2020海口市高考模拟演练数学试卷答案
2020年海南省海口市高考数学模拟试卷(二)(4月份)(有答案解析)
2020年海南省海口市高考数学模拟试卷（二）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.=（）A. B. C. D.2.设集合A={x|0＜x2≤4}，B={x|x＞-1}，则A∩B=（）A. （-1，2]B. （-1，0）∪（0，2]C. [-2，+∞）D. （-1，0）∪（0，2）3.某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人．计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（） .A. 简单随机抽样B. 按性别分层抽样C. 系统抽样D. 按地区分层抽样4.已知点M为双曲线C：x2=1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|+|F1F2|-|MF2|=（）A. 1B. 4C. 6D. 85.设x，x+10，x-5是等比数列{a n}的前三项，则a n=（）A. -4×（-）n-1B. -4×（-）nC. ×（-）n-1D. -4×（）n-16.下列不等式正确的是（）A. B.C. D.7.已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A. 6B. 7C. 8D. 98.（+x）5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（）A. 1B. 20C. 21D. 319.若直线y=kx-2与曲线y=1+3ln x相切，则k=（）A. 3B.C. 2D.10.等差数列{a n}的首项为2，公差不等于0，且，则数列的前2019项和为( )A. B. C. D.11.某高为4的三棱柱被一个平面截去一部分后得到一个几何体，它的三视图如图所示，则该几何体的体积与原三棱柱的体积之比是（）A. B. C. D.12.已知直线y=2x+m与椭圆C：=1相交于A，B两点，O为坐标原点．当△AOB的面积取得最大值时，|AB|=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，的夹角为60°，且满足•=24，||=6，则||=______．14.将函数f（x）=sin（4x-）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）的最小正周期是______．15.若函数f（x）=2x+1+log2a有零点，则a的取值范围为______．16.在空间直角坐标系O-xyz中，A（0，0，1），B（m2，0，0），C（0，1，0），D（1，2，1），若四面体OABC的外接球的表面积为6π，则异面直线OD与AB所成角的余弦值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，3sin A=2sin B，．（1）求cos2C;（2）若AC-BC=1，求△ABC的周长．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6，点E，F分别为CA1与AB的中点．（1）证明：EF∥平面BCC1B1．（2）求B1F与平面AEF所成角的正弦值．19.根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如下．将河流水位在[20，22），[22，24），[24，26），[26，28），[28，30），[30，32），[32，34]各段内的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位变化互不影响．（1）求未来4年中，至少有2年该河流水位x∈[26，30）的概率（结果用分数表示）．（2）已知该河流对沿河A工厂的影响如下：当X∈[20，26）时，不会造成影响；当X∈[26，30）时，损失50000元；当X∈[30，34]时，损失300000元．为减少损失，A工厂制定了三种应对方案．方案一：不采取措施；方案二：防御不超过30米的水位，需要工程费用8000元；方案三：防御34米的最高水位，需要工程费用20000元．试问哪种方案更好，请说明理由．20.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=6y与直线l：y=kx+3交于M，N两点．（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1和d2的乘积为定值；（2）y轴上是否存在点p，当k变化时，总有∠OPM=∠OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=e x（ln x+1）．（1）证明：函数f（x）在其定义域上是单调递增函数．（2）设m＞0，当x∈[1，+∞）时，不等式≤0恒成立，求m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l：y=kx（x≥0）与曲线C交于A，B两点．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求的最大值．23.已知函数f（x）=|x+2|+2|x-1|．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）+x-a＜0的解集为（m，n），且n-m=6，求a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：=．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：B解析：解：A={x|-2≤x≤2，且x≠0}；∴A∩B=（-1，0）∪（0，2]．故选：B．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．3.答案：D解析：【分析】本题主要考查抽样方法，熟记每种抽样方法的特征即可，属于基础题型．根据抽样方法的特征，即可得出结论．【解答】解：由于该地区东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，故按地区分层抽样．故选：D．4.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查计算能力,属于中档题．利用双曲线方程，通过双曲线的定义，转化求解即可．【解答】解：双曲线C：x2=1，可得a=1，b=2，c=3，则点M为双曲线C：x2=1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|+|F1F2|-|MF2|=-2a+2c=4．故选B．5.答案：A解析：解：x，x+10，x-5是等比数列{a n}的前三项，∴x（x-5）=（x+10）2，解得x=-4，x+10=6，∴公比q=-，因此a n=-4×．故选：A．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：D解析：【分析】本题考查三角函数值以及对数比较大小的问题，熟记三角函数与对数函数的性质即可，属于基础题．根据，，，用排除法即可得出结果．【解答】解：∵，，，∴排除A，B，C，＞log52，故选：D．7.答案：C解析：解：由变量x，y满足约束条件，作出可行区域如图，因为z=x+2y可化为，直线过点A时，截距最小，即z最小；由，解得A（2，3），所以z min=2+6=8．故选：C．本题主要考查简单的线性规划问题，属于基础题．由约束条件作出可行域，再由z=x+2y化为，平移该直线，可得z的最小值．8.答案：C解析：解：由二项式展开式通项得：T r+1=2x r，又0≤r≤5，r∈N，由∈Z，得r=2或r=5，即（+x）5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为2+=21，故选：C．由二项式定理及有理数的定义得：T r+1=2x r，又0≤r≤5，r∈N，由∈Z，得r=2或r=5，即（+x）5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为2+=21，得解．本题考查了二项式定理，属中档题．9.答案：A解析：【分析】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．设出切点坐标，欲求k的值，只需求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切线处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=1+3ln x，∴y′==，设切点为（m，1+3ln m），得切线的斜率为k==，即曲线在点（m，1+3ln m）处的切线方程为：y-（1+3ln m）=（x-m），即y=x+3ln m-2，∵直线y=kx-2与曲线y=1+3ln x相切，∴3ln m-2=-2，即m=1，即=k，则k=3．故选A．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查等差数列的通项公式、以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型．先设等差数列{an}的公差为d，根据题中条件求出公差，得到an=n+1再由裂项相消法即可求出结果．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1=2，a32=a1a7，可得（2+2d）2=2（2+6d），所以d=1，因此a n=n+1，所以=，所以数列{}的前2019项和为：==．11.答案：B解析：【分析】本题主要考查几何体的三视图以及几何体的体积，熟记公式即可，属于常考题型．先由三视图确定该几何体是四棱锥，结合题中熟记，求出体积，再求出原三棱柱的体积，即可得出结果．【解答】解：由侧视图、俯视图知该几何体是高为2且底面积为=5的四棱锥，其体积为．又三棱柱的体积为×2×2×4=8，故体积比为：．故选：B．12.答案：A解析：解：由，得21x2+20mx+5m2-5=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，==．又O到直线AB的距离，则△AOB的面积=≤=，当且仅当m2=21-m2，即时，△AOB的面积取得最大值．此时，．故选：A．先联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得到，，结合弦长公式表示出弦长|AB|，进而表示出三角形的面积，根据面积最大值，可求出m2，代入弦长的表达式，即可得出结果．本题主要考查椭圆中的弦长问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、以及弦长公式等求解，属于常考题型．解析：解：向量，的夹角为60°，且满足•=24，||=6，则6||cos60°=24，解得||=8．故答案为：8．直接利用向量的数量积，结合向量的夹角，转化求解即可．本题考查向量的数量积公式的应用，考查计算能力．14.答案：π解析：【分析】本题主要考查三角函数的图象变换问题以及函数的周期，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型．先由图象的变化得到g（x）的解析式，再由正弦函数的周期性即可求出函数的最小正周期．【解答】解：将函数f（x）=sin（4x-）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=sin（2x-）的图象，则g（x）的最小正周期是=π，故答案为π．15.答案：（0，）解析：【分析】本题考查了函数的零点与方程的解的相互转化及方程有解问题，属中档题．由函数的零点与方程的解的相互转化及方程有解问题得：函数f（x）=2x+1+log2a有零点，即-（1+log2a）=2x有解，又2x∈（0，+∞），所以-（1+log2a）＞0，log2a＜-1，即0＜a，得解．【解答】解：由函数f（x）=2x+1+log2a有零点，即-（1+log2a）=2x有解，又2x∈（0，+∞），所以-（1+log2a）＞0，log2a＜-1，即0＜a，故答案为（0，）．16.答案：解析：【分析】本题主要考查几何体中外接球的计算、以及异面直线所成角的计算，熟记公式即可，属于基础题．先由题意得到四面体OABC的外接球即是四面体所在长方体的外接球，再由外接球的表面积求出m2，从而可得到向量坐标，根据cos＜＞=，即可求出结果．解：由题意易知OA，OB，OC两两垂直，∴四面体OABC的外接球即是四面体所在长方体的外接球，且外接球直接等于体对角线的长，因此，解得m2=2，从而，则cos＜＞=．∴异面直线OD与AB所成角的余弦值为．故答案为：．17.答案：解：（1）∵，∴cos2C==，∴cos2C=2cos2C-1=2×-1=-．（2）∵3sin A=2sin B，∴由正弦定理可得：3a=2b，又∵AC-BC=1，即：b-a=1，∴解得：a=2，b=3，∵由（1）可得：cos C=，∴由余弦定理可得：c===，∴△ABC的周长a+b+c=5+．解析：（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2C=的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．（2）由正弦定理可得：3a=2b，结合b-a=1，即可解得a，b的值，由（1）可得cos C=，利用余弦定理可求c的值，即可得解△ABC的周长．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：（1）证明：∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，∴可以以A1为顶点建立空间坐标系如图，∵AC=AB=4，AA1=6，点E，F分别为CA1与AB的中点，取B1C1中点D，∴A1（0，0，0），D（2，2，0），E（2，0，3），F（0，2，6），在Rt△A1B1C1中，A1D⊥B1C1，∴A1D⊥平面BCC1B1，∴为平面BCC1D1的一个法向量，而，，∴=-4+4=0，∴，又EF⊄平面BCC1B1，∴EF∥平面BCC1B1；（2）易知A（0，0，6），B1（0，4，0）∴，，设是平面AEF的一个法向量，则，，取x=1，则y=0，z=，即，设B1F与平面AEF所成角为θ，则sinθ=|cos|=||==，故B1F与平面AEF所成角的正弦值为．解析：（1）建立空间坐标系，利用与平面BCC1B1的法向量垂直可证；（2）找到和平面AEF的法向量，代入公式计算即可．此题考查了线面平行，斜线与平面所成角等，难度适中．19.答案：解：（1）由频率分布直方图可知河流水位X∈[26，30）的概率为P（A）=（0.075+0.025）×2=，记“在未来4年中，至少有2年河流水位X∈[26，30）”为事件A，则P（A）=1-=1-[+]=，（2）记A工厂的工程费与损失费之和为Y，（单位：元）①若采用方案一，则Y的分布列为：Y050000300000P0.780.20.02YY8000300000P0.980.02E（Y）=8000+300000×0.02=14000．③若采用方案三：E（Y）=20000（元）．因为14000＜16000＜20000，所以A工厂应采用方案二．解析：本题主要考查频率分布直方图、以及离散型随机变量的期望与分布列，熟记概念和公式即可，属于常考题型，为中档题．（1）根据频率分布直方图，先得到河流水位X∈[26，30）的概率，再记“在未来4年中，至少有2年河流水位X∈[26，30）为事件A，即可由P（A）=1-求出结果；（2）记A工厂的工程费与损失费之和为Y，根据题意分别求出三种方案中Y的期望，比较大小，取期望最小的即可．20.答案：解（1）证明：将y=kx+3代入x2=6y，得x2-6kx-18=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2=-18，从而d1d2=|x1|•|x2|=|x1x2|=18为定值．（2）解：存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，．从而k1+k2=+==．当b=-3时，有k1+k2=0对任意k恒成立，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN，所以点P（0，-3）符合题意．解析：（1）先将y=kx+3代入x2=6y，设M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，即可证明结论成立；（2）先设设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，由∠OPM=∠OPN，得当k变化时，k1+k2=0恒成立，进而可求出结果本题主要考查直线与抛物线的位置关系、以及抛物线中的定点问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理等求解，属于中档题．