脉冲传递函数
脉冲传递函数是表征
脉冲传递函数是表征脉冲传递函数（ImpulseResponseFunction，IRF）是指在一个系统中，输入一个单位脉冲函数（delta函数）时，系统的输出响应。
在信号处理领域，脉冲传递函数是非常重要的概念，因为它可以帮助我们理解信号的特性以及信号在系统中的传递过程。
简单来说，脉冲传递函数可以用来描述一个系统对于输入信号的响应。
在实际应用中，许多信号处理问题都可以转化为寻找脉冲传递函数的问题。
因此，脉冲传递函数是信号处理中的基础概念，对于理解信号处理的基本原理非常重要。
在信号处理中，我们通常会遇到各种各样的信号。
有些信号是周期性的，比如正弦波，方波等等，而有些信号则是非周期性的，比如随机噪声信号等等。
不同的信号在系统中的传递过程也有所不同，因此我们需要针对不同的信号寻找不同的脉冲传递函数。
在信号处理中，我们通常会使用卷积运算（Convolution）来描述信号在系统中的传递过程。
卷积运算可以将输入信号和脉冲传递函数合并成一个输出信号。
因此，我们可以通过卷积运算来计算系统的响应，进而了解系统的特性。
在实际应用中，我们通常会使用数字滤波器来处理信号。
数字滤波器可以通过脉冲传递函数来描述其特性。
例如，低通滤波器的脉冲传递函数可以用来描述它对于高频信号的抑制作用，而高通滤波器的脉冲传递函数则可以用来描述它对于低频信号的抑制作用。
除了数字滤波器之外，脉冲传递函数还可以应用于其他领域。
例如，在声学领域，我们可以使用脉冲传递函数来描述声音在房间内的传递过程。
在光学领域，我们可以使用脉冲传递函数来描述光在介质中的传递过程。
总之，脉冲传递函数是信号处理中的基础概念，它可以帮助我们理解信号的特性以及信号在系统中的传递过程。
在实际应用中，我们可以使用脉冲传递函数来描述数字滤波器的特性，以及信号在其他领域中的传递过程。
因此，掌握脉冲传递函数的概念和应用是非常重要的。
离散系统的状态空间表达式
（1）连续系统：用微分方程来表示，采用拉 普拉斯变换传递函数进行分析。
离散系统：用差分方程来描述，用Z变 换脉冲传递函数进行分析。
因此，离散系统的状态空间表达式可通过差 分方程或脉冲传递函数。
（2）离散系统的信号采用数字形式，输入和 输出都是脉冲序列或数字序列。计算机控制 系统属离散系统。
试写出其状态方程和输出方程 。
解：
x1 (k 1) 0
1
0 x1(k) 0
x2
(k
1)
0
0
1
x
2
(k
)
0
u(k)
x3 (k 1) 6 5 2x3 (k) 1
x1(k)
y(k) x(k) 1
0
0x2 (k)
x3 (k )
例1.10 已知 y(k+3)+2y(k+2)+5y(k+1) +6y(k)=3u(k+2)+2u(k+1)+6u(k)
脉冲传递函数：
G(z)
Y (z) u(z)
bmzm bm1zm1 b1z b0 zn an1zn1 a1z a0
二 、状态方程的建立
1、由差分方程
设T=1 输入仅有(kT)项，b0=1 整个方程可以写为： y(k+n)+an-1y（k+n-1)+……+a0y（k）=u（k） 设x1(k)=y(k) x2(k)=y(k+1)=x1(k+1) x3(k)=y(k+2)=x2(k+1) ……
xn(k)=y(k+n-1)=xn-1(k+1) xn(k+1)=y(k+n)=-a0 x1(k)-a1 x2(k)-
7.4脉冲传递函数
G(z) Z[g * (t)] Z[g(t)] Z[L1G(s)] g(kT)z k k 0
1
7.4.2串联环节的开环脉冲传递函数
对于多环节G串(z) 联的情况，首先考虑两环节串联后的 总开环脉G1冲(z) 传递函数，G2(z其) 余可类推。
z =1,单位圆周
<0, 左半平面
z <1,单位圆内
如果复变量s1在s平面左半平面内移动，即 <0, 则对应z <1,其运动轨迹对应于z平面上单位圆内部，幅角随频率
而变。
9
S左半平面可分成宽度为
s,频率范围为
2n 2
1
s
2n 2
1
s
(n
0,1,2,)
平行于横轴的无数条带域，每一条带域都映射为z平面的单位圆内
=0
0 1 Re
jv
w平 面
0u
=/T
12
将z=w+1/w-1代入闭环离散系统的特征方程中，进行w 变换后，原先在z平面分析是否有根在单位圆外的问题转 换为在w平面上分析是否有根位于右半平面的问题，应用 劳斯稳定判据对离散系统的稳定性进行分析。
得开环系统的脉冲传递函数：
G(z)
10[
z
z 1
z
z e1
]
10 z(1 e1) (z 1)( z e1)
由闭环离散系统的特征方程，求离散系统的闭环特征方
程根： 1 G(z) 0
(7-15）
10z(1 e1) (z 1)(z e1) 0
z2 4.95z 0.368 0
脉冲传递函数
❖ 脉冲传递函数的定义 在零初始条件下，系统输出离散信号的z 变换
与输入离散信号的z 变换之比，即
G(z) C(z) R(z)
系统输出脉冲序列为
c* (t) Z 1[C(z)] Z 1[R(z)G(z)]
