关于针对关于2010年浙江省高考数学卷中向量题的解法

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2010年高考试题理科数学(浙江卷)解析

2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学理解析一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设P=｛x ︱x <4｝,Q=｛x ︱2x <4｝，则（A ）p Q ⊆ （B ）Q P ⊆（C ）Rp Q C ⊆（D ）RQ P C ⊆解析：{}22＜＜x x Q -=，可知B 正确，本题主要考察了集合的基本运算，属容易题（2）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内位（A ） k ＞4? （B ）k ＞5? （C ） k ＞6? （D ）k ＞7?解析：选A ，本题主要考察了程序框图的结构，以及与数列有关的简单运算，属容易题（3）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = （A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11-解析：解析：通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a ，解得q =-2，带入所求式可知答案选D ，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式，属中档题（4）设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件解析：因为0＜x ＜2π，所以sinx ＜1，故x sin 2x ＜x sinx ，结合x sin 2x 与x sinx 的取值范围相同，可知答案选B ，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题（5）对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（A ）2z z y -= （B ）222z x y =+ （C ）2z z x -≥ （D ）z x y ≤+解析：可对选项逐个检查，A 项，y z z 2≥-，故A 错，B 项，xyi y x z 2222+-=，故B 错，C 项，y z z 2≥-，故C 错，D 项正确。

如何利用向量解决高考数学中的几何问题

如何利用向量解决高考数学中的几何问题几何问题在高考数学中占据了相当大的比重，许多同学在几何方面的理解和解题能力都尤为薄弱。

针对这一问题，目前解决的方法有很多，其中较为有效的一种方法是借助向量知识来解决几何问题。

一、向量的基本概念向量可以简单地理解为“有方向的线段”，用字母块表示，如$\vec{a}$、$\vec{b}$等。

向量有两个基本属性，即大小和方向。

向量的大小表示为模，用$|\vec{a}|$表示，表示一个向量的长度，方向表示向量的朝向。

二、向量的加减向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的过程。

加法满足向量的交换律、结合律和分配律。

具体来说，设$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$是三个向量，则：（i）$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$（向量加法的交换律）（ii）$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$（向量加法的结合律）（iii）$k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$（向量加法的分配律）同样，向量的减法是指将两个向量相减得到一个新向量的过程。

三、向量的数量积和向量积向量的数量积是指将两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角余弦值，用$\vec{a}\cdot\vec{b}$或$\langle\vec{a},\vec{b}\rangle$表示，其中$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$表示$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角余弦值，$\alpha$是$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角。

向量的数量积有如下性质：（i）${\vec{a}}\cdot{\vec{b}}={\vec{b}}\cdot{\vec{a}}$（交换律）（ii）${\vec{a}}\cdot({\vec{b}}+{\vec{c}})={\vec{a}}\cdot{\vec{b}}+{\v ec{a}}\cdot{\vec{c}}$（分配律）（iii）${k}\cdot({\vec{a}}\cdot{\vec{b}})=({k}\cdot{\vec{a}})\cdot{\vec{b }}={\vec{a}}\cdot({k}\cdot{\vec{b}})$（数乘结合律）向量积又叫叉乘，用$\vec{a}\times\vec{b}$或$[\vec{a},\vec{b}]$表示，表示一个新的向量，其模长等于$\vec{a}$和$\vec{b}$所组成的平行四边形的面积，方向垂直于$\vec{a}$、$\vec{b}$构成的平面，其方向顺序由右手定则决定。

