江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析

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江西省南昌市八一2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高一期中考试数学试卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.1.已知,,x y z 为非零实数，且(01)xya a a ><<，则下列不等式恒成立的是（）A. 22x y < B. 22xz yz <C. ||||x y <D.11x y> 【★答案★】B 【解析】【分析】由条件可得x y <，再结合0z ≠，可得22xz yz <，即可选出★答案★. 【详解】因为(01)x ya a a ><<，所以x y <因为0z ≠，所以20>z ，所以22xz yz <当3,1x y =-=时，22x y <、||||x y <、11x y>都不成立故选：B【点睛】本题考查的是指数不等式的解法及不等式的性质，属于基础题. 2.已知集合2{|230}A x R x x =∈-->，1{|1}B x R x=∈≤，则R C A B ⋂=（） A. [1,0)[1,3]- B. [1,0][1,3]-⋃ C. [1,3]D. (0,1]【★答案★】A 【解析】【分析】解出集合A 和B 中的不等式即可.【详解】由2230x x -->可得3x >或1x <-，所以[]1,3R C A =-因为()10111000x x xx x x x ⎧-≤-≤⇒≤⇒⇒<⎨≠⎩或1x ≥，所以()[),01,B =-∞⋃+∞ 所以R C A B ⋂=[1,0)[1,3]-故选：A【点睛】本题考查的是分式不等式、一元二次不等式的解法和集合的运算，属于基础题. 3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c,若cos cos a cA C=，则△ABC 的形状是（） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形【★答案★】A 【解析】试题分析：由正弦定理sin sin a c A C =，可将cos cos a c A C =变形为sin sin cos cos A CA C=，即tan tan A C =，因为,A C 为三角形内角，所以A C =，则a c =．故此三角形为等腰三角形．故A 正确．考点：正弦定理．4.设1234,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则123422a a a a ++的值为（）A.18B.14C.12D. 1【★答案★】B 【解析】121123233411222224122288164a a a a q q a a a q a q q q ++++=====++++，选B. 5.在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( ) A. 18 B. 99C. 198D. 297【★答案★】B 【解析】【分析】由题设条件结合等差数列的通项公式知先求出a 6，再由等差数列的前n 项和公式求出S 11．【详解】∵a 3+a 9=27﹣a 6，∴3a 6=27，a 6=9， ∴11111611a +a s ==11a =992（）．故选B ．【点睛】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列的通项公式和前n 项和公式的灵活运用．6.在ABC 中，π4C ∠=，2AB =，6AC =，则cos B 的值为（） A.12B. 32-C.12或32- D.12或12- 【★答案★】D 【解析】分析：在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b c B C =，得3sin 2B =，即可得到角B ，进而得到结论．详解：由题意,2,64C c AB b AC π∠=====，由正弦定理sin sin b c B C=，则有6sin34sin 22B π==，因为0B π<<，所以3B π=或23π，当3B π=时，1cos 2B =，当23B π=时，1cos 2B =-，故选D ．点睛：本题主要考查了正弦定理解三角形，着重考查了推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题．7.已知正实数a 、b 满足a+b=ab ，则ab 的最小值为（） A. 1B. 2C. 2D. 4【★答案★】D 【解析】【分析】根据a+b≥2ab ，当且仅当a=b=2时取等号，代入计算即可求出ab 的最小值．【详解】∵ab=a+b≥2ab ，()2ab ≥2ab ，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，故ab 最小值为4，故选D ．【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 8.已知函数log (1)2m y x =-+，（0m >且1m ≠）的图像恒过点M ，若直线()20,0x ya b a b+=>>经过点M ，则+a b 的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【★答案★】C 【解析】【分析】利用对数函数过定点(1,0)，得到函数log (1)2m y x =-+，（0m >且1m ≠）的图象恒过点(2,2)M ，由此得到关于a ，b 的等式，利用基本不等式求最小值．【详解】解：由已知得到对数函数过定点(1,0)，得到函数log (1)2m y x =-+，（0m >且1m ≠）的图象恒过点()2,2M ，又直线()20,0x ya b a b+=>>经过点M ，所以111a b+=，所以11()()2224b a b a a b a b a b a b ++=+++=；当且仅当a b =时等号成立；故选：C ．【点睛】本题考查了对数函数的图象以及利用基本不等式求最小值，属于中档题． 9.有两个等差数列{}n a ，{}n b ，其前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n =+，则121419271314=a a a a b b b b ++++++（） A.2719B.107C.5135D.127【★答案★】C 【解析】【分析】设等差数列{}n a ，{}n b 的公差分别为12,d d ，分析得到1214191727131417a a a a Sb b b b T +++=+++,即得解.【详解】设等差数列{}n a ，{}n b 的公差分别为12,d d ，所以12141991111111112713141212121212913188=612138a a a a a a a d a d a d a d b b b b b d b d b d b d b d b ++++++++++==+++++++++++9117179117173417()31751=3417()217135a a a Sb b b T +⨯====+⨯+. 故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知数列1a ，21a a ，32a a ，⋅⋅⋅，1nn a a -，⋅⋅⋅是首项为1，公比为2的等比数列，则下列项中是数列{}n a 中的项是（） A. 16 B. 128C. 32D. 64【★答案★】D 【解析】试题分析：，当时，，故选D.考点：等比数列、累乘法求通项公式．11.设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且1310670,0,0a a a a a >+><，则满足0n S >的最大自然数n 的值为（） A. 6B. 7C. 12D. 13【★答案★】C 【解析】由3100a a +>,利用等差数列的性质可得：310670a a a a +=+>,又67a a <0,1a >0， ∴6a >0,7a <0. ∴()()()1121131267137121360,13022a a a a S a a S a ++==+>==<，则满足S n >0的最大自然数n 的值为12. 故选C.点睛：求解等差数列问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+. 由此得：1()2n n n a a S +=，当21n k =-为奇数时，21(21)2(21)2kk k k a S k a --==-，当2n k =为偶数时，1212()()2k k kk k k a a S k a a +++==+.12.已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2142,n n S S n n n N -++=≥∈，若对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是（） A. ()3,5 B. ()4,6 C. [)3,5 D. [)4,6 【★答案★】A 【解析】试题分析：由()2142n n S S nn -+=≥得()2141n n S S n ++=+．两式相减得()1842n n a a n n ++=+≥，故21812n n a a n +++=+，两式相减得()282n n a a n +-=≥．又由1a a =得23162,42a a a a =-=+，所以，()()2221381882,81842n n a a n n a a a n n a +=+-=+-=+-=-+．因为对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，所以，()162{8828428428182a an a n an a n a<-+-<-+-+<++-，解得35a <<．选A.考点：数列通项，不等式恒成立【方法点睛】给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n （n≥2）转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n . 应用关系式a n ＝时，一定要注意分n ＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若不等式210x ax -+≥对于一切(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的最大值为__________. 【★答案★】2 【解析】【分析】参变分离可得1a x x ≤+，再根据基本不等式求1y x x=+在(0,)x ∈+∞上的最小值即可. 【详解】不等式210x ax -+≥对于一切(0,)x ∈+∞恒成立，即1a x x≤+在(0,)x ∈+∞上恒成立.又1122y x x x x=+≥⋅=，当且仅当11x x ==时取等号.故2a ≤，即a 的最大值为2.故★答案★为：2【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值的应用，同时也考查了参变分离求函数最值的方法，属于基础题.14.已知函数1()(3)3f x x x x =+>-，则函数()f x 的最小值为__________. 【★答案★】5 【解析】【分析】由题得1()333f x x x =-++-，再利用基本不等式求函数的最小值得解. 【详解】由题得1()333f x x x =-++-，因为3,30x x >∴->，所以11()332(3)3533f x x x x x =-++≥-⋅+=--. 当且仅当4x =时取最小值. 故★答案★为：5.【点睛】本题主要考查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 15.在ABC ∆中, ,,a b c 是角,,A B C 所对的边长,若sin :sin :sin 4:5:6A B C =,则2cos a Ac=__________．【★答案★】1 【解析】分析：根据正弦定理找到三角形中边之间的关系，再利用余弦定理可计算出cos A 的值. 详解：由正弦定理得sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，又由余弦定理知 2222536163cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，∴2cos 2sin cos sin a A A A c C =sin 432cos 21sin 64A A C =⨯⨯=⨯⨯=. 点睛：正弦定理为实现“边角互化”提供了依据，而当已知三边比例关系时，则可利用余弦定理求出任何一个内角的余弦值.16.锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2()b a a c =+，则ba的取值范围是__________.【★答案★】(2,3) 【解析】【分析】由条件结合余弦定理可得2cos a c a B =-，然后可得sin sin 2sin cos A C A B =-，然后可得出2B A =，由ABC 是锐角三角形求出A 的范围，sin sin 22cos sin sin b B A A A Aa ===，即可得到★答案★.【详解】因为222()2cos b a a c a c ac B =+=+-，所以2cos a c a B =- 所以sin sin 2sin cos A C A B =-，所以()sin sin 2sin cos A A B A B =+- 所以sin sin cos cos sin 2sin cos A A B A B A B =+-，所以()sin sin A B A =- 所以A B A =-或A B A π+-=即2B A =或B π=（不符合题意，舍去），所以3C A π=- 因为ABC 是锐角三角形，所以0,02,03222A A A ππππ<<<<<-<解得64A ππ<<，所以()sin sin 22cos 2,3sin sin b B AA a A A===∈故★答案★为：(2,3)【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知33S =-，77S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设42n an b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【★答案★】（1）3n a n =-（2）(1)212nn n +-+【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由条件建立方程组解出1a 和d 即可；（2）31422n n n b n n --=⋅+=+，利用等差等比数列的前n 项和公式计算即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵33S =-，77S =，∴11133232177672a d a d ⎧+⨯⨯=-⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩，解得121a d =-⎧⎨=⎩，∴2(1)13n a n n =-+-⨯=-；（2）由（1）得31422n n n b n n --=⋅+=+，∴()01112222(123)n n n T b b b n -=++⋯+⋅=++⋯+++++⋯+12(1)(1)211222n n n n n n -++=+=-+-. 【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法. 18.递增等比数列{}n a 的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差数列.（1）求{}n a 的首项和公比；（2）设22212n n S a a a =+++，求n S .【★答案★】（1）2q =；12a =（2）224n n S +=-【解析】【分析】（1）根据题意利用等比数列的性质，可得35512a =，解出58a =．设公比为q ，得328a q =且278a q =，由等差中项的定义建立关于q 的方程，解出q 的值，进而可得{}n a 的首项；（2）由（1）得111(2)n n n a a q -+==，从而得到2121[(2)]2n n na ++==，再利用等比数列的求和公式加以计算，可得求n S 的表达式．【详解】（1）根据等比数列的性质，可得33575512a a a a ⋅⋅==，解之得58a =.设数列{}n a 的公比为q ，则328a q =，278a q =，由题设可得()2281892(83)10q q ⎛⎫-+-=-=⎪⎝⎭，解之得22q =或12. ∵{}n a 是递增数列，可得1q >， ∴22q =，得2q =.因此451148a a q a ===，解得12a =；（2）由（1）得{}n a 的通项公式为112(2)(2)n n n a -+=⨯=， ∴212n n a +=，∵2122n na a += ∴{}2n a 是以4为首项，公比等于2的等比数列. 因此()2222124122412n n n nS a a a +-=++⋯+==--.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项与性质、等差中项的定义和等比数列的前n 项之和公式等知识，属于中档题．19.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南2(cos )10θθ=方向300千米的海面P 处，并以20千米/时的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60千米，并以10千米/时的速度不断增大，问几个小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？【★答案★】12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时.【解析】【分析】设经过t 小时台风中心移动到Q 点时，台风边沿恰好在O 城，由题意得，300,20,r()6010OP PQ t OQ t t ====+，2cos ,4510a θθ==-︒724sin ,cos 105a θ==在POQ ∆中，由余弦定理得：2222cos OQ OP PQ OP PQ a =+-⋅.【详解】解：设经过t 小时台风中心移动到Q 点时，台风边沿恰好在O 城，由题意得，300,20,r()6010OP PQ t OQ t t ====+2cos ,4510a θθ==-︒ 724sin ,cos 105a θ∴== 由余弦定理得：2222cos OQ OP PQ OP PQ a =+-⋅即2224(6010)300(20)230020t 5t t +=+-⨯⨯⨯即2362880t t -+=解得，1212,24t t == 2112t t -=答：12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时.【点睛】本题主要考查了余弦定理在实际生活中的应用，需熟记定理内容，属于基础题.20.已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，且2sin cos cos a A b C c B =+.（1）求角A 的大小；（2）若23bc =+，求cos cos B C b c +的最小值. 【★答案★】（1）6A π=（2）23- 【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求得sin A ，得A 角；（2）由余弦定理结合基本不等式得1a ≥，由2sin cos cos a A b C c B =+得cos cos 2sin 23B C a A a a b c bc bc +===+，从而可得结论．【详解】（1）因为2sin cos cos a A b C c B =+，由正弦定理得：22sin sin cos sin cos A B C C B =+，即22sin sin()A B C =+，所以22sin sin A A =.又因为ABC 为锐角三角形，有sin 0A ≠，所以1sin 2A =，则6A π=. （2）由2sin cos cos a A b C cB =+，得cos cos 2sin 23B C a A a a b c bc bc +===+. 又由余弦定理得2222cos 236a b c bc bc bc π=+-≥-(23)1bc =-=，当且仅当b=c 等号成立所以1a ≥. 所以cos cos 2323B C a b c +=≥-+. 即cos cos B C b c+的最小值为23-. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，解题关键是由正弦定理进行边角转换后快速求得A 角．本题属于中档题．21.如图 ,在平面四边形ABDC 中，3,14ABC AB AD AB ，π∠=⊥=. (Ⅰ)若5AC =,求ABC 的面积；(Ⅱ)若46ADC CD π∠==，，求sin CAD ∠.【★答案★】（1）12（2）25sin 5CAD ∠= 【解析】分析： (Ⅰ)由余弦定理求出BC ，再用公式1sin 2S AB BC BC =⋅∠求得面积； (Ⅱ)设CAD θ∠=，在ACD ∆中用正弦定理表示出AC ，然后在ABC ∆中把,BAC BCA ∠∠用θ表示后，再由正弦定理得θ的等式，从而可求出sin θ.详解：(Ⅰ)在ABC 中，由余弦定理得，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠，即2512BC BC =++，解得BC 2=或22-(舍去)，所以ABC 的面积1121sin 122222ABC S AB BC ABC =∠=⨯⨯⨯=. (Ⅱ)设CAD θ∠=，在ACD ∠中，由正弦定理得，sin sin AC CD ADC CAD=∠∠, 即41sin 2AC θ=，所以2sin AC θ=. 在ACD 中，,24BAC BCA ππθθ∠=-∠=-，则sin sin AC AB ABC CAD=∠∠，即13sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，即224sin cos 2sin 22θθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得sin 2cos θθ=. 联立221sin cos θθ+=，解得25sin 5θ=，即25sin 5CAD ∠=.点睛：在已知两边和一边对角时一般可用正弦定理求出另一边所对角，从而得三角形的第三角及第三边，也可直接利用余弦定理列出关于第三边的方程，解方程得第三边长.22.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且11a =，2(1)n n S n a =+，数列{}n b 满足：()2n a n n a b n N +=⋅∈，记数列{}n b 的前n 项和为n T .（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和公式n S ；（2）求证：122n T ≤<. 【★答案★】(1) n a n =，(1)2n n n S +=；(2)证明见解析【解析】【分析】 (1)根据题意代入2n =即可求得2a ，再求出公差，根据等差数列的通项公式与求和公式求解项公式n a 及前n 项和公式n S 即可.(2)易得2n n n b =，再根据错位相减法求解n T ，进而证明122n T ≤<即可. 【详解】(1) 设等差数列{}n a 的公差为d ，则当2n =时，2223S a =，即()2222132a a a +=⇒=.故211d a a =-=，故()11n a n n =+-=.此时(1)2(1)2n n n n S n n S +=+⇒=. 故n a n =，(1)2n n n S += (2)由n a n =可得，()2n n n b n N +=⋅∈，所以2n n n b =故1231...n n n T b b b b b -=++++12311231...22222n n nn n T --=++++...① 234111231 (222222)n n n n n T +-=++++...② ①-②：23111111 (222222)n n n n T +=+++-故111111112221112222212nn n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--=--. 故222n n n T +=-.因为02n n n b =>，故n T 随n 的增大而增大，故1112n T T b ≥==. 又22n n +>0，故2222n n n T +=-<. 综上所述，122n T ≤< 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解，同时也考查了等差数列求和公式与错位相减求和的方法，属于基础题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

江西省南昌市八一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题(wd无答案)

江西省南昌市八一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题(★★) 1. 已知为非零实数，且，则下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c,若，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形(★★) 4. 设成等比数列，其公比为，则的值为（）A．B．C．D．(★) 5. 在等差数列{a n}中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n表示数列{a n}的前n项和，则S 11＝( )A．18B．99C．198D．297(★★) 6. 在中，，，，则的值为（）A．B．C．或D．或(★★) 7. 已知正实数a、b满足a+b=ab，则ab的最小值为（）A．1B．C．2D．4(★★★) 8. 已知函数，（且）的图像恒过点，若直线经过点，则的最小值为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 有两个等差数列，，其前项和分别为和，若，则（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知数列，，，，，是首项为，公比为的等比数列，则下列项中是数列中的项是（）A．B．C．D．(★★★) 11. 设等差数列的前项和，且，则满足的最大自然数的值为（）A．6B．7C．12D．13(★★★★) 12. 已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 若不等式对于一切恒成立，则的最大值为__________.(★) 14. 已知函数，则函数的最小值为__________.(★★) 15. 在中, 是角所对的边长,若,则__________ ．(★★★) 16. 锐角中，内角的对边分别为，若，则的取值范围是__________.三、解答题(★★) 17. 设为等差数列，为数列的前项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.(★★★)18. 递增等比数列的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差数列.（1）求的首项和公比；（2）设，求.(★★) 19. 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南方向300千米的海面处，并以20千米/时的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60千米，并以10千米/时的速度不断增大，问几个小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？(★★★) 20. 已知锐角的内角，，的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最小值.(★★★) 21. 如图，在平面四边形 ABCD中，∠ ABC＝，AB⊥ AD， AB＝1．（1）若 AC＝，求的面积；（2）若∠ ADC＝， CD＝4，求sin∠ CAD．(★★) 22. 已知等差数列的前项和为，并且，，数列满足：，记数列的前项和为.（1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）求证：.。

