力学2012(第14-16讲)

中对Z轴有贡献的只是 mi ri1 (k ri1 ) 这一项，
Why? 即
Liz m r
2 i i1
力学2012 30
刚体对定轴Oz 的角动量
沿转轴的分量 对整个刚体求和：
Liz m r
2 i i1
Lz [ mi ( x y )]
2 i 2 i i
[例题7-4] 棒对与棒垂直的转轴P226
A
C
l 2
l 2
均匀细杆： m
力学2012
39
例题7-5
转动惯量的计算（4）
[例题7-5] 球和球壳对任意直径
ω
r
ω
r
力学2012
40
例题7-5
I z ( x 2 y 2 )dm
I x ( y 2 z 2 )dm
I y ( z 2 x 2 )dm
§ 7-1-5
§ 7-1-6
刚体 （rigid body ) 自由度 刚体的平动 刚体的定轴转动 速度与角速度 刚体的平面平行运动
力学2012 5
§ 7-1-1 刚体 （rigid body )
刚体 （rigid body ) 如果质点系里任意两个质点之间的距离不 变，则这样的质点系称为刚体。刚体定义 的数学表述为：
力学2012
25
Try to find the reason 思考？
1. 刚体是怎样定义的？(definition) 2. 研究自由度有什么用？ 3. 定轴转动有什么特点？ 4. vi ri 的含意？ , 5. v v B r 是怎么来的？ 6. vc rpc 是怎么来的？
rij c
力学2012 6
质点系的规律都可用于刚体
质点系的规律（三大定理）都可用于刚体， 而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可 较一般的质点系有所简化。 例如：克尼希定理
1 2 1 ,2 E k mv c mi vi 2 2
力学2012 7
§ 7-1-2
自由度
自由度（degree of freedom）
刚体对定轴Oz的角动量为：
Lz I
力学2012
P222,7-3-3
31
§7.3.2 转动惯量及其计算
I mi ri
i
2
moment of nertia
i
或
I
r dm
2
32
力学2012
moment of nertia
刚体的转动惯量 等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴距 离平方的乘积之和。
选质心为基点：
P216,（7.1.16）
v vc r
力学2012
17
纯滚条件
vc rpc
P216,（7.1.17）
力学2012
18
§7.2
刚体的动量与质心运动定理
rc

m
dmr dm

m
力学2012
19
theorem of motion of center of mass
力学2012 26
§7.3.1 刚体定轴转动的力矩（改变定轴转 动刚体运动状态的原因） 和角动量
只是力矩 M 沿转轴的分量
刚体运动时，受到力 和力矩 的作用， 力和力矩是改变刚体运动状态的原因。 但是对于定轴转动的刚体，由于转轴是固 定的，所以对改变定轴转动刚体运动状态 有贡献的，
F
M
第14讲
第六章( 简介） 第七章 刚体力学 §7.1 刚体运动学 §7.2 刚体的动量与质心运动定理
力学2012
1
第六章 ( 简介）
万有引力定律和引力势能
m1 m2 F G er 2 r
P188,（6.2.4）
m1 m2 E p G r
P196,（6.3.1）
力学2012
2
第七章 教学目的和要求
ij ij
力学2012 9
§ 7-1-4 刚体的定轴转动
转向


