第三章三角恒等变换章末复习课

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必修4第三章三角恒等变形复习课

(2)条件恒等式的证明．这类问题的解题思路是恰当、适时地使用条件，或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法．
2．证明三角恒等式常用的方法． (1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等；在证明过程中，时刻“盯”住目标，分析其特征，时刻向着目标“奔”． (2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子． (3)把要证的等式进行等价变形． (4)作差法，证明其差为0.
基本公式： 1、两角和与差的三角函数公式：
sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
sin( )
tan tan . tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) . 1 tan tan
2、辅助角公式
a sin x b cos x a b sin x cos x ) 2 2 ( a b a 2 b2 a 2 b2 2 2 (cos sinx sin cos x ) a b
三角恒等变换复习
基本思想：
理解三角函数中的4个“三”：（1）从知识层面看：三角函数公式系统的三条主线 ——同角关系式、诱导公式、变换公式（和、差、倍角）. （2）从问题层面看：三角变换三大问题——求值、化简、证明. （3）从方法层面看：“三个统一”——解决三角函数问题时要从“统一角度、统一函数名、统一运算结构”方面思考. （4）从算法层面看：使用公式的三重境——顺用、变换是三角函数的重要内容，搞清公式间的关系是学习的关键．对于和、差角的三角函数公式，关键是弄清楚角的变化，从整体上把握公式，既要学会正向运用，也要学会 α 逆向运用；对于倍、半角公式，可从α与之间的关系出发思考， 2 通过这种关系的思考而建立函数式之间的联系．对于和积互化公式，应抓住公式特点进行变形，辅助角公式则是应用较为广泛的公式，讨论三角函数的最值、周期、单调性等性质时，常使用此公式变换．

《三角恒等变换》复习课

Байду номын сангаас
小结：
（1）三角恒等变换解决三角函数性质问题的基本思路
（2）三角函数最值问题的常见形式及解决方法
谢谢！
7
14
解：，为锐角,0
又cos 1 ,cos( ) 11
7
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sin 4 3 ,sin( ) 5 3 ,
7
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cos cos( )
cos( ) cos sin( )sin 1
2
变式 1.已知cos( ) 1 ，求sin 2 .
4
7
变式 2.已知, 都是锐角，cos 1 ,sin( ) 5 3 , 求cos 的值.
7
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【回归教材】(P147.9) 例 2.已知函数 y (sin x cos x)2 2 cos2 x .
（1)求它的递减区间； (2)求它的最大值和最小值.
变式 1：求函数 y (sin x cos x)2 4 cos2 x 的最大和最小值.
变式 2：求函数 y (sin x cos x)2 cos2 2x 的最大和最小值
例 1.已知, 都是锐角，cos 1 ,cos( ) 11 , 求cos 的值.
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变式 1.已知cos( ) 1 ，求sin 2 .
4
7
变式 2.已知, 都是锐角，cos 1 ,sin( ) 5 3 , 求cos 的值
7
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回归教材：P137.4
例1：已知，为锐角，cos 1 ,cos( ) 11 ,求cos的值.
三角恒等变换复习课
1、熟练应用两角和与差的正弦、余弦正切公式解决恒等变换问题
2、了解各公式间的逻辑关系，能构建三角恒等变换的知识网络

必修4第三章--三角恒等变换复习(学生用)

7. 函数的图像的一条对称轴方程是（）
A、 B、 C、 D、
9. 已知，则的值为（）
A、 B、 C、 D、
二、填空题10. =____________
12．已知，则的值为
`
三、解答题
14.（本题满分12分）已知 ,且，求的值。
15.（本题满分14分）已知α为第二象限角，且sinα= 求的值.
；；
。
3．半角公式（扩角降幂公式）
;
;
.
4．三角函数式的化简
、
常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
5.辅助角公式
。
题型5：三角函数求值
例7.已知函数 .
（1）求的最小正周期；（2）当时，求的最小值以及取得最小值时x的集合.
)
A层拓展提升：求那么的值
@
^
四、达标检测
一、选择题
1. 已知，则的值为（）
A. B. C. D.
2．在则这个三角形的形状是( )
%
A.锐角三角形B.钝角三角形 C.直角三角形D.等腰三角形
三角恒等变换
一．基本要求：
1．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
2．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积1．两角和与差的三角函数
；；
。
—
2．二倍角公式（缩角升幂公式）
16、（本题满分14分）已知函数的最大值是2，试确定常数的值.

