【推荐】2013年四川省高考数学试卷(文科)

2013年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（）A．∅ B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，1，2，3}2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台3．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数的共轭复数，则复数对应的点是（）A．A B．B C．C D．D4．（5分）设∈，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀∈A，2∈B，则（）A．￢p：∃∈A，2∈B B．￢p：∃∉A，2∈B C．￢p：∃∈A，2∉B D．￢p：∀∉A，2∉B5．（5分）抛物线y2=8的焦点到直线的距离是（）A．B．2 C．D．16．（5分）函数f（）=2sin（ω+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B． C． D．7．（5分）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（）A．B．C．D．8．（5分）若变量，y满足约束条件且=5y﹣的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48 B．30 C．24 D．169．（5分）从椭圆上一点P向轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP （O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．10．（5分）设函数f（）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（）A．[1，e] B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[0，1]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）lg+lg的值是．12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ= ．13．（5分）已知函数f（）=4+（＞0，a＞0）在=3时取得最小值，则a= ．14．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．15．（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）在等比数列{an }中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sin（A+C）=﹣．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．18．（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P（i=1，2，i3）；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1﹣QC 1D 的体积．（锥体体积公式：，其中S 为底面面积，h 为高）20．（13分）已知圆C 的方程为2+（y ﹣4）2=4，点O 是坐标原点．直线l ：y=与圆C 交于M ，N 两点．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）设Q （m ，n ）是线段MN 上的点，且．请将n 表示为m 的函数．21．（14分）已知函数，其中a 是实数．设A （1，f （1）），B （2，f （2））为该函数图象上的两点，且1＜2．（Ⅰ）指出函数f （）的单调区间；（Ⅱ）若函数f （）的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且2＜0，证明：2﹣1≥1；（Ⅲ）若函数f （）的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．2013年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（）A．∅ B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，1，2，3}【分析】找出A与B的公共元素即可求出交集．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，∴A∩B={2}．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台．故选：D．【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．3．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数的共轭复数，则复数对应的点是（）A．A B．B C．C D．D【分析】直接利用共轭复数的定义，找出点A表示复数的共轭复数的点即可．【解答】解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于轴对称．所以点A表示复数的共轭复数的点是B．故选：B．【点评】本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查．4．（5分）设∈，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀∈A，2∈B，则（）A．￢p：∃∈A，2∈B B．￢p：∃∉A，2∈B C．￢p：∃∈A，2∉B D．￢p：∀∉A，2∉B【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀∈A，2∈B 的否定是：￢p：∃∈A，2∉B．故选：C．【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．5．（5分）抛物线y2=8的焦点到直线的距离是（）A．B．2 C．D．1【分析】由抛物线y2=8得焦点F（2，0），再利用点到直线的距离公式可得点F（2，0）到直线的距离．【解答】解：由抛物线y2=8得焦点F（2，0），∴点F（2，0）到直线的距离d==1．故选：D．【点评】熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键．6．（5分）函数f（）=2sin（ω+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B． C． D．【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当=时取得最大值2，得到+φ=+π（∈），取=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．【解答】解：∵在同一周期内，函数在=时取得最大值，=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（）=2sin（2+φ）又∵当=时取得最大值2，∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2π（∈）∵，∴取=0，得φ=﹣故选：A．【点评】本题给出y=Asin（ω+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ω+φ）的图象变换等知识，属于基础题．7．（5分）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分布直方图．【解答】解：根据题意，频率分布表可得：故选：A．【点评】本题考查频率分布直方图的作法与运用，关键是正确理解频率分布表、频率分步直方图的意义并运用．8．（5分）若变量，y满足约束条件且=5y﹣的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48 B．30 C．24 D．16【分析】先根据条件画出可行域，设=5y﹣，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点B（8，0）时的最小值，过点A（4，4）时，5y﹣最大，从而得到a﹣b的值．【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示在坐标系中画出可行域，平移直线5y﹣=0，经过点B（8，0）时，5y﹣最小，最小值为：﹣8，则目标函数=5y﹣的最小值为﹣8．经过点A（4，4）时，5y﹣最大，最大值为：16，则目标函数=5y﹣的最大值为16．