与c（a①②即可求出的另一个方程，记作②，联立的值，利用余弦定理列出关于a与c c的值．与解答：，acosBsinBsinA=及正弦定理sinAcosB=解：（1）由，得：bsinA= ，sinA≠0∵A为三角形的内角，∴，tanB=∴sinB=cosB，即；B=又B为三角形的内角，∴及正弦定理sinC=2sinA （2）由，得：=c=2a①，22222b由余弦定理∵b=3，cosB=，∴②+c，+c﹣﹣2accosB得：9=aac=ac=2a=，联立①②解得：．题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，同角三角函数间的点评：此基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．*2}，数列n，∈N，且{a}的前n项和为SS=2n{b+n浙江）已知数列分）19．（14（2012?nnnn*∈N．，满足a=4logb+3n nn2；，b1（）求a nn．n项和T}{a（2）求数列?b的前nnn数考点：列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．等专题：差数列与等比数列．11 2分析：+n可得，当n=1时，可求a=3，当n≥2时，由a=s﹣s可求通项，Ⅰ）由S=2n（11nnnn﹣进而可求b n）知，，利用错位相减可求数列的和Ⅰ（Ⅱ）由（2解答：+n可得，当n=1时，=2na=s=3：解（Ⅰ）由S11n22﹣（n﹣1）=4n﹣﹣2（n﹣1）时，当n≥2a=s﹣s=2n1 +n1nnn﹣而n=1，a=4﹣1=3适合上式，1故a=4n﹣1，n又∵a=4logb+3=4n﹣1n2n∴）知，Ⅰ（Ⅱ）由（nn21﹣）?2+（4n2﹣1）?=32T×2+7×2…++（4n﹣5n∴n?2（4n﹣1）=nnn+5 ?24n﹣5）（2﹣2）]=）=（4n﹣1?2（﹣[3+4点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用．20．（15分）（2012?浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣ABCD中，AD∥BC，1111AB=．AD=2，BC=4，AA=2，E是DD的中点，F是平面BCEABAD⊥，与直线AA11111的交点．（1）证明：（i）EF∥AD；11（ii）BA⊥平面BCEF；111（2）求BC与平面BCEF所成的角的正弦值．11112考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）（i）先由CB∥AD证明CB∥平面ADDA，再由线面平行的性质定理得出11111111CB∥EF，证出EF∥AD．1111（ii）易通过证明BC⊥平面ABBA得出BC⊥BA，再由1111111B=，即∠ABF=∠AAB，得出BA⊥tan∠ABF=tan∠AABF．所以BA⊥平111111111面BCEF；11（2）设BA与BF交点为H，连接CH，由（1）知BA⊥平面BCEF，所以∠BCH1111111是BC与平面BCEF所成的角．在RT△BHC中求解即可．1111解答：（1）证明（i）∵CB∥AD，CB?平面ADDA，∴CB∥平面ADDA，111111111111又CB?平面BCEF，平面BCEF∩平面ADDA=EF，11111111∴CB∥EF，∴EF∥AD；1111（ii）∵BB⊥平面ABCD，∴BB⊥BC，11111111又∵BC⊥BA，1111∴BC⊥平面ABBA，1111∴BC⊥BA，111B=，即∠AAtan∠ABF=tan中，在矩形ABBAF是AA的中点，111111∠ABF=∠AAB，故BA⊥BF．11111所以BA⊥平面BCEF；111（2）解：设BA与BF交点为H，11连接CH，由（1）知BA⊥平面BCEF，所以∠BCH是BC与平面BCEF所成11111111的角．BH=，AA=2，得在矩形AABB中，AB=，111=，BCsin∠H=中，RT在△BHCBC=2，111所成的角的正弦值是．EFB所以BC与平面C111点评：本题考查空间直线、平面位置故选的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证能力、转化、计算能力．133﹣2ax+a．（x）=4x（2012?浙江）已知a∈R，函数f21．（15分）（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2﹣a|＞0．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．2分析：﹣=12x2a=12′（x）0恒成立；a＞0时，f′（1）求导函数，再分类讨论：a≤0时，f （x）≥x+），由此可确定f（x（x）的单调区间；﹣）（33﹣4x+2；当a＞2﹣2ax+2≥4x时，f≤1，故当a≤2时，f（x）+|2﹣a|=4x（2）由于0≤x3333=2x）g（x﹣2=4x﹣4x+2，）﹣2≥4x构造函数+4（1﹣x）（x）+|2﹣a|=4xx+2a（1﹣﹣＞0，即可证得结论．）=g （）=1﹣2x+1，0≤x≤1，确定g（x min2解答：﹣2ax）=12x1）解：求导函数可得f′（（a≤0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）2x+）（（x ﹣时，f′（x）=12x）﹣2a=12a＞0；单调递减区间为（﹣），﹣，，+），∞（∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞；），故≤12）证明：由于0≤x（334x+2﹣﹣2ax+2≥时，f（x）+|2﹣a|=4x4x2当a≤3334x+2 2=4x4x﹣+4（1﹣x）﹣x当a＞2时，f（）+|2﹣a|=4x1+2a（﹣x）﹣2≥3））﹣（=61设g（x）=2x﹣2x+1，0≤x≤，∴g′（x）（xx+0 x （），）（0，1+ ﹣）g ′（x极小值（gx），0g（x）在（∴1，）上单调减，在（）上单调增函数）x∴g（﹣＞）=g=1（0min32x时，x≤1当∴0≤﹣2x+1＞0∴当0≤x≤1时，f（x）+|2﹣a|＞0．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．2=2pxy）到抛物线C中，点P（1：，xOy（．22（14分）2012?浙江）如图，在直角坐标系）的准线的距离为．点M（t，1）是C上的定点，A，B是C0P（＞上的两动点，且线段AB 被直线OM平分．（1）求p，t的值．14（2）求△ABP面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：2）的准线的距离为．列出方程，＞0=2px（（1P，）到抛物线C：yP（1）通过点求出p，t的值即可．（2）设A（x，y），B（x，y），线段AB的中点为Q（m，m），设直线AB的斜2121m=﹣．利用弦长公式AB的方程k≠0）y，利用推出率为k，（求出|AB|，设点P到直线AB的距离为d，利用点到直线的距离公式求出d，设△ABP2|．利用函数的导数求出mm﹣△）ABP的面积为S，求出=|1S=﹣2（面积的最大值．解答：得，．1）由题意可知解：（（2）设A（x，y），B（x，y），线段AB的中点为Q（m，m），2112由题意可知，设直线AB的斜率为k，（k≠0），由得，（y﹣y）（y+y）=x﹣x，212121故k?2m=1，m=．﹣所以直线AB方程为y22﹣m=2my．+y＞0，y=2m，y﹣即△=4m4m2112=，|AB|= 从而设点P到直线AB的距离为d，则d=，设△ABP的面积为S，则2|．mm2=|1S=﹣（﹣）15=＞0，得0＜m＜1，由△2，，﹣2u ）令，则u=，S=u（12u==0，得S′（u）=1′，则S（u）﹣6u，=．（）S所以=S最大值面积的最大值为△ABP ．故点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的简单性质，函数与导数的应用，函数的最大值的求法，考查分析问题解决问题的能力．16。

