11不定方程专题练习题

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《不定方程》专题教师版

不定方程精选题型（第一课时）一．例题精析：例1．一个水池装一个进水管和三个同样的出水管，先打开进水管，等水池存一些水后再打开出水管（进水管不关闭）．若同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，则5分钟后水池空．那么出水管比进水管晚开40分钟．【分析】设出水管比进水管晚开x分钟，进水管的速度为y，出水管的速度为z，再根据进水量=出水量列出方程求解即可．解：例2．某果蔬饮料由果汁、疏菜汁和纯净水按一定质量比配制而成，纯净水、果汁、蔬菜汁的价格比为1：2：2，因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），那么该种饮料中果汁与蔬菜汁的质量和与纯净水的质量之比为2：3．【分析】设纯净水、果汁、蔬菜汁的价格为a，2a，2a，设纯净水、果汁、疏菜汁按一定质量比为x：y；z，根据因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），可列出方程求解．解：例3．某班有若干人参加一次智力竞赛，共a、b、c三题，每题或者得满分或者得0分．其中题a、题b、题c满分分别为20分、30分、40分．竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，只答对其中两道题的有15人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，则这个班参赛同学的平均成绩是51分．【分析】设答对a的人数为x，答对b的人数为y，答对c 的人数为z，根据题意可得三元一次方程组，解出可得出x、y、z的值，进而算出参加竞赛的总人数，让总分数除以总人数即为竞赛的平均成绩．解：例4．山脚下有一个池塘，山泉以固定的流量向池塘里流淌，现在池塘中有一定的水，若一台A型抽水机1小时刚好抽完，若两台A型抽水机20分钟刚好抽完，若三台A型抽水机同时抽12分钟可以抽完．【分析】设池塘中的水有a，山泉每小时的流量是b，一台A 型抽水机每小时抽水量是x．根据一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，得x=a+b；根据用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，得×2x=a+b，用x表示a和b．设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完，再进一步根据3tx=a+bt求解解：二．课堂精练：1．古人对付秋燥的饮食良方：“朝朝淡盐水，晚晚蜂蜜水”．秋天即将来临时，某商人抓住商机购进甲、乙、丙三种蜂蜜，已知销售每瓶甲蜂蜜的利润率为10%，每瓶乙蜂蜜的利润率为20%，每瓶丙蜂蜜的利润率为30%．当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%．那么当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，这个商人得到的总利润率为．2．我校创造节插花艺术比赛中同学们制作了若干个甲、乙、丙三种造型的花篮．甲种花篮由9朵玫瑰花、16朵水仙花和10朵百合花搭配而成，乙种花篮由6朵玫瑰花、8朵水仙花搭配而成．丙种花篮由6朵玫瑰花、12朵水仙花和10朵百合搭配而成．这些花篮一共用了240朵玫瑰花，300朵百合花，则水仙花一共用了朵．3．冬季降至，贫困山区恶劣的地理环境加之其落后的交通条件，无疑将使得山区在漫长冬季里物资更加匮乏，“让冬天不冷让爱心永驻”，重庆市公益组织心驿家号召全市人民为贫困山区的孩子们捐赠过冬衣物，本次捐赠共收集了11600件棉衣、7500件羽绒服及防寒服若干，自愿者将所有衣物分成若干A、B、C类组合，由自愿者们分别送往交通极其不便利的各个山区，一个A类组合含有60件棉衣，80件防寒服和50件羽绒服；一个B类组合含有40件棉衣，40件防寒服；一个C类组合含有40件棉衣，60件防寒服，50件羽绒服；求防寒服一共捐赠了件．三．课后巩固：1．某超市销售水果时，将A、B、C三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装箱进行销售，每箱的成本分别为箱中ABC三种水果的成本之和，箱子成本忽略不计．甲种方式每箱分别装A、B、C三种水果6kg，3kg，1kg，乙种方式每箱分别装A、B、C三种水果2kg，6kg，2kg．甲每箱的总成本是每千克A成本的12.5倍，每箱甲的销售利润率为20%，每箱甲比每箱乙的售价低25%，丙每箱在成本上提高40%标价后，打八折销售获利为每千克A成本的1.2倍，当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：3：3时，则销售的总利润率为．2．2018年9月，为鼓励学生努力学习，将来为国家作出更大贡献，重庆二外设立了“力宏奖学金”其中科技创新发明奖共有60人获奖，原计划一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，后来经校长会研究决定，在奖项总奖金不变的情况下，各顶级获奖人数实际调整为：一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖每人奖金降低80元，二等奖每人奖金降低50元，三等奖每人奖金降低30元．调整前二等奖每人奖金比三等奖每人奖金多70元，则调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多元．3．A，B，C三种大米的售价分别为40元/kg、50元/kg、70元/kg，其中B，C两种大米的进价为40元/kg、50元/kg，经核算，三种大米的总利润相同，且A，B两种大米的销售量之和是C种大米之和的6倍，则A种大米的进价是．不定方程精选题型（第二课时）一．例题精析：例 1. 有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需 1.05元．【分析】等量关系为：3×铅笔的单价+7×练习本的单价+1×圆珠笔的单价=3.15；4×铅笔的单价+10×练习本的单价+1×圆珠笔的单价=4.2，把两个方程相减后乘3，再让第2个方程减去得到的方程可得购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需的钱数．例2．晨光文具店有一套体育用品：1个篮球，1个排球和1个足球，一套售价300元，也可以单独出售，小攀同学共有50元、20元、10元三种面额钞票各若干张．如果单独出售，每个球只能用到同一种面额的钞票去购买．若小面额的钱的张数恰等于另两种面额钱张数的乘积，那么所有可能中单独购买三个球中所用到的钱最少的一个球是60元．【分析】设50元、20元、10元的钞票分别有x、y、z张，然后根据总售价列出一个方程，再根据三者之间的关系列出一个方程组成三元一次方程组，整理消掉z，再根据x、y都是整数讨论求解即可．例3.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t=15．【分析】由于在某一时刻，货车在前，小轿车在后，客车在货车与小轿车的中间，所以设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为s千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a、b、c（千米/分），由过了10分钟，小轿车追上了客车可以列出方程10（a﹣b）=s，由又过了5分钟，小轿车追上了货车列出方程15（a﹣c）=2s，由再过t分钟，客车追上了货车列出方程（t+10+5）（b﹣c）=s，联立所有方程求解即可求出t的值．例4.一次数学比赛，有两种给分方法：一种是答对一题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对一题给3分，不答不给分，答错扣1分，用这两种方法评分，某考生都得81分，这张试卷共有22题．【分析】此题可以设答对a题，未答b题，答错c题未知数，列出方程组，进行推理可得：5a+2b=81①，40+3a﹣c=81②，由①②推出a的取值范围，并确定处a 的值，从而推出b、c的值，解决问题．二．课堂精练：1．某超市分两次购进一批月饼礼盒．第一次购买了A、B两种月饼礼盒，用去17670元；第二次购买了C、D两种月饼礼盒，用去11310元，其中A、B两种月饼礼盒的数量分别与C、D两种礼盒的数量相等，且A种月饼礼盒与D种礼盒的进价相同，B种月饼礼盒与C种礼盒的进价相同．若A、B两种礼盒的进价之和为315元，则该超市购进的这批礼盒一共有盒．2．我国的经济总量已居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量，现有一批货物，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运次（每辆车每次都满载重量）．3．今年是天猫双十一创立以来的第11年，现在，已经彻底改变了中国人这一天的生活．某商家为迎接双十一活动准备购进一批服装，清理库存有A，B，C三种服装，其中服装C的数量为总库存数的，根据市场预测再购进A，B，C三种服装的数量之比为5：4：7，则购进后A的总数量为购进后三种服装总量的，B的新购数量与购进后三种服装总数量之比为2：17，则购进后B的总数量与购进后C的总数量之比为．三．课后巩固：1．春节即将来临时，某商人抓住商机购进甲、乙、两三种糖果，已知销售甲糖果的利润率为10%，乙糖果的利润率为20%，丙糖果的利润率为30%，当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为3：2：1时，商人得到的总利率为20%．那么当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为5：1：1时，这个商人得到的总利润率为．2．育德文具厂生产的一种文具套装深受学生喜爱，已知该文具套装一套包含有1个笔袋，2只笔，3个笔记本，巅峰文具超市向该厂订购了一批文具套装，需要厂家在15天内生产完该套装并交货．育德文具厂将员工分为A、B、C三个组，分别生产笔袋、笔、笔记本，他们于某天零点开始工作，每天24小时轮班连续工作（假设每小时工作效率相同），若干天后的零点A组完成任务，再过几天后（不少于一天）的中午12点B组完成低务，再过几天（不少于一天）后的6时C组完成任务．已知A、B、C三个组每天完成的任务数分别是270个、360个、360个，则巅峰文具超市一共订购了套文具套装．3．某水稻种植中心培育了甲、乙、丙三种水稻，将这三种水稻分别种植于三块大小各不相同的试验田里．去年，三种水稻的平均亩产量分别为300kg，500kg，400kg，总平均亩产量为450kg，且丙种水稻的的总产量是甲种水稻总产量的4倍，今年初，研究人员改良了水稻种子，仍按去年的方式种植，三种水稻的平均亩产量都增加了．总平均亩产量增长了20%，甲、丙两种水稻的总产量增长了30%，则乙种水稻平均亩产量的增长率为．不定方程精选题型（第三课时）一．例题精析：例1．购买甲7件，乙3件，丙4件商品共需25元．若购买甲5件，乙1件，丙商品2件共需13元．那么购买甲乙丙商品各一件需6元．【分析】先设一件甲商品x元，乙y元，丙z元，然后根据题意列出方程，再解方程即可．例2．2015年5月18日华中旅游博览会在汉召开．开幕式上用到甲、乙、丙三种造型的花束，甲种花束由3朵红花、2朵黄花和1朵紫花搭配而成，乙种花束由2朵红花和2朵黄花搭配而成，丙种花束由2朵红花、1朵黄花和1朵紫花搭配而成．这些花束一共用了580朵红花，150朵紫花，则黄花一共用了430朵．【分析】题中有两个等量关系：甲种盆景所用红花的朵数+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=580朵，甲种盆景所用紫花的朵数+丙种盆景所用紫花的朵数=150朵．据此可列出方程组，设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆，用含x的代数式分别表示y、z，即可求出黄花一共用的朵数．例3．重庆修建园博园期间，需要A、B、C三种不同的植物，如果购买A种植物3盆、B种植物7盆、C种植物1盆，需付人民币315元；如果购买A种植物4盆、B种植物10盆、C种植物1盆，需付人民币420元；某人想购买A、B、C各1盆，需付人民币105元．