高中数学第三章三角恒等变换3_2简单的三角恒等变换1课时提升作业1新人教A版必修4

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高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换课时分层作业含解析人教A版必修4.doc

课时分层作业(二十八)(建议用时：60分钟)一、选择题1．函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，则f (x )( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数 D [原式＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12(1－sin 2x ) ＝12－12sin 2x ，此函数既不是奇函数也不是偶函数．]2．在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝( )A ．－19B.19 C ．－13D.13A [sin 2B ＋C2＋cos 2A＝1－cos (B ＋C )2＋2cos 2A －1＝1＋cos A2＋2cos 2A －1 ＝－19.]3．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2＝( )A.12B.12或不存在 C ．2D ．2或不存在B [∵2sin α＝1＋cos α，∴当cos α≠－1时，tan α2＝sin α1＋cos α＝12，当cos α＝－1时，α＝(2k ＋1)π(k ∈Z )∴α2＝k π＋π2(k ∈Z )，这时tan α2不存在，故选B.] 4．将函数y ＝f (x )sin x 的图象向右平移π4个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到函数y＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )的表达式是( )A ．f (x )＝cos xB ．f (x )＝2cos xC ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝2sin xB [y ＝1－2sin 2x ＝cos 2x 的图象关于x 轴对称的曲线是y ＝－cos 2x ，向左平移π4得y ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝sin 2x ＝2sin x cos x ，∴f (x )＝2cos x ．] 5．已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调减区间分别为( ) A ．2π，⎣⎡⎦⎤3π8，7π8 B ．π，⎣⎡⎦⎤3π8，7π8 C ．2π，⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 D ．π，⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 B [∵f (x )＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，得f (x )的单调减区间为 3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，得f (x )的一个单调减区间⎣⎡⎦⎤3π8，7π8，故选B.] 二、填空题6．tan ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝3，则tan α＝ . －2 [由tan ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝tan 34π＋tan α1－tan 34π·tan α＝3，即－1＋tan α1＋tan α＝3，解得tan α＝－2.]7．若cos αcos β－sin αsin β＝15，cos(α－β)＝35，则tan α·tan β＝ .12 [cos αcos β－sin αsin β＝15，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35②，解①②可得cos αcos β＝25，sin αsin β＝15，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝12.]8．函数f (x )＝cos 2x ＋4sin x 的值域是．[－5,3] [f (x )＝cos 2x ＋4sin x ＝1－2sin 2x ＋4sin x ＝－2(sin x －1)2＋3. 当sin x ＝1时，f (x )取得最大值3，当sin x ＝－1时，f (x )取得最小值－5，所以函数f (x )的值域为[－5,3]．] 三、解答题9．求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin xcos x ＋cos 2x .[证明] 法一：(由左推右)tan 3x 2－tan x2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x2cosx 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cosx 2＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2cos 3x 2cosx 2＝sin xcos 3x 2cosx 2＝2sin xcos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2＝2sin x cos x＋cos 2x.法二：(由右推左)2sin xcos x＋cos 2x＝2sin⎝⎛⎭⎫3x2－x2 cos⎝⎛⎭⎫3x2－x2＋cos⎝⎛⎭⎫3x2＋x2＝2⎝⎛⎭⎫sin3x2cosx2－cos3x2sinx22cos3x2cosx2＝sin3x2cos3x2－sinx2cosx2＝tan3x2－tan x2.10．(2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋3sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m上的最大值为32，求m的最小值．[解](1)原式＝1－cos 2x2＋32sin 2x＝32sin 2x－12cos 2x＋12＝sin⎝⎛⎭⎫2x－π6＋12，所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)由(1)知f(x)＝sin⎝⎛⎭⎫2x－π6＋12.因为x∈⎣⎡⎦⎤－π3，m，所以2x－π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，2m－π6.要使得f(x)在⎣⎡⎦⎤－π3，m上的最大值为32，即sin⎝⎛⎭⎫2x－π6在⎣⎡⎦⎤－π3，m上的最大值为1.所以2m－π6≥π2，即m≥π3.所以m的最小值为π3.1．(多选题)下列计算正确的选项有()A．sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝1B．sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝1C.1＋tan15°1－tan15°＝ 3D ．cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝－32CD [对于A ，sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin 22°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin(22°＋48°)＝sin 70°≠1，故A 错误；对于B ，sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝sin 20°(－cos 70°)＋(－cos 20°)sin 70°＝－(sin 20°cos 70°＋cos 20°sin 70°)＝－sin(20°＋70°)＝－1，故B 错误；对于C ，1＋tan15°1－tan15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝3，故C 正确；对于D ，cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝sin(14°－74°)＝－sin 60°＝－32，故D 正确．故选CD.]2．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin αcos α＝cos β1－sin β，则( ) A ．2α＋β＝π2B ．2α－β＝π2C ．α＋2β＝π2D ．α－2β＝π2B [由题意得sin α－sin αsin β＝cos αcos β， sin α＝cos(α－β)， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos(α－β)．∵π2－α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴π2－α＝α－β或π2－α＋α－β＝0(舍去)， ∴2α－β＝π2.]3．(多选题)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x －1，下列四个结论正确的是( ) A ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－3π8，π8上是增函数B ．点⎝⎛⎭⎫3π8，0是函数f (x )图象的一个对称中心C ．函数f (x )的图象可以由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4得到D ．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的值域为[0，2]AB [函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x －1＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4；若x ∈⎣⎡⎦⎤－3π8，π8，则⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，因此函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－3π8，π8上是增函数，因此A 正确；∵f ⎝⎛⎭⎫3π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋π4＝2sinπ＝0，因此点⎝⎛⎭⎫3π8，0是函数f (x )图象的一个对称中心，B 正确；由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4得到y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2cos 2x ，因此由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4不能得到函数f (x )的图象，因此C 不正确；若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，∴f (x )的值域为[－1，2]，因此D 不正确．故选AB.]4．若θ是第二象限角，且25sin 2 θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2＝ .±35[由25sin 2 θ＋sin θ－24＝0，又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2 θ＝－725，由cos 2θ2＝1＋cos θ2得cos 2 θ2＝925. 又θ2是第一、三象限角，所以cos θ2＝±35.]5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2(sin 2 x －1) (1)求函数y ＝f (x )的单调减区间和对称轴；(2)若不等式f (x )＋1＜m 在⎣⎡⎦⎤0，π3上有解，求m 的取值范围． [解] (1)由题意f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2(sin 2x －1)＝32 sin 2x ＋12 cos 2x ＋1－cos 2x －2 ＝32sin 2x －12cos 2x －1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1. 由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z .整理，可得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z . 又∵2x －π6＝k π＋π2，解得x ＝k π2＋π3，∴函数y ＝f (x )的对称轴方程为：x ＝k π2＋π3，k ∈Z .(2)f (x )＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∵0≤x ≤π3，∴－π6≤2x －π6≤π2，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1. ∴要使不等式有解，必须m ＞－12.∴m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.。

