广西桂林市逸仙中学高一数学《夹角和距离公式》课件
(整理)第七章第四讲夹角和距离
第四讲：夹角和距离课程目标1、理解夹角和距离的有关概念、2、灵活运用有关知识求空间夹角和距离课程重点空间夹角和距离课程难点空间夹角和距离教学方法建议通过经典考题知识点细致梳理，对“夹角和距离”部分出现高考题型和方法精讲精练，对不同层次学生可以分层教学，一对一可以就学生的层次有针对性的选择例题讲解。
层次较好的学员可以全部讲解。
选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类（1）道（1）道（6 ）道B类（4 ）道（3）道（4）道C类（1 ）道（ 1）道（ 1）道一：考纲解读、有的放矢高考中立体几何主要考查学生的空间想象能力，在推理中兼顾考查逻辑思维能力，解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面问题。
近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系，如点共线、线共点、线共面问题；证明空间线面平行、垂直关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等等。
考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查，算中有证。
其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力；解答题则一般将线面集中于一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明或计算为主。
二:核心梳理、茅塞顿开（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅a ∥)(,,332211Rb a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a 222321a a a a a a ++=⋅=(用到常用的向量模与向量之间的转化：a a a a a a ⋅=⇒⋅=2)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量. （3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α的距离为||||n n AB ⋅.②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.三：例题诠释，举一反三 知识点1：求夹角和距离例题1：（2011肇庆模拟A ）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知45ABC ∠=︒，2AB =，22BC =，3SA SB ==． （Ⅰ）证明：SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小．DBCASOEMA BDCO变式：（2011河北质检A ）已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且PA =AD =DC =21AB =1，M 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小.A DCBNM EP例题2（2011武汉调研B ）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的 菱形，4ABC π∠=， OA ABCD ⊥底面， 2OA =，M 为OA 的中点。
高一数学《夹角和距离公式》
做一做： 教师备用：已知 a＝(0，－1,1)，b＝(1,2，－1)，则 a 与 b 的夹角等于( D ) (A)30° (B)60° (C)90° (D)150°
解析：a·b＝0－2－1＝－3，
|a|＝ 2，|b|＝ 1＋22＋1＝ 6，
∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
－3 ＝－ 2· 6
nn··ab＝ ＝00 .
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． (3)方法二必须建立空间直角坐标系，方法一不一定要建立空间直角坐标系． (4)在求平面的法向量时，要先找有没有和平面垂直的直线，若没有则用待定系数法．
(5)在利用方法二求解平面的法向量时，方程组nn··ab＝ ＝00 有无数多个解，只需给 x，y，z
角时可以在两条异面直线上分别取出两个向量，通过求这两个向量所成的角来求异面直线所
成的角，但需注意异面直线所成角范围(0°，90°]，注意这两个角相互转化时范围的不同．
知识要点二：线段的长度的求法
1．利用 a·a离公式来求．
知识要点三：对平面法向量的理解 1．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然，一个平面的法向 量有无数多个，它们是共线向量．由于过直线外一点作与已知直线垂直的平面有且只有一个， 因此，在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过 A 的平面是唯 一确定的． 2．求平面法向量的方法 (1)方法一：找到一条与已知平面垂直的直线，则该直线的任意方向向量都是该平面的法 向量． (2)方法二：待定系数法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求 解，一般步骤如下： ①设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． ③根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组
高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算2.5.3
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 如图所示,已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面 ABC,AB⊥AC,PA=AC= 12AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为 PB,BC的中点.求SN与平面CMN所成角的大小.
()
A.30°
B.45° C.60° D.90°
解析:如图所示,取 BC 的中点 E,连接 DE,AE,依题意知三棱柱为
正三棱柱,易得 AE⊥平面 BB1C1C,故∠ADE 为 AD 与平面 BB1C1C 所
成的角.设各棱长为 1,则 AE= 23,DE=12,
∴tan∠ADE=������������������������ =
题型一 题型二 题型三
解:如图所示,以 A 为坐标原点,直线 AB,AC,AP 分别为 x 轴、y
轴、z 轴建立空间直角坐标系.
设 PA=1,则 P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),
M
1,0,
1 2
,N
1 2
,0,0
,S
1,
1 2
,0
.
∴������������ =
1,-1,
1 2
设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),C(0,1,0),
∴������������1 =(1,0,1),������������ =(0,1,0).