21.答案：证明：（1）因为x∈（0，+∞），f（x）=e x（ln x+1），所以f′（x）=e x（ln x++1），（x＞0），令g（x）=ln x++1，（x＞0），则=，（x＞0）．当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，则g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．故g（x）min=g（1）=2＞0，从而f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上单调递增．解：（2）当x∈[1，+∞）时，不等式-≤0恒成立等价于当x∈[1，+∞）时，不等式-≤0恒成立，即当x∈[1，+∞）时，-恒成立．记h（x）=，φ（x）=-，则，φ′（x）=．因为当x≥1时，，所以h′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即h（x）在[1，+∞）上单调递减．因为当x≥1时，1-x≤0，所以φ′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即φ（x）在[1，+∞）上单调递减．记P（x）=mh（x）+φ（x），因为m＞0，所以P（x）在[1，+∞）上单调递减，所以P（x）max=P（1）=．因为-≤0在[1，+∞）上恒成立，所以-e≤0，即m≤e2．又m＞0，故m的取值范围为（0，e2]．解析：（1）先对函数求导，得到f′（x）=e x（ln x++1），（x＞0），令g（x）=ln x++1，（x＞0），再由导数方法研究g（x）单调性，求出最小值即可；（2）先将当x∈[1，+∞）时，不等式-≤0恒成立，化为-≤0恒成立，令h （x）=，φ（x）=-，用导数方法研究其单调性，再记P（x）=mh（x）+φ（x），得到P（x）单调性，进而可得出结果．本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，通过研究函数的单调性、最值等求解，属于常考题型，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．22.答案：解：（1）由（θ为参数），得（x-3）2+y2=4，即x2+y2-6x+5=0．故C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+5=0．（2）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），直线l：y=kx（k≥0）的极坐标方程为θ=α（ρ∈R），代入ρ2-6ρcosθ+5=0，得ρ2-6ρcosα+5=0，所以ρ1+ρ2=6cosα，ρ1ρ2=5．因为k≥0，所以cosα＞0，则ρ1＞0，ρ2＞0，则+=+==．当cosα=1时，+取得最大值，且最大值为．解析：本题主要考查参数方程与普通方程的互化、以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，熟记公式即可，属中档题．（1）先由参数方程得到普通方程，再由普通方程即可得到极坐标方程；（2）先设A（ρ1，α），B（ρ2，α），以及直线l的极坐标方程为θ=α（ρ∈R），代入（1）中的结果，得到ρ2-6ρcosα+5=0，由韦达定理，以及+=+，即可求出结果.23.答案：解：（1）f（x）=|x+2|+2|x-1|=，则f（x）在（-∞，1]上单调递减，在（1，∞）上单调递增，所以f（x）min=f（1）=3．（2）因为g（x）=f（x）+x-a=，令-2x-a＜0，则x；令4x-a＜0，则x＜,所以不等式f（x）+x-a＜0的解集为（-，），又不等式f（x）+x-a＜0的解集为（m，n），且n-m=6，所以-（-）=6，故a=8．解析：本题主要考查含绝对值不等式，熟记不等式的解法即可，属中档题.（1）先将函数f（x）写出分段函数的形式，再根据每一段的单调性，确定函数f（x）的单调性，即可得出结果；（2）先将函数g（x）写出分段函数的形式，根据函数g（x）单调性，分别由-2x-a＜0和4x-a＜0，求出不等式f（x）+x-a＜0的解集，在由题中条件即可得出结果．。
2020届天一大联考海南省高三第三次模拟考试数学试题(解析版)
【解析】设第 天织布的尺数为 ，根据等比数列的定义判断 为等比数列，再由求和公式求解即可.
【详解】
设第 天织布的尺数为 ，则 是公比为2的等比数列，所以 ，解得 ，所以 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查了等比数列的概念以及性质，属于中档题.
6．函数 的图象的大致形状是（）
A． B．
C． D．
【解析】连接 ，利用线面平行的判定定理判断A；设 的中点为 ，连接 ， ，利用线面垂直的判定定理以及性质判断B；根据面面垂直的性质得出 为直角三角形，求出 的长度，利用余弦定理得出 与 所成角的余弦值，证明 不是直角，从而得出 不是等腰三角形，从而判断CD.
【详解】
如图，连接 ，易知 ，由线面平行的判定定理得 面 ， 正确.
【点睛】
本题考查回归分析的应用，属于中档题.
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线上，且 垂直于 轴.若直线 的方程为 ， 的面积为6，则 （）
A． B．1C． D．
【答案】B
【解析】根据直线 的斜率以及勾股定理得出 ， ，由双曲线的定义得出 ，再由三角形面积公式得出 ，即可得出 的值.
4．已知函数， ，则“ ”是“ 单调递增”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由分段函数的单调性结合充分条件，必要条件的定义，即可得出答案.
【详解】
若 单调递增，则 且 ，解得
因为“ ”与“ ”没有包含的关系，所以充分性和必要性都不成立.
【解析】由复数的运算化简 ，再由模长公式即可得出答案.
【详解】
由 ，得 ，所以 .
故选：B
海南省海口市2020届高三高考模拟演练数学试题(解析版)
海南省海口市2020届高三高考模拟演练数学试题一、选择题1．设集合{|10}A x x =+>，{|210}B x x =+>，则()RAB =（ ）A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．[)1,-+∞C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意，集合(){|10}{|1}1,A x x x x =-=+>=>-+∞，集合1{|210}{|}21(,)2B x x x x =+=->>-+=∞，所以1,2B ∞-⎛⎤=- ⎥⎝⎦R ，所以()11,2AB ⎛⎤=--⎥⎝⎦R ．故选：D. 2．已知复数()()311z i i=+-，则其共轭复数z =（ ）A ．2iB ．2i -C ．2i +D ．2i -【答案】B【解析】因为()()()()311112z i ii i i =+-=++=，所以2z i =-．故选：B3．已知向量()1,2a =-，(),21b m m =--，8a b ⋅=，则m =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意，向量()1,2a =-，(),21b m m =--，可得()22152a b m m m ⋅=-+--=--， 由8a b ⋅=，可得528m --=，解得2m =-．故选：A .4．《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有25674.0210⨯种方法，设这个数为N ，则lg N 的整数部分为（ ） A ．2566 B ．2567C ．2568D ．2569【答案】B【解析】由题可知，()2567lg lg 4.02102567lg 4.02N =⨯=+．因为1 4.0210<<，所以0lg 4.021<<，所以lg N 的整数部分为2567．故选：B.5．一个底面边长为3的正三棱锥的体积与表面积为24的正方体的体积相等，则该正三棱锥的高为（ ）A ．B ．3C D ．12【答案】C【解析】因为正方体的表面积为24，所以棱长为2，其体积为328=，因为正三棱锥的体积与正方体的体积相等，设正三棱锥的高为h ，所以1133832⨯⨯⨯=，解得h =．故选：C 6．已知直线:210l x y a -+-=与圆()()22129x y -++=相交所得弦长为4，则a =（ ）A ．-9B ．1C ．1或-2D ．1或-9【答案】D【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为()1,2-，因为直线:210l x y a -+-=与圆()()22129x y -++=相交所得弦长为4，所以22492⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2890a a +-=， 解得1a =或9a =-．故选：D.7．设:p “函数()225f x x mx m =-+在(],2-∞-上单调递减”，:q “0x ∀>，33823x m x+≥-”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为函数()225f x x mx m =-+在(],2-∞-上单调递减，所以24m-≥--，即8m ≥-．因为0x ∀>时，33828x x +≥=，所以“0x ∀>，33823x m x +≥-”等价于38m -≤，即5m ≥-，因为集合[)[)5,8,-+∞-+∞，所以p 是q 的必要不充分条件．故选：B .8．若对任意x ∈R ，都有()()5πcos 2sin ,π6x x ωϕωϕ⎛⎫-=+∈< ⎪⎝⎭R ，则满足条件的有序实数对(),ωϕ的对数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】5ππππcos 2cos 2sin 26323x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由条件知2ω=±．若2ω=，由()π2π3k k ϕ=-+∈Z 且πϕ<，得π3ϕ=-；若2ω=-，()()sin 2sin 2πx x ϕϕ-+=+-，则()ππ2π3k k ϕ-=-+∈Z ，所以()4π2π3k k ϕ=-+∈Z ，又πϕ<，则2π3ϕ=-．故选：C . 二、多选题9．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ）A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<【答案】ABD【解析】由题意32242q q q =+，得220q q --=，解得2q（负值舍去），选项A 正确；1222n nn a -=⨯=，选项B 正确；()12212221n n nS +⨯-==--，所以102046S =，选项C 错误；13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．故选：ABD10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率2e =，C 上的点到其焦点的最短距离为1，则（ ）A ．C 的焦点坐标为()0,2±B ．C的渐近线方程为y = C ．点()2,3在C 上D ．直线()0mx y m m --=∈R 与C 恒有两个交点 【答案】BC【解析】由双曲线2222:1x y C a b-=的离心率2e =，C 上的点到其焦点的最短距离为1，可得12c a c e a -=⎧⎪⎨==⎪⎩，解得12a c =⎧⎨=⎩，所以23b =，所以双曲线C 的方程为2213y x -=，所以C 的焦点为()2,0±，A 错误；双曲线C的渐近线方程为b y x a =±=，所以B 正确；因为223213-=，所以点()2,3在C 上，选项C 正确；直线0mx y m --=，即()1y m x =-，恒过点()1,0，当m =C 的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点．故选：BC.11．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：则下列说法正确的是（ ）A ．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B ．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C ．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D ．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04 【答案】BD【解析】对于选项A ，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A 错误；对于选项B ，线路一所需的平均时间为300.5400.2500.2690.139⨯+⨯+⨯+⨯=分钟， 线路二所需的平均时间为300.3400.5500.1600.140⨯+⨯+⨯+⨯=分钟， 所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B 正确；对于选项C ，线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以选项C 错误；对于选项D ，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为()50,60，()60,50和()60,60三种情况，概率为0.20.10.10.10.10.10.04⨯+⨯+⨯=，所以选项D 正确．故选：BD.12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1223AA AC AB ===，AB AC ⊥，点D ，E 分别是线段BC ，1B C 上的动点（不含端点），且1EC DCB C BC=．则下列说法正确的是（ ）A ．//ED 平面1ACCB ．该三棱柱的外接球的表面积为68πC ．异面直线1B C 与1AA 所成角的正切值为32D ．二面角A EC D --的余弦值为413【答案】AD【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是矩形，因为1EC DCB C BC=，所以11////ED BB AA ，ED 不在平面1ACC 内，1AA ⊂平面1ACC ， 所以//ED 平面1ACC ，A 项正确； 因为1223AA AC AB ===，所以3AB =， 因为AB AC ⊥，所以222313BC =+113417BC =+= 易知1B C 是三棱柱外接球的直径，所以三棱柱外接球的表面积为2174π=⎝⎭2π1717π⨯=，所以B 项错误；因为11//AA BB ，所以异面直线1B C 与1AA 所成角为1BB C ∠． 在1Rt B BC 中，12BB =，13BC =， 所以1113tan 2BC BB C BB ∠==，所以C 项错误； 二面角A EC D --即二面角1A B C B --，以A 为坐标原点，以AB →，AC →，1AA →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图则1(0,0,0),(3,0,0),(0,2,0),(3,0,2)A B C B ，1(3,0,2)AB →∴=,(3,2,0)BC →=-,1(3,2,2)B C →=--,设平面1AB C 的法向量n (x,y,z)→=，则1100n AB n B C ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，即3203220x z x y z +=⎧⎨-+-=⎩，令2x =可得()2,0,3n →=-，设平面1BB C 的一个法向量为(,,)m x y z →=，则100m BC m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3203220x y x y z -+=⎧⎨-+-=⎩，令2x =可得(2,3,0)m →=故二面角A EC D --的余弦值为4131313=⨯，所以D 项正确．故选：AD三、填空题13．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行，本届冬奥会比赛共设15个项目，其中包含5个冰上项目和10个雪上项目．李华计划从中选1个冰上项目和2个雪上项目去现场观看，则共有_____种不同的选法． 【答案】225【解析】先从5个冰上项目选1个项目有15C 种不同选法，再从10个雪上项目选2个项目有210C 种不同选法，根据分步乘法计数原理，则共有12510545225C C ⋅=⨯=种不同的选法.14．