高中数学(人教A版,必修四) 第三章三角恒等变换 3.2 课时作业(含答案)

§3.2 简单的三角恒等变换课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．1．半角公式(1)S α2：sin α2＝____________________； (2)C α2：cos α2＝____________________________； (3)T α2：tan α2＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)． 2．辅助角公式使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( ) A ．－1－cos α2 B. 1－cos α2C ．－1＋cos α2 D. 1＋cos α22．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.12D. 3 3．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为( ) A ．－2 B ．－ 3 C ．－ 2 D ．－14．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )A.π6B.π3C.π2D.2π35．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0 D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2等于( ) A ．－1 B.1 C ．2 D ．－27．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______． 8．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________． 9．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________． 10.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____．三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．12．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8的值．能力提升13．当y ＝2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是( )A.32 B ．－32C.13 D ．4 14．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．§3.2 简单的三角恒等变换知识梳理1．(1)± 1－cos α2 (2)± 1＋cos α2(3)± 1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α1－cos αsin α 2.a a 2＋b 2 b a 2＋b 2点(a ，b ) 作业设计1．C2．B [y ＝2sin x cos π3＝sin x ．] 3．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. ∵－π4≤x －π4≤π4， ∴f (x )min ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1.] 4．D [f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x .] 5．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z )，令k ＝0得增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，56π.] 6．A [∵α是第三象限角，cos α＝－45， ∴sin α＝－35. ∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.] 7．π解析 f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x － 2 ＝sin(2x ＋π4)－2，∴T ＝2π2＝π. 8.459解析设α为该等腰三角形的一底角，则cos α＝23，顶角为180°－2α. ∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝21－⎝⎛⎭⎫232·23＝459. 9．3解析设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45，底角大小为12(180°－α)．∴tan ⎣⎡⎦⎤12(180°－α)＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－α2＝1tan α2＝1＋cos αsin α＝1＋4535＝3. 10.725解析由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos θ－sin θ＝15. 由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.∴cos θ＋sin θ＝75. ∴cos 2θ＝cos 2 θ－sin 2 θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725. 11．解 (1)∵f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎣⎡⎦⎤32sin2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， ∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． 12．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)， |m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4＋4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝21＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝725. 又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8－1，所以cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝1625.∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝－45. 13．B [y ＝2cos x －3sin x ＝13⎝⎛⎭⎫213cos x －313sin x ＝13(sin φcos x －cos φsin x )＝13sin(φ－x )，当sin(φ－x )＝1，φ－x ＝2k π＋π2时，y 取到最大值． ∴φ＝2k π＋π2＋x ，(k ∈Z ) ∴sin φ＝cos x ，cos φ＝－sin x ，∴cos x ＝sin φ＝213，sin x ＝－cos φ＝－313. ∴tan x ＝－32.] 14．解 3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos 60°＋5cos(x ＋20°)sin 60°＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°)＝⎝⎛⎭⎫1122＋⎝⎛⎭⎫5322sin(x ＋20°＋φ)＝7sin ()x ＋20°＋φ 其中cos φ＝1114，sin φ＝5314.所以f (x )max ＝7.。

