高考数学一轮总复习课件第7章不等式、推理与证明第一节

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高三数学一轮复习第七章不等式、推理与证明 7.5 数学归纳法

关闭
C
答案
-8-
知识梳理双基自测
12345
3.已知
n
为正偶数,用数学归纳法证明
1-12
+
1 3
−
14+…-��1��=2
1 ��+2
+
��+1 4+…+21��
时,若已假设 n=k(k≥2,且 k 为偶数)时
命题为真,则还需要用归纳假设再证 ( )
A.n=k+1时等式成立 B.n=k+2时等式成立 C.n=2k+2时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立
关闭
B
答案
-9-
知识梳理双基自测
12345
4.在用数学归纳法证明“平面内有n条(n≥2)直线,任何两条不平行,任何三条不过同一个点的交点个数为 ��(��2��-1)” 时,第一步验证n0等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
因为平面内不平行的两条相交直线就有交点,所以验证n0=2. B
解析
关闭关闭
答案
-10-
知识梳理双基自测
12345
5.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=
��4
+ 2
��2
,当n=k+1时,左端应
在n=k的基础上增添的代数式是
.
关闭
∵当n=k时,左侧=1+2+3+…+k2,当n=k+1时,左侧
=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明 7.1 不等关系与不等式课件理新人教A版.pptx

A.若a>b，c≠0，则ac>bc
B.若a>b，则ac2>bc2
√C.若 ac2>bc2，则 a>b
D.若 a>b，则1a<b1
解析对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b.故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确.
当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立.故选D.
(2)(2019·潮州模拟)已知－1≤x＋y≤1,1≤x－y≤3，则 8x·12y 的取值范围是
A.[2,28]
B.12，28
√C.[2,27]
D.12，27
解析 8x·12y＝23x·12y＝23x－y，
令3x－y＝s(x＋y)＋t(x－y)＝(s＋t)x＋(s－t)y，
解析因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－
1)2＋4>0，
所以M>N.
(2)若a>0，且a≠7，则
A.77aa<7aa7
√C.77aa>7aa7
B.77aa＝7aa7 D.77aa与7aa7的大小不确定
解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝7a7－a，则当 a>7 时，0<a7<1,7－a<0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7；当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.
基础自测
题组一思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明 71 不等关系与不等式课件文

12/11/2021
(2)解法一：由 0<c<1 知 y＝xc 在(1，＋∞)上单调递增，故由 a>b>1 知 ac>bc，A 错；
∵0<c<1，∴－1<c－1<0，∴y＝xc－1 在 x∈(0，＋∞)上是减函数，
∴bc－1>ac－1，又 ab>0，∴ab·bc－1>ab·ac－1，即 abc>bac，B 错；易知 y＝logcx 是减函数，∴0>logcb>logca，∴logbc<logac，D 错；由 logbc<logac<0，得－logbc>－logac>0，又 a>b>1>0，∴－ alogbc>－blogac>0，∴alogbc<blogac，故 C 正确．
12/11/2021
[跟踪演练] (2016·保定统测)已知 2≤x≤3,6≤y≤9，则23yx的取值范围是 ________． [解析] ∵2≤x≤3，∴6≤3x≤9，又∵6≤y≤9，∴12≤2y≤18，∴118≤21y≤112. ∴13≤32xy≤34. [答案] 13，34
→
相加得3x ＋2y的范围
12/11/2021
[解析] ∵－1<x<4,2<y<3， ∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2. 由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6， ∴1<3x＋2y<18. [答案] (－4,2) (1,18)
12/11/2021
[拓展探究] (1)将本例条件改为－1<x<y<3，则 x－y 的取值范围是________．

高中数学一轮复习课件：第七章不等式、推理与证明(必修5、选修1-2)7-4

2．数列 2,5,11,20，x,47，…中的 x 等于( ) A．28 B．32 C．33 D．27
[解析] 从第 2 项起每一项与前一项的差构成公差为 3 的等差数列，所以 x＝20＋12＝32.故选 B.
[答案] B
3．(选修 1－2P30 练习 T1 改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2 时，an＝an－1＋2n－1，依次计算 a2，a3，a4 后，猜想 an 的表达式是( )
[对点训练] 1．(2019·山东日照模拟)对于实数 x，[x]表示不超过 x 的最大整数，观察下列等式： [ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3； [ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[ 7 ]＋[ 8 ]＝10； [ 9 ]＋[ 10 ]＋[ 11 ]＋[ 12 ]＋[ 13 ]＋[ 14 ]＋[ 15 ] ＝21； … 按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为________．
主干知识梳理 Z
主干梳理精要归纳
1．合情推理
[知识梳理]
2.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知 1 个白圈分形为 2
个白圈 1 个黑圈，1 个黑圈分形为 1 个白圈 2 个黑圈，把题图(2)
中的树形图的第 1 行记为(1,0)，第 2 行记为(2,1)，第 3 行记为(5,4)，
第 4 行的白圈数为 2×5＋4＝14，黑圈数为 5＋2×4＝13，所以第

高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明1二元一次不等式与简单的线性规划问题课件新人教A版22

4.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目
标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得
最值.
-27考点1
考点2
考点3
对点训练 2(1)(2020 河北唐山二模)已知 x,y 满足约束条件
- + 2 ≥ 0,
-2 + 1 ≤ 0,则 z=x-y 的最大值为( B )
包括
标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应_____
实线
边界直线,则把边界直线画成
.
(2)因为对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)
代入Ax+By+C,所得的符号都相同
,所以只需在此直线的同
一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号即
-1 ≤ 0,
- + 1 ≥ 0
为( D )
A.-5
B.1
C.2
D.3
(2)如图,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示
+ -1 ≥ 0,
为 -2 + 2 ≥. 0
-17考点1
考点2
考点3
+ -1 ≥ 0,
解析: (1)不等式组 -1 ≤ 0,
所围成的平面区域如图所示.
3
3
7
A.1
B.
C.
D.
2
4
4
- ≥ 0,
2 + ≤ 2,
(2)若不等式组
表示的平面区域是一个三角形,则
≥ 0,
+ ≤
a 的取值范围是( D )