全国名校高等代数考研真题汇编(含部分答案)

考生注意： 1.本试卷满分为 150 分，共计10道题，每题满分15 分，考试时间总计180 分钟；
2.答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。
一、设是阶单位矩阵，，证明的行列式等于 .
，矩阵满足
二、设是阶幕零矩阵满足
，
.证明所有的都相似于一个对角矩阵，
的特征值之和等于矩阵的秩.
3.南开大学高等代数考研真题 2012年南开大学804高等代数考研真题 2011年南开大学802高等代数考研真题
4.厦门大学 825高等代数考研真题 2014年厦门大学825高等代数考研真题 2013年厦门大学825高等代数考研真题 2012年厦门大学825高等代数考研真题 2011年厦门大学825高等代数考研真题
有
证明：
(1)
.
(2) 是的不变子空间，则也是的不变子空间.
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2011年四川大学高等代数考研真题
11.浙江大学高等代数考研真题
2012年浙江大学601高等代数考研真题
浙江大学2012年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：高等代数（601）
5.中山大学 877高等代数考研真题
2015年中山大学877高等代数考研真题 2014年中山大学874高等代数考研真题 2013年中山大学869高等代数考研真题 2012年中山大学869高等代数考研真题 2011年中山大学875高等代数考研真题 6.中南大学高等代数考研真题 2011年中南大学883高等代数考研真题 7.湖南大学高等代数考研真题 2013年湖南大学813高等代数考研真题 8.华东师范大学 817高等代数考研真题 2013年华东师范大学817高等代数考研真题 2012年华东师范大学817高等代数考研真题 2011年华东师范大学817高等代数考研真题 9.华中科技大学高等代数考研真题及详解 2013年华中科技大学高等代数考研真题 2012年华中科技大学高等代数考研真题及详解 2011年华中科技大学高等代数考研真题 10.四川大学高等代数考研真题及详解 2013年四川大学931高等代数考研真题及详解 2011年四川大学高等代数考研真题 11.浙江大学高等代数考研真题 2012年浙江大学601高等代数考研真题