第三章三角恒等变换章末复习课

.
解析
π π π 24 sin2α＋＝2sinα＋ cosα＋＝， 3 6 6 25 π π π ∴sin2α＋＝sin2α＋－ 12 3 4 2 π π 17 2 ＝ sin 2α＋－cos2α＋＝ . 2 3 3 50
第三章三角恒等变换
章末复习课
学习目标
1.进一步掌握三角恒等变换的方法. 2.会利用正弦、余弦、正切的两角和差公式与二倍角公式.
3.对三角函数式进行化简、求值和证明.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β .
解析答案
1
2
3
4
5
59 － 1 1 2.已知 sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，则 sin(α－β)＝ 72 3 2
.
解析
13 (sin α＋cos β) ＋(sin β－cos α) ＝， 36
2 2
59 2sin(α－β)＝－， 36 59 即 sin(α－β)＝－ . 72
新知探究点点落实
cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β
.
.
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β tan(α＋β)＝
tan(α－β)＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
tan α－tan β 1＋tan αtan β
所以
π f(x)＝sin2x＋，x∈R， 6

三角恒等变换章末复习课件

专题一三角函数式的化简三角函数式的化简，主要有以下几类：①对和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；②对分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或数值；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段．【例1】化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β. 解法一原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(4cos 2αcos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1) ＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2α(1－cos 2β)＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2αsin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 法二原式＝sin 2αsin 2β＋(1－sin 2α)cos 2β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－cos 2β⎝⎛⎭⎫sin 2α＋12cos 2α ＝1＋cos 2β2－cos 2β⎣⎡⎦⎤sin 2α＋12(1－2sin 2α) ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12. 法三原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2αcos 2β＝14(1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12cos 2αcos 2β＝14＋14＝12. 法四原式＝(sin αsin β－cos αcos β)2＋2sin αsin β·cos αcos β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2(α＋β)＋12sin 2αsin 2β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2(α＋β)－12cos(2α＋2β) ＝cos 2(α＋β)－12[2cos 2(α＋β)－1]＝12. 专题二三角函数求值三角函数求值主要有三种类型，即(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．【例2】求tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°的值．解 tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝tan 60°(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35° ＝3－3tan 25°tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝ 3.【例3】已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 4α1＋cos 2α的值．解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝13，即cos 2α＝13. 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，2α∈(π，2π)，∴sin 2α＝－1－cos 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223. ∴sin 4α1＋cos 2α＝2sin 2α·cos 2α1＋1＋cos 2α2＝2×⎝⎛⎭⎫－223×131＋1＋132＝－4215. 【例4】已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值．解法一 ∵α，β均为锐角且sin α＝55，cos β＝1010， ∴cos α＝255，sin β＝31010.又sin α<sin β，∴α<β. cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β＝255×1010＋55×31010＝22. 又∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵α<β，∴－π2<α－β<0.∴α－β＝－π4. 法二 ∵α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010， ∴cos α＝255，sin β＝31010， ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22. ∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2. ∴α－β＝－π4. 