2018版高考数学大一轮复习第十三章鸭部分13.2不等式选讲第1课时绝对值不等式教师用书文北师大版
2018版高考数学(理)一轮复习文档：选修系列第十三章13.2含解析
1．直接证明(1）综合法①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示:错误!―→错误!―→错误!―→…―→错误!（其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论）．③思维过程：由因导果．（2）分析法①定义：一般地，从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：错误!―→错误!―→错误!―→…―→错误!（其中Q表示要证明的结论)．③思维过程:执果索因．2．间接证明反证法:一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理，最后得出矛盾,因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( ×)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( ×)（3）用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b"．（×）(4)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾．（×)(5）在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程．（√)(6）证明不等式错误!＋错误!<错误!＋错误!最合适的方法是分析法．（√)1．若a，b，c为实数，且a<b〈0，则下列命题正确的是( ）A．ac2<bc2B．a2>ab>b2C.错误!<错误!D。
错误!〉错误!答案B解析a2－ab＝a(a－b),∵a〈b〈0，∴a－b<0，∴a2－ab>0,∴a2〉ab.①又ab－b2＝b(a－b）>0，∴ab>b2,②由①②得a2>ab〉b2.2．(2016·北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案B解析取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1;②黑＋黑,则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1。
2018版高考数学大一轮温习 第十四章节 14.2 不等式选讲 第1课时 绝对值不等式讲义 理 北师大版
当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1； 当2<x<3时，f(x)≥3无解； 当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4. 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围. 解答
即|4a－3b＋2|的最大值为6， 所以m≥|4a－3b＋2|max＝6.
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4.已知f(x)＝|x－3|，g(x)＝－|x－7|＋m，若函数f(x)的图像恒在函数g(x) 图像的上方，求m的取值范围. 解答 由题意，可得不等式|x－3|＋|x－7|－m>0恒成立， 即(|x－3|＋|x－7|)min>m， 由于x轴上的点到点(3,0)和点(7,0)的距离之和的最小值为4， 所以要使不等式恒成立，则m<4.
(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.
解答
|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5， 即|x－2y＋1|的最大值为5.
思维升华 当 a>0 时，－a1<x<a5，与已知条件不符；
求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： (1)利用绝对值的几何意义； (2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|； (3)利用零点分区间法.
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围. 解答
取值范围.
题型二 利用绝对值不等式求最值 例2 (1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值. 解答
2018版高考数学大一轮复习第十三章鸭部分13.2不等式选讲第2课时不等式的证明教师用书文北师大版
第2课时 不等式的证明1．不等式证明的方法(1)比较法：①求差比较法：知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b ，只要证明a －b >0即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法：由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明a b>1即可，这种方法称为求商比较法．(2)分析法：从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法：从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法．这种证明不等式的方法称为综合法．(4)放缩法和反证法：在证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法．反证法是常用的证明方法．它是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立．其证明的步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．(5)数学归纳法：数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题．证明需要经过两个步骤：①验证当n 取第一个值n 0(如n 0＝1或2等)时命题正确．②假设当n ＝k 时(k ∈N ＋，k ≥n 0)命题正确，证明当n ＝k ＋1时命题也正确．在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于从n 0开始的所有正整数都正确．2．几个常用基本不等式(1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：对任意实数a ，b ，c ，d ，有(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当向量(a ，d )与向量(c ，d )共线时，等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．③设a 1，a 2，…，a n 与b 1，b 2，…，b n 是两组实数，则有(a 21＋a 2＋…＋a 2n )(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当向量(a 1，a 2，…，a n )与向量(b 1，b 2，…，b n )共线时，等号成立．(2)算术—几何平均不等式若a 1，a 2，…，a n 为正数，则a1＋a2＋…＋an n ≥n a1a2…an，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．1．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，求m2＋n2的最小值．解 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m2＋n2的最小值为 5.2．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求a ＋b ＋c 的最大值．解 (a ＋b ＋c)2＝(1×a ＋1×b ＋1×c)2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． ∴(a ＋b ＋c)2≤3. 故a ＋b ＋c 的最大值为 3.3．设x >0，y >0，若不等式1x ＋1y ＋λx ＋y≥0恒成立，求实数λ的最小值． 解 ∵x >0，y >0，∴原不等式可化为－λ≤(1x ＋1y )(x ＋y )＝2＋y x ＋x y. ∵2＋y x ＋x y≥2＋2y x ·x y ＝4，当且仅当x ＝y 时等号成立． ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x ＋1y ＋min ＝4，即－λ≤4，λ≥－4.题型一 用综合法与分析法证明不等式例1 (1)已知x ，y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x2－2xy ＋y2≥2y ＋3；。
高考数学一轮复习不等式选讲第1讲绝对值不等式课件
综上所述 12/13/2021 x≤－1.5 或 x≥1.5.
