§2.4 一阶隐方程与参数表示
2.4 隐函数求导法则
2015/10/15 14
dD dt
1 cm / min. D 10 20
例7 一质子沿曲线y 1 x 3 运动，当其在点(2,3)时，
纵坐标y以4 cm / s 的速率增加，问此时横坐标x的变化
率是多少？
1 dy 1 (1 x 3 ) 2 3 x 2 解： y 1 x3 dx 2 dy =4 dt
dy a sin t sin t dy dt 解： a a cos t 1 cos t dx dx dt sin dy 2 1 . t dx 2 1 cos 2 当 t 时, x a ( 1), y a . 2 2
所求切线方程为 y a x a( 2 1)
2015/10/15
即 y x a(2 ) 2
19
例7. 不 计 空 气 的 阻 力 , 以初速度 v0 , 发 射 角
发射炮弹 , 其运动方程为 x v 0 t cos , 1 2 y v 0 t si n gt , 2 求 (1)炮 弹 在 时 刻 t 0的 运 动 方 向 ; ( 2)炮 弹 在 时 刻 t 0的 速 度 大 小 .
2
4
2
1 点(1,1)处的切线方程 y 1 x 1， 2 即 x 2 y 3 0.
2015/10/15
1
2
5
例3 证明双曲线x y a (a 0)上任一点的切线与
2
两坐标轴围成的三角形的面积等于常数2a 2 .
证:在曲线xy a 2上任取一点( x0 , y0 ),
dy dx dy , , . dx dt dt
2015/10/15
一阶隐式微分方程与参数表示
F ( x, y ') 0 (4.5) 的方程的解法
F ( x, p) 0 代表xp平面上 记 ，从几何地观点看， 的一条曲线。设把这曲线表为适当的参数形式
dy p y' dx
x (t ), p (t )
(4.6)
这里t为参数。再注意到，沿方程（4.5）的任何一条积 分曲线上，恒满足基本关系 dy pdx
dp 从 1 0 解得 p x c，代入求得原方程的解为： dx
x y cx c 2 2
x 2 p x 0 从 解得 p 2
2
，代入求得原方程的解为：
x2 y 4
注意：此例解中的一个特解，即奇解。
奇解
奇解图
2. 讨论形如
dy x f ( y, ) dx
4.1 可以解出x（或y）的方程 1. 讨论形如
y f ( x, dy ) dx (4.1)
dy ) 有连续的偏导数。 dx
的方程的解法，这里假设函数 f ( x,
p 解：作变换（引入参数）： dy dx
，有
y f ( x, p)
两边求关于x的导数：
f f dp p x p dx
以（4.6）代入上式得
两边积分，得到
dy (t ) '(t )dt
y (t ) '(t )dt c
于是得到方程（4.5）的参数形式的通解为
于是得到方程（4.5）的参数形式的通解为
x (t ) y (t ) '(t )dt c
(4.2)
(4.3)
方程(4.3)是关于x,p的一阶微分方程，若它的导数已解出。 则（4.1）的解有如下几种形式：
【考研数学】2.4 隐函数及由参数方程确定的函数的导数笔记小结
第二章 导数与微分
第四节 隐函数及由参
数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
显函数：
隐函数：
一般的
例1 求由方程确定的隐函数的导数.
例2 设由所确定，求
例3 设求.
例4 设求
.