专题三三角恒等式的证明三角恒等式的证明主要是利用sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α，二倍角公式等结论证明等式成立．一般思路是从左向右或两头凑，注意函数名的统一，一般是切化弦．【例5】求证：tan 2x ＋1tan 2x ＝2(3＋cos 4x )1－cos 4x.证明法一左边＝sin 2x cos 2x ＋cos 2x sin 2x ＝sin 4x ＋cos 4x sin 2x cos 2x＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x 14sin 22x ＝1－12sin 22x 14sin 22x ＝1－12sin 22x 18(1－cos 4x )＝8－4sin 22x 1－cos 4x ＝4＋4cos 22x 1－cos 4x ＝4＋2(1＋cos 4x )1－cos 4x＝2(3＋cos 4x )1－cos 4x＝右边． ∴原式得证．法二右边＝2(2＋1＋cos 4x )2sin 22x ＝2(2＋2cos 22x )8sin 2x cos 2x ＝2(1＋cos 22x )4sin 2x cos 2x＝(sin 2x ＋cos 2x )2＋(cos 2x －sin 2x )22sin 2x cos 2x ＝2(sin 4x ＋cos 4x )2sin 2x cos 2x ＝tan 2x ＋1tan 2x＝左边．原式得证．专题四三角函数与向量的综合应用三角函数与向量的综合问题是近几年高考题的热点，目的在于考查学生对三角函数基本关系式的变形、运算和推理能力，一般来说题目难度不大，解决这类问题，应利用平面向量的坐标、数量积、平行与垂直的条件、夹角公式等知识将向量转化为三角函数问题．【例6】已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)．(1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 长度相等(其中k 为非零实数)，求β－α的值．(1)证明法一 ∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)，a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，∴(a ＋b )·(a －b )＝(cos α＋cos β)(cos α－cos β)＋(sin α＋sin β)(sin α－sin β)＝cos 2α－cos 2β＋sin 2α－sin 2β＝0.∴(a ＋b )⊥(a －b )．法二 ∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴|a |2＝cos 2α＋sin 2α＝1，|b |2＝cos 2β＋sin 2β＝1.∴|a |2＝|b |2.∴(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．(2)解 ∵k a ＋b ＝(k cos α，k sin α)＋(cos β，sin β)＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，a －kb ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)，∴|k a ＋b |2＝(k cos α＋cos β)2＋(k sin α＋sin β)2＝k 2cos 2α＋2k cos αcos β＋cos 2β＋k 2sin 2α＋2k sin αsin β＋sin 2β＝k 2＋2k cos(α－β)＋1.(注：cos α·cos β＋sin α·sin β＝cos(α－β))同理可求|a －k b |2＝k 2－2k cos(α－β)＋1.又∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴|k a ＋b |2＝|a －k b |2.∴2k cos(α－β)＝－2k cos(α－β)．∵k ≠0，∴cos(α－β)＝0.∴cos(β－α)＝0.又∵0<α<β<π，∴β－α＝π2. 专题五三角恒等变换与三角函数的综合问题利用三角公式和基本的三角恒等变换的思想方法，可以化简三角函数的解析式，进而才能顺利地探求三角函数的有关性质．反过来，利用三角函数性质，可确定解析式，进而可求出有关三角函数值．因而三角恒等变换与三角函数的综合问题是高考命题的热点．解决三角恒等变换与三角函数的综合问题关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数．解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切割化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化，角的代换)的运用；还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用．【例7】已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4－23sin 2x 4＋ 3. (1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．解 (1)∵f (x )＝sin x 2＋3⎝⎛⎭⎫1－2sin 2x 4＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3. ∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π. 当sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3＝－1时，f (x )取得最小值－2；当sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3＝1时，f (x )取得最大值2.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，又g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π2＝2cos x 2. ∵g (－x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＝2cos x 2＝g (x )， ∴函数g (x )是偶函数．。

