2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(01)及答案
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(01)
.2018 年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（01）一、选择题（本大题共10 小题．每题 5 分．共 50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1．（5 分）会合 A={ x|| x| ≤4，x∈ R} ，B={ x| （ x+5）（ x﹣a）≤ 0} ，则“A? B”是“a＞ 4”的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件2．（5 分）以下命题中， m，n 表示两条不一样的直线，α、β、γ表示三个不一样的平面．①若 m⊥α， n∥α，则 m⊥ n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若 m∥α， n∥α，则 m∥ n；④若α∥β，β∥γ， m⊥α，则 m⊥γ．正确的命题是（）A．①③B．②③C．①④D．②④3．（5 分）由曲线 y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．64．（5 分）已知等比数列 { a n} 公比为 q，其前 n 项和为 S n，若 S3、S9、 S6成等差数列，则 q3等于（）A．﹣B．1C．﹣或1 D．﹣1或5．（5 分）以下图是某次考试对一道题评分的算法框图，此中x1，x2，x3为三个评阅人对该题的独立评分， p 为该题的最后得分，当x1=6，x2=9，p=8.5 时， x3等于（）A．11 B．10 C．8D．76．（5 分）图是函数 y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了获得这个函数的图象，只需将y=sinx（ x∈R）的图象上全部的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 2 倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 2 倍，纵坐标不变7．（5 分）若存在实数x∈[ 2，4] ，使 x2﹣ 2x+5﹣ m＜0 成立，则 m 的取值范围为（）A．（13， +∞） B．（5，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞， 13）8．（5 分）已知奇函数f（x）在 [ ﹣1，0] 上为单一递减函数，又α，β为锐角三角形两内角，以下结论正确的选项是（）A．f （cos α）＞ f（cos β）B．f（sin α）＞ f（ sin β）C．f（sin α）＞ f（ cos β）D． f（sin α）＜ f（cos β）9．（ 5 分）△ABC所在平面上一点P知足+ + =，则△ PAB的面积与△ ABC的面积比为（）A．2：3B．1：3C．1：4D．1：610．（ 5 分）如图下边的四个容器高度都同样，将水冷静器顶部一个孔中以同样的速度注入此中，注满为止．用下边对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间 t 之间的关系，此中不正确的有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个二、填空题（本大题共 5 个小题，每题 5 分，共 25 分．把答案填写在题中横线上）11．（ 5 分）已知命题p：“存在 x ∈ ，使x+2x+1+m=0”，若“非 p”是假命题，则实R4数 m 的取值范围是．．（分）若＞，则函数2﹣ax+1 在区间（0，2）上恰巧有个12 5 a 3f（x）=x零点．13．（ 5 分）已知函数 f （x） =lnx，0＜a＜b＜c＜1，则，，的大14．（5 分）已知整数的序列以下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3）（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）⋯第 57 个数是．15．（ 5 分）如是一个几何体的三，依据中的数据，可得几何体的体是．三、解答（本大共 6 小，共 75 分．解答写出文字明、明程和演算步）16．（ 12 分）已知α∈（0，π）且 cos（α ）=．求cosα17．（ 12 分）已知向量=3i 4j，=6i 3j，=（ 5 m ）i（ 3+m）j，此中 i，j 分是平面直角坐系内x 与 y 正方向上的位向量．（ 1）若点 A， B， C 能组成三角形，求数m 足的条件；（ 2）随意 m∈[ 1，2] ，不等式2≤ x2+x+3恒成立，求x的取范．18．（ 12 分）列加速能够提升路运量．列运转，前后两必要保持一个“安全隔距离d（千米）”，“安全隔距离 d（千米）”与列的速度 v（千米 / 小）的平方成正比（比率系数 k=）．假全部的列度 l 均 0.4千米，最大速度均 v0（千米 / 小）．：列速多大，位流量 Q=最大？19．（ 12 分）如， a 的正方体 1 1 1 1 中，ECC1的中点．ABCD ABCD（1）求直 A1E 与平面 BDD1B1所成的角的正弦（2）求点 E 到平面 A1DB 的距离．20．（ 13 分）在数列 { a n} 中， a1=1，a n=n2[ 1+ + +⋯+] （n≥2，n∈N）（ 1）当 n≥2 ，求：=（ 2）求：（1+）（1+）⋯（1+）＜4．21．（ 14 分）已知函数 f （x）=（x2+ax 2a 3） ?e3﹣x（a∈ R）；（1） f（x）的性；（2） g（ x） =（a2+ ）e x（ a＞ 0），若存在（ a＞ 0），x1， x2∈ [ 0， 4] 使得 | f（ x1）﹣ g（x2） | ＜1 成立，求 a 的取值范围．2018 年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（01）参照答案与试题分析一、选择题（本大题共10 小题．每题5 分．共50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1．（5 分）会合 A={ x|| x| ≤4，x∈ R} ，B={ x| （ x+5）（ x﹣a）≤ 0} ，则“A? B”是“a＞ 4”的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【解答】解：会合 A={ x|| x| ≤ 4， x∈R} ={ x| ﹣ 4≤ x≤4} ， B={ x| （x+5）（ x﹣ a）≤ 0} ，由 A? B，可得 B≠?，即有（ 5﹣4）（﹣ 4﹣a）≤ 0 且（ 5+4）（4﹣a）≤0，解得 a≥4，则则“A?B”是“a＞4”的必需不充足条件，应选 B．2．（5 分）以下命题中， m，n 表示两条不一样的直线，α、β、γ表示三个不一样的平面．①若 m⊥α， n∥α，则 m⊥ n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若 m∥α， n∥α，则 m∥ n；④若α∥β，β∥γ， m⊥α，则 m⊥γ．正确的命题是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【解答】解：由题意， m， n 是两条不一样的直线，α，β，γ是三个不一样的平面观察①选项，此命题正确，若m⊥α，则 m 垂直于α中全部直线，由n∥α，知m⊥ n；观察②选项，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面的地点关系是平行或订交；观察③选项，此命题不正确，因为平行于同一平面的两条直线的地点关系是平行、订交或异面；观察④选项，此命题正确，因为α∥β，β∥γ，所以α∥γ，再由 m⊥α，获得 m ⊥γ．应选 C．3．（5 分）由曲线 y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6【解答】解：联立方程获得两曲线的交点（4，2），所以曲线 y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．应选 C．4．（5 分）已知等比数列 { a n} 公比为 q，其前 n 项和为 S n，若 S3、S9、 S6成等差数列，则 q3等于（）A．﹣B．1C．﹣或1 D．﹣1或【解答】解：若 S3、S9、 S6成等差数列，则 S3+S6=2S9，若公比 q=1，则 S3=3a1， S9=9a1，S6=6a1，即3a1+6a1=18a1，则方程不可立，即 q≠1，则=，即1﹣q3+1﹣q6=2﹣2q9，即 q3+q6=2q9，即 1+q3=2q6，即 2（q3）2﹣q3﹣ 1=0，解得 q3=，应选： A．5．（5 分）以下图是某次考试对一道题评分的算法框图，此中x1，x2，x3为三个评阅人对该题的独立评分， p 为该题的最后得分，当x1=6，x2=9，p=8.5 时， x3等于（）A．11 B．10 C．8D．7【解答】解：依据框图的流程，当输入x1，2时，不知足1﹣x2| =3＜2，=6 x =9| x当输入 x3＜7.5 时，知足 | x3﹣x1| ＜| x3﹣x2| ，则履行 x2=x3．输出 P==8.5?x3=11（舍去）；当输入 x3≥7.5 时，不知足 | x3﹣ x1| ＜| x3﹣x2| ，则履行 x1 3，输出 P==8.5=x3=8．? x应选： C．6．（5 分）图是函数 y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了获得这个函数的图象，只需将 y=sinx（ x∈R）的图象上全部的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 2 倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 2 倍，纵坐标不变【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为 1，所以函数的表达式能够是 y=sin（2x+φ）．代入（﹣， 0）可得φ的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（ 2x+），即 y=sin2（ x+），所以只需将 y=sinx（x∈ R）的图象上全部的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的倍，纵坐标不变．应选 A．7．（5 分）若存在实数x∈[ 2，4] ，使 x2﹣ 2x+5﹣ m＜0 成立，则 m 的取值范围为（）A．（13， +∞） B．（5，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞， 13）【解答】解：存在实数 x∈[ 2，4] ，使 x2﹣2x+5﹣m＜0 成立，等价于 x∈[ 2，4] ，m＞（ x2﹣2x+5）min．令 f（ x）=x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4∴函数的图象张口向上，对称轴为直线x=1∵x∈[ 2，4] ，∴x=2 时， f （x）min=f（ 2） =22﹣2× 2+5=5∴m＞5应选： B．8．（5 分）已知奇函数f（x）在 [ ﹣1，0] 上为单一递减函数，又α，β为锐角三角形两内角，以下结论正确的选项是（）A．f （cos α）＞ f（cos β）B．f（sin α）＞ f（ sin β）C．f（sin α）＞ f（ cos β）D． f（sin α）＜ f（cos β）【解答】解：∵奇函数 y=f（ x）在 [ ﹣ 1，0] 上为单一递减函数∴f（x）在 [ 0，1] 上为单一递减函数，∴f（x）在[ ﹣1，1] 上为单一递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，∴α+β＞，∴＞α＞﹣β＞ 0，∴ 1＞ sin α＞sin（﹣β）=cosβ＞0，∴f（sin α）＜ f（cosβ），应选： D．的面积比为（）A．2：3B．1：3C．1：4D．1：6【解答】解：以下图，∵点P 知足+ + =，∴=，∴．∴△ PAB的面积与△ ABC的面积比 =AP：AC=1：3．应选： B．10．（ 5 分）如图下边的四个容器高度都同样，将水冷静器顶部一个孔中以同样的速度注入此中，注满为止．用下边对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间 t 之间的关系，此中不正确的有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【解答】解： A、因正方体的底面积是定值，故水面高度的增添是平均的，即图象是直线型的，故 A 不对；B、因几何体下边窄上边宽，且同样的时间内注入的水量同样，所以下边的高度增添的快，上边增添的慢，即图象应愈来愈缓和，故 B 正确；C、球是个对称的几何体，下半球因下边窄上边宽，所以水的高度增添的愈来愈慢；上半球恰相反，所以水的高度增添的愈来愈快，则图象先缓和再变陡；故C 正确；D、图中几何体两端宽、中间窄，所以水的高度增添的愈来愈慢后再愈来愈慢快，则图象先缓和再变陡，故 D 正确．应选 A．二、填空题（本大题共 5 个小题，每题 5 分，共 25 分．把答案填写在题中横线上）11．（ 5 分）已知命题 p：“存在 x∈R，使 4x+2x+1+m=0”，若“非 p”是假命题，则实数 m 的取值范围是（﹣∞，0）．【解答】解：∵命题 p：“存在 x∈ R，使 4x+2x+1+m=0”，∴p 为真时， m=﹣（ 2x）2﹣2×2x，存在 x∈R 成立∴m 的取值范围是： m＜ 0又∵非 p”是假命∴p 是真命∴m∈（∞， 0）故答案：（∞， 0）＞，函数2 ax+1 在区（ 0，2）上恰巧有 1个12．（ 5 分）若 a 3f（ x）=x零点．【解答】解：当 a＞ 3 ，因为次二次函数f（x）=x2ax+1，可得 f（ 0） =1＞0，f（2）=5 2a＜0，即 f（ 0） f（2）＜ 0，故函数 f（x）=x2ax+1 在区（ 0，2）上恰巧有一个零点，故答案： 1．13．（ 5 分）已知函数 f （x） =lnx，0＜a＜b＜c＜1，，，的大小关系是＜＜．【解答】解：函数 f （x） =lnx，0＜a＜b＜c＜1，g（x） ==，g′（ x）=，可得 0＜x＜e ， g′（x）＞ 0，g（x）增，由 0＜a＜b＜c＜ 1，可得g（a）＜ g（b）＜ g（ c），即＜＜．故答案：＜＜．14．（5 分）已知整数的序列以下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3）（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）⋯第 57 个数是（2，10）．【解答】解：（1，1），两数的和 2，共 1 个，（1， 2），（2，1），两数的和 3，共 2 个，（1， 3），（2，2），（3，1），两数的和 4，共 3 个，（1， 4），（2，3），（3，2），（4，1），两数的和 5，共 4 个⋯∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，∴第 57 个数在第 11 之中的第 2 个数，进而两数之和 12，（ 2，10）；故答案：（ 2，10）．15．（ 5 分）如是一个几何体的三，依据中的数据，可得几何体的体是2．【解答】解：由三原原几何体如，几何体五面体ABCDEF，此中面 ABCD等腰梯形， EF∥BC∥AD，EF在平面 ABCD上的射影在梯形ABCD的中位上，分 E、 F 作 BC、 AD 的垂，把原几何体切割两个四棱及一个三棱柱，几何体的体V=．故答案： 2．三、解答（本大共 6 小，共 75 分．解答写出文字明、明程和演算步）16．（ 12 分）已知α∈（0，π）且 cos（α ）=．求cosα【解答】解：∵α∈（ 0，π），∴，又，∴，∴=．17．（ 12 分）已知向量=3i 4j，=6i 3j，=（ 5 m ）i（ 3+m）j，此中 i，j 分是平面直角坐系内x 与 y 正方向上的位向量．（ 1）若点 A， B， C 能组成三角形，求数m 足的条件；（ 2）随意 m∈[ 1，2] ，不等式2≤ x2+x+3恒成立，求x的取范．【解答】解：（ 1）依意，以 O 坐原点成立直角坐系，A（ 3，4），B.（6， 3）， C（ 5 m， 3 m），∵ A， B，C 能组成三角形，A、B、C 三点不共，若 A、B、C 三点共，=t ? （ 3， 1） =t（2 m，1 m），即，解得；∴当 m≠，A，B，C能组成三角形；（2）∵ =（2 m， 1 m）， m∈[ 1， 2] ，∴2=（2 m ）2+（1 m）2=2m2 6m+5=2（m）2+，其称m=，当 m∈[ 1， ] ，函数减，当 m∈ [ ， 2] ，函数增，∴当 m=1 或 m=2 ， 2 获得最大1．∵ 随意 m∈[ 1，2] ，不等式2≤ x2+x+3恒成立，∴ x2+x+3≥=1，即 x2 x 2≤0，解得：1≤ x≤2．∴ x 的取范 [ 1，2] ．18．（ 12 分）列加速能够提升路运量．列运转，前后两必要保持一个“安全隔距离d（千米）”，“安全隔距离 d（千米）”与列的速度 v（千米 / 小）的平方成正比（比率系数k=）．假全部的列度l 均 0.4 千米，最大速度均 v0（千米 / 小）．：列速多大，位流量Q=最大？【解答】解：因，所以⋯（4分）≥2 = ，当且当 v=40 取等号；当 v0≥40 ， Q≤ 50，所以 v=40，Q max=50⋯（8 分）.当 0＜v0＜40 ，⋯（12 分）19．（ 12 分）如， a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， E CC1的中点．（1）求直 A1E 与平面 BDD1B1所成的角的正弦（2）求点 E 到平面 A1DB 的距离．【解答】解：以 DA、 DC、DD1所在的直分x 、 y 、 z ，成立空直角坐系如，D（0，0，0），A（a，0，0）． B（ a， a， 0），C（0，a，0）， E（ 0， a，），A1（ a， 0， a）．⋯（3 分）（ 1）直 A1E 与平面 BDD1B1所成的角α．因 AC⊥平面 BDD1 B1，所以平面 BDD1B1的法向量，又．，所以s．⋯（6分）（ 2）=（ x，y，1）平面 A1DB 的法向量，∵，∴x= 1，y=1⋯（8 分）∴又⋯（11分）即点 E 到平面 A1DB的距离．⋯（12 分）．（分）在数列n}中，a1， n 2[ 1++ +⋯+] （n≥2，n∈N）20 13{ a=1 a =n（ 1）当 n≥2 ，求：=（ 2）求：（1+）（1+）⋯（1+）＜4．.【解答】（1）明：当 n≥ 2 ，，⋯（1分）所以⋯（4 分）故⋯（5 分）（2）明：当n≥2，⋯（6 分）=⋯（8 分）=⋯（10 分）=．⋯（11 分）当 n=1 ，⋯（12分）上所述，随意n∈N*，不等式都成立．⋯（13 分）21．（ 14 分）已知函数 f （x）=（x2+ax 2a 3） ?e3﹣x（a∈ R）；（1） f（x）的性；（2） g（ x） =（a2+ ）e x（ a＞ 0），若存在（ a＞ 0），x1， x2∈ [ 0， 4] 使得 | f（x1） g（x2） | ＜1 成立，求 a 的取范．【解答】．解：（ 1） f'（ x） = [ x2+（a 2） x 3a 3] e3﹣x=（ x 3）（x+a+1）e3﹣ x由 a 1=3 得 a= 4，当 a= 4 ， f ′（ x）=（ x 3）2e3﹣x≤0，此函数在（∞， +∞）上减函数，当 a＜ 4 ， a 1＞3，由 f'（x）＜ 0? x＜3 或 x＞ a 1，f'（x）＞ 0? 3＜x＜ a 1．.∴f（x）单一减区间为（﹣∞， 3），（﹣ a﹣1，+∞），单一增区间为（ 3，﹣ a﹣1）．当 a＞﹣ 4 时，﹣ a﹣1＜3，f'（x）＜ 0? x＞3 或 x＜﹣ a﹣1，f'（x）＞ 0? ﹣ a﹣1＜x＜3．∴ f（x）单一减区间为（﹣∞，﹣ a﹣1），（3，+∞），单一增区间为（﹣ a﹣1，3）．（2）由（ 1）知，当 a＞0 时，﹣ a﹣1＜0，f（x）在区间 [ 0，3] 上的单一递加，在区间 [ 3，4）] 单一递减，而 f （0）=﹣（ 2a+3）e3＜ 0， f（ 4）=（2a+13）e﹣1＞0， f（3）=a+6．那么 f （x）在区间 [ 0，4] 上的值域是 F=[ ﹣（ 2a+3）e3， a+6]又 g（ x）=（a2+）e x（a＞0），在[ 0，4]上是增函数，对应的值域为G=[ a2+，（ a2+）e4]，3224 ∵ a＞ 0，∴﹣（ 2a+3）e ＜ a+6≤a + ＜（ a + ）e ，若存在（ a＞0），x1，x2∈ [ 0，4] 使得 | f（ x1）﹣ g（x2） | ＜ 1 成立，只需要 g min（x）﹣ f max（x）＜ 1，∴ a2+﹣a﹣6＜1，得4a2﹣4a﹣3＜0，得﹣＜a＜∵a＞ 0，∴ 0＜ a＜∴ a 的取值范围为（ 0，）．14页。
2018年云南省玉溪市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
A．
B．
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C．
D．
11．（5 分）双曲线 C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为 F1（﹣c，
0），F2（c，0），M，N 两点在双曲线上，且 MN∥F1F2，|F1F2|＝2|MN|，线段 F1N 交双曲线 C 于点 Q，且|F1Q|＝ |F1N|，则双曲线的离心率为（ ）
．
14．（5 分）在（ ﹣2x2）5 的展开式中，x2 的系数是
．
15．（5 分）已知抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，过点 F 且斜率为 的直线
l 与该抛物线分别交于 A，B 两点，（点 A 在第一象限），若 ＝ ，则 λ
＝
．
16．（5 分）已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，且点（an，4Sn）在
（Ⅰ）求证：直线 PA∥平面 MFE； （Ⅱ）若二面角 P﹣AD﹣C 的大小为 60°，求直线 PE 与平面 MFE 所成角的余
弦值．
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20．（12 分）已知圆 C：x2+（y+ ）2＝16，点 A（0， ），P 是圆上任意一点， 线段 AP 的垂直平分线交 CP 于点 Q，当的 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹为曲 线 E，直线 l：y＝kx+m 与 y 轴交于点 D，与曲线 E 交于 M，N 两个相异点，
证明：t＜2．
请考生在 22.23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分，[选修
＝3，c＝2 ，则 sinC＝（ ）
A．
B．
C．
D．1
8．（5 分）如图所示的程序框图是数学史上有名的“冰雹猜想”，它蕴含着一个 规律，即任意正整数 n，按照改程序运行，最终都会变为 4﹣2﹣1 循环，若输 入 i＝0，试求输入 n 分别为 5 和 6，则输出的 i 分别为（ ）
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(09)
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（09）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M={y|y=，x，y∈N}的元素个数是（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件3．（5分）将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（）A．B．C．D．4．（5分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32，，则（）5．（5分）已知x=lnπ，y=log5A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x6．（5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数8．（5分）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；②f（x2）在[1，]上具有性质P；③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]其中真命题的序号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）函数f（x）=的定义域是．10．（5分）在R上为减函数，则a的取值范围是．11．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x= ．12．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= ．13．（5分）已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则c= ．14．（5分）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）函数f（x）=Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式和当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；（2）设a∈（0，），则f（）=2，求a的值．16．（12分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA丄平面ABCD，AB丄BC，∠BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明PC丄AD；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．18．（14分）已知函数f（x）=x﹣a+lnx，（a为常数）．（1）当a=5时，求f（x）的极值；（2）若f（x）为增函数，求实数a的取值范围．19．（14分）设函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．（1）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；（2）若对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在x∈[﹣1，1]恒成立，求b的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=e x+ax2﹣ex，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（09）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M={y|y=，x，y∈N}的元素个数是（）A．2个B．4个C．6个D．8个【解答】解：因为M={y|y=，x，y∈N}，所以，当x=0时，y=∉N；当x=1时，y=∈N；当x=2时，y=∉N；当x=3时，y=∉N；当x=4时，y=∉N；当x=5时，y=∈N；当x≥6时，，所以y∉N．综上，M={y|y=，x，y∈N}={2，1}，元素个数是2个．故选A．2．（5分）下列命题中，真命题是（）∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2A．∃xC．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件【解答】解：因为y=e x＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以∀x∈R，2x＞x2不成立．