高中的文科数学平面向量知识点整理-共9页
高中数学平面向量知识点归纳总结
高中数学平面向量知识点归纳总结
1. 平面向量的定义
平面向量是具有大小和方向的有序数对，可以用箭头表示。
常
用字母表示向量，如a、b等。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
2. 平面向量的运算
2.1 向量的加法
向量的加法是指将两个向量按照相同的方向连接起来，得到一
个新的向量。
加法满足交换律和结合律。
2.2 向量的减法
向量的减法是指将两个向量相加的相反向量相加，得到一个新
的向量。
2.3 向量的数量积
向量的数量积（点积）是指两个向量相乘后的数量，用点表示，记作a · b。
数量积满足交换律和分配律。
2.4 向量的向量积
向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后的向量，用叉表示，记作a × b。
3. 平面向量的性质
3.1 平行向量
如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
平行向
量的数量积等于两个向量的模的乘积。
3.2 垂直向量
如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直向量。
垂直向量的
点积为0。
3.3 向量的模
向量的模表示向量的大小，可以使用勾股定理求解。
4. 平面向量的应用
平面向量在几何中有广泛的应用，可以用来表示平移、旋转和
线段的位置关系等。
在物理学中，平面向量可以用来表示力的大小
和方向。
以上是关于高中数学平面向量的基本知识点归纳总结。
希望能够对你的学习和理解有所帮助！。
高考平面向量知识点总结
高考平面向量知识点总结高考平面向量的知识点总结如下：1. 平面向量的定义：平面上的向量是有大小和方向的有向线段，可以用有向线段的终点与起点之间的位移来表示。
2. 平面向量的表示：平面向量可以用坐标表示，形如AB→=(x2-x1, y2-y1)。
3. 平面向量的基本运算：a) 向量的加法：将两个向量的相应分量相加，得到一个新的向量。
b) 向量的减法：将两个向量的相应分量相减，得到一个新的向量。
c) 向量的数乘：将向量的每一个分量都乘以一个标量，得到一个新的向量。
d) 向量的数量积：将两个向量的相应分量相乘，再将这些乘积相加，得到一个标量。
e) 向量的模长：向量的模长等于对应坐标差的平方和的平方根。
4. 平面向量的运算规律：a) 加法的交换律：A+B=B+Ab) 加法的结合律：(A+B)+C = A+(B+C)c) 数乘的结合律：k(A+B) = kA+kBd) 数乘的分配律：(k+l)A = kA + lA5. 平面向量共线与平行：若向量a与向量b线性相关，则称向量a 与向量b共线；若向量a与向量b既共线又同向或反向，则称向量a与向量b平行。
6. 平面向量的数量积与夹角关系：a) 两个向量共线时，它们的数量积等于它们的模长的乘积。
b) 两个向量平行时，它们的数量积等于它们的模长的乘积乘以它们的夹角余弦值。
7. 平面向量的坐标表示与几何应用：a) 两个向量的坐标之间的关系：可以根据向量与坐标之间的关系，求解所有给出的向量的坐标。
b) 利用向量的坐标表示进行运算：可以通过向量的坐标表示来进行向量的加法、减法、数量积等运算。
c) 利用向量的几何应用：可以用向量的几何性质解决平面几何问题，如求线段的垂直平分线等。
这些是高考平面向量的基本知识点，掌握了这些知识点可以帮助理解和解决与平面向量相关的问题。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。
3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。
4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。
二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。
- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。
3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。
- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。
- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。
- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。
2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。
3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。
四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。
高中数学必修(4)第二章平面向量(知识点汇总)
必修4第二章 平面向量1、向量的有关概念：(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）。
(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的。
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量。
与a 同向且长度为1的向量，叫做a 的单位向量，记作0a ，||0a a a =。
(4)平行向量：方向相同或相反的两非零向量叫做平行向量。
任一组平行向量经过平移都可以移到同一条直线上，平行向量又叫做共线向量。
规定：0 与任一向量平行。
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量。
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量。
2、向量的表示法：（1）字母表示法：如a ，AB 等；（2）几何表示法：用一条有向线段表示向量；（3）代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA 的起点O 在坐标原点，终点坐标为（x ，y ），则（x ，y ）称为OA 的坐标，记为OA =（x ，y ）；3、向量的线性运算法则：（1）平行四边形法则（2）三角形法则4、向量的线性运算性质： a b b a +=+(交换律))()(c b a c b a ++=++（结合律）a a a =+=+0000 =a 00=⋅a 00 =λ||||||a a λλ=a a)()(λμμλ=a a a μλμλ+=+)(b a b a λλλ+=+)(⇔+=)(21OB OA OM M 是线段AB 的中点非零向量a 的单位向量为||a a ± 5、共线向量定理：如果b a λ=，则b a //；反之，如果b a //，且0 ≠b ，则一定存在唯一一个实数λ使b a λ=。
6、两个向量平行的充要条件：若a 与b 不共线且b a μλ=，则0==μλ；若a 与b 是两个非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数μλ、，使0 =+b a μλ。
7、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21a a 、，使得2211e a e a a += ，我们把不共线的向量21,e e 叫做表示这个平面内所有向量的一组基底。
平面向量知识点梳理
平面向量知识点梳理平面向量是向量的一种特殊情况，它在平面上进行运算和表示。
平面向量的学习是解决平面几何问题的重要基础，同时也是向量的一个重要应用领域。
下面进行平面向量的知识点梳理:一、平面向量的定义和表示方法1. 平面向量的定义：平面上的向量是由两个有序数对(a,b)组成。
其中a称为向量的横坐标，b称为向量的纵坐标。
2. 平面向量的表示方法：平面向量可以用有向线段或点表示。
有向线段的起点和终点表示出向量的方向和大小。
二、平面向量的运算法则1. 平面向量的加法：两个向量的加法是将它们的对应坐标相加。