二、由参数方程所确定的函数的导数
定理 设在上可导，，则
若二阶可导，则
例5 设 求
例6 已知摆线（旋轮线）的参数方程为
求摆线在处的切线方程与法线方程。
三、相关变化率
例7 设有一个倒置的圆锥形容器,其底面圆直径为10cm,高为5cm,
秒时水面上升的速率.现以每秒
给容器中加水.试求
内容小结
1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导
2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,
连除表示的函数
转化
3. 参数方程求导法极坐标方程求导
4. 相关变化率问题
1）列出依赖于 t 的相关变量关系式
2）等式两端对 t 求导
作业P108：2；3(3)(4)；4(1)(3)；8(3)(4)；11.。
2.4.1 一阶隐式微分方程与参数表示---可解出变量x或y的一阶隐式微分方程
代入 x y p3 2p
有
x
C
3 p4 4 p2
原方程参数形式的通解为 xyCC42p3pp2p44 ,
p 0 p 是参数， C 是任意常数
此外，原方程还有解 y 0 与之前求解所得的结果完全一样
小结
y f (x, y'(x)) 引入参数 p y'(x)
y f (x, p)
对两边关于 x 求导
xd( p2) p2dx
d (xp2 )
积分得到
3 4
p4
xp2
C
解出 x 有
代入
y p32xp
有
y
p3
2
C
3 4
p4
p
x
C
3 4
p4
p2
原方程参数形式的通解为
x y
C
3 4
p2
4C
2p
p p
4 4
,
p0
其中 p 是参数，C 是任意常数
如果 p 0 由 y p 3 2 xp 得到 y 0 可验证这也是原方程的解
如果 p 0 对称式 3 p 2 2 x dp pdx 0 存在仅与 p
有关的一个积分因子
3 p22 x p
e
x
x dp
p
e
1 p
dp
p
对 3 p 2 2 x dp pdx 0 方程两边乘以 p，得到一个
全微分方程
3p3dp 2xpdp p2dx 0
d
3 4
p4
例1 求解方程 dy 3 2x dy y 0
dx
dx
解： 原方程可以写为 y dy 3 2x dy 引入参数 p dy 有 y p32xp
常微分方程课程总结
常微分方程课程总结第一章 绪论§1.2微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。
()(),dyaxy a dxdy p x y Q x dx=+=为常数 偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。
()22,22242u uf x y x y u u y x ∂∂+=∂∂∂∂=∂∂（2）线性与非线性一般n 阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=（3）解和隐式解微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 隐式解：Φ（x,y ）=0 （4）通解和特解通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.） 特解： 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件：用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1、变量分离方程)()(y x f dxdyϕ= ⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ 2.1.2、可化为变量分离方程的类型1.形如)(x y g dx dy =，称为齐次微分方程，令u ＝xy ,即y ＝ux ，于是dx dy ＝x dx du ＋u ，代入原方程，变形为x dx du ＋u ＝g （u ），整理得dx du ＝xuu g -)(2.形如222111c x b x a c x b x a dx dy ++++= 的方程也可经变量变换化为变量分离方程（1）常数）(212121k c c b b a a ===，方程化为dxdy ＝k ，有通解c kx y += （2）≠==k b b a a 212121c c 情形，令u ＝y b x a 21+，这时有dx du ＝dx dy b a 22+＝2122c u c ku b a +++是分离变量方程 （3）2121b b a a ≠情形，若21c c 、不全为零，方程右端分子、分母都是x 、y 的一次多项式，因此111c x b x a ++＝0，222c y b x a ++＝0，交点（),βα，令X ＝x －α，Y ＝y －β，化为011=+Y b X a ， 022=+Y b X a 。
2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
第二章 导数与积分
例4
1
求由方程 + sin=0所确定的隐函数的二阶导数
2
解
方程两边对求导, 得 1 − ′ + 2 cos ·′ = 0.
1
2
∴ ′ =
.
2 − cos
上式两端再对求导, 得
−2sin · ′
=
∴ ′′=
(2 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
d
=
∵
=
=
d
d
− cos 1 − cos
d
∴
d2
d 2
=
d
d
sin
sin
d
d
d
d
1
−
cos
1
−
cos
=
·
=
d
d
d
d
1
1
cos (1 − cos ) − sin · sin
·
=−
=
(1 − cos )
1 − cos
(1 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
2
.
第二章 导数与积分
四、相关变化率
设 = ()及 = ()都是可导函数,
与之间存在某种关系
d d
与 之间也存在一定关系
d
d
称为相关变化率
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
解法: 找出相关变量的关系式
对 t 求导
例7 已知椭圆的参数方程 ቊ = sin , 求椭圆在 = 相应点处的
4
切线方程 .
