复数复习课
《复数复习课》课件
3 模长和角度
复数的模长是复数到原点的距离，角度是复 数与正实轴的夹角。
4 欧拉公式
欧拉公式是复数的一种表示形式，将复数表 示为以e为底的指数函数。
解析式
复数的三角式
将复数写成模长和角度的形式，使用三角函数表示。
指数形式
将复数写成以e为底的指数函数的形式，使用指数运算表示。
复数在实际中的应用
电学中的应用
复数在交流电路分析中起着重 要作用，可以描述电流和电压 之间的关系。
机械中的应用
复数在机械振动和波动的计算 中有广泛应用，可以描述物体 的运动和振幅。
物理中的应用
复数在光学和量子力学中有重 要应用，可以描述光的干涉和 物质的量子态。
结语
复数的重要性
复数在数学和科学领域具有重要的地位，可以描述和解决许多实际问题。
《复数复习课》PPT课件
欢迎来到《复数复习课》！在本课程中，我们将深入了解复数的概念、运算 和性质，以及在实际中的应用。让我们开始吧！
复数概述
定义
复数是由实数和虚数构成的数，形式为a+bi，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复数形式
复数可以写成代数形式、指数形式和三角形式。
复数表示方法
复数可以用直角坐标系或极坐标系表示。
复数的运算
复数加法
复数相加的规则是将 实部相加，虚部相加。
复数法
复数相减的规则是将 实部相减，虚部相减。
复数乘法
复数相乘的规则是使 用分配律进行运算。
复数除法
复数除法的规则是求 复数的共轭，然后进 行乘法运算。
复数的性质
1 共轭复数
2 虚部为零的复数
共轭复数是将复数的虚部取负得到的新复数。
复数复习课
把集合C={a +bi |a,b∈R}中的数，即形如a+bi(a,b∈R)
的数叫做复数。 其中 i 叫做虚数单位 i 21 全体复数所成的集合C叫做复数集。 复数通常用字母 z 表示，即
z a bi
实部 虚部
(a, b R)
复数集
虚数集 纯虚数集 实数集
----复数的代数形式
复数的几何意义:
例6
若
z 2 ，求 z i
的最大值。
例7 若 z bi(b R) ，若使 z 2 i z 2 3i 的最小，求b的值。
实数m取什么值时，复数
(m 8m 15) (m 5m 14)i
2 2
对应的点
（1）位于第一、三象限？
（2）位于第四象限？
复数z满足z〃 z +z+ z =3，则z对应点的轨 迹是________.
例 5、下列命题中的真命题的 为： ( A ) 若 Z 1 + Z 2 = 0, 则 #43; Z 2 = 0, 则 Z 1与 Z 2互为共轭复数。 ( C ) 若 Z 1 - Z 2 = 0, 则 Z 1与 Z 2互为共轭复数。 ( D ) 若 Z 1 - Z 2 = 0, 则 Z 1与 Z 2互为共轭复数。
4 n 2
1, i
4 n 3
i
例1、计算 (1) (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) (2) 已知(3-ai)-(b+4i)=2a-bi,求实数a、b的值。 (3)
(4)
i
2002
例2 如果复数
2 50 ( 2 2i) ( ) 1 i 2 bi
8
（其中i为虚数单位，b为实 1 2i )
人教高中数学必修二A版《复数的三角表示》复数研讨复习说课教学课件
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(1)复数
4cos
π6＋isin
π6的模 r＝4，辐角的主值为 θ＝
4cos
π6＋isin
π6＝4cos
π6＋4isin
π 6
＝4× 23＋4×12i
＝2 3＋2i.
