2016届高考数学文一轮复习(人教版)讲义6.1数列的概念及简单表示法

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高三数学一轮复习精品课件6：§6.1数列的概念及简单表示法

与君歌一曲，请君为我倾耳听。
钟鼓馔玉不足贵，但愿长醉不复醒。
古来圣贤皆寂寞，惟有饮者留其名。
陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑。
主人何为言少钱，径须沽取对君酌。
五花马，千金裘，呼儿将出换美酒，与尔同销万古愁
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
1.数列的相关概念
概念
数列
数列的项
有穷数列
无穷数列
含义
按照一定顺序排列的一列数
,k为{an}
5.数列的函数特征
数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集
{1,2,3,4,…,n})的函数an=f(n),当自变量由小到大依次取值时所
对应的一列函数,数列的通项公式是相应函数的解析式,它的图
象是
一群孤立的点
.
6.常用的数学方法与思想
分类讨论思想、等价转化思想、函数与方程思想.
为 d,所以 an+1-an=d,从而有 a1d<0.
4.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn=
.
【答案】【解析】因为
n+1
所以
又
n
即数列
故
所以
n+1
是以
n
n+1
n
为公差的等差数列
所以
n
.
考点 1 由数列的前几项归纳出数列的通项公式
典例 1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…
(2)0.7,0.77,0.777,…

(3)1,0, ,0, ,0, ,0,…
【解析】观察数列各项与对应项号的关系,可从符号、分子、分母、平

高考总复习一轮数学精品课件第六章数列第一节数列的概念与简单表示法

典例突破
1
例 4.在数列{an}中,a1=2且(n+2)an+1=nan,则它的前 30 项和 S30=(
30
A.
31
29
B.
30
28
C.
29
19
D.
29
)
答案 A
解析易知
+1
an≠0,∵(n+2)an+1=nan,∴

2 3

∴an=a1·
· ·
…·
1 2
-1
=
1 1 2
2-1-2 , ≥ 2.
增素能精准突破
考点一
利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1.已知Sn求an
典例突破
例1.(1)(2023北京朝阳二模)已知数列{an}的前n项和是2n-1,则a5=(
)
A.9
B.16
C.31
D.33
(2)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴a4 023=1+(4 023-1)×1=4 023.故选B.
(2)因为 + -1 =an=Sn-Sn-1=( + -1 )( − -1 )(n≥2),所以
− -1 =1.又 1 = √1 =1,所以数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差
(+1)
1+2+3+…+n=
.
2
考向2.已知an与Sn的关系式求an
典例突破
例2.(1)(2023河南名校联考改编)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足

2016届新课标数学(理)一轮复习讲义第五章第1讲数列的概念与简单表示法

2016高考导航第1讲数列的概念与简单表示法1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)(3)如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．[做一做]1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3( )A ．不是数列{a n }中的项B ．只是数列{a n }中的第2项C ．只是数列{a n }中的第6项D ．是数列{a n }中的第2项或第6项解析：选D.令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，解得n ＝2或6，故3是数列{a n }中的第2项或第6项．2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n ≥2)，则a 5＝________．答案：851．辨明两个易误点(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．3．a n 与S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1 （n ≥2）.[做一做]3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－(2n －1－3)＝2n －2n －1＝2n －1，a 1不适合此等式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝12n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝12n －1，n ≥24．若数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，那么这个数列是__________数列．(填“递增”或“递减”或“摆动”)解析：法一：令f (x )＝x x ＋1，则f (x )＝1－1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，则数列{a n }是递增数列．法二：∵a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＞0，∴a n ＋1＞a n ，∴数列{a n }是递增数列．答案：递增,[学生用书P 88～P 89])考点一__由数列的前几项求数列的通项________写出下面各数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，…； (2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，….[解] (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋（－1）nn .也可写为a n ＝⎩⎨⎧－1n，n 为奇数，3n，n 为偶数.[规律方法] 用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．1.根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4，6，8，10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9，99，999，9 999，….解：(1)各数都是偶数，且最小数为4，所以通项公式a n ＝2(n ＋1)(n ∈N *)．(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n （n ＋1）.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数. (4)这个数列的前4项可以写成10－1，100－1，1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1.考点二__由a n 与S n 的关系求通项a n (高频考点)__a n 与S n 关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，难度较小，属容易题．高考对a n 与S n 关系的考查常有以下两个命题角度： (1)利用a n 与S n 的关系求通项公式a n ； (2)利用a n 与S n 的关系求S n .(1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －1(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n . ①若S n ＝2n 2－3n ，求a n ； ②若S n ＝3n ＋b ，求a n .[解析] (1)由已知S n ＝2a n ＋1，得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n ＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1.[答案] B(2)解：①a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式．∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.若本例(1)中，结论改为求a n ，如何求解？解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ， ∴a n ＋1a n ＝32，又由S 1＝2a 2，得a 2＝12， ∴{a n }是从第2项开始的等比数列，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12×⎝⎛⎭⎫32n －2，n ≥2，n ∈N *.[规律方法] 已知S n 求a n 的三个步骤： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1(n ≥2)替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式．(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．2.(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－n ＋1，则它的通项公式a n ＝________．(3)(2013·高考课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n＝________.解析：(1) 法一：a 1＝1，a 2＝3S 1＝3，a 3＝3S 2＝12＝3×41，a 4＝3S 3＝48＝3×42，a 5＝3S 4＝3×43，a 6＝3S 5＝3×44.法二：当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列，又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 （n ＝1），3×4n －2（n ≥2）. ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44. (2)∵a 1＝S 1＝12－1＋1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－n ＋1)－[(n －1)2－(n －1)＋1]＝2n －2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 （n ＝1）2n －2 （n ≥2）.(3)当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－(23a n －1＋13)＝23(a n －a n －1)， ∴a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2，∴{a n }是以1为首项的等比数列，其公比为－2，∴a n ＝1×(－2)n －1，即a n ＝(－2)n －1.答案：(1)A (2)⎩⎪⎨⎪⎧1 （n ＝1）2n －2 （n ≥2） (3)(－2)n －1考点三__由递推公式求数列的通项公式__________分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＝nn －1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．[解] (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋1＋3＋…＋(2n －5)＋(2n －3)＝(n －1)2，所以数列的通项公式为a n ＝(n －1)2. (2)当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×21×32×…×n －2n －3×n －1n －2×nn －1＝n ，当n ＝1时，也符合上式，所以该数列的通项公式为a n ＝n .[规律方法] 由数列递推式求通项公式常用方法有：累加法、累积法、构造法．形如a n＝pa n －1＋m (p 、m 为常数，p ≠1，m ≠0)时，构造等比数列；形如a n ＝a n －1＋f (n )({f (n )}可求和)时，用累加法求解；形如a na n ＋1＝f (n )({f (n )}可求积)时，用累积法求解．3.(1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），求a n ；(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，求a n .解：(1)a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫1－12＋2＝3－1n. (2)由于a n ＋1a n＝2n ，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，故a n ＝2n （n －1）2.交汇创新——数列与周期函数的交汇(2014·高考课标全国卷Ⅱ)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝________．[解析] ∵a n ＋1＝11－a n， ∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2.而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.[答案] 12[名师点评] (1)本题是数列与周期函数的交汇，解答此类问题的思路是由递推关系推出数列的周期性，在本题中由a n ＋1＝11－a n推出周期为3，由a 8＝a 2＝2，即可求出a 1.(2)数列是一个特殊的函数，具有函数的一般性质，如单调性、周期性、最值等．1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n解析：选C.根据定义，属于无穷数列的是选项A 、B 、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C 、D ，故同时满足要求的是选项C.2．(2015·海南三亚模拟)在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的第( ) A ．16项 B ．24项 C ．26项 D ．28项解析：选C.因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，得n ＝26.故选C.3．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝( )A ．5 B.72C.92D.132解析：选B.∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72.故选B. 4．(2015·吉林普通中学摸底)已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，6)B ．(－∞，4]C ．(－∞，5)D ．(－∞，3]解析：选B.数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，若数列是递减数列，则－λ2×（－2）≤1，即λ≤4.5．(2015·云南昆明一中开学考试)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 100＝－1，S 100＝5B ．a 100＝－3，S 100＝5C ．a 100＝－3，S 100＝2D ．a 100＝－1，S 100＝2解析：选A.因为数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，所以a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，a 7＝1，a 8＝3，…，由此可知数列中各项满足a n ＋6＝a n ，且a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6＝0.故a 100＝a 4＝－1，S 100＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5.6．在数列－1，0，19，18，…，n －2n2，…中，0.08是它的第________项．解析：令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．∴a 10＝0.08. 答案：107．已知数列{a n }满足a s ·t ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________．解析：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8. 答案：88．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积，已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________．解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：289．已知a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，a 1＝1.(1)写出这个数列的前5项；(2)由(1)中前5项推测数列的通项公式并证明．解：(1)a 1＝1，a 2＝a 1＋11×2＝32，a 3＝a 2＋12×3＝53，a 4＝a 3＋13×4＝74，a 5＝a 4＋14×5＝95.(2)猜想a n ＝2n －1n.证明如下：由已知得a 2－a 1＝12×1，a 3－a 2＝13×2，…a n －a n －1＝1n （n －1），所以a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1n （n －1）.从而a n ＝1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝2－1n ＝2n －1n .10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－2＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n －2)＝2n ＋1－2n ＝2n .因为a 1也适合此等式，所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)因为b n ＝a n ＋a n ＋1，且a n ＝2n ，a n ＋1＝2n ＋1，所以b n ＝2n ＋2n ＋1＝3·2n .1．跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为( )A ．8B ．13C ．21D ．34解析：选C.设跳到第n 个格子的方法种数为a n ，则到达第n 个格子的方法有两类：①向前跳1格到达第n 个格子，方法种数为a n －1；②向前跳2格到达第n 个格子，方法种数为a n －2，则a n ＝a n －1＋a n －2，由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1，1，2，3，5，8，13，21.∴跳到第8个格子的方法种数是21.故选C. 2．(2015·浙江金丽衢十二校联考)已知函数y ＝f (x )，数列{a n }的通项公式是a n ＝f (n )(n ∈N *)，那么“函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上单调递增”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上递增，则数列{a n }是递增数列一定成立；反之不成立，现举反例说明：若数列{a n }是递增数列，则函数在[1，2]上可以先减后增，只要在x ＝1处的函数值比在x ＝2处的函数值小即可．故“函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上递增”是“数列{a n }是递增数列”的充分不必要条件．3．(2015·大连双基测试)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．解析：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n －1，得a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得a n ＝3n .答案：3n4．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．解析：从题图中可观察星星的构成规律，n ＝1时，有1个，n ＝2时，有3个；n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…，∴a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2.答案：a n ＝n （n ＋1）25．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn ，k ∈N *，且S n 的最大值为8.试确定常数k ，并求数列{a n }的通项公式．解：因为S n ＝－12n 2＋kn ＝－12(n －k )2＋12k 2，其中k 是常数，且k ∈N *，所以当n ＝k 时，S n 取最大值12k 2，故12k 2＝8，k 2＝16，因此k ＝4，从而S n ＝－12n 2＋4n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n 2＋4n －⎣⎡⎦⎤－12（n －1）2＋4（n －1）＝92－n . 当n ＝1时，92－1＝72＝a 1，所以a n ＝92－n .6．(选做题)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴b n ＝⎩⎨⎧23（n ＝1）1n（n ≥2）.(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1，∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1（2n ＋3）（2n ＋2）<0， ∴{c n }是递减数列．。