脉冲传递函数的基本概念
❖ 脉冲传递函数公式的推导
▪ 当输入信号为单位脉冲信号 (t)时，其输出信号为 单位脉冲响应 g (t ) 。显然，g (t )就是连续传递函数 G(s) 的拉氏反变换。
在 t kT 时，对应的输出为
c(kT) r(0)g(kT) r(T )g[(k 1)T ] r(nT)g[(k n)T ]
k
r(nT )g[(k n)T ] n0
由卷积定理，得
C(z) G(z)R(z)
脉冲传递函数的基本概念
❖ 求脉冲传递函数时应注意的问题 ▪ G(z) Z[g(t)] Z[L1G(s)] ，可简写为 Z[G(s)] 。 ▪ G(z) 表示脉冲传递函数，G(s) 表示连续传递函数， 但 G(z) 不是简单地将 G(s) 中的s 换成z 得到的。 ▪ 已知传递函数 G(s) ，求脉冲传递函数的步骤为：
该闭环系统的脉冲传递 函数为
C(z) G(z) R(z) 1 GH (z)
闭环系统的脉冲传递函数
例10 求图示系统的 闭环脉冲传递函数。
解
G(z)
e1z 1 2e1 z 2 (1 e1)z e1
0.368 z 0.264 z2 1.368 z 0.368
系统闭环脉冲传递函数为
C(z) G(z) 0.368 z 0.264 R(z) 1 G(z) z 2 z 0.632
Z[L1( 1 )] 2s 1
Z
[
由脉冲传递函数写出差分方程
由脉冲传递函数写出差分方程在信号处理中，脉冲传递函数（Impulse Response Function，IRF）是非常重要的一个概念。
它描述了一个系统对一个脉冲输入信号的响应。
由脉冲传递函数可以写出差分方程。
本文将分步骤阐述这一过程。
首先，我们需要了解什么是脉冲传递函数。
在一个线性时不变系统中，脉冲传递函数是输入单个脉冲信号时系统的响应。
它可以被表示为系统的单位脉冲响应的拉普拉斯变换，即$$ H(z) =\sum_{n=0}^{\infty} h(n)z^{-n} $$ 其中，h(n)是脉冲响应序列中第n个元素，z是一个复变量。
这个公式的意义是，当一个脉冲信号通过系统时，我们可以得到一个输出信号$y(n) = h(n)x(n)$，其中x(n)是脉冲信号序列中第n个元素。
因此，当输入信号序列是x(n)时，输出信号序列可以被表示为$$ y(n) = \sum_{k = 0}^{\infty}h(k)x(n-k) $$接下来，我们需要将脉冲传递函数转换为差分方程。
根据z变换的逆变换，可以得到脉冲响应序列$h(n)$是由差分方程$h(n) -a_1h(n-1) - \cdots - a_mh(n-m) = b_0\delta(n) + b_1\delta(n-1) + \cdots + b_l\delta(n-l)$所确定的。
其中，$\delta(n)$表示单位脉冲函数。
因此，我们可以将差分方程写成$$ y(n) - a_1y(n-1) -\cdots - a_my(n-m) = b_0x(n) + b_1x(n-1) + \cdots + b_lx(n-l) $$现在我们来看一个例子。
假设我们有一个系统，它对一个输入信号的响应如下：|n| 0| 1| 2| 3||:-:|---|---|---|---||h(n)| 2| 4| 5| 3|我们可以首先求得该系统的脉冲传递函数。
将上述脉冲响应序列代入前面提到的脉冲传递函数公式中，可以得到$$ H(z) = 2 + 4z^{-1} + 5z^{-2} + 3z^{-3} $$根据之前的转换公式，我们可以将脉冲传递函数转换为差分方程。
脉冲响应与传递函数的关系
脉冲响应与传递函数的关系脉冲响应和传递函数是信号处理领域中两个重要的概念。
它们之间存在着密切的关系，相互之间可以进行转换和推导。
本文将介绍脉冲响应和传递函数的基本概念，并探讨它们之间的关系。
我们来了解一下脉冲响应的概念。
脉冲响应是指系统对单位脉冲信号的响应。
单位脉冲信号是一个持续时间很短的信号，幅度为1，其它时间段内幅度为0。
当单位脉冲信号经过系统时，系统会产生一个响应信号，这个响应信号就是系统的脉冲响应。
脉冲响应可以描述系统对任意输入信号的响应情况。
脉冲响应通常用h(t)表示，其中t表示时间。
传递函数是描述系统输入输出关系的函数。
它是输入信号的拉普拉斯变换和输出信号的拉普拉斯变换之比。
传递函数通常用H(s)表示，其中s是复变量。
传递函数可以反映系统对不同频率信号的响应特性。
通过传递函数，我们可以了解系统的频率响应、相位响应等信息。
脉冲响应和传递函数之间的关系可以通过拉普拉斯变换来推导。
假设系统的传递函数为H(s)，脉冲响应为h(t)，那么它们之间的关系可以表示为：H(s) = L{h(t)}其中L表示拉普拉斯变换。
这个公式表明传递函数是脉冲响应的拉普拉斯变换。
通过传递函数，我们可以得到系统的脉冲响应，从而了解系统对不同输入信号的响应情况。
反过来，如果已知系统的传递函数H(s)，我们可以通过拉普拉斯反变换来求得系统的脉冲响应h(t)。
