玻尔兹曼分布

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boltzmann分布定律

玻尔兹曼分布定律是热力学中的一个基本定律，它可以解释一个

系统中的粒子在不同能级间的分布情况。该定律指出，一个系统中的

粒子在不同能态之间的分布，遵循玻尔兹曼分布的形式，即每个能态

中粒子数与该能态的能量之间呈指数关系，而指数项的底数为自然常

数e，指数的形式与能量有关，表达式为exp(-E/kT)。其中，E为能量，k为玻尔兹曼常数，T为系统的温度。这个定律的应用涵盖了很多领域，例如化学、物理、生物等，对科学研究和技术发展都具有深刻的意义。

经典统计中的玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布是一种用于描述粒子在不同能级上分布的概率分布函数，其表达式为：

f_i = \frac{g_i}{Z}e^{-\frac{E_i}{kT}}

其中，f_i表示粒子在能级i上的分布概率，g_i为能级i的简并度，E_i为能级i的能量，k为玻尔兹曼常数，T为温度，Z为配分函数。

由于玻尔兹曼分布包含了简并度、能量和温度等多个变量，因此适用于描述各种物质系统中的粒子分布情况。下面列举一些应用玻尔兹曼分布的例子：

1. 原子和分子的能级分布

在原子和分子中，由于能量量子化现象的存在，粒子只能处于特定的能级上。玻尔兹曼分布可以用于描述这些粒子在不同能级上的分布情况，从而推导出物质的热力学性质，如内能、熵等。

2. 电子在半导体中的分布

半导体中的电子可以分为价带和导带两种能级。由于电子在半导体中的分布对半导体的导电性质有着重要影响，因此玻尔兹曼分布可以用于描述电子在不同能级上的分布情况，从而推导出半导体的电学性质，如载流子浓度、电导率等。

3. 气体分子的速度分布

在气体中，分子的速度分布对气体的热力学性质有着重要影响。玻尔兹曼分布可以用于描述气体分子在不同速度下的分布情况，从而推导出气体的热力学性质，如压强、温度等。

4. 固体中的振动分布

在固体中，原子的振动状态对固体的热力学性质有着重要影响。玻尔兹曼分布可以用于描述原子在不同振动状态下的分布情况，从而推导出固体的热力学性质，如比热容、热膨胀系数等。

5. 热辐射的能量分布

热辐射是指物体在热平衡状态下所辐射出的电磁波。由于热辐射的波长和能量密度对物体的热力学性质有着重要影响，玻尔兹曼分布可以用于描述热辐射在不同波长和不同能量下的分布情况，从而推导出物体的热力学性质，如辐射能量密度、辐射亮度等。

玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布也叫吉布斯分布，是一种覆盖系统各种状态的概率分布、概率测量或者频率分布。当有保守外力（如重力场、电场等）作用时，气体分子的空间位置就不再均匀分布了，不同位置处分子数密度不同。玻耳兹曼分布律是描述理想气体在受保守外力作用、或保守外力场的作用不可忽略时，处于热平衡态下的气体分子按能量的分布规律。

通俗的讲，如下：

我们假设有个星球叫Endor星，这上面生活的一个物种叫Ewok人。为简单起见，星球上一共有 n=1000个Ewok人，Ewok人流通的货币就叫，，，，，Energeia 币吧。

在t=0时刻，上帝认为All Ewoks are created equal!于是把每个Ewok 人钱包里的钱重置为了e=20块Energeia币。（这样世界上总共有 E=en=20000个Energeia币在流通。）

之后上帝决定做一个社会学实验：每一秒随机抽两个Ewok人，如果第一个Ewok人的钱包不是空的，就从ta钱包里拿走1块Energeia币，并把它送给第二个Ewok人。

num = 1000money_list = fill(20, num)for _ in 1:5e7

i = rand(1:num)

if money_list[i] > 0

money_list[i] -= 1

money_list[rand(1:num)] += 1

endendbar(sort(money_list))

