数学分析考题2

《数学分析》考试试题
一、叙述题
1叙述闭区间套定理；
2用肯定的形式叙述函数)(x f 在数集D 上无上阶；
3叙述Rolle 微分中值定理；
二、计算题
1 求极限x x x x )1
1(lim -+∞→ ； 2 求摆线⎩⎨⎧-=-=t
y t t x cos 1sin π20≤≤t ， 在π=t 处的二阶导数22dx y d 的值； 3 设x e x f =)(2，求不定积分⎰dx x x f )
( ；
4 求不定积分⎰-+dx e e
x x 1arctan 2 ；
三、讨论题 1讨论函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤0 ,
00 , 1sin x x x x 在0=x 点处的左、右导数； 2设221)(x
n nx x f n += ，[]A e x .∈ ，)0(+∞ A e 2 1 ）、、（ =n ，讨论)(x f n 在[]A e .上的单调性的最大值点；
四、证明题
1用定义证明21121lim
=-+∞→x x x ； 2证明：方程033=+-c x x ，（其中c 为常数）在[]1,0上可能有两个不同的实根；
3若数列{}n x 收敛于a （有限数），它的任何子列{}
k n x 也收敛于a 。

（十一） 一年级《数学分析》考试题 一（ 满分 1 0 分，每小题 2 分）判断题：
1 设数列}{n a 递增且 （有限）. 则有}sup{n a a =. ( )
2 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义. 若对)(0x U x n ∈∀,当
0x x n →时, 数列)}({n x f 都收敛于同一极限. 则函数)(x f 在点0x 连续. ( )
3 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义. 若存在实数A ,使0→∆x 时,
),()()(00x x A x f x x f ∆=∆--∆+ 则)(0x f '存在且A x f =')(0. ( )
4 若),(0)( ,0)()(2121x f x f x f x f ''<<''='='则有).()(21x f x f >( )
5 设 ⎰⎰+=+=c x G dx x g c x F dx x f )()( ,)()(. 则当)()(x G x F ≠时,
有)()(x g x f ≠. ( )
二（ 满分 1 5 分，每小题 3 分）填空题: 1 =+=∞
→+=∑n n n k n a k n a lim .911
612 . 2 函数 |
3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是 . 3. )1ln()(2x x f +=, 已知 56)2()(lim 000
=--→h h x f x f h , =0x . 4. 函数193)(23+--=x x x x f 的既递减又下凸的区间是 .
5. ⎰⎰='+=dx x f x c x dx x f )( ,sin )(2 .
二 （ 满分 3 6 分，每小题 6 分）计算题: 1 1111lim 3
0-+-+→x x x .
2 求函数54
)15(4)(+-=x x x f 的极值 . 3 ⎰+12x x
dx . 4 ⎰
++dx x x )1ln(2. 5 ⎰+-+dx x x x 5
232. 6 在边长为 a 的正三角形的三个角上剪去长为x 的四边形(如右上图),然后
折起来做成底为正三角形的盒子. 求最大体积 .
三 （ 满分 7 分）验证题: 用“δε-”定义验证函数 2
54)(2-+=x x x f 在点20=x 连续 . 四 （ 满分 3 2 分，每小题 8 分）证明题:
1 设函数f 在区间]
2 , 0 [a 上连续 , 且 ) 2 () 0 (a f f =. 试证明 :
] , 0 [ a c ∈∃, 使 )() (a c f c f +=.
2 设函数)(x f 在区间 I 上可导, 且导函数 )(x f '在该区间上有界 .试证明
函数 )(x f 在区间 I 上一致连续 .
3 设函数)(x f 在区间] , 0 [a 上二阶可导,且 0) (=a f . )()(2x f x x F =.
试证明: ) , 0 ( a ∈∃ξ, 使 0) (=''ξF .
4 试证明: 对 R ∈∀n x x x ,,, 21 , 有不等式 n
x x x n x x x n n 2222121 +++≤+++ .
（十二） 一年级《数学分析》考试题
一 判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））（共18分，每题3分）：
1. 设)(x f 在],[b a 上连续，M 与m 分别是)(x f 的最大值和最小值，则对
于任何数
)(M c m c ≤≤，均存在],[b a ∈ξ，使得c f =)(ξ。

