函数周期性的几个重要结论
函数周期性公式大总结
竭诚为您提供优质文档/双击可除函数周期性公式大总结篇一：函数周期性结论总结函数周期性结论总结①f(x+a)=-f(x)T=2a②f(x+a)=±1T=2af(x)③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令x=x-b得f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a所以f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)代换x=x+2a得：f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。
f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+tf(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x)f(2b-x)=f(x)假设a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞b)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]关于直线x=a对称=f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)篇二：函数周期公式主要知识：1．周期函数：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y?f?x?满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），(1)f?x??f?x?a?，则y?f?x?是以T?a为周期的周期函数；(2)f?x?af?x?，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；(3)f?x?a1，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；fx(4)f?x?a??f?x?b?，则f?x?是以T?a?b为周期的周期函数；以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。
函数对称性与周期性几个重要结论赏析
函数对称性与周期性几个重要结论赏析之南宫帮珍创作对称性和周期性是函数的两个重要性质, 下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决笼统型函数的有关习题.一、 几个重要的结论（一）函数图象自己的对称性（自身对称）1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称.2、函数)(x f y =满足)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称.3、函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+的充要条件是)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称.4、如果函数)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+, （1T 和2T 是不相等的常数）, 则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数.5、如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ）, 则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数.6、如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ）, 则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数.（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称.2、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称.3、曲线)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称.4、曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f .5、曲线0),(=y x f 关于直线0=++c y x 对称曲线为0),(=----c x c y f .6、曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为0),(=+-c x c y f .7、曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为0)2,2(=--y b x a f .二、试试看, 练练笔1、界说在实数集上的奇函数)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+, 且)0,1(-∈x 时,512)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________.2、已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f , 则)(x f y =图象关于__________对称.3、函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称.4、设函数)(x f y =的界说域为R, 且满足)1()1(x f x f -=-, 则)(x f y =的图象关于__________对称.5、设函数)(x f y =的界说域为R, 且满足)1()1(x f x f -=+, 则)1(+=x f y 的图象关于__________对称.)(x f y =图象关于__________对称.6、设)(x f y =的界说域为R, 且对任意R x ∈, 有)2()21(x f x f =-, 则)2(x f y =图象关于__________对称, )(x f y =关于__________对称.7、已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-, 且方程0)(=x f 有5个实根, 则这5个实根之和为（ ）A 、5B 、10C 、15D 、188、设函数)(x f y =的界说域为R, 则下列命题中, ①若)(x f y =是偶函数, 则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称；②若)2(+=x f y 是偶函数, 则)(x f y =图象关于直线2=x 对称；③若)2()2(x f x f -=-, 则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称；④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称, 其中正确命题序号为_______.9、函数)(x f y =界说域为R, 且恒满足)2()2(x f x f -=+和)6()6(x f x f -=+, 当62≤≤x 时, x x f 212)(-=, 求)(x f 解析式.10、已知偶函数)(x f y =界说域为R, 且恒满足)2()2(x f x f -=+, 若方程0)(=x f 在[]4,0上只有三个实根, 且一个根是4, 求方程在区间(]10,8-中的根.附参考谜底：1T ：1-2T ：)0,1(3T ：1=x 4T ：y轴即0=x 5T ：①y 轴②1=x 6T ：①41=x ②21=x 7T ：C 8T ：②④9T ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+≤≤++--∈+≤≤--=),6828(2)8(21),2828()8(21)(Z k k x k k x Z k k x k k x x f10T1086420246、、、、、、、、---。
