数学分析考题2

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数学分析试卷及答案6套

一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n =.

二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a

g x b →=;

(2) 0()x U a ∀∈,有0

()()g x U b ∈ (3) lim ()u b

f u A →=

用εδ-定义证明, lim [()]x a

f g x A →=.

三. (10分)证明数列{}n x :

cos1cos 2

cos 1223

(1)

n n

x n n =

+++

⋅⋅⋅+收敛.

四. (12分)证明函数1

()f x x

在[,1]a (01)a <

七. (12分)确定,a b 使lim )0x ax b →+∞

-=.

八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15

[,]42

-的最大值与最小值.

九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使

()()()()f f b f a b a ζ''≥

--.

一. (10分)设数列{}n a 满足

: 1a =

, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的

正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限.

二. (10分)设0

lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0

lim

()x x f x b

→=. 三. (10分)设0n a >,且1

lim

n n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞

四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且

数学分析2期末考试题库

五．证明： (9+10=19 分 )
1．设级数
an 与
2
bn 都收敛，证明：
b a
2
( an
bn ) 收敛
2
2．若 f ( x) 在 a , b 上连续， f ( x)
0,
f ( x) dx
0, 证明： f ( x)
0， x
a ,b
《数学分析》（二）测试题（ 8）
：三．判断题（正确的打“√” ，错误的打“×” ；每小题 3 分，共 15 分）
1 －1
x dx 1
2
2, 则 f ( x) A, 则 0) 0)
1 0
____________ dx 1 ________ ___________
cos x x
4
cos x x
2 0 4
3. 设 f （ x）
x 1 (x x
x1 0 2
(x dt
,则
f ( x 1) dx
4 . 求 lim
x 0
1 x
F ( x) dx
） 5. 若 f ( x）在 a, b 上连续， x ） 6. 若） 7. 若
a, b , 则
f ( t ) dt
f (x )
2
则（ a n＋ bn）必发散 a n收敛， bn发散，
a n 收敛，则

数学分析第二学期期末考试题及答案

数学分析第二学期考试题

一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题4分，

共32分）

1、函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ b ） A 、连续 B 、有界 C 、无间断点 D 、有原函数

2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ b ） A 、⎰⎰=-a a

a dx x f dx x f 0

)(2)( B 、0)(=⎰-a

a dx x f

C 、

⎰⎰

-=-a

dx x f dx x f 0

)(2)( D 、)(2)(a f dx x f a

=⎰-

3、下列广义积分中，收敛的积分是（ a ） A 、

⎰

1dx x

B 、 ⎰

∞

1dx x

C 、 ⎰+∞

sin xdx D 、⎰

-1

dx x 4、级数

∑∞

n n

收敛是

∑∞

n n

部分和有界且0lim =∞

→n n a 的（ c ）

A 、充分条件

B 、必要条件

C 、充分必要条件

D 、无关条件 5、下列各积分中可以直接运用牛顿-莱布尼兹公式求值的是（ a ） A 、

0arcsin xdx ⎰

B 、1

ln e

dx x x ⎰ C 、

-⎰

D 、10sin x dx x ⎰ 6、下面结论错误的是（ b ）

A 、若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必有界；

B 、若)(x f 在),(b a 内连续，则 )(dx x f b

a ⎰存在；

C 、若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在]

,[b a 上必可积；

D 、若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上必可积。 7、下列命题正确的是（ d ）

数学分析试卷及答案6套

第一套试卷

一、选择题（共20题，每题4分，共80分）

1. 若函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求f(-1)的值是多少？

A. -4

B. 4

C. 0

D. 1

2. 函数f(x) = ln(x^2 + 1)在区间(-∞, 0)上的最小值是多少？

A. ln(1)

B. ln(0)

C. ln(-1)

D. 不存在最小值

3. 已知函数f(x)在区间[0, 5]上连续，且f(0) = 2, f(5) = 1，证明在该区间上存在一个点c，使得f(c) = 3.

（请写出证明过程）

4. 求不等式2x - 5 < 3x + 2的解集。

A. x < -7

B. x > -7

C. x > -3

D. x < -3

5. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b)，证明在该区间上至少存在两个不同的点c和d，使得f(c) = f(d).

（请写出证明过程）

......

...