2019-2020学年江西省南昌市八一中学高二下学期期末考试数学(理)试题解析

绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．在复平面内，复数201812z i i=++对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C因为201812z i i =++()()22231122555i i i i i i --=+=-=--+-，复数201812z i i=++对应的点的坐标为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故复数201812z i i=++对应的点位于第三象限,故选C. 2．2506006876438528{},,a b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（）A ．{},,a a b a b +-B ．{},,b a b a b +-C ．{},,c a b a b +-D ．{},,2a b a b a b +-+答案：C空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A,B,D 三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C 选项中的向量不共面解：解：对于A ，因为()()2a b a b a ++-=，所以,,a a b a b +-共面，不能构成基底，排除A ，对于B ，因为)()2a b a b b +--=(，所以,,b a b a b +-共面，不能构成基底，排除B ，对于D ，312()()22a b a b a b +=+--，所以,,2a b a b a b +-+共面，不能构成基底，排除D ，对于C ，若,,c a b a b +-共面，则()()()()c a b a b a b λμλμλμ=++-=++-，则,,a b c 共面，与{},,a b c 为空间向量的一组基底相矛盾，故,,c a b a b +-可以构成空间向量的一组基底，故选：C 点评：此题考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决此题的关键，属于基础题.3．设,x y R ∈，向量()()(),1,1,b 1,,1,c 2,4,2,a x y ===-且,//c a c b ⊥，则b a +=（）A ． BC ．3D ．4答案：D(),241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，,(),214+20,1a b a b x x ⊥∴⋅=+⋅-=∴=,()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，,(223a b ∴+=+=,故选C.4．给出下列命题，其中正确的命题为（）A ．若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面；B ．直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直；C ．直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行；D ．异面直线a ，b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直. 答案：D解：试题分析：A ：直线共面不具有传递性，故A 错误；B ：根据线面垂直的判定可知B 错误；C ：若直线a α⊂，满足直线a 与平面α不平行，但平面内存在无数条直线与已知直线平行，故C 错误；D ：假设存在过a 的平面与b 垂直，则可知b a ⊥，∴假设不成立，故D 正确，故选D ．【考点】空间中点、线、面的位置关系及其判定．5．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是1BB 的中点，则AD 与平面11AAC C 所成角的正弦值等于（）A ．22B ．3 C ．6 D ．10 答案：C记P Q 、分别为直线11AC A C 、的中点，取PQ 中点E ，连结AE ，DE ，只需证DE ⊥平面11ACC A ，即可得DAE ∠是A D 与平面11AAC C 所成的角，进而可求出结果. 解：记P Q 、分别为直线11AC A C 、的中点，取PQ 中点E ，连结AE ，DE ，所以在正三棱柱111ABC A B C -中，1B Q ⊥平面11AAC C ；又D 是1BB 的中点，所以1DE B Q ,所以DE ⊥平面11ACC A ，故DAE ∠即是A D 与平面11AAC C 所成的角；设124AA AB ==，则22AD 2222=+=，221DE 213B Q ==-=，所以DE 6sin DAE AD ∠==. 故选C.点评：本题主要考查直线与平面所成的角，只需在几何体中作出线面角，即可求解，属于基础题型.6．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，且2OM MA =，BN NC =，则MN =（）A ．221332a b c ++ B ．111222a b c +- C ．211322a b c -++ D ．121232a b c -+ 答案：C根据MN ON OM =-，再由2OM MA =，BN NC =，得到()()2211,3322a OM OA ON OB OC cb =+===+，求解.解：因为MN ON OM =-，又因为()()2211,3322a OM OA ON OB OC c b =+===+，所以211322MN a b c =-++.故选：C 点评：本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A ．12B ．22C ．13D ．16答案：C根据题意，以D 为坐标原点，直线1DA DC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，平面外一点到平面的距离可以用平面上任意一点与该点的连线在平面法向量上的投影表示，而法向量垂直于平面上所有向量，由AC ，1AD 即可求得平面1ACD 的法向量n ，而1D E 在n 上的投影即为点E 到面1ACD 的距离，即可求得结果解：以D 为坐标原点，直线1DA DC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设AE x =，则()1101A ，，，()1001D ，，,() 10E x ，，，()100A ，，，()020C ，， E 为AB 的中点，则()110E ，， ()1111D E ∴=-，，，()120AC =-，，，()1101AD =-，，设平面1ACD 的法向量为()n a b c =，，，则10n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩ 可得2a ba c =⎧⎨=⎩可取()212n =，， ∴点E 到面1ACD 的距离为1212133D E n d n⋅+-=== 故选C 点评：本题是一道关于点到平面距离的题目，解题的关键是掌握求点到面距离的方法，建立空间直角坐标系，结合法向量求出结果，属于中档题。

江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二12月月考数学(理)试题 Word版含答案

江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二12月月考数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．）1．已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=︒︒37cos 237sin t y t x (t 为参数)，则直线l 的倾斜角为( ) A ．127° B ．37° C ．53° D ．143° 2．极坐标方程ρ＝2cos θ和参数方程⎩⎨⎧+==θθsin 1cos t y t x (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、直线D ．圆、圆（），则若=∆-∆+=→∆xx f x x f x f x )()2(lim2)(.30000'A. 2B. 4C. 1D. 84．” m ＞n ＞0”是”方程mx 2_ny 2=1表示焦点在X 轴上的双曲线”的（） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5. 直线6πθ=和直线1)6cos(=-απρ的位置关系( )A. 相交但不垂直B. 平行C. 垂直D. 重合 6．已知p ：x 2－2x <0，那么命题p 的一个必要不充分条件是( ) A ．20<<x B ．11<<-x C.12<x <23 D.20<≤x 7. 极坐标方程ρ=2cos(θ+4π)的图形是( )(A) (B) (C) (D)8.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：其中假命题的是（）为等边三角形使得存在三个点恒成立对任意，任意一个非零有理数是奇函数函数ABC x f x C x f x B x f x A R x x f T x f T x f f f ∆∈=+=))(,()),(,()),(,().4(),()().3()().2(1))1(().1(332211A. （1）（3）B. （2）C. （2）（4）D. （2）（3）9. 在极坐标系中,圆θρcos 4=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）2cos )(0.=∈=θρρθ和R A 2cos )(2.=∈=θρρπθ和R B4cos )(2.=∈=θρρπθ和R C 1cos )(0.=∈=θρρθ和R D10．已知经过椭圆1 ＝＋522y x 的焦点且与其对称轴成60º的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB|＝( )．A ．525或 B ．5C ．45415或+D ．415310+或的取值范围是（）处的切线的倾斜角，则为曲线在点上，在曲线点ααP e y P x 134.11+=⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,65.A ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,32.B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0.πC ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0.πD的最小值为（），则，双曲线的离心率为，若椭圆的离心率为的垂直平分线过线段且是它们的一个公共点，焦点，是椭圆与双曲线的公共已知21212121213,,.12e e e e F PF PF PF P F F +> 36.+A3.B 6.C 326.+D第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分。

2019-2020学年南昌八中高二下学期期中数学试卷(理科)(含答案解析)

2019-2020学年南昌八中高二下学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.在四棱锥E—ABCD中，底面ABCD为梯形，AB//CD，AB=2CD，M为AE的中点，设E—ABCD的体积为V，那么三棱锥M—EBC的体积为()A.B.C.D.2.正三棱锥P−ABC中，若PA=6，∠APB=40°，点E、F分别在侧棱PB、PC上运动，则△AEF的周长的最小值为()A. 36sin20°B. 6√2C. 12D. 6√33.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下(如图1)，检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中(如图2)，检查OM=ON=O′M′=O′N′；项目③：打开过程中(如图2)，检查OK=OL=O′K′=O′L′；项目④：打开后(如图3)，检查∠1=∠2=∠3=∠4=90°；项目⑤：打开后(如图3)，检查AB=A′B′=C′D′=CD．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”()A. ①②③B. ②③④C. ②④⑤D. ③④⑤4.、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四命题：①若，则;②若，则;③若，则;④若，则．其中真命题的序号是()A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④5.点P为正四面体ABCD的棱BC上任意一点，则直线AP与直线DC所成角的范围是()A. [π6,π2] B. [π4,π3] C. [π3,π2] D. [π6,π4]6.若P为曲线y=lnx上一动点，Q为直线y=x+1上一动点，则|PQ|min=()A. 0B. √22C. √2D. 27.已知两个平面垂直，下列命题中：(1)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；(2)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；(3)一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；(4)过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数有()A. 1B. 2C. 3D. 48.已知a、b是异面直线，P是空间一定点，下列命题中正确的个数为()①过P点总可以作一条直线与a、b都垂直②过P点总可以作一条直线与a、b都垂直相交③过P点总可以作一条直线与a、b之一垂直与另一条平行④过P点总可以作一个平面与a、b同时垂直⑤过P点总可以作一个平面与a、b之一垂直与另一条平行．A. 0B. 1C. 2D. 39.如图，已知圆柱体底面圆的半径为2cm，高为2cm，AB，CD分别是两π底面的直径，AD，BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是()cm.(结果保留根式)A. 2√33B. 2√3C. 2√2D. 410.A. 6πB. 8πC. 9πD. 16π11.正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心)S−ABCD的底面边长为4，高为4，点E、F、G分别为SD，CD，BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG//平面AEF，动点P的轨迹的周长为()A. √5+√6B. 2√5+2√6C. √5+√62D. 2√5+√612.三棱锥P−ABC的主视图和俯视图为如图所示的两个全等的等腰三角形，其中底边长为4，腰长为3，则该三棱锥左视图的面积为()A. 52B. 2√5C. √5D. 5二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在60°角的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内，且都垂直于AB，若AB=5，AC=3，BD=8，则CD=______．14.设m，n，l为空间不重合的直线，为空间不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是．(1)m//l，n//l，则m//n；(2)m l，n l，则m//n；(3)，则；(4)，则；15.如图在三棱锥中，，，，，，，则该棱锥外接球的体积为______________16.正方体ABCD−A1B1C1D1中，长度为定值的线段EF在线段B1D1上滑动，现有五个命题如下：①AC⊥BE；②EF//平面A1BD；③直线AE与BF所成角为定值；④直线AE与平面BD1所成角为定值；⑤三棱锥A−BEF的体积为定值．其中正确命题序号为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设两个向量、，满足，，、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，PD=BD=√3AD，且PD⊥底面ABCD．(1)证明：BC⊥平面PBD；(2)若Q为PC的中点，求三棱锥A−PBQ的体积．19.如图，已知三棱锥A−BCD中，点M在BD上，∠BAD=∠BDC=π，BM=MD=DC，且ΔACD2为正三角形．(1)证明：CM⊥AD；(2)求直线CM与平面ACD所成角的正弦值．20.求由抛物线y=x2−1与直线y=x+1所围成的平面图形的面积．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．(1)求证：平面PAB//平面EFG；(2)在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明；(3)证明平面EFG⊥平面PAD，并求点D到平面EFG的距离．22.如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠BAC=30°，AB=4，E，F分别为AC，AB的中点．△PEF是由△AEF绕直线EF旋转得到，连结AP，BP，CP．(1)证明：AP⊥平面BPC；(2)若PC与平面ABC所成的角为60°，求二面角P−CF−B的余弦值．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了三棱锥的几何性质及其体积公式的应用。

【精准解析】江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题

2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期末考试试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项符合题意.） 1. 在复平面内，复数201812z i i=++对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】因为201812z i i =++()()22231122555i i i i i i --=+=-=--+- ，复数201812z i i=++对应的点的坐标为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，故复数201812z i i=++对应的点位于第三象限,故选C. 2. {},,a b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（）A. {},,a a b a b +-B. {},,b a b a b +-C. {},,c a b a b +-D. {},,2a b a b a b +-+【答案】C 【解析】【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A,B,D 三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C 选项中的向量不共面【详解】解：对于A ，因为()()2a b a b a ++-=，所以,,a a b a b +-共面，不能构成基底，排除A ，对于B ，因为)()2a b a b b +--=(，所以,,b a b a b +-共面，不能构成基底，排除B ，对于D ，312()()22a b a b a b +=+--，所以,,2a b a b a b +-+共面，不能构成基底，排除D ，对于C ，若,,c a b a b +-共面，则()()()()c a b a b a b λμλμλμ=++-=++-，则,,a b c 共面，与{},,a b c 为空间向量的一组基底相矛盾，故,,c a b a b +-可以构成空间向量的一组基底，故选：C【点睛】此题考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决此题的关键，属于基础题.3. 设,x y R ∈，向量()()(),1,1,b 1,,1,c 2,4,2,a x y ===-且,//c a c b ⊥，则b a +=（）A. C. 3D. 4【答案】D 【解析】(),241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，,(),214+20,1a b a b x x ⊥∴⋅=+⋅-=∴=,()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，,(223a b ∴+=+=,故选C.4. 给出下列命题，其中正确的命题为（）A. 若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面；B. 直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直；C. 直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行；D. 异面直线a ，b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直. 【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A ：直线共面不具有传递性，故A 错误；B ：根据线面垂直的判定可知B 错误；C ：若直线a α⊂，满足直线a 与平面α不平行，但平面内存在无数条直线与已知直线平行，故C 错误；D ：假设存在过a 的平面与b 垂直，则可知b a ⊥，∴假设不成立，故D 正确，故选D ．考点：空间中点、线、面的位置关系及其判定．5. 如图，正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是1BB 的中点，则AD 与平面11AAC C 所成角的正弦值等于（）A.22B.32C.64D.104【答案】C 【解析】【分析】记P Q 、分别为直线11AC A C 、的中点，取PQ 中点E ，连结AE ，DE ，只需证DE ⊥平面11ACC A ，即可得DAE ∠是A D 与平面11AAC C 所成的角，进而可求出结果.【详解】记P Q 、分别为直线11AC A C 、的中点，取PQ 中点E ，连结AE ，DE ，所以在正三棱柱111ABC A B C -中，1B Q ⊥平面11AAC C ；又D 是1BB 的中点，所以1DE B Q ,所以DE ⊥平面11ACC A ，故DAE ∠即是A D 与平面11AAC C 所成的角；设124AA AB ==，则22AD 2222=+=，221DE 213B Q ==-=，所以DE 6sin DAE AD 4∠==. 故选C.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，只需在几何体中作出线面角，即可求解，属于基础题型.6. 如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，且2OM MA =，BN NC =，则MN =（）A .221332a b c ++ B.111222a b c +- C. 211322a b c -++ D.121232a b c -+ 【答案】C 【解析】【分析】根据MN ON OM=-，再由2OM MA=，BN NC=，得到()()2211,3322a OM OA ON OB OC cb =+===+，求解.【详解】因为MN ON OM =-，又因为()()2211,3322a OM OA ON OB OC c b =+===+，所以211322MN a b c =-++.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7. 如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A.12B.2C.13D.16【答案】C【解析】【分析】根据题意，以D为坐标原点，直线1DA DC DD，，分别为x y z，，轴，建立空间直角坐标系，平面外一点到平面的距离可以用平面上任意一点与该点的连线在平面法向量上的投影表示，而法向量垂直于平面上所有向量，由AC，1AD即可求得平面1ACD的法向量n，而1D E在n 上的投影即为点E到面1ACD的距离，即可求得结果【详解】以D为坐标原点，直线1DA DC DD，，分别为x y z，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1101A，，，()1001D，，,()100A，，，()020C，，E为AB的中点，则()110E，，()1111D E∴=-，，，()120AC=-，，，()1101AD=-，，设平面1ACD的法向量为()n a b c=，，，则1n ACn AD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20a ba c-+=⎧⎨-+=⎩可得2a b a c =⎧⎨=⎩可取()212n =，， ∴点E 到面1ACD 的距离为1212133D E n d n⋅+-=== 故选C【点睛】本题是一道关于点到平面距离的题目，解题的关键是掌握求点到面距离的方法，建立空间直角坐标系，结合法向量求出结果，属于中档题。

