第5讲弃九法

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小学数学四年级奥数基础教程目录

小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）第3讲高斯求和第4讲 4，8，9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。

准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。

我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。

例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

求这10名同学的总分。

分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。

观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。

我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。

于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。

实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。

为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。

四年级奥数教程答案

四年级奥数教程答案【篇一：四年级奥数教程】>例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：解：选基准数为450，则- 1 -累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50，答：平均每块麦田的产量为455千克。

求一位数的平方，在乘法口诀的小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）86，78，77，83，91，74，92，第2讲速算与巧算（二） 69，84，75。

第3讲高斯求和求这10名同学的总分。

第4讲 4，8，9整除的数的特征分析与解：通常的做法是将这10个数第5讲弃九法直接相加，但这些数杂乱无章，直接第6讲数的整除性（二）相加既繁且易错。

观察这些数不难发第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。

我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。

现，这些数虽然大小不等，但相差不大。

我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“ 80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。

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其实你若真爱一个人，内心酸涩，反而会说不出话来12.生命中有一些人与我们擦肩了，却来不及遇见；遇见了，却来不及相识；相识了，却来不及熟悉，却还要是再见13.对自己好点，因为一辈子不长；对身边的人好点，因为下辈子不一定能遇见14.世上总有一颗心在期待、呼唤着另一颗心15.离开之后，我想你不要忘记一件事：不要忘记想念我。

第5讲弃九法

第5讲弃九法从第4讲知道，如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。

利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。

例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。

但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。

有没有更简便的方法呢？因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图），所以这个数除以9的余数是3。

这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。

一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。

利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。

例1 求多位数7645821369815436715除以9的余数。

分析与解：利用弃九法，将和为9的数依次划掉。

只剩下7，6，1，5四个数，这时口算一下即可。

口算知，7，6，5的和是9的倍数，又可划掉，只剩下1。

所以这个多位数除以9余1。

例2 将自然数1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？分析与解：因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数，所以要配合适当的分析。

我们已经熟知1＋2＋3＋…＋9＝45，而45是9的倍数，所以每一组1，2，3，…，9都可以划掉。

在1～99这九十九个数中，个位数有十组1，2，3，…，9，都可划掉；十位数也有十组1，2，3，…，9，也都划掉。

这样在这个大数中，除了0以外，只剩下最后的100中的数字1。

所以这个数除以9余1。

小学数学奥数基础教程目录3-6册

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第5讲同余的概念和性质

第5讲同余的概念和性质解题思路：理解并熟记同余的性质，运用同余性质把数化小、化易。

同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为： a≡b（modm）.性质1：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。

★性质2：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。

★性质3：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。

性质4：若a≡b（mod m），那么a n≡b n（mod m），（其中n为自然数）。

性质5：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。

例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。

例3 求14389除以7的余数。

例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列十位，…上的数码，再设M=0a ＋0a ＋…＋n a ，求证：N ≡M （mod 9）例6 求自然数1002＋1013＋1024的个位数字。

习题1.验证对于任意整数a 、b ，式子a ≡b （mod1）成立，并说出它的含义。

2.已知自然数a 、b 、c ，其中c ≥3，a 除以c 余1，b 除以c 余2，则ab 除以c 余多少年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几4.求＋被7除的余数。

5.所有自然数如下图排列.问300位于哪个字母下面6. 数，被13除余多少7.求1993100的个位数字.第五讲同余的概念和性质你会解答下面的问题吗问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以“六·一”儿童节是星期一。

神奇的9

10进制在世界范围内的普及和标准化，奠定了整个数学大厦的基石，而我们今天要学习的神奇的“9“和10也有千丝万缕的关系，”弃9法“等实用的方法也应运而生。

今天就让我们步入数字的海洋，来看一看9有哪些神奇之处。

神奇的9第九讲【知识点睛】1.弃九法：⑴一个数除以9的余数，和这个数的数字和除以9的余数相同。

【112564832除以9的余数等于（1+1+2+5+6+4+8+3+2）除以9的余数】⑵可将数任意截断，每一部分除以9的余数和的余数就是原数除以9的余数。

【1234567891011…2016除以9的余数和（1+2+3+…+2016）除以9的余数相同】*注意：余数具有可加性、可减性（同余定理）、可乘性、可乘方性，没有“可除性”（有在一定条件下满足的“慎除性”）。

2.加法数字谜的一条规律：⑴在竖式中加数总共进了几位，和的数字和就比加数的数字和减少几个9。

⑵减法竖式可转换为加法竖式。

3.三阶幻方（九宫格，洛书）的特殊性质：8条线（3行、3列、2对角线）的三数之和都是15，且15的不计顺序的正整数分拆也恰好有8种。

4.同余符号：一个数a与它的各个数位数字和b除以9的余数相同，这句话可用数学符号表示为：【例题精讲】【例1】（1）求7123021除以9的余数；（2）求7813×1768除以9的余数；（3）求 uu uu除以9的余数。