【分析】设A种植物x元一盆、B种植物y元一盆、C种植物z元一盆，就可以得出3x+7y+z=315，4x+10y+z=420，再由这两个方程构成方程组，再解这个不定方程组求出其解即可．例4．一家小吃店原有三个品种的馄饨，其中菜馅馄饨售价为3元/碗，鸡蛋馅馄饨售价为4元/碗，肉馅馄饨售价为5元/碗，现该店新增了由上述三个品种搭配而成的混合馄饨，每碗都有10个馄饨．那么共有3种搭配得到定价是3.8元的混合馄饨（每种馄饨至少有一个）．【分析】设菜馅馄饨x个，鸡蛋馅馄饨y个，鸡蛋馅馄饨z 个，根据题意列出方程组，解方程组即可．二．课堂精练：1．过年了，甲、乙、丙三人相约去买坚果，甲买了3袋A 坚果、3袋B坚果和1袋C坚果，乙买了4袋A坚果、1袋B坚果和1袋C坚果，丙买了3袋B坚果和7袋C坚果．三人结账时发现：甲和乙总共消费200元，丙比乙多消费100元，如果A、B、C三种坚果各3袋组合成坚果礼盒出售，每种坚果均可在原价的基础上打九折，则每盒坚果礼盒的售价是元．2. 甲、乙、丙三人到商店去买东西，每人都花了整数元，他们一共花了32元．甲、乙两人花费的差额（即两人所花钱的差的绝对值，下同）是19元，乙、丙两人花费的差额是7元，甲、丙两人花费的差额是12元，则甲花费了21元．【分析】由于19=7+12，则分两种情况：1、甲比乙少19，则乙比丙多7元，甲比丙少12元，2、甲比乙多19，则乙比丙少7元，甲比丙多12元，进而得出答案．3．现有甲、乙、丙三种含铜比例不同的合金．若从甲、乙、丙三种合金中各切下一块重量相等的合金，并将切下来的三块合金放在一起熔炼后就成为含铜量为12%的合金；若从甲、乙、丙三种合金中按3：2：5的重量之比各切取一块，将其熔炼后就成为含铜量为9%的合金．那么若从甲、乙两种合金中按重量之比为2：3各切取一块将其熔炼后的合金的含铜百分比是18%．【分析】设甲合金含铜量为x%、乙合金含铜量为y%、丙合金含铜量为z%．则依据“三块合金放在一起熔炼后就成为含铜量为12%的合金、甲、乙、丙三种合金中按3：2：5的重量之比各切取一块，将其熔炼后就成为含铜量为9%的合金．”列出方程组并解答．三．课后巩固：1．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件共需630元；若购甲4件，乙10件，丙1件共需840元，现购甲、乙、丙各一件共需210元．【分析】假设购甲每件x元，购乙每件y元，购丙每件z元．列方程组得：，然后求得x+y+z的值．2．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需150元钱．【分析】设出购甲、乙、丙三种商品各一件的未知数，建立方程组，整体求解．3．某商店将录音机、钢笔、书包三种物品降价促销．若购买录音机3台，钢笔6支，书包2个，共需302元；若买录音机5台，钢笔11支，书包3个，共需508元．则购买录音机1台、钢笔1支、书包1个共需96元．【分析】设收录机、钢笔和书包三种物品的单价分别为x、y 和z元，继而根据购买收录机3台，钢笔6支，书包2个共需302元，购买收录机5台，钢笔11支，书包3个共需508元，列出方程组，进而求解即可．第一课时参考答案与试题解析1．古人对付秋燥的饮食良方：“朝朝淡盐水，晚晚蜂蜜水”．秋天即将来临时，某商人抓住商机购进甲、乙、丙三种蜂蜜，已知销售每瓶甲蜂蜜的利润率为10%，每瓶乙蜂蜜的利润率为20%，每瓶丙蜂蜜的利润率为30%．当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%．那么当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，这个商人得到的总利润率为19%．【分析】设甲、乙、丙三种蜂蜜的进价分别为a、b、c，丙蜂蜜售出瓶数为cx，则当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，甲、乙蜂蜜售出瓶数分别为ax、3bx；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，甲、乙蜂蜜售出瓶数分别为3ax、2bx；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，甲、乙蜂蜜售出瓶数分别为5ax、6bx；列出方程，解方程求出，即可得出结果．【解答】解：设甲、乙、丙三种蜂蜜的进价分别为a、b、c，丙蜂蜜售出瓶数为cx，由题意得：，解得：，∴＝＝＝19%，故答案为：19%．2．我校创造节插花艺术比赛中同学们制作了若干个甲、乙、丙三种造型的花篮．甲种花篮由9朵玫瑰花、16朵水仙花和10朵百合花搭配而成，乙种花篮由6朵玫瑰花、8朵水仙花搭配而成．丙种花篮由6朵玫瑰花、12朵水仙花和10朵百合搭配而成．这些花篮一共用了240朵玫瑰花，300朵百合花，则水仙花一共用了440朵．【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，然后变形，即可求得水仙花一共用了多少朵．【解答】解：设甲种花篮a个，乙种花篮b个，丙种花篮c个，，化简，得，（①+②）×4，得16a+8b+12c＝440，∵水仙花一共用了：16a+8b+12c，∴水仙花一共用了440朵，故答案为：440．3．冬季降至，贫困山区恶劣的地理环境加之其落后的交通条件，无疑将使得山区在漫长冬季里物资更加匮乏，“让冬天不冷让爱心永驻”，重庆市公益组织心驿家号召全市人民为贫困山区的孩子们捐赠过冬衣物，本次捐赠共收集了11600件棉衣、7500件羽绒服及防寒服若干，自愿者将所有衣物分成若干A、B、C类组合，由自愿者们分别送往交通极其不便利的各个山区，一个A类组合含有60件棉衣，80件防寒服和50件羽绒服；一个B类组合含有40件棉衣，40件防寒服；一个C类组合含有40件棉衣，60件防寒服，50件羽绒服；求防寒服一共捐赠了14600件．【分析】根据题意，可以先设A类组合x个，B类组合y 个，C类组合z个，然后根据题意可以列出三元一次方程组，从而可以得到x、z与y的关系，然后即可求得需要防寒服多少件，本题得以解决．【解答】解：设A类组合x个，B类组合y个，C类组合z 个，，化简，得，∴需要的防寒服为：80x+40y+60z＝80（280﹣2y）+40y+60（2y﹣130）＝22400﹣160y+40y+120y﹣7800＝14600，故答案为：14600．4．某超市销售水果时，将A、B、C三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装箱进行销售，每箱的成本分别为箱中ABC三种水果的成本之和，箱子成本忽略不计．甲种方式每箱分别装A、B、C三种水果6kg，3kg，1kg，乙种方式每箱分别装A、B、C三种水果2kg，6kg，2kg．甲每箱的总成本是每千克A成本的12.5倍，每箱甲的销售利润率为20%，每箱甲比每箱乙的售价低25%，丙每箱在成本上提高40%标价后，打八折销售获利为每千克A成本的1.2倍，当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：3：3时，则销售的总利润率为23.6%．【分析】分别设每千克A、B、C三种水果的成本为x、y、z，设丙每箱成本为m，然后根据题意将甲、乙、丙三种方式的每箱成本和利润用x表示出来即可求解．【解答】解：设每千克A、B、C三种水果的成本分别为x、y、z，依题意得：6x+3y+z＝12.5x，∴3y+z＝6.5x，∴每箱甲的销售利润＝12.5x•20%＝2.5x乙种方式每箱成本＝2x+6y+2z＝2x+13x＝15x，乙种方式每箱售价＝12.5x•（1+20%）÷（1﹣25%）＝20x，∴每箱乙的销售利润＝20x﹣15x＝5x，设丙每箱成本为m，依题意得：m（1+40%）•0.8﹣m＝1.2x，解得m＝10x．∴当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：3：3时，总成本为：12.5x•2+15x•3+10x•3＝100x，总利润为：2.5x•2+5x•3+1.2x•3＝23.6x，销售的总利润率为＝23.6%，故答案为：23.6%．5．2018年9月，为鼓励学生努力学习，将来为国家作出更大贡献，重庆二外设立了“力宏奖学金”其中科技创新发明奖共有60人获奖，原计划一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，后来经校长会研究决定，在奖项总奖金不变的情况下，各顶级获奖人数实际调整为：一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖每人奖金降低80元，二等奖每人奖金降低50元，三等奖每人奖金降低30元．调整前二等奖每人奖金比三等奖每人奖金多70元，则调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多370元．【分析】设原来一等奖为x元，二等奖为y元，三等奖为z元，则调整后一等奖为（x﹣80）元，二等奖为（y﹣50）元，三等奖为（z﹣30）元．构建方程组，求出x﹣y即可解决问题．【解答】解：设原来一等奖为x元，二等奖为y元，三等奖为z元，则调整后一等奖为（x﹣80）元，二等奖为（y ﹣50）元，三等奖为（z﹣30）元．由题意：，整理得，∴x﹣y＝400，∴调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多：（x﹣80）﹣（y﹣50）＝x﹣y﹣30＝370（元），故答案为370．6．A，B，C三种大米的售价分别为40元/kg、50元/kg、70元/kg，其中B，C两种大米的进价为40元/kg、50元/kg，经核算，三种大米的总利润相同，且A，B两种大米的销售量之和是C种大米之和的6倍，则A种大米的进价是35．【分析】可设A种大米的进件是m元/kg，且A种大米销售了xkg，B大米销售了ykg，则C大米销售了（x+y）kg，根据三种大米的总利润相同，列出方程．先解方程得出x ＝3y，从而求出m的值．【解答】解：设A种大米的进件是m元/kg，且A种大米销售了xkg，B大米销售了ykg，则C大米销售了（x+y）kg，三种大米每千克的利润分别是（40﹣m）元、10元、20元，根据题意知：10y＝（40﹣m）x＝20×（x+y），即由10y＝（x+y），解得x＝2y，代入10y＝（40﹣m）x中，解得m＝35．故答案为：35．第二课时1．某超市分两次购进一批月饼礼盒．第一次购买了A、B 两种月饼礼盒，用去17670元；第二次购买了C、D两种月饼礼盒，用去11310元，其中A、B两种月饼礼盒的数量分别与C、D两种礼盒的数量相等，且A种月饼礼盒与D种礼盒的进价相同，B种月饼礼盒与C种礼盒的进价相同．若A、B两种礼盒的进价之和为315元，则该超市购进的这批礼盒一共有184盒．【分析】根据A、B两种礼盒的进价之和为315元，设A 种月饼礼盒的进价为x元/盒，可以表示B种月饼礼盒的进价，因为A种月饼礼盒与D种礼盒的进价相同，B种月饼礼盒与C种礼盒的进价相同，可以表示C和D礼盒的进价，根据A、B两种月饼礼盒的数量分别与C、D两种礼盒的数量相等，再设两个未知数表示A种月饼礼盒和B种月饼礼盒，列方程组，根据题意可知：只要知道2y+2z的值就可以，因此将方程组相加可得结论．【解答】解：设A种月饼礼盒的进价为x元，则B种月饼礼盒与C种礼盒的进价都是（315﹣x）元，D种月饼礼盒的进价为x元，设购进y盒A种月饼礼盒，z盒B种月饼礼盒，则购进y 盒C种月饼礼盒，z盒D种月饼礼盒，根据题意得：，化简得：，①+②得：315z+315y＝28980，y+z＝92，∴2y+2z＝184，答：则该超市购进的这批礼盒一共有184盒．故答案为：184．2．我国的经济总量已居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量，现有一批货物，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运8次（每辆车每次都满载重量）．【分析】设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意列出方程组解得x便可．【解答】解：设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C 型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意得，，②﹣①，得9a＝3c，∴a＝c，。