第一套答案

一、选择题

1. B

2. A

3. (证明过程略)

4. A

5. (证明过程略)

二、填空题（共5题，每题4分，共20分）

1. 若e^x = 2，则x = ln(2)；

2. 设a, b为实数，若a^2 + 2ab + b^2 = 0，则a = -b；

3. lim(x→∞) (x^2 - 2x - 3)/(3x + 1) = 1；

4. 若函数f(x) = x^2 + 3x - 2，则f(-1) = -6；

5. 若f(x) = √(2x + 1)，则f'(x) = 1/√(2x + 1)。

数学分析考研试题及答案

一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列函数中，哪个不是有界函数？

A. f(x) = sin(x)

B. f(x) = e^x

C. f(x) = x^2

D. f(x) = 1/x

2. 函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是：

A. 单调递增

B. 单调递减

C. 有增有减

D. 常数函数

3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：

A. f(a)存在

B. f(a) = 0

C. lim(x->a) f(x) = f(a)

D. lim(x->a) f(x) 不存在

4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：

A. 1/3

B. 1/4

C. 1/2

D. 2/3

5. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是：

A. n = 1

B. n > 1

C. n < 1

D. n = 2

6. 级数∑(1/n^2)是：

A. 收敛的

B. 发散的

C. 条件收敛的

D. 无界序列

7. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么：

A. f(x)在[a, b]上连续

B. f(x)在[a, b]上一定有界

C. f(x)在[a, b]上单调递增

D. f(x)在[a, b]上无界

8. 函数f(x) = |x|在x=0处：

A. 连续

B. 可导

C. 不连续

D. 不可导

9. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是：

A. y = Ce^(-x)

B. y = Ce^x

C. y = Csin(x)

D. y = Ccos(x)

10. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式是：

大学数学分析题题库

大学数学分析题题库题目一：极限与连续性

1. 计算下列极限：

(a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{4x}$

(b) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$

2. 判断函数在给定点或区间内的连续性：

(a) 函数$f(x) = \sqrt{x}$在$x=0$处是否连续？

(b) 函数$g(x) = \frac{1}{x}$在区间$(1, 2)$内是否连续？

题目二：微分学基础

1. 计算下列函数的导数：

(a) $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$

(b) $g(x) = \sin(x) + \cos(x)$

2. 判断函数在给定点处的可导性：

(a) 函数$f(x) = |x|$在$x=0$处是否可导？

(b) 函数$g(x) = \sqrt[3]{x}$在$x=8$处是否可导？

题目三：积分与面积

1. 计算下列定积分：

(a) $\int_{0}^{1} x^2 \, dx$

(b) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x) \, dx$

数学分析(Ⅱ)试题与参考答案

数学分析（2）期末试题

课程名称数学分析（Ⅱ）适用时间

试卷类别1

适用专业、年级、班应用、信息专业

一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）

1、下列级数中条件收敛的是（）．

A ．1(1)n

n ∞

=-∑ B ．1

n ∞

=．

1(1)n n n ∞

=-∑ D ．11

(1)n

n n ∞

=+∑

2、若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数在

它的间断点x 处（）．

A ．收敛于()f x

B ．收敛于

((0)(0))2

f x f x -++ C ．发散 D ．可能收敛也可能发散

3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（）．

A ．有界

B ．连续

C ．单调

D ．存在原函数

4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（）

A ．

1x B ．ln x x C ． 21x

- D ． x e 5、已知反常积分2

0 (0)1dx

k kx +∞>+⎰收敛于1，则k =（） A ． 2π B ．22π C ． 2

D ． 24π

6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n

x x x x --+-+-+收敛，则（）

A ． x e <

B ．x e >

C ． x 为任意实数

D ． 1

e x e -<<

二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）

1、已知幂级数1n

n n a x

∞

=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为．

2、若数项级数1

n n u ∞=∑的第n 个部分和21

数学分析试题及答案

（十四）《数学分析II 》考试题

一填空（共15分，每题5分）：

1 设 E = {x — [x] I x e 则 s upE = 1 , inf E = 0

"'（5） = 2,则鳏

今若警=竺,

sin ax, x ＜ 0,

ln(l + x) +。在"。处可导，灿 J

b= o

二计算下列极限：（共20分，每题5分）

1 1 1 1

1 lim （1 + — + — + ----------- F —）〃；，一8

3 n

故 lim (1 + 土 + ! + 〃一＞8 2 3

]+ + —

2 hm ------------- ---------- :

— (V/?)

解：由Stolz 定理，「 1 + A /2 + — yfn

lim ----------- — --------- = lim —。 /

_____ 今

〃f° (而)3 f (如)一(J. — 1)

=lim

____ _____________

〃一8( — — 1)(〃 + 一 1) + 〃一 1)

=lim

"*(〃 —(〃一 1))(2” + — 1)—1)

1 + J1--

=怛 I ------------ " 1

2 +、)F )

,，小 1 1

解：由于1＜（1 + 5 +氏+・

…+上是沽,又limS = l,

〃一＞8

1 1

+ —)〃 = lo

y/n(y/n + y/n — 1)

「sinx —sin6f

3 lim ------------------------

L x — a

c x + a ・ x — a

「 sin X —sin Q 2cos -------------------------- sin ----------- 解：lim ------------------- = Um -------------- 2 ---------

数学分析试题与答案

2014 ---2015学年度第二学期

《数学分析2》A 试卷

一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()⎰dx x f 可表为()C

dt t f x

a +⎰（）.

