数列 章末总结

a1 , a 2 的值可求得 c 值．
a1 an − α 这样数列 a − β 是首项为 a 1 n
得 an ． 若 ② 有二重根 α 入 a1 , a 2 的值可求得
−α 的等比数列 ， − β ，公比为 c 的等比数列，于是这样可求
=β
， 则可令 a
1 1 = + c （ 其中 c 是待定常数 ） 代 是待定常数） ，代 ， an − α n +1 − α
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3、掌握数列通项的求法： （1）公式法：能将数列转化为等差或等比数列， 利用等差或等比数列的通项公式求解； （2）累加法：常见类型 a = a + f (n), f (n)是n的函数式; （3）累乘法：常见类型 an+1 = f (n) ⋅ an ， an ≠ 0 ；
= Aa n + B （ A 、B 为常数 ）型 ，可化为 a n +1 + λ =A（ a n + λ ） 为常数） =A（
an } 的前 n 项之和， 且 项之和 ，
S n +1 =
Sn ，求数列 （n ≥ 1 ） 求数列{ a n } 的通项公式是 a n . ， 求数列{ 3 + 4S n
11
n
12
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3、 a n + 2 = A ⋅ a n +1 + B ⋅ a n 型，可化为 a n + 2 + λa n +1 = ( A + λ ) ⋅ ( a n +1 + λa n ) 的形式。 的形式。 在数列{ 例 11 在数列{ a n }中， a 求通项公式 4、 a
1 1 1 1 ⋅ = − a = ② n bn bn +1 bn bn +1 d ，其中 {b }是公差为 d 的等差数列；
n
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递推数列的通项公式求法
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一、作差求和法 例1 在数列{ 在数列{ a n }中， a1
n +1 n
s1 , n = 1 （4）利用 an与Sn 的关系： an = S − S , n ≥ 2, n ∈ N + ； n −1 n
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（5）构造数列法： （ I ） 形 如 ： a n +1 = p ⋅ a n + q , ( p ≠ 1) ， 可 先 设 a n +1 + α = p (a n + α ) ，然后化简为 a n +1 = p ⋅ a n + ( p − 1)α ， 对比 a n +1
an ，其特征方程为 x 2 = px + q …① 列都可用特征根法求得通项
an = c1α n + c2 β n (c1 , c2 是待定常数） 是待定常数） 若① 有二异根 α , β ，则可令
n 是待定常数） 若① 有二重根 α = β ，则可令 an = (c1 + nc2 )α (c1 , c2 是待定常数）
▁▁▁（ 式是 a n =▁▁▁ （2000 年高考 15 题 ）
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三 、换元法 例 3 已知数列{ a
n
4 13 a1 = , a 2 = }，其中 3 9 ，且当 n≥3 时，
a n − a n −1 =
1 ( a n −1 − a n − 2 ) ， 求通项公式 a n （1986 3
an −1 + 2 ( n ≥ 2) ，求数列 2an −1 + 1
{an } 的通项 an ．
例 4．已知数列 {an } 满足 a1 = 2, an +1 = ．
2 an − 1 ( n ∈ N * ) ，求数列 {an } 的通项 an ． 4 an + 6
再利用 a1 = m1 , a2 = m2 , 可求得 c1 , c2 ，进而求得 an ．
* 例 1．已知数列 {a } 满足 a1 = 2, a2 = 3, an + 2 = 3an +1 − 2an (n ∈ N ) ， 求数列 {an } 的 ．
n
通项 an ．
* 例 2．已知数列 {a } 满足 a1 = 1, a2 = 2, 4an + 2 = 4an +1 − an ( n ∈ N ) ， 求数列 {an } 的 ．
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第二章 数列 章末总结
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一 、 解法指导 1、了解数列的基本概念及相关概念：数列、数列的项、数列的项 数、数列的通项、数列的前 n 项和、等差（等比）中项、递推公式、 递增数列、递减数列、摆动数列等； 2、掌握等差数列、等比数列的性质及判定方法； 等差数列的性质：
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等比数列的性质： 等比数列的性质：
(1)a n = a m q n − m (2)若m + n = p + q, 则a m a n = a p a q (3)在等比数列中, S , S − S , S − S , ⋯ , S − S n n kn ( k −1)n , ⋯成等比数列 2n 3n 2n （4）若q是{a n } 的公比, 则其子数列a k , a k + m , a k + 2 m , ⋯ , (m ∈ N + ) 也成等比数列，公比为q m . a (5){a n }是公比q ≠ 1的等比数列 ⇔ S n = A − A ⋅ q n , 其中A = 1 1− q
n
3 ， 2a − a =6 n − 3 a1 = n n −1 2
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八、形如 an + 2 形如 a1
= pan +1 + qan ( p, q 是常数）的数列 是常数）
= m1 , a2 = m2 , an + 2 = pan +1 + qan ( p , q 是常数 ） 的二阶递推数 是常数）
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2、
a n +1 = Aa n + B ⋅ C n
（A、B 、C 为常数，下同）型，可化为
a n +1 + λ ⋅ C n +1 = A(a n + λ ⋅ C n ） 的形式. 的形式.
