指数函数和对数函数高二(文)

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高二对数函数知识点总结

高二对数函数知识点总结对数函数是数学中重要的一类函数，也是高中数学中的重要内容之一。

在高二阶段，学生们开始接触和学习对数函数，并掌握其相关知识点。

本文将对高二对数函数的知识点进行总结。

一、基本概念对数函数是指以指数为自变量，对数为函数值的函数。

对数函数常用的底数有10和e。

其中，以底数10为底的对数函数叫做常用对数函数，记作log₋₁₀x；以底数e为底的对数函数叫做自然对数函数，记作lnx。

二、对数函数的性质1. 定义域和值域：对于常用对数函数log₋₁₀x，定义域为正实数集(0,+∞)，值域为实数集；对于自然对数函数lnx，定义域为正实数集(0,+∞)，值域为实数集。

2. 基本性质：(1) 对于常用对数函数log₋₁₀x，log₋₁₀(1) = 0；(2) 对于自然对数函数lnx，ln(1) = 0；(3) 对于常用对数函数和自然对数函数，log₋₁₀10 = 1，ln e= 1。

3. 对数函数的图象：(1) 常用对数函数y = log₋₁₀x的图象是一条过点(1, 0)的递增曲线；(2) 自然对数函数y = lnx的图象是一条过点(1, 0)的递增曲线。

三、对数函数的运算1. 对数乘法运算法则：logₐ(xy) = logₐx + logₐy2. 对数除法运算法则：logₐ(x/y) = logₐx - logₐy3. 对数幂运算法则：logₐ(xⁿ) = n·logₐx4. 换底公式：logᵦa = logₐa / logₐb四、对数函数的常用性质1. 对数函数的奇偶性：(1) 常用对数函数log₋₁₀x是奇函数，即log₋₁₀(-x) = -log₋₁₀x；(2) 自然对数函数lnx是奇函数，即ln(-x) = -lnx。

2. 对数函数的单调性：(1) 常用对数函数log₋₁₀x在定义域内是递增的；(2) 自然对数函数lnx在定义域内是递增的。

3. 对数函数的图象变换：(1) 常用对数函数y = log₋₁₀(ax)与y = log₋₁₀x的图象相比，沿x轴方向压缩(0 < a < 1)或伸长(a > 1)；(2) 自然对数函数y = ln(ax)与y = lnx的图象相比，沿x轴方向压缩(0 < a < 1)或伸长(a > 1)。

指数函数与对数函数(讲义)

指数函数与对数函数(讲义)指数函数和对数函数是数学中的基本函数之一。

指数函数的一般形式是$y=a^x$，其中$a$是底数，$x$是指数。

当$01$时，函数图像是上升的。

对数函数的一般形式是$y=\log_a x$，其中$a$是底数，$x$是真数。

当$01$时，函数图像是下降的。

指数函数和对数函数有许多重要的性质，例如它们的定义域和值域，单调性等。

比较大小时，可以利用指数函数和对数函数的单调性。

对于同底指数函数，可以直接比较大小。

对于异底指数函数，可以采用化同底、商比法、取中间值、图解法等方法。

对于同底数对数函数，可以直接利用单调性求解，但如果底数是字母，需要分类讨论。

对于异底数对数函数，可以采用化同底（换底公式）、寻找中间量（-1，1），或者借助图象高低数形结合来比较大小。

换底公式是比较常用的公式之一，可以用于将一个对数函数转化为以另一个底数为底的对数函数。

常用的变形包括$log_c a=\frac{1}{\log_a c}$，$log_a b^m=m\log_a b$，$a^{\log_a b}=b$等。

练题：1.若$3a=4b=6c$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的值为（B）。

2.计算：1）若集合$\{x,xy,\log(xy)\}=\{0,|x|,y\}$，则$\log_8(x^2+y^2)$的值为$\frac{3}{2}$；2）设$g(x)=\begin{cases}e^x &(x\leq 1)\\ \ln x&(x>1)\end{cases}$，则$g(g(2))=\ln(e^2+1)$；3）若$f(x)=\begin{cases}f(x+3) &(x<6)\\ \log_2 x &(x\geq 6)\end{cases}$，则$f(-1)$的值为$\log_2 5$。

3.（1）函数$f(x)=\log_2(x^2+1-x)$是奇函数；2）设函数$f(x)$在定义域上是奇函数，则$f(0)=0$。

高中数学指数对数函数的性质及应用实例

高中数学指数对数函数的性质及应用实例一、指数函数的性质指数函数是高中数学中非常重要的一个函数，它具有以下几个性质：1. 定义域和值域：指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。

2. 单调性：对于指数函数y=a^x，当底数a>1时，函数是递增的；当0<a<1时，函数是递减的。

3. 奇偶性：指数函数y=a^x是奇函数还是偶函数，取决于底数a的奇偶性。

4. 渐近线：当底数a>1时，指数函数的图像在x轴上有一条水平渐近线y=0；当0<a<1时，指数函数的图像在y轴上有一条垂直渐近线x=0。

5. 过点(0,1)：对于任何正数a，指数函数都过点(0,1)。

6. 指数函数的性质与变换：指数函数y=a^x的图像在平面上的平移、伸缩、翻转等变换中，保持指数函数的性质不变。

例如，考虑指数函数y=2^x和y=0.5^x。

我们可以通过绘制函数图像来验证上述性质。

二、对数函数的性质对数函数是指数函数的反函数，它也具有一些重要的性质：1. 定义域和值域：对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。

