复数加法的几何意义.

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复数运算的几何意义解读

复数是由实数和虚数构成的数学概念，具有实部和虚部两个部分。在复平面中，复数可以表示为一个有序数对(a,b)，其中a为实部，b为虚部。复数运算的几何意义可以通过复平面的几何解释来理解。

首先，复数可以用来表示平面上的点。复平面以实轴为x轴，以虚轴为y轴，每个复数可以对应平面上的一个点。实部表示该点在x轴上的位置，虚部表示该点在y轴上的位置。例如，复数z=3+4i表示平面上的一个点，该点在x轴上的位置是3，在y轴上的位置是4

加法运算是复数运算中的一种基本操作。两个复数相加得到的结果是一个新的复数，其实部等于两个复数的实部之和，虚部等于两个复数的虚部之和。在几何上，两个复数的加法可以理解为将两个平面上的点进行向量相加，得到一个新的点。

减法运算也是复数运算中的一种基本操作。两个复数相减得到的结果是一个新的复数，其实部等于第一个复数的实部减去第二个复数的实部，虚部等于第一个复数的虚部减去第二个复数的虚部。在几何上，两个复数的减法可以理解为将第二个复数对应的点作为向量，进行与第一个复数对应的点的相反方向的向量相加。

乘法运算是复数运算中的另一种基本操作。两个复数相乘得到的结果是一个新的复数，其实部等于两个复数的实部的乘积减去两个复数的虚部的乘积，虚部等于第一个复数的实部与第二个复数的虚部之积加上第一个复数的虚部与第二个复数的实部之积。在几何上，两个复数的乘法可以理解为将两个平面上的点进行相乘得到一个新的点。

除法运算是复数运算中的一种特殊操作。两个复数相除得到的结果是一个新的复数，其实部等于两个复数相乘的实部之和除以两个复数相乘的模的平方，虚部等于两个复数相乘的虚部之差除以两个复数相乘的模的平方。在几何上，两个复数的除法可以理解为将第二个复数对应的点作为向量，进行与第一个复数对应的点的相反方向的向量相加。

复数的加减法几何意义2

3 15
则平行四边形OABC是矩形;若z2≠0，则（z1/z2)2<0
C
z2 z2-z1
z1 A
z1+z2
B
4、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 则平行四边形OABC是正方形
三、复数乘法的几何意义：
两个复数Z1与Z2相乘时，可以先画出分别与之相对应的向量OP1、OP2，然后把向量OP1按逆时针方向旋转一个角，再把它的模变为原来的r2倍，所得的向量就表示积。
y
OZ
r1r2
OZ2 r2
r1
OZ1
O
1
1、z2=z1i 的几何意义
2、z2 ki(k R, k 0) z1
的几何意义 x
1.设
3
2
, 把复数z1
2(cos i sin )所对应的向量
OA按顺时针方向旋转5 后得向量OB,则向量OB所对应的
4
复数z2的辐角主值为（）
(A) 3
4
(B) 5
9.设复平面内ABC的三个顶点依次分别对应复数为z1, z2, z3,
已知|
z1
|
3,
z2
z1,
z3
1 z1
, 试求ABC的面积的最大值.
10.设O为复平面的原点, z1, z2 C且 | z1 || z2 | 1, arg z1 arg z2 , z1, z2对应的点分别为A, B, AOB的重心对应的复数为1 1 i,求tg( )的值.

2.1 复数的加、减运算及其几何意义

课典文型精例讲题
例2:根据复数及其运算的几何意义，求复平面 1.（重内点的）两点Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)之间的距离. 解: 因为复平面内的点Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)对应的
复数分别为z1=x1+y1i,z2=x2+y2i，所以点 Z1,Z2之间的距离为 Z1Z2 Z1Z2 z2 z1 | ( x2 y2i) ( x1 y1i) |
| ( x2 x1 ) ( y2 y1 )i |
x2 x1 2 ( y2 y1 )2 .
课典文型精例讲题
总结:任何向量所对应的复数，总是这个向量 1.（重点的）终点所对应的复数减去始点所对应的
复数所得的差，即 AB 所表示的复数是 zB zA ,而BA 所表示的复数是 zA - zB ,不可把被减数与减数搞错.
课典文型精例讲题
总结:尽管 AB 的位置可以不同，只要它们的 1.（重点终）点与始点所对应的复数的差相同，那
么向量 AB 所对应的复数就是唯一的，因此我们将复平面上的向量称之为自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与其位置无关.
本课小结
复数的加法
复数的加法法则复数加法的运算律复数加法的几何意义
课文精讲
➢ 复数的减法 1.（重点）
1.复数的减法法则
我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R) 叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).