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(2)已知函数 f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R. ①若不等式 f(x)≤2－|x－1|有解，求实数 a 的取值范围； ②当 a<2 时，函数 f(x)的最小值为 3，求实数 a 的值．
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(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝 对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解．
(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对 应的两个函数的图象，利用函数图象求解．
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【变式训练 1】 [2017·全国卷Ⅰ]已知函数 f(x)＝－x2 ＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
⇒－x≥24<或x<x7≤，1， 得解集为(－2,1]∪[4,7)．
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3．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a 对任意实数 x 恒成立， 则实数 a 的取值范围为( )
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C．[1,2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
解析 ∵|x＋3|－|x－1|≤|(x＋3)－(x－1)|＝4，∴a2－ 3a≥4 恒成立，∴a∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
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4．[课本改编]不等式|x－1|<4－|x＋2|的解集是 ___－__52_，__32____．
解析 由|x－1|<4－|x＋2|，得xx≥＋12，＋x－1<4 或
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最新-2018届高三数学一轮复习 13-3不等式选讲课件北师
3．平均值不等式：
定理1 对任意实数a，b有a2＋b2≥ 且仅当 a＝b 时，取“＝”号)． 2ab (上式当
4．不等式的证明： (1)比较法： a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此证明 a＞b，只 要证明 a－b＞0 即可，这种方法称为求差比较法． a a＞b＞0⇔b＞1 且 a＞0，b＞0.因此当 a＞0，b＞0 时 a 要证明 a＞b，只要证明 ＞1 即可，这种方法称为求商比 b 较法． 求差比较法与求商比较法统称为比较法．
数，则有 (a12 ＋ a22 ＋„an2)(b12 ＋ b22 ＋„＋ bn2)≥(a1b1 ＋ a2b2
＋„＋anbn)2 ，当向量 (a1 ， a2 ，„an) 与向量 (b1 ， b2 ，„， bn)共线时“＝”成立． 推论：设 a1 ， a2 ， a3 ， b1 ， b2 ， b3 是两组实数，则有 (a12＋a22＋a32)(b12＋b22＋b32)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2当向量(a1， a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“＝”成立。
其中j1，j2，„jn是1,2，„，n的任一排列方式．上式 当且仅当 a1 ＝ a2 ＝„＝ an( 或 b1 ＝ b2 ＝„＝ bn) 时取“＝”
号．
7．贝努利不等式： 对任何实数 x≥－1和任何正整数n，有(1＋x)n≥ 1＋nx
[例1] 解不等式|x＋2|＋|x－1|<4. [分析] (1)根据绝对值的意义，分区间分别去掉绝对 值符号，解不等式．
＜0那么 ac＜bc
推论1 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么
.
．
推论2 如果a＞b＞0，那么 a2＞b2 . 推论3 如果a＞b＞0，那么 an＞bn(n为正整数)
2．绝对值不等式： 设a是任意一个实数，在数轴上|a|表示 实数a对应的 点与原点O的距离 ，|x－a|的几何意义是 实数x对应的 点与实数a对应的点之间 的距离． 定理：对任意实数a和b，有 |a＋b|≤|a|＋|b|
高三一轮复习课件绝对值不等式的解法(共16张PPT)
x 1 1≤ x ≤1 x 1 （利用绝对值几何意义求解）
高三一轮复习 不等式选讲
或 或 , 分别解得 一般地说，解含有绝对值的不等式，关键在于设法去掉绝对值符号，把问题转化为不含绝对值的普通不等式或不等式组求解.