2016届高考数学文一轮复习课件6.1数列的概念及简单表示法

解析
答案
思维升华
例3
(2) 数列 {an} 中， a1 ＝ 1 ， a ＝3a ＋2， n＋1 n
方法二 (迭代法)
an＋ 1＝3an＋2 ，则它的一个通即an＋1＋1＝3(an＋1) 项公式为an＝________.
＝…＝3n(a1＋1) ＝2×3n (n≥1)，
＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)
例3
(1) 设数列 {an} 中， a1 ＝ 2 ，
an ＋ 1 ＝ an ＋ n ＋ 1 ，则通项 an ＝
__________.
解析
答案
思维升华
题型三
由数列的递推关系求数列的通项公式
由题意得，当n≥2时， an ＝ a1 ＋ (a2 － a1) ＋ (a3 － a2)＋…＋(an－an－1)
1＋－1n＋1 (3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是an＝ . ( ×) 2
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1 ＝Sn＋1－Sn.( √ ) (5)在数列{an}中，对于任意正整数m，n，am＋n＝amn＋1，若 a1＝1，则a2＝2.( √ )
等式.
解析
思维升华
例2
已知下面数列{an}的前n
当 b≠ － 1 时， a1 不适合此等式.
项和Sn，求{an}的通项公式： (2)Sn＝3n＋b.
∴当b＝－1时，an＝2· 3n － 1 ；
当 b≠－1 时，
3＋b，n＝1， an＝ n－1 3 ，n≥2. 2·
解析
思维升华
例2 (2)Sn
已知下面数列{an}的前n ＝3n＋b.
项和Sn，求{an}的通项公式：

2016届高考数学大一轮复习第5章第1节数列的概念及简单表示法课件文新人教版

n＝1， S1， Sn－Sn－1， n≥2.
[对点练习] 已知下面各数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式． (1)Sn＝3n2－2n＋1； (2)Sn＝3n＋b.
【解】 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n －1)＋1] ＝6n－5. 由于 a1＝2 不适合此等式，
【答案】 3n－2
2 3．(2013· 课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝ an 3 1 ＋，则{an}的通项公式是 an＝________. 3
2 1 【解析】当 n＝1 时，S1＝ a1＋，∴a1＝1. 3 3 1 2 1 2 2 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ an＋－3an－1＋3＝ (an－an 3 3 3
2， ∴an＝ 6n－5，
n＝1， n≥2.
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋b，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2· 3n－1. 当 b＝－1 时，a1 适合此等式．当 b≠－1 时，a1 不适合此等式． ∴当 b＝－1 时，an＝2· 3n－1(n∈N*)；当 b≠－1
将以上 n－1 个等式中等号两端分别相乘，整理得 an＝ nn＋1 . 2 nn＋1 综上可知，{an}的通项公式 an＝ (n∈N*)． 2
a n ＋1 形如 an＋1＝an· f(n)的形式求 an，常变形为：＝f(n)后， an 依次递推，再用累乘法解决．
角度二：形如 an＋1＝an＋f(n)，求 an. 【例 3－2】 an. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n，求
形如 an＋1＝an＋f(n)的形式，求 an，常变形为：an＋1－an ＝f(n)后，依次递推，再用累加法解决．

高考数学一轮总复习 6.1 数列的概念与简单表示法精品课件理新人教版

2
·…·
2
.
,当 n≥5
.∴从第 5 项开始各项均小于
考点(kǎo diǎn)三
第十八页，共28页。
1 2
1
1 000
.
·
探究
(tànjiū)
突破
方法提炼
由 a1 和递推关系求通项公式,可观察其特点,一般常利用“累加法”“累
乘法”等.
(1)已知 a1 且 an-an-1=f(n)(n≥2),可以用“累加法”,即
探究
(tànjiū)突
破
考点一由数列的前几项求数列的通项公式
【例 1】写出下面各数列的一个通项公式.
(1)3,5,7,9,….
1 3 7 15 31
, ,….
2 4 8 16 32
(2) , , ,
2 4 6 8 10
, , , ,….
3 15 35 63 99
(3) ,
关闭
(1)各项减去 1 后为正偶数,
其他
标准
摆动数列
1
有限
第六页，共28页。
梳理(shūlǐ)
自测
1
3.已知 Sn,则 an=
--1
( = 1),
( ≥ 2).
4.数列的通项公式
如果数列{an}的
第 n 项与序号 n 之间的关系
可以用一个公式
an=f(n) 来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.通项公式可以
看成数列的函数解析式 .
{an} .
第四页，共28页。
an 是数列的第 n 项,
梳理(shūlǐ)
自测
想一想你知道数列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}的区别吗?
答案:数列{an}是表示按照一定顺序排列的一列数,为

高考数学一轮复习第六章数列第一节数列的概念与简单表示课件理

类型
满足条件
按项数有穷数列项数有限
分类
无穷数列项数无限
分类原则按项与项间的大小关系分类
按其他标准分类
类型递增数列递减数列常数列有界数列
摆动数列
满足条件
an＋1 > an an＋1 < an 其中 n∈N* an＋1＝an 存在正数 M，使|an|≤M 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于
3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有两种常见思路：
(1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加、累乘法或构造法求数列的通项公式．
[易错防范] 1．数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列 an＝f(n)和函数 y＝f(x)的单调性是不同的． 2．在利用数列的前 n 项和求通项时，往往容易忽略先求出 a1，而是直接把数列的通项公式写成 an＝Sn－Sn－1 的形式，但它只适用于 n≥2 的情形．
(4)形如 an＋1＝BaAna＋n C(A，B，C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．
(5)形如 an＋1＋an＝f(nf(n＋1)，两式相减即得 an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可．
an 与 Sn 关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，难度较小，属容易题，且主要有以下几个命题角度：
[探究 2] 若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？
解：设递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1－t＝2(an －t)，即 an＋1＝2an－t，解得 t＝－3.