《浙江大学高等代数2007-2019年考研真题及答案解析》

目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (2)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (5)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (7)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (9)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (11)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (13)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (15)浙江大学2015年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (16)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (17)浙江大学2017年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (18)浙江大学2018年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (19)浙江大学2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (21)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (23)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (23)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (31)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (39)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (46)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (57)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (64)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (70)Ⅰ历年考研真题试卷浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：高等代数编号：601注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。

一、（17分）设整系数的线性方程组为),..2,1(,1n i b x ai j nj ij==∑=，证明该方程组对任意整数n b b b ,..,,21都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于1±。

(NEW)浙江大学601高等代数历年考研真题汇编(含部分答案)

目　录2012年浙江大学601高等代数考研真题2011年浙江大学601高等代数考研真题及详解2010年浙江大学360高等代数考研真题2009年浙江大学360高等代数考研真题2008年浙江大学724高等代数考研真题及详解2007年浙江大学741高等代数考研真题及详解2006年浙江大学341高等代数考研真题及详解2005年浙江大学341高等代数考研真题2004年浙江大学341高等代数考研真题2003年浙江大学344高等代数考研真题2002年浙江大学365高等代数考研真题2001年浙江大学359高等代数考研真题2000年浙江大学226高等代数考研真题1999年浙江大学高等代数考研真题及详解2012年浙江大学601高等代数考研真题浙江大学2012年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：高等代数（601）考生注意：1．本试卷满分为150 分，共计10道题，每题满分15分，考试时间总计180 分钟；2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。

一、设是阶单位矩阵，，矩阵满足，证明的行列式等于.二、设是阶幂零矩阵满足，.证明所有的都相似于一个对角矩阵，的特征值之和等于矩阵的秩.三、设是维欧氏空间的正交变换，证明最多可以表示为个镜面反射的复合.四、设是阶复矩阵，证明存在常数项等于零的多项式使得是可以对角化的矩阵，是幂零矩阵，且.五、设.当为何值时，存在使得为对角矩阵并求出这样的矩阵和对角矩阵；求时矩阵的标准型.六、令二次型.求次二次型的方阵；当均为实数，给出次二次型为正定的条件.七、令和是域上的线性空间，表示到所有线性映射组成的线性空间.证明：对，若，则和在中是线性无关的.八、令线性空间，其中是的线性变换的不变子空间.证明；证明若是有限维线性空间，则；举例说明，当时无限维的，可能有，且.九、令.求阶秩为的矩阵,使得（零矩阵）；假如是满足的阶矩阵，证明：秩.十、令是有限维线性空间上的线性变换，设是的不变子空间.那么，的最小多项式整除的最小多项式.。

2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷）

2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷）学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4}， Q={3，4，5}，则P∩（CUQ）=A．{1，2，3，4，6} B．{ 1，2，3，4，5}C．{1，2，5} D．{1,2}2. 已知i是虚数单位，则=A．1-2i B．2-i C．2+i D．1+2i 3. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是A．1cm3B．2cm3C．3cm3D．6cm34. 设a R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5. 设l是直线，a，β是两个不同的平面A．若l∥a,l∥β，则a∥βB．若l∥a，l⊥β，则a⊥βC．若a⊥β,l⊥a,则l⊥βD．若a⊥β, l⊥a,则l⊥β6. 把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是（）A．B．C．D．7. 设a，b是两个非零向量。

A．若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|C．若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λaD．若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|8. 如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点.若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A．3 B．2 C．D．9. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( )C．5 D．6A．B．10. 设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数A．若e a+2a=e b+3b，则a＞bB．若e a+2a=e b+3b，则a＜bC．若e a-2a=e b-3b，则a＞bD．若e a-2a=e b-3b，则a＜b二、填空题11. 某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.12. 从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点则该两点间的距离为的概率是___________．13. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后___________14. 设z=x+2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是_______15. 在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.16. 设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f （x）=x＋1，则=_______________17. 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______三、解答题18. 在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值19. 数列{an }的前n项和为Sn，Sn=2n2+n,,数列{bn}满足an=4log2bn+3,.（1）求an 和bn的通项公式；（2）求数列{an ·bn}的前n项和Tn.20. 如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点.（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.21. 已知a∈R，函数.（1）求f(x)的单调区间（2）证明：当0≤x≤1时，f(x)+＞0.22. 如图，在直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为，点是上的定点，是上的两动点，且线段被直线平分.（1）求的值.（2）求面积的最大值.。

2012年浙江卷文科数学高考试卷(原卷答案)