即(A, B) + (C, D) = (A+C, B+D)。
2. 平面向量的减法：两个向量的减法是将它们的对应坐标相减。
即(A, B) - (C, D) = (A-C, B-D)。
3. 常数与向量的乘法：将一个向量的每个坐标与一个常数相乘。
即k(A, B) = (kA, kB)。
4. 向量的数量积：向量的数量积等于它们的模长相乘再乘以夹角的余弦值。
设两个向量为(A, B)和(C, D)，则数量积为AC+BD cosθ，其中θ为两个向量顺时针夹角。
5. 向量的叉积：向量的叉积是一个向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积。
设两个向量为(A, B)和(C, D)，则叉积为AD-BC。
三、平面向量的基本性质1. 平面向量的模长：设向量为(A, B)，则向量的模长为|AB| = √(A² + B²)。
2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
3. 垂直向量：如果两个向量的数量积等于0，则它们是垂直向量。
4. 向量共线：如果一个向量与另一个向量的数量积为0，则它们共线。
5. 向量的方向角：向量的方向角是与x轴的夹角，它可以根据向量的坐标来计算。
四、平面向量的应用1. 向量的分解：将一个向量分解为两个与坐标轴平行的向量，以方便计算。
2. 向量的平移：通过平移向量的起点和终点，将向量沿着平行线移动。
(完整版)高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,ABa BCb uu u ru uu r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =ACuu u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BCCDPQQRAR u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u rL，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法：①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0时，λa 的方向与a 的方向相同；当时，λa 的方向与a 的方向相反；当0时，0a，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,使：2211e ea，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a r可表示成axi yj r rr ，记作a r=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：(1)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212,a bx x y y r r (2)若2211,,,y x B y x A ，则2121,AB x x y y u u u r(3)若a r =(x,y)，则a r =(x, y)(4)若1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212a bx x y y r r 若ab rr ，则02121y y x x 三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r，它们的夹角为，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos 叫做a r与b r 的数量积（或内积）规定00ar r 2向量的投影：︱b r ︱cos =||a b a r r r ∈R ，称为向量b r 在a r方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r 5乘法公式成立：2222a b ab a b a b r r r r r r r r ；2222abaa bb r r r r r r 222aa bbr r r r 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a bb arr r r ②对实数的结合律成立：a b a b a bRr r r r r r ③分配律成立：abca cb c r r r r r r r ca br r r 特别注意：（1）结合律不成立：ab ca b c r r r r r r ；（2）消去律不成立a ba cr r r r 不能得到bc rr （3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)ax y b x y rr，则a r ·b r=1212x x y y 8向量的夹角：已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800）叫做向量a r 与b r 的夹角cos =cos,a b a ba b??r r r r r r =222221212121y x y x y y x x 当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r⊥br 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ba ·b ＝O02121y y x x 平面向量数量积的性质一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()．A ．AB 与AC 共线B ．DE 与CB 共线C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是()．A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC ＝OA ＋OB ，其中，∈R ，且＋＝1，则点C 的轨迹方程为()．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是A ．6B ．3C ．23D ．565．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1)B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22)C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝()．(第1题)A．EF＋ED B．EF－DE C．EF＋AD D．EF＋AF7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m 等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？(第10题)18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．一、选择题1．B 解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，OA ＝(3，)，OB ＝(－，3)，又OA ＋OB ＝(3－，＋3)，∴(x ，y)＝(3－，＋3)，∴33＋＝－＝y x ，又＋＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴a 2＝b 2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴a 与b 的夹角是3π．5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ，∴DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．7．