2023年高考数学(文科)一轮复习课件——二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第七章不等式、推理与证明
索引
考试要求
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
内容索引
知识诊断基础夯实
考点突破题型剖析
分层训练巩固提升
知识诊断基础夯实
方加1，
结合图形得到 zmin＝
12＋|1（＋－1| 1）22＋1＝3.
索引
角度3 求参数值或取值范围
x≥2，
例 3 已知 x，y 满足x＋y≤4，若目标函数 z＝3x＋y 的最大值为 10，则实数 2x－y－m≤0.
m 的值为___5_____. 解析作出可行域，如图中阴影部分所示.作出直线3x＋y＝0，并平移可知，当直线过点A时， z取得最大值为10，当直线过点B时，z取得最小值.
索引
(2)(2022·南昌模拟)已知变量
x，y
x－2y＋4≤0，
满足x≥2，
则
x＋y－6≥0，
k＝xy＋－13的取值范围是
__(_－__∞__，__－__5_]∪___12_，__＋__∞____.
解析由题意作出可行域如图阴影部分所示，
由于 k＝xy＋－13＝y－（x－－31）表示动点 M(x，y)与
索引
(2)电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的

高考数学一轮复习第7章不等式及推理与证明专题研究1一元二次方程根的分布课件理

2019/6/29
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二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
(3) 一根在 (1 ， 2) 内，另一根在 ( － 1 ， 0) 内，应满足 ff（（10））ff（（2－）1<）0<，0即m（（－22mm＋－13））<×0，（－m）<0解得－12<m<0.
(4)一根在(－1，1)内，另一根不在(－1，1)内，应满足 f(－ 1)f(1)<0，即(2m＋1)(－2m－3)<0，∴m>－12或 m<－32，又∵m－ 1≠0，∴m≠1.
【定理 1】（即一个根 x1<小k<于x2k，一个根大于k）⇔af(k)<0.
【定理 2】
Δ＝b2－4ac≥0，（即k<两x根1≤都x2大于k）⇔a－f（2bak>）k. >0，
【定理 3】
Δ＝b2－4ac≥0，（即x1两≤根x2都<k小于k）⇔a－f（2bak<）k. >0，
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？

2023年高考数学(理科)一轮复习课件——推理与证明

索引
常用结论
1.合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明.
2.在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误.
3.分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件.
4.用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾.
B.3(2n＋2) D.(n＋2)(n＋3)
索引
解析由已知中的图形可以得到：当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6，当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，…… 由此可以推断：第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3).
，则8 771用算筹应表
示为( ) C
中国古代的算筹数码
A.
B.
C.
D.
索引
解析由算筹的定义，得
所以8 771用算筹应表示为
.
索引
(2)“正三角形的内切圆半径等于此正三角的高的31”，拓展到空间，类比平面
几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( C )
1
1
A.2
B.3
1
1
索引
感悟提升
1.归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号. (2)与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律. (3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验法验证其真伪性. 2.类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方).数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等. 3.演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提.

(福建专用)2019高考数学一轮复习-第七章不等式、推理与证明 7.2 基本不等式及其应用课件理

考点1
考点2
考点3
(2)∵a+b=1,
1
1
1
∴ + + =2
1

+
1

.
∵a+b=1,a>0,b>0,
1
1
+
1

1
∴ + =
1
+
+

1
=2+ + ≥2+2=4,当且仅当 a=b=2时,等号成立.
1
∴ + + ≥8,当且仅当 a=b=2时,等号成立.
考点1
意等号能否取到.
考点1
考点2
考点3
对点训练 1 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: 1 +
1
1+

=2+ .
+
证明: (方法一)∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+ =1+
1
1

1

≥9.

同理,1+ =2+ .
1
1
∴ 1+

1+ = 2+

当且仅当 = ,
1
即 a=b=2时,等号成立.

2 = 22 ,
1
4 = ,
即
2 =
2 =
2
2
2
,
时取等号.
4
(2)因为 x>2,所以 x-2>0.
1
1
1

高三数学一轮复习课件--不等式、推理与证明共261页

高三数学一轮复习课件--不等式、推理与证明
36、如果我们国家的法律中只有某种神灵，而不是殚精竭虑将神灵揉进宪法，总体上来说，法律就会更好。—— 马克·吐温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之时。— —威·皮物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律是丝毫没有力量的。 ——菲力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们迅速累聚，进而变成法律。 ——朱尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克

高中数学一轮复习课件：第七章不等式、推理与证明(必修5、选修1-2)7-1

令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得 x1＝－a4，x2＝a3.
①当 a>0 时，－a4<a3，不等式的解集为 x|x<－a4，或x>a3； ②当 a＝0 时，－a4＝a3＝0，不等式的解集为{x|x∈R，且 x≠0}； ③当 a<0 时，－a4>a3，不等式的解集为 x|x<a3，或x>－a4. 综上所述：当 a>0 时，不等式的解集为 x|x<－a4，或x>a3；
5.简单分式不等式的解法
x－a x－b>0
等价于(x－a)(x－b)>0；
x－a x－b<0
等价于(x－a)(x－b)<0；
xx－－ab≥0 等价于xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0 等价于xx－－ba≠0x－. b≤0，
[辨识巧记] 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒1a<1b. (2)a<0<b⇒1a<1b. (3)a>b>0,0<c<d⇒ac>bd. (4)0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b<1x<1a.
[知识梳理]
1．两个实数比较大小的方法
a－b>0⇔a>b， (1)作差法a－b＝0⇔a＝ba，b∈R，
a－b<0⇔a<b.
ab>1⇔a>ba∈R，b>0， (2)作商法ab＝1⇔a＝ba∈R，b>0，
ab<1⇔a<ba∈R，b>0.
2．不等式的基本性质
m＋n＝3， n－m＝－1，
解得mn＝＝12.，
因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，