【练一练1】（1）求6354279816除以9的余数；（2）求12345×67890除以9的余数；（3）求除以9的余数。

【例2】将1～2013写成一排：1234……20122013，求这个数除以9的余数。

【练一练2】检验此式是否正确：135987984＋981252341＝1117241325。

【例3】从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中，选出9个不同数字填入下面的方框中，使等式成立，则其中未被选中的数字是____.【练一练3】1234×99999乘积的各位数字之和为_____.【例4】已知2的29次方( ∀)由9个不同数字组成，那么缺少哪个数字？【练一练4】A的数字之和为100，B的数字之和为50，A-B借了5次位，则A-B的差的数字之和为____。

四升五年级奥数

第1讲速算与巧算一计算是数学的基础,小学生要学好数学,必须具有过硬的计算本领;准确、快速的计算能力既是一种技巧,也是一种思维训练,既能提高计算效率、节省计算时间,更可以锻炼记忆力,提高分析、判断能力,促进思维和智力的发展;我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法,本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法;例1 四年级一班第一小组有10名同学,某次数学测验的成绩分数如下：86,78,77,83,91,74,92,69,84,75;求这10名同学的总分;分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加,但这些数杂乱无章,直接相加既繁且易错;观察这些数不难发现,这些数虽然大小不等,但相差不大;我们可以选择一个适当的数作“基准”,比如以“80”作基准,这10个数与80的差如下：6,-2,-3,3,11,-6,12,-11,4,-5,其中“-”号表示这个数比80小;于是得到总和=80×10＋6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809;实际计算时只需口算,将这些数与80的差逐一累加;为了清楚起见,将这一过程表示如下：通过口算,得到差数累加为9,再加上80×10,就可口算出结果为809;例1所用的方法叫做加法的基准数法;这种方法适用于加数较多,而且所有的加数相差不大的情况;作为“基准”的数如例1的80叫做基准数,各数与基准数的差的和叫做累计差;由例1得到：总和数=基准数×加数的个数+累计差,平均数=基准数+累计差÷加数的个数;在使用基准数法时,应选取与各数的差较小的数作为基准数,这样才容易计算累计差;同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来,所以基准数应尽量选取整十、整百的数;例2 某农场有10块麦田,每块的产量如下单位：千克：462,480,443,420,473,429,468,439,475,461;求平均每块麦田的产量;解：选基准数为450,则累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50,平均每块产量=450＋50÷10＝455千克;答：平均每块麦田的产量为455千克;求一位数的平方,在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知,如7×7＝49七七四十九;对于两位数的平方,大多数同学只是背熟了10～20的平方,而21～99的平方就不大熟悉了;有没有什么窍门,能够迅速算出两位数的平方呢这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法;所谓凑整补零法,就是用所求数与最接近的整十数的差,通过移多补少,将所求数转化成一个整十数乘以另一数,再加上零头的平方数;下面通过例题来说明这一方法;例3 求292和822的值;例4求9932和20042的值;下面,我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法;请看下面的算式：66×46= 73×88= 19×44=这几道算式具有一个共同特点,两个因数都是两位数,一个因数的十位数与个位数相同,另一因数的十位数与个位数之和为10;这类算式有非常简便的速算方法;例5 88×64＝例6 77×91＝解：由例3的解法得到由上式看出,当两个因数的个位数之积是一位数时,应在十位上补一个0,本例为7×1＝07;用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算;练习11.求下面10个数的总和：165,152,168,171,148,156,169,161,157,149;2.农业科研小组测定麦苗的生长情况,量出12株麦苗的高度分别为单位：厘米：26,25,25,23,27,28,26,24,29,27,27,25;求这批麦苗的平均高度;3.某车间有9个工人加工零件,他们加工零件的个数分别为：68,91,84,75,78,81,83,72,79;他们共加工了多少个零件4.计算：13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12;5.计算下列各题：1372； 2532； 3912；4682 51082； 63972;6.计算下列各题：177×28= 266×55=333×19= 482×44=537×33= 646×99=第2讲速算与巧算二上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法,这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法;两个数之和等于10,则称这两个数互补;在整数乘法运算中,常会遇到像72×78,26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补,或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况;72×78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补,这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；26×86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同,这类式子我们称为“头互补、尾相同”型;计算这两类题目,有非常简捷的速算方法,分别称为“同补”速算法和“补同”速算法;例1 176×74＝ 231×39＝由例1看出,在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中,积的末两位数是两个因数的个位数之积不够两位时前面补0,如1×9＝09,积中从百位起前面的数是被乘数或乘数的十位数与十位数加1的乘积;“同补”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾×尾”,前面是“头×头+1”;我们在三年级时学到的15×15,25×25,…,95×95的速算,实际上就是“同补”速算法;例2 178×38＝ 