2x ≤ 4 2 ≤ 4 2x ≤ 4 解不等式
.
第二节 绝对值不等式的解法
含有绝对值不等式 x a 与 x a 的解集：
不等式
a0
a0
a0
x a
x a x a
x a
x x a或x a x x 0
R
高三一轮复习
典例导练 变式1.不等式 x 1 1的解集为 (0,2) . （利用绝对值几何意义求解）
x 1 1
f (x) 1
f (x) a, a 0
f (x) a, a 0 a f (x) a f (x) a, a 0 f (x) a或f (x) a
x
x
“合”：设g(x) ax, x (0,1), 当a 0时不合题意，
当a
0时，00≤≤
g(0) ≤ 2 g(1) ≤ 2
,即a
(0,
2].
高三一轮复习
课堂小结
1. f (x) g(x)和 f (x) g(x)型不等式的一般解法
f (x) （2018全国Ⅰ卷23）已知 g(x) f (x) g(x)或f (x) g(x)
（2）若x (0,1)时，不等式f (x) x成立，求a的取值范围.
2, x 1
解：(1)当a 1时，f (x) x 1 x 1,即f (x) 2x, 1≤ x ≤1,
2, x 1
Hale Waihona Puke f(x)1的解集为x
x
1 2
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第十四章鸭部分14.4坐标系与参数方程第1课时绝对值不等式课件理
2 △ABC 的面积为3(a＋1)2. 2 由题设得3(a＋1)2>6，故 a>2. 所以a的取值范围为(2，＋∞).
思维升华
解绝对值不等式的基本方法有 (1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普 通不等式； (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不 含绝对值符号的普通不等式； (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.
∅
(－∞，0)∪ (0，＋∞)
∅
|x|>a
R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c ； ②|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c ； (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
为不等式 f(x)<2
的解集.
(1)求M；
解答
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
证明
由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1， 从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0， 即(a＋b)2<(1＋ab)2，因此|a＋b|<|1＋ab|.
(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.
2018版高考数学大一轮复习 第十四章 选考部分 14.2 不等式选讲 第1课时 绝对值不等式教师用
第1课时 绝对值不等式1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：(2)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ；(3)|x －a |＋|x －b|≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a ，b 是实数，则|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． (2)如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．1．(2015·山东改编)解不等式|x －1|－|x －5|<2的解集． 解 ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1.②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4，∴1<x <4，③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为(－∞，4)．2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，求实数a 的取值范围．解 ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.3．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5； 当－2≤x <12时，5≥y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12].题型一 绝对值不等式的解法例1 (2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2.(2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．思维升华 解绝对值不等式的基本方法有：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．(1)解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集．(2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为{x |－53<x <13}，求a 的值．解 (1)当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3； 当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解； 当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2. 综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}． (2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5. 当a >0时，－1a <x <5a，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符； 当a <0时，5a <x <－1a，又不等式的解集为{x |－53<x <13}，故a ＝－3.