高考数学一轮总复习：第七章不等式及推理与证明

高考数学一轮总复习：第七章不等式及推理与证明目录第1课时不等式与不等关系第2课时一元二次不等式的解法第3课时简单的线性规划第4课时基本不等式第5课时合情推理与演绎推理第6课时直接证明与间接证明第1课时不等式与不等关系1．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab>0，bc －ad>0，则c a －db >0；②若ab>0，c a －db >0，则bc －ad>0；③若bc －ad>0，c a －db >0，则ab>0.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析对于①，∵ab>0，bc －ad>0，c a －d b ＝bc －adab >0，∴①正确；对于②，∵ab>0，又c a －d b >0，即bc －ad ab >0，∴②正确；对于③，∵bc －ad>0，又c a －db >0，即bc －adab>0，∴ab>0，∴③正确．2．若a ，b 是任意实数，且a>b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2>b 2B.b a <1 C ．lg(a －b)>0 D ．(13)a <(13)b答案 D解析方法一：利用性质判断．方法二(特值法)：令a ＝－1，b ＝－2，则a 2<b 2，ba>1，lg(a －b)＝0，可排除A ，B ，C 三项．故选D.3．设a∈R ，则a>1是1a <1的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若a>1，则1a <1成立；反之，若1a <1，则a>1或a<0.即a>1⇒1a <1，而1a <1a>1，故选A.4．设a ，b ∈R ，若a ＋|b|<0，则下列不等式成立的是( ) A ．a －b>0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b<0 答案 D5．设a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“b<1a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析一方面，若0<ab<1，则当a<0时，0>b>1a ，∴b<1a 不成立；另一方面，若b<1a，则当a<0时，ab>1，∴0<ab<1不成立，故选D.6．设a ，b ∈R ，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b>0时，由a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.7．已知0<a<b，且a＋b＝1，下列不等式成立的是( ) A．log2a>0 B．2a－b>1C．2ab>2 D．log2(ab)<－2答案 D解析方法一(特殊值法)：取a＝14，b＝34验证即可．方法二：(直接法)由已知，0<a<1，0<b<1，a－b<0，0<ab<14，log2(ab)<－2，故选D.8．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是( )A．ab<b2<1 B．log12b<log12a<0C．2b<2a<2 D．a2<ab<1 答案 C解析方法一(特殊值法)：取b＝14，a＝12.方法二(单调性法)：0<b<a⇒b2<ab，A不对；y＝log12x在(0，＋∞)上为减函数，∴log12b>log12a，B不对；a>b>0⇒a2>ab，D不对，故选C.9．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则( ) A．甲先到教室B．乙先到教室C．两人同时到教室D．谁先到教室不确定答案 B解析设步行速度与跑步速度分别为v1和v2显然0<v1<v2，总路程为2s，则甲用时间为sv 1＋sv2，乙用时间为4sv1＋v2，而sv1＋sv2－4sv1＋v2＝s（v1＋v2）2－4sv1v2v1v2（v1＋v2）＝s（v1－v2）2v1v2（v1＋v2）>0，故sv1＋sv2>4sv1＋v2，故乙先到教室．10．下列四个数中最大的是( )A．lg2 B．lg 2 C．(lg2)2D．lg(lg2) 答案 A解析因为lg2∈(0，1)，所以lg(lg2)<0；lg2－(lg2)2＝lg2(12－lg2)>lg2(12－lg10)＝0，即lg2>(lg2)2；lg2－lg2＝12lg2>0，即lg2>lg 2.所以最大的是lg2.11．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 答案 D解析a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a>b>c，故选D.12．已知实数x，y，z满足x＋y＋z＝0，且xyz>0，设M＝1x＋1y＋1z，则( )A ．M>0B ．M<0C ．M ＝0D ．M 不确定答案 B解析 ∵(x＋y ＋z)2＝x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx)＝0，∴xy ＋yz ＋zx<0，∴M ＝1x ＋1y ＋1z ＝yz ＋zx ＋xy xyz<0. 13．(1)若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________．答案 (－3π2，π2) 解析 ∵－π2<α<β<π2，∴－π<α－β<0.∵2α－β＝α＋α－β，∴－3π2<2α－β<π2. (2)若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．答案 (－3，3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4.∴－4<－|β|≤0.又∵1<α<3，∴－3<α－|β|<3.(3)若－1<a ＋b<3，2<a －b<4，则2a ＋3b 的取值范围为________．答案 (－92，132)解析设2a ＋3b ＝x(a ＋b)＋y(a －b)，则⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52<52(a ＋b)<152，－2<－12(a －b)<－1，所以－92<52(a ＋b)－12(a －b)<132.即－92<2a ＋3b<132.14．设α∈(0，12)，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________．答案 T 1<T 2解析 T 1－T 2＝(cos1cosα－sin1sinα)－(cos1cosα＋sin1sinα)＝－2sin1sinα<0.15．(1)若a>1，b<1，则下列两式的大小关系为ab ＋1________a ＋b. 答案 <解析 (ab ＋1)－(a ＋b) ＝1－a －b ＋ab ＝(1－a)(1－b)， ∵a>1，b<1，∴1－a<0，1－b>0， ∴(1－a)(1－b)<0，∴ab ＋1<a ＋b.(2)若a>0，b>0，则不等式－b<1x <a 的解集为________．答案 (－∞，－1b )∪(1a ，＋∞)解析由已知，得－b<0，a>0，∴1x ∈(－b ，a)＝(－b ，0)∪{0}∪(0，a)． ∴x ∈(－∞，－1b )∪(1a，＋∞)．16．设a>b>c>0，x ＝a 2＋（b ＋c ）2，y ＝b 2＋（c ＋a ）2，z ＝c 2＋（a ＋b ）2，则x ，y ，z 的大小顺序是________．答案 z>y>x解析方法一(特值法)：取a ＝3，b ＝2，c ＝1验证即可．方法二(比较法)：∵a>b>c>0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a)2－a 2－(b ＋c)2＝2c(a －b)>0，∴y 2>x 2，即y>x.z 2－y 2＝c 2＋(a ＋b)2－b 2－(c ＋a)2＝2a(b －c)>0，故z 2>y 2，即z>y ，故z>y>x.17．已知a ＋b>0，比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小．答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2＝ (a －b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2.∵a ＋b>0，(a －b)2≥0，∴（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 18．已知a>0且a≠1，比较log a (a 3＋1)和log a (a 2＋1)的大小．答案 log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1) 解析当a>1时，a 3>a 2，a 3＋1>a 2＋1. 又y ＝log a x 为增函数，所以log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；当0<a<1时，a 3<a 2，a 3＋1<a 2＋1. 又y ＝log a x 为减函数，所以log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．综上，对a>0且a≠1，总有log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．第2课时一元二次不等式的解法1．下列不等式中解集为R 的是( ) A ．－x 2＋2x ＋1≥0 B ．x 2－25x ＋5>0 C ．x 2＋6x ＋10>0 D ．2x 2－3x ＋4<0答案 C解析在C 项中，Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式解集为R . 2．若0＜m ＜1，则不等式(x －m)(x －1m)＜0的解集为( )A ．{x|1m ＜x ＜m}B ．{x|x>1m 或x ＜m}C ．{x|x>m 或x ＜1m }D ．{x|m ＜x ＜1m}答案 D解析当0<m<1时，m<1m .3．函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4，1)C ．