243×63＝2与1类似可得到下面的速算式：由例2看出,在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中,积的末两位数是两个因数的个位数之积不够两位时前面补0,如3×3＝09,积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数或乘数的个位数;“补同”速算法简单地说就是：积的末两位数是“尾×尾”,前面是“头×头+尾”;例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法;当被乘数和乘数多于两位时,情况会发生什么变化呢我们先将互补的概念推广一下;当两个数的和是10,100,1000,…时,这两个数互为补数,简称互补;如43与57互补,99与1互补,555与445互补;在一个乘法算式中,当被乘数与乘数前面的几位数相同,后面的几位数互补时,这个算式就是“同补”型,即“头相同,尾互补”型;例如, 因为被乘数与乘数的前两位数相同,都是70,后两位数互补,77＋23＝100,所以是“同补”型;又如, 等都是“同补”型;当被乘数与乘数前面的几位数互补,后面的几位数相同时,这个乘法算式就是“补同”型,即“头互补,尾相同”型;例如,等都是“补同”型;在计算多位数的“同补”型乘法时,例1的方法仍然适用;例3 1702×708= 21708×1792＝解：1 2计算多位数的“同补”型乘法时,将“头×头+1”作为乘积的前几位,将两个互补数之积作为乘积的后几位;注意：互补数如果是n位数,则应占乘积的后2n位,不足的位补“0”;在计算多位数的“补同”型乘法时,如果“补”与“同”,即“头”与“尾”的位数相同,那么例2的方法仍然适用见例4；如果“补”与“同”的位数不相同,那么例2的方法不再适用,因为没有简捷实用的方法,所以就不再讨论了;例4 2865×7265＝解：练习2计算下列各题：68×62= 93×97= 27×87= 79×39=42×62= 603×607= 693×607= 4085×6085=第3讲高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于5050;高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51;1～100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等;于是,小高斯把这道题巧算为1+100×100÷2＝5050;小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题;若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项;后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差;例如：11,2,3,4,5, (100)21,3,5,7,9,...,99；38,15,22,29,36, (71)其中1是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列；2是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列；3是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列;由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式：和=首项+末项×项数÷2;例1 1＋2＋3＋ (1999)注意：利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列;例2 11＋12＋13＋ (31)在利用等差数列求和公式时,有时项数并不是一目了然的,这时就需要先求出项数;根据首项、末项、公差的关系,可以得到项数=末项-首项÷公差+1,末项=首项+公差×项数-1;例3 3＋7＋11＋ (99)例4 求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和;例5 在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米,边长是1根火柴棍;问：1最大三角形的面积是多少平方厘米2整个图形由多少根火柴棍摆成例6 盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里;这时盒子里共有多少只乒乓球练习31.计算下列各题：12＋4＋6＋…＋200 217＋19＋21＋…＋3935＋8＋11＋14＋…＋50 43＋10＋17＋24＋…＋1012.求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和;3.求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和;4.时钟在每个整点敲打,敲打的次数等于该钟点数,每半点钟也敲一下;问：时钟一昼夜敲打多少次5.求100以内除以3余2的所有数的和;6.在所有的两位数中,十位数比个位数大的数共有多少个第四讲整除我们在三年级已经学习了能被2,3,5整除的数的特征,这一讲我们将讨论整除的性质,并讲解能被4,8,9整除的数的特征;数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数一定能被丙数整除;例如,48能被16整除,16能被8整除,那么48一定能被8整除;性质2 如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除;例如,21与15都能被3整除,那么21＋15及21-15都能被3整除;性质 3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除,那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除;例如,126能被9整除,又能被7整除,且9与7互质,那么126能被9×7＝63整除;利用上面整除的性质,我们可以解决许多与整除有关的问题;为了进一步学习数的整除性,我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：1一个数的个位数字如果是0,2,4,6,8中的一个,那么这个数就能被2整除;2一个数的个位数字如果是0或5,那么这个数就能被5整除;3一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除,那么这个数就能被3整除;4一个数的末两位数如果能被4或25整除,那么这个数就能被4或25整除;5一个数的末三位数如果能被8或125整除,那么这个数就能被8或125整除;6一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除,那么这个数就能被9整除;其中123是三年级学过的内容,456是本讲要学习的内容;因为100能被4或25整除,所以由整除的性质1知,整百的数都能被4或25整除;因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和,所以由整除的性质2知,只要这个数的后两位数能被4或25整除,这个数就能被4或25整除;这就证明了4;类似地可以证明5;6的正确性,我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法;837＝800＋30＋7＝8×100＋3×10＋7＝8×99＋1＋3×9＋1＋7＝8×99＋8＋3×9＋3＋7＝8×99＋3×9＋8＋3＋7;因为99和9都能被9整除,所以根据整除的性质1和性质2知,8x99＋3x9能被9整除;再根据整除的性质2,由8＋3＋7能被9整除,就能判断837能被9整除;利用456还可以求出一个数除以4,8,9的余数：4一个数除以4的余数,与它的末两位除以4的余数相同;5一个数除以8的余数,与它的末三位除以8的余数相同;6一个数除以9的余数,与它的各位数字之和除以9的余数相同;例1在下面的数中,哪些能被4整除哪些能被8整除哪些能被9整除234 