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边上有一点()1,2P ，则2sin 13sin cos ααα=-____．【答案】-4【解析】因为角α的终边上有一点()1,2P ，所以tan 2α=．所以2222sin sin 13sin cos sin cos 3sin cos αααααααα=-+-2222tan 24tan 13tan 2132ααα===-+-+-⨯． 15．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点P 在抛物线上，点9,02Q p ⎛⎫⎪⎝⎭．若2QF PF =，且PQF △的面积为p =______．【答案】2【解析】由条件知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以4QF p =，所以122PF QF p ==，由抛物线的准线为2p x =-，及抛物线的定义可知，P 点的横坐标为3222p p p -=，不妨设点P 在x 轴上方，则P ，所以142PQFSp =⨯=，解得2p =． 16．已知函数()33f x ax x b =-+的图象关于点()0,1对称，则b =______，若对于[]0,1x ∈总有()0f x ≥成立，则a 的取值范围是________． 【答案】1 [)4,+∞【解析】由条件知()y f x =的图象可由奇函数33y ax x =-的图象上下平移得到，所以()y f x =的图象关于点()0,b 对称，所以1b =．所以()331f x ax x =-+．当0x =时，()10f x =≥恒成立．当01x <≤时，()3310f x ax x =-+≥等价于2331a x x ≥-．设()2331(01)g x x x x=-<≤，则max ()a g x ≥，因为()()4312x g x x -'=，所以当102x <<时，()0g x '>，当112x <≤时，()0g x '<，所以()g x 在1(0,)2上单调递增，在1(,1]2上单调递减，所以12x =时，()g x 取得最大值1()42g =，所以4a ≥．四、解答题17．在①cos B =3c =，②1cos 3A =，()sin 3sin A B B +=，③ab =1cos 3A =三组条件中任选一组补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ，_____，求b ．【解析】若选①：cos B =，3c =．因为cos 3B =，0πB <<，所以1sin 3B =．由111sin 3223ABCSac B a ==⨯⨯⨯=，解得a =．由余弦定理得2222cos 892313b ac ac B =+-=+-⨯⨯=，所以1b =． 若选②：1cos 3A =，()sin 3sin AB B +=．因为1cos 3A =，0πA <<，所以sin A =． 因为πA B C ++=，所以()sin sin A B C +=． 所以sin 3sin C B =，由正弦定理可得3c b =．所以11sin 322ABCSbc A b b ==⨯⨯=1b =．若选③：ab =1cos 3A =．因为11sin sin 22ABCSab C C ==⨯=sin 1C =． 又因为0πC <<，所以π2C =．因为1cos 3A =，0πA <<，所以sin A =，且π1sin sin cos 23B A A ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．根据正弦定理sin sin a bA B=，可得a =．所以2ab ==，解得1b =．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足412S a =，25216a a -=-．（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）若()()1162020n n n b a a+=++，求数列{}n b 的前n项和n T ．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由题意得()1111462,2416.a d a a d a d +=⎧⎨+-+=-⎩解得1124a d =-⎧⎨=⎩，所以416n a n =-．（Ⅱ）由题意得()()()()1161620204162041220n n n b a a n n +==++-+-+()()1111212n n n n ==-++++， 111111112334122224n n T n n n n =-+-++-=-=++++． 19．如图，三棱锥D ABC -中，AB AC ⊥，ABD △是正三角形，且平面ABD ⊥平面ABC ，4AB AC ==，E ，G 分别为AB ，BC 的中点．（Ⅰ）证明：EG ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若F 是线段DE 的中点，求AC 与平面FGC 所成角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）因为E ，G 分别为AB ，BC 的中点，所以//EG AC ． 因为AB AC ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ， 平面ABD ⋂平面ABC AB =， 所以AC ⊥平面ABD ， 所以EG ⊥平面ABD ；（Ⅱ）因为ABD △是正三角形，所以DE AB ⊥．又由（Ⅰ）知EG ⊥平面ABD ，即EG ，AB ，DE 两两垂直， 则以E 为坐标原点，分别以EB ，EG ，ED 的方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -．因为4AB AC ==，ABD △是正三角形， 所以()0,0,0E ，()2,0,0A -，()2,0,0B ，()0,2,0G ，(3D ，()2,4,0C -．因为F 是DE 的中点，所以(3F ．()0,4,0AC =，(0,2,3FG =-，()2,2,0GC =-．设平面FGC 的一个法向量为(),,m x y z =，所以()(()(),,0,2,3230,,,2,2,0220.m FG x y z y z m GC x y z x y ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩令1x =，则1y =，23z =，所以23m ⎛= ⎝⎭． 设AC 与平面FGC 所成的角为θ，则30sin cos 1044113m AC m AC m ACθ⋅=⋅===⨯++．20．某病毒研究所为了研究温度对某种病毒的影响，在温度t （℃）逐渐升高时，连续测20次病毒的活性指标值y ，实验数据处理后得到下面的散点图，将第1～14组数据定为A 组，第15～20组数据定为B 组．（Ⅰ）某研究员准备直接根据全部20组数据用线性回归模型拟合y 与t 的关系，你认为是否合理？请从统计学的角度简要说明理由．（Ⅱ）若根据A 组数据得到回归模型 2.10.8y t =+，根据B 组数据得到回归模型90.6 1.3y t =-，以活性指标值大于5为标准，估计这种病毒适宜生存的温度范围（结果精确到0.1）．（Ⅲ）根据实验数据计算可得：A 组中活性指标值的平均数14111814i i y y ===∑，方差1421114A i s ==∑()1422211148514i i A A i y y y y =⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭∑；B 组中活性指标值的平均数20151236i B i y y ===∑，方差()2020222215151164566B i i B B i i s y y y y ==⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∑∑．请根据以上数据计算全部20组活性指标值的平均数y 和方差2s ．【解析】（Ⅰ）不合理．从散点图上看：①A 组数据呈正相关，B 组数据呈负相关，两部分数据的变化趋势明显不同，不适合用同一个线性模型来拟合．②20个样本点的分布比较分散，没有明显的沿直线分布的趋势，故不适合用线性回归模型来拟合．（Ⅱ）令2.10.85t +=，得 3.6t ≈；令90.6 1.35t -=，得65.8t ≈．由散点图可知，这种病毒的活性指标值先随温度升高而升高，到达一定温度后，开始随温度升高而降低，所以这种病毒适宜生存的温度范围是()3.6,65.8．（Ⅲ）全部20组活性指标值的平均数为()20111141862319.52020i i y y ===⨯⨯+⨯=∑． 因为14221851414185726i i y==⨯+⨯=∑，2022154566233444i i y ==⨯+⨯=∑，所以全部20组活性指标值的方差为()202222111205726344419.578.252020i i s y y =⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭∑． 21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，O为坐标原点，OA C的离心率为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知不经过点A 的直线():0,l y kx m k m =+≠∈R 交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的中点为B ，若2MN AB =，求证：直线l 过定点．【解析】（Ⅰ）由已知OA=a =设椭圆C 的半焦距为c，因为c e a ==，所以c =2321b =-=， 所以椭圆C 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）由题意知()A ， 联立2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222316330k x kmx m +++-=， 由题意知()()()222226431331236120km k m k m ∆=-+-=+->．（*） 设()11,M x y ，()22,N x y ，则122631km x x k -+=+，21223331m x x k -=+， 因为2MN AB =，B 为线段MN 的中点，所以AM AN ⊥，所以(12120AM AN x x y y ⋅=++=， 又11y kx m =+，22y kx m =+，()22121212y y k x x m km x x =+++，所以()(()221212130k x x km x x m +++++=， 所以()()(222226331303131km km m k m k k -+-++=++，整理得22320k m -+=，得k =或k =，当k =时，l 的方程为(y x =，过定点()A ，不符合题意；当3k m =时，l 的方程为32y m x ⎛=+ ⎝⎭，过定点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，经检验，符合（*）式，综上所述，直线l 过定点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．22．已知函数()()1e x k x f x -=，其中0k ≠．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，讨论关于x 的方程()ln x f x =在区间()0,2上实根的个数．【解析】（Ⅰ）由条件，得()()()2e e 12e e x x x xk k x k x f x ---'== 令()0f x '=，得2x =．当0k >时，由()0f x '>，得2x <，由()0f x '<，得2x >．所以()f x 的单调增区间是(),2-∞，单调减区间是()2,+∞．当k 0<时，由()0f x '>，得2x >，由()0f x '<，得2x <．所以()f x 的单调增区间是()2,+∞，单调减区间是(),2-∞． （Ⅱ）因为()ln110f ==，所以1x =是方程()ln x f x =的实根．当01x <<时，由（Ⅰ）知()f x 单调递增，所以()()10f x f <=．而ln ln 0x x =->， 所以方程()ln x f x =在区间()0,1上无实根．当12x <<时，ln ln x x =．设()()1ln e xk x F x x -=-，则()2e 2e 1e2x x x kx k k kx F x x x x -'=-=+-． 设()2e 2x k u x x kx +=-， 当12x <<时，()e 222(2)0x xu x kx ke e k x '=+-=+->，所以()u x 在()1,2上单调递增． ①当()1e 0u k =-≥，即e k ≤时，在区间()1,2上，总有()()10u x u >≥，从而()0F x '>，所以()F x 在()1,2上单调递增，()()10F x F >=，即原方程在()1,2上无实根．②当()1e 0u k =-<，即e k >时，因为()22e 0u =>，所以存在()01,2x ∈，满足()00u x =． 所以在()01,x 上，()0u x <，()F x 单调递减，在()02x ,上，()0u x >，()F x 单调递增． 又因为()10F =，()22ln 2e k F =-， 所以当()20F >，即2e e ln 2k <<时，原方程在()1,2上有唯一实根，当()20F ≤，即2e ln 2k ≥时，原方程在()1,2上无实根；综上所述，当0k e <≤或2e ln 2k ≥时，原方程在()0,2上仅有一个实根；当2e e ln 2k <<时，原方程在()0,2上有两个实根．。
海南省海口市2020届高三数学调研测试题 理(含解析)
海南省海口市2020届高三数学调研测试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算法则，直接计算即可得出结果.【详解】.故选D【点睛】本题主要考查复数的除法，熟记运算法则即可，属于基础题型.2.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式得到集合，进而可求出交集.【详解】，又，.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.3.某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人.计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A. 简单随机抽样B. 按性别分层抽样C. 系统抽样D. 按地区分层抽样【答案】D【解析】【分析】根据抽样方法的特征，即可得出结论.【详解】由于该地区东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，故按地区分层抽样.【点睛】本题主要考查抽样方法，熟记每种抽样方法的特征即可，属于基础题型.4.已知点为双曲线：的左支上一点，，分别为的左、右焦点，则（）A. 1B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】由双曲线的方程写求出，结合双曲线的定义即可求解.【详解】由，，得，则.故选B【点睛】本题考查双曲线的定义与基本性质，考查运算求解能力与双曲线定义的应用，属于基础题型.5.设，，是等比数列的前三项，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由，，是等比数列的前三项，求出，进而可求出公比，即可求出结果. 【详解】因为，，是等比数列的前三项，所以，解得，，所以公比，因此.故选A【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的性质以及通项公式即可，属于基础题型.6.下列不等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，，，用排除法即可得出结果.【详解】，，，排除A，B，C，，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数值以及对数比较大小的问题，熟记三角函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.7.已知变量，满足约束条件，则的最小值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再由化为，表示直线在轴截距，结合图像即可求出结果.【详解】由约束条件作出可行区域如图，因为可化为，因此最小时，最小，而表示直线在轴截距，结合图像可知，直线过点时，截距最小，即最小；由解得，所以.