高考数学一轮复习第六章数列6-1数列的概念与表示课件文新人教版

(5)若数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an=Sn-Sn-1. ( × )
-12知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
2.已知数列{an}为2,0,2,0,…,则下列各式不可以作为数列{an}的
通项公式的是(
)
π
B.an=2sin 2
+1
A.an=1+(-1)
C.an=1-cos nπ
D.an=
1
由 an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得 −

1
+1
=1,即
1
+1
1
− =-1,则

1

1
1
1
Sn=-.
为等
差数列,首项为 =-1,公差为 d=-1,
1
故
1 =-n,即
-
关闭
解析
答案
-16知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=
.
关闭
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1.
当n=1时,a1=S1=3,也适合上式.
综上,an=2n+1.
2n+1
关闭
解析
答案
-15知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=

高考数学一轮总复习课件：数列的概念及简单表示

1)(an－
2)．设bn＝an－
2，则bn＋1＝(
2
－1)·bn，即
bn＋1 bn
＝
2－1，
b1＝a1－ 2＝2－ 2，因此数列{bn}是以 2－1为公比，以2－ 2为
首项的等比数列．
所以bn＝(2－ 2)×( 2－1)n－1＝ 2×( 2－1)n，所以an＝ 2( 2 －1)n＋ 2.
(4)已知数列{an}满足a1＝ 2
【解析】
(累加法)原递推式可化为an＋1＝an＋
1 n
－
1 n＋1
，则a2
＝a1＋11－12，a3＝a2＋12－13，a4＝a3＋13－14，…，an＝an－1＋n－1 1－1n.
逐项相加，得an＝a1＋1－1n.又a1＝3，故an＝4－1n.
(2)设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·an＋12－nan2＋ 1
2 n
(3)an＝2n＋1－3
(4)an＝32n－1
状元笔记
已知数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解． (2)当出现aan－n 1＝f(n)时，用累乘法求解． (3)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列．
思考题2 (1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋ n（n1＋1），则通项公式an＝_4_－__1n____．
，
5 5
，
7 10
， 197
，…，对于分子3，5，
7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋ 1，对于分母2，5，10，17，…联想到数列1，4，9，16，…，
即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，故可得它的一个通项公式为an＝2nn2＋＋11.

高中数学人教版一轮复习课件：6.1 数列的概念与表示

-5-
(2)数列的分类:
分类标准类型有穷数列项数无穷数列递增数列项与项之递减数列间常数列的大小关系摆动数列满足条件项数有限项数无限 an+1> an an+1< an 其中 n∈N* an+1=an 从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项
-6-
-3-
考纲要求:
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
-4-
1.数列的概念 (1)数列的有关概念:
概念数列数列的项通项公式
递推公式前 n 项和
含义按照一定顺序排列的一列数数列中的每一个数数列{an}的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用一个式子表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式已知数列{an}的第一项(或前几项)且任一项 an 与它的前一项 an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式叫数列的递推公式数列{an}中,Sn=a1+a2+… +an 叫做数列的前 n 项和
-71 2 3 4 5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)数列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}是一回事. ( × ) (2)若数列用图象表示,则从图象上看都是一群孤立的点. ( √ ) (3)一个确定的数列,它的通项公式只有一个. ( × ) (4)若数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an=Sn-Sn-1. ( × ) (5)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列. ( × )
(5)5,55,555,5 555,… .
解:(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n;观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式an=(-1)n(6n-5).