2. 单调性：对于对数函数y=loga(x)，当底数a>1时，函数是递增的；当0<a<1时，函数是递减的。

3. 奇偶性：对数函数y=loga(x)是奇函数还是偶函数，取决于底数a的奇偶性。

4. 渐近线：对数函数y=loga(x)的图像在x轴上有一条水平渐近线y=0。

5. 过点(1,0)：对于任何正数a，对数函数都过点(1,0)。

6. 对数函数的性质与变换：对数函数y=loga(x)的图像在平面上的平移、伸缩、翻转等变换中，保持对数函数的性质不变。

例如，考虑对数函数y=log2(x)和y=log0.5(x)。

我们可以通过绘制函数图像来验证上述性质。

三、指数对数函数的应用实例指数对数函数在实际问题中有广泛的应用，下面举两个例子来说明：例1：财务利润问题某公司的年利润以10%的速度递增。

高中数学第二章指数函数、对数函数和幂函数 2.2.3 对数函数的图象和性质第1课时反函数及对

2.2.3 对数函数的图象和性质第1课时反函数及对数函数的图象和性质[学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质．[知识]1．作函数图象的步骤为列表、描点、连线．另外也可以采取图象变换法．2．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象与性质.a＞10＜a＜1 图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1 单调性是R上的增函数是R上的减函数[预习导引]1．对数函数的概念把函数y＝log a x(x＞0，a＞0，a≠1)叫作(以a为底的)对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1 图象性质定义域(0，＋∞)值域R过点过点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数3.反函数(1)对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．(2)要寻找函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成y＝g(x)的形式，如果这种形式是唯一确定的，就得到f(x)的反函数g(x).要点一对数函数的概念例1 指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝log x3；(4)y＝log2x＋1.解(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.跟踪演练1 若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定答案 A解析设对数函数的解析式为y＝log a x(a＞0且a≠1)，由题意可知log a4＝2，∴a2＝4，∴a ＝2，∴该对数函数的解析式为y＝log2x.要点二对数函数的图象例2 如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35、110，则相应于c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为( )A.3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35 答案 A解析方法一先排c 1、c 2底的顺序，底都大于1，当x ＞1时图低的底大，c 1、c 2对应的a 分别为3、43.然后考虑c 3、c 4底的顺序，底都小于1，当x ＜1时底大的图高，c 3、c 4对应的a 分别为35、110.综合以上分析，可得c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为3、43、35、110.故选A.方法二作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c 1、c 2、c 3、c 4对应的a 值分别为3、43、35、110，故选A.规律方法函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的底数变化对图象位置的影响．观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图象向右越靠近x 轴，0＜a ＜1时a越小，图象向右越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图象与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．跟踪演练2 (1)函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(－2,1) D ．(－1,1)(2)如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞1 答案 (1)D (2)B解析 (1)令x ＋2＝1，即x ＝－1，得y ＝log a 1＋1＝1，故函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点(－1,1)．(2)作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0＜b ＜a ＜1. 要点三对数函数的定义域例3 (1)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) (2)若f (x )＝121log (21)x +，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 答案 (1)C (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ≠0，解得x ＞－1且x ≠1.(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0，2x ＋1≠1，解得x ＞－12且x ≠0.规律方法求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．跟踪演练3 (1)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1] (2)函数y ＝lgx ＋1x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞) 答案 (1)B (2)C解析 (1)因为y ＝x ln(1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x ＞0，解得0≤x ＜1.(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，解得x ＞－1且x ≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)，故选C. 要点四反函数例4 求下列函数的反函数：(1)y ＝2x －5；(2)y ＝x1－x ；(3)y ＝1＋e 2x . 解 (1)从x ＝2y －5中解得y ＝x ＋52，即为所求；(2)从x ＝y 1－y 中解得y ＝xx ＋1，即为所求；(3)从x ＝1＋e 2y 移项得x －1＝e 2y .两端取自然对数得到ln(x －1)＝y2，解得y ＝2ln(x －1)，即为所求．规律方法要找寻函数y ＝f (x )的反函数，可以先把x 和y 换位，写成x ＝f (y )，再把y 解出来，表示成y ＝g (x )的形式．如果这种形式是唯一确定的，就得到了f (x )的反函数g (x )．既然y ＝g (x )是从x ＝f (y )解出来的，必有f (g (x ))＝x ，这个等式也可以作为反函数的定义．跟踪演练4 y ＝ln x 的反函数是________．答案 y ＝e x解析由y ＝ln x ，得x ＝e y ，所以反函数为y ＝e x.1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝log 22xC ．y ＝log 2x ＋1D ．y ＝lg x 答案 D解析选项A 、B 、C 中的函数都不具有“y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)”的形式，只有D 选项符合． 2．函数f (x )＝11－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A ．(－13，＋∞) B．(－∞，－13)C ．(－13，13)D ．(－13，1)答案 D解析由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1.3．函数y ＝a x与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )答案 A解析函数y ＝－log a x 恒过定点(1,0)，排除B 项；当a ＞1时，y ＝a x是增函数，y ＝－log a x 是减函数，排除C 项，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数，y ＝－log a x 是增函数，排除D 项，A 项正确．4．若a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点________．答案 (2,1)解析函数图象过定点，则与a 无关，故log a (x －1)＝0，所以x －1＝1，x ＝2，y ＝1，所以y ＝log a (x －1)＋1过定点(2,1)． 5．函数y ＝lg x 的反函数是________．答案 y ＝10x解析由反函数的定义知x ＝10y，故反函数为y ＝10x.1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)这种形式．2．在对数函数y ＝log a x 中，底数a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.一、基础达标1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则a 的值可以是( )A ．0.5B ．2C ．eD ．π 答案 A解析 ∵函数y ＝log a x 的图象单调递减，∴0＜a ＜1，只有选项A 符合题意． 2．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 答案 A解析由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，4－x ≥0，解得1＜x ≤4.3．在同一坐标系中，函数y ＝log 3x 与y ＝13log x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称答案 B解析 ∵y ＝13log x ＝－log 3x ，∴函数y ＝log 3x 与y ＝13log x 的图象关于x 轴对称．4．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b 答案 D解析 y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log b x ，y ＝log c x 的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b ，c ∈(0,1)，又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b .5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x， x ≤0，log 2x ，x ＞0，那么f (f (18))的值为( )A ．27 B.127C ．－27 D ．－127答案 B解析 f (18)＝log 218＝log 22－3＝－3，f (f (18))＝f (－3)＝3－3＝127.6．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. 答案－32解析设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则－3＝log a 8，∴a ＝12.∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.7．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )．解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，解之得x ＞2且x ≠3.∴函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解之得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. ∴函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．二、能力提升8．设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，且g (a )＝14，则a 等于( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 B解析 ∵函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝2x，即g (x )＝2x. 又∵g (a )＝14，∴2a＝14，∴a ＝－2.9．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致是( )答案 D解析由函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可知，函数f (x )＝log a (x ＋b )在(－b ，＋∞)上是减函数．所以0＜a ＜1且0＜b ＜1.所以g (x )＝a x＋b 在R 上是减函数，故排除A ，B.由g (x )的值域为(b ，＋∞)．所以g (x )＝a x＋b 的图象应在直线y ＝b 的上方，故排除C. 10．若log 2a 1＋a21＋a<0，则a 的取值X 围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析当2a >1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a <1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1.当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a >1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 11．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )＜f (2)，利用图象求a 的取值X 围．解 (1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由图象知：函数f (x )为单调增函数，当0＜a ＜2时，恒有f (a )＜f (2)．∴所求a 的取值X 围为(0,2)．三、探究与创新12．求y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．解因为2≤x ≤4，所以log 122≥log 12x ≥log 124，即－1≥log 12x ≥－2.设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，所以y ＝t 2－12t ＋5，其图象的对称轴为直线t ＝14，所以当t ＝－2时，y max ＝10；当t ＝－1时，y min ＝132.13．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的word 11 / 11 表达式，并画出大致图象．解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，－lg 1－x ，x ＜0，∴f (x )的大致图象如图所示：。

高中数学第3章指数函数和对数函数5对数函数5.1对数函数的概念5.2对数函数y=log2x的图像和性

学习目标核心素养1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系．2．了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数．(难点、易混点)3．会画具体函数的图像．(重点)1.通过对数函数的概念及反函数概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过对数函数y＝log2x的图像研究函数的性质，培养直观想象素养.高中数学第3章指数函数和对数函数5对数函数5.1对数函数的概念5.2对数函数y＝log2x的图像和性质学案北师大版必修11阅读教材P89～P90“分析理解”以上部分，完成下列问题．1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)，值域是R，a叫作对数函数的底数．2．两类特殊的对数函数常用对数函数：y＝lg x，其底数为10.自然对数函数：y＝ln x，其底数为无理数e.3．反函数阅读教材P90从“分析理解”～P91“练习”间的部分，完成下列问题．指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)是对数函数y＝log a x(a＞0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝log a x(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的反函数，即同底的指数函数与对数函数互为反函数．4．函数y＝log2x的图像和性质阅读教材P91～P93有关内容，完成下列问题．图像特征函数性质过点(1,0)当x＝1时，y＝0在y轴的右侧定义域是(0，＋∞)向上、向下无限延伸值域是R在直线x＝1右侧，图像位于x轴上方；在直若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0线x＝1左侧，图像位于x轴下方函数图像从左到右是上升的在(0，＋∞)上是增函数思考：(1)指数函数y＝2x与对数函数x＝log2y的图像有什么关系？(2)指数函数y＝2x的图像与对数函数y＝log2x的图像有什么关系？[提示](1)重合．(2)关于直线y＝x对称．1．函数y＝log a x的图像如图所示，则a的值可以是( )A.12B．2C．e D．10A[y＝log a x的图像是下降的，故a可以是12.故选A.]2．函数y＝log2(x－2)的定义域是________．(2，＋∞)[由x－2>0，得x>2，所以其定义域是(2，＋∞)．]3．函数y＝log2(x2＋1)的值域是________．[0，＋∞)[由x2＋1≥1，得y≥0，所以，其值域是[0，＋∞)．]4．对数函数f(x)的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫19，2，则f(3)＝________.－1 [设f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)，因为对数函数f(x)的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫19，2，所以f⎝⎛⎭⎪⎫19＝log a19＝2.所以a2＝19.所以a＝⎝⎛⎭⎪⎫1912＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫13212＝13.所以f(x)＝log13x.所以f(3)＝log133＝log13⎝⎛⎭⎪⎫13-2＝－1.]对数函数的概念【例1】下列函数中，哪些是对数函数？ (1)y ＝log a x (a >0，且a ≠1)； (2)y ＝log 2x ＋2； (3)y ＝8log 2(x ＋1)； (4)y ＝log x 6(x >0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x .[解] (1)中真数不是自变量x ，不是对数函数． (2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x ＋1，不是x ，系数不为1，故不是对数函数． (4)中底数是自变量x ，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x ，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．判断一个函数是对数函数的方法1．若函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝________. 1 [由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0或a ＝1. 又底数a ＋1>0，且a ＋1≠1，所以a ＝1.]求函数的反函数【例2】 (1)y ＝10x； (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ；(3)y ＝log 13x; (4)y ＝log 2x .[解] (1)由y ＝10x，得x ＝lg y ，∴其反函数为y ＝lg x ； (2)由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x，得x ＝log 45y ，∴其反函数为y ＝log 45x ；(3)由y ＝log 13x ，得x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13y ，∴其反函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；(4)由y ＝log 2x ，得x ＝2y，∴其反函数为y ＝2x.反函数的求法 1由y ＝ax或y ＝log a x，解得x ＝log a y 或x ＝a y；2将x ＝log a y 或x ＝a y中的x 与y 互换位置，得y ＝log a x 或y ＝a x；3由y ＝ax或y ＝log a x 的值域，写出y ＝log a x 或y ＝ax的定义域.2．(1)已知函数y ＝g (x )的图像与函数y ＝log 3x 的图像关于直线y ＝x 对称，则g (2)的值为( )A ．9B ． 3 C. 2D ．log 32(2)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12xC ．2－xD ．x 2(1)A (2)B [(1)y ＝g (x )与y ＝log 3x 互为反函数，故g (x )＝3x，故g (2)＝32＝9.(2)由题意知(a ，a )在y ＝a x 上，可得a a＝a ＝a 12，即a ＝12.因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数为y ＝log 12x ，所以f (x )＝log 12x .]函数y ＝log 2x 的图像与性质[探究问题]1．求函数y ＝log 2|x |的定义域，并画出它的图像．提示：函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }．函数解析式可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 2－x ，x <0，其图像如图所示．(其特征是关于y 轴对称)．2．画出函数y ＝|log 2x |的图像，并写出它的单调区间．提示：y ＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2x ， 0<x ≤1，log 2x ， x >1，其图像如图所示，增区间为[1，＋∞)，减区间为(0,1)．【例3】根据函数f (x )＝log 2x 的图像和性质求解以下问题： (1)若f (x －1)>f (1)，求x 的取值范围；(2)求y ＝log 2(2x －1)在 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，52上的最值．[思路探究] 可依据y ＝log 2x 的图像，借助函数的单调性解不等式，求最值． [解] 作出函数y ＝log 2x 的图像如图．(1)由图像知y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数．因为f (x －1)>f (1)，所以x －1>1，解得x >2，所以x 的取值范围是(2，＋∞)． (2)∵34≤x ≤52，∴12≤2x －1≤4，∴log 212≤log 2(2x －1)≤log 24，所以－1≤log 2(2x －1)≤2，故函数y ＝log 2(2x －1)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，52上的最小值为－1，最大值为2.1．(变结论)将例题中的条件不变，试比较log 245与log 234的大小．[解] 函数f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数，又∵45>34，∴log 245>log 234.2．(变结论)将例题中的条件不变，解不等式log 2(2－x )>0. [解] log 2(2－x )>0，即log 2(2－x )>log 21， ∵函数y ＝log 2x 为增函数， ∴2－x >1，∴x <1.∴x 的取值范围是(－∞，1)．函数f x ＝log 2x 是最基本的对数函数，它在0，＋∞上是单调递增的，利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小.1．解与对数有关的问题，首先要保证在定义域范围内解题，即真数大于零，底数大于零且不等于1，函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式．2．指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们定义域与值域相反，图像关于直线y ＝x 对称．3．应注意数形结合思想在解题中的应用．1．思考辨析(1)函数y ＝2log 2x 是对数函数．( )(2)函数y ＝3x的反函数是y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .( )(3) 对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．函数f (x )＝lg(2－3x )的定义域是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23 [由2－3x >0，得x <23，所以，f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23.] 3．函数y ＝log 12x 的反函数是________．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x [由y ＝log 12x ，得x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，所以，其反函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .]4．求函数y ＝log 2(3＋2x －x 2)的定义域和值域．[解] 由3＋2x －x 2>0，得x 2－2x －3<0，∴－1<x <3，∴其定义域为(－1,3)u ＝3＋2x －x 2＝4－(x －1)2≤4，又y ＝log 2u 是增函数．∴y ≤log 24＝2，∴其值域为(－∞，2]．。

