空心变压器

I1
Z22U1
Z11 Z 22

Z
2 M

U1 Z11 Z M2 Y22

U1
Z11 (M )2Y22
I2
ZMU1
Z11 Z 22

Z
2 M

Z MY11U1 Z22 Z M2 Y11

R2
jMY11U1 jL2 RL jX L (M )2Y11
§10-3 空心变压器
什么是空心变压器？ 两个耦合线圈绕在一个由非铁磁性材料制成的心子上组成
空心变压器，该器件通过磁耦合实现了从一个电路向另一个
电路传输能量和信号的功能，是一种能量传输装置。
I1
jM
I2
+ R1
U_1
*
jL1
+
R2
*
U2
jL2
_
a)与电源相连的一边称为原边(初 级)，其线圈称为原线圈，R1 和 L1 RL 分别表示原线圈的电阻和电感。

Z11

(M )2Y22
原边输入阻抗
引入阻抗
I1
Z11
+
U_1
(M )2Y22
引入阻抗 (M )又2Y2称2 反映阻抗，它是副 边的回路阻抗 Z22 通过互感反映到原边 的等效阻抗。引入阻抗的性质与 Z22 相 反，即感性(容性)变为容性(感性)。引入 阻抗表明副边回路对原边回路有影响。 引入阻抗吸收的复功率就是副边回路吸 收的复功率。
2)阻抗变换性质
I1 n :1
I2
+ ** +
U1
U2
ZL
_
_
I1
+
U1
_
n2ZL
当理想变压器的副边接入阻抗 ZL 时，原边输入阻抗为：
U1 I1

nU2 1 / nI2

n
2
(
U2 I2
)

n2ZL
即 n2ZL 为副边折合到原边的等效阻抗。
ZL R
jL
1
jC
n2ZL n2R
I1
+
Us
–
R1
j M
R2
**
j L1
j L2
解：方法(1)：回路法。
R2=0.08，RL=42，
I2
314rad/s，
RL
Us 1150o V
求 : I1 , I2 .
方法(2)：利用空心变压1 R1 jL1 20 j1131
+
Us
(M )2Y22
–
Z22 R2 jL2 RL 42.08 j18.85
Z引
(M )2Y22

(M )2
Z 22
464(24.1o )

I1
Us Z11 Z引
110.5(64.9o )
A
I2
jMI1 0.351o
Z 22
j (n2L)
n2 1
jC
j
(
C n2
)
3)两种特殊情况
i1 n:1
i2
+ ** +
u1
u2
_
_
i1 n:1
i2
+ ** +
u1
u2
_
_
输出端短路，此时
u2 0 u1 nu2 0
输出端开路，此时
i2 0
i1


1 n
i2

0
3.理想变压器的受控源等效电路
u1 nu2
i1


1 n
i2
i1
+
u_1
1 n
i2
i2
++
1
_n
u1u_2
例10.4
Rs i1 n:1
i2
+
+* *+
us
u1
–
_
u2
RL
_
已知：电源内阻 Rs=1k， 负载电阻RL=10。为了使 RL上获得最大功率，求：理 想变压器的变比 n。
解：方法（1）戴维南等效电路
Rs i1 n : 1
i2
+
+* *+
空心变压器原边、副边的电流关系：
I2 I1


ZM Z22
即
I2
ZM Z 22
I1

jM
Z 22
I1
I1
jM
I2
+ R1
+
R2
RL
U_1
*
jL1
*
U2
jL2
jX L
_
I1
Z22U1
Z11 Z 22

Z
2 M

Z11
U1
(M )2Y22

U1 I1
A
§10-4 理想变压器
1.理想变压器
空心变压器如果同时满足下列 3 个条件即演变为理想变压器： 1)变压器本身无损耗； 2)耦合因数 k M / L1L2 1 ，即全耦合； 3)L1、L2和M均为无限大，但保持 L1 / L2 N1 不/ N变2 ， n n为匝数比。
I1
jM
I2
1000oV
例10.5 求U2
I1 1 1:10
+
100oV
+**
U1
–
–
I2
+
50 U2
–
求Req： 1 1:10
**
Req 102 1 100
戴维南等效电路：
100
+ Req 1000oV
–
+ 50 U2
–
U2

1000o 100 50

50
i2
+
+* *+
us
u1
–
_
u2
RL
_
Rs
+
us
–
n2 RL
已知：电源内阻 Rs=1k， 负载电阻RL=10。为了使 RL上获得最大功率，求：理 想变压器的变比 n。
解：方法（2）原边等效电路
要使n2RL上获得最大功率，则
n2 RL Rs
n2 10 1000
n 10
由于理想变压器不耗能，因此等效电阻上的功率即为负
其电路图形符号如下，并且其原边和副边的电压和电流总满足
下列关系：
i1
n :1 i2
+ ** +
u1
u2
_
_
u1 u2 N1 N2
或
u1

N1 N2
u2

nu2
N1i1 N 2i2 0
或
i1


N2 N1
i2


1 n
i2
注意上式是根据图中的参考方向和同名端列出的。式中 n = N1/N2，称为理想变压器的变比。理想变压器的特性方程为代 数关系，因此无记忆作用，理想变压器不是动态元件。

