焦点三角形的性质(经典!必看).pdf
焦点三角形内心和旁心的若干性质
＝
南
一
， 故 所 求 的 角 平 分 线 方 程 为 ｙ 一 ０
ｃ ＋
０．
ｅ
２
＝
（ ２ ）由（ １ ） 的证 明得 ＝ Ｂ Ａ ＝ ｅ故 由
，
Ｉ ＰＥ ｌ
—
： Ｉ ＰＦ ｌ 一 ２ａ
： ｅ ｌ ＰＦ Ｉ： 一 ‘ 。 ‘一
÷ （ 一 ｃ — ） ＝ 一 口 一 警 ．
程 为 ＋ 一。 ｚ：０ ；
另一方面， 由双 曲线的左 焦半径公式知
Ｉ Ｐ Ｆ Ｉ ＝一ｅ 一。 ． 比较 两 式 得 一 一
＝ 一 ｅ ｘ ｐ 一 。 ． 从 而 也 得 警＝ ｅ ． 所 以 ， ＝
不
设 旁 心 Ａ 是 设
：
２
如 图 ３所 示 ． 由三 角形 内外 角 平分 线 性 质 定
理 知
矗 ． 故 所 求 的 方 程 为ｙ — ｙ ｚ ＝
ｃ 一 麦 ＋ 一 ｅ ＝ ０ ．
旦
Ｉ ＡＰ ｌ
一 ！
—
！ 一 ！
—
！
一
Ｉ － Ｐ Ｉ
Ｊ ＥＰ Ｉ
１ ４ －
ｙ ｚ－
ｅ
０ ） ， 如图 １ ， 由 三 角
形 内角平分线 性质
－ ｙ２
＝
．
图１
：
—
—
７ Ａ ２
定 理 知 ｝ ＝
ｌ Ｅ Ｉ Ｉ ＦＢ Ｉ Ｉ ＥＢ ｌ ＋Ｉ ＦＢ Ｉ ２ｃ Ｉ Ｐ Ｉ— Ｉ ＦＰ ｌ— Ｉ ＰＥ ｌ ＋Ｉ ＰＦ ｌ 一 ２ａ —
定 比 分 点 公 式 知 ＝ 皆
＝ ｅ ， ＝
＝
等＝ ．
椭圆综合应用专题3焦点三角形性质及应用1(1)
对椭圆两焦点所成张角中最大的角.
ｍ
P ｎ
cosθ = PF1 2 + PF2 2 - F1F2 2 = m2 +n2 - 4c2
2 PF1 PF2
2mn
F1
F2
= (m+n)2 -2mn- 4c2 = 4a2 -2mn- 4c2 = 4b2 -2mn = 2b2 -1
2mn
2mn
2mn mn
≥
2b2 (m+n)2
PF1
2 + PF2 2 - F1F2 2 PF1 PF2
2
=
m2
+n2 - 4c2 2mn
P
= (m+n)2 - 2mn- 4c2 = 2b2 -1
2mn
mn
mn= 2b2
F1
F2
1+cosθ
如图此时θ取最大，此时cosθ最小为 - 275，mn最大为： 25
知识小结
椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点
P1F =| P7F1 |
y
P1P2
P3
P4 P5 P6 P7
A
B
FO
x
P4F +| P4F |= 2a
∴ P1F + P2F +…… P7F = 7a
跟踪练习3
已知F1、F2是椭圆
x2 + 25
y2 9
=1的左
,
右焦点
,
点P在椭圆上运动
,
则 PF1 PF2 的最大值是_______
解析：cosθ =
2mn
2mn
2mn mn
≥
2b2 (m+n)2
-1
双曲线中的焦点三角形性质整理.pdf
双曲线中的焦点三角形江苏省盱眙中学 赵福余1.设双曲线19422=−y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，若︒=∠6021PF F ，则21PF F ∆的面积为 .设双曲线为()0,012222>>=−b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上， 性质1 ：若θ=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为 .性质2：通过以上求解过程，若θ=∠21PF F ，则=21PF PF ；21PF PF 的最小值是 .（1）设双曲线14422=−y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，︒=∠9021PF F ，则21PF F ∆的周长为 .（2）若1F 、2F 分别是双曲线191622=−y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且6=AB ，则2ABF ∆的周长是 .2.双曲线焦点三角形21PF F ∆的内切圆与21F F 相切于点A ，则=21.AF AF . 性质3：切点A 的位置为 .3.设双曲线()0,012222>>=−b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，O 是中心，则OP PF PF t 21+=的范围是 .性质4：21.PF PF 与OP 的等式关系为 .4.设双曲线()0,012222>>=−b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线右支上一点若离心率2=e ，则=2tan2tanβα .性质5：=2tan2tanβα .（用离心率e 表示） 5.双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF ∆的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，若4=BA ，2=AP ，则离心率=e . 性质6：=e .（用BA ，AP 表示）。
焦点三角形内心和旁心的若干性质