指数函数和对数函数

指数函数和对数函数指数函数和对数函数是高中数学中重要的两个函数类型。

它们在数学和实际应用中具有广泛的作用和重要性。

本文将介绍指数函数和对数函数的定义、性质以及它们在数学和实际中的应用。

一、指数函数指数函数是以底数为常数且指数为自变量的函数。

一般形式为 y =a^x，其中 a 是底数，x 是指数，y 是函数值。

指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。

指数函数的特点是当底数大于 1 时，随着指数的增加，函数值增加；当底数小于 1 且大于 0 时，随着指数的增加，函数值减小。

当底数为 1 时，指数函数为 y = 1，是一个常函数。

指数函数在数学中有广泛的应用，例如在复利计算、人口增长和物质衰变等方面。

在实际应用中，指数函数也常用于描述增长或衰变速度较快的现象，如病菌增长和药物浓度的降解等。

二、对数函数对数函数是指数函数的逆运算。

对数函数的一般形式为y = logₐ(x)，其中 a 是底数，y 是指数，x 是函数值。

对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。

对数函数的特点是当底数大于 1 时，随着函数值的增加，指数也增加；当底数小于 1 且大于 0 时，随着函数值的增加，指数逐渐变小。

对数函数在数学中有广泛的应用，特别是在解决指数方程和指数不等式时常被用到，例如求解 2^x = 8 的 x 值时，可以通过对数函数得到log₂(x) = log₂(8)，进而得到 x = 3。

