2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第二章 第四节 函数的奇偶性与周期性 含解析

一、填空题
1．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1
，若f (a )＝23，则f (－a )＝________. 解析：根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝x x 2＋1
是奇函数， 故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.
答案：43
2．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，值域为(－∞，4]，则该函数的解析式为f (x )＝________.
解析：由f (x )＝bx 2＋a (b ＋2)x ＋2a 2是偶函数，可得a (b ＋2)＝0.又其值域为(－∞，4]，∴b <0，且2a 2＝4，从而b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋4.
答案：－2x 2＋4
3．若f (x )＝12x
－1＋a 是奇函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，
则12－x －1＋a ＝－(12x －1
＋a )，∴a ＝12. 答案：12
4．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
<0，则f (3)，f (－2)与f (1)的大小关系是________．
解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
<0，得f (x )在[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (3)<f (－2)<f (1)．
答案：f (3)<f (－2)<f (1)
5．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都
有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f (32)＝________.
解析：由xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，x ∈R ，
令x ＝－12，得－12f (12)＝12f (－12)．
又f (x )为偶函数，∴f (12)＝0.
又令x ＝12，得12f (32)＝32f (12)，∴f (32)＝0.
答案：0
6．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －
x )(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________． 解析：因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，
即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，
化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.
因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.
答案：－1
7．偶函数f (x )是以4为周期的函数，f (x )在区间[－6，－4]上是减函数，则f (x )在[0,2]上的单调性是________．
解析：∵T ＝4，且f (x )在[－6，－4]上单调递减，
∴函数在[－2,0]上也单调递减，
又f (x )为偶函数，故f (x )的图象关于y 轴对称，
由对称性知f (x )在[0,2]上单调递增．
答案：单调递增
8．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )<－1的解集是________．
解析：∵f (x )是奇函数，
∴x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )．
当x >0时，f (x )<－1，即log 2 x <－1，得0<x <12；
当x <0时，f (x )<－1，即－log 2 (－x )<－1，得x <－2.
故解集为(－∞，－2)∪(0，12)．
答案：(－∞，－2)∪(0，12)
9．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧
3x －1， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x >0，则f (2 016)＝________.
解析：x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )；进而f (2 016)＝
f (336×6)＝f (0)＝3－1＝13.
答案：13
二、解答题
10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ，x >0，0， x ＝0，
x 2＋mx ， x <0
是奇函数．
(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解析：(1)设x <0，则－x >0，
所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .
又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，
于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.
(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，
结合f (x )的图象知⎩⎨⎧
a －2>－1，a －2≤1，
所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．
11．已知f (x )＝x －a x 2＋bx ＋1是奇函数． (1)求a ，b 的值；
(2)求f (x )的单调区间，并加以证明；
(3)求f (x )的值域．
解析：(1)∵f (x )＋f (－x )＝0恒成立，
即x －a x 2＋bx ＋1－x ＋a x 2－bx ＋1
＝0恒成立， 则2(a ＋b )x 2＋2a ＝0对任意的实数x 恒成立．
∴a ＝b ＝0.
(2)∵f (x )＝x x 2＋1
(x ∈R)是奇函数， ∴只需研究f (x )在区间[0，＋∞)上的单调区间即可．
任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2，则
f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝(x 2－x 1)(x 1x 2－1)(x 21＋1)(x 22＋1)
.
∵x 21＋1>0，x 22＋1>0，x 2－x 1>0， 而x 1，x 2∈[0,1]时，x 1x 2－1<0，
x 1，x 2∈[1，＋∞)时，x 1x 2－1>0，
∴当x 1，x 2∈[0,1]时，f (x 1)－f (x 2)<0，
函数y ＝f (x )是增函数；
当x 1，x 2∈[1，＋∞)时，f (x 1)－f (x 2)>0，
函数y ＝f (x )是减函数．
又f (x )是奇函数，∴f (x )在[－1,0]上是增函数，
在(－∞，－1]上是减函数．
又x ∈[0,1]，u ∈[－1,0]时，恒有f (x )≥f (u )，等号只在x ＝u ＝0时取到，故f (x )在
[－1,1]上是增函数，
在(－∞，－1]，[1，＋∞)上是减函数．
(3)当x ＝0时，f (x )＝x x 2＋1
＝0； 当x >0时，f (x )＝x x 2
＋1＝1x ＋1x ≤12， 即0<f (x )≤12
； 当x <0时，f (x )＝1
x ＋1x
＝－1(－x )＋(1－x )≥－12，
即－12≤f (x )<0，
综上可知：函数f (x )的值域为[－12，12]．
12．已知函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，对定义域内的任意x 1、x 2，都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.
(1)求证：f (x )是偶函数；
(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
证明：(1)因对定义域内的任意x 1、x 2都有
f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，
令x ＝x 1，x 2＝－1，则有f (－x )＝f (x )＋f (－1)．
又令x 1＝x 2＝－1，得2f (－1)＝f (1)．
再令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝0，从而f (－1)＝0，
于是有f (－x )＝f (x )，
所以f (x )是偶函数．
(2)设0<x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)－f (x 1·x 2x 1
) ＝f (x 1)－[f (x 1)＋f (x 2x 1)]＝－f (x 2x 1
)， 由于0<x 1<x 2，
所以x 2x 1>1，从而f (x 2x 1
)>0， 故f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。