三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题2中的角理
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题22立体几何中的角理20171102333
专题 22 立体几何中的角1.【2017课标 II ，理 10】已知直三棱柱C A C 中， C 120 ，2，1 1 1，则异面直线 与 C 所成角的余弦值为（）C CC 1111A ．3 2B ．15 5C ．105D ．33【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，补成四棱柱 ABCDA B CD ,1 1 1 1则所求角为 BC 1D , BC 1 2, B D 22 1 2 2 1 cos 600 3,C 1D A B 152 10cos BC D，故选C 。
因此155【考点】异面直线所成的角；余弦定理；补形的应用2.【2017浙江，9】如图，已知正四面体 D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别1BQ CR为 AB ， BC ， CA 上 的 点 ， AP=PB ，2 ， 分 别 记 二 面 角 D –PR –Q ， D –PQ –R ，QC RA D –QR –P 的平面角为 α，β，γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B 【解析】试题分析：设 O 为三角形 ABC 中心，则 O 到 PQ 距离最小，O 到 PR 距离最大，O 到 RQ 距离居中，而高相等，因此，所以选 B ．【考点】空间角（二面角）3.【2014新课标，理 11】直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是 A 1B 1，A 1C 1的中 点，BC=CA=CC 1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（）A. 110B . 25C . 3010 D . 22【答案】C【解析】以 C 为原点，直线 CA 为 x 轴，直线 CB 为 y 轴，直线CC 为轴，则设 CA=CB=1，则11 1B (0,1, 0) ， M ( , ,1) ， A （ 1， 0， 0） ， 2 2 u u u r1AN ( , 0,1)，所以21 N ( ,0,1)， 故2u u u r 1 1 BM ( , ,1) 2 2，2u u u r u u u rcos BM,ANBM ANu u u r u u u r|BM||AN|3465223010，故选C.【考点定位】异面直线所成的角.【名师点睛】本题考查了空间几何体棱柱的性质，异面直线所成角，空间直角坐标，空间向量的数量积，本题属于中档题，要求学生根据根据已知建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的知识求异面直线所成角的余弦值，注意由已知准确写出所需点的坐标.4.【2014四川，理8】如图，在正方体ABCD A B C D中，点O为线段BD的中点.设点P1111在线段CC上，直线OP与平面1A BD所成的角为，则sin的取值范围是（）13[,1]3A．6[,1]3B．622[,]33C．22[,1]3D．【答案】B【解析】试题分析：设正方体的棱长为，则131AC 2,AC 3,AO OC1,OC，11111222所以33212222cos AOC ,s in A OC113311322，3133622cos A OC ,s in A OC1133322.，选B.又直线与平面所成的角小于等于90，而AOC为钝角，所以sin的范围为[6,1]1335.【2016高考新课标 1卷】平面 过正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点 A , //平面 CB 1D 1, I 平面ABCD =m , I 平面 AB B1A 1=n ,则 m 、n 所成角的正弦值为(A)3 2(B)2 2(C)3 3(D)1 3【答案】A 【解析】考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、 连线成形,解形求角、得钝求补. 6.【2015高考浙江，理 8】如图，已知ABC ， D 是 AB 的中点，沿直线CD 将 ACD 折成A CD ，所成二面角 ACD B 的平面角为 ，则（ ）A.A DB B.A DBC. A CBD.A CB4【答案】B.【解析】试题分析：设ADC，设AB 2，则由题意AD BD 1，在空间图形中，设A B t，2221212222A D DB AB t t在A CB中，cos A DB2A D DB2112，在空间图形中，过A作AN DC，过B作BM DC，垂足分别为N，M，过N作NP//MB，连结A P，∴NP DC，则A NP就是二面角A CD B的平面角，∴A NP，在Rt A ND中，DN A D cos A DC cos，A N A D sin A DC sin，同理，BM PN sin，DM cos，故BP MN 2cos，显然BP 面A NP，故BP A P，在Rt A BP中，A P2A B2BP2t2(2cos)2t24cos2，在A NP中，cos cos A NP222A N NP A P2A N NPs in sin (t 4cos )22222s in sin22cos t2t cos1cos22222cos A DB，2s in2s insinsin sin22222∵1sin20，cos2sin20，∴cos cos A DB （当时取等号），2∵， A DB [0, ]，而 y cos x 在[0,]上为递减函数，∴ A DB ，故选 B.【考点定位】立体几何中的动态问题57.【2015高考四川，理 14】如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂 直，动点 M 在线段 PQ 上，E 、F 分别为 AB 、BC 的中点。
三年高考(2015-2017)数学(理)试题分项版解析+Word版含解析-专题01 集合
1.【2017课标1，理1】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则（ ）A ．{|0}AB x x =<B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以 {|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=< ，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=< ，故选A.【考点】集合的运算，指数运算性质.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2.【2017课标II ，理】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=.若{}1A B = ，则B =（ ） A.{}1,3- B.{}1,0 C.{}1,3 D.{}1,5【答案】C【解析】由{}1A B = 得1B ∈，即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140,3m m -+==，{}1,3B =，故选C.【考点】 交集运算，元素与集合的关系3．【2017课标3，理1】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】集合中的元素为点集，由题意，结合A 表示以()0,0 为圆心， 为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x = 上所有的点组成的集合，圆221x y += 与直线y x = 相交于两点()1,1 ，()1,1-- ，则A B 中有两个元素.故选B .【考点】 交集运算；集合中的表示方法.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.4.【2017北京，理1】若集合A ={x |–2<x <1}，B={x |x <–1或x >3}，则A B =（ ）（A ）{x |–2<x <–1} （B ）{x |–2<x <3}（C ）{x |–1<x <1} （D ）{x |1<x <3}【答案】A 【解析】利用数轴可知{}21A B x x =-<<- ，故选A.【考点】集合的运算5.【2017浙江，1】已知}11|{<<-=x x P ，}20{<<=x Q ，则=Q P （ ）A ．)2,1(-B ．)1,0(C ．)0,1(-D ．)2,1(【答案】A【解析】利用数轴，取Q P ,所有元素，得=Q P )2,1(-．【考点】集合运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．6.【2017天津，理1】设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（ ）（A ）{2} （B ）{1,2,4} （C ）{1,2,4,6} （D ）{|15}x x ∈-≤≤R 【答案】B【解析】(){1246}[15]{124}A B C =-= ，，，，，， ,选B.【考点】 集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.7.【2016课标1,理1】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则A B = （ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】因为23{|-430}={|13},={|},2A x x x x xB x x =+<<<>所以33={|13}{|}={|3},22A B x x x x x x <<><< 故选D. 考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.8.【2016新课标3理数】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T = （ ）(A) 2，3] (B)（-∞ ，2]U 3,+∞） (C) 3,+∞） (D)（0，2]U 3,+∞）【答案】D【解析】由(2)(3)0x x --≥解得3x ≥或2x ≤，所以{|23}S x x x =≤≥或，所以{|023}S T x x x =<≤≥ 或，故选D ．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．9.【2016新课标2理数】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = （ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，，【答案】C【解析】试题分析：集合B {x |1x 2,x Z}{0,1}=-<<∈=，而A {1,2,3}=，所以A B {0,1,2,3}= ，故选C.考点： 集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.10. 【2016山东理数】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（ ）（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞（D ）(0,)+∞【答案】C【解析】试题分析：}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则A B =∞ （-1，+），选C.考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.11.【2016浙江理数】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R ð（ ）A ．2,3]B ．( -2,3 ]C ．1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞【答案】B【解析】 试题分析：根据补集的运算得{}[](]24(2,2),()(2,2)1,32,3=<=-∴=-=- R R Q x x P Q 痧．故选B ． 考点：1、一元二次不等式；2、集合的并集、补集．【易错点睛】解一元二次不等式时，2x 的系数一定要保证为正数，若2x 的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．12.【2016年北京理数】已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B = （ ）A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,0,1}-D.{1,0,1,2}-【答案】C【解析】试题分析：由}22|{<<-=x x A ，得}1,0,1{-=B A ，故选C.考点：集合交集.13.【2016年四川理数】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C【解析】由题意，{2,1,0,1,2}A Z =-- ，故其中的元素个数为5，选C.考点：集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.14.【2015重庆，理1】已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则（ ）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA【答案】D【解析】由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D .【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.【名师点晴】考查集合的关系，涉及集合的相等.集合的交集运算，子集等概念，是送分题.15.【2015天津，理1】已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B = ð( )（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8【答案】A【解析】{2,5,8}U B =ð,所以{2,5}U A B = ð，故选A. 【考点定位】集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的运算，涉及全集、补集、交集相关概念和求补集、交集的运算,是基础题.16.【2015四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ ）(){|13}A x x -<<(){|11}B x x -<< (){|12}C x x <<(){|23}D x x <<【答案】A【解析】 {|12},{|13},{|13}A x x B x x A B x x =-<<=<<∴=-<< ，选A.【考点定位】集合的基本运算.17.【2015广东，理1】若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N = （ ）A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4【答案】A ．【解析】因为()(){}{}|4104,1M x x x =++==--，()(){}{}|4101,4N x x x =--==，所以M N =∅ ，故选A ．【考点定位】一元二次方程的解集，集合的基本运算.【名师点睛】本题主要考查一元二次方程的解集，有限集合的交集运算和运算求解能力，属于容易题． 18.【2015浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q = ð（ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]【答案】C.【解析】由题意得，)2,0(=P C R ，∴()(1,2)R P Q = ð，故选C.27. 【2016天津理数】已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{4} （C ）{1,3}（D ）{1,4}【解析】试题分析：{1,4,7,10},A B {1,4}.B == 选D .考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.28. 【2015陕西，理1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N = （ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞【答案】A 【解析】{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1M N = ，故选A ．【考点定位】1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．【名师点晴】本题主要考查的是一元二次方程、对数不等式和集合的并集运算，属于容易题．解题时要看清楚是求“ ”还是求“ ”和要注意对数的真数大于，否则很容易出现错误．29.【2015新课标2，理1】已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B = （ ）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0A B =- ，故选A ．【考点定位】集合的运算．【名师点睛】本题考查一元二次不等式解法和集合运算，要求运算准确，属于基础题． 综上所述，“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的充要条件.30.【2015福建，理1】若集合{}234,,,A i i i i = （是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B 等于 ( )A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．【解析】由已知得{},1,,1A i i =--，故A B = {}1,1-，故选C ．【考点定位】1、复数的概念；2、集合的运算．【名师点睛】本题考查复数的概念和集合的运算，利用21i =-和交集的定义求解，属于基础题，要注意运算准确度．31.【2017江苏，1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B = 则实数的值为 ▲ .【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【考点】元素的互异性满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B =∅⊆ 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.32.【2016江苏卷】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ________▲________.【答案】{}1,2-【解析】试题分析：{1,2,3,6}{|23}{1,2}A B x x =--<<=-考点：集合运算33.【2015江苏，1】已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5A 中元素的个数为5个.【解析】{123}{245}{12345}A B==，，，，，，，，，,，则集合B【考点定位】集合运算【名师点晴】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A或属于集合B的元素的个数. 本题需注意检验集合的元素是否满足互异性，否则容易出错．。
专题25 选修部分—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(解析版)
1.【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）．（1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525-；（2）8a =或16a =-．试题解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=．当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-．（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l的距离为d =．当4a ≥-时，d=8a =；当4a <-时，d=16a =-．综上，8a =或16a =-．【考点】参数方程【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表达椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a 的值．2【2017课标1，文23】已知函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ．（1）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；（2）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）{|1x x -<≤；（2）[1,1]-．试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -<≤．（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[1,1]-．【考点】不等式选讲【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞(此处设a b <)三个部分，在每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．3.【2017课标II ，文22】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。
专题07 三角函数—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(解析版)
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8.【2015 高考福建，文 6】若 sin 5 ，且 为第四象限角，则 tan 的值等于（
）
13
A． 12 B． 12
5
5
【答案】D
C． 5 D． 5
12
12
【考点定位】同角三角函数基本关系式．
【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在 sin 、cos 、tan 三个值之间， 知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角 的象限，从而决定正负符号的取舍，
右
平
移
个
单
位
长
得
函
数
12
y 2 cos 3(x ) 2 cos(3x ) 2 sin( 3x ) 2 sin(3x ) ，即得函
12
4
2
4
4
数 y sin 3x cos 3x 的图象，选 A.