2019-2020学年高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析

2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二文科数学期中考试试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数在复平面内表示的点在 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【★答案★】B【解析】【详解】试题分析：根据题意，由于复数21i i i +=-+,在复平面内对应点的坐标为(1,1)-，所以对应点在第二象限.故选：B.考点：复数的运算点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题．2.如图，一个水平放置的面积是22+的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，其中''//''ADBC ，则等腰梯形面积为（）A. 1222+B. 212+C. 12+D. 22+【★答案★】A【解析】【分析】根据斜二测画法的规则得出原水平放置的平面图，利用梯形的面积公式表示出直观图的面积：()1222A B C D S A D B C A B ''''''''''=⋅+⋅，即可求解. 【详解】根据斜二测画法的规则得原水平放置的平面图：上底为A D ''，下底为B C ''，高为2A B ''的直角梯形，所以水平放置的平面图形的面积为：()12222S A D B C A B ''''''=⋅+⋅=+ 则()1222A B C D S A D B C A B ''''''''''=⋅+⋅ ()()2121222242422A D B C A B ''''''=⨯⋅+⋅=+=+. 故选：A【点睛】本题考查了斜二测画法的规则，考查了基本运算能力，属于基础题3.若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．4.如图所示，,,,,,l A B AB l D C C l αβααβ=∈∈=∈∉，则平面ABC 与平面β的交线是（）A. 直线ACB. 直线ABC. 直线CDD. 直线BC【★答案★】C【解析】由题意知，D l ∈，l β⊂，∴D β∈，又∵D AB ∈，∴D ∈平面ABC ，即D 在平面ABC 与平面β的交线上，又C ∈平面ABC ，C β∈，∴点C 在平面ABC 与平面β的交线上，∴平面ABC平面CD β=，故选C ．点睛：本题考查空间想象力及逻辑推理能力，属于中档题，考查了确定点在交线上，应用了公理2，根据公理，两个平面的公共点必在同一条直线上，该直线是两个相交平面的唯一公共直线，即交线.5.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A. 若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥B. 若αβ⊥，m α⊄，m β⊥，则//m αC. 若m β⊥，m α⊂，则αβ⊥D. 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥【★答案★】D【解析】选项A 中，由于,//m m n α⊥，故n α⊥，又//n β，故αβ⊥，A 正确；选项B 中，由,m αββ⊥⊥得//m α或m α⊂，又m α⊄，故只有//m α，故B 正确．选项C 中，由面面垂直的判定定理可得C 正确．选项D 中，由题意得,m n 的关系可能平行、相交、垂直．故D 不正确．综上可知选项D 不正确．选D ．6.正方体1111ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，则异面直线1B M 与CN 所成的角为（）A. 30B. 45︒C. 60︒D. 90︒【★答案★】D【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义，把直线CN 平移和直线B 1M 相交，找到异面直线B 1M 与CN 所成的角，解三角形即可求得结果．在平移直线时经常用到遇到中点找中点的方法．【详解】解：取AA 1的中点E ，连接EN ，BE 角B 1M 于点O ，则EN ∥BC ，且EN ＝BC∴四边形BCNE 是平行四边形∴BE ∥CN∴∠BOM 就是异面直线B 1M 与CN 所成的角，而Rt△BB 1M ≌Rt△ABE∴∠ABE ＝∠BB 1M ，∠BMB 1＝∠AEB ，∴∠BOM ＝90°．故选D ．【点睛】此题是个基础题．考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法．7.若函数21()ln 2f x x x bx =+-存在单调递减区间,则实数b 的取值范围为( ) A. [2,)+∞B. (2,)+∞C. (,2)-∞D. (,2]-∞【★答案★】B【解析】【分析】求出()f x 的导数2'1()0x bx f x x -+=<，由其存在单调递减区间可得b 的取值范围. 【详解】解：由21()ln 2f x x x bx =+-，可得2'1()(0)x bx f x x x-+=>，由题意可得存在0x ＞，使得2'1()0x bx f x x -+=<，即存在0x >，使得210x bx -+<，等价于1b x x>+，由对勾函数性质易得2b >，故选B. 【点睛】本题主要考查利用导数及利用函数的单调性求参数，属于中档题.8.正方体内切球与外接球体积之比为 ( )A. 1∶3B. 1∶3C. 1∶33D. 1∶9 【★答案★】C【解析】设正方体的棱长为a ，则它的内切球的半径为12a ，它的外接球的半径为32a ，故所求体积之比为1︰33.故★答案★为C ．点睛：几何体的内切球和外接球问题是高考的热点也是难点；内切球常见的解决方法是等体积法求球的半径；外接球也是找球的半径，常见方法有，提圆心，建系，直角三角形共斜边，如果三棱锥的侧棱长都相等则，顶点在底面的投影一定落在底面的外心上，而球心就在三棱锥的高线上．9.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A. 23B. 1C. 43D. 83【★答案★】C【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积114222323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选C .10.双曲线C 的左、右焦点分别为12,F F ，且2F 恰好为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若212AF F F =，则双曲线C 的离心率为（）A. 12+B. 13+C. 22+D. 23+【★答案★】A 【解析】【分析】由已知条件得双曲线、抛物线焦点，求出点A 坐标，再由双曲线定义求得a 的值，继而求出双曲线的离心率【详解】2F 为抛物线24y x =的焦点， ()210F ∴，，()110F -，2122AF F F ==，故A 点坐标为()12，或()12-， ()22111222AF ⎡⎤=--+=⎣⎦，则2222a =-解得21a =-，又1c =12121c e a===+-,故选A【点睛】本题主要考查了求双曲线离心率问题，运用双曲线定义结合已知条件即可得到结果，较为简单11.函数sin ln ||=+y x x 在区间[3,3]-的图像大致为（）．A. B.C. D.【★答案★】A【解析】分析：判断()f x 的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算()1f 的值，结合选项即可得出★答案★. 详解：设()sin ln f x x x =+，当0x > 时，()()1sin ln cos f x x x f x x x=+⇒=+'，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,1)上为单调递增函数，排除B ；由当1x =时，()1sin10f =>，排除D ；因为()()()sin()ln sin ln f x x x f x x x f x -=-+-==-+≠±，所以函数()f x 为非奇非偶函数，排除C ，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12.已知正三棱柱111ABC A B C -（底面是正三角形且侧棱垂直底面）底面边长为1且侧棱长为4,E 为1AA 中点,从E 拉一条绳子绕过侧棱1CC 到达B 点的最短绳长为（） A. 5 B. 22 C. 3 D. 13【★答案★】B【解析】【分析】把正三棱拄111ABC A B C -展开为平面图，得到矩形11ABB A ,则从E 拉一条绳子绕过侧棱1CC 到达B 的最短绳长为BE ，由勾股定理可得结果.【详解】如图，把正三棱柱111ABC A B C -展开成平面图,得到矩形11ABB A ，其中C 是AB 中点,1C 是11A B 中点，连接EB ，则从E 拉一条绳子绕过侧棱1CC 到达B 点的最短绳长为BE ，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，可得2AB =，侧棱长为4 , E 为1AA 的中点，可得2AE =∴ 从E 拉一条绳子绕过侧棱1CC 到达B 点的最短绳长为224422BE AB AE =+=+=，故选B. 【点睛】本题通过最短绳长的求法,主要考查正三棱柱结构特征、正三棱柱的展开图等基础知识，意在考查空间想象能力、考查运算求解能力，以及转化与划归思想的应用,属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知i 是虚数单位，若复数z 满足20191zi i =+，则z = ________.【★答案★】2【解析】【分析】先计算复数，再计算复数的模.【详解】20191()1122zi i z i i z i z z =+⇒⨯-=+⇒=-+⇒=∴=故★答案★为2【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.14.平面//α平面β，点,A Cα∈，点,B Dβ∈，直线AB，CD相交于点P，已知8AP=，9BP=，16CP，则CD=___________．【★答案★】34或2.【解析】【分析】根据点P的位置分类讨论，利用平面几何知识即可求出．【详解】因为直线AB，CD相交于点P，所以,,,,A B C D P共面．根据面面平行的性质定理可知，//AC BD．①若点P在平面,αβ的外部，则AP CPAB CD=，即8161CD=，解得2CD=；②若点P在平面,αβ之间，则AP CPBP BP=，即8169BP=，解得18BP=，∴34CD CP BP=+=．故★答案★为： 34或2．【点睛】本题主要考查面面平行的性质定理，以及平面几何知识的应用，意在考查学生分类讨论思想的应用和数学运算能力，属于基础题．15.设抛物线22y x=的焦点为F，过点(3,0)M的直线与抛物线相交于,A B两点，与抛物线的准线相交于点C，||2BF=，则BCF∆与ACF∆的面积之比BCFACFSS∆∆=__________．【★答案★】45 【解析】设F 到直线AB 的距离为d ，则1·21·2BCFACF BC d BC BB SS ACAA AC d '=='=设AB ：(3)y k x =-代入22y x =中易得123x x =，从而可得32,,2A B x x ==54,225BCFACF S AA BB S ∴==∴''=. 16.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，H 为EF 的中点，沿AE ，EF ，FA 将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，构成四面体，则在四面体O AEF -中，下列说法不正确的序号是___________．①AO ⊥平面EOF ； ②AH ⊥平面EOF ；③AO EF ⊥；④AF OE ⊥；⑤平面AOE ⊥平面AOF ．【★答案★】②【解析】∵OA⊥OE，OA⊥OF，OE∩OF＝O ，∴OA⊥平面EOF ，故①正确，②错误；∵EF ⊂平面EOF ，∴AO⊥EF，故③正确；同理可得：OE⊥平面AOF ，∴OE⊥AF，故④正确；又OE ⊂平面AOE ，∴平面AOE⊥平面AOF ，故⑤正确；故★答案★为②．点睛：(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知复数212z t t ti =-++，()22z xy x y i =+-，其中t ，x ，y R ∈，且12z z =.（1）求点()P x y ，的轨迹方程；（2）若3m x y =+，求m 的取值范围.【★答案★】（1）22(1)(1)2x y -++=（2）225225.⎡⎤-+⎣⎦，【解析】【分析】（1）由复数相等的定义得出,,t x y 之间的关系，消去t 可得轨迹方程；（2）由方程知轨迹是圆，因此由圆与直线3m x y =+有公共点可得m 的取值范围．【详解】解：（1）根据复数相等的充要条件得222t t xy t x y ⎧-+=⎨=-⎩①②，将②代入①，得()2()22x y x y xy --+-=，整理得22(1)(1)2x y -++=，因此，所求点P 的轨迹方程为22(1)(1)2x y -++=.（2）由（1），知点P 的轨迹是一个圆，其圆心为()11-，，半径为2，当直线30x y m +-=与圆有公共点时，31210m --≤，即225m -≤，得225225m -≤≤+，所以所求m 的取值范围为225225.⎡⎤-+⎣⎦，【点睛】本题考查了复数相等的定义，考查直线与圆的位置关系，题中求参数取值范围关键是转化，转化为直线与圆有公共点问题，从而可利用直线与圆的位置关系的几何条件求解．也可以通过求得圆心到直线的距离求解，18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =，点E ，F ，G 分别为PC ，PA ，BC 的中点.（1）求证：PB EF ⊥；（2）求证：//FG 平面PCD ；【★答案★】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）连接,AC BD ，证明AC ⊥平面PBD ，得AC PB ⊥，再由中位线EF 得平行线后得证题中结论；（2）取AD 中点H ，连接,HF HG ，可证明平面//FHG 平面PCD ，从而得证线面平行．【详解】（1）连接,AC BD ，ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥，PD BD D ⋂=，所以AC ⊥平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以AC PB ⊥，因为点E ，F 分别为PC ，PA 的中点.所以//EF AC ，所以EF PB ⊥；（2）取AD 中点H ，连接,HF HG ，因为点F ，G 分别为PA ，BC 的中点，所以//FH PD ，//HG CD ，又HF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以HF ⊂平面PCD ，同理//HG 平面PCD ，而HF HG H =，,HF HG ⊂平面FHG ，所以平面//FHG 平面PCD ，又FG ⊂平面FHG ，所以//FG 平面PCD ．【点睛】本题考查用线面垂直证明线线垂直，用面面平行证明线面平行，掌握线面垂直的面面平行的判定定理是解题关键．19.如图所示的几何体中，ABC-A 1B 1C 1为三棱柱，且AA 1⊥平面ABC ， AA 1=AC ，四边形ABCD 为平行四边形，AD=2CD=4，∠ADC=60°.（Ⅰ）求证：111AC A B CD ⊥平面；（Ⅱ）求三棱锥11C ACD -的体积．【★答案★】（1）见解析；（2）4 【解析】【分析】（1）推导出AC 1⊥A 1C ，AC ⊥AB ，AA 1⊥AB ，从而AB ⊥平面ACC 1A 1，进而A 1B 1⊥AC 1，由此能证明AC 1⊥平面A 1B 1CD ．（2）由CD ＝2，得AD ＝4，AC ＝AA 1164=-=23，三棱谁C 1﹣A 1CD 的体积：1111C A CD D A C C V V --=，由此能求出结果．【详解】(1)∵111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，1AA AC =，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=．11AAC C ∴是正方形，11AC AC ∴⊥，设CD a =，则2AD a =，22422cos603AC a a a a a =+-⨯⨯⨯=，222CD AC AD ∴+=，AC DC ∴⊥，AC AB ∴⊥，1AA AB ⊥，1AC AA A ⋂=，AB ∴⊥平面11ACC A ，111A B AC ∴⊥，1111A B AC A ⋂=，1AC ∴⊥平面11A B CD ．解：(2)∵2CD =，4AD ∴=，116423AC AA ==-=， ∴三棱谁11C A CD -的体积：11111113C A CD D A C C A C C V V CD S --==⨯⨯，1122323432=⨯⨯⨯⨯=．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆()222210x y a b a b +=＞＞的短轴长为4，离心率为32，斜率不为0的直线l 与椭圆恒交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点M ．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 是否过定点，如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由．【★答案★】（1）221164x y +=；（2）直线过定点1205⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【解析】【分析】（1）由题可知2b =，32c a =，再结合222a b c =+，即可求出,a b 的值，从而得出椭圆的标准方程；（2）因为直线l 斜率不为0，所以设直线l ：x ＝ty +m ，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系得2216(416)0t m ∆=-+>，12224tm y y t -+=+，2122164m y y t -=+，再根据以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点M ，可得MA MB ⋅=0，从而求出m ，即可得出定点坐标．【详解】（1）由题2b =，342c a a =⇒=，所以椭圆的标准方程为221164x y +=．（2）由题设直线l ：x ty m =+，1122(,),(,),(4,0)A x y B x y M ，联立直线方程和椭圆方程221164x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(4)2160t y tmy m +++-=，∴2216(416)0t m ∆=-+>，12224tm y y t -+=+，2122164m y y t -=+．因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点M ，所以()()121244MA MB x x y y ⋅=--+()()()22121214(4)0t y y t m y y m =++-++-=，整理得2125324805m m m -+=⇒=或4，又当4m =时，直线l 过椭圆右定点，此时直线MA 与直线MB 不可能垂直， ∴125m =， ∴直线过定点1205⎛⎫⎪⎝⎭，．【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，以及直线和椭圆的位置关系，是中档题．21.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为菱形,且60ABC ∠=︒,E 为CD 的中点.(1)求证:平面PAB ⊥平面PAE ;(2)棱PB 上是否存在点F ,使得//CF 平面PAE ?说明理由. 【★答案★】(1)见解析(2)存在点F PB 中点,见解析【解析】【分析】(1)由 60ABC ∠=︒及菱形的性质可得AE AB ⊥，再由PA ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,所以AE PA ⊥，可得AE ⊥平面PAB ，可得证明；(2) 分别取PB ,PA 的中点F ,G ,连接CF FG EG ，，,易得//FG AB 且12FG AB =，//CE AB 且12CE AB =，四边形CEGF 为平行四边形,所以//CF EG 可得//CF 平面PAE . 【详解】解:(1)证明:因为底面ABCD 是菱形且60ABC ∠=︒,所以ACD ∆为正三角形, 因为E 为CD 的中点,所以AE CD ⊥, 因为//AB CD ,所以AE AB ⊥;因为PA ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD , 所以AE PA ⊥; 因为PAAB A =.所以AE ⊥平面PAB ,AE ⊂平面PAE ,所以平面PAB ⊥平面PAE .(2)存在点F 为PB 中点时,满足//CF 平面PAE ;理由如下:分别取PB ,PA 的中点F ,G ,连接CF FG EG ，，,在三角形PAB 中,//FG AB 且12FG AB =; 在菱形ABCD 中,E 为CD 中点,所以//CE AB 且12CE AB =, 所以//CE FG 且CE FG =,即四边形CEGF 为平行四边形, 所以//CF EG ;又CF ⊄平面PAE ,EG ⊂平面PAE ,所以//CF 平面PAE .【点睛】本题主要考查点、直线、平面的位置关系，灵活运用各定理证明是解题的关键.22.已知函数()()22exa x f x a R -=∈，其中e 是自然对数的底数. （1）当0a =时，求函数()f x 的极值；（2）若[)1,x ∀∈+∞，不等式()1f x >-恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】（1）()0f x =极大值，()24f x e =-极小值（2）1e ,2-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）把0a =代入解析式中，求出导函数，令导函数等于0，解出x 值，列表表示()f x '的正负以及函数()f x 的单调性，从而可得函数()f x 的极值；（2）把[)1,x ∀∈+∞，不等式()1f x >-恒成立转化为22e x a x >-对1x ∀≥恒成立，令()2e x g x x =-，利用导数求出函数()g x 在[)1,+∞上的最大值，即可得求出实数a 的取值范围．【详解】（1）当0a =时，()2x x f x e-=，定义域为(),-∞+∞；求导得：()()()222222x xx xx x x x e x e x x f x e e e --⋅+⋅-'===，方程()0f x '=的根为0x =或2x =，列表得：x0x <0x =02x << 2x =2x >()f x '+-+()f x极大值极小值由上表可以()()00f x f ==极大值，()()242f x f e ==-极小值. （2）()222112e exxa x f x a x ->-⇔>-⇔>-，由条件知，22e x a x >-对1x ∀≥恒成立. 令()2e xg x x =-，()()2e xh x g x x '==-，()2e x h x '∴=-.当[)1,x ∈+∞时，()2e 2e 0xh x '=-≤-<，()()2e x h x g x x '∴==-在[)1,+∞上单调递减， ()2e 2e 0x h x x ∴=-≤-<，即()0g x '<， ()2e x g x x ∴=-在[)1,+∞上单调递减， ()()2e 11e x g x x g ∴=-≤=-，则若()1f x >-在[)1,+∞上恒成立，则需()max 21e a g x >=-，1e2a -∴>，即实数a 的取值范围是1e ,2-⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数极值的求法以及函数恒成立的问题，解题的关键是利用导数研究原函数的单调性以及最值，属于中档题．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

