最优化理论与方法(南京大学)-lec1-Introduction
最优化理论与方法
最优化理论与方法综述李超雄最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种管理问题及其生产经营活动。
最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。
这就是我理解的整个课程的流程。
在这整个学习的过程当中，当然也会遇到很多的问题，不论是从理论上的还是从实际将算法编写出程序来解决一些问题。
下面给出学习该课程的必要性及结合老师讲解以及在作业过程中遇到的问题来阐述自己对该课程的理解。
20世纪40年代以来，由于生产和科学研究突飞猛进地发展，特别是电子计算机日益广泛应用，使最优化问题的研究不仅成为一种迫切需要，而且有了求解的有力工具。
因此最优化理论和算法迅速发展起来，形成一个新的学科。
至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分文。
最优化理论与算法包括线性规划单纯形方法、对偶理论、灵敏度分析、运输问题、内点算法、非线性规划K-T条件、无约束最优化方法、约束最优化方法、参数线性规划、运输问题、线性规划路径跟踪法、信赖域方法、二次规划路径跟踪法、整数规划和动态规划等内容。
最优化理论所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。
这类问题普遍存在。
例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排基本单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。
最优化理论与方法概述
分类：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等
特点：多目标、多约束、多变量、非线性等
应用领域：经济、金融、工程、科学计算等
最优化问题的分类
线性规划问题
整数规划问题
动态规划问题
非线性规划问题
组合优化问题
03
最优化理论的基本概念
函数的方向导数和梯度
牛顿法的基本原理
迭代过程收敛于函数的极小值点或鞍点
牛顿法适用于非线性、非凸函数的最优化问题
牛顿法是一种基于牛顿第二定律的数值优化方法
通过选择一个初始点，并迭代地沿着函数的负梯度方向进行搜索
拟牛顿法的基本原理
拟牛顿法的基本思想
拟牛顿法的迭代过程
拟牛顿法的收敛性分析
拟牛顿法的优缺点比较
05
最优化方法的收敛性和收敛速度
未来发展趋势与展望
最优化方法在深度学习中的应用
最优化方法在深度学习中的未来发展
最优化方法在深度学习中的优势与挑战
最优化方法在深度学习中的应用案例
深度学习中的优化问题
最优化方法在金融工程中的应用
投资组合优化：利用最优化方法确定最优投资组合，降低风险并提高收益
风险管理：通过最优化方法对金融风险进行识别、评估和控制，降低损失
极值点：函数在某点的函数值比其邻域内其他点的函数值都小或都大
最优值点：函数在某点的函数值比其定义域内其他点的函数值都小
最优化理论的基本概念：寻找函数的极值点和最优值点，使函数达到最小或最大值
函数的凸性和凹性
凸函数：对于函数图像上的任意两点，连接它们的线段都在函数图像的下方
凹函数：对于函数图像上的任意两点，连接它们的线段都在函数图像的上方
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化理论是工程学和应用科学领域中最广泛应用的一门学科，它能够帮助人们在节省资源的同时实现最佳效果，因此在经济管理、工业制造、信息网络设计和科学研究等不同领域中都受到重视。
最优化理论的基本思想是，在满足约束条件的情况下，通过寻求最大化或最小化某种目标函数而实现最优解。
它包括两个主要部分：最优化理论和最优化方法。
最优化理论是一门具有概念性的学科，它试图从宏观上优化一个系统，而不是解决具体的数学问题。
它涉及到描述、分析和解决最优化问题的方法，包括一系列与其有关的概念和理论，比如：最优解、最优性条件、约束型最优化、无约束型最优化、可行性等等。