考点：三角函数的图象的平移变换，公式 sin x cos x 2 sin(x ) 的运用，容易题. 4
A. π
B. 2π
C. π
D. 2π
2
3
【答案】C
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【考点】三角变换及三角函数的性质
【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝Asin(ωx ＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为|2ωπ|,y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为|πω|.③
【名师点睛】本题考查了 y Asin x 的解析式，和三角函数的图象和性质，本题叙
述方式新颖,是一道考查能力的好题，本题可以直接求解，也可代入选项，逐一考查所给选
项：当 x 5 时， 2 5 ，满足题意， 2 5 11 ，不合题意，B 选
2015--2017年高考数学试题分析
2015年---------2017年高考试题分析一,选择题,填空题1,复数:三年三考,考察复数的乘法,除法,模,实部,虚部,共轭复数2,集合:三年两考,考察集合的运算交集,并集,补集3,古典文化:三年一考,考察一般涉及各方面的知识4,程序框图:三年三考,考察求输出值,确定判断条件5,线性规划:三年三考,考察直线型,斜率型,距离型,应用题,求参数6,命题部:三年两考,考察命题的否定,命题的真假,条件的判断7,三视图:三年三考,考察还原几何体,求表面积或体积8,二项式定理:三年三考,考察求指定项,求二项式系数,项的系数的和或最大值.9,三角函数:三年五考,考察三角中的公式,图像对称性及其变化10,平面向量:三年三考,考察加法减法法则,坐标运算,夹角,模11,概率:三年三考,考察独立重复实验,古典概型,几何概型,.............12,圆锥曲线:三年六考,考察定义,方程,性质,离心率13,比较大小:三年两考,考察作差法,构造函数利用单调性,特殊值14,函数的性质:三年四考,考察函数的图像,单调性,奇偶性,周期性15,立体几何:三年六考,考察三视图,体积,球,空间中的平行,垂直,空间中的角16,分类,分步计数原理:三年一卷中均没考,平时常考察站队,分组分配等问题.解答题分析1,三角形:(1),给出图形,结合图形解三角形,如全国2013(2),给出部分角和边的关系,利用正弦定理,余弦定理入全国2016,2017(3),给出三角函数关系式,化简后求值,单调区间,最值,或解三角形,如2017年山东,浙江等等2,数列:(1),证明等差,等比数列,如全国2014一卷(2),求通项,求和如全国2015一卷,2016年二卷,三卷(3),求通项,证明不等式如全国2014二卷3,立体几何近几年都是第一问证明垂直,第二问邱空间角,变化不大,难度一般常见的垂直:等腰三角形底边中线垂直于底边菱形的对角线互相垂直4,概率统计(1),离散型随机变量的分布列,如2017全国三卷18题(2),频率分布直方图,如2013全国二卷19题(3)茎叶图,如2015全国二卷19题(4)线性回归,如2014全国二卷19题,如2016全国三卷19题(5)2×2列联表,如2017全国二卷18题5,参数方程极坐标。
专题09-三角恒等变换与求值—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)
1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.考点：三角恒等变换.2.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A）B（C ）12-（D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.3.【2015高考，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C 【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cossin sin 1010sin coscos sin55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cossin55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin555ππππππ+=- 33cos cos2sin sin 510510sincos55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos10ππ==，选C .【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.4.【2015理6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos 20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos 20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件，故选A ． 【考点定位】1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．【名师点晴】本题主要考查的是二倍角的余弦公式和充分条件与必要条件，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．5.【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是。
专题02 函数—三年高考(2015-2017数学(文)真题分项版解析(原卷版)(批量下载)
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第二章 函数【2017年高考试题】1．【2017课标1，文8】函数sin21cos x y x=-的部分图像大致为 A ． B ．C ．D ．2.【2017课标3，文7】函数2sin 1x y x x =++的部分图像大致为（ ）A BD ．C D3.【2017浙江，5】若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关4.【2017北京，文5】已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x （A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是增函数5.【2017北京，文8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与M N最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053（C ）1073 （D ）10936.【2017山东，文9】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ A. 2 B. 4 C. 6 D. 87.【2017天津，文6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为 （A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b <<8.【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是A.(,2)-∞-B. (,1)-∞-C. (1,)+∞D. (4,)+∞9.【2017课标1，文9】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称 10.【2017山东，文10】若函数()e x f x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A . ()2x f x -= B. ()2f x x = C. ()3xf x -= D. ()cos f x x = 11.【2017天津，文8】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）[2,2]-（B）[2]-（C）[2,-（D）[-12.【2017课标II ，文14】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f = ________．13.【2017北京，文11】已知0x ≥，0y ≥，且x +y =1，则22x y +的取值范围是__________．14.【2017课标3，文16】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________.15【2017山东，文14】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈- 时,()6x f x -=,则f (919)= .16.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 .17.【2017江苏，14】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 . 【2016，2015，2014高考题】1. 【2016高考新课标1文数】若0a b >>,01c <<,则（ ）（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b2. 【2014高考北京文第2题】下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.3y x = C.ln y x = D.y x =3. 【2014高考北京文第8题】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟4. 【2014高考北京文第6题】已知函数()26log f x x x =-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）A.()0,1B.()1,2C.()2,4D.()4,+∞5. 【2015高考北京，文3】下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2x y -=6. 【2014高考广东卷.文.5】下列函数为奇函数的是( )A .122x x - B .3sin x x C .2cos 1x + D .22x x +7. 【2016高考新课标1文数】函数22x y x e =-在[]2,2-的图像大致为（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）8. 【2015高考广东，文3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =-C ．122x xy =+D ．sin 2y x x =+9. 【 2014湖南文4】下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ） 21.()A f x x= 2.()1B f x x =+ 3.()C f x x = .()2x D f x -= 10. 【2016高考新课标2文数】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是（ ）（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D ）y= 11. 【2016高考新课标2文数】已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mii x =∑（ ） (A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m12. 【2014山东.文3】 函数1log 1)(2-=x x f 的定义域为（ ）A. (0,2)B. (0,2]C. ),2(+∞D. [2,)+∞13. 【2014山东.文6】已知函数log ()(,a y x c a c =+为常数，其中0,1)a a >≠的图象如右图，则下列结论成立的是（ ）A.1,1a c >>B.1,01a c ><<C.01,1a c <<>D.01,01a c <<<<14. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知4213332,3,25a b c ===，则（ ）(A) b a c << (B)a b c << (C) b c a << (D) c a b << 15. 【2016高考浙江文数】函数y =sin x 2的图象是（ ）16. 【2015高考山东，文2】设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是( )（A ）a b c ＜＜ （B ）a cb ＜＜ （C ）b ac ＜＜ （D ）b c a ＜＜ 17. 【2014山东.文5】 已知实数,x y 满足(01)x y aa a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）A.33x y >B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 18. 【2016高考浙江文数】已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若log >1a b ，则（ ）A.(1)(1)0a b --<B. (1)()0a a b -->C. (1)()0b b a --<D. (1)()0b b a -->19. 【2015高考山东，文8】若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值范围为( )（A ）( ) (B)() （C ）0,1（） （D ）1,+∞（）20. 【2015高考山东，文10】设函数3,1()2,1x x b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若5(())46f f =，则b = ( ) （A ）1 （B ）78 （C ）34 (D)1221. 【2016高考浙江文数】已知函数f （x ）=x 2+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件22. 【2015高考陕西，文4】设10()2,0x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12 D ．3223. 【2016高考浙江文数】已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,x f x x ≥∈R .（ ）A.若()f a b ≤，则a b ≤B.若()2bf a ≤，则a b ≤C.若()f a b ≥，则a b ≥D.若()2b f a ≥，则a b ≥24. 【2014高考陕西版文第7题】下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ） （A ）()3f x x = （B ）()3x f x = （C ）()23f x x = （D ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 25. 【2015高考陕西，文9】 设()sin f x x x =-，则()f x =（ ）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数26. 【2015高考陕西，文10】设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ） A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q =>27. 【2016高考北京文数】已知(2,5)A ，(4,1)B ，若点(,)P x y 在线段AB 上，则2x y -的最大值为（ ）A.−1B.3C.7D.828. 【2016高考北京文数】下列函数中，在区间(1,1)- 上为减函数的是（ ） A.11y x=- B.cos y x = C.ln(1)y x =+ D.2x y -= 29. 【2014四川，文7】已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ）A 、B 、C 、D 、 0b >5log b a =lg b c =510d =d ac =a cd =c ad =d a c =+30. 【2015高考四川，文5】下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )(A )y ＝sin (2x ＋2π) (B )y ＝cos (2x ＋2π) (C )y ＝sin 2x ＋cos 2x (D )y ＝sinx ＋cosx31.【2016高考上海文科】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题32. 【2015高考四川，文8】某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系kx b y e +=( 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )(A )16小时 (B )20小时 (C )24小时 (D )21小时33. 【2014全国1，文5】设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是( )A.)()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数34．【2015高考新课标1，文10】已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14- 35. 【2016高考山东文数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）e x y = （D ）3y x =36. 【2015高考新课标1，文12】设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x=-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）437. 【2014年.浙江卷.文7】已知函数c bx ax x x f +++=23)(，且3)3()2()1(0≤-=-=-<f f f ，则（ ）A.3≤cB.63≤<cC. 96≤<cD.9>c38. 【2016高考山东文数】已知函数f(x )的定义域为R.当x ＜0时，f(x )=x 3-1；当-1≤x ≤1时，f(-x )= —f(x )；当x ＞12时，f(x +12)=f(x —12).则f(6)= （ ） （A ）-2 （B ）-1（C ）0 （D ）239. 【2015高考浙江，文5】函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．40. 【2014年.浙江卷.文8】在同一坐标系中，函数)0()(>=x x x f a ，x x g a log )(=的图象可能是（ ）41. 【2016高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年42. 【2014高考重庆文第4题】下列函数为偶函数的是（ ）.()1A f x x =- 2.()B f x x x =+ .()22x x C f x -=-.()22x x D f x -=+43. 【2014高考重庆文第10题】已知函数13,(1,0](),()()1,1]1,(0,1]x f x g x f x mx m x x x ⎧-∈-⎪==---+⎨⎪∈⎩且在（内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A.91(,2](0,]42-- B.111(,2](0,]42-- C.92(,2](0,]43-- D.112(,2](0,]43-- 44. 【2015高考重庆，文3】函数22(x)log (x 2x 3)f 的定义域是（ ）(A) [3,1] (B) (3,1)(C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞ 45. 【2014，安徽文5】设 1.1 3.13log 7,2,0.8a b c ===则（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a bc << D ．b c a <<46. 【2015高考安徽，文4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A ）y =lnx （B ）21y x =+ （C ）y =sinx （D ）y =cosx47. 【2015高考安徽，文10】函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）a >0，b <0，c >0，d >0 （B ）a >0，b <0，c <0，d >0 （C ）a <0，b <0，c <0，d >0 （D ）a >0，b >0，c >0，d <048. 