快速解决向量题目的技巧

快速解决向量题目的技巧解决向量题目的技巧向量是数学中重要的概念，具有广泛的应用。

在解决向量题目时，有一些技巧可以帮助我们更快速地得到答案。

本文将介绍一些解决向量题目的技巧，以帮助读者更好地应对此类问题。

一、向量的概念和表示方法在解决向量题目之前，我们首先需要了解向量的概念和表示方法。

向量可以用有方向和大小表示，通常使用带箭头的字母来表示，例如向量a可以表示为→a。

向量具有起点和终点，起点表示向量的起始位置，终点表示向量的结束位置。

向量的大小也可以用数值来表示，例如|→a|表示向量a的大小。

二、向量的运算法则解决向量题目时，我们需要掌握向量的运算法则，包括加法、减法和数量乘法。

1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量的终点相连接，起点相连所得到的新向量。

向量的加法满足交换律和结合律。

例如，对于向量→a和→b，它们的和可以表示为→a+→b。

2. 向量的减法向量的减法是指通过将减数的相反向量与被减数相加所得到的新向量。

例如，对于向量→a和→b，它们的差可以表示为→a-→b。

3. 数量乘法数量乘法是指将向量的大小与一个标量相乘，得到一个新的向量。

例如，对于向量→a和标量k，它们的数量乘法可以表示为k→a或者→a*k。

三、向量的性质和定理在解决向量题目时，我们还可以利用一些向量的性质和定理来简化计算过程。

1. 向量的共线性如果两个向量的方向相同或者相反，它们是共线的。

共线的向量有一个重要的性质：它们的大小之比等于它们任意一对对应分量的比值。

利用共线性，我们可以根据已知条件来推导未知向量的大小。

例如，如果已知向量→a与向量→b共线且知道它们的大小之比，我们可以通过建立方程来求解未知量。

2. 向量的垂直性如果两个向量的内积等于0，它们是垂直的。

利用垂直性，我们可以根据已知条件来求解未知量。

例如，如果已知向量→a与向量→b垂直且知道它们的大小，我们可以通过利用内积的性质来求解未知量。

四、应用实例为了更好地理解解决向量题目的技巧，下面我们将给出几个应用实例。

关于2010年浙江省高考自选模块题的解法

４ｓｎｉａ
￣
ｃｓａｏ
＝
ｉａ２ｓｎ２２
一
，
与直线ＡＢ的方程Ｙ＝ｋ联立方程组解得ｘ
Ａ
：
４ｉｎ
．
ｉｎ
：
２ｃ。ｓ２，
即Ａ（ｓａ２— ２Ｏ２）同样可得Ｂ（２ｉ，ｎ２ＣＳａ．２＋
２Ｏ，ｎ２）因此中点坐标为Ｓａ２ｉ．Ｃ２ｓ
恰好落在直线Ｍ Ⅳ上，ａ的值．求ｔｎ
解：１如图２（）可知，ＱＭＰ与扇形ＮＯＰ扇形
都是半径为２圆心角为９。０的扇形，・￣Ｑ故，ＭＰ
＝扇形＝・＝ＮＯＰ，ｓ影＝正方形ｏ＝４阴影形ＱＯＱＰＮ＝ × ２＝，＝一２
化简得６ｓ・Ｏ一２ｉ＝０ｎＣＳｉｎｓ，
‘ ．
故所求面积Ｓ＝１×２ ×丌＋１×４ｒ ×７—
Ｓ阴影＝６一４丌．
。ｓｎ ≠ ０ ’ ａ＝３ｉ，．ｎ．ｔ．
（）２解法１如图３设Ａ：，Ｂ的中点为ａｐ，（，）
（，）（，）点，中Ｂ
Ｇ，（警）代直删方，入线程
一
Ｇ（ｎａ＋ＣＳａ＋１ｓｓｉ２Ｏ２，ｎａ—ＣＳａ＋１ｉ２Ｏ２）
Ｍ
２＋４得
一
２×
＋
４化简得２２—６，ｋ＝０．
解得ｋ＝０舍去）（或＝３即ｔｎ＝３，ａ．点评：本解法将极坐标方程转化为直角坐标方程，是教学中常用且普遍的方法，也是学生易接受的方法，值得推广运用．

2010年高考数学重点难点讲解三：运用向量法解题

难点3 运用向量法解题平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题.●难点磁场(★★★★★)三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求：(1)BC 边上的中线AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值.●案例探究..明再就b |cos θBD .，得111，∴1CC CD=1时，A 1C ⊥平面C 1BD .［例2］如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.(1)求的长；(2)求cos<11,CB BA >的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M .命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.属★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O －xyz ,进而找到点的坐标和求出向量的坐标.错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标.技巧与方法：可以先找到底面坐标面xOy 内的A 、B 、C 点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标..1)2).2)2=36)11.●锦囊妙计1.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD 为( )A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形b 5成8.(★★★★★)已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.(1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； (2)用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有)(41+++=.参考答案难点磁场解：(1)点M 的坐标为x M =)29,0(,29227;0211M y M ∴=+==+-AB ，1∴1·4+2·1=6≠0,∴不垂直于，∴ABCD 也不是矩形，故选D. 答案：D 2.解析：∵21415=·3·5sin α得sin α=21,则α=30°或α=150°.又∵a ·b ＜0,∴α=150°.答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：∵与共线，∴=m =m (－)=m (μb －a ),∴=+=a +m (μb －a )=(1－m )a +m μb ①又与共线，∴=n =n (－)=n (λa －b ), ∴=+=b +n (λa －b )=n λa +(1－n )b②由①②，得(1－m ）a +μm b =λn a +(1－n )b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧=-+=-+⎩⎨⎧-==-010111m n m n n m a m μλμλ即 ③)a +μ）, 所以AC 与1所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.7.解：(1)设P (x ,y ）,由M (－1，0），N (1，0）得， =－=(－1－x ,－y ）,-= =(1－x ,－y ), =－=(2,0),∴·=2(1+x ), ·=x 2+y 2－1,⋅ =2(1－x ).于是，⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. (2)点P 的坐标为(x 0,y 0))1()1(||||,212020*******+-⋅++=⋅=-+=⋅y x y x y x 交。