这样，我们就可以通过传递函数来确定系统的脉冲响应。
脉冲响应和传递函数在信号处理中具有广泛的应用。
在滤波器设计中，我们可以通过传递函数来设计滤波器的频率响应，从而实现对输入信号的滤波。
在系统建模和控制系统设计中，我们可以通过传递函数来分析和设计系统的稳定性和性能。
总结起来，脉冲响应和传递函数是信号处理领域中重要的概念。
它们之间存在着密切的关系，相互之间可以进行转换和推导。
通过传递函数，我们可以了解系统对不同频率信号的响应特性；通过脉冲响应，我们可以了解系统对任意输入信号的响应情况。
控制工程基础-计算机采样控制系统(2)
11
脉冲传递函数（10）
1.有采样开关分隔的两个环节串联时，其脉冲传递函数等于各 环节的脉冲传递函数之积。
X (z) G1(z) R(z)
C(z) G2 (z) X (z)
将X(z)代入C(z) C(z) G2 (z)G1zRz
Cz Rz
G1
z
G2
z
2.没有采样开关分隔的两环节串联时，其脉冲传递函数为各个
2021/2/20
第九章 计算机采样控制系统
15
脉冲传递函数（14）
令
G' p s Gp ss
并根据前面介绍的环节串、并联脉冲传递函数求取方法，参照上图
，则带保持器的广义控制对象脉冲传递函数
Gz
C1
z C2 U z
z
G1z
G2
z
G1z
C1 z U z
Z
Gp' s
Z
g p' t
G2z
1 G1H (z)
闭环传递函数 (z) 的推导步骤：
1) 在主通道上建立输出 C(z)与中间变量 E(z)的关系；
2) 在闭环回路中建立中间变量 E(z) 与输入 R(z) 的关系；
3) 消去中间变量 E(z)，建立C(z) 和 R(z) 的关系。
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第九章 计算机采样控制系统
21
脉冲传递函数（20）
Gz ZGs
即符号 ZGs、ZL1Gs 和 Z g*(t) 、 ZgkT 是等价的。
Gz Zg*(t) ZgkT ZL1Gs ZGS
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第九章 计算机采样控制系统
7
脉冲传递函数（6）
如果系统的输入为任意函数 的采样脉冲序列 r(kT) ，其Z变换
计算机控制系统7脉冲传递函数模型的建立
N (s)
将W(s)分解成如下形式:
n
W (s)
Ai
i1 s si
其中 si 为极点，n 为极点个数。
由s传递函数模型求 z 传递函数模型
由于
M (s) Ai (s si ) N (s)
s si
L( Ai e sit )
s
Ai si
Z ( Ai esit )
z
Ai z e siT
所以
W (z) Z[h(k)] h(0) h(1)z1 h(2)z2 h(l)zl
很难写成闭合函数的形式，使用起来很不方便，常需要将 其转换有理分式的形式，
由单位脉冲响应求 z 传递函数模型
设待求的有理分式传递函数W(z)形式如下
W (z)
Y (z) U (z)
b0 b1z1 1 a1z1
单位脉冲响应
W(z)
差分方程
W(s)
2.1 由差分方程求 z 传递函数模型
前向差分方程：
y(k n) a1y(k n 1) an y(k) b0u(k m) b1u(k m 1) bmu(k)
令对象的初始值为零，利用超前定理，得到
z nY (z) a1z n1Y (z) anY (z) b0 z mU (z) b1z m1U (z) bmU (z)
bn zn an zn
设分子与分母的阶次相等，即m = n，且阶次n已知，则W(z) 对应的差分方程为：
y(k) a1y(k 1) a2 y(k 2) an y(k n) b0u(k) b1u(k 1) bnu(k n)
由单位脉冲响应求 z 传递函数模型 当输入为单位脉冲δ(k)，输出为单位脉冲响应序列h(k)时，有
W (z)
第四节 脉冲传递函数
三开环脉冲传递函数
采样系统在开环状态下，通常可以归结为两 种典型形式，主要取决于采样开关位置的不 同
(a)种情况，串联环节间无同步采样开关，
Y*(s) [G1(s) G2(s) r*(s)]*
则
G(z)
Y (z) R(z)
Z[Y *(s)] Z [r * (s)]
Z[G1(s)G2 (s)]* Z[r*(s)] Z [r * (s)]
G1*(s)G2*(s)r*(s)
G(z)
Y (z) r(z)
Z[Y *(s)] Z [r * (s)]
G1(z)G2 (z)
注意： 在求系统的脉冲传递函数时，需要判断各 个环节之间有无采样开关隔开，有无开关 得到的结果完全不同，这一点与连续系统 不同，连续系统两个环节串联，其传递函 数就等于两个环节传函的乘积
出序列：
y(nT ) r(kT)g(nT kT) k 0
单位
脉冲
利用z变换的卷积定理，可得
响应
序列
Y (z) R(z)G(z)
的z变 换
输入输出端采样开关对脉冲传函的影响 1。输出端有无采样开关对系统脉冲传函没
