第一章图形与证明(二)综合测试题(苏科版九年级上)

“图形与证明（二） ”综合测试题
1．如图 1，菱形 ABCD 中， AE 垂直平分 BC，垂足为 E，AB=4 ．则菱形 ABCD 的面积是
，对角线
BD 的长是
．
2．如图 2，在 △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠ C AB ，BC=8cm ，BD=5cm ，，那么 D 点到直线 AB 的距离是
（ 3）若（ 2）中的菱形 EGFH 是正方形，请探索线段
B
F
C
图5
EF 与线段 BC 的关系，并证明你的结论．
四、创新题
6．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解 答下列问题：
（ 1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称．
（ 2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为 一条对角线的大小关系，并说明你的结论．
面积为
．
5．如图 5，等腰梯形 ABCD 中， AD ∥BC ，点 E 是线段 AD 上的一个动点 (E 与 A、 D 不重合 )， G、 F、 H
分别是 BE 、 BC 、CE 的中点．
A
E
D
（ 1）试探索四边形 EGFH 的形状，并说明理由．
G
H
（ 2）当点 E 运动到什么位置时，四边形 EGFH 是 菱形 ?并加以证明．
∴∠ BMN= ∠ BNM ．∴ BM=BN ．
又∵ BA=BC ，∴ AM=CN ．
又∵ OA=OC ，∠ OAM= ∠ OCN ，
∴△ OAM ≌△ OCN ． ∴∠ AOM= ∠ CON ．
∴∠ AOM= 1/2 （ 90°-45 °） =22.5 度．
cm．
A
A
C
B
Ｍ
Ａ
Ｄ
B
B
E C
图1
D
C
D
图2
ＱC
D
A
BＢ
Ｎ
Ｃ
图3
D
图4
3．如图 3，有一张面积为 1 的正方形纸片 ABCD ，M ， N 分别是 AD ， BC 边的中点，将 C 点折叠至 MN 上，落在 P 点的位置，折痕为 BQ ，连结 PQ，则 PQ= ．
4．如图 4，若将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30 到正方形 AB C D ，则图中阴影部分的
2
13.情境观察： 将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开，得到 △ABC 和 △A′C′Ｄ，如图 1 所示 .将 △A′C′Ｄ的顶点
A′与点 A 重合，并绕点 A 按逆时针方向旋转，使点 D 、A(A′) 、B 在同一条直线上，如图 2 所示．观察图 2
可知：与 BC 相等的线段是
，∠ CAC′=
60°时，这对 60°角所对的两边之和与其中
1
9．将 n 个边长都为 lcm 的正方形按如图所示的方法摆放，点 n 个这样的正方形重叠部分 (阴影部分 )的面积和为
A 1，A2 ，,, ， A n 分别是正方形的中心，则
A
D
N
O
B
M
C
10．如图， O 为矩形 ABCD 的中心，将直角三角板的直角顶点与 O 点重合，转动三角板使两直角边始终
E
H
F
A M
N
B
GC
图4
3
14.如图① ，将直角梯形 OABC 放在平面直角坐标系中，已知 OA ＝ 5， OC＝ 4，BC ∥OA， BC＝3，点 E 在 OA 上，且 OE＝ 1，连结 OB、BE ．
(1)求证：∠ OBC＝∠ABE; (2)如图② ，过点 B 作 BD ⊥x 轴于 D，点 P 在直线 BD 上运动，连结 PC、 P、 PA 和 CE．
C'
D
CD
C' C
C
A
B A' A
B
D
A(A' )
B
问题探究
图1
图2
如图 3，△ABC 中， AG⊥BC 于点 G，以 A 为直角顶点，分别以 AB、AC 为直角边，向 △ABC 外作等
腰 Rt△ ABE 和等腰 Rt△ ACF ，过点 E、 F 作射线 GA 的垂线，垂足分别为 P、 Q. 试探究 EP 与 FQ 之
AB边交
直线 y=x
M，BC边交 x 轴于点 N（如图） .
（ 1）求边 OA在旋转过程中所扫过的面积；
（ 2）旋转过程中，当 MN和 AC平行时，求正方形 OABC旋转的度数；
（ 3）试证明在旋转过程中 , △ MNO的边 MN上的高为定值；
（ 4）设△ MBN的周长为 p，在旋转过程中， p 值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，
请给予证明，并求出 p 的值。
y
A
y=x
M
B
x
O
N
C
5
参考答案
15. （ 1 ）∵ A 点第一次落在直线 y=x 上时停止旋转， ∴ OA 旋转了 45 度．
∴ OA 在旋转过程中所扫过的面积为 0.5π ． （ 2）∵ MN ‖AC ， ∴∠ BMN= ∠ BAC=45° ，∠ BNM= ∠ BCA=45 度．
①当 △PCE 的周长最短时，求点 P 的坐标； ②如果点 P 在 x 轴上方，且满足 S△CEP： S△ABP ＝ 2： 1，求 DP 的长．
4
15 在平面直角坐标中， 边长为 2 的正方形 OABC的两顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上， 点 O在原点 .
现将正方形 OABC绕 O点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线 y=x
间的数量关系，并证明你的结论 .
E
P
Q
F
A
N
B
GC
图3
拓展延伸 如图 4，△ ABC 中，AG⊥BC 于点 G，分别以 AB、AC 为一边向 △ABC 外作矩形 ABME 和矩形 ACNF ，
射线 GA 交 EF 于点 H. 若 AB= k AE， AC=k AF，试探究 HE 与 HF 之间的数量关系，并说明理由 .
第 14 题
12． 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 P 在 AB 上从 A 向 B 运动，连接 DP 交 AC 于点 Q. （ 1）试证明：无论点 P 运动到 AB 上何处时，都有△ ADQ≌△ ABQ ； （ 2）若点 P 从点 A 运动到点 B，再继续在 BC 上运动到点 C，在整个运动过程中，当点 P 运动到什么位 置时，△ ADQ恰为等腰三角形 .
与 BC、 AB 相交，交点分别为 M、 N ．如果 AB =8， AD =12， O M = x ,ON= y 则 y 与 x 的关系是
11.如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，点 M、 N 分别是边 AB、 BC 的中点，则 PM+PN 的最小值是 _____________.