一阶微分方程的四种类型
一阶微分方程的四种类型微分方程是数学分析中最重要的部分，它在各个行业均有广泛的应用，尤其在物理学、化学、生物学等学科中发挥着重要的作用。
一阶微分方程是微分方程的一个重要分类，它指初等微分方程的一次导数只有一项成分。
一阶微分方程的参数不定，因此它可以分为四种情况：线性微分方程、隐函数微分方程、非线性微分方程和椭圆型微分方程。
1、线性微分方程线性微分方程是一阶微分方程里最简单的一种，可以按照线性方程的形式表示，分数形式都是常数。
如果表示为y′+py=f(x)，这里的p和f(x)都是常数，p表示参数，f(x)表示函数值，可以用常规积分法解决。
2、隐函数微分方程隐函数微分方程是一种典型的一阶微分方程，它将其他函数的参数作为自变量进行函数求解，由于这种函数变量比较复杂，因此需要用到特殊函数积分法来解决。
如果表示为x′+ax=b(t)，这里的a和b(t)都是常数，a表示参数，b(t)表示函数值，可以用特殊积分法解决。
3、非线性微分方程非线性微分方程是比较复杂的一阶微分方程，它的参数中可以有多项，尤其是指数及对数函数，其系数可以随变量变化。
如果表示为y′+ay=f(x)，这里的a和f(x)都是可变的，a表示参数，f(x)表示函数值，可以用分类积分法解决。
4.椭圆型微分方程椭圆型微分方程是一种特殊的一阶微分方程，它的函数变量比较复杂，常常伴随着抛物线的曲线，形式为y′+ay=f(x)，f(x)可以是抛物线、三角函数或指数函数等。
由于椭圆型微分方程的参数可能是复数，可以用分类积分法或椭圆积分法解决。
总结：一阶微分方程是微分方程的重要分类，它可以分为线性微分方程、隐函数微分方程、非线性微分方程和椭圆型微分方程。
由于各自的参数不定，因此需要用不同的积分法来解决，例如线性微分方程可以用常规积分法解决，而非线性微分方程可以用分类积分法或者特殊函数积分法解决。
椭圆型微分方程则可以用分类积分法或椭圆积分法解决。
一阶微分方程的初等解法(精)
化简得方程的通解：
y
C C
cos2 cos2
x x
其中C eC1为非0的任意常数。
另外，y 1也是方程的解，且y 1可在通解中
取CΒιβλιοθήκη 0得到，即如果在通解y
C C
cos 2 cos 2
x x
中
允许C 0，则y 1已含在通解中。但y 1不可
在通解中取适当的C得到，因此原方程的解为：
于是得到原方程的通解为
y x
, x,C
0.
例5 求解微分方程 dy y tan y
dx x
x
解：这是齐次方程。令u y ，则原方程变为 x
u x du u tan u, dx
化简并变量分离（当tanu 0时），得到
cot udu dx . x
两边积分，得到 ln sinu ln x C.
。例如： 2xdx x2 等。
§2.1 变量分离方程与变量变换
• 一、变量分离方程 • 二、可化为变量分离方程的类型 • 三、应用举例
一、变量分离方程
先看一些简单的例子：
1. dy ye x y , dx
2. dy x2 y2 1 , dx
3. dy e x ye y , dx
h(1y)dy与 g(x)dx，再加上任意常数即可。
先看一个简单的例子
求解方程 dy x2 y2 1 dx
解:
第一步:分离变量
dy y2 1
x 2dx
第二步:两边积分
dy y2 1
x2dx C
隐式微分方程
有参数形式通解
(x, p, c) 0 y f (x, p)
其中p是参数,c为任意常数。
2 x f ( y, dy )
(10)
dx
解法 x f ( y, p)
(11)
dy p dx
两边对 y 求导 1 f f dp (12)
p y p dy
若求得为 p ( y, c) 则(10)的通解为 x f ( y, ( y, c))
解: 设所求的曲线为 y y(x), 则过曲线上任一点 (x, y)的切线方程为
Y y y'(X x)
其中(X ,Y )为切线上的动点 ,
因此,切线在坐标轴上的
横载距a为: a
x
y y'
,
纵载距b为: b y xy',
因所求曲线在第一象限,由题意得
1 2
(x
y y'
)( y
xy' )
2
(7)
dx
这里假设函数 f (x, dy ) 有连续的偏导数。 dx
解法：引进参数 dy P ，则方程变为
dx
y f (x, p)
(8)
dy
两边关于 x 求导，并把 p
dx
p f f dp
(9)
x p dx
代入，得
dp
p f x
dx
f
关于 x 和 p 显式方程
p
(i) 若已得出(9)的通解形式为, p (x, c) 代入(8)得
当 dp 0时, 有p c,
p dx
dx
故得通解为: y cx 2 c , 它是直线族.