(－1，1)D ．(－1，1]答案 C解析由⎩⎨⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x<1.4．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q ，1)，则p ＋q 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案 B解析依题意得q ，1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，选B.5．不等式(2x －1)(1－|x|)<0成立的充要条件是( ) A ．x>1或x<12B ．x>1或－1<x<12C ．－1<x<12D ．x<－1或x>12答案 B解析原不等式等价于⎩⎨⎧2x －1>0，1－|x|<0或⎩⎨⎧2x －1<0，1－|x|>0.∴⎩⎨⎧x>12，x>1或x<－1或⎩⎨⎧x<12，－1<x<1.∴x>1或－1<x<12，故选B.6．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为( )A.{}x|x<－2或x>3B.{}x|x<－2或1<x<3C.{}x|－2<x<1或x>3D.{}x|－2<x<1或1<x<3答案 C解析 x 2－x －6x －1>0⇒（x －3）（x ＋2）x －1>0⇒(x ＋2)·(x－1)(x －3)>0，由数轴标根法，得－2<x<1或x>3.7．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x 2＋bx ＋a<0的解集为( )A ．{x|－1<x<12}B ．{x|x<－1或x>12}C ．{x|－2<x<1}D ．{x|x<－2或x>1} 答案 A解析由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－ba ，（－1）×2＝2a⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a<0，即2x 2＋x －1<0. 可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴选A.8．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>13}，则f(e x )>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－ln3}B ．{x|－1<x<－ln3}C ．{x|x>－ln3}D ．{x|x<－ln3} 答案 D解析设－1和13是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，∴a ＝－(－1＋13)＝23，b＝－1×13＝－13，∵一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>13 }，∴f(x)＝－(x2＋23x－13)＝－x2－23x＋13，∴f(x)>0的解集为x∈(－1，13 )．不等式f(e x)>0可化为－1<e x<1 3 .解得x<ln 1 3，∴x<－ln3，即f(e x)>0的解集为{x|x<－ln3}．9．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是( )A．(－235，＋∞) B．[－235，1]C．(1，＋∞) D．(－∞，－23 5]答案 A解析由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解，只需满足f(5)>0，即a>－23 5.10．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图像为( )答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－ca，解得a ＝－1，c ＝－2. 则函数y ＝f(－x)＝－x 2＋x ＋2.11．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x)2<1(i ＝1，2，3)都成立的x 的取值范围是( )A ．(0，1a 1)B ．(0，2a 1)C ．(0，1a 3)D ．(0，2a 3)答案 B12．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A ．(3，4)B ．(－2，－1)∪(3，4)C ．(3，4]D ．[－2，－1)∪(3，4] 答案 D解析由题意得，原不等式化为(x －1)(x －a)<0，当a>1时，解得1<x<a ，此时解集中的整数为2，3，则3<a≤4；当a<1时，解得a<x<1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a<－1，故a∈[－2，－1)∪(3，4]．13．不等式2x 2－3|x|－35>0的解集为________．答案 {x|x<－5或x>5}解析 2x 2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－72(舍)⇔x>5或x<－5.14．已知－12<1x <2，则实数x 的取值范围是________．答案 x<－2或x>12解析当x>0时，x>12；当x<0时，x<－2.所以x 的取值范围是x<－2或x>12.15．若不等式a·4x －2x ＋1>0对一切x∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 a>14解析不等式可变形为a>2x －14x ＝(12)x －(14)x，令(12)x＝t ，则t>0.∴y ＝(12)x －(14)x ＝t －t 2＝－(t －12)2＋14，因此当t ＝12时，y 取最大值14，故实数a 的取值范围是a>14.16．已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k<0(k≠0)． (1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为{x|x∈R ，x ≠1k }，求k 的值；(3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围； (4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．答案 (1)k ＝－25 (2)k ＝－66 (3)k<－66(4)k≥66解析 (1)因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，所以k<0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，所以(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)因为不等式的解集为{x|x∈R ，x ≠1k}，所以⎩⎨⎧k<0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66. (3)由题意，得⎩⎨⎧k<0，Δ＝4－24k 2<0，解得k<－66. (4)由题意，得⎩⎨⎧k>0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k≥66. 17．已知不等式组⎩⎨⎧x 2－4x ＋3＜0x 2－6x ＋8＜0的解集是不等式2x 2－9x ＋a ＜0的解集的子集，求实数a 的取值范围．答案 (－∞，9]解析不等式组⎩⎨⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0的解集为(2，3)，令g(x)＝2x 2－9x ＋a ，其对称轴为x ＝94，∴只需g(3)＝－9＋a≤0，∴a ≤9.第3课时简单的线性规划1．下列各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3)答案 C解析点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C.2．二元一次不等式组⎩⎨⎧（x －y ＋3）（x ＋y ）≥0，0≤x ≤4，表示的平面区域是( )A ．矩形B ．三角形C ．直角梯形D ．等腰梯形答案 D解析由(x －y ＋3)(x ＋y)≥0，得⎩⎨⎧x －y ＋3≥0，x ＋y≥0或⎩⎨⎧x －y ＋3≤0，x ＋y≤0，且0≤x≤4，表示的区域如图阴影部分所示，故所求平面区域为等腰梯形，故选D.3．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是()A ．－15B ．－9C ．1D ．9答案 A解析作出可行域如图所示，作出直线l 0：y ＝－2x ，平移l 0经过点A 时，z 有最小值，此时，由⎩⎨⎧y ＋3＝0，2x －3y ＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝－3. 即A(－6，－3)，∴z min ＝2×(－6)－3＝－15.4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是()A ．－1B ．－2C ．－5D ．1答案 A解析作出满足条件的可行域，如图中阴影部分所示，易知在点A(1，1)处，z 取得最大值，故z max ＝－2×1＋1＝－1.5．实数x ，y 满足⎩⎨⎧y≥0，x －y≥0，2x －y －2≤0，则使得z ＝2y －3x 取得最小值的最优解是( )A ．(1，0)B ．(0，－2)C ．(0，0)D ．(2，2)答案 A解析约束条件所表示的可行域为三角形，其三个顶点的坐标分别为(0，0)，(1，0)，(2，2)，将三个顶点的坐标分别代入到目标函数z ＝2y －3x 中，易得在(1，0)处取得最小值，故取得最小值的最优解为(1，0)．6．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x<2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．[53，5]B ．[0，5]C ．[53，5)D ．