栏目 导引
第七章 复 数
3
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个人简历：课件/j ia nli/
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栏目 导引
解析：6cosπ3＋isinπ3×4cosπ6＋isinπ6
＝24cosπ3＋π6＋isinπ3＋π6
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个人简历：课件/j ia nli/
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手抄报：课件/shouchaobao/
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＝24i.课件 课件
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6cosπ3＋isinπ3÷4cosπ6＋isinπ6
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的形式，其中，r 是复数 z 的_模____；θ 是以 x 轴的非负半轴为始
边，向量O→Z所在射线(射线O→Z)为终边的角，叫做复数 z＝a＋bi
的辐角，我们规定在 0≤θ<2π 范围内的辐角 θ 的值为辐角的主
值，通常记作 argz.r(cos θ＋isin θ)叫做复数 z＝a＋bi 的三角表
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第3章 复数章末复习课
复数的概念数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据． 求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．【例1】 复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时， (1)z ∈R ；(2)z 为虚数．[思路探究] 根据复数的分类列方程求解．[解] (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，①log 2(x －3)＝0， ②x －3>0，③由②得x ＝4，经验证满足①③式． 所以当x ＝4时，z ∈R .(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，①log 2(x －3)≠0， ②x －3>0，③由①得x >3＋212或x <3－212. 由②得x ≠4，由③得x >3.所以当x >3＋212且x ≠4时，z 为虚数．1．设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3(2)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 的实部是__________．[解析] (1)因为a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －10(3＋i )10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.(2)法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋b i ＋1)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝－3，a ＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故复数z 的实部是1．法二：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＋1＝－3＋2ii ＝2＋3i ，故z ＝1＋3i ，即复数z 的实部是1．[答案] (1)D (2)1复数的四则运算21)，除法运算注意应用共轭的性质z ·z 为实数．【例2】 (1)设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z －＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i(2)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i[思路探究] (1)先求出z 及zi ，结合复数运算法则求解． (2)利用方程思想求解并化简．[解析] (1)∵z ＝1＋i ，∴z －＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴z i ＋i·z －＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.(2)由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i ＝2i ＋5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.[答案] (1)C (2)A2．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z z的值为( ) A.35＋45i B.35－45i C ．－35＋45iD ．－35－45i[解析] 因为(1＋2i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i1＋2i＝(4＋3i )(1－2i )5＝2－i ，所以z ＝2＋i ，所以zz ＝2＋i2－i＝(2＋i )25＝35＋45i.[答案] A复数的几何意义b )来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．【例3】 (1)在复平面内，复数i1＋i对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)在复平面内，复数1－2i2＋i 对应的点的坐标为( )A ．(0，－1)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35 [思路探究] 先把复数z 化为复数的标准形式，再写出其对应坐标． [解析] (1)复数i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.∴复数对应点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.∴复数i1＋i在复平面内对应的点位于第一象限．故选A. (2)∵1－2i2＋i ＝(1－2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5i5＝－i ，其对应的点为(0，－1)，故选A.[答案] (1)A (2)A3．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )(2)若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H[解析] (1)由题图知，z ＝－2＋i ，∴z ＋1＝－2＋i ＋1＝－1＋i ，故z ＋1对应的向量应为选项A.(2)由题图可得z ＝3＋i ，所以z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．[答案] (1)A (2)D转化与化归思想何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x ，y 应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．【例4】 设z ∈C ，满足z ＋1z ∈R ，z －14是纯虚数，求z . [思路探究] 本题关键是设出z 代入题中条件进而求出z . [解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则 z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i ， ∵z ＋1z ∈R ， ∴y －yx 2＋y 2＝0，解得y ＝0或x 2＋y 2＝1，又∵z －14＝x ＋y i －14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14＋y i 是纯虚数．