题型二 利用绝对值不等式求最值例2 (1)对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值． (2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值． 解 (1)∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1，|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3. ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.(2)|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |；(3)利用零点分区间法．(1)(2016·深圳模拟)若关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解，求d 的取值范围．(2)不等式|x ＋1x|≥|a －2|＋sin y 对一切非零实数x ，y 均成立，求实数a 的取值范围．解 (1)∵|2 014－x |＋|2 015－x |≥|2 014－x －2 015＋x |＝1， ∴关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解时，d ≥1. (2)∵x ＋1x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴|x ＋1x|∈[2，＋∞)，其最小值为2.又∵sin y 的最大值为1，故不等式|x ＋1x|≥|a －2|＋sin y 恒成立时，有|a －2|≤1，解得a ∈[1,3]． 题型三 绝对值不等式的综合应用例3 (2017·石家庄调研)设函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<－1；(2)设函数g (x )＝|x ＋a |－4，且g (x )≤f (x )在x ∈[－2,2]上恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3，故由不等式f (x )<－1可得x >3或⎩⎪⎨⎪⎧2－2x <－1，－1≤x ≤3.解得x >32.(2)函数g (x )≤f (x )在x ∈[－2,2]上恒成立，即|x ＋a |－4≤|x －3|－|x ＋1|在x ∈[－2,2]上恒成立，在同一个坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图象，如图所示．故当x ∈[－2,2]时，若0≤－a ≤4时，则函数g (x )在函数f (x )的图象的下方，g (x )≤f (x )在x ∈[－2,2]上恒成立，求得－4≤a ≤0，故所求的实数a 的取值范围为[－4,0]．思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4. 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0].1．在实数范围内，求不等式||x －2|－1|≤1的解集． 解 由||x －2|－1|≤1得－1≤|x －2|－1≤1，解⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥0，|x －2|≤2得0≤x ≤4.∴不等式的解集为[0,4]．2．不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.3．对于任意实数a ，b ，已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，求实数m 的取值范围．解 因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1， 所以|3a －3b |≤3，|a －12|≤12，所以|4a －3b ＋2|＝|(3a －3b )＋(a －12)＋52|≤|3a －3b |＋|a －12|＋52≤3＋12＋52＝6，即|4a －3b ＋2|的最大值为6， 所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6.4．已知f (x )＝|x －3|，g (x )＝－|x －7|＋m ，若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围．解 由题意，可得不等式|x －3|＋|x －7|－m >0恒成立，即(|x －3|＋|x －7|)min >m ，由于x 轴上的点到点(3,0)和点(7,0)的距离之和的最小值为4，所以要使不等式恒成立，则m <4. 5．(2016·江苏)设a ＞0，||x －1＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a .证明 由a ＞0，|x －1|＜a 3可得|2x －2|＜2a3，又|y －2|＜a3，∴|2x ＋y －4|＝|(2x －2)＋(y －2)|≤|2x －2|＋|y －2|＜2a 3＋a3＝a .即|2x ＋y －4|＜a .6．已知关于x 的不等式|2x －m |≤1的整数解有且仅有一个值为2，求关于x 的不等式|x －1|＋|x －3|≥m 的解集． 解 由不等式|2x －m |≤1，可得m －12≤x ≤m ＋12，∵不等式的整数解为2， ∴m －12≤2≤m ＋12，解得3≤m ≤5.再由不等式仅有一个整数解2，∴m ＝4. 本题即解不等式|x －1|＋|x －3|≥4，当x <1时，不等式等价于1－x ＋3－x ≥4， 解得x ≤0，不等式解集为{x |x ≤0}．当1≤x ≤3时，不等式等价于x －1＋3－x ≥4， 解得x ∈∅，不等式解集为∅.当x >3时，不等式等价于x －1＋x －3≥4， 解得x ≥4，不等式解集为{x |x ≥4}．综上，原不等式解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)． 7．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x <13或1<x <3或x >5.8．已知函数f (x )＝|x ＋3|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≥|a －4|有解，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －2|≥3，当x ≥2时，有x ＋3－(x －2)≥3，解得x ≥2； 当x ≤－3时，－x －3＋(x －2)≥3，解得x ∈∅； 当－3<x <2时，有2x ＋1≥3，解得1≤x <2. 