有影响，因为二者都能够反应Y(z)在各采 样点的数值，如果没有开关，可以自己添 加虚拟同步开关 2。输入端有无采样开关影响到脉冲传递函 数的存在，如果没有采样开关，
脉冲传函与系 统结构、采样
周期有关
分子中含有（1－e－Ts）因子的z变换，例 如在连续传递函数G(s)之前加入零阶保持 器，即： X (s) 1 eTs G(s) s X (z) Z[ X (s)] Z[1 eTs ] Z[G(s)] s (1 z1) Z[G(s)] s
注意零阶保持器的使用：工程实现上均含 有，但在学习过程中要根据题意判断有无
《计算机控制系统教学课件》6.脉冲传递函数
r(t)
r*(t)
实际采样系统
G(s)
T
y*(t) T
y(t)
等价离散系统
R(z)
Y(z) G(z)
25
3. 脉冲传递函数的代数运算规则
闭环系统的脉冲传递函数
R(s) E(z)
R(z)
T
E*(z) G(z) Y(s)
B(z)
H (z)
Y *(z)
Y (z)
误差为： E(z) R(z) B(z) Y(z) G(z)E(z)
G1
s
1 eTs
G1 s
s
最后得 G z Z 1 eTs G2 s 1 z1 G2 z
29
例:上页结构图中设
解：
G
s
1 eTs s
1
s s 1
G1
s
s
1 s
1，T
1s
，求G(z)。
G2
s
s2
1
s 1
G2
z
Z
s2
1
s
1
Z
1 s2
1 s
1 s 1
z
z
12
z
z 1
z
z e1
G(z)
Y (z) R(z)
输出脉冲序列的 输入脉冲序列的
Z Z
变换 变换
单输入单输出离散系统方框图
r(k)
y(k)
G(z)
R(z)
Y(z)
23
脉冲传递函数与差分方程
是不同的数学描述，虽然形式不同，但本质一样，可互相转换
1. 离散系统的脉冲传递函数：
一个线性离散系统的差分方程通式为：
yk a1 yk1 a2 yk2 ... an ykn b0rk b1rk1 b2rk2 ... bmrkm ( y : 输出，r : 输入)
简述脉冲响应函数和传递函数的关系
简述脉冲响应函数和传递函数的关系
脉冲响应函数和传递函数是控制系统中两个重要的概念。
它们之间有着密切的关系，本文将从两者的定义、性质和联系三个方面进行阐述。
脉冲响应函数是指系统对单位脉冲信号的响应函数，通常用h(t)表示。
传递函数是指系统的输入输出关系，通常用H(s)表示。
在时域中，脉冲响应函数和传递函数之间的关系可以用卷积定理表示为： h(t) = L^{-1}[H(s)]
其中，L^{-1}表示拉普拉斯反变换。
这个公式表明，脉冲响应函数是传递函数的拉普拉斯反变换，而传递函数是脉冲响应函数的拉普拉斯变换。
因此，脉冲响应函数和传递函数是密切相关的。
脉冲响应函数和传递函数都具有一些重要的性质。
脉冲响应函数具有线性性、时不变性和因果性等特点。
传递函数具有线性性、时不变性、稳定性和因果性等特点。
这些性质保证了系统的可靠性和稳定性。
脉冲响应函数和传递函数之间的联系可以用于系统的分析和设计。
通过求解传递函数，可以得到系统的频率响应和稳定性等信息。
而通过求解脉冲响应函数，可以得到系统的时域响应和阶跃响应等信息。
这些信息对于系统的控制和优化具有重要的意义。
脉冲响应函数和传递函数是控制系统中两个重要的概念，它们之间有着密切的关系。
脉冲响应函数是传递函数的拉普拉斯反变换，而传递函数是脉冲响应函数的拉普拉斯变换。
通过求解脉冲响应函数和传递函数，可以得到系统的时域响应和频域响应等信息，这对于系统的分析和设计具有重要的意义。
第6章_2_脉冲传递函数
13
闭环离散系统的特征方程为 说明
1 G1G2 H ( z) 0
线性离散系统的结构多种多样，并不是每个系统
都能写出闭环脉冲传递函数。
如果偏差信号不是以离散信号的形式输入到前向 通道的第一个环节，则一般写不出闭环脉冲传递 函数，而只能写出输出的z变换表达式。此时， 令输出z变换表达式的分母为零，就可以得到闭环 系统的特征方程。
18
5
r (t )
系统框图
T
T
G1 ( s ) G2 (s)
H (s)
T
G3 (s)
y(t )
-
RG1 ( z )G2 ( z )G3 ( z ) Y ( z ) 的表达式： Y ( z ) 1 G2 ( z )G1G3 H ( z )
19
6
r (t )
系统框图
T
G ( s)
H (s)
y(t )
G1 ( s )
T
G2 (s)
y(t )
H (s)
T
G1 ( z )G2 ( z ) R( z ) Y ( z ) 的表达式： Y ( z ) 1 G1 ( z )G2 ( z ) H ( z )
22
[例6-14] 试求下图所示线性离散系统的闭环脉冲
传递函数。
r (t )
e(t ) T
-
1 eTs s
Y ( z) 求脉冲传递函数 G ( z ) 。 R( z )
38
本次课内容总结
脉冲传递函数的概念 串联环节的脉冲传递函数 线性离散系统的脉冲传递函数 线性常系数差分方程 差分方程的求解 由差分方程求脉冲传递函数
