11不定方程专题练习题

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十一.不定方程

37115=+∆ ☆ 十一、不定方程（二）

一、填空题

1.已知△和☆分别表示两个自然数,并且 ,△+☆= .

2.箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球个.

3.某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n 棵,且n 为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了组.

4.不定方程23732=++z y x 的自然数解是 .

5.王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是 .

6.有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为87,65,32c b a

.已知a ,b ,c 都小于10,a ,b ,c 依次为 , , .

7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的

41和全部咖啡(若干碗)的61.那么,全家有口人.

8.某单位职工到郊外植树,其中31的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工人.

9.将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有块.原来长方体的体积是立方分米.

10.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是元.

小学奥数-不定方程(教师版)

不定方程

在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。有三个未知数，就需要有三个方程。当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。

不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。这种情况也不排除它的取值不止一种。

不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。

【例1】★求方程的正整数解。

2725=+y x 【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数

⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==1

5,63,111y x y x y x 【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解

【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……

六年级奥数专题11：不定方程

十一、不定方程（一）

年级班姓名得分一、填空题

1.已知1999×△+4×□=9991,其中△, □是自然数,那么□= .

2.数学测试卷有20道题.做对一道得7分;做错一道扣4分;不答得0分.张红得了100分,她有道题没答.

3.x 是自然数,•

•

=÷52.0810a x ,字母a 表示一个数字,x 是 .

4.不定方程172112=+y x 的整数解是 .

5.某青年1997年的年龄等于出生年份各数字的和,那么,他的出生年份是 .

6.如果在分数4328的分子分母上分别加上自然数a 、b ,所得结果是12

,那么a+b 的最小值

等于 .

7.40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中,共有26个头和298只脚,若40只脚的蜈蚣有1个头,那么3个头的龙有只脚.

8.甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有人.

9.小明用5天时间看完了一本200页的故事书.已知第二天看的页数比第一天多,第三天看的页数是第一、二两天看的页数之和,第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和,第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和.那么,小明第五天至少看了页.

10.一群猴子采摘水蜜挑.猴王不在的时候,一个大猴子一小时可采摘15公斤,一个小猴子

一小时可采11公斤;猴王在场监督的时候,大猴子的51和小猴子的5

必须停止采摘,去伺侯猴

王.有一天,采摘了8小时,其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督,结果共采摘3382公斤水密桃,那么在这个猴群中,大猴子共有个.

中学数学中考复习11 方程与不等式问题(含答案)

知识点一：一次方程（组）与不等式

例1：为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．

（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？

（2）该校准备再次

．．购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种

瓶数的2倍，且所需费用不多于

．．．1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？

【解析】(1) 解法一：设甲种消毒液购买x瓶，则乙种消毒液购买(100)x

-瓶，根据条件购买这两种消毒液共用780元，列一元一次方程求解；解法二：设甲种消毒液购买x瓶，乙种消毒液购买y瓶，根据条件：购买了甲、乙两种消毒液共100瓶和购买这两种消毒液共用780元，列方程组求解；(2) 设再次购买甲种消毒液y瓶，刚购买乙种消毒液2y瓶，

根据条件所需费用不多于

．．．1200元每列不等式求解。

【答案】（1）解法一：设甲种消毒液购买x瓶，则乙种消毒液购买(100)x

-瓶．依题意，得69(100)780

x x

+-=．

解得：40

x=．

∴1001004060

-=-=（瓶）．

答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶．

解法二：设甲种消毒液购买x瓶，乙种消毒液购买y瓶．

依题意，得

100 69780 x y

x y

⎧

⎨

⎩

，

．

解得，

60 x

⎧

⎨

⎩

，

．

答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶．

（2）设再次购买甲种消毒液y瓶，则购买乙种消毒液2y瓶．

依题意，得6921200y y +⨯≤．

不定方程练习题

、填空题 ☆

1.已知△和☆分别表示两个自然数，并且一一,

5 11

2.箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球个.

3.某班同学分成若干小组去值树，若每组植树n 棵,且n 为质数，则剩下树苗20棵;若每组植树9棵, 则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了组.