C解析：由(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b|＝4，a ·b ＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D 解析：由OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA ,即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ，∴O 是△ABC 的三条高的交点．9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |．∴四边形ABCD 为梯形．10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．(第1题)二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又A ，B ，C 三点共线，∴5(4－k)＝－7(－k －4)，∴k ＝－32．12．－1．解析：∵M(－1，3)，N(1，3)，∴MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴＝4－3－2＝3＋2x x x 解得4＝1＝－1＝－x x x 或∴x ＝－1．13．－25．解析：思路1：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴△ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB )＝－(CA )2＝－2CA ＝－25．思路2：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°，∴cos ∠CAB ＝CAAB ＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0，BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16，CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)．∵(a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又OA ＋OC ＝－OB ，(第15题)D(第13题)∴OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心．16．答案：平行四边形．解析：∵a ＋c ＝b ＋d ，∴a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ．∴四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则AP ＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴713532yx 即7455yx 要使点P 在第三象限内，只需74055解得λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C (4，3)，AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又D 是BC 的中点，∴AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5)＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴F 是AD 的中点，∴DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)．19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ．∴AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴a 2＝b 2，a ·b ＝0．∴AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴|2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第18题)(第19题)。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结
向量的基本概念：向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量的起点和终点可以表示为一个有序对，如AB(或→AB)，其中A为向量的起点，B为向量的终点。
零向量是大小为0的向量，与任何向量都平行。
向量的负向量是与原向量大小相等、方向相反的向量。
向量的相等：两个向量相等当且仅当它们的大小相等且方向相同。
向量的加法：向量相加的结果称为向量的和，可以用平行四边形法则或三角形法则进行计算。
向量的数乘：一个向量乘以一个实数得到的向量。
即向量AB乘以实数k得到的向量为k→AB，大小为|k||→AB|，方向与→AB相同或相反。
向量的分解：可以将一个向量分解为两个或多个其他向量的和，这通常用于解决复杂的问题。
向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，向量可以用坐标表示。
向量的x轴和y轴的分量分别为向量的坐标中的x分量和y分量。
向量的数量积：两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
数量积可以用来计算向量的夹角、判断向量的垂直关系等。
向量的应用：向量在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，力、速度和加速度等都是向量；在计算机图形学中，向量用于表示方向和位置等。
以上就是高中数学平面向量的主要知识点。
学习这些知识时，需要注意理解向量的概念和运算，掌握向量的性质和定理，并能够应用这些知识解决实际问题。
平面向量知识点归纳总结
平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
下面是平面向量的一些重要知识点的归纳总结：1.平面向量的表示：●使用箭头或小写字母加上一个横线来表示，如a→或AB。
●平面向量通常用两个有序实数（分量）表示，如a = (a₁, a₂)。
2.向量的模/长度：●向量的模/长度表示为|a|，计算公式为|a| = √(a₁²+ a₂²)。
3.向量的方向角：●向量与正x 轴之间的夹角称为方向角。
●方向角可以使用三角函数来表示，如tanθ= a₂/a₁。
4.向量的运算：●向量的加法：a + b = (a₁+ b₁, a₂+ b₂)。
●向量的减法：a - b = (a₁- b₁, a₂- b₂)。
●数乘：k * a = (k * a₁, k * a₂)，其中k 为实数。
5.向量的数量积（点积）：●向量a 和向量b 的数量积（点积）表示为a ·b。
●计算公式为a ·b = a₁* b₁+ a₂* b₂。
●点积满足交换律：a ·b = b ·a。
●点积的几何意义：a ·b = |a| * |b| * cosθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。
6.向量的矢量积（叉积）：●向量a 和向量b 的矢量积（叉积）表示为a ×b。
●计算公式为a ×b = (0, 0, a₁* b₂- a₂* b₁)，即得到一个垂直于平面的向量。
●矢量积满足反交换律：a ×b = - (b ×a)。
●矢量积的几何意义：|a ×b| = |a| * |b| * sinθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。
7.平行向量和共线向量：●平行向量指方向相同或相反的向量。
●共线向量指在同一直线上的向量。
●如果两个向量平行，则它们的叉积为零。
8.向量的投影：●向量a 在向量b 上的投影表示为projₐb。
●计算公式为projₐb = (|a| * |b| * cosθ) * u，其中θ为a 和b 之间的夹角，u 为b 的单位向量。
高一平面向量的知识点归纳总结
高一平面向量的知识点归纳总结一、向量的概念和表示法在平面几何中，向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对表示。
