2020届河南省高三下学期6月质量检测数学(文)试卷无答案
2024届河南省高三下学期第二次质量检测(二模)理综试卷-高中全真演练物理(基础必刷)
2024届河南省高三下学期第二次质量检测（二模）理综试卷-高中全真演练物理（基础必刷）一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题如图所示，两位同学分别拉一根长为的水平绳两端，两同学同时抖动绳子两端，使开始在竖直方向做简谐振动，产生沿绳传播的两列波。
开始振动开始计时，时刻，两列波恰好分别传播到两点，波形如图所示，则（ ）A．两列波起振方向相反B．两列波在相遇的区域内能产生干涉现象C．从开始振动到两列波刚好相遇，质点A运动的路程为D．时刻处的质点偏离平衡位置的位移为第(2)题宇宙中有两颗相距很远的行星A和B，质量分别为m A、m B，半径分别为R A、R B，第一宇宙速度分别为v A、v B，两颗行星周围卫星的轨道半径r的三次方与运行周期T的平方的关系如图所示，T0为卫星环绕行星表面运行的周期。
下列关系式正确的是（ ）A．m A＜m B B．m A=m B C．v A=v B D．v A>v B第(3)题如图所示，在与纸面平行的匀强电场中有矩形区域abcd，a、b、c三点的电势分别为0、 4V、6V。
ab长为2cm，bc长为；I、II、III、IV分别是矩形abcd四条边的中点。
将点电荷+q从b位置沿任意路径移动到某位置电场力做功为零，则该位置是（ ）A．I B．II C．III D．IV第(4)题如图所示，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半径的中点，D点位于小轮半径的中点，大轮半径是小轮半径的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动。
为了说明公式的一种变量关系，即相等，跟成反比，应该选择该装置中A、B、C、D中的哪两个点（ ）A．选择A、B两点B．选择A、C两点C．选择B、C两点D．选择C、D两点第(5)题下列四组物理量中为矢量且单位用国际基本单位表示的是（）A．动量B．热量C．加速度D．功率第(6)题一定质量的理想气体从状态a开始经，其图像如图所示。
专题12 利用导数解决函数的单调性-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(原卷版)
专题12 导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一 求无参函数的单调区间万能模板 内 容使用场景 知函数()f x 的解析式判断函数的单调性 解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域； 第二步 求出函数()f x 的导函数'()f x ；第三步 若'()0f x >，则()f x 为增函数；若'()0f x <，则()f x 为减函数.例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数()ln xx af x e+=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '．若对任意不等于1-的实数x ，均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立，且()()211x f x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->类型二 判定含参数的函数的单调性万能模板 内 容使用场景 函数()f x 的解析式中含有参数解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0； 第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；()2sin sin 2f x x x =⋅0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2ln 1x xf x x e e -=+++()()2210f x f x --+≤【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数()x f x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥. （1）讨论()f x 的单调性；【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题类型三 由函数单调性求参数取值范围万能模板 内 容使用场景 由函数单调性求参数取值范围解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 根据题意转化为相应的恒成立问题； 第三步 得出结论.例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（ ） A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（ ）A ．4B ．16C ．20D ．18()22ln f x x x =-()f x ()2,1m m +m 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)0,1【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（ ） A ．-4B ．-2C ．2D ．4【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =-．则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 3．已知函数. （1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题 4.【2017山东文，10】若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A . ()2xf x -= B. ()2f x x = C. ()3xf x -= D. ()cos f x x =5.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,0a >1a ≠()(0)a x x f x x a=>2a =()f x ()y f x =1y =()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<则实数a 的取值范围是 ▲ .6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数()()e 2xf x a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数()2e xf x ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围． 8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数()2ln 1f x x =+． （1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．9.（2018年新课标I 卷文）已知函数f (x )=ae x −lnx −1∈ （1）设x =2是f (x )的极值点．求a ，并求f (x )的单调区间； （2）证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0∈10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）】已知函数f(x)=1x −x +alnx ∈ （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x 1,x 2，证明：f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<a −2．【反馈练习】1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知0x >，a x =，22xb x =-，()ln 1c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数()sin24sin f x x x m x =--在[0,2π]上单调递减，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．(1,1)-D ．[1,1]-4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数()3f x x ax =+，若对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],2-∞-D ．(),3-∞5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对(]0,1t ∀∈，函数2()(4)2ln g x x a x a x =-++在(,2)t 内总不是单调函数，则实数a 的取值范围是______7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围______.8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题 9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数()sin cos (02)f x x x x x π=+<<的单调递增区间；()cos 2sin f x x a x =+,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭a ()()1ln 1xf x x x+=>1x 2x ()()1212ln ln f x f x k x x -≤-k（2）已知函数2()ln 43f x a x x x =-++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的范围.11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+. 12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数()()ln 1ln f x ax x a x =-+，()f x 的导数为()f x '.（1）当1a >-时，讨论()f x '的单调性； （2）设0a >，方程()3f x x e =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，求证121x e x e+>+. 13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1xf x e ≥-，求实数a 的取值范围．14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()xf x ae ex =-，()()ln 1xg x x b x e =--，其中,a b ∈R .（1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性； （2）当1a =时，()()0f x g x ≤，求b 的值.15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，()0,10x ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()12xx <处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b ．若12//l l ，求12b b -的取值范围．17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数()()()2ln 222f x x a x x =++++，0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）求证：函数()f x 有唯一的零点.18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x x f x e -'=+-，21()(1)24x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ． （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()g x 的单调区间；（3）当2a ≥且1≥x 时，求证：1ln ln x e x e a x x--<+-．19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈.∈1）讨论函数()f x 的单调性∈∈2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点∈求实数a 的取值范围.20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数()()22xxf x ax a e e =-++.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()()2212x x g x f x ax x a e e =-++-存在3个零点，求实数a 的取值范围. 21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数()()()()()22224ln 2144f x x ax x a x a a x a =--+++∈R ．（∈）讨论函数()f x 的单调性；（∈）若0a ≤，证明：函数()f x 在区间)1,a e -⎡+∞⎣有且仅有一个零点．22．已知函数.（1）若，求函数的单调区间； （2）求证：对任意的，只有一个零点.【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题 23．已知函数. （1）当时，判断的单调性；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题 24．已知函数. （1）求的单调性；（2）设函数，讨论的零点个数. 【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三） 25．已知函数， （1）讨论的单调性；（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二） 26．已知（） （1）讨论的单调性；（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为. 【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题27．已知函数.（1）讨论的单调性；()321()13f x x a x x =--+2a ＝-()f x a ∈R ()f x ()21ln 2f x x ax x ax =-+1a =()f x ()f x a ()()cos sin ,0,2f x x x x x π=-∈()f x ()()(01)g x f x ax a =-<<()g x ()ln()xf x x a x a=+-+a R ∈()f x 4a =()1cos (2sin )2g x x x mx x =++0m >}{min ,m n m n }{()min ()()h x f x g x =，[],x ππ∈-()h x ()ln f x x ax =+a R ∈()f x 1a =()()1f x k x b ≤++()0,∞+221k b k +--1e -+2()2ln ,()f x x ax x a R =+++∈()f x（2）若恒成立，求的最大值.【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题 28．已知函数． （1）若，证明：在单调递增； （2）若恒成立，求实数的取值范围．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题 29．已知函数． （1）若在上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题 30．已知函数. （1）如果函数在上单调递减，求的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数.【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题 31．已知函数． （1）若在R 上是减函数，求m 的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证 有三个零点． 【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题32．已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围； （2）当时，证明：函数有且仅有3个零点． 【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题()xf x e ≤a ()ln x f x xe ax a x =--0a ≤()f x ()0,∞+()0f x ≥a 21()cos 2f x x ax x =++()f x [0,)+∞21()()2g x f x x =-()g x sin ()1()x g x F x x -+=,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()ln(1)1f x a x x =-+-()()22g x f x x =-+(1,)+∞a 0a >()y f x =21()e 1()2x f x x mx m =+-+∈R ()f x ()f x 1x 2x ()f x ()e sin 1xf x ax x =-+-()f x ()0,∞+a 12a ≤<()()()2g x x f x =-11/ 11。
2020届河南省平顶山市高三上学期10月阶段性检测数学（文）试题
2020届河南省平顶山市高三上学期10月阶段性检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2,0,1A =-，{}220B x Z x x =∈+≤，则AB =（ ）A ．{}2-B ．{}2,0-C ．{}2,1-D ．2,0,1【答案】B【解析】解出集合B ，然后利用交集的定义可得出A B .【详解】解不等式220x x +≤，解得20x -≤≤，所以，{}{}2202,1,0B x Z x x =∈+≤=--，因此，{}2,0A B =-，故选：B.【点睛】本题考查交集的运算，解题的关键就是交集定义的理解，考查计算能力，属于基础题.2．已知角α的终边经过点(-，则sin α的值为（ ）A ．B ．12-C ．D 【答案】C【解析】利用三角函数的定义可计算出sin α的值. 【详解】由三角函数的定义得sin α== C.【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，要熟记正弦、余弦以及正切三个三角函数值的定义，考查计算能力，属于基础题.3．函数()tan 4f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．3,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．3,4x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C ．3,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】解不等式42x k πππ-≠+，k Z ∈，即可得出该函数的定义域.【详解】 解不等式42x k πππ-≠+，k Z ∈，得34x k ππ≠+，k Z ∈， 因此，函数()tan 4f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的定义域为3,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故选：A. 【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解，解题时要根据正切函数的定义域来列不等式求解，考查计算能力，属于基础题. 4．函数()4sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．13x =-C ．56x =-D ．3x π=-【答案】C【解析】解方程()32x k k Z ππππ+=+∈，然后对k 赋值，可得出该函数图象的一条对称轴方程. 【详解】 由()32x k k Z ππππ+=+∈，得()16x k k Z =+∈，取1k =-，得56x =-， 即函数()4sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像的一条对称轴方程为56x =-，故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数对称轴方程的求解，解题时应充分利用正弦函数的对称轴方程，列等式求解，考查计算能力，属于基础题. 5．“a b >”是“77log log a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】求出不等式77log log a b >的等价条件，然后可判断出“a b >”与“77log log a b >”之间的充分必要性关系. 【详解】函数7log y x =是()0,∞+上的增函数，由77log log a b >，可得0a b >>. 因此，“a b >”是“77log log a b >”的必要不充分条件，故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分关系的判断，一般转化为两集合间的包含关系来判断，也可以利用两条件的逻辑性关系进行判断，考查推理能力，属于中等题.6．已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()()4log 6f x x =+，则()2f -=（ ） A ．32-B ．1-C ．1D ．32【答案】A【解析】先求出()2f 的值，然后利用奇函数的定义得出()()22f f -=-，即可得出结果. 【详解】由题意得()4ln83ln 232log 8ln 42ln 22f ====， 由于函数()y f x =为R 上的奇函数，因此，()()3222f f -=-=-，故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，解题时要结合函数的解析式进行计算，考查计算计算能力，属于基础题.7．若函数1()3x af x -⎛⎫= ⎪⎝⎭满足(2)(2)f x f x +=-，则()f x 的单调递增区间为( ) A ．(-∞，2] B ．(-∞，1]C ．[1，+∞)D ．[2，+∞)【答案】A【解析】因为函数满足(2)(2)f x f x +=-，则函数关于2x =对称，进而求出参数a 的值，进而求出函数的递增区间. 【详解】解法1:由(2)(2)f x f x +=-知，函数图象()f x 关于2x =对称，所以，a =2.函数2y x =-在(-∞，2]单调递减，在[2，+∞)单调递增；而13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(-∞，+∞)上递减，由复合函数的单调性知，函数21()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为(一∞，2]，故选A.解法2:由函数图象变换可知，a =2且函数21()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为(一∞，2].故选A. 【点睛】在函数的性质中，有几个表达式值得去关注： （1）()()f a x f a x +=-，关于x a =对称； （2）()-()f a x f a x +=-，关于点(),0a 对称； （3）()()f a x f x +=，函数周期为a .8．《九章算木》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面釈所用的经验公式为：弧田面积=12(弦×矢+矢²).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差。
2020届河南省百校联盟高三12月教育教学质量检测考试数学(文)试卷 PDF版
～5 IOF2 I，若椭圆C的离心率为巳3 ，则直线M凡的斜率为
A. -4
t B.