4.不定方程2x 3y 7z 23的自然数解是

5.王老师家的电话号码是七位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得

9063;将前三位组

成的数与后四位组成的数相加得 2529.王老师家的电话号码是

6.有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为a |b

6，c

|.已知a

，b

，c 都小于10

，a

，b

，c 依次

7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶，并且李明喝了全部牛奶（若干碗）的-和全部咖啡（若干碗）

8.某单位职工到郊外植树，其中-的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树,女职工每人种10

棵,每个孩子种6棵,他们共种了 216棵树,那么其中有女职工 9.将一个棱长为整数（单位：分米）的长方体6个面都涂上红色，然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有块.原来长方体的体积是 ______________ 立方分米.

10.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了（例如，把12.34元看成34.12元），并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后，发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是 ________________ 元.

第11讲不定方程.初要求规范子.doc

第11讲不定方程

兴趣篇

1、有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克

油恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各几个？

【答案】大油桶3个，小油桶4个

【分析】设大桶x 个，，小桶y 个，则

8x +5y =44。

尾数判断：y 必为偶数，8x 尾数为4。

那么有8x =24⇒x =3

y =（44-24）÷5=4

答：有大油桶3个，小油桶4个。

2、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个。问：

需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？

【答案】大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个

【分析】设大盒子x 个，小盒子y 个，则

12x +7y =150

两边取7的模，有()53mod7x ≡

x =2+7k （k N ∈）

又x ≤15012.512

=，故x 共有2个取值：2，9。

不定方程有2组正整数解：218x y =⎧⎨=⎩，96x y =⎧⎨=⎩

答：需要2个大盒子，18个小盒子或9个大盒子，6个小盒子。

3、小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候。若是早晨见

面，小花狗叫2声，波斯猫叫1声；若是晚上见面，小花狗叫2声，波斯猫叫3声。细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声。问：波斯猫至少叫了多少声？

【答案】27声

【分析】依题意，猫狗早晨见面，共叫了3声，晚上见面，共叫了5声，设它们15天中白

天见面x 次，晚上见面y 次，显然x ，y ≤15，

那么3x +5y =61，两边取5的模，有：

不定方程、倍数与最小公倍数试题

1、装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装11个，小盒每盒装8个，要把89个产品

装入盒中，要求每个盒子都恰好装满，需大、小盒子各多少个？

2、有150个乒乓球分装在大小两个盒子里，大盒子装12个，小盒子装7个，问：需大小

盒子各多少个才能恰好把球装完？

3、大客车有39个座位，小客车有30个座位，现有267位乘客，要使每位乘客都有座位且

没有空位。问：需大、小客车几辆？

4、某商店卖出若干23元和16元一支的钢笔，共收入500元，问：这两种钢笔共卖出多少

支？

5、小明花4.5元买了0.14元一支的铅笔和0.67元一支的圆珠笔共17支，问铅笔和圆珠笔

各多少支？

6、小明把他生日的月份乘以31，再把生日的日期诚意12，然后把两个乘积加起来刚好等

于400，你知道小明的生日是几月几日吗？

7、丁丁和东东打靶，他们让“小博士”猜各命中多少次。“小博士”让丁丁把自己命中的

次数乘以5，让东东把自己命中的次数乘以4，再把两个得数加起来。丁丁和东东算了一下是31，“小博士”正确地说出了他们各自的命中次数。丁丁和东东各命中几次？8、甲乙二人植树，甲每天植18棵，乙每天植21棵，两人共植了135棵。甲乙两人各干了

几天？

9、有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好

能装满这些油桶。问：大小油桶各几个？

10、参加围棋比赛的八段、九段棋手若干名，他们的段位数字加在一起正好是100段。

问：8、9段选手各多少人？

11、有104个同学去操场踢足球或打排球，每个足球场地22人，每个排球场地12人。

小学数学复习：不定方程填空题及答案(较难)

小学数学复习：不定方程填空题及答案（较难）填空题：

1.已知a,b,c都小于10,a,b,c依次为, , .依次为, , .

2.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的和全部咖啡(若干碗)的 .那么,全家有口人.

3.某单位职工到郊外植树,其中的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工人.

4.将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有块.原来长方体的体积是立方分米.

5.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是元.