在实际应用中，对数函数也常用于衡量物质的浓度、信号的强度和地震的能量等。

三、指数函数与对数函数的性质和关系1. 指数函数和对数函数是互为反函数的关系，即 y = a^x 和 x =logₐ(y) 互为反函数。

2. 指数函数和对数函数具有对称性，即 a^x 和logₐ(x) 以直线 y = x为对称轴对称。

3. 指数函数和对数函数的图像都经过点 (1, a)，其中 a 是底数。

4. 指数函数和对数函数的增长速度都与底数 a 的大小相关，当 a 大于 1 时，函数增长速度较快，当 a 小于 1 且大于 0 时，函数增长速度较慢。

高中数学第四章指数函数与对数函数知识点梳理(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数知识点梳理单选题1、已知函数f(x)={2,x>mx2+4x+2,x≤m，若方程f(x)−x=0恰有三个根，那么实数m的取值范围是（）A．[−1,2)B．[−1,2]C．[2,+∞)D．(−∞,−1]答案：A分析：由题意得，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，结合图象可得出结果.解：由题意可得，直线y=x与函数f(x)=2(x>m)至多有一个交点，而直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)至多两个交点，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，则只需要满足直线y=x与函数f(x)=2(x>m)有一个交点直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)有两个交点即可，如图所示，y=x与函数f(x)=x2+4x+2的图象交点为A(−2,−2)，B(−1,−1)，故有m≥−1.而当m≥2时，直线y=x和射线y=2(x>m)无交点，故实数m的取值范围是[−1,2).故选：A.2、已知函数f(x)=9+x2x，g(x)=log2x+a，若存在x1∈[3,4]，对任意x2∈[4,8]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,134]B．(134,+∞)C．(0,134)D．（1，4）答案：A分析：将问题化为在对应定义域内f(x 1)max ≥g(x 2)max ，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.由题意知：f(x)在[3,4]上的最大值大于或等于g(x)在[4,8]上的最大值即可．当x ∈[3,4]时，f (x )=9x +x ，由对勾函数的性质得：f(x)在[3,4]上单调递增，故f (x )max =f (4)=94+4=254．当x ∈[4,8]时，g (x )=log 2x +a 单调递增，则g (x )max =g (8)=log 28+a =3+a ，所以254≥3+a ，可得a ≤134．故选：A3、已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=log 2(x +2)+t ，f (−6)=（）A ．−2B ．2C ．−4D ．4答案：A分析：因f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)=0，从而可求t ，再由奇函数的定义即可求出f (−6)的值. 解：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，又当x ≥0时，f(x)=log 2(x +2)+t ，∴f (0)=log 2(0+2)+t =0，∴t =−1，∴当x ≥0时，f(x)=log 2(x +2)−1，∴f (−6)=−f (6)=−[log 2(6+2)−1]=−(log 223−1)=−2，故选：A.4、关于函数f (x )={2x −a,0≤x <2b −x,x ≥2，其中a,b ∈R ，给出下列四个结论：甲：6是该函数的零点；乙：4是该函数的零点；丙：该函数的零点之积为0；丁：方程f (x )=52有两个不等的实根若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案：B分析：由已知函数的单调性判断甲乙中有一个结论错误，假设甲正确，结合丙正确求得a,b 的值，得到函数解析式，再说明丁正确，则答案可求.当x ∈[0,2)时，f (x )=2x −a 为增函数，当x ∈[2,+∞)，f (x )=b −x 为减函数，故6和4只有一个是函数的零点，即甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙丁均正确.由两零点之积为0，则必有一个零点为0，则f (0)=20−a =0⇒a =1，①若甲正确，则f (6)=0，即b −6=0，则b =6，可得f (x )={2x −1,0≤x <26−x,x ≥2，由f (x )=52可得：{0≤x <22x −1=52或{x ≥26−x =52，解得：x =log 272或x =72，方程f (x )=52有两个不等的实根，故丁正确，故甲正确，乙错误.②若乙正确，则f (4)=0，即b −4=0，则b =4，可得f (x )={2x −1,0≤x <24−x,x ≥2，由f (x )=52可得：{0≤x <22x −1=52或{x ≥24−x =52，解得：x =log 272，方程f (x )=52只有一个实根，故丁错误，不满足题意.故甲正确，乙错误.故选：B.5、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x ,x ≤0,若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．(−∞,0)∪(0,1)B ．(−∞,0)∪(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(0,1)∪(1,+∞)答案：B分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围.令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13)x =0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1，则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件；当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x的图象没有交点，因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x ∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ，所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)，故选：B.6、已知函数f(x)=11+2x ，则对任意实数x ，有（）A ．f(−x)+f(x)=0B ．f(−x)−f(x)=0C ．f(−x)+f(x)=1D ．f(−x)−f(x)=13答案：C分析：直接代入计算，注意通分不要计算错误．f(−x)+f(x)=11+2−x +11+2x=2x1+2x+11+2x=1，故A错误，C正确；f(−x)−f(x)=11+2−x −11+2x=2x1+2x−11+2x=2x−12x+1=1−22x+1，不是常数，故BD错误；故选：C．7、若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：．1.5答案：B分析：根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.解：因为f(1)<0,f(1.5)>0，所以f(1)f(1.5)<0，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.5−1=0.5>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.25)<0，所以f(1.25)f(1.5)<0，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5−1.25=0.25>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.375)<0，所以f(1.375)f(1.5)<0，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5−1.375=0.125> 0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.4375)>0，所以f(1.4375)f(1.375)<0，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375−1.375=0.0625<0.1，所以满足精确度0.1；所以方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根（精确度0.05）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .故选：B8、若√4a2−4a+1=√(1−2a)33，则实数a的取值范围是（）A．[12,+∞)B．(−∞,12]C．[−12,12]D．R答案：B分析：根据根式与指数幂的运算性质，化简得到√(2a−1)2=√(1−2a)33，即可求解.根据根式和指数幂的运算性质，因为√4a 2−4a +1=√(1−2a)33，可化为√4a 2−4a +1=√(1−2a)33，即√(2a −1)2=√(1−2a)33，可得|2a −1|=1−2a ，所以1−2a ≥0，即a ≤12．故选：B.多选题9、已知a ，b 均为正实数，若log a b +log b a =52，a b =b a ，则a b =（）A ．12B ．√22C ．√2D ．2答案：AD分析：令t =log a b ，代入可求出t ，可得a 与b 的关系式，再代入a b =b a 即可求出a ，b 的值.令t =log a b ，则t +1t =52，所以2t 2−5t +2=0，即(2t −1)(t −2)=0，解得t =12或t =2，即log a b =12或log a b =2，所以a =b 2或a 2=b ，因为a b =b a ，代入得2b =a =b 2或b =2a =a 2，所以a =4，b =2或a =2，b =4，所以a b =2或a b =12.故选：AD.小提示：本题主要考查了对数的运算及性质，属于中档题.10、已知函数y =f (x )的图象在区间上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是（）A ．若f (0)⋅f (1)<0，则y =f (x )在(0,1)内至少有一个零点B ．若f (0)⋅f (1)>0，则y =f (x )在(0,1)内没有零点C ．若y =f (x )在(0,1)内没有零点，则必有f (0)⋅f (1)≥0D ．若y =f (x )在(0,1)内有唯一零点，f (0)⋅f (1)<0，则f (x )在(0,1)上是单调函数答案：AC分析：根据零点存在定理逐一判断即可． []0,1因为f(x)在[0，1]上连续，A．f(0)⋅f（1）<0，由零点存在定理可知，y=f(x)在(0,1)内至少有一个零点，故正确；B．当f(x)=x2−x+14时，满足f(0)⋅f（1）>0，但在(0,1)内有一个零点12，故错误；C．y=f(x)在(0,1)内没有零点，则必有f(0)⋅f（1）⩾0等价于f(0)⋅f（1）<0，则y=f(x)在(0,1)内有零点，由零点存在定理可知此命题是真命题，故正确；D．y=f(x)在(0,1)内有唯一零点，f(0)⋅f（1）<0，但f(x)在(0,1)上不一定是单调函数，比如f(x)=14−(x−14)2，故错误．故选：AC．11、某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，如图所示．假设其关系为指数函数，并给出下列说法，其中正确的说法有（）A．野生水葫芦的每月增长率为1B．野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1．5个月C．设野生水葫芦蔓延到10m2，20m2，30m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1+t3<2t2D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度答案：AC分析：根据指数函数的图象过点(4,16)，求得函数的解析式，结合指数函数的解析式，逐项判定，即可求解. 设指数函数的解析式为f(x)=a t(a>0,a≠1)，由函数的图象可知图象过点(4,16)，代入可得16=a 4，解得a =2，即f (x )=2t ，则f(n)−f(n−1)f(n−1)=2n −2n−12n−1=1，所以野生水葫芦的每月增长率为1，所以A 正确；由当t =2时，y =4，又由y =12时，可得2t =12，解得t =log 212≠3.5，所以B 不正确；令y =10，可得2t 1=10，解得t 1=log 210，同理可得t 2=log 220,t 3=log 230，则t 1+t 3=log 210+log 230=log 2300，2t 2=2log 220=log 2400，所以t 1+t 3<2t 2，所以C 正确；由平均变化率的定义，可得1月到3月的平均变化率为8−23−1=3， 2月到4月的平均变化率为16−44−2=6，所以D 不正确. 故选：AC.12、已知正数x ，y ，z 满足3x ＝4y ＝6z ，则下列说法中正确的是（）A ．1x ＋12y ＝1zB ．3x ＞4y ＞6zC ．x ＋y ＞(32＋√2)z D ．xy ＞2z 2 答案：ACD分析：设3x =4y =6z =t >1，则x =log 3t ，y =log 4t ，z =log 6t ，分别代入选项中，根据对数运算法则化解，判断是否正确即可.设3x =4y =6z =t >1，则x =log 3t ，y =log 4t ，z =log 6t ，则1x +12y =log t 3+12log t 4=log t 6=1z ，故A 正确；由3x =log 313t ，4y =log 414t ，6z =log 616t ，又313>414>616，t >1，则3x <4y <6z ，故B 错误；x +y z =log 3t +log 4t log 6t=log 36+log 46=log 32+log 33+log 42+log 43 =log 32+1+12log 23+12=32+log 32+12log 23>32+√2，因此x +y >(32+√2)z ，故C 正确；xy z2=log3t⋅log4tlog6t⋅log6t=log36⋅log46=(log32+log33)⋅(log42+log43)=12(log32+1)⋅(log23+1)=12(2+log32+log23)>2，因此xy>2z2，故D正确；故选：ACD13、已知函数f(x)=x−1，g(x)=2x ．记max{a,b}={a,a≥bb,a<b，则下列关于函数F(x)=max{f(x),g(x)}(x≠0)的说法正确的是（）A．当x∈(0,2)时，F(x)=2xB．函数F(x)的最小值为−2C．函数F(x)在(−1,0)上单调递减D．若关于x的方程F(x)=m恰有两个不相等的实数根，则−2<m<−1或m>1答案：ABD分析：得到函数F(x)={x−1,−1≤x<0或x≥22x,x<−1或0<x<2，作出其图象逐项判断.由题意得：F(x)={x−1,−1≤x<0或x≥22x,x<−1或0<x<2，其图象如图所示：由图象知：当x∈(0,2)时，F(x)=2x，故A正确；函数F(x)的最小值为−2，故正确；函数F(x)在(−1,0)上单调递增，故错误；方程F(x)=m恰有两个不相等的实数根，则−2<m<−1或m>1，故正确；故选：ABD填空题14、若定义域为I=(0,m]的函数f(x)=e x满足：对任意能构成三角形三边长的实数a,b,c∈I，均有f(a)，f(b)，f(c)也能构成三角形三边长，则m的最大值为______．（e≈2.718281828是自然对数的底）答案：ln4##2ln2分析：不妨设三边的大小关系为：0<a≤b≤c，利用函数的单调性，得出f(a)，f(b)，f(c)的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出m的最大值即可.f(x)=e x在I=(0,m]上严格增，所以f(x)∈(1,e m]，不妨设0<a≤b≤c，因为对任意能构成三角形三边长的实数a,b,c∈I，均有f(a)，f(b)，f(c)也能构成三角形三边长，所以e a+e b>e c,a+b>c，因为e a+e b≥2√e a e b=2√e a+b>e c，所以4e a+b>e2c，因为对任意a,b,c∈I都成立，所以4e c≥e2c，所以e c≤4，所以c≤ln4，所以m≤ln4，所以m的最大值为ln4．所以答案是：ln4.15、设实数x满足log x4−log2x=1，则x=________．答案：14或2分析：结合对数的换底公式整理得(log2x)2+log2x−2=0，求出log2x，结合对数和指数式的互化即可求出x.由于log x4=2log x2=2log2x ，所以原式转化为2log2x−log2x=1，即(log2x)2+log2x−2=0，解得log2x=−2或log2x=1，所以x=14或x=2．故答案为: 14或2.16、已知函数f(x)={e x−1,x≥0，ax2+x+a,x<0恰有2个零点，则a=__________．答案：12##0.5分析：先求得f(x)在[0，+∞)上恰有1个零点，则方程ax2+x+a=0有1个负根，a=0时不成立，a≠0时，由一元二次方程的性质分Δ=0和Δ>0讨论求解即可.当x≥0时，令f(x)=e x−1=0，解得x=0，故f(x)在[0，+∞)上恰有1个零点，即方程ax2+x+a=0有1个负根.当a=0时，解得x=0，显然不满足题意；当a≠0时，因为方程ax2+x+a=0有1个负根，所以Δ=1−4a2≥0.当Δ=1−4a2=0，即a=±12时，其中当a=12时，12x2+x+12=0，解得x=−1，符合题意；当a=−12时，−12x2+x−12=0，解得x=1，不符合题意；当Δ=1−4a2>0时，设方程ax2+x+a=0有2个根x1，x2，因为x1x2=1>0，所以x1，x2同号，即方程ax2+x+a=0有2个负根或2个正根，不符合题意．综上，a=12．所以答案是：0.5.解答题17、已知函数f(x)=a⋅2x−21−x是定义在R上的奇函数.(1)求实数a的值；(2)求不等式f(f(x)−2)>3的解集；(3)若关于x的不等式f(x)>k2x−1+2恒成立，求实数k的取值范围.答案：(1)a=2(2)(1,+∞)(3)(−∞,−54)分析：（1）根据奇函数满足f(−x)+f(x)=0，即可求解；（2）根据f(x)的单调性，即可根据函数值的大小确定自变量的大小，即可转化求解，（3）将恒成立问题转化为最值问题，即可利用二次函数的性质求最值进行求解.（1）因为f(x)=a ⋅2x −21−x 是定义在R 上的奇函数，所以f(−x)+f(x)=0，即a ⋅2−x −21+x +a ⋅2x −21−x =0，即(a −2)(2x +12x )=0，因为2x +12x >0，所以a −2=0，所以a =2（经检验，a =2符合题意）（2）由（1）得f(x)=21+x −21−x ，因为y =21+x 与y =−21−x 在R 上均为增函数，所以f(x)=21+x −21−x 在R 上为增函数，又f(1)=3，所以f(f(x)−2)>f(1)，所以f(x)−2>1，即f(x)>3=f(1)，所以x >1，所以不等式f[f(x)−2]>3的解集是(1,+∞).（3）因为关于x 的不等式f(x)>k2x−1+2恒成立，即21+x −21−x >k 2x−1+2恒成立，所以k <22x −2x −1恒成立，所以k <(22x −2x −1)min ，因为22x −2x −1=(2x −12)2−54，所以当2x =12，即x =−1时，22x −2x −1取得最小值−54. 所以k <−54，即实数k 的取值范围是(−∞,−54) 18、已知函数f(x)=log ax ，g(x)=log a (2x +m −2)，其中x ∈[1,3]，a >0且a ≠1，m ∈R .（1）若m =6且函数F (x)=f(x)+g(x)的最大值为2，求实数a 的值.（2）当a >1时，不等式f(x)<2g(x)在x ∈[1,3]时有解，求实数m 的取值范围. 答案：（1）a =√30；（2）m >0.分析：（1）由题设可得F (x )=log a [x (2x +4)]，讨论a >1、0<a <1，结合已知最大值求参数a ，注意判断a 值是否符合题设.（2）由对数函数的性质可得m >0，再由对数函数的单调性可得m >−2x +√x +2，利用二次函数的性质求不等式右边的最小值，即可得m 的取值范围.（1）m=6，g(x)=log a(2x+4)，则F(x)=f(x)+g(x)=log a[x(2x+4)]，x∈[1,3]. 当a>1时，[F(x)]max=F(3)=log a30=2，所以a=√30；当0<a<1时，[F(x)]max=F(1)=log a6=2，所以a=√6，不合题意.综上，a=√30.（2）要使g(x)在[1,3]上有意义，则2+m−2>0，解得m>0.由f(x)<2g(x)，即log a x<log a(2x+m−2)2，又a>1，∴x<(2x+m−2)2，即√x<2x+m−2，得m>−2x+√x+2.令t=√x，t∈[1,√3]，记ℎ(t)=−2t2+t+2，对称轴t=1，4∴[ℎ(t)]min=ℎ(√3)=√3−4，故m>√3−4.综上，m>0.。