故选C【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，通常需要作出可行域，结合目标函数的几何意义求解，属于基础题型.8.的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（）A. 1B. 20C. 21D. 31【答案】C【解析】【分析】先写出展开式的通项为:，根据系数为有理数，可得为整数，再由的范围，即可得出结果.【详解】因为展开式的通项为:，因此，要使系数为有理数，只需为整数，又因为且，所以，因此系数为有理数的项为，，故所求系数之和为.故选C【点睛】本题主要考查二项式中系数为有理数的问题，熟记二项式定理即可，属于常考题型.9.若直线与曲线相切，则（）A. 3B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】设切点为，对求导，得到，从而得到切线的斜率，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果.【详解】设切点为，∵，∴由①得，代入②得，则，，故选A.【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.10.等差数列的首项为2，公差不等于0，且，则数列的前2020项和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先设等差数列的公差为，根据题中条件求出公差，得到，再由裂项相消法即可求出结果.【详解】设等差数列的公差为，由，，可得，所以，因此，所以，所以.故选B【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型.11.某高为4的三棱柱被一个平面截去一部分后得到一个几何体，它的三视图如图所示，则该几何体的体积与原三棱柱的体积之比是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先由三视图确定该几何体是四棱锥，结合题中熟记，求出体积，再求出原三棱柱的体积，即可得出结果.【详解】由侧视图、俯视图知该几何体是高为2且底面积为的四棱锥，其体积为.又三棱柱的体积为，故体积比为.故选B【点睛】本题主要考查几何体的三视图以及几何体的体积，熟记公式即可，属于常考题型.12.已知直线与椭圆：相交于，两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先联立直线与椭圆方程，设，，由韦达定理得到与，结合弦长公式表示出弦长，进而表示出三角形的面积，根据面积最大值，可求出，代入弦长的表达式，即可得出结果.【详解】由，得.设，，则，，.又到直线的距离，则的面积，当且仅当，即时，的面积取得最大值.此时，.故选A【点睛】本题主要考查椭圆中的弦长问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、以及弦长公式等求解，属于常考题型.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知向量，的夹角为，且，，则__________．【答案】8【解析】【分析】根据向量数量积的概念，列出式子即可求出结果.【详解】因为向量，的夹角为，且，，所以即，解得.故答案为【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，熟记概念即可，属于基础题型.14.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的最小正周期是__________．【答案】【解析】【分析】先由图像的变化得到解析式，再由，即可求出函数的最小正周期.【详解】依题意可得，所以的最小正周期是.故答案为【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换问题以及函数的周期，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.15.若函数有零点，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】根据得到，再根据函数单调性，即可求出结果.【详解】因为，所以，又由指数函数的单调性可知，单调递增，因此，函数有零点，只需，解得.故答案为【点睛】本题主要考查函数的零点，熟记指数函数的单调性以及函数零点的概念即可，属于常考题型.16.在空间直角坐标系中，，，，，若四面体的外接球的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】先由题意得到四面体的外接球即是四面体所在长方体的外接球，再由外接球的表面积求出，从而可得到向量坐标，根据，即可求出结果.【详解】由题意易知，，两两垂直，所以四面体的外接球即是四面体所在长方体的外接球，且外接球直径等于体对角线的长，因此，解得，从而，则.故答案为【点睛】本题主要考查几何体中外接球的计算、以及异面直线所成角的计算，熟记公式即可，属于常考题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.在△ABC中，3sinA=2sinB，．（1）求cos2C；（2）若AC-BC=1，求△ABC的周长．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求，由二倍角公式即可求（2）由题得，解得a,b值，再由余弦定理求c边即可求解.【详解】（1）∵，∴，∴.（2）设的内角的对边分别为.∵，∴，∵，∴，.由余弦定理可得，则，的周长为.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，熟记三角的基本关系式，准确运用余弦定理计算c边是关键，是基础题.18.如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点.（1）证明：平面.（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先连接，，根据线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）先以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线的的方向向量与平面的法向量，由向量夹角公式求出向量夹角余弦值，即可得出结果.【详解】（1）证明：如图，连接，.在三棱柱中，为的中点.又因为为的中点，所以.又平面，平面，所以平面.（2）解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，则，令，得.记与平面所成角为，则.【点睛】本题主要考查线面平行的判定、以及线面角的向量求法，熟记线面平行的判定定理以及空间向量的方法即可，属于常考题型.19.根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位（单位：米）的频率分布直方图如下.将河流水位在，，，，，，各段内的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位变化互不影响.（1）求未来4年中，至少有2年该河流水位的概率（结果用分数表示）.（2）已知该河流对沿河工厂的影响如下：当时，不会造成影响；当时，损失50000元；当时，损失300000元.为减少损失，工厂制定了三种应对方案. 方案一：不采取措施；方案二：防御不超过30米的水位，需要工程费用8000元；方案三：防御34米的最高水位，需要工程费用20000元.试问哪种方案更好，请说明理由.【答案】（1）（2）工厂应采用方案二.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，先得到河流水位的概率，再记“在未来4年中，至少有2年河流水位”为事件，即可由求出结果；（2）记工厂的工程费与损失费之和为，根据题意分别求出三种方案中的期望，比较大小，取期望最小的即可.【详解】解：（1）由频率分布直方图可知河流水位的概率为. 记“在未来4年中，至少有2年河流水位”为事件，则.（2）记工厂的工程费与损失费之和为（单位：元）.①若采用方案一，则的分布列为0 50000 3000000.78 0.2 0.02（元）.②若采用方案二，则的分布列为8000 3080000.98 0.02（元）.③若采用方案三：（元）.因为，所以工厂应采用方案二.【点睛】本题主要考查频率分布直方图、以及离散型随机变量的期望与分布列，熟记概念和公式即可，属于常考题型.20.在直角坐标系中，抛物线：与直线：交于，两点.（1）设，到轴的距离分别为，，证明：与的乘积为定值.（2）轴上是否存在点，当变化时，总有？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在,【解析】【分析】（1）先将代入，设，，结合韦达定理，即可证明结论成立；（2）先设设为符合题意的点，直线，的斜率分别为，，由，得当变化时，恒成立，进而可求出结果.【详解】（1）证明：将代入，得.设，，则，从而为定值.（2）解：存在符合题意的点，证明如下：设为符合题意的点，直线，的斜率分别为，.从而.当时，有对任意恒成立，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，故，所以点符合题意.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、以及抛物线中的定点问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理等求解，属于常考题型.21.已知函数.（1）证明：函数在其定义域上是单调递增函数.（2）设，当时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先对函数求导，得到，令，再由导数方法研究单调性，求出最小值即可；（2）先将当时，不等式恒成立，化为恒成立，令，，用导数方法研究其单调性，再记，得到单调性，进而可得出结果.【详解】（1）证明：因为，，所以. 令，则.当时，；当时，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增.故，从而在上恒成立，即在上单调递增.（2）解：当时，不等式恒成立等价于当时，不等式恒成立，即当时，恒成立.记，，则，.因为当时，，所以在恒成立，即在上单调递减.因为当时，，所以在恒成立，即在上单调递减.记，因为，所以在上单调递减，所以.因为在上恒成立，所以，即.又，故的取值范围为.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，通过研究函数的单调性、最值等求解，属于常考题型.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线：与曲线交于，两点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由参数方程得到普通方程，再由普通方程即可得到极坐标方程；（2）先设，.，以及直线的极坐标方程为，代入（1）中的结果，得到，由韦达定理，以及，即可求出结果.【详解】解：（1）由（为参数），得，即. 故的极坐标方程为.（2）设，，直线的极坐标方程为，代入，得，所以，.因为，所以，则，，则.当时，取得最大值，且最大值为.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.23.已知函数.（1）求的最小值；（2）若不等式的解集为，且，求的值.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）先将函数写出分段函数的形式，再根据每一段的单调性，确定函数的单调性，即可得出结果；（2）先将函数写出分段函数的形式，根据函数单调性，分别由和，求出不等式的解集，在由题中条件即可得出结果.【详解】解：（1）,则在上单调递减，在上单调递增,所以.（2）因为，令，则；令，则.所以不等式的解集为，又不等式的解集为，且，所以，故.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，熟记不等式的解法即可，属于常考题型.。
2020届海南省海口市高三6月测试模拟(二模)数学试题参考答案
2020年海口市高考调研考试数学参考答案一、单项选择题：1、C 2、C 3、B 4、A 5、B 6、A 7、D 8、B二、多项选择题：9、BC 10、AB 11、ABC 12、CD三、填空题：13、乙 14、17-15、 4 、 1 16、136四、解答题17.解析：在△ABC 中，已知(2)cos cos b c A a C -=， 由正弦定理得：(2sin sin )cos sin cos B C A A C -⋅=⋅ …………1分即2sin cos sin cos sin cos B A C A A C ⋅-⋅=⋅ ,得2sin cos sin cos sin cos sin()B A A C C A A C ⋅=⋅+⋅=+…………2分又因为sin()sin A B C A C B π++=+=，，所以，2sin cos sin B A B ⋅= …………3分 (0),sin 0,B B π∈≠又， 得12cos 1cos .2A A ==，(0),A π∈， 所以，.3A π=…………5分 若选条件①②，由余弦定理得：2222212cos 4222472a b c bc A c c c c =+-=+-⨯⨯⨯=-+= …………7分 223031()c c c c --===-得，或舍去 …………8分所以，11sin 232222ABC S bc A ∆=⋅=⨯⨯⨯=…………10分若选条件①③，由13cos (0)sin 14B B B π=∈==，，，得…………6分又由正弦定理sin sin7a bbA B===解得…………7分因为,A B Cπ++=所以，131sin sin()sin cos+cos sin2142147C A B A B A B=+==+⨯=…………8分sinsin2a CcA⋅===从而，…………9分11sin22777ABCS ab C∆=⋅==…………10分若选条件②③，由13cos(0)sin14B B Bπ=∈==，，，得…………6分又由正弦定理14.sin sin3a baA B===解得…………7分因为,A B Cπ++=所以，131sin sin()sin cos+cos sin2142147C A B A B A B=+==+⨯=…………8分14sin16.sin32a CcA⨯⋅===又…………9分1114sin222373ABCS ab C∆=⋅=⨯⨯⨯=…………10分18.解析：（1）由已知得…………1分所以，数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列；………… 2分则=1+…………4分（2）由（1）知…………5分…………9分所以，…………12分19.解析：（1）法一如图，在平面SBC 内，过点E 作//EM CB 交SB 于点M ，则有3SM MB =,连OM ，取SB 的中点F ，连接DF . ,SA ABCD ⊥因为面,SA DB DB AC SA AC A ⊥⊥=I 所以，又，,11+=+n n a a n a n a n n =⋅-1)1(n a n n n b b 221==-+112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---Λ12222321+++++=---Λn n n 122121-=--=n n212212)12()12)(12(----=-++++n n n n n n b b b 022425<-=⋅+⋅-=n n n 212++<⋅n n n b b b,DB SAC ⊥所以，面OE SAC ⊂面，所以OE DB ⊥……………………2分又因为,SA BC AB BC SA AB A ⊥⊥=I ， 所以，,BC SAB ⊥面,SB SAB ⊂面所以,BC SB ⊥又//EM CB ，所以,EM SB ⊥易知SDB ∆为等边三角形，则DF SB ⊥,由3SM MB =得M 为BF 的中点，在DFB ∆中，O 为DB 的中点，则有//OM DF ,从而有OM SB ⊥因为,,OM EM M OM EM OEM =⊂I 面所以,SB OEM ⊥面………………4分又OE OEM ⊂面，所以，OE SB ⊥ 因为,,BD SB B BD SB SDB =⊂I 面所以，OE SDB ⊥面………………6分（1） 法二 以A 为坐标原点，,,AB AD AS 所在直线分别为,,x y z 轴建系如图：则(0,0,4),(4,4,0),(4,0,0),(0,4,0)(2,2,0)S C B D O ，，由4(3,3,1)SC EC E =u u u r u u u r ，得……2分(1,1,1)OE =u u u r ,(4,4,0),(4,0,4)DB SB =-=-u u u r u u r440,OE DB =-=u u u r u u u r g 440,OE SB =-=u u u r u u r g,OE DB OE SB ⊥⊥u u u r u u u r u u u r u u r ………………4分,,,,OE DB OE SB SB DB SDB SB DB B ⊥⊥⊂=I 面所以，OE SDB ⊥面………………6分（2）易得平面1(0,0,1)BDC n =u r 法向量………………8分设平面2(,,)BDE n x y z =u u r 法向量，(4,4,0),(1,3,1)DB BE =-=-u u u r u u u r由22n DB n BE ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r 得,22=0=0n DB n BE ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r 即44030x y x y z -=⎧⎨-++=⎩取2(1,1,2)n =-u u r ………………10分则12cos ,3n n <>==u r u u r ，所以,锐二面角E BD C --………………12分 20.