.已知a,b,c都小于10,a,b,c

7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的和全部咖啡(若干碗)的 .那么,全家有口

人.

8.某单位职工到郊外植树,其中的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工人.

不定式方程(六年级)

一：不定方程

知识精讲

一．不定方程的定义

1．一次不定方程：含有两个未知数的一个方程.叫做二元一次方程.由于它的解不唯一.所以也叫做二元一次不定方程．

2．多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程.它的解也不唯一．

二．不定方程的解法及步骤

1．常规方法：观察法、试验法、枚举法．

2．多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值.或者消去一个未知数.这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程.按照二元一次不定方程解即可．

3．涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较．

三．解不定方程的步骤

1．列方程．

2．消元．

3．写出表达式．

4．确定范围．

5．确定特征．

6．确定答案．

四．技巧总结

1．写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数.同时考虑用范围小的

未知数表示范围大的未知数．

2．消元技巧：消掉范围大的未知数．

三点剖析

重难点：不定方程的解法以及应用．

题模精讲

题模一不定方程的计算

例1.1.1、

判断下列不定方程是否有正整数解.若有.求出所有正整数解．

【1】；【2】；【3】；【4】．

【1】【2】【3】

【4】无整数解

解析：

【1】..所以.即得

【2】..所以.．

【3】..所以.

．【4】..所以．无整数解．

例1.1.2、

已知△和☆分别表示两个自然数.并且.则△+☆=__________．

答案：

解析：

依题意得11△+5☆=37.易知其自然数解为△=2.☆=3．所以△+☆=5．

例1.1.3、

有三个分子相同的最简假分数.化成带分数后为．已知a.b.c都小于10.a.b.c依次为__________.__________. __________．

不定方程的整数解问题及其方法简介(含答案)

专题三：不定方程的整数解问题

所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性地解决问题。在本专题中我们一起来学习不定方程整数解的一些解法技巧。

【基础知识】

1．不定方程整数解的常见类型：

（1）求不定方程的整数解；

（2）判定不定方程是否有整数解；

（3）判定不定方程整数解的个数（有限个还是无限个）。

2．解不定方程整数解问题常用的解法：

（1）代数恒等变形：如因式分解法、配方法、分离整数法、换元法（参数法）等；

（2）奇偶分析法：缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；

（3）构造法：如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质；

（4）枚举法：列举出所有可能的情况；

（5）不等式分析法：通过不等式估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；

（6）无穷递推法。

【典型例题分析】

一、代数恒等变形

1、因式分解法

【例1】已知,x y 都是整数，且满足22()xy x y +=+，求22x y +的最大值.

分析：由22()xy x y +=+，得(2)(2)2x y --=

因为(2),(2)x y --都是整数，所以2221x y -=⎧⎨-=⎩，或2122x y -=⎧⎨-=⎩，或2221x y -=-⎧⎨-=-⎩，或2122x y -=-⎧⎨-=-⎩ 解得43x y =⎧⎨

=⎩，或34x y =⎧⎨=⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，或10x y =⎧⎨=⎩ 故22x y +的最大值为25

不定方程-含答案

不定方程

1.为响应“天猫6.18年中大促“活动，6月18日某零食店推出了甲、乙、丙三类饼干礼包，已知甲、乙、丙三类礼包均由A 、B 、C 三种饼干搭配而成，每袋礼包的成本均为A 、B 、C 三种饼干成本之和．每袋甲类礼包有5包A 种饼干、2包B 种饼干、8包C 种饼干；每袋丙类礼包有7包A 种饼干、1包B 种饼干、4包C 种饼干．已知甲每袋成本是该袋中A 种饼干成本的3倍，利润率为30%；每袋

乙的成本是其售价的，利润是每袋甲利润；每袋丙礼包利润率为25%，若该网店6月18日当天销售甲、乙、丙三种礼包袋数之比为4：6：5，则当天该网店销售总利润率为．

2.借力双11购物狂欢节，小南商铺11月1日就开始对店中的中筒袜和长筒袜进行了线上和线下促销，当天销售结束后统计发现，线上销售的袜子数量和线下销售的袜子数量相同，线上销售长筒袜的数量占线上销售数量的3