三角恒等变换章末复习参考题课件

当堂训练
练习1 已知，为锐角，cos = 4 , tan( ) 1 ,
5
3
求cos的值.
解 ∵α 是锐角，cos α＝45，
∴sin α＝35，tan α＝34.
∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1ta＋ntαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，∴cos β＝95010.
12
解答
类型一灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用
例1
已知
tanα=
1 2
，
tan(
)
2 5
，那么 ta
B.
1 12
C.
9 8
9
D. 8
问题一：如何选择恰当公式？
一看角：由已知条件中的两个角分别为和，所
求问题中一个角 2 ，这三个角关系如下：
1、熟练记忆三角恒等变换公式;
规律与方法
2、三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、
名、形的变换，即:
（1）找差异：角、名、形的差别；
（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可
以用哪个公式联系起来；
（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形
后运用或逆用公式。
3.应用辅助角公式a sinx b cosx a2 b2 sin(x ),其中tan b
12345
解析答案
2 ＋2k 2x 5 2k,k Z
3
3
＋k x 5 k,k Z
3
6
所以f(x)的单调增区间为 [ ＋k , 5 k ],k Z 36
解答
类型二转化与化归思想在三角恒等变换中的应用

高中数学第三章三角恒等变换阶段复习课第4课三角恒等变换课件新人教A版必修

一级达标重点名校中学课件
3．半角公式 1－cos α α sin2＝± . 2 1＋cos α α cos2＝± 2 .
1－cos α sin α 1－cos α α 1＋cos α ＝__________ 1＋cos α ＝__________. sin α tan2＝±____________
一级达标重点名校中学课件
1 －2sin xcos x＋2 [ 解] (1)原式＝ π π 2sin4－xcos24－x π cos4－x
2 2
1 1 2 2 21－sin 2x 2cos 2x 1 ＝ π π ＝ π ＝2cos 2x. 2sin4－xcos4－x sin2－2x
一级达标重点名校中学课件
[ 规律方法] 三角函数式化简的基本技巧 (1)sin α，cos α→凑倍角公式． (2)1±cos α→升幂公式． (3)asin α＋bcos α→辅助角公式asin α＋bcos α＝ a2＋b2· sin(α＋φ)，其中tan b a 2 2 φ＝a或asin α＋bcos α＝ a ＋b · cos(α－φ)，其中tan φ＝b.
一级达标重点名校中学课件
4．辅助角公式
b a ＋b sin(α＋φ)tan φ＝ (1)asin α＋bcos α＝_________________________. a
2 2
(2)与特殊角有关的几个结论： π 2sinα± 4 ， sin α±cos α＝_____________ π α± 2sin 3sin α±cos α＝_____________ ， 6 π α± 2sin sin α± 3cos α＝______________. 3

第三章三角恒等变形章末复习方案课件北师大必修.ppt

[解] (1)f(x)＝m·n
＝ 3Asin xcos x＋A2cos 2x
＝A(
3 2 sin
2x＋12cos
2x)
＝Asin(2x＋π6)．
因为 A>0，由题意知 A＝6.
(2)由(1)f(x)＝6sin(2x＋π6)．将函数 y＝f(x)的图像向左平移1π2个单位后得到 y＝6sin[2(x＋1π2)＋π6]＝6sin(2x＋π3)的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到 y＝6sin(4x＋π3)的图像．因此 g(x)＝6sin(4x＋π3)．因为 x∈[0，52π4]，所以 4x＋π3∈[π3，76π]，故 g(x)在[0，52π4]上的值域为[－3,6]．
函数式的化简、求值及恒等式证明中有三个技巧：“1”的代换，
sin2α＋cos2α＝1；切化弦；sin α±cos α 平方整体代换．
2．和(差)角公式 (1)公式Cα－β，Cα＋β的公式特点：同名相乘，符号相反；公式Sα－β，Sα＋β的公式特点：异名相乘，符号相同；Tα±β的符号规律为“分子同，分母反”． (2)和(差)角公式揭示了同名不同角的三角函数的运算规律，公式成立的条件是相关三角函数有意义，尤其是正切函数．
[借题发挥] 1．“给值求角”的一般规律是先求出所求角的一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后根据三角函数值和角的范围求出角． 2．确定的所求角的范围最好是所求三角函数的一个单调区间．例如，若所求角的范围是(0，π2)，选择求所求角的正弦或余弦函数值均可；若所求角的范围为(0，π)，选择求所求角的余弦函数值；若所求角的范围是(－π2，π2)，选择求所求角的正弦函数值．
[答案]
17 2 50