C. 2
÷ D 一
12.己知函数 f（工）=41 x+2 I+cos1日，则f(4x一 7）ζ3的解集为
A. ［一，2]
B.[l ’一 32 ］
C.[2，一 ］
. D. [ t,l]
第E卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23
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23. （本小题满分10分）【选修4 → 5： 不等式选讲】 已知函数f(x)=lx-ml+l2x十 生I Cm>2).
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(1 ）若m =4，求不等式f(x)>5 的解集； (2）证明：f(x）十一＿ (m！一2一) 二三2十2!2.
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2023届河南省济洛平洛高三下学期第四次质量检测理综物理试题
2023届河南省济洛平洛高三下学期第四次质量检测理综物理试题一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题如图所示，为了给一座特殊的密闭仓库采光，在正南朝向的竖直墙壁上切开一个正方形孔，其中AF边与BE边水平、AB边与FE边竖直，并在孔内镶嵌一块折射率为的玻璃砖。
这块玻璃砖的室内部分是边长为2R的正方体，室外部分是半圆柱体。
某时刻正南方向的阳光与竖直面成30°角斜向下射向半圆柱面，已知光在真空中的传播速度为c，则（ ）A．从圆弧面折射进入玻璃的各光束中，从AF边入射的那束光，其偏转角最大B．在半圆柱表面以入射角45°折射进入玻璃砖的那束光，其首次从玻璃砖表面折射回到空气的折射角大小为45°C．在半圆柱表面沿半径方向入射玻璃砖的那束光，首次从玻璃砖表面出射至空气前，在玻璃砖内传播的时间为D．若考虑玻璃对不同色光的折射率差异，则阳光中的紫光在玻璃表面发生全反射的临界角大于红光的临界角第(2)题图甲所示的是由导电的多晶硅制成的电容加速度传感器。
图乙是其原理图，传感器可以看成由两个电容、组成，当传感器有沿着箭头方向的加速度时，多晶硅悬臂梁的右侧可发生弯曲形变。
下列对这个传感器描述正确的是（ ）A．匀速向上运动时，减小，增加B．保持加速度恒定向上运动时，减小，增加C．由静止突然加速向上运动时，减小，增加D．正在匀速向上运动的传感器突然停止运动时，减小，增加第(3)题滑雪运动是2022年北京冬季奥运会主要的比赛项目。
如图所示，水平滑道上运动员A、B间距。
运动员A以速度向前匀速运动。
同时运动员B以初速度向前匀减速运动，加速度的大小，运动员A在运动员B继续运动后追上运动员B，则的大小为（ ）A．4 m B．10 m C．16 m D．20 m第(4)题水火箭是同学们喜爱的动手动脑科普玩具，发射最高世界记录为。
河南省九师联盟2023-2024学年高一下学期6月质量检测试题 数学含答案
数学（答案在最后）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。
4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册，必修第二册第六章～第八章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{0,1,2,3}A =，{|21,}xB y y x A ==-∈，则A B = A ．{1，3}B ．{0，1，3}C ．{0，1}D ．{0，1，2，3}2．若角α的终边经过点P （1-），则sin α=A ．33B ．33-C ．63D ．63-3．若命题“x ∃∈R ，20x ax a --≤”为假命题，则实数a 的取值范围是A ．(,4][0,)-∞-+∞ B ．(,4)(0,)-∞-+∞ C ．[4-，0]D ．（4-，0）4．下列函数中，在其定义域内既为奇函数又为增函数的是A ．()e exxf x -=+B ．()tang x x=C ．13()h x x=D ．1()ln1x x xϕ-=+5．将函数()2sin(2)f x x ϕ=+（0ϕ>）的的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x的图象，若(0)g =，则φ的最小值为A ．12πB ．125πC ．127πD ．1211π6．已知□ABCD 中，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），点Q 在对角线BD 上（不包括端点B ，D ），若11AP AB BC λμ=+ ，22AQ AB BC λμ=+ ，记2112λμ-的最小值为m ，22122λμ+的最小值为n ，则A ．18m =-，92n =B ．14m =-，92n =C ．18m =-，94n =D ．14m =-，94n =7．已知02απ<<，2(1sin 2)sin 2cos cos 2714ααππ+=，则α=A ．314πB ．528πC ．7πD ．14π8．已知三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为1的等边三角形，侧棱1AA 长为2．一质点从点A 出发沿三棱柱的棱前进，若经过的第1条棱为1AA ，第2n +条棱与第n 条棱异面，则该质点运动完第2024条棱后，运动的总路程为A ．3036B ．2833C ．2699D ．2698二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
安徽省合肥市六校联盟2025届高三下学期第六次检测数学试卷含解析
安徽省合肥市六校联盟2025届高三下学期第六次检测数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数2211()log 13||f x x x ⎛⎫=+++⎪⎝⎭，则不等式(lg )3f x >的解集为（ ）A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,10)D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃⎪⎝⎭2．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知()43z i =+，则z =（ ）A ．23B ．4C ．83D ．163．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．64．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．25．如图，在ABC 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=，且12AC AD ⋅=，则2x y +=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．13C ．43D ．567．已知集合{}10,1,0,12x A x B x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ）A ．{}11x x -<< B ．{}1,0,1- C ．{}1,0- D ．{}0,18．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．129．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．2310．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．3C ．3-D ．211．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种12．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若33SA AB ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．92D ．72二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省济南市2024届高三下学期高考针对性训练(5月模拟)数学试题含答案
绝密★启用并使用完毕前高考针对性训练数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设12i2iz -=+，则z =（）A ．iB ．i-C ．4i 5+D ．4i 5-2．若sin cos αα-=，则tan α=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A ．5-B ．5C ．15D ．354．已知{}n a 是等比数列，且27844a a a a =-=-，则3a =（）A ．B ．C ．2-D ．2±5．某单位设置了a ，b ，c 三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c 档高，乙的工资比b 档高，丙领取的不是b 档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（）A ．a ，b ，cB ．b ，a ，cC ．a ，c ，bD ．b ，c ，a6．三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（）A B C ．18D ．367．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P在C 上，且2122PF PF a ⋅= ，PO = ，则C 的离心率为（）A B C ．3D ．28．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()yf x xf y xy x y -=-，则下列结论一定成立的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 有最小值D ．()f x 在[]0,1上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学投篮两次，第一次命中率为23．若第一次命中，则第二次命中率为34；若第一次未命中，则第二次命中率为12．记()1,2i A i =为第i 次命中，X 为命中次数，则（）A ．22()3P A =B ．4()3E X =C ．4()9D X =D ．123(|)4P A A =10．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ．若1a =，且()sin sin sin A b B c b C -=+，则（）A ．3sin 2A =B ．ABC △面积的最大值为34C ．3R =D ．BC 边上的高的最大值为611．已知函数()sin ln f x x x =⋅，则（）A ．曲线()y f x =在πx =处的切线斜率为ln πB ．方程()2024f x =有无数个实数根C ．曲线()y f x =上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于1eD ．2()2x y f x =-在()1,+∞上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为______．13．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，16AA =，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，则平面1MNC 截该四棱柱所得截面的周长为______．14．已知抛物线22x y =与圆()()22240x y rr +-=>相交于四个不同的点A ，B ，C ，D ，则r 的取值范围为______，四边形ABCD 面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y a bx =+和2y c dx =+哪一个适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；1221ˆni ii ni i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，52155i i x ==∑，541979ii x ==∑，51390i i y ==∑，511221i i i x y ==∑，5214607.9i i i x y ==∑16．（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ABC ⊥平面BCFE ，AF DE ⊥，45ABC CBF ∠=∠=︒，1AC AB >=．（1）求三棱台ABC DEF -的高；（2）若直线AC 与平面ABF 所成角的正弦值为155，求BC ．17．（本小题满分15分）已知函数()22xxf x a =+-，其中0a >且1a ≠．（1）若()f x 是偶函数，求a 的值；（2）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围．18．（本小题满分17分）已知点21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，A 到E的两焦点的距离之和为．（1）求E 的方程；（2）过抛物线()2:1C y x m m =->上一动点P ，作E 的两条切线分别交C 于另外两点Q ，R ．（ⅰ）当P 为C 的顶点时，求直线QR 在y 轴上的截距（结果用含有m 的式子表示）；（ⅱ）是否存在m ，使得直线QR 总与E 相切．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设,y q ∈R ，*n ∈N ，记[]11n n q q-=++⋅⋅⋅+，[][][][]!11n n n =⨯-⨯⋅⋅⋅⨯，并规定[]0!1=．记1(,)()()()()n n q F x n x y x y x qy x q y -=+=++⋅⋅⋅+，并规定()0,0()1q F x x y =+=．定义[][][](,),0(,)11(),1,2,,kqn kq F x n k D F x n n n n k x y k n-=⎧⎪=⎨-⋅⋅⋅-++=⋅⋅⋅⎪⎩（1）若1y q ==，求(),2F x 和1(,2)q D F x ；（2）求[][]!(0,)!k qn k D F n n -；（3）证明：[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑．2024年5月济南市高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ABACBCDC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDADBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．21013．14．4)；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）2y c dx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：52211()115i i x x ===∑，511785i i y y ===∑，52215222221553905()4607.95317.9550.8537455()5()9795ˆ5i ii ii xy x ydx x ==-⨯-⨯⨯====⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，239055()0.8568.655ˆ5ˆcy d x =-⨯=-⨯=，所以，268.65ˆ0.85y x =+．（3）令6x =，268.650.85699.25ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为99.25亿元．