最新人教版高中数学选修1-2《数系的扩充和复数的概念》课后训练1
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测(答案解析)
一、选择题1．复数1cos isin z x x =-，2sin icos z x x =-，则12z z ⋅=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．1a b +>B ．1a b +<C ．221a b +<D ．221a b +>3．设复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根，又3z 为实数，则点(),p q 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线4．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是（ ）A ．32B ．32iC ．32-D ．32i -5．若m 为实数，则复数22()()26m m m m i ---＋＋在复平面内所对应的点不可能位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．2551i + 7．若(1)()5(,)ai b i i a b R ++=∈，则+a b 的值为（ ）A ．25±B ．25C ．4±D ．48．已知21zi i=++，则复数z =（ ） A ．10B ．2C ．13i -D ．13i +9．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知z 是复数，则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 12．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．17-B ．-1C ．73-D ．-7二、填空题13．若复数2018,1z i i=+-则z 的虚部为__________． 14．i 为虚数单位，若复数22(23)()m m m m i +-+-是纯虚数，则实数m =_______. 15．已知复数z 满足1z =，且负实数a 满足2220z az a a -+-=，则a 的值为___________.16．关于x 的方程240x x k ++=有一个根为23i -+（i 为虚数单位），则实数k =______.17．若复数是纯虚数(是虚数单位)，为实数，则复数的模为__________．18．关于x 的方程()210x px p R -+=∈的两个根12,x x ，若121x x -=，则实数p =__________．19．设i 为虚数单位，复数2iz i+=，则z 的模||z =______. 20．已知复数1223,z i z t i =+=-，且12·z z 是实数，则实数t =__________.三、解答题21．已知i 为虚数单位，m 为实数，复数()(12)z m i i =+-. （1）m 为何值时，z 是纯虚数？ （2）若||5z ≤，求||z i -的取值范围.22．设复数n n n z x i y =+⋅，其中n x 、n y ∈R ，*n ∈N ，i 为虚数单位，1(1)n n z i z +=+⋅，134z i =+，复数n z 在复平面上对应的点为n Z .（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）证明：当41n k =+（*k ∈N ）时，1//n OZ OZ ； （3）求数列{}n n x y ⋅的前100项之和.23．已知复数z 满足：234z i =+，且z 在复平面内对应的点位于第三象限. （I ）求复数z ；（Ⅱ）设a R ∈，且2019121z a z +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，求实数a 的值.24．已知复数()2113z i i =-++. （1）求z ；（2）若2z az b z ++=，求实数a ，b 的值.25．已知复数23(68)(1)41m m m i z m i--++=+--（i 为虚数单位，m R ∈）.（1）若z 是实数，求m 的值；（2）若复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，求m 的取值范围. 26．已知复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+，（其中i 为虚数单位）. （1）当复数z 是纯虚数时，求实数m 的值；（2）若复数z 对应的点在直线y x =上，求实数m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】复数12cos sin ,sin cos z x i x z x i x =-=-，则()2212cos sin cos sin cos sin z z x x x x i x x ⋅=-+--=i - ，则121z z ⋅=，故选D.2．C解析：C 【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可． 【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0 化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点， 集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d =，即a 2+b 2＜1故选C ． 【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．3．D解析：D 【分析】由3z 为实数，求出,a b 关系，实系数方程有虚数根，∆<0，且两根互为共轭，由韦达定理，求出,p q 与,a b 关系，结合,a b 关系，即可得出,p q 的关系式，得出结论. 【详解】()3220,0,(2)()z a bi a b z a b abi a bi =+>≠=-++，其虚部为22222()2(3)a b b a b b a b -+=-，又3z 为实数，所以2222(3)0,0,30b a b b b a -=≠=≠， 复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根，()0,0z a bi a b =->≠也是实系数方程20x px q ++=的根，所以222240,2,40p q z z a p zz a b a q ∆=-<+==-=+==>， 所以2,0p q p =<，此时30q ∆=-<， 即点(),p q 的轨迹在抛物线2y x 上.故选：D. 【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的关系、复数的基本概念，韦达定理的应用是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.4．C解析：C 【分析】 化简得到1322z i =+，故1322z i =-，得到答案. 【详解】()12z i i ⋅-=+，则()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+，故1322z i =-，虚部为32-. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．C解析：C 【分析】实部虚部相加为4，不可能都为负. 【详解】若m 为实数，复数22()()26m m m m i ---＋＋实部虚部相加为：222640m m m m ---=>＋＋，不可能都为负 所对应的点不可能位于第三象限 故答案选C【点睛】本题考查了复数对应的象限，是常考题型.6．B解析：B 【分析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案． 【详解】 由题意，复数12ii a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．C解析：C 【分析】结合复数运算性质,化简,利用待定系数法,计算a,b 值，即可． 【详解】()()()115ai b i b a ab i i ++=-++=,所以015b a ab -=⎧⎨+=⎩,解得22a b =⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩所以4a b +=±,故选C. 【点睛】本道题考查了复数四则运算和待定系数法，难度中等．8．A解析：A 【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()()21=1+3i z i i =++，则z == 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．D解析：D 【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限. 详解：复数，其对应的点是，位于第四象限．故选．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为10．D解析：D 【分析】设z a bi =+，2z 为纯虚数得到0a b =±≠，得到答案. 【详解】设z a bi =+，,a b ∈R ，则()2222z a babi =-+，2z为纯虚数220020a b a b ab ⎧-=⇔⇔=±≠⎨≠⎩，z 的实部和虚部相等a b ⇔=. 故选：D. 【点睛】本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.11．A解析：A 【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12．D解析：D 【分析】根据复数为纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，故3tan 4θ=-，展开计算得到答案.【详解】34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则3sin 5θ=且4cos 5θ≠，故4cos 5θ=-3tan 4θ=-，tan 1tan 741tan πθθθ-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查了复数的概念，和差公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．1010【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果详解：由复数的运算法则可知：则的虚部为1010点睛：本题主要考查复数的运算法则意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：1010 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由复数的运算法则可知：()()()20181201820182018100910091112i ii i i i ++===+--+， 则2018100910101z i i i=+=+-， z 的虚部为1010.点睛：本题主要考查复数的运算法则，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解详解：∵复数是纯虚数解得故答案为-3点睛：本题考实数值的求法是基础题解题时要认真审题注意纯虚数的定义的合理运用解析：-3 【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解．详解：∵复数()()2223m m m m i +-+-是纯虚数，22230m m m m ⎧+-∴⎨-≠⎩＝ ，解得3m =- ． 故答案为-3．点睛：本题考实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意纯虚数的定义的合理运用．15．【分析】由设代入后利用复数相等的定义求解【详解】因为故可设则即所以或若则时不是负数舍去时无实解则（舍去）故答案为：【点睛】关键点点睛：与复数有关的方程常常设代入方程后利用复数相等的定义转化为实数方程【分析】由1z =，设cos sin ()z i R ααα=+∈，代入后利用复数相等的定义求解． 【详解】因为1z =，故可设cos sin ()z i R ααα=+∈，则22222(cos sin )2(cos sin )0z az a a i a i a a αααα-+-=+-++-=， 即222(cos sin 2cos )2sin (cos )0a a a a i ααααα--+-+-=， 所以2222sin (cos )0cos sin 2cos 0a a a a ααααα-=⎧⎨--+-=⎩， 2sin (cos )0sin 0a ααα-=⇒=或cos a α=，若sin 0α=，则cos 1α=±，cos 1α=时，222cos sin 2cos a a a ααα--+-2310a a =-+=，a =，不是负数，舍去．cos 1α=-时，222cos sin 2cos a a a ααα--+-210a a =++=，32a ±=，无实解．cos a α=，则22222222cos sin 2cos (1)210a a a a a a a a a a ααα--+-=---+-=--=，152a （a =故答案为：12． 【点睛】关键点点睛：与复数有关的方程，常常设(,)z m ni m n R =+∈，代入方程后利用复数相等的定义转化为实数方程求解．16．13【分析】根据复数方程的性质可得也是方程的根结合韦达定理即可求解【详解】由题意方程有一个根为则是方程的另一个根由韦达定理可得又由所以故答案为13【点睛】本题主要考查了复数的性质以及一元二次方程的根解析：13 【分析】根据复数方程的性质，可得23i --也是方程的根，结合韦达定理，即可求解. 【详解】由题意，方程240x x k ++=有一个根为123x i =-+，则223x i =--是方程的另一个根，由韦达定理，可得12x x k =，又由(23)(23)13i i ---+=，所以13k =. 故答案为13. 【点睛】本题主要考查了复数的性质，以及一元二次方程的根与系数的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.17．2【解析】分析：先化z 为代数形式再根据纯虚数概念得a 最后根据复数模的定义求结果详解：因为z=(a+i)2=a2-1+2ai 是纯虚数所以a2-1=02a≠0∴a=±1所以|z|=(a2+1)2=a2+解析：2 【解析】分析：先化z 为代数形式，再根据纯虚数概念得a ，最后根据复数模的定义求结果. 详解：因为是纯虚数，所以，所以点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为18．【解析】分析：根据所给的方程当判别式不小于0时和小于0时用求根公式表示出两个根的差根据差的绝对值的值做出字母p 的值详解：当即或由求根公式得得当即由求根公式得|得综上所述或故答案为点睛：本题考查一元二 解析：5,3【解析】分析：根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p 的值．详解：当240p =-≥ ，即2p ≥或2p ≤- ，由求根公式得21241x x p -=-= ，得5p =，当240p =-＜ ，即22p ＜＜- ，由求根公式得|212|41x x p -=-=，得3p =．综上所述，5p =，或3p =．． 故答案为5,3点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题．19．【解析】分析：利用复数的除法法则运算得到复数然后根据复数模的公式进行求解即可详解：即答案为点睛：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算以及复数模的计算同时考查计算能力属基础题【解析】分析：利用复数的除法法则运算得到复数z ，然后根据复数模的公式进行求解即可．详解：()()()2212,i i i z i z i i i +⋅-+===-∴=⋅-点睛：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数模的计算，同时考查计算能力，属基础题．20．【解析】复数z1=2+3iz2=t−i ∴=t+i ∴=(2+3i)(t+i)=(2t−3)+(3t+2)i 由是实数得3t+2=0即解析：23- 【解析】复数z 1=2+3i ,z 2=t −i ， ∴2z =t +i ，∴12·z z =(2+3i )(t +i )=(2t −3)+(3t +2)i ， 由12·z z 是实数,得3t +2=0,即23t =-. 三、解答题21．（1）2-；（2） 【分析】（1）利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解m 的值； （2）由复数的几何意义，画出图形，数形结合得答案 【详解】（1）()()()()12212z m i i m m i =+-=++-．当20120m m +=⎧⎨-≠⎩时，即2m =-时，z 是纯虚数； （1）()()212z m m i =++-∴可设复数z 对应的点为(,)P x y ，则由212x m y m=+⎧⎨=-⎩，得250x y +-=， 即点P 在直线250x y +-=上， 又5z ≤， ∴点P 的轨迹为直线250x y +-=与圆2225x y +=相交的弦AB ，则z i -表示线段AB 上的点到(0,1)M 的距离PM ，由图象可知，当PM AB ⊥时，距离最小，即点M 到直线的距离，则min 2201545()521PM +-==+ 由2225025x y x y +-=⎧⎨+=⎩得05x y =⎧⎨=⎩或43x y =⎧⎨=-⎩(0,5)A ∴，(4,3)B -22max ()(40)(31)42PM BM ==-+--=，||z i ∴-的取值范围是45[,42].【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，属于中档题．22．（1）217z i =-+，386z i =-+，4142z i =--（2）证明见解析（3）10012-【解析】【分析】（1）利用1(1)n n z i z +=+，134z i =+，即可得出；（2）由已知1(1)n n z i z +=+，得11(1)n n z i z -=+，当41n k =+时，1(1)(4)n k i -+=-，即可证明；（3）由44(1)4n n n z i z z +=+=-，可得44n n x x +=-，44n n y y +=-，4416n n n n x y x y ++=，即可得出．【详解】（1）2(1)(34)17z i i i =++=-+，386z i =-+，4142z i =--；（2）由已知1(1)n n z z +=+⋅i ，得11(1)n n z i z -=+⋅，当41n k =+时，14(1)(1)(4)n k k i i -+=+=-，令(4)k λ=-，则1n z z λ=⋅，即则存在非零实数(4)kλ=-（*k ∈N ），使得1n OZ OZ λ=.所以，当41n k =+（*k ∈N ）时，1//n O Z Z O ；（3）因为44(1)4n n n z i z z +=+=-，故44n n x x +=-，44n n y y +=-， 所以4416n n n n x y x y ++=，又1112x y =，227x y =-，3348x y =-，4428x y =，1122331001001122334455667788()()x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++++=+++++++979798989999100100()x y x y x y x y +++++25100116(1274828)12116-=--+⋅=--， 所以数列{}n n x y 的前100项之和为10012-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、向量共线定理、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（Ⅰ）2z i =--（Ⅱ）a =【分析】（I ）设()0,0z c di c d =+<<,利用复数相等的概念求出复数z; （Ⅱ）先计算出2019111z z +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，再求a 的值.【详解】解；（Ⅰ）设()0,0z c di c d =+<<，则()2222234z c di c d cdi i =+=-+=+， 223,24,c d cd ⎧-=∴⎨=⎩解得2,1c d =-⎧⎨=-⎩或2,1c d =⎧⎨=⎩（舍去）. 2z i ∴=--. （Ⅱ）2z i =-+，∴()211111112i z i i i z i i ++--+====+-+- ∴201920192016311z i i z ++⎛⎫== ⎪+⎝⎭()50450443431i i i ⨯+==⋅=-，∴2a i -==，∴a =【点睛】本题主要考查复数的求法和复数的运算，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.24．（1（2）3{4a b =-= 【解析】分析：（1）把z 化为(,)a bi a b R +∈形式，然后由模的定义求解；（2）代入z ，把等式化为(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈，再由复数相等的定义求解． 详解：（1）()2113z i i =-++ 121131i i i =--++=+，所以复数z的模z ==（2）()()2211121z az b i a i b i a ai b ++=++++=+-+++()()2a b a i =+++， 而1z i =-，由此易得121a b a +=⎧⎨+=-⎩，可得34a b =-⎧⎨=⎩. 点睛：本题考查复数的概念，掌握复数的相关概念与运算法则是解题基础．若(,)z a bi a b R =+∈，则z =，若(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈，则a c b d =⎧⎨=⎩． 25．(1) 2m = (2) 34m <<【解析】分析：（1）由复数的运算法则可得()23684m z m m i m -=+-+-.据此得到关于实数m 的方程组，解得2m =.（2）结合(1)中的结果得到关于m 的不等式组，求解不等式组可知34m <<. 详解：（1）()()2681341m m i m z m i -++-=+-- ()()()()226813411m m i m m i i -++-=+--+ ()23684m m m i m -=+-+-. 因为z 是实数，所以240680m m m -≠⎧⎨-+=⎩，解得2m =.（2）因为复数z 在复平面内对应的点位于第四象限， 所以2304680m m m m -⎧>⎪-⎨⎪-+<⎩，解得34m <<.点睛：本题主要考查复数的运算法则，已知复数的类型求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.26．（1）12m =-,（2）=2m ± 【分析】 （1）复数z 是纯虚数，其实部为0，虚部不为0，解方程与不等式组222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩即可求得答案；（2）依题意，可得2223232m m m m --=-+，解出即可求得实数m 的取值．【详解】（1）由题意有222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩①②时， 解①得12m =-或2m =，解②得 1 m ≠且2m ≠， 综合可得12m =-时，复数为纯虚数. （2）由题意复数z 对应的点在直线y x =上， 则有：2223232m m m m --=-+，解得：=2m ±，所以当=2m ±时，复数对应的点在y x =上.【点睛】本题考查复数的概念及几何意义，解题关键是根据复试的几何意义列出不等式及等式求解，属于中等题.。
(压轴题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测(答案解析)(3)
一、选择题1．1z 2z 是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若22120z z +>，则2212z z >- B ．12||z z -=C ．22121200z z z z +=⇔==D ．2211||||z z =2．复数(),z a bi a b R =+∈，()m z z b =+，n z z =⋅，2p z =，则（ ）A ．m 、n 、p 三数都不能比较大小B ．m 、n 、p 三数的大小关系不能确定C ．m n p ≤=D ．m n p ≥=3．若i 是虚数单位，则复数11ii+=-（ ） A ．-1B ．1C ．i -D ．i4．已知i 是虚数单位，121zi z-=+，则||z 等于（ ）A ．1BC D 5．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是（ ） A ．32B ．32i C ．32-D ．32i -6．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于()A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i --7．若2131aii i+=--+，a R ∈，则a =（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．48．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ ） A ．1355i + B ．1355i -+ C ．1355i - D ．1355i --9．已知复数z 满足|12||2|z i z i ---++=i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ） A ．双曲线的一支B ．双曲线C ．一条射线D ．两条射线10．已知i 为虚数单位，则复数21ii-+对应复平面上的点在第（ ）象限． A ．一B ．二C ．三D ．四11．设1z ，2z 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．如果22120z z +=，那么120z z == B ．如果12=z z ，那么12=±z zC ．如果1z a ≤（a 为正实数），那么1a z a -≤≤D ．如果1z a =（a 为正实数），那么211z z a ⋅= 12．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．17-B ．-1C ．73-D ．-7二、填空题13．已知0,0a b >>，复数()()23a i bi +-的虚部为4，则2a b +的最小值为__________．14．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 15．复数z=（其中i 为虚数单位）的虚部为________．16．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为____________. 17．若复数z 满足22zii i=-+（i 为虚数单位），则复数z =__________. 18．已知虚数αβ、满足221010p p ααββ++=++=、（其中p ∈R ），若1αβ-=，则p =_________.19．复数z 满足()12i z -=，则z 的虚部是__________． 20．已知虚数z 满足等式，则z=________三、解答题21．设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<. （1）求z 的值及Rez 的取值范围；（2）若2z zz z++为纯虚数，求z .22．已知m 是实数，关于x 的方程E ：x 2﹣mx +（2m +1）＝0． （1）若m ＝2，求方程E 在复数范围内的解；（2）若方程E 有两个虚数根x 1，x 2，且满足|x 1﹣x 2|＝2，求m 的值． 23．已知方程21000x kx -+=，k C ∈. （1）若1i +是它的一个根，求k 的值； （2）若*k N ∈，求满足方程的所有虚数的和.24．已知复数()221132z x x x i =-+-+，()232,z x x i x R =+-∈（1）若1z 为纯虚数，求实数x 的值；（2）在复平面内，若1z 对应的点在第四象限，2z 对应的点在第一象限，求实数x 的取值范围.25．已知x 为实数，复数i x x x x z )23()2(22+++-+=. （1）当x 为何值时，复数z 为纯虚数？（2）当0=x 时，复数z 在复平面内对应的点Z 落在直线n mx y +-=上，其中0>mn ，求nm 11+的最小值及取得最值时的m 、n 值.26．已知i 为虚数单位，复数z 在复平面内对应的点为（1）设复数z 的共轭复数为z ，求|z +的值；（2）已知,a b ∈R ，(3()a bi i z i -=，求ab 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】举反例12z i =+，22z i =-可判断选项A 、B ，举反例11z =，2z i =可判断选项C ，设1z a bi =+，(),a b R ∈，分别计算21||z 、21||z 即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：取12z i =+，22z i =-，()221232z i i =+=+，()222232z i i =-=-，满足221260z z +=>，但21z 与22z 是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确； 对于选项B ：取12z i =+，22z i =-，12||22z z i -==，==B 不正确；对于选项C ：取11z =，2z i =，则22120z z +=，但是10z ≠，20z ≠，故选项C 不正确； 对于选项D ：设1z a bi =+，(),a b R ∈，则()222212z a bi a b abi =+=-+2221z a b ===+，1z a bi =-，1z =，所以2221z a b =+，所以2211||||z z =，故选项D 正确.故选：D.2．C解析：C 【分析】根据复数的四则运算，结合基本不等式，即可得出结论.z a bi =-，()2m a bi a bi b ab =++-=，22()()n a bi a bi a b =+-=+，22p a b =+222a b ab +，当且仅当a b =时，取等号m n p ∴≤=故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.3．D解析：D 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+， 本题选择D 选项.4．A解析：A 【解析】 因为121zi z-=+，所以12(1)22z i z i iz -=+=+，212(12)343412(12)(12)555i i i z i i i i ----====--++-，1z ==，故选A ． 5．C解析：C 【分析】 化简得到1322z i =+，故1322z i =-，得到答案. 【详解】()12z i i ⋅-=+，则()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+，故1322z i =-，虚部为32-. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和转化能力.6．B解析：B 【分析】 化简复数得到答案.()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++故答案选B 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.7．A解析：A 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21aii++，然后利用复数相等的性质列方程求解即可. 详解：因为()()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i a a +-+=++- ()()22i2a a ++-=13i =--，所以212232aa +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得4a =-，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.8．D解析：D 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由()121i z i +=-， 得()()()()11211312121255i i iz i i i i ---===--++-． 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．9．C【解析】分析：利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，来分析已知等式的意义．详解：∵复数z 满足|122|z i z i ---++=i 是虚数单位），在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点（1，2）的距离减去到点（﹣2，﹣1）的距离之差等于，而点（1，2）与点（﹣2，﹣1）之间的距离为，故点Z 的轨迹是以点（1，2）为端点的经过点（﹣2，﹣1）的一条射线． 故选 C ．点睛：本题考查两个复数的差的绝对值的意义，两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离．10．D解析：D 【解析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可. 详解：由题意可得：()()()()2121313111222i i i i i i i i ----===-++-， 则复数对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，该点位于第四象限， 即复数21ii-+对应复平面上的点在第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．D解析：D 【分析】对A,举出反例判断正误； 对B,举出反例判断正误；对C,利用复数的几何意义判断正误； 对D,设出复数即可化简结果,再判断正误即可． 【详解】对于A,如果11z i =-,21z i =+,22120z z +=,所以120z z ==不正确。
高中数学 选修1-2 同步练习 专题3.1 数系的扩充和复数的概念(原卷版)
第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．适合x－2i＝(x＋y)i的实数x，y的值为A．x＝0，y＝2 B．x＝0，y＝－2 C．x＝2，y＝2 D．x＝2，y＝0 2．复数z＝a2＋b2＋(a－|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b C．a＞0且a≠b D．a≥03．设i是虚数单位，若复数(a－3)＋i(a∈R)是纯虚数，则实数a的值为A．－3 B．－1C．1 D．34．已知z1＝5－3i，z2＝5－4i，下列选项中正确的是A．z1＞z2B．z1＜z2C．|z1|＞|z2| D．|z1|＜|z2|5．当23-＜m＜5时，复数z＝(3m＋2)＋(5－m)i在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．已知026a<<，复数z的实部为a，虚部为1，则||z的取值范围是A．(1，5) B．(1，26)C．(15D．(1，25)7．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹是A．直线B．圆心在原点的圆C．椭圆D．圆心不在原点的圆8．设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是A ．复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 一定不是纯虚数C ．复数z 对应的点在实轴上方D ．复数z 一定是实数二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．已知i 为虚数单位，复数x 2－6x ＋5＋(x －3)i 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数x 的取值范围是________________．10．若复数z 对应的点在直线y ＝－2x 上，且|z |z ＝________________．11．已知i 为虚数单位，复数12,z z 在复平面内对应的点关于坐标原点对称，且123i z =-，则2z =________________．12．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若OC ＝x OA ＋y OB (x 、y ∈R)，则x －y 的值是________________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．已知复数1cos isin z αα=+，2cos isin z ββ=-，且12512i 1313z z -=+，其中i 为虚数单位，求cos()αβ+的值．14．已知复数22(56)(3)i z m m m m =-++-，其中i 为虚数单位，m ∈R ．（1）若复数z 是实数，求实数m 的值； （2）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值．15．当实数a 取何值时，复平面内，复数22(4)(6)i z m m m m =-+--的对应点满足下列条件？（1）在第三象限； （2）在虚轴上；（3）在直线60x y -+=上．。
最新人教版高中数学选修1-2《数系的扩充和复数的概念》示范教案