江西省南昌市八一2019-2020学年高二下学期期中考试物理试题 Word版含解析

2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二物理期中考试试卷一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1.如图所示为两分子势能与分子间距离之间的关系图象，则下列说法中正确的是A. 当两分子间距离r＝r1时，分子势能为零，分子力也为零B. 当两分子间距离r＝r1时，分子势能最小，分子力表现为引力C. 当两分子间距离r＞r2时，随着r的增大，分子力做负功D. 当两分子间距离r＞r2时，随着r的增大，分子势能减小【★答案★】C【解析】【详解】A.当r＝r2时，分子势能最小，此时分子力为0，故A错误；B.当两分子间距离r＝r1时，分子势能最小，此时分子之间表现为斥力，B错误；CD.由图中可知，当两分子间距离r＞r2时，随着r的增大，分子势能增大，故分子力做负功，C正确，D错误；故选C。

2.下列说法正确的（）①浸润液体会在细管里上升②附着层液体分子受到固体的引力大于液体内部对附着层分子引力时发生浸润现象③在建筑房屋时，砌砖的地基上要铺上一层油毡或涂过沥青的厚纸，这是为了增加毛细现象使地下水容易上升④农田里如果要保持地下水分，就要把地面的土壤锄松，可以减小毛细现象的发生A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④【★答案★】B【解析】【详解】浸润液体会在细管里上升；附着层液体分子受到固体的引力大于液体内部对附着层分子引力时发生浸润现象；在建筑房屋时，砌砖的地基上要铺上一层油毡或涂过沥青的厚纸，这是为了阻断毛细管形成，减少毛细现象使地下水不易上升；农田里如果要保持地下水分，就要把地面的土壤锄松，可以减小毛细现象的发生，故③错误，①②④正确。

故选B 。

3.下列说法中正确的有( )A. 单晶体的某些物理性质呈现各向异性，是因为组成它们的原子(分子、离子)在空间上的排列是杂乱无章的B. 悬浮在水中的花粉颗粒的布朗运动反映了花粉分子运动的无规则性C. 当两薄玻璃板间夹有一层水膜时，在垂直于玻璃板的方向很难将玻璃板拉开，这是由于水膜具有表面张力D. 在完全失重的情况下，熔化的金属能够收缩成球形【★答案★】D【解析】【详解】单晶体的某些物理性质呈现各向异性，是因为组成它们的原子（分子、离子）在空间上的排列是有序的，选项A 错误；悬浮在水中的花粉颗粒的布朗运动反映了水分子运动的无规则性，选项B 错误；玻璃及水分子之间存在着引力，故我们很将玻璃板拉开，这不是因水膜的表面张力，选项C 错误；在完全失重的情况下，由于表面张力的作用，熔化的金属能够收缩成球形，选项D 正确；故选D.4.一只轮胎容积为V=8L ，已装有p 1=1 atm 的空气．现用打气筒给它打气，已知打气筒的容积为V 0=1L ，设打气过程中轮胎容积及气体温度维持不变，大气压强p 0=1 atm ，要使胎内气体压强达到p 2=2.5 atm ，应至少打多少次气？（）A. 8次B. 10次C. 12次D. 15次【★答案★】C【解析】【详解】设打气n 次，根据波意尔定理：''pV p V =即：1(81) 2.58atm n atm ⨯+⨯=⨯，解得：12n =，ABD 错误C 正确 5.某带活塞的汽缸里装有一定质量的理想气体，气体经历如图所示的A B →，B C →、C D →，D A →四个变化过程，已知状态A 的温度为7C ︒，则下列说法正确的是( )A. B 态的温度B 287K T =B. A B →过程气体对外做功100JC. C D →过程气体对外做功140JD. 从A 态又回到A 态的过程气体吸热【★答案★】D【解析】【详解】AB. A B →是等压变化，V C T= ，所以B 态的温度560K B T = ，气体对外做功200J W p V =⋅∆= ，AB 错误．C. C D →过程气体体积被压缩，外界对气体做功，C 错误．D. 图像面积代表做功，所以A B →对外做功大于C D →外界对气体做功，而整个过程内能不变，根据热力学第一定律，从A 态又回到A 态的过程气体吸热，D 正确．6.如图所示，一定质量的理想气体从状态A 依次经过状态B 、C 和D 后再回到状态A .其中，A →B 和C →D 为等温过程，B →C 为等压过程，D →A 为等容过程．该循环过程中，下列说法正确的是( )A. A →B 过程中，气体吸收热量B. B →C 过程中，气体分子的平均动能增大C. C →D 过程中，单位时间内碰撞单位面积器壁的分子数增多D. D →A 过程中，气体分子的速率分布曲线不发生变化【★答案★】B【解析】【详解】因为A→B 为等温过程，压强变大，体积变小，故外界对气体做功，根据热力学第一定律有△U=W+Q ，温度不变，则内能不变，故气体一定放出热量，选项A 错误；因为B→C 为等压过程，由于体积增大，由理想气体状态方程pV/T=C 可知，气体温度升高，内能增加，故气体分子的平均动能增大，B 正确；C→D 为等温过程，压强变小，体积增大，因为温度不变，故气体分子的平均动能不变，压强变小说明单位时间内碰撞单位面积器壁的分子数减少，C 错误；D→A 为等容过程，体积不变，压强变小，由pV/T=C 可知，温度降低，气体分子的平均动能减小，故气体分子的速率分布曲线会发生变化，D 错误；故选B.7.下列说法不正确的是（）A. 饱和气压与热力学温度成正比B. 一定量的理想气体在等温膨胀过程中吸收的热量等于对外做的功，并不违反热力学第二定律C. 当分子间的引力与斥力平衡时，分子力一定为零，分子势能一定最小D. 在任何自然过程中，一个孤立系统中的总熵不会减少【★答案★】A【解析】【分析】正确【详解】A ．饱和汽的气压随温度而变。

2019-2020学年南昌市八一中学高二下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年南昌市八一中学高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则△MNQ面积的最小值为()A. √7B. 3C. 2√7D. 62.下列四个命题中错误的是()A. 若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面B. 若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C. 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D. 两条异面直线所成的角不可能为钝角3.如图，四边形中，，，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是A. B.C. 与平面所成的角为D. 四面体的体积为4.给出下列四个命题：①∃x0∈N∗，使得sinπx02=1；②a≤0是ax2+ax−1<0恒成立的充分条件；③函数f(x)=lnxx 在点(e,1e)处不存在切线；④函数f(x)=9lnx−x2存在零点．其中正确命题个数是()A. 1B. 2C. 3D. 45.某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道，地下通道设计三视图中的主(正)视力(其中上部分曲线近似为抛物)和侧(左)视图如图(单位：m)，则该工程需挖掘的总土方数为()A. 560m3B. 540m3C. 520m3D. 500m36.如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD，将平行四边形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，则直线AC与BD所成角余弦值为()A. 2√23B. √63C. √33D. 137.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为棱BB1、CC1的中点，P为棱BC上的一点，且BP=m(0<m<1)，则点P到平面AEF的距离为()A. √22B. √55C. √2m2D. √5m58.中国的计量单位可以追溯到4000多年前的氏族社会末期，公元前221年，秦王统一中国后，颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器.下图是古代的一种度量工具“斗”(无盖，不计量厚度)的三视图(其正视图和侧视图为等腰梯形)，则此“斗”的体积为(单位：立方厘米)()A. 2000B. 2800C. 3000D. 60009.在空间，下列说法正确的是()A. 两组对边相等的四边形是平行四边形B. 四边相等的四边形是菱形C. 平行于同一直线的两条直线平行D. 三点确定一个平面10.一个球的体积为36π，则这个球的表面积为()A. 12πB. 36πC. 108πD. 4π11.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，侧棱B1B长为3，底面是边长为2的菱形，∠A1AB=120°，∠A1AD=60°，点E在棱B1B上，则AE+C1E的最小值为()A. √21B. 5C. 2√5D. 712.如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是()A. √2π3B. 3√2π4C. 2√2π3D. √2π2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P//平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是______．14.一水平放置的平面图形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形OABC的面积为______ ．15.如图所示，有一圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以72πcm3/s的速度向该容器注水，则水深10cm时水面上升的速度为______ cm/s．16.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=2，G为BC中点，E，F分别在线段AB，CD上运动，且EF//AD，沿EF将△GEF折起，得到三棱锥G−EFD，当三棱锥G−EFD体积最大时，直线DG 与平面DEF所成角的余弦值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图所示，在棱长为2cm的正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作出与截面PBC1平行的截面，简单证明截面形状，并求该截面的面积．18.如图，在四棱锥A−DBCE中，AD=BD=AE=CE=√5，BC=4，DE=2，DE//BC，O，H分别为DE，AB的中点，AO⊥CE．(1)求证：DH//平面ACE；(2)求直线DH与底面DBCE所成角的大小19.如图①，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起(如图②)，使得平面ABD⊥平面ABCF．(1)判断AD是否与BD垂直，并说明理由．(2)图②中，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，求AK的取值范围．20.如图，在正方体ABCD−EFGH中，(Ⅰ)求证：平面BEG//平面ACH；(Ⅱ)求证：DF⊥平面BEG．21.如图，四边形ABCD为梯形，AB//CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2,DA=√3．(1)线段BC上是否存在一点E，使平面PBC⊥平面PDE？若存在，请给出BE的值，并进行证明；CE若不存在，请说明理由．(2)若PC=√3，线段PC上有一点F，且PC=3PF，求三棱锥A−FBD的体积．22.如图，在直三角形ABC−A1B1C1中，M为AB1的中点，△CMB1为等边三角形(1)证明：AC⊥平面BCC1B1(2)设二面角B−CA−M的大小为60°，AB1=8，求点C1到平面CMB1的距离．【答案与解析】1.答案：B解析：解：如图，以AC 中点O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，设M(0,−1,a)，N(√3,0，b)，Q(0,1，c)，不妨设N 为直角，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,b −a)，QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,b −c)， ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(b −a)(b −c)+2=0， S =12|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|QN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√4+(b −a)2⋅√4+(b −c)2 =12√16+4[(b −a)2+(b −c)2]+[(b −a)(b −c)]2 ≥12√16+16+4=3．故选：B ．由题意画出图形，以AC 中点O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，设M(0,−1,a)，N(√3,0，b)，Q(0,1，c)，不妨设N 为直角，可得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(b −a)(b −c)+2=0，写出三角形面积，再由基本不等式求最值．本题考查平面的基本性质及推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．2.答案：C解析：本题考查了命题的真假判断．解：A:过两条平行直线，有且只有一个平面，A 正确； B ：如果四点中存在三点共线，则四点共面，B 正确； C:两条直线没有公共点，可平行也可异面， C 错误； D ：两条异面直线所成的角不可能为钝角，D 正确．故选C ．3.答案：B解析：解析：考点：异面直线及其所成的角；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：根据题意，依次分析命题：对于A 可利用反证法说明真假，若A 成立可得BD ⊥A’D ，产生矛盾；对于C 由CA’与平面A’BD 所成的角为∠CA’D =45°知C 的真假；对于B △BA’D 为等腰Rt △，CD ⊥平面A’BD ，得BA’⊥平面A’CD ，根据线面垂直可知∠BA′C =90°，对于D 利用等体积法求出所求体积进行判定即可，综合可得答案．解答：解：若A 成立可得BD ⊥A’D ，产生矛盾，故A 不正确；由CA’与平面A’BD 所成的角为∠CA’D =45°知C 不正确；由题设知：△BA’D 为等腰Rt △，CD ⊥平面A’BD ，得BA’⊥平面A’CD ，于是B 正确； V A′−BCD =V C−A′BD =，D 不正确．其中正确的有1个故选B ．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，解题的关键是须对每一个进行逐一判定．4.答案：B解析：解：①∃x 0∈N ∗，x 0=1时，使得sinπx 02=1；正确；②ax 2+ax −1<0恒成立；可得当a =0成立，a <0时，必须a 2+4a <0，解得a ∈(−4,0)，所以a ∈(−4,0]，所以a ≤0是ax 2+ax −1<0恒成立的必要不充分条件；所以②不正确； ③f′(x)=1−lnx x 2，f′(e)=0，即切线的斜率为0，所以切线方程为：y =1e ，所以③不正确；④函数f(x)=9lnx −x 2在x >0时是连续函数，f(1)=−1<0.f(3)=9ln3−9>0，所以f(1)⋅f(3)<0，所以函数存在零点，所以④正确；故选：B ．利用特称命题判断①的正误；利用恒成立以及充要条件判断②；求出切线方程判断③；利用函数的零点判断定理判断④．本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查，中档题．5.答案：A解析：解：以顶部抛物线顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系，易得抛物线过点(3,−1)，其方程为y =−19x 2，那么正(主)视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积S 1=∫(3−3−19x 2+1)dx =2(−127x 3+x)|03=4，下部分矩形面积S 2=24，故挖掘的总土方数为V =(S 1+S 2)ℎ=28×20=560m 3．故选：A ．建立直角坐标系，求出抛物线的方程，求出正(主)视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积、下部分矩形面积，即可求出挖掘的总土方数．本题是对抛物线方程在实际生活中应用的考查，考查学生的计算能力，属于中档题．6.答案：C解析：解：将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，∵平面ABD ⊥平面BCD ，AB ⊥BD ，BD ⊥CD ， ∴AB ⊥平面BDC ，∴以B 为原点，BD 为x 轴，过B 作DC 的平行线为y 轴，BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设BD =2，则A(0,0，2)，C(2,2，0)，B(0,0，0)，D(2,0，0)， AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，−2)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，设直线AC 与BD 所成角为θ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为： cosθ=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12⋅2=√33．由平面ABD ⊥平面BCD ，AB ⊥BD ，BD ⊥CD ，得AB ⊥平面BDC ，以B 为原点，BD 为x 轴，过B 作DC 的平行线为y 轴，BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC 与BD 所成角余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.答案：B解析：解：正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别为棱BB 1、CC 1的中点，P 为棱BC 上的一点，且BP =m(0<m <1)，以A 1为原点，A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴，建立空间直角坐标系，则P(1,m ，1)，A(0,0，1)，E(1,0，12)， F(1,1，12)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,m ，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−12)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−12)，设平面AEF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −12z =0n ⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −12z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,0，2)， ∴点P 到平面AEF 的距离：d =|n ⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=1√5=√55．故选：B ．以A 1为原点，A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P 到平面AEF 的距离．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．解析：解：由三视图得该几何体是正四棱台，其上、下底面边长分别为10、20，棱台的高为12，所以棱台的体积为V四棱台=13×(102+202+10×20)×12=2800．故选：B．由三视图得出该几何体是正四棱台，结合图中数据计算四棱台的体积即可．本题考查了几何体三视图与棱台体积公式的应用问题，是基础题．9.答案：C解析：逐项分析，举反例判断．本题考查了平面的基本性质，属于基础题．解：四边形可能是空间四边形，故A，B错误；由平行公理可知C正确，当三点在同一直线上时，可以确定无数个平面，故D错误．故选C．10.答案：B解析：解：设球的半径为R，由43πR3=36π，解得R=3，∴球的表面积为4πR2=4π×9=36π．故选：B．设球的半径为R，由已知球的体积求出R，然后代入球的表面积公式计算得答案．本题考查球的表面积及体积公式，是基础题．11.答案：A解析：本题考查线段和最小值的求法．将面C1CBB1，B1BAA1打开，连接AC1，AC，则AC1为AE+C1E的最小值，由此利用题设条件能求出结果．解：将面C1CBB1，B1BAA1打开，连接AC1，AC，则AC1为AE+C1E的最小值，平行六面体中，侧棱B1B长为3，底面是边长为2的菱形，∠A1AB=120°，∠A1AD=60°∴∠ABC=120°，∠ACB=30°，∠ACC1=90°，AB=BC=2在三角形ABC中由余弦定理得AC=2√3，∴C1A2=C1C2+AC2=32+12=21，∴C1A=√21，故AE+C1E的最小值为√21．故选：A．12.答案：C解析：解：如图所示，过点P作PE⊥平面ABC，E为垂足，点E为的等边三角形ABC的中心．AE=23AD，AD=√32．∴AE=23×√32=√33．∴PE=√PA2−AE2=√63．设圆柱底面半径为R，则2R=1sin60∘=√3，∴圆柱的侧面积=2πR⋅PE=√3π×√63=2√2π3，故选：C．如图所示，过点P作PE⊥平面ABC，E为垂足，点E为的等边三角形ABC的中心．AE=23AD，AD=√32.可得AE.PE=√PA2−AE2.设圆柱底面半径为R，则2R=1sin60∘，即可得出圆柱的侧面积．本题考查了正四面体的性质、等边三角形的性质、正弦定理、圆柱的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.答案：[3√24,√5 2]解析：本题考查线段的长度问题，线面平行的判定，面面平行的判定，属于较难题．分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN//平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，即可得解．解：如图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN//BC1，EF//BC1，∴MN//EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN//平面AEF；∵AA1//NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N//AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A 1N//平面AEF ，又A 1N ∩MN =N ，∴平面A 1MN//平面AEF ，∵P 是侧面BCC 1B 1内一点，且A 1P//平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在Rt △A 1B 1M 中，A 1M =√A 1B 12+B 1M 2=√1+(12)2=√52，同理，在Rt △A 1B 1N 中，求得A 1N =√52， ∴△A 1MN 为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时A 1P ⊥MN ，此时A 1P 最短，P 位于M 、N 处时A 1P 最长，A 1O =√A 1M 2−OM 2=(√52)(√24)=3√24， A 1M =A 1N =√52，所以线段A 1P 长度的取值范围是[3√24,√52]. 故答案为[3√24,√52]. 14.答案：8√2解析：解：还原直观图为原图形如图，因为O ′A ′=2，所以O ′B ′=2√2，还原回原图形后，OA =O ′A ′=2，OB =2O ′B ′=4√2．所以原图形的面积为2×4√2=8√2．故答案为8√2．利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形，即找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，然后直接利用平行四边形的面积公式求面积．本题考查了平面图形直观图的画法，解答的关键是熟记斜二测画法的要点和步骤，从而还原得到原图形，求出面积，该类问题也可熟记一个二级结论，即S 原S 直=2√2.是基础题．15.答案：1825解析：解：设经过ts 水深为h ，∴72πt =13πℎ3．∴ℎ=6⋅t 13．∴ℎ′=2t −23 令ℎ=10，t =(53)3．∴ℎ′=2⋅[(53)3]−23．即水面上升的速度为1825．故答案为：1825．先求高度与时间的函数关系式ℎ=6⋅t 13，再利用导数的方法求解，由高度可知时间，从而得解．本题以旋转体为载体，考查瞬时速度，考查导数的运用，属于基础题．16.答案：√19019解析：解：当三角形DEF 面积确定时要使三棱锥G −EFD 体积最大，只需点G 到面DEF 的距离最大，此时三角形EFG 与平面DEF 垂直，取EF 中点H 连接GH 、DH ，设GH =x ，则DF =6−x ，V =13S △DEF ⋅ℎ=13×12×DF ×EF ×GH =13×12×(6−x)×2×x =13(6x −x 2)∴当x =3时V 取最大值．∵平面EFG⊥平面DEF，平面EFG∩平面DEF=EF，GH⊥EF，∴GH⊥平面DEF，则∠GDH即为直线DG与平面DEF所成角，在直角三角形GDH中，DH=√DF2+FH2=√32+12=√10，GH=3，∴DG=√DH2+GH2=√(√10)2+32=√19，∴DHDG =√10√19=√19019．要使三棱锥的体积最大，当底面积为定值时高最大即可，利用二次函数求出何时最大，然后找出直线DG与平面DEF所成角，最后解三角形即可．本题主要考查了直线与平面所成角，解题的关键时弄清何时体积最大，同时考查了学生分析问题的能力和解决问题的能力，属于中档题．17.答案：解：取AB、C1D1的中点M、N，连结A1M、MC、CN、NA1．由于A1N//PC1//MC且A1N=PC1=MC，∴四边形A1MCN是平行四边形．又∵A1N//PC1，A1M//BP，A1N∩A1M=A1，PC1∩BP=P，∴平面A1MCN//平面PBC1因此，过A1点作与截面PBC1平行的截面是平行四边形．又连结MN，作A1H⊥MN于H，由于A1M=A1N=√5，MN=2√2，则A1H=√3．∴S△A1MN =12×2√2×√3=√6故解析：根据线面平行的定义和性质可以证明与截面PBC1平行的截面是平行四边形．然后求平行四边形的面积即可．本题主要考查空间立体几何中截面的形状的判断，利用线面平行或面面平行的定义和性质是解决本题的关键．18.答案：(1)证明：取线段AC的中点F，连接EF，HF．因为HF是△ABC的中位线，所以HF=12BC=2,HF//BC．又因为DE=2，DE//BC，所以HF=DE，HF//DE．所以四边形DEFH为平行四边形，所以EF//HD．因为EF⊂平面ACE，DH⊄平面ACE．所以DH//平面ACE．(2)解：连接OB，取OB的中点G，连接HG，DG．易知OD=12DE=1,AO=√AD2−OD2=√(√5)2−12=2，易知HG是△AOB的中位线，所以HG//AO且HG=12AO=1．因为AD=AE，O为DE中点，AO⊥DE，又HG//AO，所以HG⊥DE．因为AO⊥CE，HG//AO，所以HG⊥CE．又DE∩CE=E，DE，CE⊂平面DBCE，所以HG⊥底面DBCE．所以∠HDG是DH与底面DBCE所成的角．易求等腰梯形DBCE的高为√CE2−(BC−DE2)2=√(√5)2−(4−22)2=2所以DG=1．在Rt△HDG中，由tan∠HDG=HGDG =11=1.得∠HDG=45°．故直线DH与底面DBCE所成角的大小为45°．解析：(1)利用中位线的性质及平行线的传递性，可证四边形DEFH为平行四边形，由此即可得证；(2)关键是找出∠HDG是DH与底面DBCE所成的角，进而转化到三角形中解三角形即可．本题线面平行的判定及直线与平面所成角，考查推理论证能力，属于中档题．19.答案：解：(1)AD与BD不垂直．证明过程如下：若AD⊥BD，∵AD⊥DF，BD∩DF=D，BD、DF⊂平面BDF，∴AD⊥平面BDF，∴AD⊥BF，∵BC⊥AB，平面ABD⊥平面ABCF，平面ABD∩平面ABCF=AB，BC⊂平面ABCF，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥AD，又BF∩BC=B，BF、BC⊂平面ABCF，∴AD⊥平面ABCF，∴AD⊥AB，在翻折后的△ABD中，这是不可能的，故AD与BD不垂直．(2)设AK=t，CF=x(0<x<1)，则DF=2−x，∵DK⊥AB，平面ABD⊥平面ABCF，平面ABD∩平面ABCF=AB，DK⊂平面ABD，∴DK⊥平面ABCF，∴DK⊥KF，由勾股定理知，DK2=1−t2，KF2=1+(2−t−x)2，∵DF2=DK2+KF2，∴(2−x)2=1−t2+1+(2−t−x)2，，在x∈(0,1)上单调递增，化简整理得，t=12−x<t<1，∴12,1)．故AK的取值范围为(12解析：(1)用反证法，假设AD⊥BD，推出AD⊥平面BDF，得AD⊥BF；由BC⊥AB，平面ABD⊥平面ABCF，推出BC⊥平面ABD，得BC⊥AD；从而有AD⊥平面ABCF，故AD⊥AB，与实际矛盾；(2)设AK=t，CF=x(0<x<1)，由DK⊥AB，平面ABD⊥平面ABCF，推出DK⊥平面ABCF，故DK⊥KF，结合勾股定理，可得t=1，再由函数的单调性，即可得解．2−x本题主要考查空间中线与面的垂直关系，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.答案：证明：(Ⅰ)∵四边形BEHC和四边形ABGH为平行四边形，∴BE//CH，BG//AH，又BE，BG⊂平面BEG，且CH，AH⊄平面BEG，∴CH//平面BEG，AH//平面BEG．又CH，AH⊂平面ACH，且CH∩AH=H，∴平面BEG//平面ACH；(Ⅱ)连结HF，∵DH⊥平面EFGH，且EG⊂平面EFGH，∴DH⊥EG．∵EG⊥HF，又HF∩DH=H，∴EG⊥平面HDF．∵DF⊂平面HDF，∴EG⊥DF．同理可得EB⊥DF．∵EG∩EB=B，∴DF⊥平面BEG．解析：(Ⅰ)由正方体截面的性质和平行四边形的性质，推得CH//平面BEG，AH//平面BEG，再由面面平行的判定定理即可得证；(Ⅱ)连接HF，由线面垂直的性质和判定，推得EG⊥DF，同理可得EB⊥DF，再由线面垂直的判定定理，即可得证．本题考查空间线面、面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于中档题．=1．21.答案：解：(1)存在线段BC的中点E，使平面PBC⊥平面PDE，即BECE证明如下：连结DE，PE，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=1，DA=√3，∴BD=DC=2，∵E为BC的中点，∴BC⊥DE，∵PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，∵DE∩PD=D，∴BC⊥平面PDE，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PDE．(2)∵PD⊥平面ABCD，且PC=3PF，∴F到度面ABCD的距离为23PD=2√33，∴三棱锥A−FBD的体积：V A−FBD=V F−ABD=13×S△ABD×2√33=13×12×1×√3×2√33=13．解析：本题考查满足面面垂直的点的位置的确定与证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．(1)存在线段BC的中点E，连结DE，PE，推导出BC⊥DE，BC⊥PD，从而BC⊥平面PDE，由此得到平面PBC⊥平面PDE;(2)三棱锥A−FBD的体积V A−FBD=V F−ABD，由此能求出结果．22.答案：(1)证明：由直三棱柱ABC−A1B1C1的性质知AC⊥C1C，∵M为AB1的中点，△CMB1为等边三角形，∴MA=MB1=MC，∴AC⊥CB1，又∵B1C∩C1C=C，∴AC⊥平面BCC1B1；(2)解：由(1)知AC⊥平面BB1C1C，∴BC⊥AC，BC1⊥AC，∴二面角B−CA−M的平面角为∠BCB1，即∠BCB1= 60°，在Rt△ACB1中，∵AB1=8，∴CM=CB1=4，又∵∠BCB1=60°，∴BC=2，BB1=2√3，过C1作C1N⊥CB1交CB1于N，∵AC⊥平面BB1C1C，且C1N⊥CB1，∴C1N即为点C1到平面CMB1的距离，在Rt△CB1C1中，CC1⋅C1B1=B1C⋅C1N，∴C1N=CC1⋅C1B1B1C =2√3×24=√3．解析：(1)通过直三棱柱ABC−A1B1C1的性质知AC⊥C1C，利用线面垂直的判定定理即可；(2)通过题意易得二面角B−CA−M的平面角为∠BCB1，过C1作C1N⊥CB1交CB1于N，则C1N即为点C1到平面CMB1的距离，在Rt△CB1C1中利用面积的不同计算方法计算即可．本题考查二面角，空间中线面的位置关系、点到面的距离，三角形的面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．。

