14-15版：3.3二倍角的三角函数(二)(创新设计)

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《3.2二倍角的三角函数(二)》教学案

《3.2二倍角的三角函数（二）》教学案第2课时二倍角的三角函数的应用●三维目标 1．知识与技能(1)能用倍角公式推导出半角公式．(2)能运用三角函数的公式进行简单的恒等变换． (3)会用三角函数解决一些简单的实际问题． 2．过程与方法让学生由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法，通过做练习，巩固所学知识．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识的能力、逻辑推理能力和综合分析能力，提高逆用思维的能力．●重点难点重点：角的和、差、倍公式的综合应用．难点：运用所学公式解决简单的实际问题．教学方案设计●教学建议关于半角公式的教学教学时，建议教师从让学生回忆二倍角的三个余弦公式出发，提出问题“如何用角θ的三角函数值，表示角θ2的三角函数值”．在此基础上，让学生自主归纳探究，并总结出半角公式，然后结合半角公式的特点，师生共同总结出公式记忆方法，最后通过典型例题及题组训练熟悉并掌握半角公式．整个教学立足于体现一种“以思导学”的知识生成过程．●教学流程创设问题情境，引导学生推导出降幂公式与半角公式，并总结公式的特点及作用.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握利用降幂公式进行三角函数式的化简与证明的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用和、差、倍角公式研究函数的性质的解题方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握解决三角函数实际应用问题的思路及方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学已知cos α的值，如何求sin α2的值？【提示】由cos α＝1－2sin 2α2得sin 2α2＝1－cos α2， ∴sin α2＝± 1－cos α2. (1)降幂公式①sin 2α2＝1－cos α2； ②cos 2α2＝1＋cos α2； ③tan 2α2＝sin 2α2cos 2α2＝1－cos α1＋cos α.(2)半角公式 ①sin α2＝± 1－cos α2； ②cos α2＝± 1＋cos α2； ③tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.课堂互动探究例1 【思路探究】此式中出现了θ＋15°，θ－15°与2θ，要达到角的统一，需将角θ＋15°，θ－15°向角2θ进行转化，因此，可考虑降幂公式．【自主解答】 cos 2(θ＋15°)＋cos 2(θ－15°)－32cos 2θ ＝1＋θ＋2＋1＋θ－2－32cos 2θ＝1＋12[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]－32cos 2θ ＝1＋12(cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°＋cos 2θcos 30°＋sin 2θsin 30°)－32cos 2θ ＝1＋12×2cos 2θcos 30°－32cos 2θ ＝1＋32cos 2θ－32cos 2θ＝1. 规律方法1．应用降幂公式可将“二次式”转化为“一次式”．2．三角函数式的化简，一般从减少角的种类、减少函数的种类、改变函数运算的结构入手，常采用化弦法、化切法、异角化同角、异次化同次、异名化同名等方法，达到化简的目的．互动探究如将本例改为“sin 2(θ＋15°)＋sin 2(θ－15°)＋32cos 2θ”，如何化简？【解】原式＝1－θ＋2＋1－θ－2＋32cos 2θ＝1－12[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]＋32cos 2θ ＝1－12()2cos 2θ·cos 30°＋32cos 2θ ＝1－32cos 2θ＋32cos 2θ＝1.例2 求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈[π4，7π24]的最小值，并求其单调减区间．【思路探究】化简f x 的解析式→f x＝Aωx ＋φ＋B →ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x ＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4(32cos 2x －12sin 2x ) ＝33＋4(sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ) ＝33＋4sin(π3－2x ) ＝33－4sin(2x －π3)， ∵π4≤x ≤7π24， ∴π6≤2x －π3≤π4.∴sin(2x －π3)∈[12，22]． ∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时， f (x )取最小值为33－2 2.∵y ＝sin(2x －π3)在[π4，7π24]上单调递增， ∴f (x )在[π4，7π24]上单调递减．规律方法1．研究函数性质的一般步骤： (1)对函数式化简；(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质． 2．对三角函数式化简的常用方法：(1)降幂化倍角； (2)升幂角减半；(3)利用f (x )＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝ba )，化同名函数．变式训练(2013·济宁高一检测)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3，x ∈R.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在(0，π3]上的最小值与最大值．【解】 (1)f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3＝cos 2x ＋3sin 2x ＋4＝2sin(2x ＋π6)＋4. 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)∵0＜x ≤π3，∴π6＜2x ＋π6≤5π6，当x ＝π3时，2x ＋π6＝5π6，函数f (x )取得最小值为5. 当x ＝π6时，2x ＋π6＝π2，函数f (x )取得最大值为6.例3 ＝α，问α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？【思路探究】首先根据题意画出图形，然后根据圆的几何性质和四边形面积的求法，将四边形的面积表示为三角函数的形式，最后利用三角函数的性质解决．【自主解答】如图，∵AB 为直径，∴∠APB ＝90°， P A ＝cos α，PB ＝sin α. 又PT 切圆于P 点， ∴∠TPB ＝∠P AB ＝α，∴S 四边形ABTP ＝S △P AB ＋S △TPB ＝12P A ·PB ＋12PT ·PB sin α＝12sin αcos α＋12sin 2α＝14sin 2α＋1－cos 2α4＝14(sin 2α－cos 2α)＋14＝24sin(2α－π4)＋14.∵0＜α＜π2，∴－π4＜2α－π4＜3π4.∴当2α－π4＝π2，即当α＝3π8时，四边形ABTP 的面积最大，最大为1＋24. 规律方法解决实际问题时，应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数的关系式，再利用三角变换、三角函数的性质等进行求解．一般地，求最值的问题需利用三角函数的有界性来解决．变式训练某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积为________．【解析】如图，连结OC ，设∠COB ＝θ，则0°＜θ＜45°，OC ＝1， ∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－BC ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)sin θ ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ ＝12(sin 2θ＋cos 2θ)－12 ＝22cos(2θ－π4)－12，当2θ－π4＝0，即θ＝π8时， S max ＝2－12(m 2)，∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12 m 2. 【答案】2－12 m2易错易误辨析三角函数式化简时忽视角的范围致误典例已知3π2＜α＜2π，化简12＋1212＋12cos α. 【错解】12＋1212＋12cos α＝12＋121＋cos α2＝12＋12cos 2α2＝ 12＋12cos α2＝ 1＋cos α22＝cos 2α4＝cos α4.【错因分析】上述错解在于运用倍角公式从里到外去根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，只是机械地套用公式．【防范措施】应根据三角函数式的值的符号去掉绝对值，因此在去掉三角函数式的绝对值符号时，要注意角的范围问题．