最优化理论的主要目的是通过分析和理解最优化问题，以及它们的解决方案，从而更好地了解和解决实际应用中的问题。
最优化方法则是为解决最优化问题提供解决方案的实用性技术。
它们包括一系列具体的算法和技术，比如数学规划、局部最优化方法、模式识别、迭代搜索、优化建模技术等等。
最优化方法的重点是通过合理的实施和调整，使最优化问题获得较优的解决方案，从而满足实际应用需求。
最优化理论和方法都是复杂的，它们不仅涉及数学理论，还涉及计算机科学、通信技术、管理学、经济学和工程学等多领域的知识。
因此，要想熟练掌握最优化理论和方法，就必须全面系统地学习和练习。
最优化理论和方法在许多可行性研究中被广泛使用，它们可以帮助我们更好地优化我们的资源，并通过有效地运用它们来提高系统的性能。
由于它们的重要作用，最优化理论和方法的研究和应用将继续受到重视和推广。
最后，最重要的是要掌握最优化理论和方法的原理和思想，并在实践中熟练掌握操作技能，从而更好地应用到实际的工程和科学研究上，进一步提高系统的效率和性能。
最优化理论与方法
最优化理论与方法
近代科学技术发展迅猛，人类从不同的领域对事物的探索也日益深入，把握规律的重要性也日益凸显。
最优化理论与方法，就是人类探索规律的一种重要工具，也是科技发展的先锋派之一。
它被广泛应用于解决实际问题，成为众多科技领域的最佳实践方法。
最优化理论与方法，是理解和阐释许多复杂现象的有效方式。
它是一类工具，可以通过对复杂系统建模、设计实验并仿真分析，解决现实世界中的复杂问题。
它具有优势，能够让我们整合系统中的数据，分析出各种潜在的解决方案，以达到全局最优的效果。
最优化理论与方法，主要涉及优化原理、数学建模、数理算法等知识体系。
在建立数学模型时，意在求解满足一系列优化约束条件下，极小或极大化某一函数或变量，以达到系统最优化目标。
它采用各种优化算法，其中包括最小二乘法、牛顿法、拟牛顿法、多层约束算法和动态规划等，不仅可以实现数学模型的构建，而且可以对数学模型进行有效的优化计算。
当前，最优化理论与方法已在工业技术、决策与决策分析、知识工程、经济学等诸多领域中得到广泛应用，从而解决了实际中许多复杂问题。
例如，在决策分析中，它可以改善决策机制，从而使我们能够达到更完美的决策效果；在工程技术中，它可以为解决因参数设置不当而导致的质量问题提供有效方案；在机器学习领域，它可以为神经网络设计提供技术支持。
未来，随着科技的发展高速发展，最优化理论与方法将在解决实
际问题中发挥越来越大的作用，它将会帮助我们更好地理解世界，给我们更便捷地解决实际问题，从而为人类提供更大的实际利益和价值。
综上所述，最优化理论与方法，不仅是实现科学技术进步最有效方法之一，更是解决实际问题的重要工具，它将在解决实际问题中发挥越来越大的作用。
最优化理论与方法第一章资料
minf (x) s.t.g(x)0,
xD.
目标函数 约束函数 有限点,决 集策变量
7
1.1 组合优化问题
组合优化问题的三参数表示：
(D,F, f ) D:决策变量定义域
Fx| xD,g(x)0,可行域 ,有限点集
f :目标函数 xF:可行解（点）
x :最优解，如x果 F, f (x)minf (x)| xF.
其中
(1.4) 总 路 长 (1.5) 只 从 城 市 i出 来 一 次 (1.6) 只 走 入 城 市 j一 次
, n , (1.7) 在 任 意 城 市 子 集 中 不 形 成 回 路
(1.8) 决 策 变 量
dij:城 市 i与 城 市 j之 间 的 距 离 , s :集 合 s中 元 素 的 个 数 ，
从算法中选取一种对于所研究的问 题来说是 基本操作 的原操作，以该 基本操作 在算法中重复执行的次数 作为算法运行时间的衡量准则。
1.3 计算复杂性的概念
算法计算量的度量之例——TSP枚举法
计算量的统计： 城市数n 第一城市为始终点，计算一条路径（ 1,i2, ,in,1） 长度的基本运算 为两两城市间距离的n个数求和,共有(n1)!条路径,
（3）更新被除数和除数：m←n，n←r，转(1)。
解二.
开始
输入m、n
r=m%n
r=0?
是
否
m←n，n←r
输出n
解三.