江西省南昌市八一中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题[含答案]

江西省南昌市八一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.1．已知,,x y z 为非零实数，且(01)xya a a ><<，则下列不等式恒成立的是A ．22x y <B ．22xz yz <C ．||||x y <D ．11x y>2．已知集合2{|230}A x R x x =∈-->，1{|1}B x R x=∈≤，则R C A B =A ．[1,0)[1,3]- B ．[1,0][1,3]- C ．[1,3]D ．(0,1]3．在ABC ∆中，设内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状是A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形4．设1234,,,a a a a 成等比数列，其公比2q =，则123422a a a a +=+A ．18B ．14 C ．12D ．15．在等差数列{}n a 中，39627a a a +=-，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，则11S =A ．18B ．99C ．198D ．2976．在ABC ∆中，4C π∠=，2AB =，AC =，则cos B 的值为A ．12B．C ．12或-D ．12或12- 7．已知正实数,a b 满足a b ab +=，则ab 的最小值为A ．1BC ．2D ．48．已知函数log (1)2m y x =-+，(0m >且1)m ≠的图像恒过点M ，若直线()002>>=+b ,a bya x 经过点M ，则b a +的最小值为A ．2B ．3C ．4D ．59．有两个等差数列{n a }，{n b }，其前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n =+，则121419271314a a a ab b b b ++++++=A ．2719B ．107C ．5135D ．12710．已知数列1a ，21a a ，32a a ，，1nn a a -，是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列{}n a 中的项是A ．16B ．128C ．32D ．6411．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，3100a a +>，670a a <，则满足0n S >的最大自然数n 的值为A ．6B ．7C ．12D ．1312．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2142n n S S n n ,n N -++=≥∈，若对任意n N +∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是A ．()35,B ．()46,C ．[)35,D ．[)46,二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13．若不等式210x ax -+≥对于一切(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的最大值为． 14．已知函数1()(3)3f x x x x =+>-，则函数()f x 的最小值为． 15．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 所对的边长，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，则2cos a Ac= ． 16．锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2()b a a c =+，则ba的取值范围是．三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知33S =-，77S =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设42n an b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．(本小题满分12分)已知递增等比数列{}n a 的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差数列．（Ⅰ）求{}n a 的首项和公比；（Ⅱ）设22212n n S a a a =+++，求n S ．19． (本小题满分12分)台风中心位于城市O (如图)东偏南(cos )10θθ=方向300并以20/km h 的速度向西偏北45︒方向移动，当前半径为60km ，并以10/km h 始受到台风的侵袭？受到台风侵袭的时间有多少小时？20．(本小题满分12分)已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，且2sin cos cos a A b C c B =+．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2bc =+cos cos B Cb c+的最小值．21． (本小题满分12分)如图，在平面四边形ABDCAB AD ⊥，1AB =．（Ⅰ）若AC =求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若46ADC CD π∠==，，求sin CAD ∠．22．(本小题满分12分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且11a =，2(1)n n S n a =+，数列{}n b 满足：112b =，()2n an n a b n N +=⋅∈，记数列{}n b 的前n 项和为n T ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和公式n S ；（Ⅱ）求证：122n T ≤<．高一数学答案1~5 B 、A 、A 、B 、B 6~10 D 、D 、C 、C 、D 11~12 C 、A 13. 2 14. 5 15. 116.17. 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵33S =-，77S =，∴11133232177672a d a d ⎧+⨯⨯=-⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩，解得121a d =-⎧⎨=⎩，∴()2113n a n n =-+-⨯=-；（Ⅱ）由（Ⅰ）得31422n n n b n n --=⋅+=+，∴12n n T b b b =+++ ()()011222123n n -=++++++++()112122n n n +-=+-()1212n n n +=-+． 18. 【解析】（Ⅰ）根据等比数列的性质，可得33575512a a a a ⋅⋅==，解之得58a =．设数列{}n a 的公比为q ，则237288a ,a q q ==，由题设可得()()22818928310q q ⎛⎫-+-=-= ⎪⎝⎭解之得22q =或12．∵{}n a 是递增数列，可得1q >，∴22q =，得q =因此451148a a q a ===，解得12a =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得{}n a的通项公式为112n n n a -+=⨯=，∴212n n a +=，可得{}2n a 是以4为首项，公比等于2的等比数列．因此()2222124122412n n n n S a a a +-=+++==--．19. 【解析】设经过t 小时城市开始受到台风侵袭，台风中心到达Q点，4cos cos()45OPQ πθ∠=-==在OPQ ∆中，由余弦定理知2222cos PQ PQ PO PQ PO OPQ =+-⋅⋅∠，即2224(6010)(20)3002203005t t t +=+-⋅⋅⋅化简得2362880t t -+=，解之得1212,24t t ==，所以12小时后城市开始受到台风侵袭，受到台风侵袭的时间为241212-=小时. 20.【解析】（Ⅰ）因为2sin cos cos a A b C c B =+，由正弦定理得：22sin sin cos sin cos A B C C B =+，即22sin sin()A B C =+，所以22sin sin A A =．又因为ABC ∆为锐角三角形，有sin 0A ≠，所以1sin 2A =，则6A π=．（Ⅱ）由2sin cos cos a A b C c B =+，得cos cos 2sin B Ca A abc bc bc +=== 又由余弦定理得2222cos2(216a b c bcbc bc π=+-≥==，所以1a ≥．所以cos cos 2B C b c +=≥．即cos cos B C b c +的最小值为221.【解析】（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，即251BC =++- (舍去)，所以ABC ∆的面积（Ⅱ）设CAD θ∠=，在ACD ∠中，由正弦定理得，41sin 2AC θ=，所以2sin AC θ=．在ACD ∆中，,24BAC BCA ππθθ∠=-∠=-，则sin sin AC ABABC CAD=∠∠，即13sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，即4θθθ⎫=⎪⎪⎝⎭，整理得sin 2cos θθ=．联立22sin cos 1θθ+=，解得sin θ=，即sin CAD ∠=． 22.【解析】（Ⅰ）由题意，2(1)n n S n a =+知112n n S na --=(2,)n n N +≥∈，两式相减得：12(1)n n n a n a na -=+-，∴1(2)1n n a nn a n -=≥-， ∴3212123(2)121n n a a a nn a a a n -⋅⋅⋅=⋅⋅≥-，即1n a na =，又11a =，∴()n a n n N +=∈．（Ⅱ）由题意得2n n n b =，由题意得231232222n n nT =++++①234111*********n n n n nT +-=+++++② ①﹣②得：231111111212222222n n n n n n T +++=++++-=-∴222n n n T +=-则11111322324312(2)0222222n n n n n n n n n n n n n n n T T ++++++++++--+-=---=-==> 所以n T ()n N +∈单调递增，则112n T T ≥=，而222n n n T +=-2<，所以122n T ≤<.。

江西省南昌市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷(理科)(I)卷

江西省南昌市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·海南期末) 如果X～N（μ，σ2），设m=P（X=a）（a∈R），则（）A . m=1B . m=0C . 0≤m≤1D . 0＜m＜12. （2分） (2018高一下·枣庄期末) 某奶茶店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间的关系如下：x－2－1012y5221通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程为，但现在丢失了一个数据，该数据应为（）A . 2B . 3C . 4D . 53. （2分） (2018高二下·黑龙江期中) 若（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n ，且a0+a1+…+an=243，则（n﹣x）n展开式的二项式系数和为（）A . 16B . 32C . 644. （2分） (2016高二下·仙游期末) 某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门．其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门．则不同的分配方案有（）A . 36种B . 38种C . 108种D . 114种5. （2分）已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值为（）A . 0，1B . 1，2C . 0，1，2D . 0，1，2，36. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P （﹣2≤ξ≤1）=（）A . 0.21B . 0.58C . 0.42D . 0.297. （2分）已知二项式的展开式中第4项为常数项，则中项的系数为（）A . -19C . 20D . -208. （2分）用8个数字1,1,2,2,3,3,4,4可以组成不同的四位数个数是（）A . 168B . 180C . 204D . 4569. （2分）已知随机变量X～B(6，0.4)，则当η＝－2X＋1时，D(η)＝（）A . －1.88B . －2.88C . 5. 76D . 6.7610. （2分）(2016·四川理) 设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A . ﹣15x4B . 15x4C . ﹣20ix4D . 20ix411. （2分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A . p2 ， p3B . p1 ， p4C . p1 ， p2D . p1 ， p312. （2分）(2017·长春模拟) 项式（﹣）10的展开式中，项的系数是（）A .B . ﹣C . 15D . ﹣15二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·三亚期末) 若下表数据对应的y关于x的线性回归方程为，则a=________．x3456y 2.534 4.514. （1分） (2018高二下·抚顺期末) 《中国诗词大会》节目组决定把《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有________种.（用数字作答）15. （1分）(2017·榆林模拟) 已知（1+x）（1﹣2x）6=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a7（x﹣1）7 ，则a3=________．16. （1分）(2017·邯郸模拟) 若（﹣）a的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2015高二下·椒江期中) 设m，n∈N，f（x）=（1+x）m+（1+x）n ．（1）当m=n=5时，若，求a0+a2+a4的值；（2） f（x）展开式中x的系数是9，当m，n变化时，求x2系数的最小值．18. （15分） (2017高二下·蕲春期中) PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095﹣2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75毫克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如表所示：PM2.5日均值[25，35]（35，45]（45，55]（55，65]（65，75]（75，85]（微克/立方米）频数311113（1）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽取3天，求恰有1天空气质量达到一级的概率；（2）从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列；（3）以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量状况，则一年（按366天算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．（精确到整数）19. （10分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1,2,3,4），现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.（1）求X的分布列，均值和方差；（2）若Y＝aX＋b，E（Y）＝1，D（Y）＝11，试求a，b的值．20. （10分） (2019高二上·双鸭山期末) 某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：①每位参加者记分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，记分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束。

