函数周期性的几个重要结论

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函数周期性结论总结

① f(x+a)=-f(x) T=2a

② f(x+a)=±)

(1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b|

④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a

证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)

⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a

证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a

⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数，用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)

f(x+2a)=-f(x-a) 换元：令x-a=t 那么x=a+t

f(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a

⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称，T=2|a-b|

证明：f(a+x)=f(a-x)

f(b+x)=f(b-x)

f(2b-x)=f(x)

假设a ＞b (当然假设a ＜b 也可以同理证明出)

T=2(a-b)

现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可

f(x+2a-2b)

=f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)]

=f(x)

⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称，T=2a-2b(a＞b)

证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)

f(b+x)=-f(b-x) f(2b-x)=-f(x)

f(x+2a-2b)

=f[a+(x+a-2b)]

=-f[a-(x+a-2b)]

=-f(2b-x)

=f(x)

——北师大集宁附中王志敏老师如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！

函数周期性结论总结

函数周期性是数学中的一个重要概念，它在解决各种实际问题中起

到了重要的作用。在本文中，我将对函数周期性的结论做一个总结，

以便对读者有更清晰的认识。以下是我对函数周期性的总结：

1. 周期性定义

在数学中，一个函数被称为具有周期性，当且仅当存在一个正数T，使得对于每一个x值都有f(x+T) = f(x)成立。其中，T被称为函数的周期。

2. 常见函数的周期性

2.1 三角函数的周期性

三角函数是一类具有周期性的函数。常见的三角函数有正弦函数和

余弦函数。正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π) = sin(x)；余弦函数的周期也为2π，即cos(x+2π) = cos(x)。这意味着在一个周期内，正弦函数

和余弦函数的值会周期性地重复。

2.2 指数函数的周期性

指数函数也具有周期性。以自然对数为底的指数函数具有周期为

2πi的形式，即e^(x+2πi) = e^x。其中，i是虚数单位。这意味着在一个

周期内，指数函数的值也会周期性地重复。

3. 周期性性质

3.1 零点的周期性

如果一个函数的周期为T，那么对于任意一个零点x0，它的周期性可以表示为x0 + Tn，其中n为任意整数。这意味着函数的零点也具有周期性，每隔一个周期就会出现一个零点。

3.2 值域的周期性

如果一个函数具有周期T，那么对于函数值f(x)来说，它的周期性可以表示为f(x+T) = f(x)。这意味着函数的值域也具有周期性，每隔一个周期就会重复一次。

4. 应用举例

函数周期性在各个领域都有广泛的应用。举几个例子来说明：

4.1 电力系统

函数对称性与周期性几个重要结论

一、几个重要的结论

（一）函数图象本身的对称性（自身对称）

1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是 )

(x f y =的图象关于直线 T x =对称。

2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是 )(x f y =的图象关于直线 T x =对称。

3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+的充要条件是 )(x f y =图象关于直线

22)()(b

a x

b x a x +=

-++=

对称。

4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+，（ 1T 和 2T 是不相等的常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期的周期函数。

5、如果奇函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。

6、如果偶函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于X 轴对称。

2、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于Y 轴对称。

3、曲线 )(x f y =与 )2(x a f y -=关于直线 a x =对称。

函数周期性的几个重要结论

2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=

3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=

4、)

)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1

)(x f a x f -

=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)

(1)

(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1

)(+-

=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)

(1)

(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=

10、若.2

, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则

推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=

推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=

抽象函数的对称性

1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)

2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：

函数的周期性常用定理、结论

. 函数的周期性

⑴概念：

当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现。

1.周期函数的定义：对于()

f x定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得()()

f x T f x

+=恒成立，则称函数()

f x具有周期性，T叫做()

f x的一个周期，则kT（,0

k Z k

∈≠）也是()

f x的周期，所有周期中的最小正数叫()

f x 的最小正周期.

f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期.

⑵抽象函数周期性结论：

函数()

y f x

=满足对定义域内任一实数x（其中a为常数）,

①()()

f x f x a

=+，则()

y f x

=是以T a

=为周期的周期函数；

②()()

f x a f x

+=-，则()x f是以2

T a

=为周期的周期函数；

③()()

f x a

f x

+=±，则()x f是以2

T a

=为周期的周期函数；

④()()

f x a f x a

+=-，则()x f是以2

T a

=为周期的周期函数；

⑤

1()

()

1()

f x

f x a

f x

，则()x f是以2

T a

=为周期的周期函数.

⑥

1()

()

1()

f x

f x a

f x

+=-

，则()x f是以4

T a

=为周期的周期函数.

⑦

1()

()

1()

f x

f x a

f x

，则()x f是以4

T a

=为周期的周期函数.