39
T
y (t )
Y ( z)
第三章_计算机控制系统的数学描述2(差分方程_脉冲传递函数)
对第1种情况：
Y1 ( z ) R( z )G1 ( z ) Y ( z ) Y1 ( z )G2 ( z ) Y ( z) R( z)G1 ( z)G2 ( z)
Y1 (s) G1 (s) R( z ) Y (s) Y1 ( z) G2 ( s) Y1* (s) R( z )G1* (s) * * Y (s) Y1 ( z) G2 ( s)
y (k ) ai y (k i ) b j r (k j )
i 1 n j 0 n m
Y ( z ) ai z iY ( z ) b j z j R( z )
i 1 j 0
m
Y ( z) G( z) R( z )
m
1 ai z i
1 eTs G p (s) 1 G ( z ) Z G ( s ) Z G p (s) (1 z ) Z s s
什么是零阶保持环节？即保持一个采样周期的采样信号， 如图3.6所示。
us (t )
T
o
t
o
t
us (t T )
§3.2 差分方程
连续系统的动态过程，用微分方程来描述； 离散系统的动态过程，用差分方程来描述。
1、差分方程的一般形式 系统的输出Z传递函数与系统输入Z传递函数之比，当初 始条件为零时，称为系统的Z传递函数。一般可表示为
Y ( z ) b0 b1 z 1 b1 z 2 bm z m R( z ) 1 a1 z 1 a2 z 2 an z n
y(k ) y(k 1) r (k ) 2r (k 2)
设初始条件 y(0) 2 ，求
《脉冲传递函数》课件
定义和性质
介绍脉冲传递函数的定义、性质和计算方法 。
应用实例
通过实际应用案例，展示如何使用脉冲传递 函数进行系统分析和设计。
02
脉冲传递函数的基本概念
定义与公式
定义
脉冲传递函数是描述系统对单位脉冲 输入的响应的函数。
公式
$G(s) = frac{b_0 + b_1s + b_2s^2 + ... + b_n s^n}{a_0 + a_1s + a_2s^2 + ... + a_m s^m}$
06
总结与展望
本课程的主要内容回顾
01
脉冲传递函数的定 义与性质
回顾了脉冲传递函数的定义、基 本性质以及在控制系统中的重要 性。
02
脉冲传递函数的计 算方法
详细介绍了如何计算脉冲传递函 数，包括对数域方法和极坐标方 法。
03
脉冲传递函数的应 用
讨论了脉冲传递函数在控制系统 分析和设计中的应用，如稳定性 分析、控制系统校正等。
探讨如何在智能化和自适应控制中应用脉冲传递函数，以提高控制系统的性能和适应性 。
THANKS
感谢观看
特性与分类
特性
描述系统的动态行为，反映系统对输入 的响应速度、阻尼程度和稳定性等。
VS
分类
根据不同的系统特性和应用需求，脉冲传 递函数可分为有界、无界、稳定和不稳定 等类型。
与其他函数的关系
与传递函数的关系
传递函数是脉冲传递函数在时间域上 的扩展，两者描述的是同一系统的动 态特性。
与冲激响应的关系
冲激响应是脉冲传递函数在某一特定 时刻的取值，反映了系统对单位冲激 输入的瞬态响应。
第25讲 Z变换及脉冲传递函数
Z[ f (t iT )] z F ( z)
i
3
证明：由z变换定义
Z f(t iT) f(kT iT)z n
k 0
z -i f [(k i)T]z ( k i )
令m=k-i, 则有
k 0
Z[f(t iT)] z i
m i
k 0
aT
)
k
F ( ze
aT
)
6
例 试用复数位移定理计算函数 解：
te
aT
的z变换。
令f (t ) t
则 Tz Z[ f ( t )] 2 ( z 1)
根据复数位移定理
Z（te
aT
Tze ) F ( ze ) aT 2 ( ze 1)
aT
7
at
（5）初值定理
x求解258585脉冲传递函数脉冲传递函数脉冲传递函数的定义在初始条件为零的采样和数字系统中环节或系统输出脉冲序列的z变换与输入脉冲序列的z变换之比称为该环节或系统的脉冲传递函数
本次课学习要求：
掌握Z变换性质、Z反变换。 掌握线性差分方程及其求解。
掌握脉冲传递函数。
1
3. Z变换的性质(定理）
z zi
k 1
]
重极点的情况：设 F ( z ) 有n阶重极点
zi ，则
res[ F ( z) z k 1 ]z z i
d n1[( z zi )n F ( z) z k 1 ] 1 (n 1)! lim dz n1 z zi
19
用留数法求 例3：
z2 F (z) ( z 1)(z 0.5)
f (kT )
脉冲响应求传递函数
05
实例分析
实例一：简单的一阶系统
总结词
简单的一阶系统是脉冲响应求传递函数中最基础的情况，其特点是系统动态特性由一个一阶微分方程描述。
详细描述
一阶系统通常由一个惯性环节组成，其传递函数为 G(s) = K / (Ts + 1)，其中 s 是复数变量，K 和 T 是常数。当 输入为单位脉冲信号时，输出为系统的脉冲响应。通过求解微分方程，可以得到系统的脉冲响应，进而求得传递 函数。