江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

姓名，年级：时间：2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期末考试试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意． 1．在复平面内，复数201812z i i =++对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是( ）{}.,,A a a b a b+- {}B.,,b a b a b +- {}C.,,c a b a b +- {}D.,,2a b a b a b +-+3．设,x y R ∈，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则a b +=（ ).22A .10B .3C .4D4．给出下列命题，其中正确的命题为（） A.若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面 B.直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有的直线都不垂直C.直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有的直线都不平行D 。

异面直线,a b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直5．如图,正三棱柱111C B A ABC -中,AB AA 21=,D 是1BB 的中点，则AD 与平面C C AA 11所成角的正弦值等于（）A ．22B ．46C ． 23D ．4106．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，且2OM MA =，BN NC =，则MN =（）A. 211322a b c -++B. 111222a b c +- C 。

221332a b c++ D. 121232a b c -+7．如图所示，在长方体ABCD.A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1,AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为（ ) A. 12B 。

江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二文科数学期末考试试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z满足1+z1z-=i，则|z|=（）A. 1B. 2C. 3D. 2 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，1(1)(1)1(1)(1)i i iz ii i i---===++-，所以1z=，故选A.考点：复数的运算与复数的模.2.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y bx a=+近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是()A. 线性相关关系较强，b的值为1.25B. 线性相关关系较强，b的值为0.83C. 线性相关关系较强，b的值为－0.87D. 线性相关关系太弱，无研究价值【答案】B【解析】【分析】根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.【详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于1，故选B.【点睛】本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.3.若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（） A . 若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥B. 若m β⊥，//m α，则αβ⊥C. 若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥D. 若m αγ⋂=，n βγ⋂=，//m n ，则//αβ【答案】B【解析】【分析】根据线面、面面的相关判定定理及性质定理一一分析可得；【详解】解：A ．错误，由βα⊥，得不出β内的直线垂直于α；B ．正确，//m α，根据线面平行的性质定理知，α内存在直线//n m ，m β⊥，n β∴⊥，n ⊂α，αβ∴⊥；C ．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，这两个平面可以平行、相交，不一定得到βγ⊥；D ．错误，m αγ=，n βγ=，//m n ，则α与β可能平行、相交．故选：B ．【点睛】考查空间想象能力，以及线面平行、线面垂直、面面垂直、面面平行的概念，属于中档题． 4.在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，M 、N 分别是正方形ABCD 、11BCC B 的中心.则过点1C 、M 、N 的截面是（）A. 正三角形B. 正方形C. 梯形D. 直角三角形【答案】A【解析】【分析】连接BN 、BD 、1BC ，可知过点1C 、M 、N 三点的截面为1BC D ，判断该三角形的形状即可得出结论.【详解】如下图所示，连接BN 、BD 、1BC ，由于M 、N 分别为正方形ABCD 、11BB C C 的中心，则M 、N 分别为BD 、1BC 的中点，所以，过点1C 、M 、N 三点的截面为1BC D ，易知1BC D 为正三角形.因此，过点1C 、M 、N 三点的截面为正三角形.故选：A.【点睛】本题考查正方体截面形状的判断，作出截面图形是解题的关键，考查空间想象能力，属于中等题.5.《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富．书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积112V =⨯（底面的圆周长的平方⨯高），则该问题中的体积为估算值，其实际体积（单位：立方尺）应为（）A. 528πB. 6336πC. 704πD. 2112π 【答案】B【解析】【分析】求出底面半径，由圆柱体积公式计算，【详解】设r 为底面半径，则248r π=，24r π=，又11h =， ∴22246336()11V r h ππππ==⨯⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查圆柱的体积，解题关键是求出底面半径，得底面面积，再由体积公式可得．6.从11，12，13，14，15中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则(|)P B A 等于（） A. 18 B. 14 C. 25 D. 12【答案】B【解析】【分析】由题意求出所有基本事件数，A 发生的基本事件数，AB 发生的基本事件数，由古典概型概率公式可得P (A ),P (AB )，再利用条件概率的公式即可求解.【详解】解：从11，12，13，14，15中任取2个不同的数有：（11，12），（11，13），（11，14），（11，15），（12，13），（12，14），（12，15），（13，14），（13，15），（14，15）共10种，其中取到两个数之和为偶数的有（11，13），（11，15），（12，14），（13，15）有4种，所以42()105P A ==，其中取到的两个数均为偶数且和为偶数的有：（12，14），所以1()10P AB =，所以()()1110(|)245P AB P B A P A ===，故选：B【点睛】此题考查了条件概率的求解，考查了古典概型概率公式的应用，属于基础题.7.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判定奇偶性，然后在0x ≥时，利用导数，结合三角函数和指数函数的性质分0x π≤≤和x π>，分别研究函数的单调性，从而做出判定.【详解】由于函数满足()()f x f x -=，故函数为偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除B ，当0x ≥ 时，cos x y e x =-，sin x y e x =+' ，若0x π≤≤时，0y '> ，当x π>时，3x e e e π>> ，而1sin 1x -≤≤ ，显然sin 0xy e x '=+> ，从而可知，函数在[0,)+∞上为增函数，选D .【点睛】本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，属中档题. 关键是判定奇偶性，然后在y 轴右侧，利用导数分段研究函数的单调性.8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，M ，N ，H ，R 是各条棱的中点.①直线1//AD 平面MNP ；②1HD CQ ⊥；③P ，Q ，H ，R 四点共面；④1A C ⊥平面11AB D .其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】【分析】由平面MNP 平面11ADD A ，易证1AD ∥平面MNP ，①正确；假设1HD CQ ⊥，易证CQ ⊥平面11DD A A ，易证//CQ CD ，与=CQ CD C 矛盾，故②错误；因为PQ AC HR ∥∥，故P ，Q ，H ，R 四点共面，③正确；欲证1A C ⊥平面11AB D ，只需证明1A C 垂直于平面11AB D 内的两条相交直线的即可，根据正方体易证.【详解】解：对于①，通过观察，平面MNP平面11ADD A ，所以1AD ∥平面MNP ，①正确；对于②，假设1HD CQ ⊥，显然1DD CQ ⊥，111HD DD D =，1DD ⊂平面11DD A A 1HD ⊂平面11DD A A ，所以CQ ⊥平面11DD A A ，又CD ⊥平面11DD A A ，所以//CQ CD ，与=CQ CD C 矛盾，故②错误.对于③，因为PQ AC HR ∥∥，故P ，Q ，H ，R 四点共面，③正确；对于④，显然1111AC B D ⊥，111A A B D ⊥，1111A A AC A ⋂=，1A A ⊂平面11A ACC ，11A C ⊂平面11AACC ，所以11B D ⊥平面11A ACC ，1AC ⊂平面11A ACC ，所以11B D ⊥1A C ，同理可证1B A ⊥1A C ，又1111B D B A B =，所以1A C ⊥平面11AB D ，故④正确所有正确的是①③④，故选：C【点睛】在正方体内已知棱的中点，考查证明线面平行与垂直、线线垂直以及点共面等基础知识，一些常见结论应该让学生熟记，同时考查空间想象能力以及逻辑推理能力，基础题.9.已知正三棱锥S ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，且球心O 在三棱锥的内部.若该三棱锥的侧面积为2BC =，则球O 的表面积为（）A. 25πB. 16πC. 1219πD. 1699π 【答案】D【解析】【分析】由条件作出如图辅助线，并根据正三棱锥的性质确定球心的位置，OAM △中，利用勾股定理求半径R ，最后求球的表面积.【详解】作SM ⊥平面ABC ，连结AM 并延长交BC 于点D ，连结SD ，正三棱锥外接球的球心O 在高SM 上，连结OA ，1232S SD =⨯⨯⨯=，解得：SD =正三角形ABC 中，DM BC ==AM =4SM ∴==，设SO AO R ==，OAM △中，()2224R R =-+⎝⎭，解得：136R =,则球O 的表面积216949S R ππ==.故选：D【点睛】本题考查几何体与球的综合问题，意在考查空间想象能力，和推理计算，属于基础题型. 10.如图，四棱锥P ABCD -中，PAB ∆与PBC ∆是正三角形，平面PAB ⊥平面PBC ，AC BD ⊥，则下列结论不一定成立的是（）A. PB AC ⊥B. PD ⊥平面ABCDC. AC PD ⊥D. 平面PBD ⊥平面ABCD【答案】B【解析】过BP 中点O 连接,OA OC ,易得,BP OA BP OC BP ⊥⊥⇒⊥ 面OAC BP AC ⇒⊥ ⇒选项A 正确；又AC BD AC ⊥⇒⊥面,BDP AC PD ⇒⊥平面PBD ⊥平面ABCD ,故选项C 、D 正确，故选B. 11.如图，四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，90DBC ADC ∠∠==，23AB CD =，E 为PC 上靠近点C 的三等分点，则三棱锥B CDE -与四棱锥P ABCD -的体积比为（）A. 19B.15C.16D.13【答案】B【解析】【分析】设四棱锥P ABCD-的高为h，则三棱锥B CDE-的高为13h，2AB a=，则3CD a=，由此能求出三棱锥B CDE-与四棱锥P ABCD-的体积比．【详解】解：设四棱锥P ABCD-的高为h，则三棱锥B CDE-的高为13h，2AB a=，则3CD a=，11532P ABCDV a AD h-∴=⨯⨯⨯⨯，1113323B CDEV a AD h-=⨯⨯⨯⨯，∴三棱锥B CDE-与四棱锥P ABCD-的体积比为：15B CDEP ABCDVV--=．故选：B．【点睛】本题考查三棱锥与四棱锥的体积比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．12.已知P 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，若2||MP PF +的最小值为12F F ，则C 的离心率为（）A. 22+B. 2+C. 42+D. 4【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义可得21||||2MP PF MP PF a +=++，又11||MP PF MF +≥ 即可得到关于e 的方程，解得.【详解】解：21||||2MP PF MP PF a+=++1222MF a a c +==，22a c =，化简得222850c ac a -+=，即22850e e -+=，解得e =e =e =故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x ，y 取值如表：画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为ˆ1yx =+，则m =__________．【答案】32【解析】分析：计算,x y ，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m 的值．详解：计算x =15×（0+1+3+5+6）=3， y =15×（1+m +3m +5.6+7.4）=1445m+， ∴这组数据的样本中心点是（3，1445m+），又y 与x 的线性回归方程y =x +1过样本中心点，∴1445m+=1×3+1，解得m=32.故填32.点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基础题．14.若一个圆台的母线长为l ，上、下底面半径1r ，2r 满足122l r r =+，且圆台的侧面积为8π，则l =__________.【答案】2 【解析】【分析】根据圆台的侧面积公式计算．【详解】由题意()21228r r l l πππ+==，解得2l =．故答案：2．【点睛】本题考查圆台的侧面积公式，属于基础题． 15.甲乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率是__________. 【答案】23【解析】【分析】计算出两人都没击中的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】甲、乙两人各射击一次，都没击中的概率为11111233⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率是12133-=.故答案为：23. 【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求事件的概率，考查计算能力，属于基础题.16.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，由勾股定理有：222c a b =+．设想将正方形换成正方体1111ABCD A B C D -，把截线换成截面。

江西省南昌市八一中学2020学年高二数学下学期期中试题文

江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题文一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内表示的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.如图，一个水平放置的面积是的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，其中，则等腰梯形面积为A. B. C. D.3.若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.如图，，，，，，，则平面ABC与平面的交线是A. 直线ACB. 直线ABC. 直线CDD. 直线BC5.设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下命题中错误的是A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，则D. 若，，，则6.如图，正方体中，AB的中点M，的中点N，则异面直线与CN所成的角是A. B. C. D.7.若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围为A. B. C. D.8.正方体的内切球与其外接球的体积之比为A. B. C. D.9.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A. B. 1 C. D.10.双曲线C的左、右焦点分别为、，且恰为抛物线的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.11.函数在区间的图象大致为A. B.C. D.12.已知正三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直底面底面边长为1且侧棱长为4，E为的中点，从E拉一条绳子绕过侧棱到达B点的最短绳长为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知i是虚数单位，若复数z满足，则．14.平面平面，A，，点B，，直线AB，CD相交于P，已知，，，则 ______ ．15.设抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点C，，则与的面积之比____________．16.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法不正确的序号是______ ．平面EOF平面平面平面AOF．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知复数，，其中t，x，，且．求点的轨迹方程若，求m的取值范围．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，点E，F，G分别为PC，PA，BC的中点．Ⅰ求证：；Ⅱ求证：平面PCD；19.在如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面ABC，，四边形ABCD为平行四边形，，．Ⅰ求证：平面；Ⅱ求三棱锥的体积．20.已知椭圆的短轴长为4，离心率为，斜率不为0的直线l与椭圆恒交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点M．求椭圆的标准方程；直线l是否过定点，如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由．21.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，且，E为CD的中点．求证：平面平面PAE；棱PB上是否存在点F，使得平面PAE？说明理由．22.已知函数，其中e是自然对数的底数．当时，求函数的极值；若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．高二文科数学参考答案一、选择题：BABCD DBCCA AB二、填空题：13. 14.2或34 15. 16.三、解答题：17.【答案】解：根据复数相等的充要条件得，将代入，得，即，因此，所求点P的轨迹方程为．由，知点P的轨迹是一个圆，其圆心为，半径为，当直线与圆有公共点时，，即，得，所以所求m的取值范围为19.【答案】Ⅰ证明：为三棱柱，且平面ABC，，是正方形，C.由，得，四边形ABCD为平行四边形，，，，则，，平面ABC，平面ABC，，又，AC、平面，平面，且平面，，则，，、平面，平面；Ⅱ解：易知，由Ⅰ得，平面，则平面，三棱锥的体积：．20.【答案】解：由题，，所以椭圆的标准方程为．由题设直线l：，，，，联立直线方程和椭圆方程，得，，，．因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点M，所以，即或4，又当时，直线l过椭圆右定点，此时直线MA与直线MB不可能垂直，，直线过定点．21.【答案】解：证明：因为底面ABCD是菱形且，所以为正三角形，因为E为CD的中点，所以，因为，所以；因为平面ABCD，平面ABCD，所以；因为所以平面PAB，因为平面PAE，所以平面平面PAE．解：存在点F为PB中点时，满足平面PAE；理由如下：分别取PB，PA的中点F，G，连接CF，FG，EG，在三角形PAB中，，且，在菱形ABCD中，E为CD中点，所以且，所以且，即四边形CEGF为平行四边形，所以；又平面PAE，平面PAE，所以平面PAE．22.【答案】解：当时，，定义域为；求导得：，方程的根为或，列表得：由上表可以，．，由条件知，对恒成立，令，，．当时，，在上单调递减，，即，在上单调递减，，则若在上恒成立，则需，，即实数a的取值范围是．。

江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷(选择题：共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数z 满足1i1i z+=-，则||z = A.2i B.2 C.i D.1 2．已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 3.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图1所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A. 3B.2 2C.32D.344.如图4所示，则这个几何体的体积等于( )A.4B.6C.8D.125.下列说法中，正确的是( )A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行 6．实数a 使得复数1a ii+-是纯虚数，112,1b xdx c x dx ==-⎰⎰则c b a ,,的大小关系是（）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b c a <<D ．a b c << 7.已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A.6π B. 4π C. 3π D. 512π8.函数()e3xf x x=的部分图象大致为( )A. B. C. D.9.如图所示,三棱锥P-ABC 的底面在平面α内,且AC ⊥PC,平面PAC ⊥平面PBC,点P,A,B 是定点,则动点C 的轨迹是()A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点10.如图7，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BCA 是等边三角形； ③棱锥D -ABC 是正三棱锥； ④平面ADC ⊥平面ABC . 其中正确的是( ) A.①②④ B.①②③ C.②③④D.①③④11.在正三棱锥S -ABC 中，M ，N 分别是SC ，BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA＝23，则正三棱锥S -ABC 外接球的表面积是( )A ．12πB ．32πC ．36πD ．48π12．已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,6ππα，则该椭圆离心率e 的取值范围为（） A 、]13,22[- B 、)1,22[ C 、]23,22[ D 、]36,33[ 第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡的相应位置.13． ππ-⎰ (sin x ＋cos x )dx ＝14．在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==,G 为PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则该截面的周长为______ 15．已知一个正三棱柱,一个体积为43π的球体与棱柱的所有面均相切,那么这个正三棱柱面积是．16．如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE ．若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻转过程中，正确的命题是________ ①|BM |是定值； ②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④一定存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)如图所示，P 是▱ABCD 所在平面外一点，E ，F 分别在PA ，BD上，且PE ∶EA ＝BF ∶FD.求证：EF ∥平面PBC.18.(本小题满分12分)如图12所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点.证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M .19.(本小题满分12分)以平面直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点M 的直角坐标(1,0),若直线l 的极坐标方程为2cos()104πρθ+-=,曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩,(m 为参数).(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于,A B 两点,求11||||MA MB +.20．（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，O 为AD 中点，M 是棱PC 上的点，AD ＝2BC ．（1）求证：平面POB ⊥PAD ；（2）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA ∥平面BMO ．21．(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F =.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E为AD的中点，G为PAD重心.（I）求证：//GF平面PDC(II)求异面直线GF与BC的夹角的余弦值；22. (本小题满分12分) 已知函数.(Ⅰ)试求函数的单调区间；(Ⅱ)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.高二理科数学参考答案一、选择题（12⨯5分=60分）： 1D2B3A4A5C6C7B8C9D 10B 11C12A 二、填空题（4⨯5分=20分）： 13.0 14.8 1516①②④三、解答题17【证明】连接AF 延长交BC 于G ，连接PG .在▱ABCD 中，易证△BFG ∽△DFA ，∴GF FA ＝BF FD ＝PEEA ， ∴EF ∥PG .而EF ⊆/平面PBC ，PG 平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC .18【证明】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM 平面BCC 1B 1，所以A 1B 1⊥BM .又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，所以C 1M ＝CM ＝1.在Rt△B 1C 1M 中，B 1M ＝B 1C 21＋MC 21＝2，同理BM ＝BC 2＋CM 2＝2，又B 1B ＝2，所以B 1M 2＋BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M . 又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，所以BM ⊥平面A 1B 1M ，因为BM 平面ABM ，所以平面ABM ⊥平面A 1B 1M .19由2cos()104πρθ+-=,得cos sin 10ρθρθ--=,令cos x ρθ=,sin y ρθ=,得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩,消去m 得24y x =,所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=,曲线C 的普通方程为24y x =.………………6分 (2)点M 的直角坐标为(1,0),点M 在直线l 上.设直线l 的参数方程为21222t x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,（t为参数）,代入24y x =,得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ,2t ,则1242t t +=,128t t =-,所以1212||11||||||t t MA MB t t -+==2121222()432321||8t t t t t t +-+==.………………12分20试题解析：（1）证明： ∵ O 为中点，且，∴ 又，，∴ 四边形是矩形， ∴ ，又平面平面，且平面平面，平面， ∴ 平面，又平面，∴ 平面平面。