第三章数系的扩充与复数的引入本章概览教材分析复数在数学、力学、电学等其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础．本章内容分为两节：3.1数系的扩充和复数的概念，3.2复数代数形式的四则运算．教材通过问题情境：“方程x2＋1＝0在实数集中无解，如何设想一种方法使该方程有解？”引出扩充数系的必要性，从而引入虚数、复数的概念．复数实际上是一对有序数对，即a＋bi (a，b)，类比实数可以用数轴上的点表示，复数就可以在直角坐标系中用点或向量表示，从而有了复数的几何意义，使数和形得到了有机的结合．复数代数形式的四则运算可以类比代数式运算中的“合并同类项”“分母有理化”等，利用i2＝－1，将复数代数形式的四则运算归结为实数的四则运算，体现了化虚为实的化归思想．复数的加法、减法运算还可以通过向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来进行，这不仅又一次看到了向量这一工具的功能，也把复数及其加、减运算与向量及其加、减运算完美地统一起来．教材每节设置了“思考”“探究”，让学生通过类比思想，并借助于具体实例对数系进行了扩充，研究了复数代数形式的几何意义和复数加、减法的运算及几何意义，体现了《课标》以学生为主体的教学理念，有利于培养学生的思想素质和激发学习数学的兴趣和欲望．本章的重点是复数的概念及复数代数形式的四则运算，本章的难点是复数的引入和复数加、减法的几何意义．课标要求(1)在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．(3)了解复数的代数表示法及其几何意义．(4)能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．教学建议(1)数的概念的发展与数系的扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需求．建议教学时详细介绍从自然数系逐步扩充到实数系的过程，使数系的扩充与复数的引入更为自然，让学生充分领略数系扩充过程中所蕴涵的数学思想和科学发展思想．(2)在讲解复数的相关概念时，在“复数相等”环节，可以类比“相反数”的概念．(3)学习复数代数形式时的加、减、乘等运算时，可设置研究问题：用第二章“类比推理”思想，将多项式的运算法则与之进行类比．(4)删减的内容不必再补．对于弱化的部分，建议也只是在其出现的地方作适当延伸，不必重点讲解．课时分配本章教学时间大约需5课时，具体分配如下(仅供参考)3.1数系的扩充和复数的概念3．1.1数系的扩充和复数的概念整体设计教材分析教材通过三个环节完成了对实数系的扩充过程：(1)提出问题(用什么方法解决方程x2＋1＝0在实数集中无解的问题)，引发学生的认知冲突，激发学生扩充实数系的欲望；(2)回顾从自然数集逐步扩充到实数集的过程和特点(添加新数，满足原来的运算律)；(3)类比、设想扩充实数系的方向及引入新数i所满足的条件(使i2＝－1成立，满足原来的运算律)．由于学生对数系扩充的知识并不熟悉，教学中教师需多作引导．复数的概念是复数这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的．虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解，教学中可结合具体例子，以促进对复数实质的理解．课时分配1课时．教学目标1．知识与技能目标了解引进复数的必要性；理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律．理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)．2过程与方法目标通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识．3．情感、态度与价值观通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．重点难点重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念．难点：虚数单位i的引进及复数的概念．教学过程引入新课请同学们回答以下问题：(1)在自然数集N中，方程x＋4＝0有解吗？(2)在整数集Z中，方程3x－2＝0有解吗？(3)在有理数集Q中，方程x2－2＝0有解吗？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，最后师生总结．活动成果：问题(1)在自然数集中，方程x＋4＝0无解，为此引进负数，自然数→整数；问题(2)在整数集中，方程3x－2＝0无解，为此引进分数，整数→有理数；问题(3)在有理数集中，方程x2－2＝0无解，为此引进无理数，有理数→实数．数集的每一次扩充，对数学本身来说，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，如分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾．提出问题：从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充？每一次扩充的主要原因是什么？每一次扩充的共同特征是什么？活动设计：先让学生独立思考，然后小组讨论，师生共同归纳总结．活动成果：扩充原因：①满足解决实际问题的需要；②满足数学自身完善和发展的需要．扩充特征：①引入新的数；②原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展，都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．设计意图回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程，帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征．探究新知提出问题：方程x2＋1＝0在R上有解吗？如何对实数集进行扩充，使方程x2＋1＝0在新的数集中有解？活动设计：小组讨论，类比猜想，设想新数的引进，师生共同完成．学情预测：学生讨论可能没有统一结果，无法描述．类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特点，在实数集中方程x2＋1＝0无解，需要引进“新数”扩充实数集．让我们设想引入一个新数i，使i满足两个条件：(1)i是方程x2＋1＝0的根，即i2＝－1；(2)新数i与实数之间满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．设计意图面对新问题的需要，感到扩充实数集的必要性，通过类比，猜想增添的新数需满足的条件．提出问题：同学们设想，实数a与新数i相加，实数b与新数i相乘，结果如何表达？实数a与实数b和新数i相乘的结果相加，如何表示？活动设计：学生动手操作，尝试写出新数与实数加法和乘法的运算，然后教师引导，更正不正确的写法，统一新数的特点，为引出复数的概念做铺垫．活动成果：a＋i，bi，a＋bi.根据条件(2)，i可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法和加法的交换律，从而都可以把结果写成a＋bi(a，b∈R)的形式．提出问题：形如a＋bi(a，b∈R)的数包括所有实数吗？包括你原来没遇到过的新数吗？写出实数系经过上述扩充后得到的新数构成的集合C.活动设计：学生思考，可以讨论，师生共同总结，得出复数的概念．活动成果：形如a＋bi(a，b∈R)的数，包括所有实数，也包括新数bi和a＋bi，实数a 和新数i可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样数的特殊形式，即a＝a＋0i，i＝0＋i.实数系经过上述扩充后，得到的新数集C＝{a＋bi|a，b∈R}．我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C叫做复数集，即C＝{a＋bi|a，b∈R}．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．注意：今后不做特殊说明，a，b∈R，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．设计意图让学生自己添加上这些新数，感受实数系的扩充过程，认识扩充后新数的特点，知道复数的代数形式及有关概念．提出问题：你认为满足什么条件，可以说这两个复数相等？活动设计：学生讨论探究a ＋bi ＝c ＋di 时，实部和虚部应满足的条件，教师补充． 活动结果：若a ＋bi ＝c ＋di(其中a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝b 且c ＝d ，即两个复数相等的充要条件是实部和虚部分别相等．特别地，a ＋bi ＝0⇔a ＝0且b ＝0.设计意图通过探究讨论，让学生对复数相等的概念达成共识，并揭示复数相等的内涵，利用两复数相等，可以得到关于实数的方程组，进而得到a ，b 的值．理解新知提出问题：对于复数z ＝a ＋bi ，当且仅当a ，b 满足什么条件时，z 为实数，为0，为虚数，为纯虚数？活动设计：学生思考、讨论，师生总结．活动结果：当且仅当b ＝0时，复数z ＝a ＋bi 是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，复数z ＝a ＋bi 为0；当且仅当b ≠0时，复数z ＝a ＋bi 是虚数；当且仅当a ＝0且b ≠0时，复数z ＝a ＋bi 为纯虚数．设计意图让学生进一步理解复数的代数形式，明确复数z ＝a ＋bi 为实数、虚数和纯虚数的充要条件．提出问题：实数系扩充到复数系后，实数集R 与复数集C 有怎样的关系？你能类比实数的分类，对复数进行合理的分类吗？试用韦恩图表示复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系．活动设计：小组讨论，学生尝试分类，教师引导归纳．活动结果：实数集R 是复数集C 的真子集，即R C .复数z ＝a ＋bi 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数) 复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系用图表示如下：设计意图让学生了解数系扩充后复数的正确分类及各数系之间的包含关系．提出问题：任意两个复数可以比较大小吗？若可以，请说明进行比较的方法；若不可以，请说明理由．活动设计：让学生思考，议论后发言，教师点拨．学情预测：学生可能不知所云，无法下结论，也可能类比实数的大小比较，认为可以比较大小．活动结果：若两个复数都是实数，则可以比较大小；否则就不能比较大小．因此，一般说来，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较其大小．运用新知例1请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0. 思路分析：根据复数的代数形式及实部和虚部的概念找出各复数的实部和虚部，根据虚数、纯虚数的概念判断．解：①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部0，虚部为0，是实数．点评：复数a ＋bi 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部．巩固练习符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．解答：(1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例2实数m 取什么数值时，复数z ＝m ＋1＋(m －1)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．思路分析：因为m ∈R ，所以m ＋1，m －1都是实数．由复数z ＝a ＋bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的取值．解：(1)当m －1＝0，即m ＝1时，复数z 是实数；(2)当m －1≠0，即m ≠1时，复数z 是虚数；(3)当m ＋1＝0，且m －1≠0，即m ＝－1时，复数z 是纯虚数．点评：这是一道巩固复数概念的题目，首先要在变化中认识复数代数形式的结构，正确判断复数的实部和虚部；然后依据复数是实数、虚数、纯虚数的条件，用列方程(或不等式)的方法求出相应的m 的取值．变式练习已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝______.提示：由M ∩N ＝{3}知，3∈M ，即有(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1. 例3已知(2x －1)＋i ＝y －(3－y)i ，其中x ，y ∈R ，求x ，y 的值．思路分析：根据两复数相等的概念，列出关于x 与y 的方程组，可求得x ，y 的值．解：根据复数相等的定义可得，⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－(3－y )，解得x ＝52，y ＝4. 点评：根据两复数相等的定义求其中参数值的问题，应首先将复数转化为代数形式，并确定其实部和虚部，然后利用两复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等列出相应的方程组，然后解方程组求出参数的值．变练演编1．给出实数－1、1和0，你能构成哪些不同的复数？2．已知复数z ＝(x 2＋5x ＋6)＋(x 2－2x －15)i(x ∈R )，需要添加条件：____________，即可求实数x 的值．答案：1.可以构成不同的复数有：－1＋i ，－1＋0i ，1－i ，1＋0i ，i ，－i ；2．可以添加的条件很多，如z 为实数，z 为虚数，z 为纯虚数，z ＝0，z ＝6－15i 等等． 达标检测1．下列说法正确的是( )①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集．A ．①②③B ．①②④C ．②④D ．①②③2．a ＝0是复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )为纯虚数的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4ai 相等，则实数a 的值为( )A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－44．以2i －5的虚部为实部，以5i －2i 2的实部为虚部的复数是__________．答案或提示：1.B 2.B3．C(提示：由两复数相等的条件列出关于a 的方程组)4．2＋2i(提示：先确定两个已知复数的实部和虚部，注意：i 2＝－1)课堂小结可以先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络、思想方法、解题规律等．1．内容知识：2．解题规律方法：3．思想方法：布置作业教材本节练习第3题，习题3.1 A 组1,2题．补充练习1．设集合C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是… ( )A ．A ∪B ＝C B ．A ＝BC ．A ∩B ＝D ．B ∪B ＝C2．在下列命题中，正确命题的个数为( )①两个复数不能比较大小；②1＋i 2>0；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1；④若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b)＋(a ＋b)i 是纯虚数．A ．0B ．1C ．2D ．33．复数(2x 2＋5x ＋2)＋(x 2＋x －2)i 为虚数，则实数x 满足( )A ．x ＝－12B ．x ＝－2或－12C ．x ≠－2D ．x ≠1且x ≠－24．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i}，集合P ＝{－1,0}．若M ∩P ＝{0}，则实数m 的值为( )A ．－1B ．－1或4C ．6D ．6或－15．复数z 1＝a ＋|b|i ，z 2＝c ＋|d|i(a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1＝z 2的充要条件是__________．6．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z ＝12＋4i? 答案或提示：1.D 2.A 3.D 4.A 5.a ＝c 且b 2＝d 26．解：(1)若z ∈R ，则m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0， 解之，得m ＝－3.(2)若z 是虚数，则m 须满足m 2＋2m －3≠0且m －1≠0，解之，得m ≠1且m ≠－3.(3)若z 是纯虚数，则m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧ m (m ＋2)m －1＝0，m 2＋2m －3≠0，解之，得m ＝0或m ＝－2.(4)若z ＝12＋4i ，则m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋2)m －1＝12，m 2＋2m －3＝4，解之，得m ∈∅．设计说明本节课的教学设计以问题为驱动，通过不断提出问题，研究问题，解决问题，使学生回顾旧知识获得新知识，完成数系的扩充和复数概念的教学．复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，本课时将已有知识和新学知识通过问题链设计教学，让学生体验已学过的数集的扩充历史，体会数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；通过小组合作学习，使学生了解数的发展过程和规律，对各种数集之间的关系有着比较清晰、完整的认识，从而学生更容易积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类以及两复数相等的条件．备课资料数的发展史数的概念是从实践中产生和发展起来的．早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1,2,3,4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N .随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展．为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数．这样就把数集扩充到有理数集Q.显然N Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q、N Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集．有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数．所谓无理数，就是无限不循环小数．有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集．数因为生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾．但是，数集扩到实数集R以后，像x2＝－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位．并由此产生了复数．(设计者：刘洪福)。
最新人教版高中数学选修1-2《数系的扩充与复数引入》本章检测
本章检测(时间90分钟,满分100分)一、选择题（每题3分，共36分）1.复数z 1=3+i,z 2=1-i,则z=z 1·z 2在复平面内的对应点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案：D2.（1+i ）20-(1-i)20的值为（ ）A.0B.1 024C.-1 024D.-1 024i 解析：（1+i ）20-(1-i)20=(2i)10-(-2i)10=0.答案：A3.已知复数z 满足|z|=2，则复数z （ ）A.是实数B.是虚数C.是纯虚数D.对应的点在一个半径为2的圆上 答案：D4.已知复数z 满足z=-|z|，则z 的实部（ ）A.不小于0B.不大于0C.大于0D.小于0 解析：设z=x+yi,∴x+yi=-|z|.∴x=-|z|≤0.答案：B5.复平面上平行四边形ABCD 的四个顶点中，A 、B 、C 所对应的复数分别为2+3i,3+2i,-2-3i ，则D 点对应的复数是（ ）A.-2+3iB.-3-2iC.2-3iD.3-2i解析：∵A 、B 、C 对应的复数分别为2+3i 、3+2i 、-2-3i ，∴A （2，3），B （3，2），C （-2，-3）.设D （x,y ）,则232)2(2x +=-+, 322)3(3y +=-+,∴⎩⎨⎧-=-=.2,3y x ∴D 点的坐标为（-3，-2），∴D 点对应的复数为-3-2i.答案：B6.设z=(2t 2+5t-3)+(t 2+2t+2)i(t ∈R ),则以下结论正确的是（ ）A.z 对应的点在第一象限B.z 一定不为纯虚数C.z 对应的点在实轴的下方D.z 一定为实数解析：2t 2+5t-3=(t+3)(2t-1),t 2+2t+2=(t+1)2+1>0,又z=(2t 2+5t-3)-(t 2+2t+2)i,∴z 对应的点在实轴的下方.答案：C7.在复数集C 内分解因式2x 2-4x+5等于（ ）A.（x-1+3 i ）(x-1-3i)B.(2x-2+3i)(2x-2-3i)C.2(x-1+i)(x-1-i)D.2(x+1+i)(x+1-i)答案：B 8.(ii -+11)2 005等于（ ） A.i B.-i C.22 005 D.-22 005 解析：（ii -+11）2 005=(22i )2 005=i 2 004+1=i. 答案：A 9.设复数ω=21-+23i,则1+ω等于（ ） A.-ω B.ω2 C.ω1- D.21ω 解析：1+ω=ω13321-=+. 答案：C 10.设复数z 满足z z +-11=i,则|1+z|等于（ ） A.-2 B.2-C.2D.2 解析：由z z +-11=i,得 z=ii +-11=-i. ∴|1+z|=|1-i|=11+=2.答案：C11.两个复数z 1=a 1+b 1i,z 2=a 2+b 2i(a 1、a 2、b 1、b 2都是实数且z 1≠0，z 2≠0)对应的向量1OZ 和2OZ 在同一条直线上的充要条件是（O 为坐标原点）（ ） A.11a b ·22a b =-1 B.a 1a 2+b 1b 2=0 C.21a a =21b b D.a 1b 2=a 2b 1 解析：由题意知1OZ =(a 1,b 1), 2OZ =(a 2,b 2), ∴1OZ ∥2OZ .∴a 1b 2-a 2b 1=0.答案：D12.已知复数z=362+-+a a a +(a 2-3a-10)i(a ∈R )满足zi>0或zi<0，则a 的值为（ ）A.3B.-3C.2或-3D.2 解析：zi>0或zi<0知zi 为实数. ∴362+-+a a a =0且a 2-3a-10≠0.∴a=2. 答案：D二、填空题(每题4分，共16分)13.i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=_______________(n 为正整数).解析：i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=1+i-1-i=0.答案：014.已知ii +-1)1(3=a+3i ，则a=_______________. 解析：∵i i +-1)1(3=2)1(4i -=2)2(2i -=-2, ∴a+3i=-2.∴a=-2-3i.答案：-2-3i15.若关于x 的方程x 2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有实根，则纯虚数m=_______________. 解析：设m=ki(k≠0),则⎩⎨⎧=+=++.012,032x k x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.121,21k x ∴m=121i. 答案：121i 16.已知z 为复数，则z+z >2的一个充要条件是z 满足_______________.解析：设z=a+bi(a 、b ∈R ).由z+z=2a>2得a>1.反之，由a>1得z+z=2a>2.答案：z 的实部大于1三、解答题（每小题8分，共48分）17.设|z 1|=13,z 2=12+5i,z 1·z 2是纯虚数，求z 1.解：设z 1=a+bi,则z 1·z 2=(a+bi)(12+5i)=(12a-5b)+(5a+12b)i.由题意，得⎩⎨⎧=-=+,0512,16922b a b a ∴⎩⎨⎧==12,5b a 或⎩⎨⎧-=-=.12,5b a ∴z 1=5+12i 或-5-12i.18.已知z=1+i,求1632++-z z z 的模. 解：1632++-z z z =ii i +++-+26)1(3)1(2 =ii +-23=1-i, ∴1632++-z z z 的模为2. 19.已知复数z 满足z·z +2i z =3+ai （其中a ∈R ）,(1)求复数z （写成关于a 的表达式）；（2）当a 为何值时，满足条件的复数z 存在？解：（1）设z=x+yi(x 、y ∈R ), 则z =x-yi,代入题设z·z+2iz=3+ai(a ∈R ),得(x+yi)(x-yi)+2i(x-yi)=3+ai.∴x 2+y 2+2y+2xi=3+ai.∴⎩⎨⎧==++.2,3222a x y y x ∴y 2+2y+42a -3=0. ∴y=21622a -±-. ∴z=2a +21622a -±-i. (2)∵y ∈R ,∴Δ=4-4(42a -3)≥0. ∴-4≤a≤4.20.设O 为坐标原点，已知向量1OZ 、2OZ 分别对应复数z 1、z 2，且z 1=53+a +（10-a 2）i ，z 2=a-12+(2a-5)i(a ∈R ),若1z +z 2可以与任意实数比较大小，求1OZ ·2OZ 的值. 解：依题意得z 1+z 2为实数， 由1z =53+a -(10-a 2)i, ∴1z +z 2=53+a +a -12+［(a 2-10)+(2a-5)］i 的虚部为0. ∴a 2+2a-15=0,解得a=-5或a=3.又分母不为零，∴a=3.此时z 1=83+i,z 2=-1+i, 即1OZ =（83，1），2OZ =（-1，1）， ∴1OZ ·2OZ =38×(-1)+1×1=85. 21.关于t 的二次方程t 2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0(x 、y ∈R )有实根，求点P （x,y ）的轨迹方程. 解析：设实根为t,则t 2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0,即(t 2+2t+2xy)+(t+x-y)i=0.根据复数相等,⎩⎨⎧=-+=++)2(.0)1(,0222y x t xy t t 由②得t=y-x 代入①得（y-x ）2+2(y-x)+2xy=0,即（x-1）2+(y+1)2=2.③∴所求点的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=2,轨迹是以（1，-1）为圆心，2为半径的圆.22.设z≠-1,求证11+-z z 是虚数的充要条件是|z|=1. 证明：设z=x+yi(x,y ∈R )则])1[(])1[(])1[(])1[(1111yi x yi x yi x yi x yi x yi x z z ---++++-=+++-=+- =222222122121y x x y y x x y x +++++-+-+. 若|z|=1，则x 2+y 2=1.又z≠-1,∴x≠-1且y≠0,∴z-1z+1是纯虚数.∴充分性证完. 若11+-z z 是纯虚数，则x 2+y 2-1=0,且y≠0, ∴|z|=1.∴必要性证完.∴命题成立.。
高二数学人教选修1-2第3单元3-1-1数系的扩充和复数的概念课后练习及解析
高二数学人教选修1-2课后练习第3章数系的扩充与复数3.1.1 数系的扩充和复数的概念一、选择题(每小题5分,共25分)1.( 2016·泉州高二检测)如果复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i为纯虚数,那么实数a的值为( )A.-2B.1C.2D.1或-2【解析】选A.因为复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i为纯虚数,所以a2+a-2=0且a2-3a+2≠0,所以a=-2.2.(2016·全国卷Ⅰ)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3【解析】选A.因为(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,其实部与虚部相等,即a-2=1+2a,解得a=-3. 【补偿训练】已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相等,则实数a等于( ) A.-3 B.3 C.-1 D.1【解析】选C.已知1+3i的实部为1,-1-ai的虚部为-a,则a=-1.【拓展延伸】复数相等的充要条件的应用1.必须是复数的代数形式,才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组.2.利用这一结论,可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现,这一思想在解决复数问题中非常重要.3.(2016·西安高二检测)设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.ab=0⇒a=0或b=0,当a≠0,b=0时,a+为实数,当a+为纯虚数时⇒a=0,b≠0⇒ab=0,故“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的必要不充分条件.4.(2016·潍坊高二检测)若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为( )A.-2B.3C.-3D.±3【解析】选B.由题意知m2-9=0,解得m=±3,又z为正实数,所以m=3.【延伸探究】若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是虚数,则m的取值为________.【解析】由题意知m2-9≠0,所以m≠±3.答案:m≠±35.(2016·上海高二检测)设x,y均是实数,i是虚数单位,复数(x-2y)+(5-2x-y)i的实部大于0,虚部不小于0,则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的( )【解题指南】由复数(x-2y)+(5-2x-y)i的实部大于0,虚部不小于0,可得利用线性规划的知识得可行域即可.【解析】选 A.因为复数(x-2y)+(5-2x-y)i的实部大于0,虚部不小于0,所以由线性规划的知识可得,可行域为直线x=2y的右下方和直线y=5-2x的左下方,因此为A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知复数z=m2(1+i)-m(m+i)(m∈R),若z是实数,则m的值为________.【解析】z=m2+m2i-m2-mi=(m2-m)i,所以m2-m=0,所以m=0或1.答案:0或17.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部,则实数a的取值范围是________.【解题指南】找出复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部与虚部,列出不等式,即可求得实数a的取值范围.【解析】由已知可以得到a2>2a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a<-1,因此,实数a的取值范围是{a|a>3或a<-1}.答案:{a|a>3或a<-1}8.若复数m-3+(m2-3m-4)i<0,则实数m的取值范围为________.【解题指南】虚数不能比较大小,能比较大小的一定是实数.【解析】由题意知解得m=-1(m=4舍去).答案:m=-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.实数m取什么值时,复数lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i分别是(1)纯虚数.(2)实数.【解析】(1)复数lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i为纯虚数,则所以所以m=3.即m=3时,lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i为纯虚数.(2)复数lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i为实数,则解②得m=-2或m=-1,代入①检验知满足不等式,所以当m=-2或m=-1时,lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i为实数.【补偿训练】(2016·岳阳高二检测)已知复数z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i,则当实数m为何值时,复数z(1)是实数.(2)是虚数.(3)是纯虚数.【解析】z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i.(1)令m2-m-6=0⇒m=3或m=-2,即当m=3或m=-2时,z是实数.(2)令m2-m-6≠0,解得m≠-2且m≠3,所以当m≠-2且m≠3时,z是虚数.(3)由解得m=-1,所以当m=-1时,z是纯虚数.10.已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根x0,求x0以及实数k的值. 【解析】x=x0是方程的实根,代入方程并整理,得(+kx0+2)+(2x0+k)i=0.由复数相等的充要条件,得解得或所以方程的实根为x0=或x0=-,相应的k值为k=-2或k=2.一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(λ,θ∈R),并且z1= z2,则λ的取值范围为( )A.-7≤λ≤B.≤λ≤7C.-1≤λ≤1D.-≤λ≤7【解析】选D.由z1= z2,得消去m,得λ=4sin2θ-3sinθ=4-.由于-1≤sinθ≤1,故-≤λ≤7.2.(2016·哈尔滨高二检测)若复数z=+i(θ∈R)是纯虚数,则tan的值为( )A.-7B.-C.7D.-7或-【解析】选A.因为复数z是纯虚数.所以满足实部为零且虚部不为零.即因为sinθ=且cosθ≠,所以cosθ=-,所以tanθ=-,所以tan===-7.【误区警示】忽视虚部的限制而出错纯虚数的实部为0,虚部一定不等于0.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·淄博高二检测)设复数z=+(m2+2m-15)i为实数,则实数m的值是________.【解析】由题意得解得m=3.答案:3【延伸探究】若把题中条件“实数”改为“虚数”,则m的值为多少?【解析】若复数z=+(m2+2m-15)i是虚数,则m+5≠0且m2+2m-15≠0,得m≠3且m≠-5.【补偿训练】若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为________.【解析】由⇒x=-1.答案:-14.(2016·天津高考)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为________. 【解题指南】利用复数乘法法则以及复数相等的定义求出a,b的值,然后计算.【解析】=1+b+(1-b)i=a,所以解得所以=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)5.若m为实数,z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m+2+(m3-5m2+4m)i,那么使z1>z2的m值的集合是什么?使z1<z2的m值的集合又是什么?【解析】当z1∈R时,m3+3m2+2m=0,m=0,-1,-2,z1=1或2或5.当z2∈R时,m3-5m2+4m=0,m=0,1,4,z2=2或6或18.上面m的公共值为m=0,此时z1与z2同时为实数,此时z1=1,z2=2.所以z1>z2时m值的集合为空集,z1<z2时m值的集合为{0}.6.定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值.【解题指南】利用运算的定义转化为两个复数相等求解.【解析】由定义运算=ad-bc,得=3x+2y+yi,故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.因为x,y为实数,所以有得得x=-1,y=2.一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·泉州高二检测)如果复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i为纯虚数,那么实数a的值为( )A.-2B.1C.2D.1或-2【解析】选A.因为复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i为纯虚数,所以a2+a-2=0且a2-3a+2≠0,所以a=-2.2.(2016·全国卷Ⅰ)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3【解析】选A.因为(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,其实部与虚部相等,即a-2=1+2a,解得a=-3. 【补偿训练】已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相等,则实数a等于( ) A.-3 B.3 C.-1 D.1【解析】选C.已知1+3i的实部为1,-1-ai的虚部为-a,则a=-1.【拓展延伸】复数相等的充要条件的应用1.必须是复数的代数形式,才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组.2.利用这一结论,可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现,这一思想在解决复数问题中非常重要.3.(2016·西安高二检测)设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.ab=0⇒a=0或b=0,当a≠0,b=0时,a+为实数,当a+为纯虚数时⇒a=0,b≠0⇒ab=0,故“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的必要不充分条件.4.(2016·潍坊高二检测)若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为( )A.-2B.3C.-3D.±3【解析】选B.由题意知m2-9=0,解得m=±3,又z为正实数,所以m=3.【延伸探究】若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是虚数,则m的取值为________.【解析】由题意知m2-9≠0,所以m≠±3.答案:m≠±35.(2016·上海高二检测)设x,y均是实数,i是虚数单位,复数(x-2y)+(5-2x-y)i的实部大于0,虚部不小于0,则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的( )【解题指南】由复数(x-2y)+(5-2x-y)i的实部大于0,虚部不小于0,可得利用线性规划的知识得可行域即可.【解析】选 A.因为复数(x-2y)+(5-2x-y)i的实部大于0,虚部不小于0,所以由线性规划的知识可得,可行域为直线x=2y的右下方和直线y=5-2x的左下方,因此为A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知复数z=m2(1+i)-m(m+i)(m∈R),若z是实数,则m的值为________.【解析】z=m2+m2i-m2-mi=(m2-m)i,所以m2-m=0,所以m=0或1.答案:0或17.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部,则实数a的取值范围是________.【解题指南】找出复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部与虚部,列出不等式,即可求得实数a的取值范围.【解析】由已知可以得到a2>2a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a<-1,因此,实数a的取值范围是{a|a>3或a<-1}.答案:{a|a>3或a<-1}8.若复数m-3+(m2-3m-4)i<0,则实数m的取值范围为________.【解题指南】虚数不能比较大小,能比较大小的一定是实数.【解析】由题意知解得m=-1(m=4舍去).答案:m=-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.实数m取什么值时,复数lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i分别是(1)纯虚数.(2)实数.【解析】(1)复数lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i为纯虚数,则所以所以m=3.即m=3时,lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i为纯虚数.(2)复数lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i为实数,则解②得m=-2或m=-1,代入①检验知满足不等式,所以当m=-2或m=-1时,lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i为实数.【补偿训练】(2016·岳阳高二检测)已知复数z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i,则当实数m为何值时,复数z(1)是实数.(2)是虚数.(3)是纯虚数.【解析】z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i.(1)令m2-m-6=0⇒m=3或m=-2,即当m=3或m=-2时,z是实数.(2)令m2-m-6≠0,解得m≠-2且m≠3,所以当m≠-2且m≠3时,z是虚数.(3)由解得m=-1,所以当m=-1时,z是纯虚数.10.已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根x0,求x0以及实数k的值.【解析】x=x0是方程的实根,代入方程并整理,得(+kx0+2)+(2x0+k)i=0.由复数相等的充要条件,得解得或所以方程的实根为x0=或x0=-,相应的k值为k=-2或k=2.一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(λ,θ∈R),并且z1= z2,则λ的取值范围为( )A.-7≤λ≤B.≤λ≤7C.-1≤λ≤1D.-≤λ≤7【解析】选D.由z1= z2,得消去m,得λ=4sin2θ-3sinθ=4-.由于-1≤sinθ≤1,故-≤λ≤7.2.(2016·哈尔滨高二检测)若复数z=+i(θ∈R)是纯虚数,则tan的值为( )A.-7B.-C.7D.-7或-【解析】选A.因为复数z是纯虚数.所以满足实部为零且虚部不为零.即因为sinθ=且cosθ≠,所以cosθ=-,所以tanθ=-,所以tan===-7.【误区警示】忽视虚部的限制而出错纯虚数的实部为0,虚部一定不等于0.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·淄博高二检测)设复数z=+(m2+2m-15)i为实数,则实数m的值是________.【解析】由题意得解得m=3.答案:3【延伸探究】若把题中条件“实数”改为“虚数”,则m的值为多少?【解析】若复数z=+(m2+2m-15)i是虚数,则m+5≠0且m2+2m-15≠0,得m≠3且m≠-5.【补偿训练】若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为________.【解析】由⇒x=-1.答案:-14.(2016·天津高考)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为________. 【解题指南】利用复数乘法法则以及复数相等的定义求出a,b的值,然后计算.【解析】=1+b+(1-b)i=a,所以解得所以=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)5.若m为实数,z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m+2+(m3-5m2+4m)i,那么使z1>z2的m值的集合是什么?使z1<z2的m值的集合又是什么?【解析】当z1∈R时,m3+3m2+2m=0,m=0,- 1,-2,z1=1或2或5.当z2∈R时,m3-5m2+4m=0,m=0,1,4,z2=2或6或18.上面m的公共值为m=0,此时z1与z2同时为实数,此时z1=1,z2=2.所以z1>z2时m值的集合为空集,z1<z2时m值的集合为{0}.6.定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值. 【解题指南】利用运算的定义转化为两个复数相等求解.【解析】由定义运算=ad-bc,得=3x+2y+yi,故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.因为x,y为实数,所以有得得x=-1,y=2.(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x的值为( )A.1B.±1C.-1D.-2【解题指南】根据复数的概念,列方程求解.【解析】选A.由x2-1=0得,x=±1,当x=-1时,x2+3x+2=0,不合题意,当x=1时,满足,故选A.【一题多解】本题还可用以下方法求解:选A.检验法:x=1时,原复数为6i,满足;x=-1时,原复数为0,不满足,当x=-2时,原复数为3,不满足.故选A.2.(2015·银川高二检测)已知x，y∈R，且(x+y)+2i=4x+(x-y)i，则( )A. B. C. D.【解析】选C.由复数相等的条件得解得【补偿训练】已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.求实数x，y的值.【解析】因为x，y是实数，所以解得3.(2015·临沂高二检测)若复数z1=sin2θ+icosθ，z2=cosθ+i sinθ，z1=z2，则θ等于( )A.kπ(k∈Z)B.2kπ+(k∈Z)C.2kπ±(k∈Z)D.2kπ+(k∈Z)【解题指南】由复数相等的定义，列方程组求解.【解析】选D.由z1=z2，可知所以cosθ=，sinθ=.所以θ=+2kπ，k∈Z，故选D.【补偿训练】1.已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R)，z2=2cosθ+(λ+3cosθ)i(λ∈R)，若z1=z2，则λ的取值范围是.【解析】因为z1=z2，所以所以λ=4-cosθ.又因为-1≤cosθ≤1.所以3≤4-cosθ≤5.所以λ∈.答案：2.已知复数z1=x+2+(y+1)i，z2=2014+2015i，x，y∈R，若z1=z2，求x和y的值.【解析】根据复数相等的充要条件a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a，b，c，d∈R)，可得解得4.已知关于x的方程x2-6x+9+(a-x)i=0(a∈R)有实数根b,则实数ab的值为( ) A.1 B.3 C.-3 D.9【解析】选D.将b代入题设方程,整理得(b2-6b+9)+(a-b)i=0,则b2-6b+9=0且a-b=0,解得a=b=3,ab的值为9.5.下列说法正确的是( )A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B.若a，b∈R且a>b，则ai>biC.如果复数x+yi是实数，则x=0，y=0D.当z∈C时，z2≥0【解析】选A.由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.故A正确；两个复数都是实数时才能比较大小，故B错误；复数x+yi ∈R⇔故C错误；当z=i时，z2=-1<0，故D错误.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知a∈R,且(a-2)+(a2-a-2)i=0,a的值为.【解析】因为a∈R,且(a-2)+(a2-a-2)i=0,所以解得a=2.答案:2【误区警示】在某一复数等于0时,要保证实部、虚部均为0.7.若2+ai=b-i,其中a,b∈R,i为虚数单位,则a2+b2= .【解析】因为2+ai=b-i(a,b∈R),所以a=-1,b=2,所以a2+b2=5.答案:58.给出下列说法:①复数由实数、虚数、纯虚数构成;②满足x2=-1的数x只有i;③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数;④复数m+ni的实部一定是m.其中正确说法的个数为.【解析】③中b=0时bi=0不是纯虚数.故③正确.①中复数分为实数与虚数两大类;②中平方为-1的数为±i;④中m,n不一定为实数,故①②④错误.答案:1三、解答题(每小题10分，共20分)9.复数z=(m2-5m+6)+(m2+3m-10)i(m∈R),求满足下列条件的m的值.(1)z是实数.(2)z是虚数.(3)z是纯虚数.【解析】(1)若z是实数,则m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5.(2)若z是虚数,则m2+3m-10≠0,解得m≠2且m≠-5.(3)若z是纯虚数,则解得m=3.10.集合M={1，2，(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i}，N={3，10}，且M∩N≠∅，求实数m的值.【解题指南】通过M∩N≠∅可得出(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i的值，再利用复数相等的充要条件求解.【解析】因为M∩N≠∅，所以(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=3或(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=10，由(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=3得解得m=-2.由(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=10得解得m=-3.所以m的值为-2或-3.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·唐山高二检测)已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合P={-1,3},M∩P={3},则实数m的值为( )A.-1B.-1或4C.6D.6或-1【解题指南】应从M∩P={3}来寻找解题的突破口.【解析】选A.因为M∩P={3},所以(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3.所以所以m=-1,故选A.2.复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)是纯虚数,则有( )A.a≠0B.a≠2C.a≠-1且a≠2D.a=-1【解析】选D.只需即a=-1时,复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)为纯虚数.二、填空题(每小题5分，共10分)3.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,则k= .【解析】因为z<0,所以z∈R,故虚部k2-5k+6=0,(k-2)(k-3)=0,所以k=2或k=3,但k=3时,z=0,故k=2.答案:2【补偿训练】若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1，则实数x的值是.【解析】因为log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1，所以解得x=-2.答案：-24.复数z=cos+sin i,且θ∈,若z是实数,则θ的值为;若z为纯虚数,则θ的值为.【解析】z=cos+sin i=-sinθ+icosθ,当z是实数时,cosθ=0,因为θ∈,所以θ=±;当z为纯虚数时又θ∈,所以θ=0.答案:±0三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·天津高二检测)已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R),试求实数a分别取什么值时,z分别为:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.【解题指南】根据复数z为实数、虚数、纯虚数的条件,分别求出相应的a的值.【解析】(1)当z为实数时,则有所以所以a=6,即a=6时,z为实数.(2)当z为虚数时,则有a2-5a-6≠0且有意义,所以a≠-1且a≠6且a≠±1,所以a≠±1且a≠6.所以当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z为虚数.(3)当z为纯虚数时,有所以所以不存在实数a使z为纯虚数.【误区警示】解答本题注意使式子有意义的条件限制,防止在(1)(2)问解答中因忽视a≠±1而导致错误.6.设z1=m2+1+(m2+m-2)i,z2=4m+2+(m2-5m+4)i,若z1<z2,求实数m的取值范围.【解析】由于z1<z2,m∈R,所以z1∈R且z2∈R,当z1∈R时,m2+m-2=0,m=1或m=-2.当z2∈R时,m2-5m+4=0,m=1或m=4,所以当m=1时,z1=2,z2=6,满足z1<z2.所以z1<z2时,实数m的取值为m=1.【补偿训练】如果m为实数，z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i，z2=4m+2+(m3-5m2+4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1<z2的m值的集合又是什么？【解题指南】由于z1，z2可以比较大小，故其一定是实数.【解析】z1>z2或z1<z2，可知z1∈R，z2∈R，所以当z1>z2时，有由①②两个式子解得m=0，不能满足最后一个式子，所以使z1>z2的m的值的集合为空集. 由上面可知，当m=0时，m2+1<4m+2，所以使z1<z2的m值的集合为{0}.。