《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计

一、教学目标

1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的加法和减法运算方法。

2. 让学生了解复数几何意义的内涵，能够将复数的加法和减法运算与几何图形相结合。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，提高学生解决实际问题的能力。

二、教学内容

1. 复数的概念及表示方法。

2. 复数的加法运算：同号相加、异号相加。

3. 复数的减法运算：减去一个复数等于加上它的相反数。

4. 复数几何意义的介绍：复平面、复数轴、象限。

5. 复数加法和减法运算在几何意义上的应用。

三、教学方法

1. 采用讲解法，讲解复数的概念、加法和减法运算方法及其几何意义。

2. 利用多媒体课件，展示复数的几何意义，增强学生的直观感受。

3. 运用例题，引导学生运用复数的加法和减法运算解决实际问题。

4. 组织小组讨论，让学生分享自己的理解和心得。

四、教学步骤

1. 导入新课，复习复数的基本概念。

2. 讲解复数的加法运算，引导学生掌握加法法则。

3. 讲解复数的减法运算，引导学生掌握减法法则。

4. 介绍复数几何意义，引导学生理解复数与几何图形的关系。

5. 运用例题，让学生体会复数加法和减法运算在实际问题中的应用。

五、课后作业

1. 复习本节课所学的复数加法和减法运算方法及其几何意义。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 思考如何将复数的加法和减法运算应用到实际问题中。

4. 预习下一节课内容，为学习复数的乘法和除法运算做准备。

六、教学评估

1. 课堂讲解过程中，关注学生的学习反应，及时调整教学节奏和难度。

复数的几何意义与运算规则

复数起源于解方程中无实数解的情况，它扩展了实数域，使得原本

不可能的运算变得有解。复数的几何意义和运算规则是理解和应用复

数的基础。本文将从几何角度解释复数，介绍复数的四则运算规则，

并提供一些实例来进一步说明。

一、复数的几何意义

复数可以表示为一个实数和一个虚数的和，其中实数部分代表复数

在实轴上的位置，虚数部分代表复数在虚轴上的位置。我们可以将复

数表示为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部。

从几何意义上看，复数可以在平面上表示为一个有序数对(a, b)，其

中a为复数的实部，b为复数的虚部，平面上的每个点都表示一个复数。实部和虚部决定了复数在平面上的位置。

二、复数的运算规则

1. 加法

复数的加法满足交换律和结合律。当两个复数相加时，实部与实部

相加，虚部与虚部相加，得到新的复数。

2. 减法

复数的减法可以通过加法和乘法来计算。减去一个复数相当于加上

这个复数的相反数。

3. 乘法

复数的乘法满足交换律和结合律。两个复数相乘时，实部和虚部分别相乘后相加，得到新的复数。

4. 除法

复数的除法可以通过乘法和共轭复数来计算。除以一个复数相当于乘以这个复数的倒数。

三、实例说明

例子1：

假设有两个复数z1=2+3i和z2=1-2i，求它们的和、差、积和商。

解：

两个复数的和：z1+z2=2+3i+1-2i=3+i

两个复数的差：z1-z2=2+3i-(1-2i)=1+5i

两个复数的积：z1*z2=(2+3i)*(1-2i)=8-1i

两个复数的商：z1/z2=(2+3i)/(1-2i)=0.8+1.6i

复数的基本运算及几何意义

复数的基本运算及几何意义复数是由实部和虚部构成的数，可以用公式表示为 z = a + bi，其中

a 是实部，

b 是虚部，i 是虚数单位。

一、复数的四则运算

1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加即可。

例如：(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i

2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减即可。

例如：(2 + 3i) - (4 + 5i) = -2 - 2i

3. 复数的乘法：根据分配律展开运算，注意 i 的平方为 -1。

例如：(2 + 3i) * (4 + 5i) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i

4. 复数的除法：将分子乘以分母共轭复数，并进行合并化简。

例如：(2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) * (4 - 5i) / (4^2 + 5^2) = (8 + 7i) / 41