789 7756 8865 3728 8064;例2在四位数56□2中,被盖住的十位数分别等于几时,这个四位数分别能被9,8,4整除例3从0,2,5,7四个数字中任选三个,组成能同时被2,5,3整除的数,并将这些数从小到大进行排列;例4五位数能被72整除,问：A与B各代表什么数字例5 六位数是6的倍数,这样的六位数有多少个例6要使六位数能被36整除,而且所得的商最小,问A,B,C各代表什么数字练习41．6539724能被4,8,9,24,36,72中的哪几个数整除2．个位数是5,且能被9整除的三位数共有多少个3．一些四位数,百位上的数字都是3,十位上的数字都是6,并且它们既能被2整除又能被3整除;在这样的四位数中,最大的和最小的各是多少4．五位数能被12整除,求这个五位数;5．有一个能被24整除的四位数□23□,这个四位数最大是几最小是几6．从0,2,3,6,7这五个数码中选出四个,可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数7．在123的左右各添一个数码,使得到的五位数能被72整除;8．学校买了72只小足球,发票上的总价有两个数字已经辨认不清,只看到是□□元,你知道每只小足球多少钱吗第5讲弃九法从第4讲知道,如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除,那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几,那么这个数被9除的余数也一定是几;利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几;例如,3645732这个数,各个数位上的数字之和为3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30,30被9除余3,所以3645732这个数不能被9整除,且被9除后余数为3;但是,当一个数的数位较多时,这种计算麻烦且易错;有没有更简便的方法呢因为我们只是判断这个式子被9除的余数,所以凡是若干个数的和是9时,就把这些数划掉,如3＋6＝9,4＋5＝9,7＋2＝9,把这些数划掉后,最多只剩下一个3如下图,所以这个数除以9的余数是3;这种将和为9或9的倍数的数字划掉,用剩下的数字和求除以9的余数的方法,叫做弃九法;一个数被9除的余数叫做这个数的九余数;利用弃九法可以计算一个数的九余数,还可以检验四则运算的正确性;例1 求多位数除以9的余数;例2 将自然数1,2,3,…依次无间隔地写下去组成一个数1213…如果一直写到自然数100,那么所得的数除以9的余数是多少练习51．求下列各数除以9的余数：17468251 2 32657348 42．求下列各式除以9的余数：167235＋82564 297256-4782332783×6451 43477+265×841第6讲数的整除性二这一讲主要讲能被11整除的数的特征;一个数从右边数起,第1,3,5,…位称为奇数位,第2,4,6,…位称为偶数位;也就是说,个位、百位、万位……是奇数位,十位、千位、十万位……是偶数位;例如9位数中,奇数位与偶数位如下图所示：能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差大数减小数如果能被11整除,那么这个数就能被11整除;例1判断七位数1839673能否被11整除;例2 求下列各数除以11的余数：141873； 2;例3求除以11的余数;例4用3,3,7,7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数例5用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数;例6 六位数能被99整除,求A和B;练习61．为使五位数6□295能被11整除,□内应当填几2．用1,2,3,4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数3．求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数;4．求下列各数除以11的余数：12485； 263582； 3;5．求除以11的余数;6．六位数5A634B能被33整除,求A+B;7．七位数3A8629B是88的倍数,求A和B;第六讲流水行船问题专题导引当你逆风骑自行车时有什么感觉是的,逆风时需用很大力气,因为面对的是迎面吹来的风;当顺风时,借着风力,相对而言用力较少;在你的生活中是否也遇到过类似的如流水行船问题;解答这类题的要素有下列几点：水速、顺速、船速速水速度、逆速、距离,解答这类题与和差问题相似;船速相当于和差问题中的大数,水速相当于小数,顺流速度相当于和数,逆流速相当于差数;船速=顺流船速+逆流船速÷2；水速=顺流船速-逆流船速÷2；顺流船速=船速+水速；逆流船速=船速-水速；顺流船速=逆流船速+水速×2；逆流船速=顺流船速-水速×2;典型例题例1一条轮船往返于A 、B 两地之间,由A 地到B 地是顺水航行,由B 地到A 地是逆水航行;已知船在静水中的速度是每小时20千米,由A 到B 用了6小时,由B 到A 所用的时间是由A 到B 所用时间的倍,求水流速度;试一试：1、水流速度是每小时15千米;现在有船顺水而行,8小时行320千米;若逆水行驶320千米需几小时2、水流速度每小时5千米;现在有一船逆水在120千米的河中航行需6小时,顺水航行需几小时例2有一船行驶于120千米长的河中,逆行需10小时,顺行要6小时,求船速和水速;试一试1、有只大木船在长江中航行;逆流而上5小时行5千米,顺流而下1小时行5千米;求这只木船的静水速度和水流速度各是多少2、有一船完成360千米的水程运输任务;顺流而下30小时到达,但逆流而上则需60小时;求河水流速和静水中船的速度例3轮船以同一速度往返于两码头之间;它顺流而下,行了8小时；逆流而上,行了10小时;如果水流速度是每小时3千米,求两码头之间的距离;试一试：1、一艘轮船以同样的速度往返于甲、乙两个港口,它顺流而下行了7小时,逆流而上行了10小时;如果水流速度是每小时千米,求甲、乙两个港口之间的距离2、一艘渔船顺水每小时行18千米,逆水每小时行15千米;求船速和水速各是多少例4汽船每小时行30千米,在长176千米的河中逆流航行要11小时到达,返回需几小时试一试：1、当一机动船在水流每小时3千米的河中逆流而上时,8小时行48千米;返回时水流速度是逆流而上的2倍;需几小时行195千米2、已知一船自上游向下游航行,经9小时后,已行673千米,此船每小时的船速是47千米;求此河的水速是多少﹡例5有甲、乙两船,甲船和漂流物同时由河西向东而行,乙船也同时从河东向西而行;甲船行4小时后与漂流物相距100千米,乙船行12小时后与漂流物相遇,两船的船速相同,河长多少千米 ﹡试一试1、有两只木排,甲木排和漂流物同时由A 地向B 地前行,乙木排也同时从B 地向A 地前行,甲木排5小时后与漂流物相距75千米,乙木排航行15小时后与漂流物相遇,两只木排的船速相同,A 、B 两地长多少千米2、有一条河在降雨后,每小时水的流速在中流和沿岸不同;中流每小时59千米,沿岸每小时45千米;有一汽船逆流而上,从沿岸航行15小时走完570千米的路程,回来时几小时走完中流的全程课外作业家长签名：1、一船从A 地顺流到B 地,航行速度是每小时32千米,水流速度是每小时4千米,212天可以到达;此船从B 地返回到A 地需多少小时2、一海轮在海中航行;顺风每小时行45千米,逆风每小时行31千米;求这艘海轮每小时的船速和风速各是多少3、沿河有上、下两个市镇,相距85千米;有一只船往返两市镇之间,船的速度是每小时千米,水流速度每小时千米;求往、返一次所需的时间;4、一只小船在河中逆流航行3小时行3千米,顺流航行1小时行3千米;求这只船每小时的速度和河流的速度各是多少﹡5、有一架飞机顺风而行4小时飞360千米;今出发至某地顺风去,逆风回,返回的时间比去的时间多3小时;已知逆风速度为75千米/小时,求距目的地多少千米第7讲“牛吃草”问题专题导引牛吃草问题是牛顿问题,因牛顿提出而得名的;“一堆草可供10头牛吃3天,供6头牛吃几天”这题很简单,用3×10÷6=5天;如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”,问题就不那么简单了;因为草每天都在生长,草的数量在不断变化;这类工作总量不固定均匀变化的问题就是“牛吃草”问题;解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量;牧场上原有的草是不变的,新长出的草虽然在变化,因为是匀速生长,所以每天新长出的草是不变的;正确计算草地上原有的草及每天长出的新草,问题就容易解决了;典型例题例1一片青草地,每天都匀速长出青草,这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周;那么这片草地可供21头牛吃几周试一试：1、一片草地,每天都匀速长出青草;如果可供24头牛吃6天,20头牛吃10天;那么,可供19头牛吃多少天2、牧场上一片草地,每天牧草都匀速生长;这片牧草可供10头牛吃20天,或者可供15头牛吃10天;问可供25头牛吃几天例2由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少;已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天;照此计算,可供多少头牛吃10天试一试：1、由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天以均匀的速度在减少;经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或可供16头牛吃6天;那么,可供11头牛吃几天2、因天气渐冷,牧场上的草以固定的速度在减少;已知牧场上的草可供33头牛吃5天,或可供24头牛吃6天;照此计算,这个牧场可供多少头牛吃10天例3自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼;已知男孩每分钟走20级台阶,女孩每分钟走15级台阶,结果男孩用5分钟到达楼上,女孩用了6分钟到达楼上;问：该扶梯共有多少级台阶试一试：1、自动扶梯以均匀速度行驶着,小明和小红要从扶梯上楼;已知小明每分钟走25级台阶,小红每分钟走20级台阶,结果小明用5分钟、小红用了6分钟分别到达楼上;该扶梯共多少级台阶2、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走;在20秒钟里,男孩可走27级台阶,女孩可走24级台阶,男孩走了2分钟到达另一端,女孩走了3分钟到达另一端,该扶梯共多少级台阶例4一只船有一个漏洞,水以均匀的速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水;如果用12人舀水,3小时舀完;如果只有5个人舀水,要10小时才能舀完;现在要想2小时舀完,需要多少人试一试：1、有一水池,池底有泉水不断涌出;用10部抽水机20小时可以把水抽干,用15部相同的抽水机10小时可以把水抽干;那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干2、有一个长方形的水箱,上面有一个注水孔,底面有个出水孔,两孔同时打开后,如果每小时注水30立方分米,7小时可以注满水箱；如果每小时注水45立方分米,注满水箱可少用小时;那么每小时由底面小孔排出多少立方分米的水设每小时排水量相同﹡例5有三块草地,面积分别为5,6和8公顷;草地上的草一样厚,而且长得一样快;第一块草地可供11头牛吃10天,第二块草地可供12头牛吃14天;问第三块草地可供19头牛吃多少天﹡试一试：1、某车站在检票前若干分钟就开始排队,每分钟来的旅客人数一样多;从开始检票到等候检票的队伍消失,同时开4个检票口需30分钟,同时开5个检票口需20分钟;如果同时打开7个检票口,那么需多少分钟2、快、中、慢三车同时从A地出发,追赶一辆正在行驶的自行车,三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米;快车追上自行车用了6小时,中车追上自行车用了10小时,慢车追上自行车用多少小时课外作业家长签名：1、牧场上的青草每天都在匀速生长;这片牧草可供27头牛吃6周或供23头牛吃9周;那么,可供21头牛吃几周2、经测算,地球上的资源可供100亿人生活100年,或可供80亿人生活300年;假设地球新生成的资源增长速度是一样的,那么,为满足人类不断发展的需要,地球最多能养活多少亿人3、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射,从井顶逃向井底;白天往下爬,两只蜗牛白天爬行的速度是不同的;一只每天白天爬20分米,另一只爬15分米;黑夜里往下滑,两只蜗牛滑行的速度却是相同的;结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底,另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底;那么,井深多少米4、有一水井,连续不断涌出泉水,每分钟涌出的水量相等;如果用3台抽水机来抽水,36分钟可以抽完；如果使用5台抽水机,20分钟抽完;现在12分钟内要抽完井水,需要抽水机多少台﹡5、一个牧场上的青草每天都匀速生长;这片青草可供17头牛吃30天,或供19头牛吃24天;现有一群牛吃了6天后卖掉4头,余下的牛又吃了2天将草吃完;这群牛原来有多少头第八讲简便运算2例1、1999++++例2、++++++++例3、××8例4、÷8÷例5、÷×例6、××÷÷÷。