高中数学第三章三角恒等变换章末复习提升课课件b必修4b高一必修4数学课件

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1．已知函数 f(x)＝ 3sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，y＝f(x)的图象与直线 y＝2 的两个相邻交点的距离等于 π，则 f(x)的单调递增区间是( ) A．－1π2＋kπ，51π2＋kπ，k∈Z B．51π2＋kπ，1112π＋kπ，k∈Z C．－π3＋kπ，π6＋kπ，k∈Z D．π6＋kπ，23π＋kπ，k∈Z
12/10/2021
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三角恒等式的证明已知 tan2θ＝2tan2φ＋1，求证：cos 2φ＝2cos 2θ＋1.
【证明】法一：因为 tan2θ＝2tan2φ＋1，
所以 tan2θ＋1＝2(tan2φ＋1)，
即sin2cθo＋s2cθos2θ＝2·sin2φco＋s2cφos2φ，
12/10/2021
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1．把握三角中的相关公式本章中的公式较多，又比较相似，在应用过程中，可能因为对公式的记忆不准确或记忆错误导致运算结果出现错误，熟练把握公式是关键． 2．关注角的取值范围由于三角函数具有有界性，解题时往往会由于忽视角的范围而导致解题过程欠严密，结果不准，这种情况在解给值求角的问题中易出现．
12/10/2021
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三角函数求值
已知
0<α<π2，tanα2＋ 1 α＝52，试求 tan2
sinα－π3的值．
【解】由 tanα2＋ta1nα2＝52，得1－sincoαs α＋1＋sincoαs α＝52⇒sin α
＝45.又 0<α<π2，所以 cos α＝35，
所以
sinα－π3＝sin
12/10/2021
第三页，共二十九页。

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题型一灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用给值求值的重要思想是沟通已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·α2，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，β＝12[(α＋β)－(α－β)]等．例1 已知α、β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．解 ∵α是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan [α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan αtan (α－β)＝139. ∵β是锐角，故cos β＝91050. 跟踪训练1 已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解 tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝13>0. 而α∈(0，π)，故α∈(0，π2)． ∵tan β＝－17，0<β<π，∴π2<β<π. ∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12>0， ∴－π<α－β<－π2. ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝1，∴2α－β＝－3π4. 题型二整体换元的思想在三角恒等变换中的应用在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来(如例2令sin x －cos x ＝t )．例2 求函数y ＝sin x ＋sin 2x －cos x (x ∈R )的值域．解令sin x －cos x ＝t ，则由t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4知t ∈[－2，2]，又sin 2x ＝1－(sin x －cos x )2＝1－t 2.∴y ＝(sin x －cos x )＋sin 2x ＝t ＋1－t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54. 当t ＝12时，y max ＝54；当t ＝－2时，y min ＝－2－1.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－2－1，54. 跟踪训练2 求函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈R 的最值及取到最值时x 的值．解设sin x ＋cos x ＝t ，则t ＝sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎫22sin x ＋22cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∴t ∈[－2，2]，∴sin x ·cos x ＝(sin x ＋cos x )2－12＝t 2－12. ∴f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x即g (t )＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，t ∈[－2，2]．当t ＝－1，即sin x ＋cos x ＝－1时，f (x )min ＝－1.此时，由sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22，解得x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z . 当t ＝2，即sin x ＋cos x ＝2时，f (x )max ＝2＋12. 此时，由2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1. 解得x ＝2k π＋π4，k ∈Z . 综上，当x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝－1；当x ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝2＋12. 题型三转化与化归的思想在三角恒等变换中的应用三角函数式的化简就是通过恒等变换化繁为简．其中切化弦、异名化同名、异角化同角等方法均为转化与化归思想的运用；三角恒等式的证明就是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简，左右归一或变更论证，也属转化与化归思想的应用．例3 求证：tan 32x －tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x .证明 ∵左边＝tan 32x －tan x 2＝sin 32x cos 32x －sin x 2cos x 2＝sin 32x cos x 2－sin x 2cos 32x cos x 2cos 32x ＝sin x12(cos 2x ＋cos x )＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝右边．∴tan 32x －tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x. 跟踪训练3 已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值．解 sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝sin 2x ＋2sin 2x cos x cos x 1＋tan x＝sin 2x (1＋tan x )1－tan x＝sin 2x ·tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x .∵17π12<x <7π4，∴5π3<x ＋π4<2π，又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45. ∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－43. ∴cos x ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫35－45＝－210. ∴sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4－sin π4cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－7210， sin 2x ＝725.∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝－2875. 题型四构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用方程(组)思想是中学重要的思想方法之一．借助三角函数公式构建关于某些量的方程(组)来求解，也是三角求值中常用的方法之一．例4 已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15. (1)求证：tan A ＝2tan B .(2)设AB ＝3，求AB 边上的高．(1)证明 ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15， ∴⎩⎨⎧ sin A cos B ＋cos A sin B ＝35，sin A cos B －cos A sin B ＝15⇒⎩⎨⎧ sin A cos B ＝25，cos A sin B ＝15⇒tan A tan B＝2. ∴tan A ＝2tan B . (2)解 ∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35， ∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－34. 将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得2tan 2B －4tan B －1＝0，解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋62. ∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD ，则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD 2＋6，由AB ＝3，得CD ＝2＋ 6.∴AB 边上的高等于2＋ 6.跟踪训练4 已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8 的值．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，|m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝ 4＋4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝2 1＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝725. 又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8－1，所以cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝1625.∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝－45. [呈重点、现规律]本章所学的内容是重要的三角恒等变换，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．。