设平面 A1B1CD 的一个法向量为 n=(x,y,z),
则 ������·������������1 = 0, ∴ ������·������������ = 0,
【做一做 2】 已知 A∈α,P∉α,������������ =
人教版新教材高中数学优质课件 第2课时 用空间向量研究夹角问题
解:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
设BC=1,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),
C(2,1,0),M
1
1, 2 ,1
.
(1)证明:=(2,0,-2), =
∵
3
1,- ,1
2
3
·=(2,0,-2)· 1, − 2 , 1
∴ ⊥ .∴PB⊥DM.
若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cos θ= |cos<u,v>|
|·|
=
.
||||
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4.做一做:如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=
2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(
1
A.
5
2
B.
5
3
C.
5
4
D.
5
)
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解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空
平面β的夹角为
.
解析:设u=(1,0,-1),v=(0,-1,1),α与β的夹角为θ,
则 cos
π
答案:3
|·|
θ=|cos<u,v>|=||||
=
-1
2× 2
=
1
.所以
2
π
θ=3 .
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【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画“×”.
(1)两条异面直线所成的角与这两条直线的方向向量所成的角相等或互
∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.
新教材高中数学第1章用空间向量研究距离夹角问题第2课时夹角问题pptx课件新人教A版选择性必修第一册
[解析] 设正方体棱长为 1，以 B 为坐标原点，BA，BE，BC 所在直 线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Bxyz，则 M12，0，12， N12，12，0，A(1,0,0)，B(0,0,0)．
方法一：取 MN 的中点 G，连接 BG，AG，则 G12，14，14. 因为△AMN，△BMN 为等腰三角形，所以 AG⊥MN，BG⊥MN，故
6 3.
题型三
利用向量方法求两个平面的夹角
3.如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分 别为AC，BF的中点，求平面MNA与平面MNB的夹角的 余弦值．
[分析] 有两种思路，一是先根据二面角平面角及两个平面夹角的 定义，在图形中作出二面角的平面角，然后利用向量方法求出向量夹角 从而得到两平面夹角的大小；另一种是直接求出两个面的法向量，通过 法向量的夹角求得两平面夹角的大小．
1．(1)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面 直线A1B与AD1所成角的余弦值为( D )
1 A.5
B．25
C．35
D．45
(2)已知四面体OABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线 BD与AC所成角的余弦值为( C )
3 A. 3
B．14
C．
3 6
D．
所以直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为8255.
[规律方法] 若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如 下：
对点训练❷ 如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AD＝2， AA1＝2 2，若 M 是 AA1 的中点，则 BM 与平面 B1D1M 所成角的正弦值是
0，π2
做一做：1.已知向量 m，n 分别是直线 l 与平面 α 的方向向量、法向
高中数学第一章用空间向量研究距离夹角问题第2课时夹角问题课件新人教A版选择性必修第一册
解 设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系B-xyz(图略),则
M
1
1
,0, 2
2
,N
1 1
, ,0
2 2
,A(1,0,0),B(0,0,0).
设平面 AMN 的法向量 n1=(x,y,z).
由于 =
(1)证明 由已知得AM=
2
AD=2.
3
如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TN∥BC,TN=
1
BC=2.
2
又AD∥BC,故TN AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为
AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.
(2)解 如图,取BC的中点E,连接AE.
则B1(2,2,2),M(1,1,0),D1(0,0,2),N(1,0,0),
∴1 =(-1,-1,-2),1 =(1,0,-2),
∴B1M 与 D1N 所成角的余弦值为
|cos<1 , 1 >|=
-1+4
√1+1+4× √1+4
=
√30
.
10
知识点2 利用向量方法求直线与平面所成的角
=
所以直线 AN 与平面 PMN
8√5
.
25
8√5
所成角的正弦值为 25 .
规律方法 若直线l与平面α的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下
变式训练2
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面
BDE所成的角为(
《25 夹角的计算》精品PPT课件
如下图，在圆锥 PO 中，已知 PO＝ 2，⊙O 的直径 AB＝2， C 是 AB 的中点，D 为 AC 的中点．
• (1)证明：平面POD⊥平面PAC； • (2)求二面角B－PA－C的余弦值．
• [解析] 解法1：(1)连接OC，因为OA＝OC， D是AC的中点，所以AC⊥OD.