∴⎩⎨⎧x －14＝0，y ≠0，∴x ＝14，代入x 2＋y 2＝1中，求出y ＝±154， ∴复数z ＝14±154i.4．满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．[解] 设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －5y x 2＋y 2i ，z ＋3＝x ＋3＋y i. 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧y －5yx 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y ，因为y ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.所以存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足题设条件．1．设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A ．0 B.12 C ．1 D. 2 [解析] ∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i＝－2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1．故选C.[答案] C2．在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析]11－i＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，对应点位于第四象限，故选D. [答案] D3．设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3[解析] (1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ， 由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3. 故选A. [答案] A4．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1．故实数m 的取值范围为(－3,1)．[答案] A5．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2[解析] ∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝1． ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B. [答案] B 6．若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i[解析] 因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4iz z －1＝4i4＝i.故选C.[答案] C7．设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C．p2，p3D．p2，p4[解析]设z＝a＋b i(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若1z∈R，即1a＋b i＝a－b ia2＋b2∈R，则b＝0⇒z＝a＋b i＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋b i)2＝a2＋2ab i－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋b i＝b i∉R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝z2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0D/⇒a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋b i∈R，则b＝0⇒z＝a－b i＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.[答案] B。
复数复习课
虚数的引入 复 数
复数的表示
复数的运算
代数表示
几何表示
代数运算
几何意义
一．基本概念 1、复数的概念和表示形式
实数(b 0) 纯虚数(a 0, b 0) 复数集C (a bi, a, b R) 虚数(b 0)
非纯虚数(a 0, b 0)
z
,表
示的几何意义是复平面上的点z到原点的距离，且
z a 2 b2 即z 0
思考： (1)复数的模能否比较大小？ (2)满足|z|=5 (z∈R)的z值有几个？(3)满足|z|=5(z∈C)的z值 有几个？这些复数z对应的点在复平面上构成怎 样的图形？
1、在复平面内，复数1+i与-1+3i分别对应向量
2 2
2 , () 2 , 3 1 () 3 , 1 2 0
Z 2i
(二)复数相等：Z1和Z2相等.记a+bi＝c+di 例3：1、若x,y∈R,且(2x-1)+xi=y-(3-y)i,求 x,y
2x 1 y 解：由定义得 x (3 y)
a bi
得x=4,y=7
2、(2010年高考辽宁卷)设a，b为实数，若复 数 1 2i ＝1＋i，则( A ) A．a＝ ， b＝ C．a＝ ，b＝
用 z 来表示,如果z=a+bi ,则 z a bi
结论: 1.实数的共轭复数就是它本身; 2. z z 问1：互为共轭的两复数在复平面上所对应的 点有什么关系？ 问2：互为共轭的两复数的模有什么关系？
1、i 2 的共轭复数是
2、设
。
，且 z z 4 ，
z 的共轭复数是 z
最新人教PEP版英语三年级上册《名词复数形式的读音复习课》精品教学课件
不可数名词 juice milk water
可数名词 eggs
fish bread rice
cakes
名词复数形式的读音 名词
可数名词
不可数名词
单数形式 one pencil a book an eraser
some juice
复数形式
some bread
1、two pencils /z/ some fish
2、three books /s/
3、some cats /ts/
4、How many birds? /dz/
5、two boxes /iz/
6、two feet
课堂小结
1.同桌之间相互交流本课学习收获。 2.老师引导学生总结归纳本课学习知识点，并 总结交流本课学习心得
-s /s/
books
ducks
cakes
-s /s/
books
ducks
cakes
第三种情况
以字母t结尾的名词加了s后，ts可以看成一个 组合读成/ts/,就是what's和let's后面的那个音。
-ts /ts/
what's let's
cats
elephants plates
第四种情况
名词复数形式的读音
名词 pencil
单数形式 one pencil a pencil an eraser
复数形式 two pencils three pencils some pencils How many pencils?
第一种情况
名词复数形式后面加的s大多数时 候都读成/z/的音，就是动物园zoo的 第一个音。
-s /z/ rulers
第3章 复数 章末复习课
2 12＋4a－a >0 ∴ 8a－2>0
，解得2<a<6.
∴实数a的取值范围是(2,6)．
研一研· 题型解法、解题更高效
章末复习课
小结 在求复数时，常设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，把复数z满
本 课 时 栏 目 开 关
足的条件转化为实数x，y满足的条件，即复数问题实数化的 基本思想在本章中非常重要．
本 课 时 栏 目 开 关
解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＝－2. x－2i 1 z 又 ＝ ＝5(x－2i)(2＋i) 2－i 2－i 1 1 ＝5(2x＋2)＋5(x－4)i为实数， ∴x＝4.∴z＝4－2i，
研一研· 题型解法、解题更高效
章末复习课
又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象 限．
本 课 时 栏 目 开 关
＝－1－2i.