18题不定方程专题汇总(答案)

1．小明今年五一节去三峡广场逛水果超市，他分两次购进了A 、B 两种不同单价的水果．第一次购买A 种水果的数量比B 种水果的数量多50%，第二次购买A 种水果的数量比第一次购买A 种水果的数量少60%，结果第二次购买水果的总数量比第一次购买水果的总数量多20%，且第二次购买A 、B 水果的总费用比第一次购买A 、B 水果的总费用少10%（两次购买中A 、B 两种水果的单价不变），则B 种水果的单价与A 种水果的单价的比值是______．【答案】12【分析】根据水果数量的等量关系，可设第一次购买B 种水果数量为x 个，用x 分别表示第一次购买A 种水果的数量和第二次购买两种水果的数量．再分别设两种水果的单价为a 元和b 元，根据两次购买价钱的等量关系列方程，所列方程中x 是可以约去的，化简即得到a 与b 的数量关系．【详解】解：设第一次购买B 种水果数量为x ，∴第一次购买A 种水果的数量为：3(150%)2x x +=， ∴第二次购买A 种水果数量为：3323(160%)2255x xx -==， ∴第二次购买水果的总数量为：356()(120%)3225x x xx ++==， ∴第二次购买B 种水果个数为：312355x x x -=，设A 种水果单价为a 元，B 种水果单价为b 元，依题意得：3312()(110%)255a x bx a xb x +-=+，化简得：2a b =∴12b a =， B ∴水果的单价与A 水果的单价的比值是12，故答案为：12．【点睛】本题考查了一次方程的应用，在缺少确切数值的情况下，可先假设等量关系中的关键量为未知数，再列方程化简求值．2．为了适合不同人群的口味，某商店对苹果味、草莓味、牛奶味的糖果混合组装成甲、乙两种袋装进行销售.甲种每袋装有苹果味、草莓味、牛奶味的糖果各10颗，乙种每袋装有苹果味糖果20颗，草莓味和牛奶味糖果各5颗.甲、乙两种袋装糖果每袋成本价分别是袋中各类糖果成本之和.已知每颗苹果味的糖果成本价为0.4元，甲种袋装糖果的售价为23.4元，利润率为30%，乙种袋装糖果每袋的利润率为20%.若这两种袋装的销售利润率达到24%，则该公司销售甲、乙两种袋装糖果的数量之比是__________. 【答案】5:9 【分析】根据题意，先求出1颗草莓味和1颗牛奶味糖果的成本之和，然后求出乙种糖果的成本价，然后设甲种糖果x 袋，乙种糖果y 袋，通过利润的关系，列出方程，解方程，即可求出甲、乙两种糖果数量之比. 【详解】解：设1颗草莓味糖果m 元，1颗牛奶味糖果n 元，则，10(0.4)(130%)23.4m n ++⨯+=，解得： 1.4m n +=，∴甲种糖果的成本价：10(0.4 1.4)18⨯+=元∴乙种糖果的成本价：200.45()85 1.415m n ⨯++=+⨯=元，设甲种糖果有x 袋，乙种糖果有y 袋，则，1830%1520%(1815)24%x y x y •+•=+•，解得：59x y =；∴该公司销售甲、乙两种袋装糖果的数量之比是59. 故答案为59. 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，利润、成本价与利润率之间的关系的应用，理解题意得出等量关系是解题的关键． 3．“八月十五月儿圆，中秋月饼香又甜”，每中秋，皓月当空，阖家团聚，品饼赏月，谈天说地，尽享天伦之乐．今年中秋节前夕某商场结合当地情况，决定启动一笔专项资金用于月饼进货，经过一段时间，该商场已购进的京式、广式、苏式月饼总价之比为2:3:4，根据市场需求，将把余下的资金继续购进这三种月饼，经测算需将余下资金的13购买京式月饼，则京式月饼的总价将达到这三种月饼总价的415．为了使广式月饼总价与苏式月饼的总价达到9:13，则该商场还需购买的广式月饼总价与苏式月饼的总价之比是_____．【答案】3:5 【分析】由题意设已购进京式月饼价格2m ，剩余资金为n ，根据题意列出方程进行解答即可．【详解】解：设已购进京式月饼价格2m ，剩余资金为n ，由题意可得：可得：①()1429315m n m n +=+，解得：n=6m ， ②23a b n +=，可得：a+b=4m ， ③1349(2)113m a m b m n m n m +++=+-+=， ④（3m+a ）：（4m+b ）=9：13，93135342222m a m a m m b m b m +==+==，，，，∴a ：b=3：5，答：该商场还需购买的广式月饼总价与苏式月饼的总价之比是3：5．故答案为：3：5．【点睛】本题考查多次方程问题，解题的关键是根据题意列出多个方程得出其关系式解答．4．为了适合不同人群的需求，某公司对每日坚果混合装进行改革．甲种每袋装有10克核桃仁，10克巴旦木仁，10克黑加仑；乙种每袋装有20克核桃仁，5克巴旦木仁，5克黑加仑．甲乙两种袋装干果每袋成本价分别为袋中核桃仁、巴旦木仁、黑加仑的成本价之和．已知核桃仁每克成本价0.04元，甲每袋坚果的售价为5.2元，利润率为30%，乙种坚果每袋利润率为20%，若这两种袋装的销售利润率达到24%，则该公司销售甲、乙两种袋装坚果的数最之比是____．【答案】13∶30 【分析】根据题意，先求出1克巴旦木和1克黑加仑的成本之和，然后求出乙种干果的成本，再设甲种干果x 袋，乙种干果y 袋，通过利润的关系，列出方程解方程即可求出甲、乙两种干果数量之比．【详解】解：设1克巴旦木成本价m 元，和1克黑加仑成本价n 元，根据题意得 10(0.04 +m+n) ×(1+30%)=5.2 解得：m+n=0.36甲种干果的成本价：10×(0.04+0.36)=4 乙种干果的成本价：20×0.04+5×0.36=2.6乙种干果的售价为：2.6×(1+20 %)=3.12设甲种干果有x袋，乙种干果有y袋，则(4x+2.6y)(1+24 %)=5.2x+3.12y解得：1330 xy=故答案为：该公司销售甲、乙两种袋装坚果的数最之比是13∶30．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，利用利润、成本价与利润率之间的关系列出方程，理解题意得出等量关系是解题的关键．5．某科技公司推出一款新的电子产品，该产品有三种型号.通过市场调研后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A型、B型、C型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，45%出售(三种型号的成本相同).经过一个季度的经营后，发现C型产品的销量占总销量的37，且三种型号的总利润率为35%.第二个季度，公司决定对A型产品进行升级，升级后A产品的成本提高了25%，销量提高了20%；B、C产品的销量和成本均不变，且三种产品在二季度成本基础上分别加价20%，30%，45%出售，则第二个季度的总利润率为______.【答案】34%【分析】由题意得出A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意列出方程组，解得13x zy z⎧=⎪⎨⎪=⎩；第二个季度A产品成本为(1+25%)a＝54a，B、C的成本仍为a，A产品销量为(1+20%)x＝65x，B产品销量为y，C产品销量为z，则第二个季度的总利润率为：5620%30%45%455645a x ay aza x ay az⨯⨯++⨯++＝34%.【详解】解：由题意得：A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意得：20%ax30%ay45%az35%a(x y z)3(x y z)z7++=++⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得：13x z y z⎧=⎪⎨⎪=⎩，第二个季度A产品的成本提高了25%，成本为：(1+25%)a＝54a，B、C的成本仍为a，A产品销量为(1+20%)x＝65x，B产品销量为y，C产品销量为z，∴第二个季度的总利润率为：5620%30%45%455645a x ay aza x ay az⨯⨯++⨯++＝0.30.30.451.5x y zx y z++++＝10.30.30.45311.53z z zz z z⨯++⨯++＝34%，故答案为：34%.【点睛】本题考查了利用二元一次方程组解实际问题，正确理解题意，设出未知数列出方程组是解题的关键.6．某商店新进一批衬衣和数对暖瓶（一对为2件），暖瓶的对数正好是衬衣件数的一半，每件衬衣的进价是40元，每对暖瓶的进价是60元（暖瓶成对出售），商店将这批物品以高出进价10%的价格售出，最后留下了17件物品未卖出，这时，商店发现卖出物品的总售价等于所有货物总进价的90%，则最初购进这批暖瓶_____对．【答案】22．【分析】设购进暖瓶x对，则有2x只暖瓶，衬衫2x件，留下的17件物品中有a只暖瓶，（17﹣a）件衬衫，根据这批物品的售价数恰好等于买进这批物品所花的钱数的90%可列出方程，根据x、a的取值范围分别讨论求适合题意的解即可．即可得到这17件物品是什么及它们的价值．【详解】设购进暖瓶x对，则有2x只暖瓶，衬衫2x件，留下的17件物品中有a只暖瓶，（17﹣a）件衬衫，∵每件衬衣的进价是40元，每对暖瓶的进价是60元，商店将这批物品以高出进价10%的价格售出，∴暖瓶每只售价为30×（1+10%）＝33（元），衬衫每件售价为40×（1+10%）＝44（元），∴总售价为＝33×（2x﹣a）+44（2x﹣17+a）＝154x+11a﹣748（元），根据题意得：154x+11a﹣748＝90%（40×2x+60x），整理得：28x+11a＝748，∵a为偶数，且17﹣a≥0，∴a为2，4，6，8，10，12，14，16，当a＝2，x的值为分数，不合题意；当a＝4，x的值为分数，不合题意；当a＝6，x的值为分数，不合题意；当a＝8，x的值为分数，不合题意；当a＝10，x的值为分数，不合题意；当a＝12，x＝22，当a＝14，x的值为分数，不合题意；当a＝16，x的值为分数，不合题意；∴即只有当a＝12，x＝22时符合题意．答：最初购进这批暖瓶22对，故答案为：22．