运筹学基础及应用(第五版),(第一章)

其中：
C c1 , c2 ,, cn
X x1, x2 ,, xn
T
b b1, b2 ,, bm
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T
a11 a21 A a m1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
解出基变量的唯一解，这组解与非基变量的0共同构成 基解。
基可行解：满足变量非负的基解称为基可行解 可行基：对应于基可行解的基称为可行基
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例：考察下述线性规划问题：
max z 2 x1 3x2 0 x3 0 x4 0 x5 12 2 x1 2 x2 x3 4 x x4 16 1 s.t. 5x 2 x5 15 xi 0, i 1,2,...5
x x x
其中：
x 0，x 0
4. 变量 xj≤0
令
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xj x j ，显然 xj 0
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例. 将下述线性规划模型化为标准型
min z x1 2 x2 3 x3 2 x1 x2 x3 9 3 x x 2 x 4 1 2 3 3 x1 2 x2 3x3 6 x1 0, x2 0, x3取值无约束
（1） ) 必要性显然。
（2） ) 设 A 的秩为m。可行解 X 的前 k 个分量为正，且它们对应 的系数列向量 P , P ,...,P 线性无关，则 k m 。 1 2 k 当 k m 时， 1 , P ,...,P 恰好构成一组基，而 P 2 m
X ( x1, x2 ,...,xm ,0,...0)T
1.决策变量:是决策者为实现规划目标采取的 方案、措施，是问题中要确定的未知量。 2.目标函数:指问题要达到的目的要求，表 示为决策变量的函数。 3.约束条件:指决策变量取值时受到的各种可 用资源的限制，表示为含决策变量的等式或 不等式。
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一般线性规划问题的数学模型：
目标函数： （或 min）z c1x1 c2 x 2 cn x n max
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（1） 可行解，如
(0,0,12,16,15)
P P2 1
2 0 5
或
(3,3,0,4,0)
P4
0
满足约束条件，所以是可行解。 （2） 基
P3
1 0 0
P5
其中
2 系数矩阵A： A 4 0
0 1 0 0 1
1 0 0 2 2 0 B1 ( P3 , P4 , P5 ) 0 1 0 或 B2 ( P , P2 , P5 ) 4 0 0 1 0 0 1 0 5 1
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1.4 线性规划问题的解的概念
求解线性规划问题：
max z c j x j
j 1
n
n aij x j bi （i 1， ，m） j 1 x 0 （j 1， ，n） j
就是从满足约束方程组和约束不等式的决策变量取 值中，找出使得目标函数达到最大的值。
注意模型特点
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线性规划模型特点

决策变量：向量X=(x1… xn)T 决策人要考虑 和控制的因素，非负 约束条件：关于X的线性等式或不等式
目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 为关于X 的线性函数， 求Z极大或极小


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1.2 线性规划问题的数学模型
三个组成要素：
2
2 x1 2 x2 12
此时，线段 值点。
Q2Q3
Q4
3
4 x1 16
上所有点都是最优
Q3
Q2
5 x2 15
O
Q1 4
Z 2 x1 2 x2
x1
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目标函数等值线
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解的几种情况：
(3) 无可行解：当可行域为空集时，无可行解。 (4) 无界解
若目标函数不变，将约束条件1和3去掉，则可行域及解的 x 情况见下图。
2
此时，目标函数等 值线可以向上无穷 远处平移，Z值无 界。
4 x1 16 Q4
3
Q3
Q2
O
Q1 4
Z 2 x1 2 x2
x1
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目标函数等值线
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几点说明：
1、图解法只能用来求解含有两个决策变量的线性规划问 题。
2、若最优解存在，则必在可行域的某个顶点处取得。
3、线性规划问题的解可能是：唯一最优解、无穷多最优 解、无最优解、无界解。
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一般线性规划问题如何化为标准型：
1. 目标函数求极小值：
min z c j x j
j 1
n
令： z ' z ，即化为：
max z max( z ) min z c j x j c j x j
n n j 1 j 1
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（或 , ）b1 a11x1 a12 x 2 a1n x n （或 , ）b 2 a 21x1 a 22 x 2 a 2 n x n 约束条件： a x a x a x m1 1 m2 2 mn n （或 , ）b m x1 , x 2 , , x n 0
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画出线性规划问题的可行域：
x2
2 x1 2 x2 12 4 x1 16 Q4
3
Q3
Q2
5x2 15
O
Q1 4
Z 2 x1 3x2
x1
目标函数等值线
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2 z x2 x1 3 3
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1、可行域：约束条件所围成的区域。
2、基可行解：对应可行域的顶点。
运筹学
OPERATIONS RESEARCH
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第一章 线性规划及单纯形法 (Linear Programming, LP)