【2014，安徽文9】若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为 （ ）A ．5或8B ．1-或5C ． 1-或4-D ．4-或849.【2014天津，文4】设,,log ,log 2212-===πππc b a 则（ ）A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.a b c >> 50. 【2015高考天津，文8】已知函数22||,2()(2),2x xf x x x ,函数()3(2)g x f x ,则函数y()()f x g x 的零点的个数为（ ）(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)551. 【2015高考天津，文7】 已知定义在R 上的函数||()21()xm f x m 为实数为偶函数,记0.5(log 3),af 2b (log 5),c(2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）(A) b c a(B) b c a (C) b a c (D) b c a52.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷9】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 3)(2-=，则函数3)()(+-=x x f x g 的零点的集合为（ ）A.{1,3}B.{3,1,1,3}--C.{2D.{2-53. 【2015高考湖北，文6】函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-54. 【2015高考湖北，文7】设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ） A ．|||sgn |x x x = B ．||sgn ||x x x = C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =55. 【2014福建,文8】若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （56. 【2014福建,文9】要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 （ ）.80.120.160.240A B C D 元元元元57. 【2015高考福建，文3】下列函数为奇函数的是( )A．y = B ．x y e = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-58. 【2014辽宁文3】已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>59. (2014课标全国Ⅰ，文5)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )．A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数60. 【2015新课标2文11】如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．61. 【2015新课标2文12】设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭62. 【2014辽宁文10】已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ） A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343-- C ．1347[,][,]3434 D ．3113[,][,]4334--63. 【2014辽宁文11】 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 二、填空题1. 【2016高考四川文科】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+= .2. 【2015高考北京，文10】32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ． 3. 【2015高考湖南，文14】若函数()|22|xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.4. 【 2014湖南文15】若()()ax ex f x++=1ln 3是偶函数，则=a ____________.5. 【2014高考陕西版文第12题】已知42a=，lg x a =，则x =________. 6. 【2014高考陕西版文第14题】已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的表达式为________.7. 【2014全国2，文15】偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________．8. 【2016高考上海文科】已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数.9. 【2014四川，文13】设是定义在R 上的周期为2的函数，当时，()f x [1,1)x ∈-，则 . 10. 【2015高考四川，文12】lg 0.01＋log 216＝_____________.11. 【2015高考四川，文15】已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).12. 【2014年.浙江卷.文15】设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,0,22)(22x x x x x x f ，若2))((=a f f ，则=a .13. 【2016高考浙江文数】设函数f (x )=x 3+3x 2+1．已知a ≠0，且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2，x ∈R ，则实数a =_____，b =______．14. 【2015高考浙江，文9】计算：2log 2= ，24log 3log 32+= ． 15. 【2015高考浙江，文12】已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦ ，()f x 的最小值是 ．16. 【2014，安徽文11】34331654+log log 8145-⎛⎫+=⎪⎝⎭________． 17. 【2016高考山东文数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 18. 【2014，安徽文14】若函数()()R x x f ∈是周期为4的奇函数，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，则_______641429=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ．242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩3()2f =19. 【2016高考北京文数】函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为_________. 20. 【2015高考安徽，文14】在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 . 21. 【2015高考安徽，文11】=-+-1)21(2lg 225lg. 22. 【2014天津，文12】函数2()lg f x x =的单调递减区间是________.23. 【2014天津，文14】已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______24. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】如图所示，函数)(x f y =的图象由两条射线和三条线段组成.若R ∈∀x ，)1()(->x f x f ，则正实数a 的取值范围是 .25. 【2015高考湖北，文13】函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.26. 【2014上海,文3】设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-，若(2)1f =，则(1)f = .27. 【2014上海,文9】设,0,()1,0,x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是 .28. 【2014上海,文11】若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .29. 【2016高考天津文数】已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R上单调递减，且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________.30. 【2014福建,文15】（函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是__________.31. 【2015高考福建，文15】若函数()2()x af x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______．32. 【2015新课标2文13】已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．33. (2014课标全国Ⅰ，文15)设函数()113e ,1,,1,x x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是__________．34. 【2014辽宁文16】对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为 .三、解答题1.【2015高考湖北，文17】a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a . 当a =_________时，()g a 的值最小.2. 【2014上海,文20】（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分.设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)(（1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.3. 【2016高考上海文科】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知a ∈R ，函数()f x =21log ()a x+.（1）当 1a =时，解不等式()f x >1；（2）若关于x 的方程()f x +22log ()x =0的解集中恰有一个元素，求a 的值；（3）设a >0，若对任意t ∈1[,1]2，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.专题3 导数的几何意义与运算1.【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 2.【2014高考陕西版文第10题】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）（A ）321122y x x x =-- （B ）3211322y x x x =+- （C ）314y x x =- （D ）3211242y x x x =+-3.【2016高考四川文科】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)4.【2017课标1，文14】曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 5.【2017天津，文10】已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 .6.【2014高考广东卷.文.11】曲线53xy e =-+在点()0,2-处的切线方程为________.7. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式_____________________________.9.【2015高考新课标1，文14】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = .10. 【2014，安徽文15】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ，下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3yx =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =11. 【2015高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ．12. 【2015新课标2文16】已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = ．13.【2017山东，文20】（本小题满分13分）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R ., (I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.14.【2017北京，文20】已知函数()e cos xf x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．15.【2016高考新课标2文数】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.16.【2015高考山东，文20】设函数. 已知曲线 在点(1,(1))f 处的切线与直线平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）是否存在自然数k ，使得方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数()min{(),()}m x f x g x =（{},min p q 表示，,p q 中的较小值），求()m x 的最大值.17.【2014全国2，文21】（本小题满分12分） 已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （Ⅰ）求a ； （Ⅱ）证明：当1k<时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.18.【2016高考北京文数】（本小题13分） 设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.19.【2014高考重庆文第19题】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 已知函数23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于x y 21=. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间与极值.20.【2015高考天津，文20】（本小题满分14分）已知函数4()4,,f x x x x R （I ）求()f x 的单调区间;（II ）设曲线()y f x 与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()yg x ,求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x ; （III ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x ,求证:1321-43a x x。
专题24 立体几何中综合问题 -三年高考2015-2017数学理试题分项版解析 含解析 精品
1.【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】【解析】【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.2.【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.【答案】(1)证明略；【解析】（2）由题设及（1）知，,,OA OB OC 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-.则()()()()1,0,0,,1,0,0,0,0,1A B C D -由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB的中点，得12E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故 ()()11,0,1,2,0,0,1,22AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.设()=x,y,z n 是平面DAE 的法向量，则AD AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩0，0，n n即0,1022x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩。