2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]⎰⎰⎰⋅=dx x g dx x f dx x g x f （）.

3. 若()⎰+∞

dx x f 绝对收敛，()⎰+∞

dx x g 条件收敛，则()()⎰+∞-a

dx x g x f ][必然条件收

敛（）. 4. 若()⎰

+∞1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞

n n f 收敛（）

5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（）.

6. 若数项级数∑∞

=1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大

（）.

7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分）

1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()⎰a

x dx x f 在[]b a ,上（）

A.不连续

B. 连续

C.可微

D.不能确定

2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（） A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积；

数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)

一、判断题（每小题2分，共20分）

1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集．（）

2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等．（）

3.连续函数的全增量等于偏增量之和．（）

xy y x f =),(在原点不可微．（）

5.若),(),(y x f y x f yx

xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =．（） 6.

dy y x xy

y )

1(sin 2

+⎰

+∞

在)1,0(内不一致收敛．（） 7.平面图形都是可求面积的．（） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （） 9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”．（） 10.二重积分定义中分割T 的细度

不能用}{max 1i n

i σ∆≤≤来代替．（）

二、填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy

+=，则其全微分=dz ．

2.设

2),,(yz

xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=

)(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线

22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+L

ydx xdy

． 4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于．

5.曲面2732

22=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为．三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限

y x y x )(lim 22)

0,0(),(+→．

2．设),(y x z z =是由方程z

数学分析2试题B及答案(

xn 3n
cos(n
x2 )(x [0, 2])
，求 lim x1
f
(x)
一、一、1、解：
1
x
dx 2e 2 2
0 ex
0
2、解： f (x) ln x ln(1 x 1) (1)n (x 1)n1 , x (0, 2]
n0
n 1
3、解： lim lim f (x, y) lim lim f (x, y) 0, lim f (x, y) 0
(1)n 3n
n0
3 4
fn (x)
x
f (x) ，
fn (x) f (x) n2 (
x2
1
1 n2
x)
1 ，所以 limsup(
n
n
fn (x)
f (x) ) 0 ，即
函数列 fn (x)
x2
1 n2
,
n 1, 2,L 在 R 上一致收敛。
三、1、证明： t R, b ( f (x) tg(x))2dx b f 2 (x)dx 2t b f (x)g(x)dx t2 b g 2 (x)dx 0 ，所以，
5、求极限： lim 0
x0
x
6、求 y sin x, 0 x 所围平面区域绕 x 轴旋转所得立体的体积。
二、判断级数、反常积分、函数列的收敛性（包括绝对收敛、条件收敛、一致收敛）（5 分×4=20 分）

数学分析(2)试题及答案

一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2

分，共20分）

1、函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数

2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（） A ⎰⎰=-a a

a dx x f dx x f 0

)(2)( B 0)(=⎰-a

dx x f

⎰⎰

-=-a a

dx x f dx x f 0

)(2)( D )(2)(a f dx x f a

=⎰-

3、下列广义积分中，收敛的积分是（） A

⎰

1dx x

B ⎰

∞

1dx x

C ⎰+∞

sin xdx D ⎰

-1

dx x 4、级数

∑∞

n n

收敛是

∑∞

n n

部分和有界且0lim =∞

→n n a 的（）

A 充分条件

B 必要条件

C 充分必要条件

D 无关条件 5、下列说法正确的是（） A

∑∞

n n

和

∑∞

n n

收敛，

∑∞

n n

n b

a 也收敛 B

∑∞

n n

和

∑∞

n n

发散，

∑∞

=+1

)(n n n

b a

发散 C

∑∞

n n

收敛和

∑∞

n n

发散，

∑∞=+1

)(n n n

b a

发散 D ∑∞

n n a 收敛和∑∞

n n b 发散，∑∞

n n n b a 发

散 6、

)(1x a

n n

∑∞

=在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（）

A )()('1'x a x a

n n

=∑∞

= B a （x ）可导

⎰∑⎰

=∞

n b

n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞

《数学分析II》期末试卷+参考答案

《数学分析（II ）》试题

2004.6

一．计算下列各题：

1．求定积分∫

+e x x dx 12)ln 2(；

2．求定积分； ∫−222),1max(dx x

3．求反常积分dx x x ∫

∞++021ln ；

4．求幂级数()