江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校2020学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校2020学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.对于实数,,a b c ，下列结论中正确的是（） A. 若a b >，则22ac bc > B. 若0a b >>，则11a b> C. 若0a b <<，则a b b a < D. 若a b >，11a b>，则0ab < 【答案】D 【解析】试题分析：对于A ．若a b >，若0c =则22ac bc =故A 错；对于 B ．若0a b >>，取12,1,12a b ==<则11a b >是假命题；C ．若0a b <<，取21112,1,2,,21222a b --=-=-==>--，则a bb a<是错误的， D ．若a b >，则取0a b ->，又11a b >，所以11()(),11,2b a a b a b a b a b a b b a ⨯->-->-+<-，又因为,a b b a 同号，则0ab < 考点：不等式的性质的应用2.某学校高三模拟考试中数学成绩X 服从正态分布()75,121N ，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（）人．参考数据：()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=） A. 261 B. 341C. 477D. 683【答案】B 【解析】分析：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是0.6826，根据概率求出位于6486（，）这个范围中的个数，根据对称性除以2 得到要求的结果．详解：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是(75117511)0.682?6P X －＋＝<<，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为110000.682?63412⨯⨯≈人.点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关75X =于对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．3.已知有穷数列{}(1,n a n =2，3，⋯，6}满足(1,n a ∈2，3，⋯，10}，且当(,1,i j i j ≠=2，3，⋯，6)时，.i j a a ≠若123a a a >>，则符合条件的数列{}n a 的个数是( ) A. 33107C A B. 331010C CC. 33107A AD. 63106C A【答案】A 【解析】【分析】先选出三个数确定为123,,a a a ，其余三个数从剩下的7个里面选出来，排列顺序没有特殊要求.【详解】先确定123,,a a a ，相当于从10个数值中选取3个，共有310C 种选法，再从剩余的7个数值中选出3个作为456,,a a a ，共有37A 种选法，所以符合条件的数列{}n a 的个数是33107C A ，故选A.【点睛】本题主要考查利用排列组合的知识确定数列的个数，有无顺序要求，是选择排列还是组合的依据.4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到表：参照附表，得到的正确结论是( )附：由公式算得：22()7.8()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=≈++++A. 有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关” 【答案】A 【解析】【分析】根据参照表和卡方数值判定，6.635<7.8<7.879,所以有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”.【详解】因为6.635<7.8<7.879,所以有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”，故选A.【点睛】本题主要考查独立性检验，根据数值所在区间能描述统计结论是求解关键.5.设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则12233201920192019201920192019...C x C x C x C x++++=（） A. i B. i -C. 1i -+D. 1i --【答案】D 【解析】【分析】先化简x ，结合二项式定理化简可求. 【详解】22(1)11(1)(1)i i i x i i i i +===-+--+，122332019201901223320192019201920192019201920192019201920192019 (1)C x C x C x C x C C x C x C x C x ++++=+++++-201920193(1)1i 1i 1i 1x =+-=-=-=--，故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算和二项式定理的应用，逆用二项式定理要注意配凑出定理的结构形式.6.若随机变量X 的分布列：已知随机变量(,)Y aX b a b R =+∈且()10E Y =，()4D Y =，则a 与b 的值为( ) A. 10,3a b ==B. 3,10a b ==C. 5,6a b ==D.6,5a b ==【答案】C 【解析】【分析】先根据随机变量X 的分布列可求m 的值，结合()10E Y =，()4D Y =，可求a 与b 的值. 【详解】因为0.21m +=，所以0.8m =，所以()00.210.80.8E X =⨯+⨯=,()0.20.80.16D X =⨯=；因为()10E Y =，()4D Y =，所以22()0.810,()0.164aE X b a b a D X a +=+===解得5,6a b ==，故选C.【点睛】本题主要考查随机变量的期望和方差，注意两个变量之间的线性关系对期望方差的影响.7.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：y1.5 4.04 7.51218.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A. 22y x =-B. 1()2xy =C. 2y log x =D.()2112y x =- 【答案】D 【解析】【分析】根据,x y 的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系.【详解】根据实验数据可以得出，x 近似增加一个单位时，y 的增量近似为2.5，3.5，4.5，6，比较接近()2112y x =-，故选D. 【点睛】本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养.8.对任意实数x ，若不等式12x x k +-->在R 上恒成立，则k 的取值范围是（） A. 3k < B. 3k <-C. 3k ≤-D.【答案】B 【解析】考点：绝对值不等式；函数恒成立问题．分析：要使不等式|x+2|-|x-1|＞a 恒成立，需f （x ）=|x+2|-|x-1|的最小值大于a ，问题转化为求f （x ）的最小值．解：（1）设f （x ）=|x+2|-|x-1|，则有f （x ）=32{122131x x x x -≤----≤≤≥，，，，当x≤-2时，f （x ）有最小值-3；当-2≤x≤1时，f （x ）有最小值-3；当x≥1时，f （x ）=3．综上f （x ）有最小值-3，所以，a ＜-3．故答案为：B ．9.若某校研究性学习小组共6人，计划同时参观科普展，该科普展共有甲，乙，丙三个展厅，6人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展厅参观结束后集合返回，设事件A为：在参观的第一小时时间内，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人；事件B为：在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人，则(|)P B A=（）．A. 38B.18C.316D.116【答案】A【解析】【分析】先求事件A包含的基本事件，再求事件AB包含的基本事件，利用公式可得.【详解】由于6人各自随机地确定参观顺序，在参观的第一小时时间内，总的基本事件有63个；事件A包含的基本事件有222642C C C个；在事件A发生的条件下，在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人的基本事件为244C⨯个，而总的基本事件为62，故所求概率为24643(/)28CP B A⨯==,故选A.【点睛】本题主要考查条件概率的求解，注意使用缩小事件空间的方法求解.10.某教师要把语文、数学、外语、历史四个科目排到如下的课表中，如果相同科目既不同行也不同列，星期一的课表已经确定如下表，则其余三天课表的不同排法种数有( )A. 96B. 36C. 24D. 12【答案】C【解析】【分析】先安排第一节的课表33A种，再安排第二节的课表有2种，第三节的课表也有2种，最后一节只有1种安排方案，所以可求.【详解】先安排第一节的课表，除去语文均可以安排共有33A种；周二的第二节不和第一节相同，也不和周一的第二节相同，共有2种安排方案，第三节和第四节的顺序是确定的；周三的第二节也有2种安排方案，剩余位置的安排方案只有1种，根据计数原理可得3 322124A⨯⨯⨯=种，故选C.【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，侧重考查逻辑推理的核心素养.11.在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中，计分规则如下(满分为10分)：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，⋯，连续七次发球成功加3分.假设某同学每次发球成功的概率为23，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是( )A.6523B.5523C.6623D.5623【答案】B【解析】【分析】明确恰好得5分的所有情况：发球四次得分，有两个连续得分和发球四次得分，有三个连续得分，分别求解可得.【详解】该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率5243146212()()333P C==；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率6111143223326212()()()333P C C C C =+=，所求概率56512665222333P P P =+=+=；故选B.【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，题目稍有难度，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.12.已知n 元均值不等式为：()121n x x x n+++≥L 12,,,n x x x L 均为正数，已知球的半径为R ，利用n 元均值不等式求得球的内接正四棱锥的体积的最大值为( )A.36481R B.3827R C.349R D.313R 【答案】A 【解析】【分析】先根据球和正四棱锥的内接关系求出半径与边长的关系式，写出体积公式，利用n 元均值不等式可求最大值.【详解】设正四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则有222())2h R a R -+=，解得2242a hR h =-；正四棱锥的体积223311114264(42)(42)()3333381R h h h V a h hR h h R h hh R -++==-=-≤=，当且仅当43h R =时取到最大值，故选A.【点睛】本题主要考查四棱锥体积求解和n 元均值不等式的应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，则1ξ=的概率是_______；()E ξ=_______．【答案】 (1). 715 (2). 35【解析】【分析】1ξ=表示两件产品中，一个正品一个次品，可求概率；求出ξ的所有取值，分别求出概率可得()E ξ.【详解】11372107(1)15C C P C ξ===,根据题意ξ的所有取值为0,1,2；272107(0)15C P C ξ===，11372107(1)15C C P C ξ===，232101(2)15C P C ξ===，故()77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查随机变量的期望，明确随机变量的可能取值及分布列是求解关键.14.组合恒等式11m m mn n n C C C -++=，可以利用“算两次”的方法来证明：分别求()11n x ++和()()11nx x ++的展开式中m x 的系数．前者()11n x ++的展开式中m x 的系数为1mn C +；后者()()11nx x ++的展开式()()1111m m m m n n n n n n n x C C x C xC x C x L L --+++++++中m x 的系数为1111m m m m n n n n C C C C --⨯+⨯=+.因为()()()1111n nx x x ++=++，则两个展开式中m x 的系数也相等，即11m m mn n n C C C -++=．请用“算两次”的方法化简下列式子：()()()()2222012nnnnnC C C C ++++=L ______．【答案】2nn C 【解析】【分析】结合所给信息，构造2(1)(1)(1)nn n x x x +=++，利用系数相等可求.【详解】因为2(1)(1)(1)nn n x x x +=++，则两个展开式中n x 的系数也相等，在2(1)nx +中nx 的系数为2nn C ，而在01220122(1)(1)()()n n n n n nn n n n n n n n x x C C x C x C x C C x C x C x ++=++++++++L L 中n x 的系数为011002122()()()n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C -+++=+++L L ，所以可得021222()()()n nn n n n C C C C +++=L .【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，精准理解题目所给信息是求解关键，侧重考查数学抽象和数学建模的核心素养.15.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个223⨯⨯ 的长方体框架，一个建筑工人欲从 A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为______________．【答案】27【解析】【分析】先求出最近路线的所有走法共有77A 种，再求出不连续向上攀登的次数，然后可得概率. 【详解】最近的行走路线就是不走回头路，不重复，所以共有77A 种，向上攀登共需要3步，向右向前共需要4步，因为不连续向上攀登，所以向上攀登的3步，要进行插空，共有4345A A 种，故所求概率为43457727A A P A ==. 【点睛】本题主要考查古典概率的求解，明确事件包含的基本事件种数是求解关键，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.16.伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发，借助上面两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：()()22222()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”．证明思路：()1图1中白色区域面积等于右图中白色区域面积；()2图1中阴影区域的面积为ac +bd ，图2中，设BAD θ∠=，图2阴影区域的面积可表示为______(用含a ，b ，c ，d ，θ的式子表示)；()3由图中阴影面积相等，即可导出不等式()()22222().ac bd a b c d +≤++当且仅当a ，b ，c ，d 满足条件______时，等号成立．【答案】2222sin a b c d θ++ (2). ad bc = 【解析】根据勾股定理可得22AB CD a b =+,22 AD BC c d ==+,所以可得ABD CDB ∆≅∆ ，12ABD CDB S S ∆∆==2222.sin a b c d θ++，可得图阴影部分的面积是ABD CDB S S ∆∆+=2222.sin a b c d θ++;由()()22222(ac bd a b c d +=++）可得22a c +222222 2acbd b d a c a d +=++2222b c b d +,22 a d -222acbd b d += ()20,ad bc -=ad bc =,所以当且仅当,,,a b c d 满足条件ad bc =时，等号成立.故答案为2222sin a b c d θ++ ， ad bc =.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知()*23nx n N x ⎫∈⎪⎭的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是91∶．（Ⅰ）求展开式中各项二项式系数的和；（Ⅱ）求展开式中中间项．【答案】（Ⅰ）64；（Ⅱ）924540T x-=-.【解析】【分析】（Ⅰ）根据展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是91∶求出n的值，然后可求各项二项式系数的和；（Ⅱ）根据n的值确定中间项，利用通项公式可求.【详解】解：()1由题意知，展开式的通项为：52123(3)(0r n rr n r r rr n nT C C x r nx--+⎛⎫=-=-≤≤⎪⎝⎭，且)r∈N，则第五项的系数为44·(3)nC-，第三项的系数为22·(3)nC-，则有4422·(3)9·(3)1nnCC-=-，化简，得42n nC C=，解得6n=，∴展开式中各项二项式系数的和6264=；()2由（1）知6n=，展开式共有7项，中间项第4项，令3r=，得924540T x-=-．【点睛】本题主要考查二项展开式的系数及特定项求解，通项公式是求解这类问题的钥匙，侧重考查数学运算的核心素养.18.已知,,a b c∈R,且1a b c++=.证明：（Ⅰ）22213a b c++≥；（Ⅱ）2221a b cb c a++≥.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据均值不等式可以证明；（Ⅱ）根据均值不等式和已知条件的灵活应用可以证明.【详解】证明(Ⅰ)a Q ，b ，c +∈R ，且1a b c ++=，()22222221()2223a b c a b c ab bc ac a b c ∴=++=+++++≤++， 22213a b c ∴++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立. (Ⅱ2)2a b a b +≥Q ，22b c b c +≥，22c a c a +≥，()2222a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++， 2221a b c a b c b c a ∴++≥++=， 2221a b c b c a∴++≥ 【点睛】本题主要考查不等式的证明，均值不等式是常用工具，侧重考查逻辑推理的核心素养.19.大型综艺节目,《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表()1所示，并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表()2所示．（Ⅰ）将表()1补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？（Ⅱ）现从表()2中成功完成时间在[)20,30和[]30,40这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率．附参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）715. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据总人数和表格中的数据可以完成，计算卡方观测值，结合卡方观测值所在区间判定；（Ⅱ）根据古典概型的求解方法求解.【详解】解：(Ⅰ)依题意，补充完整的表1如下：由表中数据计算2K的观测值为()2250231179 5.223 5.024********K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关．(Ⅱ)从成功完成时间在[)20,30和[]30,40这两组内的6名男生中任意抽取2人，基本事件总数为2615(C =种)，这2人恰好在同一组内的基本事件为2242617(C C +=+=种)，故所求的概率为715P =．【点睛】本题主要考查独立性检验和古典概率的求解，侧重考查数据分析，数学建模和数学运算的核心素养.20.如图1，已知四边形BCDE 为直角梯形，90B ∠=o ，//BE CD ，且222BE CD BC ===，A 为BE 的中点.将EDA V 沿AD 折到PDA V 位置(如图2)，连结PC ，PB 构成一个四棱锥P ABCD -．（Ⅰ）求证AD PB ⊥；（Ⅱ）若PA ⊥平面ABCD ． ①求二面角B PC D --的大小；②在棱PC 上存在点M ，满足()01PM PC λλ=≤≤u u u u r u u u r ，使得直线AM 与平面PBC 所成的角为45o ，求λ的值．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)①120o ，② 0λ=或23λ=．【解析】【分析】(Ⅰ)可以通过已知证明出AD ⊥平面PAB ，这样就可以证明出AD PB ⊥；(Ⅱ)?①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求出平面PBC 的法向量为n r 、平面PCD 的法向量m r，利用空间向量的数量积，求出二面角B PC D --的大小；②求出平面PBC 的法向量，利用线面角的公式求出λ的值.【详解】证明：(Ⅰ)图1中，//AB CD Q ，AB CD =，ABCD ∴为平行四边形，//AD BC ∴，90B ∠=o Q ，AD BE ∴⊥，当EDA V 沿AD 折起时，AD AB ⊥，AD AE ⊥，即AD AB ⊥，AD PA ⊥，又AB PA A ⋂=，,AB PAB PA PAB AD 面面⊂⊂∴⊥平面PAB ，又PB Q ⊂平面PAB ，AD PB ∴⊥．解：(Ⅱ)①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，由于PA ⊥平面ABCD则(0,A 0，0)，(1,B 0，0)，(1,C 1，0)，(0,P 0，1)，(0,D 1，0)(1,PC =u u u r 1，1)-，(0,BC =u u u r 1，0)，(1,DC =u u u r0，0)，设平面PBC 的法向量为(,n x =ry ，)z ，则0PC n x y z BC n y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u r ru u u r r ，取1z =，得(1,n =r 0，1)，设平面PCD 的法向量(,m a =rb ，)c ，则0m PC a b c m DC a ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u r r u u u r r，取1b =，得(0,m =r 1，1)，设二面角B PC D --的大小为θ，可知为钝角，则1cos 222m n m n r r r rθ⋅=-=-=-⋅⨯，120o θ∴=． ∴二面角B PC D --的大小为120o ．②设AM 与面PBC 所成角为α，(0,AM AP PM =+=u u u u r u u u r u u u u r0，1)(1λ+，1，1)(λ-=，λ，1)λ-，平面PBC 的法向量(1,n =r0，1)，Q 直线AM 与平面PBC 所成的角为45o ，22212sin cos ,22(1)AM n AM n AM n λλαλλλ⋅+-∴====⋅⋅++-u u u u r r u u u u r r u u u u r r ，解得0λ=或23λ=．【点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.21.十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量(X 单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：污水量 [)230,250 [)250,270 [)270,290 [)290,310 [)310,330 [)330,350频率 0.30.440.150.10.0050.005将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立．（Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量[)270,310X ∈的概率；（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当[)230,270X ∈时，没有影响；当[)270,310X ∈时，经济损失为10万元；当[)310,350X ∈时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．【答案】（Ⅰ）2732；（Ⅱ）采取方案二最好，理由详见解析. 【解析】【分析】（Ⅰ）先求污水排放量[)270,310X ∈的概率0.25，然后再求未来3年里，至多1年污水排放量[)270,310X ∈的概率；（Ⅱ）分别求解三种方案的经济损失的平均费用，根据费用多少作出决策. 【详解】解：(Ⅰ)由题得()12703100.254P X ≤≤==，设在未来3年里，河流的污水排放量[)270,310X ∈的年数为Y ，则13,.4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量[)270,310X ∈”为事件A ，则()()()0312333312701()()44432P A P Y P Y C C ==+==+⨯=． ∴在未来3年里，至多1年污水排放量[)270,310X ∈的概率为2732． (Ⅱ) 方案二好，理由如下：由题得()2302700.74P x ≤≤=，()3103500.01P X ≤≤=．用1S ，2S ，3S 分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失,则1 3.8S =万元． 2S 的分布列为：()220.99620.01 2.6E S =⨯+⨯=．3S 的分布列为：3S 0 10 60 P 0.740.250.01()300.74100.25600.01 3.1E S =⨯+⨯+⨯=．∴三种方案中方案二的平均损失最小，∴采取方案二最好．【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望，数学期望是生活生产中进行决策的主要指标，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.22.在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的500名学生的数学考试成绩，并将其统计如下表所示．根据上表数据统计，可知考试成绩落在[]105,125之间的频率为0.28．（Ⅰ）求m 、n 的值；（Ⅱ）已知本欢质检中的数学测试成绩()2,X N μσ～，其中μ近似为样本的平均数，2σ近似为样本方差2s ，若该市有4万考生，试估计数学成绩介于110120～分的人数；(以各组的区间的中点值代表该组的取值)(Ⅲ)现按分层抽样的方法从成绩在[)85,95以及[]115,125之间的学生中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取4人进行试卷分析，记被抽取的4人中成绩在[]115,125之间的人数为X ，求X 的分布列以及期望()E X ．参考数据：若()2,X N μσ～，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=．【答案】（Ⅰ）210,100m n ==；（Ⅱ）5436；（Ⅲ）详见解析. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据考试成绩落在[]105,125之间的频率为0.28，可知频数为140，结合样本数可求m 、n ；（Ⅱ）先求出样本数的平均数和方差，再结合正态分布求出数学成绩介于110120～分的人数；（Ⅲ）求出X 的所有可能取值，分别求得概率，列出分布列求出期望.【详解】解：(Ⅰ)由题意可得5003012040,400.28500140,m n n +=---⎧⎨+=⨯=⎩解得210100m n =⎧⎨=⎩.(Ⅱ)依题意，故800.06900.241000.421100.21200.08100x μ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，224000.061000.2400.421000.24000.08100s σ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．则()2100,10X N ～，所以0.95440.6826(110120)0.13592P X -<<==，故所求人数为0.1359400005436⨯=．(Ⅲ)依题意成绩在[)85,95之间的抽取9人，成绩在[]115,125之间的抽取3人，故X 的可能取值为0，1，2，3．故()4941214055C P X C ===，()133941228155C C P X C ===，()223941212255C C P X C ===，()31391121355C C P X C ===．故X 的分布列为故E ()14281210123155555555X =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题主要考查利用样本估计总体和随机变量的分布列及期望，侧重考查数据分析，数学建模和数学运算的核心素养.。