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测(答案解析)(2)
一、选择题1．复数(),z a bi a b R =+∈，()m z z b =+，n z z =⋅，2p z =，则（ ） A ．m 、n 、p 三数都不能比较大小B ．m 、n 、p 三数的大小关系不能确定C ．m n p ≤=D ．m n p ≥=2．已知()2155 2i z i -=+，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-33．i 是虚数单位，若复数()2421i z i +=-在复平面内对应的点在直线20x y a --=上，则a 的值等于（ ）A ．5B ．3C ．-5D ．-34．若m 为实数，则复数22()()26m m m m i ---＋＋在复平面内所对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．下面是关于复数21iz =-的四个命题，其中的真命题为（ ） 1:2p z =;22:2i p z =;3:p z 的共轭复数为1i -；4:p z 的虚部为i.A ．2p ,3pB ．13,p pC ．24,p pD ．34,p p 6．复数(1)(2)z i i =--（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部是（ ） A ．3i B ．3i -C ．3D ．3- 7．“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知i 为虚数单位，若复数1()1ai z a R i -=∈+的实部为-2，则z =（ ）A ．5BCD ．139．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ ）A ．1355i +B ．1355i -+ C ．1355i - D ．1355i -- 10．若复数z 满足()211z i i -=+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．已知i 是虚数单位，则复数242i z i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 12．已知i 为虚数单位，则复数21i i -+对应复平面上的点在第（ ）象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四二、填空题13．已知复数1i z i+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为__________. 14．已知i 是虚数单位，则复数11i i+-的实部为______. 15．已知R b ∈，若()()12bi i +-为纯虚数，则1bi +=________．16．复数()1i i +的实部为_________．17．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5i z= . 18．已知i 为虚数单位，23i -是关于x 的方程220x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +=__________．19．设复数()21z i =-（i 是虚数单位），则z 的模为__________．20．复数z 满足()12i z -=，则z 的虚部是__________． 三、解答题21．设z C ∈.(1)若312i z i +=+,且z 是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,求b 和c 的值；(2)若4z z -是纯虚数,已知0z z =时,z +取得最大值,求0z ； (3)肖同学和谢同学同时独立地解答第（2）小题,已知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9,求该题能被正确解答的概率.22．已知复数2i α=-，i m β=-，m R ∈.（1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若αβ+是关于x 的方程2130()x nx n -+=∈R 的一个根，求实数m 与n 的值.23．已知复数()2113z i i =-++.（1）求z ；（2）若2z az b z ++=，求实数a ，b 的值.24．已知2z i =+，a ，b 为实数.（1）若2312z z ω=+-，求ω；（2）若522az bz i z+=--，求实数a ，b 的值.25．已知复数12z a i =+，234z i =-(a R ∈，i 为虚数单位).(1)若12z z 是纯虚数，求实数a 的值.(2)若复数12z z 在复平面上对应的点在第二象限，且14z ≤，求实数a 的取值范围.26．已知复数()()21312i i z i-++=-，z ai ω=-(其中i 是虚数单位).(1)当ω为实数时，求实数a 的值； (2)当03a ≤≤时，求ω的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据复数的四则运算，结合基本不等式，即可得出结论.【详解】z a bi =-，()2m a bi a bi b ab =++-=，22()()n a bi a bi a b =+-=+，22p a b =+ 222a b ab +，当且仅当a b =时，取等号m n p ∴≤=故选：C【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.2．D解析：D【分析】根据复数的运算，求得13z i =-，进而取得复数的虚部，得到答案．【详解】由题意，复数()()()()()215534155155 133434342i i i i z i i i i i ----====-++-+，所以复数z 的虚部为3-，故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．C解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的值，然后找到其在复平面对应的点，代入到直线20x y a --=，即可求出a 的值．【详解】 ()24242(42)(2)1 2.241ii i i z i i i +++⋅====-+--复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),将其代入直线20x y a --=得， 5.a =-【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的几何意义．4．C解析：C【分析】实部虚部相加为4，不可能都为负.【详解】若m 为实数，复数22()()26m m m m i ---＋＋ 实部虚部相加为：222640m m m m ---=>＋＋，不可能都为负所对应的点不可能位于第三象限故答案选C【点睛】本题考查了复数对应的象限，是常考题型.5．A解析：A【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简复数z ，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案．【详解】∵z ()()()212111i i i i +===--+1+i ， ∴1p ：|z |=2p ：z 2＝2i ，3p ：z 的共轭复数为1-i ，4p ：z 的虚部为1，∴真命题为p 2，p 3．故选A ．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题．6．C解析：C【解析】分析：求出复数z ，得到z ，即可得到答案.详解：()()1213,13,z i i i z i =--=-∴=+故z 的共轭复数z 的虚部是3.故选C.点睛：本题考查复数的乘法运算，复数的共轭复数等，属基础题.7．C解析：C【解析】分析：首先求得复数z 为纯虚数时x 是值，然后确定充分性和必要性即可.详解：复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数，则： 2010x x x ⎧-=⎨-≠⎩，即：011x x x ==⎧⎨≠⎩或，据此可知0x =， 则“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的充要条件 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查充分必要条件的判断，已知复数类型求参数的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C【解析】分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z . 详解：由题复数()11ai z a R i-=∈+的实部为-2，()()()()()11111,1112ai i a a i ai z i i i -⋅---+-===++⋅- 12,5,2a a -∴=-= 则()1123,2a a i z i z --+==--∴= 故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.9．D解析：D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由()121i z i +=-， 得()()()()11211312121255i i i z i i i i ---===--++-． 故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．10．B解析：B【解析】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得到结论. 详解：()211z i i -=+， ()()()221i i 1i1i 2i 2i 1i z +++∴===---1i 11i 222-+==-+， z ∴在复平面内所对应的点坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限，故选B. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.11．A解析：A【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.【详解】解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi12．D解析：D【解析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可.详解：由题意可得：()()()()2121313111222i i i i i i i i ----===-++-， 则复数对应的点为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，该点位于第四象限， 即复数21i i-+对应复平面上的点在第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．1【解析】由题意可得：则复数的实部为1解析：1【解析】由题意可得：()11i i z i i -+==- ，则复数z 的实部为1.14．0【解析】实部为0点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：0【解析】 1i i 1i+=∴- 实部为0 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi15．【详解】试题分析：为纯虚数；考点：1复数的分类；2复数的模长；【详解】试题分析：()()12=2(21)bi i b b i +-++-为纯虚数，=2b ⇒-，112bi i ⇒+=-；考点：1．复数的分类；2．复数的模长；16．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部解析：1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-.考点：复数的乘法运算、实部.17．【分析】求出复数利用复数的除法运算法则：分子分母同乘以分母的共轭复数化简复数从而可得结论【详解】∵复数z 的实部为-1虚部为2∴ ∴= 故答案为【点睛】复数是高考中的必考知识主要考查复数的概念及复数的 解析：2i -【分析】求出复数12z i =-+．利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数5i z，从而可得结论. 【详解】 ∵复数z 的实部为-1，虚部为2，∴12z i =-+， ∴5512i i z i-+ =5(12)(1)(12)w i i i ---+-- 2i =-，故答案为2i -．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.18．38【解析】分析：把代入方程得再化简方程利用复数相等的概念得到pq 的值即得p+q 的值详解：把代入方程得所以所以所以所以p+q=38故答案为38点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根意在考查学生解析：38【解析】分析：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，再化简方程利用复数相等的概念得到p,q 的值，即得p+q 的值.详解：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，所以2(4912)230i pi p q -+-+-+=，所以1024230,(224)1030i pi p q p i p q -+-+=∴-+-+=， 所以2240,12,24.1030p p q p q -=⎧∴==⎨-+=⎩所以p+q=38.故答案为38. 点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且. 19．2【解析】分析：计算可得进而得到的模详解：即答案为2点睛：本题考查复数的运算及复数的模属基础题解析：2【解析】分析：计算可得z ，进而得到z 的模详解：()212,2z i i z =-=-∴=. 即答案为2.点睛：本题考查复数的运算及复数的模，属基础题.20．1【解析】∵复数z 满足满足故z 的虚部是1解析：1【解析】∵复数z 满足满足()12i z -=，()()()2122211112i i z i i i i ++∴====+--+， 故z 的虚部是1. 三、解答题21．(1) 2,2-；(2) 03z =；(3) 0.98.【分析】(1)利用复数除法的运算法则化简312i z i +=+,再根据实系数一元二次方程的性质和根与系数关系可以求出b 和c 的值；(2)设出复数z 的代数形式,利用复数的除法法则和4z z -是纯虚数,可得出复数z 的实问部和虚部之间的关系,再由0z z =时,z +取得最大值,这样可以求出0z ；(3)求出该题不能被正确解答的概率,然后运用对立事件概率公式求出该题能被正确解答的概率.【详解】(1) 3(3)(12)112(12)(12)i i i z i i i i ++⋅-===-++⋅-.因为z 是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,所以1i +也是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,因此由根与系数关系可知： (1)(1)2(1)(1)2i i c b i i b c +-==-⎧⎧⇒⎨⎨++-=-=⎩⎩,所以b 和c 的值分别为2,2-； (2)设(,)z x yi x y R =+∈.222()(4)(4)444(4)(4)(4)z x yi x yi x yi x x y yi z x yi x yi x yi x y++⋅---+-===-+-+-⋅---+是纯虚数,所以有 222(4)0,0(2)4,0x x y y x y y -+=≠⇒-+=≠,它表示以(2,0)A 为圆心，2为半径的圆,z +的几何意义是圆上的点(,)P x y 到点(0,B -是距离. ,,P A B 在同一条直线上且,PA PB 同向时,z+取得最大值, 因为2,6PA PB ==,所以13PA PB =所以1(2,)(,)3x y x y --=--,因此12()331()()3x x x y y y ⎧-=-⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪-=-⎪⎩所以03z =+(3) 该题不能被正确解答的概率为(10.9)(10.8)0.02-⨯-=,因此能被正确解答的概率为： 10.020.98-=.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的根的性质和根与系数关系,考查了根据复数的类别求轨迹问题,考查了对立事件的计算公式.22．（1）(6,2)-（2）1m =，6n =或5,6m n =-=- 【解析】 【分析】 （1）根据复数的混合运算和复数模的即可求出；（2）根据韦达定理即可求出．【详解】（1）αα==于是222i m i m iαβ+=-+-=+-=又2αβα+<<，解得：62m -<<.所以实数m 的取值范围为()6,2-.（2）由（1）知2i α=-，22m i αβ+=+-.因为22m i +-（m R ∈）是方程()2130x nx n R -+=∈的一个根， 22m i ++（m R ∈）也是此方程的一个根，于是()()()()2222222213m i m i n m i m i ⎧++++-=⎪⎨++⋅+-=⎪⎩解得16m n =⎧⎨=⎩或56m n =-⎧⎨=-⎩，且满足()24130,n ∆=--⨯< 所以1m =，6n =或5,6m n =-=-【点睛】本题考查了复数的运算以及方程的解的问题，以及复数模的计算，属于基础题．23．（1（2）3{4a b =-= 【解析】分析：（1）把z 化为(,)a bi a b R +∈形式，然后由模的定义求解；（2）代入z ，把等式化为(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈，再由复数相等的定义求解． 详解：（1）()2113z i i =-++ 121131i i i =--++=+，所以复数z 的模z ==（2）()()2211121z az b i a i b i a ai b ++=++++=+-+++()()2a b a i =+++， 而1z i =-，由此易得121a b a +=⎧⎨+=-⎩，可得34a b =-⎧⎨=⎩. 点睛：本题考查复数的概念，掌握复数的相关概念与运算法则是解题基础．若(,)z a bi a b R =+∈，则z =，若(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈，则a c b d =⎧⎨=⎩．24．（1；（2）-3，2【解析】分析：（1）利用复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义化简3i ω=-+，利用复数模的公式求解即可；（2）利用复数除法的运算法则将522az bz i z+=--，化为()252b a a b i i -++=-，由复数相等的性质可得51b a a b -=⎧⎨+=-⎩，从而可得结果. 详解：（1）∵2z i =+，∴2z i =-. ∴2312z z ω=+- ()()2232123i i i =++--=-+，∴ω==（2）∵2z i =+，∴()()()22222a i b i az bz z i ++-+=--+ ()()()()222i a b a b i a b a b ii i ⎡⎤++-++-⎣⎦==-- ()252b a a b i i =-++=-.∴51b a a b -=⎧⎨+=-⎩， 解得32a b =-⎧⎨=⎩， ∴a ，b 的值为：-3，2.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分25．（1）8=3a -；（2）8|233a a ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭。
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试(答案解析)(2)
一、选择题1．若复数2i z =-，i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-= A ．24i + B ．24i -+C ．24i --D ．4-2．定义运算,,a b ad bc c d=-，则符合条件,10 ,?2z i i i+=-的复数 z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若复数1z ，2z 满足1134z z i +=-，212z i ++=，则12z z -的最小值为（ ）．A ．110B ．1110C ．2110D ．2110-4．定义：复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数”．设复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上，则z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（ ）．A ．220y xy x +-=B ．220y xy x -+=C ．220y xy x ++=D ．220y xy x --=5．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段6．下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（ ） （1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆； （2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线； （3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线； （4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5] A ．4B ．1C ．2D ．37．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于()A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i --8．在复平面内，复数12z i ＝－对应的向量为OA ，复数2z 对应的向量为OB ，则向量AB 所对应的复数为( ) A ． 42i ＋ B ． 42i -C ． 42i --D ． 42i -+9．i 为虚数单位，则232018232018i i i i +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．20182017i -+B ．10081008i -C ．10101009i -+D ．10101009i -10．在复平面内，复数21iz i=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限11．已知实数[1,1]a ∈-，实数[1,2]b ∈-，则复数2a biz i+=-在复平面内对应的点位于第一象限的概率为（ ） A ．524B ．14C ．724D ．1312．设()1x yi i i +=+，其中x ，y 是实数，则2x yi +=（ ） A ．1BCD二、填空题13．在下列命题中：①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充要条件；⑥复数12120z z z z >⇔->；⑦复数z 满足22z z =；⑧复数z 为实数z z ⇔=.其中正确命题的是______.（填序号）14．已知关于x 的实系数方程20x ax b ++=有一个模为1的虚根，则a 的取值范围是______．15．若复数(),z x yi x y R =+∈复平面上对应的点在直线34150x y +-=上，则z 的最小值是_________.16．设复数211z z iz =-(其中表示复数1z 的共轭复数),若2z 的实部是-1,则2z 的虚部是__________.17．已知i 为虚数单位，复数131iz i+=-，则复数z 的共轭复数是_______． 18．已知R b ∈，若()()12bi i +-为纯虚数，则1bi +=________． 19．已知复数z 与（z +2）2+5均为纯虚数，则复数z =__．20．已知i 为虚数单位，23i -是关于x 的方程220x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +=__________．三、解答题21．已知复数z 满足|z|=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +）⋅OC 的值.22．已知复数12215523,(2)iz i z i -=-=+，求下列各式的值：(Ⅰ)12z z (Ⅱ)12z z23．已知z 为复数，i 为虚数单位，且3z i +-和1zi+均为实数. （1）求复数z ；（2）若复数z ，z ，2z 在复平面上对应的点分别是A ，B ，C ，求ABC ∆的面积. 24．已知复数21(56)z m m m i =++++ （1）当实数m 为何值时，z 为实数； （2）当实数m 为何值时，z 为纯虚数.25．已知复数3z bi =+，(b 为实数)，且z i -为实数. （1）求复数z ； （2）求复数z 的模||z .26．关于复数z 的方程()()()230z a i z i a R -+-+=∈.（1）若此方程有实数解，求a 的值；（2）证明：对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚数根.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】()()11z z +-=2211(2)1(34)24z i i i -=--=--=-+ ,选B.,2．B解析：B 【解析】 由题意可得：()()(),1210,2z i z i i i i i+=--+=-，即()()()121221222422i i i i i z i i i -----====---，∴1 22iz =-+，则复数z 对应的点的坐标为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭在第二象限，故选B. 3．A解析：A 【分析】由复数模的定义求出1z 对应的点在一条直线上，2z 对应的点在圆上，利用圆的性质可求得直线上的点到圆上点的距离的最小值． 【详解】复数1z 对应的点为1(,)Z x y ，因为1134z z i +=-，所以=6870x y +-=，所以点1Z 的轨迹是一条直线．复数2z 对应的点为2(,)Z x y ，因为212z i ++=表示点(),x y 到定点()1,1--的距离为2，所以点2Z 的轨迹表示以()1,1--为圆心、半径为2的圆，12z z -211221010-=-=． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的模的运算，考查模的几何意义，利用几何意义把复数问题转化为直线上的点到圆上点的距离的最小值这个几何问题，利用几何性质得出求解方法．4．C解析：C 【分析】设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=.因为复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数,可得()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+,z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y ,由坐标变换,即可得z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程. 【详解】复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数∴ ()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+ ┄①设z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y 可得:00x y y x =-⎧⎨=⎩ 即00y xx y=-⎧⎨=⎩ ┄②将②代入①得:22()0y y x x --+= 即:220y xy x ++=故选: C. 【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面和考查坐标变换,掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键.5．D解析：D 【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.【详解】2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立. 因此，点Z 的轨迹为线段. 故选D. 【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．B解析：B 【分析】（1）根据椭圆的定义来判断；（2）根据双曲线的定义来判断；（3）根据抛物线的定义来判断；（4）利用圆的有关知识点判断. 【详解】（1）|1||1|2z z -++=，表示复平面内到点()()1,0,1,0-距离之和为2的点的轨迹，是由点()()1,0,1,0-构成的线段，故错误；（2）|2||2|2z z --+=，表示复平面内到点()2,0的距离比到点()2,0-的距离大2的点的轨迹，是双曲线的左支，故错误；（3）|1||Re 1|z z -=+，表示复平面内到点()1,0的距离等于到直线1x =-的距离的点的轨迹（点()1,0不在直线1x =-上），所以轨迹是抛物线，故正确；（4）|2|3z -≤，表示点的轨迹是圆心为()2,0，半径为3的圆及其内部（坐标原点在圆内），且z 表示轨迹上的点到原点的距离，所以min 0=，此时z 对应的点为原点，max 325r d =+=+=（d 表示原点到圆心的距离），所以 ||z 的取值范围是[0,5]，故错误. 故选B. 【点睛】复数对应的轨迹方程：（1）122z z z z a -+-=，当122a z z >-时，此时z 对应的点的轨迹是椭圆； （2）()1220z z z z a a ---=>，当122a z z <-时，此时z 对应的点的轨迹是双曲线.7．B解析：B 【分析】 化简复数得到答案. 【详解】()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++故答案选B 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.8．C解析：C 【分析】先计算A 点坐标和B 点坐标，再计算向量AB ，最后得到对应的复数. 【详解】复数12z i ＝－对应的向量为(1,2)OA A ⇒-22()3412i z i ==--－复数2z 对应的向量为(3,4)OB B ⇒--(4,2)AB =--对应的复数为：42i -- 故答案选C 【点睛】本题考查了复数的计算，对应向量，意在考查学生综合应用能力.9．C解析：C 【详解】分析：由复数的基本运算性质,可得44142431,,1,nn n n i i i i i i +++===-=-，其中n 为自然数，进而即可求解答案.详解：由复数的基本运算性质,可得44142431,,1,n n n n i i i i i i +++===-=-，其中n 为自然数，设232018232018S i i i i =+++⋅⋅⋅+，两边同乘i 可得：2342019232018iS i i i i =+++⋅⋅⋅+ 两式相减可得()()20182320182019201911201820181i i q S i i i i i ii--=++++-=--()112018120191i i i i+=+=-+-所以()()()()1201911201910101009111i i i S i i i i -++-+===-+--+，故选C. 点睛：本题主要考查了虚数的运算性质的应用，其中熟记虚数的运算性质，利用乘公比错误相减法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.10．D解析：D 【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A 【解析】分析：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，结合[]1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，画出可行域，利用几何概型即可求出答案.详解：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，又[] 1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，故在平面直角坐标系上画出可行域，如图所示：∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限的概率1515222324P ⨯⨯==⨯.故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．12．D解析：D 【解析】分析：首先应用复数代数形式的乘法运算法则，将()x yi i +求出来，之后应用复数相等的条件，得到,x y 所满足的等量关系式，求得,x y 的值，接着利用复数的模的计算公式求得结果.详解：因为()1,,x yi i i x y +=+是实数，所以21xi yi i +=+，即1y xi i -+=+，所以1,1x y ==-，则212x yi i +=-==，故选D.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则、复数相等的条件以及复数模的计算公式，属于简单题目.二、填空题13．⑧【分析】根据复数的定义和性质依次判断每个选项得到答案【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小①错误；②复数对应的点在第二象限②错误；③若是纯虚数则实数③错误；④若不能得到举反例④错误；⑤复数为纯虚数解析：⑧ 【分析】根据复数的定义和性质，依次判断每个选项得到答案. 【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小，①错误； ②复数1z i =-对应的点在第二象限，②错误；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =，③错误；④若()()2212230z z z z -+-=，不能得到123z z z ==，举反例1231,0,z z z i ===，④错误；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充分不必要条件，⑤错误； ⑥复数12120z z z z >⇔->，取122,z i z i =+=，不能得到12z z >，⑥错误； ⑦复数z 满足22z z =，取zi ，22z z ≠，⑦错误；⑧复数z 为实数z z ⇔=，根据共轭复数定义知⑧正确. 故答案为：⑧. 【点睛】本题考查了复数的性质，定义，意在考查学生对于复数知识的理解和掌握.14．【分析】根据系数方程有虚根则可得设方程的虚根为:则另一个虚根为:其模为1可得即可求得的取值范围【详解】设方程的虚根为:另一个虚根为:由韦达定理可得:故:实系数方程有一个模为1的虚根故若方程有虚根则可 解析：22a -<<【分析】根据系数方程20x ax b ++=有虚根,则可得240a b ∆=-<.设方程的虚根为:=+x m ni ,则另一个虚根为:x m ni =-,其模为1,可得221+=m n ,即可求得a 的取值范围. 【详解】设方程的虚根为:=+x m ni , 另一个虚根为:x m ni =- 由韦达定理可得:x x a x x b +=-⎧⎨⋅=⎩ 故:222m am n b=-⎧⎨+=⎩ 实系数方程20x ax b ++=有一个模为1的虚根∴ 221+=m n 故=1b若方程有虚根,则240a b ∆=-< 可得240a -<∴ 22a -<<故答案为: 22a -<<. 【点睛】本题考查复数代数形式乘除运算,韦达定理的使用,实系数方程有虚数根的条件,共轭复数的性质、共轭复数的模,意在考查基础知识的掌握与综合应用.15．【分析】复数对应的点为则其表示点到原点的距离再利用点到直线的距离公式即可求解的最小值【详解】因为复数对应的点为所以其表示点到原点的距离；当有最小值时原点到直线上的点距离最小即为原点到直线的距离所以故 解析：3【分析】复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y ，则z =(),x y 到原点的距离，再利用点到直线的距离公式即可求解z 的最小值. 【详解】因为复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y ，所以z =(),x y到原点()0,0的距离；当z 有最小值时，原点到直线上的点距离最小，即为原点到直线34150x y +-=的距离d ，3d ==，所以min 3z =.故答案为3. 【点睛】本题考查复数模的几何意义和点到直线的距离公式的应用，难度一般.复数模的几何意义就是复数(),z a bi a b R =+∈所对应的点(),Z a b 到坐标原点的距离.16．1【解析】设则∴∵的实部是∴的虚部是故答案为解析：1 【解析】设()1,z a bi a b R =+∈，则1z a bi =-.∴()()()211z z iz a bi i a bi a bi b ai a b a b i =-=+--=+--=--- ∵2z 的实部是1- ∴2z 的虚部是1 故答案为1.17．【解析】由题意可得：则复数的共轭复数是故答案为 解析：12i --【解析】由题意可得：()()()()13113133241211122i i i i i iz i i i i +++++--+=====-+--+，则复数z 的共轭复数是12z i =--，故答案为12i --.18．【详解】试题分析：为纯虚数；考点：1复数的分类；2复数的模长；【详解】试题分析：()()12=2(21)bi i b b i +-++-为纯虚数，=2b ⇒-，112bi i ⇒+=-；考点：1．复数的分类；2．复数的模长；19．