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科数学本试卷共22题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷（选择题）一、单选题1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（C U Q）=A．{1，2，3，4，6}B．{ 1，2，3，4，5}C．{1，2，5}D．{1,2}2．已知i是虚数单位，则31ii+−=A、1-2iB、2-iC、2+iD、1+2i3．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是A．1cm3B．2cm3C．3cm3D．6cm34．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设l是直线，a，β是两个不同的平面A．若l∥a,l∥β，则a∥βB．若l∥a，l⊥β，则a⊥βC．若a⊥β,l⊥a,则l⊥βD．若a⊥β, l⊥a,则l⊥β6．把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（）A．B．C．D．7．设a ，b 是两个非零向量。

A ．若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|C ．若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λaD ．若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b|8．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2C D9．若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．610．设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数 A ．若e a +2a=e b +3b ，则a ＞b B ．若e a +2a=e b +3b ，则a ＜b C ．若e a -2a=e b -3b ，则a ＞b D ．若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b第II 卷（非选择题）二、填空题11．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.12．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点则该两点间的距离为的概率是___________．13．若某程序框图如图所示，则该程序运行后___________14．设z=x+2y ，其中实数x ，y 满足则z 的取值范围是_______15．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AB AC ⋅=________.16．设函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f （x ）=x ＋1，则32f ⎛⎫⎪⎝⎭=_______________17．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y+4)2=2到直线l:y=x 的距离，则实数a=_______三、解答题18．在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值19．数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2n 2+n, *n N ∈,数列{b n }满足a n =4log 2b n +3, *n N ∈.（1）求a n 和b n 的通项公式；（2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .20．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB=．AD=2，BC=4,AA 1=2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点. （1）证明：（i ）EF ∥A 1D 1；（ii ）BA 1⊥平面B 1C 1EF ；（2）求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.21．已知a∈R，函数.（1）求f(x)的单调区间（2）证明：当0≤x≤1时，f(x)+＞0.22．如图，在直角坐标系xOy中，点11,2P⎛⎫⎪⎝⎭到抛物线()2:20C y px p=>的准线的距离为54，点(),1M t是C上的定点，,A B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分.（1）求,p t的值.（2）求ABP∆面积的最大值.2012年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科数学(参考答案)1．D【详解】∵C U Q ={1,2,6}，∴P ∩(C U Q)={1,2}.选D. 【考点定位】此题主要考察集合运算 2．D 【解析】3+3+(1+)2+4=1 2..1(1)(1+)2i i i ii D i i i ==+−−（）故选【考点定位】此题主要考察复数的代数运算以及复数的概念，是复数内容的主要考点3．A【分析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于11312123⨯⨯⨯⨯=． 4．A【解析】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l 1与l 2平行时a 的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解：∵当a=1时，直线l 1：x+2y ﹣1=0与直线l 2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件， ∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1， ∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系． 5．B【解析】因为平行于同一直线的两个平面不一定平行，所以A 错误；垂直于同一条直线的两个平面垂直，因此B 正确.【考点定位】此题主要考察空间平行与垂直关系的定理，从每一个平行与垂直关系出发，理解和把握是否合乎定理的内容是关键 6．A【解析】由题意, cos 21y x =+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即解析式为cos 1y x =+,向左平移一个单位为cos(1)1y x =++,向下平移一个单位为cos(1)y x =+,利用特殊点(,0)2π变为(1,0)2π−,选A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.7．