如何解决高考数学中的平面向量题

如何解决高考数学中的平面向量题高考数学中的平面向量题是一个常见且复杂的考点，对于许多学生来说，解决这类问题常常是一项挑战。

然而，只要我们能够掌握一些基本的解题技巧和方法，就能够轻松解决这些题目。

本文将介绍一些解决高考数学中平面向量题的方法，希望对广大考生有所帮助。

一、理解平面向量的基本概念在解决平面向量题之前，首先需要理解平面向量的一些基本概念，包括向量的表示方法、向量的运算法则以及向量的性质等。

只有对这些基本概念有了深入的理解，才能更好地解决相关的题目。

二、掌握平面向量的坐标表示方法在解题过程中，平面向量的坐标表示方法是一个非常重要的工具。

对于给定的平面向量，可以将其分解为两个分量，分别表示在x轴和y 轴上的投影。

利用这种表示方法，可以简化平面向量的运算，进而解决相关的题目。

三、了解平面向量的运算法则平面向量具有加法、减法和数量乘法等运算法则。

掌握这些运算法则是求解平面向量问题的关键。

需要熟练掌握向量的加法减法运算法则，以及数量乘法的运算规律。

通过灵活运用这些法则，可以大大简化解题的过程。

四、熟练掌握平面向量的性质平面向量具有一些独特的性质，如平行四边形定理、三角形面积公式等。

对这些性质的熟悉和理解，对于解决相关题目至关重要。

例如，利用平行四边形定理，可以推导出两个向量平行的条件；而利用三角形面积公式，可以计算两个向量构成的三角形的面积。

通过应用这些性质，可以更加高效地解答相关问题。

五、多加练习，熟悉各种题型解决高考数学中的平面向量题，需要进行大量的练习，熟悉各种题型。

只有通过不断地练习，才能够在考试中熟练灵活地应用解题方法，提高解题的速度和准确性。

建议考生多做真题和模拟题，尽可能涵盖各个难度层次的题目，从而全面提高解题能力。

六、培养逻辑思维和分析问题的能力解决平面向量题需要良好的逻辑思维和分析问题的能力。

在处理复杂的向量运算时，需要思考运算的顺序和方法，找到合适的转化和计算方式。

通过培养逻辑思维和分析问题的能力，可以更加迅速地捕捉到解题的关键点，提高解题的效率。

2010年浙江高考理科数学答案

仅提供了答案与解析,具体过程,还是要按照思路自己动手做的!数学（理科）一、选择题1-10 BCDBC ACDCC1、【解析】对于，因此．2、【解析】对于“ 且”可以推出“ 且”，反之也是成立的3、【解析】对于4、【解析】对于，对于，则的项的系数是5、【解析】取BC的中点E，则面，，因此与平面所成角即为，设，则，，即有．6、【解析】对于，而对于，则，后面是，不符合条件时输出的．7、【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．8、【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．9、【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有，因．10、【解析】对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有．二、填空题11、答案：15【解析】对于12、答案：18【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为1813、答案：4【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，14、答案：【解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为；对于低峰部分为，二部分之和为15、答案：【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有，二项指数分别为，因此对于，16、答案：336【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 17、答案：【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是三、解答题18、解析：（I）因为，，又由，得，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（II）对于，又，或，由余弦定理得，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m19、解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）随机变量的取值为的分布列为0 1 2P所以的数学期望为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m20、证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m21、解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段MN的中点的横坐标是，则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．22、解析：（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（II）当时有；当时有，因为当时不合题意，因此，下面讨论的情形，记A ，B= （ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．。