表示为AB或→AB，其中A为向量的起点，B为终点。
二、向量的运算1. 向量加法向量加法满足交换律和结合律。
设有向量→AB和→CD，则→AB+→CD=→AC。
2. 向量减法向量减法的定义：→AB-→AC=→CB。
3. 数乘数乘的定义：k→AB=(k, k)×→AB，其中k为实数。
三、向量的性质1. 零向量零向量的定义：→0=→AB-→AB，其大小为0。
2. 向量共线向量共线的定义：若存在实数k，使得k→AB=→CD，则→AB与→CD共线。
3. 向量相等向量相等的定义：两个向量→AB和→CD相等，当且仅当它们的起点和终点坐标相等。
四、向量的数量积1. 数量积的定义向量数量积的定义：→AB·→CD=|→AB|·|→CD|·cosθ，其中θ为两个向量的夹角。
2. 数量积的性质（1）交换律：→AB·→CD=→CD·→AB（2）分配律：→AB·(→CD+→EF)=→AB·→CD+→AB·→EF（3）数量积与夹角的关系：若θ为两个向量的夹角，则→AB·→CD=|→AB|·|→CD|·cosθ五、平面向量的坐标表示1. 平面直角坐标系平面直角坐标系在平面上确定了一个原点O和两个互相垂直的单位向量i和j。
2. 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示：→AB=(x2-x1, y2-y1)，其中A(x1, y1)为向量的起点，B(x2, y2)为终点。
3. 向量共线的判断向量共线的判断：若两个向量→AB和→CD的坐标之比相等，则→AB与→CD共线。
六、向量的线性运算1. 向量的线性组合向量的线性组合：若有向量→AB和→CD，则k→AB+l→CD为向量的线性组合，其中k和l为实数。
2. 向量的线性相关与线性无关（1）若存在不全为0的实数k和l，使得k→AB + l→CD = →0，则称→AB和→CD线性相关。
高中平面向量知识点总结
高中平面向量知识点总结一、平面向量的定义与性质1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的几何对象，通常用有向线段来表示，记作AB→，其中A、B 为起点和终点。
2. 平面向量的性质（1）平面向量相等的充分必要条件是它们的大小相等，方向相同。
（2）平面向量相加的几何意义：平面向量A+B的几何意义是以B为起点，在A的方向上作另一有向线段，则A+B的终点是以A、B的起点为起点、终点的有向线段。
（3）平面向量乘以实数的几何意义：实数k是负数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相反或绝对值为|k|倍的拉伸；k为正数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相同或绝对值为k倍的拉伸；k=0时，作用是得到一个零向量。
二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相加的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1+b1，c2=a2+b2。
2. 平面向量的减法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相减的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1-b1，c2=a2-b2。
3. 平面向量的数量积平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)的数量积是a1b1+a2b2，它是一个标量（实数）。
4. 平面向量的数量积的性质（1）交换律：A·B = B·A（2）分配律：A·(B+C) = A·B + A·C（3）A·A = |A|^2，其中|A|为向量A的模。
（4）若向量A与向量B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ5. 平面向量的夹角若向量A、B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ三、平面向量的应用1. 向量的共线性与共面性两个向量共线的充分必要条件是它们的方向相同或相反；三个向量共面的充分必要条件是它们的线性相关。
2. 向量的投影向量A在向量B上的投影是A在B方向上的长度，记作proj_BA = |A|cosθ，其中θ为A 与B的夹角。
高中数学：关于平面向量的考点整理
高中数学：关于平面向量的考点整理1、高中数学知识点总结平面向量的概念：平面向量是既有大小又有方向的量。
向量和数量是数学中讨论的两种量的形式，数量是实数。
2、平面向量的三种形式：（1）字母形式：用单独的小写字母带箭头或者用两个大写字母带箭头表示向量；（2）几何形式；用平面内的有向线段表示向量，零向量是一个点；（3）坐标形式：向量可以在坐标平面内用坐标表示，向量坐标等于它的终点坐标减去始点坐标。
3、平面向量的相关概念，（1）模（绝对值）：向量的大小或者向量的长度叫做向量的模，模是大于等于的实数。
模也叫作绝对值、大小、长度，这几个说法是一个意思。
（2）相等向量：方向相同、大小相等的向量叫做相等向量（或者叫相同向量），两个相等向量的x，y坐标对应相等。
（3）相反向量：方向相反、大小相等的向量叫做相反向量。
一个向量加负号即变为其相反向量，在向量化简和运算中很常见、很重要。
（4）平行（共线）向量：平面内两个向量所在的直线平行或者重合，则说这两个向量平行（或者共线），用平行符号表示。
因为向量可以自由平移，所以对向量来讲平行和共线是一个意思。
两个非零向量平行时，必定方向相同或相反。
规定零向量和任意向量都平行，但不能说零向量和其它向量方向相同或相反。
（5）垂直向量：两向量所在的直线垂直（或者说夹角为90度），则说这两个向量为垂直向量，用垂直符号表示。
规定零向量和任意向量都垂直，但不能说夹角90度。
（6）零向量：大小为零（或者说模、绝对值、长度为零都是一个意思）的向量叫做零向量，规定零向量的方向是任意的，不能讨论零向量和其它向量方向的关系及夹角问题。
规定零向量和任意向量都平行且垂直。
（7）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。
一个向量除以自己的模得到和这个向量同方向的单位向量；单位向量乘以一个向量的模得到这个向量。
（8）位置向量：向量AB可以表示点B相对点A的位置，所以向量AB可以叫做点B关于点A的位置向量。
（9）方向向量：一个非零向量与一条直线平行，则这个向量叫做这条直线的平行向量。
高中平面向量知识点总结
高中平面向量知识点总结一、向量的基本概念1. 定义：- 平面向量：具有大小和方向的量，可以在平面上表示。
- 向量的表示：通常用粗体字母或上方带箭头的字母表示，如$\vec{a}$。
2. 相等的向量：- 两个向量如果大小和方向完全相同，则它们是相等的。
3. 零向量：- 大小为零的向量，通常表示为 $\vec{0}$。
二、向量的运算1. 加法：- 向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则。
- 向量加法满足交换律和结合律。
2. 减法：- 向量减法同样遵循平行四边形法则。
- 向量减法满足交换律和结合律。
3. 数乘：- 数乘是将向量乘以一个实数，结果仍然是一个向量。
- 数乘满足分配律、结合律和与实数乘法的兼容性。
三、向量的几何性质1. 长度（模）：- 向量的长度表示向量的大小。
- 计算公式：$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$，其中$a_x$ 和 $a_y$ 分别是向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
2. 方向：- 向量的方向由其与正 x 轴的夹角 $\theta$ 确定。
- 方向角的计算公式：$\theta = \arctan(\frac{a_y}{a_x})$。
3. 单位向量：- 长度为 1 的向量称为单位向量。
- 单位向量可以通过将任意向量除以其长度得到。
四、向量的坐标表示1. 笛卡尔坐标：- 在笛卡尔坐标系中，向量可以表示为 $(x, y)$。
- 坐标表示法便于进行向量的加减和数乘运算。
