高一数学下册课时综合检测题33

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2023-2024高一第二学期期末数学质量检测试题参考答案与评分细则

2023-2024 学年度第二学期期末质量检测高一数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号12345678答案CDACBDDA1．【解析】由题得()()()()231151+12i i i z i i ----==-，所以z 对应的点的坐标是15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选C ．2．【解析】零向量的方向是任意的，故A 错误；相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B 错误；当0λ<，则向量a 与a λ方向相反，故C 错误；对于D ：单位向量的模为1，都相等，故D 正确.3．【解析】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232⨯+=，方差是231090⨯=.故选A ．4．【解析】【方法一】向量a 在b方向上的投影向量为()()22cos ,1,04a b b bb a a b b b⋅<>⋅===；【方法二】数形结合，由图易得选项C 正确，故选C.5．【解析】样本中高中生的人数比小学生的人数少20，所以5320543543n n -=++++，解得120n =，故选B ．6．【解析】对于选项A ，易得,αβ相交或平行，故选项A 错误；对于选项B ，,m n 平行或异面，故选项B 错误；对于选项C ，当直线,m n 相交时，//αβ才成立，故选项C 错误；对于选项D ，由线面垂直的性质可知正确，故选D.7．【解析】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ⋂即两个点数都是偶数，即A 与C D ⋂可以同时发生，所以选项B 错误；对于选项C ，因为331()664P B ⨯==⨯，333()1664P D⨯=-=⨯，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误；对于选项D ，因为()1P C D = ，所以C D =Ω ，因为必然事件与任意事件相互独立，所以B 与C D ⋃是相互独立事件，故选D ．8．【解析】因为11AC CB =，AC BC =，取AB 中点D ，则1C DC ∠为二面角1C AB C --的平面角，所以14C DC π∠=．在1Rt C DC ∆中，可得112,CD CC C D ===，又1182V AB CD CC =⋅⋅=，解得4AB =，所以AC ==.由1111A ABC B AA C V V --=得1111133ABC AA C S h S BC ∆∆⋅=⋅，代入数据求解得到点1A 到平面1ABC的距离h =，故选A ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号题9题10题11全部正确选项ABCBCAD9．【解析】依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R⨯⨯=，所以AC 选项正确；圆锥的侧面积为2πRR ⨯=，所以B 选项正确；圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R +=<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项错误．故选ABC ．10．【解析】由1i z i +=-得22z =，故选项A 错误；根据复数的运算性质，易知BC 正确；根据22z -≤的几何意义求解，点Z 在以圆心为()2,0，半径为2的圆内及圆周上，所以集合M 所构成区域的面积为4π，所以D 选项错误．故选BC ．11．【解析】对于选项A ，若60A =︒，2a =，则2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc bc =+-≥，当且仅当2b c ==时，取等号，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC 故选项A正确，B 错误．对于选项C ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则sin b A a b <<，因为4a b==，所以4sin A <πsin 0,2A A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以03A π<<.故选项C 错误.对于选项D ，()cos cos a b c A B +=+等价于cos cos a b A B c +=+，即22222222a b b c a a c bc bc ac++-+-=+，对该等式通分得到()()()2222222ab a b a b c a b a c b +=+-++-，即2222322322a b ab ab ac a a b bc b +=+-++-，即3322220a b a b ab ac bc +++--=．这即为()()()()2220a b a ab b ab a b c a b +-+++-+=，由0a b +≠知该等式即为2220a b c +-=．从而条件等价于2220a b c +-=且1c =，从而该三角形内切圆半径)121122ABC ab S ab ab r a b c a b c a b ab ===++++++ 当且仅当2a b ==时等号成立，从而0r <≤2213πππ24S r ⎛⎫-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭内切圆．验证知当2a b ==时，等号成立，所以该三角形的内切圆面积的最大值是3π4-，所以选项D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；其中第14题的第一个空2分，第二个空3分．12．71513．a b <【注：也可以是b a >，0b a ->或a 小于b 】14．2；412．【解析】已知甲、乙两人独立的解同一道题，甲，乙解对题的概率分别是23，35，恰好有1人解对题的概率是22137353515⨯+⨯=.【注：写成有限小数不给分】13．【解析】由平均数在“拖尾”的位置，可知a b <．14．【解析】（1）13E ABC ABC V S EB -∆=⋅，在ABC ∆中，由余弦定理可知，1cos 8BAC ∠=，所以sin 8BAC ∠==，所以113772413282E ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=.（2）作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为H 1，易证棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ，则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上，由（1）知，1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故BH =，则1EE =，设AF 的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ中，222211QF R QQ ==+①，又因为222211114QE R QQ Q E ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭②，由①②可得211131216QQ Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点．因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角．由1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理可得1B F 因为11EB =，所以EF =11cos 4E FEB B EF =∠=．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分，其中第（1）小问6分，第（2）小问7分。