[－53，5)答案 D解析画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是[－53，5)．7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y≥x，x ＋3y≤4，x ≥－2，则z ＝|x －3y|的最大值为()A ．10B ．8C ．6D ．4答案 B解析不等式组⎩⎨⎧y≥x，x ＋3y≤4，x ≥－2，所表示的平面区域如图中阴影部分所示．当平移直线x －3y ＝0过点A 时，m ＝x －3y 取最大值；当平移直线x －3y ＝0过点C 时，m ＝x －3y 取最小值．由题意可得A(－2，－2)，C(－2，2)，所以m max ＝－2－3×(－2)＝4，m min＝－2－3×2＝－8，所以－8≤m≤4，所以|m|≤8，即z max ＝8.8． x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1答案 D解析作出约束条件满足的可行域，根据z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，通过数形结合分析求解．如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a>0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a<0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.9．已知O 为坐标原点，A(1，2)，点P 的坐标(x ，y)满足约束条件⎩⎨⎧x ＋|y|≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 D解析作出可行域如图中阴影部分所示，易知B(0，1)，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，平移直线x ＋2y ＝0，显然当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，且z max ＝2.故选D.10．已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧（x －3）2＋（y －2）2≤1，x －y －1≥0，则z ＝yx －2的最小值为( )A ．3＋ 2B ．2＋ 2 C.34 D.43答案 C解析不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．目标函数z ＝y x －2＝y －0x －2表示在可行域取一点与点(2，0)连线的斜率，可知过点(2，0)作半圆的切线，切线的斜率为z ＝yx －2的最小值，设切线方程为y ＝k(x －2)，则A 到切线的距离为1，故1＝|k －2|1＋k2.解得k ＝34.11．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y －x≤1，x ＋y≤3，y ≥m ，若z ＝x ＋3y 的最大值与最小值的差为7，则实数m ＝( )A.32 B ．－32C.14 D ．－14答案 C解析作出不等式组表示的平面区域(图略)，由图易得目标函数z ＝x ＋3y 在点(1，2)处取得最大值；z max ＝1＋3×2＝7，在点(m －1，m)处取得最小值，z min ＝m －1＋3m ＝4m －1.又由题知7－(4m －1)＝7，解得m ＝14，故选C.12．设实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y≤0，x ＋y≥0，y ≤a ，若z ＝x ＋2y 的最大值为3，则a 的值是________．答案 1解析依题意得a>0，在平面直角坐标系内大致画出不等式组⎩⎨⎧x －y≤0，x ＋y≥0，y ≤a ，表示的平面区域，结合图形可知，直线z ＝x ＋2y 经过直线y ＝a 与直线x －y ＝0的交点，即点(a ，a)时，z ＝x ＋2y 取得最大值3，因此a ＋2a ＝3，a ＝1.13．点(x ，y)满足不等式|x|＋|y|≤1，Z ＝(x －2)2＋(y －2)2，则Z 的最小值为________．答案92解析 |x|＋|y|≤1所确定的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数Z ＝(x －2)2＋(y －2)2的几何意义是点(x ，y)到点P(2，2)距离的平方，由图可知Z 的最小值为点P(2，2)到直线x ＋y ＝1距离的平方，即为(|2＋2－1|2)2＝92.14．已知整数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝4－x·(12)y 的最小值为________．答案 116解析 z ＝4－x·(12)y＝2－2x ·2－y ＝2－2x －y .设m ＝－2x －y ，要使z 最小，则只需m 最小．作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由m ＝－2x －y 得y ＝－2x －m ，平移可知当直线y ＝－2x －m 经过点B 时，m 最小，由⎩⎨⎧2x －y ＝0，x －3y ＋5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即B(1，2)，此时m ＝－2－2＝－4，所以z ＝4－x ·(12)y的最小值为2－4＝116.15．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A ，B 两种规格金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个、乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A ，B 两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并使总用料面积最省？答案 A ，B 两种金属板各取5张．解析设A ，B 两种金属板各取x 张，y 张，总用料面积为z ，则约束条件为⎩⎨⎧3x ＋6y≥45，5x ＋6y≥55，x ，y ∈N ，目标函数z ＝2x ＋3y.作出不等式组的可行域，如图所示．将z ＝2x ＋3y 化成y ＝－23x ＋z 3，得到斜率为－23，在y 轴上截距为z3，且随z变化的一组平行直线．当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上点M 时，截距最小，z 取得最小值．解方程组⎩⎨⎧5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得点M 的坐标为(5，5)．此时z min ＝2×5＋3×5＝25.所以两种金属板各取5张时，总用料面积最省．第4课时基本不等式1．已知a ，b ∈(0，1)且a≠b，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b答案 D解析只需比较a 2＋b 2与a ＋b.由于a ，b ∈(0，1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b.2．设0<a<b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a<b<ab<a ＋b2B ．a<ab<a ＋b2<bC．a<ab<b<a＋b2D.ab<a<a＋b2<b答案 B解析方法一(特值法)：代入a＝1，b＝2，则有0<a＝1<ab＝2<a＋b 2＝1.5<b＝2.方法二(直接法)：我们知道算术平均数a＋b2与几何平均数ab的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B.3．下列函数中，最小值为4的是( )A．y＝x＋4xB．y＝sinx＋4sinx(0<x<π)C．y＝4e x＋e－x D．y＝log3x＋logx3(0<x<1)答案 C解析注意基本不等式等号成立的条件是“a＝b”，同时考虑函数的定义域，A中x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，函数没有最小值；B中若sinx＝4sinx取到最小值4，则sin2x＝4，显然不成立．D中没有最小值．故选C.4．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )A．[0，2] B．[－2，0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]答案 D解析∵2x＋2y≥22x·2y＝22x＋y(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴2x＋y≤1 2，∴2x＋y≤14，得x＋y≤－2，故选D.5．若x，y是正数，则(x＋12y)2＋(y＋12x)2的最小值是( ) A．3 B.72C．4 D.92答案 C解析原式＝x2＋xy＋14y2＋y2＋yx＋14x2≥4.当且仅当x＝y＝12时取“＝”号．6．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则1ab的最小值为( )A.14B．4C.12D．2答案 C解析∵4＝2a＋b≥22ab，∴ab≤2，1ab≥12，当且仅当a＝1，b＝2时取等号．7．若x<0，则函数y＝x2＋1x2－x－1x的最小值是( )A．－94B．0C．2 D．4 答案 D解析y＝x2＋1x2－x－1x≥2x2·1x2＋2（－x）（－1x）＝4，当且仅当x＝－1时取等号．8．函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是( )A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2答案 A解析∵x>1，∴x－1>0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2（x－1）＋3x－1＝（x－1）2＋2（x－1）＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥2（x－1）（3x－1）＋2＝23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝1＋3时，取等号．