2020学年高中数学第一章立体几何初步第8课时1_1_6棱柱棱锥棱台和球的表面积课时作业新
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
2. 正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积 正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积 表面积等于正棱锥的 底面积之和 之和. 与底面积之和
三. 正棱台的表面积
被平行于底面的平面所截， 正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截 正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截 面和底面之间的部分叫正棱台. 面和底面之间的部分叫正棱台 性质： 侧面是全等的等腰梯形 性质： 侧面是全等的等腰梯形. 全等的等腰梯形
a3
S直棱柱侧＝（a1 + a2 + a3 ) ⋅ h = ch
一．直棱柱的表面积 1. 直棱柱的侧面积等于它的底面周长 和 直棱柱的侧面积等于它的底面周长c和 的乘积， 高h的乘积，即 的乘积
S直棱柱侧面积 = ch
2. 直棱柱的表面积就等于侧面积与上、下 直棱柱的表面积就等于侧面积与上 表面积就等于侧面积与上、 底面面积的和. 底面面积的和
圆台的上下底面半径分别是10和 ， 例2.圆台的上下底面半径分别是 和20， 圆台的上下底面半径分别是 它的侧面展开图扇环的圆心角是180°，那 它的侧面展开图扇环的圆心角是 ° 么圆台的表面积是______ 么圆台的表面积是 展开前后有 关数学量的 变与不变关 系是解决此 类问题的突 破口
例 3 .长 方 体 共 顶 点 的 三 个 侧 面 的 面 积 分别为
二.正棱锥的表面积 正棱锥的表面积
正棱锥：底面是正多边形， 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射 影是底面中心的棱锥 的棱锥. 影是底面中心的棱锥 性质： 正棱锥侧面是全等的等腰三角形 性质： 正棱锥侧面是全等的等腰三角形 侧面是全等的等腰三角形.
第一章1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积教案学生版
1．直棱柱的侧面积公式S＝ch，其中c为底面多边形的周长，h为棱柱的高，用语言可叙述为直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积．
2．正棱锥的侧面积公式S＝nah′＝ch′，其中底面边长为a，c为底面多边形的周长，h′为棱锥的斜高，用语言可叙述为正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半.
问题2正棱台的侧面展开图是怎样的图形？
问题3下图是正四棱台的展开图，设下底面周长为c，上底面周长为c′，你能根据展开图，归纳出正n棱台的侧面面积公式吗？
问题4正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外，你还有其它方法吗？
问题5棱台的表面积或全面积如何求？
探究点三 圆柱、圆锥、球的表面积
问题1如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积？
_______.
课堂小结：
1．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及圆柱、圆锥、圆台的侧面积都等于它们的侧面展开图的面积．
2．多面体的表面积等于它的侧面积加底面积．
3．圆柱、圆锥、圆台及球的表面积公式分别为：
S圆柱表＝2πr(r＋l)；
S圆＋R2)；
S球＝4πR2.
1.1.6
【学习要求】
1．理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面展开图．
2．掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表面积．
3．掌握球的表面积公式并会求球的表面积．
【学法指导】
通过经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，理解几何体的表面积的推导过程，学会其表面积公式推导的思想方法，提高空间思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心．
问题4如何求多面体的表面积？
例1已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为35°(如图)，求正四棱锥的侧面积及表面积(单位：cm2，sin 35°≈0.574，精确到0.01)．
课时作业19：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积一、选择题1.已知正六棱柱的高为h ，底面边长为a ，则它的表面积为( ) A.33a 2＋6ah B.3a 2＋6h C.43a 2＋6ahD.323a 2＋6ah 2.长方体的体对角线长为52，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( ) A.202π B.252π C.50πD.200π3.矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为( ) A.1∶2 B.1∶1 C.1∶4D.1∶34.圆台OO ′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO ′的侧面积是( ) A.54π B.8π C.4πD.16π5.如图所示，该图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π二、填空题6.一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm ，则该棱柱的侧面积为________cm 2.7.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的______倍. 8.侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，该三棱锥的表面积为________.三、解答题9.如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为多少？10.正四棱台两底面边长分别为3和9.(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.参考答案一、选择题1. 【答案】 A【解析】 柱体的表面积是侧面积加底面积，据正六棱柱的性质，得其表面积为S 侧＋2S 底＝33a 2＋6ah . 2. 【答案】 C【解析】 ∵对角线长为52，∴2R ＝52， S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫5222＝50π.3. 【答案】 B【解析】 以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S 1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S 2＝2π×1×2＝4π， 故S 1∶S 2＝1∶1，选B.4. 【答案】 A【解析】 S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝π(7＋2)×6＝54π. 5. 