2，线下销售的中筒袜和长筒袜单价相等，均为线上两种袜子的单价之和，线上和线下总销售额为5390元，且线上和线下的总销量不少于750双，不超过950双，线上、线下两种袜子的单价均为整数，则线上长筒袜的销售额为元．

3.山间白云缭绕，似雾非雾，似烟非烟，磅礴郁积，气象万千，古人称“赤多白少”为“缙”，故名缙云山．正是这特殊的地理环境，独特的气候，赋予了缙云山甜茶汤色碧绿清爽，气味芳鲜醇和．甜茶还富含人体所需的8钟氨基酸，大量维生素及微量元素，健康养生，独具风味．故来此游玩的人们，临走时都会带一些回家送亲朋好友．商家为了促销，采取以套盒包装的方式进行销售，套盒A ：买三大袋和一中袋送一中袋；套盒B ：买两大袋和两中袋送一小袋．套盒A 和套盒B 的售价之比为37∶34．小华计划购买一定数量的套盒A 与套盒B ，由于资金不够，他思考了一下，决定将原本计划买套盒A 和套盒B 的数量进行调换，同时商店老板决定将套盒A 打8折卖给他，套盒B 价格不变，这样原计划所用花费与实际所用花费之差恰好可以购买7袋中袋的甜茶，则小华一共购买了个套盒．

不定方程的练习题

1. 求解下列不定方程：

a) 3x + 5y = 34

b) 7x + 6y = 53

c) 12x + 15y = 129

2. 求解下列不定方程，要求x、y为正整数：

a) 5x + 3y = 41

b) 8x + 7y = 65

c) 13x + 10y = 79

3. 求解下列不定方程，其中x、y为实数：

a) 3x + 2y = 10

b) 2x + y = 5

c) 4x - 3y = -7

4. 求解下列不定方程，其中x、y为整数：

a) 2x + 3y = 12

b) 5x + 8y = 23

c) 3x - 4y = -1

5. 求解下列不定方程，要求x、y为非负整数：

b) 6x + 3y = 27

c) 8x - 7y = 25

6. 求解下列不定方程，要求x、y为整数且满足条件0≤x≤10，0≤y≤10：

a) 9x + 7y = 79

b) 6x + 8y = 56

c) 5x + 9y = 83

7. 求解下列不定方程，要求x、y为正整数且满足条件0<x<20，0<y<20：

a) 17x + 13y = 365

b) 16x + 19y = 599

c) 18x + 17y = 481

8. 求解下列不定方程的正整数解：

a) 14x + 20y = 2021

b) 19x + 22y = 2022

c) 21x + 18y = 2020

9. 求解下列不定方程的实数解：

a) 8x + 5y = 0

c) 4x - 2y = 5

10. 求解下列不定方程的整数解：

a) 3x + 6y = 21

不定方程和解不定方程应用题经典

不定方程

———研究其解法

方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。

一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。二、不定方程的解法 1、筛选试验法

根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。

如：方程x ﹢y ﹢z = 100共有几组正整数解？

解：当x = 1时y ﹢z = 99，这时共有98个解：(y ，z)为(1，98) (2，97)……(98，1)。当x = 2时y ﹢z = 98，这时共有97个解：(y ，z)为(1，97) (2，96)……(97，1)。 ……