经过很长时间，上帝决定统计一下大家的阶级分布。上帝把所有Ewok人的财富排序之后做了张图。

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玻耳兹曼分布律

dxdydz
体积元 dxdydz 中的分子数密度为 dN E p / kT E p / kT n C e n0e dxdydz n0 C ——分子在EP=0处分子的数密度
4
EP=mgh，则
n n0e
mgh / kT
n0e
M mol gh / RT
重力场中气体分子的密度 n随高度h的增加按指数规律而减小。 1909年的皮兰实验的验证
玻尔兹曼将麦克斯韦速率分布率推广，以 Ep+Ek代替Ek ，得到玻耳兹曼分布律：
在温度为T的平衡状态下，任何系统的微观粒子按状态的分布，即在某一状态区间的粒子数与该状态区间的一个粒子的能量Ｅ有关，而且与 e E / kT 成正比
E / kT dN Ne dv x dv y dvz dxdydz
——玻尔兹曼分布 E / kT e —— 称为玻尔兹曼因子
2
2. 重力场中分子按位置的分布
状态区间dvxdvy dvz dxdydz 分子的总能量
E Ek E p 1 2 2 2 ( vx vx vx ) E p 2
由玻尔兹曼分布
重力场中分子的分布
dN Ce
( E K E P ) / kT
dv x dv y dv z dxdydz
3
求体积元 dxdydz 中的分子数 dN

玻尔兹曼能量分布定律

玻尔兹曼能量分布定律是描述物体在不同温度下能量分布的一种定律。根据这个定律，物体的能量分布与其温度有关，温度越高，能量分布越广，峰值越低；温度越低，能量分布越窄，峰值越高。

玻尔兹曼能量分布定律是热力学的基本原理之一，它可以解释许多与能量分布有关的现象。在自然界中，物体的能量分布是非常普遍的，无论是热力学系统中的粒子分布，还是宏观物体的能量分布，都可以用玻尔兹曼能量分布定律来描述。

玻尔兹曼能量分布定律的形式是一个指数函数，其中包含了玻尔兹曼常数和温度两个参数。根据这个定律，物体的能量分布可以通过温度来确定，温度越高，能量分布越广，物体的能量分布趋于均匀；温度越低，能量分布越窄，物体的能量分布趋于集中。

玻尔兹曼能量分布定律的应用非常广泛。在热力学系统中，通过对物体的能量分布进行分析，可以得到系统的热力学性质，如熵、内能等。在材料科学中，通过对材料的能量分布进行研究，可以了解材料的热导性、电导性等性质。在天体物理学中，玻尔兹曼能量分布定律可以解释星体的辐射特性，如黑体辐射等。

除了在科学研究中的应用，玻尔兹曼能量分布定律还有许多实际的应用。例如，在工程中，通过对能量分布的分析，可以确定材料的热传导性能，从而优化材料的设计。在能源领域，通过对能量分布

的研究，可以改进能源的利用效率，提高能源的利用率。

玻尔兹曼能量分布定律是描述物体能量分布的一种定律，它可以解释许多与能量分布有关的现象。通过对能量分布的研究，可以深入了解物体的热力学性质，优化材料的设计，改进能源的利用效率。玻尔兹曼能量分布定律在科学研究和工程应用中具有重要的作用，对于推动科学技术的发展有着重要的意义。

玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布定律是覆盖系统各种状态的概率分布，概率测量或频率分布。

当存在保守的外力（例如重力场，电场等）时，气体分子的空间位置不再均匀分布，并且在不同位置分子数密度也不同。玻尔兹曼分布定律描述了在保守外力或保守外力场的作用下处于热平衡状态的理想气体分子的能量分布。