高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课时提升作业1新人教A版必修4

二倍角的正弦、余弦、正切公式(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.下列各式中，值为的是( )A.2sin 15°cos 15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°D.sin215°+cos215°【解析】选B.cos215°-sin215°=cos 30°=.2.已知sin=，cos=-，则角α所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为sinα=2sin cos=2××=-<0，cosα=cos2-sin2=-=-<0，所以α是第三象限角.3.(2015·乐山高一检测)若tanα=3，则的值等于( )A.2B.3C.4D.6【解析】选D.==2tanα=2×3=6.【延伸探究】若本题条件不变，则的值如何？【解析】==2+2tanα=2+2×3=8.4.已知α∈R，sinα+2cosα=，则tan2α=( )A. B. C.- D.-【解析】选C.本题考查三角函数同角间的基本关系.将sinα+2cosα=两边平方可得sin2α+4sinαcosα+4cos2α=.将左边分子分母同除以cos2α得，=，解得tanα=3或-，所以tan2α==-.5.(2015·成都高一检测)在△ABC中，若||=2sin15°，||=4cos15°，且∠ABC=30°，则·的值为( )A. B.- C.2 D.-2【解析】选B.因为||=2sin15°，||=4cos15°，且∠ABC=30°，所以·=||||cos150°=2sin15°·4cos15°·=-2sin30°=-2×=-.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·合肥高一检测)已知α∈，sinα=，则tan2α=________.【解析】由α∈，sinα=，得cosα=-，tanα==-，tan2α==-.答案：-7.化简：tan70°cos10°·(tan20°-1)的结果是________.【解析】原式=·cos10°=cos10°-cos10°·=cos10°-====-1.答案：-1【误区警示】解答本题在切化弦通分后易忽视应用辅助角公式进一步化简.【补偿训练】计算cos·cos·cos=________.【解析】原式======.答案：8.已知角α的终边经过点(-8，-6)，则=________.【解题指南】先利用定义求出α的三角函数，而后化简所求式即可.【解析】因为点(-8，-6)到原点的距离r==10，所以sinα==-，cosα==-.==-2cosα-2sinα=-2×-2×=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·泰州高一检测)已知α为第二象限角，且sinα=，求的值. 【解析】原式==.因为α为第二象限角，且sinα=，所以sinα+cosα≠0，cosα=-，所以原式==-.【补偿训练】已知sin sin=，α∈，求sin4α的值.【解析】因为sin sin=sin cos=，所以sin=，即cos2α=.因为α∈，所以2α∈(π，2π).所以sin2α=-=-.所以sin4α=2sin2αcos2α=2××=-.10.(2015·吉林高一检测)已知向量m=(cosα-，-1)，n=(sinα，1)，m与n为共线向量，且α∈.(1)求sinα+cosα的值.(2)求的值.【解析】(1)因为m与n为共线向量，所以×1-(-1)×sinα=0，即sinα+cosα=.(2)因为1+sin2α=(sinα+cosα)2=，所以sin2α=-，因为(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2，所以(sinα-cosα)2=2-=.又因为α∈，所以sinα-cosα<0，sinα-cosα=-.因此，=.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.若α∈，且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于( )A. B. C. D.【解析】选D.由二倍角公式可得sin2α+1-2sin2α=，即-sin2α=-，sin2α=，又因为α∈，所以sinα=，即α=，所以tanα=.2.(2015·昆明高一检测)若=-，则sinα+cosα的值为( )A.-B.-C.D.【解析】选C.cos2α=sin=-sin=-sin2=-2sin·cos，==-，所以2cos=1，展开得2=1，即cosα+sinα=.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·黄冈高一检测)若sin=，则cos=________.【解析】已知sin=，且+=，则cos=sin=，故cos=2cos2-1=-.答案：-4.已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于________.【解析】sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-sin22θ，又sin4θ+cos4θ=，所以1-sin22θ=，即sin22θ=，因为θ是第三象限角.所以2kπ+π<θ<2kπ+(k∈Z)，所以4kπ+2π<2θ<4kπ+3π(k∈Z)，所以sin2θ>0，所以sin2θ=.答案：【延伸探究】若cos2θ=，试求sin4θ+cos4θ.【解析】因为cos2θ=，所以sin22θ=.所以sin4θ+cos4θ=1-2sin2θcos2θ=1-sin22θ=.三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知向量a=(1+sin2x，sinx-cosx)，b=(1，sinx+cosx)，函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的最大值及相应的x值；(2)若f(θ)=，求cos2的值.【解题指南】用向量数量积表示出f(x)转化成三角函数问题求解.【解析】(1)因为a=(1+sin2x，sinx-cosx)，b=(1，sinx+cosx)，所以f(x)=1+sin2x+sin2x-cos2x=1+sin2x-cos2x=sin+1.因此，当2x-=2kπ+，即x=kπ+(k∈Z)时，f(x)取得最大值+1.(2)由f(θ)=1+sin2θ-cos2θ及f(θ)=得sin2θ-cos2θ=，两边平方得1-sin4θ=，即sin4θ=. 因此，cos2=cos=sin4θ=.6.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；③sin218°+cos212°-sin18°cos12°；④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°；⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)请根据②式求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【解析】方法一：(1)计算如下：sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.证明如下：sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.方法二：(1)同方法一.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.证明如下：sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=+-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=-cos2α++(cos60°cos2α+sin60°·sin2α)-sinαcosα-sin2α=-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-(1-cos2α)=1-cos2α-+cos2α=.。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换课后习题新人教A版必修4(2021年整理)

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3。

2简单的三角恒等变换课后篇巩固探究1。

cos2的值为（)A.B。

C.D。

解析cos2.答案B2.已知α为第一象限角,且tan α=,则sin 的值为（）A。

B.—C。

± D。

解析因为α为第一象限角，且tan α=，所以cos α=，而是第一或第三象限角.当是第一象限角时，sin ；当是第三象限角时,sin =—=-,故sin =±.答案C3.若函数f(x）=(1+tan x）cos x，则f=（)A。

B.-C。

1 D.解析∵f(x）=cos x=cos x+sin x=2sin,∴f=2sin=2sin.答案D4。

设a=cos 7°+sin 7°,b=,c=,则有(）A.b〉a>c B。

a〉b>c C。

a〉c>b D.c>b>a解析因为a=cos 7°+sin 7°=sin 30°·cos 7°+cos 30°·sin 7°=sin 37°，b==tan 38°,c==sin 36°,又tan 38°〉sin 38°>sin 37°>sin 36°.所以b〉a〉c.答案A5。