（ ）
2. 设)(),(t g x f 在),(b a 内可导，且)()(x g x f >，则
)(')('x g x f >。

（ ）
3. 设}{n x 的极限存在，}{n y 的极限不存在，则}{n n
y x +的极限未必不存在。

（ ）
4. 如0x x =是函数)(x f 的一个极点，则0)('0=x f 。

（ ）
二 证明：欧氏空间的收敛点列必是有界的。

（10分）
三 证明：n R 中任意有界的点列中必有收敛的子点列。

（10分）
四 计算下列极限：（9分） 1 x
xy y x )sin(lim )0,0(),(→ ； 2 42)(lim 22)0,0(),(y x y x y x +→； 3 22)0,1(),()log(lim y x e x x y x ++→；
五 计算下列偏导数：（10分）
（1）)(222z y x x e u
++=； （2）)log(21n x x x z +⋅⋅⋅++=；
六（10分）计算下列函数
f 的Jacobian Jf ： （1）
)sin(),,(2yz y x z y x f =； （2）2/12222121)(),,,(n n x x x x x x f +⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅；
七 （10分）设隐函数 )(x y 由方程
定义，求 'y 及 ''y 。

八（11分）在椭球
内嵌入有最大体积的长方体，问长方体的尺寸如何？
九、（10分）求椭球面
过其上的点),,(000z y x p = 处的切平面的方程。

十、（10分）设函数),(),,(y x g y x f 是定义在平面开区域G 内的两个函数，在
G 内均有连续的一阶偏导数，且在G 内任意点处，均有
又设有界闭G D
⊂，试证：在 D 中满足方程组的点至多有有限个。

（十三）一年级《数学分析》考试题
一 判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））（共18分，每题3分）：
1设)(x f 在],[b a 上连续，M 与m 分别是)(x f 的最大值和最小值，则对
于任何数)(M c m c ≤≤，均存在],[b a ∈ξ，使得c f =)(ξ。

（ ）
5. 设)(),(t g x f 在),(b a 内可导，且
)()(x g x f >，则x y x y a r c t
a n 2=122
2222=++c
z b y a x 122
2222=++c
z b y a x 0≠∂∂∙∂∂-∂∂∙∂∂x
g y f y g x f ⎩⎨⎧==0),(0),(y x g y x f )0(≠x
)(')('x g x f >。

（ ）
6. 设}{n x 的极限存在，}{n y 的极限不存在，则}{n n y x +的极限未必不存在。

（ ）
7. 如0x x =是函数)(x f 的一个极点，则0)('0=x f 。

（ ）
8. 存在这样的函数，它在有限区间中有无穷多个极大点和无穷多个极小点。

（ ）
9. 对于函数x x x cos +，由于)sin 1(lim '
)'cos (lim x x x x x x -=+∞→∞→不存在，根据洛必达法制，当x 趋于无穷大时，x
x x cos +的极限不存在。

（ ）
二 计算下列极限：（18分） 1 )1sin (lim n
n n ∞→ 2 )sin 1(lim n n
n ∞→； 3 )1...2111(lim n
n n n n ++++++∞→； 4 x o
x x sin lim +→； 5 )ln )(ln(lim x a x x x -+∞
→； 6 42
02
cos lim x e x x x -→-。

三 计算下列函数的导数：（20分）
（1）x x e x f x arcsin )log ()(3+=；
（2）)12(ln )(-=x x f x
； （3）2
2,0ln sin 2dx y d y x x y 求=+； （4）⎩⎨⎧==;
cos ,sin 22t t y t t x （5）设)(x f 二次可导，求'))'(arctan (x f 。

四 计算不定积分（12分）：
（1）dx x x ⎰
+-20)2)(1(； （2）dx x x x ⎰++cos 1sin ； （3）dx x e x ⎰2sin ；
（4）dx e dx x ⎰+2)1(。

五 （8分）求函数x e x f sin )(=在0=x 处的5次Taylor 多项式：
六 （8分）用Lagrange 中值定理证明：如果函数)(x f 在),([+∞a 可微，并且0)('lim =+∞
→x f x ，则0)(lim =+∞→x
x f x 。

七 （8分）证明：若函数)(x f 在),[+∞a 上连续，且A x f x =+∞→)(lim （有限数），则)(x f 在
),[+∞a 上一致连续。

八 （8分）求母线为l 的圆锥之最大体积。