二、复数在平面几何中的意义

在平面直角坐标系中，复数可以看作是复平面上的点，实部对应横轴，虚部对应纵轴。

1. 复数的模：

复数 z 的模表示为 |z|，是复平面上由原点到对应点的距离。

例如：z = 3 + 4i，则|z| = √(3^2 + 4^2) = 5

2. 复数的辐角：

复数 z 的辐角表示为 arg(z)，是复平面上由正实轴到对应位置向量

的角度。

例如：z = 2 + 2i，则arg(z) = π/4

3. 欧拉公式：

欧拉公式表示为e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位，θ 是角度。

该公式将三角函数与指数函数联系了起来，是复数运算中的重要工具。

复数的几何意义是什么

高中数学会学到复数，有关复数的几何意义大家知道吗?下面是由小编小编为大家整理的“复数的几何意义是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读。

1、复数z=a+bi 与复平面内的点(a,b)一一对应

2、复数z=a+bi 与向量OZ一一对应,其中Z点坐标为(a,b)

1、复数的运算：复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。复数除法定义：满足的复数叫复数a+bi除以复数c+di的商。运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。

2、我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部等于零时，常称z为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

1、数学上的复数

(1)复数的定义

数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行.比如判别式小于0的一元二次方程仍无解,因此将数集再次扩充,达到复数范围.

定义：形如z=a+bi的数称为复数(complex number),其中规定i为虚数单位,且i^2=i*i=-1(a,b 是任意实数)

第十五课复数的加减运算及其几何意义

→1，OZ →2的终点，并指向被减数的向量Z → 接向量OZ 2Z 1 所对应的复数.
题型三、复数加、减法的几何意义的综合应用
例 3、若|z1|＝|z2|＝1，且|z1＋z2|＝ 2，求|z1－z2|.
→ → 解:|z1＋z2|和|z1－z2|是以OZ1和OZ2 为两邻边的平行四边形的两条对
一、复数的加、减运算
二、复数加、减运算的几何意义 1．复数加法的几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边
形法则(或三角形法则)．已知复数 z1＝x1＋y1i， z2＝x2＋y2i 及其对应的
向量OZ1＝(x1，y1)，OZ2＝(x2，y2)．以OZ1和OZ2为邻边作平行四边形
→
→
→
→
变式训练 1 计算： (1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)．
解：(1)原式＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)原式＝(－1＋1)＋( 2－ 2)i＝0.
题型二、复数加、减法运算的几何意义
例 2、已知复平面内的平行四边形 OABC 的三个
顶点 O，A，C 对应的复数分别为 0,3＋2i，－2 → → ＋4i，试求：①AO对应的复数；②CA对应的复数；③B 点对应的复数．
→ ＝－OA →， → 对应的复数为－(3＋2i)，解： ①AO 则AO 即－3－2i. → ＝ OA → －OC → ，所以 CA → 对应的复数为 (3 ②CA ＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. → ＝OA → ＋ AB → ＝OA → ＋ OC → ，所以OB → 对应 ③ OB 的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即 B 点对应的复数为 1＋6i.

复数的四则运算及其几何意义分析总结

乘法：两个复数的积是它们的实部和虚部分别相乘，然后相加
除法：两个复数的商是它们的实部和虚部分别相除，然后相减
复数表示平面上的点：复数z=a+bi可以表示平面上的点(a,b) 复数表示旋转：复数z=a+bi可以表示平面上的旋转，其中a表示旋转角度，b表示旋转方向复数表示缩放：复数z=a+bi可以表示平面上的缩放，其中a表示缩放比例，b表示缩放方向复数表示平移：复数z=a+bi可以表示平面上的平移，其中a表示平移距离，b表示平移方向
复数乘法的几何意义：复数乘法的几何意义是旋转和平移。
复数乘法的应用：复数乘法在工程、物理、计算机科学等领域有广泛应用。
• 复数除法：将两个复数相除，得到另一个复数
• 除法公式：a/b=c/d，其中a、b、c、d为复数
• 除法运算的几何意义：将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将

复数加、减法的几何意义

考点剖析：本考点包括复数加、减法的几何意义，复数和复平面的关系，利用数形结合解决有关问题。

命题方向：

1.利用复数与复平面内的点是一一对应关系，利用点所在的象限解题是近几年高考的热点．

2.复数与从原点出发的向量是一一对应的关系，根据向量的几何意义，利用复数加法和减法的几何意义解题．

3.题型以选择题和填空题为主，属于基础题.

规律总结：

1. 复数加、减法的几何意义规律总结

一个平面

建立了直角坐标系表示来表示复数的平面叫做复平面.

两个对应

(1)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与复平面内的点Z(a ，b)是一一对应的关系．

(2)换复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与平面向量OZ 是一一对应的关系．

两个法则

复数加法的几何意义：复数的加法满足平行四边形法则或三角形法则；复数减法的几何意义：复数减法满足三角形法则.

知识归纳

复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点表示纯虚数.

复数的模：复数所对应的向量的模即为复数的模.

复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的模表示为z =复数加法的几何意义：设12,z a bi z c di =+=+，(a ，b ，c ，d ∈R)，则12z z +可以表示为12OZ OZ OZ =+.

复数减法的几何意义：设12,z a bi z c di =+=+，(a ，b ，c ，d ∈R)，则12z z -可以表示为2112Z Z OZ OZ =-.

复数运算的几何意义解读

复数是由实数和虚数两部分组成的数，它可用于代表平面上的点或向量，因此具有一定的几何意义。在复数运算中，加法和乘法可以在几何上

进行解释。

首先，我们来讨论复数的几何表示。对于一个复数 z=a+ib，其中 a

是实部，b 是虚部，可以将其看作平面上的一个点 P(x,y)，其中 x 为 a 的值，y 为 b 的值。这个点位于一个坐标系中的复平面上，实轴表示实部，虚轴表示虚部。因此，复数 z 在几何上可以理解为复平面上的点 P。

1.加法：

复数的加法可以表示为 (a+ib) + (c+id) = ((a+c) + i(b+d))。在

几何上，这个运算可以理解为将两个复数的点在复平面上相应方向上的平移，并将这两个复数的实部和虚部分别相加。可以看出，加法运算实际上

是将两个向量相加，得到一个新的向量。这个向量从第一个向量指向第二

个向量的尖端。换句话说，复数加法相当于将两个复数所代表的向量进行

平移。

2.乘法：

复数的乘法可以表示为 (a+ib) * (c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)。

在几何上，这个运算可以理解为将一个复数的点绕原点旋转，并将两个复

数的实部和虚部形成一个新的复数。乘法运算实际上是将两个向量相乘，

并按照一定的规则得到新的向量。具体而言，复数的模长是两个向量的模

长的乘积，而复数的辐角是两个向量的辐角的和。因此，复数乘法可以理

解为将一个复数代表的向量绕原点旋转一定角度，并按照一定比例进行缩放。

除此之外，复数的运算还具有以下几何意义：

3.模长：

一个复数的模长可以表示为，z，=√(a^2+b^2)。在几何上，复数的

复数运算的几何意义

复数是由实数和虚数构成的数学概念，具有实部和虚部。实部表示在

实数轴上的位置，而虚部表示在虚数轴上的位置。复数可以用来描述平面

上的点，其中实部表示点在x轴上的位置，虚部表示点在y轴上的位置。

1.平移：当我们将一个复数加上另一个复数时，实际上进行了平移操作。将一个复数加到另一个复数上，相当于将前者的位置平移至后者的位置。例如，将复数1+2i加到复数3+4i上，就相当于将1+2i的点平移到