传递函数的性质
传递函数是复数函数，具有实 部和虚部。
传递函数具有零、极点和增 益三种基本元素。
传递函数的极点和零点决定了 用
01
传递函数用于分析线性时不变系统的动态响应特性， 如系统的稳定性、瞬态响应和稳态响应等。
02
通过传递函数可以设计控制系统，实现系统的优化 和改进。
统中对单位脉冲输入的响应。
通过系统的传递函数，可以计算 出系统的脉冲响应。
传递函数和脉冲响应之间存在一 定的数学关系，可以通过卷积、 积分等运算将传递函数转化为脉
冲响应。
03
传递函数的定义和性质
传递函数的定义
传递函数是线性时不变系统的数学模 型，用于描述系统对输入信号的响应 特性。
它定义为系统输出信号与输入信号通 过零初始条件下的拉普拉斯变换的比 值。
06
结论与展望
研究结论
传递函数是描述线性时不变系统动态特性的重要 工具，而脉冲响应是传递函数的实验估计，因此 研究脉冲响应与传递函数的关系具有重要意义。
在实际应用中，由于实验条件和测量精度的限制 ，我们通常无法直接测量系统的传递函数。而通 过求解脉冲响应函数，我们可以得到较为准确的 传递函数估计值。
方法三：傅里叶变换法
脉冲传递函数
脉冲传递函数
脉冲传递函数（Impulse Response Function，简称IRF）是用来描述线性动态系统对单位脉冲输入信号的响应特性的函数。
单位脉冲信号是宽度无限窄、幅度为无穷大的信号。
脉冲传递函数是系统中的任意输入信号通过线性时不变系统后的输出信号。
脉冲传递函数通常用h(t)表示，其数学定义是：
h(t) = L{δ(t)}
其中，δ(t)表示单位脉冲函数（Dirac Delta Function），L{ }表示拉普拉斯变换（Laplace Transform）。
脉冲传递函数描述了系统对单位脉冲信号的时间域响应和频域响应，它包含了系统的时域特性和频域特性。
通过脉
冲传递函数，可以了解系统对各种输入信号的响应情况，包括脉冲响应、阶跃响应、正弦信号响应等。
在系统分析与设计中，脉冲传递函数是一个重要的工具，可以用来分析系统的稳定性、频率响应特性、时域响应特性等。
同时，脉冲传递函数也可以用来实现系统的仿真、控制和优化等应用。
脉冲传递函数
脉冲传递函数脉冲传递函数（Impulse Response）是一种数学概念，用于描述线性时不变（LTI）系统对于脉冲输入信号的响应。
在实际应用中，LTI系统常用于滤波、均衡、信号传输等领域，而脉冲传递函数是分析和设计这些系统的重要工具之一。
脉冲传递函数通常用h(t)表示，是一个响应脉冲输入信号单位脉冲（或单位斜坡）的连续时间函数。
当LTI系统接收到一个脉冲信号（即只在一个时刻上有信号，其余时刻信号为0），其输出信号即为该系统的脉冲响应。
脉冲响应描述了系统对于不同频率的信号输入的滤波响应，因此是分析系统性能和设计滤波器等应用中的重要指标。
对于一个离散时间系统，类似于连续时间系统，脉冲传递函数可以表示为一个响应单位脉冲输入信号的离散时间函数。
脉冲传递函数可以用公式表达为：h(t)=L^{-1} \{H(s)\}H(s)是系统的传递函数，L^{-1}表示拉普拉斯反变换。
对于离散时间系统，同样可用Z变换及反变换表示脉冲传递函数，即：h(n)=\frac {1}{2π j} \oint_C H(z) z^{n-1} dzH(z)是系统的传递函数，C是一条限定了积分路径的封闭曲线，n为离散时间点。
脉冲传递函数的使用脉冲传递函数可以用于分析和设计LTI系统。
利用脉冲传递函数，可以计算系统对于任意输入信号的响应。
对于任意输入信号，可以将其表示为单位脉冲序列的线性组合。
假设输入信号为x(t)，其可以表示为x(t)=\int_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) d\tau\delta(t)为单位脉冲函数。
利用线性性质，可以将其转化为单位脉冲响应的组合形式：y(t)=\int_{-\infty}^\infty x(\tau) h(t-\tau) d\tauh(t)为系统的脉冲传递函数。
根据卷积公式，可以得到输出信号y(t)为y(t)=x(t)*h(t)*表示卷积运算。
通过计算脉冲传递函数，可以得到系统对于任意输入信号的响应。
一、脉冲传递函数的定义
一、脉冲传递函数的定义8,4 脉冲传递函数一、脉冲传递函数的定义大家已经熟悉，在连续系统中，传递函数的定义为:在零初始条件下输出和输入c(t)的拉氏变换式之比，即 r(t)C(s) G(s),R(s),, 类似地，采样系统的传递函数可定义为:在零初始条件下输出和输入的变换c(t)r(t)z式之比，即C(z) G(z),R(z)为了区别于连续系统，采样系统的传递函数称为脉冲传递函数或z传递函数。
值得提出的是，在列写具体环节的脉冲传递函数时，必须特别注意，在该环节的两侧都应该设置同步采样器，如图8,19()所示。