高中数学第三章三角恒等变换课时作业343.2简单的三角恒等变换(第1课时)新人教A版必修4

课时作业(三十四) 3.2 简单的三角恒等变换第一课时1．已知sin α＝35(0<α<π2)，则cos α2等于( )A.45 B ．－45C ．－31010D.31010答案 D解析 ∵sin α＝35且0<α<π2，∴cos α＝45.又cos α＝2cos2α2－1，∴cos 2α2＝1＋cos α2＝910.∴cos α2＝31010. 2．cos 2(x 2－78π)－cos 2(x2＋7π8)可化简为( )A.2sinx B ．－2sinx C.22sinx D ．－22sinx 答案 D解析原式＝12[1＋cos(x －74π)]－12[1＋cos(x ＋7π4)]＝12[cos(x ＋π4)－cos(x －π4)]＝12[22(cosx －sinx)－22(cosx ＋sinx)]＝－22sinx. 3．已知2sin θ＝1＋cos θ，则tan θ2的值为( )A ．2 B.12C.12或不存在 D ．2或0答案 C解析若1＋cos θ≠0，则tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝12.若1＋cos θ＝0，即cos θ＝－1，∴θ＝2kx ＋π(k∈Z )，∴tan θ2不存在．4．(高考真题·全国Ⅱ卷)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12C ．2D ．－2答案 A解析 ∵cos α＝－45且α是第三象限的角，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sinα2cos α2cos α2－sin α2cosα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝（cos α2＋sin α2）2（cos α2－sin α2）（cos α2＋sin α2）＝1＋sin αcos 2α2－sin 2α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.故选A.5．已知tan θ＝3，则sin2θ－cos2θ的值是( ) A.75 B.12C ．－75D.32答案 A解析 sin2θ－cos2θ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ＝2×31＋9－1－91＋9＝610＋810＝75. 6．(tan10°－3)sin40°的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 A解析 (tan10°－3)·sin40°＝(sin10°cos10°－sin60°cos60°)·sin40°＝－sin50°cos10°·cos60°·sin40°＝－2sin40°·cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－1.7．已知θ是第三象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin2θ等于( )A.223B ．－223C.23D ．－23答案 A解析 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝59，所以sin 22θ＝89.又π＋2k π<θ<3π2＋2k π(k∈Z )，所以2π＋4k π<2θ<3π＋4k π(k∈Z )，因此sin2θ>0，从而sin2θ＝223.8．若α∈(3π，4π)，则1＋cos α2－1－cos α2等于( ) A ．－2sin(α2＋π4)B.2sin(α2＋π4)C ．－2sin(α2－π4)D.2sin(α2－π4)答案 B 解析原式＝cos2α2－sin2α2＝|cos α2|－|sin α2|，又α∈(3π，4π)，∴α2∈(32π，2π)，∴原式＝cos α2＋sin α2＝2sin(α2＋π4)．9．在△ABC 中，若sinBsinC ＝cos 2A2，则此三角形为( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析 ∵sinBsinC ＝cos 2A2，∴sinBsinC ＝1＋cosA 2，∴2sinBsinC ＝1＋cos[π－(B ＋C)]，∴2sinBsinC ＝1－cos(B ＋C)． ∴cos(B －C)＝1，又角B 、角C 为△ABC 的内角，∴B －C ＝0，∴B ＝C.故选B. 10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．3答案 B解析 tan β＝1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)且0<β<π2，0<π4－α<π2，∴β＝π4－α，α＋β＝π4.∴tan(α＋β)＝1.11．已知sin θ2＋cos θ2＝233，则sin θ＝________，cos2θ＝________．答案13 79解析 ∵sin θ2＋cos θ2＝233，∴1＋sin θ＝43.∴sin θ＝13.∴cos2θ＝1－2sin 2θ＝1－29＝79.12．若tan α－1tan α＋1＝－13，则sin2α＝________．答案45解析由已知得tan α＝12，∴sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. 13．(sin 5π12－sin π12)(sin 5π12＋sin π12)的值是________．答案32解析原式＝[sin(π2－π12)－sin π12][sin(π2－π12)＋sin π12]＝(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 14．已知tan2θ＝34(π2<θ<π)，求2cos 2θ2＋sin θ－12cos （θ＋π4）的值．解析 ∵tan2θ＝2tan θ1－tan θ＝34，∴tan θ＝－3或tan θ＝13. 又θ∈(π2，π)，∴tan θ＝－3.∴2cos 2θ2＋sin θ－12cos （θ＋π4）＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1＋tan θ1－tan θ＝1－31＋3＝－12. ►重点班·选做题15．已知α、β都是锐角，且sin βsin α＝cos(α＋β)，求证：tan β＝tan α1＋2tan 2α. 解析 ∵sin βsin α＝cos(α＋β)，∴sin β＝cos(α＋β)sin α.∴sin[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)sin α. ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α. ∴tan β＝tan α1＋2tan 2α. 16．已知π4<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值．分析由于2α＝(α＋β)＋(α－β)，求出角α＋β和α－β的正弦和余弦值后，再借助两角和正弦公式即可解决问题．解析因为π4<β<α<3π4，所以0<α－β<π2，π2<α＋β<3π2.又sin(α＋β)＝－35，所以π<α＋β<3π2.从而有cos(α＋β)＝－45.因为cos(α－β)＝1213，sin(α－β)＝513.所以sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝(－35)×1213＋(－45)×513＝－5665.1．已知关于x 的方程x 2－xcosA ·cosB ＋2sin 2C 2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 C2．已知sin α2－cos α2＝－15，α∈(450°，540°)，则tan α2＝________．答案 23．已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．错解由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6，①tan αtan β＝7.②所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.又因为0<α<π，0<β<π，所以0<α＋β<2π. 所以α＋β＝π4或α＋β＝5π4.错因剖析由①②知，tan α、tan β两根同号且均小于零，所以π2<α<π，π2<β<π，所以π<α＋β<2π. 答案 α＋β＝5π4。