高考数学一轮复习讲义第6章第1节数列的概念与简单表示

第六章数列第一节数列的概念与简单表示1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．[基本知识]1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．2．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式．3．数列的递推公式如果已知数列{a n}的第1项(或前几项),且任何一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即a n＝f(a n－1)(或a n＝f(a n－1,a n－2)等),那么这个式子叫做数列{a n}的递推公式．4．S n与a n的关系已知数列{a n}的前n项和为S n,则a n＝⎩⎨⎧S1n＝1S n－S n－1n≥2这个关系式对任意数列均成立．[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．()(3)若已知数列{a n}的递推公式为a n＋1＝12a n－1,且a2＝1,则可以写出数列{a n}的任何一项．()(4)如果数列{a n}的前n项和为S n,则对∀n∈N*,都有a n＋1＝S n＋1－S n.()答案:(1)×(2)√(3)√(4)×二、填空题1．数列{a n}中,a1＝2,且a n＋1＝12a n－1,则a5的值为________．解析:由a1＝2,a n＋1＝1 2a n－1,得a2＝12a1－1＝1－1＝0,a3＝12a2－1＝0－1＝－1,a4＝12a3－1＝－12－1＝－32,a5＝12a4－1＝－34－1＝－74.答案:－742．数列{a n}定义如下:a1＝1,当n≥2时,a n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋a2nn为偶数1a n－1n为奇数若a n＝14,则n的值为________．解析:困为a1＝1,所以a2＝1＋a1＝2,a3＝1a2＝12,a4＝1＋a2＝3,a5＝1a4＝13,a6＝1＋a3＝32,a7＝1a6＝23,a8＝1＋a4＝4,a9＝1a8＝14,所以n＝9.答案:93．数列{a n}的通项公式a n＝1n＋n＋1,则10－3是此数列的第________项．解析:a n＝1n＋1＋n＝n＋1－n(n＋1＋n)(n＋1－n)＝n＋1－n,∵10－3＝10－9,∴10－3是该数列的第9项．答案:94．已知S n是数列{a n}的前n项和,且S n＝n2＋1,则数列{a n}的通项公式是____________．答案:a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n＝12n－1n≥2[全析考法]考法一利用a n与S n的关系求通项数列{a n}的前n 项和S n与通项a n的关系为a n＝⎩⎨⎧S 1n ＝1S n－Sn －1n ≥2通过纽带:a n ＝S n －S n －1(n ≥2),根据题目已知条件,消掉a n 或S n ,再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．[例1] (1)(2019·化州模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和,且log 2(S n ＋1)＝n ＋1,则数列{a n }的通项公式为____________．(2)(2019·广州测试)已知数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,且对任意n ∈N *,均有a n ,S n ,a 2n 成等差数列,则a n ＝____________.[解析] (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1,得S n ＋1＝2n ＋1,当n ＝1时,a 1＝S 1＝3;当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n ,所以数列{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝12nn ≥2.(2)∵a n ,S n ,a 2n 成等差数列,∴2S n ＝a n ＋a 2n .当n ＝1时,2S 1＝2a 1＝a 1＋a 21. 又a 1>0,∴a 1＝1.当n ≥2时,2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1, ∴(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0.∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)－(a n ＋a n －1)＝0, ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0, ∵a n ＋a n －1>0,∴a n －a n －1＝1,∴{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列, ∴a n ＝n (n ∈N *)．[答案](1)a n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝12nn ≥2(2)n[方法技巧]已知S n 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1;(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式;(3)对n ＝1时的结果进行检验,看是否符合n ≥2时a n 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．考法二利用递推关系求通项[例2] (1)在数列{a n }中,a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋3n ＋2,求数列{a n }的通项公式． (2)在数列{a n }中,a 1＝1,a n ＝n －1n a n －1(n ≥2),求数列{a n }的通项公式． (3)在数列{a n }中a 1＝1,a n ＋1＝3a n ＋2,求数列{a n }的通项公式． (4)已知数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝2a na n ＋2,求数列{a n }的通项公式． [解] (1)因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2, 所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2),所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n (3n ＋1)2(n ≥2)．当n ＝1时,a 1＝2＝12×(3×1＋1),符合上式,所以a n ＝32n 2＋n 2.(2)因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2), 所以a n －1＝n －2n －1a n －2,…,a 2＝12a 1.由累乘法可得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n (n ≥2)．又a 1＝1符合上式,∴a n ＝1n .(3)因为a n ＋1＝3a n ＋2,所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1),所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3,所以数列{a n ＋1}为等比数列,公比q ＝3,又a 1＋1＝2,所以a n ＋1＝2·3n －1,所以a n ＝2·3n －1－1.(4)∵a n ＋1＝2a na n ＋2,a 1＝1,∴a n ≠0, ∴1a n ＋1＝1a n ＋12,即1a n ＋1－1a n＝12,又a 1＝1,则1a 1＝1,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项,12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12,∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． [方法技巧] 典型的递推数列及处理方法递推式方法示例1.[考法一]已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1＝1,S n ＝(n ＋1)a n2,则a 2 019＝( )A ．2 018B ．2 019C ．4 036D ．4 038解析:选B 由题意知n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(n ＋1)a n 2－na n －12,化为a n n ＝a n －1n －1, ∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1,∴a n ＝n .则a 2 019＝2 019.故选B.2.[考法一]已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝1,S n ＝2a n ＋1,则S n ＝( ) A ．2n －1 B ．⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D ．⎝⎛⎭⎫12n －1解析:选B S n ＝2a n ＋1＝2S n ＋1－2S n ⇒3S n ＝2S n ＋1⇒S n ＋1S n＝32,故数列{S n }为等比数列,公比是32,又S 1＝1,所以S n ＝1×⎝⎛⎭⎫32n －1＝⎝⎛⎭⎫32n －1.故选B. 3.[考法二]已知在数列{a n }中,a n ＋1＝nn ＋2a n(n ∈N *),且a 1＝4,则数列{a n }的通项公式a n ＝____________.解析:由a n ＋1＝n n ＋2a n ,得a n ＋1a n ＝n n ＋2,故a 2a 1＝13,a 3a 2＝24,…,a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2),以上式子累乘得,a n a 1＝13·24·…·n －3n －1·n －2n ·n －1n ＋1＝2n (n ＋1).因为a 1＝4,所以a n ＝8n (n ＋1)(n ≥2)．因为a 1＝4满足上式,所以a n ＝8n (n ＋1).答案:8n (n ＋1)4.[考法二]已知数列{a n }满足a 1＝2,a n －a n －1＝n (n ≥2,n ∈N *),则a n ＝____________. 解析:由题意可知,a 2－a 1＝2,a 3－a 2＝3,…,a n －a n －1＝n (n ≥2),以上式子累加得,a n －a 1＝2＋3＋…＋n .因为a 1＝2,所以a n ＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n ＋22(n ≥2)．因为a 1＝2满足上式, 所以a n ＝n 2＋n ＋22.答案:n 2＋n ＋22突破点二数列的性质[基本知识]数列的分类分类标准类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n ＋1>a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1<a n 常数列 a n ＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M ,使|a n |≤M摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n3n ＋1,那么这个数列是________(填递增或递减)．答案:递增2．设a n ＝－3n 2＋15n －18,则数列{a n }中的最大项的值是________．答案:03．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n,则当a n 取得最大值时,n 等于________．答案:5或6[全析考法]考法一数列的单调性[例1] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫23n ,则数列{a n }中的最大项为( )A.89 B ．23C.6481D ．125243[解析] 法一:(作差比较法)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫23n ＋1－n ⎝⎛⎭⎫23n ＝2－n 3·⎝⎛⎭⎫23n , 当n <2时,a n ＋1－a n >0,即a n ＋1>a n ; 当n ＝2时,a n ＋1－a n ＝0,即a n ＋1＝a n ; 当n >2时,a n ＋1－a n <0,即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3,a 3>a 4>a 5>…>a n ,所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3,且a 2＝a 3＝2×⎝⎛⎭⎫232＝89.故选A. 法二:(作商比较法)a n ＋1a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫23n ＋1n ⎝⎛⎭⎫23n ＝23⎝⎛⎭⎫1＋1n , 令a n ＋1a n >1,解得n <2;令a n ＋1a n ＝1,解得n ＝2;令a n ＋1a n <1,解得n >2.又a n >0,故a 1<a 2＝a 3,a 3>a 4>a 5>…>a n ,所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3,且a 2＝a 3＝2×⎝⎛⎭⎫232＝89.故选A. [答案] A [方法技巧]求数列最大项或最小项的方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值,根据f (x )的类型作出相应的函数图象,或利用求函数最值的方法,求出f (x )的最值,进而求出数列的最大(小)项．(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性,利用⎩⎨⎧a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定最大项,利用⎩⎨⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项． (3)比较法:①若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )>0( 或a n >0时,a n ＋1a n>1 ),则a n ＋1>a n ,即数列{a n }是递增数列,所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1);②若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )<0( 或a n >0时,a n ＋1a n<1 ),则a n ＋1<a n ,即数列{a n }是递减数列,所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．考法二数列的周期性数列的周期性与函数的周期性相类似．求解数列的周期问题时,通常是求出数列的前几项观察规律．确定出数列的一个周期,然后再解决相应的问题．[例2] (2019·广西南宁二中、柳州高中联考)已知数列2 008,2 009,1,－2 008,…,若这个数列从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2 018项之和S 2 018＝________.[解析] 由题意可知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2,a 1＝2 008,a 2＝2 009,a 3＝1,a 4＝－2 008,∴a 5＝－2 009,a 6＝－1,a 7＝2 008,a 8＝2 009,…,∴a n ＋6＝a n ,即数列{a n }是以6为周期的数列,又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0,∴S 2 018＝336(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6)＋(a 1＋a 2)＝ 4 017.