函数周期性结论总结
函数周期性结论总结函数周期性是数学中的一个重要概念，它在解决各种实际问题中起到了重要的作用。
在本文中，我将对函数周期性的结论做一个总结，以便对读者有更清晰的认识。
以下是我对函数周期性的总结：1. 周期性定义在数学中，一个函数被称为具有周期性，当且仅当存在一个正数T，使得对于每一个x值都有f(x+T) = f(x)成立。
其中，T被称为函数的周期。
2. 常见函数的周期性2.1 三角函数的周期性三角函数是一类具有周期性的函数。
常见的三角函数有正弦函数和余弦函数。
正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π) = sin(x)；余弦函数的周期也为2π，即cos(x+2π) = cos(x)。
这意味着在一个周期内，正弦函数和余弦函数的值会周期性地重复。
2.2 指数函数的周期性指数函数也具有周期性。
以自然对数为底的指数函数具有周期为2πi的形式，即e^(x+2πi) = e^x。
其中，i是虚数单位。
这意味着在一个周期内，指数函数的值也会周期性地重复。
3. 周期性性质3.1 零点的周期性如果一个函数的周期为T，那么对于任意一个零点x0，它的周期性可以表示为x0 + Tn，其中n为任意整数。
这意味着函数的零点也具有周期性，每隔一个周期就会出现一个零点。
3.2 值域的周期性如果一个函数具有周期T，那么对于函数值f(x)来说，它的周期性可以表示为f(x+T) = f(x)。
这意味着函数的值域也具有周期性，每隔一个周期就会重复一次。
4. 应用举例函数周期性在各个领域都有广泛的应用。
举几个例子来说明：4.1 电力系统在电力系统中，交流电的变化是具有周期性的。
电压和电流随着时间呈周期性变化，周期性的特点使得电力系统能够稳定地运行。
4.2 信号处理在信号处理领域，周期性信号的分析和处理是很重要的。
通过对周期信号的分析，可以准确地获取信号的频率和振幅等信息。
4.3 声音与音乐声音和音乐是具有周期性的。
乐器的音调是具有周期性的，音乐也是以一定的节拍和律动来展现周期性。
函数周期性结论总结
函数周期性结论总结在数学的广袤天地中，函数的周期性是一个非常重要的概念。
它不仅在数学理论中有着关键地位，还在解决实际问题时发挥着重要作用。
接下来，让我们深入探讨一下函数周期性的相关结论。
首先，我们来明确一下函数周期性的定义。
如果存在一个非零常数T，使得对于函数 f(x)定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，那么我们就称函数 f(x)是周期函数，T 称为这个函数的周期。
一个周期函数的周期通常不是唯一的。
如果 T 是函数 f(x)的周期，那么 kT（k 为非零整数）也是 f(x)的周期。
这是因为对于任意 x，f(x＋ kT) ＝ f(（x ＋（k 1)T) ＋ T) ＝ f(x ＋（k 1)T) ＝… ＝ f(x)。
但在所有周期中，存在一个最小的正数周期，我们称之为最小正周期。
不过，并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如常函数 f(x) ＝ C（C 为常数），任意非零实数都是它的周期，但是没有最小正周期。
常见的周期函数有正弦函数 y ＝ sin x 和余弦函数 y ＝ cos x，它们的最小正周期都是2π。
正切函数 y ＝ tan x 的最小正周期是π。
对于一些复合函数，其周期性也有相应的规律。
例如，若函数 f(x)的周期是 T₁，函数 g(x)的周期是 T₂，那么函数 f(x) ＋ g(x)的周期是T₁和 T₂的最小公倍数。
但需要注意的是，这个结论并非在所有情况下都成立，还需要具体分析函数的性质。
再来看函数周期性的一些重要性质。
若函数 f(x)是周期函数，且周期为 T，那么 f(x ＋ nT) ＝ f(x)（n 为整数）。
这意味着，在周期函数的图像上，每隔一个周期，函数的图像就会重复出现。
如果函数 f(x)是周期函数，且周期为 T，那么函数 f(ax ＋ b)（a 不为 0）的周期为 T ／｜a|。
比如，函数 f(2x ＋ 3)的周期是函数 f(x)周期的 1/2。
周期性在解题中也有很多应用。
函数的周期性
函 数 的 周 期 性一、知识要点：1.周期性的定义：对于函数)(x f y =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 都成立，那么就把函数)(x f y =叫做 函数，非零常数T 叫做这个函数 。
如果非零常数T 是函数()f x 的周期，那么nT （0,≠∈n Z n ）也是函数()f x 的周期。
二、函数周期性的主要结论：1．如果()()f x a f x b +=+（a b ≠），那么()f x 是周期函数，其中一个周期 2．如果()()f x a f x b +=-+（a b ≠），那么()f x 是周期函数，其中一个周期 3. 偶函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期 4. 函数()f x 有两条不同的对称轴x a =、x b =)0,0(≠≠b a 对称，那么()f x 是周期函数， 其中一个周期5.奇函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期6. 奇函数()f x 关于点()0,a （0a ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期7. 函数()f x 同时关于两点()0,a 、()0,b （a b ≠，0,0≠≠b a ）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期8.函数()f x 的图像关于点()0,a （0a ≠）成中心对称，且关于直线x b =（a b ≠）成轴对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期 9.如果1()()f x p f x +=或1()()f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期 10.如果()()f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期11.y =f (x)对R x ∈时，若)()1()2(x f x f x f -+=+，则)(x f 是周期为 的周期函数。
函数的周期性主要结论
函数的周期性主要结论1．如果函数对于一切x∈R,都有 (),那么函数y=f(x)的图像关于直线对称是偶函数2．如果函数对于一切x∈R, 都有f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数的图像关于直线x=（由x=确定）对称3.如果函数对于一切x∈R, 都有成立, 那么函数的图像关于点对称4.两个函数图像之间的对称性（1）函数与函数的图像关于直线(即y轴)对称；函数与函数的图像关于直线; 函数与函数图像关于坐标原点对称。
（2）函数,的图像关于直线(由确定)对称（3）函数与函数的图像关于直线对称（由确定（4）函数与函数的图像关于点中心对称5.左加右减（对一个x而言），上加下减（对解析式而言）：若将函数的图像右移a、上移b个单位，得到函数的图像；若将曲线的图像右移a、上移b个单位，得到曲线的图像6.函数的图像是把的图像沿x轴向左平移a个单位得到的；函数的图像是把的图像沿x轴向右平移个单位得到的；函数的图像是把的图像沿x轴向左平移个单位得到的7.定义：对于函数，如果存在一个非零常数T。
使得当x取定义域内的每一个值时，都有，则的最小正周期为T，T为这个函数的一个周期8.如果函数是R上的奇函数，且最小正周期为T，那么9. 如果函数所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期，如果函数的最小正周期为T则函数的最小正周期为，如果是周期函数，那么的定义域无界10.关于函数的周期性的几个重要性质：（1）如果是R上的周期函数，且一个周期为T，那么（2）函数图像关于轴对称（3）函数图像关于中心对称（4）函数图像关于轴对称，关于中心对称（5）或或或, 则的周期T=2a（6），则的周期T=3a（7）则的周期T=4a；（8）,则的周期T=5a；（9），则的周期T= 6a。
函数的周期性和对称性常用结论