可取⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n . 设m 是平面AEC 的法向量，则0，0，AC AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m同理可得(0,=-m .则cos ,7⋅==n m n m n m . 所以二面角D -AE -C(2)设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m ，n >互补或相等，故有|cosθ|＝|cos<m ，n >|=⋅m nm n.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.3.【2017山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是DF 的中点. （Ⅰ）设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； （Ⅱ）当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小.【答案】（Ⅰ）30CBP ∠=︒.（Ⅱ）60︒.（Ⅱ）两种思路，一是几何法，二是空间向量方法，其中思路一： 取EC 的中点H ，连接EH ，GH ，CH . 得四边形BEHC 为菱形，得到AE GE AC GC ===取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC . 得到EM AG ⊥，CM AG ⊥， 从而EMC ∠为所求二面角的平面角. 据相关数据即得所求的角. 思路二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为，y ，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.写出相关点的坐标，求平面AEG 的一个法向量111(,,)m x y z =，平面ACG 的一个法向量222(,,)n x y z =计算1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅即得.试题解析：（Ⅰ）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，AB ，AP ⊂平面ABP ，ABAP A =，所以BE ⊥平面ABP ， 又BP ⊂平面ABP ，所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒， 因此30CBP ∠=︒ （Ⅱ）解法一：取EC 的中点H ，连接EH ，GH ，CH . 因为120EBC ∠=︒， 所以四边形BEHC 为菱形，所以AE GE AC GC ===取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC . 则EM AG ⊥，CM AG ⊥， 所以EMC ∠为所求二面角的平面角.又1AM =，所以EM CM ===在BEC ∆中，由于120EBC ∠=︒，由余弦定理得22222222cos12012EC =+-⨯⨯⨯︒=，所以EC =EMC ∆为等边三角形， 故所求的角为60︒. 解法二：设111(,,)m x y z =是平面AEG 的一个法向量. 由00m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得1111230,0,x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩取12z =，可得平面AEG的一个法向量(3,m . 设222(,,)n x y z =是平面ACG 的一个法向量.由00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得22220,230,x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩取22z =-，可得平面ACG的一个法向量(3,2)n =-. 所以1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅.因此所求的角为60︒.【考点】1.垂直关系.2. 空间角的计算.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.立体几何中角的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等. 4．【2016高考天津理数】（本小题满分13分）如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2. （I ）求证：EG ∥平面ADF ； （II ）求二面角O -EF -C 的正弦值； （III ）设H 为线段AF 上的点，且AH =23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）3（Ⅲ）21【解析】()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，.（I ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-.设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，则110n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩.不妨设1z =，可得()10,2,1n =，又()0,1,2EG =-，可得10EG n ⋅=，又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面.（II ）解：易证，()1,1,0OA =-为平面O E F 的一个法向量.依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-.设()2,,n x y z =为平面CEF 的法向量，则220n EF n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩.不妨设1x =，可得()21,1,1n =-. 因此有222c o s ,O A n O A n O A n ⋅<>==-⋅，于是23s i n ,O A n<>=，所以，二面角O E F C --.考点：利用空间向量解决立体几何问题 5.【2015江苏高考，22】（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长【答案】（1）3（2）5【解析】则各点的坐标为()1,0,0B ，()C 1,1,0，()D 0,2,0，()0,0,2P ．（1）因为D A ⊥平面PAB ，所以D A 是平面PAB 的一个法向量，()D 0,2,0A =． 因为()C 1,1,2P =-，()D 0,2,2P =-．设平面CD P 的法向量为(),,m x y z =，则C 0m ⋅P =，D 0m ⋅P =，即20220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩．令1y =，解得1z =，1x =．所以()1,1,1m =是平面CD P 的一个法向量．从而D 3cos D,D m m mA ⋅A ==A ，所以平面PAB 与平面CD P （2）因为()1,0,2BP =-，设()Q ,0,2λλλB =BP =-（01λ≤≤）， 又()C 0,1,0B =-，则()CQ C Q ,1,2λλ=B +B =--，又()D 0,2,2P =-， 从而CQ D cos CQ,D CQ D 10⋅P P ==P．设12t λ+=，[]1,3t ∈，则2222229cos CQ,D 5109101520999t t t t P ==≤-+⎛⎫-+⎪⎝⎭．当且仅当95t =，即25λ=时，cos CQ,D P 的最大值为10． 因为cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，此时直线CQ与D P 所成角取得最小值． 又因为BP ==2Q 5B =BP =．6.【2016年高考北京理数】（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）3；（3）存在，14AM AP =【解析】所以⊥AB 平面PAD ，所以PD AB ⊥， 又因为PD PA ⊥，所以⊥PD 平面PAB ； （2）取AD 的中点O ，连结PO ，CO ， 因为PA PD =，所以AD PO ⊥.又因为⊂PO 平面PAD ，平面⊥PAD 平面ABCD ， 所以⊥PO 平面ABCD .因为⊂CO 平面ABCD ，所以⊥PO CO . 因为CD AC =，所以AD CO ⊥.如图建立空间直角坐标系xyz O -，由题意得，)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -.设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0即⎩⎨⎧=-=--,02,0z x z y 令2=z ，则2,1-==y x . 所以)2,2,1(-=.又)1,1,1(-=PB，所以33,cos -=>=<. 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.（3）设M 是棱PA 上一点，则存在]1,0[∈λ使得λ=. 因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-M .因为⊄BM 平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0=⋅， 即0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ，解得41=λ. 所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时41=AP AM . 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.7.【2015高考陕西，理18】（本小题满分12分）如图，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图．（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ；（II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II 【解析】试题分析：（I ）先证1BE ⊥OA ，C BE ⊥O ，再可证BE ⊥平面1C A O ，进而可证CD ⊥平面1C A O ；（II ）先建立空间直角坐标系，再算出平面1C A B 和平面1CD A 的法向量，进而可得平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值． 试题解析：（I ）在图1中，因为C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，D 2π∠BA =，所以C BE ⊥A即在图2中，1BE ⊥OA ，C BE ⊥O 从而BE ⊥平面1AOC 又CD//BE ，所以CD ⊥平面1AOC .所以1(,0,0),E((0,0,2222B -得2BC(,22-12A C(0,)22-，CD BE (==. 设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z =，平面1CD A 的法向量2222(,,)n x y z =，平面1BC A 与平面1CD A 夹角为，则11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1(1,1,1)n =，2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22200x y z =⎧⎨-=⎩，取2(0,1,1)n =，从而12cos |cos ,|n n θ=〈〉== 即平面1BC A 与平面1CD A8.【2014高考陕西版理第17题】四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，.２２１俯视图左视图 主视图ABCDEFGH（1）证明：四边形EFGH 是矩形；（2）求直线AB 与平面EFGH 夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【解析】试题分析：（1）由该四面体的三视图可知：,,BD DC BD AD AD DC ⊥⊥⊥，2,1BD DC AD ===由题设，BC ∥面EFGH ，面EFGH面BDC FG =，面EFGH面ABC EH =，所以BC ∥FG ，BC ∥EH ，所以FG ∥EH ，同理可得EF ∥HG ，即得四边形EFGH 是平行四边形，同时可证EF FG ⊥，即证四边形EFGH 是矩形；（2）以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(0,0,1)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C(0,0,1)DA =，(2,2,0)BC =-，(2,2,0)BC =-，设平面EFGH 的一个法向量(,,)n x y z =因为BC ∥FG ,EF ∥AD ，所以0,0n DA n BC ⋅=⋅=，列出方程组，即可得到平面EFGH 的一个法向量，AB 与的夹角的余弦值的绝对值即为所求.又,,BD AD AD DC BD DC D ⊥⊥=∴AD ⊥平面BDC AD BC ∴⊥BC ∥FG ,EF ∥AD EF FG ∴⊥∴四边形EFGH 是矩形（2）如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(0,0,1)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C(0,0,1)DA =，(2,2,0)BC =-，(2,2,0)BC =-设平面EFGH 的一个法向量(,,)n x y z =BC ∥FG ,EF ∥AD0,0n DA n BC ∴⋅=⋅=即得z =0-2x+2y =0⎧⎨⎩，取(1,1,0)n =sin |cos ,|||5||||5BA n BA n BA n θ⋅∴====⋅ 考点：面面平行的性质；线面角的求法.9.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD ，E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（Ⅰ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由； （Ⅱ）若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.EDCBPA【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13. 【解析】试题分析：（Ⅰ）探索线面平行，根据是线面平行的判定定理，先证明线线平行，再得线面平行，而这可以利用已知的平行，易得CD ∥EB ；从而知M 为DC 和AB 的交点；（Ⅱ）求线面角，可以先找到这个角，即作出直线在平面内的射影，再在三角形中解出，也可以利用已知图形中的垂直建立空间直角坐标系，用向量法求出线面角（通过平面的法向量与直线的方向向量的夹角来求得）．试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行.延长AB ，DC ，相交于点M （M ∈平面PAB ），点M 即为所求的一个点.理由如下： 由已知，BC ∥ED ，且BC =ED .所以四边形BCDE是平行四边形.，所以CD∥EB从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.在Rt△PAH中，2所以sin∠APH=AHPH=13.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A为原点，以AD,AP的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以PE=（1,0,-2），EC=（1,1,0），AP=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由0,0,PEEC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn得20,0,x zx y-=⎧⎨+=⎩设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα=||||||n APn AP⋅⋅=13=.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为1 3 .P考点：线线平行、线面平行、向量法.10.【2014安徽理20】(本题满分13分)如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ．四边形ABCD 为梯形，BC AD //,且BC AD 2=．过D C A ,,1三点的平面记为α，1BB 与α的交点为Q ． （1）证明：Q 为1BB 的中点；（2）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（3）若A A 14=，2=CD ，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角大小．【答案】（1）Q 为1BB 的中点；（2）117；（3）4π． 【解析】试题分析：（1）利用面面平行来证明线线平行QC ∥1A D ，则出现相似三角形，于是根据三角形相似即可得出1112BQ BQ BC BB AA AD ===，即Q 为1BB 的中点．（2）连接,QA QD ．设1A A h =，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V 上和V 下，=BC a ，则2AD a =．先表示出17=+12Q A AD Q ABCD V V V ahd --=下和11113=2A B C D ABCD V ahd -，就可求出11113711==21212A B C D ABCD V V V ahd ahd ahd ---=下上，从而11=7V V 上下．（3）可以有两种方法进行求解．第一种方法，用常规法，作出二面角．在ADC ∆中，作AE DC ⊥，垂足为E ，连接1A E ．又1D E A A⊥且1AA AE A =，所以DE ⊥平面1AEA ，于是1DE A E ⊥．所以1AEA ∠为平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角．第二种方法，建立空间直角坐标系，以D 为原点，1,DA DD 分别为轴和轴正方向建立空间直角坐标系．设=C D A θ∠．因为22s i n 62ABC Da a S θ+=⋅=，所以2sin a θ=．从而()2cos ,2sin ,0C θθ，14,0,4sin A θ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()2co s ,2s i n ,0DC θθ=，14,0,4sin DA θ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设平面（2）解：如第（20）题图1，连接,QA QD ．设1AA h =，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V 上和V 下，=BC a ，则2AD a =．11112323Q A AD V a h d ahd -=⋅⋅⋅⋅=，1213224Q ABCD a a h V d ahd -+⎛⎫=⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭，所以17=+12Q A AD Q ABCD V V V ahd --=下， 又11113=2A B C D ABCD V ahd - 所以11113711==21212A B C D ABCD V V V ahd ahd ahd ---=下上， 故11=7V V 上下．解法2如第（20）题图2，以D 为原点，1,DA DD 分别为轴和轴正方向建立空间直角坐标系． 设=CDA θ∠．因为22sin 62ABCD a aS θ+=⋅=，所以2sin a θ=．从而()2cos ,2sin ,0C θθ，14,0,4sin A θ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()2cos ,2sin ,0DC θθ=，14,0,4sin DA θ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设平面1A DC 的法向量(),,1n x y =，由1440,sin 2cos 2sin 0,DA n x DC n x y θθθ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩得sin ,cos x y θθ=-=， 所以(sin ,cos ,1)n θθ=-．又因为平面ABCD 的法向量()0,0,1m =， 所以2cos ,n m n m n m⋅==， 故平面α与底面ABCD 所成而面积的大小为π4． 考点：1．二面角的求解；2．几何体的体积求解．11.【2014年湖北，卷理9】(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .（1）当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）221±=λ 【解析】试题分析：（1）由正方体1111D C B A ABCD -的性质得11//AD BC ，当1=λ时，证明1//AD FP ，由平行于（1）证明：如图1，连结1AD ，由1111D C B A ABCD -是正方体，知11//AD BC ， 当1=λ时，P 是1DD 的中点，又F 是AD 的中点，所以1//AD FP ， 所以FP BC //1，而⊂FP 平面EFPQ ，且⊄1BC 平面EFPQ ， 故//1BC 平面EFPQ .（2）如图2，连结BD ，因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点， 所以BD EF //，且BD EF 21=，又BQ DP =，BQ DP //， 所以四边形PQBD 是平行四边形， 故BD PQ //，且BD PQ =， 从而PQ EF //，且PQ EF 21=， 在EBQ Rt ∆和FDP Rt ∆中，因为λ==DP BQ ，1==DF BE ， 于是，21λ+==FP EQ ，所以四边形EFPQ 是等腰梯形， 同理可证四边形PQMN 是等腰梯形，分别取EF 、PQ 、MN 的中点为H 、O 、G ，连结OH 、OG ， 则PQ GO ⊥，PQ HO ⊥，而O HO GO = ，故GOH ∠是平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角的平面角，若存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90=∠GOH ，连结EM 、FN ，则由MN EF //，且MN EF =，知四边形EFNM 是平行四边形， 连结GH ，因为H 、G 是EF 、MN 的中点，所以2==ME GH ，在GOH ∆中，42=GH ，21)22(12222+=-+=λλOH ，以D 为原点，射线1,,DD DC DA 分别为z y x ,,轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系xyz D -，由已知得),0,0(),0,0,1(),2,2,0(),0,2,2(1λP F C B ， 所以)2,0,2(1-=BC ，),0,1(λ-=，)0,1,1(=， （1）证明：当1=λ时，)1,0,1(-=FP ，因为)2,0,2(1-=BC ， 所以FP BC 21=，即FP BC //1，而⊂FP 平面EFPQ ，且⊄1BC 平面EFPQ ， 故直线//1BC 平面EFPQ .