另解（此种解法酌情给分）：（1）y a bx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：1234535x ++++==，511785i i y y ===∑，()()515222151221537851 5.13ˆ555105i ii i i x yx ybx x==-⨯-⨯⨯====-⨯-⨯∑∑，()78 5.1362.7ˆˆa y b x =-⨯=-⨯=，所以，7ˆ62. 5.1yx =+．（3）令6x =，62.7 5.1693.3ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为93.3亿元．16．【解析】解：（1）作FO BC ⊥于点O ，因为平面ABC ⊥平面BCFE ，所以FO ⊥平面ABC ，FO 即为三棱台ABC DEF -的高．又因为AB ⊂平面ABC ，所以FO AB ⊥．连接AO ，因为AB DE ∥，AF DE ⊥，所以AB AF ⊥，FO AF F = ，所以AB ⊥平面AFO ，又AO ⊂平面AFO ，所以AB AO ⊥．45ABC CBF ∠=∠=︒，1AB =．所以1AO =，BO FO ==ABC DEF -．（2）以O 为原点，在面ABC 内，作OG BC ⊥，以OG ，OB ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B，F，,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，FB =，设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =则022n FB n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()1,1,1n = ，设BC BO λ=，则22,022AC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线AC 与平面ABF 所成角为α，15sin cos ,5AC n α===，化简得281890λλ-+=，解得32λ=或34λ=（舍去，因为AC AB >，所以1λ>），所以BC =．17．【解析】（1）由题意，()()11f f -=，即112222a a +-=+-，解得，12a =或2a =-（舍）又经检验，12a =时，()f x 是偶函数．所以，a 的值为12．（2）当12a =时，0x ∀>，1()22202x xf x ⎛⎫=+->= ⎪⎝⎭成立；当12a >且1a ≠时，0x ∀>，1()22222xx x xf x a ⎛⎫=+->+- ⎪⎝⎭，又12202xx⎛⎫+-> ⎪⎝⎭已证，故此时符合题意；当102a <<时，()ln 2ln 2x xf x a a '=+，易知，此时()f x '在R 上单调递增，且(0)ln(2)0f a =<'．故存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，从而()f x 单调递减，所以，存在02x >，使得0(0)02x f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故此时不合题意．综上所述，12a ≥且1a ≠．18．【解析】（1）由题意2a =，得a =又21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在E 上，得221112a b +=，从而1b =．故E 的方程为2212x y +=．（2）（ⅰ）当P 为C 的顶点时，()0,P m ，不妨设R 在第一象限，直线PR 的方程为y kx m =-，联立E 的方程为2212x y +=可得222(21)4220k x kmx m +-+-=．由22222Δ(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m =-+-=-+=可得2221k m +=．联立直线PR 的方程y kx m =-与抛物线2:C y x m =-的方程可得x k =，则R 点的纵坐标为22212122R m m m y k m m ---=-=-=，由对称性知2212Q m m y --=，故直线QR 在y 轴上的截距为2212m m --．（ⅱ）要使（2）中的直线QR 与E 相切，必有22112m m b --==，即2230m m --=，解得3m =或1-（舍去）．设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,R x y ，则2113y x =-，2223y x =-，2333y x =-．直线PQ 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，即1212()3y x x x x x =+--．联立椭圆方程2212x y +=可得222121212122()14()(3)2(3)20x x x x x x x x x x ⎡⎤++-++++-=⎣⎦．由[]22212121212Δ4()(3)42()12(3)2x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-+++-⎣⎦⎣⎦22221212128(2228)0x x x x x x =+---=可得222212*********x x x x x x +---=，即121212250x x y y y y ++++=．同理可得131313250x x y y y y ++++=．因为直线1112(1)50x x y y y ++++=同时经过点QR ，所以QR 的直线方程为1112(1)50x x y y y ++++=．联立椭圆方程2212x y +=可得222111118(1)8(5)16480x y x x y x y ⎡⎤++++++=⎣⎦，于是[]2222211111111Δ8(5)48(1)(1648)64(1)(3)0x y x y y y x y ⎡⎤=+-+++=+--=⎣⎦．故直线QR 与椭圆相切，因此3m =符合题意．19．【解析】（1）若1y q ==，222(,2)()()(1)(1)F x x y x qy x q xy y x =++=+++=+，而[]11(,2)2()(1)()2(1)q q D F x x y q x y x =+=++=+．（2）当0k =时，[][](1)2!(0,)(0,)(0,)!n n k n q q n k D F n D F n F n q y n --===．当0k ≠时，由[][][](0,)11(0)kn kq qD F n n n k y -=-⋅⋅⋅++[][][][][]()(1)()(1)/22!11!n k n k n k n k n kn k n n n n k qyqy n k --------=-⋅⋅⋅-+=-，可得[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=．因此[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=，0,1,2,,k n = ．（3）要证[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑，只需证[][][][][]1()(1)/2(1)/200!!()()()![]!!!nnn n k n k n k kk k n k k k k n n x y x qy x qy q y x q x y n k k n k k -------==++⋅⋅⋅+==--∑∑．令1()()()()nn k k k G y x y x qy x q y a y -==++⋅⋅⋅+=∑，一方面，110101()()()()n nkkk k k n n k k k n k k x y G qy x y a q y xa xq a q a y a q y -+-==+=+=+++∑∑，另一方面，10101()()()()n nnnkn k n n k k k n k k x q y G y x q y a y xa xa q a y a q y +-==+=+=+++∑∑，当1q ≠且0x ≠时，由于()()()()nx y G qy x q y G y +=+，比较两式中ky 的系数可得111k k n k k k k xq a q a xa q a ---+=+，则[]1111(1)[]k n k k kk q n k a q q a x q x k ----+-==-⋅，由0na x =可知[][][](1)1120120!!!k k n k k k k k k n a a a a a q x a a a n k k -----=⋅⋅⋅⋅⋅=-．当1q =时，由[]11n n q qn -=++⋅⋅⋅+=，[]!!n n =可知()[][]00!C ![]!nn nn k k k n k kn k k n x y y x yx n k k --==+==-∑∑，此时命题也成立．当0x =时，[](1)/2(0,)(,)(0,)!k nq n n nk qk D F n F x n qy D F n x k -====∑也成立．综上所述，()()[]00,,!knq k k D F n F x n x k ==∑．。
2024届河南省开封市高三下学期第三次质量检测文综地理试题(解析版)
2024届河南省开封市高三下学期第三次质量检测文综地理试题（解析版）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
净增人口数是人口自然增长数和人口迁移增长数之和。
下图为2000—2020年河南省与上海市人口变动图。
据此完成下面小题。
1. 与2000—2010年相比，2010—2020年河南省人口（）A. 人口数量下降B. 出生率提高C. 人口增幅变大D. 人口净减少2. 2010—2020年上海市人口变动幅度变化的主要原因是（）A. 住房困难B. 产业转移C. 交通拥堵D. 经济萎缩【答案】1 C 2. B【解析】【1题详解】由图可知，与2000—2010年相比，2010—2020年河南省人口净变动数明显增加，人口增幅变大，C正确；人口数量增加，A错误；无法从图中直接看出出生率是否提高，B错误；人口净增多，D错误。
故选C。
【2题详解】2010--2020年，上海市人口变动幅度减小主要原因是产业转移，劳动密集型产业向外转移，部分劳动力从上海流出，B正确；住房困难、交通拥堵可能在一定程度上减少人口迁入，但不是主要原因，A错误；上海市经济并未萎缩，D错误。
故选B。
【点睛】影响人口迁移的因素：1、自然环境因素。
如：气候、淡水资源分布、土壤、矿产、自然灾害等，这些是人类赖以生存的自然环境，在很大程度上决定了人类生活、生产的空间格局，从而决定着人类的迁移方向和规模。
2、社会经济因素。
如：经济因素、交通和通信的发展、文化教育事业的发展、婚姻和家庭等，人类为了能有更好的生活水平，满足生活态度和生活期望也会进行迁移。
3、政治因素。
如：有关人口迁移的政策、战争、政治变革等，常常引起人口迁移。
2024年2月在新加坡航展上，我国自主设计研发组装的大飞机C919实现国际航展首秀。
C919核心部件全球招标采购，零部件生产分布在全国各地，总装基地位于上海。
下图为C919飞机部分零部件厂家示意图。
据此完成下面小题。
河南省部分学校2022-2023学年高三下学期4月质量检测语文试题(含答案)
河南省部分学校2022-2023学年高三下学期4月质量检测语文本试卷共150分，考试时间150分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。
对于人跟自然之天的合一，在天人合一的概念里都有些什么样的看法呢？在中国古代文化中，人跟自然之天的合一的中心是"顺自然"。
自然这个词要做一个解释。
这个自然不是指自然界，现在讲的自然界，在中国传统文化中是用“天地万物”这个词表示的。
在中国传统中，自然的意思是指“本然”，即万物原来的本性。
所以，顺自然不是顺自然界，而是顺从一切事物的本然状态，顺从它的本性。
这一点在道家的思想中表现得最明显。
比如《老子》里面就有一句话，叫“辅万物之自然而不敢为”，意思是我们只能按万物的本性去发展，而不能随意改变它。
长期以来，道家的“自然无为”思想被看作是一种消极被动、因循等待的思想，其实它有相当积极合理的一面。
汉代的《淮南子》对这一点有过精彩的论述。
其中对“无为”的理解是：“无为者，非谓其凝滞而不动也，以其言莫从己出也。
”就是说无为并不是让人停在那儿不要动，什么都不做，而是应当“莫从己出也"，不要从自己的主观出发去改变事物。
《淮南子》总结说无为就是“私志不得入公道”，即个人的意志和愿望不得入公道。
“公道”是什么？公道就是自然，就是天地万物本然的状态。
接下来还有一句话，“嗜欲不得枉正术”，个人的嗜好欲求不得枉正术，正术跟公道相对应的，是指自然界的必然规律。
所以无为是指你不能以自己的意志、嗜好去改变整个自然界的发展规律，这是从防止这个方面来讲的。
河南省名校2020届高三3月联合考试 数学(文) 含答案
河南名校(四校)高三联合考试数学(文科)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设z＝2ii-，则z的共轭复数z在复平面内的对应点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合M＝{0，1}，N＝{x|lgx≤0}，则集合M∪N＝A.[0，1]B.(0，1]C.[0，1)D.(－∞，1]3.设a＝30.5，b＝log0.50.6，c＝cos 45π，则A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b.4.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示)，表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位…用纵式表示，十位、千位、十万位…用横式表示，则56846可用算筹表示为5.已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是A.f(x)＝sin x xe B.f(x)＝e |x|－x 2 C.f(x)＝e |x|－|x| D.f(x)＝e |x|－2x 26.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是A.522B.324C.535D.5787.已知sin63°≈0.8912(cos72°＋cos18°)的近似值为A.1.773B.1.782C.1.796D.1.8158.已知向量OM ＝(1，0)，ON ＝(0，2)，MP ＝t MN ，则当|OP |取最小值时，实数t ＝A.15 B.13 C.12 D.19.在如图所示的程序框图中，执行所给的程序后，则输出的T 和k 的关系为A.T ＝7(k －2)B.T ＝10k －3C.T ＝9(k －2)D.T ＝8k －110.抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，半径为3的圆C 过点O 、F ，且与抛物线的准线l 相切，则p 的值为A.1B.2C.4D.811.将函数f(x)＝sinxcosx 的图象向右平移φ(|φ|<2π)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间[0，6π]上单调递增，则满足条件的实数φ的最小值与最大值的和是A.2π B.3π C.4π D.6π12.已知F 1，F 2是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点A 是双曲线上第二象限内一点，且直线AF 1与双曲线的一条渐近线y ＝b ax 平行，△AF 1F 2的周长为9a ，则该双曲线的离心率为A.2C.3第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020届河南省郑州市高三第一次质量预测数学（理）试题（解析版）