【正解】12＋1212＋12cos α＝12＋12 1＋cos α2 ＝ 12＋12cos 2α2＝12＋12|cos α2|.因为3π2＜α＜2π，所以3π4＜α2＜π，所以cos α2＜0，所以原式＝12－12cos α2＝1－cos α22＝sin 2α4＝|sin α4|.因为3π2＜α＜2π，所以3π8＜α4＜π2，所以sin α4＞0，所以原式＝sin α4.(1)二倍角余弦公式变形用来升幂降幂，应灵活掌握：sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2. (2)解决有关的化简、求值、证明时注意二倍角公式的综合运用．(3)对于三角函数在实际问题中的应用，其求解策略为引入恰当的辅助角，建立有关辅助角的三角函数表达式，并利用和、差、倍角公式进行化简整理．由于引入辅助角的恰当与否直接影响该题的计算量，故求解时多注意分析题设，恰当引入．当堂双基达标1．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则sin α2的值为________．【解析】 ∵α∈(0，π)，∴α2∈(0，π2)， ∴sin α2＝1－cos α2＝13＝33.【答案】 332．已知cos α＝－35，且π＜α＜3π2，则cos α2＝________. 【解析】 ∵π＜α＜32π，∴π2＜α2＜34π， ∴cos α2＝－1＋cos α2＝－1－352＝－55.【答案】－553．已知tan α2＝3，则cos α＝________. 【解析】由tan α2＝1－cos α1＋cos α＝3可得：1－cos α1＋cos α＝9，则cos α＝－45. 【答案】－454．化简：＋sin θ＋cos θθ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)．【解】原式＝θ2cos θ2＋2cos 2θ2θ2－cos θ24cos 2θ2＝cos θ22θ2－cos 2θ2|cos θ2|＝－cos θ2cos θ|cos θ2|. ∵0＜θ＜π，∴0＜θ2＜π2. ∴cos θ2＞0. ∴原式＝－cos θ. 课后知能检测一、填空题 1．sin π8＝________. 【解析】 sin π8＝ 1－cos π42＝1－222＝2－22. 【答案】2－222.－23＋43cos 2 15°＝________. 【解析】原式＝－23＋43×1＋cos 30°2 ＝－23＋23＋23cos 30°＝33. 【答案】 333．5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4＝________. 【解析】 ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4<0. sin θ4＝－ 1－cos θ22＝－ 1－a 2.【答案】－1－a 24．函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )的最小正周期为________．【解析】 f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )＝2cos x sin x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin(2x＋π4)＋1.故最小正周期为T ＝2π2＝π. 【答案】 π5.2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________．【解析】原式＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|. ∵54π＜4，∴cos 4＜0，sin 4＜cos 4. ∴原式＝－2cos 4＋2cos 4－2sin 4＝－2sin 4. 【答案】－2sin 46．在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 2A ＋C 2－cos 2B ＝72，则角B 的度数为________．【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋C 2－cos 2B ＝72，得4·1－A ＋C 2－2cos 2B ＋1＝72，∴4cos 2B －4cos B ＋1＝0.∴cos B ＝12，B ＝60°. 【答案】 60°7．(2013·四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan 2α的值是________．【解析】 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α. ∵α∈(π2，π)，sin α≠0， ∴cos α＝－12.又∵α∈(π2，π)，∴α＝23π，∴tan 2α＝tan 43π＝tan(π＋π3)＝tan π3＝ 3. 【答案】38．设f (x )＝1＋cos 2x π2－x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)的最大值为2＋3，则常数a ＝________. 【解析】 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4) ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)＝2sin(x ＋π4)＋a 2sin(x ＋π4)＝(2＋a 2)sin(x ＋π4)．依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝±3.【答案】 ±3二、解答题9．设π＜θ＜2π，cos θ2＝a ，求(1)sin θ的值；(2)cos θ的值；(3)sin 2θ4的值．【解】 (1)∵π＜θ＜2π，∴π2＜θ2＜π，又cos θ2＝a ，∴sin θ2＝1－cos 2θ2＝1－a 2， ∴sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2a 1－a 2. (2)cos θ＝2cos 2θ2－1＝2a 2－1. (3)sin 2θ4＝1－cos θ22＝1－a2. 10．若π＜α＜3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α. 【解】 ∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cos α2＜0，sin α2＞0. ∴原式＝sin α2＋cos α222|cos α2|－2|sin α2|＋sin α2－cos α222|cos α2|＋2|sin α2|＝sin α2＋cos α22－2sin α2＋cos α2＋sin α2－cos α222sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2. 11．(2013·山东高考)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值．【解】 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx＝－sin(2ωx －π3)．因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin(2x －π3)．当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3. 所以－32≤sin(2x －π3)≤1.因此－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值分别为32，－1.教师备课资源备选例题已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin 2β＝sin θcos θ，求证：2cos 2α＝cos 2β.【思路探究】观察问题的条件和结论，发现被证的等式中不含角θ，因此从已知条件中消去角θ，问题即得证．【自主解答】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2sin α＝sin θ＋cos θ， ①sin 2β＝sin θcos θ. ②①2－②×2，得4sin 2α－2sin 2β＝1.变形为1－2sin 2β＝2－4sin 2α，则有cos 2β＝2cos 2α.规律方法对于给定条件的三角恒等式的证明，常用的方法有直推法和代入法．将条件角转化为结论角后，由条件等式直接推到结论等式，就是直推法；有时从条件等式中解出关于某个角的某个三角函数值，代入结论等式便消去某个角，从而将问题转化为三角恒等式的证明问题，这就是代入法的基本思想方法．备选变式已知cos θ＝cos α＋cos β1＋cos αcos β，求证：tan 2θ2＝tan 2α2tan 2β2.【证明】 ∵1－cos θ1＋cos θ＝2sin 2θ22cos 2θ2＝tan 2θ2，同理有1－cos α1＋cos α＝tan 2α2，1－cos β1＋cos β＝tan 2β2，∴tan 2θ2＝1－cos θ1＋cos θ＝1－cos α＋cos β1＋cos αcos β1＋cos α＋cos β1＋cos αcos β＝1＋cos αcos β－cos α－cos β1＋cos αcos β＋cos α＋cos β ＝－cos α－cos β＋cos α＋cos β ＝tan 2α2tan 2β2.。