L. E. Boltzmann将麦克斯韦分布定律扩展到外力场的情况。在相同的宽度范围内，如果E1> E2，则能量DN1大的粒子的数量少于能量DN2小的粒子的数量，并且状态是粒子优先占据较小的能量，这是玻尔兹曼的重要结果分配法。

经过近一个世纪的传播，物理和化学界逐渐接受道尔顿的“原子分子模型”，但是原子和分子的确凿证据尚未得到发现。这时，出现了更强大的科学成就，即热力学的第一定律和第二定律。热力学原则上解决了化学平衡的所有问题。1892年，物理化学家奥斯特瓦尔德（Ostwald）试图证明没有必要将物理和化学问题减少到原子或分子之间的机械关系。他试图赋予“能量”与物质对象相同的状态，甚至使物质恢复能量。他提出“世界上所有现象都仅由时空的能量变化构成”。

在统计中，麦克斯韦·玻尔兹曼分布是一种特殊的概率分布，以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼的名字命名。它首先被定义并在物理学中用于描述（特别是在统计力学中）粒子在理想气体中自由移动而不与固定容器中的其他粒子相互作用的速度，除了粒子与

其热环境之间的非常短时间的碰撞之外通过交换能量和动力。在这种情况下，粒子是指气态粒子（原子或分子），并且假定粒子系统达到了热力学平衡。当这种分布最初是从1960年的麦克斯韦启蒙运动中获得的时，玻尔兹曼对这种分布的物理起源进行了许多重要的研究。

4玻耳兹曼分布

2
适用于求平均碰撞次数
适用于分子的平均能量
dh
h
p nkT dp kTdn kTdn n gdh
p
(非均匀的稳定分布)
dn g dh n kT n dn h g n0 n 0 kT dh
n
T2 T1
h 在重力场中，粒子数密度随高度增大而减小，越大，n 减小越迅速；T 越高，n 减小越缓慢。
n n0e
(3) 功热转换
功转化为热就是有规律的宏观运动转变为分子的无序热运动，这种转变的概率极大，可以自动发生。相反, 热转化为功的概率极小，因而实际上不可能自动发生。
二熵、熵增原理
1. 熵
为了定量的表示系统状态的这种性质，从而定量说明自发过程进行的方向，而引入熵的概念。能否自动进行？孤立系统
一、分子的平均碰撞频率平均碰撞频率: 一个分子单位时间内和其它分子碰撞的平均次数，称为分子的平均碰撞频率。假设(模型) 1 .刚性小球(直径为d ) 2 .完全弹性碰撞
3 .被考察的分子A以平均速率看作静止不动。
u 运动，其它分子都
单位时间内与分子 A 发生碰撞的分子数为
nπ d u
例如某溶液在冷却过程中的结晶的现象。其内的分子从溶液中无序的运动转变为晶体的有规则排列，熵是减少的。
楼塌熵增
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玻尔兹曼分布,玻色分布,和费米分布的关系

玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布是统计物理中描述粒子分布的三种基本分布。

玻尔兹曼分布是描述经典粒子在能量状态间的分布情况的分布函数。根据玻尔兹曼分布，粒子在不同能级上的分布概率与能级的能量成反比。

玻色分布是描述玻色子（具有整数自旋）的分布情况的分布函数。根据玻色分布，玻色子能够在同一能级上具有任意多个粒子，并且各个粒子之间没有排斥作用。

费米分布是描述费米子（具有半整数自旋）的分布情况的分布函数。根据费米分布，费米子不能在同一个能级上具有多个粒子，并且各个粒子之间存在排斥作用。

三种分布函数在经典极限情况下可以相互转化。当粒子间的相互作用很弱或忽略不计时，玻色分布和费米分布在高温极限下会趋向于玻尔兹曼分布。而在低温极限下，玻尔兹曼分布则趋向于费米分布（保守统计中的玻尔兹曼-玻色平衡）。

综上所述，玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布是三种不同情况下的统计分布，它们在特定条件下可以相互转化或者趋于相似的分布模式。