2020届河南省郑州市高三第一次质量预测数学（理）试题一、单选题1.设集合A=（xeZ||x|<2},B={y\y=l-x1},则AcB的子集个数为（）A. 4B.8C.16D.32【答案】C【解析】分析：求出集合A,B,得到AC8,可求AnB的子集个数详解：A={xeZ|国<2}={xg Z|-2<x<2}={-2,-1,0.1,2},B={y|y=l_J}={y|y〈l},An B={-2,-1,0,1},AoB的子集个数为24=16.故选C.点睛：本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题.2.复数z=——在复平面内对应的点位于（）iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】化简复数为z=。
+初的形式，求得复数对应点的坐标，由此判断所在的象限.【详解】。
I.z=b=l-2Z，该复数对应的点为（1,一2）,在第四象限.故选D.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数对应点的坐标所在象限.3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（）A.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份B.年接待游客量逐年增加C.月接待游客量逐月增加D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】C【解析】根据折线图依次判断各个选项，可通过反例得到。
错误.【详解】由折线图可知，每年游客量最多的月份为：7,8月份，可知A正确；年接待游客量呈现逐年递增的趋势，可知B正确；以2018年8月和9月为例，可得到月接待游客量并非逐月增加，可知C错误；每年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月的变化较小，数量更加稳定，可知。
正确.本题正确选项：C【点睛】本题考查根据统计中的折线图判断数据特征的问题，属于基础题.4.定义在R上的函数=偶函期«=/(log2|),Z,=/((l)3),c=f(m),贝ijA.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.b<a<c【答案】C【解析】由偶函数得到m=0,明确函数的单调性，综合利用奇偶性与单调性比较大小即可.【详解】/■⑴=(<)E—2为偶函数，.•.m=0,即/(x)=(|)W-2,且其在［0,+8)上单调递减，11又0<(一)3<1,111c=/(m)=f(0)罚=/((-)3)〉a=/(log2-)=/(1)故选：C【点睛】本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性，考查转化思想，属于中档题.5. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方 形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面 积是16A,—5B.18C. 1032D,—5【答案】B【解析】边长为3的正方形的面积S 正您=9,设阴影部分的面积为S 网，由几何概型得S 阴 800了」=房而，由此能估计阴影部分的面积.'正方形【详解】解：为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其 包含在内,则边长为3的正方形的面积S 正",=9,设阴影部分的面积为S 耕..•该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分,..S 阴 800S 正方形2000… 800 ° 800 八 18解得S 阴=-----x ‘中方形=------x 9 =——2000 正方形 2000 51 Q..•估计阴影部分的面积是；.故选：B.【点睛】本题考查阴影面积的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.6.已知向量q与》夹角为;，且\a\=\,|2a-Z?|=V3,贝\\\b\=A.也B.y/2C.1D.亟2【答案】C【解析】对\2a-b\=yf3两边平方，结合数量积的定义与法则即可得到结果.【详解】I,向量a与Z?夹角为：，且|«|=1 >|2a—Z?|=^3,p*一外=3，即4a2-4a-b+b2=3••.4一2种+祥=3,所以\b\=l,故选：C【点睛】本题考查利用数量积求模，考查数量积定义与运算法则，考查运算能力.7.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题，松长三尺，竹长一尺,松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的a,。
河南金科新未来2024年高二下学期期末质检数学试题+答案
金科·新未来2023~2024学年度下学期期末质量检测高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{}n a 满足3616a a +=，且534a a −=，则首项1a =（）A ．1−B ．0C ．1D ．32．已知曲线()ln 2f x ax x =+−在点()()1,1f 处的切线方程是2y x b =+，则b =（）A ．3−B ．2−C ．1D ．-13．在各项为正的等比数列{}n a 中，8a 与10a 的等比中项为2，则26212log log a a +=（ ）A ．4 B ．3C ．1D ．24．函数()()321303f x x x x x =−−≤的最大值是（ ）A ．53B ．0C ．2D ．35．已知双曲线2222:1x y C a b−=的一条渐近线与圆22:(25E x y −+=相交于,A B 两点，且8AB =，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 6．若函数()22e xf x ax =−在区间()2,1−−上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．[)2e,+∞B ．41,2e−+∞C ．21,e−∞−D ．21,0e−7．已知*211,,212nn n a b n n n∈==−+N ，数列{}n a 与数列{}n b 的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列{}n c ，则数列{}n c 的前99项和为（ ） A ．12B ．99199C ．99197D ．1981998．在平面坐标系xOy 中，一个质点从原点出发，每次移动一个单位长度，且上下左右四个方向移动的概率相等，若该质点移动6次后所在坐标为()2,0，则该质点移动的方法总数为（ ） A ．120B ．135C ．210D ．225二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（ ） A ．{}n n a b +不可能为等比数列 B ．{}n n a b 可能为等差数列 C ．n S n是等差数列D ．2n n T是等比数列 10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是C 上位于第一象限的动点，点M 为l 与x 轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A ．F 到直线l 的距离为2B ．以P 为圆心PF 为半径的圆与l 相切C ．直线MP 斜率的最大值为2D ．若FM FP =，则FMP △的面积为211．已知函数()()e ,ln xf x xg x x x =−=−，则下列说法正确的是（ ） A ．()exg 在()0,+∞上是增函数B ．1x ∀>，不等式()()2ln f ax f x≥恒成立，则正实数a 的最小值为2eC ．若()f x t =有两个零点12,x x ，则120x x +>D ．若()()12(2)f x g x t t ==>，且210x x >>，则21ln tx x −的最大值为1e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知变量x 和y 的统计数据如下表：x 1 2 3 4 5 y 1.5 2 m 4 4.5若由表中数据得到经验回归直线方程为 0.80.6x y =+，则m =_________．13．已知函数()2e xf x ax =−，若()f x 的图象经过第一象限，则实数a 的取值范围是_________．14．不透明的袋子中装有2个白球，3个黑球（除颜色外，质地大小均相同），学生甲先取出2个球（不放回），学生乙在剩下的3个球中随机取一个，已知甲至少取走了1个黑球，则乙取出白球的概率为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，111a =−，且256,,a a a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n S 为{}n a 的前n 项和，求n S 的最小值． 16．（本小题满分15分）如图，在三棱锥P ABC −中，AB ⊥平面,,PAC E F 分别为,BC PC 的中点，且22PA AC AB ===．（1）证明：PC ⊥平面ABF ；（2）若AC PA ⊥，求平面AEF 与平面PAC 的夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分）某学校食堂提供甲、乙、丙三种套餐，每日随机供应一种，且相邻两天不重复．已知食堂今天供应套餐甲， （1）求接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率；（2）用随机变量X 表示接下来的三天中食堂供应套餐乙的天数，求X 的分布列与期望． 18．（本小题满分17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，，过F 的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，当AB OF ⊥时，AB =．（1）求C 的方程；（2）过F 的另一条直线交C 于,D E 两点，设直线AB 的斜率为()110k k ≠，直线DE 的斜率为2k ，若122k k =，求AB DE −的最大值．19．（本小题满分17分）已知函数()()()e 1,ln 1xf xg x x =−=+．（1）若()()f x kg x ≥在()0,+∞上恒成立，求k 的取值范围；（2）设()()111,0A x y x >为()y f x =图象上一点，()()222,0B x y x >为()y g x =−图象上一点，O 为坐标原点，若AOB ∠为锐角，证明：221x x >．金科·新未来2023~2024学年度下学期期末质量检·高二数学参考答案、提示及评分细则题号 1 2 3 45 6 7 891011答案 C A D A D B B D BC ABD ABD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3616a a +=，且534a a −=，所以36153271624a a a d a a d +=+= −== ，所以112a d ==．故选C ． 2．【答案】A【解析】函数()ln 2f x ax x =+−，求导得()1f x a x′=+，依题意，()112f a +′==，得()1,ln a f x x x ==+−2，显然()11f =−，因此12b −=+，所以3b =−．故选A ．3．【答案】D【解析】因为8a 与10a 的等比中项为2，所以281024a a ==，所以()()26212261228102log log log log log 42a a a a aa +=⋅=⋅==．故选D ．4．【答案】A 【解析】因为()()321303f x x x x x =−−≤，所以()223f x x x =−−′，令()0f x ′>，得1x <−，令()0f x ′<，得10x −<<，所以函数()f x 在(),1−∞−上单调递增，在()1,0−上单调递减，所以()f x 的最大值是()513f −=．故选A ． 5．【答案】D【解析】根据题意得，圆心E 到C 的渐近线的距离为3,=∴设渐近线方程为by x a=，则223,9,b e a =∴=，故选D ． 6．【答案】B【解析】依题意，()222e0xf x ax =−≤′在()2,1−−恒成立，即2e x a x ≥恒成立，设()2e xg x x=，则()()22e 21x x g x x′−=，所以()0g x ′≤，所以()g x 在()2,1−−单调递减，所以()4122e a g ≥−=−，故选B ． 7．【答案】B【解析】因为数列{}21n −是正奇数数列，对于数列{}22n n +等价于{}2(1)1n +−，当n 为奇数时，设()*21n k k =−∈N ，则22(1)141n k +−=−为奇数；当n 为偶数时，设()*2n k k =∈N ，则()22(1)1(21)141n k k k +−=+−=+为偶数，所以()()22111111,4141212122121nnc c n n n n n n====−−−−+−+，所以129911111111991123351971992199199c c c +++=×−+−++−=×−=，故选B ． 8．【答案】D【解析】情形一，质点往右移动4次，往左移动2次，26C 15=，情形二，质点往右移动3次，往左移动1次，往上移动一次，往下移动一次，3363C A 120=， 情形三，质点往右移动2次，往上移动2次，往下移动2次，2264C C 90=， 所以质点移动的方法总数为225，故选D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】BC （全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）【解析】对于A ，当{}n a 为常数列，且0n a =时，因为{}n b 是等比数列，所以{}n n a b +为等比数列，所以A 错误．对于B ，当{}n b 为常数列时，因为{}n a 为等差数列，所以{}n n a b 为等差数列，所以B 正确． 对于C ，设{}n a 的公差为d ，则()112n n n S na d +=+，得()112nn Sa d n +=+，因为1112n n S S d n n +−=+，所以数列n S n是等差数列，所以C 正确． 对于D ，设{}n b 的公比为q ，则1111112122222n n n n n n n n n nT T b b q T T +++++⋅，当1q ≠时，112n b q 不是常数，所以2n n T 不是等比数列，所以D 错误．故选BC ．10．【答案】ABD （全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分） 【解析】易知()1,0F ，准线:1l x =−，所以F 到直线l 的距离为2，A 选项正确；由抛物线的定义，点P 到准线的距离等于PF ，所以以P 为圆心PF 为半径的圆与l 相切，B 选项正确； 当直线MP 与抛物线相切时，MP 的斜率取得最大值．设直线:1MP x my =−，与抛物线24y x =联立可得：2440y my −+=，令2Δ16160m =−=得：1m =±，所以直线MP 斜率的最大值为1，C 选项错误；若2FM FP ==，设200,4y P y，则2124y +=，解得02y =，所以FMP △的面积为01222y ××=，D 选项正确，故选ABD ． 11．