指数函数与对数函数知识点总结

指数函数与对数函数知识点总结指数函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学、物理、化学等科学中都有广泛的应用。

下面是关于指数函数和对数函数的知识点总结。

一、指数函数：1.含义：指数函数是以一个常数为底数的数的乘方的函数。

2.表达形式：指数函数可以表示为f(x)=a^x，其中a是底数，x是指数，a>0且a≠13.特点：-当x为正时，指数函数是递增的，在x轴右侧上升。

-当x为负时，指数函数是递减的，在x轴左侧下降。

-当x=0时，指数函数的值恒为1，即f(0)=1-当底数a>1时，指数函数是增长趋势的，图像像“开口向上”的U 形。

-当0<a<1时，指数函数是衰减趋势的，图像像“开口向下”的倒U 形。

-当a=1时，指数函数退化为常函数，即f(x)=14.常见指数函数：-自然指数函数：f(x)=e^x，其中e是自然对数的底数，约等于2.718-正常数指数函数：f(x)=a^x，a>0且a≠1-指数递减函数：f(x)=a^(-x)，a>0且a≠1- 指数增长函数：f(x) = e^(kx)，其中k为常数。

- 指数衰减函数：f(x) = e^(-kx)，其中k为常数。

二、对数函数：1.含义：对数函数是指数函数的逆运算。

2. 表达形式：对数函数可以表示为f(x) = log<sub>a</sub>(x)，其中a是底数，x是正实数，a>0且a≠13.特点：-对数函数的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,+∞)。

-对数函数的图像是递增的，在x轴右侧上升。

-当x=a^y时，有f(a^y)=y。

-当底数a>1时，对数函数是递增的，在x轴右侧上升。

-当0<a<1时，对数函数是递减的，在x轴右侧下降。

-当a=1时，对数函数是常函数，即f(x)=0。

4.常见对数函数：- 自然对数函数：f(x) = ln(x)，其中ln表示以e为底的对数。

高中数学第二章指数函数、对数函数和幂函数2.1.2指数函数的图象和性质第1课时指数函数的图象和性质课件必修

12 345
5.函数 y＝12 x2－1 的值域是__(_0_,_2_]__.
解析 ∵x2－1≥－1，∴y＝12 x2－1 ≤12－1＝2，
又y＞0，∴函数值域为(0,2].
课堂小结 1.指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f(0)＝1. 2.当a＞1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快. 当0＜a＜1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实重点难点，个个击破当堂训练，体验成功
[知识链接] 1.ar·as＝ ar＋s ；(ar)s＝ ars ；(ab)r＝ ar·br . 其中a＞0，b＞0，r，s∈R. 2.在初中，我们知道有些细胞是这样分裂的：由1个分裂成2 个，2个分裂成4个，….1个这样的细胞分裂x次后，第x次得到的细胞个数y与x之间构成的函数关系为 y＝2x ， x∈{0,1,2，…}.
3.如果底数 a∈(0,1)，那么，它的倒数
1 a
＞1，y＝ax＝1a－x，
它的图象和 y＝1ax 的图象关于 y轴对称，可以类似地得到函
数y＝ax(0＜a＜1)的性质：
(1)图象总在 x轴上方，且图象在y轴上的射影是y轴正半轴 (不
包括原点).由此，函数的值域是R＋； (2)图象恒过点(0,1) ，用式子表示就是 a0＝1 ；
(3)y＝12 x2－2x－3. 解 y＝12 x2－2x－3 的定义域为 R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴12 x2－2x－3 ≤12－4＝16. 又∵12 x2－2x－3 ＞0，故函数 y＝12 x2－2x－3 的值域为(0,16].
规律方法对于y＝af(x)(a＞0，且a≠1)这类函数， (1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围； (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u＝f(x)的值域； ②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域.

高中数学中的指数函数与对数函数

高中数学中的指数函数与对数函数指数函数和对数函数是高中数学中非常重要的概念。

指数函数是基于指数的函数关系，而对数函数则是指数函数的逆运算。

本文将从定义、性质和应用等方面综述高中数学中的指数函数与对数函数。

一、指数函数的定义与性质指数函数是以自然常数e为底的幂函数，其一般形式为 f(x) = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，x为自变量，f(x)为因变量。

指数函数的定义中，底数a决定了函数的增长速度。

当0＜a＜1时，指数函数呈现递减趋势；当a＞1时，指数函数呈现递增趋势。

指数函数的性质包括：1. 任何指数函数f(x) = a^x都有f(0) = 1的性质，即对数轴上的横坐标为0处的函数值为1。

2. 指数函数的图像具有一定的对称性质，其对称轴为直线x = 0。

3. 当x1 < x2时，若指数函数f(x)的底数a ＞ 1，则f(x1)＜f(x2)；若指数函数f(x)的底数0 ＜ a ＜ 1，则f(x1)＞f(x2)。

二、对数函数的定义与性质对数函数是指数函数的逆运算。

设b是一个正实数且b ≠ 1，对数函数的一般形式为 f(x) = logb(x)，其中x是正实数。

对数函数的定义中，底数b决定了函数的特性。

当0 ＜ b ＜ 1时，对数函数具有递增趋势；当b ＞ 1时，对数函数具有递减趋势。

对数函数的性质包括：1. 任何对数函数f(x) = logb(x)都有f(1) = 0的性质，即对数轴上的横坐标为1处的函数值为0。

2. 对数函数的图像具有一定的对称性质，其对称轴为直线y = x。

3. 当x1 < x2时，若对数函数f(x)的底数b ＞ 1，则f(x1) ＞ f(x2)；若对数函数f(x)的底数0 ＜ b ＜ 1，则f(x1) ＜ f(x2)。