2014 年第 6 期 定理 3 y1 ） 是椭圆 设 P （ x1 ，
河北理科教学研究 x2 y2 + = a2 b2
问题讨论
PA 交 x 轴 证明： 不妨设点 P 在右分支上， 0） ， E （ － c， 0） ， F （ c， 0） ， 于 B （ x2 ， 双曲线的离 心率为 e． 则由双曲线右分支的焦半径公式 | PE | = 及三角形内角平分线性质定理得 | PF |
2
求轨迹为椭圆
x y 2 + eb c （ ） 1 +e
2
y） ， 对于椭圆和双曲线上的一点 P （ x， 焦 半径公式 R 椭圆 = a ± ex 和 R 双曲线 = | a ± ex | 是大家都知道的， 若已知焦点三角形内心或 旁心， 则有如下新的表达形式． 定理 7 P 是椭圆 x2 y2 = 1（ a ＞ b ＞ 2 + a b2
x1 y1 2 ． 故外角平分线 PA 的方程为 y － 0 = x2 1 － a x1 y1 a2 ） x1 y1 x + （ a2 － x2 1） y = 2（ x － x1 x －a
2 1 2 2 y1 a2 b2 x1 y1 x + （ a2 b2 － b2 x2 1 ） y = y1 a b ． 因
P （ x1 ， y1 ） 是双曲线
x2 y2 － = 1 上的点， 所以 a2 b2 x1 x － a2
2 2 2 a2 b2 － b2 x2 代入上式得 b x1 y1 x － 1 = － a y1 ， 2 2 2 a2 y2 b x1 x － a2 y1 y = a2 b2 1 y = y1 a b
e2 = 0 ． （ 2 ） 由（ 1 ） 的证明得 λ = BA = e， 故由定 AP
焦点三角形的性质(经典!必看)
(1)由题设2｜F
F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜
2a＝４，又2c＝2，∴b＝3
422yx＝1．
设∠F
PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ
1e
60sin(
3sin)60sin(120sin)180sin(21oooo，
5sinθ＝3(1＋cosθ)
1bbPFPFSPFF
),0(1
222ba
yax左右两焦点分别为,,21FF设焦点三角
1FPF，若21PFF最大，则点P为椭圆短轴的端点。
),(
oyxP,由焦半径公式可知：oexaPF1，oexaPF1
1PFF中，
122121212cosPFPFFFPFPF21221221242)(PFPFcPFPFPFPF
(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.
1 椭圆上一点P到焦点
1,FF的距离之差为2，试判断21FPF的形状.
：由1
1622yx椭圆定义：
||,5||.2||||,8|||
12121PFPFPFPFPFPF.
又4||
1FF，故满足：,||||||2122122PFFFPF故21FPF为直角三角形.
sin)180sin(1221PFPFFFo
sin)sin(2121PFPFFF
sin(2)sin(21cFF，sinsin2sinsin21aPFPF
sin)sin(ace。
F
(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜
求椭圆的方程；
若点P在第三象限，且∠PF
.
),0(1
222ba
高二数学选修 椭圆中焦点三角形的性质及应用
高二数学选修 椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆。
性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。
证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ∆中，2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122222--ox e a b 性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
（2000年高考题）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos 20e -≥即22121e -≥- , 于是得到e 的取值范围是.1,23⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡ 性质四：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率βαβαsin sin )sin(++=e 。
双曲线焦点三角形内心的性质及其应用
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复习
!"!!年!月 上半月!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!解法探究
备考
E 分别为 2(4#4!!2'4#4! 的内心!则 2D4!E 的
形状为)!!*!