[答案] 4 017 [方法技巧]周期数列的常见形式与解题方法(1)周期数列的常见形式①利用三角函数的周期性,即所给递推关系中含有三角函数; ②相邻多项之间的递推关系,如后一项是前两项的差;③相邻两项的递推关系,等式中一侧含有分式,又较难变形构造出特殊数列． (2)解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项,通过观察归纳出数列的周期,进而求有关项的值或者前n 项的和．[集训冲关]1.[考法二]若数列{a n }中,a 1＝2,a 2＝3,a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2),则a 2 019＝( ) A ．1 B ．－2 C ．3D ．－3解析:选A 因为a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3),所以a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1＝－a n－2,所以a n ＋3＝－a n ,所以a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ,所以{a n }是以6为周期的周期数列．因为2 019＝336×6＋3,所以a 2 019＝a 3＝a 2－a 1＝3－2＝1.故选A.2.[考法一]已知数列{a n }满足a n ＝n ＋13n －16(n ∈N *),则数列{a n }的最小项是第________项．解析:因为a n ＝n ＋13n －16,所以数列{a n }的最小项必为a n <0,即n ＋13n －16<0,3n －16<0,从而n <163.又n ∈N *,所以当n ＝5时,a n 的值最小．答案:5[课时跟踪检测][A 级基础题——基稳才能楼高]1．在数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *),则a 4的值为( ) A ．31 B ．30 C ．15D ．63解析:选C 由题意,得a 2＝2a 1＋1＝3,a 3＝2a 2＋1＝7,a 4＝2a 3＋1＝15,故选C. 2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n,若a 1＝12,则a 2 019＝( )A ．－1B ．12C ．1D ．2解析:选A 由a 1＝12,a n ＋1＝11－a n ,得a 2＝11－a 1＝2,a 3＝11－a 2＝－1,a 4＝11－a 3＝12,a 5＝11－a 4＝2,…,于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列,因此a 2 018＝a 3×672＋3＝a 3＝－1. 3．数列－1,4,－9,16,－25,…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n 2 B ．a n ＝(－1)n ·n 2 C ．a n ＝(－1)n ＋1·n 2D ．a n ＝(－1)n ·(n ＋1)2解析:选B 易知数列－1,4,－9,16,－25,…的一个通项公式为a n ＝(－1)n ·n 2,故选B. 4．在各项均为正数的数列{a n }中,对任意m ,n ∈N *,都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64,则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024解析:选C 在各项均为正数的数列{a n }中,对任意m ,n ∈N *,都有a m ＋n ＝a m ·a n .所以a 6＝a 3·a 3＝64,a 3＝8.所以a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.5．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ,若数列{a n }是单调递增数列,则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞,－1]B ．(－∞,2]C ．(－∞,3)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞92 解析:选C 因为数列{a n }是单调递增数列, 所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b >0(n ∈N *), 所以b <2n ＋1(n ∈N *), 所以b <(2n ＋1)min ＝3,即b <3.[B 级保分题——准做快做达标]1．(2019·福建四校联考)若数列的前4项分别是12,－13,14,－15,则此数列的一个通项公式为( )A.(－1)n ＋1n ＋1B ．(－1)n n ＋1C.(－1)n nD ．(－1)n －1n解析:选A 由于数列的前4项分别是12,－13,14,－15,可得奇数项为正数,偶数项为负数,第n项的绝对值等于⎪⎪⎪⎪1n ＋1,故此数列的一个通项公式为(－1)n ＋1n ＋1.故选A.2．(2019·沈阳模拟)已知数列{a n }中a 1＝1,a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *),则a n ＝( ) A ．2n －1 B ．⎝⎛⎭⎫n ＋1n n －1C ．nD ．n 2解析:选C 由a n ＝n (a n ＋1－a n ),得(n ＋1)a n ＝na n ＋1,即a n ＋1n ＋1＝a n n ,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列,即a n n ＝a 11＝1,故a n ＝n .故选C.3．(2019·北京西城区模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－2n ＋1,则a 3＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．－4D ．－8解析:选D ∵数列{a n }的前n 项和S n ＝2－2n ＋1,∴a 3＝S 3－S 2＝(2－24)－(2－23)＝－8.故选D.4．(2019·桂林四地六校联考)数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的第100项是( ) A ．10 B ．12 C ．13D ．14解析:选D 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1),由12n (n ＋1)≤100,得n 的最大值为13,易知最后一个13是已知数列的第91项,又已知数列中14共有14项,所以第100项应为14.故选D.5．(2019·兖州质检)已知数列{a n}满足a n＝⎩⎨⎧a n－2n <4(6－a )n －an ≥4若对任意的n ∈N *都有a n <a n＋1成立,则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,4) B ．(2,5) C ．(1,6)D ．(4,6)解析:选A 因为对任意的n ∈N *都有a n <a n ＋1成立,所以数列{a n }是递增数列,因此⎩⎪⎨⎪⎧ 1<a 6－a >0a <(6－a )×4－a 解得1<a <4,故选A.6．(2019·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a n ＝5n －1(n ∈N *),将数列{a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n },则b 2 019的末位数字为( )A ．8B ．2C ．3D ．7 解析:选D 由a n ＝5n －1(n ∈N *),可得此数列为4,9,14,19,24,29,34,39,44,49,54,59,64,…,{a n }中的整数项为4,9,49,64,144,169,…,∴数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18,…,末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8,….∵2 019＝4×504＋3,故b 2 019的末位数字为7.故选D.7．(2018·长沙调研)已知数列{a n },则“a n ＋1>a n －1”是“数列{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析:选B 由题意,若“数列{a n }为递增数列”,则a n ＋1>a n >a n －1,但a n ＋1>a n －1不能推出a n ＋1>a n ,如a n ＝1,a n ＋1＝1,{a n }为常数列,则不能推出“数列{a n }为递增数列”,所以“a n ＋1>a n －1”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件．故选B.8．(2019·长春模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1＝1,{S n ＋na n }为常数列,则a n 等于( )A.13n －1 B ．2n (n ＋1) C.6(n ＋1)(n ＋2) D ．5－2n 3 解析:选B 由题意知,S n ＋na n ＝2,当n ≥2时,(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1,从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1,有a n ＝2n (n ＋1),当n ＝1时上式成立,所以a n ＝2n (n ＋1). 9．(2019·兰州诊断)已知数列{a n },{b n },若b 1＝0,a n ＝1n (n ＋1),当n ≥2时,有b n ＝b n －1＋a n －1,则b 501＝________.解析:由b n ＝b n －1＋a n －1得b n －b n －1＝a n －1,所以b 2－b 1＝a 1,b 3－b 2＝a 2,…,b n －b n －1＝a n －1,所以b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1(n －1)×n ,即b n －b 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1(n －1)×n ＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n＝n －1n ,又b 1＝0,所以b n ＝n －1n ,所以b 501＝500501. 答案:50050110．(2019·河南八市重点高中测评)已知数列{a n }满足a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1,且a 1＝13,则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析:∵a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1,∴两边同除以a n ·a n ＋1,得2(1－a n ＋1)a n ＋1－2(1－a n )a n＝1a n ＋1－1a n ＋1,整理,得1a n ＋1－1a n ＝1,即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以3为首项,1为公差的等差数列,∴1a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2,即a n ＝1n ＋2. 答案:1n ＋211．(2019·宝鸡质检)若数列{a n }是正项数列,且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n 2＋n ,则a 1＋a 22＋…＋a n n ＝________. 解析:由题意得当n ≥2时,a n ＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ,∴a n ＝4n 2.又n ＝1,a 1＝2,∴a 1＝4,∴a n n ＝4n ,∴a 1＋a 22＋…＋a n n ＝12n (4＋4n )＝2n 2＋2n . 答案:2n 2＋2n12．(2019·深圳期中)在数列{a n }中,a 1＝1,a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n2＝a n (n ∈N *),则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析:由a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2＝a n (n ∈N *)知,当n ≥2时,a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n －1(n －1)2＝ a n －1,∴a n n 2＝a n －a n －1,即n ＋1n a n ＝n n －1a n －1,∴n ＋1n a n ＝…＝2a 1＝2,∴a n ＝2n n ＋1. 答案:2n n ＋113．(2019·衡阳四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3,a n ＋1＝4a n ＋3.(1)写出该数列的前4项,并归纳出数列{a n }的通项公式;(2)证明:a n ＋1＋1a n ＋1＝4. 解:(1)a 1＝3,a 2＝15,a 3＝63,a 4＝255.因为a 1＝41－1,a 2＝42－1,a 3＝43－1,a 4＝44－1,…,所以归纳得a n ＝4n －1.(2)证明:因为a n ＋1＝4a n ＋3,所以a n ＋1＋1a n ＋1＝4a n ＋3＋1a n ＋1＝4(a n ＋1)a n ＋1＝4. 14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5,则数列中有多少项是负数？n 为何值时,a n 有最小值？并求出最小值;(2)对于n ∈N *,都有a n ＋1>a n ,求实数k 的取值范围．解:(1)由n 2－5n ＋4<0,解得1<n <4.因为n ∈N *,所以n ＝2,3,所以数列中有两项是负数,即为a 2,a 3.因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94, 由二次函数性质,得当n ＝2或n ＝3时,a n 有最小值,其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1>a n ,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4,可以看作是关于n 的二次函数,考虑到n ∈N *,所以－k 2<32,解得k >－3. 所以实数k 的取值范围为(－3,＋∞)．15．(2019·武汉调研)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1,数列{b n }中,b n ＝2a n ＋1,且其前n 项和为T n ,设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式;(2)判断数列{c n }的增减性．解:(1)∵a 1＝S 1＝2,a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2),∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 23(n ＝1)1n (n ≥2).(2)由题意得c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1, ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1(2n ＋3)(2n ＋2)<0, ∴c n ＋1<c n ,∴数列{c n }为递减数列.。