函数的周期性和对称性常用结论1.若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”.2.周期性：（1）若()()f x a f b x +=+，则||T b a =-（2）若()()f x a f b x +=-+，则2||T b a =-（3）若1()()f x a f x +=±，则2T a = （4）若1()()1()f x f x a f x -+=+，则2T a = （5）若1()()1()f x f x a f x ++=-，则4T a = 注：（3）、（4）、（5）要求知道并会推导，不要求死记3.对称性（1）若()()f a x f b x +=-，则()f x 的对称轴为2a b x += （2）若()()f a x f b x c +=--+，则()f x 的图象关于点(,)22a b c +中心对称 （3）函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于2a b x +=对称 4.若函数的图象同时具备两种对称性：即两条对称轴、两个对称中心、一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。
（只需要知道这个结论，用的时候会推导即可）（1）若()f x 的图象有两条对称轴x a =和x b =，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（2）若()f x 的图象有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（3））若()f x 的图象有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为4||b a -；。
函数周期性结论总结(2020年7月整理).pdf
函数周期性结论总结（2020年7月整理）.pdf 函数周期性的定义：若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，都有f(x)=f(x+T)恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
函数的周期性同样可以从“形”的角度理解，在f(x)的图像中，任意两点(x，f(x))和(x+T，f(x+T))，横坐标方向上距离相差T的两个点，它们的纵坐标方向等高，即函数的图像会重复出现，因此函数具有一定的周期性，且函数的周期为T。
函数周期性重要说明
(1)周期函数的定义域一定是无限集；
(2)由周期函数的定义可知，0不能作为函数的周期；
(3)如果T是f(x)是它的一个周期，那么-T也是f(x)的周期，即周期可以为负值；
(4)如果T是f(x)是它的一个周期，那么nT也是f(x)的周期，即周期函数有无数个周期；
(5)如果f(x)为周期函数，且所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期；
(6)周期函数f(x)不一定含有最小正周期，如常数函数，它的周期为任意实数。
高中函数周期性总结
1函数的周期性常见结论归类一.周期函数的定义：设函数()y f x =的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有()()f x T f x +=，则称()y f x =为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。
二.常见结论 (约定a>0)（1）()()f x f x a =+，则()f x 的周期T a =；（2）()()f x a f x +=－，或()()f x a f x +=－a 或1()(()0)()f x a f x f x +=≠，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则()f x 的周期2T a =； 1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.（3）1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （4）1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （5）函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.（6）若()()f a x f a x +=--且f(x)是偶函数,则()y f x =是周期为4a 的周期函数；若f(x) 是奇函数,则()y f x =是周期为2a 的周期函数。
（7）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（8）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（9）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期. (10)1()1(()0)()f x f x f x a =-≠+，则()f x 的周期3T a =； (11)121212()()()1()()f x f x f x x f x f x ++=-且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，或()()f x a f x +=-－a 则()f x 的周期T=4a ；（证明方法：令12,x x x a ==）(13)()()()f x a f x f x a +=-+，则()f x 的周期6T a =. (14)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数()()f x a x R =∈；(15)周期函数的定义域是无界的；(16)若T 为()y f x =的周期，则(0)nT n Z n ∈≠且也是()y f x =的周期(17)若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=+，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；推论：若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=-+()a b ≠，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；。
函数对称性与周期性几个重要结论赏析
0 / 2函数对称性与周期性几个重要结论赏析对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、 几个重要的结论（一）函数图象本身的对称性（自身对称）1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。
2、函数)(x f y =满足)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。
3、函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+的充要条件是)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
4、如果函数)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。
5、如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。
6、如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。
2、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。
3、曲线)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
4、曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f 。
5、曲线0),(=y x f 关于直线0=++c y x 对称曲线为0),(=----c x c y f 。
关于周期函数的几个有用结论