高中数学全册综合检测试题课时作业(含解析)新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学试题

全册综合检测试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题每小题5分，共40分 1．下列命题为假命题的是( D ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|解析：A 中，任何复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，所以A 正确；B 中，由复数为零的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；C 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )，且z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|；反之，由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时，|z 1|＝|z 2|，故C 正确；D 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 1>z 2，则a 1>a 2，b 1＝b 2＝0，此时|z 1|>|z 2|；若|z 1|>|z 2|，z 1与z 2不一定能比较大小，所以D 错误．2．随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：餐费/元 6 7 8 人数102020这50A ．7.2,0.56 B ．7.2，0.56 C ．7,0.6 D ．7，0.6解析：根据题意，计算这50个学生午餐费的平均值是x ＝150×(6×10＋7×20＋8×20)＝7.2，方差是s 2＝150[10×(6－7.2)2＋20×(7－7.2)2＋20×(8－7.2)2]＝150(14.4＋0.8＋12.8)＝0.56.3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( B ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面解析：当α内有无数条直线与β平行，也可能两平面相交，故A 错．同样当α，β平行于同一条直线或α，β垂直于同一平面时，两平面也可能相交，故C ，D 错．由面面平行的判定定理可得B 正确．4．如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则CC 1与平面AB 1C 1所成的角为( A )A.π6B.π4 C.π3D.π2解析：如图，取B 1C 1中点为D ，连接AD ，A 1D ，因为侧棱垂直于底面，底边是边长为2的正三角形，所以三棱柱ABC A 1B 1C 1是正三棱柱，所以CC 1∥AA 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成的角即是CC 1与平面AB 1C 1所成的角，因为B 1C 1⊥A 1D ，B 1C 1⊥AA 1，所以B 1C 1⊥平面AA 1D ，所以平面AA 1D ⊥平面AB 1C 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成角为∠A 1AD ，因为AA 1＝3，A 1D ＝3，所以tan ∠A 1AD ＝A 1D AA 1＝33，所以∠A 1AD ＝π6，所以CC 1与平面AB 1C 1所成角为π6.5．正方形ABCD 的边长为2，点E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若AF →·AE →＝|AE →|2，则|AF →|＝( D )A ．3B ．5 C.32D.52解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立坐标系，如图所示，因为E 为BC 边的中点，所以E (2,1)，因为F 为CD 边上一点，所以可设F (t,2)(0≤t ≤2)，所以AF →＝(t,2)，AE →＝(2,1)，由AF →·AE →＝|AE →|2可得：2t ＋2＝22＋1＝5，所以t ＝32，所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，所以|AF →|＝322＋22＝52.6．已知点O 是△ABC 内部一点，并且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，△BOC 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，则S 1S 2＝( A )A.16B.13C.23D.34 解析：因为OA →＋2OB →＋3OC →＝0，所以OA →＋OC →＝－2(OB →＋OC →)，如图，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，则 OA →＋OC →＝2OD →，OB →＋OC →＝2OE →，所以OD →＝－2OE →，即O ，D ，E 三点共线且|OD →|＝2|OE →|，则S △OBC ＝13S △DBC ，由于D 为AC 中点，所以S △DBC ＝12S △ABC ，所以S △OBC ＝16S △ABC ，即S 1S 2＝16.7．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( D )A.12B.13C.14D.16解析：记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意，事件A i ，B i ，C i (i ＝1,2,3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16，i ＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝6P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16.8．如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP →·BP →的取值X 围是( A )A ．[1,13]B ．(1,13)C ．(4,10)D ．[4,10]解析：取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA →＋CB →＝2CD →，所以AP →·BP →＝(CP →－CA →)·(CP →－CB →)＝CA →·CB →－2CD →·CP →＋1＝(23)2cos π3－2×3×1×cos〈CD →，CP →〉＋1＝7－6cos 〈CD →，CP →〉，所以当cos 〈CD →，CP →〉＝1时，AB →·BP →取得最小值为1；当cos 〈CD →，CP →〉＝－1时，AP →·BP→取得最大值为13，因此AP →·BP →的取值X 围是[1,13]．二、多项选择题每小题5分，共20分9．为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份某某通过联合调查，制定了中国仓储指数．由2017年1月至2018年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( ABC ) A ．2017年各月的仓储指数最大值是在3月份 B ．2018年1月至7月的仓储指数的中位数约为55 C ．2018年1月与4月的仓储指数的平均数约为52D ．2017年1月至4月的仓储指数相对于2018年1月至4月，波动性更大解析：2017年各月的仓储指数最大值是在11月份，所以A 错误；由题图知，2018年1月至7月的仓储指数的中位数约为52，所以B 错误；2018年1月与4月的仓储指数的平均数约为51＋552＝53，所以C 错误；由题图可知，2017年1月至4月的仓储指数比2018年1月至4月的仓储指数波动更大．所以D 正确．10．已知数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个普通职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入x n ＋1，对于这(n ＋1)个数据，下列说法错误的是( ACD )A ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变解析：∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个普通职工的年收入，而x n ＋1为世界首富的年收入，则x n ＋1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ，∴对于这(n ＋1)个数据，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程度受到x n ＋1比较大的影响，数据更加离散，则方差变大．故A 、C 、D 说法错误，符合题意．11．已知向量a ，e 满足a ≠e ，|e |＝1，且对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |成立，则( BC )A ．a ⊥eB ．a·e ＝1C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e )解析：由条件可知|a －t e |2≥|a －e |2对t ∈R 恒成立，又∵|e |＝1，∴t 2－2t a ·e ＋2a ·e －1≥0对t ∈R 恒成立，即Δ＝(－2a ·e )2－8a ·e ＋4≤0恒成立，∴(a ·e －1)2≤0恒成立，而(a ·e －1)2≥0，∴a ·e －1＝0，即a ·e ＝1＝e 2，∴e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折到△A 1DE 的位置，A 1∉平面ABCD ，M 为A 1C 的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是( ABC )A ．恒有BM ∥平面A 1DEB ．B 与M 两点间距离恒为定值C ．三棱锥A 1DEM 的体积的最大值为212D ．存在某个位置，使得平面A 1DE ⊥平面A 1CD解析：如图，取A 1D 的中点N ，连接MN ，EN ，可得四边形BMNE 是平行四边形，所以BM ∥EN ，所以BM ∥平面A 1DE ，故A 正确；(也可以延长DE ，CB 交于H ，可证明MB ∥A 1H ，从而证 BM ∥平面A 1DE ) 因为DN ＝12，DE ＝2，∠A 1DE ＝∠ADE ＝45°，根据余弦定理得EN 2＝14＋2－2×2×12×22，得EN ＝52，因为EN ＝BM ，故BM ＝52，故B 正确；因为M 为A 1C 的中点，所以三棱锥C A 1DE 的体积是三棱锥M A 1DE 的体积的两倍，故三棱锥C A 1DE 的体积VC A 1DE ＝VA 1DEC ＝13S △CDE ·h ，其中h 表示A 1到底面ABCD 的距离，当平面A 1DE ⊥平面ABCD 时，h 达到最大值，此时VA 1DEC 取到最大值26，所以三棱锥M A 1DE 体积的最大值为212，即三棱锥A 1DEM 体积的最大值为212，故C 正确；考察D 选项，假设平面A 1DE ⊥平面A 1CD ，因为平面A 1DE ∩平面A 1CD ＝A 1D ，A 1E ⊥A 1D ，故A 1E ⊥平面A 1CD ，所以A 1E ⊥A 1C ，则在△A 1CE 中，∠EA 1C ＝90°，A 1E ＝1，EC ＝2，所以A 1C ＝1，又因为A 1D ＝1，CD ＝2，所以A 1D ＋A 1C ＝CD ，故A 1，C ，D 三点共线．所以A 1∈CD ，得A 1∈平面ABCD ，与题干条件A 1∉平面ABCD 矛盾，故D 不正确．故选ABC.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题每小题5分，共20分13．随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若该校的学生总人数为 3 000，则成绩不超过60分的学生人数大约为900.解析：由题图知，成绩不超过60分的学生的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成绩不超过60分的学生人数大约为0.3×3 000＝900.14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是710. 解析：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，共有10种情况．若选出的2名学生恰有1名女生，有6种情况，若选出的2名学生都是女生，有1种情况，所以所求的概率为6＋110＝710.15．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝－3，b ＝－10. 解析：因为OC →＝2OA →＋OB →，所以1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎪⎨⎪⎧1＝4＋a ，－4＝6＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－10.16．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，除平面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M ，则四棱锥M EFGH 的体积为23.解析：因为底面EFGH 的对角线EG 与FH 互相垂直，所以S EFGH ＝12×EG ×FH ＝12×2×2＝2，又M 到底面EFGH 的距离等于棱长的一半，即h ＝12×2＝1，所以四棱锥M EFGH 的体积：V M EFGH ＝13×S EFGH ×h ＝13×2×1＝23.四、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分17．(10分)某市举办法律知识问答活动，随机从该市18～68岁的人群中抽取了一个容量为n 的样本，并将样本数据分成五组：[18,28)，[28,38)，[38,48)，[48,58)，[58,68]，并绘制如图所示的频率分布直方图，再将其分别编号为第1组，第2组，…，第5组．该部门对回答问题的情况进行统计后，绘制了下表．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组 [18,28) 5 0.5第2组 [28,38) 18 a第3组 [38,48) 270.9 第4组 [48,58) x0.36 第5组[58,68]30.2(1)分别求出a，x的值；(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组各应抽取多少人？(3)在(2)的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求第2组至少有1人获得幸运奖的概率．解：(1)第1组的人数为5÷0.5＝10，第1组的频率为0.010×10＝0.1，所以n＝10÷0.1＝100.第2组的频率为0.020×10＝0.2，人数为100×0.2＝20，所以a＝18÷20＝0.9.第4组的频率为0.025×10＝0.25，人数为100×0.25＝25，所以x＝25×0.36＝9.(2)第2,3,4组回答正确的人数的比为18279＝231，所以第2,3,4组每组各应抽取2人、3人、1人．(3)记“第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，设抽取的6人中，第2组的2人为a1，a2，第3组的3人为b1，b2，b3，第4组的1人为c，则从6人中任意抽取2人所有可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c)，(b2，b3)，(b2，c)，(b3，c)，共15种．其中第2组至少有1人获得幸运奖的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c)，共9种．故P(A)＝915＝35.所以抽取的6人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为35.18．(12分)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．(注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．解：(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因为样本量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.设抽取的5人分别为A ，B, C, D ，E ，其中A ，B 为男生，C, D ，E 为女生，从5人中任意选取2人，试验的样本空间Ω＝{(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E ) }，共10个样本点．事件“至少有一名男生”包含的样本点有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，共7个样本点，故至少有一名男生的概率为P ＝710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.19．(12分)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B .(1)求角C 大小；(2)若c ＝2，求3a ＋b 的取值X 围．解：(1)因为sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B ，所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3ab 2ab ＝－32，因为C ∈(0，π)，所以C ＝5π6. (2)由正弦定理得2R ＝csin C ＝4，所以3a ＋b ＝2R (3sin A ＋sin B ) ＝4[3sin A ＋sin(π6－A )]＝4(3sin A ＋12cos A －32sin A )＝4sin(A ＋π6)，因为A ∈(0，π6)，所以A ＋π6∈(π6，π3)，所以sin(A ＋π6)∈(12，32)，所以3a ＋b 的取值X 围是(2,23)．20．(12分)如图，A ，C 两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A 岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B 处．然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C 岛．(1)求A ，C 两岛之间的直线距离； (2)求∠BAC 的正弦值．解：(1)在△ABC 中，由已知，AB ＝10×5＝50，BC ＝10×3＝30，∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°.根据余弦定理，得AC 2＝502＋302－2×50×30cos120°＝4 900，所以AC ＝70. 故A ，C 两岛之间的直线距离是70海里． (2)在△ABC 中，据正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，所以sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABC AC ＝30sin120°70＝3314，故∠BAC 的正弦值是3314.21．(12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3.(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．解：(1)证明：连接BD，如图，易知AC∩BD＝H，BH＝DH，又BG＝PG，故GH∥PD，又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD.(2)证明：取棱PC的中点N，连接DN，如图，依题意，得DN⊥PC，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，故DN⊥PA，又因为PA⊥CD，CD∩DN＝D，所以PA⊥平面PCD.(3)连接AN，如图，由(2)中DN⊥平面PAC，可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角．因为△PCD为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点，所以DN＝3，又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝DNAD ＝33，所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33.22．(12分)如图，在四棱锥PABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB ∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB＝2AD＝4.(1)求证：平面PCD⊥平面PAD；(2)求三棱锥PABC的体积；(3)在棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD？若存在，请确定点E的位置，并证明；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为AB∥CD，AB⊥AD，所以CD⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.(2)取AD的中点O，连接PO，如图．因为△PAD为正三角形，所以PO⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO为三棱锥PABC的高．因为△PAD为正三角形，CD＝2AB＝2AD＝4，所以PO＝3，所以V三棱锥PABC＝S△ABC·PO＝13×12×2×2×3＝233.(3)在棱PC上存在点E，当E为PC的中点时，BE∥平面PAD.证明：如图，分别取CP，CD的中点E，F，连接BE，BF，EF，所以EF∥PD.因为AB∥CD，CD＝2AB，所以AB∥FD，AB＝FD，所以四边形ABFD为平行四边形，所以BF∥AD. 因为BF∩EF＝F，AD∩PD＝D，所以平面BEF∥平面PAD.因为BE⊂平面BEF，所以BE∥平面PAD.。