±3i 【分析】设然后代入利用复数代数形式的乘除运算化简结合已知条件列出方程组求解即可得答案【详解】解：设为纯虚数解得故答案为：【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念属于基础题解析：±3i 【分析】设(,0)z bi b R b =∈≠，然后代入2(2)5z ++利用复数代数形式的乘除运算化简，结合已知条件列出方程组，求解即可得答案．【详解】解：设(,0)z bi b R b =∈≠，222(2)5(2)594z bi b bi ++=++=-+为纯虚数，∴29040b b ⎧-=⎨≠⎩，解得3b =±， 3z i ∴=±．故答案为：3i ±．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．20．38【解析】分析：把代入方程得再化简方程利用复数相等的概念得到pq 的值即得p+q 的值详解：把代入方程得所以所以所以所以p+q=38故答案为38点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根意在考查学生解析：38【解析】分析：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，再化简方程利用复数相等的概念得到p,q 的值，即得p+q 的值.详解：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，所以2(4912)230i pi p q -+-+-+=，所以1024230,(224)1030i pi p q p i p q -+-+=∴-+-+=， 所以2240,12,24.1030p p q p q -=⎧∴==⎨-+=⎩所以p+q=38.故答案为38. 点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且.三、解答题21．（1）1+i ；（2）﹣2.【分析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中z =,实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z 的表达式.（2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R;由|z |=得x 2+y 2=2;又z 的实部大于0即x >0,z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2,所以xy =1;解得x=1,y=1;所以复数z=1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.22．(1)1279z z i =--;(2)121131010z i z =+. 【解析】【分析】由复数的平方，复数的除法，复数的乘法运算求得下面各式值．【详解】(Ⅰ)因为()221552iz i -==+155(155)(34)3425i i i i ---==+=13i - 所以()()12231379z z i i i =--=--；(Ⅱ)122313z i z i -==-(23)(13)(13)(13)i i i i -+-+=1131010i +. 【点睛】复数代数形式的四则运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R.z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i.122222(0)z a bi ac bd bc ad i c di z c di c d c d ++-==++≠+++ 23．（1）1z i =+（2）1.【解析】分析：（1）设复数z a bi =+，(),a b R ∈，由3z i +-和1z i+均为实数可得1002b b a -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1a b ==，从而可得结果；（2）由（1）知1z i =+，可得1z i =-，()2212z i i =+=，则复数z ，z ，2z 在复平面上对应的点分别是()1,1A ，()1,1B -，()0,2C ，利用三角形面积公式可得结果.详解：（1）设复数z a bi =+，(),a b R ∈，则()33z i a b i i +-=++-，()112a b b a i z a bi i i ++-+==++， ∵3z i +-和1z i+均为实数， ∴1002b b a -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：1a b ==， 则所求复数1z i =+.（2）由（1）知1z i =+， 所以1z i =-，()2212z i i =+=，则复数z ，z ，2z 在复平面上对应的点分别是()1,1A ，()1,1B -，()0,2C ， 所以12112ABC S ∆=⨯⨯=，即ABC ∆的面积为1. 点睛：本题主要考查的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义，属于中档题.复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.24．（1）3m =-或2m =-；（2）1m =-.【分析】（1）当复数的虚部为0时，z 为实数，求出m 的值即可；（2）当复数的实部为0，虚部不为0时，z 为纯虚数，求出m 的值即可.【详解】（1）若z 为实数，则2560m m ++=，解得3m =-或2m =-；（2）若z 为纯虚数，则210560m m m +=⎧⎨++≠⎩，解得1m =-. 【点睛】方法点睛：该题考查的时有关复数的分类，解题方法如下：（1）要明确复数为实数时满足虚部为0，列式求解；（2）要明确复数为纯虚数时满足实部为0虚部不为0，列式求解.25．（1）3i z =+（2【分析】（1）根据复数的类型确定b 的值，即可得出复数z ；（2）由模长公式求解即可.【详解】（1）33(1)z i bi i b i -=+-=+-z i -为实数10b ∴-=，则1b =3z i ∴=+（2）由（1）可知3i z =+，则||z ==【点睛】本题主要考查了根据复数的类型求参数以及求复数的模，属于中档题.26．（1）2；（2）证明见解析【分析】（1）设z m R =∈，由题意可得23010m am m ⎧--=⎨--=⎩，即可得解； （2）假设z ni =（n R ∈，且0n ≠）时方程的解，转化条件得23010n n an ⎧-+-=⎨--=⎩，由于230n n -+-=无实数根，可得假设错误，即可得证.【详解】（1）设z m R =∈，带入原方程得()()230m a i m i -+-+=， 即()2310m am m i --+--=，则23010m am m ⎧--=⎨--=⎩，故12m a =-⎧⎨=⎩. （2）证明:假设原方程有纯虚数根，设z ni =（n R ∈，且0n ≠）， 则有()()()230ni a i ni i -+-+=，整理可得()2310n n an i -+-+--=， 则23010n n an ⎧-+-=⎨--=⎩，对于230n n -+-=，判别式112110∆=-=-<， 则方程230n n -+-=无实数解，故方程组无实数解，即假设不成立，从而原方程不可能有纯虚数根.【点睛】本题考查了复数的综合应用，考查了复数相等的条件和反证法的应用，属于中档题.。
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(包含答案解析)(1)
一、选择题1．复数1cos isin z x x =-，2sin icos z x x =-，则12z z ⋅=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．若i 是虚数单位，则复数11ii+=-（ ） A ．-1B ．1C ．i -D ．i3．已知i 是虚数单位，121zi z-=+，则||z 等于（ ）A ．1BC D 4．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．1a b +>B ．1a b +<C ．221a b +<D ．221a b +>5．若复数1z ，2z 满足1134z z i +=-，212z i ++=，则12z z -的最小值为（ ）．A ．110B ．1110C ．2110D ．2110-6．若复数2320211z i i i i =++++⋯+，则复数z 对应的点在第（ ）象限 A ．一B ．二C ．三D ．四7．在复数范围内，下列命题中，假命题的是（ ） A ．若z 为实数，则z z = B ．若z z =，则z 为实数 C ．若z z ⋅为实数，则z 为实数 D ．若z 为实数，则z z ⋅为实数8．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z 的模等于（ ）．A ．1i +B ．1i -C ．2D9．复数()23z i i =-+（i 是虚数单位）的虚部是( ) A ．2- B ．2i -C ．3D ．3i10．设复数3422i iz +-=, 则复数z 的共轭复数是（ ）A ．5-2i B ．52i + C ．5-2i + D ．5--2i 11．在复平面内满足11z -=的动点z 的轨迹为（ ） A ．直线 B ．线段 C ．两个点 D ．圆 12．若复数z 是方程2250x x -+=的一个根，则z =（ ）A ．2i ±B ．2i -±C ．12i -±D ．12i ±二、填空题13．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为____．14．设α和β是关于x 的方程220x x m ++=的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m =_______________. 15．若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________16．i 为虚数单位，若复数22(23)()m m m m i +-+-是纯虚数，则实数m =_______. 17．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____.18．设i 为虚数单位，复数2iz i+=，则z 的模||z =______. 19．若实数m 满足z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数，则｜z ｜＝________． 20．复数i1iz =+，则z =______. 三、解答题21．已知i 是虚数单位，复数()242z i i i =-+-. (1)求复数z 的模z ；(2)若13z mz n i ++=+（,m n R ∈，z 是z 的共轭复数），求m 和n 的值. 22．已知复数z 满足：234z i =+，且z 在复平面内对应的点位于第三象限. （I ）求复数z ；（Ⅱ）设a R ∈，且2019121z a z +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，求实数a 的值.23．已知z C ∈，且满足()252z z z i i ++=+. （1）求z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求w 的取值范围. 24．已知复数1z i =-.（1）设(1)13w z i i =+--，求w ；（2）如果21z az bi i++=+，求实数a ，b 的值.25．已知复数1()2iaz a =+∈+R . （I ）若z ∈R ，求复数z ；（II ）若复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，求a 的取值范围.26．已知复数1z 满足()11i 13i z -=+，()2i z a a R =-∈（其中i 是虚数单位），若121z z ->，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】复数12cos sin ,sin cos z x i x z x i x =-=-，则()2212cos sin cos sin cos sin z z x x x x i x x ⋅=-+--=i - ，则121z z ⋅=，故选D.2．D解析：D 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+， 本题选择D 选项.3．A解析：A 【解析】 因为121zi z-=+，所以12(1)22z i z i iz -=+=+，212(12)343412(12)(12)555i i i z i i i i ----====--++-，1z ==，故选A ． 4．C解析：C 【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可． 【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0 化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点， 集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d =，即a 2+b 2＜1故选C ．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．5．A解析：A 【分析】由复数模的定义求出1z 对应的点在一条直线上，2z 对应的点在圆上，利用圆的性质可求得直线上的点到圆上点的距离的最小值． 【详解】复数1z 对应的点为1(,)Z x y ，因为1134z z i +=-，所以=6870x y +-=，所以点1Z 的轨迹是一条直线．复数2z 对应的点为2(,)Z x y ，因为212z i ++=表示点(),x y 到定点()1,1--的距离为2，所以点2Z 的轨迹表示以()1,1--为圆心、半径为2的圆，12z z -211221010-=-=． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的模的运算，考查模的几何意义，利用几何意义把复数问题转化为直线上的点到圆上点的距离的最小值这个几何问题，利用几何性质得出求解方法．6．A解析：A 【分析】根据周期性得到1z i =+,得到答案. 【详解】2320211(11)(11)11z i i i i i i i i i i =++++⋯+=+--+⋯++--++=+，故复数z 对应的点在第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.7．C解析：C 【分析】根据实数的共轭复数仍旧是实数可判断AD 的对错；一个数的共轭复数等于本身，这个数必定是实数，可判断B 的对错；一个复数与其共轭复数相乘结果一定是实数，因为z 可以是实数也可以是虚数，由此可判断C 的对错. 【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，A ．因为z R ∈，所以0b =，所以z R =且z z a ==，正确；B ．因为z z =，所以0b =，所以z R ∈，正确；C ．z z ⋅为实数对z C ∀∈（复数集）均满足，所以z 可以是实数，也可是虚数，错误.D ．因为z 为实数，所以0b =，所以z 也是实数，所以z z ⋅为实数，正确. 故选C. 【点睛】复数判断的常用结论：（1）一个复数与其共轭复数相乘的结果一定是实数； （2）实数的共轭复数仍是实数；（3）一个复数与其共轭复数相等则此复数是实数.8．D解析：D 【分析】结合复数的四则运算,计算复数z ，计算模长，即可． 【详解】()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，z =，故选D. 【点睛】本道题考查了复数的乘除运算法则，复数的模的求法，难度中等．9．A解析：A 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简后得到答案.详解：因为2(23)2332z i i i i i =-+=-+=--，所以其虚部为2-， 故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算，复数的虚部的概念，一定要注意复数的虚部是i 的系数.10．B解析：B 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：342525222i ii z i +--===-， 则其共轭复数为：52z i =+. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．D解析：D 【分析】由题意把|1|2||z z -=平方可得关于x 、y 的方程，化简方程可判其对应的图形． 【详解】解：设z x yi =+，|1|1z -=，2|1|1z ∴-=， 2|1|1x yi ∴-+=，22(1)1x y ∴-+=，故该方程表示的图形为圆， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数的代数形式及其几何意义，考查圆的方程，涉及复数的模长公式，属于中档题．12．D解析：D 【分析】设出复数，代入方程进行求解即可. 【详解】令(,)z a bi a b R =+∈， 有2()2()50a bi a bi +-++=，整理为()2225(22)0a b a ab b i --++-=，有22250220a b a ab b ⎧--+=⎨-=⎩， 解得：12a b =⎧⎨=±⎩，则12z i =±. 故选：D. 【点睛】本题综合考查复数的运算，涉及复数为实数的转化关系，属复数基础题.二、填空题13．1【解析】因为为纯虚数所以解析：1 【解析】因为()1i z +⋅(1)()(1)(1)i a i a a i =++=-++ 为纯虚数，所以10110a a a -=⎧∴=⎨+≠⎩ 14．【分析】由题意可设α＝a+bi 则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a ﹣bi 且m 与n 为实数b≠0由根与系数的关系得到ab 的关系由αβ0对应点构成直角三角形求得到实数m 的值【详解】设α＝a+bi 则 解析：2【分析】由题意，可设α＝a +bi ，(),a b ∈R 则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a ﹣bi ，且m 与n 为实数，b ≠0．由根与系数的关系得到a ，b 的关系，由α，β，0对应点构成直角三角形，求得到实数m 的值 【详解】设α＝a +bi ，(),a b ∈R 则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a ﹣bi ，且m 与n 为实数，n ≠0．由根与系数的关系可得α+β＝2a ＝﹣2，α•β＝a 2+b 2＝m ． ∴m ＞0．∴a ＝﹣1，m ＝b 2+1，∵复平面上α，β，0对应点构成直角三角形，∴α，β在复平面对应的点分别为A ，B ，则OA ⊥OB ，所以b 2＝1，所以m ＝1+1＝2；， 故答案为：2 【点睛】本题主要考查实系数一元二次方程虚根成对定理、根与系数的关系，三角形是直角三角形是解题的关键，属于基础题．15．【分析】根据行列式得到化简得到复数的虚部【详解】即的虚部为故答案为【点睛】本题考查了行列式的计算复数的虚部意在考查学生的计算能力 解析：1-【分析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部. 【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1-故答案为1- 【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.16．-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解详解：∵复数是纯虚数解得故答案为-3点睛：本题考实数值的求法是基础题解题时要认真审题注意纯虚数的定义的合理运用解析：-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解．详解：∵复数()()2223m m m m i +-+-是纯虚数，22230m m m m ⎧+-∴⎨-≠⎩＝ ，解得3m =- ． 故答案为-3．点睛：本题考实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意纯虚数的定义的合理运用．17．【解析】【分析】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个虚根由方程有虚根可知判别式为负数据此可求出m 的范围再利用根与系数的关系可得从而求出结果【详解】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个解析：⎫∞⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m的范围，再利用根与系数的关系可得||z =. 【详解】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，z 是关于x 的方程x 2+mx +m 2−1=0的一个虚根，可得()22410m m ∆=--<，即243m >， 则由根与系数的关系，2221z z a b m ⋅=+=-，则||3z =>， 所以z的取值范围是：3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.18．【解析】分析：利用复数的除法法则运算得到复数然后根据复数模的公式进行求解即可详解：即答案为点睛：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算以及复数模的计算同时考查计算能力属基础题【解析】分析：利用复数的除法法则运算得到复数z ，然后根据复数模的公式进行求解即可．详解：()()()2212,i i i z i z i i i +⋅-+===-∴=⋅-点睛：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数模的计算，同时考查计算能力，属基础题．19．3【解析】由于为纯虚数则得故故答案为3解析：3 【解析】由于()()21z m m i ++＝－为纯虚数，则20{10m m -=+≠，得2m =，3i z =，故3z =，故答案为3.20．【解析】试题分析：考点：【解析】试题分析： ()()()i 1i i 1i ,1i 1i 1i 2z z -+====++-. 考点：三、解答题21．(1)5；(2)03m n =⎧⎨=-⎩.【分析】（1）化简得到43z i =+，计算模长得到答案.（2）化简得到44m n +++()3313m i i -=+，计算得到答案. 【详解】(1)因为()242z i i i =-+-，所以242z i i =-++43i =+，则5z ==.(2)43z i =+，43z i =-，所以43z mz n i ++=++()4313m i n i -+=+， 即44m n +++()3313m i i -=+，所以441,333,m n m ++=⎧⎨-=⎩解得03m n =⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了复数的计算，模长，意在考查学生的计算能力.22．（Ⅰ）2z i =--（Ⅱ）a =【分析】（I ）设()0,0z c di c d =+<<,利用复数相等的概念求出复数z; （Ⅱ）先计算出2019111z z +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，再求a 的值.【详解】解；（Ⅰ）设()0,0z c di c d =+<<，则()2222234z c di c d cdi i =+=-+=+，223,24,c d cd ⎧-=∴⎨=⎩解得2,1c d =-⎧⎨=-⎩或2,1c d =⎧⎨=⎩（舍去）.2z i ∴=--.（Ⅱ）2z i =-+，∴()211111112i z i i i z i i ++--+====+-+- ∴201920192016311z i i z ++⎛⎫== ⎪+⎝⎭()50450443431ii i ⨯+==⋅=-，∴2a i -==，∴a =【点睛】本题主要考查复数的求法和复数的运算，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 23．（1）12z i =±；（2）1w ≥. 【详解】分析：（1）利用复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义即可解出； （2）利用复数模的计算公式即可证明．详解：（1）设z a bi a b R =+∈（，），则222()2z a b z z i ai =++，＝， 由()252z z z i i ++=+得22252,a b ai i ++=+ 利用复数相等的定义可得22522a b a ⎧+⎨⎩＝＝，解得1 2a b ⎧⎨⎩＝＝或1 2a b ⎧⎨-⎩＝＝．12z i ∴=+ 或12z i =- ． （2）当12z i =+时，(12)21w zi m i i m i m +++-++≥＝＝＝＝， 当12z i =-时，|(12)2|1w zi m i i m i m +-+++≥＝＝＝，综上可得：1w ≥.点睛：熟练掌握复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义是解题的关键． 24．(1) w =32a b =-⎧⎨=⎩【解析】分析：（1）根据复数的除法运算得到13w i =-，进而得到模长；（2）根据复数相等的概念得到()121a b a +=-⎧⎨-+=⎩，进而求得参数. 详解：（1）因为1z i =-，所以()()111313w i i i i =-+--=-.∴w =（2）由题意得：()()2211z az b i a i b ++=-+-+ ()2a b a i =+-+； ()11i i i +=-+，所以()121a b a +=-⎧⎨-+=⎩， 解得32a b =-⎧⎨=⎩. 点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.25．（1）2z =；（2）()0,5.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得2555a a z i -=+,若z R ∈，则5a =，2z =. (2)结合(1)的计算结果得到关于实数a 的不等式，求解不等式可得a 的取值范围为()0,5. 试题（1）()225555a i a a z i i --=+=+,若z R ∈，则505a -=，∴5a =，∴2z =. （2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，则205a >且505a ->， 解得05a <<，即a 的取值范围为()0,5.26．4a或2a >【解析】 试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为a bi +的形式即可得到1z ，根据模长之间的关系，得到关于a 的不等式，解出a 的范围.试题112z i =-+，2z a i =+， ()21125a --+>⋅即()219a +>，解得4a <-或2a >。
(压轴题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测题(含答案解析)(2)
一、选择题1．1z 2z 是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若22120z z +>，则2212z z >- B．12||z z -=C ．22121200z z z z +=⇔==D ．2211||||z z =2．已知复数(1)(31)i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．复数i 在复平面内对应的点落在第二象限 B ．42z i =--C ．24z z --的虚部为1 D．||z =3．已知复平面内的圆M ：21z -=，若11p p -+为纯虚数，则与复数p 对应的点P （ ）A ．必在圆M 外B ．必在M 上C ．必在圆M 内D ．不能确定4．已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =（ ） A ．4355i - B ．4355i -+ C ．4355i -- D ．4355i + 5．已知复数21iz i=+，则共轭复数z =( ) A ．1i -+B ．1i -C ．1i +D ．1i --6．若复数()()12i 2i z =-+(其中i 为虚数单位)在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．复数(1)(2)z i i =--（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部是（ ）A ．3iB ．3i -C ．3D ．3-8．已知i 为虚数单位，若复数1()1aiz a R i-=∈+的实部为-2，则z =（ ） A ．5BCD ．139．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ ） A ．1355i + B ．1355i -+ C ．1355i - D ．1355i -- 10．已知实数[1,1]a ∈-，实数[1,2]b ∈-，则复数2a biz i+=-在复平面内对应的点位于第一象限的概率为（ ） A ．524B ．14C ．724D ．1311．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|3z -=，则yx的范围为（ ） A ．33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．33,,⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．3,3⎡⎤-⎣⎦D ．(,3][3,)-∞-⋃+∞12．设1z ，2z 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．如果22120z z +=，那么120z z == B ．如果12=z z ，那么12=±z zC ．如果1z a ≤（a 为正实数），那么1a z a -≤≤D ．如果1z a =（a 为正实数），那么211z z a ⋅=二、填空题13．已知i 是虚数单位，则复数11ii+-的实部为______. 14．设复数满足，则____________.15．已知复数2,i m i αβ=-=-，其中i 是虚数单位，m R ∈. （1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若β是关于x 的方程2100()x nx n R -+=∈的一个根，求实数m 与n 的值.16．若复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值是______． 17．若复数z 满足(1)1z i i i -=-+，则z 的虚部为__________． 18．已知复数242(1)iz i +=+（i 是虚数单位），在复平面内对应的点在直线20x y m -+=上，则m =__________．19．已知复数112z i =-+，21z i =-，334z i =-，它们在复平面上对应的点分别为,,A B C ，若OC OA OB λμ=+，(,R λμ∈)，则λμ+的值是__________．20．若z C ∈,且221z i +-=,则22z i --的最小值为______________．三、解答题21．已知复数()112z m mi =++，()21z i =+，其中m R ∈，i 为虚数单位. （1）若复数12z z 为纯虚数，求实数m 的值；（2）在复平面内，若复数122z z =对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围. 22．已知复数z 满足|z |2=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +）⋅OC 的值.23．已知i 是虚数单位．（1）若复数12z =-，求z z +的值； （2）若复数()2262i m m z m m m+-=+-是纯虚数，求实数m 的值．24．已知复数()221132z x x x i =-+-+，()232,z x x i x R =+-∈（1）若1z 为纯虚数，求实数x 的值；（2）在复平面内，若1z 对应的点在第四象限，2z 对应的点在第一象限，求实数x 的取值范围.25．已知复数()()22431233a a z a a i a R a --=++-∈+.(1)若z z =，求a ； (2)a 取什么值时，z 是纯虚数.26．已知复数z 满足(1)13i z i +=-（i 是虚数单位）. （1）求复数z 的虚部；（2）若复数(1)ai z +是纯虚数，求实数a 的值； （3）若复数z 的共轭复数为z ，求复数1zz +的模.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】举反例12z i =+，22z i =-可判断选项A 、B ，举反例11z =，2z i =可判断选项C ，设1z a bi =+，(),a b R ∈，分别计算21||z 、21||z 即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：取12z i =+，22z i =-，()221232z i i =+=+，()222232z i i =-=-，满足221260z z +=>，但21z 与22z 是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确； 对于选项B ：取12z i =+，22z i =-，12||22z z i -==，==B 不正确；对于选项C ：取11z =，2z i =，则22120z z +=，但是10z ≠，20z ≠，故选项C 不正确；对于选项D ：设1z a bi =+，(),a b R ∈，则()222212z a bi a b abi =+=-+2221z a b ===+，1z a bi =-，1z =，所以2221z a b =+，所以2211||||z z =，故选项D 正确.故选：D.2．C解析：C 【分析】根据复数乘除运算化简得42z i =-，结合复数相关概念判定A ，B ，D 错误，化简24z z --判定正确. 【详解】 解：(1)(31)(1)(3)42i i z i i i i--==-+=-， 其对应的复平面点为(4,2)-位于第四象限，故A 错误；42z i =+，故B 错误；24222214422221z i i ii z i i i-+-++====-----，虚部为1，故C 正确；||z ==D 错误.故选：C. 【点睛】复数乘除法运算技巧：（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．3．A解析：A 【分析】设复数,(,)p x yi x y R =+∈,再利用11p p -+为纯虚数求出p 对应的点的轨迹方程,再与圆M ：21z -=比较即可.【详解】由题,复平面内圆M ：21z -=对应的圆是以(2,0)为圆心,1为半径的圆. 若11p p -+为纯虚数,则设,(,)p x yi x y R =+∈,则因为11p p -+为纯虚数,可设11p ai p -=+,(,0)a R a ∈≠.故()()11111ai x yi x y ai x ai i x yi x y ay i -=⇒-+++=++-++=故()11x ayy x a -=-⎧⎨=+⎩,因为0a ≠,故1x ≠.当0y =有1x =-.当0y ≠时,两式相除有 ()111x a y x x ay y++==---,化简得221x y +=. 故复数p 对应的点P 的轨迹是221,(1)x y x +=≠-.则221,(1)x y x +=≠所有的点都在(2,0)为圆心,1为半径的圆M 外. 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的轨迹问题,根据复数在复平面内的对应的点的关系求解轨迹方程即可.属于中等题型.4．A解析：A 【分析】由题意，求得13z i =-，则23z i =+，再根据复数的除法运算，即可求解． 【详解】由题意，复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-，则23z i =+， 则根据复数的运算，得12343355z i i z i -==-+.故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5．B解析：B 【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由题意可得：()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 则其共轭复数1z i =-. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D 【解析】分析：利用复数的出发计算得到z ，即可得到结论. 详解：()()12i 2i 24243,z i i i =-+=+-+=-故z 在复平面中对应的点位于第四象限. 故选D.点睛：本题考查复数乘法运算及复数的几何意义，是基础题.7．C解析：C 【解析】分析：求出复数z ，得到z ，即可得到答案. 详解：()()1213,13,z i i i z i =--=-∴=+ 故z 的共轭复数z 的虚部是3. 故选C.点睛：本题考查复数的乘法运算，复数的共轭复数等，属基础题.8．C解析：C 【解析】分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z . 详解：由题复数()11aiz a R i-=∈+的实部为-2，()()()()()11111,1112ai i a a iai z i i i -⋅---+-===++⋅- 12,5,2aa -∴=-= 则()1123,2a a i z i z --+==--∴= 故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.9．D解析：D 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由()121i z i +=-，得()()()()11211312121255i i i z i i i i ---===--++-． 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．10．A解析：A 【解析】分析：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，结合[]1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，画出可行域，利用几何概型即可求出答案.详解：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，又[] 1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，故在平面直角坐标系上画出可行域，如图所示：∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限的概率1515222324P ⨯⨯==⨯. 故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．11．C解析：C 【分析】转化|2|z -=为22(2)3x y -+=，设,yk y kx x==，即直线和圆有公共点，联立2164(1)0k ∆=-+≥，即得解.【详解】由于|2||2z x yi -=-+22(2)3x y -+=∴设yk y kx x=∴= 联立：2222(2)3,(1+)410x y y kx k x x -+==∴-+=由于直线和圆有公共点，2164(1)0k k ∴∆=-+≥≤≤故yx 的范围为[ 故选：C 【点睛】本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12．D解析：D 【分析】对A,举出反例判断正误； 对B,举出反例判断正误；对C,利用复数的几何意义判断正误； 对D,设出复数即可化简结果,再判断正误即可． 【详解】对于A,如果11z i =-,21z i =+,22120z z +=,所以120z z ==不正确。
最新人教版高中数学选修1-2《数系的扩充与复数的引入》综合应用