a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．故选D．3．（5分）将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到的图象，就是y=sin（4x+φ）的图象，故故选C4．（5分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，故选B．5．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故选：D．6．（5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，1（﹣x）dx=（﹣）而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫1=，|则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选C．7．（5分）设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数【解答】解：A显然正确；∵=D（x），∴D（x）是偶函数，B正确；∵D（x+1）==D（x），∴T=1为其一个周期，故C错误；∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0，显然函数D（x）不是单调函数，故D正确；故选：C．8．（5分）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；②f（x2）在[1，]上具有性质P；③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]其中真命题的序号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④【解答】解：在①中，反例：f（x）=在[1，3]上满足性质P，但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故①不成立；在②中，反例：f（x）=﹣x在[1，3]上满足性质P，但f（x2）=﹣x2在[1，]上不满足性质P，故②不成立；在③中：在[1，3]上，f（2）=f（）≤，∴，故f（x）=1，∴对任意的x1，x2∈[1，3]，f（x）=1，故③成立；在④中，对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有=≤≤=[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，∴[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，故④成立．故选D．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）函数f（x）=的定义域是{x|﹣1＜x≤2且x≠0} ．【解答】解：由，解得：﹣1＜x≤2，且x≠0．∴函数f（x）=的定义域是{x|﹣1＜x≤2，且x≠0}．故答案为：{x|﹣1＜x≤2，且x≠0}．10．（5分）在R上为减函数，则a的取值范围是．【解答】解：∵在R上为减函数，∴即∴故答案为11．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x= ．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）．∵0≤x＜2π，∴﹣≤x﹣＜，=2，此时x﹣=，∴ymax∴x=．故答案为：．12．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= ﹣1 ．【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．13．（5分）已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则c= 6 ．【解答】解：∵f′（x）=（x﹣c）2+2x（x﹣c）=3x2﹣4cx+c2，且函数f（x）=x （x﹣c）2在x=2处有极大值，∴f′（2）=0，即c2﹣8c+12=0，解得c=6或2．经检验c=2时，函数f（x）在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去．故c=6．故答案为6．14．（5分）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1] ．【解答】解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1故答案为（﹣∞，1]三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）函数f（x）=Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式和当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；（2）设a∈（0，），则f（）=2，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）的最大值是3，∴A+1=3，即A=2．﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T=π，∴ω=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以f（x）=2sin（2x﹣）+1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）令，即，∵x∈[0，π]，∴f（x）的单调减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅱ）∵f（）=2sin（α﹣）+1=2，即 sin（α﹣）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵0＜α＜，∴﹣＜α﹣＜，∴α﹣=，∴α=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）16．（12分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．【解答】解：（1）设Ak ，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（Ak ）=，P（Bk）=，k∈（1，2，3）．记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知：P（C）=P（A1）+P（）+P（）=+==．﹣﹣﹣﹣（5分）（2）ξ的所有可能为：1，2，3，由独立性知：P（ξ=1）=P（A1）+P（）==，P（ξ=2）=P（）+P（）=+（）2（）2=，P（ξ=3）=P（）=（）2（）2=，综上知，ξ的分布列为：ξ123P﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴Eξ==（次）﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴甲获胜的概率为；甲的投篮次数的期望为次．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA丄平面ABCD，AB丄BC，∠BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明PC丄AD；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）∵在△ADC中，AD=2，AC=1，DC=∴AC2+AD2=CD2，∴AD⊥AC，…（1分）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（﹣，，0），P（0，0，2），得=（0，1，﹣2），=（2，0，0），∴=0，∴PC⊥AD．…（4分）解：（Ⅱ），，设平面PCD的一个法向量=（x，y，z），则，不妨令z=1，得=（1，2，1），可取平面PAC的一个法向量=（1，0，0），于是cos＜＞==，从而sin＜＞=，所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．…（8分）（Ⅲ）设点E的坐标为（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得=（），由=（2，﹣1，0），故，∵满足异面直线BE与CD所成的角为30°，∴=cos30°=，解得h=，即AE=．…（13分）18．（14分）已知函数f（x）=x﹣a+lnx，（a为常数）．（1）当a=5时，求f（x）的极值；（2）若f（x）为增函数，求实数a的取值范围．【解答】解：函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）（1）当a=5时，令f'（x）=0得，或x=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）f'（x），f（x）随x的变化情况如下表x4（4，+∞）f'（x）+0__0+f（x）递增递减﹣6+ln4递增由上表可得函数的极大值为=，极小值为f（4）=﹣6+ln4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）由题意得在区间（0，+∞）恒成立，﹣﹣﹣﹣（8分）即在区间（0，+∞）恒成立，∴在区间（0，+∞）恒成立．﹣﹣﹣﹣（10分）∵，当且仅当，即x=1时等号成立．∴=4﹣﹣﹣﹣（13分）所以a的取值范围是（﹣∞，4]．﹣﹣﹣﹣（14分）19．（14分）设函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．（1）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；（2）若对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在x∈[﹣1，1]恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（1）求导函数可得f'（x）=x（4x2+3ax+4），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根．为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+4≥0成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）即有△=9a2﹣64≤0，解得．所以a的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由条件a∈[﹣2，2]，可知△=9a2﹣64＜0，从而4x2+3ax+4＞0恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．因此函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值是f（1）与f（﹣1）两者中的较大者．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）为使对任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在[﹣1，1]上恒成立，当且仅当，即在a∈[﹣2，2]上恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以b≤﹣4，因此满足条件的b的取值范围是（﹣∞，﹣4]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）20．（14分）已知函数f（x）=e x+ax2﹣ex，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=e x+2ax﹣e∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴k=2a=0，∴a=0∴f（x）=e x﹣ex，f′（x）=e x﹣e令f′（x）=e x﹣e＜0，可得x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1；∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞）（Ⅱ）设点P（x0，f（x）），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x）（x﹣x0）+f（x）令g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x）﹣f（x）∵曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P，∴g（x）有唯一零点∵g（x）=0，g′（x）=（1）若a≥0，当x＞x0时，g′（x）＞0，∴x＞x时，g（x）＞g（x）=0当x＜x0时，g′（x）＜0，∴x＜x时，g（x）＞g（x）=0，故g（x）只有唯一零点x=x，由P的任意性a≥0不合题意；（2）若a＜0，令h（x）=，则h（x）=0，h′（x）=e x+2a 令h′（x）=0，则x=ln（﹣2a），∴x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（ln（﹣2a），+∞），h′（x）＞0，函数单调递增；①若x=ln（﹣2a），由x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），g′（x）＞0；x∈（ln（﹣2a），+∞），g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增∴g（x）只有唯一零点x=x；②若x0＞ln（﹣2a），由x∈（ln（﹣2a），+∞），h（x）单调递增，且h（x）=0，则当x∈（ln（﹣2a），x0），g′（x）＜0，g（x）＞g（x）=0任取x1∈（ln（﹣2a），x），g（x1）＞0，∵x∈（﹣∞，x1），∴g（x）＜ax2+bx+c，其中b=﹣e﹣f′（x）．c=∵a＜0，∴必存在x2＜x1，使得∴g（x2）＜0，故g（x）在（x2，x1）内存在零点，即g（x）在R上至少有两个零点；③若x＜ln（﹣2a），同理利用，可得g（x）在R上至少有两个零点；综上所述，a＜0，曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P（ln（﹣2a），f（ln（﹣2a）））．。
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(11)
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（11）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．6B．﹣6C．5D．﹣42．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．3．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥n，n⊂α，则m∥α．其中正确命题的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④4．（5分）设函数f（x）=cos（2x+φ）+sin（2x+φ）（|φ|＜），且图象关于直线x=0对称，则（）A．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数B．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为减函数C．y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数D．y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数5．（5分）若程序框图输出S的值为126，则判断框①中应填入的条件是（）A．n≤5B．n≤6C．n≤7D．n≤86．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log3|x|的解有（）A．2个B．3个C．4个D．多于4个7．（5分）若{a n}是等差数列，首项公差d＜0，a1＞0，且a2013（a2012+a2013）＜0，则使数列{a n}的前n项和S n＞0成立的最大自然数n是（）A．4027B．4026C．4025D．40248．（5分）M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交9．（5分）已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（k≥2）为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证n=（）时等式成立．A．n=k+1B．n=k+2C．n=2k+2D．n=2（k+2）10．（5分）已知向量，，满足，，．若对每一确定的，的最大值和最小值分别为m，n，则对任意，m﹣n的最小值是（）A．B．C．D．1二、填空题：本大题共共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份注射疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为万只．月份养鸡场（个数）。
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷附答案解析
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（07）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={m，﹣3}，N={x|2x2+7x+3＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣2或﹣1 D．2．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log3）的值是（）A．7 B．2 C．5 D．33．（5分）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B（如图），要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=50m，∠ABC=105°，∠BCA=45°，就可以计算出A，B两点的距离为（）A．50m B．50m C．25m D．m4．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β．其中错误命题的序号是（）A．①④B．①③C．②③④D．②③5．（5分）函数y=x•|cosx|的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为等比数列的公比的数是（）A．B．C．D．7．（5分）已知向量，，若+2与垂直，则k=（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．﹣18．（5分）计算（x+）dx的值为（）A．B．+ln2 C．+ln2 D．3+ln29．（5分）已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣10．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．若B．直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交C．“a=1是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D．若命题p：”∃x∈R，x2﹣x﹣1＞0”，则命题p的否定为：”∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”11．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3 B．3 C．27 D．1或2712．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是（）A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）已知向量，，且直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，则向量与的夹角为．14．（4分）已知2+=4×，3+=9×，4+=16×，…，观察以上等式，若9+=k×；（m，n，k均为实数），则m+n﹣k=．15．（4分）设x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的最大值为．16．（4分）定义在R上的函数f（x），对∀x∈R，满足f（1﹣x）=f（1+x），f（﹣x）=﹣f（x），且f（x）在[0，1]上是增函数．下列结论正确的是．（把所有正确结论的序号都填上）①f（0）=0；②f（x+2）=f（﹣x）；③f（x）在[﹣6，﹣4]上是增函数；④f（x）在x=﹣1处取得最小值．三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g （x）的最大值．18．（12分）已知平面区域被圆C及其内部所覆盖．（1）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°．（Ⅰ）求证：直线SA∥平面BDE；（Ⅱ）求直线BD与平面SBC所成角的正弦值．20．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．21．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？22．（14分）已知函数f（x）=xe﹣x+（x﹣2）e x﹣a（e≈2.73）．（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥恒成立，求实数a的取值范围．2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（07）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={m，﹣3}，N={x|2x2+7x+3＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣2或﹣1 D．【解答】解：由集合N中的不等式2x2+7x+3＜0，因式分解得：（2x+1）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜﹣，又x∈Z，∴x=﹣2，﹣1，∴N={﹣2，﹣1}，∵M∩N≠∅，∴m=﹣1或m=﹣2．故选C2．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log3）的值是（）A．7 B．2 C．5 D．3【解答】解：由题意可得，f（1）=log21=0，f（f（1））=f（0）=90+1=2f（）=+1=+1=5∴=7故选A3．（5分）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B（如图），要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=50m，∠ABC=105°，∠BCA=45°，就可以计算出A，B两点的距离为（）A．50m B．50m C．25m D．m【解答】解：由题意及图知，∠BAC=30°，又BC=50m，∠BCA=45°由正弦定理得AB==50m故选A4．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β．其中错误命题的序号是（）A．①④B．①③C．②③④D．②③【解答】解：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m、n不想交，但可能平行也可能异面，故①不正确；②∵m∥β，∴过m作平面与β相交，交线为n，则m∥n，∵m⊥α，∴n⊥α，∴根据面面垂直的判定，可得α⊥β，故②正确；③∵n⊥α，m⊥α，∴m∥n，∵n⊥β，∴m⊥β，故③正确；④α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，α∥β，则m⊥β，故④不正确．综上，错误命题的序号是为①④，故选A．5．（5分）函数y=x•|cosx|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：设函数y=f（x）=x|cosx|，则f（﹣x）=﹣x|cosx|=﹣f（x），即函数为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C，D，又当x≥0时，f（x）=x|cosx|≥0，故在x轴下方无图象，故排除B，故选A6．（5分）函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为等比数列的公比的数是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=的等价于，表示圆心在（5，0），半径为3的上半圆（如图所示），圆上点到原点的最短距离为2（点2处），最大距离为8（点8处），若存在三点成等比数列，则最大的公比q应有8=2q2，即q2=4，q=2，最小的公比应满足2=8q2，即q2=，解得q=又不同的三点到原点的距离不相等，故q≠1，∴公比的取值范围为≤q≤2，且q≠1，故选：D7．（5分）已知向量，，若+2与垂直，则k=（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．﹣1【解答】解：∵=（，3），又∵∴==0∴k=﹣3故选A8．（5分）计算（x+）dx的值为（）A．B．+ln2 C．+ln2 D．3+ln2【解答】解：（x+）dx==2+ln2﹣=ln2+；故选B．9．（5分）已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣【解答】解：该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得，其中长方体的体积为V1=4×3×2=24；半个圆柱的体积为V2==，则V=24﹣．故选A．10．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．若B．直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交C．“a=1是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D．若命题p：”∃x∈R，x2﹣x﹣1＞0”，则命题p的否定为：”∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”【解答】解：对于A，只有当x＞0时，结论成立；对于B，直线a，b不相交，直线a，b有可能平行；对于C，直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直时，a=±1；对于D，显然成立．故选D．11．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3 B．3 C．27 D．1或27【解答】解：∵各项均为正数的等比数列{a n}中，公比为q，∵成等差数列，∴a3=3a1+2a2，可得a1q2=33a1+2a1q2，解得q=﹣1或3，∵正数的等比数列q=﹣1舍去，故q=3，∴====27，故选C；12．