ｏ）对称别目数，（ｚ）是——
同法可证如下推论 推论ｌ ３十条件①函数／（ｚ＇的目霉关十直线一 “对称；ｏ函数，（ｚ）的图象关于直戏』一６对称．＠函 数，（ｚ）的周期为２（Ⅱｂ）．则ｕＦ的３十命题；①、固一 ＠；①、③一ｏ．ｏ、③一。椰足直俞垦叵
解自，（，ｆ１】一志可得该函数的周期为２．
叉其目象关于点（１，ｏ）对称，由定理２的推沦１可知． 函数的田象也关于点（０ ０）对称．故函数为奇∞数 （作者单位：江＃毒共十＊三高糖十学）
／（１０～（１０＋Ｔ））一，（一，）ｌ
１』））一
直线一一ｂ（“≠６）对称．Ⅲ日数ｆ（ｆ１必～周期 证晴由直线…．ｒ—ｂ是自数』（，）自勺对称轴 得：，（“＋ｚ）一，（一），Ｊ（ｂ＋Ｔ）一，（６
函数．其坷期Ｔ一２ｆ“＾） 恒成立，（ｚ＋２（ｄ—ｂ））一，（＆｝（ｎ＋Ｔ一２６））一
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，（２¨～）２，（Ｉｕ
＠ｔ①、＠・②；＠趣）一①都是真命题
推论２若函数，（。）是奇日散，且』（，）的围象 关于点（“，０）（ａ≠ｏ）对林．则自数，（ｚ）是周期函数．
其周期Ｔ一２ｎ
江苏王建群 田新性是三自自散最重要的＆质之一．虽然教材 中给ｍＴ月期函数的定义但我们肘周期自敢的有奖 性墟却知之甚少．奉ｘ对周期自敛的有关同胚进行简 要的概避以深化对自散周期性的认识
专题突破
推论２定女在Ｒ上∞自数，（ｚ）．其倒象若于直
线一ｚ（口≠ｏ）对称．卫，（Ｔ）足偶自敛一则自数，（Ｊ）足
周期Ｔ一２ｎ的周期自数
定理２定女在Ｒ Ｅ的函数，（ｚ），其嘲象既盖 Ｔ点（ｄ．０）对称．卫羌于点（６．０）对称（Ⅱ≠６）．别自 散ｒ（ｚ）必为周期函数，其周期Ｔ一２（ｎ
６）
证朋略（请同学们自行完成） 推论１．｛十条件①函数，（ｚ’的阿象戈ｆ点“， ０）对称｛②自散，（ｚ）的日象关于点（６．ｏ）对称；＠面数 ，（，）的周期为２（口６）Ｉ则“Ｆ的３十命题，④，②一
函数周期性结论总结
函数周期性结论总结在数学的广阔天地中，函数周期性是一个十分重要的概念。
它不仅在数学理论中有着关键地位，还在解决实际问题中发挥着巨大作用。
接下来，咱们就一起来深入探讨一下函数周期性的相关结论。
首先，咱们得明白啥是函数的周期性。
简单说，如果存在一个非零常数 T ，使得对于函数 f(x)定义域内的任意 x ，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x) ，那么就称函数 f(x) 是周期函数，T 就是它的一个周期。
常见的周期函数有正弦函数 y ＝ sin x 和余弦函数 y ＝ cos x 。
正弦函数的周期是2π ，余弦函数的周期也是2π 。
这两个函数在数学和物理学等领域都有着广泛的应用，比如描述振动、波动等现象。
对于周期函数，有几个重要的结论需要牢记。
结论一：若函数 f(x) 的周期为 T ，那么 kT （k 为整数且k ≠ 0 ）也是它的周期。
这很好理解，因为如果 f(x ＋ T) ＝ f(x) ，那么 f(x ＋ 2T) ＝ f(（x＋ T) ＋ T) ＝ f(x ＋ T) ＝ f(x) ，依此类推，f(x ＋ kT) ＝ f(x) 。
结论二：若函数 f(x) 满足 f(x ＋ a) ＝ f(x) ，则函数 f(x) 的周期为2a 。
咱们来证明一下。
由 f(x ＋ a) ＝ f(x) ，可得 f(x ＋ 2a) ＝ f(（x ＋ a) ＋ a) ＝ f(x ＋ a) ＝ f(x) ，所以周期为 2a 。
结论三：若函数 f(x) 满足 f(x ＋ a) ＝ 1/f(x) ，则函数 f(x) 的周期为2a 。
同样来证明一下。
因为 f(x ＋ a) ＝ 1/f(x) ，所以 f(x ＋ 2a) ＝ f(（x ＋ a) ＋ a) ＝ 1/f(x ＋ a) ＝ f(x) ，即周期为 2a 。
结论四：若函数 f(x) 满足 f(x ＋ a) ＝ f(x ＋ b) （a ≠ b），则函数f(x) 的周期为 T ＝｜a b| 。
函数的周期性的几个常用结论
函数的周期性的几个常用结论(1) )(x f y =对∈∀x R 时，若)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(≠=-a x f a x f 恒成立,则2a 是)(x f y =的一个周期；若()()x a f x f +=-，1()(0)()f x a a f x +=≠，1()(0)()f x a a f x +=-≠恒成立，则2a 是)(x f y =的一个周期.(2) 若)(x f y =是偶函数，其图像又关于直线a x =）（0≠a 对称，则)(x f 是以a 2为一个周期的周期函数；若)(x f y =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则)(x f y =是以2||T a b =-为一个周期的周期函数.(3) 若)(x f y =奇函数，其图像又关于直线a x =）（0≠a 对称，则)(x f 是以a 4为一个周期的周期函数；若函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则()y f x =是以b a -4为一个周期的周期函数.(4) 若)(x f y =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则)(x f y =是以2||T a b =-为一个周期的周期函数.例1：函数)(x f 对于任意实数x 满足条件=-==+))5((,5)1(,)(1)2(f f f x f x f 。
分析：5)1()5(),()2(1)4(-===+=+f f x f x f x f ；51)21(1)1()5())5((-=+-=-=-=f f f f f例2：定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为 。
（答：(sin )(cos )f f αβ>)例3：已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2(T f 。
函数的周期性常见结论归类
函数的周期性常见结论归类四川省苍溪实验中学校 周万勇一.周期函数的定义：设函数()y f x =的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有()()f x T f x +=，则称()y f x =为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。
二.常见结论 (约定a>0)（1）()()f x f x a =+，则()f x 的周期T a =；（2）()()f x a f x +=－，或()()f x a f x +=－a 或1()(()0)()f x a f x f x +=≠，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则()f x 的周期2T a =； 1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.（3）1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （4）1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （5）函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.（6）若()()f a x f a x +=--且f(x)是偶函数,则()y f x =是周期为4a 的周期函数；若f(x) 是奇函数,则()y f x =是周期为2a 的周期函数。