当x
1 0时, p
得另一特解为:
x
一阶隐式微分方程及其参数表示
p3
c 3p4 4p2
x
c 4p2
3 4
p2
y
c 2p
p3 2
p0
第8页
例2
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
求解方程 y ( dy )2 x dy x 2 dx dx 2
解
令 dy p dx
得 y p 2 xp x 2 2
第14页
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
4 F ( y, y) 0
特殊情形
令
y ( p)
y dy p dx
(2.4.8)
dx 1 dy 1 ( p)dp
pp
x
1 p
(
p)dp
c
通解为
x
( p)dp
p
c
则，方程旳参数形式通解为
x (t)
y(t ) '源自(t)dtc第12页
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
3 F (x, y) 0
特殊情形
令 y dy p dx
x ( p)
dy pdx p( p)dp
y p( p)dp c
(2.4.2)
代入，得
dp
p f x
dx
f
有关 x 和 p 显式方程
p
第3页
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
(i) 若已得出(2.4.3)旳通解形式为, p (x, c) 代入(2.4.2)得
2-4 隐函数及由参数方程确定的函数的求导(高等数学)
§2.4 隐函数及由参数方程确定的函数的求导教学内容：一．隐函数的导数1.隐函数概念：如果变量x 和y 满足一个方程0),(=y x F ，在一定条件下，当x 在某区间I 内任意取定一个值时，相应地总有满足该方程的唯一的y 值存在，则称方程0),(=y x F 在区间I 内确定了一个隐函数．2.隐函数的导数：把方程(,)0F x y =中的y 看作是x 的函数()y x ，利用复合函数求导法则，方程两端同时对x 求导，然后解出y '．二．对数求导法1.对数求导法：就是先在()y f x =的两边同取对数，然后借助隐函数求导法，方程两边同时对x 求导，再整理出y 的导数．2.幂指函数的导数：()()v x y u x =（()0,()1u x u x >≠），（1）如果()u u x =、()v v x =都可导，则可利用对数求导法求出幂指函数的导数．通过方程两边同取对数，将幂指函数转换成隐函数再求导．（2）利用公式()()v x y u x =()ln ()e v x u x ⋅=变形成复合函数后再求导．三．由参数方程确定的函数的导数1. (),()x t y t ϕψ==都是可导函数，()0,()t x t ϕϕ'≠ =且有反函数)(1x t -=ϕ，函数()y f x =由参数方程(),()(),x t t y t ϕαβψ=⎧ ≤≤⎨=⎩给出，其中t 为参数，则d d d d d d d d d d yy y t t x x t x t =⋅==()()t t ψϕ''.2.如果(),()x t y t ϕψ==都具有二阶导数，且()0'≠t ϕ，则有 22d d d d ()d '()d d d d d ()d '()d '⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭y y t t t x x x x t t t xψψϕϕ d '()1d d '()d t x t t tψϕ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()2()()()()1'()()t t t t t t ψϕψϕϕϕ''''''-=⋅'()3()()()()()t t t t t ψϕψϕϕ''''''-='.四．例题讲解例1.求由方程e x y xy+=所确定的隐函数()y y x =的导数．例2.求由方程2ln x y xy =+所确定的隐函数()y y x =，在0x =处的导数0x y ='．例3.求由方程1sin 02x y y -+=所确定的隐函数()y y x =的二阶导数y ''．例4.求函数=y例5.已知函数3()2x f x x =-(1)f '．例6.求x xy sin =（0x >）的导数．例7.设2ln(1),arctan ,x t y t t ⎧=+⎨=-⎩求d d y x ，22d d y x ．。