2. 极坐标：- 向量还可以用极坐标表示，即 $(r, \theta)$，其中 $r$ 是长度，$\theta$ 是方向角。
五、向量的数量积（点积）1. 定义：- 两个向量的数量积是一个标量，表示为 $\vec{a} \cdot\vec{b}$。
- 计算公式：$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$。
2. 性质：- 数量积可以用来计算两个向量的夹角：$\cos(\theta) =\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$。
高一数学平面向量基础知识整理
高一数学平面向量基础知识整理一、向量的定义与表示在数学中，向量是有大小和方向的量。
常用箭头在平面上表示向量，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、向量的性质1. 向量的相等性：向量的大小和方向完全相同，则两个向量相等。
2. 向量的相反性：如果两个向量大小相等，方向相反，则为相反向量。
3. 零向量：大小为零的向量，任何向量与零向量相加仍为原向量。
4. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称为平行向量。
5. 共线向量：两个向量在同一直线上，或者其中一个是另一个的常数倍时，称为共线向量。
6. 自由向量和定位向量：自由向量可以平移，定位向量则有固定的起点和终点。
三、向量的运算1. 向量的加法：- 要将两个向量相加，将它们首尾相连，连接起点和终点，新向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点。
- 满足交换律和结合律。
2. 向量的减法：- 将减法转化为加法，即将减去的向量取相反向量，再进行加法。
3. 数量积：- 数量积又称为点积或内积，表示为两个向量的数量积的积，用符号 "·" 表示。
- 定义为两个向量的模的乘积再乘以它们的夹角的余弦值。
4. 向量的数乘：- 数乘即将向量的每个分量都乘以一个标量。
四、向量的模（长度）向量的模表示向量的大小，有两种计算方法：1. 用坐标表示：向量 (a, b) 的模为√(a² + b²)。
2. 用数量积表示：设向量 a 的模为 |a|，则|a| = √(a·a)。
五、单位向量单位向量的模为 1，任何非零向量的单位向量可以通过将向量除以它的模来获得。
六、向量的夹角1. 向量的夹角余弦：- 两个非零向量 a 和 b 的夹角余弦定义为：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)，其中θ 为夹角。
2. 向量的垂直与平行关系：- 若 a·b = 0，则 a 与 b 垂直。
平面向量知识点总结
平面向量知识点总结平面向量是解析几何中的重要概念，是用来表示平面上的点的有方向的量。
平面向量的运算和性质有很多，下面将对其进行详细总结。
一、平面向量的定义平面向量是一个有方向的量，可以用有序数对表示。
通常使用大写的字母如A、B、C等来表示平面向量。
二、平面向量的表示平面向量可以用有序数对(a, b)表示，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。
表示为AB(a, b)。
三、向量的长度和方向角向量的长度就是向量的模，用||AB||表示，可以根据勾股定理计算向量的模。
向量的方向角指向量与x轴的夹角，用α表示，可以根据三角函数来计算。
四、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将一个向量的起点放在另一个向量的终点，连成一个新的向量。
2. 向量的减法：向量的减法相当于加上一个负向量，即将向量取负后进行加法运算。
3. 向量与常数的乘法：向量与常数相乘，即将向量的每个分量都乘以该常数。
4. 向量的数量积：数量积也叫点积或内积，表示为A·B，计算公式为A·B=|A||B|cosα，其中α为向量A与向量B的夹角。
5. 向量的向量积：向量积也叫叉积或外积，表示为A×B，计算公式为A×B=|A||B|sinαn，其中α为向量A与向量B的夹角，n为向量A与向量B所在平面的法向量。
五、向量的性质1. 交换律：向量的加法满足交换律，即A+B=B+A。
2. 结合律：向量的加法满足结合律，即(A+B)+C=A+(B+C)。
3. 数乘结合律：向量与常数的乘法满足数乘结合律，即k(A+B)=kA+kB。
4. 分配律：向量的加法对乘法满足分配律，即(k+m)A=kA+mB。
5. 向量的相等性：向量的相等性表示向量的模和方向都相等。
六、平面向量的应用平面向量广泛应用于几何、物理等学科中，常用于求解平面上的几何问题和运动问题。
例如，可以利用平面向量求解线段的垂直、平行及相交关系，求解角平分线、边中垂线等几何问题；还可以运用平面向量解决速度、加速度等物理问题。
高中文科数学平面向量知识点整理
高中文科数学平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .（ 222222||,||a x y a a x y =+==+。
）零向量：长度为0的向量。
a ＝O ⇔｜a ｜＝O .【例题】1.下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______（答：（4）（5））2.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____（答：13）；2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．baCBAa b C C -=A -AB =B3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--．【例题】（1）①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____ （答：①AD ；②CB ；③0）；（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____（答：）；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=，则合力123F F F F =++的终点坐标是（答：（9,1））4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．【例题】（1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3--→--→=-，则点P 的坐标为_______（答：7(6,)3--）；5、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，（0b ≠）22()(||||)a b a b ⇔⋅=。
(完整版)高中平面向量知识点总结.doc
r
uuur
r
uuur
r
,则∠AOB=
（0
0
180
0
）叫做向
29、已知两个非零向量a与b，作OA=a,
OB=b
r
r
量a与b的夹角
rr
r
?
r
x x
y y
b
2
2
cos =cos a,b
a
=
1
1
r
r
2
2
x2
22
（可用此公式求两向量夹角）
a ? b
x1
y1
y2
当x1x2
y1y2< 0，?（
??
2
，π];
当x1x2
则把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标。
（2）坐标表示
在向量a的直角坐标中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a=（x，y）
叫做向量的坐标表示。
（3）在向量的直角坐标中，
i=（1,0）j=（0,1）
0=（0,0）
r
r
x2, y2
20、若a
x1, y1,b
和实数 λ
rr
x2, y1
y2
（1）a bx1
L1：A1x+B1y+C1=0
与直线L2：A2x+B2y+C2=0
的夹角，则只要求与两直线平
行的向量的夹角， 再取这两个向量的夹角或补角，
即与直线L1
、
2
分别平行的向量
1
，
L
m=（A
??·??
??·??+??·??