（7）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期. （8）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（9）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期. (10)1()1(()0)()f x f x f x a =-≠+，则()f x 的周期3T a =； (11)121212()()()1()()f x f x f x x f x f x ++=-且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，或()()f x a f x +=-－a 则()f x 的周期T=4a ；（证明方法：令12,x x x a ==）(12)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ++++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则()f x 的周期5T a =；证明：()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ++++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++令x x a =+，则()(2)(3)(4)(5)f x a f x a f x a f x a f x a +++++++++()(2)(3)(4)(5)f x a f x a f x a f x a f x a =+++++两式做差得：(5)()[(5)()][()(2)(3)(4)]f x a f x f x a f x f x a f x a f x a f x a +-=+-⋅++++ 整理[(5)()][()(2)(3)(4)1]0f x a f x f x a f x a f x a f x a +-⋅++++-= 若(5)()0f x a f x +-=则(5)()f x a f x +=证毕否则()(2)(3)(4)1f x a f x a f x a f x a ++++=，这不可能。
函数的周期性主要结论
函数的周期性主要结论1．如果函数)(x f y =对于一切x ∈R,都有)()(x a f x a f -=+ (⇔)()2(x f x a f =-),那么函数y=f(x)的图像关于直线a x =对称⇔)(a x f y +=是偶函数2．如果函数)(x f y = 对于一切x ∈R, 都有f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数)(x f y =的图像关于直线x=2b a +（由x=2)()(x b x a -++确定）对称 3. 如果函数)(x f y =对于一切x ∈R, 都有b x a f x a f 2)()(=-++成立, 那么函数)(x f y =的图像关于点),(b a 对称4.两个函数图像之间的对称性（1）函数)(x f y = 与函数)(x f y -=的图像关于直线0=x (即y 轴)对称；函数)(x f y = 与函数)(x f y -=的图像关于直线0=y ; 函数)(x f y = 与函数)(x f y --=图像关于坐标原点对称。
（2）函数)(),(x b f y x a f y -=+=,的图像关于直线2b a x -=(由x b x a -=+确定)对称（3）函数)(x f y =与函数)(x f A y -=的图像关于直线2A y =对称（由[][]2)()(x f A x f y -+=确定 （4）函数)(x f y =与函数)(x n f m y --=的图像关于点)2,2(m n 中心对称 5.左加右减（对一个x 而言），上加下减（对解析式而言）：若将函数)(x f y =的图像右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图像；若将曲线0),(=y x f 的图像右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图像6.函数)0)((>+a a x f 的图像是把)(x f y =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数)0)((<+a a x f 的图像是把)(x f y =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的；函数)(a wx f y +=的图像是把)(b wx f y +=的图像沿x 轴向左平移wb a -个单位得到的 7.定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T 。
专题六 函数的周期性(解析版)
专题六 函数的周期性1．周期函数的定义对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )；如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．函数周期性常用的结论结论1：若f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )的一个周期为2a ；结论2：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论3：若f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a ；结论4：若f (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )(a ≠0)，则f (x )的一个周期为6a ；结论5：若f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ； 结论6：若f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ； 结论7：若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论8：若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |． 结论9：若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为4|b －a |． 结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．考点一 已知函数的周期性(显性的)，求函数值【方法总结】利用函数的周期性，可将其他区间上的求值等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例1] (1)若f (x )是R 上周期为2的函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝__________． 答案 －1 解析 由f (x ＋2)＝f (x )可得f (3)－f (4)＝f (1)－f (2)＝1－2＝－1．(2)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________．答案 14 解析 由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝14． (3) (2016·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R ．若5()2f -＝9()2f ，则f (5a )的值是________． 答案 －25 解析：由题意可得5()2f -＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ，9()2f ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110，则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25．(4)(2018·江苏)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎨⎧ cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．答案 22解析 由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，可知函数f (x )的周期是4，所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22． (5)定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3，0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值等于( )A ．