(五年高考真题)2016届高考数学复习第六章第一节数列的概念及简单表示法理

第一节数列的概念及简单表示法考点数列的概念及表示方法1．(2013·辽宁，4)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列； p 3：数列{a nn }是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析如数列为{－2，－1，0，1，…}，则1×a 1＝2×a 2，故p 2是假命题；如数列为{1，2，3，…}，则a n n＝1，故p 3是假命题．故选D. 答案 D2．(2012·浙江，7)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0 D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列解析因S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，所以S n 是关于n 的二次函数，当d <0时，S n 有最大值，即数列{S n }有最大项，故A 命题正确．若{S n }有最大项，即对于n ∈N *，S n有最大值，故二次函数图象的开口要向下，即d <0，故B 命题正确．而若a 1<0，d >0，则数列{S n }为递增数列，此时S 1<0，故C 命题错误．若对于任意的n ∈N *，均有S n >0，则a 1＝S 1>0，且d 2n ＋a 1－d2>0对于n ∈N *恒成立，∴d2>0，即命题D 正确，故选C.答案 C3．(2011·江西，5)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝A ．1B ．9C ．10D ．55解析 ∵a 10＝S 10－S 9，又∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，∴S 10＝S 1＋S 9， ∴a 10＝(S 1＋S 9)－S 9＝S 1＝a 1＝1.故选A. 答案 A4．(2015·江苏，11)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（2＋n ）（n －1）2，即a n ＝n （n ＋1）2，令b n ＝1a n，故b n ＝2n （n ＋1）＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011.答案20115．(2013·新课标全国Ⅰ，14)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n＝________．解析 ∵S n ＝23a n ＋13，①∴当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13.②①－②，得a n ＝23a n －23a n －1，即a na n －1＝－2. ∵a 1＝S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.答案 (－2)n －16．(2015·安徽，18)设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线与x 轴交点的横坐标．(1)求数列{x n }的通项公式； (2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明T n ≥14n. (1)解 y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x 2n ＋1，曲线y ＝x2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)．令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. (2)证明由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2＝（2n －1）2（2n ）2>（2n －1）2－1（2n ）2＝2n －22n ＝n －1n . 所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n .综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n.7．(2014·广东，19)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)依题有⎩⎪⎨⎪⎧S 1＝a 1＝2a 2－3－4，S 2＝a 1＋a 2＝4a 3－12－8，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝15，解得a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7. (2)∵S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，①∴当n ≥2时，S n －1＝2(n －1)a n －3(n －1)2－4(n －1)．② ①－②并整理得a n ＋1＝（2n －1）a n ＋6n ＋12n .由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明．当n ＝1时，a 1＝2＋1＝3，命题成立；假设当n ＝k 时，a k ＝2k ＋1命题成立．则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝（2k －1）a k ＋6k ＋12k ＝（2k －1）（2k ＋1）＋6k ＋12k＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1，即当n ＝k ＋1时，结论成立．综上，∀n ∈N *，a n ＝2n ＋1.8．(2013·广东，19)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.(1)解依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)解由题意2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1.又a 22－a 11＝1，故数列{a nn }是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a n n＝1＋(n －1)×1＝n . 所以a n ＝n 2.(3)证明当n ＝1时，1a 1＝1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<74；当n ≥3时，1a n＝1n 2<1（n －1）n ＝1n －1－1n，此时1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝1＋14＋132＋142＋ (1)2<1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74.综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.。

高考数学一轮复习第六章数列第一节数列的概念及简单表示法课件文

C )
B.an=2n+3
D.an= 1, n 1 2n 3, n 2
答案 C 当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3,由于n=1时,a1=1不适合上式,故an=
1, n 1, 选C. 2n 3, n 2.
5.(2015北京东城模拟)已知函数f(x)的对应关系如下表所示,数列{an}满
1-1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:
(1)1,3,5,7,…; (2)2,5,10,17,…; (3) , , , , ,…; (4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…; (5)1,2,2,4,3,8,4,16,5,….
2 4 6 8 10 3 15 35 63 99
解析 (1)数列的前4项1,3,5,7都是项数的2倍减1,所以原数列的一个通项公式为an=2n-1. (2)如果数列的前4项分别减去1,则变为1,4,9,16,所以原数列的一个通项公式为an=n2+1. (3)分子为1×2,2×2,3×2,……,分母为1×3,3×5,5×7,……,故原数列的一
(-1)n-1(4n-3),则S11 = ( D ) A.-21
பைடு நூலகம்答案 D
B.-19
C.19
D.21
S11=(-4)×5+(-1)11-1(4×11-3)=-20+41=21.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式为( A.an=2n-3
C.an= 1, n 1 2n 3, n 2
2
23
(4)将数列变为 , , , ,…,对于分子3,5,7,9,…,是相应项数的2倍加1,

2016届数学一轮(文科) 人教A版课件第六章第1讲数列的概念及简单表示法

第1讲数列的概念及简单表示法
➢ 夯基释疑
概要
➢ 考点突破
➢ 课堂小结
考点一考点二考点三
例 1 训练1 例 2 训练2 例 3 训练3
第一页，编辑于星期五：十八点三十七分。
夯基释疑
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)所有数列的第 n 项都能使用公式表达．( ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (3) 任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( ) (4)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn，则对∀n∈N*，都有 an＝Sn－Sn－1.( )
(3)12，2，92，8，225，…；
(4)5，55，555，5 555，….
解
(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各
项都统一成分数再观察．即12，42，92，126，225，…，从而
可得数列的一个通项公式为 an＝n22.
各项统一格式，以便寻找规律，得出项与项数之间的关系
(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列 9，99，999，…
解析(1) ∵Sn＝2an＋1，∴当 n≥2 时，Sn－1＝2an，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)，即aan＋n 1＝32(n≥2)，
又当
an2＝＝112，时∴，aan1＝＝121×≠1232×n32－2－(n1＝≥213)，．∴an＝112， 32nn－＝2，1，n≥2，
的通项为 10n－1,故所求的数列的一个通项公式为 an＝59(10n－1)．
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考点突破考点一由数列的前几项求数列的通项