例Leabharlann Baidu10
a1 = −1, a n +1 = 2a n + 4 ⋅ 3 n −1 , 求通项公式 a n 。 在数列{ 在数列{ a }中，
年高考文科第八题改
编 ）. 例 4 已 知 数 列 { a n } ， 其 中 a1 = 1, a 2 = 2 ， 且 当 n ≥ 3 时 ，
a n − 2a n −1 + a n − 2 = 1 ，求通项公式 a n 。
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积差相消 四 、积差相 消法 年全国数学联赛题一试第五题） 例 5 1993 年全国数学联赛题一试第五题） （ 设正数列 a 0 ，a1 ，
n
通项 an ．
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Aa n + B an + 2 = 九、形如 Ca n + D 的数列
* n 对于数列 a n + 2 = Ca + D ， a1 = m , n ∈ N ( A, B , C , D 是常数且 C ≠ 0, AD − BC ≠ 0 ） n
2 是正整数） ，则它的 若数列{ ， 若数列{ a n } 中，a1 =3 且 a n +1 = a n （ n 是正整数 ） 则它的
a ▁▁▁（ 年上海高考题） 通项公式是 n = ▁▁▁ （2002 年上海高考题 ）.
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七 、待定系数法 待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数 可以少走弯路. 其变换的基本形式如下： 列 ，可以少走弯路. 其变换的基本形式如下 ： 1、 a n +1 的形式. 的形式. 例 9 若数列{ a n } 中 ， a1 =1， S n 是 数列{ 若数列 { =1 ， 数列 {

列 {a n +
α n + β }。
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4、数列求和的方法 （1）公式法：将数列转化为等差或等比数列，利用等差或等比数 列的求和公式进行求解； （2）倒序相加法：根据等差数列求和公式的推理过程，若将数列 的前 n 项和倒序重写后与原数列的前 n 项和对应的项之和有规律，能够 运用此法求解； （3） 错位相减法： 若数列是由一个等差数列与一个等比数列的积 构成，则该数列的前 n 项和能用此求解； （4）裂项相消法： f (n + 1) − f (n ) 1 = an = 常见类型：①分母有理化 ， d f (n ) + f (n + 1) 其中 f (n + 1) − f (n ) = d ；
c 值．
1 1 是首项为 的等差数列， 这样数列 a − α a n − α ，公差为 c 的等差数列，于是这样可求得 n
a n ．此方法又称不动点法． 此方法又称不动点法．
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例 3．已知数列 {an } 满足 a1 = 2, an = ．
a n … ， a n ， … 满足
五 、取倒数法
a n a n − 2 − a n −1 a n − 2 = 2a n −1
( n ≥ 2) 且
a 0 = a1 = 1 ，求 {a n } 的通项公式. 的通项公式.
例 6 已 知 数 列 { a n } 中 ， 其 中 a1 = 1, ， 且 当 n ≥ 2 时 ， a n −1 an = a 2a n −1 + 1 ， 求通项公式 n 。 六 、取对数法 例7
= p ⋅ a n + q , ( p ≠ 1) ，可知 α =
q ，即构造数列 p −1
q a n +1 + 为等比数列，求出 p − 1
a n 的通项；
（II）形如：a n +1 = p ⋅ a n + qn + s , ( p ≠ 1) ，可先设 a n +1 + α ( n + 1) + β = p (a n + α n + β ) 然 后 化 简 为 a n +1 = p ⋅ a n + ( p − 1)α n + p β − α − β ， 对比 a n +1 = p ⋅ a n + qn + s , ( p ≠ 1) ，可知 ( p − 1)α = q α 、 β 即可构造一个等比数 p β − α − β = s 分别解出
(1)a n = a m + (n − m )d (2)若m + n = p + q, 则a m + a n = a p + a q (3)在等差数列中, S , S − S , S − S , ⋯, S − S n n kn 2n 3n 2n ( k −1)n , ⋯成等差数列 （4）若d是{a n } 的公差, 则其子数列a k , a k + m , a k + 2 m , ⋯ , (m ∈ N + ) 也成等差数列，公差为md . d d (5){a n }是等差数列 ⇔ S n = an 2 + bn, 且a = , b = a1 − . 2 2
Aa + B
其特征方程为 x =
Ax + B 2 ，变形为 Cx + ( D − A ) x − B = 0 …② Cx + D
a −α = c⋅ an − α a n − β （ 其中
n +1 若② 有二异根 α , β ，则可令 a − β n +1
c 是待定常数） 代入 是待定常数） ，代入 ，
= 3 , a n +1 = a n +
1 n( n + 1) ，
求通项公式 a n .
二 、作商求和法 例 2 设 数 列 { an } 是 首 项 为 1 的 正 项 数 列 ， 且
2 2
( n + 1)a n +1 − na n + a n +1 a n = 0 （ n=1,2,3…） 则它的通项公 n=1,2,3… ， ，则它的通项公
1
当 = −1, a 2 = 2 ， n ∈ N ， n + 2 = 5a n +1 − 6a n a
a n .(作业 1)
= Aa n + Bn + C 型，
n +1
n +1
可化为 a
的形式。 + λ1 n + λ 2 = A[a n + λ1 (n − 1) + λ 2 ] 的形式。
n
在数列{ 例 12 在数列{ a }中， 求通项公式 a .（作业 2）