【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-2二倍角的三角函数教案

【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-2二倍角的三角函数教案整体设计教学分析“二倍角的三角函数”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具；通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想；因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰的知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师都要放心地让学生去做．因为《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”．所谓体验，从教育的角度看，是一种亲历亲为的活动，是一种积极参与活动的学习方式．让学生亲历经验，不但有助于通过多种活动和探究获取数学知识，更重要的是学生在体验中能够逐步掌握数学学习的一般规律和方法．三维目标1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．重点难点教学重点：二倍角三角函数公式的推导及其应用．教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(旧知导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后找一个学生把这六个公式写在黑板上．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sin α＝35，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式．推进新课新知探究从两角和的公式中推导出倍角公式，并用公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明．活动：学生默写公式S (α＋β)、C (α＋β)、T (α＋β)，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α、β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α、β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入下一个问题，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的坐位上简化；教师再与学生一起订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βα＝2sin αcos α(S 2α)； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βα＝cos 2α－sin 2α(C 2α)； tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan βα＝2tan α1－tan 2α(T 2α)．这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦、余弦、正切公式，并指导学生阅读课本，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”；点拨学生结合sin 2α＋cos 2α＝1思考，二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．这时教师指出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)，倍角公式是和角公式的特例．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．这组公式用途很广，与学生一起观察公式的特征并记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角；二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．并引导学生观察思考并初步感性认识到：(1)这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去；(2)通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(3)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(4)公式(S 2α)，(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠12k π＋π4和α≠k π＋π2(k∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α＝k π＋π2，k∈Z 时，虽然tan α不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是3α2的二倍，α3是α6的二倍，3α是3α2的二倍，π2－2α是π4－α的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．例如：sin α2＝2sin α4cos α4，cos α3＝cos 2α6－sin 2α6等等．本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够如：sin3αcos3α＝12sin6α，4sin α4cos α4＝2(2sin α4cos α4)＝2sin α2， 2tan40°1－tan 240°＝tan80°，cos 22α－sin 22α＝cos4α，tan2α＝2tan α1－tan 2α等等．一般情况下：sin2α≠2sin α，cos2α≠2cos α，tan2α≠2tan α.若sin2α＝2sin α，则2sin αcos α＝2sin α，即sin α＝0或cos α＝1，此时α＝k π(k∈Z )．若cos2α＝2cos α，则2cos 2α－2cos α－1＝0，即cos α＝1－32(cos α＝1＋32舍去)．若tan2α＝2tan α，则2tan α1－tan 2α＝2tan α，∴tan α＝0，即α＝k π(k∈Z )．应用示例思路1例1课本本节例1.1．不查表：求值sin15°＋cos15°.解：原式＝＋2＝sin 215°＋2sin15°cos15°＋cos 215°＝62. 点评：本题在两角和与差的三角函数的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力．2．若sin θ2＋cos θ2＝12，则cos2θ＝________. 答案：－183．函数f(x)＝2sin 2(x 2＋π4)－1是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数答案：C4．若cos2αα－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12C.12D.72答案：C5．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°－cos15° B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°答案：B例2证明1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝tan θ. 活动：教师先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥自己的聪明才智，战胜它，并力争一题多解．教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发．点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励．强调“1”的妙用，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．证明：方法一：左边＝sin2θ＋－cos2θsin2θ＋＋cos2θ＝2sin θcos θ＋＋1－2cos 2θ2sin θcos θ＋＋2cos 2θ－＝sin θcos θ＋1－cos 2θsin θcos θ＋cos 2θ＝sin θcos θ＋sin 2θsin θcos θ＋cos 2θ＝sin θθ＋sin θcos θθ＋cos θ＝tan θ＝右边．所以原式成立．方法二：左边＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋sin 2θ－cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋cos 2θ－sin 2θ＝sin2θ＋2sin 2θsin2θ＋2cos 2θ＝2sin θθ＋cos θ2cos θθ＋cos θ＝tan θ＝右边．方法三：左边＝＋sin2θ－cos2θ＋sin2θ＋cos2θ＝2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ－2θ－sin 2θ2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ＋2θ－sin 2θ＝θ＋cos θ2－θ＋sin θθ－sin θθ＋cos θ2＋θ＋sin θθ－sin θ ＝θ＋cos θθ＋cos θ＋sin θ－cos θθ＋cos θθ＋cos θ＋cos θ－sin θ＝θ＋cos θθθ＋cos θθ＝tan θ＝右边．点评：课本上只给出了一种方法，教学中可引导学生从不同角度观察题目得到不同解法，以训练应用公式的灵活性．以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其是“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点．在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是．思路2例1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题．本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式．教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式．并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍，80°是40°的2倍，故可考虑逆用二倍角公式．解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝23·sin20°cos20°cos40°cos80°23·2sin20°＝sin160°16sin20°＝sin20°16sin20°＝116. 点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律．2在△ABC 中，cosA ＝45，tanB ＝2，求tan(2A ＋2B)的值．活动：此题结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题．教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A ＋B ＋C ＝π(0<A<π，0<B<π，0<C<π)，就是其中的一个隐含条件．可先让学生讨论探究，教师适时点拨．学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系．由于对2A ＋2B 与A ，B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路，所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别．不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预．在学生自己尝试解决问题后，教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结．基础较好的班级还可以把求tan(2A ＋2B)的值改为求tan2C 的值．解：方法一：在△ABC 中，由cosA ＝45，0<A<π，得 sinA ＝1－cos 2A ＝1－452＝35，所以tanA ＝sinA cosA ＝35×54＝34，tan2A ＝2tanA 1－tan 2A ＝2×341－342＝247. 又tanB ＝2，所以tan2B ＝2tanB 1－tan 2B ＝2×21－22＝－43.于是tan(2A ＋2B)＝tan2A ＋tan2B 1－tan2Atan2B ＝247－431－247－43＝44117. 方法二：在△ABC 中，由cosA ＝45，0<A<π，得sinA ＝1－cos 2A ＝1－452＝35. 所以tanA ＝sinA cosA ＝35×54＝34.又tanB ＝2，所以tan(A ＋B)＝tanA ＋tanB 1－tanAtanB ＝34＋21－34×2＝－112.于是tan(2A ＋2B)＝tan[2(A ＋B)]＝＋1－tan 2＋＝－1121－－1122＝44117. 点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别，其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考，以拓展学生的视野. 变式训练化简：1＋cos4α＋sin4α1－cos4α＋sin4α. 