高中数学第三章三角恒等变换3_2简单的三角恒等变换2课时提升作业1新人教A版必修4

简单的三角恒等变换(二)(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.设<θ<π，且|cosθ|=，那么sin的值为( )A. B.- C.- D.【解析】选D.因为<θ<π，所以cosθ<0，所以cosθ=-.因为<<，所以sin>0，又cosθ=1-2sin2，所以sin2==，所以sin=.2.(2015·浏阳高一检测)若函数f(x)=sin2x-2sin2x·sin2x，则f(x)是( )A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为π的偶函数【解析】选A.f(x)=sin2x(1-2sin2x)=sin2x·cos2x=sin4x，最小正周期T==，f(x)定义域为R，且f(-x)=sin4(-x)=-sin4x=-f(x)，所以f(x)是奇函数.【补偿训练】函数f(x)=sin2x+sinxcosx在区间上的最大值是( )A.1B.C.D.1+【解析】选C.f(x)=+sin2x=sin+.又x∈，所以2x-∈，所以f(x)max=1+=.3.(2014·安徽高考)若将函数f(x)=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是( )A. B. C. D.【解析】选C.将函数f(x)=sin2x+cos2x=sin的图象向右平移φ个单位，所得函数为f(x)=sin=sin，其图象关于y轴对称，所以-2φ=+kπ，k∈Z，所以φ的最小正值是.4.(2015·黄冈高一检测)已知α，β∈，=，且2sinβ=sin(α+β)，则β的值为( )A. B. C. D.【解析】选A.由=，得tanα=.因为α∈，所以α=，所以2sinβ=sin=cosβ+sinβ，所以tanβ=，所以β=.5.函数y=图象的对称中心是( )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)【解析】选D.y===tan，由=(k∈Z)，解得x=kπ(k∈Z)，其图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z).【误区警示】解答本题容易将正切函数y=tanx的对称中心误认为只有(kπ，0)(k∈Z)而导致错误.二、填空题(每小题5分，共15分)6.若α∈，且3cos2α=sin，则sin2α的值为__________. 【解析】cos2α=sin=sin=2sin cos，代入原式，得6sin cos=sin，因为α∈，所以cos=，所以sin2α=cos=2cos2-1=-.答案：-7.若tanx=，则=________.【解析】原式=====2-3.答案：2-38.如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度x=________来截.【解析】设正方形钢板的边长为a，截后的正方形边长为b，则=，=，又a=GC+CF=bsinx+bcosx，所以sinx+cosx=，所以sin=.因为0<x<，<x+<，所以x+=或，x=或.答案：或【误区警示】解答本题容易忽视角度x的取值范围，而导致解三角方程时产生漏解.三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·秦皇岛高一检测)已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，α∈.若·=-1，求的值.【解析】=(cosα-3，sinα)，=(cosα，sinα-3)，由·=-1，得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1，所以sinα+cosα=，2sinα·cosα=-.又==2sinαcosα=-，故所求的值为-.10.(2015·天津高考)已知函数f=sin2x-sin2(x-)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解析】(1)由已知，有f(x)=-=-cos2x=sin2x-cos2x=sin，所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f=-，f=-，f=.所以，f(x)在区间上的最大值为，最小值为-.【补偿训练】1.(2015·承德高一检测)已知函数f(x)=4cosxsin(x+)-1.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解析】(1)因为f(x)=4cosxsin-1=4cosx-1=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x=2sin，所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为-≤x≤，所以-≤2x+≤.于是，当2x+=，即x=时，f(x)取得最大值2；当2x+=-，即x=-时，f(x)取得最小值-1.2.(2015·成都高一检测)已知函数f(x)=cosx·cos(x-).(1)求f的值.(2)求使f(x)<成立的x的取值集合.【解析】(1)f=cos·cos=-cos·cos=-=-.(2)f(x)=cosx·cos=cosx·=cos2x+sinxcosx=(1+cos2x)+sin2x=cos+.f(x)<等价于cos+<，即cos<0.于是2kπ+<2x-<2kπ+，k∈Z，解得kπ+<x<kπ+，k∈Z.故使f(x)<成立的x的取值集合为.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·兰州高一检测)在斜三角形ABC中，sinA=-cosB·cosC，且tanB·tanC=1-，则角A的值为( )A. B. C. D.【解析】选 A.由题意知，sinA=-cosB·cosC=sin(B+C)=sinB·cosC+cosB·sinC，在等式-cosB·cosC=sinB·cosC+cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB+tanC=-，又tan(B+C)==-1=-tanA，即tanA=1，所以A=.2.已知函数f(x)=sin2x-2sin2x++1，那么f(x)的单调递增区间是( )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)【解析】选A.因为f(x)=sin2x+(1-2sin2x)+1=sin2x+cos2x+1=2sin+1.由正弦函数的性质知，当2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z)，即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时，函数y=2sin(2x+)+1为单调递增函数，故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).【延伸探究】本题中，若x∈，求函数f(x)的值域.【解析】因为x∈，所以2x+∈，所以sin∈[0，1]，所以f(x)=2sin+1∈[1，3].所以f(x)的值域为[1，3].二、填空题(每小题5分，共10分)3.在△ABC中，sin(C-A)=1，sinB=，则sinA的值为______.【解题指南】首先根据题目条件求角C-A，再根据三角形内角和定理分析角A和角B的关系，最后先求sin2A 再求sinA.【解析】由C-A=，且C+A=π-B，所以A=-，所以sinA=sin=，所以sin2A=(1-sinB)=，又sinA>0，所以sinA=.答案：4.(2015·太原高一检测)点P在直径AB=1的半圆上移动，过点P作圆的切线PT，且PT=1，∠PAB=α，则四边形ABTP的面积最大时α=________.【解析】如图，连接PB.因为AB为直径，所以∠APB=90°.因为∠PAB=α，AB=1，所以PB=sinα，PA=cosα.又PT切圆于P点，则∠TPB=∠PAB=α.所以S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB=PA·PB+PT·PB·sinα=cosα·sinα+sin2α=sin2α+(1-cos2α)=sin+.因为0<α<，-<2α-<π，所以当2α-=，即α=π时，四边形ABTP的面积最大.答案：π三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·衡水高一检测)设函数f(x)=cos+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期.(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f=-，且C为锐角，求sinA.【解析】(1)f(x)=cos2xcos-sin2xsin+=cos2x-sin2x+-cos2x=-sin2x.所以，当2x=-+2kπ，k∈Z，即x=-+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，f(x)max=，f(x)的最小正周期T==π，故函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.(2)由f=-，即-sinC=-，解得sinC=，又C为锐角，所以C=.由cosB=求得sinB=.因此sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=×+×=.6.如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC.(1)设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积.(2)求剪下的铁皮三角形PMN的面积的最大值.【解析】(1)由题意知OM=AD=BC=×2=1，所以MN=OMsin∠MOD+CD=OMsin∠MOD+AB=1×sin30°+1=，BN=OA+OMcos∠MOD=1+1×cos30°=1+=，所以S△PMN=MN·BN=××=，即三角形铁皮PMN的面积为.(2)设∠MOD=x，则0<x≤π，因为BP=MN≤×2=1，所以点P在线段AB上.MN=OMsinx+CD=sinx+1，BN=OMcosx+OA=cosx+1，所以S△PMN=MN·BN=(sinx+1)·(cosx+1)=，令t=sinx+cosx=sin，由于0<x≤π，所以<x+≤，则有-≤sin≤1，所以-1≤t≤，且t2==1+2sinxcosx，所以sinxcosx=，故S△PMN===.而函数y=在区间上单调递增，故当t=时，y取最大值，即y max==，即剪下的铁皮三角形PMN的面积的最大值为.。