三、指数函数与对数函数的应用指数函数和对数函数在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。

以下列举几个典型的应用场景：1. 经济增长模型：许多经济增长模型是基于指数函数的增长模式，例如Solow模型和经济增长中的人口增长模型。

高二数学知识点及公式函数

高二数学知识点及公式函数数学是一门重要的学科，适当的掌握高中数学知识点和公式函数，对学生们的学习和解决实际问题具有重要作用。

本文将对高二数学中的部分知识点和公式函数进行介绍和讲解。

一、函数函数是数学中的基本概念，是一种具有特定规律的数值关系。

常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

1. 线性函数线性函数的一般式为y = kx + b，其中k和b为常数。

线性函数的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。

2. 二次函数二次函数的一般式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数且a≠0。

二次函数的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定，顶点的横坐标为-x轴系数的二等分点。

3. 指数函数指数函数的一般式为y = a^x，其中a为底数且a>0且a≠1。

指数函数的图像是一条曲线，位于y轴的右边，且逐渐上升或下降。

4. 对数函数对数函数的一般式为y = logₐx，其中a为底数且a>0且a≠1。

对数函数的图像是一条曲线，与指数函数图像关于y=x对称。

二、数列数列是按一定顺序排列的一组数。

常见的数列有等差数列和等比数列。

1. 等差数列等差数列的通项公式为 an = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。

等差数列的相邻两项之间的差都相等。

2. 等比数列等比数列的通项公式为 an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比，n为项数。

等比数列的相邻两项之间的比都相等。

三、概率与统计概率与统计是数学中的一个重要分支。

概率用于描述事件发生的可能性，而统计则用于收集、整理和分析数据。

1. 概率概率是描述事件发生可能性的数值，通常用分数或小数表示。

事件的概率范围在0到1之间，概率越接近1，事件发生的可能性就越大。

2. 统计统计用于收集、整理和分析数据，通过统计分析可以得到数据的一些重要特征，如平均值、中位数、众数、标准差等。

高中数学知识点总结指数函数与对数函数的性质

高中数学知识点总结指数函数与对数函数的性质指数函数与对数函数是高中数学中的重要知识点。

它们在数学和实际问题中广泛应用，并具有独特的性质。

本文将总结指数函数与对数函数的性质，帮助读者更好地理解和应用这两个函数。

一、指数函数的性质指数函数是以底数为常数的指数幂构成的函数。

常见的指数函数形式为f(x) = a^x，其中a为底数。

1. 底数为正数且不等于1时，指数函数的特点如下：a) 当0<a<1时，函数图像在x轴正半轴上递减，并在x轴负半轴上趋近于0。

b) 当a>1时，函数图像在整个定义域上递增，并在x轴负半轴上趋近于0。

c) 当a=1时，函数图像恒为1。

2. 底数a的性质分析：a) 当a>1时，指数函数随着自变量x的增大而增大。

b) 当0<a<1时，指数函数随着自变量x的增大而减小。

c) 当a=1时，指数函数为常数函数f(x) = 1，不随x变化。

二、对数函数的性质对数函数是指以某一常数为底数，对应的指数是自变量的函数。

常见的对数函数形式为f(x) = loga(x)，其中a为底数，x为函数的取值范围。

1. 底数为正数且不等于1时，对数函数的特点如下：a) 当0<a<1时，函数图像在定义域内递减。

b) 当a>1时，函数图像在定义域内递增。

2. 底数a的性质分析：a) 当a>1时，对数函数随着自变量x的增大而增大。

b) 当0<a<1时，对数函数随着自变量x的增大而减小。

c) 当a=1时，对数函数为常数函数f(x) = 0，不随x变化。

d) 底数a必须大于0且不等于1，否则对数函数无定义。

三、指数函数与对数函数的关系指数函数和对数函数是互为反函数的关系。

对于同一个底数a和同一个特定正实数x，指数函数和对数函数的关系如下：a) 指数函数f(x) = a^x与对数函数g(x) = loga(x)互为反函数，即f(g(x)) = x，g(f(x)) = x。