【答案】 C【解析】 根据三视图特征，将三视图还原为直观图，根据直观图特征求表面积.由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是23，底面半径是2，因此其母线长为4，下面圆柱的高是4，底面半径是2，因此该几何体的表面积是S ＝π×22＋2π×2×4＋π×2×4＝28π，故选C. 二、填空题 6. 【答案】 72【解析】 棱柱的侧面积S 侧＝3×6×4＝72(cm 2). 7. 【答案】 2【解析】 设轴截面正三角形的边长为2a ，∴S 底＝πa 2， S 侧＝πa ×2a ＝2πa 2， ∴S 侧＝2S 底. 8. 【答案】3＋34a 2【解析】 底面边长为a ，则斜高为a2，故S 侧＝3×12a ×12a ＝34a 2.而S 底＝34a 2， 故S 表＝3＋34a 2.三、解答题9.解：几何体的表面积为： S ＝6×22－π×(0.5)2×2＋2π×0.5×2 ＝24－0.5π＋2π ＝24＋1.5π.10.解：(1)如图，设O 1，O 分别为上，下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，连接C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高.由题意知∠C 1CO ＝45°， CE ＝CO －EO ＝CO －C 1O 1＝22×(9－3)＝3 2. 在Rt △C 1CE 中，C 1E ＝CE ＝32， 又EF ＝CE ·sin 45°＝32×22＝3， ∴斜高C 1F ＝C 1E 2＋EF 2 ＝(32)2＋32＝3 3.∴S 侧＝12(4×3＋4×9)×33＝72 3.(2)由题意知，S 上底＋S 下底＝32＋92＝90，∴12(4×3＋4×9)·h 斜＝32＋92＝90.∴h 斜＝90×212＋36＝154.又EF ＝9－32＝3，h ＝h 2斜－EF 2＝94.。
2020年高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积课件新人教B版必修2
【答案】 (1)A (2)B 【知识点拨】 球的表面积只与半径有关，利用球与其他 几何体的位置关系，灵活求解球的半径是关键．
有三个球，第一个球内切于正方体，第 二个球与这个正方体各棱相切，第三个球过这个正方体的各个 顶点，求这三个球的表面积之比．
解：设正方体的棱长为 a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个正方 形的中心，经过四个切点及球心作截面如图，所以有 2r1＝a，r1 ＝a2，所以 S1＝4πr21＝πa2.
解析：由三视图可知，该几何体是半个圆锥，圆锥的底面 半径为 1，高为 3，母线长为 2，其表面积为12π＋12π×2×1＋12 ×2× 3＝32π＋ 3.
答案：32π＋ 3
表面积(S 表) __S_侧_＋__2_S__底___ __S__侧_＋__S_底____
__S_侧_＋__S__上_底_＋__S_下_底__
__4_π_R_2___
1．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线为 2，体对角
线长为 6，则这个棱柱的侧面积是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：底面为正方形，对角线为 2，所以底面边长为 1， 体对角线长为 6，设直棱柱的高为 h，
C．π
D．32π
【解析】 由三视图可知，该几何体是一个圆柱，圆柱的 侧面积为 2π×12×1＝π.故选 C．
【答案】 C 【知识点拨】 当圆台的上底面半径与下底面半径相等时， 得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得： S 圆柱侧＝2πrl―r′―＝→r S 圆台侧＝π(r＋r′)l―r′―＝→0 S 圆锥侧＝πrl.
则棱台的侧面积为( )
A．8
B．8 3
C．16
D．16 3
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面同步练习(含解析)新人教B版必
高中数学第一章立体几何初步1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面同步练习（含解析）新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章立体几何初步1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面同步练习（含解析）新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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棱柱、棱锥、棱台和球的表面1．正三棱锥的底面边长为a ,高为66a ，则此三棱锥的侧面积为（ )． A ．234a B ．232a C ．2334a D ．2332a 2．长方体的高等于h ,底面积等于a ，过相对侧棱的截面面积等于b ，则此长方体的侧面积等于（ ）．A ．222b ah +B ．2222b ah +C ．2222b ah +D ．222b ah +3．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积之比为( ）．A ．316 B ．916 C ．38 D ．9324．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是( )．A ．372B ．360C ．292D ．2805．已知三个球的半径R 1、R 2、R 3满足R 1＋2R 2＝3R 3,则它们的表面积S 1、S 2、S 3满足的等量关系是______．6．有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a （a ＞0）．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中,表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是______．7．已知正三棱锥S－ABC，一个正三棱柱的一个底面的三顶点在棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15 cm，底面边长为12 cm，内接正三棱柱的侧面积为120 cm2.（1）求三棱柱的高;（2)求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比．8．已知梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD 内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积．参考答案1。
原创2：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积（探究式）
第
一
章
立
体
几
何
初
步
1.1.6
棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1．通过对棱柱、棱锥、棱台和球的研究，掌握棱柱、
棱锥、棱台和球表面积的求法；
2．了解柱、锥、台、球体的表面积计算公式；能运
用柱、锥、台、球的表面积公式进行计算和解决有关
实际问题；
3．经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，
还原成正棱锥，利用正棱锥
所以E1E＝3 .