C【考点定位】本题主要考察向量的概念和线性运算，理解向量的概念把握平行四边变形法则，三角形法则是根本【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b|＝|a|－|b|，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b|＝|a|－|b|时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b|＝|a|－|b|不成立． 8．B【详解】M N ，是双曲线的两顶点，M O N ，，将椭圆长轴四等分 ∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故答案选B 9．C【详解】由已知可得31155x y +=，则3194123131234()(34)555555555y x x y x y x y x y +=++=+++≥+=，所以34x y +的最小值5，应选答案C ．10．A【详解】若223a b e a b +=+，必有22a b e a e b +>+．构造函数：()2xf x e x =+，则()()f a f b >，则()20xf x e ='+>恒成立，故有函数()2xf x e x =+在x ＞0上单调递增，所以a ＞b 成立．故选A ． 11．160 【详解】∵某个年级共有980人，要从中抽取280人， ∴抽取比例为28029807=， ∴此样本中男生人数为25601607⨯=，故答案为160.考点：本题考查了分层抽样的应用点评：掌握分层抽样的概念是解决此类问题的关键，属基础题 12．25【解析】从这5个点中任取2个点共有10种取法；而该两点间的距离为的点只有四个顶点分别和中心的距离符合条件，即事件A 有4种，于是两点间的距离为的概率为42=.105P =【考点定位】本题主要考察随机事件的概率，分两步做即可 13．1120【考点定位】该题主要考察算法的功能，结构、基本思想，要明确其算理掌握运算功能就要把握好以上这些基本点14．702⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】画出可行域知最优解分别是130,022（），（，）分别代入目标函数可得其最小值为0，最大值为72，因此z 的取值范围是702⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【考点定位】该题是考查基本的线性规划问题，此解法具有普遍意义 15．-16【考点定位】本题主要考察三角形和平面向量的数量积，对于常见的一般现象用特例法是比较常见的解法【解析】假设∆ABC 是以AB ＝AC 的等腰三角形，如图，AM ＝3，BC ＝10，AB ＝ACcos ∠BAC ＝23434104.23434289+−=−⨯⨯．AB AC ⋅＝cos 16.AB AC BAC ⋅∠=− 16．32【考点定位】此题主要考察函数的概念奇偶性、周期性等，正确利用已知把所求的自变量的取值转化到一直区间上去是解答这一问题的核心.17．94【考点定位】本题主要通过新定义考查直线与圆的位置关系，创新性强，解答这类问题主要是先理解新定义，结合直线和圆的知识求解即可【解析】C 2：x 2＋(y ＋4) 2＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l ：y ＝x的距离为：d ==，故曲线C 2到直线l ：y ＝x的距离为d d r d '=−== 另一方面：曲线C 1：y ＝x 2＋a ，令20y x '==，得：12x =，曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ： y ＝x 的距离的点为(12，14a +)，9.4d a '===⇒=．18．（1）B =60°（2）a c == 【解析】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理 19．（1）b n =2n-1, n N +∈ （2）()4525,nn T n n N +=−⋅+∈【解析】试题分析：第一问利用数列的项与和的关系， 11,2{,1n n n S S n a S n −−≥==，先求出当2n ≥时的关系式，再去验证1n =时是否成立，从而确定出最后的结果，将41n a n =−代入题中所给的式子，化简求得12n n b −=，所以数列{}n n a b ⋅是由一个等差数列与一个等比数列对应项积所构成的新数列，利用错位相减法求得其和．试题解析：（1）由S n =2n 2+n ，可得当2n ≥时， ()()()221221141n n n a S S n n n n n −⎡⎤=−=+−−+−=−⎣⎦当1n =时， 13a =符合上式，所以41n a n =−由a n =4log 2b n ＋3可得41n −=4log 2b n ＋3，解得1*2,n n b n N −=∈．（2）()1412n n n a b n −=−⋅∴()1231372112152 (412)n n T n −=+⋅+⋅+⋅++−⋅①()123423272112152...412n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅++−⋅②①-②可得()12341342222...2412n nn T n −⎡⎤−=++++++−−⋅⎣⎦()()()121234412125542n nnn n −−=+⨯−−⋅−=−+−⋅∴()*5452,nn T n n N =+−⋅∈．考点：求数列的通项公式，错位相减法求和．【思路点睛】该题考查的是数列的综合问题，在求数列{}n a 的通项公式时，需要应用数列的项与和的关系，在求解的过程中，需要对1n =时对2n ≥的式子是否成立，求数列{}n b 的通项公式时需要对指对式的互化要熟练掌握，第二问，在对数列进行求和时，应用错位相减法求和，而应用错位相减法对数列求和的步骤是比较关键的，需要加强． 20．（3）【详解】（1）证明：（i ）（ii ）由（i ）知F 为（2）由（ii ）的证明可知【考点定位】该题主要考查平行关系，垂直关系的证明与空间线面角的计算，是常考考点，解法不失常用性 21．【考点定位】本题考查利用导数研究函数单调性等性质、导数应用等性质，考查抽象概括能力、推理论证能力【解析】（1）由题意得：22．（1）121p t ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）9.【解析】分析：（1）通过点11,2P⎛⎫ ⎪⎝⎭到抛物线()2:20C y px p =>的准线的距离为54，列出方程，求出,p t 的值即可；（2）设()()1122,,,A x y Bx y ，线段AB 的中点为(),Q m m ，设AB 直线的斜率为()0k k ≠，利用211222y x y x ⎧=⎨=⎩，推出AB 的方程()12y m x m m −=−，利用弦长所公式求出AB ，设点p 到直线AB 的距离为d ，利用点到直线的距离公式求出d ，设ABP ∆的面积为S ，求出(21122S AB d m m =⋅=−−，利用函教的导数求出ABP ∆、面积的最大值.详解：（1），.11 / 11（2）设点()()1122,,,,A x y B x y AB 中点(),Q m m ，由题设AB 斜率为()0k k ≠，则由，得直线AB 方程为，即和，联立得，即设则是最大值点，点睛：本题主要考察抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.。