综上，f (x )≥3的解集为{x |x ≥1}． (2)由绝对值不等式的性质可得，||x ＋3|－|x －2||≤|(x ＋3)－(x －2)|＝5， 则有－5≤|x ＋3|－|x －2|≤5. 若f (x )≥|a －4|有解，则|a －4|≤5， 解得－1≤a ≤9.所以a 的取值范围是[－1,9]． 9．(2016·全国丙卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．10．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0，∴原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)∵a >－1，则－a 2<12，∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1－a ， x <－a2，a ＋1， －a 2≤x <12，4x ＋a －1， x ≥12.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1， 即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43，∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，43.。
2018年高考数学一轮复习热点难点精讲精析选修系列(第2部分：不等式选讲)
2018 年高考一轮复习热门难点精讲精析：选修系列 <第 2 部分：不等式选讲）一、绝对值不等式<一）绝对值三角不等式性质定理的应用〖例〗“ |x-a|＜m,且|y-a| ＜m是“ |x-y|＜2m”(x,y,a,m∈ R>的<A）<A）充足非必需条件<B ）必需非充足条件<C ）充要条件<D ）非充足非必需条件思路解读：利用绝对值三角不等式，推证与|x-y|＜2m的关系即得答案。
解答：选 A。
<二）绝对值不等式的解法〖例〗解以下不等式：思路解读：<1）利用公式或平方法转变为不含绝对值的不等式。
<2）利用公式法转变为不含绝对值的不等式。
<3）利用绝对值的定义或去掉绝对值符号或利用数形结合思想求解。
<4）不等式的左侧含有绝对值符号，要同时去掉这两个绝对值符号，能够采纳“零点分段法”，本题亦可利用绝对值的几何意义去解。
解答： <1）方法一：原不等式等价于不等式组即解得 -1 ≤ x＜ 1 或 3＜ x≤ 5,所以原不等式的解集为{x|-1≤ x＜1或3＜x≤ 5}.<2）由不等式，可得或解得 x>2 或 x<-4.∴原不等式的解集是{x| x<-4或x>2}<3）原不等式①或②不等式①不等式②∴原不等式的解集是{x|2 ≤ x≤ 4 或x=-3}.(4> 分别求 |x-1|,|x+2| 的零点，即1， -2 。
由 -2,1 把数轴分红三部分：x<-2,-2 ≤ x≤ 1,x>1.当 x<-2 时，原不等式即 1-x-2-x<5, 解得 -3<x<-2;当 -2 ≤x≤ 1 时，原不等式即 1-x+2+x<5 ，由于 3<5 恒建立，则 - 2≤ x≤ 1; 当x>1 时，原不等式即 x-1+2+x<5,解得 1<x<2.综上，原不等式的解集为{x|-3<x<2}.<三）含参数的绝对值不等式〖例〗若对于 x 的不等式 |x+2|+|x-1|≤ a的解集为，务实数 a 的取值范围。
高考数学一轮复习第13章选修部分第59节绝对值不等式课件文
－2x＋6，x>2. 可得 f(x)≥0 的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1 等价于|x＋a|＋|x－2|≥4. 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，当 x＝2 时等号成立． 故 f(x)≤1 等价于|a＋2|≥4. 由|a＋2|≥4 可得 a≤－6 或 a≥2.
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ； ②|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思 想．
①作差比较法
知道a>பைடு நூலகம்⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明 a－b>0 即可，这种方法称为作差比较法．
②作商比较法
由a>b>0⇔ a
a b
>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，
只要证明 b>1 即可，这种方法称为作商比较法．
(2)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证， 最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即 “由因导果”的方法． (3)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证 不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要 证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法.
最新-2018高三数学系列一轮复习 不等式选讲课件 理 新人教B版 精品
解析 原不等式可化为 ax－2≥bx 或 ax－2≤－bx，即(a－
b)x≥2①或(a＋b)x≤2⇒x≤a＋2 b②，
当
a＞b＞0
时，由①得
x≥a－2
，此时，原不等式的解集为 b
{x|x≥a－2 b或 x≤a＋2 b}； 当 a＝ b＞ 0 时 ， 由 ①得 x∈ ∅， 此 时 ， 原 不等 式的 解 集 为
6．排序不等式 (1)一般地，设有两组数 a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，可以得到 6 个不同的和数：a1b1＋a2b2＋a3b3，a1b1＋a2b3＋a3b2，a1b2＋a2b1＋a3b3， a1b2＋a2b3＋a3b1，a1b3＋a2b1＋a3b2，a1b3＋a2b2＋a3b1.其中，和数 a1b1 ＋a2b2＋a3b3 称为同序和，和数 a1b3＋a2b2＋a3b1 称为反序和，其余 情况则称为乱序和．
{x|x≤a＋2 b}；
当
0＜a＜b
时，由①得
x≤a－2
，此时，原不等式的解集为 b
{x|x≤a＋2 b}．
综上可得，当 a＞b＞0 时，原不等式的解集为(－∞， a＋2 b]∪[a－2 b，＋∞)；
当 0＜a≤b 时，原不等式的解集为(－∞，a＋2 b].