高一数学下册课时综合检测题30

[学业水平训练]1．下列试验能够构成事件的是()A．掷一次硬币B．射击一次C．标准大气压下，水烧至100 ℃D．摸彩票中头奖解析：选D.事件必须有条件和结果，D既有条件又有结果，可以构成事件．2．(2013·洛阳检测)下列说法正确的是()A．任何事件的概率总是在(0，1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定解析：选C.由概率的有关概念知，C正确．3．(2014·深圳调研)“一名同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是() A．不可能事件B．必然事件C．可能性较大的随机事件D．可能性较小的随机事件解析：选D.掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．则样本数据落在区间[10，40)的频率为()A．0.35B．0.45C．0.55 D．0.65解析：选B.在区间[10，40)的频数为2＋3＋4＝9，所以频率为920＝0.45.5．在20支同型号钢笔中，有3支钢笔是次品，从中任意抽取4支钢笔，则以下事件是必然事件的是()A．4支均为正品B．3支为正品，1支为次品C．3支为次品，1支为正品D．至少有1支为正品解析：选D.因为仅有3支钢笔是次品，故抽样的结果有以下四种情况：4支全是正品，有1支次品，有2支次品，有3支次品．6．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么可能共进了________次试验．解析：设共进行了n 次试验，则10n＝0.02，解得n ＝500.答案：500 7．下列事件：①在空间内取三个点，可以确定一个平面；②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份； ③某电影院某天的上座率会超过50%；④函数y ＝log a x (0＜a ＜1)在定义域内为增函数；⑤从一个装有100只红球和1只白球的袋中摸球，摸到白球．其中，________是随机事件，________是必然事件，________是不可能事件．(填写序号)解析：①空间中不共线的三点可确定一个平面，故①是随机事件；②一年中有12个月份，故13个人中，一定有至少2个人的生日在同一个月份，为必然事件；③是随机事件；④当0＜a ＜1时函数y ＝log a x 在定义域内为减函数，故④为不可能事件； ⑤是随机事件．答案：①③⑤ ② ④ 8．(2013·济南检测)如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量多的是________．解析：取了10次有9个白球，则取出白球的频率是910，估计其概率约是910，那么取出黑球的概率约是110，那么取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量多的是白球．答案：白球9．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩分布：用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)：(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以下．解：总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645(人)．修李老师的高等数学课的学生考试成绩在90分以上，60分～69分，60分以下的频率分别为：43645≈0.067，90645≈0.140，62＋8645≈0.109.∴用以上信息可以估计出王小慧得分的概率情况： (1)“得90分以上”记为事件A ，则P (A )＝0.067. (2)“得60分～69分”记为事件B ，则P (B )＝0.140. (3)得“60分以下”记为事件C ，则P (C )＝0.109.10．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，使用了以下方法：先从该保护区中捕获一定数量的天鹅200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，过了一段时间，再从保护区中捕获150只天鹅，其中有记号的有20只，根据以上数据估计自然保护区中天鹅的数量．解：设保护区中天鹅的数量为n ，假定每只天鹅被捕获的可能性是相等的，从保护区中捕一只，设事件A ：捕获带有记号的天鹅，则P (A )＝200n. 第二次从保护区中捕获150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的定义知P (A )≈20150.所以200n ≈20150，解得n ≈1 500.所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只．[高考水平训练]1．已知α，β，γ是不重合的平面，a ，b 是不重合的直线，则下列说法正确的是( ) A ．“若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α”是随机事件 B ．“若a ∥b ，a ⊂α，则b ∥α”是必然事件 C ．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件 D ．“若a ⊥α，a ∩b ＝P ，则b ⊥α”是不可能事件解析：选D.A 错误，因为⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α，故是必然事件，不是随机事件．B 错误，因为⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊂α⇒b ∥α或b ⊂α，故是随机事件，不是必然事件．C 错误，因为当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故是随机事件，不是必然事件．D正确，因为如果两条直线垂直于同一个平面，则两直线必平行，故此是不可能事件．2．(2014·淄博调研)一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃在一年时间里破碎的概率，公司收集了20 000部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率约为________．解析：P＝60020 000＝0.03.答案：0.033．为了确定某类种子的发芽率，从一大批种子中抽出若干批进行发芽试验，其结果如下：(1)计算各批种子的发芽频率；(保留三位小数)(2)怎样合理地估计这类种子的发芽率？(保留两位小数)解：(1)各批种子的发芽频率分别为：0.960，0.857，0.892，0.913，0.903，0.904，0.903.(2)在这7组种子发芽试验中，前两组试验次数较少，其频率的稳定性比较弱，不适合作为估计种子的发芽率的依据，而后五组试验次数较多，且其种子的发芽频率趋向0.90，即近似地认为这类种子的发芽率为0.90.4．表①和表②分别表示从甲、乙两个厂家随机抽取的某批篮球产品的质量检查情况：表①表②(1)分别计算表①和表②中篮球是优等品的各个频率(结果保留到小数点后两位)；(2)若从两个厂家生产的这批篮球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率分别是多少？(3)若两厂的篮球价格相同，你打算从哪一厂家购货？解：(1)依据频率公式计算表①中“篮球是优等品”的各个频率为0.90，0.92，0.97，0.94，0.95，0.95；表②中“篮球是优等品”的各个频率为0.86，0.89，0.91，0.91，0.89，0.90.(2)由(1)可知，抽取的篮球数不同，随机事件“篮球是优等品”的频率也不同．表①中的频率都在常数0.95的附近摆动，则在甲厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.95；表②中的频率都在常数0.90的附近摆动，则在乙厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.90.(3)根据概率的定义可知：概率是从数量上反映一个随机事件发生可能性的大小．因为P>P乙，表示甲厂生产出来的篮球是优等品的概率更大．因此应该选择甲厂生产的篮球．甲薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

高一数学综合练习题集

高一数学综合练习题集1. 选择题：下列哪个图形是中心对称图形？A. 正方形B. 圆形C. 三角形D. 长方形2. 填空题：已知a=2，b=3，求a^2+b^2的值。

3. 判断题：等边三角形的所有内角都是60度。

4. 解答题：已知函数f(x)=2x^2-5x+3，求f(x)的导数。

5. 选择题：下列哪个函数是奇函数？A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=x^4D. f(x)=x^56. 填空题：已知a=1，b=2，求a^3+b^3的值。

7. 判断题：等腰三角形的底角相等。

8. 解答题：已知函数f(x)=x^2+2x+1，求f(x)的极值点。

9. 选择题：下列哪个数是偶数？A. 5B. 8C. 11D. 1410. 填空题：已知a=4，b=6，求a^2-b^2的值。

11. 判断题：等腰梯形的上底和下底长度相等。

12. 解答题：已知函数f(x)=x^3-3x^2+3x，求f(x)的单调递增区间。

13. 选择题：下列哪个数是质数？A. 17B. 18C. 19D. 2014. 填空题：已知a=7，b=10，求a^3-b^3的值。

15. 判断题：等边三角形的所有外角都是60度。

16. 解答题：已知函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2，求f(x)的导数。

17. 选择题：下列哪个数是合数？A. 23B. 24C. 25D. 2618. 填空题：已知a=5，b=8，求a^2+b^2的值。

19. 判断题：等腰梯形的对角线互相平分。

20. 解答题：已知函数f(x)=x^3+3x^2-3x，求f(x)的极值点。

21. 选择题：下列哪个数是平方数？A. 25B. 26C. 27D. 2822. 填空题：已知a=3，b=6，求a^2-b^2的值。

23. 判断题：等边三角形的所有角都是60度。

24. 解答题：已知函数f(x)=x^3-3x^2+3x，求f(x)的单调递增区间。

25. 选择题：下列哪个数是素数？A. 29B. 30C. 31D. 3226. 填空题：已知a=4，b=8，求a^2+b^2的值。

高一数学下学期综合试题及答案

高一数学下学期数学试卷一、选择题（单项选择，每小题5分，共60分） 1．(-11400)的值是（）A21 B 21- C 23 D 23-2．已知b a ,为单位向量，则下列正确的是（）A 0=-b aB b a b a 22==+C 0||||=-b aD 1=⋅b a 3．设)33,24(),2,1(+=+=k b k a ，若b a 与共线，则k 等于( ) A 3 B 0 C -5 D 3或-5 4．的值是)55sin()35sin()55cos()35cos(0x x x x -+--+（） A 0 B -1 C 1± D 1 5．函数x y 2sin 32+=的最小正周期是（）A π4B π2C πD 2π6．有以下结论：（1）若c a b a ⋅=⋅,且0≠a ，则;c b =（2）;0),(),(21212221=+==y y x x y x b x x a 垂直的充要条件是与（3）;2)(||2b a b a b a ⋅-+=+ （4）函数102lg -=x y 的图象可由函数x y lg =的图象按向量)1,2(-=a 平移而得到。

其中错误的结论是（） A （1）（2） B （3）（4） C （1）（3） D （2）（4） 7．三角形中，,2||,1||||===AB BC AC 则CA CB BC AB ⋅+⋅的值是（）A 1B -1C 0D 28．已知=（-2，-3）、ON ＝（1，1），点)21(，x P 在线段的中垂线上，则x 等于（）．A ．25-B ．23-C ．27- D ．3- 9．在三角形中，02cos 2cos <-B A 是<0的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要的条件)(0,,1||,2||.10的取值范围是，则且角，是某锐角三角形的最大的夹角与若已知λλθλλ<-+⊥==b a b a b a b a A 02<<-λ B2-<λ C 3322-≤<-λ D 0332<≤-λ 11．在三角形中，已知,10,4:3:2sin :sin :sin =+=b a C B A 且则向量在向量的投影是（）A 7B 6C 5D 412．把函数x x y sin cos 3-=的图象向右平移a 个单位，所得图象关于y 轴对称，则a 的最大负值是( ) A 6π-B 3π-C 32π-D 65π- 二、填空题（每小题6分，共24分）13．=-=a a a 2tan ,54cos 是第三象限的角，则且已知 . ；的取值范围是则，满足，若正数________________3.14ab b a ab b a ++= ._________________的取值范围是b a +15．已知三角形中，,5||,3||,415,0,,===<⋅==∆b a S b a b AC a AB ABC则与的夹角是 .16．给出下列8种图象的变换方法：（1）将图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）。

【高一数学试题精选】高一数学下册综合训练试题及答案

5、若,则函数源自最小值是A．B．c．0D．1
6、已知,则的值是
A．B．c．D．
7、若a=(1,3)，b=(-2,-1),则(3a+2b)(2a+5b)等于
A．B．55c．15D．b，且c⊥d，则的值是( )
A．0 B．1或—6c．—1或6D．—6或6
12、在ΔABc中，，，，下列推导不正确的是（）
A．若a b 0，则ΔABc为锐角三角形B．a b=0,则ΔABc为直角三角形c．a b= b c,则ΔABc为等腰三角形D．c（a+b+c）=0,则ΔABc为正三角形
题号123456789101112
答案
二、填空题(本大题共四个小题，每小题5分，共8，此时=（4，2）；（2）当=（4，2），即=2,时，有，
，，= —8，∴cs∠AXB=
22、（1）由向量加法的平行四边形法则，得，=a+b+c，∴h= a+b+c；（2），∴=，∵为ΔABc的外心，∴
即，∴⊥，AH⊥Bc；（3）在ΔABc的中，∠A=60°，
∠B=45°，则∠Bc=2∠A=120°，∠Ac=2∠B=90°，∠AB=150°，外接圆半径为R，= =
= + + — +0— =
，=
5
c
高一数学下册综合训练试题及答案
5
c
高一数学综合练习（二）
姓名班级得分
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)
1、满足条1的范围是(以下) ( c )
A．B．
c．D．
2、已知α、β都是钝角，且，，那么的值是
A．B．c．D．或
3、函数的值域是
A．B．c．D．
4、若，,则x等于
A．B．c．D．