【答案】ABD （全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分） 【解析】A 项中，令e xt =，则ln x t =，由()0,x ∈+∞知1t >，此时函数为1ln ,10y t t y t′=−=−>，所以函数ln y t t =−在()1,+∞上是单调增函数，即()exg 在()0,+∞上是增函数，所以A 项正确；B 项中，1x >时，2ln 0x >，又a 为正实数，所以0ax >，又()e 10x f x =′−>，所以()f x 单调递增，所以不等式等价于2ln ax x ≥对1x ∀>恒成立，即max2ln x a x ≥，令()2ln x x x ϕ=，知()222ln x x x ϕ−′=，所以()x ϕ在()1,e 上递增，在()e,+∞上递减，所以()()max 2()e ex ϕϕ==，所以B 项正确；C 项中，易知()e x f x x =−在(),0−∞上递减，在()0,+∞上递增，()min()01f x f ==，所以1t >，不妨设12x x <，则必有120x x <<，若12x x +> 0，则等价于210x x >−>，等价于()()21f x f x >−，等价于()()11f x f x >−，令()()()F x f x f x =−−，()()()(),0,e e 20x x x F x f x f x −′′′∈−∞=+−=+−>，即()F x 在(),0−∞上递增，所以()()00F x F <=，则()1,0x ∈−∞时，()()11f x f x <−，所以120x x +>不成立，即C 错误；D 项中，由()e xf x x =−在(),0−∞上递减，在()0,+∞上递增，()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，易知()()f x g x =有唯一的解()00,1x ∈，又()1e 12f =−<，所以211x x >>，由()()12f x g x =，即12ln 1222e ln e ln x x x x x x −=−=−，即有()()12ln f x f x =，所以12ln x x =，即12e x x =，所以1211ln ln ln e x t t tx x x t ==−−，又2t >，所以21min ln 1e t x x =− ，所以D 正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】3【解析】易知3x =，经验回归直线 0.80.6x y =+过样本点的中心(),x y ，所以0.830.63y =×+=，所以524 4.3.515m ++++=×，解得3m =．13．【答案】e ,2+∞【解析】由()f x 的图象经过第一象限，得0x ∃>，使得()0f x >，即e 2xa x>，设()e (0)x g x x x =>，求导得()()2e 1x x g x x =′−，当01x <<时，()0g x ′<，当1x >时，()0g x ′>，函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()min ()1e g x g ==，有2e a >，所以实数a 的取值范围是e ,2+∞．14．【答案】49【解析】甲取走1个黑球1个白球的方法数为1123C C 6=，取走2个黑球的方法数为23C 3=，所以乙取出白球的概率为613246336339P=×+×=++． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．【答案】（1）213na n =−（2）36− 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则25611,114,115a d a d a d =−+=−+=−+， 依题意，2526a a a =，即()()2(114)11115d d d −+=−+−+，整理得，()1120d d −=， 解得，2d =或0d =（舍）， 所以()1121213n a n n =−+−=−； （2）21112131222nn a a n S n n n n +−+−=×=×=−， 因为2212(6)3636n S n nn =−=−−≥−， 当且仅当6n =时，等号成立， 所以n S 的最小值为36−．16．【答案】（1）略（2【解析】（1）因为F 为PC 的中点，PA AC =，所以PC AF ⊥， 因为AB ⊥平面,PAC PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥，又,,AF AB A AF AB =⊂ 平面ABF ； 所以PC ⊥平面ABF ；（2）若AC PA ⊥，则,,AB AC AP 两两垂直，建立如图所示分别以,,AB AC AP 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，()()()()10,0,0,,1,0,0,1,1,1,0,0,0,2,02A E F B C，()()()10,2,0,,1,0,0,1,1,1,0,02ACAE AF AB ====，设平面AEF 的法向量为()111,,n x y z = ，则有0,0,AE n AF n ⋅=⋅=即111110,20,x y y z +=+=令11y =，则112,1x z =−=−， 所以平面AEF 的一个法向量为()2,1,1n =−−，易知AB ⊥平面,PAC ∴平面PAC 的法向量为()1,0,0AB =，设平面AEF 与平面PAC 夹角为θ，则cos AB n AB nθ⋅==⋅， 所以平面AEF 与平面PAC． 17．【答案】（1）14 （2）98【解析】（1）记事件A =“接下来的三天中食堂都未供应套餐甲”，则()1111224P A =××=，所 以接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率为14； （2）X 的所有可能取值分别为0，1，2， 则()111102228P X ==××=， ()11121224P X ==××=()11511488P X ==−−=X 的分布列为所以X 的期望为()151********E X =×+×+×=． 18．【答案】（1）2212x y +=（2【解析】（1）设焦距为2c ，当AB OF ⊥时，将x c =代入椭圆方程可得，22221c y a b +=，解得2b y a =±， 所以22b AB a==c a =，解得1a b ，所以C 的方程为2212x y +=；（2）设直线()()11112211:1,,,,AB x m y m A x y B x y k=+=， 与椭圆线方程联立1221220x m y x y =+ +−=可得，()22112210m y m y++−=， 由韦达定理，11212221121,22m y y y y m m −−+==++，所以2AB y =−=21112m − +，同理可得，22112CD m =− +，2212AB DE m −=−+，因为122k k =，所以212m m =，故21142AB DE m −=−=+1≤， 当且仅当11k =±时，等号成立，所以||AB DE −的最大值为． 19．【答案】（1）1k ≤（2）略【解析】（1）先证明()f x x >，构造函数()()e 1x F x f x x x =−=−−， 则()e 10xF x =′−>，故()F x 单调递增，从而()()00F x F >=， 即e 1xx >+，因此()ln 1x x >+， 当1k ≤时，()()ln 1ln 1e 1xk x x x +≤+<−，符合题意； 当1k >时，构造函数()()()()e 1ln 1x G x f x kg x k x −−−+， 则()()e ,1x k G x G x x ′=−+′单调递增，且()()010,ln 01ln k G k G k k k =′′−<=−>+， 故存在()00,ln x k ∈，使得()00G x ′=，且()00,x x ∈时，()0G x ′<，即()G x 单调递减， 则当()00,x x ∈时，()()00G x G <=，与题意矛盾． 综上所述，1k ≤；（2）依题意可知，cos 0AOB ∠>，则0OA OB ⋅> ，即12120x x y y +>，即()()1122e 1ln 1x x x x >−+． 因为12,0x x >，则不等式为()1212ln 1e 1x x x x +>−， 设11e 1x x =′−，则不等式为()()22ln 1ln 11x x x x +++′>′， 设()()ln 1x h x x+=，则()()2ln 11x x x h x x −+′+=， 设()()ln 11x H x x x =−++，则()22110(1)1(1)x H x x x x ′−=−=<+++， 因此()()00H x H <=，即()0h x ′<，即()h x 单调递减，因此()()12h x h x ′>，可得12x x ′<，即12e 1xx <+． 首先证明：2e 1(0)x x x >+>， 设()2e 1x t x x =−−，则()e 2x t x x =′−， 由（1）可知1e 1,e x x x x −>+∴>，从而e e 2x x x >>，故()()0,t x t x ′>单调递增， 因此()()00t x t >=，从而2e 1x x >+， 因而12211e 1x x x +>>+，故221xx >．。
2020届湘豫名校高三联考(6月)数学(文)试题(解析版)
2020届湘豫名校高三联考（6月）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{(2)0}M xx x =-<∣，{2,1,0,1,2}N =--，则M N =（ ）A ．{0，1}B ．{－2，－1}C ．{1}D ．{0，1，2}【答案】C【解析】先求{(2)0}={02}M xx x x x =-<<<∣∣，再和{2,1,0,1,2}N =--直接求交集即可得解. 【详解】由{(2)0}={02}M xx x x x =-<<<∣∣， {2,1,0,1,2}N =--，可得{}1M N ⋂=， 故选：C. 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了一元二次不等式的计算，属于基础题. 2．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】B【解析】先根据复数的除法表示出z ，然后根据z 是纯虚数求解出对应的a 的值即可. 【详解】因为()122i z ai -=+，所以()()()()()21222421212125ai i a a iai z i i i ++-+++===--+， 又因为z 是纯虚数，所以220a -=，所以1a =. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数z a bi =+为纯虚数，则有0,0a b =≠.3．已知向量(3,1)a =，(21,)b k k =-，且()a b a +⊥，则k 的值是（ ）A ．1-B ．37C ．35D ．35【答案】A【解析】求出(22,1)a b k k +=++，再结合向量垂直的坐标运算求出得解. 【详解】由题意得(22,1)a b k k +=++，∵()a b a +⊥， ∴3(22)(1)0k k +++=，解得1k =-. 故选:A.本题考查向量的坐标运算，属于基础题.4．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．14B ．38C ．12D ．58【答案】B【解析】分析总的基本事件的个数和所求基本事件的个数，按照古典概型的概率公式即可求出结果. 【详解】从写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数为4416⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为()2,1，()3,1，()3,2，()4,1，()4,2，()4,3共6个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为63168=. 故选：B . 【点睛】本题考查古典概型的概率公式，考查不放回抽取求基本事件，属于基础题. 5．设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos 4csin a C A =，已知ABC 的面积等于10，4b =，则a 的值为（ ）A ．233B ．283C ．263D ．253【答案】D【解析】先利用正弦定理化简3cos 4csin a C A =，可得3sin 5C =，然后利用三角形的面积为10，列方程可求出a 的值【详解】3cos 4sin a C c A =，∴由正弦定理可得3sin cos 4sin sin A C C A =，sin 0A ≠，3cos 4sin C C ∴=，即4cos sin 3C C =，222221625sin cos sin sin sin 199C C C C C ∴+=+==， 解得，3sin 5C =或3sin 5C =-（舍去）4b =，ABC 的面积11310sin 4225S ab C a ===⨯⨯⨯，∴解得253a =. 故选：D 【点睛】此题考查了正弦定理、同角三角函数的关系、三角形的面积公式等知识，属于基础题. 6．如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，22ED FC ==，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A ．13B ．5 C ．310D ．23【答案】C【解析】根据题意画出图形,取ED 中点P ,连接,AP PF ,可得//AP BF ,故EAP ∠为异面直线AE 与BF 所成角,结合已知,即可求得答案. 【详解】根据题意画出图形,取ED 中点P ,连接,AP PF//PD FC 且PD FC =∴四边形PDFC 是平行四边形 ∴//PF DC 且PF DC =又四边形ABCD 是的正方形可得//AB DC 且AB DC = 故//AB PF 且AB PF =∴四边形ABPF 是的平行四边形 ∴//BF AP 且BF AP =故EAP ∠为异面直线AE 与BF 所成角 在Rt APD 根据勾股定理可得:2222215AP AD DP =+=+=在Rt EAD 根据勾股定理可得:22222222AE AD ED =+=+=在EAP 中根据余弦定理:2222cos EP EA AP EA AP EAP =+-⋅⋅∠可得：222cos 2EA AP EP EAP EA AP+-∠=⋅222523105===⋅⋅⋅ 故选:C 【点睛】本题考查求异面直线夹角,解题关键是掌握异面直线夹角的定义和将异面直线夹角转化为共面夹角的求法,考查分析能力和计算能力,属于中档题.7．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先根据函数奇偶性排除B ，再根据函数极值排除A ；结合特殊值即可排除D ，即可得解. 【详解】函数2()ln(1)x xe ef x x --=+， 则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项； 当x →+∞时，2()ln(1)x xe ef x x --=→+∞+，所以排除A 选项； 当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+， 排除D 选项；综上可知，C 为正确选项， 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题.8．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-【答案】A【解析】列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值. 【详解】18i =≤满足，执行第一次循环，()120111S =+-⨯=-，112i =+=； 28i =≤成立，执行第二次循环，()221123S =-+-⨯=，213i =+=； 38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=； 68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=； 98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.9．若将函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移23π个单位长度后与原函数的图象关于x 轴对称，则ω的最小正值是（ ） A ．32B ．3C ．92D ．