数学人教B 选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入 知识建构综合应用专题1 复数运算中的常用技巧复数的加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除，复数的加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式的乘法，除法类比根式的分子分母有理化，注意i 2＝－1. 在进行复数的运算时，要灵活利用i ，ω的性质，或适当变形创造条件，从而转化为关于i ，ω的计算问题，并注意以下结论的灵活应用：(1)i 的乘方：i 4k ＝1，i 4k ＋1＝i ，i 4k ＋2＝－1，i 4k ＋3＝－i(k ∈Z )；(2)(1±i)2＝±2i ；(3)设ω＝－12±32i ，则ω3＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0，1ω＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(n ∈N ＋)等；(4)⎝⎛⎭⎫12±32i 3＝－1； (5)作复数的除法运算时，技巧为：a ＋b i b －a i ＝(a ＋b i )i (b －a i )i ＝(a ＋b i )i a ＋b i＝i.利用此结论可使一些特殊的计算过程简单化．应用计算： (1)(2＋2i )4(1－3i )5； (2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 006； (3)求(1＋3i)100的展开式中所有奇数项的和．提示：(1)(2)小题灵活应用(1±i)2及ω＝－12＋32i 进行计算．(3)小题在(1＋3i)100的展开式中，注意i 的周期性．专题2 代入法、转化与化归思想在复数中，代入法、转化与化归思想就是将复数问题化归为实数，或将其转化为平面直角坐标系下的轨迹问题，就可降低解题难度，简化解题过程，反过来，有时将实数、几何问题、三角问题化归为复数问题，也可使问题迎刃而解．应用已知z z －1是纯虚数，求z 在复平面内对应的点的轨迹． 提示：由于z z －1是纯虚数，可设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．利用复数的除法求出z z －1，然后令其实部为0.专题3 数形结合的思想由于复数的多种表示形式都有确定的几何意义，对于复数问题，如能剖析问题中的几何背景，将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，就能借助几何图形，活跃解题思路，使解题过程简化．(1)复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．(2)任何一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面内一点Z (a ，b )对应，而任一点Z (a ，b )又可以与以原点为起点，点Z (a ，b )为终点的向量OZ →对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特别注意|z |，|z －a |的几何意义——距离．(3)复数的加法、减法的几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z －z 1|表示复平面上两点Z ，Z 1间的距离．(4)复数形式的基本轨迹．①当|z －z 1|＝r 时，表示复数z 对应的点的轨迹是以z 1对应的点为圆心，半径为r 的圆；单位圆为|z |＝1.②当|z －z 1|＝|z －z 2|时，表示以复数z 1，z 2的对应点为端点的线段的垂直平分线．应用复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，求|z ＋1＋i|的最值．提示：利用复数的几何意义对条件和所求结论分别给出几何解释，借助于几何意义求出最值．专题4 共轭复数与模的关系共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关的复数问题时，除了用共轭复数的定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：(1)z ·z ＝|z |2＝|z |2；(2)|z |＝1⇔z ＝1z ；(3)z ∈R ⇔z ＝z ；(4)z ≠0，z 为纯虚数⇔z ＝－z .应用已知z 1与z 2是非零复数，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，求证：⎝⎛⎭⎫z 1z 22＜0. 提示：证明⎝⎛⎭⎫z 1z 22＜0，即证z 1z 2为纯虚数，只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫z 1z 2＝－⎝⎛⎭⎫z 1z 2即可． 真题放送1．(2011·湖南高考卷)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－12．(2011·辽宁高考卷)i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝( ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i3．(2011·山东高考卷)复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．(2011·安徽高考卷)设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i为纯虚数，则实数a 为( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D ．125．(2010·山东高考卷)已知a ＋2i i＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．36．(2010·陕西高考卷)复数z ＝i 1＋i在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．(2010·江苏高考卷)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为__________．8．(2011·上海高考卷)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.答案：综合应用专题1应用：解：(1)(2＋2i )4(1－3i )5＝24(1＋i )4(－2)5⎝⎛⎭⎫－12＋32i 5 ＝－24(2i )225⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－1＋3i.(2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 006＝(－23＋i )i (1＋23i )i ＋21 003(－2i )1 003 ＝(－23＋i )i i －23－1i 1 003＝i －1－i ＝i －i ＝0. (3)令ω＝－12－32i ， 因为(1＋3i)100的展开式中所有奇数项都是实数，而(1＋3i)100＝2100⎝⎛⎭⎫12＋32i 100＝2100·(－ω)100＝2100⎝⎛⎭⎫－12－32i ＝299(－1－3i)， 所以(1＋3i)100的展开式中所有奇数项的和等于－299.专题2应用：解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z z －1＝x ＋y i (x －1)＋y i ＝(x ＋y i )[(x －1)－y i](x －1)2＋y 2＝(x 2＋y 2－x )－y i (x －1)2＋y 2. ∵z z －1是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＝0，y ≠0， ∴⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14(y ≠0)． ∴z 的对应点的轨迹是以⎝⎛⎭⎫12，0为圆心，12为半径的圆，并去掉点(0,0)和点(1,0)． 专题3应用：解：|z ＋i|＋|z －i|＝2表示复数z 的对应点Z 与点A (0，－1)，B (0,1)的距离之和为2，而|AB |＝2，所以条件表示以A ，B 为端点的线段，而|z ＋1＋i|＝|z －(－1－i)|表示点Z 到点C (－1，－1)的距离，因而，问题的几何意义是求线段AB 上的点到C 点的距离的最大值与最小值，如图，易见|z ＋1＋i|max ＝|BC |＝5，|z ＋1＋i|min ＝|AC |＝1.专题4应用：证明：证法一：|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|⇒|z 1＋z 2|2＝|z 1－z 2|2⇒(z 1＋z 2)(z 1＋z 2)＝(z 1－z 2)(z 1－z 2)⇒(z 1＋z 2)(z 1＋z 2)＝(z 1－z 2)(z 1－z 2)⇒z 1z 2＋z 1z 2＝0⇒z 1z 2＝－z 1z 2(z 1，z 2不等于零) ⇒⎝⎛⎭⎫z 1z 22＝－z 1z 2·z 1z 2＝－z 1z 1z 2z 2＝－|z 1|2|z 2|2＜0，即⎝⎛⎭⎫z 1z 22＜0. 证法二：|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|⇔⎪⎪⎪⎪z 1z 2＋1＝⎪⎪⎪⎪z 1z 2－1，所以z 1z 2对应点的轨迹是y 轴(以复数1和－1所对应的两点的线段的中垂线)，因为z 1z 2≠0，故除去原点，所以z 1z 2为纯虚数，所以⎝⎛⎭⎫z 1z 22＜0.真题放送1．C 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得a i －1＝b ＋i ，所以a ＝1，b ＝－1.2．A 1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝1i ＋1i 2·i ＋1i 4·i ＋1i 4·i 2·i＝1i －1i ＋1i －1i＝0. 3．D ∵z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )2(2＋i )(2－i )＝3－4i 5＝35－45i ， ∴复数z 在复平面内对应的点在第四象限．4．A1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2－a )＋(2a ＋1)i 5 ＝2－a 5＋2a ＋15i 为纯虚数， ∴2－a 5＝0，2a ＋15≠0，∴a ＝2. 5．Ba ＋2i i ＝i (a ＋2i )i 2＝2－a i ＝b ＋i ， 故a ＝－1，b ＝2，故a ＋b ＝1.6．A z ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋12i ， 故点Z 为⎝⎛⎭⎫12，12，故复数z 在复平面内对应的点在第一象限．7．2 由题意，得z ＝6＋4i 2－3i ，故|z |＝|6＋4i||2－3i|＝36＋164＋9＝2. 8．解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R .∴z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.。
选修1-2复数导学案、课后作业及参考答案
3.1.1数系的扩充与复数的概念【学习要求】1．了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．【学法指导】可以从实际需求和数系的扩充认识引入复数的必要性，认识复数代数形式的结构，从本质上理解复数和有序数对的对应关系.【知识要点】1．复数的有关概念 （1）复数①定义：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈______，i 叫做__________．a 叫做复数的______，b 叫做复数的______．②表示方法：复数通常用字母____表示，即________． （2）复数集①定义：__________所构成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母____表示 2．复数的分类及包含关系（1）复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)（2）集合表示：3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________.【问题探究】探究点一 复数的概念 问题1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？ 问题2 如何理解虚数单位i?问题3 什么叫复数？怎样表示一个复数？ 问题4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由． （1）实部为－2的虚数； （2）虚部为－2的虚数； （3）虚部为－2的纯虚数； （4）实部为－2的纯虚数．例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．探究点二 两个复数相等问题1 两个复数能否比较大小？问题2 两个复数相等的充要条件是什么？例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y . 跟踪训练3 已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．【当堂检测】1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是 ( ) A ．2，1 B ．2，5 C ．±2，5D ．±2，12．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是 ( )A ．±1B ．±IC ．±2iD ．±2i3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－1或1 4．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－a i(a ∈R)是一个复数； ④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ； ⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数．其中正确命题的个数为 ( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【课堂小结】1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况；2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断．【课后作业】一、基础过关1． “复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数”是“a ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2． 下列命题正确的是( )A ．若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数B ．若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1D ．两个虚数不能比较大小3． 以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．－5＋5iC ．2＋iD ．5＋5i 4． 若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y的值为( )A ．12B ．2C ．0D ．15． 若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1二、能力提升6． 若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π±π4(k ∈Z )D ．k 2π＋π4(k ∈Z )7．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝______，n ＝______. 8． 给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根． 则其中正确命题的个数为________．9． 已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________. 10．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．11．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．12．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围．三、探究与拓展13．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？3.1.2 复数的几何意义【学习要求】1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2．掌握实轴、虚轴、模等概念.3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．【学法指导】通过类比实数可用数轴上的点来表示，认识复数用点和向量表示的合理性，体会数形结合思想在理解复数中的作用．复数的几何意义是进一步学习复数的加法、减法几何意义的基础，所以理解并掌握复数的几何意义具有承上启下的重要作用．【知识要点】1．复数的几何意义 （1）复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x 轴叫做______，y 轴叫做______．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． （2）复数与点、向量间的对应 ①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 复平面内的点______； ②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量___________．2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝________【问题探究】探究点一 复数与复平面内的点问题1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？ 问题2 判断下列命题的真假：①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； ②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； ④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； ⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．例1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．跟踪训练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i （1）对应的点在x 轴上方；（2）对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上． 探究点二 复数与向量问题1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？ 问题2 怎样定义复数z 的模？它有什么意义？例2 已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．跟踪训练2 求复数z 1＝3＋4i ，z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的大小．跟踪训练3 设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？ （1）|z |＝2；（2）|z |≤3.【当堂检测】1．在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为 ( ) A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________【课堂小结】1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．【课后作业】一、基础过关1． 复数z ＝3＋i 3对应的点在复平面第几象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四2． 当0<m <1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 ( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i4． 已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是( )A ．实轴B ．虚轴C ．原点D ．原点和虚轴5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3IC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________． 二、能力提升7． 若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8． 复数z ＝icos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )A ．虚轴B ．虚轴除去原点C ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D ．C 中线段PQ ，但应除去原点9．复数z ＝log 123＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第______象限．10．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________． 11．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝______.12．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：（1）位于第四象限； （2）位于x 轴负半轴上； （3）在上半平面(含实轴)．13．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .三、探究与拓展14．（1）满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆（2）已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值为________．3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义【学习要求】1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．【学法指导】复数的代数形式的加减法运算可以类比多项式的加减法运算，利用向量的加法来理解复数加法的几何意义，数形结合．【知识要点】1．复数加法与减法的运算法则（1）设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则z 1＋z 2＝________________，z 1－z 2＝________________. （2）对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝________，(z 1＋z 2)＋z 3＝__________. 2．复数加减法的几何意义如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是______,与z 1－z 2对应的向量是______．【问题探究】探究点一 复数加减法的运算我们规定，复数的加法法则如下：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i. 提出问题：问题1 两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？ 问题2 当b ＝0，d ＝0时，与实数加法法则一致吗？ 问题3 它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？问题4 实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明． 问题5 类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则． 例1 计算：（1）(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； （2）1＋(i ＋i 2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．跟踪训练1 （1）计算2i －[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]； （2）计算(a ＋2b i)－(3a －4b i)－5i(a ，b ∈R).探究点二 复数加减法的几何意义问题1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？ 问题2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？ 例2 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ， A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i.求： （1）AO →对应的复数； （2）对角线CA →对应的复数； （3）对角线OB →对应的复数．跟踪训练2 复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．探究点三 复数加减法的综合应用例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.跟踪训练3 本例中，若条件变成|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝ 2.求|z 1－z 2|.【当堂检测】1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )A ．0B ．32＋52IC ．52－52iD ．52－32i2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1＋3C ．－1－iD ．－1－3i3．在复平面内，O 是原点，向量OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →对应的复数为 ( ) A ．2＋8i B ．－6－6i C ．4－4i D ．－4＋2i 4．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点在 ( ) A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第一象限 D ．第二象限【课堂小结】1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．【课后作业】一、基础过关1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i 2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i 4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i 5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6． 计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2011i)．二、能力提升7． 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是____． 8． 如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________． 9． 若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．10．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．三、探究与拓展13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.（1）求AB →，BC →，AC →对应的复数； （2）判断△ABC 的形状； （3）求△ABC 的面积．3.2.2 复数代数形式的乘除运算【学习要求】1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3．理解共轭复数的概念．【学法指导】复数的乘法可类比多项式的乘法，不必专门记公式；复数的除法是乘法的逆运算，可先写成分数形式，分母“实数化”.【知识要点】1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝__________________. 2．复数乘法的运算律对任意复数z3．共轭复数如果两个复数满足_____时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝_____. 4．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i＝____________________【问题探究】探究点一 复数乘除法的运算 问题1 怎样进行复数的乘法？问题2 如何理解复数的乘除法运算法则？ 例1 计算：（1）(2＋i)(2－i)； （2）(1＋2i)2； （3）(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i.跟踪训练1 （1）i 是虚数单位，复数－1＋3i 1＋2i 等于( )A ．1＋iB ．5＋5iC ．－5－5iD ．－1－i（2）复数i 2＋i 3＋i 41－i 等于 ( )A ．－12－12iB ．－12＋12IC ．12－12iD ．12＋12i探究点二 共轭复数及其应用问题 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？例2 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .跟踪训练2 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．【当堂检测】1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于 ( ) A ．－i B ．i C ．－1 D ．1 2．若复数z ＝1＋i ，i 为虚数单位，则(1＋z )z 等于 ( )A ．1＋3iB ．3＋3iC ．3－iD ．3 3．复数i －21＋2i等于 ( )A ．iB ．－IC ．－45－35iD ．－45＋35i4．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【课堂小结】1．复数代数形式的乘除运算（1）复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．（2）在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，利用复数相等的充要条件转化．【课后作业】一、基础过关 1． 复数－i ＋1i等于( )A ．－2iB ．12I C ．0D ．2i 2． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7等于( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i3． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－14． 在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于 ( )A ．34B ．43C ．－43D ．－346． 若z ＝1＋2ii，则复数z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋IC ．2－iD ．2＋i二、能力提升7．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 8．复数2i－1＋3i的虚部是________．9．已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z=________．10．计算：（1）2＋2i (1－i )2＋(21＋i)2 010；（2）(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.12．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i ，求z .探究与拓展13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．（1）求b ，c 的值；（2）试说明1－i 也是方程的根吗？习题课【学习要求】巩固复数的概念和几何意义；理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．【双基检测】1．以1＋2i 的虚部为实部，以3i －2的实部为虚部的新复数是 ( ) A ．2－2i B ．2＋I C ．3＋i D ．2＋3i2．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( ) A ．x ＝3，y ＝3 B ．x ＝5，y ＝1 C ．x ＝－1，y ＝－1 D ．x ＝－1，y ＝13．设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1－i C ．2＋2i D ．2－2i 4．已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R)，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于 ( )A ．－1B ．1C ．2D ．35．复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1等于( )【题型解法】题型一 复数的四则运算例1 （1）计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i ； （2）已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．跟踪训练1 （1）已知z1＋i＝2＋i ，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i （2）i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011等于( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1题型二 复数的几何意义例2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C}，试求|z |的最小值和最大值．跟踪训练2 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值．题型三 两个复数相等例3 设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z .跟踪训练3 关于x 的方程x 2＋(3＋2i)x ＋3a i ＝0有非零实根，求实数a 的值及方程的实数根．【课堂小结】1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化；2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．【课后作业】一、基础过关1． 复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( )A ．15iB ．15C ．－15iD ．－152． 复数2＋i1－2i的共轭复数是( )A ．－35iB ．35I C ．－iD ．i3． 若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( )A ．1B ．0或2C ．2D ．04． 设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( )A ．b 2＝3a 2B ．a 2＝3b 2C ．b 2＝9a 2D ．a 2＝9b 2 5． 设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D ．126． 复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|等于 ( )A ．5B ．13C ．15D ．17二、能力提升7．已知复数z ＝2－i1－i ，其中i 是虚数单位，则|z |＝________.8．已知(a －i)2＝2i ，那么实数a ＝________.9．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．10．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？11．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．12．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i.（1）如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数； （2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．三、探究与拓展13．是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．章末复习课 【知识结构】【题型解法】题型一 分类讨论思想的应用例1 实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)满足下列条件？ （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数．跟踪训练1 （1）若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则 ( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1 D ．a ≠2（2）实数x 取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 是：①实数；②虚数；③纯虚数；④零．题型二 数形结合思想的应用例2 已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .跟踪训练2 已知复数z 1＝i(1－i)3. （1）求|z 1|；（2）若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．题型三 转化与化归思想的应用 例3 已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的取值范围． 跟踪训练3 已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .题型四 类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，只要注意i 2＝－1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有（1）i 的乘方：i 4k ＝1，i 4k ＋1＝i ，i 4k ＋2＝－1，i 4k ＋3＝－i(k ∈Z)； （2）(1±i)2＝±2i ； （3）设ω＝－12±32i ，则ω3＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0，1ω＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(ω∈N *)等；（4）(12±32i)3＝－1；（5）作复数除法运算时，有如下技巧：a ＋b i b －a i ＝(a ＋b i )i (b －a i )i ＝(a ＋b i )ia ＋b i ＝i ，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化． 例4 计算：（1）(1－i)(－12＋32i)(1＋i)；（2）－23＋i 1＋23i＋(21－i )2 006.跟踪训练4 计算：(2＋i )(1－i )21－2i ＋(1－i )－(1＋i )2i 5－1－i 2 0111－i章末检测一、选择题1． i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈SD ．2i∈S2． z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3． i 是虚数单位，复数3＋i1－i等于( )A ．1＋2iB ．2＋4iC ．－1－2iD ．2－i 4． 已知a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2 5． 若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i 6． (1＋i)20－(1－i)20的值是( )A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．1 024i7． i 是虚数单位，若1＋7i2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是( )A ．－15B ．3C ．－3D ．158． 若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9． 已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个二、填空题10．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________． 11．给出下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中真命题的个数是________． 12．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是______． 13．下列说法中正确的序号是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y1＝－(3－y )；②2＋i>1＋i ； ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在； ⑤若z ＝1i ，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．三、解答题14．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，（1）z 是实数？（2）z 是纯虚数？15．已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2.16．计算：（1）(2＋2i )4(1－3i )5；（2）(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.17．实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 对应的点在：（1）x 轴上方；（2）直线x ＋y ＋5＝0上．18．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.（1）求复数z ；（2）设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．19．设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.（1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； （2）若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．复数参考答案3.1.1数系的扩充和复数的概念参考答案1．A 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．2 ±2 8．1 9．－110．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．11．解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.所以实数x ，y 的值分别为12，2.12．解 由于z 1<z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0， m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2. ∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1.13．解 因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①log 12(m ＋n )>－1， ②由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾， 综上可得m ＝0，n ＝1.3.1.2 复数的几何意义参考答案1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．2<k <6或－6<k <－2 7．B 8．C 9．三 10．2 5 11．212．解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5－7<m <4，∴－7<m <3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧3<m <5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4. (3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0， 解得m ≥4或m ≤－7.13．解 根据题意可画图形如图所示：设点Z 的坐标为(a ，b )， ∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°， ∴a ＝－1，b ＝3， 即点Z 的坐标为(－1，3)， ∴z ＝－1＋3i. 14．