数学活动课内容

一数字谜（一）列表更清楚
二数字谜（二）鸡兔同笼
三定义新运算（一）谁是智多星（分数加减法运算比赛）四定义新运算（二）趣变火柴棒
五数的整除性（一）四边形的可活动性
六数的整除性（二）生活中的数
七奇偶性（一）
八奇偶性（二）第18讲数阵图（三）
九奇偶性（三）第19讲乘法原理
十质数与合数第20讲加法原理（一）
十一分解质因数
十二最大公约数与最小公倍数（一）第21讲加法原理（二）
十三最大公约数与最小公倍数（二）十四余数问题
十五孙子问题与逐步束法十六巧算24
十七位值原则十八最大最小
十九图形的分割与拼接二十多边形的面积
小小采购员
过河搭一搭
我长高了巧拼组合图形
动脑筋找规律牙膏中的数学问题
第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）
第3讲高斯求和第4讲数的整除性（一）
第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）
第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）
第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题
第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）
第17讲数阵图（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴
第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）
第30讲抽屉原理（二）。

数的整除

第四讲我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。

数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。

例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性质 3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。

例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。

利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。

为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。

因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。

因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

这就证明了（4）。

类似地可以证明（5）。

（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

四年级数学弃九法讲解

四年级数学弃九法讲解从第4四年级数学弃九法讲解9整除.那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几.那么这个数被9除的余数也一定是几。

利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。

例如.3645732这个数.各个数位上的数字之和为3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30.30被9除余3.所以3645732这个数不能被9整除.且被9除后余数为3。

但是.当一个数的数位较多时.这种计算麻烦且易错。

有没有更简便的方法呢？因为我们只是判断这个式子被9除的余数.所以凡是若干个数的和是9时.就把这些数划掉.如3＋6＝9.4＋5＝9.7＋2＝9.把这些数划掉后.最多只剩下一个3（如下图）.所以这个数除以9的余数是3。

这种将和为9或9的倍数的数字划掉.用剩下的数字和求除以9的余数的方法.叫做弃九法。

一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。

利用弃九法可以计算一个数的九余数.还可以检验四则运算的正确性。

例1 求多位数7645821369815436715除以9的余数。

分析与解：利用弃九法.将和为9的数依次划掉。

只剩下7.6.1.5四个数.这时口算一下即可。

口算知.7.6.5的和是9的倍数.又可划掉.只剩下1。

所以这个多位数除以9余1。

例2 将自然数1.2.3.…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100.那么所得的数除以9的余数是多少？分析与解：因为这个数太大.全部写出来很麻烦.在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数.所以要配合适当的分析。

我们已经熟知1＋2＋3＋…＋9＝45.而45是9的倍数.所以每一组1.2.3.….9都可以划掉。

在1～99这九十九个数中.个位数有十组1.2.3.….9.都可划掉；十位数也有十组1.2.3.….9.也都划掉。

这样在这个大数中.除了0以外.只剩下最后的100中的数字1。

所以这个数除以9余1。

在上面的解法中.并没有计算出这个数各个数位上的数字和.而是利用弃九法分析求解。

四升五年级奥数

第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。

我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。

例1四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86如以“6，＝例11得到：总和数=平均数=同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。