变式迁移 2 已知|x－4|＋|x－3|＜a 有解，求 a 的取值范围．
解析 解法一：|x＋2|＝0 和|x－1|＝0 的根分别是－2 和 1，把 实数轴分为三个区间：(－∞，－2]，(－2,1)，[1，＋∞)．在这三个 区间上|x＋2|＋|x－1|有不同的解析表达式，它们构成了三个不等式 组．
2018版高考数学(理)一轮复习文档：选修系列第十三章13.3含解析
数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行: (1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0∈N＊)时命题成立；(2）（归纳递推）假设n＝k（k≥n0,k∈N＊）时命题成立，证明当n ＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n 都成立．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．（×)(2）所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．（×)（3）用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用．( ×)（4）不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n ＝k＋1时，项数都增加了一项．( ×)（5）用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23。
（√)(6）用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.（√）1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝错误!(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是( ）A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3答案C解析当n＝1时，n＋1＝2，∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2。
2．(2016·黄山模拟）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－错误!＋错误!－错误!＋…－错误!＝2(错误!＋错误!＋…＋错误!）时，若已假设n＝k（k≥2且k为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2）时等式成立答案B解析因为n为正偶数，n＝k时等式成立，即n为第k个偶数时命题成立,所以需假设n为下一个偶数，即n＝k＋2时等式成立．3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为错误!n（n－3）条时,第一步检验n等于（)A．1 B．2C．3 D．0答案C解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上（)A．k2＋1B．（k＋1)2C.错误!D．（k2＋1)＋(k2＋2）＋（k2＋3）＋…＋（k＋1）2答案D解析等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2.故n＝k＋1时，最后一项是(k＋1)2，而n＝k时,最后一项是k2,应加上（k2＋1）＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋（k＋1)2.5．（教材改编)已知｛a n｝满足a n＋1＝a错误!－na n＋1，n∈N*，且a1＝2,则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想a n＝________.答案 3 4 5 n＋1题型一用数学归纳法证明等式例1 设f（n)＝1＋12＋错误!＋…＋错误!（n∈N*）．求证：f（1）＋f(2)＋…＋f（n－1）＝n[f(n)－1］(n≥2，n∈N＊）．证明①当n＝2时,左边＝f（1）＝1,右边＝2（1＋错误!－1)＝1，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k（k≥2,k∈N*)时,结论成立，即f(1）＋f(2)＋…＋f（k－1）＝k[f(k)－1］，那么,当n＝k＋1时，f（1)＋f（2)＋…＋f(k－1）＋f（k）＝k[f(k）－1］＋f(k)＝(k＋1）f（k）－k＝（k＋1）［f(k＋1）－错误!］－k＝(k＋1）f（k＋1）－（k＋1)＝(k＋1)[f（k＋1）－1]，∴当n＝k＋1时结论成立．由①②可知当n∈N*时，f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1)＝n［f（n)－1］(n≥2,n∈N*）．思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意（1）明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．(2）由n＝k证明n＝k＋1时,弄清左边增加的项，且明确变形目标．（3）掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．用数学归纳法证明：错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!（n∈N＊)．证明①当n＝1时,左边＝错误!＝错误!，右边＝错误!＝错误!，左边＝右边,等式成立．②假设n＝k（k≥1，k∈N＊)时，等式成立．即错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!，当n＝k＋1时，左边＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝k k＋12k＋3＋2k＋12 22k＋12k＋3＝k＋12k2＋5k＋2 22k＋12k＋3＝错误!，右边＝错误!＝错误!,左边＝右边，等式成立．即对所有n∈N*,原式都成立．题型二用数学归纳法证明不等式例2 （2016·烟台模拟）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r（b>0且b≠1，b,r均为常数）的图象上．（1)求r的值；（2)当b＝2时,记b n＝2（log2a n＋1）（n∈N＊），证明：对任意的n∈N*，不等式错误!·错误!·…·错误!〉错误!成立．（1)解由题意,S n＝b n＋r，当n≥2时，S n－1＝b n－1＋r.所以a n＝S n－S n－1＝b n－1(b－1）．由于b〉0且b≠1，所以n≥2时，{a n}是以b为公比的等比数列．又a1＝b＋r,a2＝b（b－1），所以错误!＝b，即错误!＝b,解得r＝－1。
高考数学一轮复习不等式选讲第1课时绝对值不等式课件理
12/11/2021
第二十二∃x∈R，使不等式|x－1|－|x－2|≥t 成立，则满足条件的实数 t 的集合 T 为________．
为( )
A．5 或 8
B．－1 或 5
C．－1 或－4
D．－4 或 8
【解析】 ∵f(x)＝|x＋1|＋|x＋2a|＋|x＋2a| ≥|(x＋1)－(x＋2a)|＋|x＋2a| ＝|1－2a|＋|x＋2a|