（2）设平面EFPQ 的一个法向量),,(z y x =n ，由⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙0n n 可得⎩⎨⎧=+-=+00z x y x λ，于是取)1,,(λλ-=n ，同理可得平面MNPQ 的一个法向量为)1,2,2(λλ--=m ，若存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则0)1,,()1,2,2(=-∙--=∙λλλλn m ，即01)2()2(=+---λλλλ，解得221±=λ， 故存在221±=λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角. 考点：正方体的性质，空间中的线线、线面、面面平行于垂直，二面角.12.【2015湖北理19】（本小题满分12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且P D C D =，过棱PC 的中点E ，作E F P B ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE（Ⅰ）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）22.（Ⅱ）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线. 由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DG ⊥. 而PDPB P =，所以DG PBD ⊥平面.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD D C ==，BC λ=，有BD = 在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 πtan tan 3BD DPF PD=∠==解得λ=所以1DC BC λ==故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC （解法2）（Ⅰ）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设1PD D C ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B Cλ，(,1,1)PB λ=-，点E 是PC的中点， 所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =， 于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥，而DEEF E =，所以PB DEF ⊥平面.因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB D FB ∠∠，.（Ⅱ）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量； 由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量. 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3， 则π1cos32||||BP DP BP DP λ⋅===⋅，解得λ. 所以1DC BC λ==故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC 【考点定位】四棱锥的性质，线、面垂直的性质与判定，二面角.13.【2015湖南理19】如图15，已知四棱台1111ABCD A B C D -上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16AA =，且1AA ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上. （1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（2）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积.【答案】（1）详见解析；（2）24. 【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标可知问题等价于证明1=0AB PQ ⋅；（2）根据条件二面角P-QD-A 的余弦值为37，利用空间向量可将四面体ADPQ 视为以ADQ ∆为底面的三棱锥ADQ P -，其高4=h ，从而求解试题解析：解法一由题设知，1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为轴，y 轴，轴，建立如图b 所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为)0,0,0(A ，1(3,0,6)B ，)0,6,0(D ，1(0,3,6)D ，)0,,6(m Q ，其中BQ m =，06m ≤≤，∴>=<21,cos n n 1212||||n n n n ⋅=⋅=，而二面角AQD P --的余弦值为37=37，解得4=m ，或者8=m （舍去），此时)0,4,6(Q ， 设1(01)DP DD λλ=<≤，而1(0,3,6)DD =-，由此得点)6,36,0(λλ-P ，(6,32,6)PQ λλ=--，∵//PQ 平面11ABB A ，且平面11ABB A 的一个法向量是3(0,1,0)n =， ∴PQ 30n ⋅=，即023=-λ，亦即λ=23，从而)4,4,0(P ，于是，将四面体ADPQ 视为以ADQ ∆为底面的三棱锥A D QP -，则其高4=h ，故四面体A D P Q 的体积11166424332A DQV S h =⋅=⨯⨯⨯⨯=.（2）如图d ，过点P 作1//PM A A 交AD 于点M ，则//PM 平面11ABB A ，∵1A A ⊥平面ABCD ，∴OM ⊥平面ABCD ，过点M 作MN QD ⊥于点N ，连结PN ，则QD PN ⊥，PNM ∠为二面角A QD P --的平面角，∴3cos 7PNM ∠=，即MN PN =37，从而PM MN =③ 连结MQ ，由//PQ 平面11ABB A ，∴AB MQ //，又ABCD 是正方形，所以ABQM 为矩形，故6==AB MQ ，设t MD =，则MN ==④，过点1D 作11//D E A A交AD 于点E ，则11AA D E 为矩形，∴1D E =16A A =，113AE A D ==，因此3=-=AE AD ED ，于是1623D E PM MD ED ===，∴t MD PM 22==，再由③④得=，解得2=t ，因此4=PM ，故四面体ADPQ 的体积11166424332A DQV S h =⋅=⨯⨯⨯⨯=. 【考点定位】1.空间向量的运用；2.线面垂直的性质；3.空间几何体体积计算.14.【2015课标2理19】（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A BC D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==，因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是6MH =，所以10AH =．以D 为坐标原点，DA 的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =，(0,6,8)HE =-．设(,,)n x y z =是平面EHGF 的法向量，则0,0,n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,3)n =．又(10,4,8)AF=-，故45 cos,n AFn AFn AF⋅<>==⋅．所以直线AF与平面α【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．A1AB1BD1DC1CFEHGM15.【2016高考新课标2理数】如图，菱形A B C D的对角线AC与BD交于点O，5,6ABAC==，点,E F分别在,AD CD上，54AE CF==，EF交BD于点H．将DEF∆沿EF折到D EF'∆位置，OD'=（Ⅰ）证明：D H'⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B D A C'--的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；.【解析】试题分析：（Ⅰ）证//AC EF，再证'D H OH⊥，最后证'D H ABCD⊥平面；（Ⅱ）用向量法求解.试题解析：（I ）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由AE CF =得AE CFAD CD=，故//AC EF . 因此EF HD ⊥，从而EF D H '⊥.由5AB =,6AC =得04DO B ==.由//EF AC 得14OH AE DO AD ==.所以1OH =，3D H DH '==. 于是1OH =，22223110D H OH D O ''+=+==， 故D H OH '⊥.又D H EF '⊥，而OH EF H ⋂=， 所以D H ABCD '⊥平面.By（II ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -， 则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=.设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则00m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩，所以可以取()4,3,5m =-.设()222,,n x yz =是平面'ACD 的法向量，则0n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，考点：线面垂直的判定、二面角.【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α⇒b ⊥α；③α∥β，a⊥α⇒a⊥。
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题32选修部分理20171102323
【名师点睛】化参数方程为普通方程时，未注意到普通方程与参数方程的等价性而出错.
10.【2017 课标 1，理 22】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
x 3cos
,
（θ 为参
y sin ,
数），直线 l 的参数方程为 x a 4t,
（t 为参数）. y 1 t, （1）若 a=− 1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ，求 a.
（t 为参数），以坐标原点
y 1t
为 极 点 ， x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 坐 标 系 ， 曲 线 C的 极 坐 标 方 程 为
2
3
5
cos 2
4(
0,
4
4
) ，则直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为_______.
【答案】 (2, )
7. 【 2015 高 考 重 庆 ， 理 16】 若 函 数 f (x) x 1 2 x a 的 最 小 值 为 5， 则 实 数
【答案】1 【解析】
试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为 x2 y2 2x 4y 4 0 ，整理为
x
2
y
2
，圆心 C 1,2 ，点 P 是圆外一点，所以 AP 的最小值就是
1
21
AC r 2 1 1 .
【考点】1.极坐标与直角坐标方程的互化；2.点与圆的位置关系.
【名师点睛】1.运用互化公式： 2 x2 y2, y
.
π
π
2 sin(
）2
4
【答案】
5
2 2
．
A 4
2
【 解 析 】 依 题 直 线 ： 2 sin
专题07三角函数—三年高考（2015-2017）数学（文）真题分项版解析（原卷版）
专题07三角函数—三年高考（2015-2017）数学（文）真题分项版解析（原卷版）专题7 三角函数1.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（） A ．65 B ．1 C ．35 D ．152.【2017课标II ，文3】函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为A.4πB.2πC. πD.π23.【2017课标3，文4】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（）A ．79-B ．29-C ．29D ．794.【2017山东，文4】已知3cos 4x =,则cos2x =A.14-B.14C.18-D.185.【2017天津，文7】设函数()2sin(),f x x x ω?=+∈R ，其中0,||πω?><.若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）2π,312ω?==（B ）211π,312ω?==-（C ）111π,324ω?==-（D ）17π,324ω?==6.【2017山东，文7】函数2cos 2y x x =+最小正周期为A.π2 B. 2π3C.πD. 2π 7.【2014福建,文7】将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（）()()()() (32).-02A y f x B y f x C y f x x D y f x πππ=====是奇函数的周期是的图象关于直线对称的图象关于点，对称8.【2015高考福建，文6】若5s i n 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-9.(2014课标全国Ⅰ，文7)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③πcos 26y x ?=+ ，④πtan 24y x ?=- ??中，最小正周期为π的所有函数为( )．A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③10.【2014天津，文8】已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（）A.2π B.23π C.π D.2π11.【2015高考新课标1，文8】函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈12.【2016高考新课标2文数】函数=sin()y A x ω?+的部分图像如图所示，则（）（A ）2sin(2)6y x π=-（B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π=（D ）2sin(2+)3y x π=13.【2014年.浙江卷.文4】为了得到函数x x y 3c os 3s in +=的图象，可以将函数x y 3cos 2=的图象（）A.向右平移12π个单位长 B.向右平移4π个单位长C.向左平移12π个单位长 D.向左平移4π个单位长 14.【2016高考新课标2文数】函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（）（A ）4（B ）5（C ）6 （D ）7[2016高考新课标Ⅲ文数]若tan 13θ=，则cos2θ=（）（A ）45-（B ）15-（C ）15（D ）4515. 【2014四川，文3】为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（）A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度16.【2015高考山东，文4】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（）（A ）向左平移12π个单位（B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位（D ）向右平移3π个单位 17.【2016高考天津文数】已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，则ω的取值范围是（）（A ）]81,0(（B ）)1,85[]41,0( （C ）]85,0(（D ）]85,41[]81,0(18.【2014高考陕西版文第2题】函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（）.2A π.B π.2C π.4D π 19. 【2015高考陕西，文6】“sin cos αα=”是“cos20α=”的（） A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要20.【2016高考新课标1文数】若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为（）（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)21.【2017课标II ，文13】函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 .22.【2017江苏，5】若π1tan(),46α-=则tan α=.23.【2017课标1，文15】已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________．24. 【2016高考四川文科】=. 25.【2016高考浙江文数】已知22cossin 2sin()(0)x x A x b A ω?+=++>，则A =______，b =______．26.[2016高考新课标Ⅲ文数]函数sin y x x =的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．27.【2015高考浙江，文11】函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，最小值是．28.【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)=. 29.【2015湖南文15】已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω =_____.30.【2015高考天津，文14】已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为．31. 【2014高考重庆文第13题】将函数()()??<≤->+=220sin π?πω?ω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则=??6πf ______. 32.【2015高考四川，文13】已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是______________. 33.【2017北京，文16】已知函数())2sin cos 3f x x -x x π=-.（I ）f (x )的最小正周期；（II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-． 0750sin34.【2017浙江，18】（本题满分14分）已知函数f （x ）=sin2x –cos 2x –sin x cos x （x ∈R ）．（Ⅰ）求)32(πf 的值．（Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．35.【2015高考重庆，文18】已知函数f(x)=122cos x .(Ⅰ)求f （x ）的最小周期和最小值，(Ⅱ)将函数f （x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图像.当x ∈,2ππ??时，求g(x)的值域. 36.【2015高考安徽，文16】已知函数2()(sin cos )cos2f x x x x =++（Ⅰ）求()f x 最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.37.【2015高考福建，文21】已知函数()2cos 10cos 222x x x f x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()gx 的图象，且函数()g x 的最大值为2．（ⅰ）求函数()gx 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．38.【2015高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ω?ω?=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.39.【2016高考北京文数】（本小题13分）已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求)(x f 的单调递增区间.40.【2014高考北京文第16题】（本小题满分13分）函数()3sin 26f x x π?=+的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（2）求()f x 在区间,212ππ??--上的最大值和最小值.41.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）设2()π)sin (sin cos )f x x x x x =--- .（I ）求()f x 得单调递增区间；（II ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，求π()6g 的值. 42.【2015高考北京，文15】（本小题满分13分）已知函数()2sin 2xf x x =-．（I ）求()f x 的最小正周期；（II ）求()f x 在区间20,3π??上的最小值．43.【2015高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2α=．（1）求tan 4πα?+ ??的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．44. 【2014高考广东卷.文.16】(本小题满分12分)已知函数()sin 3f x A x π?=+,x R ∈,且5122f π??=. (1)求A 的值；(2)若()()ff θθ--=0,2πθ??∈ ,求6f πθ??-.。