高一数学下册课时综合检测题28

[学业水平训练]1．下列说法正确的是( )A ．事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大 B ．事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件解析：选D.由互斥事件和对立事件的定义易知，D 正确．2．如果事件A 、B 互斥，记A －、B －分别为事件A 、B 的对立事件，那么( ) A ．A ∪B 是必然事件 B ．A －∪B －是必然事件 C ．A －与B －一定互斥D ．A －与B －一定不互斥解析：选B.用Venn 图解决此类问题较直观，如图所示，A －∪B －是必然事件．3．(2014·淄博高一检测)某小组有5名男生和3名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是( ) A ．至少有1名男生与全是女生 B ．至少有1名男生与全是男生C ．至少有1名男生与至少有1名女生D ．恰有1名男生与恰有2名女生解析：选D.A 中两事件互斥且对立，B 、C 中两个事件能同时发生故不互斥，D 中两事件互斥不对立，故选D.4．一组试验仅有四个互斥的结果A 、B 、C 、D ，则下面各组概率可能成立的是( ) A ．P (A )＝0.31，P (B )＝0.27，P (C )＝0.28，P (D )＝0.35 B ．P (A )＝0.32，P (B )＝0.27，P (C )＝0.06，P (D )＝0.47 C ．P (A )＝12，P (B )＝14，P (C )＝18，P (D )＝116D ．P (A )＝518，P (B )＝16，P (C )＝13，P (D )＝29解析：选D.由已知得P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1，故选D.5．(2014·延边高一检测)掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为16.事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B －(B －表示事件B 的对立事件)发生的概率为( )A.13 B.12 C.23D.56解析：选C.由题意可知B －表示“大于等于5的点数出现”，事件A 与事件B －互斥．由概率的加法公式可得P (A ＋B －)＝P (A )＋P (B －)＝26＋26＝23.故选C.6．(2014·临沂高一检测)一个盒子中有10个相同的球，分别标有号码1，2，3，…，10，从中任选一球，则此球的号码为偶数的概率是________．解析：取2号，4号，6号，8号，10号是互斥事件，且概率均为110，故有110＋110＋110＋110＋110＝12. 答案：127．(2014·合肥高一检测)为维护世界经济秩序，我国在亚洲经济论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义，并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年关税达到要求，其余进口商品将在3年或3年内达到要求，则进口汽车在不超过4年的时间关税达到要求的概率为______．解析：设“进口汽车恰好4年关税达到要求”为事件A ，“不到4年达到要求”为事件B ，则“进口汽车在不超过4年的时间关税达到要求”是事件A ＋B ，而A ，B 互斥，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) ＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79.答案：0.798．若A ，B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ∪B )＝0.7，则P (B )＝________．解析：∵A ，B 为互斥事件，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ), ∴P (B )＝P (A ∪B )－P (A )＝0.7－0.4＝0.3.答案：0.3 9．(1)(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y ，z 的值．解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x ＝0.56， ∴x ＝0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z ＝1，∴z ＝0.04.由派出医生至少3人的概率为0.44，得y ＋0.2＋z ＝0.44， ∴y ＝0.44－0.2－0.04＝0.2.10．向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.2，炸中第二个军火库的概率为0.12，炸中第三个军火库的概率为0.28，三个军火库中，只要炸中一个另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．解：设A 、B 、C 分别表示炸弹炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件，事件D 表示军火库爆炸，已知P (A )＝0.2，P (B )＝0.12，P (C )＝0.28.又因为只投掷了一枚炸弹，故不可能炸中两个及以上军火库，所以A 、B 、C 是互斥事件，且D ＝A ∪B ∪C ，所以P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.2＋0.12＋0.28＝0.6，即军火库发生爆炸的概率为0.6.[高考水平训练]1．(2014·北京西城一模)如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.25 B.710 C.45D.910解析：选C.记其中被污损的数字为x ，依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是15(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋9)＝15(442＋x )，令90>15(442＋x )，解得x <8，所以x 的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为810＝45.2．甲射击一次，中靶概率是p 1，乙射击一次，中靶概率是p 2，已知1p 1，1p 2是方程x 2－5x ＋6＝0的根，且p 1满足方程x 2－x ＋14＝0.则甲射击一次，不中靶概率为______；乙射击一次，不中靶概率为______．解析：由p 1满足方程x 2－x ＋14＝0知，p 21－p 1＋14＝0，解得p 1＝12；因为1p 1，1p 2是方程x 2－5x ＋6＝0的根，所以1p 1·1p 2＝6，解得p 2＝13.因此甲射击一次，不中靶概率为1－12＝12，乙射击一次，不中靶概率为1－13＝23.答案：12 233．猎人在相距100 m 处射击一野兔，命中的概率为12，如果第一次未击中，则猎人进行第二次射击，但距离已是150 m ，如果又未击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200 m ，已知此猎人命中的概率与距离的平方成反比，求射击不超过三次击中野兔的概率．解：设距离为d ，命中的概率为P ，则有P ＝k d 2，将d ＝100，P ＝12代入，得k ＝Pd 2＝5 000，所以P ＝5 000d2.设第一、二、三次击中野兔分别为事件A 1、A 2、A 3，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝5 0001502＝29，P (A 3)＝5 0002002＝18.所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝12＋29＋18＝6172. 故射击不超过三次击中野兔的概率为6172.4．三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A 、B 、C 能答对题目的概率P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，诸葛亮D 能答对题目的概率P (D )＝23，如果将三个臭皮匠A 、B 、C 组成一组与诸葛亮D 比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？解：如果三个臭皮匠A 、B 、C 能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，则P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝4760>P (D )＝23，故三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠能顶上一个诸葛亮；如果三个臭皮匠A 、B 、C 能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮．薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