高考数学一轮复习第6章数列 1 第1讲数列的概念与简单表示法教案理-人教版高三全册数学教案

第1讲数列的概念与简单表示法知识点考纲下载数列的概念和简单表示法了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).了解数列是自变量为正整数的一类函数.等差数列理解等差数列的概念.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数的关系.等比数列理解等比数列的概念.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.了解等比数列与指数函数的关系.1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n通项公式数列{a n}的第n项与序号n之间的关系式前n项和数列{a n}中，S n＝a1＋a2＋…＋a n列表法列表格表示n与a n的对应关系图象法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a 1和a n 与a n ＋1的关系式或a 1，a 2和a n －1，a n ，a n ＋1的关系式等表示数列的方法n n 假设数列{a n }的前n 项和为S n ，那么a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4．数列的分类分类原那么类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列 a n ＋1>a n其中n ∈N *递减数列 a n ＋1<a n 常数列a n ＋1＝a n按其他标准分类摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)所有数列的第n 项都能使用通项公式表示．( ) (3)数列{a n }和集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }是一回事．( )(4)假设数列用图象表示，那么从图象上看都是一群孤立的点．( ) (5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．( )(6)假设数列{a n }的前n 项和为S n ，那么对∀n ∈N *，都有a n ＝S n －S n －1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n ≥2)，那么a 4＝( )A.32B.53C.74D.85解析：选B.由题意知，a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋1a 2＝32，a 4＝1＋1a 3＝53.数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，那么3( ) A ．不是数列{a n }中的项 B ．只是数列{a n }中的第2项 C ．只是数列{a n }中的第6项 D ．是数列{a n }中的第2项或第6项解析：选D.令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，解得n ＝2或n ＝6，故3是数列{a n }中的第2项或第6项．假设数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，那么这个数列是__________数列．(填“递增〞或“递减〞或“摆动〞) 解析：法一：令f (x )＝xx ＋1，那么f (x )＝1－1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么数列{a n }是递增数列．法二：因为a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝1〔n ＋1〕〔n ＋2〕＞0，所以a n ＋1＞a n ，所以数列{a n }是递增数列．答案：递增数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝________．解析：由得，数列可写成11，23，35，…，故通项公式可以为n2n －1.答案：n2n －1由a n 与S n 的关系求通项公式a n (高频考点)a n 与S n 关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的条件中，属容易题．高考对a n 与S n 关系的考查主要有以下两个命题角度： (1)利用a n 与S n 的关系求通项公式a n ；(2)利用a n 与S n 的关系求S n .[典例引领]角度一利用a n 与S n 的关系求通项公式a n数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，那么a n ＝________．【解析】因为a n ，S n ，a 2n 成等差数列，所以2S n ＝a n ＋a 2n ，当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 1＋a 21，又a 1>0，所以a 1＝1，当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，所以(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，又a n ＋a n －1>0，n ≥2，所以a n －a n －1＝1，n ≥2，所以{a n }是等差数列，其公差为1，因为a 1＝1，所以a n ＝n (n ∈N *)．【答案】 n角度二利用a n 与S n 的关系求S n设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，那么S n ＝________．【解析】由得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，两边同时除以S n ＋1S n ，得1S n ＋1－1S n ＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，那么1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n.【答案】－1n(1)S n 求a n 的三个步骤 ①先利用a 1＝S 1求出a 1.②用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式．③注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并．(2)S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． ①利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． ②利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．[通关练习]1．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋1，那么a n ＝________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2·3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. 2．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，那么S n ＝________．解析：法一：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n ，所以a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n (n ≥2)，即a n ＋1a n ＝32(n ≥2)，又a 2＝12，所以a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1≠12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝13，所以a n＝⎩⎨⎧1，n ＝1，12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，所以S n ＝2a n ＋1＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.法二：因为S 1＝a 1，a n ＋1＝S n ＋1－S n ，那么S n ＝2(S n ＋1－S n )，所以S n ＋1＝32S n ，所以数列{S n }是首项为1，公比为32的等比数列，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －13．数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＝3n 2－2n ＋1，求a n . 解：设a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＝T n ，当n ＝1时，a 1＝T 1＝3×12－2×1＋1＝2，当n ≥2时，na n ＝T n －T n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，因此a n ＝6n －5n，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5n，n ≥2.由递推关系求数列的通项公式[典例引领]分别求出满足以下条件的数列的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＝nn －1a n －1(n ≥2，n ∈N *)；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．【解】 (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋1＋3＋…＋(2n －5)＋(2n －3)＝(n －1)2，所以数列的通项公式为a n ＝(n －1)2. (2)当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×21×32×…×n －2n －3×n －1n －2×nn －1＝n ，当n ＝1时，也符合上式，所以该数列的通项公式为a n ＝n .(3)因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以该数列的通项公式为a n ＝2·3n －1－1.假设本例(3)条件a n ＋1＝3a n ＋2变为a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1，求a n .解：因为a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1，所以a n ＋13n ＋1＝a n3n ＋1，所以数列{a n 3n }是以13为首项，1为公差的等差数列．所以a n 3n ＝13＋(n －1)＝n －23，所以a n ＝n ·3n－2·3n －1.由数列递推式求通项公式的常用方法[通关练习]1．(2018·某某市诊断考试)数列{a n }，{b n }，假设b 1＝0，a n ＝1n 〔n ＋1〕，当n ≥2时，有b n ＝b n －1＋a n －1，那么b 2 017＝________．解析：由b n ＝b n －1＋a n －1得b n －b n －1＝a n －1，所以b 2－b 1＝a 1，b 3－b 2＝a 2，…，b n －b n －1＝a n －1，所以b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1〔n －1〕×n ，即b n －b 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1〔n －1〕×n ＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n ＝n －1n ，因为b 1＝0，所以b n ＝n －1n ，所以b 2 017＝2 0162 017. 答案：2 0162 0172．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2na n ，那么a n ＝________．解析：由于a n ＋1a n＝2n，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n 〔n －1〕2，故a n ＝2n 〔n －1〕2. 答案：2n 〔n －1〕2数列的性质(高频考点)数列的性质主要有单调性、周期性及最值问题，是高考的热点，多以选择题或填空题形式考查，多存在一定难度．高考对数列的性质的考查常有以下三个命题角度： (1)数列的单调性； (2)数列的周期性； (3)数列的最值．[典例引领]角度一数列的单调性{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，那么实数λ的取值X围是________．【解析】 {a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3. 【答案】 (－3，＋∞) 角度二数列的周期性设数列{a n }满足：a n ＋1＝1＋a n1－a n，a 2 018＝3，那么a 1＝( )A ．－12B. 12 C ．－13D. 13【解析】设a 1＝x ，由a n ＋1＝1＋a n1－a n，得a 2＝1＋x 1－x，a 3＝1＋a 21－a 2＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x 1－x＝－1x，a 4＝1＋a 31－a 3＝1－1x 1＋1x＝x －1x ＋1， a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ＝a 1，所以数列{a n }是周期为4的周期数列．所以a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝1＋x1－x ＝3.解得x ＝12.【答案】 B角度三数列的最值数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn ，k ∈N *，且S n k ，并求数列{a n }的通项公式．【解】因为S n ＝－12n 2＋kn ＝－12(n －k )2＋12k 2，其中k 是常数，且k ∈N *，所以当n ＝k 时，S n 取最大值12k 2，故12k 2＝8，k 2＝16，因此k ＝4，从而S n ＝－12n 2＋4n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 2＋4n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12〔n －1〕2＋4〔n －1〕＝92－n .当n ＝1时，92－1＝72＝a 1，所以a n ＝92－n .(1)利用递推公式探求数列的周期性的两种思想思想1：根据递推公式，写出数列的前n 项直到出现周期情况后，利用a n ＋T ＝a n 写出周期〔n ＋T 〕－n ＝T .思想2：利用递推公式“逐级〞递推，直到出现a n ＋T ＝a n ，即得周期T ＝〔n ＋T 〕－n . 〔2〕判断数列的单调性的两种方法[通关练习]1．数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2n ，且a 1＝33，那么a n n的最小值为( ) A ．21 B ．10 C.212D.172解析：选C.由条件可知，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝33＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n 2－n ＋33，又n ＝1时，a 1＝33满足此式．所以a n n＝n ＋33n－1.令f (n )＝a n n＝n ＋33n－1，那么f (n )在[1，5]上为减函数，在[6，＋∞)上为增函数，又f (5)＝535，f (6)＝212，那么f (5)>f (6)，故f (n )＝a n n 的最小值为212.2．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝－1a n －1＋1(n ≥2且n ∈N *)，假设数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 2 018＝________．解析：因为a 1＝2，a 2＝－13，a 3＝－32，a 4＝2，所以数列{a n }是周期为3的数列，所以S 2 018＝672×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13－32＋2－13＝3413. 答案：3413数学文化与数列问题[典例引领](2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？〞意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，那么塔的顶层共有灯( ) A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏【解析】每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，那么前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得a 1〔1－27〕1－2＝381，解得a 1＝3.【答案】 B解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，即数列问题，利用数列的通项公式及求和公式求解．[通关练习]1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？〞其意思为：“甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？〞(“钱〞是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( ) A.54钱 B.53钱 C.32钱 D.43钱解析：选 D.设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16.2．(2018·某某第二次适应性检测)《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《X 丘建算经》卷上第22题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈〞(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布，那么第30天比第一天多织布的尺数是( )A ．19B ．18C ．17D ．16解析：选D.依题意，织女每天所织布的尺数依次排列形成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝5，S 30＝30〔a 1＋a 30〕2＝390，a 1＋a 30＝26，a 30＝26－a 1＝21，a 30－a 1＝16.数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N *或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．数列的单调性的判断(1)作差比较法．a n ＋1－a n >0⇔数列{a n }是递增数列；a n ＋1－a n <0⇔数列{a n }是递减数列；a n ＋1－a n ＝0⇔数列{a n }是常数列． (2)作商比较法．当a n >0时，那么a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是递增数列；a n ＋1a n<1⇔数列{a n }是递减数列；a n ＋1a n＝ 1⇔数列{a n }是常数列．当a n <0时，那么a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是递减数列；a n ＋1a n<1⇔数列{a n }是递增数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列．易错防X(1)数列是按一定“次序〞排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数〞有关，而且还与这些“数〞的排列顺序有关．(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．1．数列1，2，7，10，13，…，那么219在这个数列中的项数是( ) A ．16 B ．24 C ．26 D ．28解析：选 C.因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，解得n ＝26.2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，那么a 3a 5的值是( ) A.1516B.158 C.34D.38解析：选C.由得a 2＝1＋(－1)2＝2，所以2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，所以12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，所以3a 5＝3＋(－1)5，所以a 5＝23，所以a 3a 5＝12×32＝34.3．(2018·某某市统一模拟考试)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？〞该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( ) A.176升 B.72升 C.11366升 D.10933升解析：选 A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A.4．数列{a n }中，如果存在a k ，使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2，k ∈N *)，那么称a k 为数列{a n }的峰值．假设a n ＝－3n 2＋15n －18，那么{a n }的峰值为( ) A ．0 B ．4 C.133D.163解析：选A.因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，且n ∈N *，所以当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，最大值为a 2＝a 3A.5．(2018·某某省五校协作体第一次诊断考试)数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a 1＋a n ＋n (n ∈N *)，那么1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016等于( )A.4 0322 017B.4 0282 015C.2 0152 016D.2 0142 015解析：选 A.由a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋a n ＋n 可得a n ＋1－a n ＝n ＋1，利用累加法可得a n －a 1＝〔n －1〕〔n ＋2〕2，所以a n ＝n 2＋n 2，所以1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋12 016－12 017 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12 017＝4 0322 017，选A. 6．数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，那么数列{a n }的一个通项公式是________．解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－2－32，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故其通项公式可以为a n ＝(－1)n·2n－32n .答案：a n ＝(－1)n·2n－32n7．假设数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，那么数列{a n }的通项公式为________．解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝〔n ＋1〕〔n ＋2〕，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n 〔n ＋1〕，故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *. 答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N *8．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，那么a 2 018＝________．解析：因为a 1＝1，所以a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1， a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的周期数列，所以a 2 018＝a 2＝0. 答案：09．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－2＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n －2)＝2n ＋1－2n ＝2n.因为a 1也适合此等式，所以a n ＝2n(n ∈N *)．(2)因为b n ＝a n ＋a n ＋1，且a n ＝2n，a n ＋1＝2n ＋1，所以b n ＝2n＋2n ＋1＝3·2n.10．数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1且前n 项和为T n ，设＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{}的增减性．解：(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．所以b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23〔n ＝1〕，1n 〔n ≥2〕.(2)因为＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1，所以＋1－＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1〔2n ＋3〕〔2n ＋2〕＜0，所以＋1＜，所以数列{}为递减数列．1．(2018·某某某某模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝〔n ＋1〕a n2，那么a 2 017＝( ) A ．2 016 B ．2 017 C ．4 032D ．4 034解析：选B.由题意知n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝〔n ＋1〕a n 2－na n －12，化为a n n ＝a n －1n －1，所以a nn＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1，所以a n ＝n .那么a 2 017B. 2．(2018·某某六校模拟)数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．假设b n ＋1＝(n －2λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－32λ，且数列{b n }是单调递增数列，那么实数λ的取值X 围是( ) A ．λ<45B ．λ<1C ．λ<32D ．λ<23解析：选A.因为数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)，所以a n >0，1a n ＋1＝2a n＋1，那么1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋1是等比数列，且首项为1a 1＋1＝2，公比为2，所以1a n＋1＝2n.所以b n ＋1＝(n －2λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n＋1＝(n －2λ)·2n (n ∈N *)，所以b n ＝(n －1－2λ)·2n －1(n ≥2)，因为数列{b n }是单调递增数列，所以b n ＋1>b n ，所以(n －2λ)·2n>(n －1－2λ)·2n －1(n ≥2)，可得λ<n ＋12(n ≥2)，所以λ<32，又当n ＝1时，b 2>b 1，所以(1－2λ)·2>－32λ，解得λ<45，综上，λ的取值X 围是λ<45，应选A.3．以下关于星星的图案构成一个数列，那么该数列的一个通项公式是________．解析：从题图中可观察星星的构成规律，n ＝1时，有1个，n ＝2时，有3个；n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…，所以a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n 〔n ＋1〕2.答案：a n ＝n 〔n ＋1〕24．(2018·某某市第二次诊断性检测)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n 2n 2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2的前n 项和T n ＝________．解析：由题意知a n a n －1＝n 2n 2－1＝n 2〔n －1〕〔n ＋1〕，所以a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝1×2222－1×3232－1×…×n2n 2－1＝ 22×32×42×…×n2〔2－1〕〔2＋1〕〔3－1〕〔3＋1〕〔4－1〕〔4＋1〕…〔n －1〕〔n ＋1〕＝22×32×42×…×n 21×3×2×4×3×5×…×〔n －1〕×〔n ＋1〕＝2n n ＋1，所以a n n 2＝2n 〔n ＋1〕＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2的前n 项和T n ＝2(11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 答案：2nn ＋15．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－13，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式； (2)求n 为何值时，a n 最小．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6，b n ＝a n ＋1－a n ，得b n ＋1－b n ＝2n －6，b 1＝a 2－a 1＝－14.当n ≥2时，b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋(b 4－b 3)＋…＋(b n －b n －1) ＝－14＋(2×1－6)＋(2×2－6)＋(2×3－6)＋…＋[2(n －1)－6]＝－14＋2×n 〔n －1〕2－6(n －1)＝n 2－7n －8，当n ＝1时，上式也成立．所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2－7n －8. (2)由(1)可知a n ＋1－a n ＝n 2－7n －8＝(n ＋1)(n －8)，当n <8时，a n ＋1<a n ，即a 1>a 2>a 3>…>a 8，当n ＝8时，a 9＝a 8，当n >8时，a n ＋1>a n ，即a 9<a 10<a 11<… 所以当n ＝8或n ＝9时，a n 的值最小．6．设数列{a n }的前n 项和为S n .a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n，求数列{b n }的通项公式； (2)假设a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值X 围．解：(1)依题意得S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n，即S n ＋1＝2S n ＋3n，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n)，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，因此，所求通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)可知S n ＝3n＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3，所以，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9，又a 2＝a 1＋3＞a 1，a ≠3.所以，所求的a 的取值X 围是[－9，3)∪(3，＋∞)．。