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是（）A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）【解答】解：定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，可知函数是周期为4的函数，x∈[0，2]函数是增函数，函数的对称轴为x=2，f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（1），f（6.5）=f（2.5）=f（1.5），可得f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）已知向量，，且直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，则向量与的夹角为60°．【解答】解：∵直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，∴=1解得向量==故两向量的夹角为60°故答案为60°14．（4分）已知2+=4×，3+=9×，4+=16×，…，观察以上等式，若9+=k×；（m，n，k均为实数），则m+n﹣k=79．【解答】解：通过观察可得，n+=（n≥2，n∈N*），所以由9+=k×，得n=m=92﹣1=80，k=92=81，所以m+n﹣k=80+80﹣81=79．故答案为：79．15．（4分）设x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的最大值为52．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC，其中A（0，2），B（4，6），C（2，0），O为原点设P（x，y）为区域内一个动点，则|OP|=表示点P到原点O的距离∴z=x2+y2=|OP|2，可得当P到原点距离最远时z达到最大值因此，运动点P使它与点B重合时，z达到最大值=42+62=52∴z最大值故答案为：5216．（4分）定义在R上的函数f（x），对∀x∈R，满足f（1﹣x）=f（1+x），f（﹣x）=﹣f（x），且f（x）在[0，1]上是增函数．下列结论正确的是①②④．（把所有正确结论的序号都填上）①f（0）=0；②f（x+2）=f（﹣x）；③f（x）在[﹣6，﹣4]上是增函数；④f（x）在x=﹣1处取得最小值．【解答】解：因为定义在R上的函数f（x），对∀x∈R，函数满足f（﹣x）=﹣f （x），所以函数是奇函数，定义域是R，所以f（0）=0；①正确；又函数满足f（1﹣x）=f（1+x），所以函数关于x=1对称，可得f（x+2）=f（﹣x）；②正确；f（x+2）=f（﹣x）；f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x+4）=f（x），函数的周期是4，f（x）在[﹣6，﹣4]上不是单调函数，③不正确；f（x）在[0，1]上是增函数．函数又是奇函数，函数关于x=1对称[1，2]是减函数；所以函数在[﹣1，0]也是增函数，[﹣2，﹣1]上是减函数，所以函数在x=﹣1球的最小值，④正确；正确结果是：①②④．故答案为：①②④．三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g （x）的最大值．【解答】解：（1）f（x）===故f（x）的最小正周期为T==8（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x））．由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而==当时，时，因此y=g（x）在区间上的最大值为18．（12分）已知平面区域被圆C及其内部所覆盖．（1）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，由于覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，∴圆心是Rt△OPQ的斜边PQ的中点C（2，1），半径r=|OC|==，∴圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）设直线l的方程是：y=x+b．∵CA⊥CB，∴圆心C到直线l的距离是=，即，解之得，b=﹣1±．∴直线l的方程是：y=x﹣1±．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°．（Ⅰ）求证：直线SA∥平面BDE；（Ⅱ）求直线BD与平面SBC所成角的正弦值．【解答】解：（I）如图，连接EO，∵四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，∴O是AC的中点，∵E是侧棱SC的中点，∴EO是△ASC的中位线，∴EO∥SA，∵SA⊂面ASC，EO不包含于面ASC，∴直线SA∥平面BDE．（II）过点O作CB的平行线作x轴，过O作AB的平行线作y轴，以OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°，∴SA=4，SO=2，∴B（2，2，0），C（﹣2，2，0），S（0，0，2），D（﹣2，﹣2，0），∴，，，设面SBC的法向量为，则，，∴，∴，设直线BD与平面SBC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=||=．20．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设d、q分别为数列{a n}、数列{b n}的公差与公比，a1=1．由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{b n}的前三项，∴（2+d）2=2（4+2d）⇒d=±2．＞a n，∵a n+1∴d＞0．∴d=2，∴a n=2n﹣1（n∈N*）．由此可得b1=2，b2=4，q=2，∴b n=2n（n∈N*）．（Ⅱ），①∴．②①﹣②，得=+2（++…+）﹣，∴T n=3﹣．∴T n+﹣=3﹣≤2，∴满足条件恒成立的最小整数值为c=3．21．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣x2﹣10x﹣250=﹣x2+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=；（2）①当0＜x＜80时，L（x）=﹣x2+40x﹣250=﹣（x﹣60）2+950，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．22．（14分）已知函数f（x）=xe﹣x+（x﹣2）e x﹣a（e≈2.73）．（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=xe﹣x+（x﹣2）e x﹣2，f（x）的定义域为R，f′（x）=e﹣x﹣xe﹣x+e x﹣2+（x﹣2）e x﹣2=（x﹣1）（e x﹣2﹣e﹣x）=e﹣x（x﹣1）（e x﹣1﹣1）（e x﹣1+1）．当x≥1时，x﹣1≥0，e x﹣1﹣1≥0，所以f′（x）≥0，当x＜1时，x﹣1＜0，e x﹣1﹣1＜0，所以f′（x）≥0，所以对任意实数x，f′（x）≥0，所以f（x）在R上是增函数；（II）当x≥1时，f（x）≥恒成立，即（x﹣2）e2x﹣a﹣x2+3x﹣1≥0恒成立，设h（x）=（x﹣2）e2x﹣a﹣x2+3x﹣1（x≥1），则h′（x）=（2x﹣3）（e2x﹣a﹣1），令h′（x）=（2x﹣3）（e2x﹣a﹣1）=0，解得，，（1）当1＜＜，即2＜a＜3时，x（1，）（，）（，+∞）h′（x）+0﹣0+h（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以要使结论成立，则h（1）=﹣e2﹣a+1≥0，h（）=﹣e3﹣a+≥0，即e2﹣a ≤1，e3﹣a≤，解得a≥2，a≥3﹣ln，所以3﹣ln≤a＜3；（2）当=，即a=3时，h′（x）≥0恒成立，所以h（x）是增函数，又h（1）=﹣e﹣1+1＞0，故结论成立；（3）当，即a＞3时，x（1，）（，）（，+∞）h′（x）+0﹣0+h（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以要使结论成立，则h（1）=﹣e2﹣a+1≥0，h（）=﹣+2a﹣3≥0，即e2﹣a≤1，a2﹣8a+12≤0，解得a≥2，2≤a≤6，所以3＜a≤6；综上所述，若a＞2，当x≥1时，f（x）≥恒成立，实数a的取值范围是3﹣ln≤a≤6．…（12分）。
2018高考数学(理科)模拟考试题一含答案及解析
2018年高考数学(理科)模拟试卷(一) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016年四川)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是()A．6 B. 5 C．4 D．31.B解析：由题意，A∩Z＝{1,2,3,4,5}，故其中的元素的个数为5.故选B.2．(2016年山东)若复数z满足2z＋z＝3－2i, 其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i2．B解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则2z＋z＝3a＋b i＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i.故选B.3．(2015年北京)某四棱锥的三视图如图M1-1，该四棱锥最长棱的棱长为()图M1-1A．1 B. 2 C. 3 D．23．C解析：四棱锥的直观图如图D188：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，SA＝SC2＋AC2＝SC2＋AB2＋BC2＝ 3.故选C.图D1884．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π24．C 解析：f ′(x )＝3x 2－2，f ′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为π4.5．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．65．B 解析：因为[x ]表示不超过x 的最大整数．由[t ]＝1，得1≤t <2，由[t 2]＝2，得2≤t 2<3.由[t 3]＝3，得3≤t 3<4.由[t 4]＝4，得4≤t 4<5.所以2≤t 2< 5.所以6≤t 5<4 5.由[t 5]＝5，得5≤t 5<6，与6≤t 5<4 5矛盾，故正整数n 的最大值是4.6．(2016年北京)执行如图M1-2所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( )图M1-2A ．1B ．2C ．3D ．46．B 解析：输入a ＝1，则k ＝0，b ＝1；进入循环体，a ＝－12，否，k ＝1，a ＝－2，否，k ＝2，a ＝1，此时a ＝b ＝1，输出k ，则k ＝2.故选B.7．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m ＋n 的值是( )图M1-3A ．10B ．11C ．12D ．137．C 解析：由题意，得78＋88＋84＋86＋92＋90＋m ＋957＝88，n ＝9.所以m ＋n ＝12.故选C.8．(2015年陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知分别生产1吨甲、乙产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16C ．17万元 D ．18万元8．D 解析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，则利润z ＝3x ＋4y .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0.其表示如图D189阴影部分区域：图D189当直线3x ＋4y －z ＝0过点A (2,3)时，z 取得最大值，所以z max ＝3×2＋4×3＝18.故选D.9．(2016年新课标Ⅲ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个9．C 解析：由题意，必有a 1＝0，a 8＝1，则具体的排法列表如下：10．(2016年天津)已知函数f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，18B.⎝⎛⎦⎤0，14∪⎣⎡⎭⎫58，1 C.⎝⎛⎦⎤0，58 D.⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58 10.D 解析：f (x )＝1－cos ωx 2＋sin ωx 2－12＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，f (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝0， 所以x ＝k π＋π4ω(π，2π)，(k ∈Z )．因此ω⎝⎛⎭⎫18，14∪⎝⎛⎭⎫58，54∪⎝⎛⎭⎫98，94∪…＝⎝⎛⎭⎫18，14∪⎝⎛⎭⎫58，＋∞⇒ω∈⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58.故选D.11．四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为243π16的同一球面上，则P A ＝( )A ．3 B.72C ．2 3 D.9211．B 解析：如图D190，连接AC ，BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ，则OE∥P A ，所以OE ⊥底面ABCD ，则O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，12PC ＝12P A 2＋AC 2＝12P A 2＋8，所以由球的体积可得43π⎝⎛⎭⎫12P A 2＋83＝243π16，解得P A ＝72.故选B.图D19012．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A 、B 在该抛物线上且位于x 轴两侧，若OA →·OB →＝6(O 为坐标原点)，则△ABO 与△AOF 面积之和的最小值为( )A ．4 B.3 132 C.17 24D.1012．B 解析：设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M (m,0)，将直线方程与抛物线方程联立，可得y 2－ty －m ＝0，根据韦达定理有y 1·y 2＝－m ，因为OA →·OB →＝6，所以x 1·x 2＋y 1·y 2＝6，从而(y 1·y 2)2＋y 1·y 2－6＝0，因为点A ，B 位于x 轴的两侧，所以y 1·y 2＝－3，故m ＝3，不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F ⎝⎛⎭⎫14，0，所以S △ABO ＋S △AFO ＝12×3×(y 1－y 2)＋12×14y 1＝138y 1＋92y 1≥2138·y 1·92·1y 1＝3132，当且仅当13y 18＝92y 1，即y 1＝6 1313时取等号，故其最小值为3 132.故选B.第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.13．2 解析：a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝2 5，a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|.∴5m ＋85＝8m ＋202 5.解得m ＝2.14．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为__________．14.5 解析：根据双曲线的对称性，不妨设F (c,0)，虚轴端点为(0，b )，从而可知点(－c,2b )在双曲线上，有c 2a 2－4b 2b2＝1，则e 2＝5，e ＝ 5.15．(2016年北京)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)15．60 解析：根据二项展开的通项公式T r ＋1＝C r 6·(－2)r x r 可知，x 2的系数为C 26(－2)2＝60，故填60.16．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤12”发生的概率为________．16.13 解析：由正弦函数的图象与性质知，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π时，sin x ≤12. 所以所求概率为⎝⎛⎭⎫π6－0＋⎝⎛⎭⎫π－5π6π＝13.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．17．解：(1)设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，由题意知q >0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10.消去d ，得q 4－2q 2－8＝0.解得q ＝2，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *， {b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有c n ＝(2n －1)2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)×2n .两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3. 所以S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.18．(本小题满分12分)(2014年大纲)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．18．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0,1,2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A0·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.19．(本小题满分12分)(2016年四川)如图M1-4，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠P AB＝90°，BC＝CD＝12AD，E为边AD的中点，异面直线P A与CD所成的角为90°.(1)在平面P AB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线P A与平面PCE所成角的正弦值．图M1-419．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．延长AB，DC，相交于点M(M∈平面P AB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形．所以CD∥EB.从而CM∥EB.又EB ⊂平面PBE ，CM 平面PBE ， 所以CM ∥平面PBE .(说明：延长AP 至点N ，使得AP ＝PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)方法一，由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 从而CD ⊥PD .所以∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.如图D191，过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH . 易知P A ⊥平面ABCD ， 从而P A ⊥CE . 于是CE ⊥平面P AH . 所以平面PCE ⊥平面P AH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE . 所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角． 在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1， 所以AH ＝22. 在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝3 22， 所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.图D191 图D192方法二，由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD .设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD → ，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图D192所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)，所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0.设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)．设直线P A 与平面PCE 所成角为α，则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13 .所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.20．(本小题满分12分)(2016年新课标Ⅲ)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x <x ；(3)设c >1，证明当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .20．解：(1)由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(2)由(1)知，f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x －1，即1<x －1ln x <x .(3)由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x ， 则g ′(x )＝c －1－c x ln c . 令g ′(x )＝0，解得x 0＝lnc －1ln cln c .当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． 由(2)知，1<c －1ln c<c ，故0<x 0<1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所以x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .21．(本小题满分12分)(2016年广东广州综合测试一)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2, 0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．21．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，所以a 2－b 2＝4.①因为点B (2，2)在椭圆C 上，所以4a 2＋2b 2＝1.②由①②，解得a ＝2 2，b ＝2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为(－2 2，0)．因为直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆x 28＋y 24＝1交于两点E ，F ，设点E (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则点F (－x 0，－y 0)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1消去y ，得x 2＝81＋2k 2. 所以x 0＝2 21＋2k2，则y 0＝2 2k 1＋2k2.所以直线AE 的方程为y ＝k1＋1＋2k2(x ＋2 2)．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令x ＝0得y ＝ 2 2k1＋1＋2k2，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2 2k 1＋1＋2k 2. 同理可得点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2 2k 1－1＋2k 2. 所以|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2k 1＋1＋2k 2－ 2 2k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |. 设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫0，－2k .则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋2k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1＋2k 2)|k |2，即x 2＋y 2＋2 2k y ＝4. 令y ＝0，得x 2＝4，即x ＝2或x ＝－2.故以MN 为直径的圆经过两定点P 1(2,0)，P 2(－2,0)，请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A 、B 的极坐标分别为A (2，π)、B ⎝⎛⎭⎫2，4π3. (1)求直线AB 的直角坐标方程；(2)设M 为曲线C 上的动点，求点M 到直线AB 距离的最大值．22．解：(1)将A 、B 化为直角坐标为A (2cos π，2sin π)，B ⎝⎛⎭⎫2cos 4π3，2sin 4π3，即A ，B 的直角坐标分别为A (－2,0)，B (－1，－3)，k AB ＝－3－0－1＋2＝－3，∴直线AB 的方程为y －0＝－3(x ＋2)，即直线AB 的方程为3x ＋y ＋2 3＝0.(2)设M (2cos θ，sin θ)，它到直线AB 的距离d ＝|2 3cos θ＋sin θ＋2 3|2＝|13sin (θ＋φ)＋2 3|2， ∴d max ＝13＋2 32.23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R .(1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0恒成立，求a 的取值范围．23．解：(1)当a ＝3时，f (x )>0，即|x －2|－|2x －3|>0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤32，x －1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧ 32<x <2，－3x ＋5>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，－x ＋1>0. 解得1<x ≤32，或32<x <53. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <53. (2)f (x )＝2－x －|2x －a |，所以f (x )<0可化为|2x －a |>2－x ， ①即2x －a >2－x ，或2x －a <x －2.①式恒成立等价于(3x －2)min >a 或(x ＋2)max <a ，∵x ∈(－∞，2)，∴a ≥4.。