2021-2022年高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换练习新人教A版

2021-2022年高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换练习新人教A 版②f(x)＝2sin(x ＋π4)； ③f(x)＝sin x ＋3cos x ； ④f(x)＝2sin 2x ＋1.其中是“同簇函数”的有( ) A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④15．(15分)在三角形ABC 中，AB →与AC →的夹角为θ，|AB →|·|AC →|sin θ＝6，且0≤AB →·AC →≤6.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝2sin 2(π4＋θ)－3cos 2θ的最大值与最小值．1．C [解析] 由y ＝2sin x 2cosx 22cos 2x 2＝tan x 2，得最小正周期T ＝π12＝2π.2．C[解析] 原式＝cos 210°－sin 210°cos 35°（cos 10°－sin 10°）＝cos 10°＋sin 10°cos 35°＝2cos 35°cos 35°＝ 2.3．B [解析] y ＝3sin 4x ＋3cos 4x ＝2 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6，故其最大值为23.4．A [解析] ∵f(x)＝(1＋tan x)cos x ＝cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π4)，∴f(x)的最小正周期为2π.5．C [解析] y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－1＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＝cos 2xcosπ6＋sin 2xsin π6－cos 2xcos π6＋sin 2xsin π62＝sin 2x2.故此函数是最小正周期为π的奇函数．6．D [解析] 由题意可知，f(x)＝1＋a 2sin(2x ＋θ)，其中sin θ＝a 1＋a 2，cos θ＝11＋a 2，且f(－π8)为函数f(x)的最大值或最小值，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝1＋a 2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋acos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝1＋a 2，所以12(a －1)2＝1＋a 2，解得a ＝－1.7．C [解析] 由已知可得f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π6.由题知f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2.由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k ∈Z . 8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π4，2kπ＋34π(k ∈Z ) [解析] ∵f(x)＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，∴由2kπ－π2≤x－π4≤2kπ＋π2(k ∈Z )，得2kπ－π4≤x≤2kπ＋3π4(k ∈Z )．9.3 3－410 [解析] 由已知得sin αcos π3＋cos αsin π3＋sin α＝32sinα＋32cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－4 35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.又－π3<α＋π6<π6，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，⎣⎦⎝⎭⎝⎭10.3π2 [解析] y ＝sin 2x 3＋cos 2x 3cos π6－sin 2x 3sin π6＝cos 2x 3cos π6＋sin 2x 3·sin π6＝cos(2x 3－π6)．故该函数的最小正周期T ＝2π23＝3π，所以相邻两条对称轴之间的距离是3π2. 11．①③ [解析] ∵f ()x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝2sin2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，∴f(x)的最小正周期T ＝π，①正确；由－π2＋2kπ≤2x＋5π6≤π2＋2kπ(k∈Z )，得f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋kπ，－π6＋kπ(k ∈Z )，②错误；∵对称中心的横坐标满足2x ＋5π6＝kπ(k∈Z )，∴x ＝kπ2－5π12(k ∈Z )，当k ＝1时，得③正确；为得到g(x)＝2sin 2x 的图像，应该将f(x)的图像向右平移5π12个单位，④不正确． 12．解：(1)因为f(x)＝4cos xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f(x)取得最小值－1. 13．解：(1)∵cos(π－α)＝－cos α＝223， ∴cos α＝－223. 又∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－13.(2)cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋α2·sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋⎝⎛⎭⎪⎫－sin α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos α2＝12＋12sin α＋sin α2·cos α2＝12＋12sin α＋12sin α＝12＋sin α＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝16. 14．C [解析] 将函数进行化简，可知②③中的函数图像经过平移可以重合． 15．解：(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则由已知可得bcsin θ＝6，0≤bccos θ≤6，∴0≤co s θsin θ≤1.当θ≠π2时，可得0≤1tan θ≤1，∴θ∈[π4，π2)；当θ＝π2时，AB →·AC →＝0，符合题意． ∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.(2)f(θ)＝2sin 2(π4＋θ)－3cos 2θ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos （π2＋2θ）－3cos 2θ＝(1＋sin 2θ)－3cos 2θ＝sin 2θ－3cos 2θ＋1＝2sin(2θ－π3)＋1.∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2θ－π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， ∴2≤2sin(2θ－π3)＋1≤3， ∴f(θ)的最大值为3，最小值为2.Y=37624 92F8 鋸A39772 9B5C 魜 22081 5641 噁28779 706B 火31904 7CA0 粠/S40750 9F2E 鼮622528 5800 堀32797 801D 耝。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换练习新人教A版必修4(2021年整理)

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3.2 简单的三角恒等变换题号1234567891011得分答案一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分）1．函数y＝错误!的最小正周期等于( )A.错误! B．πC．2π D．3π2。

错误!＝（）A．1 B．2C. 2 D。

错误!3．函数y＝3sin 4x＋错误!cos 4x的最大值是( )A. 3 B．2 错误!C．3 D．64．函数f(x）＝(1＋tan x)cos x的最小正周期为（）A．2π B.错误!C．π D.错误!5．函数y＝cos2错误!＋sin2错误!－1是（)A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数6．如果函数f(x)＝sin 2x＋acos 2x的图像关于直线x＝－错误!对称，则实数a的值为（)A．2 B．－2C．1 D．－17．已知函数f(x)＝错误!sin ωx＋cos ωx(ω〉0)，y＝f(x)的图像与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )A.错误!，k∈ZB。

错误!，k∈ZC.错误!,k∈ZD。

错误!，k∈Z二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．函数f(x）＝sin x－cos x的单调递增区间是____________________．9．已知sin（α＋错误!)＋sin α＝－错误!，－错误!<α<0，则cos α＝________．10．函数y＝sin 2x3＋cos（错误!＋错误!）的图像中相邻的两条对称轴之间的距离是________．11．已知函数f（x）＝cos 2x－2 3sin xcos x，给出下列结论:①存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f(x1)＝f(x2)成立；②f(x）在区间[－错误!，错误!］上单调递增;③函数f(x）的图像关于点(错误!，0)中心对称;④将函数f（x）的图像向左平移错误!个单位后所得图像与g（x）＝2sin 2x的图像重合．其中正确结论的序号为________．三、解答题（本大题共2小题，共25分)得分12．(12分）已知函数f（x）＝4cos xsin 错误!－1.(1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x)在区间错误!上的最大值和最小值．13。

2021_2022学年高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换课时作业新人教A版必修4

3.2 简单的三角恒等变换选题明细表知识点、方法题号半角公式及应用1,2,4化简求值、证明问题5,6,8,9 与三角函数性质有关问题3,7,10,12三角函数在实际问题中的应用11,13根底稳固π<θ<π,cos θ=a,那么sin等于( B )(A)(B)(C)-(D)-解析:因为π<θ<π,所以<<π,所以sin>0,所以sin==.应选B.2.(2021·丹东市期末)tan 60°=m,那么cos 120°的值是( B )(A)(B)(C)(D)-解析:因为tan 60°=m,那么cos 120°====.3.假设cos α=-,α是第三象限的角,那么等于( A )(A)- (B) (C)2 (D)-2解析:因为α是第三象限角,cos α=-,所以sin α=-.所以===·===-.4.+2的化简结果是( A )(A)2cos 4-4sin 4 (B)2sin 4(C)2sin 4-4cos 4 (D)-2sin 4解析:原式=+2=×+2=2|sin 4|+2|sin 4-cos 4|.因为sin 4<0,sin 4<cos 4,所以原式=-2sin 4+2(cos 4-sin 4)=2cos 4-4sin 4.5.(2021·台州市期末)设a=2sin cos,b=cos25°-sin25°,c=,那么( C )(A)a<b<c (B)b<c<a(C)c<a<b (D)a<c<b解析:因为a=2sin cos=sin=sin 72°=cos 18°,b=cos25°-sin25°=cos 10°,c==tan 60°==cos 30°,而y=cos x在(0,π)上为减函数,所以c<a<b.的结果为.解析:===|sin 1+cos 1|.又0<1<,所以原式=sin 1+cos 1.答案:sin 1+cos 17.(2021·沈阳市期末)函数y=cos2(x-)+sin2(x+)-1的最小正周期为. 解析:y=cos2(x-)+sin2(x+)-1=+-1==sin 2x,所以T==π.答案:π8.化简sin2x(-tan)+cos 2x.解:原式=sin2x(-)+cos 2x=sin2x·+cos 2x=sin2x·+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin(2x+).能力提升9.(2021·武汉市期末)α,β∈(0,)且3sin β=sin (2α+β),4tan=1-tan2,那么α+β的值为( B )(A)(B)(C)(D)解析:因为α,β∈(0,),且3sin β=sin (2α+β),所以3sin [(α+β)-α]=sin [(α+β)+α],即3sin (α+β)cos α-3cos (α+β)sin α=sin (α+β)cos α+cos (α+β)sin α,化简可得2sin (α+β)cos α=4cos (α+β)sin α,故有tan (α+β)=2tan α.再根据4tan=1-tan2,可得tan α==,所以tan (α+β)=2tan α=1.再根据α+β∈(0,π),可得α+β=.10.a∈R,f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos2(-x)满足f(-)=f(0),当x∈[,]时,那么f(x)的值域为( D )(A)[1,2] (B)[,](C)[,2] (D)[,2]解析:由题意得,f(x)=sin 2x-+=sin 2x-cos 2x.又f(-)=f(0),所以a=2,所以f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-),所以当x∈[,π]时,2x-∈[,π],f(x)∈[,2].应选D.由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如下图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos 2θ的值等于.解析:由题意知,5cos θ-5sin θ=1,θ∈(0,).所以cos θ-sin θ=.由(cos θ+sin θ)2+(cos θ-sin θ)2=2.所以cos θ+sin θ=.所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)=.答案:12.(2021·四平市模拟)函数f(x)=cos(2x-)+sin2x-cos2x+.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)假设存在t∈[,]满足[f(t)]2-2f(t)-m>0,求实数m的取值范围.解:(1)由题意得,f(x)=cos 2x+sin 2x+sin2x-cos2x+=cos 2x+sin 2x-cos 2x+=sin(2x-)+,所以函数f(x)的最小正周期T=π.由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).(2)当t∈[,]时,可得2t-∈[0,],解得f(t)=sin(2t-)+∈[,+1]⇒F(t)=[f(t)]2-2f(t)=[f(t)-]2-2∈[-2,-1].存在t∈[,],满足F(t)-m>0的实数m的取值范围为(-∞,-1).探究创新13.点P在直径A B=1的半圆上移动,过P作圆的切线P T,且P T=1, ∠PAB=α,问α为何值时,四边形ABTP的面积最大?解:如图,连接PB.因为AB为圆的直径,所以∠APB=90°,因为∠PAB=α,AB=1,所以PB=sin α,PA=cos α.又PT切圆于P点,那么∠TPB=∠PAB=α.所以S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB=PA·PB+PT·PB·sin α=sin α·cos α+sin2α.=sin 2α+(1-cos 2α).=sin(2α-)+.因为0<α<,-<2α-<π,所以当2α-=,即α=π时,四边形ABTP的面积最大.。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换3.2.1倍角公式导学案新人教A版必修4【精选】.doc

13.2.1二倍角公式教学目标： 12能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明教学重点：二倍角公式的推导教学过程sin15cos15×o o 的求值问题？一、复习引入复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：),(,sin cos cos sin )sin(R R ∈∈+=+βαβαβαβα )(βα+S=+)sin(αα),(,sin sin cos cos )cos(R R ∈∈-=+βαβαβαβα )(βα+C =+)cos(αα ),2,,(,tan tan 1tan tan )tan(Z k k ∈+≠+-+=+ππβαβαβαβαβα)(βα+T=+)tan(αα二、讲解新课(一) 二倍角公式的推导在公式)(βα+S ，)(βα+C ，)(βα+T 中，当βα=时，得到相应的一组公式： sin 2________________α= 简记为_____________.cos 2________________α=简记为_____________又可写成________________.________________.=⎧⎨=⎩tan 2________________α= 简记为_____________.（二）公式的变形应用21sin 2_______________(_________).α±==1cos 2_______;1cos 2_______.αα+=-= 22sin _______.cos _______.αα⇒==（三）相对2倍角(倍角的相对性)sin 2________________α=cos 2________________α=sin α= cos α= （利用2α表示） cos4α= __________________ cos3_________.α=（利用32α表示）. sin2α=__________________ （22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用）例1不查表．求下列各式的值(公式的逆用) （１） 15cos 15sin ；（２）8sin 8cos 22ππ-；（３）5.22tan 15.22tan 22-；（４）75sin 212-．（5）22cos 112π-= （6）求cos 20cos 40cos60cos80o o o o 的值例2求值（１）)125cos 125)(sin 125cos 125(sin ππππ-+（２）2sin 2cos 44αα- （３）ααtan 11tan 11+-- （４）θθ2cos cos 212-+例3若tan θ = 3，求sin2θ- cos2θ的值三、课后提升1、已知12cos13α=，)2,0(πα∈，求sin2α，cos2α，tan2α的值 ?2、已知5tan12α=，3(,)2παπ∈，求tan2α的值。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换学案含解析新人教A版必修

学习资料3．2 简单的三角恒等变换内容标准学科素养1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3。

能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.提升数学运算发展逻辑推理应用数学抽象授课提示：对应学生用书第80页［基础认识]知识点半角公式阅读教材P139~140，思考并完成以下问题我们知道二倍角公式中，“倍角是相对的”,那么对余弦的二倍角公式，若用2α替换α，结果怎样?（1）根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin错误!，cos错误!，tan错误!.提示:由sin α＝±错误!，cos α＝±错误!中，将α换为错误!得,sin错误!＝±错误!，cos错误!＝±错误!.(2)利用tan α＝错误!和二倍角公式又能得到tan错误!与sin α,cos α怎样的关系？提示：tan错误!＝±错误!。

知识梳理半角公式：sin错误!＝±__错误!,cos错误!＝±__错误!，tan错误!＝±__错误!．[自我检测］1．若cos α＝错误!，α∈（0,π）,则cos错误!的值为（）A。

错误!B．－错误!C．±错误!D．±错误!答案：A2．已知2π<θ<4π，且sin θ＝－错误!，cos θ〈0，则tan错误!的值等于()A．－3 B．3 C．－错误!D。

错误!答案:A授课提示：对应学生用书第80页探究一三角函数式的求值[教材P139例1]方法步骤:用“整角”的函数值求“半角”的函数值．［例1］已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝错误!，sin β＝错误!,求cos错误!与tan错误!的值．[解析]因为α为钝角,β为锐角，sin α＝错误!,sin β＝错误!，所以cos α＝－错误!，cos β＝错误!，所以cos（α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.因为错误!〈α〈π，0<β<错误!，所以0〈α－β〈π，所以0〈错误!〈错误!.所以cos 错误!＝错误!＝错误!＝错误!.由0<错误!〈错误!，得sin 错误!＝错误!＝错误!。