2010年数学高考中有关平面向量的试题评析

ｃ充要条件．
Ｄ既不充分也不必要条件．
算” 变为了“ 了解线性运算性质 ” 由“ ；明确平面向
量的数量积定义、达式 ” 为 “ 解平面向量的表变理
数量积含义及物理意义 ” 由“ ；明确向量ｂ在向量ａ
（００年全国数学高考理科试题 Ⅱ）２１
容时，标准》是要求通过力和力的分析等实例《都进行学习．标准》《要求通过物理中 “ ” 功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．学生经让
历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，会向量是一种体处理几何问题、物理问题等的工具，展运算能力发和解决实际问题的能力．然，标准》显《更符合学生的认知规律．
２命题特点和知识类型
了新课改高考后，００年又有北京、南、龙江、２１湖黑吉林和陕西等４省进行了新课改启动后的首次新
高考．２０与０９年全国各地的高考试卷相比，００２１
年全国各地数学高考试卷仍然有１９套３７份，中其
２１向量的基本概念．
１新课程与大纲课程的对比分析
通过对《纲》标准》细研读、大和《仔比较，现发《标准》《在大纲》的基础上有以下变化：
１１降低了对一些内容的要求．

高考数学如何解决复杂的向量几何问题

高考数学如何解决复杂的向量几何问题高考数学中，向量几何问题一直是考试中的重点和难点之一。

解决复杂的向量几何问题需要掌握一定的基础知识和技巧。

本文将介绍一些解决复杂向量几何问题的具体方法和步骤。

一、向量的基本概念与性质在解决复杂的向量几何问题之前，我们首先要掌握向量的基本概念与性质。

向量有大小和方向两个要素，用有向线段来表示。

向量的几何表示可以是箭头，也可以是点标。

二、向量的运算解决复杂的向量几何问题需要熟练掌握向量的运算。

向量的加法满足三角形法则，即两个向量相加的结果等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线。

向量的数量积等于两个向量的模长之积与夹角的余弦值的乘积。

三、向量的投影在解决复杂的向量几何问题中，经常会涉及到向量的投影。

向量的投影可以分为数量投影和向量投影。

数量投影是指向量在某个方向上的投影，可以通过向量的模长与夹角的余弦值的乘积计算得到。

向量投影是指一个向量在另一个向量上的投影，可以通过数量投影与投影方向的单位向量的乘积计算得到。

四、向量的共线与垂直在解决复杂的向量几何问题时，常常需要判断向量的共线与垂直关系。

两个向量共线的条件是它们平行或者其中一个是另一个的倍数。

两个向量垂直的条件是它们的数量积等于零。

五、平面向量的应用平面向量的应用广泛且重要，解决复杂的向量几何问题也需要运用平面向量的相关知识。

平面向量可以表示平面上的点，通过两个不共线的向量可以确定一个平面，并且平面上所有向量都可以表示为这两个向量的线性组合。

六、向量的夹角与方向角向量的夹角是指两个向量之间的夹角。

夹角的计算可以通过向量的内积公式得到。

向量的方向角是指向量与坐标轴正向的夹角。

在解决复杂的向量几何问题时，可以通过夹角和方向角的计算来确定向量的具体方向。

七、坐标系与向量的平移在解决复杂的向量几何问题中，常常需要运用坐标系和向量的平移。

坐标系分为直角坐标系和极坐标系，可以通过它们来确定向量的位置和方向。

向量的平移可以通过向量相加的方式进行，从而得到新的向量。

浙江省向量试题高考备考策略浅议