=5y﹣的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24．故选：C．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．9．（5分）从椭圆上一点P向轴作垂线，垂足恰为左焦点F，A是椭圆与轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP 1（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D ．【分析】依题意，可求得点P 的坐标P （﹣c ，），由AB ∥OP ⇒AB =OP ⇒b=c ，从而可得答案．【解答】解：依题意，设P （﹣c ，y 0）（y 0＞0）， 则+=1，∴y 0=，∴P （﹣c ，）， 又A （a ，0），B （0，b ），AB ∥OP ，∴AB =OP ，即==，∴b=c ．设该椭圆的离心率为e ，则e 2====，∴椭圆的离心率e=．故选：C ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得点P 的坐标（﹣c ，）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）设函数f （）=（a ∈R ，e 为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f （f （b ））=b 成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[1，e] B ．[1，1+e] C ．[e ，1+e] D ．[0，1]【分析】根据题意，问题转化为“存在b ∈[0，1]，使f （b ）=f ﹣1（b ）”，即y=f （）的图象与函数y=f ﹣1（）的图象有交点，且交点的横坐标b ∈[0，1]．由y=f（）的图象与y=f﹣1（）的图象关于直线y=对称，得到函数y=f（）的图象与y=有交点，且交点横坐标b∈[0，1]．因此，将方程化简整理得e=2﹣+a，记F（）=e，G（）=2﹣+a，由零点存在性定理建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围．【解答】解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b）其中f﹣1（）是函数f（）的反函数因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”，即y=f（）的图象与函数y=f﹣1（）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]，∵y=f（）的图象与y=f﹣1（）的图象关于直线y=对称，∴y=f（）的图象与函数y=f﹣1（）的图象的交点必定在直线y=上，由此可得，y=f（）的图象与直线y=有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，根据，化简整理得e=2﹣+a记F（）=e，G（）=2﹣+a，在同一坐标系内作出它们的图象，可得，即，解之得1≤a≤e即实数a的取值范围为[1，e]故选：A．【点评】本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[0，1]使f （f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）lg+lg的值是 1 ．【分析】直接利用对数的运算性质求解即可．【解答】解：==1．故答案为：1．【点评】本题考查对数的运算性质，基本知识的考查．12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ= ．【分析】依题意，+=，而=2，从而可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴+=，又O为AC的中点，∴=2，∴+=2，∵+=λ，∴λ=2．故答案为：2．【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．13．（5分）已知函数f（）=4+（＞0，a＞0）在=3时取得最小值，则a= 36 ．【分析】由题设函数在=3时取得最小值，可得f′（3）=0，解此方程即可得出a的值．【解答】解：由题设函数在=3时取得最小值，∵∈（0，+∞），∴得=3必定是函数的极值点，∴f′（3）=0，f′（）=4﹣，即4﹣=0，解得a=36．故答案为：36．【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解“函数在=3时取得最小值”，将其转化为=3处的导数为0等量关系．14．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα=﹣，则tan2α===．故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．15．（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是（2，4）．【分析】如图，设平面直角坐标系中任一点P，利用三角形中两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，从而得到四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程，联立方程组求交点坐标即可．【解答】解：如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．∵A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1），∴AC，BD的方程分别为：，，即2﹣y=0，+y﹣6=0．解方程组得Q（2，4）．故答案为：（2，4）．【点评】本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）在等比数列{a n }中，a 2﹣a 1=2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．【分析】等比数列的公比为q ，由已知可得，a 1q ﹣a 1=2，4，解方程可求q ，a 1，然后代入等比数列的求和公式可求 【解答】解：设等比数列的公比为q ， 由已知可得，a 1q ﹣a 1=2，4联立可得，a 1（q ﹣1）=2，q 2﹣4q+3=0 ∴或q=1（舍去）∴=【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及等差中项等基础知识，考查运算求解的能力17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos （A ﹣B ）cosB ﹣sin （A ﹣B ）sin （A+C ）=﹣． （Ⅰ）求sinA 的值； （Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．【分析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A 的余弦值，然后求sinA 的值； （Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B 的正弦函数，求出B 的值，利用余弦定理求出c 的大小，然后求解向量在方向上的投影．【解答】解：（Ⅰ）由，可得，即，即，因为0＜A＜π，所以．（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知．解得c=1，c=﹣7（舍去）．向量在方向上的投影：=ccosB=．【点评】本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．18．（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi（i=1，2，3）；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．【分析】（I）由题意可知，当从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，当从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，当从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，从而得出输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；（II）当n=2100时，列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．