Euclid(int m, int n) { int r; while(n!=0)
{ r=m%n; m=n; n=r; }
printf(“%d”, m) }
1.3 计算复杂性的概念
1．有穷性 对于任意一组合法输入值，在 执行有穷步骤之后一定能结束，即： 算法中的每个步骤都能在有限时间内完成；
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化是一门跨学科的数学领域，它有助于解决许多与决策有关的问题，它有着广泛的应用，主要用于满足个人和组织的目标。
最优化理论包括最优化模型，最优算法和最优化方法。
最优化模型是一种数学模型，它可以表示一种决策问题。
这些模型通常包含相关变量、目标函数、约束条件和其他等价约束条件。
最优化模型有助于求解某些有效决策，可以用来实现各种目标，例如最小化成本、最大化收益、最小化时间等。
最优化算法是一种算法，可以用来解决最优化问题。
常见的最优化算法包括梯度下降法、迭代尺度法、贪心法、遗传算法和模拟退火算法等。
这些算法通常被用于寻找最佳解决方案，并可以用来优化模型的性能。
最优化方法是最优化中的一种综合应用技术，它主要包括数值法、不确定规划、多目标规划和程序优化等。
该方法旨在优化系统性能，实现最优化目标，并解决复杂的决策问题。
数值法是一种常见的最优化方法，它通过试验得出最优值，以满足目标函数和约束条件。
不确定规划是通过探索不确定性情况下的最优决策，以实现最优目标。
多目标规划通过同时考虑多个优化目标的权衡，实现最优化。
程序优化是根据某种程序的特点，通过改进程序结构和增加有效的计算，实现系统性能的提高。
最优化理论与方法也有助于解决其他复杂的数学问题，例如多元函数求根、函数近似、非线性规划等。
这些理论和方法可以用于确定近似最优解，求解非线性方程组，求解最优化问题和实现系统性能优化等。
总之，最优化理论与方法是一门重要的跨学科学科，对解决决策问题、复杂的数学问题和实现系统优化都有重要的作用。
通过最优化理论与方法，可以优化决策过程，满足个人和组织的目标，从而提高绩效和效率。
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化（Optimization）是经济学、工程学和数学的重要研究课题，也是一门系统性研究和分析决策问题的学科。
它将现实世界中的一般问题转化为一个函数最大化或最小化的数学模型，然后寻找解决问题的最优解。
最优化理论是最优化领域的主要理论基础，它是研究最优的解的学习、分析和解决方案的基础。
最优化理论的主要内容包括最优化模型、解的性质、计算方法等。
最优化理论可以用来分析和解决线性规划、非线性规划等广泛的最优化问题。
最优化方法是将一般最优化问题转换为数学形式，并对其进行求解的方法。
基于给定的最优化模型，最优化方法可以求得最优解，解决决策问题，或者有效地构建更多的结论。
最优化方法的主要内容包括简单随机搜索、梯度方法、随机模拟退火法、免疫优化算法、遗传算法等。
在实际的应用中，最优化理论和方法有着重要的实际意义。
如果没有最优化理论和方法，就不可能在现实世界中做出合理的、有效的决策。
最优化理论和方法是现代信息技术应用的基础，在现代社会中已经成为一门独立的学科，广泛应用于工业制造、决策管理、金融投资领域中，为各类技术问题的求解提供了重要的支持和帮助。
一般来说，最优化理论和方法的基本步骤包括：（1）定义最优化问题的目标函数；（2）给出相应的约束条件；（3）构建最优化模型；（4）使用最优化方法求解模型，获得最优解；（5）评估最优解；（6）根据评估结果检验解的可靠性；（7）根据最优解给出解决方案，满足实际需求。
当前，最优化理论的研究水平越来越高，并且广泛应用于工业制造、决策管理、金融投资等领域，为各类技术问题的求解和解决提供了重要的支持和帮助。
其中，组合优化、离散优化、决策树、支持向量机等新兴技术在最优化理论和方法中发挥着重要作用。
随着计算机技术的发展，算法求解和模型优化技术也有了新的进展，为最优化理论和方法的发展提供了更多的可能性。
总之，最优化理论和方法是现代信息技术应用的基础，是实现最优决策的基石，也是现代社会中重要的、有效的解决问题的方法和工具。
最优化理论和方法-第一章 引言
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
注2. 数据拟合、参数估计、回归分析等许多问题中 均涉及此类优化问题.有专用的算法求解.(5.4节)
或者
(见习题7.19)
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
变分法的例子
例3 图像处理的偏微分方程法 L.I. Rudin. Nonlinear total variation based noise removal algorithm, Physica D: Nonlinear Phenomena, 1992,60(1-4):259-268
优化研究之数学规划和科学计算角度
• 数学规划层面
➢ 重点研究“优化问题和算法的基本性质”. ➢ 核心问题：解的存在性及描述、算法的收敛性和收敛速
度等.