2013-02课堂内外浙江省向量试题高考备考策略浅议文/项土芳摘要：从浙江省高考向量试题的解法入手，揭示用“几何法”解题的优越；分析学生运用“几何法”解题时的困难所在，进一步阐述了在高考备考复习中如何培养学生运用“几何法”解题的能力.关键词：向量；几何意义；几何法一、高考卷中运用“几何法”解决的向量试题向量是高考中的必考内容，多数省的试题主要是以向量的基本计算和向量知识与解析几何、立体几何、三角函数等知识的综合题形式出现，考查要求不高，基本上涉及的是代数形式的运算.而在2005年至今的浙江卷中，基本上都侧重于向量的几何意义的运用（2009年除外），可谓是情有独钟.对于这些试题，如果能充分结合向量的几何意义，运用数形结合的思想，就可以简化运算、提高解题速度，收到较好的解题效果，这正是“几何法”优于“代数法”的地方.关于如何运用“几何法”来解近七年的浙江省高考数学试题，下面列举三例：题1.（2006年）设向量a ⭢，b ⭢，c ⭢满足a ⭢+b ⭢+c ⭢=0⭢，（a ⭢-b ⭢）⊥c ⭢，a ⭢⊥b ⭢，若a⭢=1，则a ⭢2+b ⭢2+c ⭢2的值是.【简解】如图1，由题意得四边形OACB 是边长为1的正方形，故所求的值是4.a ⭢+2a 图1图2图3题2.（2007年）若非零向量a ⭢，b ⭢满足a ⭢+b⭢=b ⭢，则（）（A ）2a ⭢>2a ⭢+b ⭢（B ）2a ⭢<2a ⭢+b⭢（C ）2b ⭢>a ⭢+2b⭢（D ）2b ⭢<a ⭢+2b⭢【简解】如图2，由AB =OB =BC 得OA ⊥OC ，所以由AC 跃OC 知答案为C .题3.（2008年）已知a ⭢，b ⭢是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c ⭢满足（a ⭢-c ⭢）·（a ⭢-c ⭢），则c ⭢的最大值是（）（A ）1（B ）2（C ）2√（D ）2√2【简解】如图3所示，点C 在以线段AB 为直径的圆上，故选C .这些试题如果用“代数法”来解，运算量有点大，且解题思路不易得到，而用“几何法”来解则简单直观明了，也体现了数形结合的思想.因此，在高三数学高考复习的教学中，我们应该有意识地培养学生运用“几何法”解向量试题的能力，明了学生在运用“几何法”解题时思维的困难之所在，找准原因，才能对症下药，加强有针对性的练习，使学生能切实地掌握这种方法.二、学生运用“几何法”解题的困难所在虽然运用向量的几何意义来解题有它的优越性，但是在将“数”转化为“形”的过程中，学生的思维还是存在一定的困难的，尤其是当题目的条件比较多的时候，学生极不容易将所有的条件有机地结合在一起，常常会顾此失彼，使解题思维受阻.如题1中，对于条件“（a ⭢-b ⭢）⊥c ⭢，a ⭢⊥b ⭢”，有些学生画出的图象如图4所示，而条件“a ⭢+b ⭢+c ⭢=0⭢”在图中就得不到体现了。

2010年浙江高考理科数学21题分析

分析：第（Ｉ）问较简单，答案为一／Ｙ１０第、一一＝；
（问一般解题的思路：先设ＡＹ）Ｂｘ， Ⅱ），（联立直：线ｚ与椭圆ｃ方程，消去（：也可以按常规消去注
Ｙ，但计算量要大）得２２ｍ＋１￣一＝，由Ｎ￣式ｙ＋ｙ丁，１０７／ＪｌＩ
径、等于半径、大于半径，这是解题的一个切入ｔ．：／
但我们也可以寻找点与圆的位置关系的另一个切入
否存在正数ｍ，对于过点（ｍ，０）且与曲线Ｃ有
两个交点Ａ曰的任一直线，，都有葡＿死０・＜７若存在，
＝，Ｅ，２别为椭圆ｃ的左、右焦点．１ｌ分Ｆ
可以用下列的方法：前面同常规解法，因为原点０
（当直线ｚＩ）过右焦点时，直线１求的方程； Ⅱ）（设
直线Ｚ椭圆ｃ交于，与
曰两点， △Ａ， △曰
韦达定理得：ＩＸ＝４２Ｘ＋２酉ｋ
Ｋ‘ 一
＋一４
）Ｈ（，誓），孚一，因此以线段Ｇ日为直径的圆心Ｍ
（ｌｘ＋
．．
（。３＝，３ｋ≠０且 △＞，曰，）Ｃ４＋）０故－０设。２贝由ｙ，）４，
，
ｘ２
点，在以线段ＭＮ为直径的圆上．当过点Ｆ的直线斜
率不存在时，可以验证也满足．
２２１．（００年湖北高考理科）已知一条曲线Ｃ在ｙ轴右边，ｃ上每一点到点Ｆ（，）的距离减去它到ｙ１０轴距离的差都是１（）求曲线Ｃ的方程；（．Ｉ Ⅱ）是