例2某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：千克）：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。

求平均每块麦田的产量。

解：选基准数为450，则累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50，平均每块产量=450＋50÷10＝455（千克）。

答：平均每块麦田的产量为455千克。

求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7×7＝49（七七四十九）。

对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。

有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。

所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。

下面通过例题来说明这一方法。

例3求292和822的值。

例4求2266另一例588×例677×解：1＝07。

练习11.1652.263.68，91，84，75，78，81，83，72，79。

他们共加工了多少个零件？4.计算：13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。

5.计算下列各题：（1）372；（2）532；（3）912；（4）682（5）1082；（6）3972。

华罗庚学校数学教材(五年级下)第05讲同余的概念和性质

本系列共15讲第五讲同余的概念和性质.文档贡献者：与你的缘你会解答下面的问题吗？问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？这个问题并不难答，因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15=7×2＋1，所以“六·一”儿童节是星期一。

问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？这个问题也难不倒我们。

因为，1993年有365天，而365=7×52＋1，所以，1994年的元旦应该是星期六。

问题1、2的实质是求用7去除一总的天数后所得的余数。

在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题。

这样就产生了“同余”的概念。

如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。

余同定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b(mod m)(*)上式可读作：a同余于b，模m。

同余式(*)意味着（我们假设a≥b）:a－b=mk，k是整数，即m︱(a－b).例如：①15≡365（mod7），因为365－15=350=7×50。

②56≡20（mod9），因为56－20=36=9×4。

③90≡0（mod10），因为90－0=90=10×9。

由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0(mod m).例如，表示a是一个偶数，可以写a≡0(mod2)表示b是一个奇数，可以写b≡1(mod2)补充定义：若m不能整除（a－b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：a b(mod m)我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似。

同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d 是整数，而m是自然数）。

性质1：a≡a(mod m)，（反身性）这个性质很显然，因为a－a=0=m·0.性质2：若a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)，（对称性）。

弃九法验算乘法原理

弃九法验算乘法原理的基本原理弃九法验算乘法是一种用于验证两个数相乘结果的方法，它基于一个简单的数学原理：任何一个整数可以表示为若干个10的幂次之和。

通过这个原理，我们可以将两个数相乘的结果拆解成多个部分相加，然后进行逐位计算，最后得到正确的结果。

1. 数字拆解在弃九法验算乘法中，首先需要将参与运算的两个数拆解成若干位数字。

以一个三位数和一个四位数相乘为例，可以将三位数拆解成百位、十位和个位数字，四位数拆解成千位、百位、十位和个位数字。

例如：123 × 456 可以拆解为(100 × 4 + 100 × 5 + 100 × 6) + (10 × 4 + 10 × 5 + 10 × 6) + (1 × 4 + 1 × 5 + 1 × 6)。

2. 按权相加将两个数字按照权重相加，并保留进位。

在这一步骤中，我们需要从个位开始逐渐向左移动，并按照权重依次进行计算。

以示例中的123 × 456为例：(100×4+100×5+100×6)+ (10×4+10×5+10×6)+ (1×4+1×5+1×6)_____________________首先计算个位数的部分，即(1 × 4 + 1 × 5 + 1 × 6)，得到15。

在这一步骤中，不需要进行进位。

接下来计算十位数的部分，即(10 × 4 + 10 × 5 + 10 × 6)。

按照权重相加得到150。

同样，在这一步骤中也不需要进行进位。

最后计算百位数的部分，即(100 × 4 + 100 × 5 + 100 × 6)。

按照权重相加得到1500。

在这一步骤中，也不需要进行进位。

五年级上册奥数题

因数和倍数的性质教师讲稿性质1如果甲数是乙数的因数，乙数是丙数的因数，那么甲数一定也是丙数的因数。

例如，8是16的因数，16是48的因整，那么8一定是48的因数。

（类似包含）性质2如果一个自然数是两个数的因数，那么这个自然数也一定是这两个数的和与差的因数。

例如，3是21与15的因数，那么3也是21＋15及21-15和与差的因数。

性质3 如果一个数能分别是两个互质数的倍数，那么这个数一定也是这两个互质数的乘积的倍数。

例如，126是9的倍数，又是7的倍数，且9与7互质，那么126就是9×7＝63的倍数。

（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就是2的倍数。

（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就就是5的倍数。

（3）一个数各个数位上的数字之和如果是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。

（4）一个数的末两位数如果是4（或25）的倍数，那么这个数就是4（或25）的倍数。

（5）一个数的末三位数如果是8（或125）的倍数，那么这个数就是8（或125）的倍数。

（6）一个数各个数位上的数字之和如果是9的倍数，那么这个数就是9的倍数。

其中（1）（2）（3）是五年级刚刚学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。

因为100是4（或25）的倍数，所以由性质1知，整百的数都是4（或25）的倍数。

因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由性质2知，只要这个数的后两位数是4（或25）的倍数，这个数就是4（或25）的倍数。