的有关知识来解决．
所以S侧＝4× ×(B1C1＋BC)×E1E＝2×(12＋6)×3
＝108 .
跟踪训练
练习2
探究点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？
解 如图，正四棱台的侧棱延长交于一点P.
典例精析
圆柱、圆锥、圆台的表面积
例3： 如图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径为15cm,
10cm
底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm.为了美化花盆的外观,需
要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要
15cm
多少油漆( π 取3.14,结果精确到1毫升)？
解:如图,由圆台的表面积公式，可得一个花盆外壁的表面积
取B1C1、BC的中点E1、E，则EE1的延长线必过P点(以后可以证明)．
O1、O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心．
由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，且有O1E1＝ A1B1＝3，
OE＝ AB＝6，则有 ＝
学案4：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积【知识梳理】空间几何体的表面积1．多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．旋转体的表(侧)面积名称侧面积表面积圆柱(底面半径r，母线长l)2πrl圆锥(底面半径r，母线长l)πr(l＋r)圆台(上、下底面半径r1，r2，母线长l)π(r1＋r2)l＋π(r21＋r22)球(半径为R)易误提醒(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．(2)对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行，要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理．[自测练习]1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A．48(3＋3)B．48(3＋23)C．24(6＋2) D．1442．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．8＋4 2 B．10πC．11π D．12π【考点探究】考点一空间几何体的表面积|[题组训练]1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋22B．11＋22C．14＋22D．152．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A．1 B．2 C．4 D．83．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为________．[规律方法]1.由三视图求相关几何体的表面积：,给出三视图时，依据“正视图反映几何体的长和高，侧视图反映几何体的高和宽，俯视图反映几何体的长和宽”来确定表面积公式中涉及的基本量.2.根据几何体常规几何体、组合体或旋转体的特征求表面积：①求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.②对于组合体，要弄清它是由哪些简单几何体组成的，要注意“表面和外界直接接触的面”的定义，以确保不重复、不遗漏. [演练冲关]一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为( )A ．8＋π3B ．8＋2π3C ．8＋8π3D ．8＋16π3考点二 与球有关的切、接问题|与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点．命题角度多变． 探究一 四面体的外接球问题1．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A ．64π B ．32π C ．16πD ．8π探究二 四棱锥的外接球问题2．已知四棱锥P ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥底面ABCD ，△P AD 为正三角形，AB ＝2AD ＝4，则球O 的表面积为( ) A.323π B ．32π C ．64πD.643π 探究三 四面体的内切球问题3．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.[规律方法]求解与球有关的切、接问题的关键点解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．【课堂检测】1.如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A.16π3B.8π3 C ．43πD ．23π2．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB ＝2，则球O 的表面积为( ) A.323π B ．12πC ．16πD ．32π3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．4．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，侧面BCC 1B 1的面积为2，则直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为________． 5．已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长．【参考答案】【知识梳理】2． 2πr (l ＋r ) πrlπ(r 1＋r 2)l4πR 2[自测练习]1．解析：正六棱柱的侧面积S 侧＝6×6×4＝144，底面面积S 底＝2×6×34×42＝483， S 表＝144＋483＝48(3＋3)． 答案：A2．A ．8＋4 2B ．10πC ．11πD ．12π解析：由三视图可知几何体是半径为1的球和底面半径为1，高为3的圆柱，故其表面积应为球的表面积与圆柱的表面积面积之和，即S ＝4π＋2π＋2π×3＝12π，故选D. 答案：D【考点探究】考点一 空间几何体的表面积| [题组训练]1．解析：由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为2的直四棱柱，所以其表面积为S 表面积＝S 侧面积＋2S 下底面积＝(1＋1＋2＋2)×2＋2×12×(1＋2)×1＝11＋22，故选B.答案：B2．