本 课 时 栏 目 开 关
研一研· 题型解法、解题更高效
章末复习课
方法二
2
1 3 原式＝(1－i)(1＋i)(－ ＋ i) 2 2
本 )(－ ＋ i)＝2(－ ＋ i)＝－1＋ 3i. 2 2 2 2 －2 3＋i 2 2 006 －2 3＋ii 21 003 (2) ＋( ) ＝ ＋ 1－i 1＋2 3i 1＋2 3ii －2i1 003 －2 3＋ii 1 1 ＝ －i1 003＝i－ ＝i－i＝0. －i i－2 3
所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2) 到圆上的点的距离的最大值．
由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)＝2 2＋1.
研一研· 题型解法、解题更高效
人教高中数学必修二A版《复数的四则运算》复数说课复习(复数的乘、除运算)
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复数的乘法运算
(1)(1－i)－12＋ 23i(1＋i)＝(
)
A．1＋ 3i
B．－1＋ 3i
C． 3＋i
D．－ 3＋i
栏目 导引
第七章 复 数
(2)已知
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(2)记住以下结果，可提高运算速度．
①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i.
②11－ ＋ii＝－i，11＋ －ii＝i.
7.2 复数的四则运算 7.2.2 复数的乘、除运算
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第七章 复 数
考点 复数的 乘除运算 复数乘法 的运算律 解方程
学习目标 掌握复数乘除运算的运算法 则，能够进行复数的乘除运算
理解复数乘法的运算律
会在复数范围内解方程
核心素养 数学运算
逻辑推理 数学运算
第七章 复 数
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z＝14＋ －ii的虚部为________．
复数复习课课件
概念回顾
1、复数的概念
形如a bi ,( a,b R )的数，叫做复数。
虚部 a叫做复数的____， b叫做复数的____。 实部
i2=___ 。 -1 i叫做 虚数单位 ， _______
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
2、复数的分类：
实数 b 0 复数z a bi b 纯虚数 a 0， 0 (a, b R) 虚数 b 0 b 非纯虚数 a 0， 0
虚数集
复数集 实数集
纯虚数集
讨论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
R C
3、复数相等的充要条件： a=c a+bi=c+di b=d .
4、复数的模：
|a+bi|= 5、共轭复数：a+bi与a-bi互为 共轭复数 . 显然，任一实数的共轭复数是它算
1.复数的加法和减法
求实数x，y的值。
例4.计算下列各式的值。
（ (1 3 2i （2） 1 - i） 2i ) （） 1 1 i 2 3i
2i 练习.：(1) 1 2i
(2)已知复数Z满足Z(3+4i)=7+i,求|Z|.