403B ．405C ．806D ．809答案 B 解析 定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，即函数f (x )的周期为5.又当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，所以f (1)＝log 21＝0，f (2)＝log 22＝1.当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0，f (5)＝f (0)＝－1．故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405．【对点训练】1．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区 间[0，6]上与x 轴的交点个数为________．1．答案 7 解析 因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ．又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0) ＝0，则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0．又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个．2．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈ R ．若f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 2．答案 －10 解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2，①．由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a ，②．由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2(1－x )，0≤x ≤1，x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝{[()]}n ff f f x ⋅⋅⋅个，那么f 2 019(2)的 值为( )A ．0B ．1C ．2D ．33．答案 C 解析 ∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，f 4(2)＝f (2)＝1，∴f n (2)的值具有周期 性，且周期为3，∴f 2 019(2)＝f 3×673(2)＝f 3(2)＝2，故选C ．4．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x . 则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022)＝__________．4．答案 337 解析 由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，由已知条件可得f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 022)＝337×1＝337．5．(2016·山东)已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12．则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．25．答案 D 解析 当x >12时，由f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，可得当x >0时，f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，而f (1) ＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝f (1)＝2，故选D ．6．对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f (2 019) ＋f (2 020)＝( )A ．0B ．2C ．3D ．46．答案 B 解析 ∵y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，则函数y ＝f (x )的图象关于x ＝0对称，即函数f (x ) 是偶函数．令x ＝－1，则f (－1＋2)－f (－1)＝2f (1)，即f (1)－f (1)＝2f (1)＝0，即f (1)＝0．则f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)＝0，即f (x ＋2)＝f (x )，即函数的周期是2，又f (0)＝2，则f (2 019)＋f (2 020)＝f (1)＋f (0)＝0＋2＝2，故选B ．考点二 已知函数的周期性(隐性1)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性1)，可利用周期性的性质结论1到结论6，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例2] (1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则下列函数值为1的是( )A ．f (2.5)B ．f (f (2.5))C ．f (f (1.5))D ．f (2)答案 D 解析 由f (x ＋1)＝－f (x )知f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，于是f (x )是以2为周期的周期函数，从而f (2.5)＝f (0.5)＝－1，f (f (2.5))＝f (－1)＝f (1)＝－1，f (f (1.5))＝f (f (－0.5))＝f (1)＝－1，f (2)＝f (0)＝1，故选D ．(2)已知定义在R 上的函数f (x )，对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立，若函数y ＝f (x ＋1)的图象关于直线x ＝－1对称，则f (2 018)的值为( )A ．2 018B ．－2 018C ．0D ．4答案 C 解析 依题意得，函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0对称，因此函数y ＝f (x )是偶函数，且f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，即f (2)＝f (2)＋f (2)，所以f (2)＝0，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数y ＝f (x )是以4为周期的函数，f (2 018)＝f (4×504＋2)＝f (2)＝0．(3)已知f (x )是定义在R 上的函数，并且f (x ＋2)＝1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (2 022)＝__________． 答案 2 解析 由f (x ＋2)＝1f (x )得f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )，所以T ＝4，f (2 022)＝f (4×505＋2)＝f (2)＝2． (4)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2 020)＝________． 答案 －2－3 解析 由f (x ＋2)＝1－f (x )，得f (x ＋4)＝1－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (2 020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2 020)＝－2－3． (5)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1．