解析：由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为πr 2＋2πr 2＋4r 2＋2πr 2＝20π＋16，所以r ＝2. 答案：B3．解析：设等边三角形的边长为2a ，则S 圆锥表＝12·2πa ·2a ＋πa 2＝3πa 2.又R 2＝a 2＋(3a －R )2(R为球O 的半径)，所以R ＝233a ，故S 球表＝4π·⎝⎛⎭⎫233a 2＝16π3a 2，故其表面积比为916. 答案：916[演练冲关]解析：依题意得，该机器零件的形状是在一个正方体的上表面放置了一个14的球体，其中正方体的棱长为2，相应的球半径是1，因此其体积等于23＋14×43π×13＝8＋π3，选A.答案：A考点二 与球有关的切、接问题| 探究一 四面体的外接球问题1．解析：如图，作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，PM ＝6， 连接AM ，AO ，则OP ＝OA ＝R (R 为外接球半径)，在Rt △OAM 中，OM ＝6－R ，OA ＝R ，又AB ＝6，且△ABC 为等边三角形， 故AM ＝2362－32＝23，则R 2－(6－R )2＝(23)2，则R ＝4，所以球的表面积S ＝4πR 2＝64π. 答案：A探究二 四棱锥的外接球问题2．解析：依题意，AB ⊥平面P AD 且△P AD 是正三角形，过P 点作AB 的平行线，交球面于点E ，连接BE ，CE ，则可得到正三棱柱APD BEC .因为△P AD 是正三角形，且AD ＝2，所以△P AD 的外接圆半径是23，球O 的半径R ＝22＋⎝⎛⎭⎫232＝43，球O 的表面积S ＝4πR 2＝64π3，故选D.答案：D探究三 四面体的内切球问题3．解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π.答案：63π【课堂检测】1. 解析：由对称性可知外接球球心在侧视图中直角三角形的高线上，设外接球的半径为R ，则(3－R )2＋12＝R 2，R ＝233，其表面积S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎫2332＝16π3.答案：A2．解析：设球心为O ，球心在平面BCD 的投影为O 1，则OO 1＝AB2＝1，因为△BCD 为等边三角形，故DO 1＝23×323＝3，因为△OO 1D 为直角三角形，所以球的半径R ＝OD ＝OO 21＋O 1D 2＝2，球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C. 答案：C3．解析：该简单组合体由半球加上圆锥构成，故所求表面积S ＝4π×422＋12×2π×4×5＝52π.答案：52π4．解析：如图所示，设BC ，B 1C 1的中点分别为F ，E ，则知三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球的球心为线段EF 的中点O ，且BC ×EF ＝2.设外接球的半径为R ，则R 2＝BF 2＋OF 2＝⎝⎛⎭⎫BC 22＋⎝⎛⎭⎫EF 22＝BC 2＋EF 24≥14×2BC ×EF ＝1，当且仅当BC ＝EF ＝2时取等号．所以直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为4π×12＝4π. 答案：4π5．解：(1)由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和． S 圆锥侧＝12(2πa )·(2a )＝2πa 2，S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2，S 圆柱底＝πa 2， 所以S 表面＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2. (2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋（πa ）2＝a 1＋π2， 所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.。
课件3：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积 (1)S圆柱侧＝___2_π_r_l __(r为底面半径，l为母线长)． (2)S圆锥侧＝___π_r_l___(r为底面圆半径，l为母线长)． (3)S圆台侧＝___π_(_R_＋__r_)l___(R、r分别为上、下底面半径，l为母线长)． (4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的_底__面__积___与_侧__面__积___的和，
命题方向1 直棱柱的表面积 例1 一个直棱柱的底面是菱形，直棱柱的对角线长是9cm和15cm， 高是5cm，求直棱柱的全面积． [解] 如图，BD1＝9cm，A1C＝15cm，AA1＝BB1＝5cm. 在 Rt△BD1D 中，BD2＝92－52＝56，
∴BD＝2 14cm. 在 Rt△AA1C 中，AC2＝152－52＝200， ∴AC＝10 2cm. 又底面是菱形， 所以 AB＝ (5 2)2＋( 14)2＝8(cm)． 棱柱的侧面积 S1＝4×8×5＝160(cm2)， 上、下底面积的和 S2＝2 14×10 2＝40 7(cm2)， 故棱柱的全面积 S＝S1＋S2＝160＋40 7(cm2)．
2．用长为 4，宽为 2 的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱的轴截面
面积为( )
A．8
8 B.π
4
2
C.π
D.π
[解析] 设围成圆柱的底面半径为 r，则 2πr＝4，∴2r＝4π，
∴圆柱的轴截面面积为 S＝4π×2＝8π.或 2πr＝2，∴2r＝2π，
∴圆柱的轴截面面积为 S＝2π×4＝8π. [答案] B
(3)设正n棱台下底面边长为a、周长为c，上底面边长为a′、周长为c′， 斜高为h′，则正n棱台的侧面积公式：