课堂小结：
1、复数的概念。 2、复数的分类（实数、虚数、纯虚数） 3、复数相等的条件。 4、共轭复数和复数的模。 5、复数的运算。
练习： 1.设x，y∈R，并且
(x+y)+(y-1)i=(2x+y)+(2y+1)i，求x，y的值。
x=4，y=-2 2. 设复数 z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i
求实数x，y的值。
x=2，y=4
2025届高考数学一轮复习——复数讲义
2025届高考数学一轮复习——复数讲义【高考考情分析】复数是高考的必考内容，多出现在选择题中，近几年多选题、填空题形式也有考查，试题较为简单，属于送分题，主要考查复数的概念和复数的四则运算.【基础知识复习】1.复数的有关概念（1）复数相等：i i a b c d a c +=+⇔=且b d =(,,,)a b c d ∈R .（2）共轭复数：i a b +与i c d +共轭a c ⇔=且b d =-(,,,)a b c d ∈R .（3）复数的模：复数i(,)z a b a b =+∈R 对应的向量OZ 的模叫做z 的模，记作||z 或|i |a b +，即|||i |z a b =+=2.复数的几何意义（1）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应复平面内的点(,)Z a b . （2）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应平面向量((0,0),(,))OZ O Z a b . 3.复数的加、减、乘、除运算法则设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，则（1）加法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++；（2）减法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-；（3）乘法：12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅+=-++；（4）除法：122222i (i)(i)i(i 0)i (i)(i)z a b a b c d ac bd bc ad c d z c d c d c d c d c d++-+-===++≠++-++. 4.复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何123,,z z z ∈C ，有1221z z z z +=+，123123()()z z z z z z ++=++.5.复数加、减法的几何意义（1）复数加法的几何意义若复数12,z z 对应的向量12,OZ OZ 不共线，则复数12z z +是以12,OZ OZ 为两邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数.（2）复数减法的几何意义复数12z z -是1221OZ OZ Z Z -=所对应的复数.6.复数乘法的运算律：对于任意123z z z ∈C ，，，有交换律：1221z z z z =；结合律：123123()()z z z z z z =；乘法对加法的分配律：1231213()z z z z z z z +=+.【重点难点复习】1.复数的模的运算性质（1）1212z z z z ⋅=⋅；（2）()112220z z z z z =≠； （3）()11n n z z n *=∈N .2.共轭复数的相关运算（1）z z z =⇔为实数，0z z +=且0z z ≠⇔为纯虚数；（2）2222||||zz z z a b ===+；（3）2z z a +=，2i z z b -=；（4）1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，()112220z z z z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【基本方法与技能复习】求解复数相关问题的技巧（1）复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需先把所给复数化为i()a b a b +∈，R 的形式，再根据题意列方程（组）求解.（2）求复数的模时，直接根据复数的模的公式和性质进行计算.（3）复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的方法.（4）在复数的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，把含有虚数单位i 的项看作一类同类项，不含i 的项看作另一类同类项；除法运算则需要分母实数化，解题中注意要把i 的幂化成最简形式.（5）由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【典型例题复习】1i =+，则z =( ) A.1i -- B.1i -+C.1i -D.1i + 2.【2024年新课标Ⅰ卷】已知1i z =--，则||z =( )3.【2023年新课标Ⅰ卷】已知1i 22i z -=+，则z z -=( ) A.i - B.i C.0 D.14.【2023年新课标Ⅰ卷】在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.【2022年新高考Ⅰ卷】若()i 11z -=，则z z +=( )A.-2B.-1C.1D.26.【2022年新高考Ⅰ卷】(22i)(12i)+-=( )A.24i -+B.24i --C.62i +D.62i - 答案以及解析1.答案：C1i =+，所以(1)(1i)z z =-+，即1i i z z z =-+-，即i 1i z =+，所以1i (1i)(i)1i i i(i)z ++-===--，故选C.1=+=11i 11i (1i)(1i)22z --==-+-11i 22=+=所以z =21i 1i=-+，故选C. 2.答案：C解析：|||1i |z =--==3.答案：A解析：因为1i(1i)(1i)2i1i22i2(1i)(1i)42z----====-++-，所以1i2z=，即iz z-=-.故选A.4.答案：A解析：(13i)(3i)3i9i368i+-=-++=+，在复平面内对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限，故选A.5.答案：D解析：因为i(1)1z-=，所以111iiz=-=+，所以1iz=-，所以(1i)(1i)2z z+=++-=.故选D.6.答案：D解析：(22i)(12i)24i2i462i+-=-++=-，故选D.。
复习课(第2课时+复数)课件课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第四册
意义及复数的运算的几何意义.复数的几何意义体现了用几何图形的方法
研究代数问题的数学思想.
复数的加、减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则.由减
法的几何意义知,|z-z1|表示复平面内与复数z,z1分别对应的两点Z与Z1之间
1 (cos 1 + isin 1 ) 1
=
cos(1 -2 ) + isin(1 -2 ) (2 (cos 2 + isin 2 ) ≠ 0)
的乘、除运算 除法:
2 (cos 2 + isin 2 ) 2
要点梳理
1.请完成下表.