【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再根据实际情况求解．7．小明同学为筹备缤纷节财商体验活动，准备在商店购入小商品A和B，已知A和B的单价和为25元，小明计划购入A的数量比B的数量多3件，但一共不超过28件．现商店将A的单价提高20%，B打8折出售，小明决定将A、B的原定数量对调，这样实际花费比原计划少6元．已知调整前后的价格和数量均为整数，求小明原计划购买费用为_____元．【答案】311【分析】设小商品A的单价为x元/件，则B商品的单价为（25-x）元/件，计划购买小商品Aa件，则B商品为（a-3）件，根据等量关系：实际花费只比计划少6元，列出方程，再根据整数的性质求解即可．【详解】解：设小商品A的单价为x元/件，则B商品的单价为（25﹣x）元/件，计划购买小商品Aa件，则B商品为（a﹣3）件，（1+20%）x（a﹣3）+0.8a（25﹣x）+6＝xa+（25﹣x）（a﹣3），解得x＝77.4 3.8 30.8aa-+，由题意得：a+a﹣3≤28a≤16.5，∵x和a都是整数，∴当a＝14时，x＝12，小明原计划购买费用为：xa+（25﹣x）（a﹣3）＝14×12+13×11＝311．故答案为311【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意列出方程是解题的关键.8．今年年初，受新冠肺炎疫情的影响，人们对病毒的防范意识加强，市面上的洗手液也备受欢迎，小王计划购进A型、B型、C型三种洗手液共50箱，其中B型洗手液数量不超过A型洗手液数量，且B型洗手液数量不少于C型洗手液数量的一半．已知A型洗手液每箱60元，B型洗手液每箱80元，C型洗手液每箱100元．在价格不变的条件下，小王实际购进A型洗手液是计划的56倍，C型洗手液购进了12箱，结果小王实际购进三种洗手液共35箱，且比原计划少支付1240元，则小王实际购进B型洗手液_____箱．【答案】8【分析】设小王计划购进A型洗手液x箱，B型洗手液y箱，则计划购进C型洗手液（50﹣x﹣y）箱，实际购进A型洗手液5 6x箱，B型洗手液（35﹣12﹣56x）箱，根据实际比原计划少支付1240元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，结合x，y均为正整数即可得出x，y的值，再由y≤x，y≥12（50﹣x﹣y）可确定x，y的值，将其代入（35﹣12﹣56x）中即可求出结论．【详解】解：设小王计划购进A型洗手液x箱，B型洗手液y箱，则计划购进C型洗手液（50﹣x﹣y）箱，实际购进A型洗手液56x箱，B型洗手液（35﹣12﹣56x）箱，依题意，得：60x+80y+100（50﹣x﹣y）﹣[60•56x+80（35﹣12﹣56x）+100×12]＝1240，整理，得：7x+6y＝216，∴y＝36﹣76x．∵x，y均为正整数，∴x为6的倍数，∴629xy=⎧⎨=⎩，1222xy=⎧⎨=⎩，1815xy=⎧⎨=⎩，248xy=⎧⎨=⎩，301xy=⎧⎨=⎩．又∵y≤x，y≥12（50﹣x﹣y），∴1815 xy=⎧⎨=⎩，∴35﹣12﹣56x＝8．故答案为：8．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用及整数解的情况，根据题意列出等量关系和整数解的情况判断解得情况．9．国庆期间某外地旅行团来重庆的网红景点打卡，游览结束后旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查（每名游客都填了调查表，且只选了一个景点），統计后发现洪崖洞、长江索道、李子坝轻轨站、磁器口榜上有名．其中选李子坝轻轨站的人数比选磁器口的少8人；选洪崖洞的人数不仅比选磁器口的多，且为整数倍；选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的5倍；选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多24人．则该旅行团共有_______人. 【答案】48 【分析】设选洪崖洞的有a 人，选长江索道的有b 人，选李子坝轻轨站的有c 人，选磁器口的有d 人，根据题意可列出4个方程，然后整理得到不含c 的两个方程，再分情况讨论整数倍x 的值，得到符合题意的解即可. 【详解】解：设选洪崖洞的有a 人，选长江索道的有b 人，选李子坝轻轨站的有c 人，选磁器口的有d 人，根据题意可列方程： c=d ﹣8，a=xd （x ＞1，且为整数）， d+a=5（b+c ）， b+a=c+d+24，整理可得：283727d ba b=-⎧⎨=-⎩，当x=2时，解得b=16，d=﹣20，不符合题意，舍去；当x=3时，解得b=6，d=10，a=30，c=2，则旅行团共有6+10+30+2=48人；当x ＞3时，求得的b 均为负数，不符合题意. 故答案为48. 【点睛】本题主要考查列方程，解多元一次方程，解此题的关键在于根据题意准确列出方程.10．某中学去年举办竞赛，颁发一二三等奖各若干名，获奖人数依次增加，各获奖学生获得的奖品价值依次减少（奖品单价都是整数元），其中有3人获得一等奖，每人获得的奖品价值34元，二等奖的奖品单价是5的倍数，获得三等奖的人数不超过10人，并且获得二三等奖的人数之和与二等奖奖品的单价相同.今年又举办了竞赛，获得一二三等奖的人数比去年分别增加了1人、2人、3人，购买对应奖品时发现单价分别上涨了6元、3元、2元.这样，今年购买奖品的总费用比去年增加了159元.那么去年购买奖品一共花了__________元. 【答案】257 【分析】根据获奖人数依次增加，获得二三等奖的人数之和与二等奖奖品的单价相同，以及二等奖奖品单价为5的倍数，可知二等奖的单价为10或15，分别讨论即可得出答案. 【详解】设二等奖人数为m ，三等奖人数为n ，二等奖单价为a ，三等奖单价为b ，根据题意列表分析如下：∵今年购买奖品的总费用比去年增加了159元∴()()()()4402332343=159⨯++++++-⨯--m a n b ma nb 整理得322389+++=m a n b∵310<<≤m n ，m n a +=，a 为5的倍数 ∴a 的值为10或15 当=10a 时，4m =，6n =代入322389+++=m a n b 得3421026389⨯+⨯+⨯+=b ，解得15=>b a 不符合题意，舍去；当=15a 时，有3种情况：①5m =，10n =，代入322389+++=m a n b 得35215210389⨯+⨯+⨯+=b ，解得8=<b a ，符合题意此时去年购买奖品一共花费334515108257⨯+⨯+⨯=元 ②6m =，9n =，代入322389+++=m a n b 得3621529389⨯+⨯+⨯+=b ，解得233=b ，不符合题意，舍去 ③7m =，8n =，代入322389+++=m a n b 得3721528389⨯+⨯+⨯+=b ，解得223b =，不符合题意，舍去综上可得，去年购买奖品一共花费257元故答案为：257. 【点睛】本题考查了方程与不等式的综合应用，难度较大，根据题意推出a 的取值，然后分类讨论是解题的关键.11．一年之计在于春，春天，是万物复苏的开始，是播种的季节，小刘准备在自家农田种植一批新鲜蔬菜，经过市场调研，他了解到，丝瓜籽每包3元，茄子籽每包4元，白菜籽1元7包，且蔬菜籽必须整包购买，小刘计划购买这三种蔬菜籽共100包（三种均有购买），经过计算，恰好需要m 元．其中购买丝瓜籽的数量不少于3包且不超过6包，购买茄子籽的数量不超过19包．实际购买时，由于商家储存的蔬菜籽数量有限，小刘并末购满100包，其中购买白菜籽支付10元，购买丝瓜籽的实际数量是计划数量的两倍，购买茄子籽若干包，这样小刘实际支付比计划少12元，则小刘实际购买三种蔬菜籽共_____包．【答案】84．【分析】设计划买丝瓜籽数量为a包，茄子籽b包，白菜籽c包，则3≤a≤6，0≤b≤19，c为7的倍数，且均为整数，根据题意，a+b+c=100，分情况列出所有可能的a，b，c，再分别计算出各种条件下的计划支付价格m，设实际购买丝瓜数量为x包，茄子籽y包，则实际：6≤x≤12，0≤y≤19，且x仅能为6、8、10、12（对应的a分别为3、4、5、6），进而求出符合条件的整数x和y的值，最后求出共计买的包数．【详解】设计划买丝瓜籽数量为a包，茄子籽b包，白菜籽c包，则3≤a≤6，0≤b≤19，c为7的倍数，且均为整数，根据题意，a+b+c＝100，分情况列出所有可能的a，b，c，具体如下：①a＝3时，b＝13，c＝84或b＝6，c＝91，②a＝4时，b＝12，c＝84或b＝5，c＝91，③a＝5时，b＝11，c＝84或b＝4，c＝91，④a＝6时，b＝10，c＝84或b＝3，c＝91，再分别计算出各种条件下的计划支付价格m，设实际购买丝瓜数量为x包，茄子籽y包，则：实际：6≤x≤12，0≤y≤19，且x仅能为6、8、10、12（对应的a分别为3、4、5、6），∵10元买白菜籽，∴10×7＝70（包），又∵实际支付比计划少12元，3x+4y+70＝m﹣12，⑤∴将x＝6、8、10、12分别代入⑤式，计算得符合条件的整数y，经计算，x＝10，y＝4时，符合上述所有不等式，∴共计买10+4+70＝84（包）．故答案为：84．【点睛】本题考查了三元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意求整数解．12．为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为____元．【答案】1230．【分析】设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a ，b ，c ，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a ，2b ，4c ，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a ，4b ，2c ．