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(04)
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（04）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（5分）已知i为虚数单位，则复数﹣1+i的模等于（）A．B．C．D．22．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i3．（5分）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．﹣14．（5分）如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（）A．B．C．D．5．（5分）已知向量=（4，﹣2），向量=（x，5），且∥，那么x的值等于（）A．10 B．5 C．D．﹣106．（5分）已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（）A．B．C．D．7．（5分）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15° B．cos2﹣sin2C．D．8．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位9．（5分）有以下四个命题：①如果且，那么；②如果，那么或；③△ABC中，如果，那么△ABC是钝角三角形；④△ABC中，如果，那么△ABC为直角三角形．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．310．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）11．（5分）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为．12．（5分）已知向量满足与的夹角为60°，则=．13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为，若向量=，，则=．14．（5分）已知向量=（1，﹣3），=（4，2），若⊥（+λ），其中λ∈R，则λ=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（12分）已知函数f（x）=4cosxsin（x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（12分）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，那么要满足上述的要求，并且获利最大，甲、乙两车间应当各生产多少箱？17．（14分）已知函数，x∈R，且（1）求A的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．18．（14分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4．现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG．（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；（2）求多面体CDEFG的体积．19．（14分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．（1）求线段BC的长度；（2）求∠ACB的大小；水秀中华（参考数值：）（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船？20．（14分）已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（04）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（5分）已知i为虚数单位，则复数﹣1+i的模等于（）A．B．C．D．2【解答】解：．所以，复数﹣1+i的模等于．故选C．2．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【解答】解：复数===2﹣i故选B．3．（5分）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．﹣1【解答】解：由a2﹣3a+2=0得a=1或2，且a﹣1≠0得a≠1∴a=2．故选B．4．（5分）如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵D是△ABC的边AB的中点，∴=（+）∵=﹣，∴=（﹣﹣）=﹣+故选：A5．（5分）已知向量=（4，﹣2），向量=（x，5），且∥，那么x的值等于（）A．10 B．5 C．D．﹣10【解答】解：∵=（4，﹣2），=（x，5），且∥，∴4×5=﹣2x，解之得x=﹣10故选：D6．（5分）已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设θ为、的夹角，据此依次分析选项：对于A、、是两个单位向量，则、的方向不一定相同，则=不一定成立，A错误；对于B、•=||||cosθ，当、不垂直时，•≠0，B错误；对于C、•=||||cosθ=cosθ≤1，C错误；对于D、、是两个单位向量，即||=||，则有2=2，D正确；故选：D．7．（5分）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15° B．cos2﹣sin2C．D．【解答】解：sin15°cos15°=sin30°=，排除A项．cos2﹣sin2=cos=，排除B项．==，排除C项由tan45°=，知选D．故选D8．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象，故选：B9．（5分）有以下四个命题：①如果且，那么；②如果，那么或；③△ABC中，如果，那么△ABC是钝角三角形；④△ABC中，如果，那么△ABC为直角三角形．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①∵且，∴，与不一定相等，故①不正确；②∵，∴，或，或，故不正确；③在△ABC中，∵，∴，∴∠ABC是钝角，故△BAC是钝角三角形，因此正确；④在△ABC 中，∵，∴，即AB ⊥BC ，∴∠ABC=90°，∴△ABC 是直角三角形，故正确．综上可知：只有③④正确，即正确命题的个数是2． 故选C ．10．（5分）已知函数y=sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω=1，φ=B ．ω=1，φ=﹣C ．ω=2，φ=D ．ω=2，φ=﹣【解答】解：由图象可知：T==π，∴ω=2；（，1）在图象上，所以 2×+φ=，φ=﹣．故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）11．（5分）设复数z 满足（1+i ）z=2，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ﹣1 ． 【解答】解：由（1+i ）z=2，得：．所以，z 的虚部为﹣1． 故答案为﹣1．12．（5分）已知向量满足与的夹角为60°，则=．【解答】解：根据题意，•=||||cos60°=1，2=||2﹣4•+4||2=13，则2=，故答案为．13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为，若向量=，，则=﹣12．【解答】解：由已知可得，=∴=（）•（）=6=6﹣4×﹣16=﹣12故答案为：﹣1214．（5分）已知向量=（1，﹣3），=（4，2），若⊥（+λ），其中λ∈R，则λ=．【解答】解：∵⊥（+λ），∴•（+λ）=0．∴（1，﹣3）•（4+λ，2﹣3λ）=0，即（4+λ）﹣3（2﹣3λ）=0．解得λ=．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（12分）已知函数f（x）=4cosxsin（x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+）﹣1，=4cosx（sinx+cosx）﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，当2x+=﹣时，即x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1．16．（12分）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，那么要满足上述的要求，并且获利最大，甲、乙两车间应当各生产多少箱？【解答】解：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，…（1分）根据题意，得约束条件…（4分）画出可行域．…（7分）目标函数z=280x+200y，…（8分）即，…（9分）作直线并平移，得直线经过点A（15，55）时z取最大值．…（11分）所以当x=15，y=55时，z取最大值．…（12分）17．（14分）已知函数，x∈R，且（1）求A的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．【解答】解：（1），解得A=2（2），即，即因为，所以，，所以．18．（14分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4．现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG．（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；（2）求多面体CDEFG的体积．【解答】解：（1）证明：因为DE⊥EF，CF⊥EF，所以四边形CDEF为矩形，由AD=5，DE=4，得AE=GE==3，由GC=4，CF=4，得BF=FG==4，所以EF=5，在△EFG中，有EF2=GE2+FG2，所以EG⊥GF，又因为CF⊥EF，CF⊥FG，得CF⊥平面EFG，所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG，即平面DEG⊥平面CFG．（2）解：在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于H，则GH==，因为平面CDEF⊥平面EFG，得GH⊥平面CDEF，=16．19．（14分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．（1）求线段BC的长度；（2）求∠ACB的大小；（参考数值：）（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船？【解答】解：（1）在△ABC中，∠CAB=45°+75°=120°，…（1分）由余弦定理，得BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠CAB…（2分）=+22﹣2×（﹣1）×2×（﹣）=6，…（3分）水秀中华所以，BC=．…（4分）（2）在△ABC中，由正弦定理，得=，所以，sin∠ACB=…（6分）==．…（7分）又∵0°＜∠ACB＜60°，∴∠ACB=15°．…（8分）（3）设缉私船用th在D处追上走私船，如图，则有CD=10t，BD=10t．在△ABC中，又∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD=…（8分）==．…（10分）∴∠BCD=30°，又因为∠ACB=15°…（12分）所以1800﹣（∠BCD+∠ACB+75°）=180°﹣（30°+15°+75°）=60°即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．（14分）20．（14分）已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，∴f（2）=3；水秀中华∵f′（x）=3x2﹣3x，∴f′（2）=6．所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），即y=6x﹣9；（Ⅱ）解：f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=．以下分两种情况讨论：（1）若0＜a≤2，则；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：当时，f（x）＞0，等价于即．解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；（2）若a＞2，则当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：，当时，f（x）＞0等价于即水秀中华解不等式组得或．因此2＜a＜5．综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．。
2018年云南省玉溪市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
20． （12 分）已知圆 C：x2+（y+
）2＝16，点 A（0，
） ，P 是圆上任意一点，
线段 AP 的垂直平分线交 CP 于点 Q， 当点 P 在圆上运动时， 点 Q 的轨迹为曲 线 E，直线 l：y＝kx+m 与 y 轴交于点 D，与曲线 E 交于 M，N 两个相异点， 且 ＝λ ．
11． （5 分）已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 M 在线段 AB 上，点 N 在线段 AD 上，且 AM＝AN（M，N 不与点 A 重合） ，给出下列结论： （1）MN∥B1D1； （2）直线 MN 与 BC1 所成的角为 （3）MN⊥CB1； （4）BD 与平面 ACD1 所成角的正切值为 其中正确结论的个数是（ ）
2018 年云南省玉溪市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1． （5 分）已知集合 A＝{1，3，5，7}，B＝{4，5，6，7}，则 A∪B 中元素个数 为（ A．2 ） B．4 C．6 D．8 ）
2． （5 分）设复数 z 的共轭复数为 ，若（3+i）z＝2﹣i，则| |＝（ A． B． C． D．1
A．4 和 7
B．5 和 8
C．5 和 7
D．4 和 8
9． （5 分）三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，已知 PA，PB，PC 两 两垂直， PA＝1， PB+PC＝4， 当三棱锥的体积最大时， 球 O 的体积为 （ A．36π B．9π C． π D． π ） ）
10． （5 分）设 a＝2﹣0.3，b＝log34，c＝log23，则 a，b，c 的大小关系为（ A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c
云南省玉溪市2018年高考数学三模试卷
云南省玉溪市2018年高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．B．C．﹣i D．i2．已知平面向量，如果，那么=（）A．B． C．3 D．3．函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为（）A．﹣4 B．C．D．﹣24．（﹣+）10的展开式中x2的系数等于（）A．45 B．20 C．﹣30 D．﹣905．若运行如图所示程序框图，则输出结果S的值为（）A．94 B．86 C．73 D．566．如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（）A．B． C．﹣2 D．27．为得到y=cos（2x﹣）的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位8．在数列{a n}中，a1=，a2=，a n a n+2=1，则a2016+a2017=（）A．B．C．D．59．“a+b=2”是“直线x+y=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．已知变量x、y满足条件，则z=2x+y的最小值为（）A．﹣2 B．3 C．7 D．1211．在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（）A．B．C．D．12．已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且，如果抛物线y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么=（）A．21 B．14 C．7 D．0二、填空题:本大题共4小题。
每小题5分，共20分.13．圆C与直线x+y=0及x+y﹣4=0都相切，圆心在直线x﹣y=0上，则圆C的方程为．14．关于x的一元二次方程x2+2mx+5m﹣6=0，若m是从区间[0，5]任取的一个数，则上述方程有实根的概率为．15．8个相同的球放入标号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，共有种不同的放法．16．边长为2的正三角形ABC，其内切圆与BC切于点E，F为内切圆上任意一点，则的取值范围为．三、解答题：共70分。
2018届云南省玉溪市普通高中毕业班高考数学一轮复习模拟试题 04
DCBA 一轮复习数学模拟试题04满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．已知i 为虚数单位，则复数i +-1的模等于( )A ．21B ．22C ．2D ．22．i 是虚数单位，复数ii--131＝( )A ．i +2B ．i -2C ．i 21+-D ．i 21--3．若复数i a a a )1()23(2-++-是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．1或2 D．－14．如图，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量等于（）． A ．BC +-B ． BC --C ． BC -D ． BC + 5．已知向量)2,4(-=，向量)5,(x b =，且//，那么x 的值等于（ ）．A ．10B ．5C ．52-D ．10- 6． 已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（ ）．A ．=B ．0=⋅C ．1||<⋅b aD ． 22b a =7．下列各式中，值为21的是( ) A ．015cos 15sin B ．112cos 22-πC ．230cos 10+ D ．0205.22tan 15.22tan - 8．要得到函数)32sin(π+=x y 的图象，只要把函数x x f 2sin )(=的图象 ( )A ．向右平移3π个单位B ．向左平移3π个单位C ．向右平移6π个单位D ．向左平移6π个单位9．有以下四个命题：①如果⋅=⋅ 且0≠，那么=；②如果0=⋅，那么=或=；③ABC ∆中，如果0>⋅，那么ABC ∆是钝角三角形；④ABC ∆中，如果0=⋅，那么ABC ∆为直角三角形．其中正确命题的个数是（ ）．A ． 0B ． 1C ． 2D ． 310．已知函数)2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的部分图象如图所示，则( )A ．6,1πϕω== B ．6,1πϕω-==C ．6,2πϕω== D ．6,2πϕω-==二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）11．设复数z 满足2)1(=+z i ，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为________12．已知向量a 、b 满足1||=，2||=，a 与b 的夹角为60°，则|2|-＝________. 13．已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为3π,若向量1=2142e e -，21243e e +=，则21b b ⋅=14．已知向量)3,1(-=,)2,4(=，若)(λ+⊥，其中R ∈λ，则λ= .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分）已知函数.1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f(1) 求)(x f 的最小正周期；（6分）(2) 求)(x f 在区间[]64ππ-,上的最大值和最小值. （6分）16. （本小题满分12分）某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，那么要满足上述的要求，并且获利最大，甲、乙两车间应当各生产多少箱？o yx17．（本小题满分14分）已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R ，且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求A 的值；（5分） （2）设0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，28435f βπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值. （9分）18．（本小题满分14分） 如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，F E ,是线段AB 上的两点，且AB DE ⊥，AB CF ⊥，4,24,5,12====DE BC AD AB . 现将CFB ADE ∆∆,分别沿CF DE ,折起，使B A ,两点重合与点G ，得到多面体CDEFG . （1）求证：⊥EG 平面CFG ；（7分）（2）求多面体CDEFG 的体积. （7分）19. （本小题满分14分）在海岸A 处，发现北偏东45方向, 距离A )13(-n mile 的B处有一艘走私船,在A 处北偏西75的方向，距离A 2n mile 的C 处的缉私船奉命以 n h mile /的速度追截走私船，此时，走私船正以10 n h mile /的速度从B 处向北偏东30方向逃窜.(1)求线段BC 的长度；（4分）（2）求ACB ∠的大小；（4分）（参考数值：42615cos ,42615sin 00+=-=） （3）问缉私船沿北偏西多少度的方向能最快追上走私船? （6分）20．（本小题满分14分）已知函数)(x f 3232ax x =-+1(x ∈R),其中0>a .(1)若1=a ,求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 的切线方程; （6分） (2)若在区间11[]22-,上，)(x f >0恒成立，求a 的取值范围. （8分）答案1-5 C B B A D 6-10 D D D C D11．1- 12．13 13．12- 14．51 15．解:(1)因为f (x )=4cos x sin ()16x π+-=4cos x x 12+cos 1)-x=3sin2x +2cos 2x -1 ……………………………………… 2分=3sin2x +cos2x ………………………………………… 4分=2sin (2)6x π+, ………………………………………… 5分所以f (x )的最小正周期为π. ………………………………………… 6分(2)因为64x ππ-≤≤,所以22663x πππ-≤+≤. ………………………………………… 8分于是,当262x ππ+=,即6x π=时, f (x )取得最大值2;………………………………………… 10分当266x ππ+=-,即6x π=-时,f (x )取得最小值-……………………………………… 12分16．解析:设甲车间加工原料x 箱乙车间加工原料y 箱, …………………………………… 1分根据题意,得约束条件 7010648000x y x y x y x y N +≤,⎧⎪+≤,⎪⎨≥,≥,⎪⎪∈,⎩、 …………………………………… 4分画出可行域. …………………………………7分目标函数z=280x+200y,…………………………………… 8分 即75200z y x =-+, …………………………………… 9分作直线75y x =-并平移,得直线经过点A(15,55)时z 取最大值. ……………………………… 11分所以当x=15,y=55时,z 取最大值 . …………………………………… 12分17. 解：（1）)612cos()3(πππ+=A f =4cosπA ………………………………… 2分=A 22=2，……………………………… 4分 解得2A = ……………………………… 5分（2）43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即15sin 17α=……………………………… 7分 2842cos 2cos 3665f ππβπββ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4cos 5β=………… 9分因为0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，……………………………… 10分所以8cos 17α==，3sin 5β==…………………… 12分 所以8415313cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-…… 14分18．解：（1）在多面体CDEFG 中，F GF EF GF CF EF CF =⊥⊥ ,,，所以，CF EGF ⊥底面, …………………………… 2分 又因为EGF EG 底面⊂,可得CF EG ⊥， …………………………… 3分由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以，222EF GF EG =+可得EG GF ⊥. …………………………… 5分 又因为F GF CF = ， ………………………… 6分 所以，EG CFG ⊥面. …………………………… 7分 （2）过G 作GO ⊥ EF ，…………………………… 8分 由（1）可得CF EGF ⊥底面，EGF GO 底面⊂，所以GO CF ⊥.………………………… 9分 又因为O GO EF = ， ………………………… 10分 所以，CDEF GO 平面⊥.GO 即为四棱锥G-EFCD 的高，…………………………… 11分 所以所求体积为16512543131=⨯⨯⨯=⋅=-GO S V DECF EFCD G 正方形.…………… 14分 19．解:（1）在ABC ∆中，CBD ∠=90+30=120,……………………………… 1分由余弦定理，得CAB AC AB AC AB BC ∠⋅-+=cos 2222……………………………… 2分=)21(2)13(22)13(22-⨯⨯-⨯-+-=6，…………………………… 3分 所以，BC =6 .…………………………… 4分（2）在ABC ∆中，由正弦定理，得120sin sin BCACB AB =∠， 所以，BCAB ACB 0120sin sin ⋅=∠……………………………… 6分=2213-=426-. ……………………………… 7分 又 00900<∠<ACB ，015=∠∴ACB . … …………………………… 8分（3）设缉私船用t h 在D 处追上走私船,如图,则有10CD BD t =,=.在△ABC 中,又CBD ∠=90+30=120, 在△BCD 中,由正弦定理,得sin sin BD CBD BCD CD⋅∠∠= ………………… 8分12==. ………………… 10分∴30BCD ∠=,又因为015=∠ACB ………………… 12分所以)75(1800+∠+∠-ACB BCD =)751530(1800++-=060即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船………………… 14分20．解:(1)当a =1时323()1(2)2f x x x f ,=-+,=3; …………………… 1分f ′(x )233x x f =-,′(2)=6. …………………… 3分所以曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y -3=6(x -2), …………………… 5分 即096=--y x . …………………… 6分(2)f ′2()333(x ax x x ax =-=-1).令f ′(x )=0,解得x =0或1x a=. …………………… 7分以下分两种情况讨论:若02a <≤,则112a ≥.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:当11[]22x ∈-,时,f (x )>0等价于1()021()02f f ⎧->,⎪⎨⎪>,⎩ 即508508a a -⎧>,⎪⎨+⎪>.⎩ …………………… 9分 解不等式组得-5<a <5.因此02a <≤. …………………… 10分 ②若a >2,则1102a <<.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:当11[]22x ∈-,时,f (x )>0等价于1()021()0f f a ⎧->,⎪⎨⎪>,⎩ 即25081102a a-⎧>,⎪⎨->,⎪⎩ ………………… 12分5a <<或a <.因此2<a <5. ………………… 13分 综合①和②,可知a 的取值范围为)5,0(. …………………… 14分。