∑∞=−+1221n n n x n n 的收敛域；

5．设，求du 。

yz x u =

二．设变量代换可把方程⎩

⎨⎧+=−=ay x v y x u ,20622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂v u z ，求常数。

三．平面点集(){}⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛L U ,2,11sin ,10,0n n n

是否为紧集？请说明理由。

四．函数项级数n n

n n x x n +⋅−∑∞

=−1)1(11在上是否一致收敛？请说明理由。 ]1,0[

五．设函数在上连续，且满足)(x f ),(∞+−∞1)1(=f 和

)arctan(2

1)2(20x dt t x tf x =−∫

。求。 ∫21)(dx x f

六．设函数在上具有连续导数，且满足)(x f ),1[∞+1)1(=f 和

22)]

([1)(x f x x f +=′，+∞<≤x 1。证明：存在且小于)(lim x f x +∞→41π+。

七．设如下定义函数：

dt t t x f x x t

1sin 21)(2

∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=，。 1>x 判别级数∑∞=2)

(1n n f 的敛散性。

八．设∫=4

0cos sin πxdx x I n n （L ,2,1,0=n ）。求级数的和。 ∑∞

《数学分析(二)》题库及答案

《数学分析（二）》题库及答案

一、填空1、⎰=+1

- 2

51dx x

x ____________。

2、

⎰

∞

+-= 0

dx xe x ____________。

3、

=++++⋅+⋅ )

1(1

321211n n ___________。 4、

⎰

∞

+∞

=+ - 2

______1x

。 5、

_______)

15)(45(11161611=++-++⋅+⋅ n n 。 6、幂级数∑∞

=--1

)

1(n n

n n

x 的收敛域为______ 。

二、单项选择题

1、设)(x f 是),(b a 上的连续函数，则在),(b a 上)(x f 必有___________。 A ．导函数 B ．原函数 C ．最大值 D ．最小值

2、设)(x f 在),(+∞-∞上有连续的的导数)(x f '，则___________。 A ．⎰

'c x f dx x f )2(2

)2( B ．⎰+='c x f dx x f )2()2( C ．

⎰+='c x f dx x f )()2( D ． ⎰=')2(2))2((x f dx x f

3、设)(x f 是),(+∞-∞上非零的连续奇函数，则⎰

dt t f x F 0

)()(是___________。

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．非奇非偶函数

D ．可能是奇，也可能是偶函数 4、设函数)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上______ 。

A ．存在原函数

B ．有界

C ．连续

D ．可导 5、若0lim =∞

→n n a ，则数项级数

数学分析第二学期期末考试题及答案

数学分析第二学期考试题

一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题4分，

共32分）

1、函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ b ） A 、连续 B 、有界 C 、无间断点 D 、有原函数

2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ b ） A 、⎰⎰=-a a

a dx x f dx x f 0

)(2)( B 、0)(=⎰-a

a dx x f

C 、

⎰⎰

-=-a

dx x f dx x f 0

)(2)( D 、)(2)(a f dx x f a

=⎰-

3、下列广义积分中，收敛的积分是（ a ） A 、

⎰

1dx x

B 、 ⎰

∞

1dx x

C 、 ⎰+∞

sin xdx D 、⎰

-1

dx x 4、级数

∑∞

n n

收敛是

∑∞

n n

部分和有界且0lim =∞

→n n a 的（ c ）

A 、充分条件

B 、必要条件

C 、充分必要条件

D 、无关条件 5、下列各积分中可以直接运用牛顿-莱布尼兹公式求值的是（ a ） A 、

arcsin xdx ⎰

B 、1

ln e

dx x x ⎰ C 、

-⎰

D 、10sin x dx x ⎰ 6、下面结论错误的是（ b ）

A 、若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必有界；

B 、若)(x f 在),(b a 内连续，则

)(dx x f b

⎰

存在；

C 、若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在]

,[b a 上必可积；

D 、若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上必可积。 7、下列命题正确的是（ d ） A 、

数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)

第三学期数学分析考试题

一、判断题（每小题2分，共20分）

1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集．（）

2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等．（）

3.连续函数的全增量等于偏增量之和．（）

4.xy y x f =

),(在原点不可微．（）

5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =．（）

dy y x xy

y )

1(sin 2

+⎰

+∞

在)1,0(内不一致收敛．（） 7.平面图形都是可求面积的．（） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （）

9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”．（） 10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i n

i σ∆≤≤来代替．（）

二、填空题（每小题3分，共15分）

1.设)sin(y x e z xy

+=，则其全微分=dz ． 2.设3

),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线2

2x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则

⎰=+L

ydx xdy ．

4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于．

5.曲面2732

=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为．三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限

xy y x y x )(lim

22)0,0(),(+→．

2．设),(y x z z =是由方程z