刚体的定轴转动 rotation of rigid body about a fixed axis 刚体以角速度 （角速度 只有沿转轴 的一个分量， k ，）绕定轴（通 常取转轴的方向为Oz轴）转动时， 其上每一个质点都以相同的角速度 绕轴Oz作圆周运动。称刚体绕固定 轴转动。（唯一有意义的轴）
I o I c md
2
P225,（7.3.7）
2. 垂直轴定理: perpendicular axis theorem（对薄平板刚体）
Iz Ix Iy
P225,（7.3.8）
力学2012 43
两个定理之证明
How to prove them?
力学2012
44
例题7-6
转动惯量的计算（5）
力学2012
15
平面平行运动有三个自由度
由于确定质心的平面运动需要两个独立坐标， 确定刚体绕过质心轴的转动需要一个独立坐标， 所以刚体的平面平行运动有三个自由度。三个 独立坐标是： 转角 与质心的 xc , y c（也可能选其它坐标系）。
力学2012
16
平面平行运动的刚体上任意一点的速度
, v vB r
1. 理解描述刚体运动的方法。 2. 掌握角坐标、角速度、角加速度、转动惯量、力矩 的功、刚体平衡六个基本概念。 3. 理解有关刚体的力学规律，并能运用它们解决问题。 ①刚体的动量和质心运动定理 ②刚体定轴转动角动量定理和转动定理 ③刚体定轴转动的动能定理 ④刚体平面运动的基本动力学方程和能量方程 ⑤刚体的平衡方程
2
r是 dm与转轴之间
线分布
面分布
力学2012
体分布
36
例题7-2
转动惯量的计算（1）
[例题7-2] 质点对轴的转动惯量
力学2012
37
例题7-3
转动惯量的计算（2）
[例题7-3] 盘对与盘面垂直的转轴P223 o´
C R m 均匀圆盘：
ω
r dr m
R o
力学2012
38
例题7-4
转动惯量的计算（3）
3

4R
/3
R 0
3( R 2 y 2 y 4 / 2) 4R3
4
3R / 2 4R3 / 3
3R 8 力学2012
质心在距球心 3R/8处。
23
§7.2 刚体的动量与质心运动定理
力学2012
24
第 15 讲
§7.3 刚体定轴转动的角动量 、 角动量定理（刚体定轴转动的转动定理）
§7.3.1 刚体定轴转动的力矩（改变定轴转动刚体 运动状态的原因） 和角动量 §7.3.2 转动惯量及其计算
i
I mi ri
i
2
I r dm
2
力学2012 33
转动惯量 moment of inertia
式中的量
mi ( xi2 yi2 )
i
与刚体的（1）质量、
（2）质量的分布及 （3）转轴的选取有关，
称为转动惯量，记为：
I mi ri
i
2
P222,7-3-2
这里，把位置矢量与转轴垂直的分量为 ri 。
Why?
力学2012
Mz
27
Mz
由角动量定理
和
dL ，z Mz dt
Lz
所以对于定轴转动的刚体，只需要研究
Mz
和
Lz 。
Why?
力学2012 28
任意一点的角动量
定轴转动的刚体上任意一点 i的速度与角速度的 关系是：
vi ri k ri k ri1 k ri 2 k ri1
解：建立如图所示坐标 Y
dy
已知薄圆盘的质心位 于圆心，取厚度为dy的薄 圆盘为质量微元。
R
X
O
d m R y d y
2 2


yc
ydm
m
力学2012 22
质 心
yc

ydm

R
m
0
y( R
2
2
y )d y
2


R
R 0
2R 3 / 3
y2 d y2
力学2012 34
转动惯量的元
若质量连续分布，则 其中
2
r dm
2
I r dm
2
r dm 是转动惯量的元。 若质量为线分布 dm dl 若质量为面分布 dm ds
若质量为体分布
dm dV
其中、、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。
力学2012 35
质量连续分布
要注意 r 的含义， 的垂直距离。
力学2012
ω
10
定轴转动的特点
1. 刚体上各质点都作圆周运动； 2. 各质点圆周运动的平面垂直于轴线，圆心在 轴线上； 3. 各质点的矢径在相同的时间内转过的角度相 同。
ω
力学2012
11
刚体的一般运动
刚体的一般运动 = 转动 + 平动
力学2012
12
角速度 与 角加速度
由于转轴是固定的，所以定轴转动的刚体只有 一个自由度，这个独立坐标是转角 ，角速 度 d ，角加速度 d d dt dt dt
相加
2 2 I r dm几种规则物体的转动惯量
圆筒 1 m (r 2+ r 2 ) 2 2 2 实心球体 2 mr 5
2
r1
r2
ω