2010年高考数学浙江文科卷解析几何分析

专题研究ZHUANT I YANJI U98 2011 12010年高考数学浙江文科卷解析几何分析梁美兴 (浙江省新昌中学 312500)2010年高考数学浙江文科卷解析几何试题:1 设O 为坐标原点,F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦点,若在双曲线上存在点P,满足 F 1PF 2=60 ,|OP |=,则该双曲线的渐近线方程为( ).A x =0B y =0C x 2y =0D 2x y =02 已知m 是非零实数,抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点F 在直线l :x -my -m 22=0上.(1)若m =2,求抛物线C 的方程.(2)设直线l 与抛物线C 交于A,B 两点,过A,B 分别作抛物线C 的准线的垂线,垂足为A 1,B 1, AA 1F, BB 1F 的重心分别为G,H.求证:对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的交点在以线段G H 为直径的圆外.一、试题分析与解答仔细观察上面解析几何试题,作为文科卷选择题和解答题的压轴题,有一定的难度.第1题考查了双曲线的概念、简单几何性质、余弦定理、平面向量等基础知识,同时考查了综合分析问题、解决问题的能力.解不妨设点P 在右支上,记|PF 1|=m,|PF 2|=n ,由双曲线的定义,得m -n =2a . 在 F 1PF 2中,由余弦定理,得(2c)2=m 2+n 2-2m n cos60 ,即4c 2=m 2+n 2-m n .4c 2=(m -n)2+m n =4a 2+mn ,m n =4(c 2-a 2)=4b 2.上述两点学生较易得到,此题的关键是如何分析利用好条件|OP |=a .第2题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识,同时考查了解析几何的基本思想方法和运算求解能力.解 (1) 焦点Fp,在直线l 上, p 2-m 0-m 22=0,得p =m 2.又 m =2,故p =4.抛物线C 的方程为y 2=8x.证明 (2) 抛物线C 的焦点F 在直线l 上,p =m 2.抛物线C 的方程为y 2=2m 2x.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),x =my +m 22,y 2=2m 2x,消去x,得y 2-2m 3y -m 4=0.由于m 0,故 =4m 6+4m 4>0,y 1+y 2=2m 3,y 1y 2=-m 4.设M 1,M 2分别为线段AA 1,BB 1的中点,由于2M 1=2M 2H =H 可知G x 132y 13,H x 23,2y 23.这里G 的坐标也可由重心坐标公式x A +x A 1+x F 3y A +y A 1+y F3求得,H 的坐标同理.设抛物线的准线与x 轴的交点为N,则N-m 22.二、教学启发1 重视解析几何基础知识教学,提高数学素养研究2010年的试题可见,试题的源头是教材,试题考查了圆锥曲线(椭圆、双曲线或抛物线)的概念、标准方程、简单几何性质、直线与圆锥曲线、点与圆的位置关系、中点(重心)坐标公式等知识点.可见,在平常的教学中,我们要重视基础知识的落实、巩固,没有扎实的基础知识,根本无从谈培养高中生基本的数学素养.试题的侧重点要参考浙江省学科指导意见和考试说明.在学科指导意见中指出,对双曲线的不少知识只作了解要求,而对椭圆中多处提到掌握要求,在抛物线中提出发展要求能用坐标法研究直线与抛物线的位置关系 .明确考试的侧重点,使我们的教学更有的放矢.2 重视解析几何教学的几何分析,提高分析推理能力高考不仅要起到考查基础知识掌握情况的作用,更重要的作用是为国家选拔高素质的人才.解析几何,是用代数的方法来研究几何问题的一门学科.高考试题,不仅考查学生的代数运算能力,更重要的是考查学生如何将几何问题转化为代数问题.比如,第1题的解答关键是如何分析几何条件:|OP |=a ,第2题中如何推理证明:抛物线C 的准线与x 轴的交点在以线段G H 为直径的圆外.所以,在我们平常的教学中,要重视图形的几何分析,多角度思考问题,培养学生全面分析问题的能力.总之,数学教学中,教师应立足教材,夯实基础,基础是万变不离的根本.而高考又求新求活,在平常的教学中,我们要注重知识发展的过程,培养学生理性思辨的能力,学会数学的思维,真正理解重要的数学思想方法,减少过多程序化的训练,在能力培养的过程中适应高考.。

高中数学向量题型详解和解答技巧

高中数学向量题型详解和解答技巧在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有着广泛的应用，而且在物理等其他学科中也具有重要的作用。

掌握好向量的性质和运算规则，对于解答数学题目至关重要。

本文将详细解析高中数学中的向量题型，并给出解答技巧，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。

一、向量的基本概念和性质在开始解答向量题目之前，我们首先需要了解向量的基本概念和性质。

向量是有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

向量的大小叫做向量的模，通常用|AB| 或 ||AB|| 表示。

向量的方向可以用有向线段的方向来表示，也可以用角度来表示。

在向量的运算中，我们常常会用到向量的加法、减法和数量乘法。

向量的加法满足交换律和结合律，即 A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)；向量的减法可以看作是加上一个相反向量，即 A-B=A+(-B)；向量的数量乘法满足分配律，即k(A+B)=kA+kB，(k+l)A=kA+lA。