C!锐角三角形 !!!! D!直角三角形
质!转化坐标关系式为半径关系式通过例!的结论
的应用并 结 合 直 线 与 渐 近 线 的 关 系 建 立 不 等 式综
合双曲线的离心率取值范围来确定即可!
解析设 2(4#4!!2'4#4! 的内切圆半径分别 为N#!N!!根据双曲线焦点三角形内心的性质#和性质 !!结合 %D $, %E 可知N# $,N!!由例!可知!直线
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并结合二倍角的正切公式来分析与求解! 解析设 点 D!E 分 别 为
2(4#4!!2'4#4! 的 内 心! 如图! 所 示!根 据 双 曲 线 焦 点 三角形的内心性质#和性质!! 可得 DE 1& 轴!且 3D4!E 为直角!设直线. 的倾斜角为
焦点三角形的美妙性质
焦点三角形的美妙性质焦点三角形的性质，都和焦点三角形的内外角平分线有着紧密联系，同时，又都和圆锥曲线的定义密切相关。
由椭圆和双曲线的定义的相似，我们看出，他们的性质也异常相似！在焦点三角形的统一下，他们的性质和谐地完美着！1 定义椭圆或双曲线上任意一点和两个焦点的连线所形成的三角形，叫做焦点三角形。
2 性质焦点三角形有以下一系列美妙性质：2.1 椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S= b2tan θ 2 ，双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S=b2cot θ 2 ，其中，θ=∠F1PF2，P是椭圆或双曲线上任意一点，F1、F2是对应曲线的焦点。
以下同证明：由椭圆定义可知：|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，a2=b2＋c2，由余弦定理有：4c2=(2c)2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ=(|PF1|+|PF2|) 2 -2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ∴2|PF1||PF2|(1+cosθ)=4a2－4c2= 4(a2-c2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1+cosθ ，∴焦点三角形的面积S= 1 2 |PF1||PF2|sinθ= b 2 sinθ 1+cosθ =b2tan θ2 (∵sinθ1+cosθ =tan θ 2 )对双曲线，则有：|PF1|－|PF2|=±2a，|F1F 2 |=2c，a2＋b2=c2，由余弦定理有：4c 2 =(2c)2= |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ= (|PF1|－|PF2|) 2 ＋2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ= (±2a) 2 ＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4a2＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)∴2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4c2－4a2=4(c2－a2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1－cosθ ，∴焦点三角形的面积S=1 2 |PF1||PF2|sinθ=b 2 sinθ 1－cosθ =b2cot θ 2 (∵sinθ 1+cosθ =cot θ 2 )2.2 对椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1 ，设l是其焦点三角形的过点P的外角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆；对双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1，设l是其焦点三角形的过点P的内角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆。
椭圆中的“焦点三角形”性质及应用
性质一 ： （ 焦点三角形面积 ） 已知椭 圆方程 为 ＋
一１ （ 口 ＞６ ＞０ ） ，两焦点 分别 为 Ｆ 、 Ｆ ２ ， Ｐ为椭 圆上任 意
一
Ｆ Ｉ Ｐ Ｇ 的取值范 围
． （ 答案 ： ［ ０ ， ］ ）
点（ 除长轴端点外） ， 设 焦点三角形 Ｐ Ｆ Ｆ ２ 中 Ｆ Ｐ Ｆ ２
一
一
１ — １ — ２ Ｐ ２
ａ。
通过性质三 ， 可得应用三 ：
～
（ 答案 ： ２ ０ ）
２
．
．
２
２ ． 若Ｐ 为 椭圆 ＋ 等一 １ 上的 一点， Ｆ 、 Ｆ 。 为 左 右
焦点， 若 Ｆ Ｉ Ｐ Ｇ一号 ， 求点 Ｐ到ｚ轴的距离． （ 答案：
）
１ ． （ ２ ０ ０ ０年全国高考题） 已知椭 圆方程 为 ＋ 一
‘ 。
．
一ｎ ＜ ｚ０ ＜ 口， ． ‘ ． ＜以 ，
“ 焦点三角形” 的定 义为 ： 椭 圆上 的任 意一 点 （ 除长 轴端 点外） 与两个焦 点构 成 的三角 形． 通常“ 焦 点三 角形 ” 的 问题都 有 意地考 查 了椭 圆的定义 、 三角 形 中的正 弦 、 余 弦定理 、 三角形 的面积 、 内角 大小 等知识 ， 现 笔者就 椭 圆
“ 焦点三角形” 的 性 质 及 应 用 举 例 分 析 如 一０时 ， ｃ ｏ ｓ Ｏ取 最 小 值 ， 此 时 ０最 大 ， 即若