2012年全国高考数学浙江卷

A．原子半径：Z＞Y＞X
B．Z与X形成化合物的沸点高于Z的同族元素与X形成化合物的沸点
C．CaY2与水发生氧化还原反应时，CaY2只作氧化剂
D．CaX2、CaY2和CaZ2等3种化合物中，阳离子与阴离子个数比均为1︰2
10．以铬酸钾为原料，电化学法制备重铬酸钾的实验装置示意图如下：
下列说法不正确的是
（主要产物写成Cu(OH)2、Cu(OH)Cl、CuO均可）
在干燥的HCl气流中加热脱水；
（3）①淀粉溶液；蓝色褪去，放置一定时间后不恢复原色；
②2Cu2＋＋4I― 2CuI↓＋I2③95％。
27．[15分]
（1）－41.2。
（2）小于。
（3）；增大。ks5u
（4）系统内强放热的甲烷氧化反应为强吸热的蒸汽重整反应提供了所需的能量。
A．在阴极室，发生的电极反应为：2H2O＋2e－＝2OH－＋H2↑
B．在阳极室，通电后溶液逐渐由黄色变为橙色，是因为阳极区H＋浓度增大，使平衡2 ＋2H＋＋H2O向右移动
C．该制备过程总反应的化学方程式为：4K2CrO4＋4H2O 2K2Cr2O7＋4KOH＋2H2↑＋O2↑
D．测定阳极液中K和Cr的含量，若K与Cr的物质的量之比（）为d，则此时铬酸钾的转化率为1－
（5）①B；②
（6）甲烷氧化程度过高，氢气和氧气反应（其它合理答案均可）
28．[15分]
（1）干燥管；吸收HCl气体。ks5u
（2）防止三氯化铝和乙酸酐水解（只答三氯化铝水解或乙酸酐水解也可）
（3）AD；
（4）把溶解在水中的苯乙酮提取出来以减少损失；否，乙醇与水混溶。
（5）检漏；放气；打开上口玻璃塞；（或使塞上的凹槽对准漏斗上口的小孔）；
29．[15分]化合物X是一种环境激素，存在如下转化关系：

2012年普通高等学校招生全国统一考试理数(浙江卷)解析版

该套试题立足基本知识点，全面考查新课标、新理念、新课程、新考纲，既有基本知识、基本方法、基本思想的考查，也有综合能力、方法的考量；既有横向的综合、又有横向的综合，试题难度按层次递增.2012浙江理科数学真题解析（专版）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|0322≤--x x }, 则A ∩（C R B ）= A (1,4) B (3,4) C (1,3) D (1,2)∪（3,4）2. 已知i 是虚数单位，则31ii+-= A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i 【答案】D 【解析】3+3+(1+)2+4=12..1(1)(1+)2i i i ii D i i i ==+--（）故选【考点定位】此题主要考察复数的代数运算以及复数的概念，是复数内容的主要考点.3. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y-1=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是5.设a，b是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥bB.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λ aD.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|6.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A.60种B.63种C.65种D.66种【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：225460C C=种；4个都是奇数：455C=种．∴不同的取法共有66种．【答案】D【考点定位】该题主要考察分类组合，考察分析分体和解决问题的能力.学会分类处理是关键.7设n s 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误．．的是 A.若d ＜0，则列数﹛S n ﹜有最大项 B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*n N ∈,均有0>n SD.若对任意*n N ∈,均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列8.如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的在左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M 。

浙江大学1999年——2008年高等代数试题

二〇〇七年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：高等代数编号： 741一、（17分）设整系数的线性方程组为,证明该方程组对任意整数都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于． ),..2,1(,1n i b x a i j nj ij ==∑=n b b b ,..,,211±二、（17分）计算阶行列式, 其中．(1n n >)2−1211232341112...........................n n n n nn n ns s s s s s s s s s s s s s s −+−+⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠kn k k k x x x s +++=...21三、（17分）设矩阵,,A B C 满足有意义.求证： ABC ()()()AB BC B ABC +≤+秩秩秩秩.四、（17分）设s ξξξ,...,,21是某个齐次线性方程组的基础解系，而k ηηη,...,,21是该齐次线性方程组的个线性无关的解，并且k k s <s k −s ξξξ,...,,21.求证中必可取出个解，使得它们个k ηηη,...,,21一起构成原方程组的一个基础解系．五、（17分）设阶方阵(1n n >)A 满足其中,0652=+−E A A E 是阶单位矩阵．证明:n A 相似于对角矩阵；如果A 行列式等于是正整数).求与m n m m n m ,0(32<<−A 相似的对角矩阵． )(2R M V =六、（17分）假设22×是由实数域上所有矩阵构成的实数域上向量空间.1112,11A B λ−⎛⎞⎛==⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝1⎞⎟⎠λ,其中是参数. 是V 上的线性变换. （1）证明 AXB X =)(ϕ1−≠λ（2）当ϕ时,证明是可逆线性变换. 1−=λ（3）当ϕ时,求线性变换的核和值域.（4）在值域中取一组基,并把它扩充成V 的基,求线性变换ϕ在这组基下的矩阵．222211λλλλλλλλλ⎛⎞−⎜⎟−⎜⎜⎟+−⎝⎠λ七、（16分）求-矩阵⎟的初等因子和不变因子． 8111181111811118A −⎛⎞⎜⎟−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠八、（16分）已知矩阵 123412341234(,,,)(,,,)(,,,)T f x x x x x x x x A x x x x =（1）求二次型；（2）用正交线性替换化二次型为标准型；),,,(4321x x x x f （3）证明定义了βαβαA T =),(α4R 4R 上的内积，其中βα,是的列向量，是T α的转置，并求在该内积下4R 的一组标准正交基；（4）求实对称矩阵B 使得A B k =,其中为正整数(只要写出k B 的表达式，不必计算其中的矩阵乘积)．九、（16分）设, 其中是互不相同的整数．证明n a a a ,...,,211)()()()(22221+−⋅⋅⋅−−=n a x a x a x x f ()f x 是有理数域上的不可约多项式.。