解：原式＝2cos 22α＋2sin2αcos2α2sin 22α＋2sin2αcos2α＝2cos2αα＋sin2α2sin2αα＋cos2α＝cot2α.知能训练课本本节练习1、2、3、4.作业求值：tan70°cos10°(3tan20°－1)．解：原式＝2tan70°cos10°32sin20°－12cos20°cos20°＝2tan70°cos10°－sin10°cos20°＝sin70°cos70°·－sin20°cos20°＝－1. 课堂小结1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练的运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．设计感想1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式．本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生的记忆中．本节课的教学设计流程还是比较流畅的．2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．学生会体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣．备课资料一、关于三角变换中的“一致代换”法在三角变换中，“一致代换”法是一种重要的方法，所谓“一致代换”法，即在三角变换中，化“异角”“异名”“异次”为“同角”“同名”“同次”的方法．它主要包括：在三角函数式中，①如果只含同角三角函数，一般应从变化函数名称入手，尽量化为同名函数，常用“化弦法”；②如果含有异角，一般应从变化角入手，尽量化不同角为同角，变复角为单角；③如果含有异次幂，一般利用升幂或降幂公式化异次幂为同次幂．二、备用习题1．求值：1sin10°－3cos10°. 2．化简：cos36°cos72°.3．化简：cos αcos α2cos α22cos α23·…·cos α2n －1.4．求值：sin6°sin42°sin66°sin78°.5．若cos(π4＋x)＝35，17π12<x<7π4，求sin2x ＋2sin 2x 1－tanx的值． 6．已知cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos(α＋β)的值．参考答案：1．解：原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝12cos10°－32sin10°cos10° ＝－2sin10°cos10°＝4sin －sin20°＝4.2．解：原式＝2sin36°cos36°cos72°2sin36°＝2sin72°cos72°4sin36°＝sin144°4sin36°＝14. 3．解：先将原式同乘除因式sin α2n －1，然后逐次使用倍角公式，则原式＝sin2α2n sin α2n －1. 4．解：原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝sin 6°cos12°cos24°cos48° ＝24cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°24cos6°＝sin96°24cos6°＝cos6°16cos6°＝116. 5．解：原式＝2sinxcosx ＋2sin 2x 1－tanx ＝2sinxcosx 1＋tanx 1－tanx ＝sin2xtan(π4＋x)． ∵17π12<x<7π4，∴5π3<π4＋x<2π.又cos(π4＋x)＝35，∴sin(π4＋x)＝－45，tan(π4＋x)＝－43.∴sin2x＝sin[2(π4＋x)－π2]＝－cos[2(π4＋x)]＝－[2cos 2(π4＋x)－1]＝725. 故原式＝725×(－43)＝－2875. 6．解：∵cos(α－β2)＝－19，π2<α<π，0<β<π2，∴π2<α－β2<π.∴sin(α－β2)＝459. ∵sin(α2－β)＝23，π2<α<π，0<β<π2，∴－π4<α2－β<π2.∴cos(α2－β)＝53. ∵cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝(－19)×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝－239729.第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回顾上节课学习的三角函数倍角公式，快速写出并说出各公式的用途．思路2.三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和、差、倍角等关系，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决．如2α＝(α＋β)＋(α－β)＝α＋α＝(π4＋α)－(π4－α)等．本节我们进一步加深对所学倍角公式的灵活运用．推进新课新知探究进一步运用倍角公式进行三角函数式的化简、求值与三角恒等式的证明．采用“cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2”可将二次降为一次，故该公式又称为“降幂扩角公式”，这是一组非常有用的三角公式，对于我们进行三角函数式的化简、求值以及三角恒等式变换有很大的帮助．应用示例思路1例1课本本节例3.例2课本本节例4.例3课本本节例5.变式训练如图1，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．图1活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到S ＝AB·BC＝(cos α－33sin α)sin α＝sin αcos α－33sin 2α. 求这种y ＝asin 2x ＋bsinxcosx ＋ccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(x＋φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行：(1)找出S 与α之间的函数关系；(2)由得出的函数关系，求S 的最大值．解：在Rt△OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α.在Rt△OAD 中，DA OA＝tan60°＝3，所以OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α. 所以AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB·BC＝(cos α－33sin α)sin α＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin2α＋36cos2α－36＝13(32sin2α＋12cos2α)－36 ＝13sin(2α＋π6)－36. 由于0<α<π3，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36. 因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36. 点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y ＝asinx ＋bcosx 的函数转化为形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申，即可以去掉“记∠COP＝α”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD ＝x ，S ＝x(1－x 2－33x)，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.思路2例1已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α、β∈(0，π)，求2α－β的值．活动：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论．即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝12， ∴tan2(α－β)＝α－β1－tan 2α－β＝43. 从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－β]tan β＝43－171＋43×17＝25212521＝1. 又∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝13<1，且0<α<π，∴0<α<π4.∴0<2α<π2. 又tan β＝－17<0，且β∈(0，π)， ∴π2<β<π，－π<－β<－π2. ∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0，π)，则求cos α.若α∈(－π2，π2)，则求sin α等．例2若α、β为锐角，且3sin 2α＋2sin 2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，求证：α＋2β＝π2. 证明：已知两个等式可化为3sin 2α＝cos2β，①3sin αcos α＝sin2β，②①÷②，得sin αcos α＝cos2βsin2β，即cos αcos2β－sin αsin2β＝0， ∴cos(α＋2β)＝0.∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋2β<3π2.∴α＋2β＝π2. 点评：由条件等式证明“角＋角＝角”的问题，一般转化为证明相应的三角函数值问题．知能训练课本本节练习1、2、3.课堂小结1．在解决三角函数式的化简问题时，经常从以下三个方面来考虑：一看函数式中所涉及的角之间的关系；二看函数式中所涉及的三角函数的名称之间的关系；三看所涉及的三角函数的幂．遵循的原则是：不同角化同角，不同名化同名，高次降低次．2．若所要化简或证明的三角函数式中含有多个名称的三角函数，我们常用的方法是将正切化为正弦、余弦，若是有常数和分式相加，我们采取的措施是通分，而后再化简．即对于形如例2的化简证明问题我们采用的措施是“切(正切)化弦(正弦、余弦)，通分化简，逆用公式，求得结果”．作业课本习题3.2 10、12.设计感想本节内容的几道例题都是二倍角公式的进一步应用，例3是有关几何的应用题．训练学生建立适当的数学模型来解决实际问题．教学中重在让学生体会二倍角公式的“降幂”作用，深刻领悟二倍角的结构特点及本质属性．对于三角函数条件等式的证明题，课本是从角的变换的角度来探求证明方法的．教学时要注意引导学生仔细体会、灵活掌握．备课资料备选习题1．已知x 为锐角，且sinx sin x 2＝85，则cosx 等于( ) A.45 B.825 C.1225 D.7252.2－sin 22＋cos4的值是( )A ．sin2B ．－cos2 C.3cos2 D ．－3cos23．函数y ＝cos 2x －sin 2x ＋2sinxcosx 的最小值是( ) A. 2 B ．－ 2C ．2D ．－24．若tanx ＝2，则tan(π4＋2x)＝________. 5．化简2sin(45°＋α)sin(45°－α)＝________.6．化简：1＋cos2αcot α2－tan α2. 7．设α是第二象限角，sin α＝35，求sin(π6－2α)的值． 8．求证：sin 2α＋cos αcos(π3＋α)－sin 2(π6－α)的值是与α无关的定值． 9．已知cos(α＋π4)＝35(π2≤α＜3π2)，求cos(2α＋π4)．参考答案：1. D2.A 〔提示：－sin 2＋＋＝cos 22＋2cos 22＝－3cos2〕 3．B 〔提示：y ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)≥－2〕 4．－17〔提示：由tanx ＝2得tan2x ＝－43，原式＝1＋tan2x 1－tan2x ＝－17〕 5．cos2α 6.12sin2α. 7．解：∵α是第二象限角，且sin α＝35，∴cos α＝－45. ∴sin2α＝－2425，cos2α＝725.∴sin(π6－2α)＝12cos2α－32sin2α＝7＋24350. 8．证明：原式＝12(1－cos2α)－12[1－cos(π3－2α)]＋cos αcos(π3＋α) ＝12[cos(π3－2α)－cos2α]＋cos α(cos π3cos α－sin π3sin α) ＝12(cos π3cos2α＋sin π3sin2α－cos2α)＋12cos 2α－32cos αsin α ＝14cos2α＋34sin2α－12cos2α＋14(1＋cos2α)－34sin2α＝14， ∴sin 2α＋cos αcos(π3＋α)－sin 2(π6－α)的值与α无关．9．分析：本题的解法很多，入口也较浅．为了求cos(2α＋π4)的值，可将cos(2α＋π4)适当变形，即进行三角式的恒等变形，以便与已知条件沟通起来．例如由于cos(2α＋π4)＝cos2αcos π4－sin2αsin π4，因此只需由已知条件求出cos2α及sin2α即可．又如由于cos(2α＋π4)＝cos αcos(α＋π4)－sin αsin(α＋π4)，因此只需由已知条件求出sin(α＋π4)及sin α、cos α同样也能获解．由此可见，灵活运用公式是关键．解：∵π2≤α＜3π2，cos(α＋π4)＝35＞0，∴7π4＞α＋π4＞3π2，得5π4＜α＜3π2. ∴5π2＜2α＜3π.从而sin2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4)＝725， cos2α＝－1－sin 22α＝－2425.∴cos(2α＋π4)＝22(cos2α－sin2α)＝－31230.。