江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校2020-2021学年高二下学期期中联考(理)试题 (1)

江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校2020-2021学年高二下学期期中联考（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．复数1-i2+i=z （i 为虚数单位)的虚部为（） A ．15B ．3-i 5C ．3-5D ．3i 52．下列说法正确的是（）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；C ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；D ．棱台各侧棱的延长线交于一点.3．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则直线m 与n 一定平行B ．若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则直线m 与n 可能相交、平行或异面C ．若m α⊥，//n α，则直线m 与n 一定垂直D ．若m α⊂，n β⊂，//αβ，则直线m 与n 一定平行4．在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为（） ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直； ②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则//αβ； ③若直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则lα；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线． A ．0B ．1C ．2D ．35．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为线段1AA ，1B C上的点，则三棱锥1D D EF-的体积为（）A ．13B ．14C ．16D ．112 6．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，下面结论错误的是（）A ．//BD 平面11CB DB ．1AC ⊥平面11CB DC ．异面直线1CB 与BD 所成角为60D ．三棱锥11D CB D -体积为237．如下图，在下列四个正方体图形中，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形是（）A ．①④B ．③④C ．④D ．①②④8．已知正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段1CC 的中点，且平面1AD M ⋂平面ABCD l =，则直线l 与1DC 所成角的余弦值为（）A ．10B ．15C ．35 D ．259．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，15AA AC ==，3AB =，4BC =，则在堑堵111ABC A B C -中截掉阳马111C ABB A -后的几何体的外接球的体积是（）A ．50πB ．1252πC ．1252π D ．200π10．已知复数z 满足=2z ，则34i z 的最大值是（）A ．5B ．9C ．7D ．311．某几何体的三视图如图所示，则其外接球的表面积为（）A ．803πB ．1369πC ．5449πD ．483π12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别是棱AB ，11A B 的中点，点P 在四边形ABCD 内（包括边界）运动，则下列说法不正确的是（）A ．若P 是线段BC 的中点，则平面1AB P ⊥平面DEFB ．若P 在线段AC 上，则1D P与11A C 所成角的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若1//PD 平面11AC E，则点P 的轨迹的长度为2D ．若//PF 平面11B CD，则线段PF 长度的最小值为6二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的母线与轴所成的角为__________．14．已知正三棱锥P ABC -中，D 是BC 的中点，若三个侧面是直角三角形，则直线PD 与直线AB 所成的角的大小为________.15．在正三棱锥P ABC -中，3AB =，5PB =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_____.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为11B D 上一动点（含端点），则下列四个结论：①//AM 平面1BC D；②11CM B D ⊥；③平面ACM ⊥平面11AB D；④点M 到平面1BC D的距离为定值.其中一定正确的结论序号是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，侧面11B C CB ⊥底面ABC ，E ，F 分别为棱BC 和11A C 的中点.（1）求证：//EF 平面11ABB A ；（2）求证：平面AEF ⊥平面11BCC B .18．（12分）如图，在矩形ABCD 中，2,2AB BC ==，E 为BC 的中点，把△ABE 和△CDE 分别沿,AE DE 折起，使点B 与点C 重合于点P ．（1）求证：PE⊥平面PAD；（2）求二面角P AD E--的大小．19．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1x ty=-⎧⎪⎨=⎪⎩（t为参数），曲线C的参数方程为2cos22sinxyθθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，其中点M的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求直线l以及曲线C的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求11MA MB-的值．20．（12分）如图直三棱柱111,ABC A B C -在底面ABC 中，1,90CA CB BCA ∠===，棱12,,AA M N=分别为111,A B A A的中点.（1）求证：BN ⊥平面1C MN；（2）求异面直线1BA 、1CB 所成角的余弦值.21．（12分）椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>与椭圆22:12524x y E +=有共同的焦点，且椭圆C 的离心率12e =，点,M F 分别为椭圆C 的左顶点和右焦点，直线l 过点F 且交椭圆C于,P Q 两点，设直线,MP MQ 的斜率分别为12,k k .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在直线l ，使得1214k k +=-，若存在，求出直线l 方程；若不存在，说明理由.22．（12分）已知函数()()21e x f x x ax =--（e 是自然对数的底数，∈a R ）．（1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若0x ∀>，()3e x f x x x +≥+，求a 的取值范围．【参考答案】一、选择题1.C2.D 3．C 4．A 5．C 6．D 7．A 8．A 9．B 10．C 11．C 12．D 二、填空题13．30° 14．3π 15．254π16．①④三、解答题17．证明：（1）取11A B 的中点G ，连接BG ，FG ，在111A B C ∆中，因为F ，G 分别为11A C ，11A B 的中点，所以11//FG B C ，且1112FG B C =，在三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，又E 为棱BC 的中点，所以//FG BE 且FG BE =，从而四边形BEFG 为平行四边形，于是//EF BG ，又因为BG ⊂面11ABB A ，EF ⊄面11ABB A ，所以//EF 平面11ABB A ..........................................................................(5分）（2）证明：在ABC ∆中，因为AB AC =，E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥，又因为侧面11B C CB ⊥底面ABC ，侧面11BCC B 底面ABC BC =，且AE ⊂面ABC ，所以AE ⊥平面1BCC B，又AE ⊂面AEF ，所以平面AEF ⊥平面1BCC B...........................................................................(10分）18．解：（1）在矩形ABCD 中，有,EC CD EB BA ⊥⊥， ∴由题意知：,PE PD PE PA ⊥⊥，而PD PA P =， ∴PE ⊥平面PAD ；........................................................(6分）（2）过E 作EF AD ⊥于F ，连接PF ，又AD ⊂平面PAD ，由（1）知：PE AD ⊥，而PE EF E ⋂=，所以AD ⊥平面PEF ， ∴PFE ∠为二面角P AD E --的平面角，而2AB BC ==，∴1,PF PE FE ===，则222cos 22PF FE PE PFE PF FE +-∠==⋅， ∵[0,]PFE π∠∈，∴4PFE π∠=................................(12分）19．解：（1）在l 的参数方程中消去参数t可得1y =+，在曲线C 的参数方程中，可得2cos 22sin x y θθ=⎧⎨-=⎩，()()()222222cos 2sin 4x y θθ∴+-=+=，即2240x y y +-=，所以，直线l 的普通方程为1y =+，曲线C 的普通方程为2240x y y +-=；.........(6分）（2）易知点()0,1M ，设直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），设点A 、B 对应的参数分别1t、2t ，将直线l 的参数方程代入2240x y y +-=得230t --=，34315∆=+⨯=，所以123t t =-，12t t +....................................................(9分）由于直线l过()0,1M ，故12121133MA M t B t t t +-==．..................................(12分）20.（1）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A B 的中点，1111C A C B =，111C M A B ∴⊥，111C M A B BA∴⊥平面，111BN A B BA C M BN⊂∴⊥平面，011,90,2CA CB BCA AA ==∠==,N 为1A A的中点，易得6,3MN BN ==MB ，得32=2MB ， 222090,MN BN MB BNM BN MN∴+=∠=⊥则即，11111MN C MN C M C MN MN C M MBN C MN ⊂⊂⋂=∴⊥平面平面平面.............................(6分）(2)解：连接1BC 交1B C于点D ,作1111,AC B C 的中点分别为,E F ，连接,,DE EF FD ,则1EDB ∠即为异面直线1BA 、1CB 所成的角，易求得2211655DE EF DF DB EB =+===，则在1EDB ∆中，2221111655cos 210DE DB EB EDB DE DB +-+-∠===..........(12分）21．解：（1）由题意可知椭圆C 中，1c =，由离心率12c e a ==可得2a =，又知2223b a c =-=，所以椭圆C的标准方程为22143x y +=........................................(4分）（2）右焦点()1,0F ，右顶点()2,0M -，假设存在直线l ，满足1214k k +=-若直线l 斜率不存在时，120k k +=，不合题意，舍去;设直线l 的方程为()1y k x =-，联立方程()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩化简得()22223484120k xk x k +-+-=，221212228412,3434k k x x x x k k -+==++ 由题意易知0∆>恒成立....................................................................................(7分）设直线与椭圆C 的两个交点为()()1122,,,P x y Q x y则()()1212121212112222k x k x y yk k x x x x --+=+=+++++()()121212122424x x x x k x x x x ++-=⋅+++2222222241282434344128243434k k kk k k k k k -⋅+-++=⋅-+⋅+++ ()()222222824843441216434k k k k k k k -+-+=⋅-+++114k =-=-，所以4k =，即直线():41l y x =-，化简得440x y --=，综上可知，存在直线:440l x y --=，满足1214k k +=-............................（12分）22．解：（1）()f x 的定义域为R ，()()e 2e 2x xf x x ax x a '=-=-．当0a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，∴()f x 有1个极值点；当102a <<时，()f x 在(),ln 2a -∞上单调递增，在()ln 2,0a 上单调递减，在()0,∞+上单调递增，∴()f x 有2个极值点；当12a =时，()f x 在R 上单调递增，∴()f x 没有极值点；当12a >时，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,ln 2a 上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增，∴()f x 有2个极值点；综上所述，当0a ≤时，()f x 有1个极值点；当0a >且12a ≠时，()f x 有2个极值点；当12a =时，()f x 没有极值点．............（6分）（2）由()3e x f x x x+≥+，得32e 0x x x ax x ---≥，当0x >时，2e 10x x ax ---≥，即2e 1x x a x --≤对0x ∀>恒成立，设()()2e 10x x g x x x --=>，则()()()21e 1x x x g x x ---'=．设()()e 10x h x x x =-->，则()e 1x h x '=-．∵0x >，∴()0h x '>，∴()h x 在()0,∞+上单调递增，∴()()00h x h >=，即e 1xx >+，∴()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴()()1e 2g x g ≥=-，∴e 2a ≤-．∴a 的取值范围是(],e 2-∞-．...................................................................................(12分）。

江西省南昌市八一中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题理含解析

江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z 满足1i1i z+=-，则||z =（） A. 2i B. 2C. iD. 1【答案】D 【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到答案．【详解】由题意，复数11ii z+=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题. 3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C. 3D.3【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故答案为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【答案】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i+-是纯虚数，10b xdx =⎰，0c =⎰则a ，b ，c 的大小关系是（） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D.c b a <<【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系.【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a ii +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ，121001122b xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰， 0c =⎰表示是以()0,0为圆心，以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<.故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A.6π B.4π C.3π D.512π 【答案】B 【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B. 8. 函数3xey x=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xey x=为奇函数，图象关于原点对称，排除B ，当x=1时，y=＜1，排除A ，当x=4时，4112e y =>，排除D ，故选C ．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【答案】D 【解析】因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ， AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°. 所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点. 选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形； ③三棱锥D －ABC 是正三棱锥； ④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【答案】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD⊥平面ADC，即得BD⊥AC，再根据计算得△BAC是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.⊥，若侧棱11. 如图所示，在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是SC．BC的中点，且MN AMSA=，则正三棱锥S—ABC外接球的表面积是（）23A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【答案】C【解析】分析】根据题目条件可得∠ASB=∠BSC=∠ASC=90∘，以SA，SB，SC为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M,N分别为棱SC,BC的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥， ∴SB ⊥AC (对棱互相垂直) ∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ， ∴MN ⊥平面SAC ， ∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径.∴26R ==， ∴R =3， ∴V =36π. 故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键.12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（）A. 1⎤-⎥⎣⎦ B. ⎫⎪⎪⎣⎭ C. ⎣⎦D.⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b+=联立解得22222()Aa cb x c-=，因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22sin 2sin ()2sin [,]A A a a c a a cAF c e x c x c e e e ααα--=∴-=∴=∈因此222222()()a c b a c c e--≤≤，解得22222222()()()2()a c b a c a c a a c ≤-≤-≤-≤-，，即22,20a a c ac ≤--≥，即21,1201e e e ≤--≥≤≤，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置. 13.()ππsin cos x x dx -+=⎰__________.【答案】0 【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出答案. 【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故答案为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【答案】8 【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边的长度，进而得到周长．【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N . 由作图可知：EN ∥FM ， ∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2. ∴截面的周长为8. 故答案为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【答案】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ，则其内切圆的半径为：13132a ⋅=， 23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=.故答案为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值； ②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥； ④一定存在某个位置，使MB 平面1A DE .【答案】①②④ 【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE . 因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变. 故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O , 则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB 平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确. 故答案为：①②④【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【答案】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PEFD EA=，∴PE MFEA FA=，所以EF ∥PM ，从而得证. 试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM . 因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝.由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【答案】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M . 【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=，同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2，∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ， ∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩，（m 为参数). （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB+. 【答案】（1）10x y --=，24y x =；（2）1 【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =. （2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上.设直线l 的参数方程为21222t x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()2121222432321t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=， ∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ， ∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形， ∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面，∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ； (2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GF HC ，根据线面平行的判定定理可得GF平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN , G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,2233GN ED ∴==, 又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==1316,33EQ GQ ==在GFQ ∆中222339cos 2?GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠==，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的. 22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈. (Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )xf x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈>⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a+>时，()0f x '>；所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<；所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；；若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增；若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x xf x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭，令()()121xh x ae a x ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-．于是，由()1210xae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+，即211xa x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211xx x F x x e +-='-.当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max11F x F e⎡⎤==⎣⎦. 于是，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-. 故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭。