(完整word版)初中几何三角形五心及定理性质
三角形的五心整理
中英文学校自主招生平面几何讲义（三角形的五心）一、三角形的重心1、重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
证明一三角形ABC，E、F是AB，AC的中点。
EC、FB交于G。
过E作EH平行BF。
AE=BE推出AH=HF=1/2AFAF=CF推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明二证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知Oh1=1/3Ah 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AO B)3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
(等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^ 2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y 2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论。
三角形五心性质概念整理超全资料全
重心1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2=3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32=3[x-1/3*(x1+x2+x3)]2+3[y-1/3*(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2最终得出结论。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/35、三角形到三边距离之积最大的点。
6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。
7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）心设△ABC的切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形的心到三边的距离相等，都等于切圆半径r．2、∠BIC=90°+∠BAC/2．3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．6、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和切圆的半径，O和I分别为其外心和心，则OI2=R2-2Rr．7、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则切圆半径r=2S/(a+b+c)8、双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的心在实轴的射影为对应支的顶点。
三角形的五心有许多重要性质
三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
(完整版)初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图1 图2三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
推论：1. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]
![三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]](https://img.taocdn.com/s3/m/bff5d6ed6037ee06eff9aef8941ea76e59fa4a74.png)
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]
三角形的重心：是指三角形内任意一点，它到三条边上三个顶点连线的质心，即三角形的外心和所有顶点的重心。
外心：指三角形的外接圆心，也就是三条边的质心，即三角形的重心。
垂心：指三角形的垂心，也就是三角形所有内角的质心，即三角形的重心。
内心：指三角形内角平分线的交点，也就是三角形各内角的质心，即三角形的重心。
旁心：指三角形的垂直平分线的交点，也就是三角形各边的质心，即三角形的重心。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
之二胡藕藤创作一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心,外心,垂心,心坎和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,心坎定理,旁心定理的总称.一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证实,十分简略.（重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量平均的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名）重心的性质：1.重心到极点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2.重心和三角形3个极点构成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3.重心到三角形3个极点距离的平方和最小.4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是极点坐标的算术平均,即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3,（Y1+Y2+Y3)/3.二.三角形外心定理三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心.外心的性质：1.三角形的三条边的垂直等分线交于一点,该点即为该三角形外心.2.若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.3.当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合.4.盘算外心的坐标应先盘算下列暂时变量：d1,d2,d3分离是三角形三个极点连向别的两个极点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c ).5.外心到三极点的距离相等三.三角形垂心定理三角形的三条高（地点直线）交于一点,该点叫做三角形的垂心.垂心的性质：1.三角形三个极点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆.2.三角形外心O.重心G和垂心H三点共线,且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3.垂心到三角形一极点距离为此三角形外心到此极点对边距离的2倍.4.垂心分每条高线的两部分乘积相等.定理证实已知：ΔABC中,AD.BE是两条高,AD.BE交于点O,衔接CO并延伸交AB于点F ,求证：CF⊥AB证实：衔接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A.B.D.E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB是以,垂心定理成立！四.三角形心坎定理三角形内切圆的圆心,叫做三角形的心坎.心坎的性质：1.三角形的三条内角等分线交于一点.该点即为三角形的心坎.2.直角三角形的心坎到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.3.P为ΔABC地点平面上随意率性一点,点I是ΔABC心坎的充要前提是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4.O为三角形的心坎,A.B.C分离为三角形的三个极点,延伸AO 交BC边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC五.三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他双方的延伸线相切的圆）的圆心,叫做三角形的旁心.旁心的性质：1.三角形一内角等分线和别的两极点处的外角等分线交于一点,该点即为三角形的旁心.2.每个三角形都有三个旁心.3.旁心到三边的距离相等.如图,点M就是△ABC的一个旁心.三角形随意率性两角的外角等分线和第三个角的内角等分线的交点.一个三角形有三个旁心,并且必定在三角形外.附：三角形的中间：只有正三角形才有中间,这时重心,心坎,外心,垂心,四心合一.有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心,重外垂内和旁心, 五心性质很主要,卖力控制莫记混．重心三条中线定订交,交点地位真奇巧, 交点定名为“重心”,重心性质要清楚明了,重心朋分中线段,数段之比听分晓; 长短之比二比一,灵巧应用控制好．外心三角形有六元素,三个内角有三边．作三边的中垂线,三线订交共一点．此点界说为外心,用它可作外接圆．心坎外心莫记混,内切外接是症结．垂心三角形上作三高,三高必于垂心交．高线朋分三角形,消失直角三对整,直角三角形有十二,构成六对类似形, 四点共圆图中有,仔细剖析可找清.内心三角对应三极点,角角都有等分线, 三线订交定共点,叫做“心坎”有根源;点至三边均等距,可作三角形内切圆, 此圆圆心称“心坎”,如斯界说应当然．。
(完整word版)三角形的五心问题
自主招生讲座—平面几何5三角形的五心问题一．重心:中线交点 1。
:2:1AG GD =2。
2222111224AD AB AC BC =+-3.13GBC ABC S S ∆∆=4。
(1）2222222222333()3BC GA CA GB AB GC AB AC BC +=+=+=++(2)2222221()3GA GB GC AB AC BC ++=++(3) 222GA GB GC ++最小.二．外心：三边中垂线交点，外接圆圆心。
如图,OE BC ⊥交BC 于D . 1.OA OB OC R ===2.2BOC A ∠=∠(非钝角三角形) 2(180)BOC A ∠=-∠（钝角三角形) 3。
,BD DC BE EC ==4。
4ABC abcS R∆=三．内心：角平分线交点，内切圆圆心。
内心）的延长线交外接设ABC ∆的内切圆O 切边AB 于点P ，AI （I 为圆于D ，内切圆半径为r ，则1.1902BIC A ∠=+∠2.1cot ()22A AP r b c a ==+-3.DB DC DI ==4。
()2ABC rS a b c ∆=++四．垂心：高线的交点 设,,O G H 分别是ABC ∆的外心、重心和垂心,OD BC ⊥于D ,AH 的延长线交外接圆于1H ，则 1.2AH OD =2。
H 与1H 关于BC 成轴对称。
3。
BCH 与ABC 的半径相同。
4.,,ABH CBO BCO ACH BAH CAO ∠=∠∠=∠∠=∠5。
旁心:三角形任意两角的外角平分线和第三个内角的角平分线相交于一点，这个交点即为三角形的旁心。
设在ABC ∆中，A ∠内的旁切圆1I （半径为1r ）与AB 的延长线切于1P ，则1.11902BI C A ∠=-∠2。
111cot ()22A AP r a b c ==++ 3.112AI B C ∠=∠4.11()2ABC S r b c a ∆=+-例1:如图，设I 是ABC ∆的内心，,M N 分别是边,AB AC 上的点,且使得,ABI NIC ACI MIB ∠=∠∠=∠。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理).doc
三角形五心定理(三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称Z为三角形的五心)三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理, 旁心定理的总称。
、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
(重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点, 重心因而得名)重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离Z比为2 ： 1o2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为((X1 +X2+X3)/3, (Y1 +Y2+Y3)/3o二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：仁三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若0是ZXABC的外心，则ZB0C=2ZA ( ZA为锐角或宜角)或Z BOC=360°-2ZA (ZA 为钝角)。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时, 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1, d2, d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘od=d2d3, c2=d1d3, c3=d1d2； c=c1+c2+c3o 重心坐标:((c2+c3)/2c, (c1+c3)/2c, (c1+c2)/2c )o5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高(所在直线)交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1＞三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且0G : GH=1 : 2。
三角形五心定理
三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
一、三角形重心定理（中线的交点）重心原是物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
（证明）2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
（证明）3、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理（垂直平分线的交点）三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
外心到三顶点的距离相等2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
三、三角形垂心定理（高的交点）三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
（证明，有何作用）2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
三角形的五“心”及其性质
三角形的五“心”及其性质
三角形的五心是指三角形内部的五个特殊点，包括重心、外心、内心、垂心和旁心。
1. 重心：三角形三个顶点与其对边的中点连接所交于一点，这个点被
称为重心。
重心到三角形三边的距离相等，重心将三角形划分为三个
面积相等的小三角形。
2. 外心：三角形三个顶点的垂直平分线相交于一点，这个点被称为外心。
外心是三角形外接圆圆心，即三角形三个顶点与外心的连线的长
度相等。
3. 内心：三角形三个顶点的角平分线相交于一点，这个点被称为内心。
内心是三角形内切圆圆心，即三角形三条边与内心的连线的垂直距离
相等。
4. 垂心：三角形三个顶点的高的延长线相交于一点，这个点被称为垂心。
垂心是三角形三条高的交点，即垂心到三角形三个顶点所在的直
线距离相等。
5. 旁心：三角形的旁心有三个，分别对应三条边。
旁心是指三角形的
外切圆圆心，即三角形的一条边外边的一条角的角平分线与另外两条
边延长线的交点。
这些五心有一些重要的性质：
- 重心是三角形的重要重心之一，它将三角形分成三个面积相等的小三
角形。
- 外心是三角形外接圆圆心，外接圆的直径是三角形的边长，外心到三
个顶点的距离相等。
- 内心是三角形内切圆圆心，内接圆与三个边相切，内心到三个边的距
离相等。
- 垂心是三角形三条高的交点，垂心到三个顶点所在的直线距离相等。
- 旁心是三角形外切圆圆心，外切圆与三条边相切，旁心到相对应的边
的距离相等。
三角形的“五心”及其性质
三角形的“五心”及其性质
三角形的重心
三角形的重心是三角形三边中线交点。
其性质很多，下面仅给出六条性质：
三角形的垂心
三角形的垂心是三角形三条高所在直线交点。
如下图，垂心可以在三角形内部，直角顶点或外部。
垂心性质也有很多，给出以下三条
三角形内心
三角形的内心是三角形三角平分线交点，是三角形内切圆的圆心。
三角形的外心
三角形的外心是三边中垂线交点，垂心是三角形外接圆的圆心。
三角形的旁心
三角形的旁心是三角形一内角平分线和两外角平分线交点，旁心是三角形旁切圆圆心。
三角形五心定律
三角形五心定律及性质一、重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
二、外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等三、垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB 于点F ，求证：CF⊥AB证明：连接DE∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE又∵∠ODC=∠OEC=90度∴O、D、C、E四点共圆∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此，垂心定理成立！四、内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
三角形五心性质概念整理(超全).docx
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2: 1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
证明方法：设三角形三个顶点为(xι,yι),(x 2,y2),(x 3,y3)平面上任意一点为(X，y)则该点到三顶点距离平方和为：(X ι-x) 2+(y 仁y) 2+(x2-x) 2+(y 2-y) 2+(χ3-x) 2+(y 3-y) 2=3χ2-2x(x 1+x2+χ3)+3y 2-2y(y 1 +y2+y3)+x 12+x2+χ32+y12+y22+y32=3[x-1∕3*(x 1+X2+X3)] 2+3[y-1∕3*(y 1+y2+y3)] 2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1∕3(x 1+X2+X3) 2-1∕3(y 1+y2+y3)2 显然当X=(X 1+x2+x3)∕3,y=(y 1+y2+y3)∕3 (重心坐标)时上式取得最小值X12+x22+x32+y12+y22+y32-1∕3(x 1+X2+X3) 2-1∕3(y 1+y2+y3)2最终得出结论。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X 1+%+X)∕3,(Y 1+Y+Y3)∕3]；空间直角坐标系——横坐标：(X1+%+X)∕3 ,纵坐标：(Y 1+Y+Y0/3 ,纵坐标：(乙+乙+乙)∕35、三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在厶ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=O (向量)，贝S M点为△ ABC的重心，反之也成立。
7、设厶ABC重心为G点，所在平面有一点O,则向量OG=1∕3(向量OA+向量OB+向量OC设厶ABC的内切圆为。
l(r) , ∠ A ∠ B∠C的对边分别为a、b、c, p=(a+b+c)∕2 .1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.2、 / BIC=90° +∠ BAC/2.3、在Rt Δ ABC中,∠ A=90o ,三角形内切圆切BC于D,则S A ABC=B×CD4、点O是平面ABC上任意一点，点I是厶ABC内心的充要条件是:向量Ol=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]∕(a+b+c)5、在厶ABC中，若三个顶点分别是A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , C(x3, y3), 那么△ABC内心I的坐标是：(ax1∕(a+b+c)+bx2∕(a+b+c)+cx3∕(a+b+c),ay1∕(a+b+c)+by2∕(a+b+c)+cy3∕(a+b+c))6、(欧拉定理)△ ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，贝S OI2=R2-2Rr.7、A ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则内切圆半径r=2S∕(a+b+c)8 双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点9、A ABC中，内切圆分别与AB, BC CA相切于P, QR贝S AP=AR=(b+c-a)∕2 , BP =BQ =(a+c-b)∕2,CR =CQ =(b+a-c)∕2,r=[(b+c-a)ta n( A∕2)]∕2O10、三角形内角平分线定理：△ ABC中，I为内心，/ BAC、/ ABC ∠ ACB的内角平分线分别交BC AC AB于Q R P，贝S BQ∕QC=c∕b BP/PA=a/b, CR∕RA=a∕c。
三角形五心及其性质
三角形的五心定义及性质
三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。
定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。
三角形的性质
1.在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
2.在平面上三角形的外角和等于360°(外角和定理)。
3.在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4.一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5.在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
6.三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
7.在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
8.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
9.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
10.三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。
11.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
12.等底同高的三角形面积相等。
13.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
14.三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
15.等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，心坎和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，心坎定理，旁心定理的总称.之袁州冬雪创作一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单.（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量平均的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的间隔与重心到对边中点的间隔之比为2∶1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的间隔与三条边的长成反比.3、重心到三角形3个顶点间隔的平方和最小.4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3.二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心.外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心.2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合.4、计算外心的坐标应先计算下列姑且变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向别的两个顶点向量的点乘.c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c ).5、外心到三顶点的间隔相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心.垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点间隔为此三角形外心到此顶点对边间隔的2倍.4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，毗连CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB证明：毗连DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！四、三角形心坎定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的心坎.心坎的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的心坎.2、直角三角形的心坎到边的间隔等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点I是ΔABC心坎的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的心坎，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC五、三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他双方的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心.旁心的性质：1、三角形一内角平分线和别的两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心.2、每一个三角形都有三个旁心.3、旁心到三边的间隔相等.如图，点M就是△ABC的一个旁心.三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点.一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外.附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，心坎，外心，垂心，四心合一.有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点定名为“重心”，重心性质要了然，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，矫捷运用掌握好．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．心坎外心莫记混，内切外接是关键．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“心坎”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“心坎”，如此定义理应然．。
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初中几何三角形五心定律及性质
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称
重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或
∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等
垂心定理
图1 图2
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
推论：
1. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。
（图1）
2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。
（图1）
3. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。
（图2）
定理证明
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB
证明：
连接DE
∵∠ADB=∠AEB=90度
∴A、B、D、E四点共圆
∴∠ADE=∠ABE
又∵∠ODC=∠OEC=90度
∴O、D、C、E四点共圆
∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度
∴∠ACF+∠BAC=90度
∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立
内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。
3、P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC 边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
5、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
6、（内角平分线分三边长度关系）
△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB 于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
7、内心到三角形三边距离相等。
旁心定理
三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。
旁心的性质：
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
旁心一定在三角形外。
2、任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。
3、旁心到三角形三边的距离相等。
如图，点M就是△ABC的一个旁心。
三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。
一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
巧记诗歌
三角形五心歌（重外垂内旁）
三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．外心
三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．垂心
三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.
内心
三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．。