内容
意义
一般地,当a与b都是实数时,称a+bi
(1)当k2-5k-6=0,即k=6或k=-1时,该复数为实数.
(2)当k2-5k-6≠0,即k≠6,且k≠-1时,该复数为虚数.
2 -5-6 ≠ 0,
(3)当 2
即 k=4 时,该复数为纯虚数.
-3-4 = 0,
2 -3-4 = 0,
(4)当 2
即 k=-1 时,该复数为 0.
-5-6 = 0,
所对应的向量就是.
*4.复数的代数形式与三角形式怎样转化?
提示:非零复数z=a+bi=r(cos θ+isin θ)(a,b∈R),其中,r为在复平面内复数z
对应的向量 的模;θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角.
*5.复数三角形式乘、除运算的运算法则及几何意义是怎样的?设
z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2).请完成下表:
(3)复数加、减法的几何意义
①复数加法的几何意义
主题复习课复数教案
主题复习课复数教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解复数的定义及表示方法；（2）掌握复数的四则运算规则；（3）能够运用复数解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固已学的复数知识；（2）培养学生运用复数解决实际问题的能力；（3）提高学生的逻辑思维和运算能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对复数知识的兴趣；（2）培养学生的团队合作精神；（3）使学生感受到数学在生活中的应用。
二、教学内容1. 复数的定义及表示方法；2. 复数的四则运算规则；3. 复数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：复数的定义、表示方法、四则运算规则及应用。
2. 教学难点：复数的四则运算规则及在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论等多种教学方法，引导学生掌握复数知识；2. 通过例题和练习题，让学生在实际问题中运用复数知识；3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神。
五、教学过程1. 复习导入：回顾复数的定义及表示方法，引导学生回顾已学的复数知识；2. 知识讲解：讲解复数的四则运算规则，并通过例题进行演示；3. 练习巩固：让学生进行复数四则运算的练习，巩固所学知识；4. 实际应用：布置一些实际问题，让学生运用复数知识进行解决；5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，让学生反思自己在学习过程中的收获和不足。
六、教学评估1. 课堂练习：及时检查学生对复数知识的理解和运用情况；2. 课后作业：布置相关习题，巩固所学知识；3. 小组讨论：观察学生在讨论中的表现，了解团队合作情况；4. 学生反馈：听取学生的意见和建议，不断调整教学方法。
七、教学资源1. 教材：选用合适的教材，为学生提供系统、全面的复数知识；2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示；3. 练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识；4. 实际问题：收集一些与生活相关的实际问题，激发学生兴趣。
八、教学进度安排1. 第1-2课时：复习复数的定义及表示方法；2. 第3-4课时：讲解复数的四则运算规则；3. 第5-6课时：练习复数四则运算，巩固知识；4. 第7-8课时：运用复数解决实际问题；5. 第9-10课时：总结与反思，检查学习效果。
六年级名词变复数复习课件
选择题
01
A. mouse(s)
02 03
B. man(s) C. woman(s)
04
D. child(ren)
填空题
填空题1：请填写正确的名词复数形式 1. I have three ____(tooth).
2. They are ____ (sheep).
ANALYSIS
SUMMAR Y
填空题
3. We saw many ____ (fox) in the zoo.
1. There are two ____ (potato) in the bag.
填空题2：请填写正 确的名词复数形式
填空题
2. I like eating ____ (carrot).
3. The ____ (tomato) are red and ripe.
翻译题
翻译题1：请将以下中文翻译成 英文
1. 我有三个苹果。 (I have three apples.)
2. 那些是绵羊。 (Those are sheep.)
翻译题
3. 我们看到动物园里有很多狐 狸。 (We saw many foxes in
the zoo.)