线性规划模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 单纯形法的进一步讨论 数据包络分析
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§1 一般线性规划问题的数学模型 1.1 引例
AX A[X 1 (1 ) X 2 ] AX1 (1 ) AX 2 b (1 )b b
所以
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X X1 (1 ) X 2 也是问题的可行解，即可行域是凸集。
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引理: 线性规划问题的可行解 X为基可行解的充要条件是X的 正分量所对应的系数列向量线性无关。 证明:设 X ( x , x ,...,x )T 1 2 n
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可行解：满足约束条件的解称为可行解，可行解的集 合称为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解。 基：约束方程组的一个满秩子矩阵称为规划问题的一
个基，基中的每一个列向量称为基向量，与基向量对应 的变量称为基变量，其他变量称为非基变量。
基解：在约束方程组中，令所有非基变量为0，可以
都构成基。而 ( P 1
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P 3
P4 ) 不构成基。
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（3）基向量、基变量
P , P2 , P5 是对应于基 B2 的三个基向量，而 1 x1 , x2 , x5 是对应于这三个基向量的基变量。
（4）基解、基可行解、可行基
(0, 0, 12, 16 15) 是对应于基 B1 的一个基解、基可行解。 ( 4,2,0,0,5) 是对应于基 B2的一个基解、基可行解。 B1 , B2 均是可行基 。
x4 称为剩余变量。
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（3）目标函数中松弛变量的系数 由于松弛变量和剩余变量分别表示未被充分利 用的资源以及超用的资源，都没有转化为价值和利 润，因此在目标函数中系数为零。
松弛变量和剩余变量统称为松弛变量
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3. 取值无约束的变量
如果变量 x 代表某产品当年计划数与上 一年计划数之差，显然 x 的取值可能是正也 可能是负，这时可令：
2. 约束条件为不等式：
（1）当约束条件为“≤”时 如： 2 x1 2 x2 12 可令：2x1 2x2 x3 12 ， 显然 x3 0
x3 称为松弛变量。
（2）当约束条件为“≥”时
10 如： x1 12x2 18 10 可令： x1 12x2 x4 18， 显然 x4 0
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§3．单纯形法原理
凸集：如果集合 C 中任意两个点 X 1 , X 2，其连线上的所有点
也都是集合C 中的点。
3.1 预备知识
上图中（1）（2）是凸集，（3）（4）不是凸集
顶点：如果对于凸集 C 中的点 X ，不存在C 中的任意其它两
个不同的点 X1、X 2 ，使得 X 在它们的连线上，这时称 X 为凸 集的顶点。
2 z 3、目标函数等值线： Z 2 x1 3x2 x2 3 x1 3
目标函数等值线有无数条，且平行。（观察规律)
4、目标函数最优值: 最大截距所对应的 Z 。
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解的几种情况：
(1) 唯一最优解 (2) 无穷多最优解 若目标函数改为： max z 2 x1 2 x2 约束条件不变，则: x
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解：令 z z，x1 x1，
得标准形式为：
x x3 x3 x3 ， 3 0，x3 0
max z x1 2 x2 3 x3 3 x3 0 x4 0 x5 9 2 x1 x2 x3 x3 x4 3 x x 2 x 2 x x5 4 1 2 3 3 6 3 x1 2 x2 3 x3 3 x3 x1，x2，x3，x3，x4，x5 0