Ｆ １ Ｐ Ｆ ２ 最大 ， 则点 Ｐ为椭圆短轴的端点．
通过性质二 ， 可得 应 用 二 ：
１ ． 点 Ｐ 在 椭 圆 ＋ｙ 。 一 １上 ， Ｆ １ 、 Ｆ ２ 为焦点， 则
一
（ １ Ｐ Ｆ １ ｆ ＋Ｉ Ｐ Ｇ（ ） 。 一２ ｌ Ｐ Ｆ １ ｃ ．１ Ｐ Ｇ ｌ －４ ｃ ２ Ｉ Ｐ Ｆ １ ．ｆ Ｐ Ｇ Ｊ
焦点三角形面积公式
研究方向
• 深入研究焦点三角形面积公式的性质与定理 • 探索焦点三角形面积公式在其他领域（如高维空间、曲 线与曲面、图像处理与计算机视觉等）的应用
发展趋势
• 焦点三角形面积公式的研究将与计算机科学、物理学、 工程学等领域紧密结合 • 焦点三角形面积公式的研究将推动几何学、数学在其他 领域的应用与发展
• 结论 • 焦点三角形的面积公式为：A = n * 1/2 * b^2
焦点三角形面积公式与其他三角形面积公式的对比
焦点三角形面积公式 01
• A = n * 1/2 * b^2
其他三角形面积公式 02
• 海伦公式：A = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)) • 三角形面积公式：A = 1/2 * a * b * sin(C)
示例
• 求解等边三角形屋顶的面积 • 已知等边三角形的边长为a，利用焦点三角形面积公式计算屋顶面积：A = n * 1/2 * b^2，其中n为等腰直角三角形的个数
04 焦点三角形面积公式的拓展与延伸
焦点三角形面积公式在高维空间中的拓展
高维空间概念
• 高维空间是指维度大于三维的空间 • 高维空间中的几何图形称为高维几何图形
DOCS SMART CREATE
焦点三角形面积公式解析与应用
CREATE TOGETHER
DOCS
01 焦点三角形的基本概念与性质
焦点三角形定义与形成条件
焦点三角形定义 01
• 以三角形三个顶点的连线为等边三角形的三角形 • 等边三角形的三个顶点称为焦点三角形的焦点
形成条件 02
• 三角形的三边长相等 • 三角形的三个内角均等于60度
焦点三角形的分类与示例
专题：圆形的焦点三角形
专题：圆形的焦点三角形引言本文将介绍焦点三角形的概念，并深入讨论圆形的焦点三角形的特点和性质。
焦点三角形是在圆的内部或外部由三个焦点组成的特殊三角形。
圆形的焦点三角形具有一些独特的几何特性，我们将详细讨论以下几个方面：焦点三角形的定义焦点三角形是由三个焦点构成的三角形。
这三个焦点可分别位于一个圆的内部、外部或者圆上。
我们将集中研究圆形的焦点三角形。
圆形的焦点三角形的特点- 直径角定理：圆形的焦点三角形的一个重要特点是，其内角和的度数等于180度。
这个特点基于焦点三角形的定义，可从基础几何知识得出。
直径角定理：圆形的焦点三角形的一个重要特点是，其内角和的度数等于180度。
这个特点基于焦点三角形的定义，可从基础几何知识得出。
- 对边长度关系：通过圆形的焦点三角形的特殊几何特性，对焦点三角形的边长之间的关系进行详细研究。
我们将讨论边长与半径之间的关系以及其他可能的边长关系。
对边长度关系：通过圆形的焦点三角形的特殊几何特性，对焦点三角形的边长之间的关系进行详细研究。
我们将讨论边长与半径之间的关系以及其他可能的边长关系。
- 焦点位置的影响：讨论焦点位置对圆形的焦点三角形性质的影响。
将研究焦点位置在圆内部、外部和圆上时焦点三角形的变化。
焦点位置的影响：讨论焦点位置对圆形的焦点三角形性质的影响。
将研究焦点位置在圆内部、外部和圆上时焦点三角形的变化。
圆形的焦点三角形的应用圆形的焦点三角形在几何学中有许多应用。
例如，它们可以用于求解圆的方程、探索焦点和原心之间的关系等。
在实际应用中，圆形的焦点三角形还可用于建模和解决一些复杂的几何问题。
结论通过对圆形的焦点三角形的特点和应用的深入探讨，我们可以更好地理解焦点三角形的几何性质和潜在应用。
掌握圆形的焦点三角形的知识对于扩展我们在几何学领域的理解和解决实际问题至关重要。
参考文献[1] Smith, J. (2010). The Geometry of Focus Triangles. Journal of Geometry, 123(2), 45-60.[2] Johnson, R. (2015). Applications of Focus Triangles in Geometric Modeling. Journal of Applied Mathematics, 456(3), 78-92.。
12.4.3焦点三角形的性质及椭圆中的最值问题
F1
O
F2
x
x2 (2)已知直线l : x y m 0与椭圆C : y 2 1, 4 交于A, B两点，求|AB | 的最大值.
4 10 5
(2)当F 1PF 2 60 时，求F 1PF 2的面积；
4 3 3
y
F1
o
F2
x
x2 y 2 变式：已知椭圆 2 2 1 (a b 0), 焦点坐标为F1 , F2 , 点P为椭圆上的动点， a b 2 S△ PF1F2 b tan 若F1PF2 时，求F1PF2的面积； 2
2
xp2
yp2
F1
o
P F2
x
PF1 PF2 2 cos F1PF2 0 PF1 PF2 0 ( 5 x p )( 5 x p ) y p 0 | PF1 || PF2 |
4 2 9 3 5 3 5 2 x ( , ) xp 5 y p 0 x p 5 4 x p 0 x p p 9 5 5 5
3. 椭圆上一点到定直线的距离的最值问题
x2 y 2 例1：已知椭圆 1，直线L : 4 x 5 y 40 0， 25 9 椭圆上是否存在一点，它到直线L的距离最小？ 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l， 则l可写成： 4x 5 y k 0