则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)的值为________．答案 1 348 解析 ∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4．又x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1，∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f (1)＝－1，f (4)＝－1f (2)＝－13．∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2)＝504⎝⎛⎭⎫1＋3－1－13＋1＋3＝1 348． 【对点训练】7．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则5()2f 的值为( ) A ．12 B ．14 C ．－14 D ．－127．答案 A 解析 由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则5()2f ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝2×12×⎝⎛⎭⎫1－12 ＝12，故选A ． 8．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )A ．－2B ．2C ．－98D ．988．答案 A 解析 由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (7)＝－f (5)＝f (3)＝－f (1)＝－2．故选A ．9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5B ．12C ．2D ．－2 9．答案 D 解析 由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019) ＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2．10．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( )A ．0B ．－4C ．－8D ．－1610．答案 B 解析 由题意可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f [(x ＋6)＋6]＝－f (x ＋6)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝12．把y ＝f (x －1)的图象向左平移1个单位得y ＝f (x －1＋1)＝f (x )的图象，关于点(0，0)对称，因此函数f (x )为奇函数，∴f (2 014)＝f (167×12＋10)＝f (10)＝f (10－12)＝f (－2)＝－f (2)＝－4．故选B ．11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2 018)＝( ) A ．－2－ 3 B ．－2＋3 C ．2－3 D ．2＋311．答案 A 解析 由f (x ＋2)＝1－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )．所以函数f (x )的周期为4，所以f (2 018)＝f (2)．又 f (4)＝f (2＋2)＝1－f (2)＝2－3，所以－f (2)＝12－3＝2＋3，即f (2)＝－2－3，故选A ． 12．已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________．12．答案 52 解析 ∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，∴f ⎝⎛⎭⎫52 ＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52． 考点三 已知函数的周期性(隐性2)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性2)，可利用周期性的性质结论7到结论9，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例3] (1)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝( )A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3答案 B 解析 由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2)．∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4．所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3． (2)函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于( )A ．－9B ．9C ．－3D ．0答案 B 解析 因为f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (－x )＝－f (x －2)．又因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝－f (x －2)＝f (x －4)，故f (x )的周期为4，所以f (0.5)＝f (8.5)＝9．故选B ．(3)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)．∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A ．(4)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2，4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝________．答案 0 解析 因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝0．(5)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有33()()22f x f x +=--成立．若f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＝________．答案 －2 解析 由33()()22f x f x +=--，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎡⎦⎤32＋⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎣⎡⎦⎤32－⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2．(6)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( )A ．－50B ．0C ．2D ．50答案 C 解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的周期函数．由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0，又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0．又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2，故选C ．【对点训练】13．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)是偶函数，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x (3－2x )，则f ⎝⎛⎭⎫312＝( )A ．