课时作业1：1．1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1．1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积一、基础过关1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )A ．8 B.8π C.4π D.2π答案 B解析 易知2πr ＝4，则2r ＝4π， 所以轴截面面积＝4π×2＝8π. 2．一个直棱柱的底面是菱形，棱柱的对角线长分别是9 cm 和15 cm ，高是5 cm ，则这个直棱柱的侧面积是( ) A ．160 cm 2B ．320 cm 2C ．4089 cm 2D ．8089 cm 2答案 A解析 由题意知菱形的对角线分别为92－52＝56，152－52＝10 2.设菱形的边长为a ，则有4a 2＝56＋200，所以a ＝8.因此，直棱柱的侧面积为4a ×5＝4×8×5＝160 cm 2.3．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于( )A ．6B ．6πC ．35πD ．65π答案 C解析 ∵圆台的母线长为(2－1)2＋22＝5，∴S 圆台侧＝π(1＋2)·5＝35π.4.三视图如图所示的几何体的表面积是( )A ．7＋ 2 B.112＋ 2 C ．7＋ 3D.32 答案 A解析 图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S 表面＝2S 底＋S 侧面＝12×(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋ 2. 5．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为________． 答案 3π解析 如图，把四面体ABCD 补成正方体，则正方体的棱长为1，正方体的体对角线长等于外接球的直径，球的直径2R ＝3，球的表面积S＝4πR 2＝3π.6．一简单组合体的三视图及尺寸(单位：cm)如下图所示，则该组合体的表面积为________cm 2.答案 12 800解析 该组合体的表面积为2S 主视图＋2S 侧视图＋2S 俯视图＝12 800( cm 2)．7．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．解 设正方体的棱长为a .如图所示．①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r 2＝2a ，r 2＝22a ， 所以S 2＝4πr 22＝2πa 2.③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r 3＝3a ，r 3＝32a ，所以S 3＝4πr 23＝3πa 2. 综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.二、能力提升8．已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B ，由这个扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( )A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶8答案 A解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2πr ＝34πl ， 则l ＝83r ， 所以B ＝12(83r )2×3π4＝83πr 2， A ＝83πr 2＋πr 2＝113πr 2， 得A ∶B ＝11∶8.9．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )A ．372B ．360C ．292D ．280答案 B解析 由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体． ∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.10．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．答案 48＋817 解析 由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12＝17.所以S 表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817. 11．一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积．解 这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S ＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋3 3. 12．已知正三棱台的上、下底面边长分别是2 cm 与4 cm ，侧棱长是 6 cm ，试求该三棱台的表面积与体积．解 如图，O ′、O 是上、下底面的中心，连接OO ′、O ′B ′、OB ，在平面BCC ′B ′内过B ′作B ′D ⊥BC 于D ，在平面BOO ′B ′内作B ′E ⊥OB 于E . ∵△A ′B ′C ′是边长为2的等边三角形，O ′是中心，∴O ′B ′＝23×2×32＝233， 同理OB ＝433，则BE ＝OB －O ′B ′＝233. 在Rt △B ′EB 中，BB ′＝6，BE ＝233， ∴B ′E ＝423，即棱台高为423cm. ∴三棱台的体积为V 棱台＝13×423(34×16＋34×4＋34×16×34×4 ＝7143 cm 3. 由于棱台的侧面是等腰梯形，∴BD ＝12×(4－2)＝1 cm. 在Rt △B ′DB 中，BB ′＝6，BD ＝1，∴B ′D ＝5，即梯形的高为 5 cm.所以棱台的表面积S ＝S上底＋S 下底＋S 侧＝34×4＋34×16＋3×12×(2＋4)×5＝(53＋95)cm 2.所以棱台的表面积是(53＋95)cm 2，体积是7143cm 3. 三、探究与拓展13.已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解 (1)作圆锥的轴截面，如图所示．因为r R ＝H －x H ，所以r ＝R －R Hx ， 所以S 圆柱侧＝2πrx＝2πRx －2πR H x 2(0<x <H )．(2)因为－2πR H<0， 所以当x ＝2πR 4πR H＝H 2时，S 圆柱侧最大． 故当x ＝H 2，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．。
高中数学第一章立体几何初步1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积bb高一数学
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内容索引
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问题(wèntí)导 学
题型探究
(tànjiū)
达标(dá biāo) 检测
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问题 导学 (wèntí)
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知识点 直棱柱(léngzhù)、正棱锥、正棱台和旋转体的表面积
B.3 倍
C. 2倍
√D.2 倍
解析 设圆锥底面半径为r， 由题意(tíyì)知母线长l＝2r， 则S侧＝πr×2r＝2πr2，
∴SS底侧＝2ππrr22＝2.