1
2
2
=︱??︱·︱??︱
高三数学平面向量知识点与题型总结材料(文科)
适用标准知识点概括一 . 向量的基本观点与基本运算 1、向量的观点：①向量：既有大小又有方向的量 向量不可以比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是随意的， 0 与随意愿量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量） ：方向同样或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向同样的向量 2、向量加法：设 AB a, BC b ，则 a + b = AB BC = AC（ 1） 0a a 0 a ；（ 2）向量加法知足互换律与联合律；AB BC CDPQ QR AR ，但这时一定“首尾相连” ．3、向量的减法：① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量②向量减法：向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差，③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向 a的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作 λ a ，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ） a a ； （Ⅱ） 当0 时， λ a 的方向与 a 的方向同样； 当 0 时， λ a 的方向与 a 的方向相反；当0时， a 0 ，方向是随意的5、两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得 b = a6、平面向量的基本定理：假如e 1 ,e 2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一直量a ，有且只有一对实数 1 ,2 使： a1e12e 2 ，此中不共线的向量e 1, e 2 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底二 . 平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示：平面内的任一直量 a 可表示成 axiyj ，记作 a =(x,y) 。
2 平面向量的坐标运算：(1) 若 ax 1 , y 1 ,b x 2 , y 2 ，则 a b x 1 x 2 , y 1 y 2(2) 若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1(3) 若 a =(x,y) ，则 a =( x,y)(4) 若 a x 1 , y 1 ,b x 2 , y 2 ，则 a // b x 1 y 2 x 2 y 1 0(5) 若 ax 1 , y 1 ,bx 2 , y 2 ，则 a bx 1 x 2y 1 y 2文档大全适用标准若 ab ，则 x 1 x 2 y 1 y 2 0三．平面向量的数目积 1 两个向量的数目积：已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱ cos叫做 a 与 b 的数目积（或内积） 规定 0 a 02 向量的投影：︱ b ︱ cos=a b∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影| a |3 数目积的几何意义： a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系：a aa 2 | a |25 乘法公式建立：a b a b a 2b 222a b ；222a ba 2 2ab b 2a 2ab b6 平面向量数目积的运算律：①互换律建立： a b b a②对实数的联合律建立：a b a b a b R③分派律建立：a b c a c b cc a b特别注意：（ 1）联合律不建立： a b ca bc ；（ 2）消去律不建立a b a c 不可以获得 b c（ 3） a b =0 不可以获得 a = 0 或 b = 07 两个向量的数目积的坐标运算：已知两个向量a ( x , y ),b ( x , y )，则 a· b = x 1x 2 y 1 y 211228 向量的夹角： 已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA = a , OB =b , 则∠ AOB= （ 00180 0 ）叫做向量 a与 b 的夹角cos = cos a,ba b = x 1 x 2 y 1 y 22ab222x 1y 1x 2y 2当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时， θ =00，当且仅当 a 与 b 反方向时 θ =1800，同时 0 与其余任何非零向量之间不谈夹角这一问题文档大全适用标准9 垂直：假如 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b 10 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ ba ·b ＝ Ox 1x 2y 1 y 2 0 平面向量数目积的性质【练习题】1、给出以下命题：①两个拥有共同终点的向量，必定是共线向量；②若 A ， B ，C ，D 是不共线的四点，则 AB ＝ DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；③若 a 与 b 同向，且 |a |>|b |，则 a >b ；④ λ， μ为实数，若 λa ＝μb ，则 a 与 b 共线． 此中假命题的个数为 ( )A ．1B ． 2C ．3D ． 42．设 a 0 为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若 a 与 a 0 平行，则 a ＝ |a |a 0 ；③若a 与 a 0 平行且 |a |＝ 1，则 a ＝ a 0.上述命题中，假命题的个数是()A ．0B ． 1C ．2D ． 33、设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若 AB ＝ a ＋ b ， BC ＝ 2a ＋ 8b ， CD ＝ 3(a － b )．求证： A ， B ， D 三点共线； (2)试确立实数 k ，使 k a ＋ b 和 a ＋k b 共线．4、已知两点 A(4,1)， B(7，－ 3)，则与 AB 同向的单位向量是 ()A.3，－4B. － 3， 4555 5 C. － 4，3D.4，－ 35 5555、在△ ABC 中， M 为边 BC 上随意一点， N 为 AM 中点， AN ＝ λAB ＋ μAC ，则 λ＋ μ的值为 ()1B.1A. 231C.4D ． 16、已知两个单位向量e 1， e 2 π的夹角为，若向量 b 1＝e 1－2e 2，b 2＝ 3e 1＋ 4e 2，则 b 1 ·b 2＝ ________.37、已知 |a |＝ 1， |b |＝2， a 与 b 的夹角为 120 °， a ＋ b ＋ c ＝ 0，则 a 与 c 的夹角为 ()A ．150 °B ． 90°文档大全适用标准C ．60°D ． 30°8、已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数， 若向量 a ＋b 与向量 k a － b 垂直，则 k ＝ ________.9、设向量 a ， b 知足 |a |＝ 1， |a － b |＝ 3， a ·(a － b )＝ 0，则 |2a ＋ b |＝ ()A ．2B ．2 3C ．4D ．43110、已知向量 a ＝ (sin x,1)， b ＝ cos x ，－ 2 . (1)当 a ⊥ b 时，求 |a ＋ b |的值；(2)求函数 f(x)＝ a ·(b －a )的最小正周期．11、已知 f( x)＝ a ·b ，此中 a ＝ (2cos x ，－ 3sin 2 x)， b ＝ (cos x,1)( x ∈R )．(1)求 f(x)的周期和单一递减区间；(2)在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ，c ， f(A)＝－ 1， a ＝ 7， AB ·AC ＝3，求边长 b 和c 的值 (b>c)．12、如图，在ABC 中， OA a ， OB b,M 为 OB 的中点， NB为 AB 的中点， P 为 ON 、 AM 的交点，则 AP 等（）A21 B2 1MNaPab3b3 33C1 2 D1 a2ab3b333O A13．△ ABC 中， AB 边的高为 CD ，若 CB ＝ a ， CA ＝ b ， a ·b ＝ 0， |a |＝ 1， |b |＝ 2，则 AD ＝( )1122A. 3a － 3bB.3a － 3b3 34 4 C.5a － 5bD.5a －5b14． (2012 郑·州质检 )若向量 a ＝ (x － 1,2)， b ＝ (4， y)互相垂直，则 9x ＋ 3y的最小值为 ()A ．