• 科学计算层面
➢ 受数学性质和(为了有效和实用目的)实现的强烈影响. ➢ 研究问题：数值稳定性、算法步骤的病态性、计算复杂
度等.
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
优化研究之运筹和工程角度
• 运筹层面
➢ 主要关注优化问题的表述并研发求解策略，通常使 用已经研究好的算法或者成熟软件.
➢ 这个层次碰到的许多问题含有线性约束和离散变量.
• 工程层面
➢ 将优化策略应用到具有挑战性的(通常定义的很差 的)实际问题中.
➢ 这个层次的优化知识混杂了可应用方法的有效性和 可靠性，主要研究内容：解的分析，求解方法失败 的诊断及恢复.
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化是研究如何找到使某个目标函数取得最大值或最小值的问题。
最优化理论和方法是解决最优化问题的一类数学方法。
随着现代科学技术的发展，最优化理论和方法在工程、经济、管理等领域有着广泛的应用。
最优化问题可以分为无约束问题和约束问题。
无约束问题是指目标函数只受自变量的约束，而约束问题则在自变量取值的同时还受到一定的约束条件。
最优化问题的数学描述为：\begin{align*}&\text{最小化} \quad f(x)\\&\text{约束条件} \quad g(x) \le 0\\&\quad\quad\quad\quad h(x) = 0\\\end{align*}其中，f(x)是目标函数，g(x)是不等式约束条件，h(x)是等式约束条件，x是自变量。
最优化问题的解即为使目标函数取得极小值或极大值的自变量值。
解的存在性和唯一性与目标函数和约束条件的性质有关。
解的性质可以通过最优性条件来判定，最优性条件包括一阶导数条件和二阶导数条件。
最优化理论和方法可以分为数学规划方法和数值优化方法。
数学规划方法是一类用数学方法求解最优化问题的方法。
其中，线性规划是最基本的数学规划方法之一。
线性规划问题的目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题具有特殊的结构，可以通过线性规划算法高效地求解。
线性规划的应用非常广泛，例如生产计划、资源分配、运输问题等。
非线性规划是一类目标函数或者约束条件中存在非线性项的最优化问题。
非线性规划问题的求解相对更加困难。
常用的非线性规划算法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
整数规划是一类目标函数或者约束条件中自变量取整数值的最优化问题。
整数规划问题具有离散性的特点，求解整数规划问题比线性规划问题更加困难。
常用的整数规划算法包括枚举法、分支定界法和割平面法等。
数值优化方法是一类用数值计算方法求解最优化问题的方法。
数值优化方法主要分为直接搜索法和迭代法。
最优化理论与方法(南京大学)-lec0-outline
Theory and Method
Basic Information
Instructor: XU Wei 徐薇 Office: Room 312 E-mail: xuwei@
Class Schedule: Wed, 2:00 ~ 4:50 p.m. Office Hours: by appointment
[6] 袁亚湘, 孙文瑜, 最优化理论与方法, 科学出版社, 1997. [7] 张可村, 李换琴, 工程优化方法及其应用, 西安交通大学出版社, 2007.
4
Homework and Grading
• Homework problems will be assigned at the end of each chapter, but won’t be collected
• No midterm exam • One quiz • Final grade:
Quiz (15%) + Report (15%) + Final Exam (70%)
5
•约束问题
• Dynamic Programming
•动态规划
• Variational Inequality Problems
•变分不等式问题
3
ReferencБайду номын сангаасs
[1] David G. Luenberger and Yinyu Ye, Linear and Nonlinear Programming, Springer, 2007. [2] Stephen G. Nash and Ariela Sofer, Linear and Nonlinear Programming, The McGraw-Hill Companies, Inc., 1996. [3] Dimitri P. Bertsekas, Nonlinear Programming, Athena Scientific, 1999. [4] J. Nocedal and Stephen J. Wright, Numerical Optimization, Springer, 1999. [5] Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004.