高中数学：3.3二倍角的三角函数二教案(北师大必修4)

3.3 二倍角的三角函数一、复习回首： 1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：2、提出问题：公式中假如，公式会变得怎样？二、学生演板：sin 2 2 sin cos cos2cos2sin 2 2 cos2 1 1 2 sin 2tan 22 tan1tan2这组公式有何特色？应注意些什么？三、公式剖析： 1．每个公式的特色，嘱记：特别是“倍角”的意义是相对的，如：是的48倍角 .2 ．熟习“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）3．特别注意公式的三角表达形式，且要擅长变形：cos21cos2,sin 21cos2这两个形式此后常用 .例 1. 求值：22①． sin2230’cos2230’=1sin 452 24②． 2 cos21cos4282③． sin 2cos28cos4282④．8 sin cos cos cos4sin cos cos2sin cossin162 484824122424121212例2.化简①． (sin 5cos5)(sin5cos5)sin 25cos25cos53 12121212121262②．cos42sin 4(cos22sin 2)(cos2sin 2)cos 2222③．11 2 tan tan 2tan1tan1tan 21④． 1 2 cos2cos212cos2 2 cos212例 3、已知sin 5 ,(,) ，求sin2， cos2， tan2的值。

132解：∵ sin5 , (, )∴ cos1 sin 212 132120 13∴ sin2= 2sincos=169cos2=1 2 sin 2119120169tan2=1191 例 4.cos20 cos40 cos80 = sin 20 cos 20 cos 40 cos80sin 40 cos 40 cos802sin 20sin 201 1sin 1604sin 80 cos8018sin 20sin 208例 5. 求函数 y cos 2xcos xsin x 的值域 .解： y1 cos 2x 1 sin 2x2sin( 2x4) 1 ————降次2222四、公式变形：sin21cos ,cos 21cos , tan 2 2 1 cos 22221 cos[ 展现投影 ] 这组公式有何特色？应注意些什么？7 ，求 sin, cos , tan 的值 .例 6. 已知 cos252 22例 7. 已知 sin4 ，( ,3) ，求 sin, cos , tan 的值 .522 22五、稳固小结：1．公式的特色要嘱记：特别是“倍角”的意义是相对的，如：是的倍角 .482．熟习“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次） .3．特别注意公式的三角表达形式，且要擅长变形：cos 21 cos2 ,sin 21 cos2这两个形式此后常用 .224. 半角公式左侧是平方形式，只需知道角终边所在象限，就能够开平方；公式的“实质”2是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切 .25．注意公式的构造，特别是符号 .六、评论设计七、课后反省：。

2.2《二倍角的三角函数(2)》教学设计

2.2《二倍角的三角函数（2）》一、内容分析本节课是高中数学第二册《第2章二倍角的三角函数》的第二课时，前面已经学习了诱导公式，两角和差公式等三角函数公式，本节课将加深对二倍角公式的运用，并结合所学公式解决一些综合性问题，同时引导学生学会分析问题，提高解决实际问题的能力。

课程标准对本节课内容提出要求：1.能熟练运用二倍角公式进行三角恒等变换；2.将数学建模渗透于教学过程之中，强化数学核心素养的达成.二、教学目的通过例题，熟练掌握二倍角公式的“正用”，“逆用”以及“变形用”，结合诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决综合性问题，增强灵活运用数学知识的能力；运用公式解决一些简单实际应用问题，引导学生通过自主、合作、探究学习，构建数学模型，培养建模思维以及逻辑推理能力.三、重点难点重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式的综合运用.难点：建立三角函数模型，运用公式解决实际问题.四、核心素养直观想象、数学运算、数据分析、数学抽象、逻辑推理、数学建模．五、教学准备课件.六、教学流程->->->->七、教学过程15==22cos x-㈡新知探索问题1：二倍角公式有哪些变形形式？问题2：观察这些变形公式，你是如何记忆这些公式的？答：升幂缩角，降幂扩角通过问题，引发学生思考，引出降幂公式和升幂公式.加深学生对二倍角公式的记忆和理解.2分钟㈢典例剖析例1．已知α为第二象限的角，3sin5α=，β为第一象限角，5cos13β=，求()tan2αβ-的值.例2．化简：222sin sin sin66ππααα⎛⎫⎛⎫-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例3. 证明：tan tan2tan244ππααα⎛⎫⎛⎫+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例4．求证：半径为R的圆的内接矩形的最大面积为22R.1. 给出例1，引导学生综合运用所学知识解决问题.2. 给出例2和变式1，引导学生思考二倍角公式的“变形用”.3. 给出例3，引导学生熟练运用公式，证明三角恒等式.4. 给出例4，利用GGB软件演示矩形的面积随角度的变化而变化，引发学生思考，如何利用所学知识解决实际应用问题.例1、例2、例3综合了二倍角的正切公式与诱导公式，两角差公式，对综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力有一定的要求.解决化简求值和证明问题.例2用两种方法解答，让学生体会二倍角公式的作用.例4是建模思想的运用，强调“贵在设角”，构造三角函数模型，渗透数学建模思想.18分钟㈣讨论升华问题1：三角函数求值问题的一般思路？答：（1）题设条件变形；（2）结论变形.问题2：化简的方法？答：（1）弦切互化，异名化同名，异角化同角；（2）降幂或升幂.问题3：证明三角恒等式的方法？答：（1）综合法;（2）比较法;（3）分析法.这三个问题分是对三个典例的总结归纳，强调培养学生自主总结规律方法的能力.总结一般规律，寻找通性通法.5分钟㈤练习巩固练习1.已知α是第一象限角，且3cos5α=，求12cos24sin2παπα⎛⎫+-⎪⎝⎭⎛⎫+⎪⎝⎭的值.练习2. 化简()222cos cos cos33ππαααπ⎛⎫⎛⎫-++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭练习3. 如图，C是以AB为直径的圆上一点，2OABCSSπ=，求证：ABC的较小锐角为15.依次给出练习1、练习2，练习3，学生在学案、或书、或练习纸上写出各题答案.依次展示两个学生练习，请其余学生请纠正错误，指出所应用的知识点.练习1强化学生记忆公式，利用公式熟练进行三角函数恒等变换.练习2和例题3形式类似，一个为正弦，一个为余弦，称为“对偶命题”，显示对称美、和谐美.练习3是对例题3的巩固，提高学会分析问题，构建模型解决问题能力.10分钟㈥归纳小结本节课学习了一些什么？总结.系统梳理整节课所学内容.2分钟八、板书设计大致板书如下：（二倍角公式）（二倍角公式变形）课件投影区域（三角函数求值步骤）（化简的方法）（证明三角恒等式的方法）。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式(2)教学设计

（2）在利用二倍式公式进行化简时，要熟练掌握各式之间的联系，熟悉哪些式能实现哪种转化，选择适当的转化公式进行应用。
五、课后作业:学案第1、2、3、4、7题
学生默写公式，黑板上学生的板书完成后，老师点评，学生参照老师给出的准确答案进行比对，加深记忆。
教师（例题引入）：为了加深对二倍角公式的进一步理解和认识，本节课我们先将着重来学习一下如何运用二倍角公式进行化简，求值。
二、典例分析
例1、化简
（1）
(2)
解：（1）原式＝
（2）原式＝
＝
＝
＝
变式训练1、化简与求值
（1）
（2）
解：（1）原式＝
＝
（2）原式＝
＝
＝、
＝
＝
＝
例2、已知 , ,求的值。
解：∵
∴
去括2、已知
解：∵
∴
∴
例3、已知函数
，
（1）求的最小正周期
（2）求的最大值以及取得最大值时的取值。
设计意图：
掌握做题方法与解题思想，进一步巩固二倍角公式的变形应用
设计意图：二倍角公式的变形应用
设计意图：二倍角公式与和差公式及三角函数图像性质的综合应用，及培养学生善于发现和勇于探索的精神。
设计意图：学生及时运用本节课的知识点解决问题，巩固所学内容，加深印象。
设计意图：加深对本节知识的理解，让学生懂得如何归纳本节课的收获。
二倍角公式
1、；
2、；
3、。注意：
2、学生板书完成之后，进行点评，并强调二倍角正切公式中角度取值范围的限定以及二倍角的角度的形式是多样的，并不仅限于2α是α的二倍的形式。
注意：二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍, 是的二倍, 是 - 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如

高中数学 3.2 二倍角的三角函数(第2课时)教案新人教版必修4

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 3.2 二倍角的三角函数（第2课时）教案新人教版必修4教学目标：1．运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；2．能运用公式解决一些简单的实际问题；3．培养学生观察、推理的思维能力．教学过程：一、复习引入二倍角公式：sin 22sin cos ααα=； 22cos 2cos sin ααα=-； 22tan tan 21tan ααα=-； 2cos 22cos 1αα=-；2cos 212sin αα=-．（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．（2）二倍角公式为仅限于2α是α的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的（3）熟悉“倍角”与“二次”的关系（括角—降次，缩角—升次）．（4）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-== 这两个形式今后常用．二、数学运用1. 例题.例1 化简222sin ()sin ()sin 66ππααα-++-。