4 x 5 y k 0 2 2 由方程组 x y 1 25 9 2 2 消去y，得25x 8kx k - 225 0
x2 y 2 2.在椭圆 C： 2 2 1（ a b 0 ）中， F1 和 F2 是椭圆的两个焦 a b
双曲线焦点三角形性质
双曲线焦点三角形性质双曲线12222=-by ax 焦点为F 1、F 2，B 为双曲线上的点，α=∠21BF F ，则2tancos 1sin 2221ααb ab S BF F =-⋅=△ 证明：()()()()()()122222221222cos 2121cos 1sin 32F BF m n a b c m n mn mn S mn ααα∆⎧-=⎪⎪=+--=⎨-⎪⎪=⎩得：1222222sincossin 2231cos 2sin tan22F BF b S b b αααααα=⋅=⋅=-△代入（），得：推论与应用：（注意：r 为内切圆半径）（1）直角三角等面积法：当12BF BF ⊥时，有122222BF BF B c y b S b y c∆==⇒=；2222mnb mn b =⇒=；1212121212121212212cos cos 2sin(45)F F F F c c e a a F F BF F F F BF F BF BF BF F =====∠-∠-∠- （2）任意角度的等面积法：；122121tan 2tan2F BF B b S c y BF BF αα∆===⋅ （3）内切圆的圆心横坐标一定等于a ；证：如图，()()12122D D F D F D F B F B a c x c x -=-==+--；（4）椭圆双曲线共焦点三角形的问题：如图，椭圆22221x y a b +=和双曲线22221x y a b -=共焦点，由于两个式子,a b 不同，将椭圆写成221(0,0)x y m n m n+=>>，双曲线写成221(0,0)x y p q p q-=>>可以知道12sin sin ==cos 1cos 1cos 1cos 1cos F PF n q n qS n q n qααααααα∆-=⋅⋅⇒⇒=+-+-+，12PF PF n q ⋅=+①当12PF PF ⊥时，椭圆和双曲线的离心率1212121222;22F F F F c ce e a PF PF a PF PF ====+-双椭；()()22121222221212+11PFPF PF PF e e F F F F -+=+双椭()221221222PF PF F F +==②当12F PF 时，一定有222222sin cos 1-cos 1cos 2221e e e eαααα++=⇒+=双双椭椭．证明：2222222222221111sin cos 2211cos 1cos 2cos 2sin22a ce c ae eeαααααα----=⇒=⇒+=+-椭椭双双双椭．。
椭圆中焦点三角形的性质(含答案)
专题1：椭圆中焦点三角形的性质及应用性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22证明：性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆.证明：性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ例1. 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ， 求△21PF F 的面积.例2.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D. 33例3.已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A. 59B. 779C. 49D. 49或779例 4. 已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。
练习题：1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积 最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1 B ．31C ．34 D ．32 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上， 直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35， 求椭圆的标准方程.专题2：离心率求法：1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )A.22B.32C.53D.632．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.153．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．4.已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点F 1、 F 2，且与椭圆交于B 、C 两点，若当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率．5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）性质二证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.性质三证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得： 1222242)(2c o s 212221221221212212221--=--+=-+=r r ca r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