根据题意得到关于a ，b ，c 方程组，根据a ，b ，c 均为正整数，求解即可．【详解】设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a ，b ，c ，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a ，2b ，4c ，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a ，4b ，2c ．由题意得()()2502107025105012020503010420a b c a b c a b c ++=⎧⎪⎨++-++=⎪⎩，即25217251942a b c b c ++=⎧⎨+=⎩，其整数解为42372521231225a n b n c n =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（其中n 为整数），又∵a ，b ，c 均是正整数，易得n =1.所以546a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.∴150a +60b +40c =150×5+60×4+40×6=1230．故答案为：1230．另解：由上9b +c =42，得知b =1，2，3，4.列举符合题意的解即可．【点睛】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意得到方程组，求出方程组的整数解是解题关键．解题时注意题目中隐含条件a ，b ，c ，均为正整数．13．已知每件A 奖品价格相同，每件B 奖品价格相同，老师要网购A,B 两种奖品16件，若购买A 奖品9件、B 奖品7件，则微信钱包内的钱会差230元；若购买A奖品7件、B奖品9件，则微信钱包的钱会剩余230元，老师实际购买了A奖品1件，B奖品15件，则微信钱包内的钱会剩余__________元.【答案】1610【解析】【分析】设A奖品价格为x元/个，B奖品价格为y元/个，微信钱包金额为z元，根据题意可得9x+7y=z+230,7x+9y=z-230,从而得到8x+8y=z,x-y=230,从而得到结论.【详解】设A奖品价格为x元/个，B奖品价格为y元/个，微信钱包金额为z元，根据题意得：{9x+7y=z+230①7x+9y=z−230②,由①+②得：16x+16y=2z,即8x+8y=z,则微信钱包金额刚好可以买8个A产品和8个B产品，由①－②得：2x-2y=460,即x-y=230,则A的价格比B的价格多230元,∴x+15y=8x+8y-7(x-y)=z-7×230=z-1610,∴微信钱包内的钱会剩余1610元.【点睛】考查了方程组的应用，解题关键是求得微信钱包金额刚好可以买8个A产品和8个B产品和A的价格比B的价格多230元，再将x+15y变形成=8x+8y-7(x-y)的形式.14．2019年秋，重庆二外初2021级将开启“大阅读”活动，为了充实书吧藏书，学生会号召全年级学生捐书，得到各班的大力支持.同时，年级部分备课组的老师也购买藏书充实到年级书吧，其中数学组购买了甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去699元；语文组购买了A、B两种文学书籍若干本，用去6138元，已知A、B的数量分别与甲、乙的数量相等，且甲种书与B种书的单价相同，乙种书与A种书的单价相同.若甲种书的单价比乙种书的单价多7元，则乙种书籍比甲种书籍多买了__________本．【答案】777【分析】设乙种书与A种书的单价为x元，则甲种书与B种书的单价为(x+7)元，甲种书与A种书的数量为a本，乙种书与B 种书的数量为b本，根据单价乘以数量等于总价，建立方程组，整理即可得出b-a的值．【详解】设乙种书与A种书的单价为x元，则甲种书与B种书的单价为(x+7)元，设甲种书与A种书的数量为a本，乙种书与B种书的数量为b本，由题意得：()()()()76991761382 a x bxax b x⎧++=⎪⎨++=⎪⎩()()21-得775439-=b a∴777-=b a故答案为：777．【点睛】本题考查方程组的应用，熟练掌握单价乘以数量等于总价，建立方程组是解题的关键．15．某厂家以A 、B 两种原料，利用不同的工艺手法生产出了甲、乙两种袋装产品，其中，甲产品每袋含1.5千克A 原料、1.5千克B 原料；乙产品每袋含2千克A 原料、1千克B 原料．甲、乙两种产品每袋的成本价分别为袋中两种原料的成本价之和．若甲产品每袋售价72元，则利润率为20%．某节庆日，厂家准备生产若干袋甲产品和乙产品，甲产品和乙产品的数量和不超过100袋，会计在核算成本的时候把A 原料和B 原料的单价看反了，后面发现如果不看反，那么实际成本比核算时的成本少500元，那么厂家在生产甲乙两种产品时实际成本最多为_____元．【答案】5750【解析】【分析】根据题意设甲产品的成本价格为b 元，求出b ，可知A 原料与B 原料的成本和40元，然后设A 种原料成本价格x 元，B 种原料成本价格(40﹣x )元，生产甲产品m 袋，乙产品n 袋，列出方程组得到xn ＝20n ﹣250，最后设生产甲乙产品的实际成本为W 元，即可解答【详解】∵甲产品每袋售价72元，则利润率为20%．设甲产品的成本价格为b 元， ∴72-b b＝20%， ∴b ＝60，∴甲产品的成本价格60元，∴1.5kgA 原料与1.5kgB 原料的成本和60元，∴A 原料与B 原料的成本和40元，设A 种原料成本价格x 元，B 种原料成本价格(40﹣x )元，生产甲产品m 袋，乙产品n 袋，根据题意得：10060(240)50060(802)m n m x x n m n x x +≤⎧⎨++-+=+-+⎩， ∴xn ＝20n ﹣250，设生产甲乙产品的实际成本为W 元，则有W ＝60m +40n +xn ，∴W ＝60m +40n +20n ﹣250＝60(m +n )﹣250，∵m +n ≤100，∴W ≤6250；∴生产甲乙产品的实际成本最多为5750元，故答案为5750；【点睛】此题考查不等式和二元一次方程的解，解题关键在于求出甲产品的成本价格16．王老师在期中考试过后，决定给同学们发放奖品．他到对面 one way 文具店看了一下，准备买一些钢笔和笔记本，再给班级购买一个中考倒计时电子显示屏，经预算总共需要1501元，其中电子显示屏的价格为41元．当他付款时才发现他把钢笔和笔记本的单价弄反了，由于王老师购物金额超过1000元，文具店免费赠送了一个电子显示屏．这样实际付款后预算资金还剩余100多元（剩余资金为整数），正好能再购买1支钢笔和1个笔记本，王老师计划购买__________件奖品．【答案】20【分析】首先设购买x 支钢笔和y 个笔记本，每支钢笔a 元，每个笔记本b 元，然后根据题意列出方程组，根据整数解即可得解.【详解】设购买x 支钢笔和y 个笔记本，每支钢笔a 元，每个笔记本b 元，4115011501bx ay ax by a b ++=⎧⎨+++=⎩①② +①②，得()()2961a b x a b y a b +++++=29611x y a b+=-+ ∴100200a b +＜＜∴x y +可取的整数为14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28∵()(),x y a b ++为整数∴20x y +=即王老师计划购买20件奖品.【点睛】此题主要考查列二元一次方程组解实际问题的运用，解题关键是找到等量关系建立方程.17．近日天气晴朗，某集团公司准备组织全体员工外出踏青．决定租用甲、乙、丙三种型号的巴士出行，甲型巴士每辆车的乘载量是乙型巴士的3倍，丙型巴士每辆可乘坐36人．现在旅游公司有甲、乙、丙型巴士若干辆，预计给该集团公司安排申型、丙型巴士共计8辆，其余员工安排乙型巴士，每辆巴士均满载，这样乘坐乙型巴士和丙型巴士的员工共296人．临行前，突然有若干人因特殊原因请假，这样一来刚好可以减少租用一辆乙型包士，且有一辆乙型巴士多出两个空位，这样甲、乙两种型号巴士共计装载178人；则该集团公司共有________名员工．【答案】416【分析】设甲型巴士a 辆，乙型巴士b 辆，丙型巴士（8-a ）辆，乙型巴士乘载量为x 人，由题意列出方程，由整数解的思想可求解．【详解】解：设甲型巴士a 辆，乙型巴士b 辆，丙型巴士（8-a ）辆，乙型巴士乘载量为x 人，由题意可得：36(8)2963(1)1782xb a xa x b +-=⎧⎨+-=+⎩，解得：x=1723631a a --， ∵1≤a ≤7，且a 为整数，∴168a x =⎧⎨=⎩（不合题意舍去），220a x =⎧⎨=⎩，38a x =⎧⎨=⎩（不合题意舍去）， ∴2036(82)296b +⨯-=，∴b=4，∴总人数=2×60+4×20+36×6=416（人）故答案为：416．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意，正确列出方程，利用整数解的思想解决问题是本题的关键． 18．某餐厅以A 、B 两种食材，利用不同的搭配方式推出了两款健康餐，其中，甲产品每份含200克A 、200克B ；乙产品每份含200克A 、100克B ．甲、乙两种产品每份的成本价分别为A 、B 两种食材的成本价之和，若甲产品每份成本价为16元．店家在核算成本的时候把A 、B 两种食材单价看反了，实际成本比核算时的成本多688元，如果每天甲销量的4倍和乙销量的3倍之和不超过120份，那么餐厅每天实际成本最多为______元．【答案】824【分析】先求出100克A 原料和100克B 原料的成本和，再设100克A 原料的成本为m 元，则100克B 种原料的成本为(8)m -元，生产甲产品x 份，乙产品y 份，根据题意列方程求出【详解】解：∵甲产品每份含200克A 、200克B ，甲产品每份成本价为16元∴100克A 原料和100克B 原料的成本为8元设100克A 原料的成本为m 元，则100克B 种原料的成本为(8)m -元，生产甲产品x 份，乙产品y 份，根据题意可得出：。