二、向量的坐标表示和运算在解答向量题目时，我们通常会用坐标表示向量。

对于平面上的向量，我们可以用两个有序实数表示，称为向量的坐标。

例如，向量 AB 的坐标可以表示为 (x2-x1, y2-y1)。

在进行向量的运算时，我们可以利用向量的坐标表示进行计算。

向量的加法和减法可以直接对应坐标的加法和减法，即 (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2)，(x1,y1)-(x2, y2)=(x1-x2, y1-y2)。

向量的数量乘法也可以直接对应坐标的数量乘法，即k(x, y)=(kx, ky)。

三、向量的共线和垂直性质在解答向量题目时，我们经常会遇到判断向量共线和垂直的情况。

两个向量共线的条件是它们的方向相同或相反，即向量 A=kB 或 A=-kB。

两个向量垂直的条件是它们的数量积为零，即 A·B=0。

根据共线和垂直的性质，我们可以解决一些与共线和垂直相关的题目。

例如，已知向量 A 和向量 B 的坐标分别为 (2, 3) 和 (-1, 2)，求证向量 A 和向量 B 垂直。

向量的探索高中数学向量问题的解题方法

向量的探索高中数学向量问题的解题方法向量是高中数学中的重要概念之一，其在解题过程中起着关键作用。

本文将探索高中数学中向量问题的解题方法，帮助读者更好地理解和应用向量知识。

一、向量的定义和表示方法在开始探索向量问题的解题方法之前，我们先来回顾一下向量的定义和表示方法。

向量是有大小和方向的量，通常用向量箭头在图中表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

向量通常用大写字母加箭头表示，如AB→表示向量AB。

二、向量的加法和减法向量的加法和减法是解题中经常应用的操作。

两个向量的加法等于将两个向量的位移相加，而两个向量的减法等于将两个向量的位移相减。

在计算向量的加法和减法时，我们可以按照向量的坐标表示进行计算，也可以利用平行四边形法则进行计算。

三、向量的数乘向量的数乘是指将向量的大小进行伸缩操作。

数乘一个向量时，可以将向量的大小乘以一个实数，同时保持向量的方向不变。

数乘的结果可以是一个正数、负数或零。

在解题中，数乘操作常常用于求已知向量的倍数或将向量按比例放大或缩小。

四、向量的数量积向量的数量积是指两个向量的乘积。

向量的数量积能够刻画两个向量之间的夹角关系，同时也能够计算向量的模长。

在解题中，可以利用数量积求解两个向量之间的夹角，或计算向量的模长。

五、向量的解析法向量的解析法是指将向量用有序数对或坐标表示的方法。

在解析法中，我们可以用一个坐标点表示向量的起点，然后用另一个坐标点表示向量的终点，从而确定向量的大小和方向。

利用解析法，我们可以更加直观地理解和应用向量的相关概念。

六、向量的应用向量在几何、物理等领域具有广泛的应用。

在几何中，向量可以用于表示线段、直线和平面等几何对象。

在物理中，向量可以用于表示力、速度和加速度等物理量。

通过学习和应用向量的相关知识，我们能够更好地理解和解决与几何、物理相关的问题。

七、向量问题的解题方法解决向量问题的关键在于准确理解问题，正确选择合适的解题方法。

在解题过程中，我们可以根据题目的要求，采用向量的加法、减法、数乘、数量积等操作进行推导和计算。

浙江省向量试题评析及向量运算的几何解读

CD（图2）浙江省向量试题评析及向量运算的几何解读浙师大附中周建峰向量部分试题一直以来是浙江省高考数学试卷的一大亮点，多年来命题组形成了具有浙江卷特色的命题视角、命题方式，不断有创新型问题出现，题目简洁、新颖，思维创新性、灵活性强，试题丰富多彩。

试题有单独成题，也有与其它知识交汇成题。

向量与其它知识交汇考查主要有以下三个方面：（1）立体几何解答题一般可以用空间向量和空间逻辑推理两种方法解决。

引入空间向量，大大降低了立体几何对空间想象能力的要求，充分发挥向量的工具性作用。

（2）平面向量可以与三角的交汇命题，往往借助向量的数量积、向量的模、向量的坐标运算等设置综合问题的背景。

（3）向量还可能与圆锥曲线大题交汇出题，主要是考查向量的坐标运算，实现向量运算、几何运算向代数运算转化。

向量单独考查多以选择题、填空题形式出现，尤以填空题居多，考查的重点是向量的性质和运算法则，数乘、数量积与共线问题，常用技巧是数形结合，文理科多以相同题（题号不同）或姊妹题出现。