12B ． 2 3C ．32D ． 615． (2012 ·西省四校联考山 )在△ OAB(O 为原点 )中， OA ＝ (2cos α，2sin α)， OB ＝(5cos β，5sin β)，若 OA OB＝－ 5，则△ OAB 的面积 S ＝ ( )·文档大全适用标准3 A. 3B. 2 C ．53D. 5 3216、若 a ， b ， c 均为单位向量，且 a ·b ＝ 0， (a － c ) ·(b － c )≤ 0，则 |a ＋ b － c |的最大值为 ()．A. 2－ 1 B ．1 C. 2 D ．217、已知△ ABC 为等边三角形，→→ → → → →AB ＝ 2.设点 P ， Q 知足 AP ＝λAB ， AQ ＝ (1－ λ)AC ，λ∈R ，若 BQ ·CP ＝－ 3，则 λ＝ ( )．211± 2 1± 10 －3±2 2A. 2B. 2C. 2D. 218 如图，已知平行四边形 ABCD 的极点 A(0，0) ，B(4,1) ， C(6,8)．(1)求极点 D 的坐标；(2)若 DE ＝ 2 EC ，F 为 AD 的中点，求 AE 与 BF 的交点 I 的坐标．．【课后练习题】1．以下等式：① 0－a ＝－ a ；②－ (－ a )＝ a ；③ a ＋ (－a ) ＝0；④ a ＋ 0＝ a ；⑤ a － b ＝ a ＋ (－ b )．正确的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．5分析：选C2． (2012 ·州模拟福 )若 a ＋ b ＋ c ＝ 0，则 a ， b ， c ()A ．都是非零向量时也可能没法组成一个三角形B ．必定不行能组成三角形C ．都是非零向量时能组成三角形D ．必定可组成三角形分析：选A3．(2012 威·海质检 )已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C.若 OA ＋ 2 OC ＝ 3 OB ，则|BC |的值为 ()|AB |11 A. 2B.3文档大全适用标准1 1 C.4 D.6分析：选A4．(2012 海·淀期末 )如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三平分点 (凑近 B)，那么 EF ＝ ()A. 21AB －31 AD B.41AB ＋21 ADC.31AB ＋21DAD.21AB －32AD分析：选D5． (2013 揭·阳模拟 )已知点 O 为△ ABC 外接圆的圆心，且 OA ＋ OB ＋ CO ＝ 0，则△ ABC 的内角 A等于 ()A ．30°B ． 60°C ．90°D ． 120 °分析：选A6．已知△ ABC 的三个极点 A 、B 、C 及平面内一点 P 知足 PA ＋ PB ＋ PC ＝ AB ，则点 P 与△ ABC的关系为 ()A ．P 在△ ABC 内部B ．P 在△ ABC 外面C ．P 在 AB 边所在直线上D ．P 是 AC 边的一个三平分点分析：选D7．(2012 ·州五校联考郑)设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，BC 2＝ 16，| AB ＋ AC |＝ |AB－ AC |，则 | AM |＝ ________.答案： 28． (2013 ·庆模拟大 )已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点，且向量OA ， OB ， OC ， OD 知足等式 OA ＋ OC ＝ OB ＋ OD ，则四边形 ABCD 的形状为 ________．答案： 平行四边形9．设向量 e 1， e 2 不共线， AB ＝ 3(e 1 ＋e 2 )， CB ＝e 2－e 1， CD ＝ 2e 1＋ e 2，给出以下结论：① A ，B ，C 共线；② A ，B ，D 共线；③ B ， C ， D 共线；④ A ， C ，D 共线，此中全部正确结论的序号为________．答案： ④10．设 i ，j 分别是平面直角坐标系 Ox ，Oy 正方向上的单位向量， 且 OA ＝－ 2i ＋ m j ，OB ＝ n i ＋ j ，OC＝ 5i －j ，若点 A ，B ， C 在同一条直线上，且m ＝ 2n ，务实数 m ， n 的值．文档大全m＝ 6，适用标准m＝ 3，或3n＝3，n＝2.x7．已知向量a＝8，2， b＝(x,1)，此中x>0，若(a－2b)∥(2a＋ b)，则x＝________.答案： 48． P＝{ a|a＝(－ 1,1)＋ m(1,2) ，m∈R} ，Q＝ { b|b＝ (1，－ 2)＋ n(2,3)，n∈R} 是两个向量会合，则P∩Q 等于 ________．答案： { －13，－23 }9．已知向量OA＝ (1，－ 3)，OB＝ (2，－ 1)，OC＝ (k＋ 1，k－ 2)，若 A，B，C 三点能组成三角形，则实数 k 应知足的条件是 ________．答案： k≠ 110．已知 A(1,1)， B(3，－ 1)， C(a， b)．(1)若 A， B， C 三点共线，求a，b 的关系式；(2)若AC＝ 2 AB，求点 C 的坐标．(5，－ 3)．11．已知a＝ (1,0) ，b＝ (2,1)．求：(1)|a＋ 3b|；(2)当 k 为什么实数时， k a－b与a＋3b平行，平行时它们是同向仍是反向？方向相反．12．已知 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM＝ t1OA＋ t2AB .(1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件；文档大全适用标准(2)求证：当t1＝ 1 时，无论t2为什么实数， A， B，M 三点都共线．8．已知向量a， b 夹角为45°，且|a|＝1，|2a－ b|＝10，则 |b|＝ ________.答案：329．已知向量a＝(2，－1)， b＝( x，－2)，c＝(3，y)，若 a∥b，(a＋b)⊥( b－ c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量 MN 的模为________．答案：8210．已知a＝ (1,2)，b＝(－ 2， n)，a与b的夹角是45°.(1)求b；(2)若c与b同向，且 a 与 c－ a 垂直，求 c.1c＝2b＝(－1,3)．11．已知 |a|＝ 4， |b|＝ 8，a与b的夹角是120 °.(1)计算：① |a＋b|，② |4a－2b|；(2)当 k 为什么值时， (a＋ 2b)⊥ (k a－b)?即 k＝－ 7 时，a＋ 2b与 k a－b垂直．12．设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0≤°α<360°)， b＝－12，23.(1)求证：向量a＋ b 与 a－ b 垂直；(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．文档大全适用标准α＝ 30°或α＝ 210 °.文档大全。
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高中文科数学平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a+b =0向量表示：几何表示法；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .（ 222222||,||a x y a a x y =+==+。
）零向量：长度为0的向量。
a ＝O ⇔｜a ｜＝O .【例题】1.下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若A B D C =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a bb c ==，则a c =。
（6）若/,/a bbc ，则//a c 。
其中正确的是_______（答：（4）（5））2.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____；2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．baCBAa b C C -=A -AB =B3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--．【例题】（1）①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____ （答：①AD ；②CB ；③0）；（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____（答：）；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=，则合力123F F F F =++的终点坐标是（答：（9,1））4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．【例题】（1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3--→--→=-，则点P 的坐标为_______（答：7(6,)3--）；5、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，（0b ≠）22()(||||)a b a b ⇔⋅=。
