2012-1线性代数期末统考试卷

华南理工大学广州汽车学院基础部
关于2011年《线性代数》期末统考的通知
通知要点
一、考试的重点内容与要求
二、考试的形式与试卷结构
三、题型示例与答案
一、考试时间、考试的重点内容与要求
考试时间：2012年1月9日下午
考试的范围是《线性代数》（同济大学·第五版）第一、二、三、四、五章。

以下按章次明确考试的重点与要求：
第一章行列式
1.了解行列式的定义，会用对角线法则计算二三阶行列式。

2. 掌握余子式，代数余子式，会利用行列式的性质及按行（列）展开计算行列式。

3. 掌握范德蒙行列式。

？
4.了解克拉默法则。

第二章矩阵及其运算
1.理解矩阵的概念。

了解零矩阵、单位矩阵、对角矩阵等特殊的矩阵。

2.掌握矩阵的加法及数乘矩阵、矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式以及它们的运算规则。

3.理解可逆矩阵的概念、性质，以及矩阵可逆的充要条件。

4.了解伴随矩阵的概念和性质，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵。

第三章矩阵的初等变换与线性方程组
1.掌握用初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵和行最简形矩阵的方法。

2.理解矩阵等价的概念。

2.知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系，掌握用初等变换求可逆矩阵的方法。

3.理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩。

4.了解线性方程组无解、有唯一解或有无限多个解的充要条件（包括非齐次线性方程组有解的充要条件及齐次方程组有非零解的充要条件）。

5.掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法（包括求非齐次线性方程组及齐次线性方程组的通解）。

第四章向量组的线性相关性
1.理解n维向量的概念，了解向量组的概念及向量组与矩阵的对应。

2.了解向量组的线性组合的概念，了解向量组线性相关、线性无关的概念，了解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念。

3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，并熟悉基础解系的求法。

理解非齐次线性方程组通解的结构。

第五章相似矩阵及二次型
1.了解向量的内积、长度及正交性。

2.理解矩阵特征值、特征向量的概念及性质。

会求矩阵的特征值和特征向量。

3.了解相似矩阵和正交矩阵的概念，矩阵对角化的条件。

4.了解二次型的概念。

最后我们指出，上述列出的各章内容与要求是本次统考的基本内容，考生应结合课本的例题与教师布置的习题抓好落实，既要弄清概念、又要掌握运算规则、总结解题方法；同时还要注意行列式、矩阵、矩阵的初等变换等知识的区别与联系，通过做题熟练内容，加深理解。

二、考试的形式、试卷结构
1. 考试形式为闭卷、笔试。

满分100分，考试时间为120分钟。

2. 试卷内容比例：行列式约占20%，矩阵及其运算约占20%，矩阵的初等变换与线性方程组
约占30%，向量组的线性相关性约占20%，相似矩阵及二次型10%。

3. 试卷题型比例：简答题占30%，计算题占42%，解答题占28%. 4. 考试成绩占期末总评成绩50%，平时成绩占50%。

三、
题型示例与答案
一、简答题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

要求解题有过程和结果） 1.利用对角线法则计算三阶行列式：
10
2
2.01a D a a
=
2. 求矩阵124536A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
与3124B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的乘积()T AB 。

3.设行列式3521
1105
13132413
D --=----，求1112131433A A A A -+++，其中ij A 表示
D 的(),i j 元的代数余子式。

4. 判定向量组1111,2,3136⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
的线性相关性。

5. .用矩阵记号表示二次型2
2
34f x z xy yz =--+
6.问λ取何值时，齐次线性方程组
()()123123120,220,10.
x x x x x x x x λλλ⎧-+=⎪
++-=⎨⎪
++=⎩
有非零解？
二、计算题及证明题（本大题共6小题，每小题7分，共42分） 1. 计算行列式：
21111
211
.11211
112D =
1234101231101205
D =-- 2. 设矩阵
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=111012*********A ，
求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。

3. 设矩阵1120121012a A a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的秩()2R A =，试求a 的值。

4. 求123221.343A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的逆矩阵： 5求解矩阵方程21311122X=2013225--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦。

6.求齐次线性方程组
123412341
23481020,2450,38620.
x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪
++-=⎨⎪++-=⎩
的基础解系与通解。

三、综合题（本大题共3小题，3小题依次为9分、9分、10分，共28分）
1. 设n 阶矩阵A 满足2
A A =。

证明：2E A -可逆，且()
1
22E A E A --=-。

2.λ取何值时，非齐次线性方程组
()()()()()()1231231233211,212121,4132 1.
x x x x x x x x x λλλλλλλλλλλ++++=⎧⎪
-+-+-=+⎨⎪
-++=⎩
（1）有唯一解； （2）无解； （3）有无穷多解？
3. 设122224242A -⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
（1）求A 的特征值和特征向量；
（2）A 能否对角化？若能对角化，求出对角矩阵P ，使得1
P AP -为对角阵。

答案
一.简答题
1.3
4a a - 2. 7112192427⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
3. 0
4. ()3,
R A =∴ 向量组线性无关
5. 1201(,,)2021032x f x y z y z ⎡⎤
⎢⎥-⎛⎫
⎢⎥ ⎪
⎢⎥=- ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-⎣⎦
6. 12λλ==-或
二. 计算题
1. 5 ；1234101
2
363110120
5
D =
=-- 2.
21,αα是A 的列向量组的一个最大无关组，213ααα-=，214ααα+=，2153ααα+-=
3. 0a =
4. 1
132353
2
2111A --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
5. 420132-⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
6.()121212344031,441001x x c c c c R x x -⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
三.综合题
1. ()()()()1
22
22224,22E A E A E A A A E E A E A ---=--+=∴-=-
2.（1）11λλ≠-≠及时，方程组有唯一解； （2）1λ=-时，方程组无解；
（3）1λ=时，方程组有无穷多解。

3.（1）12122020,1..11λλαα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对应特征向量为
()337.122.T
λα=-=对应特征向量为，，
（2） 123201
120,.112
a a a ≠由于,,线性无关
所以A 可对角化，()123201 ,,012112P a a a ⎛⎫ ⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭
1200 020.007P AP -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
则有。