高考数学二轮复习指数函数和对数函数

高考数学二轮复习指数函数和对数函数一．知识整理：基本概念及相关知识点：1、对数、对数的底数、真数：一般地，如果a （a >0，a ≠1）的b 次幂等于N ，就是a b＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记为log a N =b ．a 叫做对数的底数．N 叫做真数．负数和零没有对数．2、常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数．3、自然对数：以e 为底的对数叫自然对数，N 的自然对数log a N 简记作ln N ．4、对数的运算性质：如果a ＞0，a ≠1，M >0，N >0，那么（1）log a （MN ）=log a M ＋log a N ；（2）NMa log =log a M －log a N ；（3）log a M n=n log a M （n ∈R ）． 5、对数换底公式： bNN a a b log log log(a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，N >0)6、指数函数：函数y =a x（a >0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量,函数的定义域是R ． 7、指数函数的图象与性质：a ＞1 0＜a ＜1图像（1）定义域：R （2）值域：（0+∞）（3）过点（0，1），即x =0时，y =1 (4)在R 上是增函数（4）在R 上是减函数8、对数函数：函数y = log a x （a >0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0,+∞）． 9、对数函数的图象与性质：a >1 0＜a ＜1图像性质（1）定义域：（0，+∞）（2）值域：R（3）过点（1，0），即x ＝1时，y ＝0 (4)在（0，+∞）上是增函数（4）在（0，+∞）上是减函数10、指数方程与对数方程：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程．在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程．它们都属于超越方程，一般不可用初等方法求解． 11、最简单的指数方程：xa ＝b (a ＞0,a ≠1,b ＞0)，它的解是x ＝a log b 12、最简单的对数方程：a log x ＝b (a ＞0,a ≠1)，它的解是x ＝ba 概念辨析： 1．指数函数(1) 指数函数的定义：函数y =a x叫做指数函数，其中a 是一个大于零且不等于1的常量．函数的定义域是实数集R ．在定义中，必须注意：①指数函数的形状，例如y =－2x，121+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y 都不能认为是指数函数，它们都是有关指数函数的复合函数；②指数函数的底在应用时的范围；③指数函数的定义域在求复合函数定义域的应用．(2) 在函数y =a x中规定底数a >0且a ≠1的理由：如果a =0，则当x >0时，a x恒等于0；当x ≤0时，a x无意义．如果a <0，比如y =(－4)x ，这时对于41=x ，21=x ，等等，在实数范围内，函数值不存在．如果a =1，y =1x=1是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述情况，所以规定底数a >0且a ≠1．(3) 指数函数y =a x在其底数a >1及0<a <1这两种情况下图象特征和性质如下：底数a >1 0<a <1图象xyOy=1y=a x (a>1)xyOy=1y=a x (0<a<1)性质①定义域 (－∞，+∞)②值域 (0，+∞)．图象都位于x 轴上方且以x 轴为渐近线函数值的分布情况 ③当时x =0，y =1．图象都经过点(0，1) ．④当x >0时，y >1当x <0时，0<y <1 ④当x >0时，0<y <1 当x<0时，y >1单调性⑤在(－∞，+∞)上是增函数⑤在(－∞，+∞)上是减函数注：① 注意根据图象记忆和应用性质：② 性质④可表述为：若(a －1)x >0，则a x>1；若(a －1)x <0，则0<a x<1． ③ 性质③实际上是性质④与性质②的推论． 2．对数(1) 对数的定义：如果a (a >0且a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b=N ，那么数b 就叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 也叫做对数式．(2) 指数式与对数式的互化a b =N b =log a N (a >0且a ≠1，N >0)(3) 对数恒等式：N a Na =log (a >0，a ≠1，N >0)(4) 对数的性质：① 负数和零没有对数． ② 1的对数是零，即log a 1=0． ③ 底的对数等于1，即log a a =1． (5) 对数运算法则(a >0且a ≠1，M >0，N >0)① log a (MN )= log a M +log a N ② N M NMa a alog log log -=③ M n M a na log log =(n ∈R ) ④M nM a nalog 1log =(n ∈R ，n ≠0) (6) 对数换底公式：bNN a a b log log log =(a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，N >0)推论：ab b a log 1log =b mnb a n a m log log =(7) 常用对数与自然对数．① 常用对数既是以10为底的对数，简记为lg N (N >0)．② 自然对数即是以无理数e =2.71828…为底的对数，简记为ln N (N >0)． (8)对可化为形如)(x f a＝)(x g a(a ＞0,a ≠1)的指数方程，可转化为它的同解方程f (x )＝g (x )求解；因为当且仅当幂指数相等时同底的幂相等．而对可化为形如a log f (x )＝ a log g (x )(a ＞0,a ≠1)的对数方程，在转化为方程f (x )＝g (x )求解时，必须把所得的解代回原方程检验；因为从前者变为后者时，x 的取值范围可能扩大，有可能产生增根．某些指数方程与对数方程可以分别化为关于xa 与a log x 的可解方程，这时可用换元法先求出xa 与a log x 的值，再求x 的值；特别对形如x a2＋b ·xa ＋c ＝0，可用换元法化为二次方程，先求出xa 或a log x ，再求x ．但解对数方程时，始终要注意变形的同解性．二．课堂练习：1．设a ，b ，c 都是正数，且3a=4b =6c ，那么 [ ]2．已知1＜x ＜d ，令a=(x d log )2， b=2log x d ， c=()x d d log log ，则[ ]．A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b3．已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 [ ]．A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(0，2)D ．(2，+∞)4 定义在(－∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和，如果f (x )=lg(10x+1),其中x ∈(－∞,+∞),那么( )A g (x )=x , h (x )=lg(10x +10－x+2)B g (x )=21［lg(10x +1)+x ］,h (x )= 21［lg(10x+1)－x ］ C g (x )=2x ,h (x )=lg(10x +1)－2x D g (x )=－2x ,h (x )=lg(10x+1)+2x5 当a >1时，函数y =log a x 和y =(1－a )x 的图象只可能是( )A1oyx B1oyx C1oy x D1oyx6．若函数 a x f x+-=131)(（a ≠0）是奇函数，则满足65)(=x f 的x 的取值集合为（）． (A) { log 32 } (B) { 1 } (C) {2 log 32 }(D) φ７．已知函数f ( x )的图象关于坐标原点成中心对称图形，且x < 0时，xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=31)(，那么⎪⎭⎫⎝⎛21f 的值等于（）． (A)33(B) 3- (C) 3(D) 33-８．若2145-⎪⎭⎫⎝⎛=m ，3156-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n ， 2156-⎪⎭⎫⎝⎛=p ，则（）． (A) m < p < n (B) n < m < p (C) p < m < n(D) n < p < m9．函数y = log 2x 与)4(log 21x y =的图象（）．（A ）关于直线x = 1对称（B ）关于直线y = x 对称（C ）关于直线y =－1对称（D ）关于直线y = 1对称10．函数5log log 2241++⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 在区间[2，4]上的最大值是( )(A) 4(B) 7(C)423 (D)4111．已知 -1≤x ≤2，则函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值为最小值为； 12．方程 9－x－2·31－x= 27的解集为_____________________________．13．方程 log x (3x +4)=2的解集为__________________________．14．函数⎪⎭⎫⎝⎛-=12log 2x y 的反函数是________． 15．已知函数f (x )=log a (2－ax )在[0，1]上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是____________． 16．方程log 2(9－2x)=3－x 的解集是__________． 17．已知函数()()0,1,022log <≠>-+=b a a bx bx x f a(1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由； (3)指出函数f(x)的单调区间； (4)求函数f(x)的反函数f-1(x)．18．设10<<a ，函数()33log +-=x x x f a的定义域为[]n m ,，值域为[()1log -n a ， ()1log -m a ]． (1)求证： m ＞3；(2)求a 的取值范围．19．已知函数f(x)=lg(ax-b x )(a ＞1＞b ＞0)．(1)求y=f(x)的定义域；(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x 轴．20．函数f(x)=x a log 在区间[2，+∞)上总有|f(x)|＞1成立，求实数a 的取值范围．21．已知函数f(x)=()12log 22++x ax ． (1)若f(x)的定义域是R ，求实数a 的取值范围； (2)若f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围．22．已知函数()()()1,01log 2≠>--=a a x x x f a(1)求f(x)的定义域； (2)指出f(x)的单调性，并证明你的结论； (3)求满足f(x)＜2的x 的取值范围．三．课后练习：1．设5x=1.5，(0.5)y =0.75，则x ，y 满足 [ ]． A ．x ＞0，y ＞0 B ．x ＜0，y ＜0 C ．x ＞0，y ＜0 D ．x ＜0，y ＞0 2．若loga2＜logb2＜0，则正确的大小关系是 [ ]． A ．0＜a ＜b ＜1 B ．0＜b ＜a ＜1 C ．a ＞b ＞1 D ．b ＞a ＞1 3．如果0＜a ＜1，且x ＞y ＞1，则下列不等式中正确的是 [ ]．A ．a x ＜a yB ．x a log ＞y a logC ．x a -＞y a -D ．xa ＞y a4．函数()x f 的定义域是[]1,1-，那么函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 21log 的定义域是 [ ]A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21B ．(0，2]C ．[2，+∞)D ．⎥⎦⎤⎝⎛21,05．若0＜a ＜1，则函数f(x)=loga(x+4)的图象一定不通过 [ ]． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．使函数y=log2(x2-2|x|)的单调递增的区间是 [ ]． A ．(-∞，-2) B ．(0，1) C ．(0，2) D ．(2，+∞)7．已知logab=-2，那么 a+b 的最小值是 [ ]．A ．2233B ．2323C ．233D ．3228．函数5log log 21241+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 在区间[]4,2上的最小值是 [ ]．A ．4B ．8C ．423 D ．419．已知奇函数f(x)满足f(x-1)=f(x+2)对任意x ∈R 成立，并且当()1,0∈x 时，()13-=xx f ，那么⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36log 31f 的值为 [ ] A ．31-B ．31C ．34D ．34- 10．函数f(x)=loga(a-ax)(a ＞0，a ≠1)的定义域为_____；值域为_____．11．若函数()1211-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x x f 的反函数为()x g ，则()1+x g 的解析式为12．设12>>>a b a ，则a b abb a blog ,log ,log 从小到大的顺序是 13．已知0＜a ＜1，那么x 的方程x a =|x a log |的实根的个数是______．14．已知函数()x x f 3log 2+=，x ∈[1，9]，则()[]()22x f x f y +=的最大值是______．15．已知函数()()a ax x x f 3log 221+-=在区间[)+∞,2上是减函数，则实数a 的取值范围是______．17．已知实数p ，q 满足()()()1lg 2lg log lg 3++-=q q p ，试求实数p 的取值范围．18．已知函数f(x)=ax 在闭区间[-2，2]上的函数值总小于2，求实数a 的取值范围．19．设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数．20．已知函数()()()x p x x x x f -+-+-+=222log 1log 11log (1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域．21．设0＜a ＜1，x 和y 满足3log log 3log =-+y a x x x a ．如果y 有最大值42，求这时a 和x 的值.答案提示:课堂练习:1.B2.D3.B4 解析由题意 g (x )+h (x )=lg(10x+1) ①又g (－x )+h (－x )=lg(10－x +1) 即－g (x )+h (x )=lg(10－x+1) ②由①②得 g (x )=2x ,h (x )=lg(10x+1)－2x 答案 C 5 解析当a >1时，函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选，又a >1时，y =(1－a )x 为减函数答案 B6． C ．由 f ( x )是奇函数，故f (－1)=－f ( 1 )，即⎪⎭⎫⎝⎛+--=+--a a 1311311，解得 21=a ．于是21131)(+-=x x f ． 65)(=x f ，即6521131=+-x，化简得 3x= 4 ．因此 x =2 log 32 ．７．B ． f ( x )为奇函数． 331212121-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ．８．A ．由函数 xy ⎪⎭⎫⎝⎛=56在R 上是增函数，可得 n > p ，从而否定（B ）、（D ）．又函数 21-=xy 在（0，+∞）上是减函数，可得m < p ．９．C ．在函数y = log 2x 图象上取一点P （1，0）．可求得P 点关于直线x = 1的对称点为Q 1（1，0），P 点关于直线y = x 的对称点为Q 2（0，1），P 点关于直线y =－1的对称点为Q 3（1，－2），P 点关于直线y = 1的对称点为Q 4（1，2）．经验证，其中只有Q 3点在函数)4(log 21x y =的图象上．10.D 11. 当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即 x=2时，f(x)取最小值-24． 12．{ －2 }．方程可化为 (3－x )2－6 (3－x)－27 = 0 ．13．{ 4 } ．解：x 2 = 3x + 4，并注意 x > 0，x ≠ 1． 14．y =2x +1+2 15．(1，2) 16．{0，3}．17. 所以f(x)的定义域为{x|x ＜2b 或x ＞-2b}．(2)对f(x)定义域内任意x ，有所以f(x)为奇函数．当a＞1时在(0，+∞)上是增函数；当0＜a＜1时，在(0，+∞)上是减函数．它的单调性直观观察可得，如图2，于是有当a＞1时，f(x)在(-∞，2b)上，在(-2b，+∞)上都是增函数，当0＜a＜1时，f(x)在(-∞，2b)上，在(-2b，+∞)上都是减函数．18.n＞m，又由函数值域可知n＞1，m＞1，所以n＞m＞3，故m＞3得证．y=logau为减函数，所以y=f(x)在[m，n]上为减函数，从而f(x)的值域为[f(n)，ax2+(2a-1)x+3-3a=019.分析此题第(2)问是从几何角度探索函数图象的特征，但此函数图象并不会画，也不易画出，因此应转化为代数角度探索该函数相关的性质．(0，+∞)．(2)先证f(x)在(0， +∞)上是增函数．任取0＜x1＜x2，由a＞1＞b＞0，知ax1＜ax2，bx1＞bx2，所以0＜ax1-bx1＜ax2-bx2．因此 lg(ax1-bx1)＜lg(ax2-bx2)，即f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在(0，+∞)上是增函数．假设函数y=f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使直线AB平行于x轴，则x1≠x2，y1=y2．这与f(x)在(0，+∞)上是增函数(y1=y2则x1=x2)相矛盾．故在函数f(x)的图象上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴．20.解依题意f(x)=logax在[2，+∞)上总有|f(x)|＞1成立|logax|＞1对任意x∈[2，+∞)都成立logax＞1或logax＜-1对任x∈[2，+∞)总成立y=logax在[2，+∞)上的最小值大于1或y=logax在[2，+∞)的最大值小于-1．而函数y=logax(x≥2)只有a＞1有最小值loga2，只有当0＜a＜1时，有最大值loga2，于是有21.当a=0时，不等式化为2x+1＞0，显然不合题意；综上可得，当a＞1时，f(x) 的定义域是R．当a=0时，函数为u=2x+1，值域为R．符合题意；解得0＜a≤1．综上所述当0≤a≤1时，f(x)的值域为R．课后作业:1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．D 7．A 8．C 9．A10．a＞1时(-∞，1)，0＜a＜1时，(1，+∞)；a＞1时(-∞，1)，0＜a＜1时，(1，+∞)．11．()12log 2-+-x 12．b a aba b blog log log << 13．2 14．13 15．-4＜a ≤420．(1)(1，p)；(2)当p ＞3时，f(x)的值域为(-∞，2log2(p+1)-2]；当1＜p ≤3时，f(x)的值域为(-∞，1+log2(p-1))。

指数与对数函数

指数与对数函数指数与对数函数是高中数学中常见的函数类型，它们在数学和科学领域中具有广泛的应用。

指数函数可以用来表示增长的速度，而对数函数则可以用来解决指数式的问题。

本文将介绍指数与对数函数的定义、性质以及实际应用。

一、指数函数指数函数是一种以常数为底数的幂函数，它的一般形式可以表示为f(x) = a^x，其中a是正实数且不等于1。

指数函数的定义域为整个实数集，值域为正实数集。

指数函数的图像呈现出一种特殊的形态，即当底数大于1时，随着自变量增大，函数值也随之增大，呈现出递增趋势；而当底数小于1且大于0时，随着自变量增大，函数值反而减小，呈现出递减趋势。