小学奥数-不定方程(教师版)

小学奥数-不定方程(教师版)不定方程是解决列方程组应用问题时的一种方法。

当未知数的个数多于方程的个数时，就会出现不定方程。

不定方程也称为丢番图方程，以纪念古希腊数学家丢番图。

在数学研究中，不定方程有着举足轻重的地位。

因此，在小学阶段打下扎实的基础非常重要。

不定方程出现的原因是联立方程的条件不足，因此一般情况下会有无数多个解。

但是，我们需要注意到它的预定义条件，如未知项是自然数，数码不仅是自然数，而且是一位数等等。

题干中也可能给出限制条件，这样就使得不定方程的解得以确定。

然而，这种情况下的解不止一种。

不定方程的解有时比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。

如果考虑到题中的限制范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解。

解答这类方程必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。

例如，求解方程5x+2y=27的正整数解。

因为2y为偶数，27为奇数，所以5x为奇数，即x为奇数。

因此，x可以取1、3、5等奇数，对应的y分别为11、6、1.再例如，求解方程4x+10y=34的正整数解。

因为4与10的最大公约数为2，而2可以整除34，因此两边约去2后，得到2x+5y=17.5y的个位数只能是0或5，而2x的个位数是2，因此x的取值为1、6、11等。

代入方程可得到两组整数解：x=1时，y=3；x=6时，y=1.最后，以一个实际问题为例，假设有14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号每个重8克，小号每个重5克。

问：大、中、小号钢珠各多少个？这是一个不定方程问题。

设大、中、小号钢珠的个数分别为a、b、c，则可以列出方程12a+8b+5c=100.解方程可得a=2，b=1，c=6，因此大号钢珠有2个，中号有1个，小号有6个。

y≤15)又因为小花狗和波斯猫每次见面都要各自叫两声，所以总共叫声数为4x+3y。

又知总共见面次数为x+y，所以4x+3y=2(x+y)，化简得2x=3y，因此x和y必须同时是3的倍数。

中考不定方程专题

不定方程一：搭配销售利润率问题（-=100%商品的售价商品的成本价商品的利润率商品的成本价）例1、某厂家以A、B两种原料,利用不同的工艺手法生产出了甲、乙、丙三种袋装广品,其中,甲产品毎袋含1千克A原料、3千克B原料；乙产品毎袋含2千克A原料、1千克B原料丙产品毎袋含有1千克A原料、1千克B原料.若丙产品毎袋售价42元,利润率为20%. 某节庆日,该电商进行促销活动，将甲、乙、丙各一袋合装成礼品盒,毎购买一个礼品盒可免費贈送一袋乙产品, 这样可实现利润率为30%，则礼品盒售价为迁移练习1、某商店中销售水果吋采用了三种组合搭配的方式进行销售,甲种搭配是: 2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配是: 3千克A水果, 8千克B水果, I千克C水果:丙种搭配是: 2千克A水果, 6千克B水果, 1克C水果；如果A水果毎千克售价为2元, B水果毎千克售价为1.2元C水果毎千克售价10元,某天,商店采用三种组合搭配的方式进行销售后共得销售额441.2元，并且A水果销售额116元，那么C水果的销售额是元例2、为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮。

其中，甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮。

甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中,,A B C 三种粗粮的成本价之和。

已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%。

若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是。

迁移练习2-1、中秋来临，为促进销售，某面包店将A 、B 、C 三种月饼以甲、乙两种方式进行搭配销售，两种方式均配成本为5元的包装箱。

甲方式每箱含A 月饼1千克，B 月饼1千克，C 月饼3千克；乙方式每箱含A 月饼3千克，B 月饼1千克，C 月饼1千克。

已知每千克C 月饼比每千克A 月饼成本价高2.5元，甲种方式（含包装箱）每箱成本为55元。

不定方程和解不定方程应用题经典

不定方程———研究其解法方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。

然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。

一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。

二、不定方程的解法 1、筛选试验法根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。

如：方程x ﹢y ﹢z = 100共有几组正整数解？解：当x = 1时y ﹢z = 99，这时共有98个解：(y ，z)为(1，98) (2，97)……(98，1)。

当x = 2时y ﹢z = 98，这时共有97个解：(y ，z)为(1，97) (2，96)……(97，1)。

……当 x = 98时，y ﹢z = 2，这时有一个解。

∵ 98﹢97﹢96﹢……﹢1= 29998⨯= 4851∴ 方程x ﹢y ﹢z = 100共有4851个正整数解。

2、表格记数法如：方程式4x ﹢7 y =55共有哪些正整数解。

解：× × × × √ √ ∴ 方程4x ﹢7 y =55的正整数解有x = 5 x = 12y = 5 y = 1 3、分离系数法如：求7x ﹢2 y =38的整数解解： y =2738X -=19-3x-21x令 t=21x x=2 t则 y=22738t⨯-=19-7t2t ＞019-7t ＞0 （t 为整）→ 275＞t ＞0 t=2，1当 t=2时， x=2×2=4 x=4y=19-7×2=5 y =5当 t=1时， x=2×1=2 x=2y=19-7×1=12 y=12第四十周不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。

不定方程(含答案)

不定方程（一）1、某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环上，问他命中10环、7环、5环各几发？2、妈妈用14·3元买回来苹果、梨和桔子共2元，梨每千克1·6元，桔子每千克1·1元，问苹果与梨、桔子各是多少千克？3、新发行的一套邮票共3枚，面值分别为20分、40分、和50分。

小明花5·00元买了15张，问：其中三种面值的邮票各多少张？4、某次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生原计划一等奖每人发6只，二等奖的学生每人发3支，三等奖的学生每人发2支，后来又改为一等奖每人发9支，二等奖每人发4支，三等奖的学生每人发1支，问获一、二、三等奖的学生各几人？5、图中两个矩形的面积之各为43厘米，两个矩形的边长都是整厘米数，求两个矩形的面积之差？6、一批布长36米，此布做一套成人衣服用布3米，做一套儿童衣服用布1·6米，在把这批布刚好用完，应做多少套成人衣服，多少套儿童衣服？7、工程队铺设78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米的两种管子，问：可以有多少种不同的取法？8、某地收取电费的标准是：若每月用电不超过50千瓦时，则每千瓦收取电费5角，若超过50千瓦时，则超过部分按每千瓦时8角收费，某月甲户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲乙各用了多少千瓦时电？9、庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知个大和尚每天吃41个馒头不，29个小和尚每天共吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头，问庙里至少有多少个和尚？10、小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候，若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声，若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声，细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在15天中它们共叫了61声。

问波斯猫至少叫了多少声？11、袋子里有三种球，分别有数字2、3、和5，小明从中摸出向个球，它们的数字之和是43。

精选初级中学不定方程方程组练习题

不定方程、方程组所谓天才人物指的就是具有毅力的人、勤奋的人、入迷的人和忘我的人．——————木村六一【知识纵横】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定．对于不定方程（组），我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：设d c b a 、、、为整数，则不定方程c by ax =+有如下两个重要命题：（1）若d b a =),(，且d 不能被c 整除，则不定方程c by ax =+没有整数解；（2）若00,y x 是方程c by ax =+且1),(=b a 的一组整数解（称特解），则⎩⎨⎧-=+=t at y y bt x x (00为整数）是方程的全部整数解（称通解）．解不定方程（组），没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等．【例题求解】例1 （1）正整数n m ,满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为_____________．（2）小纪念册每本5元，大纪念册每本7元．小明买这两种纪念册花了142元，则两种纪念册最少共买_______________本．例2 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（）．例3 （1）求方程65215=+y x 的所有整数解．（2）求不定方程97875=+y x 的正整数解的组数．（3）求方程65111=++z y x 的正整数解．例4 一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？例5 中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？例6 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人31个核桃，三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学？【学力训练】基础夯实1、已知z y x ,,满足952-+==+y xy z y x 及，则=++z y x 32______________．2、已知22222275632),0(072,0634z y x z y x xyz z y x z y x ++++≠=-+=--那么的值为_____． 3、用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有__________种不同的买法．4、购买5种数学用品A A A A A 、、、、的件数和用钱总数列成下表：5、希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个，其总价值为330元，这三种球的价格为分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有_________________个．6、方程1)2()1(22=-++y x 的整数解有（）．A ．1组B ．2组C ．4组D ．无数组7、方程013=-++y x x 的整数解有（）． A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组8、以下是一个六位数乘上一个数的竖式，f e d c b a 、、、、、各代表一个数（不一定相同），则=+++++f e d c b a （）．efabcdabcdef4⨯A ．7B ．24C ．30D ．无法确定9、求下列方程的整数解：（1）7511=+y x ；（2）xy y x 34=+；（3）求不定方程211137=+y x 的正整数解．10、在车站开始检票时，有)0(>a a 名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？11、司机小李驾车在公路上匀速行驶，他看到里程牌上的数是两位数，1小时后，看到里程牌上的数恰是第一看到的数的颠倒了顺序的两位数，再过一小时后，第三次看到里程牌上的数又恰好是第一见到的两位数字之间添上一个零的三位数，这三块里程牌上的数各是多少？【能力拓展】12、满足)19980(199719982222<<<+=+n m n m 的整数对),(n m 共有________对．13、方程2111=+y x 的正整数解为______________________． 14、1998年某人的年龄恰等于他的出生的公元年的数字之和，那么他的年龄是________．15、江堤边一洼池发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么，至少需要抽水机_______________台．16、有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需_____________元．17、一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，篮球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过_______________个．18、若干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等．如果每辆汽车乘坐30人，那么，有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上．已知每辆汽车最多容纳40人，问有游客多少人？19、某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得1690，求此人家的电话号码．综合创新20、当20=x 时，一个关于x 的二次三项式的值等于694．若该二次三项式的系数及常数项都是绝对值小于10的整数，求满足条件的所有二次三项式．21、一支科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区．他们出发后以每天17㎞的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25㎞的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24㎞后回到出发点．试问：科学考察队在生态区考察了多少天？。