高中数学第三章《三角恒等变换》复习课教案新人教A版必修4

《三角恒等变换》复习课（2个课时）一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。

你能根据下图回顾推导过程吗？2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。

4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。

5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， co s α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=000030tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等。

例题例1 已知sin （α+β）=32，sin （α-β）=51，求βαtan tan 的值。

cos （α-β）=cos αcos β+sin αsin β cos （α+β）=cos αcos β-sin αsin β sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin βsin （α-β）=sin αcos β-cos αsin βtan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan -+ tan （α-β）=βαβαtan tan 1tan tan +- sin2α=2sin αcos α cos2α=cos 2α- sin 2α =2cos 2α-1=1-2 sin 2α tan2α=βαβαtan tan 1tan tan -+例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°例3 化简（1）0070sin120sin 3-；（2）sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2αcos2β。

人教版高中数学第三章三角恒等变换的复习教育课件

C
S S
C
C 2
C S
22
S 2
T
T2
T
2
T
2、辅助角公式
这个公式
有什么作
asixnbcoxs
用？
a2 b2
(
a
b
six n
cox)s
a2b2
a2b2
a2 b2 (co sis xn sin co x)s
a2 b2 sinx().
其由中 sin b ， co s a 确 . 定
A . 64 25
B . 48 25
C.1
D . 16 25
4 .已 ta 知 n 1 2 ,ta n )( 5 2 ,则 ta n 2 ( )等（于 C ）
A. 1 4
B.1 8
C. 1 12
D. 1 12
sin 70co1s5 0si8 n0 5.co7s0si1 n5 0si8 n0
课后延伸
高考链接
1.(200四 7 川1理7)
已知cos 1,cos()13,且0.
7
14
2
（1）求tan2的值；
（2）求.
2 .，为c 锐 o s ) 角 1 (,c 22 o ， s) (3 ,求 co 的 s . 值
13
5
3.已知函f(x数 )2cos(x)(其中 0,xR)的最小正周 10期 . 为
题型二、给值求值问题
例 1.已c知 os4,sin5,180 0270,0
5
13
90 0180,求 0co (s).
33
65 变式练习
已c知 os3,(,)求 , cos().
52
4

第三章三角恒等变换章末复习课

必修4第三章三角恒等变形复习课

《三角恒等变换》复习课

必修4第三章--三角恒等变换复习(学生用)

第三章 三角恒等变换 章末复习课

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