指数函数在现实生活中有着广泛的应用。

举例来说，经济增长模型中常常使用指数函数来描述经济的增长趋势。

此外，放射性衰变也可以用指数函数来表示，指数函数在核物理领域起着重要的作用。

二、对数函数对数函数是指以某个正实数为底数，将正实数x映射到满足a^y = x的实数y的函数。

对数函数的定义域为正实数集，值域为整个实数集。

对数函数的一般形式可以表示为f(x) = logₐ(x)，其中a是正实数且不等于1。

对数函数与指数函数是互为反函数关系，即指数函数和对数函数的图像关于y=x对称。

对数函数的主要特点是，当底数大于1时，对数值随着自变量的增大而增大；当底数小于1且大于0时，对数值随着自变量的增大而减小。

对数函数广泛应用于科学和技术领域。

例如，在计算机科学中，对数函数在对数复杂性和算法分析中具有重要作用。

同时，在经济学和金融学中，对数函数常用于计算复利和持续增长的情况。

三、指数与对数函数的性质指数函数和对数函数具有一些重要的性质。

1. 指数与对数的互为反函数关系：对于任意的a>0且a≠1，和任意的x>0，有logₐ(a^x) = x和a^(logₐ(x)) = x。

也就是说，指数函数和对数函数是互为反函数的。

2. 指数与对数的运算规律：指数和对数具有一些重要的运算规律，如指数的乘方法则、指数函数的加法法则和对数的乘法法则等。

高中数学指数函数与对数函数的关系与性质解析

高中数学指数函数与对数函数的关系与性质解析高中数学中，指数函数与对数函数是非常重要的概念，它们之间存在着密切的关系与性质。

本文将从不同的角度解析指数函数与对数函数的关系与性质，并通过具体的题目举例，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、指数函数与对数函数的定义与基本性质指数函数是以底数为常数且指数为自变量的函数，一般形式为f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不等于1。

对数函数是指数函数的逆运算，一般形式为f(x) =logₐx，其中a是一个正实数且不等于1。

指数函数和对数函数是互为反函数的。

指数函数的特点是随着指数的增大，函数值呈指数增长；而对数函数的特点是随着自变量的增大，函数值呈对数增长。

这两种函数在数学建模、金融、科学研究等领域有着广泛的应用。

二、指数函数与对数函数的性质与运算1. 指数函数的性质：（1）指数函数的定义域是实数集，值域是正实数集。

（2）同底数的指数函数，底数越大，函数值增长越快。

（3）指数函数的图像在x轴的正半轴上递增，且不会与x轴相交。

（4）指数函数的反函数即对数函数。

2. 对数函数的性质：（1）对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集。

（2）对数函数的图像在x轴的正半轴上递增，且不会与x轴相交。

（3）对数函数的反函数即指数函数。

3. 指数函数与对数函数的运算：（1）指数函数的乘法法则：a^m * a^n = a^(m+n)。

（2）指数函数的除法法则：a^m / a^n = a^(m-n)。

（3）指数函数的幂法则：(a^m)^n = a^(m*n)。

（4）对数函数的乘法法则：logₐm + logₐn = logₐ(m*n)。

（5）对数函数的除法法则：logₐm - logₐn = logₐ(m/n)。

（6）对数函数的幂法则：logₐm^n = n*logₐm。

通过对指数函数与对数函数的性质与运算的分析，我们可以发现它们之间存在着一些重要的关系，这些关系在解题过程中经常被使用。

高中数学指数函数与对数函数

高中数学指数函数与对数函数在高中数学的学习中，指数函数与对数函数是非常重要的两个部分。

它们不仅在数学理论中有着重要的地位，还在实际生活中的许多领域有着广泛的应用。

首先，让我们来认识一下指数函数。

指数函数的一般形式为 y ＝a^x （a ＞ 0 且a ≠ 1）。

其中，a 被称为底数，x 是指数。

当 a ＞ 1 时，函数单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减。

比如说，y ＝ 2^x 就是一个底数为 2 的指数函数。

当 x 逐渐增大时，y 的值增长得非常快。

而 y ＝（1/2)＾x ，由于底数 1/2 小于 1，所以当 x 增大时，y 的值会越来越小。

指数函数有很多有趣的性质。

指数函数的图像总是经过点（0, 1)，因为任何非零数的 0 次幂都等于 1。

而且，指数函数的定义域是全体实数，值域是（0, ＋∞）。

接下来，我们再看看对数函数。

对数函数是指数函数的反函数，一般形式为 y ＝logₐx （a ＞ 0 且a ≠ 1）。

如果 y ＝ a^x ，那么 x ＝logₐy 。

以 y ＝ log₂x 为例，它表示 2 的多少次方等于 x 。

对数函数的定义域是（0, ＋∞），值域是全体实数。

对数函数也有自己独特的性质。

比如，logₐ1 ＝ 0 ，因为任何非零数的 0 次方都等于 1 。

还有logₐa ＝ 1 ，因为 a 的 1 次方就是 a 本身。

指数函数和对数函数之间有着密切的关系。

它们的图像关于直线 y＝ x 对称。

通过这种对称关系，我们可以利用一个函数的性质来推导出另一个函数的性质。

在实际应用中，指数函数和对数函数的用处可不少。

比如在金融领域，计算利息的复利问题就会用到指数函数。

假设你在银行存了一笔钱，年利率为 r ，如果按照复利计算，经过 t 年后，你的存款总额就可以用指数函数来表示。

在科学研究中，比如研究细菌的繁殖、放射性物质的衰变等，也常常会用到指数函数。

而对数函数在测量声音的强度、地震的震级等方面发挥着重要作用。

高二指数对数函数知识点

高二指数对数函数知识点在高二数学学科中，指数和对数函数是重要的知识点。

它们不仅在数学领域有广泛的应用，也在其他学科以及日常生活中起着重要作用。

本文将详细介绍高二指数对数函数的相关概念、特性和应用。

1. 指数函数指数函数是形如 y = a^x 的函数，其中 a 是底数，x 是指数。

指数函数具有很多重要特性，如以下几点。

1.1 指数函数的图像特征指数函数的图像可以分为几种不同的情况。

当底数 a 大于 1 时，函数呈现上升趋势且图像在 y 轴右侧，当底数 a 在 0 和 1 之间时，函数呈现下降趋势且图像在 y 轴左侧。

在图像上，指数函数会趋近于 x 轴但不会与其相交。

1.2 指数函数的性质指数函数具有以下性质：- 过点 (0,1)；- 严格单调递增或递减；- 连续；- 无最大值或最小值。

2. 对数函数对数函数是指以某个正数为底，对应指数的函数。

常见的对数函数有以 10 为底的常用对数（log）和以自然常数 e 为底的自然对数（ln）。

以下是对数函数的相关特点。

2.1 对数函数的图像特征以常用对数为例，当 x>0 时，logx 的值大于 0，当 x=1 时，logx = 0，当 0<x<1 时，logx 的值为负数。

对数函数的图像在 x 轴左侧呈下降趋势，在 x 轴右侧呈上升趋势。

2.2 对数函数的性质对数函数具有以下性质：- 过点 (1,0)；- 严格单调递增或递减；- 连续；- 无最大值或最小值。

3. 指数和对数函数的互为反函数关系指数函数和对数函数互为反函数，即 a^loga(x) = x，loga(a^x) = x。

这意味着对于指数函数中的底数 a 和对数函数中的底数 a，它们可以相互抵消。

这个特性在解一些数学问题时非常有用。

4. 指数和对数函数的应用指数和对数函数在不同学科和实际生活中都有广泛的应用。

以下是一些常见应用：4.1 财务领域指数和对数函数在财务计算中有广泛的应用。

高中二年级数学指数与对数函数

高中二年级数学指数与对数函数一、指数函数指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是一个常数且a>0且a≠1，x 是变量，y是函数值。

指数函数的特点如下：1. a是底数，表示指数函数的增长速度。

2. 当a>1时，指数函数呈现增长趋势；当0<a<1时，指数函数呈现递减趋势。

3. 当x为0时，指数函数的函数值为1，即a^0=1。

4. 当x为正无穷大时，指数函数的函数值趋近于正无穷大；当x为负无穷大时，指数函数的函数值趋近于0。

二、对数函数对数函数是指形如y=loga(x)的函数，其中a是一个大于0且不等于1的常数，x是变量，y是函数值。

对数函数的特点如下：1. a是底数，表示对数函数的增长速度。

2. 对数函数的定义域为正数集合，即x>0。

3. 对数函数的值域为实数集合。

4. 当x=1时，对数函数的函数值为0，即loga(1)=0。

5. 当x大于1时，对数函数呈现递增趋势；当0<x<1时，对数函数呈现递减趋势。

三、指数函数与对数函数的关系指数函数和对数函数是互为反函数的特殊函数关系。

即，对于指数函数y=a^x和对数函数y=loga(x)，它们之间满足以下关系：1. 若y=a^x，则x=loga(y)。

2. 若y=loga(x)，则x=a^y。

四、指数函数和对数函数的性质和应用1. 指数函数和对数函数在科学、工程、经济学等领域具有广泛的应用，如生物学中的细胞增长、化学反应速率、金融学中的复利计算等。

2. 指数函数和对数函数的性质使其在数学问题的解决中具有重要作用。

例如，指数函数的复合运算可以转化为对数函数的简化运算，使问题的解决更加简便。

3. 指数函数和对数函数是高中数学的基础知识点，深入理解它们的性质和应用，有助于提高数学解题的能力和思维灵活性。

综上所述，高中二年级数学中的指数函数和对数函数是重要的内容。

掌握它们的定义、特点以及性质和应用，有助于深入理解数学知识、提高解题能力，为后续学习打下坚实的基础。