法一：由倍角公式2cos 212sin αα=-,得21cos 2sin 2αα-=, 对原式进行降幂化简,角由单角变为倍角．这里用到了21cos 2sin 2αα-=,它和21cos2cos 2αα+=，21cos2tan 1cos2ααα-=+统称为降幂公式．法二: 两角和差的正弦展开．例2 求证: sin50(13tan10)1+=例 3 求函数44sin cos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值,并写出该函数在[]0,π上的单调递增区间．注: 解决三角函数问题,首先用公式进行化简,再按要求进行求解．例4 已知11tan(),tan ,,(0,),2.27αββαβπαβ-==-∈-求的值这是一个由函数值求角的问题,这就需要求出这个角的某个三角函数值,并需要判断这个角所在的范围．例5 在半圆形钢板上截取一块矩形材料,怎样截取能使这个矩形的面积最大？2. 练习．（1）证明：①B A B A A 2cos 2cos )(sin B (cos 22=--+）②θθθ2cos )tan 1(cos 22=-（2）求函数y=的最小值x x x x cos sin 2sin cos 22+-（3）11tan ,tan ,273αβαβαβ==+已知且，都是锐角，求的值. （4）扇形AOB 的半径为1，中心角为 60，PQRS 是扇形内接矩形，问P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大，并求这个最大值．三、小结1．在解决三角函数式的化简问题时，经常从以下三个方面来考虑：一看函数式中所涉及的角之间的关系；二看函数式中所涉及的三角函数的名称之间的关系；三看所涉及的函数的幂．遵循的原则是：不同角化同角，不同名化同名，高次降低次．2．若所要化简或证明的三角函数式中含有多个名称的三角函数，我们常用的方法是将正切化为正弦、余弦，若是有常数和分式相加，我们采取的措施是通分，而后再化简．。

3.2二倍角的三角函数(2)(2015年人教A版数学必修四导学案)

课题:
班级：【学习目标】【课前预习】 sin 2 1、
3.2 二倍角的三角函数（2）学号：第学习小组
姓名：
； cos 2
= ； sin 2
=
；
tan 2 _______________ ；cos2
。
2、化简： (sin
5 5 5 5 cos )(sin cos )= 12 12 12 12
6、求值 tan70 cos10( 3 tan20 1)
8、如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，那么 l 的长度取决于角的大小，探求 l ，之间的关系，并导出用表示 l 的函数关系式。
C

D
l
A
E
6cm
B
1 1 , tan , 且 , 都是锐角，求 2 的值。 7 3
4、试说明 y sin 2 x与y sin 2 x 图象之间有什么关系？
【课后巩固】
1、已知 sin x =
5 1 2 x ，则 sin ( ) 的值等于______________. 2 4 2
6、求值 tan70 cos10( 3 tan20 1)
8、如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，那么 l 的长度取决于角的大小，探求 l ，之间的关系，并导出用表示 l 的函数关系式。
C

D
l
A
E
6cm
B
课题:
班级：
3.2 二倍角的三角函数（2）学号：第学习小组

12
cos 2
（3） 2 cos20 sin 2 10
（4）

《二倍角的三角函数》公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】

《§3二倍角的三角函数》教学设计教材通过通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数，在温故知新中锻炼学生对知识的迁移能力。

【知识与能力目标】1、理解二倍角公式的推导；2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式；3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。

【过程与方法目标】通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数。

【情感态度价值观目标】通过推导二倍角三角函数的过程，培养学生温故知新的能力。

【教学重点】二倍角公式的推导。

【教学难点】能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、复习导入。

回顾两角和的正弦、余弦、正切函数。

()sin αβ+=sin cos cos sin αβαβ+()cos αβ+=cos cos sin sin αβαβ-二、探究新知。

将上述公式里的β换成α，结果是什么？二倍角公式：对于 2C α 能否有其它表示形式？公式中的角是否为任意角？注意：①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。

②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。

因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。

凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。

③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。

三、例题解析。

12cos ,(,)sin cos tan 21322ααππααα=-∈已知，求，，的值。

例题1()tanαβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-22tan tan 2,()1tan 242k k ααααα=≠+≠+-πππ且πR α∈R α∈2cos 22cos 1αα=-2cos 212sin αα=-例题2求下列各式的值：四、巩固练习。

(完整版)《二倍角的三角函数》教案完美版

《二倍角的三角函数》教案教学目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明；引导学生发现数学规律,让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用,培养学生的创新意识。

教学重点:二倍角公式的推导及简单应用。

教学难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。

教学过程：Ⅰ.课题导入前一段时间,我们共同探讨了和角公式、差角公式,今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的。

当两角相等时，两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.先回忆和角公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ当α＝β时，sin(α＋β)＝sin2α＝2sinαcosα即：sin2α＝2sinαcosα（S2α)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ当α＝β时cos（α＋β）＝cos2α＝cos2α－sin2α即：cos2α＝cos2α－sin2α（C2α)tan（α＋β)＝错误!当α＝β时，tan2α＝错误!Ⅱ.讲授新课同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α还可以变形为：cos2α＝2cos 2α－1或:cos2α＝1－2sin 2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式S 2α、C 2α中，角α可以是任意角；但公式T 2α只有当α≠错误!＋kπ及α≠错误!＋错误! (k ∈Z )时才成立，否则不成立（因为当α＝错误!＋kπ，k ∈Z 时，tan α的值不存在;当α＝错误!＋错误!，k ∈Z 时tan2α的值不存在）.当α＝错误!＋kπ（k ∈Z ）时,虽然tan α的值不存在,但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式:即：tan2α＝tan2（错误!＋kπ）＝tan(π＋2kπ）＝tan π＝0 (2）在一般情况下，sin2α≠2sin α例如：sin 错误!＝错误!≠2sin 错误!＝1；只有在一些特殊的情况下,才有可能成立［当且仅当α＝kπ(k ∈Z )时，sin2α＝2sin α＝0成立］。

二倍角的三角函数(2)全面版

小结与反思
1 .对二倍角公式的变形使用： 1 + s i n 2 x = ( s i n x + c o s x )2 ; 1 sin 2 x (sin x cos x)2; 1 cos 2x 2 cos2 x; 1 cos 2 x 2 sin 2 x;
42 4 5
• 例1.化简
sin 2 ( 6) sin 2 ( 6) sin 2
完成P110页练习1
• 例2
求证： s in 5 0 0 ( 1 3 ta n 1 0 0 ) 1
已知函数y12cos2x23sinxcosx1(xR)
当函数y取得最大值时，求自变量x的集合？
3.2 二倍角的三角函数(2)
探究练习1:
已知 ta n 1 ,ta n 1 ,且 ,都是锐角 ,求 2 的值 ? 73
探究练习2:
已知： t a n =1 2,求 tan ( 22 )的值？
探究练习3:
• 1) 已知
x (,),sin ( x) 3 ,求 co s2 x 的值？
光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。
有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来，我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里，故作深沉地独对晚风夕照；风萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的《童年》，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵，已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此，青春就一去不回头。没有了幻想和冲动，日子就像白开水一样平淡，寂寞地走过一天天，一年年。涉世之初，还有几分棱角，有几许豪情。在碰了壁，折了腰之后，终于明白，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青蛙王子，原本是一张白纸似的人生，开始被染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢，被情愿也罢，生存，就要适应身不由己，言不由衷的生活。人到中年，突然明白了许多：人生路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一瞬间；世事难预料，是至理名言，这一辈子，你遇见了谁，擦肩而过了谁，谁会是你真心的良朋益友，