L1 n L2
亦即 u1 n u2
又 U1 jL1I1 jMI2
全耦合M L1L2

I1
U1
jL1

M L1
I2
U1
jL1

L2 L1
I2

1 n
I2
L1 ， L1 / L2 n
亦即
1 i1 n i2
综上可知理想变压器是一种特殊的无损耗全耦合变压器，

10 3
0oV
U2 U1 / n 10U1 33.330oV
例10.5 求U2
I1 1 1:10
+
100oV
+**
U1
–
–
I2
+
50 U2
–
方法（3）戴维南等效
I1 1 1:10
+
100oV
–
+ **
U1
–
I2
+
Uoc
–
求Uoc :
I2 0， I1 0 Uoc 10U1 10Us
Z22 R2 jL2 RL jX L
ZM jM
副边回路阻抗
列写上图 KVL 方程：
(R1 jL1 )I1 jI2 U1 jI1 (R2 jL2 RL jX L )I2 0 解上述方程组可得：
Z11I1 Z M I2 U1 Z M I1 Z22 I2 0
+ R1
+
R2
RL
U_1
*
jL1
*
U2
jL2
jX L
_
＝
I1
jM
I2 0
+
+ R1
R2
U_1
*
jL1
*
Uoc
jL2
+
_
Uoc jMI1 jMY11U1
Zeq I2
+
RL
_jMY11U1
jX L
副边等效电路的另一形式
I1
jM I2
R1
R2
+
**
jL1
us
u1
–
_
u2 uoc
_
uoc u2 u1 / n us / n
Req
+
uoc
RL
–
要使RL上获得最大功率，则
RL Req Rs / n2
10 1000/ n2
n 10
Rs i1 n:1
i2
+*
u1
*
+
u2
Req
_
_
Req Rs / n2
例10.4
Rs i1 n:1

33.330oV
变压器初级电压为4V，次级电压为0.125V，变比为16。
载电阻的功率。
方法（3）列写电路KVL方程利用方程组找出功率表达式并求解。
例10.5 求U2
I1 1 1:10
+
100oV
+**
U1
–
–
I2
+
50 U2
–
解：方法（1）列方程
1 I1 U1 100o
50 I2 U2 0
U1

1 10
U2
I1 10I2
2.理想变压器的性质 1) 功率性质：
理想变压器的方程为
u1 nu2
i1


1 n
i2
i1
n:1
i2
+ **
+
u1
u2
_
_
理想变压器吸收的瞬时功率为
1 p u1i1 u2i2 nu2 ( n i2 ) u2i2 0
由此可以看出，理想变压器既不耗能，也不储能，它将 能量由原边全部传输到副边输出，在传输过程中，仅仅将电 压、电流按变比作数值变换。即它在电路中只起传递信号和 能量的作用。
根据 U1 [Z11 (M )2Y22 ]I1 ，可得原边等效电路如左图。
I1
jM
I2
+ R1
+
R2
RL
U_1
*
jL1
*
U2
jL2
jX L
_
I2 (M )2Y11
+ j_MY11U1 Z 22
虽然原边和副边之间没有电的联系，但在互感的作用下， 副边有一互感电压，它将使闭合的副边回路产生电流，反过来 这个电流又影响到原边电压。
I2
ZMU1
Z11 Z 22

Z
2 M

R2

jL2

jMY11U1
RL jX L
(M )2Y11
jMY11U1 [R2 jL2 RL jX L (M )2Y11]I2
根据上式可得空心变压器的副边等效电路如右上图。
I1
jM
I2
+
R1
U1
*
jL1
_
+
R2
*
U2
jL2
_
无损 R1 R2 0
全耦合M L1L2
U1 jL1I1 jMI2 jL1I1 j L1L2 I2
U2 jMI1 jL2 I2 j L1L2 I1 jL2I2

U&1 U&2
jL2
U_
Zeq
Zeq R2 jL2 (M)2Y11
例10.2 已知 Us 20V ，原边等效电路的引入阻抗为 10 j10，
求：Zx ；并求负载获得的有功功率。
10
j2
I2
10+j 10
+
Us
–
**
j 10
j 10 Zx
+
Us
(M )2Y22
–
解：依题意，有
jX L b)与负载相连的一边称为副边(次 级)，其线圈称为副线圈，R2 和 L2 分别表示副线圈的电阻和电感。
c)M为两线圈的互感系数,RL 和 XL 分别表示负载的电阻和电抗。 d)注意图中参考方向的规定。
I1
jM
I2
+ R1
+
R2
RL
U_1
*
jL1
*
U2
jL2
jX L
_
Z11 R1 jL1 原边回路阻抗
解得
U2 33.330oV
例10.5 求U2
I1 1 1:10
+
100oV
+**
U1
–
–
I2
+
50 U2
–
方法（2）阻抗变换
I1 1
n 1/ 10
+
100oV
–
+ U1 ZL
–
Z L

( 1 )2 10

50

1 2

U1

100o 1 1/ 2

1 2
Z引

(M )2Y22

(M )2
Z 22

Zx
4
j10 10
j10
Zx 0.2 j9.8
此时负载获得的功率：Px

P引

(
20 10 10
)2
10

10W
实际上是最佳匹配： Z引 Z1*1 ,
P引

U
2 s
4 R1
10W
例10.3 已知 L1=3.6H，L2=0.06H，M=0.465H，R1=20，