(1)C(2) 33.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义参考答案1．D 2．B 3．C 4．D 5．B6．解 原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i ＝－1 005＋1 005i.7．3＋I 8.115＋3I 9．110．解 ∵z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，∴z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2， 解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )． 11．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ， 设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ， 故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．解 方法一 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)． ∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ， 由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.13．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i ， (2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2， ∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.3.2.2 复数代数形式的乘除运算参考答案1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D 7．1 8．－129．－2i10．解 (1)2＋2i(1－i )2＋(21＋i )2 010＝2＋2i －2i＋(22i ) 1 005＝i(1＋i)＋(1i )1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i. 11．解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， ∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 12．解 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.又z ·z －3i z ＝101－3i，∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10，∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3. ∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.13．解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0， 即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2.(2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．习题课参考答案1．B 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 8．－1 9．410．解 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2 (x ≥3)． ∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线， 方程为y ＝－x ＋2 (x ≥3)．11．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ， 所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. 所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4.即实数a ，b 的值分别是－3,4.12．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B的坐标为(a ，b )．已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1. 所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则C (c ，d )． 由(1)，得B (2，－1)．由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.13．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a .消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0.所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a 24－3＝16－a 2≥0， 即－4≤a ≤4时，复数z 存在．故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.章末检测答案1．B 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 10．(3,4) 11．0 12．(1，5) 13．⑤14．解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数． 15．解 因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ，所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 由z 1·z 2＝1＋i ， 得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ， 所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1， 所以z 2＝i.16．解 (1)原式＝16(1＋i )4(1－3i )4(1－3i )＝16(2i )2(－2－23i )2(1－3i ) ＝－644(1＋3i )2(1－3i )＝－16(1＋3i )×4＝－41＋3i＝－1＋3i.(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i. 17．解 (1)若z 对应的点在x 轴上方，则m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.(2)复数z 对应的点为(m 2＋5m ＋6，m 2－2m －15)， ∵z 对应的点在直线 x ＋y ＋5＝0上，∴(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0， 整理得2m 2＋3m －4＝0， 解得m ＝－3±414.18．解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1， 所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ， 所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1. 当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1. 19．(1)解 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i＝(a ＋a a 2＋b 2)＋(b －ba 2＋b 2)i.因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1， 还可得z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是[－12，12]．(2)证明 ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i1＋a ＋b i＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1i.。
(压轴题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测(包含答案解析)
一、选择题1．若i 是虚数单位，则复数11ii+=-（ ） A ．-1B ．1C ．i -D ．i2．“20>z ”是“z 是非零实数”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3．定义：复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数”．设复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上，则z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（ ）．A ．220y xy x +-=B ．220y xy x -+=C ．220y xy x ++=D ．220y xy x --=4．已知复平面内的圆M ：21z -=，若11p p -+为纯虚数，则与复数p 对应的点P （ ） A ．必在圆M 外B ．必在M 上C ．必在圆M 内D ．不能确定5．复数()34z i i =--在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．i 为虚数单位，则232018232018i i i i +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．20182017i -+B ．10081008i -C ．10101009i -+D ．10101009i -7．设(2)34,i z i +=+ 则z =（ ） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -8．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．已知a 是实数，1a ii+-是纯虚数，则 a 等于（ ） A ．2-B ．1-C 2D ．111．已知复数()()211i a bi i -+=+（i 是虚数单位，,a b ∈R ），则a b +=（ ）A ．2-B ．-1C ．0D ．212．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．17-B ．-1C ．73-D ．-7二、填空题13．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为____． 14．在下列命题中：①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充要条件；⑥复数12120z z z z >⇔->；⑦复数z 满足22z z =；⑧复数z 为实数z z ⇔=.其中正确命题的是______.（填序号）15．若复数i2ia +-为纯虚数，那么实数a 的值为__________． 16．关于x 的方程240x x m ++=（m R ∈）的两虚根为α、β，且||2αβ-=，则实数m 的值是________.17．若02|4-+-=z i z z 表示的动点的轨迹是椭圆，则0z 的取值范围是________. 18．若复数z 满足2Re 2z z -=+，则32i 2z z --+-的最小值______． 19．若复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值是______． 20．若复数z 满足3iz i+=（其中i 是虚数单位），则z =__________. 三、解答题21．已知i 是虚数单位，复数()242z i i i =-+-. (1)求复数z 的模z ；(2)若13z mz n i ++=+（,m n R ∈，z 是z 的共轭复数），求m 和n 的值.22．（Ⅰ）已知复数12z =-+，其共轭复数为z ，求21()z z +；（Ⅱ）设集合A ＝{y|2122y x x =-+}，B ＝{x|m ＋x 2≤1，m ＜1}．命题p ：x ∈A ；命题q ：x ∈B ．若p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围．23．实数m 取什么值时，复数()2212z m m m i =-+--是 （1）纯虚数；（2）对应的点在直线22y x =-上. 24．已知复数()()31221iz i i i+=+-+-+. （1）计算复数z ；（2）若()()2211160z a z i b +----=，求实数,a b 的值.25．已知()1243i z i +=+，求复数z .26．已知复数z 满足(1)13i z i +=-（i 是虚数单位）. （1）求复数z 的虚部；（2）若复数(1)ai z +是纯虚数，求实数a 的值； （3）若复数z 的共轭复数为z ，求复数1zz +的模.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+， 本题选择D 选项.2．C解析：C 【分析】设(),,z a bi a b R =+∈，由题意结合复数的运算及性质可得0a =或0b =，分类讨论即可得0a ≠、0b =；当z 是非零实数，则20>z ；由充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】设(),,z a bi a b R =+∈，则2222z a b abi =-+， 若20>z ，则0a =或0b =， 当0a =时，220z b =->不存在， 当0b =时，220z a =>即0a ≠， 所以若20>z ，则z 是非零实数； 若z 是非零实数，则20>z ；所以“20>z ”是“z 是非零实数”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算及复数性质的应用，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.3．C解析：C 【分析】设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=.因为复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数,可得()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+,z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y ,由坐标变换,即可得z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程. 【详解】复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数∴ ()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+ ┄①设z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y 可得:00x y y x =-⎧⎨=⎩ 即00y xx y =-⎧⎨=⎩ ┄②将②代入①得:22()0y y x x --+= 即:220y xy x ++=故选: C. 【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面和考查坐标变换,掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键.4．A解析：A 【分析】设复数,(,)p x yi x y R =+∈,再利用11p p -+为纯虚数求出p 对应的点的轨迹方程,再与圆M ：21z -=比较即可.【详解】由题,复平面内圆M ：21z -=对应的圆是以(2,0)为圆心,1为半径的圆.若11p p -+为纯虚数,则设,(,)p x yi x y R =+∈,则因为11p p -+为纯虚数,可设11p ai p -=+,(,0)a R a ∈≠.故()()11111ai x yi x y ai x ai i x yi x y ay i -=⇒-+++=++-++= 故()11x ayy x a -=-⎧⎨=+⎩,因为0a ≠,故1x ≠.当0y =有1x =-.当0y ≠时,两式相除有 ()111x a y x x ay y++==---,化简得221x y +=. 故复数p 对应的点P 的轨迹是221,(1)x y x +=≠-.则221,(1)x y x +=≠所有的点都在(2,0)为圆心,1为半径的圆M 外. 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的轨迹问题,根据复数在复平面内的对应的点的关系求解轨迹方程即可.属于中等题型.5．D解析：D 【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z 对应点的坐标，则答案可求． 【详解】复数()3443z i i i =--=-.对应的点为()4,3-，位于第四象限.故选D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6．C解析：C 【详解】分析：由复数的基本运算性质,可得44142431,,1,nn n n i i i i i i +++===-=-，其中n 为自然数，进而即可求解答案.详解：由复数的基本运算性质,可得44142431,,1,n n n n i i i i i i +++===-=-，其中n 为自然数，设232018232018S i i i i =+++⋅⋅⋅+，两边同乘i 可得：2342019232018iS i i i i =+++⋅⋅⋅+ 两式相减可得()()20182320182019201911201820181i i q S i i i i i ii--=++++-=--()112018120191i i i i+=+=-+-所以()()()()1201911201910101009111i i i S i i i i -++-+===-+--+，故选C. 点睛：本题主要考查了虚数的运算性质的应用，其中熟记虚数的运算性质，利用乘公比错误相减法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.7．D解析：D 【解析】分析：先根据复数除法法则求z ，再根据共轭复数定义得.z 详解：因为()234,i z i +=+所以3410522,25i iz i z i i ++===+∴=-+选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 8． D解析：D 【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限. 详解：复数，其对应的点是，位于第四象限．故选．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为9．C解析：C 【解析】分析：首先求得复数z 为纯虚数时x 是值，然后确定充分性和必要性即可. 详解：复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数，则：2010x x x ⎧-=⎨-≠⎩，即：011x x x ==⎧⎨≠⎩或，据此可知0x =， 则“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的充要条件本题选择C 选项.点睛：本题主要考查充分必要条件的判断，已知复数类型求参数的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a i a i i i i ++-+++==--+， 1a ii +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A 【解析】分析：由题意首先求得等式右侧的复数，然后结合复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可得：()()()()2121222111112i i i i i i i i i i ------====--+++-， 结合题意可得：1a bi i +=--，即：1,1a b =--=-， 据此可得：2a b +=-. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的综合运算，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．D解析：D 【分析】根据复数为纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，故3tan 4θ=-，展开计算得到答案.【详解】34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则3sin 5θ=且4cos 5θ≠，故4cos 5θ=-3tan 4θ=-，tan 1tan 741tan πθθθ-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查了复数的概念，和差公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．1【解析】因为为纯虚数所以解析：1 【解析】因为()1i z +⋅(1)()(1)(1)i a i a a i =++=-++ 为纯虚数，所以10110a a a -=⎧∴=⎨+≠⎩14．⑧【分析】根据复数的定义和性质依次判断每个选项得到答案【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小①错误；②复数对应的点在第二象限②错误；③若是纯虚数则实数③错误；④若不能得到举反例④错误；⑤复数为纯虚数解析：⑧根据复数的定义和性质，依次判断每个选项得到答案. 【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小，①错误； ②复数1z i =-对应的点在第二象限，②错误；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =，③错误；④若()()2212230z z z z -+-=，不能得到123z z z ==，举反例1231,0,z z z i ===，④错误；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充分不必要条件，⑤错误； ⑥复数12120z z z z >⇔->，取122,z i z i =+=，不能得到12z z >，⑥错误； ⑦复数z 满足22z z =，取zi ，22z z ≠，⑦错误；⑧复数z 为实数z z ⇔=，根据共轭复数定义知⑧正确. 故答案为：⑧. 【点睛】本题考查了复数的性质，定义，意在考查学生对于复数知识的理解和掌握.15．【解析】分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数又已知复数为纯虚数列出方程组求解即可得答案详解：又∵为纯虚数∴解得故答案为点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念以及学生的运算能解析：12【解析】分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 2a i i +-，又已知复数 2a ii+-为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案.详解：()()()()()2212212222555a i i a a i a i a ai i i i ++-+++-+===+--+， 又∵ 2a i i +-为纯虚数，∴2105 205a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得12a =，故答案为12．点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及学生的运算能力，是基础题．16．5【分析】关于方程两数根为与由根与系数的关系得：由及与互为共轭复数可得答案【详解】解：与是方程的两根由根与系数的关系得：由与为虚数根得：则解得经验证符合要求故答案为：【点睛】本题考查根与系数的关系的解析：5关于x 方程240x x m ++=两数根为α与β，由根与系数的关系得：4αβ+=-，m ，由||2αβ-=及α与β互为共轭复数可得答案．【详解】 解：α与β是方程240x x m ++=的两根由根与系数的关系得：4αβ+=-，m ，由α与β为虚数根得： α，β=，则|||2αβ-==，解得5m =，经验证∆<0，符合要求， 故答案为：5． 【点睛】本题考查根与系数的关系的应用．求解是要注意α与β为虚数根情形，否则漏解，属于基础题．17．【分析】根据复数几何意义以及椭圆定义列关于的条件再解不等式得的取值范围【详解】因为表示的动点的轨迹是椭圆所以复数所对应点距离小于4即故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及椭圆定义考查综合分析求解 解析：[)0,6【分析】根据复数几何意义以及椭圆定义列关于0z 的条件，再解不等式得0z 的取值范围. 【详解】因为02|4-+-=z i z z 表示的动点的轨迹是椭圆，所以复数02,i z 所对应点距离小于4，即0000|2|4||||2||44||242||6z i z i z z -<∴-<∴-<-<∴-<< 00||00||6z z ≥∴≤<故答案为：[)0,6 【点睛】本题考查复数几何意义以及椭圆定义，考查综合分析求解能力，属中档题.18．【分析】设复数由可得即将转化为和到抛物线动点距离和根据抛物线性质即可求得最小值【详解】设复数即整理得:是以焦点为的抛物线化简为:转化为和到抛物线动点距离和如图由过作垂线交抛物线准线于点交抛物线于点根 解析：5【分析】设复数z x yi =+,由2Re 2z z -=+可得222(2)(2)x y x -+=+,即28y x =.将32i 2z z --+-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和,根据抛物线性质即可求得32i 2z z --+-最小值. 【详解】 设复数z x yi =+ 2Re 2z z -=+∴ |2||2|x yi x +-=+ 即|2||2|x yi x -+=+ ∴ 222(2)(2)x y x -+=+整理得:28y x = 是以(2,0)F 焦点为的抛物线.32i 2z z --+-化简为:()32i 2z z -++-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和.如图.由过A 作AB 垂线,交抛物线准线于点B .交抛物线于点1P根据抛物线定义可知,11PF PB = , 根据点到直线,垂线段最短,可得:5AB =∴ 11||||5PA PF PA PF AB +≥+== ∴ 32i 2z z --+-的最小值为:5.故答案为:5. 【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题,解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹,利用数形结合思想求解,考查分析问题的和解决问题的能力.19．【分析】利用复数模的三角不等式可得出可得出的最大值【详解】由复数模的三角不等式可得因此的最大值是故答案为【点睛】本题考查复数模的最值的计算可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹利用数形结合思想求解 解析：12【分析】利用复数模的三角不等式可得出()111z i z i z i -+=--≤+-可得出1z i -+的最大值. 【详解】由复数模的三角不等式可得()()2211111112z i z i z i -+=--≤+-=+-=+因此，1z i -+的最大值是1故答案为1【点睛】本题考查复数模的最值的计算，可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，同时也可以利用复数模的三角不等式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．【解析】∴故答案为:点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算可将含有虚数单位的看作一类同类项不含的看作另一类同类项分别合并即可（2）复数的除法【解析】313i i z i+==-，13i z =+，∴z ==，故答案为:点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．（3）利用复数相等求参数．,(,,,R)a bi c di a c b d a b c d +=+⇔==∈三、解答题21．(1)5；(2)03m n =⎧⎨=-⎩. 【分析】（1）化简得到43z i =+，计算模长得到答案.（2）化简得到44m n +++()3313m i i -=+，计算得到答案.【详解】(1)因为()242z i i i =-+-，所以242z i i =-++43i =+，则5z ==.(2)43z i =+，43z i =-，所以43z mz n i ++=++()4313m i n i -+=+，即44m n +++()3313m i i -=+，所以441,333,m n m ++=⎧⎨-=⎩解得03m n =⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了复数的计算，模长，意在考查学生的计算能力.22．(1) 21()22z =-+;(2) 314m ≤<. 【解析】 试题分析：（1）利用复数求模公式，得到结果；（2）化简得：1{|}2A y y =≥-，{|B x x =≤≤,由p 是q 的必要条件，可知B A ⊆，解得：314m ≤<. 试题解：（Ⅰ）因为12z =-+，所以1112z =-==()221122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以原式11122=-+=+（Ⅱ）由题可知1{|}2A y y =≥-，{|B x x =≤≤ 由于p 是q 的必要条件，所以B A ⊆，所以12≥-，解得34m ≥． 综上所述：314m ≤<． 23．（1）1m =（2）1m =或2m =-【分析】（1）根据纯虚数的定义列出关系式，求解即可；（2）根据复数z 的几何意义得出对应点的坐标，代入直线方程，即可得出答案.【详解】（1）复数()2212z m m m i =-+--是纯虚数 则221020m m m ⎧-=⎨--≠⎩，解得1m = （2）复数z 对应复平面的点的坐标为()221,2m m m --- ()222212m m m ∴--=--，即220m m +-=解得1m =或2m =-【点睛】本题主要考查了由复数的类型求参数以及复数几何意义的应用，属于中档题. 24．（1）62i --；（2）3a =，14b =-.【分析】（1）根据复数的运算法则，即可求得复数z ；（2）由（1）知，62z i =--，代入已知，根据复数相等，列出方程组221202640a b a b --=⎧⎨-+=⎩，即可求解. 【详解】（1）根据复数的运算法则，可得：复数()()()()()()()31421224343262112i i i z i i i i i i i i +--=+-+-=---=----=--+-. （2）由（1）知，62z i =--，因为()()2211160z a z i b +----=， 所以()()()()26221621160i a i i b --+------=，整理得()()3224621221160i a a i b bi +-----+-=，所以()22122640a b a b i --+-+=， 则221202640a b a b --=⎧⎨-+=⎩，解得3a =，14b =-. 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，以及熟练应用复数相等的条件列出方程组是解答的关键，意在考查推理与运算能力. 25．2z i =+【分析】 根据复数的除法运算求出z ，再根据共轭复数的定义写出复数z .【详解】()()()()()224312434561051243,2121212145i i i i i i i z i z i i i i i +-+---+=+∴=====-++--， 2z i ∴=+.【点睛】 本题考查复数的除法运算和共轭复数，属于基础题.26．（1）2-；（2）12；（3 【分析】 （1）131i z i-=+ ，利用四则法则计算； （2）利用复数(1)ai z +是纯虚数，则可知实部为零得到a 的值 （3）利用因为z 的共轭复数为12z i =-+，计算复数1z z +和其模. 【详解】（1）因为(1)13i z i +=-，∴13121i z i i-==--+， 则12z i =--，复数z 的虚部为2- （2）因为复数(1)ai z +是纯虚数，则 (1)(12)12(2)ai i a a i +-=++- ∴120a +=实数a 的值为12（3）因为z 的共轭复数为12z i =-+，复数1112z i z =--+，1z z =+， 【点睛】本题考查复数的代数运算，基本概念，属于基础题型，本题重点复数的四则运算.。
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测(有答案解析)
一、选择题1．若复数2i z =-，i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-= A ．24i + B ．24i -+C ．24i --D ．4-2．定义运算,,a b ad bc c d=-，则符合条件,10 ,?2z i i i+=-的复数 z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是（ ） A ．32B ．32i C ．32-D ．32i -4．在复数范围内，有下列命题：（1）若12,z z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数 （2）“||1z =”是“1z R z+∈”的充分非必要条件 （3）方程20(0)x t t +=>的根是ti ±（4）22z z =则其中假命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段6．设复数(1)i(,)z x y x y =-+∈R ，若||1z ，记事件A ：实数x y ，满足10x y --，则事件A 的概率为（ ）A ．14B ．12C ．12πD ．1π7．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于()A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i --8．复数()34z i i =--在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．已知复数2z a a ai =-+，若z 是纯虚数，则实数a 等于（ ）A ．2B ．1C ．0或1D ．-110．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．设复数3422i iz +-=, 则复数z 的共轭复数是（ ）A ．5-2i B ．52i + C ．5-2i + D ．5--2i 12．复数z 11ii-=+，则|z |=( ) A ．1B ．2C ．2D ．22二、填空题13．已知关于x 的实系数方程20x ax b ++=有一个模为1的虚根，则a 的取值范围是______．14．已知复数z 的模为1，则2z +的最大值为__________. 15．设复数z 满足()()213z i i +=-，则z 的虚部为__________． 16．复数212iz i-=+的虚部为__________． 17．若复数2i12ia -+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =_______． 18．已知纯虚数z 满足122zi z+=-+(其中i 是虚数单位)，则z =__________. 19．设复数满足，则____________.20．已知复数z x yi =+，且23z -=yx的最大值为__________． 三、解答题21．设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<. （1）求z 的值及Rez 的取值范围；（2）若2z zz z++为纯虚数，求z .22．设z 为关于x 的方程20x mx n ++=（,m n ∈R ）的虚根，i 为虚数单位.（1）当1i z =-+时，求m 、n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求||PQ 的取值范围.23．设复数n n n z x i y =+⋅，其中n x 、n y ∈R ，*n ∈N ，i 为虚数单位，1(1)n n z i z +=+⋅，134z i =+，复数n z 在复平面上对应的点为n Z .（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）证明：当41n k =+（*k ∈N ）时，1//n OZ OZ ； （3）求数列{}n n x y ⋅的前100项之和. 24．已知z 是复数，且z i +，2z1+i均为实数(i 为虚数单位). （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若z i a +=a 的值. 25．已知复数21(56)z m m m i =++++ （1）当实数m 为何值时，z 为实数； （2）当实数m 为何值时，z 为纯虚数.26．已知复数()()21312i i z i-++=-.（1）求z 的共轭复数z ；（2）若1az b i +=-，求实数a ，b 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】()()11z z +-=2211(2)1(34)24z i i i -=--=--=-+ ,选B.,2．B解析：B 【解析】 由题意可得：()()(),1210,2z i z i i i i i+=--+=-，即()()()121221222422i i i i i z i i i -----====---，∴1 22iz =-+，则复数z 对应的点的坐标为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭在第二象限，故选B. 3．C解析：C 【分析】化简得到1322z i =+，故1322z i =-，得到答案. 【详解】()12z i i ⋅-=+，则()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+，故1322z i =-，虚部为32-. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和转化能力.4．B解析：B 【分析】利用复数的概念及运算法则对各个命题依次进行判定． 【详解】设12,z a bi z c di =+=+（,,,a b c d R ∈），则1212z z z z +()()()()a bi c di a bi c di =+-+-+()()ac adi bci bd ac adi bci bd =-++++-+22ac bd R =+∈，①正确；设i(,0)z a b a b b =+∈≠R,，若1z ==，则11z a bi z a bi +=+++222a bia bi a bi a bi a R a b-=++=++-=∈+， 反之，若11z a bi z a bi +=+++22a bi a bi R a b -=++∈+，则220bb a b-=+，221a b +=，∴1z =．应是充要条件，②错误；方程20(0)x t t +=>的根是，③正确；z 是复数，2z 可能是虚数，但2z 是复数的模，一定是实数，④错误，∴错误命题有2个． 故选B ． 【点睛】本题考查复数的概念与运算，解题时可设(,)z a bi a b R =+∈，然后代入进去进行检验证明．5．D解析：D 【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹. 【详解】2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立. 因此，点Z 的轨迹为线段. 故选D. 【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．B解析：B 【解析】 【分析】先计算复数表示的圆面22(1)1x y -+，由于直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心，概率为12【详解】由(1)i z x y =-+得到||1z =，22(1)1x y -+，又直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心， 所以事件A 的概率为12p =． 故选B ． 【点睛】本题考查了几何概型，判断直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心是解题的关键.7．B解析：B 【分析】 化简复数得到答案. 【详解】()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++故答案选B 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.8．D解析：D 【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z 对应点的坐标，则答案可求． 【详解】复数()3443z i i i =--=-.对应的点为()4,3-，位于第四象限.故选D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．9．B解析：B 【解析】分析：由复数2z a a ai =-+是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0.求解即可得到答案. 详解：复数2z a a ai =-+是纯虚数，200a a a ⎧-=∴⎨≠⎩，解得1a =. 故选B.点睛：此题考查复数的概念，思路：纯虚数是实部为0.虚部不为0的复数.10．D解析：D 【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限. 详解：复数，其对应的点是，位于第四象限．故选．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为11．B解析：B 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：342525222i ii z i +--===-， 则其共轭复数为：52z i =+. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．A解析：A 【解析】 【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11ii-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A 【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.二、填空题13．【分析】根据系数方程有虚根则可得设方程的虚根为:则另一个虚根为:其模为1可得即可求得的取值范围【详解】设方程的虚根为:另一个虚根为:由韦达定理可得:故:实系数方程有一个模为1的虚根故若方程有虚根则可 解析：22a -<<【分析】根据系数方程20x ax b ++=有虚根,则可得240a b ∆=-<.