• 又PO⊥底面⊙O，AC 底面⊙O，所以 AC⊥PO，因为OD，PO是平面POD内的两 条相交直线，所以AC⊥ 平面POD，而AC 平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.
• ∵AB＝AA1，∠BAA1＝60°，∴△BAA1是正 三角形，
• ∴A1O⊥AB， • ∵CA＝CB，∴CO⊥AB，
• ∵CO∩A1O＝O，∴AB⊥平面COA1， • ∴AB⊥A1C.
[解析] (1)在平面四边形 BCDE 中，BC＝ 2，在三角形 ABC 中，AB＝2，BC＝ 2，AC＝ 2.根据勾股定理逆定理．∴ AC⊥BC.
∵平面 ABC⊥平面 BCOE，而平面 ABC∩平面 BCDE＝BC AC⊥BC，∴AC⊥平面 BCDE，∴AC⊥DE， 又∵AC⊥DE，DE⊥DC ∴DE⊥平面 ACD.
cosθ＝|BB→→MM|··|A→A→NN|＝0－61·＋54＝ 1300.故选 C.
• 求二面角的大小
(2014·浙江理)如图，在四棱锥 A－BCDE 中，平 面 ABC⊥平面 BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2， DE＝BE＝1，AC＝ 2.
• (1)证明：DE⊥平面ACD； • (2)求二面角B－AD－E的大小．
设向量 n2 和 n3 的夹角为 θ，则
cosθ＝|nn22|··|nn33|＝
2＝ 5
10 5.
由图可知，二面角 B－PA－C 的平面角与 θ 相等，所以二
空间向量-夹角与距离PPT教学课件
它的体定积理是证明13 V：三棱锥＝
Sh
已知：三1 棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h.
3
求证: V三棱锥＝ Sh
证明:把三棱锥1以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱
柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三
A’
3
C’
棱锥1和另两个三棱锥2、3。
三棱锥1、2的底△ABA1、△B1A1B的面积相等，
列出三棱锥体积D’表达式）
C’
问问题题12、、你如能果有这几是种一
A’
个解平法行？六面 B’
体呢？或者
C
D
四棱柱呢？
A
B
练习2: 从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到
一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的
几分之几？ 问问题题12、、你如能果有改几为种求
A
棱长为解a的法正？四面
B
体A-BCD的体积。
它的体积是
1 3
V三棱锥＝
Sh
A’ A’ A’ A’ A’
A’ A’
A’
3
C’
2 2B’ B’ 2 B2’ B’
B’
高
1 11 1
A AA A
C
C C CC
CC
C
三棱B锥1、B2的B底B△ABBA’、△BB’A’BB的面积相等， 高也相等（顶点都是C）。
A’ A’
1
A
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是
1
A
C
C C C C C C C CC
三棱B锥2、3B的底B △BBCBB’、B △BC’BB’C的B面B积相等。 高也相等（顶点都是A’）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
北师大版选修2-1高中数学2.5《夹角的计算》ppt课件(1)
§5 夹角的计算
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J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
探究四
解法一:∵������������1 = ������������ + ������������1, ������������ = ������������ + ������������,
S 随堂练习 UITANG LIANXI
1
2
3
思考 2 如何利用向量求平面间的夹角?
提示:先求出两个平面的法向量,再利用向量夹角公式求角,则该角或它 的补角就等于平面间的夹角.一般用坐标运算进行,求解后要结合题意来判 断求出的角是夹角的补角还是夹角.
-7-
§5 夹角的计算
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∴������������=(2,0,-2 3),������������=(-2,-3,0),
∴cos<������������, ������������>=���|���������������������·||���������������������|��� = 4 -413=- 1133, ∴PA 与 BC 夹角的余弦值为 1133.
当 0≤<n1,n2>≤���2���时,平面 π1 与 π2 的夹角等于
������n1,n2������; 当���2���<<n1,n2>≤π 时,平面 π1 与 π2 的夹角等于 π-<n1,n2>.
-6-
§5 夹角的计算
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用空间向量研究夹角问题(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
,BB₁ 上，A₁Q=2AQ,BR=2RB₁ . 求平面PQR与平面A₁B₁C₁ 夹角的余弦值。
∴平面PQR的一个法向量为n=(3,4,2). 又平面A₁B₁C₁的一个法向量为m=(0,0,1).
∴平面AA₁B与平面A₁BC,夹角的余弦值为
设平面AA₁B与平面A₁BC₁的夹角为θ,则
(P38练习4).如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD, ∠CBA=∠DBC=120°. 求：(1)直线AD与直线BC所成角的大小；(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.