2018年云南省玉溪市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2018年云南省玉溪市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x≥0，x∈R}，B＝{x|x2+2x﹣3≥0，x∈R}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．[1，+∞）D．[﹣3，0）2．（5分）设复数z的共轭复数为，若＝i3，则||＝（）A．1B．C．D．23．（5分）如图是甲乙丙三位同学在高三以来6次考试的数学成绩折线图，请根据图表判断下列说法错误的是（）A．丙的数学成绩整体上最差B．乙的数学成绩稳定性最差C．甲乙整体水平较接近，且甲的成绩更加稳定D．乙的整体水平比丙高，且乙的成绩比丙更稳定4．（5分）已知与的夹角为，＝（1，1），||＝1，则在方向上的投影为（）A．B．C．D．5．（5分）函数f（x）＝sin2x+2cos2x的一条对称轴为（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝6．（5分）一个正方体截去两个角后所得几何体的正（主）视图、俯视图如图所示，则其侧（左）视图为（）A．B．C．D．7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A＝，b＝3，c＝2，则sin C＝（）A．B．C．D．18．（5分）如图所示的程序框图是数学史上有名的“冰雹猜想”，它蕴含着一个规律，即任意正整数n，按照改程序运行，最终都会变为4﹣2﹣1循环，若输入i＝0，试求输入n 分别为5和6，则输出的i分别为（）A．4和7B．5和8C．5和7D．4和89．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知P A，PB，PC两两垂直，P A ＝1，PB+PC＝4，当三棱锥的体积最大时，球O的体积为（）A．36πB．9πC．πD．π10．（5分）函数f（x）＝2tan x﹣3x在（）上的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），M，N两点在双曲线上，且MN∥F1F2，|F1F2|＝2|MN|，线段F1N交双曲线C于点Q，且|F1Q|＝|F1N|，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝x2+ln2x﹣2m（x+lnx）+2m2+1，若存在x0使得f（x0）成立，则实数m的值为（）A．B．1C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若x，y满足，则z＝x﹣y的最大值为．14．（5分）在（﹣2x2）5的展开式中，x2的系数是．15．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与该抛物线分别交于A，B两点，（点A在第一象限），若＝，则λ＝．16．（5分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且点（a n，4S n）在函数f（x）＝x2+2x的图象上，若不等式S n+16＞（﹣1）nλa n对∀n∈N*恒成立，则λ的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{a n}中，a1＝2，a n＝（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n﹣1）2，且数列{b n}的前n项和为S n，证明：S n＜2．18．（12分）为更好地了解职工对待工作的满意程度，某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名应该的工作满意进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女员工，14名男员工）的得分，如表（Ⅰ）根据初步计算分析得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为“满意”，否则为“不满意”，请完成下列表格：（Ⅱ）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？参考数据：参考公式：K2＝（Ⅲ）在上述样本中且得分大于45分的员工里，随机抽取2人，记男员工的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．19．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，F为AD的中点，E为边BC的中点，M是棱PC的中点，AB＝4．（Ⅰ）求证：直线P A∥平面MFE；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣C的大小为60°，求直线PE与平面MFE所成角的余弦值．20．（12分）已知圆C：x2+（y+）2＝16，点A（0，），P是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP于点Q，当的P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E，直线l：y＝kx+m与y轴交于点D，与曲线E交于M，N两个相异点，且＝．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）是否存在实数m，使＝4？，若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）＝e x﹣1﹣lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数g（x）＝e t（x﹣1）﹣tlnx（t＞0），曲线y＝g（x）与直线y＝tx相切，证明：t＜2．请考生在22.23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为，（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点A（，）．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若M，N是曲线C1上的两个动点，且OM⊥ON，求证：+是定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤﹣t2+3t在[1，3]上无解，求实数t的取值范围．2018年云南省玉溪市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x≥0，x∈R}，B＝{x|x2+2x﹣3≥0，x∈R}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．[1，+∞）D．[﹣3，0）【解答】解：集合A＝{x|x≥0，x∈R}，B＝{x|x2+2x﹣3≥0，x∈R}＝{x|x≤﹣3或x≥1，x∈R}＝（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），∴∁R A＝{x|x＜0，x＜R}＝（﹣∞，0），∴（∁R A）∩B＝（﹣∞，﹣3]．故选：B．2．（5分）设复数z的共轭复数为，若＝i3，则||＝（）A．1B．C．D．2【解答】解：＝i3＝﹣i，解得：z＝＝＝＝i，则||＝|z|＝1．故选：A．3．（5分）如图是甲乙丙三位同学在高三以来6次考试的数学成绩折线图，请根据图表判断下列说法错误的是（）A．丙的数学成绩整体上最差B．乙的数学成绩稳定性最差C．甲乙整体水平较接近，且甲的成绩更加稳定D．乙的整体水平比丙高，且乙的成绩比丙更稳定【解答】解：由甲乙丙三位同学在高三以来6次考试的数学成绩折线图，知：在A中，丙的数学成绩整体上最差，故A正确；在B中，乙的数学成绩稳定性最差，故B正确；在C中，甲乙整体水平较接近，且甲的成绩更加稳定，故C正确；在D中，乙的整体水平比丙高，且丙的成绩比乙更稳定，故D错误．故选：D．4．（5分）已知与的夹角为，＝（1，1），||＝1，则在方向上的投影为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，与的夹角为，且||＝1，则在方向上的投影||cos＝；故选：C．5．（5分）函数f（x）＝sin2x+2cos2x的一条对称轴为（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【解答】解：函数f（x）＝sin2x+2cos2x＝sin2x+cos2x+1＝2sin（2x+）+1．令2x+＝，k∈Z，可得：x＝．令k＝0，可得一条对称轴为：x＝．故选：B．6．（5分）一个正方体截去两个角后所得几何体的正（主）视图、俯视图如图所示，则其侧（左）视图为（）A．B．C．D．【解答】解：几何体的直观图如图：它的左视图为：．故选：B．7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A＝，b＝3，c＝2，则sin C＝（）A．B．C．D．1【解答】解：根据题意，△ABC中，A＝，b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝3，则a＝，又由正弦定理：＝，则sin C＝＝＝1，故选：D．8．（5分）如图所示的程序框图是数学史上有名的“冰雹猜想”，它蕴含着一个规律，即任意正整数n，按照改程序运行，最终都会变为4﹣2﹣1循环，若输入i＝0，试求输入n 分别为5和6，则输出的i分别为（）A．4和7B．5和8C．5和7D．4和8【解答】解：若输入i＝0，n＝5满足条件n为奇数，n＝16，i＝1不满足条件n＝1，不满足条件n为奇数，n＝8，i＝2不满足条件n＝1，不满足条件n为奇数，n＝4，i＝3不满足条件n＝1，不满足条件n为奇数，n＝2，i＝4不满足条件n＝1，不满足条件n为奇数，n＝1，i＝5满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为5．若输入i＝0，n＝6不满足条件n为奇数，n＝3，i＝1不满足条件n＝1，满足条件n为奇数，n＝10，i＝2不满足条件n＝1，不满足条件n为奇数，n＝5，i＝3不满足条件n＝1，满足条件n为奇数，n＝16，i＝4不满足条件n＝1，不满足条件n为奇数，n＝8，i＝5不满足条件n＝1，不满足条件n为奇数，n＝4，i＝6不满足条件n＝1，不满足条件n为奇数，n＝2，i＝7不满足条件n＝1，不满足条件n为奇数，n＝1，i＝8满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为8．故选：B．9．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知P A，PB，PC两两垂直，P A ＝1，PB+PC＝4，当三棱锥的体积最大时，球O的体积为（）A．36πB．9πC．πD．π【解答】解：由题意，V＝••1•PB•PC≤（PB+PC）2＝，当且仅当PB＝PC＝2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P﹣ABC视为正四棱柱的一部分，则CD＝2R，即P A2+PB2+PC2＝4R2＝9，可得R＝，故球的体积是：V＝πR3＝×π×（）3＝π故选：C．10．（5分）函数f（x）＝2tan x﹣3x在（）上的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝2tan x﹣3x在（）上是奇函数，排除A，B；当x＝时，f（x）＝﹣＜0，x＝时，y＝2﹣＜0，排除选项C，故选：D．11．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），M，N两点在双曲线上，且MN∥F1F2，|F1F2|＝2|MN|，线段F1N交双曲线C于点Q，且|F1Q|＝|F1N|，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：由2c＝|F1F2|＝2|MN|，可得|MN|＝c，由MN∥F1F2，可设N（c，t），由|F1Q|＝|F1N|，可得|F1Q|＝|QN|，由定点分比坐标公式可得Q（﹣c，t），由N，Q在双曲线上，可得﹣＝1，﹣＝1，消去t整理可得，e2﹣1＝（e2﹣1），解得e＝．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝x2+ln2x﹣2m（x+lnx）+2m2+1，若存在x0使得f（x0）成立，则实数m的值为（）A．B．1C．D．2【解答】解：函数f（x）＝x2+ln2x﹣2m（x+lnx）+2m2+1，若存在x0使得f（x0）成立⇔存在x0使得x02﹣2mx0+m2+ln2x0﹣2mlnx0+m2≤成立．存在x0使得g（x0）＝（x0﹣m）2+（lnx0﹣m）2成立．可以看作是动点M（x0，lnx0）与动点N（m，m）之间距离的平方小于，动点M在函数y＝lnx的图象上，N在直线y＝x的图象上，问题转化为求直线y＝x上的动点到曲线y＝lnx的最小距离，由y＝lnx得，y′＝＝1，解得x＝1，∴曲线上点M（1，0）到直线y＝x的距离最小，最小距离d＝，根据题意，要使g（x0）≤，则f（x0）＝，此时N恰好为垂足，由k MN＝，解得m＝．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若x，y满足，则z＝x﹣y的最大值为2．【解答】解：由x，y满足作出可行域如图，化目标函数z＝x﹣y为y＝x﹣z，由图可知，当直线y＝x﹣z过A（0，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2，故答案为：2．14．（5分）在（﹣2x2）5的展开式中，x2的系数是40．【解答】解：由＝．取，得r＝2．∴（﹣2x2）5的展开式中，x2的系数是．故答案为：40．15．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与该抛物线分别交于A，B两点，（点A在第一象限），若＝，则λ＝．【解答】解：直线l的方程为：y＝（x﹣），联立方程组，消元可得：3x2﹣5px+＝0，解得：x1＝，x2＝，∴|AF|＝x2+＝2p，|AB|＝x1+x2+p＝，∴λ＝＝．故答案为：．16．（5分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且点（a n，4S n）在函数f（x）＝x2+2x的图象上，若不等式S n+16＞（﹣1）nλa n对∀n∈N*恒成立，则λ的取值范围是（﹣，）．【解答】解：点（a n，4S n）在函数f（x）＝x2+2x的图象上，即为4S n＝a n2+2a n，（a n＞0），当n＝1时，4a1＝4S1＝a12+2a1，解得a1＝2；当n≥2时，4S n＝a n2+2a n，4S n﹣1＝a n﹣12+2a n﹣1，两式相减可得4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝a n2﹣a n﹣12+2a n﹣2a n﹣1（a n﹣a n﹣1）（a n+a n﹣1）﹣2（a n+a n﹣1）＝0，即有（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0可得a n﹣a n﹣1＝2，则a n＝2+2（n﹣1）＝2n，当n﹣1时也成立，∴S n＝n（n+1），不等式S n+16＞（﹣1）n•λa n对任意n∈N*恒成立，可得n（n+1）+16＞（﹣1）n•λ•2n对任意n∈N*恒成立，即为（﹣1）n•λ＜n++对任意n∈N*恒成立，当n为偶数时，即有λ＜n++恒成立，由n++≥2+＝，即有λ＜；当n为奇数时，﹣λ＜n++恒成立，由于n＝4时，n++≥2+＝，当且仅当n＝4时取得等号，考虑n＝3时，n++＝；n＝5时，n++＝，即有﹣λ＜，即λ＞﹣，综上可得λ的范围是（﹣，）．故答案为：（﹣，）三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{a n}中，a1＝2，a n＝（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n﹣1）2，且数列{b n}的前n项和为S n，证明：S n＜2．【解答】（I）证明：∵a1＝2，a n＝（n∈N*）．∴a n+1＝2﹣，∴﹣＝﹣＝﹣＝1，＝1．∴数列{}是等差数列，首项与公差分别为1．∴＝1+（n﹣1）＝n，∴a n＝1+．（II）证明：b n＝（a n﹣1）2＝．∴n≥2时，b n＜＝﹣．∴数列{b n}的前n项和为S n＜1++……+＝2﹣＜2．∴S n＜2．18．（12分）为更好地了解职工对待工作的满意程度，某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名应该的工作满意进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女员工，14名男员工）的得分，如表（Ⅰ）根据初步计算分析得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为“满意”，否则为“不满意”，请完成下列表格：（Ⅱ）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？参考数据：参考公式：K2＝（Ⅲ）在上述样本中且得分大于45分的员工里，随机抽取2人，记男员工的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（Ⅰ）根据初步计算分析得这30名员工的平均得分为40.5分，规定大于平均得分为“满意”，否则为“不满意”，完成下列表格：（Ⅱ）根据上述表中数据，K2＝＝≈8.571＞6.635，∴利用独立性检验的方法判断，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关．（Ⅲ）样本中得分大于45分的员工里女员工有6人，男员工有2人，从中随机抽取2人，记男员工的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，∴X的分布列为：数学期望EX＝＝．19．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，F为AD的中点，E为边BC的中点，M是棱PC的中点，AB＝4．（Ⅰ）求证：直线P A∥平面MFE；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣C的大小为60°，求直线PE与平面MFE所成角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，交EF于O，连结OM，∵在正四棱锥P﹣ABCD中，F为AD的中点，E为边BC的中点，M是棱PC的中点，AB＝4．∴O是AC的中点，∴P A∥OM，∵P A⊄平面MFE，OM⊂平面MFE，∴直线P A∥平面MFE．（Ⅱ）连结AC、BD，交于点O，连结OP，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设OP＝t，则A（2，0，0，），D（0，﹣2，0），P（0，0，t），＝（2，0，﹣t），＝（0，﹣2，﹣t），设平面P AD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，），平面ADC的法向量＝（0，0，1），∵二面角P﹣AD﹣C的大小为60°，∴cos60°＝＝，解得t＝2．∴P（0，0，2），C（﹣2，0，0），E（﹣，，0），F（，﹣，0），M（﹣，0，），＝（﹣，，﹣2），＝（﹣2，，），＝（﹣2，2，0），设平面MEF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，），设直线PE与平面MFE所成角为θ，则sinθ＝＝＝，cosθ＝，∴直线PE与平面MFE所成角的余弦值为．20．（12分）已知圆C：x2+（y+）2＝16，点A（0，），P是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP于点Q，当的P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E，直线l：y＝kx+m与y轴交于点D，与曲线E交于M，N两个相异点，且＝．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）是否存在实数m，使＝4？，若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）如图，由题意可得：|QA|＝|QP|，则|QA|+|QC|＝|PC|＝4＞2，∴点Q的轨迹曲线E是以A，C为焦点的椭圆，其中2a＝4，a＝2，c＝，则b＝1．∴曲线E的方程为；（Ⅱ）联立，可得（k2+4）x2+2kmx+m2﹣4＝0．由△＝4k2m2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，得k2﹣m2+4＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2）．则，①，②∵D（0，m），∴＝（﹣x1，m﹣y1），＝（x2，y2﹣m），由＝4，＝．⇒λ＝3，得＝3．⇒（﹣x1，m﹣y1）＝（3x2，3y2﹣3m），则﹣x1＝3x2，③联立①③，得，，代入②，得﹣3k2m2＝（k2+4）（m2﹣4），即k2m2﹣k2+m2﹣4＝0，得，代入k2﹣m2+4＞0，得＞0，解得1＜m2＜4.1＜m＜2或﹣2＜m＜﹣1．∴存在实数m，使＝4，m的取值范围是（1，2）∪（﹣2，﹣1）．21．（12分）设函数f（x）＝e x﹣1﹣lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数g（x）＝e t（x﹣1）﹣tlnx（t＞0），曲线y＝g（x）与直线y＝tx相切，证明：t＜2．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝e x﹣1﹣，显然f′（x）在（0，+∞）递增，而f′（1）＝0，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（Ⅱ）证明：设曲线y＝f（x）与直线y＝tx的切点为（x0，f（x0）），因为f′（x）＝t（e t（x﹣1）﹣），所以f′（x0）＝t（e t（x0﹣1）﹣）＝t，即e t（x0﹣1）＝+1．因为直线y＝tx经过切点（x0，f（x0）），所以f（x0）＝e t（x0﹣1）﹣tlnx0＝tx0，于是，有+1﹣tlnx0＝tx0，即t＝．令h（x）＝e t（x﹣1）﹣﹣1，则h′（x）＝te t（x﹣1）+＞0，故h（x）单增，又h（1）＝﹣1＜0，h（1+）＝e﹣﹣1＞0，所以h（x）有唯一零点x0，且x0∈（1，1+）．再令r（x）＝，其中x∈（1，1+），则r′（x）＝＜0，故r（x）单减，所以r（x）＜r（1）＝2，即t＜2．请考生在22.23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为，（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点A（，）．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若M，N是曲线C1上的两个动点，且OM⊥ON，求证：+是定值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为，（φ为参数），转换为直角坐标方程为：，曲线C2是圆心在极轴上经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点A（，）．则：，解得：R＝1，圆的极坐标方程为：x2+y2﹣2x＝0．证明：（Ⅱ）M，N是曲线C1上的两个动点，且OM⊥ON，设M（ρ1，θ），Nρ2，θ），则：＝＝+＝．故：+是定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤﹣t2+3t在[1，3]上无解，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥4，即或或，解得：x ≥或x≤﹣7，故不等式的解集是{x|x ≥或x≤﹣7}；（Ⅱ）f（x ）＝，关于x的不等式f（x）≤﹣t2+3t在[1，3]上无解，则﹣t2+3t＜f（x）min，x∈[1，3]，而f（x）min＝2，故t2﹣3t+2＞0，解得：t＞2或t＜1，即t∈（﹣∞，1）∪（2，+∞）．第21页（共21页）。
2018届云南省玉溪市高三适应性训练数学(理)试题(解析版)
2018届云南省玉溪市高三适应性训练数学（理）试题（解析版）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中，仅有一个正确）1. 已知集合，，则的元素个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：集合M与集合N表示的集合都是点集，所以可以把两个方程联立，通过求方程的判别式来判定交点的个数。
详解：联立方程组所以判别式，所以的解集只有一个。
所以选B点睛：本题考查了两个集合的交点个数问题，主要注意两个集合都为点集，所以交集的个数也就是两个方程的解的个数，因此可以通过方程思想来解，属于简单题。
2. 设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：把复数化简得到，根据共轭复数的概念即可以求解。
详解：所以所以选A点睛：本题主要考查了复数的综合运算和共轭复数的概念，要注意化简过程中计算要细心，符号分清楚，属于简单题。