【例题】 (1)若向量(,1),(4,)a x b x ==，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同（答：2）；（2）已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______（答：4）；6、向量垂直：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=-12120x x y y ⇔+=.【例题】(1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA OB ⊥，则m =（答：32）； （2）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是________（答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,),n a b =向量n m ⊥，且n m =，则m 的坐标是________（答：(,)(,)b a b a --或）7、平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤．⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． 若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+设()11,a x y =，()22,b x y =，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.则a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2＝ x 2y 1.设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121cos a b a bx θ⋅==+；（注||||||a b a b ∙≤）【例题】（1）△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅_________（答：－9）；（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4π，则k 等于____ （答：1）；（3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____ ）； （4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____（答：30）（5）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______ （答：43λ<-或0λ>且13λ≠）；（6）已知向量＝（sinx ，cosx ）, ＝（sinx ，sinx ）, ＝（－1，0）。
（1）若x ＝3π，求向量、的夹角； （答：150°）；8、b 在a 上的投影：即||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。
【例题】已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为______ （答：512)平面向量高考经典试题一、选择题1．已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向2、已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1BC ．2D ．43、若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______；4、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23B ．13C ．13-D ．23-5、若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 （ ） A ．EF OF OE =+ B. EF OF OE =- C. EF OF OE =-+ D. EF OF OE =--6、已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-，二、填空题1、已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 ．2、若向量a b ，的夹角为60，1a b ==，则()a ab -= ． 3、在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则A B A C =．三、解答题：1、已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若0AB AC =，求c 的值；(2)若5c =，求sin ∠A 的值2、在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ； （2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ．3、在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ．4、设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a =，5c =，求b ．5、在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △答案 选择题1、A. 已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，30300a b ⋅=-+=，则a 与b 垂直。
2、C 2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：2(3,)(1,)30n n n n ⋅-=-+=⇒= 2=a 。
3、32 解析：1311122a a ab ⋅+⋅=+⨯⨯=， 4、A 在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2，=λ+31，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-1233CA CB +=32。
5、B 由向量的减法知EF OF OE =- 6、D 1322-=a b (12).-，填空题1、解析：已知向量2411a b ()()，，，==．量(2,4)a b λλλ+=++，()b a b λ⊥+，则2+λ+4+λ=0，实数λ=－3．2、21【解析】()2211cos60122a a b a a b a a b -=-⋅=-⋅︒=-=。
3、解析：(0,1)(1,1)0(1)11 1.AB AC =⋅-=⨯-+⨯=解答题1、解: (1) (3,4)AB =-- (3,4)AC c =--由 3(3)162530AB AC c c =--+=-= 得 253c = (2) (3,4)AB =-- (2,4)AC =-cos5AB AC A AB AC∠===sin A ∠==2、解：（1）sin tan cos CC C=∴=又22sin cos 1C C += 解得1cos 8C =±．tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=．（2）52CB CA =， 5cos 2ab C ∴=， 20ab ∴=．又9a b +=22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．3、解： 由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ，10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=．4、解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）根据余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-272545=+-7=．所以，b =5、本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π，AB ∴边最大，即AB =．又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =sin sin AB BC C A =得：sin 2sin ABC ABC== 所以，最小边BC =。