设方程的虚根为:=+x m ni ,则另一个虚根为:x m ni =-,其模为1,可得221+=m n ,即可求得a 的取值范围. 【详解】设方程的虚根为:=+x m ni , 另一个虚根为:x m ni =- 由韦达定理可得:x x a x x b +=-⎧⎨⋅=⎩ 故:222m am n b =-⎧⎨+=⎩实系数方程20x ax b ++=有一个模为1的虚根∴ 221+=m n 故=1b若方程有虚根,则240a b ∆=-< 可得240a -<∴ 22a -<<故答案为: 22a -<<. 【点睛】本题考查复数代数形式乘除运算,韦达定理的使用,实系数方程有虚数根的条件,共轭复数的性质、共轭复数的模,意在考查基础知识的掌握与综合应用.14．3【分析】设复数复数的模为1表示以原点为原点1为半径的圆而表示的是圆上的点到点的距离因此其最大值求出即可【详解】设复数复数的模为1表示以原点为原点1为半径的圆∴即表示的是圆上的点到点的距离因此的最大解析：3 【分析】设(),z x y =，复数复数z 的模为1，表示以原点O 为原点，1为半径的圆，而()22z x yi +=++表示的是圆上的点(),x y 到点()2,0P -的距离，因此其最大值OP R =+，求出即可．【详解】设(),z x y =，复数复数z 的模为1，表示以原点O 为原点，1为半径的圆，∴()22z x yi +=++=即表示的是圆上的点(),x y 到点()2,0P -的距离， 因此2z +的最大值为213OP R +=+=， 故答案为3. 【点睛】本题考查了复数形式的圆的方程及两点间的距离公式、点与圆上的点的距离的最大值问题，考查了推理能力，属于中档题．15．-7【解析】分析：先求出复数z 再求z 的虚部详解：由题得所以z 的虚部为-7故答案为-7点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的虚部概念意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力(2)复数的实部解析：-7 【解析】分析：先求出复数z,再求z 的虚部. 详解：由题得86(86)(1)214171(1)(1)2i i i iz i i i i ----====-++-，所以z 的虚部为-7， 故答案为-7.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的虚部概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的实部是a,虚部为b ，不是bi.16．【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数为的形式即可得到复数虚部详解：则复数的虚部故答案为点睛：本题主要考查的是复数的乘法除法运算属于中档题解题时一定要注意和以及运算的准确性否则很容易出现错误 解析：1-【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数212iz i-=+为a bi +的形式，即可得到复数虚部. 详解：()()()()212251212125i i i iz i i i i ----====-++-，则复数z 的虚部1-，故答案为1-. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.17．4【解析】∵且复数是纯虚数∴即故答案为4解析：4 【解析】∵()()()()()2124222i 22412i 1212145a i i a a i a a ai i i i ----+----===++-+，且复数212a ii-+是纯虚数 ∴405a -=，即4a = 故答案为418．【解析】设整理得 解析：z i =-【解析】设,z a bi z a bi =+∴=-，1212()2,2z a bi i i z a bi++-=-+∴=-++，整理得42224155a b a b a bi i ++-++=--，42205,,24115a b a a z i a b b b ++⎧=-⎪=⎧⎪∴∴∴=-⎨⎨-+=-⎩⎪=-⎪⎩19．【解析】试题分析：由题：得：考点：复数的概念和运算 解析：2【解析】 试题分析：由题：，得：11iz i i-==-+，221112z +=+= 考点：复数的概念和运算．20．【分析】根据复数z 的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z 的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为：【点睛】 解析：【分析】根据复数z 的几何意义以及yx的几何意义，由图象得出最大值. 【详解】复数z x yi =+且23z -=z 的几何意义是复平面内以点(2,0)3为半径的圆22(2)3x y -+=.yx的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：max331y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 即yx3 3【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）1,z =Rez 的取值范围为1(,1)2-；（2）1322z =+或1322z =-. 【分析】（1）先设出复数，结合1w z z=+是实数可求出z 的值及Rez 的取值范围； （2）先设出复数，结合2z zz z++为纯虚数可求.【详解】（1）设z x yi =+，其中,x y R ∈且0y ≠， 222211i ()i i x y w z x y x y z x y x y x y=+=++=++-+++， 因为1w z z=+是实数，所以220y y x y -=+，解得221x y +=，所以221z x y =+=；因为12w -<<，所以222(1,2)x x x x y +=∈-+，即1(,1)2x ∈-；所以Rez 的取值范围为1(,1)2-. （2）由（1）知221x y +=，()2222i i (2)i i i 2x y x y z z x y x xy y x y x y x z z++++-+++==++-+， 因为2z z z z ++为纯虚数，所以220x y x -+=且20xy y +≠，0x ≠， 联立222201x y x x y ⎧-+=⎨+=⎩可得122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以122z =+或122z =-. 【点睛】本题主要考查复数的运算及相关概念，待定系数法是求解复数的常用方法，侧重考查数学运算的核心素养.22．（1）2m n ==；（2）1].【分析】（1）将1i z =-+代入方程，,m n ∈R ，利用复数相等，得出关于,m n 的方程组，即可求解；（2）设(,)z a bi a b R =+∈代入方程210x mx ++=方程，求出复数z 所对应的点(,)P a b 的轨迹，根据∆<0，求出m 范围，利用几何法，即可求出结论.【详解】（1）1i z =-+为方程20x mx n ++=（,m n ∈R ）的虚根，2(1)(1)(2)0i m i n m n m i -++-++=-++-=，解得2m n ==；（2）设(,z a bi a b R =+∈且0)b ≠是210x mx ++=的虚根，240,22m m ∆=-<∴-<<，2()()10a bi m a bi ++++=，221(2)0a b ma ab mb -++++=，222240,,,124m m b a b a b -≠∴=-=+=， 复数z 所对应的点P 在单位圆上（去掉(1,0)±，复数24i +所对应的点为||(2,4),Q OQ ==，所以||PQ的范围为1].故答案为:1].【点睛】本题考查复数相等求参数及轨迹方程，以及复数几何意义，考查用几何法求定点到圆上点的距离，属于中档题.23．（1）217z i =-+，386z i =-+，4142z i =--（2）证明见解析（3）10012-【解析】【分析】（1）利用1(1)n n z i z +=+，134z i =+，即可得出；（2）由已知1(1)n n z i z +=+，得11(1)n n z i z -=+，当41n k =+时，1(1)(4)n k i -+=-，即可证明；（3）由44(1)4n n n z i z z +=+=-，可得44n n x x +=-，44n n y y +=-，4416n n n n x y x y ++=，即可得出．【详解】（1）2(1)(34)17z i i i =++=-+，386z i =-+，4142z i =--；（2）由已知1(1)n n z z +=+⋅i ，得11(1)n n z i z -=+⋅，当41n k =+时，14(1)(1)(4)n k k i i -+=+=-，令(4)k λ=-，则1n z z λ=⋅，即则存在非零实数(4)kλ=-（*k ∈N ），使得1n OZ OZ λ=.所以，当41n k =+（*k ∈N ）时，1//n O Z Z O ；（3）因为44(1)4n n n z i z z +=+=-，故44n n x x +=-，44n n y y +=-， 所以4416n n n n x y x y ++=，又1112x y =，227x y =-，3348x y =-，4428x y =，1122331001001122334455667788()()x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++++=+++++++979798989999100100()x y x y x y x y +++++25100116(1274828)12116-=--+⋅=--， 所以数列{}n n x y 的前100项之和为10012-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、向量共线定理、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．（1）1z i ，=--（2）3a =或1a =-【解析】试题分析:（1）设R z x yi x y =+∈，、,根据复数为实数条件列方程组100y y x +=⎧⎨-=⎩,解得1x y ==-（2）根据复数模的定义得方程()()221+15a --=,解方程可得实数a 的值.试题解：（1）设R z x yi x y =+∈，、则()++1R z i x y i x y =+∈，、；()()221+1+x yi z x y y x i i i+==++- 2+1+z z i i，均为实数， 100y y x +=⎧∴⎨-=⎩ 1x y ∴==- 1z i ∴=--，（2）由z i a +=得1i i a --+=()()221+15a ∴--= 3a ∴=或1a =-25．（1）3m =-或2m =-；（2）1m =-.【分析】（1）当复数的虚部为0时，z 为实数，求出m 的值即可；（2）当复数的实部为0，虚部不为0时，z 为纯虚数，求出m 的值即可.【详解】（1）若z 为实数，则2560m m ++=，解得3m =-或2m =-； （2）若z 为纯虚数，则210560m m m +=⎧⎨++≠⎩，解得1m =-. 【点睛】方法点睛：该题考查的时有关复数的分类，解题方法如下： （1）要明确复数为实数时满足虚部为0，列式求解；（2）要明确复数为纯虚数时满足实部为0虚部不为0，列式求解. 26．（1）1z i =-（2）1a =-，2b =. 【分析】（1）根据复数的四则运算法则化简计算z ，即可求出z ；（2）根据复数相等的条件计算即可求值.【详解】（1）2333122i i i z i i i-+++===+-- ∴1z i =-（2）()11a i b i ++=-，即1a b ai i ++=-，∴11a b a +=⎧⎨=-⎩，解得1a =-，2b =.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，共轭复数的概念，复数相等，属于中档题.。
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．若复数2i z =-，i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-= A ．24i +B ．24i -+C ．24i --D ．4-2．复数1cos isin z x x =-，2sin icos z x x =-，则12z z ⋅=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．13．已知i 是虚数单位，复数13i1i+=+（ ） A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i --4．设复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根，又3z 为实数，则点(),p q 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．“20>z ”是“z 是非零实数”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要6．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线7．复数()23z i i =-+（i 是虚数单位）的虚部是( ) A ．2-B ．2i -C ．3D ．3i8．已知i 是虚数单位，则复数242iz i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知实数[1,1]a ∈-，实数[1,2]b ∈-，则复数2a biz i+=-在复平面内对应的点位于第一象限的概率为（ ） A ．524B ．14C ．724D ．1310．设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x+++⋅⋅⋅+=（ ） A ．1i +B ．i -C ．iD ．011．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|z -=，则yx的范围为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．3,3⎡⎤-⎣⎦D ．(,3][3,)-∞-⋃+∞12．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．17-B ．-1C ．73-D ．-7二、填空题13．已知复数z a bi =+(),a b ∈R ，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____.14．若121aii i+=--（其中i 是虚数单位），则实数a =_____. 15．已知0,0a b >>，复数()()23a i bi +-的虚部为4，则2a b +的最小值为__________． 16．已知复数1iz i+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为__________. 17．复数z=（其中i 为虚数单位）的虚部为________．18．已知复数z 与（z +2）2+5均为纯虚数，则复数z =__．19．若复数z 满足2Re 2z z -=+，则32i 2z z --+-的最小值______．20．已知虚数αβ、满足221010p p ααββ++=++=、（其中p ∈R ），若1αβ-=，则p =_________.三、解答题21．已知复数1212,34,z i z i i =-=+为虚数单位.（1）若复数21z az + 对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若()1212z z z z z +=-，求z 的共轭复数. 22．已知复数z 满足z =261ii-+-﹣4． （1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若w =z +ai ，且|w |≤|z |，求实数a 的取值范围．23．设复数n n n z x i y =+⋅，其中n x n y ∈R ，*n ∈N ，i 为虚数单位，1(1)n n z i z +=+⋅，134z i =+，复数n z 在复平面上对应的点为n Z .（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）是否存在正整数n 使得n OZ ∥1OZ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n n x y ⋅的前102项之和.24．已知m 是实数，关于x 的方程E ：x 2﹣mx +（2m +1）＝0． （1）若m ＝2，求方程E 在复数范围内的解；（2）若方程E 有两个虚数根x 1，x 2，且满足|x 1﹣x 2|＝2，求m 的值． 25．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数． （1）求复数z ；（2）复数()2z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．26．已知复数12z =-，i 为虚数单位.（1）求3z 的值；（2）类比数列的有关知识，求220191z z z ++++的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】()()11z z +-=2211(2)1(34)24z i i i -=--=--=-+ ,选B.,2．D解析：D 【解析】复数12cos sin ,sin cos z x i x z x i x =-=-，则()2212cos sin cos sin cos sin z z x x x x i x x ⋅=-+--=i - ，则121z z ⋅=，故选D.3．A解析：A 【详解】因为13i (1+3)(1)4221i (1)(1)2i i ii i i +-+===+++-， 故选：A ．点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．解析：D 【分析】由3z 为实数，求出,a b 关系，实系数方程有虚数根，∆<0，且两根互为共轭，由韦达定理，求出,p q 与,a b 关系，结合,a b 关系，即可得出,p q 的关系式，得出结论. 【详解】()3220,0,(2)()z a bi a b z a b abi a bi =+>≠=-++，其虚部为22222()2(3)a b b a b b a b -+=-，又3z 为实数，所以2222(3)0,0,30b a b b b a -=≠=≠， 复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根，()0,0z a bi a b =->≠也是实系数方程20x px q ++=的根，所以222240,2,40p q z z a p zz a b a q ∆=-<+==-=+==>， 所以2,0p q p =<，此时30q ∆=-<，即点(),p q 的轨迹在抛物线2y x 上.故选：D. 【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的关系、复数的基本概念，韦达定理的应用是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.5．C解析：C 【分析】设(),,z a bi a b R =+∈，由题意结合复数的运算及性质可得0a =或0b =，分类讨论即可得0a ≠、0b =；当z 是非零实数，则20>z ；由充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】设(),,z a bi a b R =+∈，则2222z a b abi =-+， 若20>z ，则0a =或0b =， 当0a =时，220z b =->不存在， 当0b =时，220z a =>即0a ≠， 所以若20>z ，则z 是非零实数； 若z 是非零实数，则20>z ；所以“20>z ”是“z 是非零实数”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算及复数性质的应用，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.解析：A 【解析】 【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．7．A解析：A 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简后得到答案.详解：因为2(23)2332z i i i i i =-+=-+=--，所以其虚部为2-， 故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算，复数的虚部的概念，一定要注意复数的虚部是i 的系数.8．A解析：A 【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限. 【详解】 解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi9．A解析：A 【解析】分析：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，结合[]1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，画出可行域，利用几何概型即可求出答案.详解：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，又[] 1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，故在平面直角坐标系上画出可行域，如图所示：∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限的概率1515222324P ⨯⨯==⨯. 故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．10．D解析：D 【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果． 【详解】 解：复数2(1ix i i=-是虚数单位）， 而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．11．C解析：C 【分析】转化|2|z -=为22(2)3x y -+=，设,yk y kx x==，即直线和圆有公共点，联立2164(1)0k ∆=-+≥，即得解.【详解】由于|2||2z x yi -=-+22(2)3x y -+=∴设yk y kx x=∴= 联立：2222(2)3,(1+)410x y y kx k x x -+==∴-+=由于直线和圆有公共点，2164(1)0k k ∴∆=-+≥≤≤故yx 的范围为[ 故选：C 【点睛】本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12．D解析：D【分析】根据复数为纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，故3tan 4θ=-，展开计算得到答案.【详解】34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则3sin 5θ=且4cos 5θ≠，故4cos 5θ=-3tan 4θ=-，tan 1tan 741tan πθθθ-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查了复数的概念，和差公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．【分析】计算出两个复数相等实部与实部相等虚部与虚部相等列方程组求解【详解】所以所以故答案为：-8【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析需要熟练掌握复数的运算法则 解析：8-【分析】计算出2iz ai bi b ai =+=-+，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解. 【详解】2iz ai bi b ai =+=-+，所以1,9a b ==-，所以8a b +=-.故答案为：-8 【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.14．【解析】【分析】由可知根据复数的乘法运算及复数相等的概念即可求解【详解】因为所以所以【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算复数相等的概念属于中档题 解析：3-【解析】 【分析】由121aii i +=--可知1(1)(2)ai i i +=--，根据复数的乘法运算，及复数相等的概念即可求解. 【详解】因为121aii i+=--所以1(1)(2)13ai i i i +=--=- 所以 3a =- 【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，复数相等的概念，属于中档题.15．4【解析】分析：化简根据其虚部为可得利用基本不等式可得结果详解：复数的虚部为即当且仅当时等号成立的最小值为故答案为点睛：本题主要考查复数的运算与基本概念利用基本不等式求最值属于中档题利用基本不等式求解析：4 【解析】分析：化简()()23a i bi +-，根据其虚部为4，可得2ab =，利用基本不等式可得结果. 详解：()()22i 3i 3i 6i 2i a b a ab b +-=-+-()326i a b ab =++-，复数()()2i 3i a b +-的虚部为4，64ab ∴-=，即2ab =， 0,0a b >>，2224a b ab ∴+≥=，当且仅当1,2a b ==时等号成立，2a b ∴+的最小值为4，故答案为4.点睛：本题主要考查复数的运算与基本概念、利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.16．1【解析】由题意可得：则复数的实部为1解析：1 【解析】 由题意可得：()11i i z i i-+==- ，则复数z 的实部为1.17．﹣【解析】试题分析：利用复数除法运算化简可得虚部解：==则复数z 的虚部为﹣故答案为﹣考点：复数代数形式的乘除运算解析：﹣． 【解析】试题分析：利用复数除法运算化简，可得虚部．解：==，则复数z 的虚部为﹣， 故答案为﹣．考点：复数代数形式的乘除运算．18．±3i 【分析】设然后代入利用复数代数形式的乘除运算化简结合已知条件列出方程组求解即可得答案【详解】解：设为纯虚数解得故答案为：【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念属于基础题解析：±3i 【分析】设(,0)z bi b R b =∈≠，然后代入2(2)5z ++利用复数代数形式的乘除运算化简，结合已知条件列出方程组，求解即可得答案． 【详解】解：设(,0)z bi b R b =∈≠，222(2)5(2)594z bi b bi ++=++=-+为纯虚数，∴29040b b ⎧-=⎨≠⎩，解得3b =±，3z i ∴=±．故答案为：3i ±． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．19．【分析】设复数由可得即将转化为和到抛物线动点距离和根据抛物线性质即可求得最小值【详解】设复数即整理得:是以焦点为的抛物线化简为:转化为和到抛物线动点距离和如图由过作垂线交抛物线准线于点交抛物线于点根 解析：5【分析】设复数z x yi =+,由2Re 2z z -=+可得222(2)(2)x y x -+=+,即28y x =.将32i 2z z --+-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和,根据抛物线性质即可求得32i 2z z --+-最小值. 【详解】 设复数z x yi =+ 2Re 2z z -=+∴ |2||2|x yi x +-=+ 即|2||2|x yi x -+=+ ∴ 222(2)(2)x y x -+=+整理得:28y x = 是以(2,0)F 焦点为的抛物线.32i 2z z --+-化简为:()32i 2z z -++- 转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和.如图.由过A 作AB 垂线,交抛物线准线于点B .交抛物线于点1P根据抛物线定义可知,11PF PB = , 根据点到直线,垂线段最短,可得:5AB =∴ 11||||5PA PF PA PF AB +≥+== ∴ 32i 2z z --+-的最小值为:5.故答案为:5. 【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题,解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹,利用数形结合思想求解,考查分析问题的和解决问题的能力.20．【分析】根据题意得到虚数满足方程利用求根公式求得两根结合列方程解方程求得的值【详解】依题意可知虚数满足的方程为且所以两根为故所以故填：【点睛】本小题主要考查一元二次方程的虚数根属于基础题解析：3【分析】根据题意得到虚数αβ、满足方程210x px ++=，利用求根公式求得两根，结合1αβ-=列方程，解方程求得p 的值.【详解】依题意可知， 虚数αβ、满足的方程为210x px ++=，且240p -<.所以两根为24p p i -±-，故22441p i p αβ-=-=-=，23p =，所以3p = 故填：3±【点睛】本小题主要考查一元二次方程的虚数根，属于基础题.三、解答题21．（1）0a >；（2）1z i =-+【解析】试题分析：（1）求出复数21z az +的代数形式，根据第四象限的点的特征，求出a 的范围；（2）由已知得出1212z z z z z -=+ ，代入12,z z 的值，求出1,1z i z i =--=-+ ． 试题解析;（I ）=， 由题意得 解得（2）()()()()12121234261,123442i i z z i z i z z i i i--+---====--+-+++ 1.z i =-+22．（1）82z i =--（2）﹣4≤a ≤0【分析】（1）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出；（2）利用复数模的计算公式、一元二次不等式的解法即可得出．【详解】解：（1）261i z i -+=- (26)(1)482(1)(1)i i z i i i -++∴=-=-+-+， ∴82z i =--．（2）w z ai =+8(2)w a i ∴=-++， ∴||217z =22||64(2)684w a a a =++=++||||w z ，则268468a a ++，240a a +，40a -，所以，实数a 的取值范围是：40a -．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算公式、一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．23．（1）217z i =-+，386z i =-+，4142z i =--.（2）存在，41n k =+，k ∈N .（3）10212+【分析】（1）根据()11n n z i z +=+⋅，依次代入1,2,3n =计算即可得到结果；（2）根据平行关系可知1n z z λ=⋅，从而得到()11n i λ-+=为实数，根据复数乘方运算可知1n -为4的倍数，进而得到结果； （3）由44n n z z +=-可知4416n n n n x y x y ++=，利用此特点化简所求式子，结合等比数列求和公式可求得结果.【详解】（1）()()213417z i i i =++=-+；()()311786z i i i =+-+=-+；()()4186142z i i i =+-+=--.（2）若1//n O Z Z O ，则存在实数λ，使得1n OZ OZ λ=，故1n z z λ=⋅即()()11,,n n x y x y λ=又()11n n z i z +=+，故()111n n z i z -=+，即()11n i λ-+=为实数故1n -为4的倍数，即14n k -= 41n k ∴=+，k ∈N（3）()4414n n n z i z z +=+=-，故44n n x x +=-，44n n y y +=- 4416n n n n x y x y ++∴= 又1112x y =，227x y =-，3348x y =-，4428x y =()()1122331001001122334455667788x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ∴+++⋅⋅⋅+=+++++++()979798989999100100x y x y x y x y +⋅⋅⋅++++()25100116127482812116-=--+⨯=-- 又251001011011116122x y x y ==⨯，25100102102221672x y x y ==-⨯所以数列{}n n x y 的前102项之和为：100100100102121227212-+⨯-⨯=+【点睛】本题考查复数知识的综合应用问题，涉及到复数的乘法和乘方运算、复数运算的周期性、等比数列求和的问题；关键是能够灵活运用复数乘方运算的特点，将所求式子转化为类似周期运算的形式，从而将所求式子化简，利用等比数列求和的方法求得结果.24．（1）x ＝1+2i ，或x ＝1﹣2i （2）m ＝0，或m ＝8【分析】（1）根据求根公式可求得结果；（2）根据实系数多项式虚根成对定理，不妨设x 1＝a +bi ，则x 2＝a ﹣bi ，根据韦达定理以及|x 1﹣x 2|＝2，可解得结果.【详解】（1）当m ＝2时，x 2﹣mx +（2m +1）＝x 2﹣2x +5＝0，∴x 22±=∴x ＝1+2i ，或x ＝1﹣2i ． ∴方程E 在复数范围内的解为x ＝1+2i ，或x ＝1﹣2i ；（2）方程E 有两个虚数根x 1，x 2，根据实系数多项式虚根成对定理，不妨设x 1＝a +bi ，则x 2＝a ﹣bi ，∴x 1+x 2＝2a ＝m ，221221x x a b m =+=+，∴221214b m m =-++ ∵|x 1﹣x 2|＝|2bi |＝2，∴b 2＝1，∴212114m m -++=， ∴m ＝0，或m ＝8．【点睛】 本题考查了求根公式，考查了实系数多项式虚根成对定理，考查了韦达定理，属于中档题. 25．（Ⅰ） z=4-2i ．（Ⅱ）2＜a ＜6【详解】（1）设(,)z x yi x y R =+∈所以，2(2)z i x y i +=++；(2)(2)225z x yi x y x y i i i +-++==-- 由条件得，20y +=且20x y +=，所以4,2x y ==-(2)222()(42)(124)8(2)z ai i ai a a a i +=-+=+-+-由条件得：21240{8(2)0a a a +->->， 解得26a <<所以，所求实数a 的取值范围是(2,6)-26．（1）31z =（2）1【分析】（1）根据复数运算法则计算即可（2）根据等比数列的前n 项和，利用复数的运算法则进行计算即可．【详解】（1）复数1(2z i =-为虚数单位），222111()2())222z ∴=-+⨯-+=-，3221113)()12244(z z z i ---+==-⋅==∴， （2）202022013673911()111z z z z z z z z++++--⋅==-- 111z z-==- 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，等比数列的求和公式，属于中档题.。
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试(含答案解析)
一、选择题1．若复数2320211z i i i i =++++⋯+，则复数z 对应的点在第（ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四2．在复数范围内，有下列命题：（1）若12,z z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数（2）“||1z =”是“1z R z+∈”的充分非必要条件（3）方程20(0)x t t +=>的根是（4）22z z =则其中假命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．若m 为实数，则复数22()()26m m m m i ---＋＋在复平面内所对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1B ．-1C ．12D ．12- 5．已知复数21i z i =+，则共轭复数z =( ) A ．1i -+ B ．1i - C ．1i + D ．1i -- 6．已知i 为虚数单位，若复数1()1ai z a R i -=∈+的实部为-2，则z =（ ）A ．5BCD ．137．已知i 是虚数单位，则复数242i z i -=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．已知实数[1,1]a ∈-，实数[1,2]b ∈-，则复数2a bi z i +=-在复平面内对应的点位于第一象限的概率为（ ）A ．524B ．14C ．724D ．139．已知a 是实数，1a i i +-是纯虚数，则 a 等于（ ）A ．B ．1-CD ．110．设复数21i x i =-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1i +B ．i -C ．iD ．0 11．若复数z 是方程2250x x -+=的一个根，则z =（ ）A ．2i ±B ．2i -±C ．12i -±D ．12i ±12．已知i 是虚数单位，且1zi =+，下列命题错误的是（ ）A ．z 对应复平面内的点在第四象限B ．||2z =C ．z 的共轭复数为z i = D ．22z z =二、填空题13．若复数z 满足24z z i +=-（i 为虚数单位），则z 的最小值为__________． 14．若复数z 满足i 12i 01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________ 15．在复数范围内解方程23||()2i z z z i i-++=+（i 为虚数单位），z =________ 16．已知i 是虚数单位，则12i -________.17．若复数z 满足22zi i i=-+（i 为虚数单位），则复数z =__________. 18．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5i z= . 19．已知复数112z i =-+，21z i =-，334z i =-，它们在复平面上对应的点分别为,,A B C ，若OC OA OB λμ=+，(,R λμ∈)，则λμ+的值是__________．20．已知复数1223,z i z t i =+=-，且12·z z 是实数，则实数t =__________.三、解答题21．已知方程21000x kx -+=，k C ∈.（1）若1i +是它的一个根，求k 的值；（2）若*k N ∈，求满足方程的所有虚数的和.22．已知复数1z i =，212z =-. （1）求1z 及2z 并比较大小；（2）设z C ∈，满足条件21z z z ≤≤的点Z 的轨迹是什么图形？23．已知复数()0,z a i a a R =+>∈，i 为虚数单位，且复数2z z+为实数． （1）求复数z ；（2）在复平面内，若复数()2m z +对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围． 24．已知复数2(1)(23)z m m m m i =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零；（2）复数z 是纯虚数.25．已知m 为实数，设复数22(56)(253)z m m m m i =++++-.（1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的点在直线70x y -+=的上方，求m 的取值范围.26．已知复数z 满足(1)13i z i +=-（i 是虚数单位）.（1）求复数z 的虚部；（2）若复数(1)ai z +是纯虚数，求实数a 的值；（3）若复数z 的共轭复数为z ，求复数1z z +的模.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据周期性得到1z i =+,得到答案.【详解】2320211(11)(11)11z i i i i i i i i i i =++++⋯+=+--+⋯++--++=+，故复数z 对应的点在第一象限.故选：A.【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.2．B解析：B【分析】利用复数的概念及运算法则对各个命题依次进行判定．【详解】设12,z a bi z c di =+=+（,,,a b c d R ∈），则1212z z z z +()()()()a bi c di a bi c di =+-+-+()()ac adi bci bd ac adi bci bd =-++++-+22ac bd R =+∈，①正确；设i(,0)z a b a b b =+∈≠R,，若1z ==， 则11z a bi z a bi +=+++222a bi a bi a bi a bi a R a b-=++=++-=∈+， 反之，若11z a bi z a bi +=+++22a bi a bi R a b -=++∈+，则220b b a b-=+，221a b +=，∴1z =．应是充要条件，②错误；方程20(0)x t t +=>的根是，③正确； z 是复数，2z 可能是虚数，但2z 是复数的模，一定是实数，④错误，∴错误命题有2个．故选B ．【点睛】本题考查复数的概念与运算，解题时可设(,)z a bi a b R =+∈，然后代入进去进行检验证明．3．C解析：C【分析】实部虚部相加为4，不可能都为负.【详解】若m 为实数，复数22()()26m m m m i ---＋＋ 实部虚部相加为：222640m m m m ---=>＋＋，不可能都为负所对应的点不可能位于第三象限故答案选C【点睛】本题考查了复数对应的象限，是常考题型.4．A解析：A【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --=可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5．B解析：B【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由题意可得：()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 则其共轭复数1z i =-.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．C解析：C【解析】分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z . 详解：由题复数()11ai z a R i-=∈+的实部为-2，()()()()()11111,1112ai i a a i ai z i i i -⋅---+-===++⋅- 12,5,2a a -∴=-= 则()1123,2a a i z i z --+==--∴= 故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.7．A解析：A【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.【详解】解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-，∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi8．