高一数学复习考点知识与题型专题讲解33--- 三角恒等变换技巧基础过关必刷题

高一数学复习考点知识与题型专题讲解专题强化训练二：三角恒等变换技巧基础过关必刷30题一、单选题1．（2022·全国·高一）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()3s i n 5αβ+=-，5cos 13β=-，则si n α的值为（） A ．1665B ．3365C ．5665D ．6365 2．（2022·四川·成都外国语学校高一月考（文））已知函数32222cos 2cos 2cos 2()2cos2x x x f x x+-=，则函数()f x 的最小正周期是（） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π3．（2022·全国·高一课时练习）若4cos 5=-α，α是第三象限的角，则1tan 21tan2αα-+＝（）A ．2B ．12C ．﹣2D ．12-4．（2022·全国·高一课时练习）计算tan82tan 221tan82tan 22︒︒︒︒-=+（） A ．1-B ．1C．5．（2022·全国·高一课时练习）函数()cos cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期和最大值分别为（） A ．1,4πB ．1,2πC．2π．2π 6．（2022·河北·张家口市第一中学高一月考）设α，β均为锐角，且()()sin sin sin cos βαβαβα++-=，则2tan 1sin βα+的最大值是（）A ．2D ．7．（2022·北京·101中学高一期中）函数()2sin cos 2f x x x =-在区间[]0,2π上的零点个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．58．（2022·安徽·合肥百花中学高一期末）设函数()2cos2f x x x =-，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为π-B ．()y f x =的图像关于直线6x π=-对称C ．()y f x =的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在[0,2]π有3个零点9．（2022·上海·上外浦东附中高一期中）若3522ππθ<< A ．sin 4θB ．cos 4θC ．sin 4θ-D ．cos 4θ-10．（2022·江苏省前黄高级中学高一月考）若1tan 20211tan αα+=-，则1tan2cos2αα+的值为（）A ．2019B ．2020C ．2022D ．2022二、多选题11．（2022·全国·高一课时练习）下列三角式中，值为1的是（） A ．4sin15cos15︒︒B ．222cos sin 66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22tan 22.51tan 22.5-︒︒D 12．（2022·全国·高一课时练习）设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．()y f x =的最小值为πB ．()y f x =的最小值为2-，其周期为2πC ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称13．（2022①tan 25tan3525tan35+︒︒︒︒； ②()2sin35cos 25cos35cos65︒︒+︒︒； ③1tan151tan15+︒-︒；④1tan151tan15-︒+︒．A ．①B ．②C ．③D ．④14．（2022·江苏·盱眙县都梁中学高一月考）关于函数()cos 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下列说法：其中正确说法的是（）A ．()y f x =B ．()y f x =是以π为最小正周期的周期函数；C ．()y f x =在区间13,2424ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；D ．将函数2y x 的图象向左平移24π个单位长度后，将与已知函数的图象重合.15．（2022·江苏沭阳·高一期中）已知函数22()sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则下列结论正确的有（） A ．()22f x -≤≤B ．()f x 在区间(0,)π上只有1个零点C ．()f x 的最小正周期为πD ．若()()g x f x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()g x 单调递减区间为,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭16．（2022·河北安平中学高一月考）已知函数()cos f x x x-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值D ．()f x 的值域为[]1,2-三、填空题17．（2022·全国·高一课时练习）化简sin(α＋60°)＋2sin(α－α)的结果是______.18．（2022·全国·高一课时练习）化简：44sin cos cos 2ααα-=________． 19．（2022·全国·高一课时练习）已知4cos 5θ=-，且t a n 0θ>，则3c o s t a n 1s i n θθθ-的值为______． 20．（2022=______．21．（2022·江苏如皋·高一月考）计算：2211tan 20sin 701tan 20⎛+︒⋅= -︒⎝⎭︒___________.四、解答题22．（2022·全国·高一课时练习）已知sin 2cos 022x x-=．求cos25cos sin()4x x x ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值．23．（2022·全国·高一课时练习）（1）求()()1tan11tan 44+︒+︒的值；（2）求()()()()()1tan11tan 21tan31tan 441tan 45+︒+︒+︒+︒+︒的值． 24．（2022·全国·高一课时练习）化简：（1）ππsin sin 44x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()cos cos 120cos 120A A A +-+︒+︒；（3）sin 2cos 1cos 21cos αααα⋅++．25．（2022·全国·高一课时练习）已知函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值．26．（2022·湖南·永州市第一中学高一期中）已知函数()22sin cos 2cos 1f x x x x =+-，x ∈R .（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()0y f x a =-≤在π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.27．（2022·山东·滕州市第一中学新校高一月考）已知角α的终边经过点(2,-，其中0απ<<.（1）求10sincos 29cos1818παππ的值；（2）设()()()sin 22f x x x αα=--，0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．求()f x 的最大值． 28．（2022·全国·高一课时练习）求下列各式的值：（1）已知11cos(),cos()23αβαβ-=-+=，求cos cos ,sin sin αβαβ的值；（2）求()2sin 4012cos 402cos 40cos 401+︒︒+︒-︒的值；29．（2022·全国·高一课时练习）已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x =-+∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．（2）若()006,0,53f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值．30．（2022·陕西·榆林十二中高一月考）化简计算与证明．（1）已知角α是第二象限角，且4sin 3cos 0+=αα，求()cos sin 259cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（22sin 50cos101︒+︒︒；（3）已知02xπ<<，证明：()2lg cos tan 12sinlg lg 1sin 224x x x x x π⎤⎛⎫⎛⎫+-+-=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦．参考答案1．D 【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又()3sin 5αβ+=-，则3,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()4cos 5αβ+=-，又5cos 13β=-，所以12sin 13β=，所以()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=+-=+-+⎡⎤⎣⎦，354126351351365⎛⎫⎛⎫=-⨯---⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D 2．B 【详解】32222cos 2cos 2cos 2()2cos2x x x f x x +-=322cos 2cos (1cos )1cos x x x x +-+=+22cos (1cos )(1cos )1cos x x x x +-+=+22cos 1x =-cos2x =所以()f x 的最小正周期为22ππ=，故选：B3．C 【详解】由4cos 5=-α且α是第三象限的角，可得3sin 5α==-，又由311tancossin1sin 152224cos 21tan cos sin 2225αααααααα-+++====----，即1tan221tan 2αα-=-+. 故选：C. 4．C 【详解】由题意，tan82tan 22tan(8222)tan 601tan82tan 22︒︒︒︒︒︒︒-=-==+故选：C 5．B 【详解】解：函数1cos 2()cos()sin()3332x f x x x ππ+=--12131111sin(2)cos2()sin 2sin 2sin(2)2322222423x x x x x x x x ππ=-=---==- 则()f x 的最小正周期为22ππ=，最大值为12. 故选：B 6．B 【详解】解：因为α，β均为锐角，()()sin sin sin cos βαβαβα++-=，所以sin 2sin cos ,cos βαβα=即tan 2sin cos βαα=，故222tan 2sin cos 22sin cos 1sin 2sin cos cos sin βααααααααα==≤=+++，当且仅当2sin cos cos sin αααα=，即t a nα时等号成立，7．A 【详解】()22sin cos 22sin 12sin f x x x x x =-=-+，令()0f x =可得sin x =sin x =(舍去)，因为sin x =[]0,2π有2个根，所以()f x 在区间[]0,2π上的零点个数为2. 故选：A. 8．D 【详解】()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，对A ，最小周期为22T ππ==，故π-也为周期，故A 正确；对B ，当6x π=-时，262x ππ-=-为sin y x =的对称轴，故B 正确；对C ，当12x π=时，206x π-=，又()0,0为2sin y x =的对称点，故C 正确；对D ，()0f x =则()2sin 202,66x x k k Z πππ⎛⎫-=⇒-=∈ ⎪⎝⎭，解得(),212k x k Z ππ=+∈，故()f x 在[0,2]π内有71319,,,12121212x ππππ=共四个零点，故D 错误故选：D 9．A 【详解】解：3522ππθ<<，∴35424πθπ<<，84358πθπ<<，所以cos 0θ>，cos 02θ<，sin 04θ>，∴cos 2θ=-，∴sin 4θ．10．C 【详解】222221cos sin 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan αααααααα++=+-- ()222221tan 1tan 2tan 1tan 1tan 1tan αααααα++=+=--- 1tan 20211tan αα+==-.故选：C 11．ABC 【详解】A 选项,1=2sin 30=2=124sin15cos15︒︒︒⨯，故正确.B 选项，2212cossin 2cos 216632=πππ⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭，故正确. C 选项，22tan 22.5tan 4511tan 22.5︒=︒=-︒，故正确.D 1≠，故错误故选：ABC 12．AD 【详解】()2244f x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，函数的最小值是22T ππ==，故A 正确，B错误；0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，所以()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，令2x k =π，得,2k x k Z π=∈，其中一条对称轴是2x π=，故C 错误，D 正确. 故选：AD【详解】对于①，由于()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-，所以tan 25tan353tan 25tan35++()()tan 25351tan 25tan353tan 25tan35tan 25353⎡⎤=+-+=+=⎣⎦；对于②，由于cos65sin 25=，所以()()2sin35cos 25cos35cos652sin35cos 25cos35sin 252sin 603+=+==；对于③，因为tan 451=，1tan15tan 45tan15tan 6031tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒++===-- 对于④，因为tan 451=，1tan15tan 45tan153tan 301tan151tan 45tan153︒︒︒︒︒︒-+-===+ 故选：ABC 14．ABC 【详解】()cos 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2cos 2323x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭234x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭212x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当2212x k ππ-=，即,24x k k Z ππ=+∈时，max ()f x A 正确；2T wππ==，故选项B 正确；令22212k x k ππππ≤-≤+，即1132424k x k ππππ+≤≤+，即当113[,]2424x k k ππππ∈++时()y f x =单调递减，取0k =，有()y f x =在区间13,2424ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故选项C 正确；将函数2y x 的图象向右平移24π个单位长度后，将与已知函数的图象重合，故选项D 错误.所以ABC 正确，D 错误.15．ACD 【详解】函数22()sin cos cos 2sin 26f x x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，对于A ：由于x ∈R ，故()22f x -≤≤，故A 正确；对于B ：令26x k ππ-=，解得()212k x k Z ππ=+∈，所以函数在(0,)π上有两个零点，故B 错误；对于C ：函数的最小正周期为22ππ=，故C 正确；对于D ：由于,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令：3222()262k x k k Z πππππ+-+∈剟，解得5()36k x k k Z ππππ++∈剟，当0k =和-1时，()g x 单调递减区间为,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确；故选：ACD ． 16．BC 【详解】解：对于A ，因为0,62f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以A 错误，因为()sin()||cos()|sin ||cos |()f x x x x x f x πππ+=+-+-=，所以 π为函数的周期，考虑[0,]x π∈的情况，当[0,]2x π∈时， ()cos 2sin(),,6663f x x x x x ππππ⎡⎤-=--∈-⎢⎥⎣⎦，因为,,6322ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 ()f x 在[0,]2π上单调递增，所以min max ()(0)1,()()2f x f f x f π==-=当 [,]2x ππ∈时，27()cos 2sin(),,,6636f x x x x x ππππ⎡⎤+=++∈⎢⎥⎣⎦因为 273,,3622ππππ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在[,]2ππ上单调递减，所以 min max ()()1,()()2f x f f x f ππ==-==()f x 的最小正周期为π，()f x 在 ()0,2π上有且仅有1个最小值，值域为[-，所以BC 正确，D 错误，故选：BC 17．0 【详解】解：原式＝sin(α(α＋60°)]＋2sin(α－60°)＝sin(αα＋60°)＋2sin(α－60°) ＝2sin(α＋60°＋60°)＋2sin(α－60°) ＝2sin(α－60°＋180°)＋2sin(α－60°) ＝－2sin(α－60°)＋2sin(α－60°) ＝0. 故答案为：0 18．-1 【详解】()()22224422sin cos sin cos sin cos 1cos 2cos sin ααααααααα-+-==-- 故答案为：-1 19．625-【详解】解：∵4cos 5θ=-，且tan 0θ>，∴3sin 5θ=-，∴()()2321sin sin cos tan cos sin 3361sin sin 11sin 1sin 1sin 5525θθθθθθθθθθθ-⎛⎫⎛⎫===+=-⨯-=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭．故答案为：625- 20．2sin 4【详解】原式=2|cos4|2|sin 4cos4|=-+，因为342ππ<<，所以cos40,sin4cos40<+<．所以原式2cos42(sin 4cos4)=-++2sin 4=．故答案为：2sin 4 21．8 【详解】解：222222sin 20111tan 2020sin 20sin 701tan 20c o 12c s os 0︒+⎛+︒︒⋅=⋅ ︒-︒⎝⎭⎝-︒⎭︒ ()22222220sin 20sin 7030sin1s 0012cos 0cos co co 20440sin 20sin140sin 40s 0cos 42︒+︒+︒⎛⎫︒=︒︒︒︒⨯⨯=⨯⨯ ⎪︒-︒⎝⎭︒sin100sin1008882sin 404s co 8s 0in 0=⨯︒︒︒=⨯︒=︒故答案为：822由sin 2cos 022x x -=，知cos 02x≠，所以tan 22x =，所以222tan2242tan 1231tan 2xx x ⨯===---．所以cos25cos sin()4xx x ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭cos2cos (sin )4x x x π=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭22=⎝⎭cos sin sin x xx +==1tan tan 4x x +==． 23．（1）2；（2）232 【详解】（1）因为tan1tan 44tan(144)11tan1tan 44︒+︒︒+︒==-︒︒，所以tan1tan 441tan1tan 44︒+︒=-︒︒，即tan1tan 44tan1tan 441︒+︒+︒︒=，所以()()1tan11tan 441tan 44tan1tan1tan 44+︒+︒=+︒+︒+︒︒=2 （2）设45αβ+=︒，则tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-，所以tan tan tan tan 1αβαβ++=，所以(1tan )(1tan )1tan tan tan tan 2αβαβαβ++=+++=，所以(1tan1)(1tan 44)(1tan 2)(1tan 43)(1tan 22)(1tan 23)2+︒+︒=+︒+︒=⋅⋅⋅=+︒+︒=，又1tan 45+︒=2 所以原式=2223222⨯= 24．（1）1cos 22x （2）0 （3）sin 1cos αα+（1）22ππ111sin sin cos sin cos 244222x x x x x x x x x ⎫⎛⎫⎛⎫-+==-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()()11cos cos 120cos 120cos cos cos 022A A A A A A A A +-++=--︒=︒（3）2sin 2cos 2sin cos cos sin 1cos 21cos 2cos 1cos 1cos αααααααααα⋅=⋅=++α++25．（1）∵221cos 21cos 2sin 2sin cos 3cos sin 23sin 22cos 2122x xy x x x x x x x -+=+-=+-⨯=--，∴由辅助角公式可得()21y x ϕ--，其中tan 2ϕ=， ∴函数的最小正周期为22ππ=. （2）由（1）知：()21y x ϕ--，其中tan 2ϕ=，∴当22,2x k k Z πϕπ-=+∈，即,24x k k Z ϕππ=++∈时，函数()21y x ϕ=--取得最大值，1.26．（1）()f x 的单调递减区间为5,]()88k k k Z ππππ++∈[;（2）[)1,+∞. 【详解】（1）()sin 2cos2f x x x =+π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令3222()242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得5()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 故()f x 的单调递减区间为5,]()88k k k Z ππππ++∈[ （2）由()0y f x a =-≤在π[,0]2-恒成立，即()a f x ≥，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，∵π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则π3ππ2,444t x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，作出3ππ,,44y t t ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦草图，由图知：当π4t =，max 1y = ∴1a ≥，即a 的取值范围为[)1,+∞. 27．（1）14；（2）1.解：（1）角α的终边经过点(2,-，其中0απ<<，tan yxα==23πα=．10sin cos 2sincos 2cos 211199cos cos 223234cos 2sin 1818186πππαααπππππππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭==-=-+== ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭（2）()()()sin 222sin 22sin 233f x x x x x ππααα⎛⎫⎛⎫=--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，()max 2sin 16f x π==．28．（1）112-；512-；（2（1）1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-111123212⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--111523212⎛⎫=-⨯+=- ⎪⎝⎭．（2）原式()2sin 402sin 40cos 40cos 402cos 401︒+︒︒=︒+︒-()()()()2sin 60sin 60sin 40sin80cos 40cos80cos 60cos 600202020++=︒=-︒︒++︒︒︒︒︒︒-︒︒++︒2sin 60cos 20tan 602cos60cos 20︒︒︒︒===︒29．（1）最小正周期为π，最大值为2，最小值为1-；（2．【详解】（1）由2()cos 2cos 1f x x x x =-+，得()2()cos )2cos 1f x x x x =--2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为π．因为2470,02,233666x x x πππππ≤≤∴≤≤∴-≤-≤，所以1sin 21,12sin 22266x x ππ⎛⎫⎛⎫-≤-≤∴-≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为1-．（2）因为062sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以03sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又00,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以02,662x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以04cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．所以006cos 2cos 26x x ππ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣-⎦=00cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431552=⨯=30．【详解】（1）由4sin 3cos 0+=αα，则3tan 4α=-，()()cos sin sin sin sin sin 32tan 59sin cos 4cos sin cos sin 2222παπααπααααππππαααααα⎛⎫+-- ⎪--+⎡⎤-⋅⎝⎭⎣⎦===-=⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）原式2sin 50cos101⎛︒+︒ =2sin 50cos10︒+︒==12sin 502cos102⎛⎫︒+︒+︒ ⎪=2sin 502sin 3010︒+︒+︒==50⎫︒︒⎪==2cos52cos5︒===︒. （3）左边2sin lg cos 12sin lg cos 24x x x x x π⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭()lg sin cos lg cos sin 44x x x x ππ⎫=++⎪⎭()()2lg sin cos lg 1sin 2x x x =+=+，得证.。