6【答案】A【解析】求出平移后图象对应的解析式，利用其与()f x 的关系结合诱导公式可求ω的最小值. 【详解】()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移23π个单位长度，得到()2sin 36g x x ππω⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()g x 与()f x 关于x 轴对称，则()()0g x f x +=，令6x πωα+=，则2sin sin 03ωπαα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即2sin sin 3ωπαα⎛⎫=- ⎪⎝⎭对任意的α∈R 恒成立，于是22,3k k Z ωπααππ⎛⎫+-=+∈ ⎪⎝⎭， 故223k ωπππ=+()k ∈Z ，解得332k ω=+（k ∈Z ），故ω的最小正值是32， 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数中的图象变换以及诱导公式，注意两个角的正弦相等时，这两个角的终边要么重合，要么关于y 轴对称，本题属于中档题.10．已知O 为直角坐标系的坐标原点，双曲线C ：22221x y a b-=（0b a >>）上有一点)Pm （0m >），点P 在x 轴上的射影恰好是双曲线C 的右焦点，过点P 作双曲线C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A ，B ，若平行四边形PAOB 的面积为34，则双曲线的标准方程是（ ） A ．2214yx -= B ．22123x y -= C ．2211922x y -= D ．2213722x y -=【答案】C【解析】由已知联立方程(b y x a b y m x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩求得A x ，则A OA x =，利用点到直线的距离公式求得P 到直线b y x a =的距离d ，根据面积公式34OA d ⋅=，化简计算求得,a b 即可得出结果. 【详解】据题意，双曲线的半焦距c =可设一条平行线方程为(b y m x a -=-，由(b y x ab y m x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得A x =则OA =P 到直线b y x a =的距离d =，2225324b m a ab-==， 又22222222515m b a m a b a b-=⇒-=，∴32ab =，又c =2a =，2b =，所以双曲线的标准方程是2211922x y -=， 故选:C. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质、双曲线的渐近线及待定系数法求双曲线方程，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.11．已知圆锥1SO 的顶点和底面圆周均在球O 的球面上，且该圆锥的高为8.母线12SA =，点B 在SA 上，且2SB BA =，则过点B 的平面被该球O 截得的截面面积的最小值为（ ）A ．27πB ．32πC ．45πD ．81π【答案】B【解析】设球半径为R ，由题意可得11,OA SO AO ，的长，在1O OA 中由勾股定理可求得R,取AS 中点N ，由已知条件可得OB 长，当截面圆面积最小时，当且仅当OB 垂直于截面，由勾股定理可得截面圆的半径，进而求得面积. 【详解】如图,球的球心为O ，半径为R ，则18SO =，OA R =，221145AO SA SO =-=，所以22211OA OO AO=+，即()()222845R R =-+，解得9R =，取SA 的中点N ，12SA =，2SB BA =，则2BN =， 所以2235ON R AN =-=，227OB ON BN =+=，过点B 的平面被该球O 截，若截面面积最小，则OB 垂直于截面，此时截面圆半径为2242r R OB =-=，所以截面面积的最小值为232r ππ=.故选：B.【点睛】本题考查被球截得的截面面积最小值的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．12．已知函数2ln ,0,(),0,x x f x x ax x >⎧=⎨--⎩若方程()0f x x a --=有3个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(2,1)--C ．(1,0)-D ．(,1)-∞-【答案】D【解析】当0x >时求出直线y x a =+与曲线ln y x =相切时得1a =-.再分别讨论1a <-，1a >-方程解的个数得解. 【详解】当直线y x a =+与曲线ln y x =相切时， 设切点为(,ln )t t ，则切线斜率1(ln )1x tk x t'====， 所以1t =，即10a +=，解得1a =-.又当0x ≤时，()()()10f x x a x x a =+⇔++=.所以：（1）当1a =-时，ln x x a =+（0x >）有1个实数根，此时()()()100x x a x ++=≤有1个实数根，不满足题意；（2）当1a <-时，ln x x a =+（0x >）有2个实数根，此时()()()100x x a x ++=≤有1个实数根，满足题意；（3）当1a >-时，ln x x a =+（0x >）无实数根，此时()()()100x x a x ++=≤最多有2个实数根，不满足题意. 综上得1a <-， 故选:D 【点睛】本题考查函数与方程,讨论根的个数求解参数范围问题，属于基础题.二、填空题13．已知函数()()2log 3,021,0x x x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，若()112f a -=，则实数a =______.【答案】2log 3【解析】利用分段函数解析式列方程，解方程求得a 的值. 【详解】当0x ≤时，33x -≥，()2221log 3log 3log 2x -≥>=. 所以10a ->，故()1122133121,2,1log log 31222a a f a a ---=-==-==-，所以2log 3a =. 故答案为：2log 3【点睛】本小题主要考查根据分段函数函数值求参数，属于基础题.14．若sin 2cos αα=，则22sin 22cos 2sin(4)ααπα-=-__________. 【答案】112【解析】根据同角公式得到tan 2α=，再根据二倍角公式得到4tan 23α=-，将所求式子用tan2α表示即可得到结果. 【详解】sin 2cos αα=，tan 2α∴=，则22tan 4tan 21tan 3ααα==--. 2222222sin 22cos 2sin 22cos 2sin 22cos 2tan 22sin(4)sin 42sin 2cos 22tan 2αααααααπααααα----∴===-2421341223⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭.故答案为：112. 【点睛】本题考查了同角公式、诱导公式、二倍角的正弦、正切公式，属于基础题.15．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>2，点P 为椭圆上任意一点，则1214PF PF +的最小值是______. 【答案】94【解析】根据离心率以及短轴长，求得12PF PF +，再利用均值不等式，即可求得和的最小值. 【详解】据题意c a =1b =，解得2a =，c =1224PF PF a +==，所以()121212141144PF PF PF PF PF PF ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭∣(2112411955444PF PF PF PF ⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当212PF PF =，即283PF =，143PF =时等号成立. 故答案为：94. 【点睛】本题考查椭圆中的最值，涉及椭圆定义以及均值不等式的使用，属综合中档题. 16．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，它的内切圆的半径为______.1【解析】ABC ，6AC =，sin 2sin C A =,即2ca=．根据阿波罗尼斯圆可得：点B 的轨迹为圆, 以线段AC 中点为原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系,求出B 的轨迹方程，当ABC 面积最大时，AC 边上的高为圆的半径4,进而求得ABC 的面积，根据内切圆的性质，计算可得半径，进而得出结论． 【详解】∵sin 2sin C A =，∴sin 2sin AB CCB A==为非零常数，故点B 的轨迹是圆. 以线段AC 中点为原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则()30A -,，()3,0C ，设(),B x y ， ∵2AB CB ==，221090x y x +-+=，整理得()22516x y -+=，因此，当ABC 面积最大时，AC 边上的高为圆的半径4.此时BC ==，AB =设内切圆的半径为r ，则()1164622r ⨯⨯=⨯，解得1r ==.1 【点睛】本题考查了阿波罗尼斯圆的应用、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．已知数列{}n a 中，11a =，0n a >，前n 项和为n S ，若n a =*n N ∈，且2n ≥）.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记132nn n a c +-=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）2n nn T =.【解析】（11=，再求出2n S n =即得解；（2）求出22n nnc -=，再利用错位相减法求数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】（1）数列{}n a 中，1n n n a S S -=-（n *∈N ，且2n ≥）①，又n a n *∈N ，且2n ≥）②，÷①②()12n =≥，则数列1=为首项，公差为1的等差数列，()11n n =+-=，则2n S n =，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，11a =也符合该式， 则21n a n =-.（2）由（1）的结论得，21n a n =-，则13222n n n n a nc +--==； 则2310122222n nnT --=++++，∴2341110132222222n n n n nT +---=+++++， 两式错位相减可得：2312311111121111222222222222n n n n n n nT ++-----⎛⎫=++++-=-+++-⎪⎝⎭ 21111112222122212n n n n n ++-⋅-=--=-，∴2n n nT =.【点睛】本题主要考查等差数列的判定和数列通项的求法，考查错位相减法对数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.18．如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==.（1）证明：平面ABM ⊥平面ABCD ；（2）若//CD AB ，2CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求三棱锥D CEM -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）29. 【解析】（1）先根据边长关系得AB AM ⊥，AD AM ⊥，从而证明AM ⊥平面ABCD ，再证明平面ABM ⊥平面ABCD ； （2）连接BD ，由2BE EM =得13DEM MDB S S =△△，再用等体积转化求解即可. 【详解】（1）∵在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==∴222AB AM BM +=，222AD AM DM +=，∴AB AM ⊥，AD AM ⊥，∵AD AB A ⋂=，∴AM ⊥平面ABCD又AM ⊂平面ABM ，所以平面ABM ⊥平面ABCD .（2）连接BD ，∵2BE EM =，∴13DEM MDB S S =△△， 于是1133D CEM C DEM C DBM M BCD V V V V ----===， 又∵CDAB ，AB AD ⊥，∴CD AD ⊥，∴1112122CDB S CD AD =⨯⨯=⨯⨯=△， ∴11212333M BCD BCD V S MA -=⋅=⨯⨯=△， 即1239D CEM M BCD V V --==. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，等体积转化求几何体的体积，考查逻辑推理能力与数学运算能力，是中档题.19．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点(),2A a ，点P 为抛物线C 上的动点. （1）若PA PF +的最小值为4，求实数a 的值；（2）设线段OP 的中点为M ，其中O 为坐标原点，若MOA MAO AOF ∠=∠=∠，求OPA 外接圆的方程.【答案】（1）3或123-（2）()()22228x y -+-=.【解析】（1）对线段AF 与抛物线C 是否有公共点进行分类讨论，利用抛物线的定义以及三点共线可得出PA PF +的最小值，进而可求得实数a 的值；（2）推导出//MA x 轴且MO MA MP ==，设点(),2M t ，可得点()2,4P t ，将点P 的坐标代入抛物线C 的方程，求得t 的值，进而可求得OPA 外接圆的方程.【详解】（1）由题意()1,0F ，联立224y y x =⎧⎨=⎩，可得12x y =⎧⎨=⎩.①若线段AF 与抛物线C 没有公共点，即1a >时，点P 在抛物线准线1x =-上的射影为D ，由抛物线的定义可得PD PF =， 则当A 、D 、P 三点共线时，PA PF +的最小值为()14AD a =--=，此时3a =； ②若线段AF 与抛物线C 有公共点，即1a ≤时，则当A 、P 、F 三点共线时，PA PF +的最小值为()22124AF a =-+=，此时123a =-，综上，实数a 的值为3或13-（2）因为MOA MAO AOF ∠=∠=∠，所以//MA x 轴且MO MA MP ==，设(),2M t ，则()2,4P t ，代入抛物线C 的方程得816t =，解得2t =，于是22MO MA MP ===，所以OPA 外接圆的方程为()()22228x y -+-=. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求折线段长度之和的最小值，同时也考查了三角形外接圆方程的求解，考查计算能力，属于中等题.20．为推进中小学体育评价体系改革，某调研员从一中学4000名学生中按照男女学生比例采用分层抽样的方法，从中随机抽取了400名学生进行某项体育测试（满分100分），记录他们的成绩，将记录的数据分成7组：(]30,40，(]40,50，(]50,60，(]60,70，(]70,80，(]80,90，(]90,100，并整理得到如图频率分布直方图.（1）根据该频率分布直方图，估计样本数据的中位数及4000名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（精确到0.01）；（2）已知样本中有三分之二的男生分数高于60分，且分数高于60分的男女人数相等，试估计该校男生和女生人数的比例；（3）若测试成绩2x x s <-（其中x 是成绩的平均值，s 是标准差），则认为该生测试成绩不达标，试估计该中学测试成绩不达标人数. 