八年级数学上册几何添辅助线专题

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案) 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为3度，可以从角一殊直角三角形，等的二条边或二8.计算数值法角三角形，或这样可以得到在造边、角之间的常见辅助线的作之间的相等，二1)遇到等腰三维模式是全2)遇到三角形三角形，利3)遇到角平分向角的两边所考知识点线上的一点形。

（3）可二点，然后角形。

4)过图形上某D CBAED F CB AC全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故AD的取值范围是1<AD<4例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,显然BG＝FC，在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知EG＝EF在△BEG中，由三角形性质知EG<BG+BE 故：EF<BE+FC 例3、如图，△解：延长AE至显然DG＝AC，由于DC=AC，故在△ADB与△A BD＝AC=DG，A ∠ADB=∠ADC+∠故△ADB≌△AD二、截长补短1、如图，AB解：（截长法）△ADB是等腰三DF⊥AB，故∠A△ADF≌△ADC（∠ACD＝∠AFD＝2、如图，AD∥BADCBAPQCBA∠ADE ＝∠AFE ， ∠ADE+∠BCE ＝180°∠AFE+∠BFE ＝180°故∠ECB ＝∠EFB△FBE ≌△CBE （AAS ）故有BF ＝BC 从而;AB ＝AD+BC3、如图，已知在△ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP 解：（补短法, 计算数值法）延长AB 至D ，使BD ＝BP ，连DP 在等腰△BPD 中，可得∠BDP ＝40° 从而∠BDP ＝40°＝∠ACP △ADP ≌△ACP （ASA ） 故AD ＝AC又∠QBC ＝40°＝∠QCB 故 BQ ＝QC BD ＝BP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： ∠A解：（补短法）△BDF ≌△BDC （故∠DFB ＝∠DC 又AD ＝CD故在等腰△BFD∠DFB ＝∠DAF故有∠BAD+∠B5、如图在△AB ＞PB-PC解：（补短法）△ABP ≌△AFP （故BP ＝PF由三角形性质知PB －PC ＝PF －P 应用：分析：此题用已知条件和等解：有A BC =连接AC ，过则可证AEF ∆为即EF AE =，∠OECBA∴︒=∠120CFE 又∵BC AD //，︒=∠60B ∴︒=∠120BAD 又∵︒=∠60DEC ∴FEC AED ∠=∠ 在ADE ∆与FCE ∆中CFE EAD ∠=∠，EF AE =，FEC AED ∠=∠∴FCE ADE ∆≅∆ ∴FC AD = ∴AE AD BC +=点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。

三、平移变换例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P . 解：（镜面反射法）延长BA 至F ，使AF ＝AC ，连FE AD 为△ABC 的角平分线, MN ⊥AD 知∠FAE ＝∠CAE 故有△FAE ≌△CAE （SAS ） 故EF ＝CE在△BEF 中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC从而P B =BE+CE例2 如图，在证明：取BC 中∵BD=CE,∴DM=EM, ∴△DMN ≌△E ∴DN=AE, 同理BN=CA. 延长ND 交AB 相加得BN+BP+各减去DP,得B ∴AB+AC>AD+四、借助角平分1、如图，已知在求证：OE=OD ，证明 (角平分线则∠BAC+∠BC AD,CE 均为角平则∠OAC+∠O ∠AOC=12在AC 上又AO.∠AOF=∠AOE 则∠COF=∠AODE A CBF又CO=CO;∠OCD=∠OCF. 故⊿OCD ≌ΔOCF(SAS), OD=OF;CD=CF. OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长. 解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD ，DC DG 垂直平分BC ，故BD ＝DC由于AD 平分∠BAC ， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，故有 ED ＝DF故RT △DBE ≌RT △DFC （HL ） 故有BE ＝CF 。

AB+AC ＝2AE AE ＝（a+b ）/2 BE=(a-b)/2 应用：1、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F 。