高一数学下册课时综合检测题50

知识改变命运一、填空题1．先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是________．(填序号)①“至少一枚硬币正面向上”；②“只有一枚硬币正面向上”；③“两枚硬币都是正面向上”；④“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”．2．利用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是________．3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为25，甲不输的概率是910，则甲、乙两人下和棋的概率是________．4．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是________．5．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．6．掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N ：“至少一次正面朝上”，则两个事件的概率分别为P (M )＝________，P (N )＝________.7．假设在500 m 2的一块平地上有一只野兔，但不知道它的方位．在一个漆黑的晚上，5位猎人同时向这块地探照围捕这只野兔．若每位猎人探照范围为10 m 2，并且所探照光线不重叠，为了不惊知识改变命运动野兔，需一次探照成功才能捕到野兔，则成功的概率是________．8．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为________．9．分别在区间和内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为________．10．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．11．一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A ＝{摸出黑球}，B ＝{摸出白球}，C ＝{摸出绿球}，D ＝{摸出红球}，则P (A )＝________；P (B )＝________；P (C ＋D )＝________.12．设p 在上随机地取值，则方程x 2＋px ＋p 4＋12＝0有实根的概率为________．13．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人．14．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出知识改变命运现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件A ＋B 发生的概率为________．( B 表示B 的对立事件)二、解答题15．对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：(1)(2)记“从1 000件衬衣中任取1件衬衣是次品”为事件A ，求P (A )；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，则销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？16．已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过第一、二、三象限的概率．17．编号分别为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(2)(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率．(2)从一等品零件中，随机抽取2个：①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率．20．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：50辆，其中有A类轿车10辆．(1)求z的值；知识改变命运(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．知识改变命运知识改变命运答案1．① 2.12 3.12 4.14 5.4－π4 6.12 34 7.110 8.9100 9.71010．1－π4 11.25 320 92012.35 13．120 14.2315．解 (1)0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.(2)当n 充分大时，出现次品的频率m n 在0.05附近摆动，故P (A )≈0.05.(3)设至少需进货x 件，为保证其中至少有1 000件衬衣为正品，则x (1－0.05)≥1 000，得x ≥1 053.故至少进货1 053件衬衣．16．解 (1)抽取的全部结果的基本事件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A )＝610＝35.知识改变命运(2)m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1的区域如图所示．要使函数的图象过第一、二、三象限，则m >0，n >0，故使函数图象过第一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P ＝1272＝17.17．解 (1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A 3，A 4，A 5，A 10，A 11，A 13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 10}，{A 3，A 11}，{A 3，A 13}，{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 4，A 13}，{A 5，A 10}，{A 5，A 11}，{A 5，A 13}，{A 10，A 11}，{A 10，A 13}，{A 11，A 13}，共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 5，A 10}，{A 10，A 11}，共5种．所以P (B )＝515＝13.18．解 (1)甲、乙出手指都有5种可能，因此基本事件的总数为5×5知识改变命运＝25，事件A 包括甲、乙出的手指的情况有(1,5)、(5,1)、(2,4)、(4,2)、(3,3)共5种情况，∴P (A )＝525＝15.(2)B 与C 不是互斥事件．因为事件B 与C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件数为13个． (1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225.所以这种游戏规则不公平．19．解 (1)由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A ，则P (A )＝610＝35.(2)①一等品零件的编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共有15种．②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件知识改变命运B )的所有可能结果有：{A 1，A 4}，{A 1，A 6}，{A 4，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 5}，{A 3，A 5}，共有6种，所以P (B )＝615＝25.20．解 (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000.则z ＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.(2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意得4001 000＝a 5，即a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10个．事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，知识改变命运B 2)，(A 2，B 3)共7个．故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x ＝18×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.。