解析：（1）由题知抛物线的焦点为(2,0)，则椭圆中2c =……………………1分 D 到圆O 的最大距离为7,=5OD b OD +=，则2b =，……………2分则圆O 的方程为224x y +=……………3分 由2228a b c =+=，椭圆C 方程为：22184x y +=……………4分 （2）由题，设()(,),(,),2,0)(0,2P m n Q t n n ∈-U由(A B -…………………………5分得：直线:PB y x =-，从而N直线:PA y x=+，从而M………………………7分(),()QM t n QN t n=--=-u u u u r u u u r得22228m nQM QN tm⋅=+-u u u u r u u u r………………………9分因为P在椭圆C上，所以2228m n+=，因为Q在圆O上，所以224,t n+=…………………10分所以：2222222222(82)=4(4)=082m n n nQM QN t t n nm n-⋅=+=-----u u u u r u u u r,90,.QM QN MQN∴⊥∠=o为定值…………………12分21解析：（Ⅰ）由题意，1011100.310iix x===∑，……………1分101022221111()(10)0.091010i ii ix x x xσ===-=-=∑∑，……………3分所以ˆ100.3μ=，ˆ0.3σ=，样本的均值与零件标准尺寸差为100.31000.3-=，并且对每一个数据ix，均有ˆˆˆˆ(3,3)ixμσμσ∈-+（1,2,3,,10i=L），由此判断该切割设备技术标准为B级标准．……………5分（Ⅱ）方案1：每个零件售价为70元．方案2：设生产的零件售价为随机变量ξ，则ξ可以取60，100．由题意，设备正常状态下切割的零件尺寸为X ，且X ～2(100.3,0.3)N ．所以(100)(99.7100.3)(2)0.4772P P X P X ξμσμ==<<=-<<=，(60)1(100)0.5228P P ξξ==-==，……………8分所以随机变量ξ的分布列为所以ξ的数学期望600.52281000.4772600.51000.477770E ξ=⨯+⨯>⨯+⨯=>．…………11分 综上，方案二能够给公司带来更多的利润．……………12分22． 解析：（1）由已知：22()()-2cos ln (0,)g x x f x x k x x π=-=⋅∈+∞'2cos ()2-k g x x x π= …………………………………1分当k 为奇数时，cos -1k π=，'2()20g x x x =+> 2()-2cos ln g x x k x π=⋅在区间)0∞+，（上单调递增。
海南省海口市2020届高三6月测试模拟(二模)数学试题答案
则 an =1+ (n 1) 1 n …………4 分
（2）由（1）知 bn1 bn 2an 2n …………5 分 bn (bn bn1 ) (bn1 bn2 ) (b2 b1 ) b1 2n1 2n2 2n3 2 1 1 2n 2n 1 …………9 分 1 2
又由正弦定理 a b ，得 a 2 , 解得a 14 . …………7 分
sin A sin B
3 33
3
2 14
因为 A B C ,
所以，sin C sin(A B) sin Acos B+ cos Asin B 3 13 1 3 3 4 3 .…………8 分 2 14 2 14 7
2)
………………10
分
则 cos n1, n2
2 6
6 3
OE (1,1,1) , DB (4, 4, 0), SB (4, 0, 4)
OEDB 4 4 0, OESB 4 4 0,
4
OE DB,OE SB ………………4 分 OE DB,OE SB, SB, DB 面SDB, SB DB B
所以， OE 面SDB ………………6 分
bn bn 2
b2 n1
(2n
1)(2 n2
1) (2n1
1) 2
5 2n 4 2n 2n 0
所以， bn
bn2
b2 n1
…………12
分
19.解析： （1）法一
如图，在平面 SBC 内，过点 E 作 EM / /CB 交 SB 于点 M ，则有 SM 3MB ,连 OM ，取 SB 的 中点 F ，连接 DF . 因为SA 面ABCD, 所以，SA DB,又DB AC，SA AC A
a2 b2 c2 2bc cos A 4 c2 2 2 c 1 c2 2c 4 7 …………7 分 2
海南省2020届高三高考调研测试数学试题 Word版含解析
2020年海南省普通高中高考调研测试数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|214A x x =<-<，{}2|4120B x x x =--，则()AB =R（ ）A. ()2,1--B. ()3,6-C. (]3,6-D. ()6,2-【答案】B 【解析】 【分析】 算出集合B ，求出B R，直接进行交集运算即可.【详解】因为{}|31A x x =-<<-，{}|26B x x =-<<R，所以(){}|36AB x x =-<<R.故选：B【点睛】本题考查集合的并集、补集运算，属于基础题. 2.已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1zz+=（ ） A.32i+ B.12i+ C.132i- D.132i+ 【答案】C 【解析】 【分析】求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 【详解】121312z i iz i +--==+. 故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题. 3.已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（ ）A. -2B. 2C. 1D. -1【答案】B【解析】 【分析】 由题意cos3a b a bπ⋅=，代入解方程即可得解.【详解】由题意21cos322a b a bx π⋅===，所以0x >，且2x ，解得2x =.故选：B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题. 4.“ln ln m n <”是“22m n <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域及单调性，可得,m n 的关系，结合充分必要条件性质即可判断. 【详解】若ln ln m n <，根据对数函数的定义域及单调性可知0m n <<，可得22m n <，因而具有充分关系；若22m n <，则m n <，当0,0m n <<时对数函数无意义，因而不具有必要性； 综上可知“ln ln m n <”是“22m n <”的充分不必要条件 故选：A.【点睛】本题考查了充分必要条件的定义域判断，对数函数与图像性质的应用，属于基础题.5.若双曲线221mx ny +=(0m >)mn=（ ） A.14B. 14-C. 4D. 4-【答案】D 【解析】 【分析】将双曲线的方程化成标准形式，再利用离心率公式得到关于,m n 的方程，即可得答案；【详解】因为221mx ny +=(0m >)可化为22111x y m n-=-(0m >)，所以e ==22141b n a m-==，即4m n =-.故选：D.【点睛】本题考查已知双曲线的离心率求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意双曲线方程先化成标准形式.6.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且AB CD ==2BC =，利用张衡的结论可得球O 的表面积为（ ）A. 30B. C. 33D.【答案】B 【解析】 【分析】由,,BC CD AB BC AB CD ⊥⊥⊥判断出球心的位置，由此求得求的直径.利用张恒的结论求得π的值，进而根据球的表面积公式计算出球的表面积. 【详解】因为BC CD ⊥，所以BD =AB ⊥底面BCD ，所以球O 的球心为侧棱AD 的中点， 从而球O.利用张衡的结论可得25168π=，则π=所以球O的表面积为2410ππ==⎝⎭故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.7.已知f (x )=-1x x e e a+是定义在R 上的奇函数，则不等式f (x -3)<f (9-x 2)的解集为（ ）A. (-2,6)B. (-6,2)C. (-4,3)D. (-3,4)【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得1a =，进而可知()f x 在R 上为增函数，转化条件得239x x -<-，解一元二次不等式即可得解.【详解】因为()1x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，所以()()011f f +-=，即11101e e e a a e--+=++，解得1a =，即()12111x x x e f x e e -==-++， 易知()f x 在R 上为增函数. 又()()239f x f x -<-，所以239x x-<-，解得43x -<<.故选：C.【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.8.已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76a b =（ ） A.67B.1211C.1825 D.1621【答案】A 【解析】 【分析】由条件可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-，然后计算出7a 和6b 即可. 【详解】因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-， 所以可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-，所以77618a S S k=-=，66521b T T k=-=，所以7667ab=.故选：A【点睛】本题考查的是等差数列前n项和的特点，属于基础题.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重(单位：kg)情况如柱形图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱形图2所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（）A. 他们健身后，体重在区间[90,100)内的人数增加了2个B. 他们健身后，体重在区间[100,110)内的人数没有改变C. 因为体重在[100,110)内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D. 他们健身后，原来体重在区间[110,120)内的肥胖者体重都有减少【答案】ABD【解析】【分析】根据两个柱形图中的数据逐一判断即可【详解】体重在区间[90,100)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人数增加了2个，A正确；他们健身后，体重在区间[100,110)内的百分比没有变，所以人数没有变，B正确；他们健身后，已经出现了体重在[80,90)内的人，健身之前是没有这部分体重的，C错误；因为图2中没有体重在区间[110,120)内的比例，所以原来体重在区间[110,120)内的肥胖者体重都有减少，D正确.故选：ABD【点睛】本题考查的是以柱形图为背景的统计知识，属于基础题.10.将函数()sin 31f x x x =+的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，给出下列关于()g x 的结论：①它的图象关于直线59x π=对称；②它的最小正周期为23π；③它的图象关于点11,118π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；④它在519,39ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.其中正确的结论的编号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象的变换得出()g x 的解析式，然后利用三角函数的知识逐一判断即可.【详解】因为()sin 312sin 313f x x x x π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，所以()2sin 312sin 31636g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令362x k πππ+=+，得()39k x k Z ππ=+∈，所以59x π=不是对称轴①错误，②显然正确，令36x k ππ+=，得()318k x k Z ππ=-∈，取2k =，得1118x π=，故关于点11,118π⎛⎫⎪⎝⎭对称，③正确， 令232,262k x k k Z πππππ-++∈，得2223939k k xππππ-+， 取2k =，得101399xππ，取3k =，得161999xππ，所以④错误. 所以选项BC 正确. 故选：BC【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，在解决本类题目时，一般是把x ωϕ+当成整体.11.若104a =，1025b =，则（ ） A. 2a b +=B. 1b a -=C. 281g 2ab >D.lg 6b a ->【答案】ACD 【解析】【分析】根据指数和对数的关系将指数式化成对数式，再根据对数的运算法则计算可得. 【详解】解：由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，则lg 4lg 25lg1002a b ∴+=+==，25lg 25lg 4lg 4b a ∴-=-=， 25lg101lg lg 64=>> lg6b a ∴->24lg 2lg 54lg 2lg 48lg 2ab ∴=>=，故正确的有：ACD 故选：ACD .【点睛】本题考查对数的运算，对数和指数的互化，属于基础题.12.已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[)2,2ππ-，则（ ） A. ()f x 为奇函数B. ()f x 在[)0,π上单调递增C. ()f x 恰有4个极大值点D. ()f x 有且仅有4个极值点 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数， 利用导数分析函数的单调性与极值.【详解】解：因为()f x 的定义域为[)2,2ππ-，所以()f x 是非奇非偶函数，()sin cos f x x x x x =+-()()1cos cos sin 1sin f x x x x x x x '∴=+--=+，当0,x时，()0f x '>，则()f x 在0,上单调递增.显然()00f '≠，令()0f x '=，得1sin x x=-， 分别作出sin y x =，1y x=-在区间[)2,2ππ-上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[)2,2ππ-上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故()f x 在区间[)2,2ππ-上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点. 