2015-2017高考理科数学全国卷2及标准答案
绝密★启用前２015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时,选出每掌上明珠答案后,用铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
３.回答第ＩI卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一.选择题：本大题共１２小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．１.已知集合Ａ={-2,-１，0,2｝，B={x|(x -１）(ｘ+２)<0},则Ａ∩B=（A）{－1,0} （B)｛０，1｝(C）{-1,０,１} (D){0,１，２}２.若a为实数且（２+ai）(a-2i)=－4i,则ａ=(A)-1 （Ｂ)0 (Ｃ）1 （Ｄ）23.根据下面给出的2０04年至201３年我国二氧化硫排放量(单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是(A)逐年比较,2０08年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B)2０07年我国治理二氧化硫排放显现(Ｃ)20０6年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势(D)2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.等比数列｛aｎ｝满足a1=3,a1+a3＋ａ5＝21,则a3＋a5+a７=（A)2１(B）42 (Ｃ)63 （Ｄ）8４５.设函数(2)211log , 1,()2, 1,xxxf xx--⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩则122log(2)()f f-+=(A）3 （B）6 （C)9 （Ｄ）12６.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为(Ａ)18(Ｂ)1 7（C)16(D)157.过三点A（１,3),B（4,2)，C(１,-7)的圆交于y轴于Ｍ、N两点,则MN=(A）26(B)8 (C)46(Ｄ)108.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
专题11 解三角形—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)
【答案】C
【解析】
试题分析：设 BC 边上的高线为 AD ，则 BC 3AD ，所以 AC AD2 DC2 5AD ，
AB 2AD
．
由
余
弦
定
理
，
知
cos A AB2 AC2 BC2 2AD2 5AD2 9AD2 10 ，故选 C．
2AB AC
2 2AD 5AD
2018 年暑假系统班，全国钜惠，99 元 16 课时
sin A 3 ， A (0, ) ， 所 以 A ． 由 余 弦 定 理 得
2
2
3
BC2 AB2 AC2 2AB AC cos A 49 ， BC 7 ．
【考点定位】1、三角形面积公式；2、余弦定理． 【名师点睛】本题考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它 可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中 一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边，属于基础题． 13.【2017 课标 1，理 17】△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面
【答案】（ 6 2 ， 6+ 2 ）
【解析】如图所示，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E 点时，AB 最长，
在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得 BC BE ，即 sin E sin C
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2 sin 30o
BE sin 75o
，解得 BE =
6+
2 ，平移 AD，当 D 与 C 重合时，AB 最短，此时与
专题32选修部分-三年高考(2015-2017)数学(理)试题分项版解析(原卷版)
1 xt ,
直线 l 的极坐标方程为 (sin 3cos ) 0 ，曲线 C 的参数方程为
t ( t 为参数 ) ， l 与 C 相交于
yt1
t
A , B 两点，则 | AB |
.
x 3cos ,
10.【2017 课标 1，理 22】 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
（ θ为参数），直线 l 的
1.【 2017 天津，理 11】 在极坐标系中，直线 ___________.
4 cos(
) 1 0 与圆 6
2 sin 的公共点的个数为
2.【 2017 北京，理 11】在极坐标系中， 点 A 在圆 2 2 cos 4 sin 4 0 上，点 P 的坐标为 （ 1,0），
则 |AP|的最小值为 ___________.
y sin ,
参数方程为
x a 4t, （t 为参数） .
y 1 t, （ 1）若 a=-1 ，求 C 与 l 的交点坐标； （ 2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ，求 a. 11.【2017 课标 1，理】 已知函数 f（x） =–x2+ax+4，g(x)= │x+坐 标 系 中 x Oy 中 , 已 知 直 线 l 的 参 考 方 程 为
t
y
2
( t 为 参 数 ), 曲 线 C 的 参 数 方 程 为
x 2s2 , ( s 为参数 ).设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值 .
y 2 2s
D. ［选修 4-5：不等式选讲］ （本小题满分 10 分） 已知 a, b,c, d 为实数，且 a 2 b 2 4, c 2 d 2 16, 证明 ac bd ≤ 8.
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题27统计理20171102328
0.6826 2
68.26% ，
（D）31.74%
0.1359 , 故选 B.
2
【考点定位】正态分布的概念与正态密度曲线的性质. 【名师点睛】本题考查了正态分布的有关概念与运算，重点考查了正态密度曲线的性质以及如 何利用正态密度曲线求概率，意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算能力. 8.【2014 山东.理 7】 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者 的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为 12,13),13,14),14,15),15,16),16,17],将其按从 左到右的顺序分别编号为第一组，第二组， ，第五组，右图是根据试验数据制成的频率 分布直方图，已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗 效的人数为（ ）
（A）56
（B）60
（C）120
（D）140
【答案】D 【解析】 试题分析：由频率分布直方图知，自习时间不少于 22.5 小时为后三组，有
200 (0.16 0.08 0.04) 2.5 140 （人），选 D.
考点：频率分布直方图
7.【2015 高考山东，理 8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布
（B）163
【答案】C
225
10 y
，
i
i1
（C）166
1600 ， bˆ
4 ．该班某学生的脚
（D）
3.【2014 高考广东卷.理.6】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和如图 2 所示，
为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2% 的学生进行调查，则样
本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题27统计理20171102328
1
2.【2017 山东，理 5】为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高 y （单位：厘米）的关
系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与之间有线性相关关系，
设其回归直线方程为 yˆ bˆx aˆ ．已知 10 x i i1
长为 24，据此估计其身高为
（A）160 170
专题 27 统计
1.【2017 课标 3，理 3】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理 了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折 线图．
根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A 【解析】
(B)七月的平均温差比一月的平均温差大
(D)平均气温高于 20 C 的月份有 5 个
考点：1、平均数；2、统计图． 【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只 觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错 选 B．
5.【 2014 湖南 2】对一个容量为 N 的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽
（A）56
（B）60
（C）120
（D）140
【答案】D 【解析】 试题分析：由频率分布直方图知，自习时间不少于 22.5 小时为后三组，有
200 (0.16 0.08 0.04) 2.5 140 （人），选 D.
考点：频率分布直方图
7.【2015 高考山东，理 8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布
专题06 导数的几何意义—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(原卷版)
1. 【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）e x y = （D ）3y x =2. 【2016年四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1， P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)3.【2016课标3，理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________．4.【2014广东理10】曲线25+=-x e y 在点()0,3处的切线方程为 .5.【2014江苏，理11】在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2b y ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += .6.【2017山东，理20】已知函数，，其中是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.()22cos f x x x =+()()cos sin 22x g x e x x x =-+-2.71828e =()y f x =()()()()h x g x af x a R =-∈()h x7.【2017北京，理19】已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．8.【2016年高考北京理数】设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.9.【2014福建,理20】已知函数()ax e x f x-=（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.（I ）求a 的值及函数()x f 的极值；（II ）证明：当0>x 时，x e x <2；（III ）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有x ce x <2.10.【2014重庆理，第20题】已知函数22()(,,)x x f x ae be cx a b c R -=--∈的导函数'()f x 为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -.（Ⅰ）确定,a b 的值；（Ⅱ）若3c =，判断()f x 的单调性； （Ⅲ）若()f x 有极值，求c 的取值范围.。
专题08_三角形—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(有答案)(1)
1.【2017课标1，文11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【考点】解三角形【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2.【2016高考新课标1文数】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =,2c =,2cos 3A =,则b=（）（A （B （C ）2 （D ）3【答案】D 【解析】试题分析：由余弦定理得3222452⨯⨯⨯-+=b b ,解得3=b （31-=b 舍去）,故选D. 考点：余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b .运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！3.【2015高考广东，文5】设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =b c <，则b =（）A ．B ．2C ．．3【答案】B【考点定位】余弦定理．【名师点晴】本题主要考查的是余弦定理，属于容易题．解题时要抓住关键条件“b c <”， 否则很容易出现错误．本题也可以用正弦定理解，但用正弦定理求角时要注意检验有两角的情况，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是余弦定理，即2222cos a b c bc =+-A ． 4． [2016高考新课标Ⅲ文数]在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则sin A =（ ） （A ）310（B（C）（D【答案】D 【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3,2BC AD DC AD ==，所以AC ==．由正弦定理，知sin sin AC BCB A =3sin AD A =，解得sin A =，故选D ． 考点：正弦定理．【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解． 5.【2016高考山东文数】ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-,则A =（）（A ）3π4（B ）π3（C ）π4（D ）π6【答案】C 【解析】 试题分析：因为,b c =所以由余弦定理得：()2222222cos 22cos 21cos a b c bc b b b =+-A =-A =-A ，又因为()2221sin ab =-A ，所以cos sin A =A ，因为cos 0A ≠，所以tan 1A =，因为()0,πA∈，所以4πA =，故选C.考点：余弦定理【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、三角函数的同角公式及诱导公式，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.6.【2014年.浙江卷.文10】如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角），若m AB 15=，m AC 25=，ο30=∠BCM ，则θtan 的最大值是（ ）A.530 B. 1030 C.934 D. 935 【答案】D在P AP Rt '∆中，θtan xAP =， 在P AB Rt '∆中由勾股定理得222)203(15)tan (-+=x x θ， 整理得33406251)203(225tan 2222+-=-+=xx x x θ， 令)0(3340625)(2>+-=x x x x f 2527)125341(6252+-=x ，当125341=x 时2527)(min =x f ， 所以θ2tan 的最大值为2725，即θtan 的最大值是935考点：三角函数的定义，函数的最值，难度中等.【名师点睛】本题主要考查了解直角三角形的有关问题，根据所给条件构造直角三角形，运用勾股定理求解直角边长，然后运用导数有关性质解决所求角正切的最值问题.7. 【2014四川，文8】如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75o ，，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（）A ．1)m -B ．1)m -C ．1)m -D ．1)m +【答案】 C.【考点定位】解三角形.【名师点睛】在三角形中，已知两角一边时可以使用正弦定理解三角形.8【2017浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，=6S ．【考点】数学文化【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解．9.【2017课标II ，文16】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos bc B a C c A =+,则B =【答案】3π【解析】由正弦定理可得1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒= 【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.10.【2017浙江，13】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【解析】试题分析：取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos ,sin 4DBC DBC ∴∠=-∠==BC 1sin 2D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△又21cos 12sin ,sin 4DBCDBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，cos sin BDC DBF ∴∠=∠=综上可得，△BCD cos BDC ∠=． 【考点】解三角形【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．11.