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解析 答案(dá
类型 二 (lèixíng) 简单组合体的表面积 例3 牧民居住的蒙古包的形状(xíngzhuàn)是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(单 位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到
解析 因为(yīn wèi)底面圆的周长为2π cm，所以底面圆的半径为1 cm， 所以圆锥的底面积为π cm2，
圆锥的侧面积为 ×12×2π＝2π(cm2)， 所以圆锥的表面积2为3π cm2.
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解析 答案(dá
(2)已知圆柱与圆锥的高、底面半径(bànjìng)分别相等.若圆柱的底面半径为r，圆柱
由题意，得(3＋62)EE1×4＝9＋36，∴EE1＝52， 在 Rt△EHE1 中，E1H2＝EE21－EH2＝245－94＝4，
∴E11H2/12＝/20221 ，∴O1O＝2，故选A.
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解析 答案
命题角度2 圆柱与圆锥(yuánzhuī)的侧(表)面积 例2 (1)若圆锥的母线长为2 cm，底面圆的周长为2π cm，则圆锥的表面积为___ cm2. 3π
课时作业17：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积层级一学业水平达标1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为() A．22B．20C．10 D．112．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是() A．4πS B．2πSC．πS D. 23 3πS3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S＝()A．32＋π B．32＋2πC．28＋2π D．28＋π4．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为() A．1∶2 B．1∶3C．1∶ 5 D. 3∶25．球的表面积S1与它的内接正方体的表面积S2的比值是()A. π3 B.π4C. π2D．π6．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________．7．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．8．一简单组合体的三视图及尺寸(单位：cm)如下图所示，则该组合体的表面积为______cm2.9．如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形．已知四棱锥的底面边长为2 m，高为7 m，制造这个塔顶需要多少铁板？10. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．求该几何体的侧面积S.层级二 应试能力达标1．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两球的半径之差为( )A ．4B ．3C ．2D ．12．正三棱锥的底面边长为a ，高为66a ，则此棱锥的侧面积等于 ( ) A.34a 2 B.32a 2 C.334a 2 D.332a 2 3．三视图如图所示的几何体的表面积是 ( )A ．7＋ 2B. 112＋2 C ．7＋ 3 D. 324.(新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．85．一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为________．6．正六棱柱的高为5，最长的对角线为13，则它的侧面积为________．7. 如图，已知正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．8．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱．(1)求圆锥的侧面积．(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．【参考答案】层级一 学业水平达标1．【解析】选A 所求长方体的表面积S ＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.2．【解析】选A 底面半径是S π，所以正方形的边长是2πS π＝2πS ，故圆柱的侧面积是(2πS )2＝4πS .3．【解析】选A 由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S ＝4π×12＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π. 4．【解析】选C 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2，S 底∶S 侧＝1∶ 5.5．【解析】选C 设球的内接正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则3a 2＝4R 2，所以a 2＝43R 2，球的表面积S 1＝4πR 2，正方体的表面积S 2＝6a 2＝6×43R 2＝8R 2，所以S 1S 2＝π2. 6．【解析】因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S ＝4×34×32＝9 3. 【答案】937．【解析】由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面与截面面积的和，即12×4π×12＋π×12＝3π. 【答案】3π8．【解析】该组合体的表面积为2S 主视图＋2S 左视图＋2S 俯视图＝12 800(cm 2)．【答案】12 8009．解：如图所示，连接AC 和BD 交于点O ，连接SO .作SP ⊥AB ，连接OP .在Rt △SOP 中，SO ＝7(m)，OP ＝12BC ＝1(m)，所以SP ＝22(m)， 则△SAB 的面积是12×2×22＝22(m 2)． 所以四棱锥的侧面积是4×22＝82(m 2)， 即制造这个塔顶需要8 2 m 2铁板．10. 解：由已知可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V ABCD .