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化理论与方法是数学和工程领域中的一个重要分支，它致力于寻找最优解或者最优方案。
在现实生活和工程实践中，我们经常会遇到各种各样的问题，比如资源分配、成本最小化、效率最大化等等，这些问题都可以通过最优化理论与方法来解决。
最优化理论与方法的研究对象包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、凸优化等等。
其中，线性规划是最优化理论与方法中的一个重要分支，它的目标是在一组线性约束条件下，寻找一个线性函数的最大值或最小值。
非线性规划则是研究非线性函数的最优化问题，它的解决方法通常包括梯度下降法、牛顿法等。
整数规划则是在决策变量为整数的情况下进行优化，这在许多实际问题中都有应用。
动态规划是一种解决多阶段决策过程的最优化方法，它将原始问题分解为若干个子问题，通过递推的方式求解最优解。
凸优化则是研究凸函数的最优化问题，它在机器学习、信号处理等领域有着广泛的应用。
最优化理论与方法在工程实践中有着广泛的应用。
比如，在生产调度中，我们可以利用最优化方法来安排生产计划，使得生产效率最大化；在交通规划中，最优化方法可以帮助我们设计最短路径、最少换乘的交通线路；在金融领域，最优化方法可以用来进行投资组合优化，寻找最优的投资方案。
除了在工程实践中的应用，最优化理论与方法也在科学研究中有着重要的地位。
比如，在物理学中，最优化方法可以用来求解能量最小化、路径最短等问题；在生物学中，最优化方法可以用来研究生物体的最优生长方式、最优繁殖策略等等。
总之，最优化理论与方法是一个非常重要的研究领域，它不仅在工程实践中有着广泛的应用，也在科学研究中发挥着重要作用。
随着计算机技术的发展，最优化方法的应用范围将会越来越广，对于解决现实生活中的各种问题将会起到越来越重要的作用。
希望通过对最优化理论与方法的研究，能够为人类社会的发展做出更大的贡献。
最优化理论与方法(南京大学)-quiz1-ans
is also a global minimizer.
Optimization Theory and Method
Fall 2009/2010
Q4. Let Bk+1 be obtained from Bk using the BFGS update formula. Bk+1 is only guaranteed to be positive definite if ykT sk > 0 . Prove that if the Wolfe condition
pkT ∇f ( xk + αpk ) ≤ η pkT ∇f ( xk )
is used to terminate the line search, and η < 1, then ykT sk > 0 . Hence, if an appropriate line search is used then Bk+1 will be positive definite.
Sol. Suppose that x* is a local but not a global maximizer. Then we can find a point z ∈ n
( ) with f ( z) > f x* . Consider the line segment that joins x* to z , that is,
further than 4/3 and decreases no furt function
f ( x1, x2 ) = 8x12 + 3x1x2 + 7x22 − 25x1 + 31x2 − 29
Find all stationary points of this function, and determine whether they are local minimizers and maximizers. Does this function have a global minimizer or a global maximizer?