3+4i的点上。

2. 旋转：复数的乘法运算可以用来实现平面上的旋转。当我们将一

个复数乘以另一个复数时，实际上进行了旋转操作。乘法的模长表示了放

大或缩小的比例，乘法的幅角表示了旋转的角度。例如，将复数1+2i乘

以复数cos(θ)+sin(θ)i，相当于将1+2i的点绕原点旋转θ的角度。

3.缩放：复数的乘法运算还可以用来实现平面上的缩放。当我们将一

个复数乘以实数k时，实际上进行了缩放操作。乘法的实部和虚部同乘以k，相当于将复数所表示的点的位置沿实数轴和虚数轴同时拉伸或压缩。

例如，将复数1+2i乘以2，相当于将1+2i的点沿两个轴分别拉伸2倍。

4.对称：复数的共轭可以实现在平面上进行对称操作。一个复数的共

轭是将实部保持不变，虚部取相反数的操作。当我们将一个复数取共轭时，实际上进行了平面上的对称操作。例如，将复数1+2i取共轭，相当于将

1+2i的点关于实数轴进行对称。

综上所述，复数运算的几何意义主要体现在平移、旋转、缩放和对称

等操作上。复数的加法和减法可以实现平移操作，乘法可以实现旋转和缩

放操作，而复数的共轭可以实现对称操作。通过这些操作，我们可以用复

13.3复数的加减法及其几何意义(大同)

X
-2
-3
-4
-5
思考
|z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
Z1(a,b)
Z
o
Z2(c,d)
x
应用举例
例2、已知复数z对应点Z,说明下列各式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)| 点Z到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)| 点Z到点(－1, －2)的距离
(3)|z－1| (4)|z+2i|
知识回顾
1、复数z的模 | z | a2 b2
y z=a+bi
Z (a,b)
O
x
2、| z | r 复数z对应的点Z的轨迹是以原点为圆心，以r为半径的圆。
讲解新课
实数运算法则：交换律 abba ab ba 结合律 (a b) c a (b c) (ab)c a(bc) 分配律 a(b c) ab ac
（1）减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
（2）复数减法为加法的逆运算
讲解新课
2.复数加法运算的几何意义?
z1+ z2对应的向量为OZ1+OZ2
符合向量加法的平行四边形
法则.
y
Z1(a,b)
Z(a+c,b+d)
Z2(c,d)

复数的加减法几何意义2

Z1
x
O
1、两个复数的差z2-z1与连结两个向量终点并指向被减数的向量对应。 2、复平面上两点间的距离|Z1Z2|=|z2-z1|
1、2(|z1|2+|z2|2)=| z1+ z2|2+ | z1- z2|2
2、|z1|= |z2| 则平行四边形OABC是菱形
o 3、 | z1+ z2|= | z1- z2|
复数的几何意义及应用
一、加法的几何意义： Z1+Z2 y
Z2
Z1
o
x
以复数z1与z2所对应的向量为一组邻边画平行四边形，那么与这个平行四边形的对角线所表示的向量OZ即为两复数Z1+Z2的和。
y Z2
Z1+Z2
Z1
o
x
C B
E D
A
AB+BC+CD+DE=AE
二、复数减法的几何意义：
y
Z2
Z1Z2
3 15
则平行四边形OABC是矩形;若z2≠0，则（z1/z2)2<0
C
z2 z2-z1
z1 A
z1+z2
B
4、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 则平行四边形OABC是正方形
三、复数乘法的几何意义：
两个复数Z1与Z2相乘时，可以先画出分别与之相对应的向量OP1、OP2，然后把向量OP1按逆时针方向旋转一个角，再把它的模变为原来的r2倍，所得的向量就表示积。

复数的加、减运算及其几何意义

作业
教科书80页习题7.2 复习巩固1，2
谢谢！
知识四：复数减法的几何意义
思考五类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？
知识四：复数减法的几何意义
复数z2－z1
向量 Z1Z2
复数的减法可以按照向量的减法来进行.
y
Z2(c,d)
z2
z2-z1
z1 Z1(a,b)
O
x
例题1：计算（5-6i）+（-2-i）-（3+4i）. 解：（5-6i）+（-2-i）-（3+4i）
z1+（z2+z3）=（a1+b1i）+（a2+b2i）+（a3+b3i）
=（a1+b1i）+ （a2+a3）+（b2+b3）i
= a1+（a2+a3） + b1+（b2+b3） i
又（a1+a2）+a3 = a1+（a2+a3），（b1+b2）+b3 =b1+（b2+b3）所以（z1+z2）+z3= z1+（z2+z3）.（满足结合律）
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复数的加法可以按照向量的加法来进行.