设二面角α-l-β的平面角为θ0,则有θ₀=0或θ₀=π-θ.
夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ,则
解：如图示，以C₁ 为原点建立空间直角坐标系，则有P(0,1,3),Q(2,0,2),R(0,2,1).∴PQ=(2,-1,-1),PR=(-2,2,-1).设平面PQR的一个法向量为n=(x,y,z), 则,取x=3,则y=4,z=2.
例7如图示，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形 )ABCD中 ，M,N 分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN
夹角的余弦值.解：设CA=a,CB=b,CD=c,则有
2.线面角(直线与平面所成的角)类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的 方向向量与平面的法向量的夹角.如图示，直线AB 与平 面α相交于点B, 设 直 线AB与平面α所成的角为θ,直线 AB 的方向向量ū,平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.类似于两条异面直线所成的角，若平面α,β的法向量分 别是n₁和n₂, 则平面α与平面β的夹角即为向量n₁和 n₂的
高中数学 第2章 解析几何初步 1 1.5 平面直角坐标系中的距离公式课件高一数学课件
(3)原点到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离公式是
|C| A2＋B2.
(
)
(4)求平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式．
12/12/2021
第三十五页，共四十三页。
()
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[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
12/12/2021
第三十六页，共四十三页。
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2．已知点 A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则 a 的值为( )
化简得 l 的方程为 7x＋8y＋21＝0 或 7x＋8y＋5＝0.
12/12/2021
第二十九页，共四十三页。
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求两条平行直线间的距离有两种思路：,1转化为其中一条直线 上任意一点到另一条直线的距离；,2利用公式 d＝ |CA1－2＋CB22| 求解，但 需注意两直线方程都化为一般式，且 x，y 的系数对应相等.
12/12/2021
第二十三页，共四十三页。
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2．若点(2，k)到直线 5x－12y＋6＝0 的距离是 4，则 k 的值是 ________．
－3 或137 [∵|5×25－2＋121k2＋2 6|＝4，∴|16－12k|＝52， ∴k＝－3 或 k＝137.]
12/12/2021
第二十四页，共四十三页。
3 [直线 6x＋8y＋6＝0 可变为 3x＋4y＋3＝0，由此可知两条直 线平行，它们的距离 d＝|－3122＋－432|＝3，|PQ|最小值为 d＝3.]
12/12/2021
第三十九页，共四十三页。
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4．求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为 2 的直线方 程．
12/12/2021
第七章第四讲夹角和距离6页word
第四讲：夹角和距离课程目标 1、理解夹角和距离的有关概念、2、灵活运用有关知识求空间夹角和距离课程重点 空间夹角和距离课程难点 空间夹角和距离教学方法建议通过经典考题知识点细致梳理，对“夹角和距离”部分出现高考题型和方法精讲精练，对不同层次学生可以分层教学，一对一可以就学生的层次有针对性的选择例题讲解。
层次较好的学员可以全部讲解。
选材程度及数量课堂精讲例题 搭配课堂训练题课后作业 A 类（1）道 （1）道 （6 ）道 B 类 （4 ）道 （3）道 （4）道 C 类（1 ）道（ 1）道（ 1）道一：考纲解读、有的放矢高考中立体几何主要考查学生的空间想象能力，在推理中兼顾考查逻辑思维能力，解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面问题。
近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系，如点共线、线共点、线共面问题；证明空间线面平行、垂直关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等等。
考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查，算中有证。
其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力；解答题则一般将线面集中于一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明或计算为主。
二:核心梳理、茅塞顿开（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅a ∥)(,,332211Rb a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a a a a ++=⋅=(用到常用的向量模与向量之间的转化：a a a a a a ⋅=⇒⋅=2)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<ρρρρρρ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量. （3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α的距离为||||n n AB ⋅.②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.三：例题诠释，举一反三 知识点1：求夹角和距离例题1：（2019肇庆模拟A ）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知45ABC ∠=︒，2AB =，22BC =，3SA SB ==． （Ⅰ）证明：SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小．变式：（2019河北质检A ）已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο底面ABCD ，且PA =AD =DC =21AB =1，M 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小.例题2（2019武汉调研B ）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的 菱形，4ABC π∠=， OA ABCD ⊥底面， 2OA =，M 为OA 的中点。