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化理论和方法是现代科学发展的一项重要的研究方向，它涉及的领域涵盖了线性代数，非线性函数论，拓扑学，数值分析，概率论，运筹学等多种学科。
它以寻求解决问题的最优解为目标，因而被称为最优化理论。
最优化理论的研究可以从几个不同的角度来考虑。
一方面，最优化理论可以将一般的数学问题转化为特定的极值问题，从而求得最优解。
此外，最优化理论也可以探索系统的最优结构，检查最优结果的有效性以及提出有效的实现方法。
在这一领域内，科学家们已经发展了多种最优化理论，这些理论可以用来解决不同种类的问题，如线性规划，非线性规划，动态规划，优先级规划，随机规划等。
此外，为了求解特殊类型的最优化问题，还有一些非标准的最优化理论和对应的方法，如贝叶斯最优化，过滤器最优化，神经网络最优化，模糊最优化，遗传算法最优化等。
最优化理论与方法在许多应用领域中都有广泛的应用，其中最突出的应用例子是制造领域。
例如，在这一领域中，工程师可以利用最优化理论来设计具有最低成本的生产系统，以及提高设备的操作效率和生产质量。
此外，机器学习也会结合最优化理论和方法，帮助企业发现有用的差异，分析和预测数据，进而改善企业的运营状况和竞争力。
最优化理论的发展与实践也受到了计算资源的限制，因此，在将最优化理论应用于实际应用时，需要考虑计算机资源和时间，以及对最优化问题的近似方法。
虽然最优化理论并不能解决所有问题，但它能够有效地帮助我们理解和解决问题。
最优化理论的应用范围非常广泛，因此，研究者们需要一种综合的研究方法来深入和深化最优化理论，从而拓展其应用范围，并帮助企业和社会更好地实现可持续发展。
总之，最优化理论与方法是一门复杂而又广泛的学科，它既涉及理论研究，又涉及实际应用，令人分不清哪是理论，哪是应用。
它的有效运用，为实现社会可持续发展，提供了重要的参考。
最优化基础理论与方法
最优化基础理论与方法
最优化是研究一类具有其中一种特定性质的非线性函数最优解的一门数学理论，其主要目的是在一定的条件下寻找出该问题的最优解以及最优解的性质。
最优化基础理论及其实用方法在现代应用中起着重要作用，其业绩远远超出其他数学理论。
最优化的基础理论可以分为两个方面，其一是的理论，主要研究的是最优解的存在性以及最优解的求解方法；其二是分析的理论，主要研究的是最优解的特征和性质，以及最优解的结构。
一般来说，最优化的基本理论有最优化方程的存在性，拉格朗日最优性条件，最优解的单调性特征，最优解的松弛性特征等。
而最优化的实用方法可以分为两类，即精确解法和近似解法。
精确解法是指采用数学计算的方法，通过满足最优化函数的拉格朗日最优性条件，结合相应的形式化变量，直接求得最优解的精确解法。
近似解法是指在求解最优解时因为一些原因而没有找到最优解，改进最优解及其相关性质的一类优化方法。
它们从未被求解的问题出发，通过构建近似问题在一定程度上求解未知的最优解。
常见的近似解法有拟牛顿法，迭代割线法，拟合序列法等。
第1讲最优化理论与方法概述
第1讲最优化理论与方法概述
优化理论与方法是科学技术、工程技术及社会经济领域最基本的理论与方法之一，它包括有效管理信息、数据资源、计算资源、计算方法及其运用于完成一定任务的整个过程。
优化理论与方法的基本特征是求解问题的最优解，即能够以最少的代价实现最大的效果。
因此，这门学科也有时被称为优化算法、优化方法、最优化理论与方法等。
优化理论与方法一般涉及到分析、求解、估算、定制和能力提升等基本活动。
它主要是通过分析、提取、重新组合有效信息，以最少的费用实现最大效益，系统地实现数据决策的动态过程，最终达到给定目标的一种科学过程。
优化理论与方法的应用范围十分广泛，既可以应用到工业管理、经济管理等领域，也可以应用到物理、化学、生物和生态学中，甚至可以用于地理系统分析和空间规划等方面。
在求解优化问题时，可以采取数学优化方法，也可以采用模拟优化方法，或利用一组算法和经验性算法等复杂技术来实现多目标的最优化。
常见的优化方法包括数学规划、非线性规划、半定规划、综合规划、多目标优化法、博弈论、动态规划、多变量优化及经验性算法等，这些方法可以根据具体问题，选择最合适的解决办法。
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化理论与方法，是一个非常重要的和有效的研究主题，它涉及到多个领域的优化问题，从物理场景到社会科学、从工程科学到金融工程。
本文将重点介绍关于最优化理论与方法的基本概念、研究方法、应用前景以及存在的问题。
一、最优化理论与方法的基本概念最优化理论与方法，是一种有效的求解优化问题的研究方法。
它通过将优化问题转变为一种数学模型，来求解该最优解。
最优化理论与方法可以应用于许多领域，比如计算机图形学、自然语言处理、组合优化、多目标优化等领域的优化问题。
最优化问题的求解主要分为两个方面，即理论方法和数值方法。
理论方法可以通过分析和构造最优化模型来实现最优化的求解，而数值方法则是通过计算机自动运行穷举、搜索算法等来实现最优化求解。
二、最优化理论与方法的研究方法为了有效地解决最优化问题，需要采用合理的研究方法，包括： 1、建立优化模型：首先要建立优化模型，即根据实际情况，通过数学技术来构建相关的优化模型。
2、优化分析:建立优化模型后，可以通过分析模型中的各个变量，以及其对最优解的影响，从而寻找最优解。
3、优化求解：在优化分析中，有时可以使用极小值法或者极大值法来求解最优解。
4、优化实施：最后，可以将所得到的最优解，通过合理的实施方案，实施在实际应用中，从而获得更高的效果。
三、最优化理论与方法的应用前景最优化理论与方法的应用越来越广泛，对科学技术的发展也起到了极大的作用。
未来最优化理论与方法在许多领域都将发挥重要作用，有可能被应用在社会科学领域，如决策分析、规划决策、社会网络分析、多级规划等社会科学问题上；在可持续发展领域，优化理论与方法也可以被用于多种可持续发展问题，如资源有效分配、生态系统服务价值评估等；在军事问题上，最优化理论与方法可以被用于抗衡战争、复杂武器装备配置等问题，等等。
四、最优化理论与方法存在的问题最优化理论与方法还存在一些问题，包括：1、运算复杂度：最优化理论与方法往往需要计算较大量的数据，运算复杂度较高。
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化是指从数量上的角度，以尽量减少成本或增加收益为目标，按照科学的方法和原则，系统地求解给定条件下最好的决策。