当 x = 98时，y ﹢z = 2，这时有一个解。

∵ 98﹢97﹢96﹢……﹢1= 2

98⨯= 4851

∴ 方程x ﹢y ﹢z = 100共有4851个正整数解。

2、表格记数法

如：方程式4x ﹢7 y =55共有哪些正整数解。解：

× × × × √ √ ∴ 方程4x ﹢7 y =55的正整数解有

x = 5 x = 12

y = 5 y = 1 3、分离系数法

如：求7x ﹢2 y =38的整数解解： y =

2738X -=19-3x-2

令 t=

1x x=2 t

则 y=

2738t

⨯-=19-7t

六年级不定方程例题详解

六年级第十一章不定方程基本知识姓名

1，定义：含有2个未知数，求整数解的方程叫不定方程。

2，特征：1,形如 ax+by=m

2,未知数个数多，方程个数少一些如方程组：x+y+z=10 z+x-y=3

3,解是不确定的，但整数解可以确定。

3，基本方法：常规方法：观察法、实验法、枚举法；

4，一般步骤：1，列方程；2，消元；3，写出表达式；4；确定范围；5，确定特征；6确定答案；

5，写出表达式的技巧：1，用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数。2，一般把系数小的写到

方程左边，系数大的写到方程右边，然后方程两边同除以小系数，把方程右边的整数与分数拆开，得

到一个含未知数的分数，然后用列举法根据这个分数来确定整数解。

6，消元技巧：1，消掉范围大的未知数,2，仔细观察方程组，运用+、-、×、÷消元。

7，一定要注意解的范围，一般有2种：1，表达式的范围 2，题本身的范围。

例题：

1，求方程6x+8y=46的自然数解。

解：6x+8y=46 当分数式2y-46

为整数时，x 、y 才会为整数，从分数式为0开始，一一列举，直到 6x=46-8y 7减不够为止，所以，将三项并列，先确定分数式的值，再确定y 的值，最后确定 X=46/6-8y/6 x 的值。

X=7+4/6-y-2y/6 分数式: 0, 1; 2(减不够，无x 值)

X=7-y-2y-46

y : 2; 5; 所以，此题的自然数解有2组，1，y=2 x=5 X : 5; 1; 2, y=5 x=1

最后检验:将2组解分别代入方程，算出结果，两边相等。 2，把99个学生分成超过10组的小组，这些小组分成两类，A 类小组每组12人，B 类小组每组5人。问A 、

不定式方程(六年级)

不定式方程

一：不定方程

知识精讲

一．不定方程的定义

1．一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程．

2．多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一．

二．不定方程的解法及步骤

1．常规方法：观察法、试验法、枚举法．

2．多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可．

3．涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较．

三．解不定方程的步骤

1．列方程．

2．消元．

3．写出表达式．

4．确定范围．

5．确定特征．

6．确定答案．

四．技巧总结

1．写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数．

2．消元技巧：消掉范围大的未知数．

三点剖析

重难点：不定方程的解法以及应用．

题模精讲

题模一不定方程的计算

例1.1.1、

判断下列不定方程是否有正整数解，若有，求出所有正整数解．

（1）；（2）；（3）；（4）

．

答案：

（1）（2）（3）

（4）无整数解

解析：

（1），，所以，即得

，

（2），，所以，．（3），，所以，

．

（4），，所以．无整数解．

例1.1.2、

已知△和☆分别表示两个自然数，并且，则△+☆=__________．答案：

解析：

依题意得11△+5☆=37，易知其自然数解为△=2，☆=3．所以△+☆=5．

例1.1.3、

有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为．已知a，b，c都小于10，a，b，c依次为__________，__________， __________．

六年级下册数学试题-培优讲学练考专题：不定方程(含答案)全国通用

不定方程

[同步巩固演练]

1、把118分成两个自然数A和B，使A为11的倍数，B为17的倍数，则

A=__________________，B=__________________。

2、求下列不定方程的自然数解。

（1）3x－2y=20 （2）4x+5y=98

3、有甲、乙两种卡车，甲车每次可装煤6吨，乙车每次可装煤8吨。现在有煤130吨，要求一次运完，而且每一辆卡车都要满载，问需要甲、乙两种卡车各多少辆？

4、（北京市第三届小学生迎春杯数学竞赛决赛试题）

甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支，问张明用6角钱恰好买两种铅笔共多少支？

5、（全国小奥赛决赛试题）

若干学生搬一堆砖，若每人搬K块，则剩下20块未搬完，若每人搬9块，则最后一名学生只搬6块，那么学生共有多少人？

6、（第九届《小学生数学报》数学竞赛初赛试题）

马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。年终，马小富从两家公司共获薪金7620元。问他甲公司找工多少个月？在乙公司兼职多少个月？

[能力拓展平台]

1、不定方程2x+3y+7z=23的自然数是________。

2、（第五届《小学生数学报》数学竞赛决赛试题）

要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？

3、小明用5天时间看完了一本200页的故事书。已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一二两天看的页数之和，第四天看的页数是第二三两天看的页数之和，第五天看的页数是第三四两天看的页数之和，那么，小明第五天至少看了______页。