【2017课标3，文15】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b ，c =3，则A =_________. 【答案】75°【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.12.【2015高考北京，文11】在C ∆AB 中，3a =，b =23π∠A =，则∠B =．【答案】4π【解析】由正弦定理，得sin sin a b A B ==sin B =4B π∠=. 【考点定位】正弦定理.【名师点晴】本题主要考查的是正弦定理，属于容易题．解题时一定要注意检验有两解的情况，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是正弦定理，即sin sin a b=A B． 13.【2014全国1，文16】如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .【答案】150考点：1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用【名师点睛】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系,同时还考查了考生的空间想象力，和学生的计算能力.14.【2015高考重庆，文13】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且12,cos ,4a C ==-3sin 2sin A B =,则c=________.【答案】4【解析】由3sin 2sin A B =及正弦定理知：32a b =,又因为2a =,所以2b =，由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以4c =;故填：4. 【考点定位】正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，先由正弦定理将3sin 2sin A B =转化为3a=2b 结合已知即可求得b 的值，再用余弦定理即可求解.本题属于基础题，注意运算的准确性及最后结果还需开方. 15.【2015高考安徽，文12】在ABC ∆中，6=AB ，ο75=∠A ，ο45=∠B ，则=AC .【答案】2【考点定位】本题主要考查正弦定理的应用.【名师点睛】熟练掌握正弦定理的适用条件是解决本题的关键，本题考查了考生的运算能力. 16.【2015高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30o 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75o 的方向上，仰角为30o ，则此山的高度CD =_________m.【答案】.【解析】在ABC ∆中，030CAB ∠=，000753045ACB ∠=-=，根据正弦定理知，sin sin BC ABBAC ACB=∠∠，即1sin sin 2AB BC BAC ACB =⨯∠==∠，所以tan CD BC DBC =⨯∠==，故应填.【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力. 17.【2015高考福建，文14】若ABC ∆中，AC =045A =，075C =，则BC =_______．【解析】由题意得0018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，则sin sin AC ABC B=，所以BC ==．【考点定位】正弦定理．【名师点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理可以求解一下两类问题：（1）已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角．关键是计算准确细心，属于基础题．18. 【2016高考上海文科】已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.考点：1.正弦定理；2.余弦定理.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等.19.【2016高考新课标2文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________.【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A B A C A C π=-+=+=+=， 又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 考点：正弦定理，三角函数和差公式.【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．20.【2016高考北京文数】在△ABC 中，23A π∠=，a =，则b c=_________.【答案】1考点：解三角形【名师点睛】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．21.【2017山东，文17】（本小题满分12分）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-u u u r u u u r,S △ABC =3,求A 和a .【答案】3=π,4A a 【解析】试题分析：先由数量积公式及三角形面积公式得,3cos 613sin 32c A c A =-⎧⎪⎨⨯=⎪⎩,由此求A ,再利用余弦定理求a .试题解析：因为6AB AC ⋅=-u u u r u u u r，所以cos 6bc A =-， 又3ABCS ∆=，所以sin 6bc A =，因此tan 1A =-，又0A π<<， 所以34A π=， 又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823(29a=+-⋅⋅=，所以a =【考点】解三角形【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．22.【2017天津，文15】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).试题解析：（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及sin sin a bA B=，得2a b =.由222)ac a b c =--，及余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-===（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b ==由（Ⅰ）知，A为钝角，所以cos B ==.于是4sin 22sin cos 5B B B ==， 23cos 212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55B A B A B A -=-=⨯-=【考点】1.正余弦定理；2.三角恒等变换.【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式 23.【2016高考四川文科】（本题满分12分）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设sin a A =sin b B =sin cC=k (k >0)． 则a =k sin A ，b =k sin B ，c =k sin C ． 代入cos A a +cos B b =sin Cc中，有 cos sin A k A +cos sin B k B =sin sin C k C，变形可得sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B =sin(A +B )．在△ABC 中，由A +B +C =π，有sin(A +B )=sin(π–C )=sin C ， 所以sin A sin B =sin C ． （Ⅱ）由已知，b 2+c 2–a 2=65bc ，根据余弦定理，有 cos A =2222b c a bc +-=35．所以sin A =45．由（Ⅰ），sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B ， 所以45sin B =45cos B +35sin B ， 故sin tan 4cos BB B==． 考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为180︒这个结论，否则难以得出结论．24. 【2016高考天津文数】（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别为a,b,c ，已知sin 2sin a B A =.(Ⅰ)求B ； (Ⅱ)若1cos A 3=，求sinC 的值.【答案】（Ⅰ）6π=B两已知角的和)sin()](sin[sin B A B A C +=+-=π，再根据两角和的正弦公式求解 试题解析：（Ⅰ）解：在ABC ∆中，由BbA a sin sin =，可得A b B a sin sin =，又由A b B a sin 32sin =得B a A b B B a sin 3sin 3cos sin 2==，所以23cos =B ，得6π=B ； （Ⅱ）解：由31cos =A 得322sin =A ，则)sin()](sin[sinB A B AC +=+-=π，所以)6sin(sin π+=A C 6162cos 21sin 23+=+=A A 考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.25.【2015高考陕西，文17】ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =u r与(cos ,sin )n A B =r平行.(I)求A ；(II)若2a b ==求ABC ∆的面积.【答案】(I)3A π=；(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，代入数值求得3c =，由面积公式得ABC ∆面积为1sin 2bc A =.2sin 3B =，从而sin B =，又由a b >知A B >，所以cos B =由sin sin()sin()3C A B B π=+=+，计算得sin C =所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =试题解析：(I)因为//m n u r r，所以sin cos 0a B A -=由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，从而tan A =，由于0A π<< 所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =.2sin 3B =从而sin B =又由a b >知A B >，所以cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin 33B B ππ=+= 所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =. 【考点定位】1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.【名师点睛】1.本题考查解三角形和三角形的面积，利用正弦定理进行边角互化，继而求出A 的值；可利用余弦定理求出c 的值，代入到三角形面积公式求解计算.2.高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 26.【2015高考四川，文19】已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tanA 、tanB 是关于方程x 2＋px －p ＋1＝0(p ∈R )两个实根. (Ⅰ)求C 的大小 (Ⅱ)若AB ＝1，AC，求p 的值由韦达定理，有tanA ＋tanB＝－p ，tanAtanB ＝1－p于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0 从而tan (A ＋B )＝tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tanC ＝－tan (A ＋B )所以C ＝60° (Ⅱ)由正弦定理，得sinB＝sin AC C AB ==解得B ＝45°或B ＝135°(舍去) 于是A ＝180°－B －C ＝75°则tanA ＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==- 所以p(tanA ＋tanB )(2＋1)＝－1－【考点定位】本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理、一元二次方程根与系数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题利用一元二次方程的韦达定理，给出三角形两个内角正切值的关系式，求解过程中要注意对判别式的判定，表面上看，判别式对结论没有什么影响，但这对考查学生思维习惯及其严谨性是很有必要的.第(Ⅰ)问得到C ＝60°后，第(Ⅱ)问中要注意舍去B ＝135°，否则造成失误.属于中档题. 27.【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =o ，且a =求ABC ∆的面积.【答案】（I ）14（II ）1试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac =. 又a b =，可得2b c =,2a c =,由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==. （II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a c b +=.故222a c ac +=，得c a ==.所以D ABC 的面积为1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力【名师点睛】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形复方向，本题考查利用正余弦定理解三角形和计算三角形面积，是基础题.28.【2015高考浙江，文16】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.【答案】(1)25；(2)9(2)由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABCS ab C ∆==⨯⨯=. 【考点定位】1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.【名师点睛】本题主要考查三角函数的基本计算以及解三角形应用.根据两角和的正切公式，计算角A 的正切值，利用同角三角函数基本关系式计算得到第一题的结论；根据角A 的正切值计算得到其正弦值，利用正弦定理计算得到边b 的值，根据三角形内角和为180o 及两角和的正弦公式计算得到角C 的正弦值，有两边一夹角的面积公式计算得到面积.本题属于中等题，主要考查学生三角函数有关公式的正确应用以及正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用，考查学生基本的计算能力.29.【2016高考浙江文数】（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c =2a cosB ．（Ⅰ）证明：A =2B ； （Ⅱ）若cos B =23，求cos C 的值． 【答案】（I ）证明见解析；（II ）22cos 27C =.试题解析：（I ）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 于是，sin sin()B A B =-，又,(0,)A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-，因此，A π=（舍去）或2A B =， 所以，2A B =.（II ）由2cos 3B =，得sin B =，21cos 22cos 19B B =-=-，故1cos 9A =-，sin A =，22cos cos()cos cos sin sin 27C A B A B A B =-+=-+=. 考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.【思路点睛】（I ）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有A ，B 的式子，根据角的范围可证2A =B ；（II ）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得cos 2B ，进而可得cos A 和sin A ，再用两角和的余弦公式可得cos C ．30.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC的面积为,12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sin C 的值; （II ）求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（I ）a =8,sin C=（II得6, 4.b c ==由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a cA C=,得15sin 8C =.（II ）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=【考点定位】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.【名师点睛】解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.31.【2015高考山东，文17】ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知cos ()B A B ac =+==sin A 和c 的值.【解析】在ABC ∆中，由cos B =sin B =因为A B C π++=，所以sin sin()C A B =+=， 因为sin sin C B <，所以C B <，C为锐角，cos C =， 因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+==. 由,sin sin a c A C =可得sin sin c A a C ===，又ac =，所以1c =.【考点定位】1.两角和差的三角函数；2.正弦定理.【名师点睛】本题考查了两角和差的三角函数、正弦定理及函数方程思想，在正确理解题意的情况下，准确计算是关键.解答本题的一个易错点是忽视对角的范围的讨论，使解答陷入误区.本题是一道能力题，属于中等题，重点考查两角和差的三角函数、解三角形等基础知识，同时考查考生的计算能力、思维的严密性、函数方程思想及应用数学知识解决问题的能力.32.【2015湖南文17】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =. （I ）证明：sin cos B A =； (II) 若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 【答案】（I ）略；(II)30,120,30.A B C ===oo o试题解析：（I ）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，所以sin cos B A =。
三年高考(2015-2017)高考数学试题解析32选修部分理
专题32 选修部分1.【2017天津，理11】在极坐标系中,直线4cos()106ρθπ-+=与圆2s i n ρθ=的公共点的个数为___________。
【答案】22.【2017北京,理11】在极坐标系中，点A 在圆22c o s 4s i n 40ρρθρθ--+=上,点P 的坐标为(1,0)，则｜AP ｜的最小值为___________.【答案】1 【解析】试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为222440x y x y +--+= ，整理为()()22121x y -+-= ，圆心()1,2C ,点P 是圆外一点,所以A P 的最小值就是211A C r -=-=。
【考点】1。
极坐标与直角坐标方程的互化;2.点与圆的位置关系。
【名师点睛】1。
运用互化公式:222,s i n ,c o s x y y x ρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标；2。
直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．3.【2015高考安徽,理12】在极坐标中，圆8s i n ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 。