常微分方程第六讲：一阶隐式微分方程
试探法
试探函数形式
根据方程的特点和已知条件，试探性 地设定一个函数形式，然后将其代入 原方程进行验证。
调整函数形式
如果试探的函数形式不满足原方程， 则根据误差情况进行调整，直到找到 满足条件的解为止。
变换法
变量代换
通过引入新的变量进行代换，将原方程转化为更容易求解的形式。
微分算子变换
利用微分算子的性质，将原方程转化为另一个等价的一阶隐式微分 方程，从而简化求解过程。
拓展隐式微分方程在实际问题中的应用
隐式微分方程在物理学、化学、工程学等领域有着广泛的应用，未来可以进一步拓展其在实际问题中的 应用范围，推动相关领域的发展。
THANK YOU
感谢聆听
龙格-库塔法
• \end{aligned}
龙格-库塔法
$$
龙格-库塔法的误差分析：四阶龙格-库塔法具有四阶精度，即局部截断误差为 $O(h^5)$，全局误差为 $O(h^4)$。
数值解法的优缺点比较
优点
数值解法可以求解复杂的一阶隐式微分方程，且具有较高的 求解精度；同时，数值解法可以通过调整步长来控制求解精 度和计算效率。
积分因子法
通过引入积分因子，将原方程转化为全微分方程或可分离变量的微 分方程，进而求解得到通解或特解。
04
一阶隐式微分方程的应用举例
几何应用
曲线切线问题
通过一阶隐式微分方程求解曲线上某点的切线方程。
极值问题
利用一阶隐式微分方程研究曲线的极值点、拐点等性质。
面积和体积问题
通过求解一阶隐式微分方程，计算曲线所围成的面积或旋转体体 积。
缺点
数值解法存在截断误差和舍入误差，可能导致求解结果的不 准确；此外，数值解法需要选择合适的算法和步长，否则可 能导致计算效率低下或者求解失败。
隐函数与参数方程
隐函数与参数方程隐函数与参数方程是微积分中的两种常见表达方式，用于描述曲线或曲面上的点的坐标关系。
本文将介绍隐函数和参数方程的基本概念，并探讨它们在数学和物理等领域的应用。
一、隐函数隐函数是通过一个或多个变量之间的关系来定义的函数。
与显式函数不同，隐函数没有明确的解析式，而是通过方程的形式来表示。
通常，隐函数的自变量和因变量都是多元变量，例如二元、三元或更多元的函数。
隐函数的方程形式可以是简单的，如 $F(x, y) = 0$，也可以是复杂的，如 $F(x, y, z) + G(x, y, z) = 0$。
在某些情况下，隐函数可以由解析式表示出来，但在大多数情况下，我们需要通过计算方法或数值解法来确定隐函数的具体形式。
隐函数在数学中的应用非常广泛。
在微积分中，我们通过求偏导数来计算隐函数的导数，进而研究曲线的切线、法线等性质。
在几何学中，通过隐函数可以描述曲线、曲面以及其它几何图形的形状和性质。
此外，隐函数还在物理学、经济学等学科中的模型建立和问题求解中起到重要的作用。
二、参数方程参数方程是通过参数的方式来定义的函数。
参数方程中，自变量和因变量分别用一个或多个参数来表示，参数的取值范围决定了函数所表示的曲线或曲面的形状。
一般来说，参数方程的形式为 $x=f(t)$，$y=g(t)$，$z=h(t)$，其中$t$ 是参数。
通过给定参数 $t$ 不同的取值，我们可以得到曲线上的不同点坐标，进而绘制出整个曲线的形状。
参数方程可以描述一些特殊的曲线，如直线、圆等，也可以描述复杂的曲线和曲面。
参数方程的优点在于可以直观地表示曲线的形状和特性，且易于进行参数的调节和改变。
在计算机图形学和计算机辅助设计等领域，参数方程被广泛应用于曲线绘制和曲线造型等方面。
三、隐函数与参数方程的关系隐函数和参数方程是描述曲线或曲面的两种不同的数学表达方式。