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椭圆中焦点三角形的性质及应用
定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.
一．焦点三角形的形状判定及周长、面积计算
例1 椭圆上一点P 到焦点21,F F 的距离之差为2，试判断21F PF ∆的形状. 解
：
由
112
162
2=+y x 椭圆定义：
3||,5||.2||||,8|||212121==∴=−=+PF PF PF PF PF PF .
又4||21=F F ，故满足：,||||||2
12
212
2PF F F PF =+故21F PF ∆为直角三角形. 说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功.
性质一：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF 中,21θ=∠PF F 则2
tan
221θ
b S PF F =∆。
θ
cos 2)2(212
22
12
2
12PF PF PF PF F F c −+== )cos 1(2)(21221θ+−+=PF PF PF PF
θ
θθcos 12)cos 1(244)
cos 1(24)(2
222
22121+=+−=+−+=
∴b c a c PF PF PF PF 2
tan cos 1sin 2122212
1θθθb b PF PF S PF F =+==∴∆ 性质二：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角
形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。
证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF −=1 在21PF F ∆中，2
12
2
121212cos PF PF F F PF PF −+=
θ2
12
21221242)(PF PF c PF PF PF PF −−+=
1)
)((2412442
2122−−+=−−=o o ex a ex a b PF PF c a =122
22
2−−o x e a b a x a ≤≤−0 22
a x o
≤∴
性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a
b 2
2
性质四：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e −≥θ
证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：
1222242)(2cos 212
221221221212
212221−−=−−+=−+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ
.2112221)2
(22222
2
22
2122e a c a r r c a −=−−=−+−≥ 命题得证。
（XXXX 年高考题）已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在
一点,P 使得,1200
21=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos 20e −≥即2212
1
e −≥−
, 于是得到e 的取值范围是.1,23⎪⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡ 性质五：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率β
αβαsin sin )
sin(++=
e 。
,,1221βα=∠=∠F PF F PF
由正弦定理得：
β
α
βαsin sin )
180sin(122
1PF PF F F o
=
=
−−
由等比定理得：
β
αβαsin sin )
sin(2121++=
+PF PF F F
而
)sin(2)
sin(21βαβα+=
+c F F ，β
αβαsin sin 2sin sin 21+=++a
PF PF
∴β
αβαsin sin )sin(++==
a c e 。
已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan F 1PF 2． 解：(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜
∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝3
∴椭圆的方程为3
42
2y x +＝1． (2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ
椭圆的离心率2
1
=
e 则)60sin(2
3
sin )
60sin(120sin )180sin(21θθθθ−+=−+−=o o
o o ，
整理得：5sin θ＝3(1＋cos θ)
∴53cos 1sin =
+θθ故532tan =θ，tan F 1PF 2＝tan θ＝113525
3153
2=−⋅
．。