【答案】【解析】由题意2s i n ρρθ=,转化为普通方程为228x y y +=，即22(4)16x y +-=；直线()3R πθρ=∈转化为普通方程为3y x =,则圆上的点到直线的距离最大值是通过圆心的直线上半径加上圆心到直线的距离，设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为，则圆上的点到直线距离的最大值22|04|42461(3)D d r -=+=+=+=+-。
4。
【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线c o s 3s i n10ρθρθ--=与圆2c o s ρθ=交于A ，B 两点，则||A B =______.【答案】2 【解析】试题分析：分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程:直线为310x --=过圆22(1)1x y -+=圆心,因此2A B =，故填：2。
三年高考(2015-2017)高考数学试题分项版解析 专题22 立体几何中的角 理
专题22 立体几何中的角1.【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）A C D 【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，补成四棱柱1111ABCD A B C D - ,则所求角为1111,2,BC D BC BD C D AB ∠=====因此1cos 5BC D ∠==，故选C 。
【考点】异面直线所成的角；余弦定理；补形的应用2.【2017浙江，9】如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α，β，γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B 【解析】试题分析：设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等，因此αγβ<<，所以选B ． 【考点】空间角（二面角）3.【2014新课标，理11】直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（）A. 110B. 25【答案】C【解析】以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线1CC 为轴，则设CA=CB=1，则(0,1,0)B ，11(,,1)22M ，A （1，0，0），1(0,1)2N ，故11(,,1)22BM =-uuu r ，1(,0,1)2AN =-uuu r ，所以cos ,||||BM AN BM AN BM AN ⋅==⋅uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuur 3=C. 【考点定位】异面直线所成的角.【名师点睛】本题考查了空间几何体棱柱的性质，异面直线所成角，空间直角坐标，空间向量的数量积，本题属于中档题，要求学生根据根据已知建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的知识求异面直线所成角的余弦值，注意由已知准确写出所需点的坐标.4.【2014四川，理8】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（） A．3 B．3 C．,33 D．[,1]3【答案】B 【解析】 试题分析：设正方体的棱长为，则11111A C A C A O OC OC ======，所以1111332122cos ,sin 33322AOC AOC +-∠==∠=⨯，11313cos 33AOC AOC +-∠==-∠=. 又直线与平面所成的角小于等于90，而1A OC ∠为钝角，所以sin α的范围为，选B.5.【2016高考新课标1卷】平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为(A)2(B)2(C)3 (D)13【答案】A 【解析】考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.6.【2015高考浙江，理8】如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则（ ）A.A DB α'∠≤B.A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D.A CB α'∠≤【答案】B. 【解析】试题分析：设ADC θ∠=，设2AB =，则由题意1AD BD ==，在空间图形中，设A B t '=，在A CB '∆中，2222222112cos 22112A D DB AB t t A DB A D DB '+-+--'∠==='⨯⨯⨯，在空间图形中，过A '作AN DC ⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N ，M ， 过N 作//NP MB ，连结A P '，∴NP DC ⊥，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，∴A NP α'∠=，在Rt A ND '∆中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=， 同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==， 显然BP ⊥面A NP '，故BP A P '⊥，在Rt A BP '∆中，2222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-，在A NP '∆中，222cos cos 2A N NP A P A NP A N NP α''+-'=∠='⨯2222sin sin (4cos )2sin sin t θθθθθ+--=⨯222222222222cos 2cos 1cos cos 2sin 2sin sin sin sin t t A DB θθθθθθθθ+--'==+=∠+， ∵210sin θ>，22cos 0sin θθ≥，∴cos cos A DB α'≥∠（当2πθ=时取等号）， ∵α，[0,]A DB π'∠∈，而cos y x =在[0,]π上为递减函数，∴A DB α'≤∠，故选B.【考点定位】立体几何中的动态问题7.【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点。
专题24 立体几何中综合问题—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(原卷版)
1.【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△F AB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△F AB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.2.【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.3.【2017山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.（Ⅰ）设是上的一点，且，求的大小；（Ⅱ）当，，求二面角的大小.4．【2016高考天津理数】（本小题满分13分）如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2（I ）求证：EG ∥平面ADF ；（II ）求二面角O -EF -C 的正弦值；（III ）设H 为线段AF 上的点，且AH =23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.5.【2015江苏高考，22】（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长6.【2016年高考北京理数】（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==.（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM AP 的值；若不存在，说明理由.7.【2015高考陕西，理18】（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ；（II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．8.【2014高考陕西版理第17题】四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，.（1）证明：四边形EFGH 是矩形；（2）求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值.9.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD ，E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（Ⅰ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.10.【2014安徽理20】(本题满分13分)如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ．四边形ABCD 为梯形，BC AD //,且BC AD 2=．过D C A ,,1三点的平面记为α，1BB 与α的交点为Q ．（1）证明：Q 为1BB 的中点；（2）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（3）若A A 14=，2=CD ，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角大小．11.【2014年湖北，卷理9】(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .（1）当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.12.【2015湖北理19】（本小题满分12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE （Ⅰ）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC的值．13.【2015湖南理19】如图15，已知四棱台1111ABCD A B C D -上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16AA =，且1AA ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上.（1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（2）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积.14.【2015课标2理19】（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．15.【2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，OD '=（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．。
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专题22 立体几何中的角1.【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）A ．2 B ．5 C ．5D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，补成四棱柱1111ABCD A BC D - ,则所求角为1111,BC D BC BD C D AB ∠====因此1cos 5BC D ∠==，故选C 。
【考点】异面直线所成的角；余弦定理；补形的应用2.【2017浙江，9】如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α，β，γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B 【解析】试题分析：设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等，因此αγβ<<，所以选B ． 【考点】空间角（二面角）3.【2014新课标，理11】直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（） A. 110 B. 25【答案】C【解析】以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线1CC 为轴，则设CA=CB=1，则(0,1,0)B ，11(,,1)22M ，A （1，0，0），1(0,1)2N ，故11(,,1)22BM =-uuu r ，1(,0,1)2AN =-uuu r ，所以cos ,||||BM AN BM AN BM AN ⋅==⋅uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuur 3=10，故选C. 【考点定位】异面直线所成的角.【名师点睛】本题考查了空间几何体棱柱的性质，异面直线所成角，空间直角坐标，空间向量的数量积，本题属于中档题，要求学生根据根据已知建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的知识求异面直线所成角的余弦值，注意由已知准确写出所需点的坐标.4.【2014四川，理8】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（） A． B． C．3 D．[3【答案】B 【解析】 试题分析：设正方体的棱长为，则11111AC AC AO OC OC ======，所以1111332122cos ,sin 33322AOC AOC +-∠==∠=⨯，11313cos AOC AOC +-∠==∠=. 又直线与平面所成的角小于等于90，而1AOC ∠为钝角，所以sin α的范围为，选B.5.【2016高考新课标1卷】平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为(B)213【答案】A 【解析】考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.6.【2015高考浙江，理8】如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则（ ）A.A DB α'∠≤B.A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D.A CB α'∠≤【答案】B. 【解析】试题分析：设ADC θ∠=，设2AB =，则由题意1AD BD ==，在空间图形中，设A B t '=，在A CB '∆中，2222222112cos 22112A D DB AB t t A DB A D DB '+-+--'∠==='⨯⨯⨯，在空间图形中，过A '作AN DC ⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N ，M ， 过N 作//NP MB ，连结A P '，∴NP DC ⊥，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，∴A NP α'∠=，在Rt A ND '∆中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=， 同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==， 显然BP ⊥面A NP '，故BP A P '⊥，在Rt A BP '∆中，2222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-，在A NP '∆中，222cos cos 2A N NP A P A NP A N NP α''+-'=∠='⨯2222sin sin (4cos )2sin sin t θθθθθ+--=⨯222222222222cos 2cos 1cos cos 2sin 2sin sin sin sin t t A DB θθθθθθθθ+--'==+=∠+， ∵210sin θ>，22cos 0sin θθ≥，∴cos cos A DB α'≥∠（当2πθ=时取等号），∵α，[0,]A DB π'∠∈，而cos y x =在[0,]π上为递减函数，∴A DB α'≤∠，故选B.【考点定位】立体几何中的动态问题7.【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点。
设异面直线EM 与AF 所成的角为，则θcos 的最大值为.【答案】25【解析】建立坐标系如图所示.设1AB =，则11(1,,0),(,0,0)22AF E = .设(0,,1)(01)M y y ≤≤，则1(,,1)2EM y =- ，由于异面直线所成角的范围为(0,]2π，所以cos θ==.2281145y y +=-+，令81,19y t t +=≤≤，则281161814552y y t t+=≥++-，当1t =时取等号.所以2cos 5θ==≤=，当0y =时，取得最大值.【考点定位】1、空间两直线所成的角；2、不等式.8.【2017课标3，理16】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③ 【解析】试题分析：由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，在底面内可以过点B ，作BD a ，交底面圆C 于点D ，如图所示，连结DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴ ，连结AD ，等腰△ABD 中，AB AD ==当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠= ，故BD BDE Rt △中，2,BE DE =∴=过点B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连结AF ，由圆的对称性可知BF DE ==ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠= ，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，直线AB 与所成的最大角为90°，④错误. 正确的说法为②③.【考点】异面直线所成的角④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.9.【2015高考浙江，理13】如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．【答案】87. 【解析】试题分析：如下图，连结DN ，取DN 中点P ，连结PM ，PC ，则可知PMC ∠即为异面直 线AN ，CM 所成角（或其补角）易得221==AN PM ， 31222=+=+=CN PN PC ，2222=-=AM AC CM ，∴872222328cos =⨯⨯-+=∠PMC ，即异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为87.【考点定位】异面直线的夹角.10.【2014上海,理6】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）. 【答案】1arccos3. 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意23rl r ππ=，即3l r =，母线与底面夹角为，则1cos 3r l θ==为，1arccos 3θ=. 【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.【名师点睛】圆锥的母线与底面所成的角为圆锥轴截面的底角，圆锥的侧面积为rl π，通过直角三角形可求得r l h θ，，，之间关系.11.【2017课标II ，理19】如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点。
（1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值。
【答案】(1)证明略；(2)5。
【解析】试题解析：（1）取PA 的中点F ，连结EF ，BF 。
因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ,12EF AD =,由90BAD ABC ∠=∠= 得BC ∥AD ，又12BC AD =,所以EF BC ∥。