高中数学 3.3 二倍角的三角函数三教案北师大必修4

3.3 二倍角的三角函数一、课题引入：cos 22cos αα=吗？请说明理由二、引入新课2222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin αααααααα==-=-=-ααα2tan 1tan 22tan -= 这组公式有何特点？应注意些什么？三、公式分析：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：4α是8α的倍角.2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用. 例1.求值：①．sin22︒30’cos22︒30’=4245sin 21= ②．=-π18cos 22224cos =π ③．=π-π8cos 8sin 22224cos -=π- ④．=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin 8216sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例2.化简 ①．=π-ππ+π)125cos 125)(sin 125cos 125(sin 2365cos 125cos 125sin 22=π-=π-π ②．=α-α2sin 2cos 44α=α-αα+αcos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 ③．=α+-α-tan 11tan 11α=α-α2tan tan 1tan 22 ④．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+例3、已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2α，cos2α，tan2α的值。

解：∵),2(,135sin ππ∈α=α ∴1312sin 1cos 2-=α--=α ∴sin2α = 2sin αcos α = 169120- cos2α = 169119sin 212=α- tan2α = 119120- 例4. cos20︒cos40︒cos80︒ =20sin 80cos 40cos 20cos 20sin20sin 80cos 40cos 40sin 21= 8120sin 160sin 8120sin 80cos 80sin 41=== 例5.求函数x x x y sin cos cos 2+=的值域.解：21)42sin(222sin 2122cos 1+π+=++=x x x y ————降次四、公式变形：α+α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？例6.已知cos 257=α，求2tan ,2cos ,2sin ααα的值.例7.已知sin 54-=α，)23,(ππα∈，求2tan ,2cos ,2sin ααα的值. 五、巩固小结：1．公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：4α是8α的倍角. 2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）.3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用. 4.半角公式左边是平方形式，只要知道2α角终边所在象限，就可以开平方；公式的“本质”是用α角的余弦表示2α角的正弦、余弦、正切. 5．注意公式的结构，尤其是符号.六、评价设计七、课后反思：。

高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数1课件2北师大版必修 (2)

高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数1课件2北师大版必修 (2) 高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数。
二倍角的定义
一个角的两倍称为二倍角。
二倍角的正弦
正弦函数的二倍角公式：$sin2\theta = 2sin\theta cos\theta$。
二倍角的余弦
余弦函数的二倍角公式：
1 $cos2\theta =
cos^2\theta sin^2\theta$
2 $cos2\theta =
2cos^2\theta - 1$
3 $cos2\theta = 1-
2sin^2\theta$
二倍角的正切
正切函数的二倍角公式：
1 $tan2\theta = \frac{2tan\theta}{1-的三角函数变换公式可用于简化三角函数表达式。通过掌握二倍角的三角函数公式，可以更好地应对数学考试中的计算题目。

高中数学 3.3二倍角的三角函数多媒体教学优质课件2北师大版必修4

2.(2014·安徽示范高中检测)若 sin(π－α)＝
－
5 3 ，且
α∈π，32π，则
sinπ2 ＋α2 ＝(
B
)
A．－
6 3
B．－
6 6
C.
6 6
D.
6 3
第二十二页，共30页。
3.(2013·新课标全国(quán ɡuó)高考)
已知 sin 2 2，则 cos2 ( （)
A. 1
B3. 1
用
2
代替推导出来的，记忆时可联想相应的二倍
角公式.
第十页，共30页。
3、关于公式的几个(jǐ ɡè)说明：（1）正弦和余弦函数的半角公式对任意角均成立
(chénglì)，对于正切的半角公式 2k 1 (k Z ).
（2）等式中的“半角”的意义是相对的，如：
半角公式不仅可运用于将作为的半角的情况，还可
看作是一个三角形的三个内角.
第十九页，共30页。
三角恒等式的证明:
(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般从
繁到简.
(tíshēng)
提 (2)左右归一，即证左右两边等于同一个式
总升子.
左
结 (3)分析法右,从结论出发,推理之后即证一个
显然成立的式子或已知条件.
(4)也可证＝1或左－右＝0.
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例1 利用(lìyòng)二倍角公式证明
：
sin
1 cos
2
2
cos
1 cos
2
2
tan 1 cos
2
1 cos
sin 1 cos
1 cos . sin
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证明在二倍角公式