翻译题2：请将以下英文翻译成 中文
在此添加您的文本16字
解析：以f, fe结尾的名词，变复数时去掉f或fe，加ves， 例如：shelf→shelves。
在此添加您的文本16字
填空题3答案：radios
在此添加您的文本16字
解析：以辅音字母加y结尾的名词，变复数时直接加s，例 如：family→families。
翻译题答案及解析
翻译题1答案
主题复习课复数教案
主题复习课复数教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握复数的概念、代数表示法、几何表示法以及复数的四则运算规则。
2. 过程与方法：通过复习课的形式，巩固学生对复数的基础知识，提高学生的运算能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的团队合作意识。
二、教学内容1. 复数的概念与代数表示法2. 复数的几何表示法3. 复数的四则运算规则4. 复数的乘除运算5. 复数的加减运算三、教学重点与难点1. 教学重点：复数的概念、代数表示法、几何表示法以及复数的四则运算规则。
2. 教学难点：复数的乘除运算，特别是复杂分数的化简。
四、教学方法1. 采用复习课的形式，通过提问、讨论等方式，激发学生的学习兴趣，巩固已学知识。
2. 利用多媒体课件，直观展示复数的几何表示，帮助学生更好地理解复数的概念。
3. 通过例题讲解、学生练习、小组合作等形式，提高学生的运算能力。
五、教学过程1. 课堂导入（5分钟）教师通过提问方式，检查学生对复数基础知识掌握情况，引出本节课的主题——复数复习。
2. 知识梳理（15分钟）教师带领学生回顾复数的概念、代数表示法、几何表示法以及复数的四则运算规则，让学生清晰地掌握复数的基本知识。
3. 典例分析（20分钟）教师选取具有代表性的例题，讲解复数的乘除运算，引导学生运用所学知识解决问题。
鼓励学生积极参与，提出自己的解题思路。
4. 小组合作（15分钟）教师布置课后练习题，学生分组合作，共同完成练习。
教师巡回指导，解答学生疑问。
5. 课堂小结（5分钟）6. 课后作业（课后自主完成）学生根据课堂所学，完成课后练习题，巩固复数知识。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及小组合作表现，了解学生的学习状态。
2. 课后作业评价：检查学生课后作业的完成质量，评估学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 单元测试评价：在课程结束后，组织单元测试，全面评估学生对本单元知识的掌握情况。
名词变复数
名词性的 ： mine yours his hers its ours yours theirs
用法： 主语用主格，宾语用宾格,
bad(ill)---
worse
• little---less
far----farther
五. 人称代词 物主代词及用法
• 人称代词：
• 主格：I you they
• 宾格：me you them
• 物主代词：
he she we you him her us you
my • 形容词性的： your his her its our your their
四. 形容词比较级的变化方法
• 1.直接在词后加er.
• 2.以e结尾的加r.
• 3.以辅音字母加y结尾的，变y为i加er.
• 4.辅元辅结构的双写最后一个字母加er.
• 5.多音节词变比较级，词前加more.
• 6.五个不规则词要牢记。good(well)--better
• many(much)---more
六年级语法复习课
一. 名词变复数
• 1.直接在词后加s。 • 2.以s,x,ch,sh,o结尾的，加es。 3.辅音字母加y结尾，变y为i加es。 4.改变其中某些字母。 5.单复同型。 6.以f,fe结尾的，去f,fe加ves. 7.一些人称代词有复数形式。如：I -we, he,she,it----they.this---these,that---those.
二. 动词变三单
• 1.直接在词后加s. • 2.以s,x,ch,sh,o结尾的，在词后加es. • 3.以辅音字母加y结尾，变y为i加es. • 3.have----has.