该四棱锥有两个侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝ 42＋⎝⎛⎭⎫822＝42，另两个侧面VAB 、VCD 也是全等的等腰三角形，且AB 边上的高为h 2＝ 42＋⎝⎛⎭⎫622＝5，因此S ＝2×⎝⎛⎭⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. 层级二 应试能力达标1．【解析】选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4πR 2－4πr 2＝48π，2πR ＋2πr ＝12π， 即⎩⎪⎨⎪⎧R 2－r 2＝12，R ＋r ＝6.∴R －r ＝2，故选C. 2．【解析】选A 侧棱长为 ⎝⎛⎭⎫66a 2＋⎝⎛⎭⎫33a 2＝22a ， 斜高为 ⎝⎛⎭⎫22a 2－（a 2）2＝a 2， ∴S 侧＝12×3×a ×a 2＝34a 2. 3．【解析】选A 图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S 表面＝2S 底＋S 侧面＝12×(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋ 2. 4.【解析】选B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2. 又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.5．【解析】由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和．因为R ＝1，所以S ＝34×4×π×12＋2×12×π×12＝4π. 【答案】4π6．【解析】如图，连接A 1D 1，AD 1，则易知AD 1为正六棱柱最长的对角线，由正六棱柱的性质得：AA 1⊥A 1D 1，∵在Rt △AA 1D 1中，AD 1＝13，AA 1＝5，∴A 1D 1＝132－52＝12，由正六棱柱的性质得：A 1B 1＝12A 1D 1＝6， ∴S 正六棱柱侧面积＝6×6×5＝180.【答案】1807. 解：如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′，过点O 作OE ⊥AB ，与AB 交于点E ，连接SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底，∴12·3a ·h ′＝34a 2×2.∴a ＝3h ′. ∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2.∴32＋⎝⎛⎭⎫36×3h ′2＝h ′2.∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6. ∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3.8．解：(1)圆锥的母线长为62＋22＝210(cm)，∴圆锥的侧面积S 1＝π×2×210＝410 π(cm 2)．(2)画出圆锥的轴截面如图所示：设圆柱的底面半径为r cm ，由题意，知r 2＝6－x 6， ∴r ＝6－x 3，∴圆柱的侧面积S 2＝2πrx ＝2π3(－x 2＋6x )＝－2π3[(x －3)2－9]， ∴当x ＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π cm 2.。
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1
h' C O A B D
A
O
斜高：侧面等腰三角形底边上的高. 斜高：侧面等腰三角形底边上的高.
只有正棱锥和正棱台才有斜高. 注:只有正棱锥和正棱台才有斜高 只有正棱锥和正棱台才有斜高
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图 把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开， 侧面积怎么求？ 形？侧面积怎么求？
把直( 把直(正)三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到 三棱柱侧面沿一条侧棱展开， 什么图形？侧面积怎么求？ 什么图形？侧面积怎么求？
h
c
a
b
h
h
b
a
c
S直棱柱侧＝（a + b + c) ⋅ h = ch
棱锥、 棱锥、棱台
正棱锥：底面是正多边形， 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射 影是底面中心的棱锥 的棱锥. 影是底面中心的棱锥 正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截 正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截 被平行于底面的平面所截， P 面和底面之间的部分叫正棱台. 面和底面之间的部分叫正棱台
1.1.6空间几何体的表面积 1.1.6空间几何体的表面积
多面体的平面展开图 多面体是由一些平面多边形围成的几何体. 多面体是由一些平面多边形围成的几何体 一些多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开 而成平面图形,这个平面图形叫做该多面体的 这个平面图形叫做该多面体的平 而成平面图形 这个平面图形叫做该多面体的平 面展开图. 面展开图
S
分析：如图， 表示塔的顶点， 分析：如图，S表示塔的顶点，O表示
底面中心，则SO是高，设SE是斜高。 底面中心， SO是高， SE是斜高。 是高 是斜高 Rt△ Rt△SOE
1.1.6棱柱棱锥、棱台和球的表面积
6
2. 圆锥的半径为r，母线长为4r，M 是底面圆上任意一点，从M拉一根 绳子，环绕圆锥的侧面再回到M， 求最短绳长.
4 2r
变式：圆柱的轴截面是边 长为4的正方形ABCD，从 A到C圆柱侧面上的最短距 离是_________.
2 2 4
类型4：与球有关的问题
1. 球内接正方体的表面积与球的表 面积的比为（
A. 12 B. 18 C. 36 D. 6
4、 三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度 分别是3，4，5，这个三棱锥的四个顶点 都在同一个球面上，这个球的表面积是 ________
50
5.(2010· 海南、宁夏高考)设三棱柱的侧棱垂直于 底面，所有棱的长为a，顶点都在球面上，则该球 的表面积(
所以R2=x2+202=(x+9)2+72.
解得x=15(cm).
所以圆的半径R=25(cm).