【解答】解：（I）当从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个=；数中产生时，输出y的值为1，故P1当从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故=；P2当从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P=；3∴输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；（II ）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i （i=1，2，3）的频率如下：【点评】本题综合考查程序框图、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB=AC=2AA 1=2，∠BAC=120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1﹣QC 1D 的体积．（锥体体积公式：，其中S 为底面面积，h 为高）【分析】（Ⅰ）在平面ABC 内，过点P 作直线l 和BC 平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l 与平面A 1BC 平行．等腰三角形ABC 中，根据等腰三角形中线的性质可得AD ⊥BC ，故l ⊥AD ．再由AA 1⊥底面ABC ，可得 AA 1⊥l ．再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l ⊥平面ADD 1A 1 ．（Ⅱ）过点D 作DE ⊥AC ，证明DE ⊥平面AA 1C 1C ．直角三角形ACD 中，求出AD 的值，可得 DE 的值，从而求得 =的值，再根据三棱锥A1﹣QC 1D 的体积 ==••DE ，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）在平面ABC 内，过点P 作直线l 和BC 平行，由于直线l 不在平面A 1BC 内，而BC 在平面A 1BC 内，故直线l 与平面A 1BC 平行．三角形ABC 中，∵AB=AC=2AA 1=2，∠BAC=120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，∴AD ⊥BC ，∴l ⊥AD ．再由AA 1⊥底面ABC ，可得 AA 1⊥l ．而AA 1∩AD=A ，∴直线l ⊥平面ADD 1A 1 ．（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AC 于点Q ，过点D 作DE ⊥AC ，∵侧棱AA 1⊥底面ABC ，故三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 为直三棱柱，故DE ⊥平面AA 1C 1C ．直角三角形ACD 中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC •cos60°=1，∴DE=AD •sin60°=． ∵===1，∴三棱锥A1﹣QC 1D 的体积 ==••DE=×1×=．【点评】本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．20．（13分）已知圆C 的方程为2+（y ﹣4）2=4，点O 是坐标原点．直线l ：y=与圆C 交于M ，N 两点．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）设Q （m ，n ）是线段MN 上的点，且．请将n表示为m 的函数．【分析】（Ⅰ）将直线l 方程与圆C 方程联立消去y 得到关于的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于0，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围；（Ⅱ）由M 、N 在直线l 上，设点M 、N 坐标分别为（1，1），（2，2），利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2，以及|OQ|2，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出1+2与12，用表示出m ，由Q 在直线y=上，将Q 坐标代入直线y=中表示出，代入得出的关系式中，用m 表示出n 即可得出n 关于m 的函数解析式，并求出m 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）将y=代入2+（y ﹣4）2=4中，得：（1+2）2﹣8+12=0（*）， 根据题意得：△=（﹣8）2﹣4（1+2）×12＞0，即2＞3， 则的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）； （Ⅱ）由M 、N 、Q 在直线l 上，可设M 、N 坐标分别为（1，1），（2，2）， ∴|OM|2=（1+2）12，|ON|2=（1+2）22，|OQ|2=m 2+n 2=（1+2）m 2，代入=+得：=+，即=+=， 由（*）得到1+2=，12=，代入得：=，即m 2=，∵点Q 在直线y=上，∴n=m ，即=，代入m 2=，化简得5n 2﹣3m 2=36，由m 2=及2＞3，得到0＜m 2＜3，即m ∈（﹣，0）∪（0，），根据题意得点Q 在圆内，即n ＞0，∴n==，则n 与m 的函数关系式为n=（m ∈（﹣，0）∪（0，））． 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根的判别式，根与系数的关系，两点间的距离公式，以及函数与方程的综合运用，本题计算量较大，是一道综合性较强的中档题．21．（14分）已知函数，其中a 是实数．设A （1，f （1）），B （2，f （2））为该函数图象上的两点，且1＜2．（Ⅰ）指出函数f （）的单调区间；（Ⅱ）若函数f （）的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且2＜0，证明：2﹣1≥1；（Ⅲ）若函数f （）的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．【分析】（I ）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数f （）的单调区间；（II ）由导数的几何意义知，点A 处的切线的斜率为f ′（1），点B 处的切线的斜率为f ′（2），再利用f （）的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，斜率之积等于﹣1，得出（21+2）（22+2）=﹣1，最后利用基本不等式即可证得2﹣1≥1；（III ）先根据导数的几何意义写出函数f （）在点A 、B 处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=ln 2+（）2﹣1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a 的取值范围．【解答】解：（I ）函数f （）的单调减区间（﹣∞，﹣1），函数f （）的单调增区间[﹣1，0），（0，+∞）；（II ）由导数的几何意义知，点A 处的切线的斜率为f ′（1），点B 处的切线的斜率为f ′（2），函数f （）的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，有f ′（1）f ′（2）=﹣1， 当＜0时，（21+2）（22+2）=﹣1，∵1＜2＜0，∴21+2＜0，22+2＞0， ∴2﹣1=[﹣（21+2）+（22+2）]≥=1，∴若函数f （）的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，有2﹣1≥1； （III ）当1＜2＜0，或0＜1＜2时，f ′（1）≠f ′（2），故1＜0＜2， 当1＜0时，函数f （）在点A （1，f （1））处的切线方程为y ﹣（+21+a ）=（21+2）（﹣1）；当2＞0时，函数f （）在点B （2，f （2））处的切线方程为y ﹣ln 2=（﹣2）； 两直线重合的充要条件是，由①及1＜0＜2得0＜＜2，由①②得a=ln 2+（）2﹣1=﹣ln +（）2﹣1， 令t=，则0＜t ＜2，且a=t 2﹣t ﹣lnt ，设h （t ）=t 2﹣t ﹣lnt ，（0＜t ＜2）则h ′（t ）=t ﹣1﹣=，∴h （t ）在（0，2）为减函数， 则h （t ）＞h （2）=﹣ln2﹣1，∴a ＞﹣ln2﹣1，∴若函数f （）的图象在点A ，B 处的切线重合，a 的取值范围（﹣ln2﹣1，+∞）．【点评】本题以函数为载体，考查分段函数的解析式，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理，注意利用导数求函数的最值．。