3. 如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（）A. 性别与喜欢理科无关B. 女生中喜欢理科的比为C. 男生比女生喜欢理科的可能性大些D. 男生不喜欢理科的比为【答案】C【解析】本题考查学生的识图能力，从图中可以分析，男生喜欢理科的可能性比女生大一些．考点：识图判断变量关系.4. 设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．由，得．平移直线，结合图形可得，当直线（图中的虚线）经过可行域内的点A 时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值．由，解得，故点A的坐标为（2,2）．∴，即目标函数的最大值为4．选D．5. 下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”.B. “”是“”的必要不充分条件.C. 命题“，使得”的否定是：“，均有”.D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题.【答案】D【解析】对于选项A，原命题的否命题为“若，则”，故A不正确．对于选项B，当时，成立；反之，当时，或，故“”是“”的充分不必要条件．故B不正确．对于选项C，命题的否定是“，”，故C不正确．对于选项D，原命题为真命题，所以其逆否命题为真命题．故D正确．选D．6. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以，故选C.7. 按照程序框图（如图所示）执行，第个输出的数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】第一次输出第二次输出，第三次输出，选B.8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据三视图，画出空间图形结构体，即可求出其表面积。
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(11)
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（11）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣42．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．3．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥n，n⊂α，则m∥α．其中正确命题的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④4．（5分）设函数f（x）=cos（2x+φ）+sin（2x+φ）（|φ|＜），且图象关于直线x=0对称，则（）A．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数B．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为减函数C．y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数D．y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数5．（5分）若程序框图输出S的值为126，则判断框①中应填入的条件是（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤86．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log3|x|的解有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．多于4个7．（5分）若{a n}是等差数列，首项公差d＜0，a1＞0，且a2013（a2012+a2013）＜0，则使数列{a n}的前n项和S n＞0成立的最大自然数n是（）A．4027 B．4026 C．4025 D．40248．（5分）M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交9．（5分）已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（k≥2）为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证n=（）时等式成立．A．n=k+1 B．n=k+2 C．n=2k+2 D．n=2（k+2）10．（5分）已知向量，，满足，，．若对每一确定的，的最大值和最小值分别为m，n，则对任意，m﹣n的最小值是（）A．B．C．D．1二、填空题：本大题共共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份注射疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为万只．12．（5分）二项式展开式中的第项是常数项．13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，主视图与俯视图都是一边长为3cm 的矩形，左视图是一个边长为2cm的等边三角形，则这个几何体的体积为．14．（5分）已知z=2x+y，x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a 的值是．15．（5分）给出如下四个结论：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③若随机变量ζ～N（3，4），且P（ζ＜2a﹣3）=P（ζ＞a+2），则a=3；④过点A（1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有2条．其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题共共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知函数的图象过点M（，0）．（1）求m的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosB+bcosC=2acosB，求f（A）的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=e x+tx（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当t=﹣e时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，求实数t的取值范围．18．（12分）如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；（Ⅱ）求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小．19．（12分）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（Ⅱ）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．20．（13分）已知F（1，0），P是平面上一动点，P到直线l：x=﹣1上的射影为点N，且满足（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点M（1，2）作曲线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1，k2变化且满足k1+k2=﹣1时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．21．（14分）已知数列{a n}满足：（其中常数λ＞0，n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：当λ=4时，数列{a n}中的任何三项都不可能成等比数列；（Ⅲ）设S n为数列{a n}的前n项和．求证：若任意n∈N*，（1﹣λ）S n+λa n≥3．2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（11）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣4【解答】解：==﹣i根据纯虚数的概念得出解得a=6．故选A．2．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y=f（﹣x）==﹣f（x），∴y=f（x）=为奇函数，∴y=f（x）的图象关于原点成中心对称，可排除B；又x＞0时，f（x）=，f′（x）=，∴x＞e时，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）上单调递减，0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上单调递增，故可排除A，D，而C 满足题意．故选C．3．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥n，n⊂α，则m∥α．其中正确命题的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：对于①，若α∥β，α∥γ根据面面平行的性质容易得到β∥γ；故①正确；对于②，若α⊥β，m∥α，m与β的关系不确定；故②错误；对于③，若m⊥α，m∥β，可以在β找到一条直线n与m平行，所以n⊥α，故α⊥β；故③正确；对于④，若m∥n，n⊂α，那么m与α的位置关系为m∥α或者m⊂α；故④错误；故选A．4．（5分）设函数f（x）=cos（2x+φ）+sin（2x+φ）（|φ|＜），且图象关于直线x=0对称，则（）A．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数. B．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为减函数C．y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数D．y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数【解答】解：f（x）=cos（2x+φ）+sin（2x+φ）=2[cos（2x+φ）+sin（2x+φ）]=2cos（2x+φ﹣），∵ω=2，∴T==π，又函数图象关于直线x=0对称，∴φ﹣=kπ（k∈Z），即φ=kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=2cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数的递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），又（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），∴函数在（0，）上为减函数，则y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数．故选B5．（5分）若程序框图输出S的值为126，则判断框①中应填入的条件是（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件S=2+22+23+…+2n=126时S的值∵2+22+23+…+26=126故最后一次进行循环时n的值为6，故判断框中的条件应为n≤6故选B6．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log3|x|的解有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．多于4个【解答】解：解：由f（x+2）=f（x）可得函数的周期为2，又函数为偶函数且当x∈[0，1]时，f（x）=x，故可作出函数f（x）得图象．∴方程f（x）=log3|x|的解个数等价于f（x）与y=log3|x|图象的交点，由图象可得它们有4个交点，故方程f（x）=log3|x|的解个数为4，故选：C．7．（5分）若{a n}是等差数列，首项公差d＜0，a1＞0，且a2013（a2012+a2013）＜0，则使数列{a n}的前n项和S n＞0成立的最大自然数n是（）A．4027 B．4026 C．4025 D．4024【解答】解：由题意可得数列{a n}单调递减，由a2013（a2012+a2013）＜0可得：a2012＞0，a2013＜0，|a2012|＞|a2013|．∴a2012+a2013＞0．则S4025=4025a2013＜0，故使数列{a n}的前n项和S n＞0成立的最大自然数n是4024．故选D．8．（5分）M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=a，由M为圆内一点得到：＜a，则圆心到已知直线的距离d=＞=a=r，所以直线与圆的位置关系为：相离．故选C9．（5分）已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（k≥2）为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证n=（）时等式成立．A．n=k+1 B．n=k+2 C．n=2k+2 D．n=2（k+2）【解答】解：由数学归纳法的证明步骤可知，假设n=k（k≥2）为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证n=k+2，不是n=k+1，因为n是偶数，k+1是奇数，故选B．10．（5分）已知向量，，满足，，．若对每一确定的，的最大值和最小值分别为m，n，则对任意，m﹣n的最小值是（）A．B．C．D．1【解答】解：∵，∴令=则A必在单位圆上，又∵又向量满足，∴令=则点B必在线段OA的中垂线上，=．又∵故C点在以线段AB为直径的圆M上，任取一点C，记=．故m﹣n就是圆M的直径|AB|显然，当点B在线段OA的中点时，（m﹣n）取最小值即（m﹣n）min=故选A二、填空题：本大题共共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份注射疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为90万只．【解答】解：9月份注射疫苗的鸡的数量是20×1=20万只，10月份注射疫苗的鸡的数量是50×2=100万只，11月份注射疫苗的鸡的数量是100×1.5=150万只，这三个月本地区平均每月注射了疫苗的鸡的数量为=90（万只）．故答案为：90．12．（5分）二项式展开式中的第九项是常数项．=（x2）10﹣r（）r=2r x，【解答】解：二项式的通项为T r+1令=0得r=8，故展开式中的常数项是第9项．故答案为：九．13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，主视图与俯视图都是一边长为3cm 的矩形，左视图是一个边长为2cm的等边三角形，则这个几何体的体积为．【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱柱，∵三棱柱的底面是一个边长为2的正三角形，三棱柱的侧棱与底面垂直且长度是3，∴三棱柱的体积是×2×2××3=3 ，故答案为：．14．（5分）已知z=2x+y，x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是．【解答】解：由题意可得，B（1，1）∴a＜1，不等式组表示的平面区域如图所示的△ABC由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越大，z 越大作直线L：y=﹣2x，把直线向可行域平移，当直线经过C时z最小，当直线经过点B时，z最大由可得C（a，a），此时Z=3a由可得B（1，1），此时z=3∴3=4×3a∴故答案：15．（5分）给出如下四个结论：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③若随机变量ζ～N（3，4），且P（ζ＜2a﹣3）=P（ζ＞a+2），则a=3；④过点A（1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有2条．其中正确结论的序号是②．【解答】解：①根据复合命题真值表，“p且q”为假命题，命题P、q至少有一个是假命题，∴①错误；②根据否命题的定义，②正确；③根据正态分布，μ=3取得峰值，当a=3时，2a﹣3=3，a+2=5，∴P（ξ＜3）≠P （ξ＞5）．∴③错误；④过点A（1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线有x+y=5；+=1；y=4x三条直线，故④错误．故答案是②．三、解答题：本大题共共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知函数的图象过点M（，0）．（1）求m的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosB+bcosC=2acosB，求f（A）的取值范围．【解答】解：（1）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）∴=sin2x﹣（1+cos2x）+m=sin2x﹣cos2x﹣+m=sin（2x﹣）﹣+m∵函数y=fx）图象过点M（，0），∴sin（2•﹣）﹣+m=0，解之得m=（2）∵ccosB+bcosC=2acosB，∴结合正弦定理，得sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB∵B+C=π﹣A，得sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA∴sinA=2sinAcosB∵△ABC中，sinA＞0，∴cosB=，得B=由（1），得f（x）=sin（2x﹣），所以f（A）=sin（2A﹣），其中A∈（0，）∵﹣＜2A﹣＜，∴sin（2A﹣）＞sin（﹣）=﹣，sin（2A﹣）≤sin=1因此f（A）的取值范围是（﹣，1]17．（12分）已知函数f（x）=e x+tx（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当t=﹣e时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当t=﹣e时，f（x）=e x﹣ex，f'（x）=e x﹣e．由f'（x）=e x﹣e＞0，解得x＞1；f'（x）=e x﹣e＜0，解得x＜1．∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）；单调递减区间是（﹣∞，1）．（Ⅱ）依题意：对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，即e x+tx＞0恒成立，即在x∈（0，2]上恒成立．令，∴．当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当1＜x＜2时，g'（x）＜0．∴函数g（x）在（0，1）上单调递增；在（1，2）上单调递减．所以函数g（x）在x=1处取得极大值g（1）=﹣e，即为在x∈（0，2]上的最大值．∴实数t的取值范围是（﹣e，+∞）．所以对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立的实数t的取值范围是（﹣e，+∞）．18．（12分）如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；（Ⅱ）求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又∵AC=AD，F为CD的中点，∴AF⊥CD．又∵CD∩DE=D，AF⊥平面CDE．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：平面ACD⊥平面CDE．取CE的中点Q，连接FQ，∴FQ∥DE，∴FQ⊥平面ACD．于是可得FD，FQ，FA两两垂直，以F为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则F（0，0，0），C（﹣1，0，0），A，B，E（1，2，0）．∴，，设平面BCE的法向量，则，化为，令x=1，则y=﹣1，z=0，∴，∵FQ⊥平面ACD，于是可取平面ACD的法向量为．∴===．∴平面ACD和平面BCE所成锐二面角为45°．19．（12分）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（Ⅱ）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．【解答】解：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ、η，则ξ=1、2、3，η=0、1、2、3．P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：∴Eξ==2．∵η～B，所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：P（η=k）=（k=0，1，2，3），∴Eη=3×=2．（Ⅱ）∵P（ξ≥2）==，P（η≥2）=．∴P（ξ≥2）＞P（η≥2），从做对题的数学期望上甲乙两人水平相当；从至少完成两题的概率上看，甲通过的可能性比较大，因此可以判断甲的实验操作能力强．20．（13分）已知F（1，0），P是平面上一动点，P到直线l：x=﹣1上的射影为点N，且满足（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点M（1，2）作曲线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1，k2变化且满足k1+k2=﹣1时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．【解答】解：（Ⅰ）设曲线C上任意一点P（x，y），又F（1，0），N（﹣1，y），从而，，则=，由，得，即．化简得y2=4x，即为所求的P点的轨迹C的对应的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），MA：y=k1（x﹣1）+2，MB：y=k2（x﹣1）+2．将y=k1（x﹣1）+2与y2=4x联立，得：由，得①同理②而AB直线方程为：，即③由①②：y1+y2=代入③得，，整理得k1k2（x+y+1）+6+y=0．则，故直线AB经过定点（5，﹣6）．21．（14分）已知数列{a n}满足：（其中常数λ＞0，n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：当λ=4时，数列{a n}中的任何三项都不可能成等比数列；（Ⅲ）设S n为数列{a n}的前n项和．求证：若任意n∈N*，（1﹣λ）S n+λa n≥3．【解答】（Ⅰ）解：由①，取n=1时，求得a1=3，当n≥2时，有②，①﹣②得：．∴．又a1=3也适合上式，所以，．（Ⅱ）证明：当λ=4时，．下面用反证法证明假设存在a r，a s，a t成等比数列，则[（2r+1）•4r﹣1]•[（2t+1）•4t﹣1]=（2s+1）2•42s﹣2．整理得（2r+1）（2t+1）•4r+t﹣2s=（2s+1）2．等式右边为奇数，要使左边等于右边，则r+t﹣2s=0．所以，（2r+1）（2t+1）=（r+t+1）2，整理得（r﹣t）2=0，∴r=t．这与r≠t矛盾，故不存在这样的正整数r，s，t，使得a r，a s，a t成等比数列．（Ⅲ）证明：S n=a1+a2+…+a n=3+5λ+7λ2+…+（2n+1）λn﹣1．当λ=1时，．当λ≠1时，S n=3+5λ+7λ2+…+（2n+1）λn﹣1③．④．③﹣④得：=．所以，当λ=1时，不等式左边=（1﹣λ）S n+λa n=a n=2n+1≥3，结论显然成立；当λ≠1时，不等式左边==．而λ＞0，1﹣λ和1﹣λn﹣1同号，故．∴（1﹣λ）S n+λa n≥3．综上，（1﹣λ）S n+λa n≥3对任意n∈N*都成立．。
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(09)