它们之间存在一定的关系，在某些情况下可以相互转化。
对于一个给定的曲线或曲面，可以通过参数方程来表示。
隐函数与参数方程
隐函数与参数方程隐函数和参数方程是数学中常用的描述函数关系的方法。
在解决一些复杂的数学问题时，它们往往能够提供简洁而有效的方式。
本文将介绍隐函数和参数方程的概念以及它们在数学中的应用。
一、隐函数隐函数是指以含有一个或多个未知数的方程所确定的函数。
通常情况下，我们将隐函数记作：F(x, y) = 0。
其中，F是一个函数表达式，x和y是未知数。
我们希望通过该方程来解出y关于x的表达式。
举例来说，考虑方程x^2 + y^2 - 1 = 0，我们可以将其视为一个隐函数。
对于这个方程，我们可以解出y关于x的表达式为y = ±sqrt(1 -x^2)。
这样，我们就得到了一个隐函数。
隐函数在数学中具有广泛的应用，特别是在微积分和微分方程中。
在微积分中，我们可以使用隐函数求导公式来对隐函数进行微分。
而在微分方程中，隐函数常常出现在一些复杂的方程组中，通过求解隐函数，我们可以得到方程组的解。
二、参数方程参数方程是一种用参数来表示自变量和因变量关系的函数表达方式。
通常情况下，参数方程由一组参数方程组成，每个参数方程可以表示成：x = f(t)，y = g(t)。
在参数方程中，t是参数，x和y是函数所确定的自变量和因变量。
举例来说，考虑参数方程x = cos(t)，y = sin(t)，其中t是参数。
通过不同的参数值，我们可以得到一系列的点(x, y)，这些点在平面上形成了一个单位圆。
因此，参数方程可以很方便地描述曲线和图形的特征。
参数方程在几何和物理中都有广泛的应用。
在几何中，通过参数方程可以很方便地描述一些复杂的曲线和图形，求解它们的长度、面积等几何特征。
在物理中，参数方程常常用于描述物体的运动轨迹和速度等参数。
三、隐函数与参数方程的联系虽然隐函数和参数方程是两种不同的表示方法，但它们之间存在一定的联系。
有时候，我们可以通过转化将一个方程从隐函数形式转化为参数方程形式，或者反过来。
举例来说，考虑方程x^2 + y^2 - 1 = 0，我们可以将其转换为参数方程形式。
代数几何中的曲线理论表示方法
代数几何中的曲线理论表示方法曲线理论是代数几何的一个重要研究领域，涉及到曲线的定义、性质以及表示方法等内容。
在代数几何中，曲线是指满足一个或多个多项式方程的点的集合。
曲线的表示方法对于研究曲线的性质和解决相关问题至关重要。
本文将介绍代数几何中常用的曲线理论表示方法，包括参数表示、隐式方程表示和参数方程表示。
一、参数表示参数表示是一种常见的曲线表示方法，通过引入一个参数来描述曲线上的点的位置。
假设曲线为C，参数表示为P(t)，其中t为参数。
曲线C上的每一个点P都可以用参数t来表示，即P(t)=(x(t), y(t))，其中x(t)和y(t)为关于参数t的函数。
参数表示的优势在于可以刻画曲线的变化规律以及参数对应的几何意义。
通过对参数t的取值范围的限制，可以得到曲线的一部分或者完整的曲线。
参数表示也方便与其他数学对象进行关联，比如与向量场的曲线积分、参数曲线在平面上的切线等。
二、隐式方程表示隐式方程表示是另一种常见的曲线表示方法，通过一个或多个多项式方程来隐含地定义曲线。
假设曲线为C，隐式方程表示为F(x, y) = 0，其中F(x, y)为定义在平面上的多项式函数。
隐式方程表示通常用于描述一些特殊的曲线，比如圆、椭圆、双曲线等。
通过将(x, y)代入隐式方程中，可以判断某个点是否在曲线上。
隐式方程表示可以通过代数运算推导出曲线的性质，比如曲率、拐点等。
然而，隐式方程表示对于分析和计算曲线上的点的位置和性质可能较为繁琐。
三、参数方程表示参数方程表示是指通过引入两个或多个参数，分别描述曲线上点的x坐标和y坐标的表示方法。
假设曲线为C，参数方程表示为P(u)=(x(u), y(u))，其中u为参数。
参数方程表示的优势在于可以方便地处理具有复杂形状的曲线，比如螺旋线、心型线等。