这就证明了（4）。

例1 在下面的数中，哪些是4的倍数？哪些是8的倍数？哪些是9的倍数？234，789，7756，8865，3728，8064。

解：能被4整除的数有7756，3728，8064；能被8整除的数有3728，8064；能被9整除的数有234，8865，8064。

例2 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别是9，8，4的倍数？解：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。

部编版数学六年级上册第5讲.神奇的九

2.
在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 4□ 32 □是 9 的倍数. 请随便填出一种，
并检查自己填的是否正确.
【分析】一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是 9 的倍数，即 4 □3 2 □是 9 的倍数，
而 4 3 2 9, 所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数．依次填入 3、6，因为
将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为 6 的
数称为“好数”，那么不超过 2012 的“好数”的个数为
，这些“好数”的最大公因数是
．
【分析】一个数与其各位数字之和模 9 同余，显然这个数除以 9 余 6，这是一个同余类，其内部的
数从小到大排成一个等差数列，公差为 9 首项为 6 ，末项为 2004 ，其个数为
n个6
(n-1)个 2 (n-1)个7
法 2：原式 9999999 2222222 (10000000 1) 2222222
22222220000000 2222222
22222217777778 所以，各位数字之和为 7 9 63 法 3：原式 9999999 2222222
(10000000 1) 2222222
注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式 9+9=9 时，等式两边的除以 9 的余数都是 0，但是显然算式是错误的。但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的数字谜问题。
例5
（2010 年第 15 届华杯赛决赛第 5 题）
第１１级下超常体系教师版５

弃九法的运用

弃九法的运用
弃九法的运用
弃九法的运用来自查字典数学网资料整理
这是一道从彭翕成老师博客里看到的题目，涉及到著名的弃九法，我在《数的根植关系》一文里有比较详细的介绍。

弃九法的一个运用，就是检验计算结果。

所谓根植，就是将一个数的各位数相加，如果是多位数，将结果的各位数继续相加，直到只剩下一个一位数为止，这个一位数就是原数的根植。

在四则运算中，加、减以及乘法都保持根植不变性，即多个数乘积的根植等于各数根植的乘积。

运用这个性质，可以解决下面一道问题。

题目1：假设[n(n+1)(n+2)]2=3039162537□6，其中□代表一个隐藏的数字，你能找出来么?
由于左边是连续三个自然数的乘积的平方，所以其结果必然能被9整除，这说明右边的各位数之和也应该能被9整除。

2+0+3+9+1+6+2+5+3+7+□+6，经过计算知道□要么为0要么为9.再利用这几个数能被4整除，所以最后两位数一定能被4整除的性质得知，□一定为9.
不过彭老师对下面一道问题的处理，学夫子眼拙，甚为不解，因为在我看来，这也完全可以用上面的方法进行解决，而且更加简单。

题目2：假设[n(n+1)(n+2)]2=303916253□96，同样是求。

弃九验算法是什么

弃九验算法是什么弃九验算法（英文名：Discard-9 Algorithm），也被称为终止朔望月问题的算法，是一种用于判断两个日期间隔是否为一整个朔望月的方法。

这个算法可以追溯到公元纪年前一千多年的中国古代历法，最早见于《开宝历法》遗稿中，后来在《今古奇观》中广为流传。

在中国古代历法中，朔望月是表示月亮从一次新月到下次新月期间的时间长度，通常称为一个月的长度。

由于新月和满月是两个主要的月相，所以感知月亮的周期性变化对于历法的制定至关重要。

弃九验算法基于这样一个事实：农历一年通常有12个或13个月，而一年内的月份一般都是紧凑相邻的朔望月。

当一个时间段包含一个或多个月份时，通过计算这段时间内朔望月的数量，可以判断时间间隔是否为一整个朔望月。

具体操作步骤如下：1.将时间段的起始日期和结束日期转化为农历日期，得到起始农历日期（如闰四月初一）和结束农历日期（如闰四月廿九）。

2.根据起始农历日期是闰月的第几个月份，判断时间段内闰月的数量，并计算除了闰月之外的朔望月数量。

例如，如果起始日期闰四月初一，结束日期闰四月廿九，则该时间段内只有一个朔望月。

3.判断时间段内是否包含闰月，若包含则判断起始日期和结束日期是否都在闰月中，若是则将朔望月数量加14.判断时间段内不包含闰月的情况。

如果结束日期是一个月的月底（例如闰四月廿九），则将朔望月数量加1；如果结束日期不是月底，则不加15.根据朔望月的数量判断时间间隔是否为整个朔望月。

如果朔望月数量为1，则时间间隔为一整个朔望月；如果朔望月数量大于1，则时间间隔不为一整个朔望月。

另外，值得一提的是，弃九验算法虽然简单有效，但它只能判断时间间隔是否为一整个朔望月，并不能准确计算出时间间隔的长度。

若需要精确计算时间间隔，需使用更复杂的算法和数学模型。

总之，弃九验算法是中国古代历法中判断时间间隔是否为整个朔望月的一种简单而有效的算法，其应用在历法制定和研究中具有重要意义。

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