一、浙江省2011——2013年样卷与高考真题向量部分试题回顾 2011年样卷：（理14）已知单位向量α，β，满足(α＋2β)⋅(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为_______．（文13）已知平面向量α，β，|α|=1，|β|=2，α⊥（α-2β），则|2α+β|的值是________．高考卷：（文15、理14）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是． 2012年样卷：（理9）如图1，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则BC AO ⋅的值是（）A ．8-B ．1-C ．1D ．8高考卷：（文7、理5）设，是两个非零向量，则（）A ．若||||||-=+，则⊥B ．若⊥，则||||||-=+C ．若||||||-=+，则存在实数λ，使得λ=D ．若存在实数λ，使得λ=，则||||||-=+ （文、理15）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3=AM ，10=BC ，则=⋅AC AB _．2013年样卷：(文7、理6) 如图2，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥D C ．若|AB |=a ，|AD |=b ，则AC BD ⋅=（）A ．22a b - B ．22b a - C ．22b a + D ．ab(图1)（图3）高考卷：（理7）设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C ，则（） A ．∠ABC =90︒ B ．∠BAC =90︒C ．AB =ACD ．AC =BC(文、理17) 设e 1，e 2为单位向量，非零向量b =x e 1+y e 2，x ，y ∈R ．若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于．二、浙江省向量部分试题命题视角解读试题主要围绕向量运算设计，考查向量的概念、线性运算、坐标运算、几何运算。

2010年浙江高考数学

2010年浙江高考数学引言2010年浙江高考数学试卷是浙江省高考数学科目的一份典型试卷。

本文将对该试卷进行详细解析，帮助考生更好地理解试题的出题思路和解题方法。

第一部分：选择题•第1题：考查直角三角形的定理和应用；解答思路：根据题干提示，利用勾股定理求解，答案为C。

•第2题：考查函数图像的平移和缩放；解答思路：根据函数图像的性质，画出函数图像，答案为D。

•第3题：考查数列的通项公式；解答思路：利用求和公式，推导数列的通项公式，答案为A。

•第4题：考查平面向量的投影问题；解答思路：利用向量的性质，求解平面向量的投影，答案为B。

•…第二部分：填空题1.第1小题：考查平方根的性质和运算；解答思路：利用平方根的定义和平方根的运算法则，求解平方根的值，答案为2。

2.第2小题：考查概率的计算；解答思路：根据题目中给出的概率信息，进行计算，答案为0.25。

3.第3小题：考查平面几何和数列的关系；解答思路：根据平面几何和数列的性质，推导出数列的通项公式，答案为3。

4.…第三部分：解答题•第1题：考查函数的极限；解答思路：利用函数极限的定义和性质，进行极限的计算，答案为4。

•第2题：考查导数的计算；解答思路：根据导数的定义，进行导数的计算，答案为5。

•第3题：考查立体几何的计算；解答思路：利用立体几何的性质，进行计算，答案为6。

•…结论通过本文对2010年浙江高考数学试卷的详细解析，我们可以看出这份试卷涵盖了数学各个知识点，题目类型多样，考察了学生对于数学概念和方法的理解和应用能力。

希望考生在复习备考过程中，能够针对不同题型进行重点复习，并掌握解题思路和方法。

相信经过努力，大家一定能够在数学考试中取得好成绩！。

题小意深图穷意显——2010年浙江省数学高考向量试题赏析及历史回顾

题小意深图穷意显——2010年浙江省数学高考向量试题赏
析及历史回顾
黄超
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2010(000)008
【摘要】从2004年浙江省自主命题以来，向量试题就呈现出鲜明的特点：具有极强的数学味和突出的几何背景；既可以考查向量的代数运算，也能通过对几何背景的透视，抓住向量本质，简化解题思路但是在2009年的试题中却没能感受到这一点，正当我们以为向量的考查趋于平淡时，2010年浙江省数学高考理科试题第16题横空出世，让我们再次感受到了向量问题的奇特魅力．
【总页数】3页(P46-48)
【作者】黄超
【作者单位】昌硕高级中学,浙江安吉313300
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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