参数方程表示也可以通过对参数的取值范围的限制，得到曲线的一部分或者完整的曲线。
参数方程表示也方便与其他数学对象进行关联，比如曲线在平面上的切线、曲线的弧长等。
隐函数与参数方程的简化
隐函数与参数方程的简化一、引言在数学中，隐函数和参数方程是描述曲线的两种常见形式。
隐函数是通过将曲线上的每个点的坐标表示为一个方程，而参数方程则是通过使用参数来表示曲线上的每个点的坐标。
本文将探讨隐函数和参数方程的简化方法，以帮助读者更好地理解和应用这两种形式。
二、隐函数的简化隐函数是由一个或多个变量的方程表示的函数。
通常情况下，我们可以根据给定的隐函数方程，通过一系列的代数运算和化简，将其转化为更简单的形式。
1. 代数运算首先，我们可以尝试对隐函数方程进行代数运算。
例如，对于一个二次曲线的隐函数方程，可以通过配方、开方等运算，将其转化为标准形式，如圆的标准方程。
2. 反函数有时，我们可以通过将隐函数方程两边同时取反函数，将其转化为显式函数形式。
例如，对于一个隐函数方程y^2 + x^2 - 1 = 0，我们可以将其两边同时取平方根，得到y = ±sqrt(1 - x^2)，将其转化为显式函数形式。
3. 参数代换在某些情况下，我们可以通过引入新的参数来简化隐函数。
例如，对于一个隐函数方程y^2 - 2xy + x^3 = 0，我们可以引入新的参数t =y/x，将其转化为一个参数方程。
三、参数方程的简化参数方程是通过使用参数来表示曲线上的每个点的坐标。
与隐函数相比，参数方程更容易描述具有复杂形状的曲线。
然而，对于一些简单的曲线，我们同样可以尝试简化参数方程。
1. 坐标消除对于一些参数方程，我们可以尝试通过将参数表示为其他变量的函数，将其转化为隐函数。
例如，对于一个参数方程x = t^2，y = 2t，我们可以通过将t表示为y的平方根的一半，得到隐函数y = x^(1/2)。
2. 合并参数有时，我们可以通过合并参数，将参数方程简化为更简洁的形式。
例如，对于一个参数方程x = cos(t)，y = sin(t)，我们可以通过合并参数t，得到一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1。
四、总结隐函数和参数方程是描述曲线的两种形式，它们在数学和应用领域中有着广泛的应用。
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dx
x
dy p
2 cos t sin t d t tan t
2 cos
2
t d t ( 1 cos 2 t ) d t ,
( 1 cos
2t )dt t
1 2
sin 2 t c ,
1 x t sin 2 t c 2 . 故原方程参数形式的通解为： y cos 2 t 此外 y 1 也是方程的解 .
p x c.
2
的通解为:
故原方程的通解为:
(2) 2 p x 0 p
y c cx
,
x
2
, ( c 为任意常数
x
2
).
.
2
x 2
故原方程还有一个解: y
4
注：此题通解不包含特解
且在积分曲线 y x
2
y
x
2
.
, 都有通解中的
4
上的每一点处 与之相切 .
4 某一条积分曲线在该点
其中 p 是参数 , c 是任意常数 .
二、不显含 y (或 x )的方程
1. 形如 F(x, y)=0 的方程的解法.
其中 F(x, y) 有连续的偏导数.
step 1 令 p y , 则方程变为 F ( x , p ) 0 ,
x (t ) , step2 将曲线 F ( x , p) 0 用参数 t 表示 : p (t )
一、可以解出 y (或 x )的方程
1. 形如 y =f (x, y) 的方程的解法. 其中 f (x, y) 有连续的偏导数.
step 1 令 p y , 则方程变为
y f ( x , p ), (1 )
step 2 将 ( 1 ) 两边对 x 求导 , 并以 y p 代入 , 得
(1)
将它代入(1),即得原方程的通解为:
y f ( x , ( x , c )), ( c 为任意常数 ).