高一数学下册课时综合检测题4

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)1.AB →＋AC →－BC →＋BA →化简后等于( )A ．3AB → B.AB → C.BA → D.CA →解析：选 B.原式＝(AB →＋BA →)＋(AC →－BC →)＝(AB →－AB →)＋(AC →＋CB →)＝0＋AB →＝AB →，故选B .2．已知i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，则与2i ＋3j 垂直的向量是( ) A ．3i ＋2j B ．－2i ＋3j C ．－3i ＋2j D ．2i －3j解析：选C.2i ＋3j ＝(2，3)，C 中－3i ＋2j ＝(－3，2)．因为2×(－3)＋3×2＝0，所以2i ＋3j 与－3i ＋2j 垂直．3．下列说法正确的是( ) A ．两个单位向量的数量积为1 B ．若a·b ＝a·c ，且a ≠0，则b ＝c C.AB →＝OA →－OB →D ．若b ⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a·b解析：选D.A 中，两向量的夹角不确定，故A 错；B 中，若a ⊥b ，a ⊥c ，b 与c 反方向，则不成立，故B 错；C 中，应为AB →＝OB →－OA →，故C 错；D 中，因为b ⊥c ，所以b·c ＝0，所以(a ＋c )·b ＝a·b ＋c·b ＝a·b ，故D 正确．4．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2解析：选D.因为a ＝(1，1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6，4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.5．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b解析：选B.因为|a ＋b |＝|a －b |⇔(a ＋b )2＝(a －b )2⇔a·b ＝0，所以a ⊥b ，选B. 6．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(－3，1)，a 与b 的夹角为θ，则tan θ等于( ) A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 解析：选D.由题意，得a·b ＝3×(－3)＋4×1＝－5，|a |＝5，|b |＝10，则cos θ＝a·b |a ||b |＝－5510＝－110.∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝1－cos 2θ＝310，∴tan θ＝sin θcos θ＝－3.7．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．(2，72)B ．(2，－12)C ．(3，2)D ．(1，3)解析：选A.设D (x ，y )，则BC →＝(4，3)，AD →＝(x ，y －2)．又BC →＝2AD →，故⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2（y －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72.8．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 N D.10 N解析：选B.对于两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N 时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是10 2 N ；当它们的夹角为120°时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10 2 N.9．A ，B ，C ，D 为平面上四个互异点，且满足(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B.∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →) ＝(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0， ∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等腰三角形．10．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →成立，此时称实数λ为“向量OC →关于OA →和OB →的终点共线分解系数”．若已知P 1(3，1)，P 2(－1，3)，且向量OP 3→与向量a ＝(1，1)垂直，则“向量OP 3→关于OP 1→和OP 2→的终点共线分解系数”为( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：选D.设OP 3→＝(x ，y )，则由OP 3→⊥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3→＝(x ，－x )，设OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，(x ，－x )＝λ(3，1)＋(1－λ)(－1，3)，∴λ＝－1.二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知点A (－1，－5)，a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________．解析：设B (x ，y )，(x ＋1，y ＋5)＝3(2，3)，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y ＋5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4.答案：(5，4)12．设e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝e 1－2e 2.若以a ，b 为基底表示向量e 1＋2e 2，即e 1＋2e 2＝λa ＋μb ，则λ＋μ＝________．解析：由a ＝3e 1＋4e 2，b ＝e 1－2e 2，得e 1＝15a ＋25b ，e 2＝110a －310b ，∴e 1＋2e 2＝25a －15b ，即λ＋μ＝25－15＝15.答案：1513．向量a ＝(1，2)，b ＝(－1，m )，向量a ，b 在直线y ＝x ＋1上的投影相等，则向量b ＝________．解析：直线y ＝x ＋1的方向向量为c ＝(1，1)，则可知a·c |c |＝b·c|c |，则a·c ＝b·c ，所以1＋2＝－1＋m ，解得m ＝4，所以b ＝(－1，4)．答案：(－1，4)14. 如图所示，在正方形ABCD 中，已知|AB →|＝2，若N 为正方形内(含边界)任意一点，则AB →·AN →的最大值是________．解析：∵AB →·AN →＝|AB →|·|AN →|·cos ∠BAN ，|AN →|·cos ∠BAN 表示AN →在AB →方向上的投影．又|AB→|＝2，∴AB →·AN →的最大值是4.答案：415．设向量a ，b 满足：|a |＝3，|b |＝4，a·b ＝0，以a ，b ，a －b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为________．解析：由题意可知该三角形为直角三角形，其内切圆半径恰好为1，它与半径为1的圆最多有4个交点．答案：4三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求|a ＋b |；(2)求向量a 在向量a ＋b 方向上的投影．解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61. ∵|a |＝4，|b |＝3，∴a·b ＝－6.∴|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝42＋32＋2×（－6）＝13.(2)∵a ·(a ＋b )＝|a |2＋a·b ＝42－6＝10.∴向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为a·（a ＋b ）|a ＋b |＝1013＝101313.17．已知向量a 与b 的夹角为θ，|a |＝2，|b |＝ 3.(1)当a ∥b 时，求(a －b )·(a ＋2b )的值；(2)当θ＝5π6时，求|2a －b |＋(a ＋b )·(a －b )的值；(3)定义a b ＝|a |2－3a·b ，若a b ≥7，求θ的取值范围．解：(1)∵a ∥b ，∴cos θ＝±1. ∴(a －b )·(a ＋2b )＝|a |2＋a·b －2|b |2 ＝－2＋23cos θ＝－2±2 3.(2)∵|2a －b |2＝4|a |2－4a·b ＋|b |2＝16－4×2×3×cos 5π6＋3＝31，∴|2a －b |＝31，又(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝1， ∴|2a －b |＋(a ＋b )·(a －b )＝31＋1.(3)∵ab ＝|a |2－3a·b ＝4－3×2×3cos θ≥7，∴cos θ≤－12，又θ∈[0，π]，∴θ∈[2π3，π]．18．在△OAB 的边OA ，OB 上分别有一点P ，Q ，已知OP ∶P A ＝1∶2，OQ ∶QB ＝3∶2，连接AQ ，BP ，设它们交于点R ，若OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 与b 表示OR →；(2)若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 夹角为60°，过R 作RH ⊥AB 交AB 于点H ，用a ，b 表示OH →.解：(1)OP →＝13OA →＝13a ，OQ →＝35b ，由A ，R ，Q 三点共线，可设AR →＝mAQ →. 故OR →＝OA →＋AR →＝a ＋mAQ →＝a ＋m (OQ →－OA →)＝a ＋m (35b －a )＝(1－m )a ＋35m b .同理，由B ，R ，P 三点共线，可设BR →＝nBP →. 故OR →＝OB →＋BR →＝b ＋n (OP →－OB →)＝n3a ＋(1－n )b .由于a 与b 不共线，则有⎩⎨⎧1－m ＝n 3，35m ＝1－n ，解得⎩⎨⎧m ＝56，n ＝12.∴OR →＝16a ＋12b .(2)由A ，H ，B 三点共线，可设BH →＝λBA →，则OH →＝λa ＋(1－λ)b ，RH →＝OH →－OR →＝(λ－16)a ＋(12－λ)b .又RH →⊥AB →，∴RH →·AB →＝0.∴[(λ－16)a ＋(12－λ)b ]·(b －a )＝0.又∵a·b ＝|a ||b |cos 60°＝1， ∴λ＝12，∴OH →＝12a ＋12b .19．已知a ＝(2＋sin x ，1)，b ＝(2，－2)，c ＝(sin x －3，1)，d ＝(1，k )(x ∈R ，k ∈R )．(1)若x ∈[－π2，π2]，且a ∥(b ＋c )，求x 的值；(2)若函数f (x )＝a·b ，求f (x )的最小值；(3)是否存在实数k 和x ，使得(a ＋d )⊥(b ＋c )？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)∵b ＋c ＝(sin x －1，－1)，又a ∥(b ＋c )，∴－(2＋sin x )＝sin x －1，即sin x ＝－12.又x ∈[－π2，π2]，∴x ＝－π6.(2)∵a ＝(2＋sin x ，1)，b ＝(2，－2)， ∴f (x )＝a·b ＝2(2＋sin x )－2＝2sin x ＋2. 又x ∈R ，∴当sin x ＝－1时，f (x )有最小值，且最小值为0. (3)a ＋d ＝(3＋sin x ，1＋k )，b ＋c ＝(sin x －1，－1)，若(a ＋d )⊥(b ＋c )，则(a ＋d )·(b ＋c )＝0，即(3＋sin x )(sin x －1)－(1＋k )＝0， ∴k ＝sin 2x ＋2sin x －4＝(sin x ＋1)2－5. 由sin x ∈[－1，1]，得sin x ＋1∈[0，2]， ∴(sin x ＋1)2∈[0，4]，故k ∈[－5，－1]．∴存在k ∈[－5，－1]，使得(a ＋d )⊥(b ＋c )．20．在平面直角坐标系中，A (1，1)、B (2，3)、C (s ，t )、P (x ，y )，△ABC 是等腰直角三角形，B 为直角顶点．(1)求点C (s ，t )；(2)设点C (s ，t )是第一象限的点，若AP →＝AB →－mAC →，m ∈R ，则m 为何值时，点P 在第二象限？解：(1)由已知得AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0. ∵AB →＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)， BC →＝(s ，t )－(2，3)＝(s －2，t －3)，∴(1，2)·(s －2，t －3)＝0，即s ＋2t －8＝0.① 又|AB →|＝|BC →|，即5＝（s －2）2＋（t －3）2，即s 2＋t 2－4s －6t ＋8＝0.②将①代入②消去s ，得t 2－6t ＋8＝0.解得t ＝2或4，相应的s ＝4或0，所以点C 为(0，4)或(4，2)．(2)由题意取C (4，2)，∴AP →＝(x －1，y －1)， AB →－mAC →＝(1，2)－m (3，1)＝(1－3m ，2－m )． ∵AP →＝AB →－mAC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝1－3m ，y －1＝2－m ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3m ，y ＝3－m .若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧2－3m <0，3－m >0.解得23<m <3.∴当23<m <3时，点P 在第二象限．薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

2020年最新高一数学下册课时检测题(含答案)

10．在同一坐标系中，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋的图像应是如图所示的()
答案：B
解析：y＝xa为幂函数，y＝ax＋为一次函数．对于A，y＝xa中，a＜0，y＝ax＋中，由倾斜方向判断a＞0，∴A不对；对于B，y＝xa中，a＜0，y＝ax＋中，a＜0，∴B对；对于C，y＝xa中，a＞0，y＝ax＋中，由图像与y轴交点知a＜0，∴C不对；对于D，y＝xa中，a＞0，y＝ax＋中，由倾斜方向判断a＜0，∴D不对．
6．函数f(x)＝的所有零点之和为()
A．7B．5
C．4D．3
答案：A
解析：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令lgx－1＝0解得x＝10，所以已知函数所有零点之和为－3＋10＝7.
7．已知函数f(x)在[－5,5]上满足f(－x)＝f(x)，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)＜f(1)，则下列不等式中一定成立的是()
3．下列对应是从集合P到集合S的一个映射的是()
A．P＝{有理数}，S＝{数轴上的点}，f：有理数→数轴上的点
B．P＝{数轴上的点}，S＝Q，f：数轴上的点A→a∈Q
C．x∈P＝R，y∈S＝R＋，f：x→y＝|x|
D．U＝R，x∈P＝∁UR＋，y∈S＝R＋，f：x→y＝x2
答案：A
解析：注意取元的任意性和成像的唯一性．
4．如果幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则f(8)的值等于()
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由3α＝得α＝－，故f(8)＝8 ＝ .
5．函数y＝1＋loga(3x－1)(a>0，a≠1)的图象过定点()
A. B．(－1,1)
C. D．(0,0)