所以S球=4πR2=2500π(cm2)
7．(2012·枣庄高一检测)已知一个表面积为120 cm2的正
方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的 底面上，求半球的表面积．
解： 如图， 为过正方体对角面的截面图． 设正方体的棱长为 a， 半球的半径为 R， 由 6a2＝120 得 a2＝20， 2 在 Rt△AOB 中，AB＝a，OB＝ a， 2 2a 2 3a2 由勾股定理，得 R ＝a ＋( ) ＝ ＝30. 2 2
几何体 圆柱 侧面展开图的形状 矩形 扇形 扇环 侧面积公式 S圆柱侧＝ 2πrl
圆锥
圆台
S圆锥侧＝ πrl
S圆台侧＝ π(r1＋r2)l
其中r为底面半径，l为侧面母线长，r1，r2分别为圆台 的上、下底面半径．
类型1：多面体的表面积
高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积bb高一数学
2.一正(yī zhènɡ)四棱锥各棱长均为a,则其表面积为( B )
(A) 3 a2 (C)2 2 a2
(B)(1+ 3 )a2 (D)(1+ 2 )a2
解析:正四棱锥的斜高 h′= 3 a, 2
S 侧= 1 × 3 a·a×4= 3 a2,S 底=a2, 22
所以 S 表面积=(1+ 3 )a2.故选 B.
所以 2r3=
3 a,r3=
3 a, 2
所以 S3=4π r32 =3πa2.
综上知 S1∶S2∶S3=1∶2∶3.
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谢谢 观赏！ (xiè xie)
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内容 总结 (nèiróng)
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积。1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积。2.了解柱、锥、台和
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第十三页，共二十一页。
方法技巧 利用(lìyòng)棱锥的高、斜高及斜高在底面上的射影构成的直角三角形,可找出各量 之间的关系.
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类型(lèixíng)正三棱台(léngtái)的侧面积 【例3】 已知正四棱台(léngtái)的高为12 cm,两底面边长之差为10 cm,全面积为512 cm2,求底面边长.
1 ch 2
底面的周长和. 斜高乘积的一半
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(3)设正n棱台下底面边长为a、周长(zhōu chánɡ)为c,上底面边长为a′,周长为c′,斜高为h′, 则正n棱台的侧面积公式:
S正棱台侧=
1 2
n =( a
1.1.6-棱柱-棱锥-棱台和球的表面积和体积
S'
x
S
h
V台
1 S（h x) 1 S 'x
3
3
1 Sh 1 Sx 1 S 'x 3 33
1 Sh 1 (S S ' ) h s'
33
s s'
1 Sh 1 ( s s' )h s' 1 h(s ss' s' )
33
3
台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
a' D’
C’
A’
O’
M’
B’
D h h'
C
O
M
Aa
B
思考:
直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系：
c’=c
上底扩大
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch '
S台侧
1 2
c
'
c
h
'
S锥侧
1 2
ch '
4、圆柱的表面积
侧面展开图是矩形，矩形的一边为 母线，另一边为圆柱底面圆的圆周长。 其中底面半径为r，母线长为l。
面垂直的直线上。侧面为全等的等腰三角形。
S正棱锥侧=
1 2
nah'
1 ch' 2
a
h’
a
S正棱锥表= S正棱锥侧+ S底
• 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的 一半。
解题关键：斜高、底面边长 解题方法：四个关键直角三角形
S
h h'
D
C
O M
A
a
B
典型例题
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面 体S-ABC，求它的表面积 ．
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第8课时 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
∵侧棱与高的夹角为60°，∴SA ＝AO
sin60°
＝5. 过点S 作SE ⊥AB ，垂足为点E ，则△SEA 为直角三角形，
∴AE ＝12AB ＝154，SE ＝SA 2－AE 2＝574
， ∴S 侧＝12×152×574×3＝225716
， ∴S 表＝S 侧＋S 底
＝225716＋12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1522×sin60° ＝22516
(3＋7)． 11．(13分)如图，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面的中心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高．若圆锥的轴截面是一个正三角形，求圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值．
解：设圆锥底面的半径为r ，则母线长为2r ，高为3r ，
∴圆柱的底面半径为r ，高为3r ，
∴S 圆柱侧S 圆锥侧＝2πr ·3r πr ·2r
＝3， 即圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为 3.
能力提升
12．(5分)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．
答案：12π
解析：此几何体的上部为球，球的直径为2，下部为一圆柱，圆柱的高为3，底面圆的直径为2，所以S 表＝4π＋π＋π＋2π×3＝12π.
13．(15分)圆锥的底面半径为5，高为12，当它的内接圆柱的底面半径r 为何值时，圆柱的表面积达到最大值？
解：如图，取圆锥的一个轴截面，其中O ′D ＝r ，O ′O ＝h ，由△VO ′D ∽△VOB 得 VO ′VO ＝O ′D OB ，即(12－h )12＝r 5，
∴h ＝125
(5－r )， ∴S 圆柱表面积＝2πr 2＋2πrh
＝2πr 2＋2πr ·125
(5－r ) ＝25
π(60r －7r 2)， ∴当r ＝307时，圆柱的表面积达到最大值3607π.。