统计力学中的玻尔兹曼分布与平均能量

统计力学是一门研究物质在宏观和微观层面上的统计规律的学科。玻尔兹曼分

布是统计力学中的一个重要概念，它描述了在热平衡状态下，粒子在不同能级上的分布情况。本文将介绍玻尔兹曼分布的基本原理，并探讨平均能量的计算方法。

在统计力学中，玻尔兹曼分布是描述粒子在不同能级上分布的概率分布函数。

它的形式可以由玻尔兹曼因子推导得出。玻尔兹曼因子是指在热平衡状态下，粒子在不同能级上的分布比例与能级的能量之间的关系。根据玻尔兹曼因子的定义，玻尔兹曼分布可以写成以下形式：

P(E) = (1/Z) * exp(-E/kT)

其中，P(E)表示粒子在能级E上的分布概率，Z是归一化常数，k是玻尔兹曼

常数，T是系统的温度。从上式可以看出，当能级的能量较高时，分布概率较低；

当能级的能量较低时，分布概率较高。这符合我们的直观认识，因为在热平衡状态下，粒子更倾向于分布在能量较低的状态。

玻尔兹曼分布在统计力学中有着广泛的应用。它可以用来解释气体的状态方程、热力学性质以及相变等现象。例如，根据玻尔兹曼分布，我们可以计算出气体的压强、体积和温度之间的关系，从而得到气体的状态方程。此外，玻尔兹曼分布还可以用来计算气体的熵、内能和自由能等热力学性质。

在统计力学中，平均能量是一个重要的物理量。它可以用来描述系统的热平衡

状态。平均能量的计算方法可以通过对玻尔兹曼分布函数进行积分得到。具体来说，平均能量可以表示为以下形式：

<E> = ∑ E * P(E)

其中，<E>表示平均能量，E表示能级的能量，P(E)表示粒子在能级E上的分

玻尔玆曼分布定律

玻尔兹曼分布定律是一个描述一定温度下微观粒子运动速度的概率分布的定律，以奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼命名。在物理学和化学中，这个定律被广泛应用于描述气体分子的速度分布。

任何宏观物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其他粒子的碰撞而不断变化。然而，对于大量粒子来说，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例几乎不变，如果系统处于或接近处于平衡状态。

玻尔兹曼分布定律具体说明了处于任何速度范围的粒子数量与系统温度的关系，这个关系由一个数学公式表示。这个公式表明，随着系统温度的升高，高速运动的粒子数量会增加，而低速运动的粒子数量会减少。

这个定律在物理学中有广泛应用，不仅限于气体分子的研究，还涉及到其他领域如电磁学、热力学等。此外，它也为统计力学的理论框架提供了基础，使得我们能够更好地理解物质的热性质和动力学行为。

玻尔兹曼统计分布

玻尔兹曼统计分布是热力学和统计物理学中的一个重要概念，它描述了粒子在能级间的分布情况。玻尔兹曼统计分布是基于玻尔兹曼分布定律得出的，该定律指出在热平衡状态下，粒子在各能级上的分布服从玻尔兹曼分布。

玻尔兹曼统计分布的推导是基于两个基本假设。首先，假设粒子之间是无相互作用的，其能量仅由粒子的内能决定。其次，假设粒子在不同能级上的分布是独立的，即一个粒子在某个能级上的分布不会影响其他粒子在相同能级上的分布。基于这两个假设，我们可以得到玻尔兹曼统计分布的表达式。

玻尔兹曼统计分布可以用来描述各种不同的系统，例如理想气体、固体、液体等。对于理想气体来说，玻尔兹曼统计分布可以用来计算不同能级上的粒子数。根据统计物理学的基本原理，处于热平衡的理想气体中，各个能级上的粒子数与该能级对应的能量有关。

在玻尔兹曼统计分布中，粒子在某个能级上的分布概率与该能级的能量成负指数关系。具体而言，粒子在第i个能级上的概率P(i)可以用玻尔兹曼因子e^(-E(i)/kT)表示，其中E(i)为第i个能级的能量，k为玻尔兹曼常数，T为系统的温度。玻尔兹曼统计分布可以通过计算每个能级上的粒子数与总粒子数的比例来得到。