2016届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案28 数列的概念与简单表示法

第六章数列学案28 数列的概念与简单表示法导学目标：1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式)。

2。

了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．自主梳理1．数列的定义按________________着的一列数叫数列，数列中的______________都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是________________________的函数，数列的一般形式为：______________________，简记为｛a n｝，其中a n是数列的第____项．2．通项公式:如果数列{a n｝的______与____之间的关系可以____________来表示,那么这个式子叫做数列的通项公式．但并非每个数列都有通项公式,也并非都是唯一的．3．数列常用表示法有：_________、________、________。

4．数列的分类：数列按项数来分，分为____________、__________;按项的增减规律分为________、________、__________和__________．递增数列⇔a n＋1______a n；递减数列⇔a n＋1______a n；常数列⇔a n＋1______a n。

5．a n与S n的关系：已知S n，则a n＝错误!自我检测1．（2011·汕头月考）设a n＝－n2＋10n＋11，则数列{a n｝从首项到第几项的和最大( )A．10 B．11C．10或11 D．122．已知数列｛a n}对任意的p，q∈N*满足a p＋q＝a p＋a q，且a2＝－6，那么a10等于（)A．－165 B．－33 C．－30 D．－21 3．(2011·龙岩月考)已知数列－1，错误!，－错误!,错误!，…按此规律,则这个数列的通项公式是( ）A．a n＝(－1）n·错误!B．a n＝（－1）n·错误!C．a n＝(－1)n·错误!D．a n＝（－1)n·错误!4．下列对数列的理解：①数列可以看成一个定义在N＊（或它的有限子集｛1,2,3，…,n｝）上的函数；②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．①②③④5．(2011·湖南长郡中学月考）在数列{a n}中,若a1＝1，a2＝错误!，错误!＝错误!＋错误!（n∈N*）,则该数列的通项a n＝______。

2016高考数学一轮总复习课件：第5章数列第1节数列的概念与简单表示法

第五章数列第二十二页，编辑于星期六：点二十九分。
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课时作业
思路点拨观察递推式的特点，可以利用累加(乘)或迭代法求通项公式．
[解析] (1)由题意得，当 n≥2 时， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋n－122＋n＝nn2＋1＋1. 又 a1＝2＝1×21＋1＋1，符合上式，因此 an＝nn2＋1＋1.
第五章数列第十八页，编辑于星期六：点二十九分。
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活学活用 1 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
(1)12，14，－58，1136，－2392，6614，…； (2)32，1，170，197，…； (3)0,1,0,1，….
第五章数列第十九页，编辑于星期六：点二十九分。
(3)an＝01
n为奇数 n为偶数
或
an＝1＋2－1n或
an＝1＋c2os
nπ .
第五章数列第二十一页，编辑于星期六：点二十九分。
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考向二由数列的递推关系求数列的通项公式例 2 (1)设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项 an＝________. (2)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，则它的一个通项公式为 an＝________. (3)在数列{an}中，a1＝1，前 n 项和 Sn＝n＋3 2an.则{an}的通项公式为________．

人教版高考总复习一轮数学精品课件主题二函数第六章数列-第一节数列的概念及简单表示法

二、数列的表示方法
通项公式
公式法
递推公式
列表法
列表格表示与的对应关系
图象法
,
把点_______画在平面直角坐标系中
一个式子
把数列的通项使用__________表示的方法
使用初始值1 和+1 = 或1 ,2 和+1 = , −1 等表示数列
的方法
通项公式为 = ,则数列的第16项为第8个偶数.即
= × = × = × = .又 = = ,∴ = ,∴ = .故
选.
+2
∗
31 5 3 7

=
,
∈

（2） , , , , ,…的一个通项公式为________________.
2
3
+
3
32
+ ⋯+

3−1
= 4+1 ,则数列{ }的通项公式为
16, = 1,
= ቊ
12 , ≥ 2 .
___________________

[解析]由题意知 + + + ⋯ + − = + ①,∴ = ,

−
项公式可以为 =
( ∈ ∗ ).故选C.
−
（2）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,⋯,第
+1
个三角形数为
2
1 2

2
1
=
+ .记第个边形数为 , ≥ 3 ,下列给出了部分

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