18题不定方程

18题不定⽅程不定⽅程（组）是指未知数的个数多于⽅程的个数的⽅程（组），其特点是解往往有⽆穷多个，不能唯⼀确定。

对于不定⽅程（组），我们往往限定只求整数解，甚⾄只求正整数解，加上限制条件后，解就可以确定。

解不定⽅程（组），没有现成的模式、固定的⽅法可循，需要依据⽅程（组）的特点进⾏恰当的变形，并灵活运⽤以下知识与⽅法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因式分解、配⽅、利⽤⾮负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。

分离整系数法：1268012612801601280166++=++++=++n n n n n n n n 穷举法（complete search ）：根据题⽬的部分条件确定答案的⼤致范围，并在此范围内对所有可能的情况逐⼀验证，知道全部情况验证完毕。

整体思想1.①（巴蜀中学初2019级九上期末18题）某⽔果销售商在年末准备购进⼀批⽔果进⾏销售，经过市场调查，发现芒果、车厘⼦、奇异果和⽕龙果⽐较受顾客喜爱，于是制定了进货⽅案。

其中芒果、车厘⼦的进货量与奇异果、⽕龙果的进货量分别相同，⽽芒果、车厘⼦的单价与⽕龙果、奇异果的单价分别相同，已知芒果和车厘⼦的单价和为每千克180元，且芒果和车厘⼦的进货总价奇异果和⽕龙果的进货总价多863元。

由于年末资⾦周转不开，所以临时决定只购进芒果和车厘⼦，芒果和车厘⼦的进货量与原⽅案相同，且进货量总数不超过kg 300，则该⽔果商最多需要准备_________元进货资⾦。

②（重庆⼀中2019级九下⼊学测试18题）2019春节期间，为提倡⽂明、环保祭祖，某烟花销售商拟今年不再销售烟花爆⽵，改为销售鲜花。

经过市场调查，发现有甲、⼄、丙、丁四种鲜花组合⽐较受顾客的喜爱，于是制定了进货⽅案。

其中甲、丙的进货量相同，⼄、丁的进货量相同。

甲与丁单价相同，甲、⼄与丙、丁的单价和均为88元/束。

且甲、⼄的进货总价⽐丙、丁的进货总价多800元。

由于年末资⾦周转紧张，所以临时决定只购进甲、⼄两种组合，甲、⼄的进货量与原⽅案相同，且进货量总数不超过500束，则该销售商最多需要准备___________元进货资⾦。

不定方程-含答案

不定方程1.为响应“天猫6.18年中大促“活动，6月18日某零食店推出了甲、乙、丙三类饼干礼包，已知甲、乙、丙三类礼包均由A 、B 、C 三种饼干搭配而成，每袋礼包的成本均为A 、B 、C 三种饼干成本之和．每袋甲类礼包有5包A 种饼干、2包B 种饼干、8包C 种饼干；每袋丙类礼包有7包A 种饼干、1包B 种饼干、4包C 种饼干．已知甲每袋成本是该袋中A 种饼干成本的3倍，利润率为30%；每袋乙的成本是其售价的，利润是每袋甲利润；每袋丙礼包利润率为25%，若该网店6月18日当天销售甲、乙、丙三种礼包袋数之比为4：6：5，则当天该网店销售总利润率为．2.借力双11购物狂欢节，小南商铺11月1日就开始对店中的中筒袜和长筒袜进行了线上和线下促销，当天销售结束后统计发现，线上销售的袜子数量和线下销售的袜子数量相同，线上销售长筒袜的数量占线上销售数量的32，线下销售的中筒袜和长筒袜单价相等，均为线上两种袜子的单价之和，线上和线下总销售额为5390元，且线上和线下的总销量不少于750双，不超过950双，线上、线下两种袜子的单价均为整数，则线上长筒袜的销售额为元．3.山间白云缭绕，似雾非雾，似烟非烟，磅礴郁积，气象万千，古人称“赤多白少”为“缙”，故名缙云山．正是这特殊的地理环境，独特的气候，赋予了缙云山甜茶汤色碧绿清爽，气味芳鲜醇和．甜茶还富含人体所需的8钟氨基酸，大量维生素及微量元素，健康养生，独具风味．故来此游玩的人们，临走时都会带一些回家送亲朋好友．商家为了促销，采取以套盒包装的方式进行销售，套盒A ：买三大袋和一中袋送一中袋；套盒B ：买两大袋和两中袋送一小袋．套盒A 和套盒B 的售价之比为37∶34．小华计划购买一定数量的套盒A 与套盒B ，由于资金不够，他思考了一下，决定将原本计划买套盒A 和套盒B 的数量进行调换，同时商店老板决定将套盒A 打8折卖给他，套盒B 价格不变，这样原计划所用花费与实际所用花费之差恰好可以购买7袋中袋的甜茶，则小华一共购买了个套盒．4.中秋、国庆“双节”前，某酒店推出甲，乙两种包装的月饼，其中甲种包装有五仁饼3个，莲蓉饼3个，豆沙饼2个，乙种包装有五仁饼1个，莲蓉饼1个，豆沙饼2个，每种包装每盒月饼的成本价为该盒中所有月饼的成本价之和．已知每个五仁饼与每个莲蓉饼的成本价之比为5∶4，每盒乙包装月饼售价98元，利润率是40%，两种包装的月饼共50盒总价6123元，总利润率是30%．中秋节后，为降价促销，甲种包装每盒每类月饼各少装一个，乙种包装每盒少装月饼后售价降为原来的一半，利润率不变，那么这样包装的两种月饼共50盒的总成本是元（其中甲种包装少装月饼后的盒数与节前50盒中甲种包装月饼的盒数相同，当然乙种包装盒数也相同）．5.重庆某笔记本电脑公司每年都会组织员工出国学习旅行，今年有A、B、C、D四个国家可供员工们选择（每名员工只能选择一个国家旅行），但要求选择A、C两个国家的人数相同，选择B、D两个国家的人数也相同，选择A、B两国的人数总和为100人，A、D两国的费用单价相等，B、C两个国的费用单价也相等，A、B两国的费用单价之和不超过8万元，且选择A、B两个国家的员工总费用比选择C、D两个国家员工总费用多20万元，则选择A、B两个国家员工总费用的最大值为万元．6.2021元旦期间，车厘子和草莓产量增加致使价格逐渐走低，天猫APP为了年末促销，均以车厘子、草莓为原料，组装了出了三种水果礼盒（不同礼盒选取得车厘子和草莓成本相同，礼盒包装成本忽略不计）．其中，A礼盒每盒含1千克车厘子、1千克草莓；B礼盒每盒含2千克车厘子、1千克草莓；C 礼盒每盒含1千克车厘子、3千克草莓．A礼盒每盒售价96元，利润率为20％．农历新年期间，平台进行促销活动，将A、B、C礼盒各一盒合组装成大礼包，并且每购买一个大礼包可免费赠送一个B礼盒．这样即可实现利润率为25％，则每个大礼包的售价为______元．7.某公司有A、B、C三种货车若干辆，A、B、C每辆货车的日运货量之比为1∶2∶3，为应对双11物流高峰，该公司重新调配了这三种货车的数量，调配后，B货车数量增加一倍，A、C货车数量各减少50%，三种货车日运货总量增加25%，按调配后的运力，三种货车在本地运完一堆货物需要20天，但A、C两种货车运了若干天后全部被派往外地执行其它任务，剩下的货物留给B货车继续运完，B货车运输时间刚好为A、C两种货车在本地运输时间的6倍，则A、C货车的运货总量与B车的运货总量之比为8.某超市计划用2760元刚．好．购进A、B、C三种坚果礼盒，其中B礼盒数量不超过A礼盒数量，且B礼盒不少于C礼盒数量的一半．已知A礼盒每箱60元，B礼盒每箱80元，C礼盒每箱100元．在价格不变的条件下，超市实际购进A礼盒数量是计划的倍，C礼盒数量是计划的际购进三种礼盒数量不变，实际花费2700元，则小王实际购进B礼盒比C礼盒多箱．9.某科技公司推出一款新的电子产品，该产品有三种型号．通过市场调研后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A型、B型、C型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，40%出售（三种型号的成本相同）．经过一个季度的经营后，发现C型产品的销量占总销量的30%．第二个季度，公司决定对三种产品进行升级，升级后B产品的成本提高了25%，销量提高了20%；A、C产品成本不变，销量之和提高50%，且三种产品在二季度成本基础上分别加价20%，40%，20%出售，则第二个季度的总利润率为10.今年春节，小李决定返乡过节，并根据实际情况，考察了三条不同的返乡路线（A线、B线、C线）到达W市，其中，B路线的总路程比A路线的总路程多32%，C路程的总路程是A路线的2倍．出行的方式有飞机，动车，汽车三种（三种出行方式速度为平均速度，不受线路影响，每种出行方式平均速度一样），已知动车形式6小时的路程与汽车行驶9小时的路程相等．其中A线路需要坐3个小时的飞机，2个小时的动车，2个小时的汽车到达，是C线路总时间的一半。

不定方程填空题专题

不定方程填空题专题解题技巧:1.所涉及的未知量都可以用不同的未知数进行表示（通常会涉及到多个未知数）.2.有关联的未知量（比例关系、大小关系）尽量用含相同未知数的式子进行表示.3.表示未知量之间的关系用图表形式更直观，更好分析.开胃小菜：【例1】柯柯和爸爸一起去登山，已知上山的速度是4千米/小时，沿相同的道路下山，速度为6千米/小时，那么柯柯上山和下山的平均速度为_______千米/小时.【例2】甲、乙两个手机门店销售同一款手机，售价保持相同，但由于乙手机店该手机的进价比甲手机店降低了8%，因而利润率比甲增加了10个百分点，则甲手机店销售该款手机的利润率为_______一、组合方程问题【例1】某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景。

甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成。

这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，由黄花一共用了_______朵。

某商店中销售水果时采用了三种组合搭配的方式进行销售，第一种方式是：2千克A 水果，4千克B 水果；第二种方式是：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；第三种方式是：2千克A 水果，6千克B 水果，1千克C 水果；如果A 水果的销售价为2元，B 水果每千克售价为1.2元，C 水果每千克售价为10元，某天，商店采用三种组合搭配的方式进行销售后共得销售额441.2元，并且A 水果销售额116元，那么C 水果的销售额是_______元.【例3】甲、乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往重庆，这样两厂的产品就能占有重庆市场同类产品的34。

然而实际情况并不理想，甲厂仅有12的产品、乙厂仅有13的产品销到了重庆，两厂的产品仅占了重庆市场同类产品的13。

则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为_______。

【例4】为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粮，其中，甲种粗粮每袋装3千克A 粗粮，1千克B 粗粮，1千克C 粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A 粗粮，2千克B 粗粮，2千克C 粗粮，甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A 、B 、C 三种粗粮的成本价之和，已知A 粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%，若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是___________.（100%-⨯=商品的成本价商品的成本价商品的售价商品的利润率）1.某商场为了迎接周年庆的到来，分别用红、黄、蓝三种颜色的气球布置了A、B、C三种造型，其中A种造型由9个红色气球、21个黄色气球和10个蓝色气球搭配而成，B种造型由21个红色气球、39个黄色气球和10个蓝色气球搭配而成，C种造型由3个红色气球、12个黄色气球和10个蓝色气球搭配而成，这些造型一共用了420个红色气球，1080个黄色气球，则蓝色气球一共用了________个.2. 中秋节来临，为促进销售，某面包店将A、B、C三种月饼以甲、乙两种方式进行搭配销售，两种方式均配成本价为5元的包装箱.甲方式每箱含A月饼1千克，B月饼1千克，C月饼3千克，乙方式每箱含A月饼3千克，B月饼1千克，C月饼1千克.已知每千克C月饼比每千克A月饼成本价高2.5元，甲种方式（含包装箱）每箱成本为55元，现甲、乙两种方式分别在成本价（含包装箱）基础上提价20%和35%进行销售，两种方式销售完毕后总利润率达30%，则甲、乙两种方式的销售量之比为____________.二、增长率问题【例1】某公司销售A、B、C三种产品，在去年的销售中，高新产品C的销售金额占总销售金额的40%．由于受国际金融危机的影响，今年A、B两种产品的销售金额都将比去年减少20%，因而高新产品C是今年销售的重点．若要使今年的总销售金额与去年持平，那么今年高新产品C的销售金额应比去年增加______%．某店出售甲、乙、丙三种不同型号的电动车，已知甲型车的第一季度销售额占这三种车总销售额的56℅，第二季度乙、丙两种型号的车的销售额比第一季度减少了a%，但该商场电动车的总销售额比第一季度增加了12%，且甲型车的销售额比第一季度增加了23%，则a 的值为_______。

初一数学竞赛训练题(不定方程)

初一数学竞赛训练题（五）（不定方程）
1、某人的生日月份数乘以31，生日的日期乘以12，相加后347，求此人的生日。

2、某旅游团一行50人到一旅馆住宿，旅馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中，三人间的每人每天30元，二人间的每人每天40元，单人间的每天50元。

如果旅游团共住满了20间客房，问三种客房各住几间？怎样消费最低？
3、房间有凳子、椅子若干，每个凳子有3条腿，每把椅子有4条腿。

当它们都被人坐上后，共人腿35条（其中每人仅一条腿），问房间里有凳子、椅子各多少？
4、一篮鸡蛋，若三个三个地数多一个；若五个五个地数多二个；若七个七个地数多六个。

则这篮鸡蛋至少有多少个？
5、找出所有具有下面性质的两位数，使得恰为原数的倍数。

6、老师将全班40人分成三种课外小组，语文组每组3人，数学组每组8人，外语组每组2人，问语文组、数学组、外语组各有多少组？
7、矩形边长为整数，周长与面积数值上相等，求边长？
8、某同学将自己的生日的月份乘以31，将生日的日期乘以12，其和为189，试求这个同学的生日。

9、大客车48个座位，小客车30个座位，现有306个乘客，要求每个乘客都有座位且不空位，需要大、小客车各几辆？
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暑假第三周不定方程-答案

2017七下培优11 不定方程姓名1、正整数m,n 满足8m+9n=mn+16，求m 的最大值。

91656988n m n n -==+--，m 的最大值为65。

2、某旅游团租乘同类型客车若干辆，如果每辆车做22人，就会有1人余下；如果开走一辆空车，则所有人刚好平均分乘在留下的客车上。

问原先租多少辆客车？共有游客多少人？设原先租车x 辆，开走一辆后，每辆车乘坐k 人。

22x+1=k （x-1）, 221232211x k x x +==+-- X=2或24 ，x=2不符合题意，x=24，乘客529人3、已知a ，b ，c 为整数，a+b=2006，c-a=2005，若a ＜b ，求a+b+c 的最大值。

4011,2006,a b c a a b ++=++=a ＜6,2a ＜2006，a 为正整数，∴a 的最大值为1002， ∴a+b+c 的最大值为50134、点兵点将，若一千零一卒为一营，则剩1人，若一千零二卒为一营，则剩4卒，问此次点兵至少多少人？设第一次点兵共x 营，第二次点兵共y 营，则1001x+1=1002y+4，10023100133100110011001y y y y x y ++++===+ ，此时y=998，至少1000000人5、某次足球比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。

某球队参赛15场，积分33分，不考虑比赛顺序，问该球队胜、平、负的情况有几种？3种6、一个盒子里装有不多于200粒的棋子，如果每次2粒、3粒、4粒、6粒地取出，最终盒子内都剩1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，问盒子里共有多少粒棋子。

设盒子里共有x 粒棋子，则x 被2,3,4,6的最小公倍数12除时，余数为1，即x=12a+1（a 为自然数），又x=11b （b 为自然数），得12a+1=11b ，12111111a a b a ++==+， 0＜x ≤200，0＜12a+1≤200，得701612a p p ，a=10，∴x=121 7、某次考试以65分为及格分数线，全班的总平均分为66分，而所有成绩及格的学生的平均分为71分，所有成绩不及格的学生的平均分为56分。

不定方程填空题专题

不定方程填空题专题【例1】某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景。

甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成。

这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，由黄花一共用了_______朵。

【例2】某商店中销售水果时采用了三种组合搭配的方式进行销售，第一种方式是：2千克A 水果，4千克B 水果；第二种方式是：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；第三种方式是：2千克A 水果，6千克B 水果，1千克C 水果；如果A 水果的销售价为2元，B 水果每千克售价为1.2元，C 水果每千克售价为10元，某天，商店采用三种组合搭配的方式进行销售后共得销售额441.2元，并且A 水果销售额116元，那么C 水果的销售额是_______元.【例3】为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粮，其中，甲种粗粮每袋装3千克A 粗粮，1千克B 粗粮，1千克C 粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A 粗粮，2千克B 粗粮，2千克C 粗粮，甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A 、B 、C 三种粗粮的成本价之和，已知A 粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%，若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是___________.（100%-⨯=商品的成本价商品的成本价商品的售价商品的利润率）221239620%3156某商家根据游客喜好，现推出踏青福袋和平安福袋两种包装，踏青福袋中有袋火锅底料袋陈麻花；平安福袋中有袋火锅底料，袋陈麻花，袋合川桃片，两种福袋的成本价分别为袋中物品的成本之和，已知踏青福袋每袋的售价为元，利润率为，每袋陈麻花的成本是每盒合川桃片的倍，小长假期间，由于客流量较大，一天卖出两种福袋共计袋，工作人员在核算当日卖出的福袋总成本的时候把火锅底料和麻花的1000_____成本看反了，后面发现如果不看反，那么当日卖出福袋的市价总成本比核算时的成本少了元，则当日卖出的福袋实际总成本为元。

数学六年级第11讲不定方程(教师版+学生版,含详细解析)

第11讲不定方程兴趣篇1、有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。

问：大、小油桶各几个？【答案】大油桶3个，小油桶4个【分析】设大桶x个，，小桶y个，则8x+5y=44。

尾数判断：y必为偶数，8x尾数为4。

那么有8x=24⇒x=3y=（44-24）÷5=4答：有大油桶3个，小油桶4个。

2、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个。

问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？【答案】大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个【分析】设大盒子x个，小盒子y个，则12x+7y=150两边取7的模，有()53mod7x≡x=2+7k（k N∈）又x≤15012.512=，故x共有2个取值：2，9。

不定方程有2组正整数解：218xy=⎧⎨=⎩，96xy=⎧⎨=⎩答：需要2个大盒子，18个小盒子或9个大盒子，6个小盒子。

3、小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候。

若是早晨见面，小花狗叫2声，波斯猫叫1声；若是晚上见面，小花狗叫2声，波斯猫叫3声。

细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声。

问：波斯猫至少叫了多少声？【答案】27声【分析】依题意，猫狗早晨见面，共叫了3声，晚上见面，共叫了5声，设它们15天中白天见面x次，晚上见面y次，显然x，y≤15，那么3x+5y=61，两边取5的模，有：31(mod5)25()x x k k N≡⇒=+∈有3组解：211xy=⎧⎨=⎩，78xy=⎧⎨=⎩，125xy=⎧⎨=⎩对应的小猫分别叫了：35，31，27次，故最少叫27声。

4、庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共七百多人，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个和尚每天恰好吃4个馒头。

请问：庙里共有多少个和尚？【答案】718个【分析】设有7x 个大和尚，19y 个小和尚，那么：4160167112413167191319247x y x x x y x y y y +=⇒=⇒=⇒=+ 112+247=359又和尚共700多人，故和尚应有359×2=718人。

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