12B ．－12C ．－1D ．1 13．答案 C 解析 ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∵函数y ＝f (x ＋1)是定义在R 上的偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的周期是4，∴f ⎝⎛⎭⎫312＝f ⎝⎛⎭⎫4×4－12＝f －12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－⎣⎡⎦⎤12·(3－1)＝－1，故选C ． 14．已知偶函数f (x )的定义域为R ，若f (x －1)为奇函数，且f (2)＝3，则f (5)＋f (6)的值为( )A ．－3B ．－2C ．2D ．314．答案 D 解析 因为f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (－x )＝－f (x －2)．又因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝－f (x －2)＝f (x －4)，故f (x )的周期为4，所以f (5)＋f (6)＝f (1)＋f (2)＝0＋3＝3．选D ．15．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________．15．答案 3 解析 解析：因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )．又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3．16．已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，当x ∈[0，3]时，f (x )＝－x ，则f (－16)＝________．16．答案 2 解析 根据题意，函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，则有f (x )＝f (6－x )，又由函数为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，则有f (x )＝－f (6－x )＝f (x －12)，则f (x )的最小正周期是12，故f (－16)＝f (－4)＝－f (4)＝－f (2)＝－(－2)＝2．17．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (1)＝a ，则f (2)＋f (3)＋f (4)＝( )A ．0B ．－aC ．aD ．3a17．答案 B 解析 因为函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (x )关于直线x ＝1对称，所以f (2)＝f (0)，f (3)＝f (－1)，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，又由f (1＋x )＝f (1－x )可得f (x ＋1)＝f (1－x )＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，故f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，因此，函数f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (4)＝f (0)，又f (1)＝a ，因此f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (0)＋f (－1)＋f (0)＝－f (1)＝－a ．故选B ．18．函数y ＝f (x )满足对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1) ＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________．18．答案 4 解析 ∵函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，∴f (x )是R 上的奇函数，又f (x ＋2)＝－ f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4，∴f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，∴f (2 016)＋f (2 018)＝f (2 016)＋f (2 016＋2)＝f (2 016)－f (2 016)＝0，∴f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4．。
函数的周期性
1．函数的奇偶性
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【知识拓展】
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝
1
f(x)
，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－
1
f(x)
，则T＝2a(a>0)．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)
(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(√)
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)。
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2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=
3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=
4、)
(1
)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1
)(x f a x f -
=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)
(1)
(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1
)(+-
=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)
(1)
(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=
10、若.2
, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则
推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=
推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=
抽象函数的对称性
1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)
2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)
易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例
函数的周期性
若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x)
③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)
函数的对称性与周期性
性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|
性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|
性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|。