⑧函数()

y f x

=满足()()

f a x f a x

+=-（0

a>），若()

f x为奇函数，则其周期为4

T a

=，

若()

f x为偶函数，则其周期为2

函数对称性与周期性几个重要结论

GAGGAGAGGAFFFFAFAF

函数对称性与周期性几个重要结论

一、几个重要的结论

（一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T

为常数）的充要条件

是 )(x f y =

的图象关于直线 T x =对称。

2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件

是 )(x f y =

的图象关于直线 T x =对称。

3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+的充要条件是 )(x f y =图

象关于直线

22)()(b

a x

b x a x +=

-++=

对称。

4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+，

（ 1T 和 2T 是不相等的常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期

的周期函数。 5、如果奇函数 )(x f y =

满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数

)(x f y =是以

4T 为周期的周期性函数。

GAGGAGAGGAFFFFAFAF

6、如果偶函数 )(x f y =

满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数

)(x f y =是以

2T 为周期的周期性函数。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于

X 轴对称。 2、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于

函数周期性结论总结

函数周期性结论总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

函数周期性结论总结 ①f(x+a)=-f(x)T=2a

②f(x+a)=±)

(1x f T=2a ③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b| 证明：令x=x-b 得f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a 即a-b

④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a

证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)

证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a 对称

所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a 所以f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)

⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a

证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a

证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x)

又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)代换x=x+2a 得：f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a

⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)

f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t 那么x=a+t

f(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a

⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称，T=2|a-b|

函数周期性结论总结

函数周期性结论总结 ① fx+a=-fx T=2a

② fx+a=±)

(1x f T=2a ③ fx+a=fx+b T=|a-b| 证明：令x=x-b 得 fx-b+a=fx-b+b fx-b+a=fx 根据公式fx=fx+T=fx+nT 得 T=-b+a 即a-b

④fx 为偶函数,且关于直线x=a 对称,T=2a

证明：fx+2a =f-x=fx

证明：因为偶函数,所以 f-x=fx 因为关于x=a 对称

所以 fa+x=fa-x 对称性质设 x=x+a 所以 fx+2a=fx 所以周期T=2a ⑤fx 为奇函数,且关于直线x=a 对称,T=4a

证明：fx+2a =f-x=-fx 根据①可知T=2·2a=4a

证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以fa+x=fa-x 令x=x+a 得：fx+2a=f-x 又fx= - f-x 故fx= - fx+2a 代换x=x+2a 得：

fx+2a= - fx+4a 即得fx=fx+4a 于是函数fx 的周期为4a

⑥fx=fx+a+fx-a 有三层函数,用递推的方法来证明;

fx+a=fx+2a+fx

fx+2a=-fx-a 换元：令x-a=t 那么x=a+t

ft+3a=-ft 根据①可知T=6a

⑦fx 关于直线x=a,直线x=b 对称,T=2|a-b|

证明：fa+x=fa-x

fb+x=fb-x

假设a

＞b 当然假设a ＜b 也可以同理证明出

T=2a-b

现在只需证明fx+2a-2b=fx 即可

fx+2a-2b

=fa+x+a-2b =fa-x+a-2b

(完整版)函数周期性与对称性常见结论

函数周期性与对称性是数学中一种基本的类型，可以用来描述函数的特征。这种性质

极大地影响着函数的曲线形状，对于函数研究也是非常重要的。本文为读者介绍函数周期

性与对称性常见的结论。

一、周期性

1. 可以说函数f(x+T)与f(x)的图像有周期性，T<>0是一个常数，也称为函数的周期，它可以定义一个函数的曲线；

2. 周期性循环是一种规律，表明函数的值随着参数的改变而不断变化，但最终又会

回到原来的状态；

3. 一般情况下，定义域内的函数都具有周期性，当x的取值超出定义域时，函数f(x)也可能有周期性；

4. 一个周期性函数的周期T是其变化模式的重要特征，其变化规律如果舍弃它，函

数f(x)就不再具有周期性；

5. 若函数f(x)具有周期性，那么它的最小正周期Tc就定义了整个函数的曲线，可以视为一种最基本的形状。

二、对称性

1. 当函数f(x)满足f(-x)=f(x)的性质时，称此函数具有对称性；

2. 一个函数的平行四边形对称性表明，函数f(-x)和f(x)的图像是完全一模一样的，而不管x的取值为多少；

3. 一些函数具有点对称性，点对称性表明f(-x0)=f(x0)，即对称中心为x0的函数图像；

4. 如果一个函数的图象可以通过给定的任意角度旋转而不失真，则称其为角度对称性；

5. 对称性可有效描述函数f(x)的特征，常用于应用函数研究中。

函数对称性与周期性几个重要结论及应用

对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。

一、几个重要的结论

（一）函数图象本身的对称性（自身对称）

1、函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直线

对称。

2、函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直线对称。

3、函数满足的充要条件是图象关于直线

对称。

4、如果函数满足且，（和是不相等的常数），则是以为为周期的周期函数。

5、如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。

6、如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、曲线与关于X轴对称。

2、曲线与关于Y轴对称。

3、曲线与关于直线对称。

4、曲线关于直线对称曲线为。

5、曲线关于直线对称曲线为。

6、曲线关于直线对称曲线为。

7、曲线关于点对称曲线为。

二、试试看，练练笔

1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时, ,则

________。

2、已知函数满足，则图象关于__________对称。

3、函数与函数的图象关于关于__________对称。

4、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。

5、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。图象关于__________对称。

6、设的定义域为R，且对任意，有，则图象关于__________对称，关于__________对称。

7、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为（）

函数对称性与周期性几个重要结论

一、几个重要的结论

（一）函数图象本身的对称性（自身对称）

1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是 )(x f y =的图象关于直线 T x =对称。