北师版数学高一-教学设计3.3二倍角的三角函数

§3 二倍角的三角函数导入新课思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换,公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用倍角公式进行了简单的化简,求值及解决实际问题，本节将利用二倍角公式的逆用推导出半角公式,并用它来解决一些三角函数式的化简,求值等.思路2.先让学生写出上节课学习的二倍角公式,接着出示课本例5让学生探究,由此展开新课. 推进新课新知探究提出问题 ①α与2α有什么关系?②如何建立cos α与sin 22α之间的关系？③sin 22α=2cos 1α-，cos 22α=2cos 1α+，tan 22α=ααcos 1cos 1+-这三个式子有什么共同特点？④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗? 活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos α=1-2sin 22α,将公式中的α用2α代替,解出sin 22α即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是2α的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2α代替α,即得cos α=1-2sin 22α,所以sin 22α=2cos 1α-①在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2α代替α,即得cos α=2cos 22α-1, 所以cos 22α=2cos 1α+.②将①②两个等式的左右两边分别相除,即得 tan 22α=ααcos 1cos 1+-③ 又根据正切函数的定义,得到tansin sin2cossin 22221cos cos cos 2cos222ααααααααα⋅===+⋅;④tansin sin2sin1cos 2222sin coscos 2sin 222ααααααααα⋅-===⋅.⑤ 这样我们就得到另外两个公式： tanαααcos 1sin 2+=;tan αααsin cos 12-=.以上我们得到的五个有关半角三角函数的公式,称之为半角公式. 在这些公式中,根号前面的符号由2α所在象限相应的三角函数值的符号确定,如果2α所在象限无法确定,则应保留根号前面的正,负两个符号.教师引导学生观察上面的①②③④⑤式，可让学生总结出下列特点： (1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为：sin2α=±2cos 1α-,cos 2α=±2cos 1α+,tan 2α=±ααcos 1cos 1+-,并称之为半角公式(不要求记忆),符号由2α所在象限决定.教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.讨论结果：①α是2α的二倍角. ②sin 22α=2cos 1α-.③④略(见活动）. 应用示例思路1例1 已知cos α=257,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值. 活动：此题考查半角公式的应用，利用半角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.解：sin2α=±53225712cos 1±=-±=-α, cos2α=±54225712cos 1±=+±=+α, tan 2α=4354532cos2sin±=±=αα. 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系. 变式训练已知θ为第二象限角,sin(π-θ)=2524,则cos 2θ的值为( ) A.53 B.54 C.±53 D.±54【解析】∵sin(π-θ)=2524∴sin θ=2524. 又θ为第二象限角, ∴cos θ=-257,cos θ=2cos 22θ-1, 而2θ在第一,三象限, ∴cos 2θ=±53.【答案】C 例2 已知sin2α=-1312,π＜2α＜3π2,求tan α. 解：因为π＜2α＜3π2,故π2＜α＜3π4,α是2α的一半,运用半角公式,有 cos2α=-135)1312(12sin 122-=---=-a ,所以tan α=23131213512sin 2cos 1-=-+=-αα. 例3 已知sin x -cos x =21,求sin 3x -cos 3x 的值. 活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a -b )3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3=a 3-b 3-3ab (a -b ),∴a 3-b ==(a -b )=+3ab (a -b ).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由sin x ·cos x 与sin x ±cos x 之间的转化,提升学生的运算,化简能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin 3x -cos 3x =(sin x -cos x )3+3sin x cos x (sin x -cos x )=1611.此方法往往适用于sin 3x ±cos 3x 的化简问题之中. 解：由sin x -cos x =21,得(sin x -cos x )2=41, 即1-2sin x cos x =41, ∴sin x cos x =83.∴sin 3x -cos 3x =(sin x -cos x )(sin 2x +sin x cos x +cos 2x )=21(1+83)=1611. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法. 变式训练已知sin θ+cos θ=51,且π2≤θ≤3π4,则cos2θ的值是___________. 【答案】-257例4 已知B A B A 2424sin sin cos cos +=1,求证：ABA B 2424sin sin cos cos +=1. 活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A ,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A ,B 角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a 2+b 2=1的形式,可利用三角代换. 证法一：∵BAB A 2424sin sin cos cos +=1, ∴cos 4A ·sin 2B +sin 4A ·cos 2B =sin 2B ·cos 2B . ∴cos 4A (1-cos 2B )+sin 4A ·cos 2B =(1-cos 2B )cos 2B , 即cos 4A -cos 2B (cos 4A -sin 4A )=cos 2B -cos 4B . ∴cos 4A -2cos 2A cos 2B +cos 4B =0.∴(cos 2A -cos 2B )2=0.∴cos 2A =cos 2B .∴sin 2A =sin 2B .∴AB A B 2424sin sin cos cos +=cos 2B +sin 2B =1. 证法二：令BA22sin cos =cos α,B A sin sin 2=sin α, 则cos 2A =cos B cos α,sin 2A =sin B sin α.两式相加,得1=cos B cos α+sin B sin α,即cos(B -α)=1. ∴B -α=2k π(k ∈Z ),即B =2k π+α(k ∈Z ). ∴cos α=cos B ,sin α=sin B .∴cos 2A =cos B cos α=cos 2B ,sin 2A =sin B sin α=sin 2B . ∴BBB B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B +sin 2B =1. 点评：要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元.变式训练在锐角△ABC 中,A ,B ,C 是它的三个内角,记S =BA tan 11tan 11+++,求证：S ＜1. 证明：∵S =BA B A B A B A B A tan tan tan tan 11tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1++++++=+++++ 又A +B ＞90°,∴90°＞A ＞90°-B ＞0°. ∴tan A ＞tan(90°-B )=cot B ＞0. ∴tan A ·tan B ＞1.∴S ＜1.思路2例1 已知sin2 010°=-21,求sin1 005°,cos1 005°,tan1 005°的值. 解：因为2 010°=5×360°+210°是第三象限的角, 所以cos2 010°=-232010sin 12-=- . 又1 005°=2×360°+285°是第四象限的角, 所以sin1 005°=-42623222010cos 1+=+=-, cos1 005°=42623222010cos 1-=-=+, tan1 005°=32434826261005cos 1005sin --=+-=-+-= . 例2 证明x xcos sin 1+=tan(π42x +).活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x ,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角2x，三角函数的种类为正切. 解：方法一：从右边入手，切化弦，得tan(π42x +)=πππsin()sin cos cos sin cos sin42424222πππcos()cos cos sin sin cos sin 42424222x x x x x x x x x x+++==+--,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos2x +sin 2x,得 x x x x x x xx cos sin 1)2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos2+=-++. 方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得 2sin2cos 2sin2cos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(coscos sin 12x x xx x x x x x x xx -+=-++=+. 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos2x,得 π1tantan tan π242tan()π421tan 1tan tan 242x xx x x ++==+-- 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法. 变式训练已知α,β∈(0,π2)且满足：3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值. 解：3sin 2α+2sin 2β=1⇒3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β,① 3sin2α-2sin2β=0⇒3sin αcos α=sin2β,②①2+②2,得9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1, ∴sin 2α=91， ∵α∈(0,π2),∴sin α=31.∴sin(α+2β)=sin αcos2β+cos αsin2β=sin α·3sin 2α+cos α·3sin αcos α=3sin α(sin 2α+cos 2α)=3×31=1.∵α,β∈(0, π2),∴α+2β∈(0,3π2).∴α+2β=π2.例3 求证：aa a 2222tan tan 1cos sin )sin()sin(ββββ-=-+.活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法. 证明：证法一：左边=ββαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ββαβα222222cos sin sin cos cos sin -==1-αβββα222222tan tan 1cos sin sin cos -==右边.∴原式成立. 证法二：右边=1-βαβαβαβαβα2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos -= βαβαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+==βββ22cos sin )sin()sin(a a a -+=左边.∴原式成立.点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力. 变式训练求证：θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+,此式右边就是tan2θ.证明：原等式等价于θθθθ4cos 4sin 14cos 4sin 1++-+=tan2θ.而上式左边=θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++=tan2θ=右边.∴上式成立,即原等式得证.知能训练 1.若sin α=135,α在第二象限,则tan 2α的值为( ) A.5 B.-5 C.51 D.-512.设5π＜θ＜6π,cos 2θ=α,则sin 4θ等于( ) A.21a + B.21a - C.-21a + D.-21a- 3.已知sin θ=-53,3π＜θ＜7π2,则tan 2θ=__________________.【答案】1.A 2.D 3.-3 课堂小结1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.三角恒等式与条件等式的证明.2.教师画龙点睛总结：本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段. 作业课本习题3—2 A 组5—11,B 组1—5.设计感想1.本节主要学习了怎样推导半角公式,积化和差,和差化积公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形.还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等.2.在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查.特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方.考试大纲对本部分的具体要求是：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，体会向量方法的作用.从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换.。

二倍角的三角函数教学设计

二倍角的三角函数教学设计教学目标：-了解二倍角的概念和性质-掌握二倍角的三角函数公式-能够应用二倍角的概念和公式解决相关问题教学内容：1.引入二倍角的概念：-引导学生回忆正弦、余弦、正切的定义与性质。

-引导学生思考，如何利用已知的正弦、余弦、正切求解二倍角的值。

-引入二倍角的定义：“将已知的角度再乘以2，所得到的角度就是二倍角”。

2.探索二倍角的性质：-提供一些具体角度的例子，引导学生尝试计算它们的二倍角。

-通过比较原角和二倍角的正弦、余弦、正切值，引导学生发现二倍角公式的规律。

- 总结得出二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ，cos2θ =cos^2(θ) - sin^2(θ)，tan2θ = 2tanθ / (1 - tan^2(θ))。

3.关联已学知识与二倍角的解题方法：-提供一些需要利用二倍角概念解决的实际问题，引导学生应用二倍角的公式进行求解。

-鼓励学生自己思考解题思路，并与同学讨论分享。

-指导学生如何将实际问题转化为数学问题，并运用二倍角的公式求解。

4.练习与巩固：-提供一系列练习题和应用题，让学生灵活掌握二倍角的应用方法。

-引导学生自行查找二倍角的公式，更加深入理解和掌握。

5.拓展与应用：-引导学生思考，如果已知二倍角的值，如何反推出原角的值。

-带领学生发现反二倍角公式的存在，并进行解释和证明。

-提供一些拓展题，让学生运用二倍角和反二倍角的公式解决更复杂的问题。

教学方法与策略：-情境导入法：通过引入实际问题，激发学生思考和探索的兴趣。

-合作学习法：鼓励学生进行小组讨论、合作解题，促进彼此思维碰撞和交流。

-探究式学习：通过引导学生发现规律，培养他们的发散思维和自主学习能力。

-提问引导法：引导学生通过思考和提问，主动参与到教学活动中。

教学过程安排：1.情境导入（10分钟）：- 提出一个实际问题，例如：“如果知道一个直角三角形的斜边长度为5cm，邻边长度为3cm，你能计算出这个直角三角形的角度吗？”-引导学生思考如何利用正弦、余弦、正切求解角度。