高一数学下册课时综合检测题10

[学业水平训练]1．已知向量e 1，e 2不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是( ) A ．e 1－e 2与e 2－e 1B ．2e 1－3e 2与e 1－32e 2C ．－e 1－2e 2与2e 1＋4e 2D ．e 1－2e 2与2e 1－e 2解析：选D.根据基底的定义，只要两向量不共线便可作为基底，易知选D.2．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1、e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定解析：选B.∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线．3. 如图，在矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 解析：选A.OC →＝12AC →＝12(BC →＋AB →)＝12(BC →＋DC →)＝12(5e 1＋3e 2)．4．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，可作为该平面其他向量基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④解析：选B.易知AD →与AB →不共线，CA →与DC →不共线，故选B.5．若D 在△ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s ＝( ) A.165 B.125 C.85 D.45解析：选C.由题意得CD →＝45CB →＝45AB →－45AC →，∴r ＝45，s ＝－45，∴3r ＋s ＝85.6. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，M 是DC 的中点，以a ，b 为基底表示向量AM →＝________．解析：AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a .答案：b ＋12a7．设a ，b 是两个不共线向量，已知AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，若A 、B 、D 三点共线，则k ＝________．解析：∵CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ， ∴BD →＝CD →－CB →＝(2a －b )－(a ＋b )＝a －2b .∵A 、B 、D 三点共线， ∴AB →＝λBD →，∴2a ＋k b ＝λ(a －2b )＝λa －2λb . 又a ，b 是两个不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ＝－2λ， ∴k ＝－4. 答案：－48. 如图，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．解析：由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λBA →(λ＞1)，则OD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →.又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ＞1)，则OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ＞1，μ＞1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，且m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1，0)．答案：(－1，0)9．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解：∵a ，b 不共线，∴可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴c ＝a －2b .10. 如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，以a ，b 为基底表示向量AM →与HF →.解：由H ，M ，F 所在位置有：AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a ，HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13BC →－12AD →＝AB →＋13AD →－12AD →＝a －16b .[高考水平训练]1．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →＝( ) A.43a ＋23b B.23a ＋43b C.23a －23b D ．－23a ＋23b 解析：选B.设AD 与BE 交点为F ，则AF →＝23a ，BF →＝23b .由AB →＋BF →＋F A →＝0，得AB →＝23(a －b )，所以BC →＝2BD →＝2(AD →－AB →)＝23a ＋43b .2．已知e 1与e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝λe 1＋e 2，且a 与b 可作为一组基底，则实数λ的取值范围是________．解析：当a ∥b 时，设a ＝m b ，则有e 1＋2e 2＝m (λe 1＋e 2)，即e 1＋2e 2＝mλe 1＋m e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝mλ，2＝m ，解得λ＝12，即当λ＝12时，a ∥b .又a 与b 可作为一组基底，∴a 与b 不共线，∴λ≠12.答案：(－∞，12)∪(12，＋∞)3. 如图，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →.解：易知CF →＝12CD →，CE →＝12CB →.设CG →＝λCA →，则由平行四边形法则可得CG →＝λ(CB →＋CD →)＝2λCE →＋2λCF →，由于E ，G ，F 三点共线，则2λ＋2λ＝1，则λ＝14，从而CG →＝14CA →，从而AG →＝34AC →＝34(a ＋b )．4. 已知△OAB 中，延长BA 到C ，使AB ＝AC ，D 是将OB →分成2∶1两部分的一个分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解：(1)∵A 为BC 的中点， ∴OA →＝12(OB →＋OC →)，OC →＝2a －b .DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)∵OE →＝λOA →， ∴CE →＝OE →－OC →＝λOA →－OC → ＝λa －2a ＋b ＝(λ－2)a ＋b . ∵CE →与CD →共线，∴存在实数m ，使得CE →＝mCD →，即(λ－2)a ＋b ＝m (－2a ＋53b )，即(λ＋2m －2)a ＋(1－53m )b ＝0.∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，解得λ＝45.薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

高一数学下册课时综合检测题30

[学业水平训练]1．下列试验能够构成事件的是()A．掷一次硬币B．射击一次C．标准大气压下，水烧至100 ℃D．摸彩票中头奖解析：选D.事件必须有条件和结果，D既有条件又有结果，可以构成事件．2．(2013·洛阳检测)下列说法正确的是()A．任何事件的概率总是在(0，1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定解析：选C.由概率的有关概念知，C正确．3．(2014·深圳调研)“一名同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是() A．不可能事件B．必然事件C．可能性较大的随机事件D．可能性较小的随机事件解析：选D.掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．分组[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70] 频数23454 2 则样本数据落在区间[10，40)的频率为()A．0.35B．0.45C．0.55 D．0.65解析：选B.在区间[10，40)的频数为2＋3＋4＝9，所以频率为920＝0.45.5．在20支同型号钢笔中，有3支钢笔是次品，从中任意抽取4支钢笔，则以下事件是必然事件的是()A．4支均为正品B．3支为正品，1支为次品C．3支为次品，1支为正品D．至少有1支为正品解析：选D.因为仅有3支钢笔是次品，故抽样的结果有以下四种情况：4支全是正品，有1支次品，有2支次品，有3支次品．6．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么可能共进了________次试验．解析：设共进行了n 次试验，则10n＝0.02，解得n ＝500.答案：500 7．下列事件：①在空间内取三个点，可以确定一个平面；②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份； ③某电影院某天的上座率会超过50%；④函数y ＝log a x (0＜a ＜1)在定义域内为增函数；⑤从一个装有100只红球和1只白球的袋中摸球，摸到白球．其中，________是随机事件，________是必然事件，________是不可能事件．(填写序号)解析：①空间中不共线的三点可确定一个平面，故①是随机事件；②一年中有12个月份，故13个人中，一定有至少2个人的生日在同一个月份，为必然事件；③是随机事件；④当0＜a ＜1时函数y ＝log a x 在定义域内为减函数，故④为不可能事件； ⑤是随机事件．答案：①③⑤ ② ④ 8．(2013·济南检测)如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量多的是________．解析：取了10次有9个白球，则取出白球的频率是910，估计其概率约是910，那么取出黑球的概率约是110，那么取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量多的是白球．答案：白球9．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩分布：用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)：(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以下．解：总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645(人)．修李老师的高等数学课的学生考试成绩在90分以上，60分～69分，60分以下的频率分别为：43645≈0.067，90645≈0.140，62＋8645≈0.109.∴用以上信息可以估计出王小慧得分的概率情况： (1)“得90分以上”记为事件A ，则P (A )＝0.067. (2)“得60分～69分”记为事件B ，则P (B )＝0.140. (3)得“60分以下”记为事件C ，则P (C )＝0.109.10．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，使用了以下方法：先从该保护区中捕获一定数量的天鹅200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，过了一段时间，再从保护区中捕获150只天鹅，其中有记号的有20只，根据以上数据估计自然保护区中天鹅的数量．解：设保护区中天鹅的数量为n ，假定每只天鹅被捕获的可能性是相等的，从保护区中捕一只，设事件A ：捕获带有记号的天鹅，则P (A )＝200n. 第二次从保护区中捕获150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的定义知P (A )≈20150.所以200n ≈20150，解得n ≈1 500.所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只．[高考水平训练]1．已知α，β，γ是不重合的平面，a ，b 是不重合的直线，则下列说法正确的是( ) A ．“若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α”是随机事件 B ．“若a ∥b ，a ⊂α，则b ∥α”是必然事件 C ．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件 D ．“若a ⊥α，a ∩b ＝P ，则b ⊥α”是不可能事件解析：选D.A 错误，因为⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α，故是必然事件，不是随机事件．B 错误，因为⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊂α⇒b ∥α或b ⊂α，故是随机事件，不是必然事件．C 错误，因为当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故是随机事件，不是必然事件．D正确，因为如果两条直线垂直于同一个平面，则两直线必平行，故此是不可能事件．2．(2014·淄博调研)一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃在一年时间里破碎的概率，公司收集了20 000部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率约为________．解析：P＝60020 000＝0.03.答案：0.033．为了确定某类种子的发芽率，从一大批种子中抽出若干批进行发芽试验，其结果如下：(1)计算各批种子的发芽频率；(保留三位小数)(2)怎样合理地估计这类种子的发芽率？(保留两位小数)解：(1)各批种子的发芽频率分别为：0.960，0.857，0.892，0.913，0.903，0.904，0.903.(2)在这7组种子发芽试验中，前两组试验次数较少，其频率的稳定性比较弱，不适合作为估计种子的发芽率的依据，而后五组试验次数较多，且其种子的发芽频率趋向0.90，即近似地认为这类种子的发芽率为0.90.4．表①和表②分别表示从甲、乙两个厂家随机抽取的某批篮球产品的质量检查情况：表①表②(1)分别计算表①和表②中篮球是优等品的各个频率(结果保留到小数点后两位)；(2)若从两个厂家生产的这批篮球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率分别是多少？(3)若两厂的篮球价格相同，你打算从哪一厂家购货？解：(1)依据频率公式计算表①中“篮球是优等品”的各个频率为0.90，0.92，0.97，0.94，0.95，0.95；表②中“篮球是优等品”的各个频率为0.86，0.89，0.91，0.91，0.89，0.90.(2)由(1)可知，抽取的篮球数不同，随机事件“篮球是优等品”的频率也不同．表①中的频率都在常数0.95的附近摆动，则在甲厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.95；表②中的频率都在常数0.90的附近摆动，则在乙厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.90.(3)根据概率的定义可知：概率是从数量上反映一个随机事件发生可能性的大小．因为P>P乙，表示甲厂生产出来的篮球是优等品的概率更大．因此应该选择甲厂生产的篮球．甲薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

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