A解析：A【解析】分析：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，结合[]1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，画出可行域，利用几何概型即可求出答案.详解：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=， 复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>， 又[] 1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，故在平面直角坐标系上画出可行域，如图所示：∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限的概率1515222324P ⨯⨯==⨯. 故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．9．D解析：D【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a i a i i i i ++-+++==--+， 1a i i +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．D解析：D【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果．【详解】 解：复数2(1i x i i=-是虚数单位）， 而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．11．D解析：D【分析】设出复数，代入方程进行求解即可.【详解】令(,)z a bi a b R =+∈，有2()2()50a bi a bi +-++=，整理为()2225(22)0a b a ab b i --++-=， 有22250220a b a ab b ⎧--+=⎨-=⎩， 解得：12a b =⎧⎨=±⎩， 则12z i =±.故选：D.【点睛】本题综合考查复数的运算，涉及复数为实数的转化关系，属复数基础题.12．D解析：D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案.【详解】 ∵1zi =+，∴1z i i+==，∴z 对应复平面内的点为)1-在第四象限，故A 正确；2z ==，故B 正确；z 的共轭复数为z i =，故C 正确；222z z =-≠，故D 错误；故选：D .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.二、填空题13．【分析】由复数的几何意义可得满足题意的复数对应的点P 到复数-2和4对应点A(-20)B(04)距离相等即轨迹为线段AB 的垂直平分线则的最小值即可转化为原点垂直平分线的距离求解【详解】如图所示设复数-【分析】由复数的几何意义可得满足题意的复数z 对应的点P 到复数-2和4i 对应点A(-2,0),B(0,4)距离相等即轨迹为线段AB 的垂直平分线,则z 的最小值即可转化为原点垂直平分线的距离求解.【详解】如图所示,设复数z ,-2,4i 对应的点分别为P (),x y ,A(-2,0),B(0,4),由题意24z z i +=-得PA PB =即点P 的轨迹为线段AB 的垂直平分线l ,由平面几何知识可求得垂直平分线l 的方程为:230x y +-=,且由22z x y =+所以z 的最小值即为原点O 到直线l 的距离,则由00314d OP +-==+35, z 35. 故答案为:35【点睛】 本题考查了复数的几何意义,复数模的几何意义及其运算,重点考查了运算能力,属于中档题. 14．【分析】根据行列式得到化简得到复数的虚部【详解】即的虚部为故答案为【点睛】本题考查了行列式的计算复数的虚部意在考查学生的计算能力 解析：1-【分析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部.【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2i iz i z i i+-+===-，z 的虚部为1- 故答案为1-【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.15．-【解析】分析：首先对等式的右边进行复数的除法运算得到最简形式设出要求的复数的结果把设出的结果代入等式根据复数相等的充要条件写出关于x 的方程解方程即可详解：原方程化简为设z=x+yi （xy ∈R ）代入解析：-1322i ±. 【解析】分析：首先对等式的右边进行复数的除法运算，得到最简形式，设出要求的复数的结果，把设出的结果代入等式，根据复数相等的充要条件写出关于x 的方程，解方程即可． 详解：原方程化简为()2||1z z z i i ++=-, 设z=x+yi （x 、y ∈R ），代入上述方程得x 2+y 2+2xi=1﹣i ，∴x 2+y 2=1且2x=﹣1，解得x=﹣12且y=±3， ∴原方程的解是z=﹣132i ±. 故答案为﹣1322i ±. 点睛：本题主要考查复数的除法和乘方运算，考查复数相等的充要条件，是一个基础题，解题时没有规律和技巧可寻，只要认真完成，则一定会得分．16．【解析】分析：首先根据题中所给的条件可以断定其为求复数的模利用公式求得结果详解：根据复数模的公式可知故答案是点睛：该题考查的是有关复数模的求解问题根据公式运算即可属于简单题目解析：5.【解析】分析：首先根据题中所给的条件，可以断定其为求复数12i -的模，利用公式求得结果. 详解：根据复数模的公式，可知22121(2)5i -=+-=，故答案是5.点睛：该题考查的是有关复数模的求解问题，根据公式运算即可，属于简单题目. 17．【解析】由题意得考点：复数的运算解析：5i -【解析】由题意，得.考点：复数的运算. 18．【分析】求出复数利用复数的除法运算法则：分子分母同乘以分母的共轭复数化简复数从而可得结论【详解】∵复数z 的实部为-1虚部为2∴ ∴= 故答案为【点睛】复数是高考中的必考知识主要考查复数的概念及复数的 解析：2i -【分析】求出复数12z i =-+．利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数5i z，从而可得结论. 【详解】 ∵复数z 的实部为-1，虚部为2，∴12z i =-+， ∴5512i i z i -+ =5(12)(1)(12)w i i i ---+-- 2i =-，故答案为2i -．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.19．1【详解】由题设得三点的坐标分别为将三向量的坐标代入得因此即所以故答案为1点睛：本题考查复数与向量的对应以及向量相等的条件复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上向量相等则两向量的横纵坐标相等； 解析：1【详解】由题设得三点的坐标分别为()()()12,11,34A B C ---，，，，将三向量的坐标代入OC OA OB λμ=+得341211λμ-=-+-（，）（，）（，），因此3 24λμλμ-+=⎧⎨-=-⎩，即1 2λμ=-⎧⎨=⎩，所以λμ1+=，故答案为1.点睛：本题考查复数与向量的对应，以及向量相等的条件，复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上，向量相等则两向量的横纵坐标相等；由题设求出三点A B C ，，的坐标，既得三个向量的坐标将三个向量的坐标代入向量方程，利用向量的相等建立起参数,λμ的方程，求出,λμ的值.20．【解析】复数z1=2+3iz2=t−i ∴=t+i ∴=(2+3i)(t+i)=(2t−3)+(3t+2)i 由是实数得3t+2=0即 解析：23- 【解析】复数z 1=2+3i ,z 2=t −i ， ∴2z =t +i ， ∴12·z z =(2+3i )(t +i )=(2t −3)+(3t +2)i ，由12·z z 是实数,得3t +2=0,即23t =-. 三、解答题21．（1）5149i -；（2）190.【分析】（1）先设出k 的代数形式，把1i +代入所给的方程，化简后由实部和虚部对应相等进行求值；（2）由方程由虚根的条件∆<0，求出k 的所有的取值，再由方程虚根成对出现的特点，求出所有虚根之和．【详解】解：（1）设(,)k a bi a b R =+∈，1i +是21000x kx -+=的一个根，2(1)()(1)1000i a bi i ∴+-+++=，100(2)0b a a b i ∴-++--=，∴100020b a a b -+=⎧⎨--=⎩，解得51a =，49b =-，5149k i ∴=-， （2）方程21000x kx -+=有虚根，∴241000k ∆=-⨯<，解得2020k -<<， *k N ∴∈，1k ∴=，2，319⋯， 又虚根是成对出现的，∴所有的虚根之和为1219190++⋯+=．【点睛】本题是复数的综合题，考查了复数相等条件的应用，方程有虚根的等价条件，以及方程中虚根的特点，属于中档题．22．(1) 1z =2, 2z =1, 12z z > (2) 以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周）【分析】（1）利用复数的模的计算公式求出1z 、2z 即可解答.（2）根据z 的几何意义及（1）中所求的模1z 、2z 可知z 的轨迹.【详解】解：（1）12z i ===，21z ==， ∴12z z >. （2）由21z z z ≤≤及（1）知12z ≤≤. 因为z 的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以1z ≥表示1z =所表示的圆外部所有点组成的集合，2z ≤表示2z =所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周），如图所示．【点睛】本题考查复数的模及其几何意义，属于基础题.23．（1）1i +；（2）()0,∞+.【分析】（1）将z a i =+代入2z z+，利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，由复数的虚部为零求出实数a 的值，可得出复数z ； （2）将复数z 代入复数()2m z +，并利用复数的乘方法则将该复数表示为一般形式，由题意得出实部与虚部均为正数，于此列不等式组解出实数m 的取值范围.【详解】（1）()0z a i a =+>，()()()2222221a i a i z a i a i a i z a i a i a i a --∴+=++=++=++++-+2222111a a i a a ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 由于复数2z z +为实数，所以22101a -=+，0a >，解得1a =，因此，1z i =+； （2）由题意()()()()()()222211121221m z m i m m i m m m i +=++=+-++=+++， 由于复数()2m z +对应的点在第一象限，则()220210m m m ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩，解得0m >. 因此，实数m 的取值范围是()0,∞+.【点睛】本题考查复数的基本概念，以及复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部，并利用实部与虚部来求解，考查运算求解能力，属于中等题.24．(1) 1m = (2) 0m =【解析】分析：对于复数z=a+bi （a ，b ∈R ），（1）当且仅当a=b=0时，复数z=0；（2）当且仅当a=0，b≠0时，复数z 是纯虚数.详解：（1）∵z 是零，∴()210230m m m m ⎧-=⎨+-=⎩，解得1m =. （2）∵z 是纯虚数，∴()210230m m m m ⎧-=⎨+-≠⎩. 解得0m =. 综上，当1m =时，z 是零；当0m =时，z 是纯虚数.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.25．（1）2-.（2）(,4)(4,)-∞-⋃+∞【分析】（1）直接根据复数的类型得到方程，解得答案.（2）直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<，代入数据解不等式得到答案.【详解】（1）由题意得：225602530,m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-. （2）复数z 对应的点的坐标为()2256,253m m m m +++-，直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<，即：22(56)(253)70m m m m +-+-+<+，解得4m >或4m <-，∴m 的取值范围为(,4)(4,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了根据复数的类型和复数的对应点的位置求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.26．（1）2-；（2）12；（3 【分析】 （1）131i z i-=+ ，利用四则法则计算； （2）利用复数(1)ai z +是纯虚数，则可知实部为零得到a 的值 （3）利用因为z 的共轭复数为12z i =-+，计算复数1z z +和其模. 【详解】（1）因为(1)13i z i +=-，∴13121i z i i-==--+，则12z i =--，复数z 的虚部为2- （2）因为复数(1)ai z +是纯虚数，则 (1)(12)12(2)ai i a a i +-=++- ∴120a +=实数a 的值为12（3）因为z 的共轭复数为12z i =-+，复数1112z i z =--+，12z z =+， 【点睛】 本题考查复数的代数运算，基本概念，属于基础题型，本题重点复数的四则运算.。
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(有答案解析)(2)
一、选择题1．若i 是虚数单位，则复数11i i +=-（ ） A ．-1 B ．1 C ．i - D ．i2．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．1a b +>B ．1a b +<C ．221a b +<D ．221a b +> 3．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段4．下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（ ）（1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆；（2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线；（3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线；（4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5]A ．4B ．1C ．2D ．3 5．在复平面内，复数12z i ＝－对应的向量为OA ，复数2z 对应的向量为OB ，则向量AB所对应的复数为( )A ． 42i ＋B ． 42i -C ． 42i --D ． 42i -+ 6．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线 7．若(13)n x +的二项展开式各项系数和为256，i 为虚数单位，则复数(1)n i +的运算结果为（ ）A ．16-B ．16C ．4-D ．48．已知复数z 满足：32z z =-，且z 的实部为2，则|1|z -=A ．3B C ．D ．9．设复数3422i i z +-=，则复数z 的共轭复数是( ) A ．52i - B ．52i + C ．52i -+ D ．52i -- 10．已知i 是虚数单位，复数z 满足|12|z i i -=+，则z 的共轭复数z 在复平面上对应点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．在复平面内满足11z -=的动点z 的轨迹为（ ）A ．直线B ．线段C ．两个点D ．圆12．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|3z -=，则y x 的范围为（ ） A ．33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．33,,⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．3,3⎡⎤-⎣⎦D ．(,3][3,)-∞-⋃+∞二、填空题13．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为____． 14．在下列命题中：①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充要条件；⑥复数12120z z z z >⇔->；⑦复数z 满足22z z =；⑧复数z为实数z z ⇔=.其中正确命题的是______.（填序号）15．i 为虚数单位，若复数22(23)()m m m m i +-+-是纯虚数，则实数m =_______. 16．若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围为_____． 17．复数z=（其中i 为虚数单位）的虚部为________．18．已知复数z 与（z +2）2+5均为纯虚数，则复数z =__．19．若复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值是______．20．设()f z z =，且115z i =+，232z i =-+，则12()f z z -的值是__________．三、解答题21．已知i 为虚数单位，m 为实数，复数()(12)z m i i =+-.（1）m 为何值时，z 是纯虚数？（2）若||5z ≤，求||z i -的取值范围.22．已知复数2i α=-，i m β=-，m R ∈.（1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若αβ+是关于x 的方程2130()x nx n -+=∈R 的一个根，求实数m 与n 的值.23．已知复数2()z a ai a R =+∈，若2z =z 在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数z ； （2）若22m m mz +-是纯虚数，求实数m 的值.24．已知复数()221132z x x x i =-+-+，()232,z x x i x R =+-∈ （1）若1z 为纯虚数，求实数x 的值；（2）在复平面内，若1z 对应的点在第四象限，2z 对应的点在第一象限，求实数x 的取值范围.25．（1）已知121,2z i z i =+=-，且12111z z z =+，求z ； （2）已知32i --是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，求实数,p q 的值.26．设z 1是虚数，z 2＝z 111z +是实数，且﹣1≤z 2≤1． （1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围；（2）若ω1111z z -=+，求证ω为纯虚数； （3）求z 2﹣ω2的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+， 本题选择D 选项. 2．C解析：C【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d =，即a 2+b 2＜1故选C ．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．3．D解析：D【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.【详解】2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.因此，点Z 的轨迹为线段.故选D.【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．B解析：B【分析】（1）根据椭圆的定义来判断；（2）根据双曲线的定义来判断；（3）根据抛物线的定义来判断；（4）利用圆的有关知识点判断.【详解】（1）|1||1|2z z -++=，表示复平面内到点()()1,0,1,0-距离之和为2的点的轨迹，是由点()()1,0,1,0-构成的线段，故错误；（2）|2||2|2z z --+=，表示复平面内到点()2,0的距离比到点()2,0-的距离大2的点的轨迹，是双曲线的左支，故错误；（3）|1||Re 1|z z -=+，表示复平面内到点()1,0的距离等于到直线1x =-的距离的点的轨迹（点()1,0不在直线1x =-上），所以轨迹是抛物线，故正确；（4）|2|3z -≤，表示点的轨迹是圆心为()2,0，半径为3的圆及其内部（坐标原点在圆内），且z 表示轨迹上的点到原点的距离，所以min 0=，此时z 对应的点为原点，max 325r d =+=+=（d 表示原点到圆心的距离），所以 ||z 的取值范围是[0,5]，故错误.故选B.【点睛】复数对应的轨迹方程：（1）122z z z z a -+-=，当122a z z >-时，此时z 对应的点的轨迹是椭圆；（2）()1220z z z z a a ---=>，当122a z z <-时，此时z 对应的点的轨迹是双曲线. 5．C解析：C【分析】先计算A 点坐标和B 点坐标，再计算向量AB ，最后得到对应的复数.【详解】复数12z i ＝－对应的向量为(1,2)OA A ⇒-22()3412i z i ==--－复数2z 对应的向量为(3,4)OB B ⇒--(4,2)AB =--对应的复数为：42i -- 故答案选C【点睛】本题考查了复数的计算，对应向量，意在考查学生综合应用能力.6．A解析：A【解析】【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线．【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．7．C解析：C【详解】分析：利用赋值法求得n ，再按复数的乘方法则计算．详解：令1x =，得4256n =，4n =，∴42(1)(2)4i i +==-．故选C ．点睛：在二项式()()n f x a bx =+的展开式中，求系数和问题，一般用赋值法，如各项系数为(1)f ，二项式系数和为2n ，两者不能混淆．8．B解析：B【解析】分析：根据题意设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±，从而根据复数的模的概念得到结果.详解：设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±则1z -.故答案为B.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.9．B解析：B【解析】分析：根据复数模的定义化简复数，再根据共轭复数概念求结果. 详解：因为3422i iz +-=，所以522i z -=, 所以复数z 的共轭复数是52i +, 选B. 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi10．D解析：D【解析】分析：先根据复数的模求出z ，再求z 的共轭复数，最后确定对应点所在象限.详解：因为12z i i -=+，所以z i =,所以z i =,因此对应点为1-），在第四象限， 选D.点睛：.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi11．D解析：D【分析】由题意把|1|2||z z -=平方可得关于x 、y 的方程，化简方程可判其对应的图形．【详解】解：设z x yi =+，|1|1z -=，2|1|1z ∴-=，2|1|1x yi ∴-+=，22(1)1x y ∴-+=，故该方程表示的图形为圆，故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的代数形式及其几何意义，考查圆的方程，涉及复数的模长公式，属于中档题．12．C解析：C【分析】转化|2|z -=为22(2)3x y -+=，设,y k y kx x==，即直线和圆有公共点，联立2164(1)0k ∆=-+≥，即得解.【详解】由于|2||2z x yi -=-+22(2)3x y -+=∴ 设y k y kx x=∴= 联立：2222(2)3,(1+)410x y y kx k x x -+==∴-+=由于直线和圆有公共点，2164(1)0k k ∴∆=-+≥≤≤故y x 的范围为[ 故选：C【点睛】 本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题13．1【解析】因为为纯虚数所以解析：1【解析】因为()1i z +⋅(1)()(1)(1)i a i a a i =++=-++ 为纯虚数，所以10110a a a -=⎧∴=⎨+≠⎩ 14．⑧【分析】根据复数的定义和性质依次判断每个选项得到答案【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小①错误；②复数对应的点在第二象限②错误；③若是纯虚数则实数③错误；④若不能得到举反例④错误；⑤复数为纯虚数解析：⑧【分析】根据复数的定义和性质，依次判断每个选项得到答案.【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小，①错误；②复数1z i =-对应的点在第二象限，②错误；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =，③错误；④若()()2212230z z z z -+-=，不能得到123z z z ==，举反例1231,0,z z z i ===，④错误；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充分不必要条件，⑤错误； ⑥复数12120z z z z >⇔->，取122,z i z i =+=，不能得到12z z >，⑥错误； ⑦复数z 满足22z z =，取z i ，22z z ≠，⑦错误； ⑧复数z 为实数z z ⇔=，根据共轭复数定义知⑧正确.故答案为：⑧.【点睛】本题考查了复数的性质，定义，意在考查学生对于复数知识的理解和掌握.15．-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解详解：∵复数是纯虚数解得故答案为-3点睛：本题考实数值的求法是基础题解题时要认真审题注意纯虚数的定义的合理运用解析：-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解．详解：∵复数()()2223m m m m i +-+-是纯虚数，222300m m m m ⎧+-∴⎨-≠⎩＝ ，解得3m =- ．故答案为-3．点睛：本题考实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意纯虚数的定义的合理运用．16．【解析】故复数对应的点的坐标为由对应的点在第二象限可得解得故答案为解析：1a <-【解析】()()()111i a i a a i -+=++-，故复数对应的点的坐标为()1,1a a +-，由对应的点在第二象限可得1010a a +<⎧⎨->⎩解得1a <-，故答案为1a <-. 17．﹣【解析】试题分析：利用复数除法运算化简可得虚部解：==则复数z 的虚部为﹣故答案为﹣考点：复数代数形式的乘除运算解析：﹣．【解析】试题分析：利用复数除法运算化简，可得虚部． 解：==，则复数z 的虚部为﹣， 故答案为﹣．考点：复数代数形式的乘除运算．18．±3i 【分析】设然后代入利用复数代数形式的乘除运算化简结合已知条件列出方程组求解即可得答案【详解】解：设为纯虚数解得故答案为：【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念属于基础题 解析：±3i【分析】设(,0)z bi b R b =∈≠，然后代入2(2)5z ++利用复数代数形式的乘除运算化简，结合已知条件列出方程组，求解即可得答案．【详解】解：设(,0)z bi b R b =∈≠，222(2)5(2)594z bi b bi ++=++=-+为纯虚数，∴29040b b ⎧-=⎨≠⎩，解得3b =±， 3z i ∴=±．故答案为：3i ±．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．19．【分析】利用复数模的三角不等式可得出可得出的最大值【详解】由复数模的三角不等式可得因此的最大值是故答案为【点睛】本题考查复数模的最值的计算可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹利用数形结合思想求解解析：1【分析】 利用复数模的三角不等式可得出()111z i z i z i -+=--≤+-可得出1z i -+的最大值.【详解】由复数模的三角不等式可得()11111z i z i z i -+=--≤+-==+因此，1z i -+的最大值是1故答案为1【点睛】本题考查复数模的最值的计算，可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，同时也可以利用复数模的三角不等式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 20．4＋3i 【解析】分析：由题意可得再结合即可得到答案详解：又点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键解析：4＋3i【解析】分析：由题意可得1243z z i -=+，再结合()f z z =，即可得到答案详解：115z i =+，232z i =-+，1243z z i ∴-=+1243z z i ∴-=-又()f z z =，()1243f z z i ∴-=+点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数，掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键。
人教版高中数学选修1-2练习：数系的扩充和复数的概念第一课时
第三章 3.1A 级基础稳固一、选择题1．全集 I＝ { 复数 } ，会合 M＝ { 有理数 } ，N＝ { 虚数 } ，则 (?I M) ∩(?I N)＝导学号 18674308 (D)A．{ 复数 }B．{实数 }C．{ 有理数 }D．{无理数 }[分析 ] ?I M＝ { 无理数、虚数 } ，?I N＝ { 实数 } ，∴ ( ?I M) ∩(?I N)＝ { 无理数 } ．2．若复数 2－ bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则 b 的值为导学号 18674309 ( D )A．－ 2B．2 32C．－3D． 2[分析 ] 由题意得2＋ (－b) ＝0，∴ b＝ 2.3．以 2i－ 5的虚部为实部，以5i＋ 2i2的实部为虚部的新复数是导学号 18674310 (A)A ． 2－ 2i B． 2＋ iC．－ 5＋ 5i D． 5＋ 5i[分析 ] 复数 2i －5的虚部为2，复数5i＋ 2i2＝－ 2＋ 5i，∴其实部为－ 2，应选 A ．4 ．复数 z＝ (m2＋ m) ＋ mi(m ∈R， i为虚数单位 ) 是纯虚数，则实数 m 的值为导学号 18674311 ( D )A．0 或－ 1B． 0C．1D．－ 1m2＋ m＝0，[分析 ] ∵ z 为纯虚数，∴m≠0∴ m＝－ 1，应选 D．5．合适 x－ 3i＝ (8x－ y)i 的实数 x、y 的值为导学号 18674312 ( A )A ． x＝ 0 且 y＝ 3B． x＝ 0 且 y＝－ 3C．x＝ 5 且 y＝3D． x＝ 3 且 y＝ 0[分析 ] 依题意得x＝ 0，－3＝ 8x－ yx＝ 0解得，应选 A ．y＝ 36．复数z＝ a2＋ b2＋ (a＋ |a|)i(a、b∈R) 为实数的充要条件是导学号18674313 (D)A ． |a|＝ |b|C．a>0 且 a≠b[分析 ]复数z为实数的充要条件是B． a<0 且 a＝－ bD． a≤0a＋ |a|＝ 0，故 a≤0.二、填空题7 ．如果 x－ 1 ＋ yi 与 i － 3x 为相等复数， x、 y 为实数，则 x ＝1， y ＝4__1__. 导学号 18674314[分析 ] 由复数相等可知x－ 1＝－ 3x1x＝4.，∴y＝1y＝ 18．给出以下复数：2＋3， 0.618， i2,5i＋ 4，2i，此中为实数的是2＋3， 0.618，i 2. 导学号 18674315[分析 ] 2＋ 3，0.618， i2为实数， 5i＋ 4， 2i为虚数．三、解答题a2－ 7a＋ 6z 分别9．已知复数 z＝2＋ (a2－ 5a－ 6)i( a∈R)．试务实数 a 分别为何值时，a － 1为：导学号18674316(1)实数？ (2) 虚数？ (3) 纯虚数？[剖析 ]按复数a＋bi(a、b∈ R)是实数，纯虚数和虚数的充要条件求解．[分析 ] (1)当 z 为实数时，则有a2－ 5a－ 6＝ 0①2a － 7a＋6且a2 －1存心义②解①得 a＝－ 1 且 a＝ 6，解②得 a≠±1，∴ a＝ 6，即 a＝6 时， z 为实数．(2)当 z 为虚数时，则有a2－5a－ 6≠0③a2－ 7a＋6且a2 －1存心义④解③得 a≠－ 1 且 a≠6，解④得 a≠±1，∴ a≠±1且 a≠6，∴当 a∈ (－∞，－ 1)∪ (－ 1,1)∪ (1,6)∪(6 ，＋∞)时， z 为虚数．a2－5a－ 6≠0(3)当 z 为纯虚数时， a2－7a＋ 6，a2－ 1＝ 0此方程组无解，∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数．B 级修养提高一、选择题1． (1＋ 3)i 的实部与虚部分别是导学号 18674317 ( C )A．1， 3B．1＋ 3，0C．0,1＋ 3D． 0， (1＋ 3)i[分析 ] (1＋ 3)i 可看作 0＋(1＋3)i ＝ a＋bi ，因此实部 a＝ 0，虚部 b＝1＋ 3.2．若 (m2－ 3m－ 4)＋ (m2－ 5m－ 6)i 是纯虚数，则实数 m 的值为导学号18674318 ( B)A．－ 1B． 4C．－1或 4D．不存在[分析 ]m2－ 3m－ 4＝0由条件知，，m2－ 5m－6≠0m＝－ 1或 4∴，∴ m＝ 4.m≠－1或 m≠63．若a、 b∈R,且 a>b，那么导学号18674319 (D)A ． ai> bi B． a＋i> b＋ iC．ai 2>bi2D． bi 2>ai 2[分析 ]∵ i2＝－1，a>b，∴ ai2<bi2，应选D．4．若 4－ 3a－ a2i＝ a2＋ 4ai ，则实数a 的值为导学号18674320 ( C ) A ． 1B．1 或－ 4C．－ 4D．0 或－ 44－ 3a＝ a2 [分析 ]由题意得，解得 a＝－ 4.－a2＝ 4a 二、填空题5．若复数 z＝ (m＋ 1)＋ (m2－ 9)i<0 ，则实数m 的值等于 __－ 3__. 导学号18674321[分析 ]m2－ 9＝ 0∵ z<0 ，∴，∴ m＝－ 3.m＋ 1<06．已知复数2－1)i( m∈R )知足 z<0 ，则 m＝ __－1__. 导学号 18674322 z＝ m＋ (m[分析 ]m2－ 1＝ 0，∵ z<0 ，∴∴ m＝－ 1.m<0，三、解答题7．若不等式m2－ (m2－ 3m)i<( m2－ 4m＋3)i ＋ 10 建立，务实数 m 的值 . 导学号18674323m2－ 3m＝ 0[分析 ]由题意，得m2－ 4m＋ 3＝0，m2<10m＝ 0或m＝ 3∴m＝ 3或 m＝ 1 ，|m|< 10∴当 m＝ 3 时，原不等式建立．C 级能力提高1 ． (2016 ·天津 ) 已知 a ， b ∈R， i 是虚数单位，若a 的值为(1 ＋ i)(1 － bi) ＝ a ，则b__2__. 导学号 18674324[分析 ]1＋b＝ a，(1＋ i)(1 － bi) ＝ 1＋ b＋ (1－ b)i ＝ a，因此1－b＝ 0.b＝ 1，因此a＝2.解得a＝ 2.b12．设 z＝log 2(m－ 1)＋ ilog 2(5 －m)(m∈R ). 导学号 18674325(1)若 z 是虚数，求 m 的取值范围；(2)若 z 是纯虚数，求m 的值．[分析 ]分清复数的实部与虚部，直接依据复数为虚数、纯虚数的条件列式求解．m－ 1>0(1)若 z 是虚数，则其虚部 log2(5－m) ≠0，m 应知足的条件是5－ m>0 ，解得 1<m<5，5－ m≠1且 m≠4.1(2)若 z 是纯虚数，则其实部log2(m－1)＝ 0，虚部 log 2(5 －m) ≠0，m－ 1＝1m 应知足的条件是5－m>0，解得m＝2.5－m≠1。
人教课标版高中数学选修1-2《数系的扩充和复数的概念》提升训练
《数系的扩充和复数的概念》提升训练(时间：30分钟；分值:40分）一、选择题（每小题5分，共20分）1.(2018山东滕州一中期末，★★☆)以2i 22i +的实部为虚部的复数是（ ）A.22i -B.C.2i +2.(2018河北沧州期末，★★☆)若()()1,x y i x x y R +=-∈，则2x y +的值为（ ） A.12B.2C.0D.13.(2018山东菏泽巨野期末，★★☆)若复数()()211z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ）A.-lB.OC.lD.-1或14.(2018安徽蚌埠期末，★★☆)若)sin 211i θθ-++是纯虚数，则θ的值为（ ） A.()24k k Z ππ-∈ B.()24k k Z ππ+∈ C.()24k k Z ππ±∈ D.()24k k Z ππ+∈ 二、填空题（每小题5分，共10分）5.(2018甘肃天水期末，★★☆)()()221234,316z i z n m n m i =--=--+--，且12z z =，则实数_____,_____m n ==.6.(2018江西联考，★★☆)给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 不可能是复数；②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④-1没有平方根.则其中正确命题的个数为____.三、解答题（共10分）7.(10分）（2018河北沧州期末，★★☆)实数m 为何值时，复数()()22231m m z m m i m +=++--是：(1)实数？(2)虚数?(3)纯虚数？参考答案一、选择题1.答案：A解析：设所求复数为(),z a bi a b R =+∈,由题意知：复数2i 的虚部为2,()22212i +=+⨯-=-的实部为-2，则所求的复数22z i =-.故选A.2.答案：D解析：由复数相等的充要条件知，0,0,x y x y +=⎧⎨-=⎩解得01,0,2211,x y x x y y +=⎧∴+=∴==⎨=-⎩. 3.答案：A解析：由复数()()211z x x i =-+-为纯虚数得210,10,x x ⎧-=⎨-≠⎩解得 1.x =- 4.答案：B解析：由题意，得sin 210,10,θθ-=⎧⎪+≠ 解得(),4,2,.342,4k k Z k k Z k πθππθππθπ⎧=+⎪⎪∈∴=+∈⎨⎪≠±⎪⎩ 二、填空题5.答案：见解析解析：由12z z =得22331,46,n m n m ⎧-=--⎪⎨-=--⎪⎩解得2,2.m n =⎧⎨=±⎩ 6.答案：见解析解析：因为实数是复数，故①错误；②正确；因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错误；因为-1的平方根为i ±，故④错误.三、解答题7.答案：见解析解析：(1)要使z 是实数，m 需满足2230m m +-=，且10m -≠，解得3m =-.(2)要使z 是虚数,m 需满足2230m m +-≠,且10m -≠，解得1m ≠且3m ≠-.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足()201m m m +=-,且2230m m +-≠， 解得0m =或2m =-.。
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课后训练
1．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( )．
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．－1
2．如果(x ＋y )i ＝x －1，则实数x ，y 的值分别为( )．
A ．x ＝1，y ＝－1
B ．x ＝0，y ＝－1
C ．x ＝1，y ＝0
D ．x ＝0，y ＝0
3．已知复数z 1＝1＋3i 的实部与复数z 2＝－1－a i 的虚部相等，则a 等于( )．
A ．－3
B ．3
C ．－1
D ．1
4．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数i b a +
为纯虚数”的( )． A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．若θ＋1)＋(sin2θ－1)i 是实数，且θ∈[0,2π]，则θ的值是( )． A ．
π4 B ．3π4
C ．5π4
D ．π4或5π4 6．下列命题中：
①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；
②若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应．
其中假命题的是__________．
7．3i 2＋7i 的实部为__________，虚部为__________．
8．若y 为纯虚数，x 为实数，且满足1＋y ＝2x －1＋2i ，则x ＝__________，y ＝__________．
9．已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i ，当实数m 取什么值时，复数z 是(1)零；(2)
纯虚数．
10．若z 1＝m 2－(m 2－3m )i ，z 2＝(m 2－4m ＋3)i ＋10(m ∈R )，z 1＜z 2，求实数m 的值．
参考答案
1答案：B 解析：∵a 2－3a ＋2＝0且a －1≠0，∴a ＝2．
2答案：A 解析：由已知得0,10,x y x +=⎧⎨-=⎩所以1,1.
x y =⎧⎨=-⎩ 3答案：C 解析：已知1＋3i 的实部为1，－1－a i 的虚部为－a ，则a ＝－1．
4答案：B 解析：由i
b a +为纯虚数可知a ＝0，b ≠0，所以ab ＝0．而ab ＝
0a ＝0，且b ≠0．故选B ．
5答案：D 解析：由已知sin2θ－1＝0，
∴sin2θ＝1．
又∵θ[0,2π]，
∴2θ＝
π2或5π2
， ∴θ＝π4或5π4． 6答案：①② 解析：利用复数的概念做判断和分析．
①∵x ，y C ，x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的条件；假命题； ②若a ＝0则a i 不是纯虚数；假命题．
7答案：－3 7 解析：∵3i 2＋7i ＝－3＋7i ，
∴实部为－3，虚部为7．
8答案：1 2i 解析：设y ＝a i(a 是不为0的实数)，则1＋a i ＝2x －1＋2i ， ∴2112,x a -=⎧⎨=⎩，∴1,2.x a =⎧⎨=⎩
∴y ＝a i ＝2i ．
9答案：
解：(1)∵z 是零，∴2(1)0,230,m m m m -=⎧⎨+-=⎩
解得m ＝1．
(2)∵z 是纯虚数，∴2(1)0,
230,m m m m -=⎧⎨+-≠⎩解得m ＝0．
综上，当m ＝1时，z 是零；当m ＝0时，z 是纯虚数．
10答案：
解：∵z 1＜z 2，∴z 1，z 2均为实数．
∴2230,430,
m m m m ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得m ＝3． 又z 1＝m 2＝9＜z 2，故m ＝3符合题意．
∴m ＝3．。