2012级高等代数Ⅰ试题及答案

2012 级高等代数Ⅰ试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共10分）1．下列说法正确的是（）A ．任何多项式都不整除零多项式B ．零多项式与任何多项式都互素C ．零次多项式与任何多项式都互素D ．零次多项式与零多项式不互素2．设 (),(),()[] f x g x p x P x Î , 且 () p x 在数域P 上不可约，如果 ) ( ) ( ) ( x g x f x p ，则一定成立的是 ( )A ． ) ( ) ( x f x p 且 ) ( ) ( x g x pB ． ) ( ) ( x f x p 但 ) ( | ) ( x g x p /C ． ) ( | ) ( x f x p / 且 ) ( | ) ( xg x p / D ． ) ( ) ( x f x p 或 )( ) ( x g x p 3．设A 和B 都是n 阶方阵，O 表示零矩阵，若AB O = ，则一定成立的是（）A ． A 和B 都是可逆矩阵 B ．A O = 或B O =C ． ||0AB = D ．A 可逆，B 不可逆4．已知齐次线性方程组 O X A n m = ´ 只有零解,下列结论一定成立的是（）A ． A 的秩为mB ． A 的行秩为nC ． A 的列向量组线性相关D ． A 的行向量组线性无关5．设A 是n 阶方阵，k 是一个非零常数，若 0 kA = ，则一定成立的是（）A ． 0A =B ． A 可逆C ． A 是零矩阵D ． A 的秩等于n二、判断题（每小题2分，共10分）6．任意多项式都定义有次数．（）7．任意两个不全为零的多项式都有首项系数是1 的最大公因式．（）8．任意矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵．（）9．任意齐次线性方程组不一定总有解．（）10．任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价．（）三、填空题（每小题2分，共10分）11．含有n 个未知量，系数矩阵的秩为r 的齐次线性方程组有非零解，则基础解系所含解的个数等于____________．12．以纯虚数i 为根的非零实系数多项式中次数最低的首1多项式为_______________． 13．如果一个 4 阶矩阵的秩为1，那么此矩阵的任意两行．14．方程个数和未知量个数相等的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式_____ _____．15．多项式 () f x 被x c - 所除得到的余式为．四、计算题（每小题10分，共50分）16．如果 1 ) 1 ( 2 4 2 ＋＋－ Bx Ax x ，求 A ，B ．17．计算n 阶行列式：n aa a a na a a a na a a a n aaa a D + + + + = 1 3 2 1 3 1 2 1 32 1 13 2 1 1 L M O M M M L LL ．18．设 1(2,1,2,2,4) a =- ， 2 (1,1,1,0,2) a =- ， 3 (0,1,2,1,1) a =- ， , 1 , 1 , 1 ( 4 - - - = a ), 1 , 1 - 5 (1,2,1,1,1) a = ．试确定向量组 ,,,, 12345 a a a a a 的一个极大线性无关组与秩．19．用导出组的基础解系表出下列非齐次线性方程组的全部解：31 22461 x y z w x y z w x y z w --+= ì ï-+-= í ï --+=- î． 20．已知矩阵 100 011 111 A æö ç÷= ç÷ ç÷ - èø， 22 37 22 B æöç÷ =- ç÷ ç÷ èø，若( )A E XB += ，求矩阵X ．五、证明题（每小题10分，共20分）21．证明： ) ( | ) ( 2 2 x f x g 当且仅当 ()|() g x f x ．22．设向量组 ,, 123 a a a 线性无关，向量组 ,, 234 a a a 线性相关，试证： 1 a 不能由 ,, 234 a a a 线性表示．高等代数Ⅰ参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题2分，共10分）1． C2． D 3． C 4． B5． A二、判断题（每小题2分，共10分）6． × 7． √ 8． √ 9． × 10． √三、填空题（每小题2分，共10分）11． rn - 12． 12+ x 13．线性相关 14．为零15． )(c f 四、计算题（每小题10分，共50分）16．解设 1 ) ( 24＋＋Bx Ax x f = ，则 Bx Ax x f 2 4 ) ( 3＋ = ¢ ．（2分）由一次因式和根的关系及重因式知îíì = + = ¢ = + + = 0 2 4 ) 1 ( 0 1 ) 1( B A f B A f ，（8 分）解得 1 = A ， 2 - = B ．