故选：BD .【点睛】本题考查函数 的奇偶性，有利于导数研究函数的极值与单调性，属于中档题. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()212,034log ,0xx x f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩,则()()8f f =______.【答案】5 【解析】【分析】先将8x =代入解析式可得()81f =-,再求()1f -即可 【详解】由题,()24log 88431f =-+=-+=-,所以()()()1125381f f f -⎛⎫+= ⎪⎝⎭=-= 故答案为：5【点睛】本题考查分段函数求值,考查指数、对数的运算14.某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为X ，则随机变量X 的方差DX =________. 【答案】47.5 【解析】 【分析】由题意得到~(1000,0.95)X B ，然后即可算出答案.【详解】由题意可知，~(1000,0.95)X B ，10000.95(10.95)47.5DX =⨯⨯-=. 故答案为：47.5【点睛】本题考查的是二项分布的知识，较简单. 15.已知0a >，0b >，且2a b +=，则515a b+的最小值是________. 【答案】185【解析】 【分析】由条件可得511511526()525255b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为2a b +=，所以511511526()525255b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0,0a b >>，所以525b a a b +≥(当且仅当53a =，13b =时，等号成立)，所以511261825255a b⎛⎫+≥⨯+=⎪⎝⎭.故答案为：185【点睛】本题考查的是利用基本不等式求最值，属于典型题.16.在正方体1111ABCD A B C D-中，E为棱CD上一点，且2CE DE=，F为棱1AA的中点，且平面BEF与1DD交于点G，与1AC交于点H，则1DGDD=______，1AHHC=______.【答案】 (1).16(2).38【解析】【分析】由线面平行的性质可得//BF GE，即可得到AF DGAB DE=，又2CE DE=，则1DGDD可求. 连接AC交BE于M，过M作1//MN CC，MN与1AC交于N，连接FM，则H为FM与1AC的交点，根据三角形相似可得线段的比.【详解】解：1111ABCD A B C D-是正方体∴面11//A B BA面11C D DCBF⊂面11A B BA//BF∴平面11CDD C，面BFGE面11C D DC GE=则//BF GE ，则AF DG AB DE =，即12DG DE =，又2CE DE =，则116DG DD =. 连接AC 交BE 于M ，过M 作1//MN CC ，MN 与1AC 交于N ，连接FM ，则H 为FM 与1AC 的交点.因为//AB CE ，所以32AM AB MC CE ==，则132AN A C M MC N ==.所以135MN CC =，所以65MN HN FA AH ==，故138AH HC =. 故答案为：16；38【点睛】本题考查线面平行的性质及判定，属于基础题.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.在①cos 220B B +=，②2cos 2b C a c =-，③b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】①；证明见解析 【解析】 【分析】选择①：由余弦降幂公式代入即可求得sin B ，结合a ，b ，c 成等差数列可得2b a c =+，3B π=，代入余弦定理公式，即可得2b ac =，结合等式2b a c =+可求得a c =，进而证明ABC ∆为等边三角形.【详解】选择①cos 220B B -+=，证明：则由余弦降幂公式可得212sin 20B B -+=，即(2sin sin 0B B =，由0B π<<可得sin 2B =，又因为a ，b ，c 成等差数列，则B 为锐角， 则2b a c =+，3B π=，由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， 代入可得()223b a c ac =+-，即2b ac =，则22a c ac +⎛⎫= ⎪⎝⎭，化简可得()20a c -=， 即a c =，又因为3B π=，所以ABC ∆为等边三角形.【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.18.设等差数列{}n n a b -的公差为2，等比数列{}n n a b +的公比为2，且12a =，11b =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}22nn a +的前n 项和nS．【答案】（1）121322n n n a --+⨯=（2）n S =2525n n ⨯+- 【解析】 【分析】（1）根据题意可得21n na b n ，132n n n a b -+=⨯，联立解方程可得数列{}n a 的通项公式；（2）通过分组求和法可得数列{}22nn a +的前n 项和nS.【详解】解：（1）因为12a =，11b =，所以111a b -=，113a b +=，依题意可得，()12121n n a b n n -=+-=-， 132n n n a b -+=⨯，故121322n n n a --+⨯=；（2）由（1）可知，1222152n n n a n -+=-+⨯，故()()113215122n n S n -=+++-+⨯+++()()21215215252n n n n n +-=+⨯-=⨯+-.【点睛】本题考查等差数列，等比数列的通项公式，考查分组法求和，是基础题.19.在四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAB 是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，BC ＝CD ＝1，PD 2=.（1）证明：AB ⊥PD.（2）求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质进行证明即可； （2）由AD 2+BD 2＝AB 2，可得AD ⊥BD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可. 详解】（1）证明：连结BD ，∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAB 是边长为2的等边三角形， 底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，BC ＝CD ＝1，PD 2=∴BD ＝AD 112=+=∴AD 2+PD 2＝AP 2，BD 2+PD 2＝PB 2，∴AD⊥PD，BD⊥PD，∵AD∩BD＝D，∴PD⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PD.（2）解：∵AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则A 2，0，0），B（02，0），C（2222-，0），P（0，02），PA=22，，，PB=（02，2-），PC=（222，2-，设平面ABP的法向量n=（x，y，z），则220220n PA x zn PB y z⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，取x＝1，得n=（1，1，1），设平面PBC的法向量()111,,m x y z=，则11111220222022m PB y zm PC x y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取11z=，得m=（﹣1，1，1），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，则二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：cosθ13m nm n⋅==⋅.【点睛】本题考查了线面垂直判定定理和性质的应用，考查了利用空间向量求二面角问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.20.某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A ，B 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A 工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B 工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A ，B 两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线②：有a ，b 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a 工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b 工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a ，b 两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元.（1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由. 【答案】（1）0.0294.（2）应选生产线②.见解析 【解析】 【分析】（1）由题意转化条件得A 工序不出现故障B 工序出现故障，利用相互独立事件的概率公式即可得解；（2）分别算出两个生产线增加的生产成本的期望，进而求出两个生产线的生产成本期望值，比较期望值即可得解.【详解】（1）若选择生产线①，生产成本恰好为18万元，即A 工序不出现故障B 工序出现故障，故所求的概率为()10.020.030.0294-⨯=.（2）若选择生产线①，设增加生产成本为ξ(万元)，则ξ的可能取值为0，2，3，5.()()()10.0210.0300.9506P ξ==-=⨯-， ()()20.020.010.19403P ξ⨯-===， ()()310.020.030.0294P ξ⨯==-=, ()50.020.020.0006P ξ⨯===,所以()00.950620.019430.029450.00060.13E ξ⨯+⨯+⨯+⨯==万元； 故选生产线①的生产成本期望值为150.1315.13+= (万元).若选生产线②，设增加的生产成本为η（万元），则η的可能取值为0，8，5，13.()()()10.0410.010.95040P η=-==⨯-， ()()0.0410.8010.0396P η=⨯-==， ()()10.040.5010.0096P η=-⨯==， ()0.040.0110.00034P η=⨯==，所以()00.950480.039650.0096130.00040.37E η⨯+⨯+⨯+⨯==， 故选生产线②的生产成本期望值为140.3714.37+= (万元)， 故应选生产线②.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率，考查了离散型随机变量期望的应用，属于中档题.21.已知O 为坐标原点，(2,0)A -，(2,0)B ，直线AG ，BG 相交于点G ，且它们的斜率之积为34-.记点G 的轨迹为曲线C . （1）若射线0)x y =与曲线C 交于点D ，且E 为曲线C 的最高点，证明：//OD AE .（2）直线:(0)l y kx k =≠与曲线C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 与y 轴分别交于P ，Q 两点.试问在x 轴上是否存在定点T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析； （2）存在定点(T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T . 【解析】 【分析】（1）设点()G x y ,，根据34GA GBk k ⋅=-，求得点G 的轨迹方程为221(2)43x y x +=≠±，联立方程组，解答,D E 坐标，结合斜率公式，即可求解. （2）设00(,)M x y ，则00(,)N x y --，解得0022P y y x =+,022Q y y x =-，假设顶点T ，使得PQ为直径的圆恒过点T ，则2OP OQ OT ⋅=，求得2220434Ty x x ==-，即可得到结论. 【详解】（1）设点()G x y ,，因为34GA GB k k ⋅=-，即3224y y x x ⋅=-+-，整理得点G 的轨迹方程为221(2)43x y x +=≠±，联立方程组221430)x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得D且E ，所以OD AE k k ==，所以//OD AE . （2）设00(,)M x y ，则00(,)N x y --， 所以直线AM 的方程为00(2)2y y x x =++，令0x =，解得0022P y y x =+,同理可得022Q y y x =-, 假设定点T ，使得PQ 为直径的圆恒过点T ，则2OP OQ OT ⋅=,即2T P Q x y y =-，又由2200143x y +=，可得22020434T y x x ==-，所以(T ， 即在x轴上存在定点(T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 22.已知函数22()1e xf x ax ax =++-.（1）若函数()()g x f x '=，试讨论()g x 的单调性； （2）若(0,)x ∀∈+∞，()0f x <，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）(],2-∞ 【解析】 【分析】（1）由于函数2()()22e xg x x ax f a ==+-'，得出()2()22exg x a '=--，分类讨论当0a ≤和0a >时，()'g x 的正负，进而得出()g x 的单调性；（2）求出()22e (21)21x f x x a x ⎛⎫'=+- ⎪+⎝⎭，令()0f x '=，得22e 21x a x =+，设22()21x eh x x =+，通过导函数()h x '，可得出()h x 在(0,)+∞上的单调性和值域，再分类讨论2a ≤和2a >时，()f x 的单调性，再结合(0,)x ∀∈+∞，()0f x <恒成立，即可求出a 的取值范围.【详解】解：（1）因为2()()22e xg x x ax f a ==+-'， 所以()22()24e22e xx g x a a '=-=--，①当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在R 上单调递减. ②当0a >时，令()0g x '>，则1ln 22a x <；令()0g x '<，则1ln 22ax >， 所以()g x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1ln ,22a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()g x 在R 上单调递减；当0a >时，()g x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1ln ,22a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减.（2）因为22()1e xf x ax ax =++-，可知(0)0f =，2()22e xf x ax a '=+-222e (21)2e (21)21x xa x x a x ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭，令()0f x '=，得22e21xa x =+.设22()21xe h x x =+，则228e ()(21)x x h x x '=+. 当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()h x 在(0,)+∞上的值域是(2,)+∞，即22221x e x >+.当2a ≤时，()0f x '=没有实根，且()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0f x f <=，符合题意.当2a >时，(0)2h a =<，所以22e ()21xh x a x ==+有唯一实根0x ，当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 在()00,x 上单调递增，()(0)0f x f >=，不符合题意. 综上，2a ≤，即a 的取值范围为(],2-∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围，还运用了构造函数法，还考查分类讨论思想和计算能力，属于难题.。