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≥|1－2a|，当且仅当 x＋2a＝0 即 x＝－2a时成立． 令|1－2a|＝3，得 a＝－4 或 8.选 D. 【答案】 D
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★状元笔记★ 解含绝对值不等式的原则是去掉绝对值，转化为有理不等式 再求解，一般有以下几种解法： ①公式法：利用|x|>a(或<a)(a>0)去绝对值，如(1)题； ②零点分段法：利用绝对值定义去绝对值如(3)题； ③平方法：利用|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)去绝对值； ④几何法：利用绝对值的几何意义求解． ⑤数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两 个函数的图像，利用函数图像求解．
1课时 第
(kèshí)
绝对值不等式
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…2018 考纲下载… 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几 何意义证明以下不等式： (1)|a＋b|≤|a|＋|b|； (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋ b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
2018届高三数学一轮复习不等式选讲第一节绝对值不等式课件理
所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}. (6分) (2)证明:由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2 b2-1=(a2-1)(1-b2)<0,
因此|a+b|<|1+ab|. (10分)
方法技巧
证明绝对值不等式主要的三种方法 (1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号,转化为普通不等式再证明. (2)利用不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|进行证明. (3)转化为函数问题,利用数形结合进行证明.
5.(2014湖南,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为 x - <x<
, 则a= . 依题意 知 1 ,5 a≠0.|ax-2|<3⇔-3<ax-2<3⇔-1<ax<5,当a>0时,不等式
5 3
1 3
答案 -3
解析
, a a 的解集为 , 5 1 , a 3 1 5 , 从而有 3 a
1 3
方法技巧
解绝对值不等式的基本方法: (1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通 不等式; (2)当不等式两端均非负时,可通过两边平方的方法转化为解不含绝对 值符号的普通不等式; (3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.
1-1 (2015江苏,21D,10分)解不等式x+|有绝对值的函数问题时,常根据绝对值的定义,分类讨论去掉 绝对值符号,从而转化为分段函数来解决. (2)对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题,常利用绝对值三 角不等式解决. (3)不等式的解集为R是不等式的恒成立问题,不等式的解集为⌀也是不 等式的恒成立问题(如f(x)>m的解集是空集,则f(x)≤m恒成立),一般情况
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第1课时绝对值不等式
1．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集：
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．
2．含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
1．(2015·山东改编)解不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．
解①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，
∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.
②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，
∴x<4，∴1<x<4，
③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．
综上，原不等式的解集为(－∞，4)．
2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求实数a的取值范围．
解 ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，
要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，
可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.
3．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12
a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|
＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1，x<－2，－x ＋3，－2≤x<12，3x ＋1，x≥12.
当x <－2时，y ＝－3x －1>5；
当－2≤x <12时，5≥y ＝－x ＋3>52
； 当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12
a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12
a ＋2. 解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12
]．
题型一 绝对值不等式的解法
例1 (2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；
(2)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．
解 (1)当a ＝1时，
f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.
当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；
当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23
<x <1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.
所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 23<x<2.。