其中最优化理论和最优化方法是实现最优化的根本。
1、最优化理论最优化理论是一门广泛的理论，包括最优化的基本原理、最优化目标的定义、最优化参数的表示、最优化的数值模型以及求解最优化模型的方法。
（1）最优化的基本原理：最优化就是找出满足限制条件下最好的解决问题的方法，它是实现经济效益最大化的手段。
因此，最优化的基本原理是：在给定的约束条件下，优化给定的目标函数，寻求其最优解。
（2）最优化目标的定义：最优化目标指的是用以表示被优化的性能的函数，有时只是一个函数，有时可以是多个组合的函数。
例如，机器学习中的损失函数；优化调度中的时间耗费或成本函数等。
（3）最优化参数的表示：最优化参数用于描述优化过程中的自由参数。
它们是寻求最优解的主角，可以有数量上的约束，也可以没有约束。
（4）最优化的数值模型：最优化的数值模型是特定场合下，根据实际问题和最优化原理，把目标函数和约束条件表示为数学模型的过程。
（5）求解最优化模型的方法：求解最优化模型的方法指的是对特定最优化模型求解最优解的方法，主要有迭代法、梯度下降法、拟牛顿法、单纯形法及类比应用等。
2、最优化方法最优化方法是指用数学方法、统计方法、计算机技术等实际工具，在满足给定条件的情况下，尽可能求得最优解的技术，它是实现最优化的有效手段。
常用的最优化方法有线性规划、非线性规划、动态规划、博弈论、贪心法等。
（1）线性规划：线性规划是指在一系列约束条件下，优化一系列线性函数的方法。
它的目标是找到一个可行的决策，使目标函数达到最优值，要求目标函数和约束条件都是线性的。
（2）非线性规划：非线性规划是指在一系列非线性约束条件下，优化非线性函数的方法。
它的特点是目标函数和约束条件可以是非线性的，可以通过分析非线性函数的定义域和最优解，找到最优化解。
（3）动态规划：动态规划是指在一系列约束条件下，优化某一函数的最优解的过程，其特点是无论多少步，最优解都是一致的，具有很强的计算和递推性。
最优化理论与方法概述
最优化理论与方法概述
最优化理论与方法是应用数学中最重要的一个学科，也是数学应用的
一个重要组成部分。
最优化理论的研究主要是针对一定的目标函数（即要
达到的期望值），通过其中一种有效的算法或方法，来找到最优解或最优
化解（即最大值或最小值）。
最优化理论与方法分为三类：算法，凸优化，无约束优化。
一、算法：
算法是最优化理论的基础，是可以由人或计算机完成的一系列有限次
数的操作，用来解决特定的数学问题。
算法可分为数值算法、梯度下降算法、增量型算法、收敛算法、动态规划算法、局部算法、物体检索算法等。
二、凸优化：
凸优化是求解优化问题的一类重要技术，通过求解被称为凸集的函数
的极值来求解优化问题。
凸优化的重要方法包括拉格朗日算法、随机化算法、凸规划等。
三、无约束优化：
无约束优化是求解优化问题的一类重要技术，主要用于求解没有任何
约束条件的最优解，其中常见算法有弗拉马克（Frank-Wolfe）算法、拉
格朗日拉斯特（Lagrangian Relaxation）算法、新康登（Newton-Cotes）算法和模拟退火（simulated annealing）算法。
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• Linear Programming(线性规划) • Nonlinear Programming(非线性规划)
– Unconstrained Problems(无约束最优化方法) – Constrained Problems(约束最优化方法) ☆ Variational Inequality (VI)(变分不等式)
• Monotone VI • Non-monotone VI
5
Optimization Problem
(Mathematical) Optimization Problem
minimize f x subject to gi x bi , i 1,L ,m
g x x1,L , xn : optimization variables (优化变量)
2
Optimization Process
real world problem
analysis
validation, sensitivity analysis
algorithm, model, solution technique
numerical methods
verification 验证
computer implementation
the roads, the travel times between intersections can be considered as
constant, but if the traffic is heavy the travel times can increase
体运行时间) for handling a (long) sequence of tasks(处理一个任务序
列), by appropriately assigning a fraction of each type of task to each
worker.
Worker
Information
Policy
Suppose that a manufacturer of kitchen cabinets is trying to maximize the weekly revenue of a factory. Various orders have come in that the company could accept. They include bookcases(书橱) with open shelves, cabinets with doors, cabinets with drawers, and custom-designed(定制的) cabinets. The following Table indicates the quantities of materials and labor required to assemble the four types of cabinets, as well as the revenue earned. Suppose that 5000 units of wood and 1500 units of labor are available.