2020年海口市高考调研试题-数学
2020年海口市高考调研考试数 学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,2,3,4}A =，{3,4,5,6,7}B =，集合{|}M x x B x A =∈∉且，则M = A ．{1,2} B ．{3,4}C ．{5,6,7}D ．{3,4,5,6,7}2．在复平面内，复数11ii+-对应的点与复数i -对应的点的距离是 A ．1B ．2C ．2D ．223．设向量(1,2)=-a ，向量b 是与a 方向相同的单位向量，则=b A ．(1,2)-B ．525(,)-C ．12(,)55-D ．525(,)- 4．61(2)x x -的展开式中的常数项是A ．160-B ．80-C ．80D ．1605．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的 立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m 的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m 处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m ，如图2，则此抛物线顶端O 到连桥AB 距离为图1 图2A ．180mB ．200mC ．220mD ．240m6．函数21()ln ||1f x x x =+-的图象大致是A ．B ．C ．D ． 7．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB ，4BC ，60ABC ，若球心O 到截面ABC 的距离为2 A ．16πB .24πC .36πD .48π 8．已知数列{}n a 满足*1log (2)()nn a n n N ，设*12(N )kk T a a a k，若*kT N ，称数k 为“企盼数”，则区间[1,2020]内所有的企盼数的和为 A ．2020B ．2026C ．2044D ．2048二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数越小，表明空气质量越好，表1是空气质量指数与空气质量的对应关系，图1是经整理后的某市2019年2月与2020年2月的空气质量指数频率分布直方图表1空气质量指数（AQI ） 优（AQI 50≤） 良（50<AQI 100≤） 轻度污染（100<AQI 150≤） 中度污染（150<AQI 200≤） 重度污染（200<AQI 300≤）严重污染（AQI>300）下列叙述正确的是A ．该市2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为0.032B ．该市2020年2月份的空气质量整体上优于2019年2月份的空气质量C ．该市2020年2月份空气质量指数的中位数小于2019年2月份空气质量指数的中位数D ．该市2020年2月份空气质量指数的方差大于2019年2月份空气质量指数的方差 10．设有一组圆k C ：22(1)(2)1x k y k -++-=，下列说法正确的是A ．这组圆的半径均为1B ．直线220x y -+=平分所有的圆k CC ．存在无穷多条直线l 被所有的圆k C 截得的弦长相等D ．存在一个圆k C 与x 轴和y 轴均相切11．如右图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ．则以下命题正确的是A ．点H 是△1A BD 的重心B ．AH ⊥平面11CB DC ．AH 延长线经过点1CD ．直线AH 和1BB 所成角为4512．“已知函数2()cos f x x x =-，对于[,]22ππ-上的任意1x ，2x ，若_______，则必有12()()f x f x >恒成立．”在横线中填上下列选项中的某个条件，使得上述说法正确的可以是A ．12||x x >B ．120x x +>C ．2212x x > D ．121x x > 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2020年初，新冠肺炎疫情爆发，全国人民万众一心，共同抗击疫情．武汉市某医院传染科有甲、乙、丙、丁、戊五位医生，每位医生从周一至周五轮流安排一个夜班．若丁比乙晚两天，丙比甲早一天，戊比丙早两天，则周一值夜班的医生是_________．14．已知(,)2，且4sin 5，则tan()4的值为_________．15．如图，从双曲线221916x y -=的左焦点1F 引圆229x y +=的切线，切点为T ，延长1FT 交双曲 线右支于P 点. 设M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则1||FT ___________，||||MO MT ___________．（本题第一空2分，第二空3分）第15题图 第16题图16．拥有“千古第一才女”之称的宋代女词人李清照发明了古代非常流行的游戏“打马”，在她的《打马赋》中写道“实博弈之上流，乃闺房之雅戏”．“打马”游戏用每轮抛掷三枚完全相同的骰子决定“马”的行走规则，每一个抛掷结果都有对应走法的名称，如结果由两个2点和一个3点组成，叫做“夹七”，结果由两个2点和一个4点组成，叫做“夹八”．则在某一轮中，能够抛出“夹七”或“夹八”走法的概率是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）从①7a，②2b ，③13cos 14B.这三个条件中任选两个，分别补充在下面问题的横线中，回答有关问题．设△ABC 的角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，若_________，_________，且满足(2)cos cos b c A a C ，求△ABC 其余各边的长度和△ABC 的面积S ． （注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.） 18．（12分）已知数列{}n a 的首项11a ，且点*1(,)()n n a a n N 在函数21y x 的图象上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足11b ，12n a n n b b ，证明：221n nn b b b ．19．（12分）如图，四棱锥SABCD 满足SA 平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，4SA AB ，侧棱SC 上有一点E 满足3SE EC ．（Ⅰ）证明：OE 平面SDB ；（Ⅱ）求二面角E BD C 的余弦值．20．（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b 的其中一个焦点与抛物线28y x 的焦点相同，点(4,3)D 到圆O ：222x y b 上点的最大距离为7，点A ，B 分别是椭圆C 的左右顶点．（Ⅰ）求圆O 和椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，已知位于y 轴两侧的P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点，且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ，证明：MQN 为定值．21．（12分）零部件生产水平，是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一.其中切割加工技术是一项重要技术.某研究机构自主研发了一种切割设备，经过长期生产经验，可以认为设备正常状态下切割的零件尺寸服从正态分布2(,)N .按照技术标准要求，从该设备切割的一个批次零件中任意抽取10件作为样本，如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值小于0.1（单位：mm ），且所有零件尺寸均在(3,3)范围内，则认定该切割设备的技术标准为A 级；如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值大于等于0.1小于0.5，且所有零件尺寸均在(3,3)范围内，则认定该切割设备的技术标准为B 级；如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值大于等于0.5或存在零件尺寸在(3,3)范围外，则认定该切割设备的技术标准为C 级．（Ⅰ）设某零件的标准尺寸为100mm ，下面是检验员抽取该设备切割的10个零件尺寸：经计算，有1021100601.8i i x ，其中i x 为抽取的第i 个样本的尺寸，1,2,3,,10i ，用样本的平均数x 作为的估计值ˆ，用样本的标准差s 作为的估计值ˆ，根据数据判断该切割设备的技术标准；（Ⅱ）生产该种零件的某制造商购买了该切割设备，正常投入生产，公司制定了两种销售方案（假设每种方案对销售量没有影响）：方案1：每个零件均按70元定价销售；方案2：若零件的实际尺寸在(99.7,100.3)范围内，则该零件为Ⅰ级零件，每个零件定价100元，否则为Ⅱ级零件，每个零件定价60元．哪种销售方案能够给公司带来更多的利润？请说明． （附：若随机变量X ～2(,)N ，则()0.6826P X ，(22)0.9544P X）．22．（12分）已知函数()ln f x m x =．（Ⅰ）当*2cos ()m k k N π=∈，分析函数2()()g x x f x =-的单调性； （Ⅱ）当0m >时，若函数()ln f x m x =与1()2x h x x-=的图象有且只有一条公切线，求m 的值．2020年海口市高考调研考试数学参考答案一、单项选择题：1、C 2、C 3、B 4、A 5、B 6、A 7、D 8、B 二、多项选择题：9、BC 10、AB 11、ABC 12、CD 三、填空题：13、乙 14、17- 15、 4 、 1 16、136四、解答题17.解析：在△ABC 中，已知(2)cos cos b c A a C -=，由正弦定理得：(2sin sin )cos sin cos B C A A C -⋅=⋅ …………1分 即2sin cos sin cos sin cos B A C A A C ⋅-⋅=⋅ ,得2sin cos sin cos sin cos sin()B A A C C A A C ⋅=⋅+⋅=+…………2分又因为sin()sin A B C A C B π++=+=，，所以，2sin cos sin B A B ⋅= …………3分 (0),sin 0,B B π∈≠又， 得12cos 1cos .2A A ==，(0),A π∈， 所以，.3A π=…………5分若选条件①②，由余弦定理得：2222212cos 4222472a b c bc A c c c c =+-=+-⨯⨯⨯=-+= …………7分 223031()c c c c --===-得，或舍去 …………8分所以，11sin 2322ABC S bc A ∆=⋅=⨯⨯=…………10分若选条件①③，由13cos (0)sin 1414B B B π=∈==，，，得…………6分又由正弦定理sin sin a b b A B ===解得 …………7分 因为,A B C π++=所以，131sin sin()sin cos +cos sin 142C A B A B A B =+==+=…………8分sin sin 7a Cc A⋅===从而， …………9分11sin22ABCS ab C∆=⋅==…………10分若选条件②③，由13cos(0)sin1414B B Bπ=∈==，，，得…………6分又由正弦定理14.sin sin3a baA B===解得…………7分因为,A B Cπ++=所以，131sin sin()sin cos+cos sin142C A B A B A B=+==+=…………8分14sin16.sin3a CcA⋅===又…………9分1114sin2223ABCS ab C∆=⋅=⨯⨯=…………10分18.解析：（1）由已知得,11+=+nnaa…………1分所以，数列{na}是以1为首项，公差为1的等差数列；………… 2分则na=1+nn=⋅-1)1(…………4分（2）由（1）知nannnbb221==-+…………5分112211)()()(bbbbbbbbnnnnn+-++-+-=---12222321+++++=---nnn122121-=--=nn…………9分212212)12()12)(12(----=-++++nnnnnnbbb22425<-=⋅+⋅-=nnn所以，212++<⋅nnnbbb…………12分19.解析： （1）法一如图，在平面SBC 内，过点E 作//EM CB 交SB 于点M ，则有3SM MB =,连OM ，取SB 的中点F ，连接DF .,SA ABCD ⊥因为面,SA DB DB AC SA AC A ⊥⊥=所以，又，,DB SAC ⊥所以，面OE SAC ⊂面，所以OE DB ⊥……………………2分又因为,SA BC AB BC SA AB A ⊥⊥=，所以，,BC SAB ⊥面,SB SAB ⊂面所以,BC SB ⊥又//EM CB ，所以,EM SB ⊥易知SDB ∆为等边三角形，则DF SB ⊥,由3SM MB =得M 为BF 的中点， 在DFB ∆中，O 为DB 的中点，则有//OM DF ,从而有OM SB ⊥ 因为,,OMEM M OM EM OEM =⊂面所以,SB OEM ⊥面………………4分又OE OEM ⊂面，所以，OE SB ⊥ 因为,,BDSB B BD SB SDB =⊂面所以，OE SDB ⊥面………………6分（1） 法二以A 为坐标原点，,,AB AD AS 所在直线分别为,,x y z 轴建系如图：则(0,0,4),(4,4,0),(4,0,0),(0,4,0)(2,2,0)S C B D O ，，由4(3,3,1)SC EC E =，得……2分(1,1,1)OE =,(4,4,0),(4,0,4)DB SB =-=-440,OE DB =-=440,OE SB =-= ,OE DB OE SB ⊥⊥………………4分,,,,OE DB OE SB SB DB SDB SBDB B ⊥⊥⊂=面所以，OE SDB ⊥面………………6分（2）易得平面1(0,0,1)BDC n =法向量………………8分设平面2(,,)BDE n x y z =法向量，(4,4,0),(1,3,1)DB BE =-=-由22n DB n BE ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得,22=0=0n DB n BE ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩即44030x y x y z -=⎧⎨-++=⎩取2(1,1,2)n =-………………10分则12cos ,3n n <>==，所以,锐二面角E BD C --的余弦值为3………………12分 20.解析：（1）由题知抛物线的焦点为(2,0)，则椭圆中2c =……………………1分D 到圆O 的最大距离为7,=5OD b OD +=，则2b =，……………2分 则圆O 的方程为224x y +=……………3分由2228a b c =+=，椭圆C 方程为：22184x y +=……………4分 （2）由题，设()(,),(,),2,0)(0,2P m n Q t n n ∈-由(A B -…………………………5分得：直线:PB y x =-，从而N直线:PA y x =+，从而M ………………………7分22(),()n QM t n QN t n =-=--得22228m n QM QN t m ⋅=+-………………………9分因为P 在椭圆C 上，所以2228m n +=，因为Q 在圆O 上，所以224,t n +=…………………10分 所以：2222222222(82)=4(4)=082m n n n QM QN t t n n m n -⋅=+=-----,90,.QM QN MQN ∴⊥∠=为定值…………………12分21解析： （Ⅰ）由题意，1011100.310i i x x ===∑，……………1分101022221111()(10)0.091010i i i i x x x x σ===-=-=∑∑，……………3分所以ˆ100.3μ=，ˆ0.3σ=，样本的均值与零件标准尺寸差为100.31000.3-=，并且对每一个数据i x ，均有ˆˆˆˆ(3,3)i x μσμσ∈-+（1,2,3,,10i =），由此判断该切割设备技术标准为B 级标准． ……………5分（Ⅱ）方案1：每个零件售价为70元．方案2：设生产的零件售价为随机变量ξ，则ξ可以取60，100．由题意，设备正常状态下切割的零件尺寸为X ，且X ～2(100.3,0.3)N ．所以(100)(99.7100.3)(2)0.4772P P X P X ξμσμ==<<=-<<=，(60)1(100)0.5228P P ξξ==-==，……………8分所以随机变量ξ的分布列为所以ξ的数学期望600.52281000.4772600.51000.477770E ξ=⨯+⨯>⨯+⨯=>．…………11分 综上，方案二能够给公司带来更多的利润．……………12分22． 解析：（1）由已知：22()()-2cos ln (0,)g x x f x x k xx π=-=⋅∈+∞'2cos ()2-k g x x x π= …………………………………1分当k 为奇数时，cos -1k π=，'2()20g x x x =+> 2()-2cos ln g x x k x π=⋅在区间)0∞+，（上单调递增。