三. 动词变现在分词
第03讲 复数(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
所以
，解得 = 1, = ± 3，
− 2 2 + 2 = 4
当 = 1, = 3时， = 1 + 3i，
故 2 = 1 + 3i
2
= 1 + 2 3i + 3i2 = −2 + 2 3i，
3 = −2 + 2 3i 1 + 3i = −2 + 6i2 = −8；
3
A． 2
3
1
B． 2 i C．− 2 D．−
3 − i = 2i，其中为虚数单位，则的虚部为（ A ）
3
2
【解题方法总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括
实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和
虚部都认识清楚．
题型二：复数的运算
【例2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数 =
+
−
+
பைடு நூலகம்(
+
+
≠ )
题型三：复数的几何意义
3−i
【例3】（2023·河南郑州·三模）复平面内，复数1+i2023对应的点位于（
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
3−i
3−i
3−i
(3−i)(1+i)
【解析】由题得1+i2023 = 1+i3 = 1−i = (1−i)(1+i) = 2 + i，
别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出
发点．
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mm＋2 ＝0 且 m2＋2m－3≠0. m－1 解得 m＝0 或 m＝－2， ∴当 m＝0 或 m＝－2 时，z 为纯虚数．
【例2】 已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i， 求x，y.
思路分析：设x＝a＋bi，y＝a－bi(a，b∈R)，根据复数相等的条
件求解．
解：设 x＝a＋bi(a，b∈R)，则 y＝a－bi， x＋y＝2a，xy＝a2＋b2， 代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
复数习题课
LOREM IPSUM DOLOR
LOREM IPSUM DOLOR
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的 实部和虚部 ．若 b＝0 ，则a＋bi为实数，若 ，则a＋bi b≠0 ，则a＋bi为虚数，若 a＝0且b≠0 为纯虚数．
1 2
； ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ③乘法：z1· z2＝(a＋bi)· (c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ；
【例 1】
mm＋2 已知 m∈R，复数 z＝ ＋(m2＋ m－1
2m－3)i，当 m 为何值时，(1)z 是实数？(2)z 是虚数？ (3)z 是纯虚数？
解：(1)要使 z 是实数，m 须满足： mm＋2 m ＋2m－3＝0 且 有意义，解得 m＝－3. m－1
2
∴当 m＝－3 时，复数 z 为实数． (2)要使 z 是虚数，m 须满足：m2＋2m－3≠0， 且 mm＋2 有意义，解得 m≠1 且 m≠－3. m－1
∴当 m∈R 且 m≠1，－3 时，z 为虚数． (3)要使 z 是纯虚数，m 须满足：
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d (a，b，c， d∈R)． 3共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔ (3) a＝c，b＝－d (cd∈R)． ．
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z ＋z ＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i
解法：(技巧解法)
2 1 ＋ i 6 原式＝ ＋ 2
2＋ 3ii 3－ 2ii
2＋ 3ii ＝i ＋ 2＋ 3i
6
＝－1＋i.
一些常用的结论 1＋i 1－i ①(1± i) ＝± 2i；② ＝i， ＝－i； 1－i 1＋i
2
③i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i； i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，其中 n 为整数．
2 4a ＝4 根据复数相等得 2 2 － 3 a ＋ b ＝－6
，
a＝－1 或 b＝－1
a＝1 解得 b＝1
a＝1 或 b＝－1
a＝－x＝－1＋i 或 y＝－1－i
【例 4】 如右图，平行四边形 OABC，顶点 O、 A、C 分别表示 0,3＋2i，－2＋4i，试求： → 表示的复数，BC → 表示的复数； (1) AO → 所表示的复数． (2)对角线CA
→ ＝－OA →， 解：(1)AO → 表示的复数为－3－2i. ∴AO → ＝AO →， ∵BC → 所表示的复数为－3－2i. ∴BC → ＝OA → －OC →， (2)CA → 所表示的复数为 ∴CA (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
x＝1－i 或 y＝1＋i
x＝－1－i 或 y＝－1＋i
.
m 变式迁移 已知 ＝1－ni，其中 m、n 是实数， 1＋i i 是虚数单位，则 m＋ni＝ ( A．1＋2i C．2＋i B．1－2i D．2－i )
【例 3】 计算； 1＋i 6 2＋ 3i ( )＋ . 1－i 3－ 2i