参考公式：()221nii i s x x p ==-∑（i p 是第i 组的频率）1.4≈10.8≈.【答案】（1）中位数为71.67，平均数为69；（2）9:7；（3）175.【解析】（1）根据中位数是频率分布直方图中使得两边面积相等数求解即可；平均数用每组中点值乘以每组的频率求解即可；（2）根据频率分布直方图计算出样本中高于60分的人数，在根据题意得到样本中男生的总人数为225人，女生的总人数175，再根据分层抽样得男女比例；（3）根据公式计算方差得标准差，再计算2x x s <-的范围，结合频率分布直方图得到不达标的占比，再估算即可. 【详解】解：（1）前4组的频率和为0.050.10.10.20.45+++=， 故中位数为0.055707071.670.033+=+≈ 4000名学生的平均成绩为：0.05350.1450.1550.2650.3750.2850.059569⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）由频率分布直方图得样本中高于60分的人数占总人数的0.75， 又因为分数高于60分的男女人数相等，故高于60分的男生、女生人数均为4000.750.5150⨯⨯=人， 又因为样本中有三分之二的男生分数高于60分， 所以样本中共有男生的21502253÷=人，女生175人， 又因为样本是按照男女学生比例采用分层抽样的方法得到， 故该校男生和女生人数的比例为225:1759:7=； （3）()()()2222135690.0545690.1nii i s x x p ==-=-⨯+-⨯∑()255690.1+-⨯()()2265690.275690.3+-⨯+-⨯()()2285690.295690.05234+-⨯+-⨯=所以15.12s ==≈，26915.12238.76x s -=-⨯=故测试成绩2x x s <-占比为0.050.8760.0438⨯=，该中学测试成绩不达标人数约为0.0438*******⨯≈. 【点睛】本题考查样本估计总体的相关知识，是中档题. 21．已知函数()ln 2f x x kx =++. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()2x e g x x ax=-+，当1k =-且202e a <≤，求证：()()g x f x >.【答案】（1）当0k ≥时()f x 在()0,∞+递增；当k 0<时()f x 增区间为10,k ⎛⎫-⎪⎝⎭；减区间为1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（2）证明见解析. 【解析】（1）根据函数解析式，求得定义域及导函数，讨论k 的取值情况，即可判断导函数符号，进而可得函数()f x 的单调区间；（2）将1k =-代入解析式，并将两个解析式代入不等式化简可得21ln 2xe e x >.当01x <<易证不等式成立，当1x >时，结合202e a <≤可将不等式化为21ln 2x e e x >，构造函数()22ln x e h x x x-=-，并求得()h x '，再构造函数()()221x x e x x -Φ=--，并求得()x Φ'.根据零点存在定理可证明存在()01,2x ∈使得()00x Φ'=，即()x Φ在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增；由()110Φ=-<，()20Φ=，可证明()h x 的单调情况，进而可知()h x 在2x =处取得最小值，即证明()()20h x h ≥>即可证明()()g x f x >成立. 【详解】（1）函数()ln 2f x x kx =++. 函数定义域为()0,∞+，()1+1kx f x k x x'=+= 当0k ≥时，可知()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+单调递增； 当k 0<时，令()0f x '=， 解得1x k=-，所以当10x k<<-时，()0f x '>； 当1x k>-时()0f x '<； 故此时()f x 单调增区间为10,k ⎛⎫-⎪⎝⎭；单调减区间为1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭； 综上所述：当0k ≥时()f x 在()0,∞+递增； 当k 0<时()f x 增区间为10,k ⎛⎫-⎪⎝⎭；减区间为1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. （2）证明：将1k =-代入函数解析式可得()ln 2f x x x =-+，()2xe g x x ax=-+，定义域为()0,∞+，要证()()g x f x >，即证ln x e ax x >，①当01x <≤时，e 1x >，ln 0ax x ≤，不等式显然成立， ②当1x >时，ln 0x x >，结合已知2102a e <≤可得，210ln ln 2ax x e x x <≤， 于是转化为21ln 2xe e x >，即证22ln 0x e x x-->，令()22ln x e h x x x -=-，则()()2221x e x x h x x ---'=， 令()()221x x e x x -Φ=--，则()221x x xe -'Φ=-，且在()0,∞+上单调递增，∵()2110e'Φ=-<，()230'Φ=>，存在()01,2x ∈使得()00x Φ'=，即02021x x e -=，∴()x Φ在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 又()110Φ=-<，()20Φ=，故当()1,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， ∴()()21ln 20h x h ≥=->， 故()0h x >，得证()()g x f x >. 【点睛】本题考查了利用导数分类讨论函数的单调性，通过构造函数法及导函数的符号判断函数的单调性，由零点存在定理判断极值点和极值，进而证明不等式成立，是高考的常考点，综合性强，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点M 的极坐标为()4,0，射线04πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭分别交1C 、2C 于A 、B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α.【答案】（1）4cos ρθ=；()2224x y +-=（或2240x y y +-=）；（2）1tan 2α=. 【解析】（1）在曲线1C 的参数方程中消去参数ϕ，可得曲线1C 的直角坐标方程，再由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将曲线1C 的直角坐标方程化为极坐标方程，在曲线2C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，得出24sin ρρθ=，再由极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点A 、B 的极坐标分别为()1,A ρα、()2,B ρα，将θα=分别代入曲线1C 、2C 的极坐标方程，可得14cos ρα=，24sin ρα=，进而可得出4cos 4sin AB αα=-及4sin AM α=，再由AB AM =可求得tan α的值.【详解】（1）22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），得22cos 2sin x y ϕϕ-=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）， ∴曲线1C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=.cos x ρθ=，sin y ρθ=，24cos 0ρρθ∴-=，所以，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，即24sin ρρθ=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以，曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程得224x y y +=，即()2224x y +-=；（2）依题意设()1,A ρα、()2,B ρα， 由4cos θαρθ=⎧⎨=⎩得14cos ρα=，由4sin θαρθ=⎧⎨=⎩得24sin ρα=， 04πα<<，12ρρ∴>，124cos 4sin AB OA OB ρραα∴=-=-=-. OM 是圆1C 的直径，2OAM π∴∠=. 在Rt OAM 中，4sin AM α=，在Rt BAM 中，4AMB π∠=，AB AM ∴=，即4cos 4sin 4sin ααα-=，4cos 8sin αα∴=，即1tan 2α=.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的相互转化，同时也考查了利用极坐标方程解决实际问题，考查计算能力，属于中等题.23．已知x ，y ，z 均为正数.（1）若1xy <，证明：4x z y z xyz +⋅+>；（2）若13xyz x y z =++，求2222xy y xx ⋅⋅的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）8.【解析】（1）利用基本不等式可得|x |2242z y z xz yz z xy +⋅+≥=01xy <<时，即可证明4x z y z xyz +⋅+>；（2）由xyz x y z ++＝13, 得1113yz xz xy ++=，然后利用基本不等式即可得到3xy yz xz ++≥，从而求出2222xy y xx ⋅⋅的最小值.【详解】（1）∵x ，y ，z 均为正数，∴()()4x z y z x z y z +⋅+=++≥=，当且仅当x y z ==时取等号.又∵01xy <<，∴44xyz >， ∴4x z y z xyz +⋅+>.（2）∵13xyz x y z =++， 即1113yz xz xy++=.∵12yz yz +≥=，12xz xz +≥=，12xy xy +≥=， 当且仅当1x y z ===时取等号， ∴1116xy yz xz xy yz xz+++++≥， ∴3xy yz xz ++≥，∴22228xy yx xz xy yz xz ++⋅⋅=≥，∴2222xy y xx ⋅⋅的最小值为8.【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属于中档题．。
截面问题(含详细解析)
几何体截面问题①定义：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)叫做这个几何体的截面. 截面不唯一，好的截面应包含几何体的主要元素！②画法：常通过“作平行线”或“延长直线找交点”作出完整的截面，作截面是立体几何非常重要的研究课题.③思想：作截面是研究空间几何体的重要方法，它将陌生空问题转化为熟悉的平面问题！技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题； 技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
1．【云南省昆明市2019-2020学年高三下学期1月月考数学】某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为为4π，则该球的半径是（ ）A ．2B ．4C ．D ．【答案】B【解析】设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即截面圆的周长可得42r ππ=，得2r =，故由题意知(222R r =+，即(222216R=+=，所以4R =，故选：B ．2．如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】D 【解析】如图所示，设AB 、BC 、VC 的中点分别为D,E,F ，连接PD,DE,EF,PF. 由题得PD||VB,DE||AC,因为,PD DE ⊆平面DEFP,VB,AC 不在平面DEFP 内， 所以VB||平面DEFP,AC||平面DEFP, 所以截面DEFP 就是所作的平面.由于11||,||,,22PD VB EF VB PD VB EF VB ===, 所以四边形DEFP 是平行四边形， 因为VB=4,AC=2,所以PD=FE=2,DE=PF=1, 所以截面DEFP 的周长为2+2+1+1=6. 故选：D3．【2020届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试题】已知球O 是正四面体A BCD -的外接球，2BC =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ） A ．89π B ．1118πC ．512π D ．49π 【答案】A【解析】由题,设平面α为过E 的球O 的截面,则当OE ⊥平面α时,截面积最小, 设截面半径为r ,球的半径为R ,则222r R d =-,因为正四面体棱长为a ,设过点A 垂直于平面BCD 的直线交平面BCD 于点M ,则DM =,令AM h =,OM x =,则x h R =-,在Rt AMD V 中,222AM DM AD +=,即222h a ⎫+=⎪⎪⎝⎭,则3h a =,在Rt OMD V 中,222DM OM R +=,即222x R ⎫+=⎪⎪⎝⎭,则22213a R R ⎫+-=⎪⎪⎝⎭,解得R =,则x ==, 在Rt OED △中,222OE OM EM =+,因为点E 在线段BD 上,3BD BE =,设BC 中点为N ,则2DM MN =, 所以211333EM BN BC a ===,在Rt OED △中,222OE OM EM =+,即2222111372d a a ⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以22221124729r a a a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,因为2a BC ==, 所以289r =,所以截面面积为289S r ππ==, 故选：A4．【2020届福建省福州市高三适应性练习卷数学理科试题】在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为（ ） A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π【答案】C【解析】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ， 记三角形ABC 的中心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =， 则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =， 连接1O A ，则15O A =，∴2225R x =+.在ABC V 中，取AC 的中点为E ，连接11,O D O E ， 则1132O E AB ==，124DE AC ==，所以1O D =在1Rt OO D V 中，OD = 由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小， 设此时截面圆的半径为r ，则()22222251312r R OD x x =-=+-+=，所以最小截面圆的面积为12π，当截面过球心时，截面面积最大为2R π， 所以21216R π-π=π，228R =， 球的表面积为2112R 4π=π. 故选:C.5．【2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题】正三棱锥P ABC -，Q 为BC 中点， PA =，2AB =，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为（ ）A ．