求出的系统脉冲传递函数，显然有: aC(z),G(z)R(z),,1,1而 c(t),Z[C(z)],Z[G(z)R(z)],因此，求取的关键仍在于求取系统的脉冲传递函数。
G(z)c(t)对于大多数实际系统来说，尽管其输入为采样信号，但其输出往往仍是连续信号，不c(t),,b是采样信号，如图8,19()所示。
这时，为了引出及求取脉冲传递函数，可以在输c(t)c(t)b出端虚设一个理想采样开关，如图8,19()中的虚线所示。
它与输入端的采样开关同步工作，bT因此具有相同的采样周期。
这样，其脉冲传递函数即为如图8,19()中所示。
从而就G(z)可以确定脉冲传递函数G(z)与连续传递函数G(s)之间的关系。
参看图8,20，连续部分的输入为采样脉冲序列，为了讨论方便，我们选择单位脉冲函数,(t),(t)作为连续部分的输入。
由于脉冲函数的拉氏变换与变换均为1，因此，根据连续的和脉zG(s)冲的传递函数定义，连续部分的连续输出量的拉氏变换，即为连续传递函数;而连续部分G(z)的采样输出量的变换，即为脉冲传递函数。
另一方面，当输入是脉冲函数时，连续部分z,的连续的和采样的输出量，分别是连续部分的脉冲瞬态响应和采样的脉冲瞬态响应。
g(t)g(t)由此可知，脉冲传递函数就是连续传递函数的拉氏反变换——脉冲瞬态响应的采样G(z)G(s),函数的变换，即 g(t)z,n,, G(z),Z[g(t)],g(nT)z,n0,或 GzZgtZGs()[()][()],,由此可见，求脉冲传递函数的步骤为: G(z)(1) 求得连续部分的传递函数; G(s),1 (2) 求得连续部分的脉冲瞬态响应; g(t),L[G(s)], (3) 求得采样的脉冲函数的变换。
第三节采样控制系统的脉冲传递函数
在连续系统中，闭环传递函数和开环传 递函数之间有着确定的关系，而在采样系 统中，闭环脉冲传递函数还与采样开关的 位置有关。
Z 变换是对离散信号进行的一种数学 变换，为了方便分析系统中的连续信号都 假设离散化了，用虚线表示采样开关。
第三节 采样控制系统的脉冲传递函数
（1）采样系统的结构如图：
出输可出环得的节: Z之变间C换(都z式)=有。1采+GG1样(1z(开)zG)G关2(2z(，)zR)H可(z()直z) 接写
第三节 采样控制系统的脉冲传递函数
（4）采样系统结构如图
r(t) e(t) R(s) - T
G1(s)
- T G2(s) H(s)
c*(t) C(z) c(t)
系统输出先系拉求统氏出的变系闭换统环：输脉出冲的传拉递氏函变数换为，再
G(s) T R(z)
T C(z)
第三节 采样控制系统的脉冲传递函数
输大出多的数采采样样信系号统可的根输据出下是式连求续得信号 c(t)而不是离散信号 c*(t)，为了应用脉 冲传递c*函(t数)=的Z-1概[C念(z)，]=通Z 常-1[在G(输z) 出·R端(z虚)] 设一 个采样开关，如图中虚线所示，它与输入 端采样开关同步工作。
第三节 采样控制系统的脉冲传递函数
（5）采样系统结构如图
r(t) =
R(s)
RG1((ss) )G1(s-)GT21(+sG)5G(GGs)23(2s(()ss))GGG433(((sss)))+GR4((ss+))GG5(4(ss))G4(cTs(t)Cc) *((zt))
由C系(z)统=的RG结1(构z)1G图+2GG可32得GG43(Gz)4+(zR) G5G4(z)
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闭环离散系统的特征方程为
1 G1G2H (z) 0
说明
线性离散系统的结构多种多样，并不是每个系统
都能写出闭环脉冲传递函数。
如果偏差信号不是以离散信号的形式输入到前向 通道的第一个环节，则一般写不出闭环脉冲传递 函数，而只能写出输出的z变换表达式。此时， 令输出z变换表达式的分母为零，就可以得到闭环 系统的特征方程。
G(z)
T
G(s)
T y*(t)
x(t)
x* (t )
y(t)
Y (z)
X (z)
G(z) Z y*(t) Y (z) Z x*(t) X (z)
1
说明 若要建立一个连续系统或环节的脉冲传递函数， 其输入一定是离散时间信号， 对于其输出的连续 时间信号， 我们只考虑其采样时刻的值，相当于 加了一个虚拟的采样开关。
m* (t)
M (z)
T y*(t) y(t)
Y (z)
8
G(z) Y(z) E(z)
G(z) G1(z)G2 (z)
推广
G(z) G1(z)G2 (z)L Gn (z)
9
[例6-12] 串联环节 G1(s)和 G2 (s) 之间有同步采样开关
a G1(s) s a
1 G2 (s) s
21
7 系统框图
T
r(t)
T
G(s)
-
y(t)
T
H (s)
Y (z) 的表达式：Y (z) G(z)R(z) 1 G(z)H(z)
22
8 系统框图
T
r(t)
T
T
-
G1 ( s )
G2 (s)
y(t)
T
H (s)
Y (z) 的表达式：Y (z) G1(z)G2 (z)R(z) 1 G1(z)G2 (z)H (z)