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（09）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M={y|y=，x，y∈N}的元素个数是（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个2．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件3．（5分）将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（）A．B．C．D．4．（5分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x6．（5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0，1}B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数8．（5分）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；②f（x2）在[1，]上具有性质P；③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]其中真命题的序号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）函数f（x）=的定义域是．10．（5分）在R上为减函数，则a的取值范围是．11．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．12．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g （﹣1）=．13．（5分）已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则c=．14．（5分）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）函数f（x）=Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式和当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；（2）设a∈（0，），则f（）=2，求a的值．16．（12分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA丄平面ABCD，AB丄BC，∠BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明PC丄AD；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．18．（14分）已知函数f（x）=x﹣a+lnx，（a为常数）．（1）当a=5时，求f（x）的极值；（2）若f（x）为增函数，求实数a的取值范围．19．（14分）设函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．（1）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；（2）若对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在x∈[﹣1，1]恒成立，求b的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=e x+ax2﹣ex，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（09）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M={y|y=，x，y∈N}的元素个数是（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【解答】解：因为M={y|y=，x，y∈N}，所以，当x=0时，y=∉N；当x=1时，y=∈N；当x=2时，y=∉N；当x=3时，y=∉N；当x=4时，y=∉N；当x=5时，y=∈N；当x≥6时，，所以y∉N．综上，M={y|y=，x，y∈N}={2，1}，元素个数是2个．故选A．2．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件【解答】解：因为y=e x＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以∀x∈R，2x＞x2不成立．a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．故选D．3．（5分）将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到的图象，就是y=sin（4x+φ）的图象，故故选C4．（5分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，故选B．5．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故选：D．6．（5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选C．7．（5分）设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0，1}B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数【解答】解：A显然正确；∵=D（x），∴D（x）是偶函数，B正确；∵D（x+1）==D（x），∴T=1为其一个周期，故C错误；∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0，显然函数D（x）不是单调函数，故D正确；故选：C．8．（5分）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；②f（x2）在[1，]上具有性质P；③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]其中真命题的序号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④【解答】解：在①中，反例：f（x）=在[1，3]上满足性质P，但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故①不成立；在②中，反例：f（x）=﹣x在[1，3]上满足性质P，但f（x2）=﹣x2在[1，]上不满足性质P，故②不成立；在③中：在[1，3]上，f（2）=f（）≤，∴，故f（x）=1，∴对任意的x1，x2∈[1，3]，f（x）=1，故③成立；在④中，对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有=≤≤=[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，∴[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，故④成立．故选D．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）函数f（x）=的定义域是{x|﹣1＜x≤2且x≠0} ．【解答】解：由，解得：﹣1＜x≤2，且x≠0．∴函数f（x）=的定义域是{x|﹣1＜x≤2，且x≠0}．故答案为：{x|﹣1＜x≤2，且x≠0}．10．（5分）在R上为减函数，则a的取值范围是．【解答】解：∵在R上为减函数，∴即∴故答案为11．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）．∵0≤x＜2π，∴﹣≤x﹣＜，∴y max=2，此时x﹣=，∴x=．故答案为：．12．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g （﹣1）=﹣1．【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．13．（5分）已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则c=6．【解答】解：∵f′（x）=（x﹣c）2+2x（x﹣c）=3x2﹣4cx+c2，且函数f（x）=x（x ﹣c）2在x=2处有极大值，∴f′（2）=0，即c2﹣8c+12=0，解得c=6或2．经检验c=2时，函数f（x）在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去．故c=6．故答案为6．14．（5分）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1] ．【解答】解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1故答案为（﹣∞，1]三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）函数f（x）=Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式和当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；（2）设a∈（0，），则f（）=2，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）的最大值是3，∴A+1=3，即A=2．﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T=π，∴ω=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以f（x）=2sin（2x﹣）+1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）令，即，∵x∈[0，π]，∴f（x）的单调减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅱ）∵f（）=2sin（α﹣）+1=2，即sin（α﹣）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵0＜α＜，∴﹣＜α﹣＜，∴α﹣=，∴α=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）16．（12分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．【解答】解：（1）设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）=，P（B k）=，k∈（1，2，3）．记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知：P（C）=P（A 1）+P（）+P（）=+==．﹣﹣﹣﹣（5分）（2）ξ的所有可能为：1，2，3，由独立性知：P（ξ=1）=P（A 1）+P（）==，P（ξ=2）=P（）+P（）=+（）2（）2=，P（ξ=3）=P（）=（）2（）2=，综上知，ξ的分布列为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴Eξ==（次）﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴甲获胜的概率为；甲的投篮次数的期望为次．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA丄平面ABCD，AB丄BC，∠BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明PC丄AD；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）∵在△ADC中，AD=2，AC=1，DC=∴AC2+AD2=CD2，∴AD⊥AC，…（1分）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（﹣，，0），P（0，0，2），得=（0，1，﹣2），=（2，0，0），∴=0，∴PC⊥AD．…（4分）解：（Ⅱ），，设平面PCD的一个法向量=（x，y，z），则，不妨令z=1，得=（1，2，1），可取平面PAC的一个法向量=（1，0，0），于是cos＜＞==，从而sin＜＞=，所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．…（8分）（Ⅲ）设点E的坐标为（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得=（），由=（2，﹣1，0），故，∵满足异面直线BE与CD所成的角为30°，∴=cos30°=，解得h=，即AE=．…（13分）18．（14分）已知函数f（x）=x﹣a+lnx，（a为常数）．（1）当a=5时，求f（x）的极值；（2）若f（x）为增函数，求实数a的取值范围．【解答】解：函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）（1）当a=5时，令f'（x）=0得，或x=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）f'（x），f（x）随x的变化情况如下表由上表可得函数的极大值为=，极小值为f（4）=﹣6+ln4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）由题意得在区间（0，+∞）恒成立，﹣﹣﹣﹣（8分）即在区间（0，+∞）恒成立，∴在区间（0，+∞）恒成立．﹣﹣﹣﹣（10分）∵，当且仅当，即x=1时等号成立．∴=4﹣﹣﹣﹣（13分）所以a的取值范围是（﹣∞，4]．﹣﹣﹣﹣（14分）19．（14分）设函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．（1）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；（2）若对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在x∈[﹣1，1]恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（1）求导函数可得f'（x）=x（4x2+3ax+4），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根．为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+4≥0成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）即有△=9a2﹣64≤0，解得．所以a的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由条件a∈[﹣2，2]，可知△=9a2﹣64＜0，从而4x2+3ax+4＞0恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．因此函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值是f（1）与f（﹣1）两者中的较大者．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）为使对任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在[﹣1，1]上恒成立，当且仅当，即在a∈[﹣2，2]上恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以b≤﹣4，因此满足条件的b的取值范围是（﹣∞，﹣4]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）20．（14分）已知函数f（x）=e x+ax2﹣ex，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=e x+2ax﹣e∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴k=2a=0，∴a=0∴f（x）=e x﹣ex，f′（x）=e x﹣e令f′（x）=e x﹣e＜0，可得x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1；∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞）（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x ﹣x0）+f（x0）令g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0）∵曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P，∴g（x）有唯一零点∵g（x0）=0，g′（x）=（1）若a≥0，当x＞x0时，g′（x）＞0，∴x＞x0时，g（x）＞g（x0）=0当x＜x0时，g′（x）＜0，∴x＜x0时，g（x）＞g（x0）=0，故g（x）只有唯一零点x=x0，由P的任意性a≥0不合题意；（2）若a＜0，令h（x）=，则h（x0）=0，h′（x）=e x+2a令h′（x）=0，则x=ln（﹣2a），∴x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（ln（﹣2a），+∞），h′（x）＞0，函数单调递增；①若x0=ln（﹣2a），由x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），g′（x）＞0；x∈（ln（﹣2a），+∞），g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增∴g（x）只有唯一零点x=x0；②若x0＞ln（﹣2a），由x∈（ln（﹣2a），+∞），h（x）单调递增，且h（x0）=0，则当x∈（ln（﹣2a），x0），g′（x）＜0，g（x）＞g（x0）=0任取x1∈（ln（﹣2a），x0），g（x1）＞0，∵x∈（﹣∞，x1），∴g（x）＜ax2+bx+c，其中b=﹣e﹣f′（x0）．c=∵a＜0，∴必存在x2＜x1，使得∴g（x2）＜0，故g（x）在（x2，x1）内存在零点，即g（x）在R上至少有两个零点；③若x0＜ln（﹣2a），同理利用，可得g（x）在R上至少有两个零点；综上所述，a＜0，曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P（ln（﹣2a），f（ln（﹣2a）））．。
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(12)
.2018 年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（12）一、选择题（每题有且只有一个答案正确，每题 5 分，共 60 分）1．（5 分）若会合 M={ ﹣ 1，0， 1} ，N={ y| y=cosx，x∈R} ，则 M∩N=（）A．{ 0} B．{ 1} C．{ 0，1}D．{ ﹣1，0，1}2．（5 分） =（2，1）， ?=10， |+ |=5，则 || =（）A．B．C．5 D．253．（ 5 分）以下函数中，既是偶函数，又在（0，1）上单一递加的函数是（）A．y=| log3x|||D．y=cos| x| B．y=x3 C．y=e x4．（5 分）把函数 y=sin（x+ ）图象上各点的横坐标缩短到本来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．5．（5 分）设 a＞0 且 a≠ 1，则“函数 f（x）=a x在 R 上是减函数”，是“函数 g（x）=（2﹣a）x3在 R 上是增函数”的（）A．充足不用要条件 B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件6．（5 分）函数 f（ x）=lnx+2x﹣1 零点的个数为（）A．4B．3C．2D．17．（ 5 分）如图，有一条长为a 的斜坡 AB，它的坡角∠ ABC=45°，现保持坡高 AC不变，将坡角改为∠ ADC=30°，则斜坡 AD 的长为（）A．a B．C．2a8．（5 分）有四个对于三角函数的命题：P1： ? x∈R，sinx+cosx=2；P2： ? x∈R，sin2x=sinx；；P4： ? x∈（ 0，π）sinx＞cosx．此中真命题是（）A．P1，P4B．P2，P3C．P3，P4D．P2，P49．（5 分）已知函数（fx）=ax3+3x2﹣x+2 在 R 上是减函数，则 a 的取值范围是（）.A．（﹣∞， 3） B．（﹣∞，﹣ 3]C．（﹣ 3，0）D．[ ﹣3，0）10．（5 分）若△ ABC的三个内角知足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ ABC（）A．必定是锐角三角形B．必定是直角三角形C．必定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形11．（ 5 分）在实数集上定义运算?：x?y=x（ 1﹣ y），若不等式（ x﹣ a） ?（x+a）＜ 1 对随意实数 x 都建立，则实数 a 的取值范围是（）A．（﹣ 1，1）B．（0，2） C．D．12．（ 5 分）若定义在正整数有序对会合上的二元函数 f 知足：① f（x，x）=x，②f（x， y）=f（ y，x）；③（ x+y） f（ x，y） =yf（x， x+y），则 f（ 12，16）的值是（）A．12 B．16 C．24D．48二、填空题（每题 4 分，共 16 分）13．（ 4 分）已知 sin2 α=，，则sinα+cosα的值为．14．（ 4 分）函数 y=Asin（ωx+φ）+k（ A＞0，ω＞0，| φ| ＜，x∈R）的部分图象如下图，则该函数表达式为．15．（ 4 分）以下命题中：① f（x）的图象与 f（﹣ x）对于 y 轴对称．② f（x）的图象与﹣ f（﹣ x）的图象对于原点对称．③ y=| lgx| 与 y=lg| x| 的定义域同样，它们都只有一个零点．④二次函数 f （x）知足 f（2﹣x）=f（ 2+x）而且有最小值，则 f（0）＜ f（5）．⑤若定义在 R 上的奇函数 f（ x），有 f（ 3+x）=﹣f（ x），则 f（2010）=0此中全部正确命题的序号是．16．（ 4 分）对于三次函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（ a≠ 0），定义：设 f ″（x）是函数y=f（x）的导数 y=f （′x）的导数，若方程f″（x）=0 有实数解 x0，则称点（ x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；2页.函数，则它的对称中心为；计算=．三、解答题（第17、18、19、 20、21 题各 12 分，第 22 题各 14 分，共 74 分）17．（ 12 分）已知 tan（α+）=﹣3，α∈（0，）．（1）求 tan α的值；（2）求 sin（2α﹣）的值．18．（12 分）已知会合 A={ x| x2﹣ 2x﹣3＜0} ，B={ x| （x﹣m+1）（x﹣m﹣ 1）≥ 0} ．（1）当 m=0 时，求 A∩B；（2）若 p：x2﹣2x﹣3＜0，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣ 1）≥ 0，且 q 是 p 的必需不充足条件，务实数 m 的取值范围．19．（ 12分）已知向量=（sinx，cosx）， =（cosx， cosx）， =（ 2，1）．（ 1）若，求的值；（ 2）若角，求函数 f（ x） =的值域．20．（ 12分）已知．求：（1）函数的定义域；（2）判断函数 f （x）的奇偶性；（3）求证 f（x）＞ 0．21．（12 分）已知 A，B 是海面上位于东西方向相距 20 海里的两个观察点，现位于 A 点北偏东 30°，B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 海里的 C 点的营救船立刻前去营救，其航行速度为30 海里 / 小时，该营救船抵达 D 点需要多长时间？22．（ 14 分）已知函数 f （x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若 a=2，求曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线方程；（Ⅱ）求 f（ x）的单一区间；（Ⅲ）设 g（ x）=x2﹣2x+2，若对随意 x1∈（0，+∞），均存在 x2∈[ 0，1] ，使得f（x1）＜ g（ x2），求 a 的取值范围．2018 年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（12）.参照答案与试题分析一、选择题（每题有且只有一个答案正确，每题 5 分，共 60 分）1．（5 分）若会合 M={ ﹣ 1，0， 1} ，N={ y| y=cosx，x∈R} ，则 M∩N=（）A．{ 0} B．{ 1} C．{ 0，1} D．{ ﹣1，0，1}【解答】解：依据三角函数的图象与性质得N={ y| ﹣1≤y≤1} ，又会合 M={ ﹣1，0，1} ，因此它们的交集为 M ∩ N={ ﹣1，0，1} ．应选 D．2．（5 分） =（2，1）， ? =10，| + | =5，则 || =（）A．B．C．5D．25【解答】解：∵=（2，1）， ?=10，| + | =5 ，∴ |+ | 2（）2，= 5即 || =，∴ || 2，=25即 || =5，应选： C3．（ 5 分）以下函数中，既是偶函数，又在（0，1）上单一递加的函数是（）A．y=| log3x|B．y=x3||C．y=e x D．y=cos| x|【解答】解：对于 A 选项，函数定义域是（0，+∞），故是非奇非偶函数，不合题意， A 选项不正确；对于 B 选项，函数 y=x3是一个奇函数，故不是正确选项；对于 C 选项，函数的定义域是 R，是偶函数，且当 x∈（ 0， +∞）时，函数是增函数，故在（ 0，1）上单一递加，切合题意，故 C 选项正确；对于 D 选项，函数 y=cos| x| 是偶函数，在（ 0，1）上单一递减，不合题意综上知， C 选项是正确选项应选 C4．（5 分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到本来的倍（纵坐.标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到本来的倍（纵坐标不变），获得函数；再将图象向右平移个单位，得函数，依据对称轴处必定获得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．应选 A．5．（5 分）设 a＞0 且 a≠ 1，则“函数 f（x）=a x在 R 上是减函数”，是“函数 g（x）=（2﹣a）x3在 R 上是增函数”的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【解答】解： a＞0 且 a≠ 1，则“函数 f （x）=a x在 R 上是减函数”，因此 a∈（ 0，1），“函数 g（ x） =（ 2﹣ a） x3在 R 上是增函数”因此 a∈（ 0， 2）；明显 a＞0 且 a≠ 1，则“函数 f（x）=a x在 R 上是减函数”，是“函数 g（x）=（2﹣a）x3在 R 上是增函数”的充足不用要条件．应选 A．6．（5 分）函数 f（ x）=lnx+2x﹣1 零点的个数为（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：在同一坐标系内分别作出函数y=lnx 与 y=1﹣ 2x 的图象，易知两函数图象有且只有一个交点，即函数 y=lnx﹣ 1+2x 只有一个零点．应选 D．7．（ 5 分）如图，有一条长为a 的斜坡 AB，它的坡角∠ ABC=45°，现保持坡高 AC 不变，将坡角改为∠ ADC=30°，则斜坡 AD 的长为（）A．a B．C．2a【解答】解：∵在等腰直角三角形ABC中，斜边 | AB| =a，∴|AC|=，又在直角三角形ADC中，∠ ADC=30°，| AC| =，∴ sin30 =°==，∴| AD| =a．应选 B．8．（5 分）有四个对于三角函数的命题：P1： ? x∈R，sinx+cosx=2；P2： ? x∈R，sin2x=sinx；；P4： ? x∈（ 0，π）sinx＞cosx．此中真命题是（）， P．， P．， P．， PA．P1 4 B P23 C P34 D P24【解答】解：因为 sinx+cosx=sin（x+ ），因此 sinx+cosx的最大值为，可得不存在 x∈R，使 sinx+cosx=2建立，得命题 P1是假命题；因为存在 x=kπ（ k∈ Z），使 sin2x=sinx建立，故命题 P2是真命题；因为=cos2，因此，联合∈﹣，≥x x [] 得 cosx 0由此可得，得命题 P3是真命题；因为当 x=时， sinx=cosx=，不知足 sinx＞ cosx，因此存在 x∈（ 0，π），使 sinx＞ cosx不建立，故命题 P4是假命题．应选： B9．（5 分）已知函数（fx）=ax3+3x2﹣x+2 在 R 上是减函数，则 a 的取值范围是（）A．（﹣∞， 3） B．（﹣∞，﹣ 3]C．（﹣ 3，0） D．[ ﹣3，0）【解答】解：由 f（ x）=ax3+3x2﹣x+2，获得 f ′（x）=3ax2+6x﹣1，因为函数在 R 上是减函数，因此 f ′（x）=3ax2 +6x﹣1＜0 恒建立，因此，由△ =36+12a≤0，解得 a≤﹣ 3，则 a 的取值范围是（﹣∞，﹣3] ．应选 B10．（5 分）若△ ABC的三个内角知足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ ABC（）A．必定是锐角三角形B．必定是直角三角形C．必定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【解答】解：∵依据正弦定理，又 sinA：sinB：sinC=5：11：13∴a： b： c=5： 11：13，设a=5t，b=11t，c=13t（t ≠0）∵ c2=a2+b2﹣2abcosC∴ cosC===﹣＜0∴角 C 为钝角．应选 C11．（ 5 分）在实数集上定义运算?：x?y=x（ 1﹣ y），若不等式（ x﹣ a） ?（x+a）＜ 1 对随意实数 x 都建立，则实数 a 的取值范围是（）A．（﹣ 1，1）B．（0，2） C．D．【解答】解：由题知（ x﹣a）?（x+a）=（x﹣a）[ 1﹣（ x+a）] =﹣x2+x+a2﹣a=﹣（x﹣）2+a2﹣a+ ．∴不等式（ x﹣ a）?（x+a）＜1 对随意实数 x 都建立转变为﹣（ x﹣）2+a2﹣a+＜ 1 对随意实数 x 都建立，则△＜ 0，即 a2﹣a+＜1恒建立，解可得﹣＜a＜．应选 C12．（ 5 分）若定义在正整数有序对会合上的二元函数 f 知足：① f（x，x）=x，②f（x， y）=f（ y，x）；③（ x+y） f（ x，y） =yf（x， x+y），则 f（ 12，16）的值A．12 B．16 C．24D．