9．已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 B解析(x＋y)(1x＋ay)＝1＋a·xy＋yx＋a≥1＋a＋2a＝(a＋1)2，当且仅当a·xy＝yx，即ax2＝y2时“＝”成立．∴(x＋y)(1x＋ay)的最小值为(a＋1)2≥9.∴a≥4.10．设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是( )A. 3 B．2C. 5D.10 2答案 A解析方法一：设x＝sinα，y＝cosα，m＝3sinβ，n＝3cosβ，其中α，β∈R.∴mx＋ny＝3sinβsinα＋3cosβcosα＝3cos(α－β)．故选A.方法二：由已知(x2＋y2)·(m2＋n2)＝3，即m2x2＋n2y2＋n2x2＋m2y2＝3，∴m2x2＋n2y2＋2(nx)·(my)≤3，即(mx＋ny)2≤3，∴mx＋ny≤ 3.11．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值为( )A．3 B．6 C．9 D．12 答案 A12．若正数a，b满足1a＋1b＝1，则1a－1＋9b－1的最小值为( )A．16 B．9 C．6 D．1 答案 C解析方法一：因为1a＋1b＝1，所以a＋b＝ab，即(a－1)·(b－1)＝1，所以1a－1＋9b－1≥21a－1×9b－1＝2×3＝6.方法二：因为1a＋1b＝1，所以a＋b＝ab，1a－1＋9b－1＝b－1＋9a－9ab－a－b＋1＝b＋9a－10＝(b＋9a)(1a＋1b)－10≥16－10＝6.方法三：因为1a＋1b＝1，所以a－1＝1b－1，所以1a－1＋9b－1＝(b－1)＋9b－1≥29＝2×3＝6.13．某城镇人口第二年比第一年增长m%，第三年比第二年增长n%，若这两年的平均增长率为p%，则p与m＋n2的大小关系为( )A．p>m＋n2B．p＝m＋n2C．p≤m＋n2D．p≥m＋n2答案 C解析依题意得(1＋m%)(1＋n%)＝(1＋p%)2，所以1＋p%＝（1＋m%）（1＋n%）≤1＋m%＋1＋n%2＝1＋m%＋n%2，当且仅当m＝n时等号成立，所以p≤m＋n2，故选C.14．(1)当x>1时，x＋4x－1的最小值为________；(2)当x≥4时，x＋4x－1的最小值为________．答案(1)5 (2)16 3解析(1)∵x>1，∴x－1>0.∴x＋4x－1＝x－1＋4x－1＋1≥24＋1＝5.(当且仅当x－1＝4x－1.即x＝3时“＝”号成立)∴x＋4x－1的最小值为5.(2)∵x≥4，∴x－1≥3.∵函数y＝x＋4x在[3，＋∞)上为增函数，∴当x－1＝3时，y＝(x－1)＋4x－1＋1有最小值163.15．若a>0，b>0，a＋b＝1，则ab＋1ab的最小值为________．答案17 4解析ab≤(a＋b2)2＝14，当且仅当a＝b＝12时取等号．y＝x＋1x在x∈(0，14]上为减函数．∴ab＋1ab的最小值为14＋4＝174.16．已知a>b>0，求a2＋16b（a－b）的最小值．答案16思路由b(a－b)求出最大值，从而去掉b，再由a2＋64a2，求出最小值．解析∵a>b>0，∴a－b>0.∴b(a－b)≤[b＋（a－b）2]2＝a24.∴a2＋16b（a－b）≥a2＋64a2≥2a2·64a2＝16.当a2＝64a2且b＝a－b，即a＝22，b＝2时等号成立．∴a2＋16b（a－b）的最小值为16.17．设x，y均为正实数，且12＋x＋12＋y＝13，求xy的最小值．答案16解析由12＋x＋12＋y＝13，化为3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)·(2＋x)，整理为xy＝x＋y＋8.∵x，y均为正实数，∴xy＝x＋y＋8≥2xy＋8，∴(xy)2－2xy －8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，当且仅当x＝y＝4时取等号，∴xy的最小值为16.18．某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心x(0<x<20)厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与x2成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与400－x2成反比，比例系数为k，且当x＝102时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.065.(1)将臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y表示为x的函数；(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值．答案(1)y＝4x2＋9400－x2(0<x<20) (2)116解析(1)由题意得y＝4x2＋k400－x2(0<x<20)，当x＝102时，y＝0.065，代入上式，得k＝9.所以y＝4x2＋9400－x2(0<x<20)．(2)y＝4x2＋9400－x2＝1400(4x2＋9400－x2)[(400－x2)＋x2]＝1400[4＋9＋4（400－x2）x2＋9x2400－x2]≥1400[13＋24（400－x2）x2·9x2400－x2]＝116，当且仅当4（400－x2）x2＝9x2400－x2，即x＝410时取“＝”．所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为1 16 .第5课时合情推理与演绎推理1．把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( )A．27 B．28C．29 D．30答案 B解析观察归纳可知第n个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）2，∴第七个三角形数为7×（7＋1）2＝28.2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2 019＝( )A．3 B．－3 C．6 D．－6 答案 A解析∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，…，∴{an }是以6为周期的周期数列．又2 019＝6×336＋3，∴a2 019＝a3＝3.选A.3．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1等于( )A．n B．n＋1C．n－1 D．n2答案 A解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1＋(n－1)．又∵1*1＝1，∴n*1＝n.4．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )A.48，C．75，76 D．84，85答案 D解析由已知图中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D项符合条件．5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)答案 D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．6．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )C．123 D．199答案 C解析记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.7．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an ，则9a2a3＋9a3a4＋9a4a5＋…＋9a2 017a2 018＝( )A.2 0152 016B.2 0162 017C.2 0172 018D.2 0182 017答案 B解析由图案可得第n个图案中的点数为3n，则an＝3n－3，∴93（n－1）×3n ＝1n（n－1）＝1n－1－1n，∴9a2a3＋9a3a4＋9a4a5＋…＋9a2 017a2 018＝(11－12)＋(12－13)＋…＋(12 016－12 017)＝1－12 017＝2 0162 017，故选B. 8．如图，根据图中的数构成的规律，a表示的数是( ) 12 23 4 34 12 12 45 48 a 48 5C ．60D ．144答案 D9．已知“整数对”按如下规律排列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第70个“整数对”为( )A ．(3，9)B ．(4，8)C ．(3，10)D ．(4，9)答案 D解析因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1，12)，第68个“整数对”是(2，11)，第69个“整数对”是(3，10)，第70个“整数对”是(4，9)．故选D.10．已知a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 对应的三边，若满足a 2＋b 2＝c 2，即(a c )2＋(bc )2＝1，则△ABC 为直角三角形，类比此结论可知，若满足a n ＋b n ＝c n (n∈N ，n ≥3)，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能答案 A解析由题意知角C 最大，a n ＋b n ＝c n (n∈N ，n ≥3)即(a c )n ＋(bc )n ＝1(n∈N ，n ≥3)，又c>a ，c>b ，所以(a c )2＋(b c )2>(a c )n ＋(bc )n ＝1，即a 2＋b 2>c 2，所以cosC＝a 2＋b 2－c 22ab >0，所以0<C<π2，故△ABC 为锐角三角形．11．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子．