玻尔兹曼统计分布在理解和描述各种物理现象中起着重要作用。例

如，在研究固体的热容时，可以利用玻尔兹曼统计分布计算不同能级上的粒子数，并进一步计算总的内能和热容。另外，玻尔兹曼统计分布也可以用来解释光谱线的强度分布、电子能级跃迁等现象。玻尔兹曼统计分布是热力学和统计物理学中的一个重要概念，它描述了粒子在能级间的分布情况。通过玻尔兹曼统计分布，我们可以计算不同能级上的粒子数，并进一步理解和解释各种物理现象。玻尔兹曼统计分布在研究和应用中具有广泛的意义，对于理解物质的性质和行为具有重要的启示作用。

热力学玻尔兹曼分布公式

热力学玻尔兹曼分布公式描述了在平衡状态下，分子间的分布情况。该公式由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼在19世纪末提出，是统计物理学的重要成果之一。

根据热力学玻尔兹曼分布公式，分子的分布情况与能量有关。在平衡状态下，分子的能量分布服从玻尔兹曼分布，其概率密度函数为： f(E) = (2πmkT)^(-3/2) * e^(-E/kT)

其中，f(E)表示分子在能量为E时的概率密度，m为分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为温度。

热力学玻尔兹曼分布公式的应用十分广泛，不仅可以用于解释气体分子的动力学行为，还能用于研究固体和液体中分子的行为。同时，该公式也被应用于能量分布的统计分析和工程设计等领域。

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玻尔兹曼分布律

玻尔兹曼分布律是量子统计物理学当中最典型的一种分布，其奠定了量子统计物理学的基础，玻尔兹曼认为全同粒子是可分辨的，而且处在一个量子态上的粒子数不受限制，根据这一特性，得出了微观粒子在各个能级的分布规律。由于其理论和所用的数学工具非常复杂，其推导是极其深奥的。

玻尔兹曼分布

在一个封闭的空间中，温度为T，里面只有两种能级，粒子的总数为N，且两种能级对应的个数分别为：,所以能级的粒子总和为

。那么N个粒子的不同状态组合数记为,且为：

通过组合数计算一下熵，熵是来源热力学的概念，熵是衡量物质的混乱程度的量，通常和物质的状态有关，我们知道当物质的能量越高时混乱程度也越高，能量越低时混乱程度也越低，这和我们的常识认知是一致的（这里希望大家能彻底搞懂什么是熵，这个概念很重要，熵在自然语言处理中会大量的使用，大家先看看维基百科，然后在自己学习一下，熵我打算在自然语言处理中在详细讲解），下面给出熵的定义：

其中是玻尔兹曼常数，取log就是熵的来源。

把带进上式的：

现在我给空间增加少了的能量，此时封闭的空间的低能级的粒子就会越变到高能级，也就是说会有少量的变为即：

，其中是变化的粒子数，由此我们从新计算熵为：

得到：

我们知道上式的分子和分母项是一样多的，同时在封闭的空间中是足够大的，是很小的，因此可以把化简为：

然而从热力学角度，熵的变化量和温度以及加入的能量有关（参考维基百科），因此有如下的公式;

联立和两式的到：

化简得到为：

从上式我们看到，不同能级的比值和能量、温度T、玻尔兹曼常数都有关系，且上式等式右边的指数和我们的退火算法很像，同时上式就称为玻尔兹曼分布。

好，从上面我们推倒了玻尔兹曼分布的来历。他是来源于热力学，大家通过我讲的简单型的可以完全理解了，掌握这些东西就够用了，如果对此感兴趣的同学可以看看完整版的玻尔兹曼分布，那里比这里稍微复杂一点，但是有这里的基础，看完整版的就会很容易了，好了，玻尔兹曼分布到此结束，下一节我们将模拟退火算法、玻尔兹曼分布和Hopfield神经网络结合起来，构建一个新的神经网络即随机神经网络或者说是玻尔兹曼机。

玻尔兹曼分布,玻色分布,和费米分布的关系(一)

玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布的关系

玻尔兹曼分布

•玻尔兹曼分布是描述非量子粒子（即经典粒子）分布的统计分布。•它适用于粒子之间没有限制，可以重复占据同一个量子态的情况。玻色分布

•玻色分布是描述玻色子（一类具有整数自旋的粒子）分布的统计分布。

•它适用于玻色子可以占据相同的量子态的情况。

费米分布

•费米分布是描述费米子（一类具有半整数自旋的粒子）分布的统计分布。

•它适用于费米子不可以占据相同的量子态的情况。

关系解释

玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布都是基于统计物理的理论模型，用于描述在热平衡状态下粒子的分布情况。它们的主要区别在于

粒子的特性以及对量子态的占据规则。

•玻尔兹曼分布适用于经典粒子，这些粒子之间没有限制，可以重复占据同一个量子态。因此，在相同的能级上，不同粒子的占据

数没有限制，可以存在任意多个粒子。

•玻色分布适用于玻色子，这类粒子具有整数自旋。根据泡利不相容原理，玻色子可以占据相同的量子态。因此，在相同的能级上，可以存在多个玻色子，粒子数不受限制。

•费米分布适用于费米子，这类粒子具有半整数自旋。根据泡利不相容原理，费米子不可以占据相同的量子态。因此，在相同的能

级上，每个费米子最多只能有一个，粒子数受到限制。

通过对比这三种分布，我们可以看到它们在描述粒子分布时所遵

循的不同原理。玻尔兹曼分布是玻色分布和费米分布的特殊情况，当

粒子的自旋为整数时，玻尔兹曼分布退化为玻色分布；当粒子的自旋

为半整数时，玻尔兹曼分布退化为费米分布。

这种关系的理解对于研究粒子统计行为以及热平衡态下的物理系

玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布律是一种覆盖系统各种状态的概率分布、概率测量或者频率分布。当有保守外力（如重力场、电场等）作用时，气体分子的空间位置就不再均匀分布了，不同位置处分子数密度不同。玻尔兹曼分布律是描述理想气体在受保守外力作用、或保守外力场的作用不可忽略时，处于热平衡态下的气体分子按能量的分布规律玻尔兹曼(L.E.Boltzmann)将麦克斯韦分布律推广到有外力场作用的情况。在等宽的区间内，若E1>E2，则能量大的粒子数dN1小于能量小的粒子数dN2，状态即粒子优先占据能量小的，这是玻尔兹曼分布律的一个重要结果。经过将近一个世纪的传播，物理学界、化学界渐渐接受了道尔顿的“原子—分子模型”，但原子、分子的确凿证据迟迟没有找到。恰恰此时，一股更强大的科学成就——热力学第一、第二定律出现了。热力学原则上解决了一切化学平衡的问题。1892年，物理化学家奥斯特瓦尔德试图在此基础上证明，将物理学和化学问题还原为原子或分子之间的力学关系是多余的。他试图将“能量”赋以实物一样的地位，甚至要把物质还原为能量。他提出“世界上的一切现象仅仅是由于处于空间和时间中的能量变化构成的”。在统计学中，麦克斯韦- 玻尔兹曼分布是一种特殊的概率分布，以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼的名字命名。它一开始在物理中定义并使用是为了描述（特别是统计力学中描述理想气体）在理想气体中粒子自由移动的在一个固定容器内与其它粒子无相互作用的粒子速度，除了它们相互或与它们的热环境交换能量与动量所产生的非常短暂的碰撞。在这种情况下粒子指的是气态粒子（原子或分子），并且粒子系统被假定达到热力学平衡。在这种分布最初从麦斯威尔1960年的启发性的基础上衍生出来时，玻尔兹曼之后对这种分布的物理起源进行了大量重要调查粒子速度概率分布指出哪一种速度更具有可能性：粒子将具有从分布中随机选择的速度，并且比其它选择方法更可能在速度范围内。分布取决于系统的温度和粒子的质量。麦克斯韦- 波尔兹