请你判断并写出FE 与（2）如图不变明；解：（1）F（2）答：（证法一：如∵21∠=∠，∴AEF ∆≅∆∴AFE ∠=∠∵︒=∠60B ∴=∠+∠32∴∠=∠AFE ∴=∠6CFG ∵43∠=∠及∴CFG ∆≅∆∴FD FG =∴FDFE =证法二：如∵︒=∠60B ∴可得∠2∴6=∠GEF EDGFCBAO图①又∵1∠+∠=∠B HDF ∴HDF GEF ∠=∠ ∴可证DHF EGF ∆≅∆ ∴FD FE =有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC ，BD ⊥AC 于D ，求证：∠BAC = 2∠DBC 证明：（方法一）作∠BAC 的平分线AE ，交BC 于E ，则∠1 = ∠2 =12∠BAC又∵AB = AC ∴AE ⊥BC∴∠2＋∠ACB = 90o ∵BD ⊥AC ∴∠DBC ＋∠ACB = 90o∴∠2 = ∠DBC ∴∠BAC = 2∠DBC（方法二）过A 作AE ⊥BC 于E （过程略） （方法三）取BC 中点E ，连结AE （过程略） ⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，D 为BC 中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ， 求证：DE = DF 证明：连结AD.∵D 为BC 中点， ∴BD = CD 又∵AB =AC ∴AD 平分∠BAC ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE = DF⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，在BA 延长线和AC 上各取一点E 、F ，使AE = AF ， 求证：EF ⊥BC证明：延长BE 到N ，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC∵∠B ＋∠ACB ＋∠ACN ＋∠ANC = 180o∴2∴∠即∠∴N ∵A ∴∠又∵∠B ∴∠∴∠∴E ∴E⑷常过一腰上的例：已知，如图延长线上，求证：DF =证明：（证法∠NDE = ∠∵A ∴∠∴∠B =∠∴BD = DN 又∵BD = ∴DN = EC 在△DNF 和∠1 = ∠2∠NDF =∠DN = EC ∴△DNF ≌∴D （证=∠B （过⑸常过一腰上的例：已知，如长线上，求证：D 证明：（证∠∠∵∴∴∵∴21N F E DC B A21M F EDC B A又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180o∴2∠AEF＋2∠AED = 90o即∠FED = 90o∴DE⊥FE又∵EF∥BC∴DE⊥BC（证法二）过点D作DN∥BC交CA的延长线于N，（过程略）（证法三）过点A作AM∥BC交DE于M，（过程略）⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o∠PCB = 30o求∠PAB的度数.解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE则∠BAE =∠ABE = 60oAE = AB = BE∵AB = AC∴AE = AC ∠ABC =∠ACB∴∠AEC =∠ACE∵∠EAC =∠BAC－∠BAE= 80o－60o = 20o∴∠ACE = 12(180o－∠EAC)= 80∵∠ACB=12(180o－∠BAC)=50o∴∠BCE =∠ACE－∠ACB= 80o－50o = 30o∵∠PCB = 30o∴∠PCB = ∠BCE∵∠ABC =∠ACB = 50o, ∠ABE = 60o∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60o－50o =10o ∵∠PBC = 10o∴∠PBC = ∠EBC在△PBC和△EBC中∠PBC = ∠EBCBC = BC∠PCB = ∠BCE∴△PBC≌△EBC∴BP = BE∵AB = BE∴AB = BP∴∠BAP =∠BPA∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o解法二：以AC为解法三：以BC为EB =∵EB∴E在同理A∴EA所∴EA⊥∠AEB由解法∴∠A∵∠A∴△A∴AB∵∠A∴∠P70o1. 如图，求解：连结CD∵∠ECD＋∠=180°－∠∴∠A＋∠B=∠A＋∠EC=∠A＋（∠=∠A＋∠AC=180°2. 如图，已知PECBA延长BE交AC于F。