13,45ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[],2ππD ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为正三棱锥P ABC -，PB PC PA ===2AC BC AB ===，所以222PB PA AB +=，即PB PA ⊥，同理PB PC ⊥，PC PA ⊥， 因此正三棱锥P ABC -可看作正方体的一角，如图，记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，O 点即是正方体的外接球球心，所以点O 也是正三棱锥P ABC -外接球的球心，记外接球半径为R ，则2R ==，因为球的最大截面圆为过球心的圆， 所以过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积最大为2max 32S R ππ==；又Q 为BC 中点，由正方体结构特征可得122OQ PA ==；由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过Q 的截面时，截面圆半径最小为1r ==，所以2min S r ππ==.因此，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.6．【2020届湖北省部分重点中学高三第二次联考数学试卷理科试题】如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于4，E ，F 分别是棱AD 、BC 的中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）A ．B ．4C ．D ．6【答案】B【解析】将正四面体补成正方体如图，可得EF ⊥平面CHBG ，且正方形边长为由于EF α⊥，故截面为平行四边形MNKL ，且4KL KN +=， 又//KL BC ，//KN AD ，且AD BC ⊥， ∴KN KL ⊥， ∴MNKLS KN KL =⋅Y 242KN KL +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2KL KN ==时取等号， 故选：B ．7．已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，边AB 的中点为M ，过M 且垂直1BD 的平面被正方体所截的截面面积为（ ）A ．2B C ．D ．【答案】A【解析】如图，连结111,,,AC CB AB BC ，易知11CB BC ⊥，111CB D C ⊥，又1111BC D C C ⋂=，则1CB ⊥平面11BC D ，故11CB BD ⊥，同理可证明CA ⊥平面1BDD ，则1CA BD ⊥，又1CA CB C =I ，故1BD ⊥平面1ACB .取BC 的中点E ，1BB 的中点F ，易知平面//MEF 平面1ACB ， 所以1BD ⊥平面MEF ，即MEF V 为所求截面.易知MEF V 为正三角形，边长ME ==故12MEF S ==V 故选：A.8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，设过P ，Q ，R 的截面与面11ADD A ，以及面11ABB A 的交线分别为l ，m ，则l ，m 所成的角为（ ）A ．90︒B ．30°C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】因为，在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，取11C D ，1DD ，1BB 的中点分别为G ，F ，E ，连接FG ， FQ ，QP ，PE ，ER ，RG ，根据正方体的特征，易知，若连接PG ，EF ，RQ ，则这三条线必相交于正方体的中心，又////GR EF QP ，所以P ，Q ，R ，G ，F ，E 六点必共面，即为过P ，Q ，R 的截面；所以EP 即为直线m ，FQ 即为直线l ；连接1AB ，1AD ，11B D ，因为1//EP AB ，1//FQ AD ，所以11B AD ∠即为异面直线EP 与FQ 所成的角，又因为正方体的各面对角线都相等，所以11AB D V 为等边三角形， 因此1160B AD ∠=︒.故选：D.9．【2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（理)试题】如图四面体A BCD -中，2,AD BC AD BC ==⊥，截面四边形EFGH 满足//EF BC ；//FG AD ，则下列结论正确的个数为（ ） ①四边形EFGH 的周长为定值 ②四边形EFGH 的面积为定值 ③四边形EFGH 为矩形④四边形EFGH 的面积有最大值1A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】因为//EF BC EF ⊄，平面BCD ，所以//EF 平面BCD ，又平面EFGH I 平面BDC GH =，所以//EF GH .同理//FG EH ，所以四边形EFGH 为平行四边形， 又AD BC ⊥，所以四边形EFGH 为矩形.所以③是正确的；由相似三角形的性质得EF AF FC FGBC AC AC AD==，， 所以EF FG AF FCBC AD AC AC+=+，2BC AD ==，所以2EF FG +=， 所以四边形EFGH 的周长为定值4，所以①是正确的；212EFGHEF FG S EF FG ⨯⎛⎫=⨯≤= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGH 的面积有最大值1，所以④是正确的.因为①③④正确.故选：D10．【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷)】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A ．4B C ．4D 【答案】A【解析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 与线11111,,AA A B A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面1C BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等， 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面11AB D 与1C BD 中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为2，所以其面积为26S ==，故选A. 11．【云南省曲靖市2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学文科试题】在四面体ABCD 中，3AB BD AD CD ====，4AC BC ==，用平行于AB ，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值为（ ） A ．43B ．94C ．92D ．3【答案】B【解析】设截面分别与棱,,,AD BD BC AC 交于点,,,E F G H .由直线//AB 平面EFGH ， 且平面ABC I 平面EFGH GH =，平面ABD ⋂平面EFGH EF = 得//GH AB ，//EF AB ，所以//GH EF ，同理可证//EH FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形， 又3AB BD AD CD ====，4AC BC ==， 可证得AB CD ⊥，四边形EFGH 为矩形.设:::BF BD BG BC FG CD x ===，01x <<， 则3FG x =，()31HG x =-，于是2199(1)9,0124EFGH S FG HG x x x x ⎛⎫=⋅=-=--+<< ⎪⎝⎭当12x =时，四边形EFGH 的面积有最大值94. 故选：B. 二、填空题12．【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2019-2020学年高三第一次诊断性测试数学文试题】 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 、G 分别为11,,AB AD B C 的中点，给出下列命题：①异面直线EF 与AG 所成的角的余弦值为6；②过点E 、F 、G 作正方体的截面，所得的截面的面积是③1A C ⊥平面EFG④三棱锥C EFG -的体积为1其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）【答案】①③④【解析】取11C D 的中点为点H ，连接GH 、AH ，如图1所示，因为//EF GH ,所以AGH ∠就是异面直线EF 与AG 所成的角易知在AGH V 中，3,AG AH GH ===2cos 36AGH ∠==，①正确；图1 图2 图3矩形EFGH 即为过点E 、F 、G 所得正方体的截面，如图2所示，易知EF EG ==所以EFGH S ==分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立如图3所示直角坐标系,则(2,0,2),(2,1,0),A E(1,0,0),(1,2,2)F G ，1(2,2,2),(1,1,0),(1,1,2)AC FE EG =--==-u u u r u u u r u u u r ， 因为110,0AC FE AC EG ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以11,A C EF A C EG ⊥⊥，又EF ⊂平面EFG ， EG ⊂平面EFG 且EF EG E =I ，所以1A C ⊥平面EFG ，故③正确134(111212)22EFC S =-⨯⨯+⨯+⨯=V ，1113G ECF EFC V S C C -=⋅=V ，④正确. 故答案为：①③④13．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积恒为定值；②对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得//CG 平面1EBD ； ③O 为底面ABCD 对角线AC 和BD 的交点，在棱1DD 上存在点H ，使//OH 平面1EBD ； ④存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值.其中为真命题的是____________________.（填写所有正确答案的序号）【答案】①③④【解析】①111111112B BED F B BED B BFD B BED V V V V ----=+=,又三棱锥11B BED -为三棱锥11E BB D -,则底面11BB D 不变,且因为1//CC 平面11BB D ,故点E 到底面11BB D 的距离即三棱锥11E BB D -底面的高不变,故三棱锥11E BB D -的体积不变,所以四棱锥11B BED F -的体积不变,恒为定值,故①正确；②当点E 在点C 处时,总有CG 与平面1EBD 相交,故②错误；③由O 为底面ABCD 对角线AC 和BD 的交点,则12DO DB =,设H 为1DD 的中点,则在1D DB V 中1//OH D B ,所以//OH 平面1EBD ,故③正确；④四边形1BED F 的周长为()012C BE ED =+,则分析1BE ED +即可,将矩形11BCC B 沿着1CC 展开使得B 在DC 延长线上时,此时B 的位置设为P ,则线段1D P 与1CC 的交点即为截面平行四边形1BED F 的周长取得最小值时唯一点E ,故④正确；故答案为:①③④14．【2020届河南省驻马店市高三上学期期末数学(文科)试题】 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______.【答案】【解析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下：由正方体的性质可知，1A M NC P ，则1A ，,,M CN N 四点共面， 记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥， 所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =I ，则DE ⊥平面1A MCN ， 所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面． 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对角线1AC =，MN =12S =⨯=故答案为：。
2024届河南省高三下学期第二次质量检测(二模)理综试卷-高中物理
2024届河南省高三下学期第二次质量检测（二模）理综试卷-高中物理一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题如图所示，航天器c位于日地系统中拉格朗日点处，与太阳a、地球b构成稳定的等边三角形，大圆为地球绕太阳中心做匀速圆周运动的轨迹。
实际上，a、b、c是一个“三星”系统，由于航天器的质量远小于天体的质量，a、b、c绕着a、b构成的“双星”连线中的O点转动。
忽略其他天体的影响，则（ ）A．c的周期大于b的周期B．c的向心加速度等于b的向心加速度C．c的向心力指向太阳中心D．c的线速度大于b的线速度第(2)题“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。
总质量为的动车组在平直的轨道上行驶。
该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为，若动车组所受的阻力与其速率成正比（，为常量），动车组能达到的最大速度为。
下列说法不正确的是（ ）A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力不断增大B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做加速减小的加速运动C．若每节动力车厢输出的功率为，则动车组匀速行驶的速度为D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间达到最大速度，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为第(3)题某同学在百米赛跑过程中，其位移随时间变化的关系可简化为如图所示的图像，其中Oa段为抛物线，ab段为直线，根据该图像，关于时间内该同学的运动，下列说法正确的是（ ）A．加速度逐渐增加B．速度最大值为C．时间内加速度的大小为D．时间内平均速度的大小为第(4)题从地面上以初速v0度竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v1，且落地前球已经做匀速运动．则下列说法正确的是（）A．小球加速度在上升过程中逐渐增加，在下降过程中逐渐减小B．小球上升过程中的平均速度大于C．小球抛出瞬间的加速度最大，到达最高点的加速度最小D．小球抛出瞬间的加速度大小为第(5)题如图所示,质量为m=1kg物块P在与水平方向夹角为的力F的作用下，沿水平面做匀速直线运动．已知物块与水平面之间的动摩擦因数μ=，当F最小时,则A．=45°B．= 60°C．F最小值为5N D．F最小值为6N第(6)题如图甲，某人手持健身绳的一端上下抖动，将绳上向墙壁方向传播的波看作沿x轴正方向传播的简谐波，t=0时刻的波形图如图乙所示，该波的波速为v=0.4m/s，则平衡位置位于x=0.1m处的质点P（ ）A．此时的振动方向沿y轴正方向B．此时的加速度方向沿y轴负方向且将增大C．振动的周期为2sD．在t=1s的位移为-10cm第(7)题某电容式电子秤的部分结构如图所示。