甲：由“若三角形周长为l ，面积为S ，则其内切圆半径r ＝2Sl”，类比可得“若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径r ＝3VS ”；乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a ，b ，则其外接圆半径r ＝a 2＋b 22”，类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c，则其外接球半径r＝a2＋b2＋c23”．这两位同学类比得出的结论是( )A．两人都对B．甲错、乙对C．甲对、乙错D．两人都错答案 C解析利用等面积与等体积法可推得甲同学类比推理的结论是正确的；把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径，可求得其半径r＝a2＋b2＋c22，因此乙同学类比推理的结论是错误的，故选C.12．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6 613用算筹表示就是，则8 335用算筹可表示为( )答案 B解析由题意得千位和十位用横式表示，百位和个数用纵式表示，所以千位的8表示为，百位的3表示为，十位的3表示为，个位的5表示为，故选B.13．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设确定原信息为a0a1a2，ai∈{0，1}(i＝0，1，2)，传输信息为h0aa1a2h1，其中h＝a⊕a1，h1＝h⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0，例如原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A．11010 B．01100C．10111 D．00011答案 C解析对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.14．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则a2 017＝( )A．502 B．503C．504 D．505答案 D解析由a1，a3，a5，a7，…组成的数列恰好对应数列{xn}，即xn＝a2n－1，当n为奇数时，xn ＝n＋12.所以a2 017＝x1 009＝505.15．有一个游戏：将标有数字1，2，3，4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为______．答案 4，2，1，3解析由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片，故丙拿到标有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为4，2，1，3.16．对∀a ，b ∈R ，定义运算：a⊕b＝⎩⎨⎧a ，a ≥b ，b ，a<b ；a ⊗b ＝⎩⎨⎧a －b ，a ≥b ，b －a ，a<b.则下列判断正确的是________．①2 015⊕(2 014⊗2 015)＝2 014； ②(a⊕a)⊗a ＝0； ③(a⊕b)⊗a ＝a⊕(b ⊗a)．答案 ②解析对于①，由定义的运算可知，2 014⊗2 015＝2 015－2 014＝1，故2 015⊕(2 014⊗2 015)＝2 015⊕1＝2 015，故①错误．对于②，因为a⊕a＝a ，故(a⊕a)⊗a ＝a ⊗a ＝a －a ＝0，故②正确．由于③，当a≥b 时，a ⊕b ＝a ，故(a⊕b)⊗a ＝a ⊗a ＝0，而b ⊗a ＝a －b ，故a⊕(b ⊗a)＝a⊕(a －b)．显然，若b≥0，则a≥a－b ，所以a⊕(a－b)＝a ，若b<0，则a<a －b ，所以a⊕(a－b)＝a －b. 故(a⊕b)⊗a≠a⊕(b ⊗a)．故③错误．17．顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交给顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：答案42解析最短交货期为先由徒弟完成原料B的粗加工，共需6天，然后工艺师加工该件工艺品，需21天；徒弟可在这几天中完成原料A的粗加工；最后由工艺师完成原料A的精加工，需15个工作日．故交货期为6＋21＋15＝42个工作日．第6课时直接证明与间接证明1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a”“索”的“因”应是( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0答案 C解析b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0只要证明( )A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.（a＋b）22－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0答案 D3．下列不等式不成立的是( )A.12<ln2 B.3＋1>2 2C．233<322D．sin1>cos1答案 B4．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系是( ) A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定答案 C解析要比较P，Q的大小关系，只要比较P2，Q2的大小关系，只要比较2a ＋7＋2a（a＋7）与2a＋7＋2（a＋3）（a＋4）的大小，只要比较a（a＋7）与（a＋3）（a＋4）的大小，即比较a2＋7a与a2＋7a＋12的大小，只要比较0与12的大小，∵0<12，∴P<Q.5．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( )A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角答案 B解析注意到：“至多有一个”的否定应为“至少有两个”知需选B.6．若a>0，b>0，a＋b＝1，则下列不等式不成立的是( )A．a2＋b2≥12B．ab≤14C.1a＋1b≥4 D.a＋b≤1答案 D解析a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2·(a＋b2)2＝12，∴A成立；ab≤(a＋b2)2＝14，∴B成立；1 a ＋1b＝a＋bab＝1ab≥1（a＋b2）2＝4，∴C成立；(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝1＋2ab>1，∴a ＋b>1，故D 不成立．7．设x ，y ，z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2答案 C解析假设a ，b ，c 三个数都小于2. 则6>a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x ≥2x ·1x＋2y ·1y＋2z ·1z＝6，即6>6，矛盾．所以a ，b ，c 三个数中至少有一个不小于2. 8．设a>0，b>0，求证：lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．答案略证明要证lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]，只需证1＋ab ≤（1＋a ）（1＋b ），即证(1＋ab)2≤(1＋a)(1＋b)，即证2ab ≤a ＋b ，而2ab ≤a ＋b 成立，∴lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．9．已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 32x 2＋x 12x 3≥1.答案略解析 ∵x 22x 1＋x 1＋x 32x 2＋x 2＋x 12x 3＋x 3≥2x 22＋2x 32＋2x 12＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，∴x 22x 1＋x 32x 2＋x 12x 3≥1. 10．(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3.(2)若x∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．答案 (1)略 (2)成立，证明略解析 (1)证明：x 是正实数，由均值不等式，得 x ＋1≥2x ，x 2＋1≥2x，x 3＋1≥2x 3.故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)． (2)解：若x∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立．由(1)知，当x>0时，不等式成立；当x≤0时，8x 3≤0，而(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)[(x －12)2＋34]≥0，此时不等式仍然成立．11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝5，S 8＝64. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：1S n －1＋1S n ＋1>2S n (n≥2，n ∈N *)．答案 (1)a n ＝2n －1 (2)略解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧a 3＝a 1＋2d ＝5，S 8＝8a 1＋28d ＝64，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2. 故所求的通项公式为a n ＝2n －1. (2)证明：由(1)可知S n ＝n 2，要证原不等式成立，只需证1（n －1）2＋1（n ＋1）2>2n2，只需证[(n ＋1)2＋(n －1)2]n 2>2(n 2－1)2. 只需证(n 2＋1)n 2>(n 2－1)2. 只需证3n 2>1.而3n 2>1在n≥1时恒成立，从而不等式1S n －1＋1S n ＋1>2S n (n≥2，n ∈N *)恒成立．。