,
( 2)
2) 若(2)的通解形式为 x ( p , c )
x ( p,c ) 则原方程 参数形式 的通解为： y f ( ( p , c ), p ),
y 求导 , 并以 ,
dx dy
1 p
代入 , 得
1 p
f dp p dy
(4)
dp dy
f p
f y
这是关于变量 y , p 的一阶微分方程 .
step 3 若求解出方程 ( 4 ) 的通解为 : ( y , p, c ) 0,
step4
x f ( y, p) 写出原方程参数形式的通解： ( y, p,c) 0
dy dx
) x
2
dy dx
x
2
2
.
2
解 令 y p , 则原方程变为
上式两边对
y p xp
x
2
,
x 求导 , 得 : p 2 p
dp dx
dp dx
x
dp dx
2
p x,
整理后得: (
(1 ) dp dx 1 0
1 )( 2 p x ) 0 ,
设 p y , 则方程变为 :
p x 1 p ,
2
方程可表为参数形式
x sin t : , ( t ), 2 2 p tan t
d y p d x tan t cos t d t sin t d t ,
y
sin
t d t cos t c
2
在微分方程中称解
y
y x
2
x
为原方程的
奇解. 包络.
4
在几何中称曲线 为通解曲线的
4
2. 形如 x =f ( y, y) 的方程的解法.
其中 f ( y, y) 有连续的偏导数.
step 1 令 p y , 则方程变为
x f ( y , p ), (3)
step 2 将 ( 3 ) 两边对 1 p f y
其中 p 是参数 , c 是任意常数 .
3) 若(2)的通解形式为 ( x , p , c ) 0
( x, p,c) 0 则原方程参数形式的通解为： y f ( x, p)
其中 p 是参数 , c 是任意常数 .
注： 在参数形式通解中 p 只起参数作用,不再表示y.
例1 求解方程 y (
x sin t 故原方程参数形式的通解为： . y cos t c
可以消去参数 t , 得通解为
x ( y c ) 1.
2 2
2. 形如 F(y, y)=0 的方程的解法.
其中 F(y, y) 有连续的偏导数.
step 1 令 p y , 则方程变为 F ( y , p ) 0 ,
y (t ) , step2 将曲线 F ( y , p) 0 用参数 t 表示 : p (t ) dy ( t ) step 3 由 d x , 可求得 x dt c , p (t )
step4
( t ) dt c x (t ) 写出原方程参数形式的通解： y (t )
step 3 由 d y p d x , 可求得 y ( t ) ( t )d t c ,
step4
x (t ) 写出原方程参数形式的通解： y ( t ) ( t )d t c
其中 t 是参数 , c 是任意常数 .
例2 求解方程 y x 1 ( y ) 2 . 解
§2.4 一阶隐方程与参数表示
一阶微分方程一般可表示为 F (x, y, y )=0,
若可解出 y=f (x, y), 可先判别方程类型, 用前面介绍 的方法求解. 若 y 难以解出或解出表达式相当复杂, 则可采用引进 参数的办法使其变为导数已解出的方程类型. 主要研究以下四种类型：
(1 ) (3) y f ( x , y ), F ( x , y) 0, (2) (4) x f ( y , y ), F ( y , y) 0,
p
f x
f dp p dx
,(2)ຫໍສະໝຸດ dp dx
p x
f p
f
这是关于变量 x , p 的一阶微分方程 .
step 3 求解方程 (2) , 写出原方程通解 .
1) 若 (2) 的通解形式为 p ( x , c )
y f ( x , p ),
p f x f dp p dx
其中 t 是参数 , c 是任意常数 .
例3 求解微分方程
解 设 p
dy dx
方程可表为参数形式
y [1 ( y ) ] 1 .
2
, 则方程变为
: y (1 p ) 1 ,
2
y cos t , ( t ), : 2 2 p tan t