（10 分）17．解n aaa n a a a naa a n a a a na aa n a a a n aaa n a a a D ncc c c c c + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = + + + 1 32 2 1 1 31 2 2 1 1 3 2 1 2 1 1 3 2 2 1 1 131 21 L L M O MM M L L LL L L M （2分）n aaa naa a na aa n a aa na a a na a a c + + + + + + + = + + + + ¸ 1 32 13 1 2 1 3 2 1 1 3 2 1 ) 2 1 1 ( )1 ( 211L M O M M M L LL L L （8 分）na a a na a a c a c c a c c a c n n+ + + + = + + + + = - - - L L M O M M M L L L L M2 1 1 10 0 10 1 0 10 1 10 0 1) 2 1 1 ( 113 3 12 2 ．（10 分） 18．解按列拼成矩阵÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ øö ç ç çç ç ç èæ - - - - - - - = ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 1 11 2 4 1 1 1 0 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 11 1 0 12 ) , , , , ( 5 43 2 1 a a a a a ．（2 分）用行初等变换化简得÷ ÷ ÷÷ ÷÷øöç ç çç ç ç è æ - - - - ® ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 3 0 0 0 0 1 1 02 1 1 1 1) , , , , ( 5 4 3 2 1 a a a a a ．（8 分）由初等变换不改变列向量组的线性关系得原向量组的一个极大线性无关组为 3 2 1 , , a a a ，向量组 ,,,, 12345 a a a a a 的秩为 3．（10 分）19．解构造增广矩阵并作行初等变换得÷ ÷÷ ÷ øö ç ç ç ç è æ - - - ® ÷ ÷ ÷ø ö ç ç ç è æ - - - - - - - = 0 0 0 0 0 2 1 2 1 0 0 2 1 1 0 1 1 1 6 4 2 2 1 3 1 1 1 0 1 1 1 1 A ．（2分）得到原线性方程组的一般解为ï î ï í ì + = + + = w z wy x 2 212 1．令 0 , 0 = = w y ，得原方程组的一个特解 ÷ ÷ ÷ ÷÷ øöç ç ç ç ç è æ = 0 2 1 0 2 1 0 g ．（5 分）对应齐次线性方程组的一般解为î íì = + = w z wy x 2．令 0 , 1 = = w y ，得 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = 0 0 1 1 1 h ，令 1 , 0 = = w y ，得 ÷ ÷ ÷ ÷÷ øöç ç ç ç ç è æ = 1 2 0 1 2 h ．（9 分）原方程组的全部解为{} R k k k k Î + + = 2 1 2 21 1 0 ,h h g g ．（10分）20．解构造分块矩阵÷ ÷ ÷øöç ç ç è æ - - = + 2 2 2 1 1 7 3 1 2 0 2 2 0 0 2 ) , ( B E A ．（2 分）作初等行变换得÷ ÷ ÷øö ç ç ç è æ - - ® + 1 1 1 0 0 3 1 0 1 0 1 1 0 0 1 ) , ( B E A ．（6 分）由初等变换与初等矩阵的联系知÷ ÷ ÷ øö ç ç ç è æ - - = 1 1 3 1 1 1 X ．（10 分）五、证明题（每小题10分，共20分）21．证充分性若 ()|() g x f x ，则存在多项式 ) (x h ，使得 ) ( ) ( ) ( x h x g x f = ．两端平方得 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 x h x g x f = ，即 ) ( | ) ( 22 x f x g ．（4 分）必要性若 0 g = ，则 0 f = ，结论成立．若g 为非零常数，易知结论也成立．若 1 ) ( ³ ¶ g ，由多项式的因式分解定理，设 f g , 标准分解式为12 12 s r r r s g ap p p = L ， 12 12 , sm m m s f bp p p = L i p 是不可约多项式。