19
5 系统框图
r(t)
-
T
T
G1 ( s )
G2 (s)
G3 (s)
H (s)
T
y(t)
Y (z) 的表达式： Y (z) RG1(z)G2 (z)G3(z) 1 G2 (z)G1G3H (z)
20
6 系统框图 T
r(t)
-
G(s)
y(t)
T
H (s)
Y (z) 的表达式： Y (z) RG(z) 1 HG(z)
4
6.5.2 串联环节的脉冲传递函数
1 串联环节之间无同步采样开关
G(z)
T
G1(s) G2 (s)
T y*(t)
e(t)
e* (t )
y(t)
Y (z)
E(z) 5
G(z) Y(z) E(z)
G(z) Z G1(s)G2(s) G1G2 (z)
推广
G(z) Z G1(s)G2(s)L Gn(s)
H (s)
T y*(t)
y(t)
25
[例6-16] 线性离散系统的结构如下图所示，
E(s) E*(s)
R(s)
F(s)
+
Y (s)
G1 ( s )
G2 (s)
-T
试求参考输入R(s)和扰动输入 F(s) 同时作用时，
系统输出信号 y(t) 的z变换 Y (z) 。
26
结论 1 由于系统中采样开关的个数和它在系统中的位置 不同， 使系统有不同的结构形式，系统的闭环脉冲 传递函数和开环脉冲传递函数之间没有固定的关系。 不能直接由开环传递函数求闭环脉冲传递函数。
27
2 离散系统的闭环脉冲传递函数只能按框图中各 变量之间的关系具体地求取。
3 如果选择作为输出的那个变量是连续信号， 则可以在闭环回路以外设一个虚拟采样开关。 4 当求拉氏变换的乘积（其中一些是常规的拉氏 变换，另一些是离散拉氏变换）所对应的z变换时， 离散拉氏变换可以提到z变换符号之外。
y(t)
零阶保持器的传递函数为
1 eTs H0(z) s
等效脉冲传递函数为
G(z)
1 z1
Z
G0 (s) s
T y*(t)
12
[例6-13]
设有G0 (s)
k s(s a)
零阶保持器 H0 (s)
串联，其中 k 和 a 为常数，求等效脉冲传递函数G(z) 。
13
6.5.3 线性离散系统的脉冲传递函数
G1G2 L Gn (z)
6
[例6-11] 串联环节 G1(s)和 G2 (s) 之间无同步采样开关
G1(s)
s
a
a
G2
(s)
1 s
求串联环节的等效脉冲传递函数 G(z) 。
7
2 串联环节之间有同步采样开关
G(z)
G1 ( z )
G2 (z)
T
G1 ( s )
e(t) e*(t)
E(z)
T
G2 (s)
2
若已知一个连续系统或环节的传递函数 G(s)，
求其相应的脉冲传递函数 G(z) ， 可以通过求取
G(s) 的单位脉冲响应 g(t) 采样序列 g* (t) 的Z
变换来获得。 即
G(z) Z g*(t)
3
[例6-10] 已知连续系统的传递函数为
G(s) 1 s(0.1s 1)
求其相应的脉冲传递函数 G(z) 。
17
3 系统框图
r(t)
T
-
T
G(s)
H (s)
T
y(t)
Y (z) 的表达式： Y (z) G(z)R(z) 1 G(z)H(z)
18
4 系统框图
T
T
T
r(t)
-
G1 ( s )
G2 (s)
y(t)
H (s)
Y (z) 的表达式：Y (z) G1(z)G2 (z)R(z) 1 G1(z)G2H (z)
求串联环节的等效脉冲传递函数 G(z) 。
10
说明 在串联环节之间有无同步采样开关，脉冲传递函数 是不同的。
G1G2 (z) G1(z)G2 (z) G1G2 (z) 与 G1(z)G2 (z) 的零点不同，而极点相同。
11
3 零阶保持器与环节串联
G(z)
T
H0 (s) G0 (s)
e(t)
e* (t )
15
下面分8种情况给出输出z变换的表达式
1 系统框图
T
T
r(t)
G(s)
-
y(t)
H (s)
Y (z) 的表达式：Y (z) G(z)R(z) 1 GH (z)
16
2 系统框图
r(t)
-
T
T
G1 ( s )
G2 (s)
y(t)
H (s)
Y (z) 的表达式： Y (z) RG1(z)G2 (z) 1 G2HG1(z)
23
[例6-14] 试求下图所示线性离散系统的闭环脉冲 传递函数。
r(t) e(t) T 1 eTs
k
y(t)
-
s
s(s a)
24
[例6-15] 线性离散系统的结构如下图所示，
求系统输出信号 y(t) 的z变换。
r(t)
-
e(t)
T
T
G1(s) M M* G2 (s) N N* G3 (s)
b(t)
r(t)
-
T
e(t) e*(t) G1(s)
G2 (s)
T
y* (t ) y(t)
b(t)
H (s)
开环脉冲传递函数为
G(z)
B(z) E(z)
G1G2H (z)
偏差闭环脉冲传递函数为 E(z)
1
R(z) 1 G1G2H (z)
闭环脉冲传递函数为
Y (z) G1G2 (z) R(z) 1 G1G2H (z) 14