2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是 )(x f y =的图象关于直线 T x =对称。

3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+的充要条件是 )(x f y =图象关于直线

22)()(b

a x

b x a x +=

-++=

对称。

4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+，（ 1T 和 2T 是不相等的常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期的周期函数。

5、如果奇函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。

6、如果偶函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于X 轴对称。 2、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于Y 轴对称。

函数周期性结论总结

函数周期性结论总结57669(总1页)

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2 函数周期性结论总结

① f(x+a)=-f(x) T=2a

② f(x+a)=±)

(1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b| 证明：令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x)

根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b

④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a 证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)

证明：因为偶函数,所以 f(-x)=f(x) 因为关于x=a 对称

所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质）设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以周期T=2a)

⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a

证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a

证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x)

又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a 得：f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a ⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数，用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)

f(x+2a)=-f(x-a) 换元：令x-a=t 那么x=a+t

函数对称性与周期性几个重要结论

函数对称性与周期性几个【2 】主要结论

一.几个主要的结论

（一）函数图象本身的对称性（自身对称）

1.函数)(x f y =知足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要前提是)(x f y =的图象关于直线T x =对称.

2.函数)(x f y =知足)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要前提是)(x f y =的图象关于直线T x =对称.

3.函数)(x f y =知足)()(x b f x a f -=+的充要前提是)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称.

4.假如函数)(x f y =知足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+,（1T 和2T 是不相等的常数）,则)(x f y =是认为)(212T T -为周期的周期函数.

5.假如奇函数)(x f y =知足

)()(x T f x T f -=+（0≠T ）,则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数.

6.假如偶函数)(x f y =知足

)()(x T f x T f -=+（0≠T ）,则函数)

(x f y =是以2T 为周期的周期性函数.

（二）两个函数的图象对称性（互相对称）（应用解析几何中的对称曲线轨迹方程懂得）

1.曲线)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称.

2.曲线)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称.

3.曲线)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称.

函数的周期性常见结论归类

四川省苍溪实验中学校周万勇

一.周期函数的定义：

设函数()y f x =的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有()()f x T f x +=，则称()y f x =为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。

二.常见结论 (约定a>0)

（1）()()f x f x a =+，则()f x 的周期T a =；

（2）()()f x a f x +=－，或()()f x a f x +=－a 或1()(()0)()

f x a f x f x +=

≠，或1()()

f x a f x +=-(()0)f x ≠,则()f x 的周期2T a =； 1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.

（3）1()()1()

f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （4）1()()1()

f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （5）函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.

（6）若()()f a x f a x +=--且f(x)是偶函数,则()y f x =是周期为4a 的周期函数；若f(x) 是奇函数,则()y f x =是周期为2a 的周期函数。

函数周期性结论总结

For personal use only in study and research; not for commercial

use

函数周期性结论总结

① f(x+a)=-f(x) T=2a

② f(x+a)=±)

(1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b| 证明：令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x)

根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b

④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a

证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)

证明：因为偶函数,所以 f(-x)=f(x)?因为关于x=a 对称

所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质）设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以周期T=2a)

⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a

证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a

证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x)

又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a 得：

f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a

⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数，用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)

f(x+2a)=-f(x-a) 换元：令x-a=t 那么x=a+t

函数的周期性主要结论

1．如果函数)(x f y =对于一切x ∈R,都有)()(x a f x a f -=+ (⇔)()2(x f x a f =-),那么函数y=f(x)的图像关于直线a x =对称⇔)(a x f y +=是偶函数

2．如果函数)(x f y = 对于一切x ∈R, 都有f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数)(x f y =的图像关于直线x=2b a +（由x=2

)()(x b x a -++确定）对称 3. 如果函数)(x f y =对于一切x ∈R, 都有b x a f x a f 2)()(=-++成立, 那么函数)(x f y =的图像关于点),(b a 对称

4.两个函数图像之间的对称性

（1）函数)(x f y = 与函数)(x f y -=的图像关于直线0=x (即y 轴)对称；函数)(x f y = 与函数)(x f y -=的图像关于直线0=y ; 函数)(x f y = 与函数)(x f y --=图像关于坐标原点对称。

（2）函数)(),(x b f y x a f y -=+=,的图像关于直线2b a x -=

(由x b x a -=+确定)对称

（3）函数)(x f y =与函数)(x f A y -=的图像关于直线2

A y =对称（由[][]2

)()(x f A x f y -+=确定（4）函数)(x f y =与函数)(x n f m y --=的图像关于点)2

,2(m n 中心对称 5.左加右减（对一个x 而言），上加下减（对解析式而言）：若将函数)(x f y =的图像右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图像；若将曲线0),(=y x f 的图像右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图像