48【解答】解：依题意：∵（ x+y）f（x，y）=yf（x，x+y），∴ f（x，x+y）=（x+y）f（x，y）∴f（12，16） =f（12， 12+4） = （ 12+4） f（12，4）=4f（12， 4）=4f（4，12）=4f（4，4+8）=4×（4+8）f（4，8）=6f（4，8）=6f（4，4+4） =6×（4+4）f（4，4）=12f（4，4）=12× 4=48应选 D二、填空题（每题 4 分，共 16 分）13．（ 4 分）已知 sin2 α=，，则sinα+cosα的值为﹣．【解答】解：∵π＜α＜，∴ sinα＜0，cosα＜0，∴ sin α+cosα＜0，又 sin2 α=，∴（ sin α+cosα）2=sin2α+2sin α cos+cosα2α =1+sin2 α=，则 sin α+cosα=﹣．故答案为：﹣14．（ 4 分）函数 y=Asin（ωx+φ）+k（ A＞0，ω＞0，| φ| ＜，x∈R）的部分图象如下图，则该函数表达式为y=2sin（x﹣）+1．【解答】解：依据函数y=Asin（ωx+φ）+k（ A＞ 0，ω＞0，| φ| ＜，x∈R）的部分图象，可得 k==1，A=3﹣ 1=2，?=﹣2，∴ ω= ．再依据五点法作图可得×2+φ=，∴φ=﹣，故函数的分析式为y=2sin（x﹣）+1，故答案为：．15．（ 4 分）以下命题中：① f（x）的图象与 f（﹣ x）对于 y 轴对称．② f（x）的图象与﹣ f（﹣ x）的图象对于原点对称．③ y=| lgx| 与 y=lg| x| 的定义域同样，它们都只有一个零点．④二次函数 f （x）知足 f（2﹣x）=f（ 2+x）而且有最小值，则 f（0）＜ f（5）．⑤若定义在 R 上的奇函数 f（ x），有 f（ 3+x）=﹣f（ x），则 f（2010）=0此中全部正确命题的序号是①②④⑤．【解答】解：① f（x）的图象与 f（﹣ x），对随意的（ a，f（a））在 f（x）的图象上，可得对于 y 轴对称的点（﹣ a，f （a））在 f（﹣ x）的图象上，故①正确；②f（x）的图象与﹣f（﹣x）的图象，对随意的（a，f （a））在f（x）的图象上，可得对于原点对称的点（﹣ a，﹣ f （a））在﹣ f （﹣ x）的图象上，故②正确；③ y=| lgx| 可得定义域为： { x| x＞ 0} ，y=lg| x| 的定义域为 { x| x≠ 0} ，故③错误；④二次函数 f（x）知足 f（2﹣x）=f（2+x），对称轴为 x==2， f（x）有最小值，故函数张口向上，可知f（0）=f（ 4），f （x）在（ 2， +∞）上为增函数，∴f（0）=f（ 4）＜ f（ 5），故④正确；⑤定义在 R 上的奇函数 f（x），可得 f（ 0） =0，∵有 f（3+x）=﹣f（x），可得 f（x+3） =﹣ f（x+6），可得 f （x） =f（x+6），其周期为 T=6，∴f（2010）=f（ 335×6）=f（0）=0，故⑤正确；故答案为①②④⑤；16．（ 4 分）对于三次函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（ a≠ 0），定义：设 f ″（x）是函数y=f（x）的导数 y=f （′x）的导数，若方程 f ″（x）=0 有实数解 x0，则称点（ x0，f （x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为；计算= 2012．【解答】解：①∵ f（x）=，∴f ′（ x）=3x2﹣3x+3，f ″（x）=6x﹣3，9页f（）=×+3×=1；∴它的称中心；② P（x0， y0）曲上随意一点，∵曲的称中心；∴点 P 对于的称点P′（1x0， 2 y0）也在曲上，∴f（1 x0） =2 y0．∴f（x0） +f （1 x0）=y0+（2 y0）=2．∴=[]+[]+ ⋯+[] =2×1006=2012．故答案：；2012．三、解答（第17、18、19、 20、21 各 12 分，第 22 各 14 分，共 74 分）17．（ 12 分）已知 tan（α+）=3，α∈（ 0，）．（1）求 tan α的；（2）求 sin（2α ）的．【解答】解：（ 1）∵ tan（α+）=3，α∈（0，），∴ tanα＞0，且= 3，求得 tan α=2．（2）∵sin2 α===，cos2 α===，∴ sin（2α ）=sin2α? cos2α? =+=．18．（12 分）已知会合 A={ x| x22x 3＜0} ，B={ x| （x m+1）（x m 1）≥ 0} ．（1）当 m=0 ，求 A∩B；（2）若 p：x2 2x 3＜0，q：（x m+1）（x m 1）≥ 0，且 q 是 p 的必需不充分条件，求数m 的取范．【解答】解：（1）∵ A={ x| x22x 3＜0} ={ x| 1＜x＜3} ，⋯（2 分）B={ x| （x+1）（ x 1）≥ 0} ={ x| x≥ 1 或 x≤ 1} ．⋯（4 分）∴A∩ B={ x| 1≤x＜ 3} ．⋯（6 分）（ 2）因为命 p ：（ 1， 3），⋯（ 7 分）而命 q ：（∞， m 1] ∪ [ m+1，+∞），⋯（9 分）又 q 是 p 的必需不充足条件，即 p? q，⋯（ 10 分）因此m+1≤ 1 或 m 1≥3，解得 m≥ 4 或 m≤ 2即数 m 的取范：（∞， 2] ∪ [ 4，+∞）．⋯（ 12 分）19．（ 12 分）已知向量=（ sinx，cosx）， =（cosx， cosx）， =（ 2，1）．（ 1）若，求的；（ 2）若角，求函数 f（ x） =的域．【解答】解：（1）由可得，∴ tanx=2．∴=sinxcosx+cos2x===．（ 2）∵角，函数 f（x）== sinxcosx+cos2x=+=sin（ 2x+） + ，∴ 2x+∈，sin（2x+）∈ [，1]，∴ f（x）∈ [ 1，] ，即 f（ x）的域 [ 1，] ．20．（ 12 分）已知．求：（ 1）函数的定域；（ 2）判断函数 f （x）的奇偶性；（ 3）求 f（x）＞ 0．【解答】解：（1）依据意，，有 2x1≠ 0，解可得 x≠0，则函数的定义域为 { x| x≠ 0} ，（2）设随意 x≠ 0，∵=．∴ f（x）为偶函数；（ 3）依据题意， f（x）为偶函数， f （﹣ x）=f（ x），当 x＞0 时， 2x﹣ 1＞ 0，则＞0，又由 f （x）为偶函数，则当 x＜0 时， f（x）＞ 0，综合可得： f（ x）＞ 0．21．（12 分）已知 A，B 是海面上位于东西方向相距 20 海里的两个观察点，现位于 A 点北偏东 30°，B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 海里的 C 点的营救船立刻前去营救，其航行速度为 30 海里 / 小时，该营救船抵达 D 点需要多长时间？【解答】解：由题意可知 AB=20海里， BC=20海里，∠ DAB=60°，∠DBA=∠ABC=30°，∴BD=AB?sin60°=10 海里，∠CBD=60°，在△BCD中，由余弦定理得：CD==30 海里．∴该营救船抵达 D 点需要时间为=1 小时．22．（ 14 分）已知函数 f （x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若 a=2，求曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线方程；（Ⅱ）求 f（ x）的单一区间；（Ⅲ）设 g（ x）=x2﹣2x+2，若对随意 x1∈（0，+∞），均存在 x2∈[ 0，1] ，使得f（x1）＜ g（ x2），求 a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，因此斜率k=3，又切点（ 1， 2），因此切线方程为y﹣ 2=3（x﹣ 1）），即 3x﹣y﹣1=0故曲线 y=f（x）在 x=1 处切线的切线方程为3x﹣ y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 4 分）（Ⅱ）①当 a≥0 时，因为 x＞ 0，故 ax+1＞0，f'（x）＞0，因此 f（ x）的单一递加区间为（ 0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 6 分）②当 a＜0 时，由 f'（x）=0，得．在区间上， f'（x）＞ 0，在区间上，f'（x）＜0，因此，函数 f（ x）的单一递加区间为，单一递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 8 分）（Ⅲ）由已知，转变为 f（x）max＜g（x）min． g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[ 0，1] ，因此 g（x）max=2由（Ⅱ）知，当 a≥ 0 时， f（ x）在（ 0，+∞）上单一递加，值域为 R，故不切合题意．（或许举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不切合题意．）当 a＜0 时， f （x）在上单一递加，在上单一递减，故 f（ x）的极大值即为最大值，，因此 2＞﹣ 1﹣ ln（﹣ a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 12 分）。
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2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（01）一、选择题（本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合A={x||x|≤4，x∈R}，B={x|（x+5）（x﹣a）≤0}，则“A⊆B”是“a ＞4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ．正确的命题是（）A．①③B．②③C．①④D．②④3．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．64．（5分）已知等比数列{a n}公比为q，其前n项和为S n，若S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（）A．﹣B．1 C．﹣或1 D．﹣1或5．（5分）下图是某次考试对一道题评分的算法框图，其中x1，x2，x3为三个评阅人对该题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．11 B．10 C．8 D．76．（5分）图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变7．（5分）若存在实数x∈[2，4]，使x2﹣2x+5﹣m＜0成立，则m的取值范围为（）A．（13，+∞）B．（5，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，13）8．（5分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，又α，β为锐角三角形两内角，下列结论正确的是（）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）9．（5分）△ABC所在平面上一点P满足++=，则△PAB的面积与△ABC 的面积比为（）A．2：3 B．1：3 C．1：4 D．1：610．（5分）如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填写在题中横线上）11．（5分）已知命题p：“存在x∈R，使4x+2x+1+m=0”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是．12．（5分）若a＞3，则函数f（x）=x2﹣ax+1在区间（0，2）上恰好有个零点．13．（5分）已知函数f（x）=lnx，0＜a＜b＜c＜1，则，，的大小关系是．14．（5分）已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3）（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…则第57个数对是．15．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体的体积是．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知α∈（0，π）且cos（α﹣）=．求cosα17．（12分）已知向量=3i﹣4j，=6i﹣3j，=（5﹣m）i﹣（3+m）j，其中i，j分别是平面直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量．（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）对任意m∈[1，2]，不等式2≤﹣x2+x+3恒成立，求x的取值范围．18．（12分）列车提速可以提高铁路运输量．列车运行时，前后两车必须要保持一个“安全间隔距离d（千米）”，“安全间隔距离d（千米）”与列车的速度v（千米/小时）的平方成正比（比例系数k=）．假设所有的列车长度l均为0.4千米，最大速度均为v0（千米/小时）．问：列车车速多大时，单位时间流量Q=最大？19．（12分）如图，边长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点．（1）求直线A1E与平面BDD1B1所成的角的正弦值（2）求点E到平面A1DB的距离．20．（13分）在数列{a n}中，a1=1，a n=n2[1+++…+]（n≥2，n∈N）（1）当n≥2时，求证：=（2）求证：（1+）（1+）…（1+）＜4．21．（14分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）•e3﹣x（a∈R）；（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）=（a2+）e x（a＞0），若存在（a＞0），x1，x2∈[0，4]使得|f（x1）﹣g（x2）|＜1成立，求a的取值范围．2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（01）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合A={x||x|≤4，x∈R}，B={x|（x+5）（x﹣a）≤0}，则“A⊆B”是“a ＞4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：集合A={x||x|≤4，x∈R}={x|﹣4≤x≤4}，B={x|（x+5）（x﹣a）≤0}，由A⊆B，可得B≠∅，即有（5﹣4）（﹣4﹣a）≤0且（5+4）（4﹣a）≤0，解得a≥4，则则“A⊆B”是“a＞4”的必要不充分条件，故选B．2．（5分）下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ．正确的命题是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【解答】解：由题意，m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面考察①选项，此命题正确，若m⊥α，则m垂直于α中所有直线，由n∥α，知m⊥n；考察②选项，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是平行或相交；考察③选项，此命题不正确，因为平行于同一平面的两条直线的位置关系是平行、相交或异面；考察④选项，此命题正确，因为α∥β，β∥γ，所以α∥γ，再由m⊥α，得到m ⊥γ．故选C．3．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．4．（5分）已知等比数列{a n}公比为q，其前n项和为S n，若S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（）A．﹣B．1 C．﹣或1 D．﹣1或【解答】解：若S3、S9、S6成等差数列，则S3+S6=2S9，若公比q=1，则S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，即3a1+6a1=18a1，则方程不成立，即q≠1，则=，即1﹣q3+1﹣q6=2﹣2q9，即q3+q6=2q9，即1+q3=2q6，即2（q3）2﹣q3﹣1=0，解得q3=，故选：A．5．（5分）下图是某次考试对一道题评分的算法框图，其中x1，x2，x3为三个评阅人对该题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．11 B．10 C．8 D．7【解答】解：根据框图的流程，当输入x1=6，x2=9时，不满足|x1﹣x2|=3＜2，当输入x3＜7.5时，满足|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，则执行x2=x3．输出P==8.5⇒x3=11（舍去）；当输入x3≥7.5时，不满足|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，则执行x1=x3，输出P==8.5⇒x3=8．故选：C．6．（5分）图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．代入（﹣，0）可得φ的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．故选A．7．（5分）若存在实数x∈[2，4]，使x2﹣2x+5﹣m＜0成立，则m的取值范围为（）A．（13，+∞）B．（5，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，13）【解答】解：存在实数x∈[2，4]，使x2﹣2x+5﹣m＜0成立，等价于x∈[2，4]，m＞（x2﹣2x+5）min．令f（x）=x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4∴函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1∵x∈[2，4]，∴x=2时，f（x）min=f（2）=22﹣2×2+5=5∴m＞5故选：B．8．（5分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，又α，β为锐角三角形两内角，下列结论正确的是（）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）【解答】解：∵奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数，∴f（x）在[﹣1，1]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，∴α+β＞，∴＞α＞﹣β＞0，∴1＞sinα＞sin（﹣β）=cosβ＞0，∴f（sinα）＜f（cosβ），故选：D．9．（5分）△ABC所在平面上一点P满足++=，则△PAB的面积与△ABC 的面积比为（）A．2：3 B．1：3 C．1：4 D．1：6【解答】解：如图所示，∵点P满足++=，∴=，∴．∴△PAB的面积与△ABC的面积比=AP：AC=1：3．故选：B．10．（5分）如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：A、因正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的，故A不对；B、因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加的快，上面增加的慢，即图象应越来越平缓，故B正确；C、球是个对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加的越来越慢；上半球恰相反，所以水的高度增加的越来越快，则图象先平缓再变陡；故C 正确；D、图中几何体两头宽、中间窄，所以水的高度增加的越来越慢后再越来越慢快，则图象先平缓再变陡，故D正确．故选A．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填写在题中横线上）11．（5分）已知命题p：“存在x∈R，使4x+2x+1+m=0”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是（﹣∞，0）．【解答】解：∵命题p：“存在x∈R，使4x+2x+1+m=0”，∴p为真时，m=﹣（2x）2﹣2×2x，存在x∈R成立∴m的取值范围是：m＜0又∵非p”是假命题∴p是真命题∴m∈（﹣∞，0）故答案为：（﹣∞，0）12．（5分）若a＞3，则函数f（x）=x2﹣ax+1在区间（0，2）上恰好有1个零点．【解答】解：当a＞3时，由于次二次函数f（x）=x2﹣ax+1，可得f（0）=1＞0，f（2）=5﹣2a＜0，即f（0）f（2）＜0，故函数f（x）=x2﹣ax+1在区间（0，2）上恰好有一个零点，故答案为：1．13．（5分）已知函数f（x）=lnx，0＜a＜b＜c＜1，则，，的大小关系是＜＜．【解答】解：函数f（x）=lnx，0＜a＜b＜c＜1，设g（x）==，g′（x）=，可得0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增，由0＜a＜b＜c＜1，可得g（a）＜g（b）＜g（c），即＜＜．故答案为：＜＜．14．（5分）已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3）（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…则第57个数对是（2，10）．【解答】解：（1，1），两数的和为2，共1个，（1，2），（2，1），两数的和为3，共2个，（1，3），（2，2），（3，1），两数的和为4，共3个，（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），两数的和为5，共4个…∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，∴第57个数对在第11组之中的第2个数，从而两数之和为12，应为（2，10）；故答案为：（2，10）．15．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体的体积是2．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为五面体ABCDEF，其中面ABCD为等腰梯形，EF∥BC∥AD，EF在平面ABCD上的射影在梯形ABCD的中位线上，分别过E、F作BC、AD的垂线，把原几何体分割为两个四棱锥及一个三棱柱，则几何体的体积V=．故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知α∈（0，π）且cos（α﹣）=．求cosα【解答】解：∵α∈（0，π），∴，又，∴，∴=．17．（12分）已知向量=3i﹣4j，=6i﹣3j，=（5﹣m）i﹣（3+m）j，其中i，j分别是平面直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量．（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）对任意m∈[1，2]，不等式2≤﹣x2+x+3恒成立，求x的取值范围．【解答】解：（1）依题意，以O为坐标原点建立直角坐标系，则A（3，﹣4），B （6，﹣3），C（5﹣m，﹣3﹣m），∵A，B，C能构成三角形，则A、B、C三点不共线，若A、B、C三点共线，则=t⇔（3，1）=t（2﹣m，1﹣m），即，解得；∴当m≠时，A，B，C能构成三角形；（2）∵=（2﹣m，1﹣m），m∈[1，2]，∴2=（2﹣m）2+（1﹣m）2=2m2﹣6m+5=2（m﹣）2+，其对称轴为m=，当m∈[1，]时，该函数单调递减，当m∈[，2]时，该函数单调递增，∴当m=1或m=2时，2取得最大值1．∵对任意m∈[1，2]，不等式2≤﹣x2+x+3恒成立，∴﹣x2+x+3≥=1，即x2﹣x﹣2≤0，解得：﹣1≤x≤2．∴x的取值范围为[﹣1，2]．18．（12分）列车提速可以提高铁路运输量．列车运行时，前后两车必须要保持一个“安全间隔距离d（千米）”，“安全间隔距离d（千米）”与列车的速度v（千米/小时）的平方成正比（比例系数k=）．假设所有的列车长度l均为0.4千米，最大速度均为v0（千米/小时）．问：列车车速多大时，单位时间流量Q=最大？【解答】解：因为，所以…（4分）≥2=，当且仅当v=40时取等号；当v0≥40时，Q≤50，所以v=40，Q max=50…（8分）当0＜v0＜40时，…（12分）19．（12分）如图，边长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点．（1）求直线A1E与平面BDD1B1所成的角的正弦值（2）求点E到平面A1DB的距离．【解答】解：以DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，则D（0，0，0），A（a，0，0）．B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，a，），A1（a，0，a）．…（3分）（1）设直线A1E与平面BDD1B1所成的角为α．因为AC⊥平面BDD1B1，所以平面BDD1B1的法向量为，又．，所以s．…（6分）（2）设=（x，y，1）为平面A1DB的法向量，∵，∴x=﹣1，y=1…（8分）∴又…（11分）即点E到平面A1DB的距离为．…（12分）20．（13分）在数列{a n}中，a1=1，a n=n2[1+++…+]（n≥2，n∈N）（1）当n≥2时，求证：=（2）求证：（1+）（1+）…（1+）＜4．【解答】（1）证明：当n≥2时，，…（1分）所以…（4分）故…（5分）（2）证明：当n≥2时，…（6分）=…（8分）=…（10分）=．…（11分）当n=1时，…（12分）综上所述，对任意n∈N*，不等式都成立．…（13分）21．（14分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）•e3﹣x（a∈R）；（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）=（a2+）e x（a＞0），若存在（a＞0），x1，x2∈[0，4]使得|f （x1）﹣g（x2）|＜1成立，求a的取值范围．【解答】．解：（1）f'（x）=﹣[x2+（a﹣2）x﹣3a﹣3]e3﹣x=﹣（x﹣3）（x+a+1）e3﹣x由﹣a﹣1=3得a=﹣4，当a=﹣4时，f′（x）=﹣（x﹣3）2e3﹣x≤0，此时函数在（﹣∞，+∞）上为减函数，当a＜﹣4时，﹣a﹣1＞3，由f'（x）＜0⇒x＜3或x＞﹣a﹣1，f'（x）＞0⇒3＜x ＜﹣a﹣1．∴f（x）单调减区间为（﹣∞，3），（﹣a﹣1，+∞），单调增区间为（3，﹣a﹣1）．当a＞﹣4时，﹣a﹣1＜3，f'（x）＜0⇒x＞3或x＜﹣a﹣1，f'（x）＞0⇒﹣a﹣1＜x＜3．∴f（x）单调减区间为（﹣∞，﹣a﹣1），（3，+∞），单调增区间为（﹣a﹣1，3）．（2）由（1）知，当a＞0时，﹣a﹣1＜0，f（x）在区间[0，3]上的单调递增，在区间[3，4）]单调递减，而f（0）=﹣（2a+3）e3＜0，f（4）=（2a+13）e﹣1＞0，f（3）=a+6．那么f（x）在区间[0，4]上的值域是F=[﹣（2a+3）e3，a+6]又g（x）=（a2+）e x（a＞0），在[0，4]上是增函数，对应的值域为G=[a2+，（a2+）e4]，∵a＞0，∴﹣（2a+3）e3＜a+6≤a2+＜（a2+）e4，|f（x1）﹣g（x2）|＜1等价为g（x2）﹣f（x1）＜1若存在（a＞0），x1，x2∈[0，4]使得|f（x1）﹣g（x2）|＜1成立，只需要g min（x）﹣f max（x）＜1，∴a2+﹣a﹣6＜1，得4a2﹣4a﹣3＜0，得﹣＜a＜∵a＞0，∴0＜a＜∴a的取值范围为（0，）．。