2020届天一大联考海南省高三第三次模拟考试数学试题(解析版)
1. C 【详解】{}|23A x x =-<<，{|2B x x =-或}2x ，[)2,3A B =.2. B 【详解】由()121i z i -=+，得()()()()121121311122i i i z i i i i ---===--++-，所以z ==. 3. D 【详解】令()262x k k Z πππ-=+∈，得23k x ππ=+，取1k =，得56x π=. 4. D 【详解】若()f x 单调递增，则0k >且()0022k k ++，解得01k <因为“1k <”与“01k <”没有包含的关系，所以充分性和必要性都不成立. 5. A 【详解】设第n 天织布的尺数为n a ，则{}n a 是公比为2的等比数列，所以()5112512512a a a a -++⋯+==-，解得1531a =，所以23120231a a =⨯=. 6. A 【详解】()211sin sin 11x xxe f x x x ee ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故()()f x f x -=则()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当()0,0x f x →> 故选：A. 7. A 【详解】设2t x =，则()11491625115t =++++=，()12173693142585y =++++= 586118a =-⨯=-，所以2ˆ68yx =-.令4x =，得2444936485ˆe y y =-=-⨯+=.故选：A 8. B 【详解】根据题意知122F F c =，直线1PF 的斜率为34，则212123tan 4PF PF F F F ∠== 则有232PF c =，则152PF c ，则122a PF PF c =-=，又因为12PF F ∆的面积为132622S c c =⨯⨯=，解得2c =，即1a =.故选：B二、多选题9. BD 【详解】对于A ，若0a b >>，则11a b<，所以A 错误；对于B ，因为0a b ->，所以20201a b ->，故B 正确；对于C ，函数ln y x =的定义域为()0,+∞，而a ，b 不一定是正数，所以C 错误；对于D ，因为210c +>，所以()()2211a c b c +>+，所以D 正确.故选：BD10. AC 【详解】对于A ，2cos 1b α==，A 正确；对于B ，若//a b cos 0αα-=，tan α∴=，B 错误； 对于C ，3cos sin 2sin 3a b πααα⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭，最大值为2，C 正确；对于D ，||(3a b -=-因为0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以5,336πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin ,132πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即max ||5a b -=-，D 错误.故选：AC 11. ABD 【详解】如图，连接MN ，易知//MN PB ，由线面平行的判定定理得//PB 面AMC ，A 正确.在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，BAD ∴为等边三角形.设AD 的中点为O ，连接OB ，OP ，则OP AD ⊥，OB AD ⊥，由线面垂直的判定定理得出AD ⊥平面POB ，AD PB ∴⊥，B 正确. 平面PAD ⊥平面ABCD ，由面面垂直的性质可得POB 为直角三角形设4AD =，则OP OB ==，PB ∴=，12MN PB ==在MAN △中，AM AN ==MN =cos AMN ∠=,故异面直线PB 与AM ,在MAN △中222AM AN MN ≠+，则ANM ∠不是直角，则AMC ∆不是等腰三角形，即AM 与CM 长度不等，故C 错误，D 正确故选：ABD12. BD 【详解】由题知2()3f x x a '=+.对于A ，由()f x 是奇函数，知0b =，因为0a <，所以()f x 存在两个极值点，由(0)0f =知，()f x 有三个零点，A 错误；对于B ，因为211b +，所以0a ，()0f x '，所以()f x 单调递增，则()f x 仅有一个零点，B 正确；对于C ，若取2b =，2()33f x x '=-，则()f x 的极大值为()14f -=，极小值为(1)0f =，此时()f x 有两个零点，C 错误；对于D ，3()1f x x x =-+，2()31x f x '=-易得()f x 的极大值为10f ⎛= ⎭>⎝，极小值为10f =⎝>⎭.可知()f x 仅有一个零点，D 正确.故选：BD 三、填空题13. 16 【详解】设从学校A 和C 分别抽取的教师人数为x 和y ，由题意可知872144216x y ==，所以4x =，12y =，16x y +=.故答案为：16 14. 240【详解】636621661(2)()(1)2rrrr r r rr T C x C x x---+=-=-，令，得常数项为240，故答案为240. 15.323【详解】圆22280x x y -+-=即()2219x y -+=，圆心坐标为()1,0，则12p =抛物线方程为24y x =，所以2DF =.如图，3FA FB =-，所以:3:1AF FB = 又::DF BC AF AB =，所以2:3:4BC =，得83BC BF ==所以3243AB BF ==.故答案为：323四、双空题如图，设M 为AC 的中点，因为PA PC =，所以PM AC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面ABC ，所以由面面垂直的性质定理得PM ⊥平面ABC ，所以PM MB ⊥=PM MB =从而可得PMAC =设1O ，2O 分别为对应面的内心，分别过1O ，2O 作MP ，MB 的平行线，交于点O 即O 为所求的球心，易知12OO MO 是正方形设Rt PAC △内切圆的半径为r ，球O 的半径为R，由图可知OM R ==，而22r -=，所以1R =.1五、解答题17.（1）给出的通项公式为24n a n =+.因为对任意*n N ∈()1214242n n a a n n +-=++--=， 所以{}n a 是公差为2的等差数列.对任意*,m n ∈N ，且m n ≠，()22424224m n m n a a m n m n a +++=+++=+++=，所以{}n a 是“Q 数列”.（2）因为{}n a 是等差数列，所以()()2*62452n n n S n n n N ++==+∈.因为n S 单调递增，且2775784100S =+⨯=<，28858104100S =+⨯=>，所以n 的最小值为8. 注：以下答案也正确，解答步骤参考上面内容：①33n a n =+，23922n S n n =+，n 的最小值为7；②6n a n =，233n S n n =+，n 的最小值为6.18. （1）43（2）(【详解】（1）因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=. 所以2sin 4sin2sin cos 222B B B B ==，因为0B π<<，所以022B π<<，所以sin 02B≠， 所以1tan 22B =.于是2212tan2422tan 311tan122B B B ⨯===⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知4tan 3B =，又()0,B π∈，根据同角三角函数关系可得4sin 5B =，3cos 5B =.根据余弦定理得()222261655b ac ac a c ac =+-=+-又()()()()22221641555a c ac a c a c a c +-+-+=+所以()2255a c b +=，即5a c+，当且仅当a c ==时取等号.又因为1a c b +>=，所以a c +的取值范围是(. 19. （1）1.2（2）9.3（3）0.1808【详解】（1）由题意得2100.4 2.2 2.2 5.2a b c ++=---=， 又2b a c =+，2c a =，解得0.8a =， 1.2b =， 1.6c =. 因为前四组的频率之和为()0.40.8 1.6 2.20.10.5+++⨯=， 所以估计样本中闪存芯片的数据传输速度的中位数为1.2 （2）估计样本中闪存芯片的使用寿命的平均数为 7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）样本中数据传输速度为优的产品有0.510050⨯=件 使用寿命为优的产品有()0.20.0510025+⨯=件至少有一项为优的产品有1004555-=件，所以S 级产品有50255520+-=件. 故任意一件产品为S 级产品的概率为15.则从这一批产品中任意抽取4件，其中S 级产品的数量服从二项分布14,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故所求的概率为43014441411310.1808555625P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20. 【答案】（1）见解析（2）【详解】（1）连接1AC 1AA AC =，∴平行四边形11AA C C 为菱形，11AC AC ∴⊥. 平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，BC AC ⊥BC ∴⊥平面11AA C C .11//BC B C ，11B C ∴⊥平面11AA C C ，111B C AC ∴⊥.又1111AC B C C =，111,AC B C ⊂平面11AB C 1AC ∴⊥平面11AB C . 1AB ⊂平面11AB C ，11AC AB ∴⊥.（2）取11A C 的中点为M ，连接CM .由160A AC ︒∠=，可知11CM AC ⊥，CM AC ⊥.又BC ⊥平面11AA C C ，故可知C 为坐标原点，CA ，CB ，CM 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图.则()0,0,0C，(1A ，()2,0,0A ，()0,1,0B，(1B -. 由（1）知，平面11AB C的一个法向量为(1CA =. 设平面1ABB 的法向量为(),,n x y z =，则10n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩. ()2,1,0AB =-，(13,1AB =-，2030x y x y -+=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩.令1x =，得2y =，z =，即31,2,n ⎛= ⎝⎭.111cos ,162CA n CA n CA n ⋅∴===⋅⨯结合图可知，二面角11C AB B --为钝角，则二面角11C AB B --的余弦值为21. 【答案】（1）22143x y +=（2）存在，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c 因为离心率12e =，所以2a c =，222243b c c c =-= 由222214320x y c c x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解得x =.不妨设,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎭，则AB =所以1c =，从而2a =，23b =.所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）假设存在点(),P x y ，设()11,A x y ，()22,B x y . 由2214320x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-=.因为44m -<<，所以()22416120m m ∆=-->，且122m x x +=-，212124m x x -=.由APB ∠的平分线平行于y 轴，得0AP BP k k +=所以12120y y y y x x x x --+=--，即1212220x m x my y x x x x ++--+=--， 可得()()()()12121222220x x x x x m y x m y x x +-+---+=， 所以()()2212220222m m y mx m m y x ---+-+-=，整理得()321280x y m xy -+-=. 当m 变化时，上式恒成立，所以3201280x y xy -=⎧⎨-=⎩，解得132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩.故满足条件的P 点的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.22. 【答案】（1）见解析（2）13a =-.【详解】 （1）当0a =时，()()21ln 12f x x x x =+-+，定义域为()1,-+∞.()21111x f x x x x =-+=++'.当1x >-时，()0f x '>，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增.又因为()00f =，所以当10x -<<时()0f x <，当0x >时，()0f x >. （2）若0a ，由（1）知，当0x >时，()()()21ln 1002f x x x x f +-+>=.这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.若0a <，()()32223311331131113ax a x ax a f x x ax x x x x a +++⎛⎫=-++==+ ⎪+++⎝⎭'，1x >-. 令()0f x '=，可得0x =或313a x a+=-. ①若13a <-，则3103a a+-<. 当3113a x a +-<<-时，()0f x '>，当313a x a+>-时，()0f x '. 所以()f x 在31,3a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，与0x =是()f x 的极大值点矛盾. ②若103a -<<，则3103a a+->. 当3113a x a +-<<-时，()0f x '，当313a x a+>-时，()0f x '<. 所以()f x 在311,3a a +⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，与0x =是()f x 的极大值点矛盾. ③若13a =-，则3103a a+-=. 当10x -<<时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<. 所以()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,+∞上单调递减. 此时0x =是()f x 的极大值点.综上所述，若0x =是()f x 的极大值点，则13a =-.。