高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明 74 基本不等式及其应用课件文

解法二：由题设易知 a>0，b>0，∴ ab＝1a＋2b≥ 2 a2b，当且仅当 a＝4 2，b＝24 2时“＝”成立，即 ab≥2 2，选 C.
[答案] C
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考点二利用基本不等式进行证明——冷考点已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：1a＋1b＋a1b≥8.
第
七
不等式推理与证明
章
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第一页，共五十九页。
第四节
基本不等式及其应用
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高考概览 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
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第三页，共五十九页。
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吃透教材夯双基
填一填记一记厚积薄发
A．ab≤12
B．ab≥12
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
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[解析] 由 a＋b＝2 得，ab≤a＋2 b2＝1，排除 A. 当 a＝0，b＝2，ab＝0 排除 B. 又a2＋2 b2≥a＋2 b2，可得 a2＋b2≥2. 再由特殊值，排除 D.
[答案] C
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(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件 x 元，公司拟投入12(x2＋x)万元作为技改费用，投入4x万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量 m 至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？
A.

高三数学一轮复习第七章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式课件

【解析】
2m－1 2 法一：(x －x＋1)－(－2m －2mx)＝(x＋ 2 )
2 2
12 1 ＋(m＋2) ＋2>0，所以 x2－x＋1>－2m2－2mx. 法二：x2－x＋1－(－2m2－2mx)＝x2＋(2m－1)x＋2m2＋1， Δ＝(2m－1)2－4(2m2＋1) ＝－(2m＋1)2－2<0，所以 x2－x＋1－(－2m2－2mx)>0，所以 x2－x＋1>－2m2－2mx.
•解析：法一：∵y2－x2＝2c(a－b)>0，∴y>x. •同理，z>y，∴z>y>x. •法二：令a＝3，b＝2，c＝1得z>y>x. •答案：z>y>x
•1．(2009·四川高考)已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的( ) •A．充分而不必要条件 •B．必要而不充分条件 •C．充要条件 •D．既不充分也不必要条件
1．(2011· 广东质检)若 a，b 是任意实数，且 a>b，则下列结论正确的是( A．a >b
2 2
) b B.a<1 D．3－a<3－b
•答案：D
1 C．lg(a－b)>lg a－b
•2．如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( ) •A．ab>ac B．c(b－a)>0 •C．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0 •答案：C
•【方法探究】 (1) 用不等式 ( 组 ) 表示实际问题时，应注意实际问题中的关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换． •(2) 注意区分 “不等关系 ” 和“不等式 ”的异同，不等关系强调的是关系，可用 “ >” ， “<”，“≥”，“≤”，“≠”表示，不等式则是表现不等关系的式子． •(3) 对于实际问题中的不等关系，可以从 “不超过”、“至少”、“至多”等关键词上去把握，并考虑实际意义。 •提醒：在实际问题中要注意变量 x 、 y 应满足的条件．

高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第一节不等式的概念与性质课件文新人教A版

外，若 b>0，则有ab>1⇔a>b；ab＝1⇔a＝b；ab<1⇔a<b. 3.不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒ a>c ； (3)可加性：a>b⇒a＋c > b＋c，a>b，c>d⇒a＋c > b＋d； (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc， a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方：a>b>0⇒an > bn(n∈N，n≥1)；
【例1】 (1)(2016·四川成都模拟)若a＜b＜0，则下列不等式中一定成立的是( )
A.1a＜1b
B.12a＜12b
C.a＋1b＜b＋1a
D.ba＜ba＋＋11
(2)(2016·山东寿光五中月考)已知 a＝20.5，b＝log32，c＝
log20.1，则( )
A.a＜b＜c
(2)∵a＝20.5＞20＝1，0＜b＝log32＜log33＝1， c＝log20.1＜log21＝0，∴c＜b＜a，故选C. 答案 (1)C (2)C [点评] 实数的大小比较常常转化为对它们差(简称作差法)的符号的判定，当解析式里面含有字母时常需分类讨论.
不等式的性质应用解题方略
利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径.
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。

高考数学一轮总复习课件第7章 不等式、推理与证明 第一节

高三数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.5 数学归纳法

高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.1 不等关系与不等式课件 理 新人教A版.pptx

高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 71 不等关系与不等式课件 文

高中数学一轮复习课件：第七章 不等式、推理与证明(必修5、选修1-2)7-4