Chapter 1
Introduction & Preliminaries
Optimization
• Optimization models attempt to express, in mathematical terms(数 学术语), the goal of solving a problem in the “best” way
g f : n : objective function (目标函数) g gi : n , i 1,L , m : constraint functions (约束函数)
optimal solution(最优解) x* has smallest value(最小值) of f among all vectors(矢量) that satisfy the constraints(满足约束条件).
• Optimization models have been used for centuries, as their purpose is so appealing, and in recent times, they have come to be essential
• The concept of optimization is well rooted as a principle underlying the analysis of many complex decision or allocation problems
Data fitting(数据拟合) • variables: model parameters • constraints: prior information, parameter limits • objective: measure of misfit or prediction error
• A particular optimization formulation should be regarded only as an approximation
• Learn to identify and capture the important issues of a problem
4
Types of Problems
3
Optimization
• One approaches a complex decision problem involving
– selection of values for a number of interrelated variables(关联变量) – focus attention on a single objective(单目标) designed to quantify
office handles three types of work: requests for information, new policies,
and claims. There are five workers. Based on a study of office operations,
the average work times (in minutes) for the workers are known (see the Table). The company would like to minimize the overall elapsed time(整
Cabinet
Wood
Labor
Revenue
Bookshelf
10
2
100
With
With Drawers
25
8
200
Custom
20
12
400
8
Linear Programming
Example 2
Consider the assignment of jobs to workers. Suppose that an insurance
Example 1
Suppose that four buildings are to be connected by electrical wires. The positions of the buildings are illustrated in the Figure(如图所示). The first two buildings are circular: one at (1,4)T with radius(半径) 2, the second at (9,5)T with radius 1. The third building is square with sides of length 2 centered at (3,-2)T. The fourth building is rectangular with height 4 and width 2 centered at (7,0)T. The electrical wires will be joined at some central point (x0 , y0)T, and will connect to building i at position (xi , yi)T. The objective(目标) is to minimize the amount of wire used.
performance and measure the quality of the decision(衡量决策品质) – the objective is maximized or minimized subject to the constraints that
may limit the selection of decision variable values(决策变量值)
– running a business to maximize profit, minimize loss, maximize efficiency, or minimize risk
– designing a bridge to minimize weight or maximize strength – selecting a flight plan for an aircraft to minimize time or fuel use
Claim
1
10
28
31
2
15
22
42
3
13
18
35
4
19
25
29
5